Программа экзамена по дифференциальной геометрии и топологии
Лектор — С.М.Гусейн-Заде
V семестр, 2001 г.
1. Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема «об образе».
2. Подмногообразия областей евклидова пространства: задание уравнениями и параметризацией.
3. Гладкие многообразия, гладкие отображения, подмногообразия.
4. Касательные вектора (различные определения), дифференциал отображения.
5. Касательные пространства, пространство касательного расслоения.
6. Нормальная локальная форма отображения, дифференциал которого является мономорфизмом или эпи-
морфизмом.
7. Ковектора на многообразии, кокасательные пространства, тензоры на многообразии.
8. Операции с тензорами.
9. Разбиение единицы, теорема о продолжении.
10. Ориентированные многообразия, многообразия с краем, ориентация края.
11. Кососимметрические тензоры типа (0, k) (дифференциальные формы) и интегрирование.
12. Дифференциал формы, его свойства.
13. Формула Стокса.
14. Гомотопия, гомотопическая эквивалентность,
15. Когомологии де Рама, их функториальность.
16. Теорема о гомотопической инвариантности когомологий де Рама.
17. Риманова метрика на многообразии. Операции с тензорами на римановом многообразии (поднимание и
опускание индексов).
18. Форма объема на римановом многообразии.
19. Ковариантное дифференцирование векторного поля на подмногообразии евклидова пространства. Общее
понятие аффинной связности.
20. Коэффициенты связности. Преобразование коэффициентов связности при замене координат.
21. Аффинная связность на многообразии. Дифференцирование ковекторных и тензорных полей. Симметрич-
ная связность.
22. Аффинная связность, согласованная с римановой метрикой. Существование и единственность аффинной
связности, согласованной с метрикой.
23. Параллельный перенос векторов и тензоров вдоль кривых на многообразии. Геодезические. Уравнение
геодезических.
24. Экспоненциальное отображение. Единственность «коротких» геодезических.
25. Тензор кривизны. Его свойства.
26. Тензор кривизны поверхности и гауссова кривизна.
П