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www.fullengineeringbook.net www.fullengineeringbook.net i www.fullengineeringbook.net ii Prefacio www.fullengineeringbook.net iii Robert Johnson Monroe Communiy College Patricia Kuby Monroe Communiy College Traduccin Vctor Campos Olgun Traductor profesional Revisin Tcnica Dra. Ana Elizabeth Garca Hernndez Universidad La Salle, Morelia $XVWUDOLD%UDVLO&RUHD(VSDD(VWDGRV8QLGRV-DSQ0[LFR5HLQR8QLGR6LQJDSXU www.fullengineeringbook.net iv Prefacio k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k ,6%1 'DWRVSDUDFDWDORJDFLQELEOLRJUFD -RKQVRQ5REHUW\3DWULFLD.XE\ (VWDGVWLFDHOHPHQWDO DHGLFLQ ,6%1 9LVLWHQXHVWURVLWLRHQ KWWSODWLQRDPHULFDFHQJDJHFRP Estadstica elemental, DHGLFLQ 5REHUW-RKQVRQ\3DWULFLD.XE\ Presidente de Cengage Learning Latinoamrica: )HUQDQGR9DOHQ]XHOD0LJR\D Director Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para Latinoamrica: 5LFDUGR+5RGUJXH] Gerente de Procesos para Latinoamrica: &ODXGLD,VODV/LFRQD Gerente de Manufactura para Latinoamrica: 5DO'=HQGHMDV(VSHMHO Gerente Editorial de Contenidos en Espaol: 3LODU+HUQQGH]6DQWDPDULQD Coordinador de Manufactura: 5DIDHO3UH]*RQ]OH] Editores: 6HUJLR5&HUYDQWHV*RQ]OH] $EULO9HJD2UR]FR Diseo de portada: 6WXGLR Imagen de portada: 6KXWWHUVWRFN Composicin tipogrfi ca: 3DWULFLD'HOJDGR7UXMLOOR +XPEHUWR1H]5DPRV Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 www.fullengineeringbook.net v Contenido breve Captulo 1 Estadstica 1 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 32 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 120 Captulo 4 Probabilidad 172 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 230 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal 268 Captulo 7 Variabilidad muestral 312 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 340 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 412 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 478 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada 544 Captulo 12 Anlisis de varianza 578 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 612 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica 662 www.fullengineeringbook.net vi Prefacio www.fullengineeringbook.net vii PARTE 1 Estadstica descriptiva Captulo 1 Estadstica xx 1.1 Qu es estadstica? xx 1.2 Mensurabilidad y variabilidad 14 1.3 Recoleccin de datos 15 1.4 Estadstica y tecnologa 24 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 32 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 32 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas 47 2.3 Medidas de tendencia central 63 2.4 Medidas de dispersin 74 2.5 Medidas de posicin 82 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar 95 2.7 El arte del engao estadstico 102 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 120 3.1 Datos bivariados 120 3.2 Correlacin lineal 136 3.3 Regresin lineal 146 PARTE 2 Probabilidad Captulo 4 Probabilidad 172 4.1 Probabilidad de eventos 172 4.2 Probabilidad condicional de eventos 190 4.3 Reglas de probabilidad 195 4.4 Eventos mutuamente excluyentes 202 4.5 Eventos independientes 208 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes, estn relacionados? 214 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 230 5.1 Variables aleatorias 230 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta 233 5.3 Distribucin de probabilidad binomial 243 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal 268 6.1 Distribucin de probabilidad normal 268 6.2 La distribucin normal estndar 271 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales 279 6.4 Notacin 292 6.5 Aproximacin normal de la binomial 299 Contenido detallado www.fullengineeringbook.net viii Prefacio Captulo 7 Variabilidad muestral 312 7.1 Distribuciones muestrales 312 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales 319 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales 327 Parte 3 Inferencia estadstica Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 340 8.1 La naturaleza de la estimacin 340 8.2 Estimacin de media ( conocida) 347 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis 361 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de valor de probabilidad 370 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo clsico (opcional) 387 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 412 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) 412 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito 434 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar 453 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 478 10.1 Muestras dependientes e independientes 478 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias usando dos muestras dependientes 482 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias usando dos muestras independientes 495 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones usando dos muestras independientes 511 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas usando dos muestras independientes 521 PARTE 4 Ms inferencia estadstica Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada 544 11.1 El estadstico ji cuadrada 544 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales 547 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia 558 Captulo 12 Anlisis de varianza 578 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza 578 12.2 La lgica detrs de ANOVA 586 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor 590 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 612 13.1 Anlisis de correlacin lineal 612 13.2 Inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal 619 13.3 Anlisis de regresin lineal 627 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin 634 Contenido detallado www.fullengineeringbook.net Prefacio ix 13.5 Intervalos de confianza para regresin 643 13.6 Comprender la relacin entre correlacin y regresin 653 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica 662 14.1 Estadstica no paramtrica 662 14.2 La prueba del signo 664 14.3 La prueba U de Mann-Whitney 676 14.4 La prueba de rachas 686 14.5 Correlacin por rangos 694 Apndice A: Conceptos introductorios y revisin de lecciones 710 Apndice B: Tablas 711 Respuestas a ejercicios seleccionados 735 Respuestas a exmenes de prctica de los captulos 779 ndice analtico 787 ndice de aplicaciones 797 Tablas 805 ndice de instrucciones para computadora y calculadora 805 Tarjeta de frmulas 806 Valores crticos de la distribucin t de Student 808 reas acumuladas de la distribucin normal estndar 809 Contenido detallado www.fullengineeringbook.net x Prefacio www.fullengineeringbook.net xi A travs de los aos, desde que se public por vez primera, Estadstica elemental se convirti en un libro introductorio excep- FLRQDOPHQWHOHJLEOH\FRQDEOHTXHSURPXHYHHODSUHQGL]DMHODFRPSUHQVLyQ\ODPRWLYDFLyQDOSUHVHQWDUODHVWDGtVWLFDHQXQ FRQWH[WRGHPXQGRUHDOVLQVDFULFDUHOULJRUPDWHPiWLFR$ORODUJRGHOFDPLQRGLVFLSOLQDWUDVGLVFLSOLQDHYROXFLRQDSDUDUHFR- QRFHUTXHODHVWDGtVWLFDHVXQDKHUUDPLHQWDHQRUPHPHQWHYDOLRVDSDUDHOORV\TXHODHVWDGtVWLFDOOHJDDP~OWLSOHViUHDVGHODYLGD GLDULDORTXHUHVXOWDHQTXHDOPHQRVXQFXUVRGHHVWDGtVWLFDVHUHFRPLHQGHDORVHVWXGLDQWHVHQODPD\RUtDGHODVHVFXHODV&RPR ORKDQVLGRGHVGHHOFRPLHQ]RSHURDKRUDPiVTXHQXQFDSDUDDSR\DUORVSODQHVGHHVWXGLRDFWXDOHVODVDSOLFDFLRQHVHMHPSORV\ HMHUFLFLRVHQHVWHWH[WRFRQWLHQHQGDWRVDSURSLDGRVGHJUDQYDULHGDGGHiUHDVGHLQWHUpVLQFOXLGDVODItVLFD\ODVFLHQFLDVVRFLDOHV ODRSLQLyQS~EOLFD\ODFLHQFLDSROtWLFDORVQHJRFLRVODHFRQRPtD\ODPHGLFLQD(QEstadstica elemental, undcima edicin, VHJXLPRVOXFKDQGRSRUXQDPD\RUOHJLELOLGDG\XQWRQRGHVHQWLGRFRP~QTXHDWUDLJDDORVHVWXGLDQWHVTXHHVWiQFDGDYH]PiV LQWHUHVDGRVHQODVDSOLFDFLRQHVTXHHQODWHRUtD Panorama de lo que es nuevo en y para esta edicin /RVSURIHVRUHVIDPLOLDUL]DGRVFRQHOWH[WRQRWDUiQORVVLJXLHQWHVFDPELRVHQHVWDHGLFLyQ Nuevas vietas de apertura de captulo 0iVGHGHODVYLxHWDVGHDSHUWXUDGHFDStWXORGHOOLEURFDGDXQDGHODVFXDOHVVHHQIRFDHQXQDVSHFWRFRWLGLDQRGHODYLGD VRQQXHYDV,OXVWUDGRFRQLQIRUPDFLyQHVWDGtVWLFDFDGDDSHUWXUDGHFDStWXORSURSRUFLRQDXQFRQWH[WRUHOHYDQWH\IDPLOLDUSDUDHO SDVRLQLFLDOGHORVHVWXGLDQWHVKDFLDORVFRQFHSWRVFXELHUWRVHQHOFDStWXOR Nuevos ejemplos aplicados &DVLGHORVHMHPSORVDSOLFDGRVGHOWH[WRVRQQXHYRVRHVWiQDFWXDOL]DGRVSDUDD\XGDUDLQYROXFUDUHOLQWHUpVGHOHVWXGLDQWH /RVFRQFHSWRVHVWDGtVWLFRVFODYHVHSUHVHQWDQFRQVROXFLRQHVSDVRDSDVRPHMRUDGDV Ms de 20% de ejercicios nuevos y actualizados 0XFKRVGHORVHMHUFLFLRVVRQQXHYRVRDFWXDOL]DGRVSDUDUHHMDUORVHYHQWRVDFWXDOHV\RWURVWHPDVRSRUWXQRV0iVGH HMHUFLFLRVGHOWH[WRSURSRUFLRQDQXQF~PXORGHSUREOHPDVSUiFWLFRV\FDGDFRQMXQWRGHHMHUFLFLRVLQFOX\HXQUDQJRGHWLSRV GHHMHUFLFLRTXHDYDQ]DQGHVGHHOUHFXHUGREiVLFRKDVWDSDVRVP~OWLSOHVKDVWDtWHPVTXHUHTXLHUHQSHQVDPLHQWRFUtWLFR&RPR VLHPSUHODPD\RUtDGHORVHMHUFLFLRVSXHGHQFDOFXODUVHDPDQRRFRQHOXVRGHWHFQRORJtD Cobertura de distribucin de probabilidad normal completamente rescrita (OFDStWXOR'LVWULEXFLRQHVGHSUREDELOLGDGQRUPDOVHUHVFULELySRUFRPSOHWRSDUDSUHVHQWDUODGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWiQGDU