31. Modul Matematika - INTEGRAL TAK WAJAR.pdf

Loading ...
Global Do...
News & Politics
130
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung 
 
 
 
INTEGRAL TAK WAJAR 
 
 
  
Bentuk integral 
(
)
f x
a
b
dx

  disebut Integral Tak Wajar ,  jika 
a.  Paling sedikit satu batas integrasinya tak berhingga,  atau 
b.  Integran  f(x) mempunyai titik tak kontinu pada [
]
a b
,
 
 
 
 
Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga  
 
A. 
f x dx
f x dx
b
a
a
b
( )
lim
( )

 


=
 
 
B. 
f x dx
f x dx
a
b
a
b
( )
lim
( )




=
 
C. 
f x dx
f x dx
f x dx
a
a
c
b
c
b
( )
lim
( )
lim
( )







=
+
 
 
 
Bila limit pada ruas kanan ada dan bernilai hingga, maka integralnya disebut 
Konvergen  ke nilai limit tersebut.  Sedang  bila limit tidak ada  atau nilainya menuju 
tak hingga maka disebut Divergen 
 
 
Contoh  
dx
x
dx
x
b
b
2
0
2
0
9
9
+
=
+
 +
+


lim
 =   
lim
tan
b
x b
+
 



1
3 0
 
 
  =   
lim
tan
tan
b
b
+





 









 =
1
1
3
0
3
6

     ( konvergen). 
 
 
Integran mempunyai titik diskontinu pada [
]
a b
,
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung 
 
 
 
a.  Jika f(x) tidak kontinu di x = a tetapi kontinu pada (
]
a b
,
 dan lim
x a +
f(x)  
=    maka   
f x dx
a
b
( )

  =  
lim
( )
t
a
f x
dx
t
b
 +

  
 
b.  Jika f(x) tidak kontinu di x = b tetapi kontinu pada [
)
a b
,
 dan lim
x b 
f(x)  =    
  maka   
f x dx
a
b
( )

   
=  
lim
( )
t
b
f x
dx
a
t
 

 
 
c.  Jika f(x) kontinu pada [
]
a b
,
 kecuali  di  x = c,   a < c < b  dan  
 
            lim
x
c
f x
( ) =  +    maka : 
f x dx
a
b
( )

 = 
lim
( )
t
c
f x
dx
a
t
 

+
lim
( )
s
c
f x
dx
s
b
 +

 
 
Contoh  
(
)
dx
x

1
2
0
2
 ( integran tak kontinu di x = 1) 
 
(
)
(
)
(
)
dx
x
l i m
dx
x
li m
dx
x
t
t
t
t

=

+




 
 +
1
1
1
2
0
2
1
2
0
1
2
2
 
      
 
Gabungan keduanya 
 
 
Misal f ( x ) diskontinu  di x = c dengan c  [ a ,  ). Maka integral tak wajar 
dari   f ( x ) atas interval [ a ,  ) dituliskan berikut : 
 
 
( )
(
)
(
)
f x dx
f x dx
f x dx
a
a
c
c
+
+



=
+
 
 
 
 
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung 
 
 
 
Contoh  
dx
x x2
1
1

+

(Batas atas tak hingga dan f(x) tak kontinu di x = 1) 
 
 
dx
x x
l i m
dx
x x
l i m
dx
x x
t
t
s
s
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1

=

+

+
 +
 +



   
 
 
Soal Latihan  
 
( Nomor 1 sd 16 ) Tentukan konvergensi integral tak wajar berikut : 
1.  
x dx
x
9
2
3
+


 
2.  
x e
dx
x



2
0
 
3.  
ln x
x
dx
1


 
4.  
(
)
dx
x
x
ln
2
2


 
5.  
x
x dx
cosh



 
6.  
(
)
x dx
x
1
2 2
+



 
7.  
e
x dx
x



cos
0
 
 
 
 
 
8.  
dx
x 

3
3
7
  
9.  x
x dx
ln
0
1

 
10. 
ln x
x
dx
0
1

 
11. 
x dx
x
9
2
0
3


 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Tenologi Telkom, Bandung 
 
 
 
12. 
x dx
x
9
2
0
3


 
13. 
3
2
2
0
2
x
x
dx
+ 

 
14. 
csc x dx
0
2


 
 
 
 
15. 
4
1
2
0
x
dx
+


 
16. 
dx
x
x2
0
1
+


 
 
 
( Nomor 17 sd 19 ) Hitung luas daerah D yang diberikan berikut. 
17. Antara kurva 
(
)
y
x
=
 
8 2 3
/
  dan y = 0 untuk 0  x < 8. 
18. Antara  kurva y
x
y
x
x
x
=
=
+
< 
1
1
0
1
3
dan
untuk
 
19. Di kuadran pertama,  di bawah kurva y
x
= 2 3
/
 dan di kiri x = 1.