51. Modul Matematika - INTEGRAL PERMUKAAN.pdf

About Global Documents

Global Documents provides you with documents from around the globe on a variety of topics for your enjoyment.
Global Documents utilizes edocr for all its document needs due to edocr's wonderful content features. Thousands of professionals and businesses around the globe publish marketing, sales, operations, customer service and financial documents making it easier for prospects and customers to find content.
yang PERMUKAAN S dari x y z yang menembus PERMUKAAN yang terletak di Teknologi Telkom Bandung
About Global Documents

Global Documents provides you with documents from around the globe on a variety of topics for your enjoyment.
yang PERMUKAAN S dari x y z yang menembus PERMUKAAN yang terletak di Teknologi Telkom Bandung
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
INTEGRAL PERMUKAAN 
 
 
Misal S suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan D 
merupakan proyeksi S pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( 
x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k  dan vektor n merupakan vektor normal dari S. Maka 
integral dari lapangan vektor F atas permukaan S dinyatakan dengan : 
 
F n
F n
•
=
•
∫∫
∫∫
dA
S
D
dA  
Untuk S permukaan tertutup, dinotasikan dengan : 
F n
•
∫∫
dA
S
.  Bentuk integral tersebut 
disebut Integral Permukaan. 
 
Vektor posisi ( posisi suatu titik, misal ( x,y,z ) yang terletak pada permukaan S 
yang dinyatakan sebagai besaran vektor ) dari S, dinyatakan dengan : 
 
r  ( x,y ) = x i + y j + z k = x i + y j +  f ( x,y ) k 
Normal n dari permukaan S diberikan,  
n
r
r
i
j
k
i
j k
=
×
=
= −
−
+
∂
∂
∂
∂
x
y
f
f
f
f
x
y
x
y
1 0
0 1
   
yang mempunyai arah ke atas, sedangkan normal yang mempunyai arah ke bawah 
diberikan,  
n
r
r
i
j
k
i
j k
=
×
=
=
+
−
∂
∂
∂
∂
y
x
f
f
x
y
0 1 f
1 0 f
y
x
 
Oleh karena itu, integral permukaan dengan vektor normal n mempunyai arah ke atas 
dapat dituliskan : 
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
F n
i
j
k
i
j k
•
=
+
+
• −
−
+
=
−
−
+
∫∫
∫∫
∫∫
dA
S
x
y
D
x
y
D
f x y z
g x y z
h x y z
f
f
dA
f f
g f
h dA
,
,
,
,
,
,
 
Bentuk dA = dx dy atau dA = dy dx. 
 
 
Contoh 8 
Hitung F n
•
∫∫
dA
S
 bila F( x,y,z ) = 18z  i - 12 j + 3y  k  dan S merupakan bagian dari 
bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak di oktan pertama. 
 
Jawab : 
Dari 2x + 3y + 6z = 12 didapatkan z = f ( x,y ) = 2 - 1/3 x - ½ y dan vektor posisi dari 
sembarang titik pada permukaan S, r ( x,y ) = x i + y j + z k   = x i + y j + ( 2 - 1/3 x - ½ 
y ) k. Normal bidang, n
r
r
i
j k
=
×
=
+
+
∂
∂
∂
∂
x
y
1
2
1
3
. 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
Proyeksi dari S pada bidang XOY, 
(
)
D
x y
x
y
x
=
≤ ≤
≤ ≤
−






,
,
0
6 0
12 2
3
 atau 
(
)
D
x y
x
y
y
=
≤ ≤
−
≤ ≤






,
,
0
12 3
2
0
4  
Jadi  
(
)
(
)
(
)
F n
•
=
−
−



 − −
−



 +




=
−
−
−



 −



 − −
−



 +




=
−
=
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
−
−
dA
S
x
x
x
z
y dy dx
x
y
y dy dx
x dy dx
0
6
0
12 2 3
0
6
0
12 2 3
0
6
0
12 2 3
18
1
3
12
1
2
3
18 2
1
3
1
2
1
3
12
1
2
3
6 2
24
(
)
(
)
(
)
 
 
 
Seringkali dijumpai bentuk permukaan S bermuka dua ( mempunyai dua muka / 
sisi), secara fisis kita dapat menghitung besarnya garis gaya ( fluks ) dari gaya / lapangan 
vektor     F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k yang menembus permukaan S 
menggunakan integral permukaan. 
 
