EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1 Généralités
Définition 1 Une équation différentielle est une équation de la forme
f
(
x, y, y′, . . . , y(i), . . . y(n)
)
= 0
(E)
d’inconnue y, où y est une fonction de la variable x.
y(i) représente la dérivée d’ordre i de y par rapport à x.
En notation différentielle, on écrit y(i) = d
iy
dxi
.
Définition 2 Dans l’équation (E) ci-dessus, n s’appelle l’ordre de l’équation.
f (x, y, y′) est une équation différentielle du premier ordre .
f (x, y, y′, y′′) est une équation différentielle du second ordre.
Définition 3 Résoudre ou intégrer l’équation différentielle (E) consiste à trouver toutes les fonctions
y qui vérifient l’équation (E) sur un intervalle I.
Définition 4 Une solution particulière de l’équation différentielle (E) est une fonction qui vérifie
(E) .
2 Equations différentielles du premier ordre à variables sépa-
rables
Définition 5 Une équation différentielle du premier ordre est dite à variables séparables si elle
peut s’écrire sous la forme :
f (x) dx = g (y) dy
Pour la résoudre, on intégre les deux membres séparément, sans oublier les constantes d’intégra-
tion. Résolvons par exemple l’équation différentielle :
y − y
′
2x
= 1 sur R∗+
On écrit cette équation sous forme différentielle, puis on sépare les variables :
y − dy
2x dx
= 1⇔ y − 1 = dy
2x dx
⇔ dy
y − 1
= 2x dx
Par intégration de cette relation, il vient :
∫
dy
y − 1
=
∫
2x dx⇔ ln
(
y − 1
k
)
= x2 ⇔ y − 1 = kex2
en choisissant la constante k réelle telle que k (y − 1) > 0. On en déduit que l’ensemble des solutions
est constitué des fonctions x
7→ 1 + kex2 .
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3 Equations différentielles linéaires du premier ordre
3.1 Définition
Définition 6 Il s’agit d’équations qui s’écrivent après réduction, sous la forme standard :
a(t)y′ + b(t)y = c(t)
où a, b et c sont des fonctions de la variable réelle x, continues sur un intervalle I de R sur lequel la
fonction a ne s’annule pas, et t
7→ y une fonction inconnue à déterminer, dérivable I.
Définition 7 On appelle équation différentielle homogène associée l’équation
a(t)y′ + b(