XVDQGRHOPpWRGRDFXPXODWLYRTXHLQFRUSRUDXQDLGHDPiVLQWXLWLYDUHVSHFWRDOiUHDWRWDOEDMRXQDFXUYD\VLJXHPiVGHFHUFDHO IRUPDWRXWLOL]DGRHQODVFDOFXODGRUDVJUDFDGRUDV\VRIWZDUHHVWDGtVWLFR3DUDDSR\DUHVWHFDPELRHQWUHODVWDEODVHQORVIRUURV GHOWH[WRVHLQFOX\HXQDFRUUHVSRQGLHQWHQXHYDWDEODDGRVSiJLQDVUHDVDFXPXODGDVGHODGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWiQGDU Prefacio www.fullengineeringbook.net xii Prefacio Nuevos visuales en todo el texto $GHPiVGHODVQXHYDVIRWRJUDItDV\JUiFDVDODDSHUWXUDGHORVFDStWXORVDORODUJRGHORVHMHPSORVHMHPSORVDSOLFDGRV\HMHU- FLFLRVDSDUHFHDUWHQXHYR\UHGLVHxDGR Nuevos recursos dinmicos en lnea de enseanza y aprendizaje 9HDODVSiJLQDV[YLL[YLLLSDUDGHWDOOHVDFHUFDGHORVFRPSOHPHQWRVSDUDHOSURIHVRU\HOHVWXGLDQWHGHODXQGpFLPDHGLFLyQ Recorrido por la undcima edicin /DVFDUDFWHUtVWLFDVTXHFRQWLQ~DQDVtFRPRODVQXHYDV\DFWXDOL]DGDVLQFOX\HQORVLJXLHQWH nfasis en la interpretacin de la informacin estadstica y aplicaciones reales ,QPHGLDWDPHQWHHQHOFDStWXORFXDQGRORVHVWXGLDQWHVDSUHQGHQORVWpUPLQRV\SURFHGLPLHQWRVFODYHIXQGDPHQWDOHVHQHOFD- StWXOR3UREDELOLGDGGRQGHVHGHVWDFDHODQiOLVLVHQOXJDUGHODIyUPXOD\GHVSXpVDORODUJRGHOWH[WRORVDXWRUHVHQIDWL]DQ HOSDSHOGHODLQWHUSUHWDFLyQHQHODQiOLVLVHVWDGtVWLFR/RVHMHPSORV\ORVHMHUFLFLRVSUHVHQWDQDSOLFDFLRQHVUHDOHVGHODHVWDGtVWL- FD\ODYLxHWDVGHDSHUWXUDGHFDStWXORDXPHQWDQODUHOHYDQFLDGHOPDWHULDOSDUDORVHVWXGLDQWHV(MHUFLFLRVGHSHQVDPLHQWRFUtWLFR DORODUJRGHORVFDStWXORVDSR\DQD~QPiVHOHQIRTXHSUiFWLFRSUREDGRGHOOLEUR Abridores de captulo NUEVOS Y ACTUALIZADOS (VER]RVGHO FDStWXORFRQXQDEUHYHGHV- cripcin de lo que se cubre en cada sec- FLyQ SULQFLSDO DKRUD DSDUHFHQ HQ OD SUL- PHUDSiJLQDGHFDGDFDStWXORSDUDD\XGDU a orientar a los estudiantes y prepararlos PHMRU SDUD OD HGXFDFLyQ TXH YLHQH ([- WHQVRV HMHPSORV DWUDFWLYRV QXHYDPHQWH DEUHQFDGDFDStWXORSDUDLOXVWUDUXQDVLWXD- FLyQIDPLOLDUTXHXVDODHVWDGtVWLFDHQXQD IRUPD UHOHYDQWH \ DERUGDEOH SRU HO HVWX- GLDQWH/RVQXHYRVDEULGRUHVGH FDStWXOR VH HQIRFDQ HQ HO JDVWR GH WLHPSR GLDULR SURPHGLRGH ORVHVWXGLDQWHVFDStWXOR Q~PHURGHDXWRPyYLOHVSRUKRJDUHQ(8$ FDStWXOR\ODUHODFLyQHQWUHODORQJLWXG \HOSHVRGHXQSH]FDStWXOR'HSLVRD SXHUWDGHOFDStWXOR%DWDOODGHORVVH[RV7LHPSRGHWUDVODGRGHOFDStWXOR\(ODMHWUHRPDWXWLQRGHOFDStWXORWDPELpQ HVWiQHQWUHORVTXHWLHQHQDEULGRUHVDFWXDOL]DGRV Ejemplos NUEVOS Y ACTUALIZADOS $ORODUJRGHOWH[WRHMHPSORVTXHSUHVHQWDQHOSURFHVRGHVROXFLyQSDVRDSDVRSDUDFRQFHSWRV\PpWRGRVHVWDGtVWLFRVFODYHVH DFWXDOL]DURQRVXVWLWX\HURQSDUDJDUDQWL]DUODSUHFLVLyQ\ODUHOHYDQFLD(MHPSORVQXHYRV\DFWXDOL]DGRVVHHQIRFDQHQIDFWRUHV HVWDGtVWLFRVTXHSHUWHQHFHQDWHPDVFRPRHQFRQWUDUHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOXVDQGRODGLVWULEXFLyQQRUPDODFXPXODGDFD- StWXOR\DSOLFDUGLFKDWpFQLFDHQORVFDStWXORV\(QHOFDStWXORVHSUHVHQWDXQH[SHULPHQWRGHSUREDELOLGDGEiVLFRTXH LQYROXFUDERODVGHJROI www.fullengineeringbook.net Prefacio xiii Ejemplos aplicados NUEVOS Y ACTUALIZADOS (MHPSORV DSOLFDGRV UHOHYDQWHV LQFRUSRUDQ ORV FRQFHSWRV HVWDGtVWLFRV SDUD GHPRVWUDU FyPR IXQFLRQD OD HVWDGtVWLFD HQ HOPXQGR UHDO'DWRV QXHYRV\DFWXDOL]DGRVUHOHYDQWHVSDUDiUHDVFRPRORVGHSRUWHVFDStWXOR JUiFDVGHFUHFLPLHQWRFDStWXOR689FDStWXOREDOGRVDVFH- UiPLFDVFDStWXOR\PLFURFKLSVFDStWXORFDSWXUDUiQODDWHQFLyQ GHOHVWXGLDQWH Sabas que...? y ladillos PTI ACTUALIZADOS /RV6DEtDV"HVWUDWpJLFDPHQWHFRORFDGRVSUHVHQWDQEUHYHVKLVWRULDV\KHFKRVGLYHUWLGRV SDUDRIUHFHUXQYLVWD]RLQIRUPDWLYR\HQWUHWHQLGRGHORVFRQFHSWRVRPpWRGRVUHODFLRQDGRV TXHVHSUHVHQWDUiQHQODVHFFLyQFRUUHVSRQGLHQWHGHXQFDStWXORGDGR'HLJXDOPRGRORV VHJPHQWRV37,RIUHFHQ~WLOHVVXJHUHQFLDV\SHUVSHFWLYDVDFHUFDGHSXQWRVFODYHHQFDGD FDStWXOR Ejercicios NUEVOS Y ACTUALIZADOS &RQFDVLGHHMHUFLFLRVQXHYRV\DFWXDOL]DGRVODXQGpFLPDHGLFLyQGH Estadstica elementalRIUHFHD ORV LQVWUXFWRUHVFRQMXQWRVGH WDUHDVHQFDVD DFWXDOL]DGRV\UHOHYDQWHVUHODFLRQDGRVFRQORVLQWHUHVHVGHORVHVWXGLDQWHV $GLFLRQDOPHQWHHVWiQGLVSRQLEOHVHQOtQHDPiVGHHMHUFLFLRVFOiVLFRV DVtFRPRODVVROXFLRQHVDHMHUFLFLRVFRQQ~PHURLPSDU&RQPiVGH HMHUFLFLRV HQ WRWDO ORV LQVWUXFWRUHV WLHQHQPD\RUHVRSFLRQHVFXDQGRFUHDQ WDUHDV\ORVHVWXGLDQWHVWLHQHQPXFKDVRSRUWXQLGDGHVSDUDSUDFWLFDU www.fullengineeringbook.net xiv Prefacio Visuales NUEVOS (ODERUDGRVHQXQHVWLORDFWXDOL]DGRDUWHQXHYR\UHGLVHxDGR DSDUHFHDWUDYpVGHHMHPSORVHMHPSORVDSOLFDGRV\HMHUFLFLRV /RVGRVHMHPSORVVLJXLHQWHVPXHVWUDQHOQXHYRHVWLORGHODUWH Numerosos ejercicios applet para desarrollo de destrezas 'HQWURGHORVHMHUFLFLRVGHVHFFLyQ\GHFDStWXORORVHMHUFLFLRV applet para desarrollo de destrezas ayudan a los estudiantes a YHUORVFRQFHSWRVHVWDGtVWLFRV\SHUPLWLUODH[SORUDFLyQPD- QXDO GH ORV FRQFHSWRV \ FiOFXORV HVWDGtVWLFRV/RV HMHUFLFLRV DSSOHWSDUDGHVDUUROORGHGHVWUH]DVVRQIiFLOHVGHGHWHFWDUHQ el libro y dirigen a los estudiantes para el acceso de los applets HQOtQHD Repasos de captulo estilizados /RVUHSDVRVGHFDStWXORSDUDFDGDFDStWXORLQFOX- yen los siguientes elementos pedaggicamente LPSRUWDQWHV En retrospectiva, un resumen de los conceptos cubiertos que puntualizan ODVUHODFLRQHVHQWUHFDGDXQR www.fullengineeringbook.net Prefacio xv Listas de vocabulario y conceptos clave, que muestran a los estudiantes de un vistazo ORTXHVHFXEULy\SURSRUFLRQDXQDSiJLQDGH UHIHUHQFLDGHPRGRTXHSXHGHQFRPSUREDUVX FRPSUHQVLyQ Resultados del aprendizaje, con la intencin de complementar las listas de vocabulario y FRQFHSWRV FODYH GLFKRV UHV~PHQHV GHVWDFDQ ORVFRQFHSWRVFODYHSUHVHQWDGRVHQHOFDStWXOR \SURSRUFLRQDQUHIHUHQFLDVKDFLDSiJLQDVUHOH- YDQWHV\FRUUHVSRQGLHQWHVHMHUFLFLRVGHUHSDVR para ayudar a garantizar que los estudiantes FRPSUHQGHQHOPDWHULDOGHOFDStWXOR Ejercicios del captulo RIUHFHQ SUiFWLFD DFHU- ca de todos los conceptos que se encuentran en HO FDStWXOR DO PLVPR WLHPSR TXH YLQFXODQ HO PDWHULDO FRPSUHQVLYR DSUHQGLGR HQ FDStWXORV DQWHULRUHV $O QDO GHO OLEUR VH SURSRUFLRQDQ UHVSXHVWDVDHMHUFLFLRVVHOHFFLRQDGRV Examen de prctica del captulo, que RIUHFHXQDDXWRHYDOXDFLyQIRUPDOGHOGR- minio del estudiante del material antes GHSRQHUVHDSUXHEDHQFODVH$OQDOGHO libro se proporcionan las respuestas a las SUHJXQWDVGHOH[DPHQ www.fullengineeringbook.net xvi Prefacio Instrucciones de tecnologa actualizadas para MINITAB, ([FHO\7,DSDUHFHQDWUDYpVGHFDGDFDStWXOR\DKRUD WLHQHQFyGLJRGHFRORUHVSDUDIiFLOUHIHUHQFLD2IUHFLGRVMXQ- WRFRQORVFRUUHVSRQGLHQWHVPDWHULDOHVGLFKDVLQVWUXFFLRQHV SHUPLWHQDORVLQVWUXFWRUHVHOHJLUFRQIDFLOLGDGFXiOWHFQROR- JtDHVWDGtVWLFDVLDOJXQDTXLHUHQLQFRUSRUDUHQVXVFXUVRV Conjuntos de datos NUEVOS Y ACTUALIZADOSTXHWRWDOL]DQPiVGH\VHFODVLFDQGHSHTXHxRDJUDQGHEULQGDQ DORVHVWXGLDQWHVJUDQGHVRSRUWXQLGDGHVSDUDSUDFWLFDUXVDQGRVXFDOFXODGRUGHHVWDGtVWLFDVRFRPSXWDGRUD Los manuales de tecnologaRIUHFHQLQVWUXFFLyQDGLFLRQDODFHUFDGHGLFKDVYDULDVWHFQRORJtDVHVWDGtVWLFDV/RVVLJXLHQWHVPD- QXDOHVHVWiQGLVSRQLEOHVHQOtQHD 0DQXDO0,1,7$%GH'LDQH/%HQQHU\/LQGD00\HUV+DUULVEXUJ$UHD&RPPXQLW\&ROOHJH 0DQXDO([FHOGH'LDQH/%HQQHU\/LQGD00\HUV+DUULVEXUJ$UHD&RPPXQLW\&ROOHJH 0DQXDO7,GH.HYLQ)R[6KDVWD&ROOHJH Nota:'LFKRVPDQXDOHVHVWiQGLVSRQLEOHVHQLPSUHVRDVtFRPRHQOtQHD,QVWUXFWRUHVFRQWDFWHQDVXUHSUHVHQWDQWHGHYHQWDV &HQJDJH/HDUQLQJRDOJUXSRGHVHUYLFLRVDOFOLHQWHSDUDDSUHQGHUDFHUFDGHFyPRGLFKRVPDQXDOHVSXHGHQSHUVRQDOL]DUVHSDUD VXFXUVR Valiosos activos, cambios y mejoras adicionales de esta edicin incluyen Ampliacin de la cobertura de RMLYDV\GLVFXVLyQSDUDPHMRUDU la utilidad global y la compren- VLyQGHOHVWXGLDQWHFDStWXOR Introduccin temprana y cober- tura de datos bivariados para asegurar una progresin lgica GHORVWHPDVFDStWXOR $XPHQWRHQHOIRFRHQWRUQRDO DQiOLVLV \ OD FRPSUHQVLyQ HQ RSRVLFLyQDXQHQIRTXHPRWLYD- GRSRUIyUPXODVKDFLDODSURED- ELOLGDGFDStWXOR $VRFLDFLyQRSRUWXQDHQWUHHOFHQVRHVWDGRXQLGHQVHGH\ODVGLVWULEXFLRQHVPXHVWUDOHVFDStWXOR )OH[LELOLGDGSHGDJyJLFDFRQHQIRTXHVGHYDORUp\FOiVLFRODGRDODGRDODVSUXHEDVGHKLSyWHVLVFDStWXORV 5HRUJDQL]DFLyQGHVHFFLRQHVVHOHFFLRQDGDVHQHOFDStWXORSDUDDXPHQWDUODFODULGDGUHVSHFWRDODFRQH[LyQGHWHPDV FDStWXOR )RUPDVUHOHYDQWHVGHWpUPLQRVIyUPXODVHVWDGtVWLFDVDJUHJDGDVSDUDFRPSOHPHQWDUYDULRVFDStWXORV /DVGHQLFLRQHVTXHVHSUHVHQWDQHQHOFDStWXORDKRUDVRQLQFOXVRPiVIiFLOHVGHGHVWDFDU www.fullengineeringbook.net Prefacio xvii Recursos de enseanza y aprendizaje relacionados Manual de soluciones del estudiante$&78$/,=$'2(VFULWRSRU3DWULFLD.XE\HVWHUHFXUVRFRQWLHQHVROXFLRQHVFRPSOHWD PHQWHUHVXHOWDVSDUDWRGRVORVHMHUFLFLRVGHQ~PHURLPSDUORTXHEULQGDDORVHVWXGLDQWHVXQDIRUPDGHYHULFDUVXVUHVSXHVWDV\ DVHJXUDUTXHVLJXHQORVSDVRVFRUUHFWRVSDUDOOHJDUDXQDUHVSXHVWD7DPELpQSURSRUFLRQDVXJHUHQFLDVFRQVHMRVHLQWHUSUHWDFLyQ DGLFLRQDOSDUDHMHUFLFLRVHVSHFtFRV Edicin comentada del instructor, Estadstica elemental, 11a. edicin (VWDYHUVLyQGHOWH[WRSDUDHOLQVWUXFWRUSUHVHQWDUHVSXHVWDVFRPHQWDGDVDORVHMHUFLFLRVHQSiJLQDVFRQFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV LQFOXLGRVHMHUFLFLRVSDUDORVFXDOHVQRVHSURSRUFLRQDQVROXFLRQHVHQODFODYHGHUHVSXHVWDVDOQDOGHOOLEUR PowerLectureTM para Estadstica elemental, 11a. edicin (VWHGLVFRSURSRUFLRQDDOLQVWUXFWRUKHUUDPLHQWDVGHPHGLRVGLQiPLFDVSDUDODHQVHxDQ]D LQFOXLGDVGLDSRVLWLYDVSDUDFRQIHUHQFLDV0LFURVRIW3RZHU3RLQW\JXUDVGHOOLEUR&UHH HQWUHJXH\SHUVRQDOLFHH[iPHQHVWDQWRLPSUHVRVFRPRHQOtQHDHQPLQXWRVFRQ([DP 9LHZ&RPSXWHUL]HG7HVWLQJTXHSUHVHQWDHFXDFLRQHVDOJRUtWPLFDV7DPELpQHQFRQWUDUi XQDOLJDDOPDQXDOGHVROXFLRQHVHQOtQHD6ROXWLRQ%XLOGHUORTXHOHSHUPLWLUiFRQVWUXLU IiFLOPHQWHFRQMXQWRVGHVROXFLRQHVSDUDWDUHDVHQFDVDRH[iPHQHV Suite de