CHAPITRE N° – Les fonctions de références
I – Fonction carré
a) Définition.
La fonction carré est la fonction f définie sur IR par f(x) = x2
b) Sens de variation.
Propriété :
- La fonction carré est décroissante
sur l’intervalle ]–∞ ; 0]
- La fonction carré est croissante
sur l’intervalle [0 ; +∞[
Démonstration :
- Soient deux réels x1 et x2 négatifs tels que
x1 < x2 < 0
x1
2 > x2
2 car les carrés de deux nombres négatifs sont rangés dans le sens contraire.
Donc f(x1) > f(x2)
Donc f est décroissante sur ]–∞ ; 0]
- Soient deux réels x1 et x2 positifs tels que
0 < x1 < x2
x1
2 < x2
2 car les carrés de deux nombres positifs sont rangés dans le même sens.
Donc f(x1) < f(x2)
Donc f est croissante sur [0 ; +∞[
Remarque : Un carré est toujours positif
donc pour tout x réel, x2 …. 0, donc f(x) …. 0 pour tout x réel.
Or f(….) = 0, donc f admet un minimum en x= …... Ce minimum vaut …...
c) Tableau de variation et courbe représentative
La représentation graphique de la fonction carré est une courbe P appelée parabole.
La courbe P est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
II – Fonction inverse
a) Définition.
La fonction carré est la fonction f définie sur ]–∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[ par f(x) = 1
x
Remarque : Aucun nombre réel n’est divisible par ……, donc la fonction inverse n’est pas définie en …….
b) Sens de variation.
Propriété :
- La fonction inverse est décroissante
sur l’intervalle ]–∞ ; 0[
- La fonction inverse est décroissante
sur l’intervalle ]0 ; +∞[
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1
2
3
4
5
Démonstration :
- Soient deux réels x1 et x2 strictement négatifs tels que
x1 < x2 < 0
1
x1
> 1
x2
car les inverses de deux nombres négatifs sont rangés dans le sens contraire.
Donc f(x1) > f(x2)
Donc f est décroissante sur ]–∞ ; 0[
- Soient deux réels x1 et x2 strictement positifs tels que
0 < x1 < x2
1
x1
> 1
x2
car les