Limites : Résumé de cours et méthodes
1 Limite d’une fonction en +∞ et en −∞
1-1 Limite infinie en +∞ et en −∞
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle admettant +∞ comme borne supérieure.On dit que f a pour limite +∞ en +∞ (ou
que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi grand que
l’on veut. On écrit alors que lim
x→+∞
f (x) = +∞.
Cf
0
~i
~j
I Remarque : on définit de la même façon,
Cf
0
~i
~j
Cf
0
~i
~j
Cf
0
~i
~j
lim
x→+∞
f (x) =−∞
lim
x→−∞
f (x) = +∞
lim
x→−∞
f (x) =−∞
PROPRIÉTÉ
lim
x→+∞
x =+∞
lim
x→+∞
x2 =+∞
lim
x→+∞
x3 =+∞
lim
x→+∞
√
x =+∞
lim
x→−∞
x =−∞
lim
x→−∞
x2 =+∞
lim
x→−∞
x3 =−∞
1-2 Limite finie en +∞ et en −∞
DÉFINITION
On dit qu’une fonction f a pour limite le réel l en +∞ (ou que f (x) tend vers l quand x tend vers +∞) lorsqu’on peut toujours
trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi proche de l que l’on veut. On écrit alors que lim
x→+∞
f (x) = l.
y = lCf
0
~i
~j
On dit alors que la droite D d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en +∞.
1S - Limites
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1
I Remarque : on définit de la même façon lim
x→−∞
f (x) = l.
y = l
Cf
0
~i
~j
La droite D d’équation y = l est dite asymptote horizontale à la courbe C f en −∞.
PROPRIÉTÉ
lim
x→+∞
1
x = 0
lim
x→+∞
1
x2 = 0
lim
x→+∞
1
x3 = 0
lim
x→+∞
1√
x = 0
lim
x→−∞
1
x = 0
lim
x→−∞
1
x2 = 0
lim
x→−∞
1
x3 = 0
2 Limite d’une fonction en a (a réel)
2-1 Limite infinie en a
DÉFINITION
Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a , b[. On dit que f a pour limite +∞ en a (par valeurs supérieures)
lorsqu’on peut toujours trouver un x assez proche de a (x > a) pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que
lim
x→a
x>a
f (x) = +∞.
x = a
Cf
0
~i
~j
I Remarque : on définit de la même façon,
x = a
Cf
0
~i
~j
x = a
Cf
0
~i
~j
x = a
Cf
0
~i
~j
lim
x→a
x>a
f (x) =−∞
lim
x→a
x<a
f (x) = +∞
lim
x→a
x<a
f (x) =−∞
Dans ces quatre cas, on dit que la droite D d’équation x = a est asymptote verticale à la