O
1
m
i
j
u
Chapitre n°…. : Equations de droite – Système linéaire
I. Equations de droite
Exemples : Dans un repère (O ;
→
i ,
→
j ), on place trois points A(1 ; 2), B(4 ; -2) et C(1 ; -2).
On se propose de déterminer les équations des droites (AB) et (AC).
Soit M(x ; y) un point du plan.
• Si M est un point de la droite (AB), alors les vecteurs
→
AM et
→
AB sont colinéaires
et
→
AM (x-1 ; y-2)
→
AB (4-1 ; -2-2) ;
→
AB (3 ;4)
→
AM et
→
AB sont colinéaires équivaut à -4(x – 1) – 3(y – 2) = 0
équivaut à -4x – 3y + 10 = 0
équivaut à y = -
4
3
x +
10
3
.
Une équation de la droite (AB) est alors y = -
4
3
x +
10
3
.
• Si M est un point de la droite (AC), alors
→
AM et
→
AC sont colinéaires
et
→
AM (x-1 ; y-2)
→
AC (1-1 ; -2-2) ;
→
AC (0 ; 4)
→
AM et
→
AC sont colinéaires équivaut à -4(x – 1) + 0 × (y – 2) = 0
équivaut à -4x + 4 = 0
équivaut à x = 1
Une équation de la droite (AC) est x = 1.
Théorème :
Dans un repère, toute droite d a une équation de la forme :
1. y = mx + p, si d est non parallèle à l’axe des ordonnées ;
2. x = c, si d est parallèle à l’axe des ordonnées.
Lorsqu’une droite d a pour équation y = mx + p , on dit que m est le coefficient directeur de d, et p l’ordonnée
à l’origine.
Remarque : Si A et B ont la même abscisse (xA = xB), alors la droite (AB) est parallèle à l’axe des ordonnées et
son équation est x = xA.
II. Parallélisme de droites
a) vecteur directeur d’une droite
Définition :
Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur non nul dont la direction est celle de d.
b) conséquences
- Si A et B sont deux points distincts de d, alors
→
AB est un vecteur directeur de d.
- Si
→
u est un vecteur directeur de la droite d, alors k
→
u , avec k réel non nul, est aussi un ve