Exercice 1 :
ABC est un triangle quelconque. F est le milieu de [ BC ] . Les points E et K sont définies par :
AE =
3
4
AB et
CK = −
1
2
CA . Montrer que les points E ,F et K sont alignés.
Exercice 2 :
ABC est un triangle.
1. Construire les points E et F tels que :
AE =
1
2
BA et
AF =
4
3
BC -
1
2
AC .
2. Montrer que EF et BC sont parallèles.
Exercice 3 :
ABC est un triangle quelconque.
1. Construire les points P et Q définis par :
AP =
5
2
AC +
3
2
CB et
CQ = −2
AC1
2
AB .
2. Montrer que B est le milieu du segment [QP ] .
Exercice 4 :
ABC est un triangle de centre de gravité G .
1. Construire les points I , J et K définis par les égalités : GI =GB +
GC , GJ =
GC +GA
et
GK =GA +GB .
2. Montrer que G est le centre de gravité du triangle IJK .
Exercice 5 : Propriétés du centre de gravité
ABC est un triangle quelconque, de centre de gravité G . A ' , B ' , C ' sont les milieux respectifs
des côtés [ BC ] , [CA ] , et [ AB ] .
1. a. Justifier rapidement l'égalité
AG =
2
3
AA' .
En déduire la valeur du nombre k tel que GA=k
GA' .
b. Montrer alors l'égalité GA +GB +
GC = 0 .
2. a. Soit M un point quelconque du plan. Montrer que l'on a MA +MB +
MC =3
MG .
b. Démontrer que, si le point M vérifie : MA +MB +
MC = 0 alors M est le centre de
gravité du triangle ABC .
Exercice 6 : Plusieurs méthodes
ABCD est un parallélogramme ; I est le milieu de [ AB ] et E est le point tel que
DE =
2
3
DI .
Il s'agit de démontrer que les points A , E et C sont alignés par différentes méthodes.
Méthode 1 : utilisation d'une configuration
1. Que représente E pour le triangle ABD ?
2. O désigne le centre du parallélogramme ABCD . Prouvez que A , E et O sont alignés.
3. Déduisez-en l'alignement de A , E et C .
Méthode 2 : utilisation du calcul vectoriel
1. Prouvez que
AE =
1
3
AB +
1
3
AD .
2. Déduisez-en l'alignement de A , E et C .
Méthode 3 : choix d'un repère : En choisissant un repère, dém