Les calculatrices sont interdites
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la
concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives
qu’il a été amené à prendre.
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Notations et objectifs
Pour tout
entier naturel supérieur ou égal à 1, on note
le
-espace vectoriel des
matrices carrées d’ordre
à coefficients dans
et
le
-espace vectoriel des matrices
colonnes à
lignes à coefficients dans
.
désigne l’ensemble des matrices symétriques de
,
l’ensemble des matrices
orthogonales de
et
la matrice identité d’ordre
.
Tout vecteur
de
est identifié à un élément
de
tel que l’élément
de la ème ligne de
soit
. Dans toute la suite, nous noterons indifféremment
un
élément de
aussi bien que le vecteur de
qui lui est associé.
Selon le contexte,
désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de
, soit encore la
matrice nulle de
.
est muni de son produit scalaire canonique noté
et de la norme associée notée
.
Une matrice carrée réelle
sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et
on notera dans ce cas
. De même un vecteur
de
sera dit positif si toutes ses compo-
santes
sont positives ou nulles et on notera aussi
. L’ensemble des matrices carrées réelles
d’ordre
, positives et symétriques est noté
.
L’objectif de ce problème est d’étudier des conditions pour lesquelles, étant donnés
nombres
réels distincts ou non,
, il existe une matrice carrée réelle d’ordre
positive et
symétrique admettant pour valeurs propres
comptées avec multiplicité, c’est-à-dire
dont le polynôme caractéristique est égal à
.
Dans la première partie on considérera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si
est une matrice carrée réelle positive et symétrique de
plus grande valeur propre
, alors
est positif,
admet pour la valeur propre
un v