Probabilités :
Probabilités Conditionnelles
1. Définition et tableau :
a .
● Si P B ≠0 , la probabilité conditionnelle de A sachant B , c'est-à-dire la probabilité de
l'événement A sachant que l'événement B est réalisé est le nombre PB A tel que :
PB A =
P A∩B
P B
.
● Par symétrie, on peut aussi écrire, si P A≠0 , la probabilité conditionnelle de B sachant
A :
P A B =
P B∩A
P A
.
PB A et P A B sont des nombres compris entre 0 et 1.
b. Représentation par un tableau croisé
Une probabilité conditionnelle se calcule en ligne ou en colonne.
A
A
Total
B
PB A
PB A
1
B
P B A
P B A
1
A
A
B
P A B
P A B
B
Total
P A B
1
P A B
1
2. Propriétés
a. Probabilité de l'intersection des événements A et B
Des deux égalités précédentes, on déduit :
● P A∩B =P B ×P B A , si P B ≠0 .
● P A∩B =P A×P A B , si P A≠0 .
● Représentation par un tableau croisé :
A
A
Total
B
P A∩B P A∩B P B
B
P A∩B P A∩B P B
Total
P A
P A
1
b. Probabilité de l'événement contraire
● P B A P B A =1 ou encore P B A =1−PB A
● De même, P A B P A B =1 , ou encore P A B =1−PA B
Exercices : Probabilités Conditionnelles
Exercice 1 : à la maison
Le tableau suivant donne la répartition d'une population dans une usine.
Cadres
Ouvriers
Totaux
Hommes
95
210
305
Femmes
15
100
115
Totaux
110
310
420
On choisit un employé de cette usine au hasard et on note H et C les événements « choisir un
homme » et « choisir un cadre ».
1. Déterminer P H et P C∩H .
2. En déduire la probabilité de C sachant que H .
3. Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit une femme sachant que c'est un cadre.
Exercice 2 : TP3 p264
Exercice 3 :
100 élèves de Terminales STG se répartissent de la façon suivante.
Filles
Garçons
Total
Pratiquent un sport
30
50
80
Ne pratiquent aucun
sport
12
8
20
Total
42
58
100
On rencontre au hasard un des 100 élèves.
Tous les élèves ont la même probabilité d'être rencontrés.
On con