Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL RANGKAP DUA
Misal diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang,
(
)
{
}
D
x y a
x
b c
y
d
=
,
,
dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk
menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di
bawah oleh D dilakukan sebagai berikut.
Bagi daerah D menjadi
sub
persegi panjang yang berukuran xi dan
yi. Ambil sebuah titik pada sub persegi
panjang, misal
titik potong diagonal
( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun
ruang yang dibatasi
di
atas
oleh
z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub
persegi panjang. Bangun ruang ( partisi
) tersebut akan mendekati bangun balok
dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita
dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah
hasilkali luas alas ( Ai = xi yi ) dan
tinggi
( f ( xi,yi ) ), yakni
Vi = f ( xi,yi ) Ai . Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam
bentuk :
(
)
V
f x y
A
i
i
n
i
i
i
i
n
=
=
=
1
1
,
. Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan
volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila
diambil sebanyak tak hingga partisi atau n , yakni :
(
)
V
f x y
A
n
i
n
i
i
i
=
=
lim
,
1
Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut:
(
)
(
)
f x y dA
f x y
A
D
n
i
n
i
i
i
,
lim
,
=
=1
Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut :
1.
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
a f x y
bg x y dA a
f x y dA b
g x y dA
D
D
D
,
,
,
,
+
=
+
2. Bila D = B C dan B C = maka
(
)
(
)
(
)
f x y dA
f x y dA
f x y dA
D
B
C
,
,
,
=
+
Y
d
yi
c
a xi
b X
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Iterasi Integral
Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah