Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL PERMUKAAN
Misal S suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan D
merupakan proyeksi S pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f(
x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k dan vektor n merupakan vektor normal dari S. Maka
integral dari lapangan vektor F atas permukaan S dinyatakan dengan :
F n
F n
•
=
•
∫∫
∫∫
dA
S
D
dA
Untuk S permukaan tertutup, dinotasikan dengan :
F n
•
∫∫
dA
S
. Bentuk integral tersebut
disebut Integral Permukaan.
Vektor posisi ( posisi suatu titik, misal ( x,y,z ) yang terletak pada permukaan S
yang dinyatakan sebagai besaran vektor ) dari S, dinyatakan dengan :
r ( x,y ) = x i + y j + z k = x i + y j + f ( x,y ) k
Normal n dari permukaan S diberikan,
n
r
r
i
j
k
i
j k
=
×
=
= −
−
+
∂
∂
∂
∂
x
y
f
f
f
f
x
y
x
y
1 0
0 1
yang mempunyai arah ke atas, sedangkan normal yang mempunyai arah ke bawah
diberikan,
n
r
r
i
j
k
i
j k
=
×
=
=
+
−
∂
∂
∂
∂
y
x
f
f
x
y
0 1 f
1 0 f
y
x
Oleh karena itu, integral permukaan dengan vektor normal n mempunyai arah ke atas
dapat dituliskan :
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
F n
i
j
k
i
j k
•
=
+
+
• −
−
+
=
−
−
+
∫∫
∫∫
∫∫
dA
S
x
y
D
x
y
D
f x y z
g x y z
h x y z
f
f
dA
f f
g f
h dA
,
,
,
,
,
,
Bentuk dA = dx dy atau dA = dy dx.
Contoh 8
Hitung F n
•
∫∫
dA
S
bila F( x,y,z ) = 18z i - 12 j + 3y k dan S merupakan bagian dari
bidang 2x + 3y + 6z = 12 yang terletak di oktan pertama.
Jawab :
Dari 2x + 3y + 6z = 12 didapatkan z = f ( x,y ) = 2 - 1/3 x - ½ y dan vektor posisi dari
sembarang titik pada permukaan S, r ( x,y ) = x i + y j + z k = x i + y j + ( 2 - 1/3 x - ½
y ) k. Normal bidang, n
r
r
i
j k
=
×
=
+
+
∂
∂
∂
∂
x
y
1
2
1
3
.
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Proyeksi dari S pada bidang XOY,
(
)
D
x y
x
y
x
=
≤ ≤
≤ ≤
−
,
,
0
6 0
12 2
3
atau
(
)
D
x y
x
y
y
=
≤ ≤
−
≤ ≤
,
,
0
12 3
2
0
4
Jadi
(
)
(
)
(
)
F n
•
=
−
−