Suites Géométriques
I. Définition
Définition : Une suite un est une suite géométrique si et seulement s'il existe un nombre réel q ,
tel que :
pour tout entier naturel n , un1=un×q
Le nombre q est appelé raison de la suite géométrique.
Précisément, chaque terme d'une suite géométrique est obtenu à partir du précédent en le multipliant
toujours par un même nombre positif non nul qu'on appelle la raison, souvent noté q :
u0 ---> u1 ---> u2 ---> u3 ............. un−1 ----> un ---> un1 .............
Le schéma permet de déduire cette caractérisation sur les suites géométriques :
Une suite un est la suite géométrique de premier terme u0 et de raison q si et seulement si, pour
tout entier n , on a un=u0×qn .
Remarque : On se limite aux cas où le premier terme et la raison q sont des réels positifs.
Exemple : Soit un la suite géométrique de raison q=1,25 et de premier terme u0=10 . On en
déduit, pour tout entier naturel n :
{u0=.........
un1=..........., pour tout n de ℕ ce qui équivaut à un= .................................... .
Remarques :
● Si la suite commence à u1 , on a : pour tout entier n , un=qn−1×u1 .
● Plus généralement, si la suite commence à u p , la deuxième définition devient : pour tout
entier n , on a un=qn−p×u p .
Exemple : Si un n≥2 est la suite géométrique de raison q=3 et de premier terme 25, alors :
pour tout entier n2 , {u2=.........
un1=........... ⇔ un= ..................................
II. Propriété caractéristique
un−1 , un , un1 sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si
un 2=un−1×un1 .
III. Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique