UNIVERSITÉ CADI AYYAD
Année : 2006/2007
Ecole Nationale Des Sciences Appliquées
Session du : 25 Juillet 2007
Marrakech
Responsable : I. OUASSOU
Concours d’entrée en 1ére année du cycle préparatoire
Epreuve de mathématiques (durée 1h30min)
Remarques importantes
1) Les documentations, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
2) Parmis les réponses proposées elle n’y a qu’une qui est juste.
3) Cocher la case qui correspond à la réponse correcte sur la fiche de réponses.
4) Règles de notation :
Réponse juste = 1 point ; Réponse fausse = -1 point ; Sans réponse = 0 point.
Noter Bien Plus qu’une case chochée = -1 point.
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Exercice 1
1.
lim
n→+∞
2n2 − (−1)nn + 1
n + 3
n’existe pas.
2.
lim
n→+∞
ln(n + 1)− ln(n + 2) n’existe pas.
3.
lim
n→+∞
sin(n) n’existe pas.
4.
lim
n→+∞
(−0, 7)n + (0, 7)n n’existe pas.
Exercice 2
On considère une suite de réels (un).
1. Une suite (un) croissante est-elle nécessairement divergente vers +∞?
2. Une suite (un) divergente vers +∞ est-elle nécessairement croissante?
3. Une suite (un) bornée est-elle nécessairement convergente?
4. Une suite (un) croissante et non majorée diverge-t-elle nécessairement vers +∞?
1
Exercice 3
Soient z1 et z2 les deux nombres complexes solutions de l’équation z
2 − 4z + 6 = 0.
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal (O; ~u,~v), on considère les points M1
et M2 d’affixes respectives z1 et z2 puis I le milieu du segment [M1,M2] .
1. Le nombre z1 + z2 est imaginaire pur.
2. L’affixe du point I est imaginaire pure.
3. Les droites (OI) et (M1M2) sont perpendiculaires.
4. Le triangle OM1M2 n’est pas équilatéral.
Exercice 4
Soit P le polynôme défini par P (X) = 2X3 + X2 − 5X + 2.
1. Les réels −2, 1
2
, -1 sont solutions de l’équation P (x) = 0.
2. L’ensemble S des solutions réelles de l’équation 2e3x + e2x − 5ex + 2 = 0 est S = {ln 2, 0}.
3. L’ensemble S des solutions réelles de l’équation 2(ln x)3 + (lnx)2 − 5 ln x + 2 = 0 est
S =
{
e,
1
e2
,
√
e
}
.
4. L’ensemble S d