Misal S merupakan permukaan yang mempunyai dua sisi yang dinyatakan dengan       
z = f ( x,y ). Maka besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j 
+      h ( x,y,z ) k menembus permukaan S dinyatakan oleh : 
 
(
)
fluks
f f
g f
h dA
S
x
y
D
F
F n
=
•
=
−
−
+
∫∫
∫∫
dA
 
 
Contoh 9 
Hitung besar garis gaya ( fluks ) dari F ( x,y,z ) = -y i + x j yang menembus permukaan S 
yang merupakan bagian dari bidang z = 8x - 4y - 5 yang terletak di atas segitiga dengan 
titik sudut   ( 0,0,0 ), ( 0,1,0 ) dan ( 1,0,0 ). 
 
Jawab: 
Proyeksi S pada bidang XOY, 
(
)
{
}
D
x y
x
y
x
=
≤ ≤
≤ ≤ − +
,
,
0
1 0
1 .  
(
)
(
)( )
(
)
(
)
fluks
f f
g f
g dA
y
x
dydx
S
x
y
D
x
F
F n
=
•
=
−
−
+
=
− −
− −
=
∫∫
∫∫
∫
∫
− +
dA
0
1
0
1
8
4
2  
 
 
Satu  cara dikenalkan untuk menentukan besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F 
yang menembus permukaan S. Bila permukaan S bermuka dua yang tertutup dan 
menutupi volume V maka besar fluks dari F dicari menggunakan teorema divergensi. 
 
 
Teorema Divergensi 
  
 
Misal S merupakan permukaan padat yang menutupi volume V. Maka integral 
permukaan dari lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k atas 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
permukaan S atau besarnya fluks dari F yang menembus permukaan S dapat diselesaikan 
menggunakan integral rangkap tiga, yaitu : 
 
F n
F
•
=
∫∫
∫∫∫
dA
dV
S
S
div
 
Vektor normal n diambil yang mengarah keluar. Teorema di atas lebih dikenal dengan 
Teorema Divergensi Gauss ( Teorema Gauss ). 
 
 
Contoh 9 
Hitung F n
•
∫∫
dA
S
 bila 
a.  F( x,y,z ) = ( 2x - z) i + x2 y j - x z2  k  dan S merupakan daerah yang dibatasi oleh x = 
0,   x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 dan z = 1 
 
Jawab : 
div
f
g
h
x
xz
x
y
z
F =
+
+
= +
−
2
2
2
, 
(
)
{
}
S
x y z
x
y
z
=
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
,
,
,
,
0
1 0
1 0
1  
(
)
F n
F
•
=
=
+
−
=
∫∫
∫∫∫
∫ ∫ ∫
dA
dV
S
S
div
x
xz dx dy dz
0
1
0
1
2
0
1
2
2
11
6
 
Contoh  10 
Hitung besar fluks dari gaya F( x,y,z ) = 4x  i - 2 y2 j + z2 k  yang menembus permukaan  
S yang dibatasi oleh  x2 + y2 = 4, z = 0 dan z = 3. 
 
Jawab : 
div
f
g
h
y
z
x
y
z
F =
+
+
= −
+
4 4
2 , 
(
)
{
}
S
x y z
x
x
y
x
z
=
− ≤ ≤
−
−
≤ ≤
−
≤ ≤
,
,
,
,
2
2
4
4
0
3
2
2
 
(
)
(
)
F n
F
•
=
=
−
+
=
−
+
=
−
∫∫
∫∫∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
− −
−
−
−
dA
dV
S
S
x
x
x
div
y
z dy dx dz
y
z dy dx dz
0
3
2
2
4
4
0
3
0
2
0
4
4 4
4
4
4 4
4
120
128
2
2
2
π
 
 
 
 
Teorema Stokes 
 
 
Misal S permukaan terbuka bermuka dua dinyatakan oleh z = f(x,y) yang dibatasi 
oleh lengkungan / lintasan  tutup sederhana C. Maka integral dari F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k atas lengkungan / lintasan C  dalam arah positif$  dapat 
dinyatakan sebagai integral permukaan dari curl F atas S berikut. 
 
