Chapitre n° : la géométrie dans l’espace (1/2)
1. Positions relatives dans l’espace
(a) Positions relatives de deux droites
Deux droites
1d et
2d
de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.
• Si elles sont coplanaires, elles sont soit
o sécantes :
{ }A
d
d
=
∩
2
1
o parallèles :
=
∩
2
1
d
d
∅
1
2
1
d
d
d
=
∩
• Si elles sont non coplanaires : aucun point ne les contient toutes les deux.
(b) Positions relatives de deux plans
Deux plans 1P et
2P de l’espace sont soit sécants, soit parallèles.
• S’ils sont sécants :
d
P
P
=
∩
2
1
• S’ils sont parallèles, ils sont soit :
o strictement parallèles :
=
∩
2
1 P
P
∅
o confondus
1
2
1
P
P
P
=
∩
(c) Positions relatives d’une droite et d’un plan
Une droite D et un plan P sont soit sécants, soit parallèles.
• S’ils sont sécants :
{ }A
P
D
=
∩
• S’ils sont parallèles :
o soit D est incluse dans P
D
P
D
=
∩
o soit D et P n’ont pas de point commun
=
∩ P
D
∅
2. Règles d’incidence
(a) Propriété fondamentale
Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent.
(b) Propriétés d’appartenance
Prop : Par 2 points A et B distincts, il passe une seule droite (AB).
Prop : Par 3 points A, B et C non alignés, il passe un seul plan, noté (ABC).
Prop : Si A et B sont deux points d’un plan P, tous les points de la droite (AB) appartiennent
au plan P.
(c) Parallélisme dans l’espace
Définitions :
• Deux droites sont parallèles dans l’espace si elles sont coplanaires et parlallèles dans
leur plan.
• Deux plans sont parallèles dans l’espace s’ils sont sans point commun ou confondus.
• Une droite est parallèle à un plan s’ils n’ont aucun point commun.
Propriétés (parallèlisme entre droites) :
Si P et P’ sont deux plans parallèles,
alors tout plan Q qui coupe P coupe
aussi P’, et les droites d’intersection
sont parallèles.
Propriété (parallélisme entre plans) :
si deux droites sécantes d’