evaluaciones ExamView para Estadstica elemental, 11a. edicin 'LVSRQLEOHHQHOGLVFR3RZHU/HFWXUH70\FRQODFDUDFWHUtVWLFDGHFDOLFDFLyQDXWRPiWLFD HOVRIWZDUHGHH[iPHQHV([DP9LHZ permite a los instructores crear, entregar y pesonali- ]DUUiSLGDPHQWHH[iPHQHVSDUDFODVHHQIRUPDWRVLPSUHVR\HQOtQHD(OSURJUDPDLQFOX\H XQEDQFRGHH[iPHQHVFRQFLHQWRVGHSUHJXQWDVDGDSWDGDVGLUHFWDPHQWHGHOWH[WR\WRGDV ODVSUHJXQWDVWDPELpQVHRIUHFHQHQIRUPDWRV3')\0LFURVRIW Word para los instructores TXHRSWHQSRUQRXVDUHOFRPSRQHQWHGHVRIWZDUH NUEVO Solution Builder para Estadstica elemental, 11a. edicin (VWDEDVHGHGDWRVHQOtQHDSDUDHOLQVWUXFWRURIUHFHVROXFLRQHVFRPSOHWDPHQWHWUDEDMDGDV SDUDWRGRVORVHMHUFLFLRVHQHOWH[WRORTXHOHSHUPLWHFUHDULPSUHVRVGHVROXFLRQHVVHJXUDV \ SHUVRQDOL]DGDV HQ IRUPDWR3') TXH FRLQFLGHQ H[DFWDPHQWH FRQ ORV SUREOHPDV TXH DVLJQyHQFODVHZZZFHQJDJHFRPVROXWLRQEXLOGHU NUEVO Statistics CourseMate (OVLWLRStatistics CourseMateSDUDHVWHOLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQ KHUUDPLHQWDVLQWHUDFWLYDVGHDSUHQGL]DMHHVWXGLR\SUHSDUDFLyQGHH[iPHQHVLQFOXLGDVSUH JXQWDVUiSLGDV\WDUMHWDVGHHVWXGLRSDUDHOYRFDEXODULR\ORVFRQFHSWRVFODYHTXHDSDUHFHQ DFRQWLQXDFLyQ(OVLWLRWDPELpQRIUHFHXQDYHUVLyQeBook del texto, con capacidades de VXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGHORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORV FRQFHSWRV\HMHPSORVTXHWLHQHQVXVFRUUHVSRQGLHQWHVUHFXUVRVLQWHUDFWLYRVFRPRvideo y tutoriales animadosTXHGHPXHVWUDQSDVRDSDVRFyPRUHVROYHUSUREOHPDVFRQMXQWRVGH GDWRVSDUDHMHUFLFLRV\HMHPSORVApplets SkillbuilderSDUDD\XGDUWHDFRPSUHQGHUPHMRU ORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa\VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\HData Analy- sis PlusXQDVXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 PlusUHJtVWUDWH en www.cengagebrain.com.3DUDORVLQVWUXFWRUHVHO&RXUVH0DWHGHHVWHWH[WRWDPELpQLQ FOX\H(QJDJHPHQW7UDFNHUXQDKHUUDPLHQWDSULPHUDHQVXWLSRTXHPRQLWRUL]DHOLQYROXFUD PLHQWRGHOHVWXGLDQWHHQHOFXUVR9D\DDORJLQFHQJDJHFRPSDUDDFFHGHUDHVWRVUHFXUVRV www.fullengineeringbook.net xviii Prefacio Sitio web del libro ACTUALIZADO Y MEJORADO (VWHUHFXUVRRIUHFHUHFXUVRVHVSHFtFRVGHOOLEUR\GHOFXUVRFRPRFRQMXQWRVGHGDWRVSDUD HMHUFLFLRV\DXWRHYDOXDFLRQHV/RVHVWXGLDQWHVDFFHGHQDORVUHFXUVRVGHHVWHVLWLRDWUDYpV GHFHQJDJHEUDLQFRP/RV LQVWUXFWRUHVDFFHGHQDUHFXUVRVSURWHJLGRVFRQFRQWUDVHxDDO LQVFULELUVXVFXHQWDVDWUDYpVGHORJLQFHJDQJHFRP NUEVO ApliaTM Aplia70 para Estadstica elementalXQGpFLPDHGLFLyQHVXQDVROXFLyQGHDSUHQGL]DMHLQ WHUDFWLYRHQOtQHDTXHPHMRUDODFRPSUHQVLyQ\ORVUHVXOWDGRVDODXPHQWDUHOHVIXHU]R\HO LQYROXFUDPLHQWRGHOHVWXGLDQWH)XQGDGDSRUXQSURIHVRUSDUDPHMRUDUVXVSURSLRVFXUVRV $SOLDRIUHFHWDUHDVFRQFDOLFDFLyQDXWRPiWLFDTXHWLHQHQH[SOLFDFLRQHVLQPHGLDWDV\GH WDOODGDVDFHUFDGHFDGDSUHJXQWDHLQQRYDGRUHVPDWHULDOHVGHHQVHxDQ]D(VWHVLVWHPDIiFLO GHXVDUORXWLOL]DQPiVGHGHHVWXGLDQWHVHQPiVGHLQVWLWXFLRQHV NUEVO Enhanced WebAssign ([FOXVLYRGH&HQJDJH/HDUQLQJ(QKDQFHG:HE$VVLJQRIUHFHXQH[WHQVRSURJUDPDHQ OtQHDSDUDHVWDGtVWLFDSDUDDOHQWDUODSUiFWLFDTXHHVWDQFUXFLDOSDUDHOGRPLQLRGHFRQ FHSWRV/DSHGDJRJtD\ORVHMHUFLFLRVPHWLFXORVDPHQWHHODERUDGRVHQHVWHWH[WRDFUHGLWDGR VHYXHOYHQ WRGDYtDPiVHIHFWLYRVHQ(QKDQFHG:HE$VVLJQ FRPSOHPHQWDGRSRUDSR\R PXOWLPHGLD \ UHDOLPHQWDFLyQ LQPHGLDWD FRQIRUPH ORV HVWXGLDQWHV FRPSOHWDQ VXV WDUHDV 3XHGHDVLJQDUKDVWDSUREOHPDVGHWDUHDTXHFRLQFLGHQFRQORVHMHUFLFLRVGHVHFFLyQ GHHVWHWH[WR/RVHVWXGLDQWHVVHEHQHFLDQGHXQH%RRNLQWHUDFWLYRFRQFDUDFWHUtVWLFDVGH E~VTXHGD\VXEUD\DGRXQDFDUDFWHUtVWLFDGHSUDFWLFDRWUDYHUVLyQDFWLYDGDDGLVFUHFLyQ GHOSURIHVRU\YtQFXORVKDFLDYLGHRVGHVROXFLyQWXWRULDOHVLQWHUDFWLYRVHLQFOXVRD\XGDHQ OtQHDHQYLYR3DUDORVHVWXGLDQWHVHVWiGLVSRQLEOHXQD*XtDGH,QLFLR5iSLGRSDUD(QKDQ ced WebAssignYHDDFRQWLQXDFLyQ NUEVA Gua de Inicio Rpido para Enhanced WebAssign para los estudiantes /D*XtDGH,QLFLR5iSLGRSDUD(QKDQFHG:HE$VVLJQ ayuda a los estudiantes a levantarse \FRUUHUUiSLGDPHQWHFRQ(QKDQFHG:HE$VVLJQGHPRGRTXHSXHGDQHVWXGLDUFRQPiV LQWHOLJHQFLD\SXHGDQPHMRUDUVXUHQGLPLHQWRHQFODVH Nota:/RVHVWXGLDQWHVDFFHGHQDWRGRVORVUHFXUVRVGHHVWXGLR\WDUHDVHQOtQHDFRPSOH PHQWDULRV\SUHPLXPDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP(VWiQGLVSRQLEOHVYDULDVRSFLRQHVGH SDTXHWH&RQVXOWHODLQIRUPDFLyQDGLFLRQDOTXHVHRIUHFHHQHOIRUURRFRQWDFWHDVXUHSUH VHQWDQWHGHYHQWDVRDOJUXSRGHVHUYLFLRVDOFOLHQWHGH&HQJDJH/HDUQLQJ Reconocimientos (VXQSODFHUDJUDGHFHU ODD\XGD\HODOLHQWRTXHUHFLELPRVGHHVWXGLDQWHV\FROHJDVHQ HO0RQURH&RPPXQLW\&ROOHJHDORODUJRGHOGHVDUUROORGHHVWHWH[WR'HOPLVPRPRGR HVWDPRVDJUDGHFLGRVFRQORVUHYLVRUHV\TXLHQHVUHVSRQGLHURQODVHQFXHVWDVTXLHQHVRIUH FLHURQLQYDOXDEOHJXtDFRQIRUPHSODQLFiEDPRVHVWDQXHYDHGLFLyQ 5RJHU$EHUQDWK\2UDQJH&RDVW&ROOHJH /LVD:.D\(DVWHUQ.HQWXFN\8QLYHUVLW\ )UDQFLV1DFR]\0LUDFRVWD&RPPXQLW\&ROOHJH DQG3DORPDU&RPPXQLW\&ROOHJH 3KLOOLS1LVVHQ*HRUJLD6WDWH8QLYHUVLW\ 0DXUHHQ3HWNHZLFK8QLYHUVLW\RI6RXWK&DUROLQD 0HKGL6DIDHH6RXWKZHVWHUQ&ROOHJHDQG*URVVPRQW &ROOHJH +H\GD\=DKHGDQL&DOLIRUQLD6WDWH8QLYHUVLW\DW 6DQ0DUFRV www.fullengineeringbook.net Prefacio xix )LQDOPHQWHGHQXHYRQRVJXVWDUtDDJUDGHFHUDORVUHYLVRUHVTXHOH\HURQ\RIUHFLHURQVXJHUHQFLDVSDUDHGLFLRQHVDQWHULRUHV 1DQF\$GFR[0WSan Antonio College 3DXO$OSHUCollege of St. Thomas :LOOLDP'%DQGHVSan Diego Mesa College 0DWUHVH%HQNRIVNHMissouri Western State College 7LP%LHKOHUFingerlakes Community College %DUEDUD-HDQ%ODVVOakland Community College $XVWLQ%RQLVRochester Institute of Technology 1DQF\&%RZHUVPennsylvania College of Technology 6KDQH%UHZHUCollege of Eastern Utah, San Juan Campus 5REHUW%XFNSlippery Rock University /RXLV)%XVKSan Diego City College 5RQQLH&DWLSRQFranklin University 5RGQH\(&KDVHOakland Community College 3LQ\XHQ&KHQSyracuse University :D\QH&ODUNParkland College 'DYLG0&U\VWDORochester Institute of Technology -R\FH&XUU\DQG)UDQN&'HQQ\Chabot College /DUU\'RUQFresno Community College 6KLUOH\'RZG\West Virginia University 7KRPDV(QJOLVKPennsylvania State University, Erie .HQQHWK)DLUEDQNVMurray State University 'U:LOOLDP3)R[Francis Marion University -RDQ*DUHOGUniversity of Minnesota General College 0RQLFD*HLVWFront Range Community College 'DYLG*XUQH\Southeastern Louisiana University (GZLQ+DFNOHPDQ &DURO+DOONew Mexico State University 6LODV+DOSHULQSyracuse University 1RDO+DUEHUWVRQCalifornia State University, Fresno +DQN+DUPHOLQJNorth Shore Community College %U\DQ$+DZRUWKCalifornia State College at %DNHUVHOG +DUROG+D\IRUGPennsylvania State University, Altoona -LP+HOPVWaycross College 0DUW\+RGJHVColorado Technical University -RKQ&+RODKDQXerox Corporation -DPHV(+ROVWHLQUniversity of Missouri 6RRQ%+RQJGrand Valley State University 5REHUW+R\WSouthwestern Montana University 3HWHU,QWDUDSDQDFKSouthern Connecticut State University 7+HQU\-DEORQVNL-U East Tennessee State University %ULDQ-HDQ%DNHUVHOG8QLYHUVLW\ -DQQ+XHL-LQQ Grand Valley State University 6KHUU\-RKQVRQ 0H\HU0.DSODQThe William Patterson College of New Jersey 0LFKDHO.DUHOLXVAmerican River College $QDQG6.DWL\DUMcNeese State University -DQH.HOOHUMetropolitan Community College *D\OH6.HQWFlorida Southern College $QGUHZ.LP:HVWHOG6WDWH&ROOHJH $P\.LPFKXNUniversity of the Sciences in Philadelphia 5D\PRQG.QRGHOBemidji State University Larry Lesser, University of Northern Colorado 1DWDOLH/RFKQHURollins College 5REHUW20DLHUEl Camino College /LQGD0F&DUOH\Bevill State Community College 0DUN$QWKRQ\0F&RPEMississippi College &DURO\Q0HLWOHUConcordia University Wisconsin -RKQ0H\HUMuhlenberg College -HIIUH\0RFNDiablo Valley College 'DYLG1DFFDUDWRUniversity of New Haven +DUROG1HPHURiverside Community College -RKQ1RRQDQMount Vernon Nazarene University 'HQQLV2%ULHQUniversity of Wisconsin, LaCrosse &KDQGOHU3LNHUniversity of Georgia 'DQLHO3RZHUVUniversity of Texas,Austin -DQHW05LFKMiami-Dade Junior College /DUU\-5LQJHUTexas A & M University -RKQ75LWVFKGRUIIMarist College -RKQ5RJHUVCalifornia Polytechnic Institute at San Luis Obispo Neil Rogness, Grand Valley State University 7KRPDV5RWRORUniversity of Arizona %DUEDUD)5\DQDQG7KRPDV$5\DQPennsylvania State University 5REHUW-6DOKDQ\ Rhode Island College 0HORG\6PLWKDyersburg State Community College 'U6KHUPDQ6RZE\California State University, Fresno 5RJHU6SDOGLQJMonroe County Community College 7LPRWK\6WHEELQVKalamazoo Valley Community College +RZDUG6WUDWWRQState University of New York at Albany /DUU\6WHSKHQVUniversity of Nebraska-Omaha 3DXO6WHSKHQVRQGrand Valley State University 5LFKDUG6WRFNEULGJHUniversity of Wisconsin, Milwaukee 7KRPDV6WXUP College of St. Thomas (GZDUG$6\OYHVWUHEastman Kodak Co. Gwen Terwilliger :LOOLDP.7RPKDYHConcordia College, Moorhead, MN %UXFH7UXPERCalifornia State University, Hayward 5LFKDUG8VFKROGCanisius College -RKQ&9DQ'UXIIFort Steilacoom Community College 3KLOLS$9DQ9HLGKXL]HQUniversity of Alaska -RKQ9LQFHQ]LSaddleback College .HQQHWK':DQWOLQJMontgomery College -RDQ:HLVV)DLUHOG8QLYHUVLW\ 0DU\:KHHOHUMonroe Community College %DUEDUD:KLWQH\ Big Bend Community College 6KDURQ:KLWWRQHofstra University 'RQ:LOOLDPVAustin College Rebecca Wong,West Valley College 3DEOR=DIUDKean University <YRQQH=XERYLFIndiana University Purdue University, Fort Wayne Robert Johnson Patricia Kuby www.fullengineeringbook.net 34 Captulo 00 Captulo ttulo 1 1.1 Qu es estadstica? La estadstica se usa para describir todo aspecto de la vida diaria. 1.2 Mensurabilidad y variabilidad La estadstica es un estudio de la variabilidad. 1.3 Recoleccin de datos Seleccionar una muestra representativa con el mtodo aleatorio. 1.4 Estadstica y tecnologa Estado del arte en la actualidad. Estadstica Estadounidenses: Aqu los observan &RQVLGHUDODJUiFD3UHRFXSDFLyQSRUORVPHQVDMHV6LWHSUHJXQWDVFXiQWRWLHPSRSDVD DQWHVGHTXHWHSRQJDVDQVLRVRSRUUHYLVDUHOFRUUHRHOHFWUyQLFRORVPHQVDMHVLQVWDQWiQHRV\ORVVLWLRVGH UHGHVVRFLDOHV"FyPRUHVSRQGHUtDV"FUHHVTXHHOGLDJUDPDPXHVWUDFRQSUHFLVLyQWXUHVSXHVWD"$KRUD QRWHSUHJXQWDVFyPR\GHGyQGHVHREWXYRHVWDLQIRUPDFLyQ" &RQFXiQWDIUHFXHQFLDKDFHVWXFDPD"(QFXHQWUDWXUHVSXHVWDHQODJUiFD+DFHUODFDPD/D IUHFXHQFLDGHKDFHUODFDPDTXHVHPXHVWUDHQODJUiFDSDUHFHVXJHULUORTXHUHDOPHQWHFUHHVTXHVXFHGH FRQWRGDVODVFDPDV" (VWDVGHOLFDGH]DVHVWDGtVWLFDVSURYLHQHQGHYDULDVIXHQWHV\VyORSUHVHQWDQXQDSHTXHxDPXHVWUDGH ORTXHVHSXHGHDSUHQGHUDFHUFDGHORVHVWDGRXQLGHQVHV 1.1 Qu es estadstica? Preocupacin por los mensajes Te preocupas por los mensajes? Cmo respondieron los usuarios de Wi-Fi cuando se les pregunt cunto tiempo transcurre antes de ponerse "ansiosos" por revisar el correo electrnico, la mensajera instantnea y los sitios de redes sociales: Fuente: Impulse Research para la encuesta en lnea de Qwest Communications de 1 063 adultos usuarios de Wi-Fi en abril de 2009. Una hora o menos 47% Un da 46% 76% 10% 5% 2% Una semana 7% Fuente: Encuesta del Centro de Investigacin Nacional para Reportes del Consumidor de 1 008 mujeres. Margen de error 3.2 puntos porcentuales. Hacer la cama Con qu frecuencia haces tu cama? Cuatro por ciento de las mujeres dice que nunca y dos por ciento dice que slo cuando tienen visitas. Otras respuestas: Diario o con ms frecuencia Cada 2-6 das Semanalmente Menos que semanalmente 2010 Erik Isakson/Jupiterimages Corporation 2010 Ryan McVay/Jupiterimages Corporation www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 1 &RQIRUPHHVWXGLHVHVWDGtVWLFDDSUHQGHUiVFyPROHHU\DQDOL]DUPXFKRVGHORVWLSRVGH PHGLGDVHVWDGtVWLFDVGHPRGRTXHGHVSXpVSXHGDVOOHJDUDFRQFOXVLRQHVDGHFXDGDV $VtTXHFRQIRUPHWHHPEDUFDVHQHVWHYLDMHKDFLDHOHVWXGLRGHHVWDPDWHULDGHEHV FRPHQ]DUFRQODGHQLFLyQGHestadstica\H[WHQGHUWHHQORVGHWDOOHVLQYROXFUDGRV /DHVWDGtVWLFDVHKDFRQYHUWLGRHQHOOHQJXDMHXQLYHUVDOGHODVFLHQFLDV&RPRSRWHQFLDO XVXDULRGHHOODQHFHVLWDVGRPLQDUWDQWRODFLHQFLDFRPRHODUWHGHXVDUFRUUHFWDPHQWH ODPHWRGRORJtDHVWDGtVWLFD(OXVRFXLGDGRVRGHORVPpWRGRVHVWDGtVWLFRVWHSHUPLWLUiREWH- QHULQIRUPDFLyQSUHFLVDDSDUWLUGHORVGDWRV'LFKRVPpWRGRVLQFOX\HQGHQLUFXLGDGR- VDPHQWHODVLWXDFLyQUHFROHFWDUGDWRVUHVXPLUFRQSUHFLVLyQORVGDWRV\GHULYDU\ FRPXQLFDUFRQFOXVLRQHVVLJQLFDWLYDV /DHVWDGtVWLFD LQYROXFUD LQIRUPDFLyQQ~PHURV\JUiFRVYLVXDOHVSDUDUHVXPLUHVWD LQIRUPDFLyQ\VXLQWHUSUHWDFLyQ/DSDODEUDestadsticaWLHQHGLIHUHQWHVVLJQLFDGRVSDUD SHUVRQDVGHYDULRVDQWHFHGHQWHVHLQWHUHVHV3DUDDOJXQDVSHUVRQDVHVXQFDPSRGHWUXFRV PiJLFRVGRQGHXQDSHUVRQD WUDWD GH DEUXPDU D RWURV FRQ LQIRUPDFLyQ\ FRQFOXVLRQHV LQFRUUHFWDV3DUDRWURVHVXQDIRUPDGHUHFROHFWDU\PRVWUDULQIRUPDFLyQ<SDUDRWURVPiV HVXQDPDQHUDGHWRPDUGHFLVLRQHVDQWHODLQFHUWLGXPEUH(QODSHUVSHFWLYDDSURSLDGD FDGDXQRGHGLFKRVSXQWRVGHYLVWDHVFRUUHFWR (OFDPSRGHODHVWDGtVWLFDSXHGHVXEGLYLGLUVHEXUGDPHQWHHQGRViUHDVHVWDGtVWLFDGHV- FULSWLYD\HVWDGtVWLFDLQIHUHQFLDO/Destadstica descriptivaHVHQORTXHSLHQVDODPD\RUtD GHODVSHUVRQDVFXDQGRHVFXFKDQODSDODEUDHVWDGtVWLFD(QHOODVHLQFOX\HODUHFROHFFLyQ SUHVHQWDFLyQ\GHVFULSFLyQGHGDWRVPXHVWUDOHV(OWpUPLQRestadstica inferencial se re- HUHDODWpFQLFDGHLQWHUSUHWDUORVYDORUHVTXHUHVXOWDQDSDUWLUGHODVWpFQLFDVGHVFULSWLYDV WRPDUGHFLVLRQHV\H[WUDHUFRQFOXVLRQHVDFHUFDGHODSREODFLyQ /DHVWDGtVWLFDHVPiVTXHVyORQ~PHURVVRQGDWRVORTXHVHOHKDFHDORVGDWRVORTXH VHDSUHQGHGHORVGDWRV\ODVFRQFOXVLRQHVUHVXOWDQWHV6HXVDUiODVLJXLHQWHGHQLFLyQ Estadstica Ciencia de recolectar, describir e interpretar datos. $QWHVGHFRPHQ]DUFRQVXHVWXGLRGHWDOODGRREVHUYDDOJXQDVLOXVWUDFLRQHVDFHUFDGH FyPR\FXiQGRSXHGHDSOLFDUVHODHVWDGtVWLFD PTI Una gran fuente de informacin acerca de los estadounidenses es el Statistical Abstract of the United States (Resumen estadstico de Estados Unidos) que publica anualmente la Oficina de Censos de Estados Unidos (http:// www.census.gov/). En el libro de ms de 1 000 pginas o en el sitio web, puedes en- contrar una percepcin estadstica de muchas de las facetas ms oscuras e inusuales de sus vidas. Considera: Cuntas horas traba- jan y juegan los esta- dounidenses?, cunto gastan en bocadillos?, cul fuente es una de las ms grandes con- sumidoras de energa renovable? Las pregun- tas, datos y estadsti- cas, se extienden por todas partes! E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 1 EDAD DEL PEZ QU EDAD TIENE MI PEZ? Edad promedio por longitud de lobina negra en el estado de Nueva York. Longitud, pulg 8 9 10 11 12 13 14 Edad, aos 2 3 3 4 4 5 5 Olvdate de las edades de mi padre y mi abuelo, slo quiero saber qu edad tiene mi pez? Cmo puedo saberlo? Estadstica! En el captulo 2 apren- ders acerca de los "promedios". Esta informacin tambin parece implicar que, si se mide la longitud del pez, entonces se conoce la edad del pez. Pue- den usarse tcnicas estadsticas adicionales para describir la relacin entre la edad del pez con base en su longitud y como resultado estimar su edad. En el captulo 3 aprenders acerca del mtodo estadstico para datos como stos. Fuente: NYS DEC Freshwater Fishing Guide Seccin 1.1 Qu es estadstica? Jose Luis Pelaez/Photographer's Choice/Getty Images www.fullengineeringbook.net 2 Captulo 1 Estadstica /RVPHGLRVLPSUHVRVSXEOLFDQJUiFDV\FXDGURVTXHWHGLFHQFyPRYDULDVRUJDQL]D- FLRQHVRSHUVRQDVSLHQVDQFRPRXQWRGR$OJXQDYH]WHKDVSUHJXQWDGRFXiQWRGHORTXH SLHQVDVHVWiGLUHFWDPHQWH LQXHQFLDGRSRU OD LQIRUPDFLyQTXH OHHVHQGLFKRVDUWtFXORV" $OJXQDYH]WHKDVFXHVWLRQDGRVLHVWDLQIRUPDFLyQHVWiVHVJDGD" E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 2 OH, LA CONVENIENCIA DE LA TECNOLOGA Tienes telfono celular? Hablas o envas mensajes de texto cuando no de- bes hacerlo? Considera a los conductores adolescentes y jvenes a quienes se encuest a continuacin. Se enfocan de manera adecuada mientras estn en clase o conducen? Te ves personalmente en alguna de estas situaciones? Fuente: National Organization for Youth Safety, Allstate Foundation; encuesta en lnea de 605 conductores de 16 a 20 aos de edad (16/6/09) En estas grficas se proporciona mucha informacin acerca de conducto- res adolescentes y jvenes. Una gran mayora de adolescentes tiene telfonos celulares y los usan todo el tiempo, incluso cuando no deben hacerlo; en el saln de clase y en la carretera. Considera qu informacin se recolect para formular dichas grficas: primero y ms importante, estatus de telfono celular; nmero de mensajes de texto por semana; nmero de mensajes de texto durante clase por semana, y tipos de actividades mientras conducen. Cmo usaran las organizaciones responsables de las encuestas dicha infor- macin recolectada para obtener 84 y 83% que se muestra en las grficas anteriores? Siempre toma nota de la fuente de las estadsticas publicadas (y de cual- quier otro detalle publicado); ello te dir mucho acerca de la informacin que se present. En estos casos, ambas son organizaciones nacionales. Allstate es un socio fundador de la National Youth Health and Safety Coalition y Common Sense Media es un respetado lder acerca de temas infantiles y de medios de comunicacin. Estos detalles de "fuentes" pueden darte una pis- ta acerca de la calidad de la informacin. Nota tambin el tipo de encuesta utilizada, si se proporciona, pues ello puede ofrecer informacin adicional acerca de la calidad. Qu es una encuesta en lnea? Cmo funciona? Los resultados son confiables? Muchos adolescentes usan celulares en clase 84% de los adolescentes tienen telfono celular 16% de los adolescentes no lo tienen Un promedio de 440 mensajes de texto se envan por semana, 110 de ellos durante clases. Se concluye que son tres mensajes de texto por periodo de clase. Fuente: Common Sense Media; encuesta de 1 013 adolescentes, mayo-junio de 2009 Ocupado detrs del volante La mayora de los conductores de 16 a 20 aos de edad admiten tener hbitos de conduccin arriesgados. Jvenes de 16 a 20 aos que dicen haber conducido y hecho esto: Hablar por telfono celular Romper la ley Enviar mensajes de texto Revisar el iPod Conducir molesto www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 3 E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 3 E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 4 Los empleadores buscan actitud positiva QU BUSCAN LOS EMPLEADORES? Esta grfi ca a la izquierda reporta que 39% de los empleadores considera una actitud positiva y el entu- siasmo como las mejores cualidades para un empleado eventual. De dnde provino esta informacin? Es ver- dadera? Nota la fuente: SnagAJob.com. Nota que la organizacin realiz una encuesta de 1 043 gerentes de contrataciones. Cmo se recolect esta informa- cin? Cmo la informacin recolectada se convirti en la informacin reportada? Tambin se report un margen de error de 3 puntos porcentuales. Con