Séries statistiques à deux variables Sur des individus d'une population, on réalise simultanément N observations de deux caractères quantitatifs x et y . Généralement, les valeurs observées sont consignées dans un tableau de données. I. Séries statistiques Définition : L'ensemble des N couples  x1; y1  ,  x2 ; y2  ,.....,  x N ; y N  , où x1 et y1 , x2 et y2 , ...., x N et yN sont les valeurs observées de x et de y , est appelé série statistique à deux variables x et y (ou série statistiques double). Exemple : Les données portant sur la taille (en cm) et le poids (en kg) de 5 garçons de 18 ans sont consignées dans le tableau ci-dessous. Garçon A B C D E Taille (en cm) x i 174 178 175 169 172 Poids (en kg) y i 72 82 70 72 68 La série statistique correspondante, à deux variables x (taille en cm) et y (poids en kg), est constituée des 5 couples ................................................................................................................. . II. Nuage de points ; point moyen Le plan est rapporté à un repère. On considère une série statistique une série statistique  x1; y1  ,  x2 ; y2  , .... ,  x N ; yN  , à deux variables x et y . Définitions : Le nuage de points de cette série est l'ensemble des N points du plan, de coordonnées  x1; y1  ,  x2 ; y2  , .... ,  x N ; yN  . On note x la moyenne des N nombres x i et y la moyenne des N nombres y i : x= x1 x2... xN N et y= y1 y2... yN N . Le point moyen du nuage est le point G du plan de coordonnées  x ; y  . Exemple : Pour l'exemple précédent, le point G a pour coordonnées : ....................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................... . III. Ajustement affine On cherche s'il existe un lien entre les deux variables, c'est-à-dire s'il est possible d'écrire y en fonction de x . Définition : Effectuer un ajustement d'un nuage de points consiste à trouver une fonction dont la courbe représentative « approche » le nuage, c'est-à-dire dont la courbe passe au plus près des points du nuage. Quand le nuage présente une forme rectiligne, la courbe cherchée est une droite. Dans ce cas, la fonction est une fonction affine tu type x ---> f  x =a xb . Le premier nuage n'est pas rectiligne. Un ajustement affine ne se justifie pas. Le deuxième nuage présente une forme rectiligne. Il peut être approché par une droite. Définition : Une droite d'ajustement affine est une droite qui passe au plus près des points du nuage. On admettra que, pour que l'ajustement soit le meilleur possible, il faut que la droite d'ajustement affine passe par le point G du nuage. Diverse méthodes existent pour trouver une droite d'ajustement affine. Une des méthode consiste à effectuer graphiquement et donc à tracer une droite « au jugé », c'est-à- dire « à la main » ; les coefficients a et b sont alors déterminés graphiquement. On comprend aisément que cette méthode manque de précision. On a donc cherché des méthodes plus calculatoires pour avoir une plus grande précision. IV. Droite de régression : méthode des moindres carrés On cherche une droite qui approche au plus près le nuage, c'est-à-dire une droite qui passe au plus près de chacun des points du nuage. La méthode qui suit est une méthode qui se propose de « quantifier » l'éloignement des points par rapport à la droite d'ajustement. Exemple : Une entreprise s'intéresse au lien entre ses dépenses publicitaires et son chiffre d'affaire : elle recueille les données suivantes, exprimées en millions d'euros, portant sur cinq périodes où les dépenses publicitaires sont notées d 1 , d 2 , .... , d 5 et les chiffres d'affaires c1 , c2 , ..., c5 . Dépenses publicitaires : d i 0,5 2,0 2,9 4,5 5,6 chiffre d'affaires : c i 35 37 75 92 90 Nuage de points de la série statistique : Ce nuage de cinq points semble suffisamment allongé pour justifier un ajustement affine et le problème est de déterminer quelle droite est susceptible de remplacer « au mieux » ce nuage de points. Pour trouver cette droite, nous allons indiquer les critères utilisés : 1. La droite passe par le point moyen G du nuage 2. La somme P12P22P33P42P52 est minimale. La calculatrice nous donne cette droite : Dans le menu STAT de la calculatrice, écrire les deux séries  x i  et  y i  dans les deux premières listes des opérations. La suite diffère selon la calculatrice utilisée. La calculatrice nous donne : y= ................................................