Goethe University, Frankfurt/Main
Thesis
Construction Of the Implied
Volatility Smile
by
Alexey Weizmann
May, 2007
Submitted to the Department of Mathematics
JProf. Dr. Christoph Kühn, Supervisor
c©Weizmann 2007
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Contents
1 Introduction
1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Eurex
3
2.1 Derivatives on DJ EURO STOXX 50 at Eurex . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Market Making at Eurex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3 Preliminaries
7
3.1 Mathematical Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2 Economic Terms
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3 The Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3.1 Model Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3.2 Dynamics of the Underlying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3.3 The Black-Scholes Differential Equation
. . . . . . . . . . . . . .
14
3.3.4
Implied Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3.5 The Greeks
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4 Vanna-Volga Method
21
4.1 Option Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2
Implied Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3 Vanna-Volga Result for EURO STOXX 50 . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5 Investigating ∆-neutrality
26
5.1 Portfolio Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.2 The Pricing Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.3 Derivation of the Implied Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.4 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Compari