1
Ecuatii cu derivate partiale
MULTIPLE CHOICE
1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
2
2
2
2
0
u
u
t
x
∂
∂
−
=
∂
∂
cu condiŃiile iniŃiale:
2
0
0
,
0
t
t
u
u
x
t
=
=
∂
=
=
∂
(
)
2
2
,
u x t
t
x
= +
2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2
2
2
2
0
0
4
0
0,
t
t
u
u
t
x
u
u
x
t
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
=
=
∂
(
)
,
u x t
xt
=
3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul
2
t
a
π
=
dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:
2
2
2
2
2
u
u
a
t
x
∂
∂
−
∂
∂
şi de condiŃiile iniŃiale
0
0
sin ,
1
t
t
u
u
x
t
=
=
∂
=
=
∂
.
(
)
,
2
u x t
a
π
=
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2
2
2
2
0
0
0
,
t
t
u
u
t
x
u
u
x
x
t
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
=
= −
∂
(
)
(
)
,
1
u x t
x
t
=
−
5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
2
2
2
2
2
0
0
0
0,
cos
t
t
u
u
a
t
x
u
u
x
t
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
=
=
∂
(
) 1
,
cos sin
u x t
x
at
a
=
2
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π
=
dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
2
2
2
2
0
0
0
sin ,
cos
t
t
u
u
t
x
u
u
x
x
t
=
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
=
=
∂
sin
u
x
= −
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
2
2
2
2
2
2
3
2
6
0.
u
u
u
u
u
x
x y
y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
+
=
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
2
1
0 ,
,
3
2
u
u
x y
x y
ξ
η
ξ η
ξ
∂
∂
+
=
= +
=
−
∂ ∂
∂
8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2
2
2
2
2
4
5
2
0
u
u
u
u
u
x
x y
y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
+
=
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
0 ,
2
,
u
u
u
x y
x
ξ
η
ξ
η
η
∂
∂
∂
+
+
=
=
−
=
∂
∂
∂
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
2
2
2
2
2
2
0.
u
u
u
u
u
cu
x
x y
y
x
y
α
β
∂
∂
∂
∂
∂
−
+
+
+
+
=
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
(
)
2
2
0 ,
,
u
u
u
cu
x y
y
α β
β
ξ
η
η
ξ
η
∂
∂
∂
+
+
+
+
=
= +
=
∂
∂
∂
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
(
)
2
2
2
2
2
2
2cos
3 sin
0
u
u
u
u
x
x
y
x
x y
y
y
∂
∂
∂
∂
−
− +
−
=
∂
∂ ∂
∂
∂
0 ,
2
sin
,
2 - sin -
32
u
u
u
x
x y
x
x y
η ξ
ξ
η
ξ η
ξ
η
∂
−