III – Fonctions sinus et cosinus – cercle trigonométrique
La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs mais hélas, elle se
limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusque là (appelés angles géométriques) ne
sont pas orientés, ce qui pose un problème pour tous les phénomènes de rotation.
Comment décrire, par exemple, le mouvement d’une planète qui tourne sur son orbite ?
C’est ce qui a conduit les physiciens et les mathématiciens à redéfinir et à élargir la notion d’angle puis de sinus et de
cosinus. C’est ce que nous allons voir dans ce paragraphe.
a) Une nouvelle unité d’angle : le radian.
Le cercle ci-contre (appelé cercle trigonométrique) a pour rayon 1.
Complétons le tableau :
Mesure de a en degrés
0
30
45
60
90
180 360
Longueur de l’arc AM
2 π
Nous voyons donc que l’arc AM permet de « mesurer » l’angle a.
Définition : La mesure d’un angle a en radian est la longueur de l’arc AM qu’il intercepte dans le cercle
trigonométrique.
b) Sinus et cosinus d’un angle quelconque.
Exprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de x :
• x M =
• y M =
Définition : Dans le cercle trigonométrique C muni du repère orthonormé (O, I, J), x étant
un réel quelconque, on appelle sin x et cos x les coordonnées du point M de C associé à x.
Propriétés : pour tout x réel,
• ….≤ cos x ≤ …. et ….≤ sin x ≤ ….
• (cos x)2 + (sin x)2 = 1
c) la fonction x → sin x, pour tout x de IR
d) la fonction x → cos x, pour tout x de IR
Les courbes d’équations y = sin x et y = cos x sont appelées sinusoïdes.
On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, de période 2π.,
car
cos (x + 2π) = cos x
et
sin (x + 2π) = sin x
x
– π – π
2
0 π
2
π
sin x
x
– π – π
2
0 π
2
π
cos x
-1
1
-1
1