F
r
F n
•
=
•
∫
∫∫
d
dA
C
S
curl
 
Normal n ditentukan dari normalisasi gradien dari permukaan S yang dinyatakan secara 
implisit,  f ( x,y,z ) = 0, yaitu 
(
)
(
)
n =
f x,y,z
f x,y,z
∇
∇
.  
 
 
Contoh 11 
Diketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = 3 y  i - x z j + y z2  k  dan S permukaan 
paraboloida     2 z = x2 + y2 dibatasi oleh z = 2 dengan lintasan C merupakan kelilingnya. 
Gunakan teorema Stokes untuk menghtiung 
curl
S
F n
•
∫∫
dA  
Jawab : 
Lintasan C, x2 + y2 = 4 , z = 2 atau x = 2 cos t, y = 2 sin t , z = 2 dengan 0 ≤ t ≤ 2π .  
(
)
(
) (
)
(
)( )
(
)
curl
ydx
xzdy
yz dz
t
t
t
dt
S
C
C
F n
F
r
•
=
•
=
−
+
=
−
−
= −
∫∫
∫
∫
∫
dA
d
3
3 2
2
2
2
12
2
0
2
sin
sin
cos
π
π
 
 
 
Soal Latihan  
 
( Nomor  1 sd 3 ) Selesaikan integral F n
•
∫∫
dA
S
 bila  
1.  F( x,y,z ) =   i + x2  j + x y z  k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang dibatasi       
z = xy, 0 ≤ x ≤ y dan  0 ≤ y ≤ 1 
2.  F( x,y,z ) =  cosh x  i + sinh y  k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang 
dibatasi       z = x + y2, 0 ≤ y ≤ x dan  0 ≤ x ≤ 1. 
3.  F( x,y,z ) =   x i - 2 x2  j + y z  k dan permukaan S dinyatakan oleh daerah yang 
dibatasi z = x + y , 0 ≤ x ≤ y dan  0 ≤ y ≤ 1. 
 
( Nomor 4 sd  6 ) Hitung besar fluks dari gaya F yang menembus permukaan S bila  
 
4.  F( x,y,z ) = ( 9 - x2 ) j dan permukaan S merupakan bagian bidang 2x + 3y + 6z = 6 
yang terletak di oktan pertama. 
5.  F( x,y,z ) =  y i - x j + 2  k dan permukaan S ditentukan oleh z
y
x
=
−
≤ ≤
1
0
5
2 ,
 
                                                 
$ Lintasan C mempunyai arah  positif bila seseorang berjalan menyusuri lintasan tersebut maka permukaan 
S selalu terletak di sebelah kirinya. 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
6.  F( x,y,z ) =  2 i + 5  j + 3 k dan permukaan S adalah bagian dari 
(
)
z
x
y
=
+
2
2 1 2
/
 yang 
terletak di dalam tabung x2 + y2 = 1. 
 
( Nomor 7 sd 10 ) Gunakan teorema divergensi gauss untuk menghitung F n
•
∫∫
dA
S
 bila  
7.  F( x,y,z ) =  z i + x  j + y k dan permukaan S ditentukan oleh 0
9
2
2
≤ ≤
−
−
z
x
y
 
8.  F( x,y,z ) =  x i + 2y  j + 3z k dan permukaan S berupa kubus 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ 
z ≤ 1 
9.  F( x,y,z ) =  3x i - 2y  j + 4z k dan permukaan S dinyatakan oleh x2 + y2 + z2 ≤ 9 
10. F( x,y,z ) =  xyz k dan permukaan S merupakan tetrahedron yang dibatasi oleh bidang      
x = 0, y = 0, z = 0 dan x + y + z =1 
 
( Nomor 11 sd 13 ) Gunakan teorema Stokes untuk menghitung 
curl
S
F n
•
∫∫
dA  
11. F( x,y,z ) =  xy i + yz  j + xz k dan S merupakan segitiga dengan titik sudut ( 0,0,0 ),         
( 1,0,0 ) dan ( 0,2,1 ) 
12. F( x,y,z ) =  yz i + 3xz  j + z2 k dan S merupakan bagian bola x2 + y2 + z2 = 16 yang 
terletak di bawah bidang z = 2. 
13. F( x,y,z ) =  ( z -y )  i + ( z + x ) j - ( x + y ) k dan S merupakan bagian paraboloida            
z = 1 - x2 - y2 yang terletak di atas bidang XOY.