base en este detalle adicional, 39% de la grfi ca se convier- te "entre 36 y 42% de los empleadores buscan una actitud positiva y entusiasmo en sus empleados even- tuales". En el captulo 8 aprenders acerca del margen de error. Qu buscan los empleadores en un empleado eventual? Fuente: SnagAjob.com, encuesta de 1 043 gerentes de contrataciones. Margen de error: 3 puntos porcentuales Actitud positiva y entusiasmo: Habilidad para trabajar el horario requerido: Compromiso por toda la temporada: Experiencia previa: ATAQUE DE TIBURONES Considera el International Shark Attack File (ISAF: Archivo Internacional de Ataques de Tiburones), que es una compilacin de todos los ataques que se conocen de tiburones que administra la American Elasmobranch Society y el Flo- rida Museum of Natural History y se muestran en la grfi ca y cuadro siguientes. Fuente: http://www.fl mnh.ufl .edu/fi sh/sharks/statics/GAttack/World.htm Seccin 1.1 Qu es estadstica? Ataques Ataques ltima Territorio totales mortales muerte Ataques Ataques ltima Territorio totales mortales muerte EUA (sin Hawai) Australia frica Asia Islas del Pacfi co/ Oceana (sin Hawai) Hawai Sudamrica Antillas y Bahamas Centroamrica Nueva Zelanda Europa Bermudas No especifi cado MUNDIAL 881 345 276 117 131 113 100 38 135 70 55 50 15 23 2005 2006 2004 2000 2007 2004 2006 65 61 47 39 4 20 2,199 19 31 9 19 0 6 470 1972 1997 1968 1984 1965 2007 www.fullengineeringbook.net 4 Captulo 1 Estadstica 5HFXHUGDFRQVLGHUDU OD IXHQWHFXDQGR OHDVXQ UHSRUWHHVWDGtVWLFR$VHJ~UDWHGHTXH REVHUYDVHOFXDGURFRPSOHWR /RVXVRVGHODHVWDGtVWLFDVRQLOLPLWDGRV(VPXFKRPiVGLItFLOPHQFLRQDUXQFDPSR GRQGHQRVHXVHODHVWDGtVWLFDTXHPHQFLRQDUXQRHQHOTXHODHVWDGtVWLFDWHQJDXQDSDUWH LQWHJUDO/RVVLJXLHQWHVVRQDOJXQRVHMHPSORVGHFyPR\GyQGHVHXVDODHVWDGtVWLFD Q (QHGXFDFLyQIUHFXHQWHPHQWHVHXVDODHVWDGtVWLFDGHVFULSWLYDSDUDSUHVHQWDUUHVXO- WDGRVGHH[iPHQHV Q (QFLHQFLDVGHEHQUHFROHFWDUVH\DQDOL]DUVHORVGDWRVUHVXOWDQWHVGHORVH[SHULPHQWRV Q (QHOJRELHUQRWRGRHOWLHPSRVHUHFROHFWDQPXFKRVWLSRVGHGDWRVHVWDGtVWLFRV'H KHFKRSUREDEOHPHQWHHOJRELHUQRHVWDGRXQLGHQVHVHDHOPD\RUUHFROHFWRUGHGDWRV HVWDGtVWLFRVHQHOPXQGR 8QDSDUWHPX\LPSRUWDQWHGHOSURFHVRHVWDGtVWLFRHVHOHVWXGLRGHORVUHVXOWDGRVHVWDGtV- WLFRV \ OD IRUPXODFLyQ GH FRQFOXVLRQHV DGHFXDGDV'LFKDV FRQFOXVLRQHV GHVSXpV GHEHQ FRPXQLFDUVH GHPDQHUD SUHFLVD QR VH JDQD QDGD GH OD LQYHVWLJDFLyQ DPHQRV TXH ORV KDOOD]JRVVHFRPSDUWDQFRQRWURV/DVHVWDGtVWLFDVVHUHSRUWDQHQWRGDVSDUWHVSHULyGLFRV UHYLVWDVUDGLR\WHOHYLVLyQ7~OHHV\HVFXFKDVDFHUFDGHWRGRWLSRGHQXHYRVUHVXOWDGRVGH LQYHVWLJDFLyQHVSHFLDOPHQWHHQORVFDPSRVUHODFLRQDGRVFRQODVDOXG 3DUDFRQWLQXDUFRQHOHVWXGLRGHODHVWDGtVWLFDQHFHVLWDVKDEODUODMHUJD/DHVWDGtV- WLFDWLHQHVXSURSLDMHUJDWpUPLQRVPiVDOOiGHODestadstica descriptiva\ODestadstica inferencialTXHHVQHFHVDULRGHQLUHLOXVWUDU(QHVWDGtVWLFDHOFRQFHSWRGHSREODFLyQHV ODLGHDPiVIXQGDPHQWDO Poblacin Coleccin o conjunto de individuos, objetos o eventos cuyas pro- piedades se analizarn. /DSREODFLyQHVODFROHFFLyQPiVFRPSOHWDGHLQGLYLGXRVXREMHWRVTXHVRQGHLQWHUpV SDUDHOUHFROHFWRUGHODPXHVWUD/DSREODFLyQDHVWXGLDUGHEHGHQLUVHFXLGDGRVDPHQWH \ VH FRQVLGHUD FRPSOHWDPHQWHGHQLGD VyORFXDQGR VH HVSHFLFD VX OLVWDGHHOHPHQWRV PLHPEURV(OFRQMXQWRGHWRGRVORVHVWXGLDQWHVTXHDOJXQDYH]DVLVWLHURQDXQDXQLYHUVL- GDGHVWDGRXQLGHQVHHVXQHMHPSORGHXQDSREODFLyQELHQGHQLGD 8VXDOPHQWHVHSLHQVDHQXQDSREODFLyQFRPRHQXQDFROHFFLyQGHSHUVRQDV6LQHP- EDUJRHQHVWDGtVWLFDODSREODFLyQSRGUtDVHUXQDFROHFFLyQGHDQLPDOHVREMHWRVIDEULFD- GRVFXDOTXLHUFRVD3RUHMHPSORHOFRQMXQWRGHWRGDVODVVHFXR\DVHQ&DOLIRUQLDSRGUtD VHUXQDSREODFLyQ ([LVWHQGRVWLSRVGHSREODFLRQHVQLWDHLQQLWD&XDQGRODPHPEUHVtDGHXQDSREOD- FLyQSXHGHRSXGLHUDPHQFLRQDUVHItVLFDPHQWHVHGLFHTXHODSREODFLyQHVQLWD&XDQGR Sentido comn? Al usar el sentido comn mientras se revisa la grfica, uno ciertamente se alejara de Estados Unidos si suele disfrutar el ocano. Estados Unidos tiene dos quintos de los ataques mundiales de tiburones! Las aguas estadounidenses deben estar llenas de tiburones y los tiburones deben estar enojados! Sentido comn, recuerdas?, qu ocurre con esta grfica?, es un poco confusa?, qu ms podra influir en las estadsticas que se muestran aqu? Pri- mero, uno debe tomar en consideracin cunta costa de un pas o continente tiene contacto con un ocano. En segundo lugar, quin sigue la pista de estos ataques? Nota la fuente del mapa y el cuadro, el Florida Museum of Natural History, un museo en Estados Unidos. Aparentemente, Estados Unidos trata de seguir la pista de los ataques no provocados de tiburones. Qu ms es diferente de Estados Unidos en com- paracin con las otras reas? El ocano es un rea recreativa en los otros lugares? Cul es la economa de esas otras reas y/o quin sigue la pista de sus ataques de tiburones? PTI La estadstica es un asunto truculen- to "Una onza de tcni- ca estadstica requiere una libra de sentido comn para su aplica- cin adecuada." www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 5 ODPHPEUHVtDHVLOLPLWDGDODSREODFLyQHVLQQLWD/RVOLEURVHQODELEOLRWHFDGHWXHVFXHOD IRUPDQXQDSREODFLyQQLWDHO23$&2QOLQH3XEOLF$FFHVV&DWDORJ &DWiORJRHQOtQHDGH DFFHVRS~EOLFRHOFDWiORJRFRPSXWDUL]DGRGHWDUMHWDVPHQFLRQDODPHPEUHVtDH[DFWD7R- GRVORVYRWDQWHVUHJLVWUDGRVHQ(VWDGRV8QLGRVIRUPDQXQDSREODFLyQQLWDPX\JUDQGHVL HVQHFHVDULRSRGUtDFRPSLODUVHXQDFRPELQDFLyQGHWRGRVORVYRWDQWHVPHQFLRQDGRVHQWR GDVODVVHFFLRQHVHOHFWRUDOHVDORODUJRGH(VWDGRV8QLGRV3RURWUDSDUWHODSREODFLyQGHWRGDV ODVSHUVRQDVTXHSRGUtDQFRQVXPLUDVSLULQD\ODSREODFLyQGHWRGDVODVERPELOODVGHZDWWV TXHSURGXFLUi*HQHUDO(OHFWULFVRQLQQLWDV/DVSREODFLRQHVJUDQGHVVRQGLItFLOHVGHHVWXGLDU SRUWDQWRVHDFRVWXPEUDVHOHFFLRQDUXQDPXHVWUD\HVWXGLDUORVGDWRVHQGLFKDPXHVWUD Muestra Un subconjunto en una poblacin. 8QDPXHVWUDFRQVLVWHHQORVLQGLYLGXRVREMHWRVRPHGLFLRQHVVHOHFFLRQDGRVGHODSR- EODFLyQSRUHOUHFROHFWRUGHODPXHVWUD Variable (o variable de respuesta) Una caracterstica de inters acerca de cada elemento individual de una poblacin o muestra. /DHGDGGHXQHVWXGLDQWHDOLQJUHVDUDODXQLYHUVLGDGHOFRORUGHVXFDEHOORVXHVWDWXUD \VXSHVRVRQFXDWURYDULDEOHV Valor de datos El valor de la variable asociado con un elemento de una po- blacin o muestra. Este valor puede ser un nmero, una palabra o un smbolo. 3RUHMHPSOR%LOO-RQHVHQWUyDODXQLYHUVLGDGDODHGDGVXFDEHOORHVFDIpPLGH SXOJDGDVGHDOWR\SHVDOLEUDV(VWRVFXDWURYDORUHVGHGDWRVVRQORVYDORUHV SDUDODVFXDWURYDULDEOHVDSOLFDGDVD%LOO-RQHV Datos El conjunto de valores recolectados de la variable para cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra. Una vez recolectados todos los datos, es prctica comn referirse al conjunto de datos como la muestra. (OJUXSRGHHVWDWXUDVUHFROHFWDGDVGHHVWXGLDQWHVHVXQHMHPSORGHXQFRQMXQWR GHGDWRV Experimento Actividad planificada cuyos resultados producen un conjunto de datos. 8Q H[SHULPHQWR LQFOX\H ODV DFWLYLGDGHV WDQWR SDUD VHOHFFLRQDU ORV HOHPHQWRV FRPR SDUDREWHQHUORVYDORUHVGHGDWRV Parmetro Valor numrico que resume todos los datos de una poblacin en- tera. /DHGDGSURPHGLRDOPRPHQWRGHODDGPLVLyQSDUDWRGRVORVHVWXGLDQWHVTXHDOJXQD YH]DVLVWLHURQDWXXQLYHUVLGDG\ODSURSRUFLyQGHHVWXGLDQWHVTXHHUDQPD\RUHVDDxRV GHHGDGFXDQGRLQJUHVDURQDODXQLYHUVLGDGVRQHMHPSORVGHGRVSDUiPHWURVSREODFLRQDOHV 8QSDUiPHWURHVXQYDORUTXHGHVFULEHDODSREODFLyQHQWHUD&RQIUHFXHQFLDVHXVDXQD OHWUDJULHJDSDUD VLPEROL]DU HO QRPEUHGHXQSDUiPHWUR'LFKRV VtPERORV VH DVLJQDUiQ FRQIRUPHVHHVWXGLHQSDUiPHWURVHVSHFtFRV SABAS QUE...? Slo un momentito Un momentito (jiffy) es una unidad de tiempo real que se usa en inge- niera de cmputo. Si vas a comer tu desayuno en un momentito, tendrs que hacerlo en 10 milise- gundos (0.01 segundo)! Seccin 1.1 Qu es estadstica? www.fullengineeringbook.net 6 Captulo 1 Estadstica E J E M P L O 1 . 5 3DUDFDGDSDUiPHWURH[LVWHXQestadstico muestral correspondiente(OHVWDGtVWLFRGHV- FULEHODPXHVWUDGHODPLVPDIRUPDTXHHOSDUiPHWURGHVFULEHDODSREODFLyQ Estadstico Valor numrico que resume los datos muestrales. /DHVWDWXUDSURPHGLRTXHVHHQFXHQWUDDOXVDUHOFRQMXQWRGHHVWDWXUDVHVXQ HMHPSORGHXQHVWDGtVWLFRPXHVWUDO8QHVWDGtVWLFRHVXQYDORUTXHGHVFULEHXQDPXHVWUD /DPD\RUtDGHORVHVWDGtVWLFRVPXHVWUDOHVVHHQFXHQWUDQFRQODD\XGDGHIyUPXODV\XVXDO- PHQWHVHOHVDVLJQDQQRPEUHVVLPEyOLFRVTXHVRQOHWUDVGHODOIDEHWRSRUHMHPSORxs\r Nota:6LVHWRPDUDXQDVHJXQGDPXHVWUDUHVXOWDUtDHQXQFRQMXQWRGLIHUHQWHGHSHUVRQDV DVHOHFFLRQDUSRUGHFLUHOGHSDUWDPHQWRGHLQJOpV\SRUWDQWRVHDQWLFLSDUtDXQGLIHUHQWH YDORUSDUDHOHVWDGtVWLFRYDORUSURPHGLR6LQHPEDUJRQRFDPELDUtDHOYDORUSURPHGLR SDUDWRGRVORVDXWRPyYLOHVSURSLHGDGGHOSHUVRQDOGRFHQWH %iVLFDPHQWHH[LVWHQGRVWLSRVGHYDULDEOHVYDULDEOHVTXHUHVXOWDQHQLQIRUPDFLyQ cualitativa\YDULDEOHVTXHUHVXOWDQHQLQIRUPDFLyQcuantitativa. Variable cualitativa, categrica o atributo Variable que describe o jerarquiza un elemento de una poblacin. Variable cuantitativa o numrica Variable que cuantifica un elemento de una poblacin. APLICACIN DE TRMINOS BSICOS Un estudiante de estadstica est interesado en descubrir algo acerca del valor promedio en dlares de los automviles propiedad de los miembros del perso- nal docente de su universidad. En esta situacin pueden identificarse cada uno de los ocho trminos recin descritos. 1. La poblacin es la coleccin de todos los automviles propiedad de todos los miembros del personal docente de la universidad. 