20 Suites et fonctions à valeurs complexes
20.1 Suites complexes
Une suite complexe (zn) est bornée si ∃ M∈, ∀n∈, |zn| ≤ M.
Une suite complexe (zn) converge vers l si la suite |zn – l| converge vers 0.
Toute suite convergente est bornée.
La somme et le produit de deux suites convergentes est convergente.
De plus lim(un + vn) = lim(un) + lim(vn) et lim(un vn) = lim(un) x lim(vn)
Le quotient de deux suites convergentes u et v, si v a une limite non nulle, est définie à partir
d’un certain rang, et converge vers le quotient des deux limites.
Les notions de suite dominée, suite négligeable, suites équivalentes, sont étendues aux suites
complexes.
L’ensemble des suites complexes, l’ensemble des suites complexes bornées, l’ensemble des
suites convergentes sont des algèbres sur (espaces vectoriels et anneaux).
La suite complexe (zn) converge vers l si et seulement si les suites réelles (Re(zn)) et (Im(zn))
convergent respectivement vers Re(l) et Im(l).
20.2 Fonctions d’une variable réelle à valeurs complexes
20.2.1 Définitions
On définit les fonctions de dans , et on peut étendre à ces fonctions les propriétés qui ne
sont pas liées à la relation d’ordre. Une telle fonction correspond à une courbe paramétrée du
plan.
On définit la partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction complexe : f = Ref + iImf ;
f = Ref – iImf.
On définit le module de f :
( )
( )
[
]
( )
[
]2
2
Im
Re
t
f
t
f
t
f
+
=
;
f
f
f
=
une fonction f est bornée sur I si et seulement si la fonction |f| est bornée sur I, ce qui équivaut
à partie réelle et partie imaginaire de f bornées sur I.
20.2.2 Limites et continuité
Une fonction f de dans définie sur une partie D de est continue en t0∈D si :
∀ε > 0, ∃ α > 0, ∀t∈D, |t – t0| < α ⇒|f(t) – f(t0)| < ε.
On dit que
l
f
t
=
0
lim
si : ∀ε > 0, ∃ α > 0, ∀t∈D, |t – t0| < α ⇒|f(t) –l| < ε.
on retrouve tous les résultats algébriques (somme, produit, quotient), sur les limites et les
fonctions continues.
On peut définir également les notions de limite et de continuité à droite, à gauche, ai