Chapitre n° - géométrie
TRIANGLES ISOMETRIQUES – TRIANGLES SEMBLABLES
I
Les triangles isométriques
1. Les transformations du plan
Activité sur les transformations du plan
Synthèse : Les symétries centrales, les translations, les symétrie orthogonales et les rotations sont des transformations qui
conservent les longueurs et les angles. On les appelle isométrie, du grec isos qui signifie même et du terme
latin metrum qui signifie la mesure.
Une succession d’isométrie est une isométrie.
2. Définitions et propriétés
Définition : Deux triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques si A’, B’ et C’ sont images de A, B et C par une isométrie.
L’angle de rotation, qui amène [AB) sur [AC), est noté
)
,
(
AC
AB
; c’est l’angle orienté de AB et AC .
Si
)
,
(
AC
AB
et
)
'
'
,'
'
(
C
A
B
A
sont de même sens, alors ABC et A’B’C’ sont directement isométriques.
Si
)
,
(
AC
AB
et
)
'
'
,'
'
(
C
A
B
A
sont de sens contraire, alors ABC et A’B’C’ sont indirectement isométriques.
exemples :
ABC et A’B’C’ sont directement isométriques.
ABC et A″B″C″ sont indirectement isométriques.
Théorème : Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs cotés sont 2 à 2 de même longueur.
Démonstration : Supposons que les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques, donc A’, B’ et C’ sont images de A, B et C
par une isométrie. Or une isométrie conserve les distances, j’en conclus que AB = A’B’, AC = A’C’ et BC = B’C’.
Remarque : deux triangles isométriques ont même aire.
A’
A″
B″
B’
A
B
C
C″
C’
Théorème : Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux 2 à 2.
Démonstration : Supposons que les triangles ABC et A’B’C’ sont
isométriques, il existe donc une isométrie qui transforme A, B et C en
A’, B’ et C’.
Or une isométrie conserve les angles, par conséquent :
'
'
ˆ
'
ˆ
C
A
B
C
A
B
=
,
'
'
ˆ
'
ˆ
A
C
B
A
C
B
=
et
'
'
ˆ
'
ˆ
C
B
A
C
B
A
=
Remarque : la réciproque est fausse : 2 triangles,
dont les