2. Una muestra es cualquier subconjunto de dicha poblacin. Por ejemplo, los automviles propiedad de los miembros del departamento de mate- mticas es una muestra. 3. La variable es el "valor en dlares" de cada automvil individual. 4. Un valor de datos es el valor en dlares de un automvil particular. El automvil del Sr. Jones, por ejemplo, est valuado en $9 400. 5. Los datos son el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida (9 400; 8 700; 15 950...). 6. El experimento consiste en los mtodos usados para seleccionar los automviles que forman la muestra y para determinar el valor de ca- da automvil en la muestra. Podra llevarse a cabo al preguntar a cada miembro del departamento de matemticas o de otras formas. 7. El parmetro acerca del cual se busca informacin es el valor "prome- dio" de todos los automviles en la poblacin. 8. El estadstico que se encontrar es el valor "promedio" de los automvi- les en la muestra. PTI Los parmetros describen la poblacin; nota que ambas pala- bras comienzan con la letra p. Un estadstico describe la muestra; nota que ambas pala- bras tienen la combina- cin es. PTI Los parmetros tienen valor fijo, mien- tras que los estadsticos tienen valor variable. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 7 8QDPXHVWUDGHFXDWURFOLHQWHVGHXQVDOyQGHEHOOH]DVHHQFXHVWDSRUVXFRORUGH FDEHOORFLXGDGGHRULJHQ\QLYHOGHVDWLVIDFFLyQFRQORVUHVXOWDGRVGHVXWUDWDPLHQ- WRHQHOVDOyQ/DVWUHVYDULDEOHVVRQHMHPSORVGHYDULDEOHVDWULEXWRFXDOLWDWLYRSRUTXH GHVFULEHQDOJXQDFDUDFWHUtVWLFDGHODSHUVRQD\WRGDVODVSHUVRQDVFRQHOPLVPRDWULEXWR SHUWHQHFHQDODPLVPDFDWHJRUtD/RVGDWRVUHFROHFWDGRVIXHURQ^UXELRFDIpQHJURFDIp` ^%ULJKWRQ&ROXPEXV$OEDQ\-DFNVRQYLOOH`\^PX\VDWLVIHFKRVDWLVIHFKRXQSRFRVDWLV- IHFKRQRVDWLVIHFKR` (OFRVWRWRWDOGHORVOLEURVGHWH[WRFRPSUDGRVSRUFDGDHVWXGLDQWHSDUDODVFODVHVGH HVWHVHPHVWUHHVXQHMHPSORGHXQDYDULDEOHFXDQWLWDWLYDQXPpULFD8QDPXHVWUDUHVXOWyHQ ORVVLJXLHQWHVGDWRV>3DUDHQFRQWUDUHOFRVWRSURPHGLRVLP- SOHPHQWHVXPDORVWUHVQ~PHURV\GLYLGHHQWUH @ Nota:/DVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDVFRPRODVXPD\HOSURPHGLRVRQVLJQLFDWLYDVSDUD GDWRVTXHUHVXOWDQGHXQDYDULDEOHFXDQWLWDWLYD &DGDXQRGHHVWRVWLSRVGHYDULDEOHVFXDOLWDWLYD\FXDQWLWDWLYDSXHGHQVXEGLYLGLUVH D~QPiVFRPRVHLOXVWUDHQHOVLJXLHQWHGLDJUDPD /DVYDULDEOHVFXDOLWDWLYDVSXHGHQFDUDFWHUL]DUVHFRPRQRPLQDOHVXRUGLQDOHV Variable nominal Variable cualitativa que caracteriza (describe o nombra) un elemento de una poblacin. No slo las operaciones aritmticas no son significativas para los datos que resultan de una variable nominal, tampoco puede asignarse un orden a las categoras. (QODHQFXHVWDGHFXDWURFOLHQWHVGHOVDOyQGHEHOOH]DGRVGHODVYDULDEOHVFRORUGH FDEHOOR\FLXGDGGHRULJHQVRQHMHPSORVGHYDULDEOHVQRPLQDOHVSRUTXHDPEDVPHQ- FLRQDQDOJXQDFDUDFWHUtVWLFDGHODSHUVRQD\QRVHUtDQVLJQLFDWLYDVSDUDHQFRQWUDUHOSUR- PHGLRPXHVWUDODOVXPDU\GLYLGLUHQWUH3RUHMHPSORUXELRFDIpQHJURFDIpHV LQGHQLGR0iVD~QHOFRORUGHFDEHOOR\ODFLXGDGGHRULJHQQRWLHQHQXQRUGHQHQVXV FDWHJRUtDV Variable ordinal Variable cualitativa que incorpora una posicin ordenada o clasificacin. (QODHQFXHVWDGHFXDWURFOLHQWHVGHOVDOyQGHEHOOH]DODYDULDEOHQLYHOGHVDWLVIDF- FLyQHVXQHMHPSORGHXQDYDULDEOHRUGLQDOSRUTXHVtLQFRUSRUDXQDFODVLFDFLyQRUGHQD- GDPX\VDWLVIHFKRVHFODVLFDDGHODQWHGHVDWLVIHFKRTXHFODVLFDDGHODQWHGHXQ SRFRVDWLVIHFKR2WUDLOXVWUDFLyQGHXQDYDULDEOHRUGLQDOHVODFODVLFDFLyQGHFLQFRLPi- JHQHVGHSDLVDMHVGH DFXHUGR FRQ ODSUHIHUHQFLDGH DOJXLHQ3ULPHUD HOHFFLyQ VHJXQGD HOHFFLyQHWFpWHUD /DVYDULDEOHVFXDQWLWDWLYDVRQXPpULFDVWDPELpQVHSXHGHQVXEGLYLGLUHQGRVFODVLFD- FLRQHVYDULDEOHVdiscretas\YDULDEOHVcontinuas. 9DULDEOH &XDOLWDWLYDRDWULEXWR &XDQWLWDWLYDRQXPpULFD 1RPLQDO 2UGLQDO 'LVFUHWD &RQWLQXD Seccin 1.1 Qu es estadstica? www.fullengineeringbook.net 8 Captulo 1 Estadstica Variable discreta Variable cuantitativa que puede asumir un nmero contable de valores. Intuitivamente, la variable discreta puede asumir cualquier valor correspondiente a puntos aislados a lo largo de un intervalo lineal. Esto es: entre dos valores cualesquiera existe un intervalo. Variable continua Variable cuantitativa que puede asumir un nmero incon- table de valores. Intuitivamente, la variable continua puede asumir cual- quier valor a lo largo de un intervalo lineal, incluido todo posible valor entre dos valores cualesquiera. (QPXFKRVFDVRVORVGRVWLSRVGHYDULDEOHVSXHGHQGLVWLQJXLUVHDOGHFLGLUVLODVYD- ULDEOHVVHUHODFLRQDQFRQXQDFXHQWDRXQDPHGLFLyQ/DYDULDEOHQ~PHURGHFXUVRVHQ ORVTXHHVWiVDFWXDOPHQWHLQVFULWRHVXQHMHPSORGHXQDYDULDEOHGLVFUHWDORVYDORUHVGH ODYDULDEOHSXHGHQHQFRQWUDUVHDOFRQWDUORVFXUVRV&XDQGRFXHQWDVQRSXHGHQRFXUULU YDORUHVIUDFFLRQDULRVSRUHQGHSXHGHQRFXUULULQWHUYDORVHQWUHORVYDORUHV/DYDULDEOH SHVRGHOLEURV\VXPLQLVWURVTXHOOHYDVDFODVHHOGtDGHKR\HVXQHMHPSORGHXQDYD- ULDEOHDOHDWRULDFRQWLQXDORVYDORUHVGHODYDULDEOHSXHGHQHQFRQWUDUVHDOPHGLUHOSHVR &XDQGRPLGHVSXHGHRFXUULUFXDOTXLHUYDORUIUDFFLRQDULRSRUHQGHHVSRVLEOHWRGRYDORU DORODUJRGHODOtQHDQXPpULFD &XDQGRWUDWDVGHGHWHUPLQDUVLXQDYDULDEOHHVGLVFUHWDRFRQWLQXDUHFXHUGDREVHUYDUOD YDULDEOH\SLHQVDHQORVYDORUHVTXHSXHGHQRFXUULU1RREVHUYHVVyORORVYDORUHVGHOGDWR TXHVHKD\DQUHJLVWUDGRSXHGHQVHUPX\HQJDxRVRV &RQVLGHUDODYDULDEOHFDOLFDFLyQGHOMXH]HQXQDFRPSHWHQFLDGHSDWLQDMHGHJXUD 6LREVHUYDVDOJXQDVFDOLFDFLRQHVTXHRFXUULHURQSUHYLDPHQWH\YHVOD SUHVHQFLDGHGHFLPDOHVSXHGHVSHQVDUTXHVRQSRVLEOHVWRGDVODVIUDFFLRQHV\FRQFOX\HV TXHODYDULDEOHHVFRQWLQXD6LQHPEDUJRHVWRQRHVFLHUWR(VLPSRVLEOHXQDFDOLFDFLyQ GHSRUWDQWRH[LVWHQLQWHUYDORVHQWUHORVSRVLEOHVYDORUHV\ODYDULDEOHHVGLVFUHWD Nota:1RSHUPLWDVTXHODDSDULHQFLDGHORVGDWRVWHHQJDxHHQFXDQWRDVXWLSR/DVYDULD- EOHVFXDOLWDWLYDVQRVLHPSUHVRQIiFLOHVGHUHFRQRFHUHQRFDVLRQHVDSDUHFHQFRPRQ~PH- URV/DPXHVWUDGHFRORUHVGHFDEHOORSRGUtDFRGLFDUVH QHJUR UXELR FDIp/RV GDWRVPXHVWUDOHVDSDUHFHUtDQHQWRQFHVFRPR`SHURD~QDVtVRQGDWRVQRPLQDOHV &DOFXODUHOFRORUGHFDEHOORSURPHGLR>@ @WRGDYtDQRWLHQH VLJQLFDGR/DVFLXGDGHVGHRULJHQSRGUtDQLGHQWLFDUVHXVDQGRFyGLJRVSRVWDOHV(OSUR- PHGLRGHORVFyGLJRVSRVWDOHVWDPSRFRWHQGUtDVHQWLGRSRUWDQWRORVQ~PHURVGHFyGLJR SRVWDOWDPELpQVRQQRPLQDOHV 2EVHUYDRWURHMHPSOR6XSyQTXHGHVSXpVGHHQFXHVWDUXQHVWDFLRQDPLHQWRUHVXPHV ORVGDWRVGHODPXHVWUDDOUHSRUWDUDXWRPyYLOHVURMRVD]XOHVYHUGHV\DPDULOORV'H- EHVREVHUYDUFDGDIXHQWHLQGLYLGXDOSDUDGHWHUPLQDUHOWLSRGHLQIRUPDFLyQDUHFROHFWDU8Q DXWRPyYLOHVSHFtFRHUDURMRURMRHVHOYDORUGHGDWRGHHVHDXWRPyYLO\URMRHVXQDWUL- EXWR3RUHQGHHVWDFROHFFLyQURMRVD]XOHVHWFHVXQUHVXPHQGHGDWRVQRPLQDOHV 2WURHMHPSORGHLQIRUPDFLyQTXHHVHQJDxRVDHVXQQ~PHURGHLGHQWLFDFLyQ9XHOR \+DELWDFLyQSDUHFHQVHUDPERVGDWRVQXPpULFRV6LQHPEDUJRHOQXPHUDO QRGHVFULEHDOJXQDSURSLHGDGGHOYXHORGHPRUDGRRDWLHPSRFDOLGDGGHORVERFDGLOORV VHUYLGRVQ~PHURGHSDVDMHURVRDOJRPiVDFHUFDGHOYXHOR(OQ~PHURGHYXHORVyORLGHQ- WLFDXQYXHORHVSHFtFR/RVQ~PHURVGHOLFHQFLDGHFRQGXFWRUQ~PHURVGHVHJXURVRFLDO \Q~PHURVGHFXHQWDEDQFDULDVRQWRGRVQ~PHURVGHLGHQWLFDFLyQXVDGRVHQHOVHQWLGR QRPLQDOQRHQHOVHQWLGRFXDQWLWDWLYR 5HFXHUGDH[DPLQDUODYDULDEOHLQGLYLGXDO\XQYDORUGHGDWRVLQGLYLGXDO\WHQGUiVSR- FRVSUREOHPDVDOGLVWLQJXLUHQWUHORVGLIHUHQWHVWLSRVGHYDULDEOHV www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 9 E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 6 Enfrntalo: la mayora de las personas suean con tener estos ingresos en toda su vida. Si alguien tiene un empleo lucrativo cada ao desde los 21 aos de edad hasta los 62 y gana un milln al ao, eso seran 42 millones durante toda la vida. La mayora de las personas ni siquiera pueden abrigar en sus cabezas dicho concepto. Probablemente pienses: "Contrtenme para ser un atleta superestrella!". Observa cmo puedes aplicar la nueva terminologa al "Gran cheque". Pri- mero, la poblacin general de inters seran los atletas profesionales. Ms an, la informacin en la tabla anterior demuestra varios tipos de variables. El nom- bre del atleta por lo general no se considera como una variable; slo es con propsitos de identifi cacin. Los otros tres tipos de informacin son variables: 1. Clasifi cacin, es cualitativa y una variable ordinal, pues incorpora el concepto de posicin ordenada. 2. Deporte, es cualitativa y una variable nominal, pues describe el deporte del atleta. 3. Ganancias, es cuantitativa y una variable continua, pues mide el ingre- so del atleta. Por lo general, las cantidades de dinero se consideran con- tinuas, pues son posibles partes fraccionarias de dlares, aun cuando la cantidad generalmente se redondea al dlar o centavo ms cercano. Izquierda: Imagen copyright cloki, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Izquierda centro: Imagen copyright Charlene Bayerle, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Derecha centro: Imagen copyright Rafa Irusta, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Derecha: Imagen copyright hanzl, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Fuente: http://www.getlisty.com/preview/highest-paid-athletes/ Clasifi cacin Atleta Deporte Ganancias (dlares) 1 Tiger Woods Golf $110 millones 2 Kobe Bryant Bsquetbol $45 millones 2 Michael Jordan Bsquetbol $45 millones 2 Kimi Raikkonen Automovilismo $45 millones 5 David Beckham Soccer $42 millones Los atletas mejor pagados del mundo La lista de Forbes de los atletas mejor pagados observa las ganancias derivadas por salarios, bonos, premios, patrocinios y licencias entre junio de 2008 y junio de 2009 y no se deducen de impuestos u honorarios de agentes. He aqu a los cinco ms altos: Seccin 1.1 Qu es estadstica? EL GRAN CHEQUE www.fullengineeringbook.net 10 Captulo 1 Estadstica E J E R C I C I O S S E C C I N 1 . 