Les calculatrices sont interdites
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la conci-
sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il a été amené à prendre.
PARTIE I
Pour tout nombre réel s, on considère l’équation différentielle linéaire homogène du second
ordre (Es) suivante :
(Es)
(1− x2) y′′(x)− 2(s + 2) xy′(x)− 2(s + 1) y(x) = 0.
On note fs la solution de (Es) sur ]−1,+1[ qui vérifie les conditions initiales fs(0) = 0 et f ′s(0) = 1.
I.1. Soit gs la fonction définie sur ]− 1,+1[ par gs(x) = fs(x) + fs(−x).
I.1.1. Montrer que gs est solution de (Es) sur ]− 1,+1[.
I.1.2. Calculer gs(0) et g
′
s(0). En déduire que fs est impaire.
I.2. Déterminer en fonction de s l’unique valeur de α ∈ IR telle que la fonction x
7→ (1−x2)α soit
solution de (Es) sur ]− 1,+1[.
I.3. Soit us la fonction définie sur ]− 1,+1[ par us(x) = (1− x2)s+1fs(x).
I.3.1. Montrer que la dérivée u′s de us est solution sur ]− 1,+1[ de l’équation différentielle :
(E ′s)
(1− x2) y′(x) + 2sxy(x) = 0.
I.3.2. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ′s) sur ]− 1,+1[.
I.3.3. Calculer u′s(0) et us(0). En déduire que us(x) =
∫ x
0
(1− t2)s dt pour tout x ∈]− 1,+1[.
I.4. Soit y une fonction impaire, définie sur un intervalle ouvert I contenant 0, développable en
série entière sur I. On note y(x) =
+∞∑
n=0
cnx
2n+1 le développement en série entière de y sur I.
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I.4.1. Montrer que pour que y soit solution de (Es) sur I, il faut et il suffit que l’on ait pour
tout n ∈ IN :
cn+1 =
2s + 2n + 3
2n + 3
cn.
I.4.2. En déduire pour tout n ∈ IN∗ une expression de cn en fonction de n et c0.
I.4.3. Pour quelles valeurs de s ∈ IR l’équation (Es) admet-elle des solutions polynomiales
impaires non identiquement nulles ?
I.4.4. On suppose que s
6∈ {−n− 3
2
; n ∈ IN}, que y(x) =
+∞∑
n=0
cnx
2n+1 est solution de (Es