Dérivation : Résumé de cours et méthodes
1 Nombre dérivé - Fonction dérivée :
DÉFINITION
• Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
existe
et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f ′(a).
• Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f ′,
qui à tout a de I associe f ′(a), le nombre dérivé de f en a.
Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2.
Pour tout a , lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
= lim
h→0
(a+h)2−a2
h
= lim
h→0
a2 +2ah+h2−a2
h
= lim
h→0
2a+h = 2a. f est donc dérivable en a et
f ′(a) = 2a.
On dit que f est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est définie par f ′(x) = 2x.
2 Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction
Fonction dérivée
pour tout x de Exemples
f (x) = a
f ′(x) = 0
R
f (x) = 3⇒ f ′(x) = 0
f (x) = ax+b
f ′(x) = a
R
f (x) = x⇒ f ′(x) = 1
f (x) = 2x−4⇒ f ′(x) = 2
f (x) = xn (n entier> 2)
f ′(x) = nxn−1
R
f (x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x
f (x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2
f (x) =
1
x
f ′(x) =− 1
x2
R∗
f (x) =
1
xn
(n entier> 2)
f ′(x) =− n
xn+1
R∗
f (x) =
1
x2
⇒ f ′(x) =− 2
x3
f (x) =
1
x3
⇒ f ′(x) =− 3
x4
f (x) =
√
x
f ′(x) =
1
2
√
x
]0;+∞[
3 Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :
Avertissement : Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à
dire que la dérivée de x2 est égale à 2x (alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui à x associe x2 est la
1ES - Dérivation
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fonction qui à x associe 2x).
Il ne faut jamais oublier que l’on ne doit pas confondre une fonction f avec f (x) (l’image de x par f qui est un réel) et que la
dérivée f ′ est elle-même une fonction qui à tout x associe f ′(x) (le nombre dérivé de f en x, qui est un réel).
Toujours par souci de simplification, nous ne nous préciserons pas dans les exemples les intervalles où les fonctio