Activité n°_ Enroulement de la droite des réels sur
le cercle trigonométrique
Définition : le cercle trigonométrique
Soit C un cercle de centre O et de rayon 1. En choisissant un sens de parcours sur C, on dit
que l’on oriente C.
Le sens inverse des aiguilles d’une montre est appelé le sens direct (sens giratoire dans un
rond point)
On choisit le sens direct pour orienter C.
C , ainsi orienté est appelé le cercle trigonométrique.
On assimile l’axe réel à une ficelle illimitée D et on fixe le nombre 0 sur le point I du cercle
trigonométrique (voir dessin ci-dessous).
Imaginons alors que l’on enroule l’axe réel sur le cercle : le demi axe positif dans le sens
direct, le demi axe négatif dans le sens indirect.
Tout point M de D d’abscisse x vient coïncider avec un unique point M’ de C.
C
1
2
M(x)
-1
-2
N(y)
D
0
Figure 1
1) Le point M de D d’abscisse x vient coïncider avec le point M’ de C. Exprimer la
longueur de l’arc IM’ parcouru, en fonction de x.
1
2
M(x)
-1
-2
N(y)
D
0
N'
-1
-2
1
2
M'
D
3
3
2) Dans cette question, on se rapporte à la figure 2, où C est le cercle trigonométrique et
D l’axe réel.
a) Quelle est la longueur de l’arc IK ?
Déterminer la longueur de l’arc IJ .
b) Placer les points M’1, M’2 et M’3 de C associés aux points M1(π), M2( 2
π ) et
M3(- π) de D. (Remarque : il n’est pas nécessaire de placer M1,M2 et M3 sur D.)
I
J
K
L
O
Figure 2
3) Dans cette question, on se rapporte à la figure 3.
Placer les points N’1,N’2, N’3 et N’4 de C associés aux points N1( 4
π ), N2( 2
13π ),
N3( 4
15π
−
) et N4( 8
π
−
) de D.
I
J
K
L
O
Figure 3
4) a) Donner les abscisses de 3 points de D qui coïncident avec N’1.
b) Plus généralement, soit N un point de D d’abscisse x qui vient coïncider avec un
point N’ de C. Déterminer en fonction de x, les abscisses de tous les aut