CHAPITRE n° …. – Vecteurs et Repérage
I – Généralité sur les vecteurs
a) Définition
Définition : le vecteur
→
AB est défini par :
-
sa direction : la droite (AB)
-
son sens : de A vers B
-
sa longueur : AB
Vecteur particulier :
le vecteur nul
→
0 ; il a pour représentant
→
AA ,
→
BB ,
→
CC …
b) Egalité de deux vecteurs
Définition : deux vecteurs
→
AB et CD sont égaux si, et seulement si ils ont
- même direction
- même sens
- même longueur
Propriété : les deux vecteurs
→
AB et CD sont égaux si, et seulement si le
quadrilatère ABDC est un parallélogramme
c) Somme de deux vecteurs
Soient
→
u et
→
v deux vecteurs. On veut construire leur somme
→
u+
→
v .
Méthode n°1 : « la mise bout à bout »
A partir d’un point A quelconque, on place le point B
tel que
→
AB =
→
u puis le point C tel que
→
BC=
→
v .
Le vecteur
→
ACainsi construit est un représentant du
vecteur
→
u+
→
v .
Relation de Chasles : Soient A, B et C trois points du
plan. On a
→
AB +
→
BC=
→
AC
Propriété :
→
BA = -
→
AB
(le vecteur opposé à
→
AB , noté
→
BA , a même direction et même longueur que
→
AB , mais il est de sens contraire)
Démonstration : à l’aide de la relation de Chasles, on a :
→
AB +
→
BA =
→
AA =
→
0
donc
→
BA = -
→
AB
Méthode n°2 : « la règle du parallélogramme »
Lorsque
→
u=
→
AB et
→
v =
→
AC , le vecteur
→
u+
→
v est
égal au vecteur
→
AD où D est le point tel que
ABDC soit un parallélogramme.
II – Multiplication d’un vecteur par un réel
a) Définition
Définition : soit un vecteur
→
u et deux points A et B tels que
→
AB =
→
u
On appelle produit du vecteur
→
u par le nombre réel k, le vecteur noté k
→
u tel que :
• si k>0 et
→
u≠ 0 , le vecteur k
→
u a même direction, même sens que
→
u et a pour
longueur k
→
AB
• si k<0 et
→
u≠ 0 , le vecteur k
→
u a même direction que
→
u , est de sens contraire à
→
uet a pour longueur