1 1.13RVW\RXULQIRHVXQVHUYLFLRPXQGLDOGRQGHORVXVXDULRV GHLQWHUQHWGHWRGRHOPXQGRSXHGHQWRPDUSDUWHHQFXHVWLR- QDULRV>KWWSSRVW\RXULQIR@$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDXQD JUiFDTXHPXHVWUDHOUHVXPHQFRPELQDGRGHFyPRORVXVXD- ULRVUHVSRQGLHURQDXQDGHODVSUHJXQWDVSODQWHDGDV/RVUHVXO- WDGRVVHSURSRUFLRQDQHQSRUFHQWDMHFXHQWD D 4XpSUHJXQWDVHSODQWHy\UHVSRQGLySDUDUHFROHFWDUOD LQIRUPDFLyQTXHVHSUHVHQWDHQHVWDJUiFD" E $TXLpQVHSODQWHyODSUHJXQWD" F &XiQWDVSHUVRQDVUHVSRQGLHURQODSUHJXQWD" G 9HULFDORVSRUFHQWDMHV\ H /RVSRUFHQWDMHVUHSRUWDGRVHQHVWDJUiFDHVSUREDEOH TXHVHDQUHSUHVHQWDWLYRVGHWRGDVODVSHUVRQDV"([SOLFD SRUTXpVtRSRUTXpQR 1.2 7UDEDMDV GXUR SRU WX GLQHUR" /RV SURIHVLRQDOHV -DYD FUHHQTXHVt\UHSRUWDQODUJDVKRUDVGHWUDEDMRHQVXVHPSOHRV 6HHQFXHVWyDGHVDUUROODGRUHV-DYDDOUHGHGRUGHOPXQGRDFHUFD GHOQ~PHURGHKRUDVTXHWUDEDMDQVHPDQDOPHQWH$FRQWLQXD- FLyQVHSUHVHQWDHOQ~PHURGHKRUDVSURPHGLRODERUDGDVVHPD- QDOPHQWHHQYDULDVUHJLRQHVGH(VWDGRV8QLGRV\HOPXQGR D &XiQWDVKRUDVWUDEDMDVSRUVHPDQDRDQWLFLSDVWUDEDMDU GHVSXpVGHJUDGXDUWH" E 4XpOHRFXUULyDODVHPDQDODERUDOGHKRUDV"3DUHFH TXHH[LVWHSDUDORVSURIHVLRQDOHV-DYD" F /DLQIRUPDFLyQHQHVWHFXDGURKDFHSDUHFHUDWUDFWLYDXQD FDUUHUDFRPRSURIHVLRQDO-DYD" 1.3 D &DGDXQDGHODVJUiFDVHVWDGtVWLFDVTXHVHSUH- VHQWDQHQODSULPHUDSiJLQDGHHVWHFDStWXORSDUHFH VXJHULUTXHODLQIRUPDFLyQHVDFHUFDGHFXiOSREOD- FLyQ"pVWHHVHOFDVR"-XVWLFDWXUHVSXHVWD E 'HVFULEHODLQIRUPDFLyQTXHVHUHFROHFWy\~VDOD SDUDGHWHUPLQDUHOHVWDGtVWLFRUHSRUWDGRHQ7H SUHRFXSDVSRUORVPHQVDMHV" F8QDKRUDRPHQRVIXHXQHVWDGtVWLFRHVSH- FtFRUHSRUWDGRHQ7HSUHRFXSDVSRUORVPHQVD- MHV"'HVFULEHTXpWHGLFHGLFKRHVWDGtVWLFR 1.4D&RQVLGHUDODJUiFD&RQFXiQWDIUHFXHQFLDKDFHV WXFDPD"6LWHSUHJXQWDUDQFyPRUHVSRQGHUtDV" TXpVLJQLFDHOSRUFHQWDMHDVRFLDGRFRQWXUHVSXHV- WD"([SOLFD E &yPRLQWHUSUHWDVHO6HPDQDOPHQWHUHSRUWD- GRHQ&RQFXiQWDIUHFXHQFLDKDFHVWXFDPD"" 1.5D (VFULEHXQSiUUDIRGHSDODEUDVTXHGHVFULEDORTXH VLJQLFDSDUDWLODSDODEUDHVWDGtVWLFDMXVWRDKRUD E (VFULEHXQSiUUDIRGHSDODEUDVTXHGHVFULEDORTXH VLJQLFDSDUDWLODSDODEUDDOHDWRULRMXVWRDKRUD F (VFULEHXQSiUUDIRGHSDODEUDVTXHGHVFULEDORTXH VLJQLFDSDUDWLODSDODEUDPXHVWUDMXVWRDKRUD 1.6 EstadsticaVHGHQHHQODSiJLQDFRPRODFLHQFLDGH UHFROHFWDUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUGDWRV8VDWXVSDODEUDV\HV- FULEHXQDRUDFLyQTXHGHVFULEDFDGDXQDGHODVWUHVDFWLYLGDGHV HVWDGtVWLFDV&RQVHUYDWXWUDEDMRSDUDHO(MHUFLFLR 1.7'HWHUPLQDFXiOGHORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRVHVGHVFULSWL- YRHQQDWXUDOH]D\FXiOHVLQIHUHQFLDO&RQVXOWDHO4XpHGDG WLHQHPLSH]"GHO(MHPSORDSOLFDGRS D 7RGDVODVORELQDVGHSXOJDGDVHQHOHVWDGRGH1XHYD <RUNWLHQHQXQSURPHGLRGHWUHVDxRVGHHGDG E 'HODVORELQDVXVDGDVHQODPXHVWUDSDUDHODERUDUODNYS DEC Freshwater Fishing GuideODHGDGSURPHGLRGHODV ORELQDVGHSXOJDGDVHUDGHWUHVDxRV 1.8'HWHUPLQDFXiOGH ORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRVHVGHVFULS- WLYRHQQDWXUDOH]D\FXiOHVLQIHUHQFLDO&RQVXOWDHO0XFKRV DGROHVFHQWHVXVDQFHOXODUHVHQFODVHGHO(MHPSORDSOLFDGR S D 'HORVDGROHVFHQWHVHQFXHVWDGRVHQPD\R\MXQLRGH WLHQHQWHOpIRQRVFHOXODUHV E (QPD\RMXQLRGHGHWRGRVORVDGROHVFHQWHV QRWHQtDQWHOpIRQRFHOXODU 1.9 &RQVXOWD OD JUiFD)LMDU XQD IHFKD SDUD XQD FLWD QRF WXUQD Con cunta frecuencia comes fruta? (sin importar las razones) Casi nunca Muchas veces al ao Menos de una vez al mes Aproximadamente una vez al mes Varias veces al mes Aproximadamente una vez a la semana Varias veces a la semana Casi todos los das Todos los das (no menos de 9 de cada 10 das) Es difcil decir Fuente: http://postyour.info/ Regin Horas laboradas Regin Horas laboradas EUA 48 California 50 Noreste 47 Pacfico NW 47 Atlntico medio 49 Canad 43 Sur 47 Europa 48 Medio Oeste 47 Asia 47 Montaa central 51 Sudamrica 49 y frica Fuente: Jupitermedia Corporation 1.59% (1) 1.59% (1) 1.59% (1) 4.76% (3) 17.46% (11) 14.29% (9) 25.4% (16) 22.22% (14) 7.94% (5) 3.17% (2) www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 11 D $TXpJUXSRGHSHUVRQDVVHHQFXHVWy" E $FXiQWDVSHUVRQDVVHHQFXHVWy" F 4XpLQIRUPDFLyQVHREWXYRGHFDGDSHUVRQD" G ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHGLFHQTXHXQDYH]FDGD PHVHV H &XiQWDVSHUVRQDVUHVSRQGLHURQ8QDYH]FDGDPH- VHV" 1.10,QWHUQDWLRQDO&RPPXQLFDWLRQV5HVHDUFK,&5UHDOL]yOD (QFXHVWDGH/LPSLH]D*HQHUDOSDUDOD6RDSDQG'HWHU- JHQW$VVRFLDWLRQ,&5HQWUHYLVWyDDGXOWRVHVWDGRXQLGHQ- VHVTXHKDFHQ OLPSLH]DJHQHUDODFHUFDGHSDUDFXiO ODERUGH OLPSLH]DOHVJXVWDUtDFRQWUDWDUDDOJXLHQSDUDTXHODUHDOLFHSRU HOORV/RVUHVXOWDGRVGHODERUIXHURQODYDUYHQWDQDV ODYDUHOEDxROLPSLDUODFRFLQDTXLWDUHOSROYR WUDSHDURWUD/DHQFXHVWDWLHQHXQPDUJHQGHHUURUGH PiVRPHQRV D &XiOHVODSREODFLyQ" E $FXiQWDVSHUVRQDVVHHQWUHYLVWy" F 4XpLQIRUPDFLyQVHREWXYRGHFDGDSHUVRQD" G &RQODLQIRUPDFLyQGDGDHVWLPDHOQ~PHURGHDGXOWRV HQFXHVWDGRVTXHJXVWRVDPHQWHFRQWUDWDUtDQDDOJXLHQSDUD ODYDUODVYHQWDQDVVLSXGLHUDQ H 4XpFUHHVTXHVLJQLFDPDUJHQGHHUURUGHPiVRPH- QRV" I &yPRXVDUtDVHOPDUJHQGHHUURUSDUDHVWLPDUHOSRU- FHQWDMHGHWRGRVORVDGXOWRVDTXLHQHVOHVJXVWDUtDFRQWUD- WDUDDOJXLHQSDUDODODERUGHOLPSLH]DJHQHUDOGHOLPSLDU ODFRFLQD" 1.112SLQLRQ5HVHDUFK&RUSRUDWLRQUHDOL]yODHQFXHVWD /HPHOVRQ0,7 ,QYHQWLRQ ,QGH[ GH DGROHVFHQWHV FRQ HGDGHVGHDxRV$ORVDGROHVFHQWHVVHOHVSUHJXQWyTXp LQYHQWR FRWLGLDQR FRQVLGHUDEDQ TXH VHUtD REVROHWR HQ FLQFR DxRV&RQVXOWDODJUiFD'HPRGDXQGtDSDVDGRGHPRGD DOVLJXLHQWH D &XiOHVODSREODFLyQ" E $FXiQWDVSHUVRQDVVHHQFXHVWy" F 4XpLQIRUPDFLyQVHREWXYRGHFDGDSHUVRQD" G (VWLPDHOQ~PHURGHDGROHVFHQWHVHQFXHVWDGRVTXHFRQ- VLGHUDURQTXHHOUDWyQGHFRPSXWDGRUDVHUtDREVROHWRHQ FLQFRDxRV H 4XpFUHHVTXHVLJQLFDHOPDUJHQGHHUURUGH SXQWRVSRUFHQWXDOHV" I &yPRXVDUtDVHOPDUJHQGHHUURUSDUDHVWLPDUHOSRU- FHQWDMHGHWRGRVORVDGROHVFHQWHVTXHFUHHQTXHHOUDWyQ GHFRPSXWDGRUDVHUiREVROHWRHQFLQFRDxRV" 1.12&RQVXOWDODJUiFDGHODVLJXLHQWHSiJLQD(QTXpSLHQ- VDVJDVWDUWXGHYROXFLyQGHLPSXHVWRV"S D 'HVFULEHODSREODFLyQGHLQWHUpV E 'HVFULEHODPXHVWUDPiVSUREDEOHPHQWHXVDGDSDUDHVWH UHSRUWH F ,GHQWLFDODVYDULDEOHVXVDGDVSDUDUHFROHFWDUHVWDLQIRU- PDFLyQ G 4XpKDUiODPD\RUtDGHODJHQWHFRQVXGHYROXFLyQGH LPSXHVWRV"&yPRVHPXHVWUDHVWDPD\RUtDHQODJUiFD" ATAQUE EXTRATERRESTRE Fijar una fecha para una cita nocturna Fuente: Frigidaire Motherload Index; encuesta de 1 170 mujeres casadas, edades 25-50 aos, que tienen dos o ms hijos. La primera dama Michelle Obama y el presidente Obama recien- temente gozaron de una noche privada. Con cunta frecuencia otras madres dicen que tienen una cita nocturna con sus esposos?: Una vez cada 7 meses o menos frecuentemente Una vez cada 4-6 meses Una vez a la semana o ms frecuen- temente 4% Una vez al mes o ms frecuentemente Una vez cada 2-3 meses muy pronto!!! Fuente: 2009 Lemelson-MIT Invention Index; encuesta de 501 adolescentes, dades 12-17 aos, por parte de Opinion Research Corp. Margen de error 4.3 puntos porcentuales. De moda un da, pasado de moda al siguiente Cules inventos cotidianos dicen los adolescentes que sern obsoletos en cinco aos: Automviles impulsados por gasolina 37% Telfonos almbricos 32% Ratn de computadora 21% TV 3% Seccin 1.1 Qu es estadstica? www.fullengineeringbook.net 12 Captulo 1 Estadstica 1.13'XUDQWHXQDWUDQVPLVLyQGHUDGLRKDFHDOJXQRVDxRV'D- YLG(VVHOUHSRUWyORVVLJXLHQWHVWUHVHVWDGtVWLFRVODWDVDGH GLYRUFLRVHQ(VWDGRV8QLGRVHV\FXDQGRVHSUHJXQWyD ORVDGXOWRVFDVDGRVVLYROYHUtDQDFDVDUVHFRQVXVFyQ\XJHV GHODVPXMHUHVGLMRTXHVt\GHORVKRPEUHVGLMR TXHVt D &XiOHVODWDVDGHSHUPDQHFHUFDVDGR" E 3DUHFHH[LVWLUFRQWUDGLFFLyQHQHVWDLQIRUPDFLyQ&yPR HVSRVLEOHTXHHVWDVWUHVGHFODUDFLRQHVHVWpQFRUUHFWDV" ([SOLTXH 1.14(OFRQRFLPLHQWRGHO WUDEDMRGH ODVHVWDGtVWLFDVHVPX\ ~WLOFXDQGRVHUHTXLHUHHQWHQGHUODVHVWDGtVWLFDVGLYXOJDGDVHQ ORVPHGLRVGHFRPXQLFDFLyQ/DVDJHQFLDVGHQRWLFLDV\QXHV- WURJRELHUQRKDFHQDPHQXGRDOJXQDGHFODUDFLyQSRUHMHPSOR (OtQGLFHGHFULPLQDOLGDGDXPHQWyHQODFLXGDG D 8QDXPHQWRHQODWDVDDSDUWLUGHDUHSUHVHQWDXQ DXPHQWRGH"([SOLTXH E 3RUTXpDOJXLHQUHSRUWDUtDXQDXPHQWRGHDFRPRXQ VDOWRGHHQODWDVD" 1.15'H ODSREODFLyQHVWDGRXQLGHQVHDGXOWDWLHQHXQD DOHUJLD8QDPXHVWUDGHDGXOWRVVHOHFFLRQDGRVDOD]DU UHVXOWyHQTXHWHQtDXQDDOHUJLD D 'HVFULEHODSREODFLyQ E &XiOHVODPXHVWUD" F 'HVFULEHODYDULDEOH G ,GHQWLFDHOHVWDGtVWLFR\SURSRUFLRQDVXYDORU H ,GHQWLFDHOSDUiPHWUR\SURSRUFLRQDVXYDORU 1.16(QFXHQWUDXQDUWtFXORSHULRGtVWLFRUHFLHQWHTXHLOXVWUHXQ WLSRGHUHSRUWHODVPDQ]DQDVVRQPDODV 1.17&RQWXVSDODEUDVH[SOLFDSRUTXpHOSDUiPHWURHVMR\ HOHVWDGtVWLFRYDUtD 1.18 (OQ~PHURHQXQDFDPLVHWDGH I~WEROHVXQDYDULDEOH FXDQWLWDWLYDRFDWHJyULFD"$SR\DWXUHVSXHVWDFRQXQDH[SOL- FDFLyQGHWDOODGD 1.19D 0HQFLRQDGRVYDULDEOHVGHDWULEXWRUHODFLRQDGDVFRQ FOLHQWHVTXHXQDWLHQGDGHGHSDUWDPHQWRVUHFLHQWH- PHQWHDELHUWDHQFXHQWUHLQIRUPDWLYRHVWXGLDU E 0HQFLRQDGRVYDULDEOHVQXPpULFDVUHODFLRQDGDVFRQ FOLHQWHVTXHXQDWLHQGDGHGHSDUWDPHQWRVUHFLHQWH- PHQWHDELHUWDHQFXHQWUHLQIRUPDWLYRHVWXGLDU 1.20D 0HQFLRQDGRVYDULDEOHVQRPLQDOHVUHODFLRQDGDVFRQ FOLHQWHVTXHXQDWLHQGDGHGHSDUWDPHQWRVUHFLHQWH- PHQWHDELHUWDHQFXHQWUHLQIRUPDWLYRHVWXGLDU E 0HQFLRQDGRVYDULDEOHVRUGLQDOHVUHODFLRQDGDVFRQ FOLHQWHVTXHXQDWLHQGDGHGHSDUWDPHQWRVUHFLHQWH- PHQWHDELHUWDHQFXHQWUHLQIRUPDWLYRHVWXGLDU 1.21 Ejercicio Applet Skillbuilder6LPXODWRPDUXQDPXHV- WUD GH WDPDxR GH XQD SREOD- FLyQGHHVWXGLDQWHVXQLYHUVL- WDULRV7RPDXQDPXHVWUD\DQRWD HOUHVXOWDGR D 0HQFLRQDODYDULDEOHDWULEXWR LQYROXFUDGDHQHVWHH[SHUL PHQWR(VQRPLQDOXRUGLQDO" E 0HQFLRQDODYDULDEOHQXPpULFDLQYROXFUDGDHQHVWHH[SH- ULPHQWR(VGLVFUHWDRFRQWLQXD" 1.22D ([SOLFDSRUTXpODYDULDEOHPDUFDGRUSDUDHOHTXL- SRGHFDVDHQXQMXHJRGHEiVTXHWEROHVGLVFUHWD E ([SOLFDSRUTXpODYDULDEOHQ~PHURGHPLQXWRVSDUD WUDVODGDUVHDOWUDEDMRHVFRQWLQXD 1.23/DVHYHULGDGGHORVHIHFWRVFRODWHUDOHVH[SHULPHQWDGRV SRUORVSDFLHQWHVWUDWDGRVFRQXQPHGLFDPHQWRSDUWLFXODUHVWi EDMRHVWXGLR/DVHYHULGDGVHPLGHHQXQDHVFDODGHQLQJXQD OHYHPRGHUDGDVHYHUDPX\VHYHUD D 0HQFLRQDODYDULDEOHGHLQWHUpV E ,GHQWLFDHOWLSRGHYDULDEOH 1.24+DUULV3ROOUHDOL]yGXUDQWHPD\RGHXQDHQFXHVWD QDFLRQDODFHUFDGHOXVRGHOWHOpIRQRFHOXODU\ODFRQGXFFLyQGH YHKtFXORVHQDGXOWRV6XVUHVSXHVWDVD4XpWDQSHOLJURVRHV TXHXQFRQGXFWRUXVHXQWHOpIRQRFHOXODUPLHQWUDVFRQGXFH" VHMHUDUTXL]DURQFRPRPX\SHOLJURVRSHOLJURVRXQSRFR SHOLJURVROLJHUDPHQWHSHOLJURVRRQDGDSHOLJURVR (QFHQJDJHEUDLQFRPHVWiQGLVSRQLEOHV$SSOHWV6NLOOEXLOGHUHQOtQHDEn qu piensas gastar tu devolucin de impuestos? Fuente: National Retail Federation 2009 Tax Returns Consumer Intentions and Actions; encuesta de 8 426 consumidores. Margen de error 1 puntos porcentuales. Nota: Se permiten respuestas mltiples Pagar deudas Ahorrar Gastos cotidianos Compras mayores Vacaciones www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 13 D 0HQFLRQDODYDULDEOHGHLQWHUpV E ,GHQWLFDHOWLSRGHYDULDEOH 1.256HHQFXHVWyDHVWXGLDQWHVDFHUFDGHOSHVRGHORVOLEURV\ VXPLQLVWURVTXHOOHYDQFXDQGRDVLVWHQDFODVH D ,GHQWLFDODYDULDEOHGHLQWHUpV E ,GHQWLFDHOWLSRGHYDULDEOH F 0HQFLRQDDOJXQRVYDORUHVTXHSXHGHQRFXUULUHQXQD PXHVWUD 1.26 8Q IDEULFDQWH GH PHGLFDPHQWRV HVWi LQWHUHVDGR HQ OD SURSRUFLyQGHSHUVRQDV FRQKLSHUWHQVLyQ SUHVLyQ VDQJXtQHD HOHYDGDFX\DFRQGLFLyQSXHGHFRQWURODUVHFRQXQQXHYRPH- GLFDPHQWR TXH GHVDUUROOy OD FRPSDxtD 6H OOHYD D FDER XQ HVWXGLRTXHLQYROXFUDDLQGLYLGXRVFRQKLSHUWHQVLyQ\ VHGHVFXEUHTXHGH ORV LQGLYLGXRVSXHGHQFRQWURODU VX KLSHUWHQVLyQFRQHOPHGLFDPHQWR6LVXSRQHVTXHORVLQ- GLYLGXRVVRQUHSUHVHQWDWLYRVGHOJUXSRTXHWLHQHKLSHUWHQVLyQ UHVSRQGHODVVLJXLHQWHVSUHJXQWDV D &XiOHVODSREODFLyQ" E &XiOHVODPXHVWUD" F ,GHQWLFDHOSDUiPHWURGHLQWHUpV G ,GHQWLFDHOHVWDGtVWLFR\SURSRUFLRQDVXYDORU H &RQRFHVHOYDORUGHOSDUiPHWUR" 1.27/DRFLQDGHLQJUHVRVTXLHUHHVWLPDUHOFRVWRGHORVOL- EURVGHWH[WRSDUDORVHVWXGLDQWHVHQWXFROHJLR6HDODYDULDEOH xHOFRVWRWRWDOGHWRGRVORVOLEURVGHWH[WRFRPSUDGRVSRUXQ HVWXGLDQWHHVWHVHPHVWUH(OSODQHVLGHQWLFDUDOHDWRULDPHQWH HVWXGLDQWHV\REWHQHUVXVFRVWRVWRWDOHVHQOLEURVGHWH[WR (OFRVWRSURPHGLRSDUDORVHVWXGLDQWHVVHXVDUiSDUDHVWL- PDUHOFRVWRSURPHGLRSDUDWRGRVORVHVWXGLDQWHV D 'HVFULEHHOSDUiPHWURTXHTXLHUHHVWLPDUODRFLQDGH ingresos. E 'HVFULEHODSREODFLyQ F 'HVFULEHODYDULDEOHLQYROXFUDGD G 'HVFULEHODPXHVWUD H 'HVFULEHHOHVWDGtVWLFR\FyPRXVDUtDVORVGDWRVUHFROHFWD- GRVSDUDFDOFXODUHOHVWDGtVWLFR 1.28 8QWpFQLFRGHFRQWUROGHFDOLGDGVHOHFFLRQDSDUWHVHQ- VDPEODGDVGHXQDOtQHDGHSURGXFFLyQ\UHJLVWUDODVLJXLHQWH LQIRUPDFLyQFRQFHUQLHQWHDFDGDSDUWH ;GHIHFWXRVDRQRGHIHFWXRVD <Q~PHURGHHPSOHDGRGHOLQGLYLGXRTXHHQVDPEOyODSDUWH = SHVRGHODSDUWH D &XiOHVODSREODFLyQ" E /DSREODFLyQHVQLWDRLQQLWD" F &XiOHVODPXHVWUD" G &ODVLFDODVWUHVYDULDEOHVFRPRDWULEXWRRQXPpULFD 1.296HOHFFLRQDHVWXGLDQWHVDFWXDOPHQWHLQVFULWRVHQWXHV- FXHOD\UHFROHFWDGDWRVSDUDODVVLJXLHQWHVWUHVYDULDEOHV ;Q~PHURGHFXUVRVLQVFULWRV <FRVWRWRWDOGHOLEURVGHWH[WR\VXPLQLVWURVSDUDORVFXUVRV =PpWRGRGHSDJRXVDGRSDUDOLEURVGHWH[WR\VXPLQLVWURV D &XiOHVODSREODFLyQ" E /DSREODFLyQHVQLWDRLQQLWD" F &XiOHVODPXHVWUD" G &ODVLFDODVWUHVYDULDEOHVFRPRQRPLQDORUGLQDOGLVFUH- WDRFRQWLQXD 1.30 $YHQWLV 3KDUPDFHXWLFDOV ,QF UHDOL]y XQ HVWXGLR SDUD PHGLUORVHIHFWRVFRODWHUDOHVDGYHUVRVGH$OOHJUD70XQPHGL- FDPHQWRXVDGRSDUDHOWUDWDPLHQWRGHDOHUJLDVHVWDFLRQDOHV$ XQDPXHVWUDGHSHUVRQDVTXHSDGHFHQDOHUJLDHQ(VWDGRV 8QLGRVVHOHGLRPJGHOPHGLFDPHQWRGRVYHFHVDOGtD/RV SDFLHQWHVUHSRUWDURQVLH[SHULPHQWDURQRQRDOLYLRGHVXVDOHU- JLDVDVtFRPRDOJ~QHIHFWRFRODWHUDODGYHUVRLQIHFFLyQYLUDO QiXVHDVRPQROHQFLDHWFpWHUD D &XiOIXHODSREODFLyQEDMRHVWXGLR" E &XiOIXHODPXHVWUD" F &XiOHVIXHURQODVFDUDFWHUtVWLFDVGHLQWHUpVDFHUFDGH FDGDHOHPHQWRHQODSREODFLyQ" G /RVGDWRVUHFROHFWDGRVIXHURQFXDOLWDWLYRVRFXDQWLWD WLYRV" 1.31(QODVLJXLHQWHSiJLQDKD\XQDSHTXHxDPXHVWUDGHODV FDPLRQHWDVSLFNXSPHQFLRQDGDV HQ03*R0DWLF FRP\GLVSRQLEOHVSDUDHOS~EOLFRFRQVXPLGRU&RQVXOWDODWD- EODSDUDHVWHHMHUFLFLRHQODSiJLQD D &XiOIXHODSREODFLyQGHGRQGHVHWRPyODPXHVWUD" E &XiQWRVLQGLYLGXRVKDEtDHQODSREODFLyQ"(QODPXHV- WUD" F &XiQWDVYDULDEOHV" G 0HQFLRQDODVYDULDEOHVFXDOLWDWLYDVFDWHJyULFDV H &XiOHVGHODVYDULDEOHVFXDOLWDWLYDVVRQQRPLQDOHV" I 0HQFLRQDODVYDULDEOHVFXDQWLWDWLYDV J &XiOHVGHODVYDULDEOHVFXDQWLWDWLYDVVRQGLVFUHWDV" &RQWLQXDV" Fuente: Good Housekeeping, febrero de 2005 Seccin 1.1 Qu es estadstica? www.fullengineeringbook.net 14 Captulo 1 Estadstica 'HQWURGHXQFRQMXQWRGHGDWRVPHGLGRVVLHPSUHVHHVSHUDYDULDFLyQ6LVHHQFXHQWUDSRFD RQLQJXQDYDULDFLyQVHVXSRQGUtDTXHHOGLVSRVLWLYRGHPHGLFLyQQRHVWiFDOLEUDGRFRQXQD XQLGDGVXFLHQWHPHQWHSHTXHxD3RUHMHPSORWRPDXQDFDMDGHEDUUDVGHWXGXOFHIDYRULWR \SHVDFDGDEDUUDLQGLYLGXDOPHQWH2EVHUYDTXHFDGDXQDGHODVEDUUDVGHGXOFHSHVDQ GHRQ]DDOGHRQ]DPiVFHUFDQR(VWRVLJQLFDTXHODVEDUUDVVRQWRGDVLGpQWLFDV HQSHVR"(QUHDOLGDGQR6XSyQTXHORVSHVDVHQXQDEiVFXODDQDOtWLFDTXHSHVDKDVWDOD 1.2 Mensurabilidad y variabilidad 1.32 Ejercicio Applet Skillbuilder6LPXODWRPDUXQDPXHV- WUDGHWDPDxRGHXQDSREODFLyQGHHVWXGLDQWHVXQLYHU- VLWDULRV7RPDXQDPXHVWUDGH D &XiOHVODSREODFLyQ" E /DSREODFLyQHVQLWD RLQQLWD" F 0HQFLRQDGRVSDUiPHWURV \SURSRUFLRQDVXVYDORUHV G &XiOHVODPXHVWUD" H 0HQFLRQDORVGRVHVWDGtVWLFRVFRUUHVSRQGLHQWHV\SURSRU- FLRQDVXVYDORUHV I 7RPDRWUDPXHVWUDGHWDPDxR&XiOGHORVtWHPVDQ- WHULRUHVSHUPDQHFHMR\FXiOFDPELD" 1.33,GHQWLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFRPRHMHPSORVGH YDULDEOHVDWULEXWRFXDOLWDWLYDRQXPpULFDFXDQWLWDWLYD D /DUHVLVWHQFLDDODURWXUDGHXQWLSRGDGRGHFXHUGD E (OFRORUGHFDEHOORGHORVQLxRVTXHDXGLFLRQDQSDUDHO PXVLFDOAnnie. F (OQ~PHURGHVHxDOHVGHDOWRHQFLXGDGHVFRQPHQRVGH SHUVRQDV G 6LXQJULIRHVWiRQRGHIHFWXRVR H (OQ~PHURGHSUHJXQWDVUHVSRQGLGDVFRUUHFWDPHQWHHQ XQDSUXHEDHVWDQGDUL]DGD I (OWLHPSRUHTXHULGRSDUDUHVSRQGHUXQDOODPDGDWHOHIyQL- FDHQFLHUWDRFLQDGHELHQHVUDtFHV 1.34 ,GHQWLFDFDGDXQRGH ORVVLJXLHQWHVFRPRHMHPSORGH YDULDEOHVQRPLQDORUGLQDOGLVFUHWDRFRQWLQXD D 8QDHQFXHVWDGHYRWDQWHVUHJLVWUDGRVDFHUFDGHDFXiO FDQGLGDWRDSR\DQ E (OWLHPSRTXHWDUGDHQVDQDUXQDKHULGDFXDQGRVHXVDXQ QXHYRPHGLFDPHQWR F (OQ~PHURGHWHOHYLVLRQHVGHQWURGHXQDFDVD G /DGLVWDQFLDDODTXHSXHGHQSDWHDUXQEDOyQODVPXMHUHV XQLYHUVLWDULDVGHSULPHUDxR H (OQ~PHURGHSiJLQDVSRUWDUHDSURYHQLHQWHVGHXQDLP- SUHVRUDGHFRPSXWDGRUD I (OWLSRGHiUEROXVDGRFRPRiUEROGH1DYLGDG 1.356XSyQTXHXQQLxRGHDxRVWHSLGHTXHOHH[SOLTXHVOD GLIHUHQFLDHQWUHXQDPXHVWUD\XQDSREODFLyQ D 4XpLQIRUPDFLyQGHEHLQFOXLUWXUHVSXHVWD" E 4XpUD]RQHVOHGDUtDVGHSRUTXpWRPDUtDVXQDPXHVWUD HQOXJDUGHHQFXHVWDUDWRGRVORVPLHPEURVGHXQDSREOD- FLyQ" 1.366XSyQTXHXQQLxRGHDxRVWHSLGHTXHOHH[SOLTXHVOD GLIHUHQFLDHQWUHXQHVWDGtVWLFR\XQSDUiPHWUR D 4XpLQIRUPDFLyQGHEHLQFOXLUWXUHVSXHVWD" E 4XpUD]RQHVOHGDUtDVGHSRUTXpUHSRUWDUtDVHOYDORUGH XQHVWDGtVWLFRHQOXJDUGHOYDORUGHXQSDUiPHWUR" Tamao motor Tamao motor, Fabricante Modelo Traccin (nm. cilindros) desplazamiento (litros) Transmisin MPG ciudad MPG carretera CHEVROLET COLORADO 2WD 4 2.9 Manual 18 24 GMC CANYON 2WD 5 3.7 Auto 17 23 HUMMER H3T 4WD 8 5.3 Auto 13 16 MITSUBISHI RAIDER 4WD 8 4.7 Auto 9 12 SUZUKI EQUATOR 2WD 4 2.5 Auto 17 22 TOYOTA TACOMA 4WD 6 4.0 Manual 14 19 Tabla para el ejercicio 1.31 Fuente: http//www.mpgomatic.com/2009/ 1 8 7 8 www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 15 GLH]PLOpVLPDGHRQ]DPiVFHUFDQD$KRUDFRQPiVSUREDELOLGDGORVSHVRVPRVWUDUiQ variabilidad. 1RLPSRUWDFXiOVHDODYDULDEOHGHUHVSXHVWDPX\SUREDEOHPHQWHKDEUiYDULDELOLGDGHQ ORVGDWRVVLODKHUUDPLHQWDGHPHGLFLyQHVVXFLHQWHPHQWHSUHFLVD8QRGHORVSULQFLSDOHV REMHWLYRVGHODQiOLVLVHVWDGtVWLFRHVPHGLUODYDULDELOLGDG3RUHMHPSORHQHOHVWXGLRGHO FRQWUROGHFDOLGDGODPHGLFLyQGHODYDULDELOLGDGHVDEVROXWDPHQWHHVHQFLDO$OFRQWURODU RUHGXFLUODYDULDELOLGDGHQXQSURFHVRGHIDEULFDFLyQHVXQFDPSRSRUGHUHFKRSURSLRD VDEHUHOFRQWUROHVWDGtVWLFRGHSURFHVRV 3XHVWRTXHSRUORJHQHUDOHVLPSRVLEOHHVWXGLDUWRGDXQDSREODFLyQWRGRVORVLQGLYLGXRV HQXQSDtVWRGRVORVHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVWRGRVORVSDFLHQWHVPpGLFRVHWFORVLQ- YHVWLJDGRUHVXVXDOPHQWHVHDSR\DQHQHOmuestreoSDUDDGTXLULUODLQIRUPDFLyQRdatos QHFHVDULRV(VLPSRUWDQWHREWHQHUEXHQRVGDWRVSRUTXHODVLQIHUHQFLDVKHFKDVDQDOGH FXHQWDVVHEDVDUiQHQORVHVWDGtVWLFRVREWHQLGRVGHGLFKRVGDWRV'LFKDVLQIHUHQFLDVVyOR VRQWDQEXHQDVFRPRORVGDWRV $XQTXHHVUHODWLYDPHQWHVHQFLOORGHQLUEXHQRVGDWRVFRPRDTXHOORVGDWRVTXHUH- SUHVHQWDQFRQSUHFLVLyQODSREODFLyQGHODTXHVHWRPDURQQRHVIiFLOJDUDQWL]DUTXHXQ PpWRGRGHPXHVWUHRSDUWLFXODUSURGXFLUiEXHQRVGDWRV(VQHFHVDULRXVDUPpWRGRVGH 1.376XSyQTXHPLGHVORVSHVRVHQOLEUDVGHORVLQGLYLGXRV HQFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVJUXSRV *UXSRSRUULVWDVGHORVHTXLSRVGHOD1DWLRQDO)RRWEDOO /HDJXH *UXSRMXJDGRUHVGHORVHTXLSRVGHOD1DWLRQDO)RRWEDOO /HDJXH 3DUDFDGDJUXSRHVSHUDUtDVTXHWHQGUtDQPiVYDULDELOLGDGORV GDWRV"([SOLFDSRUTXp 1.386XSyQTXHWUDWDVGHGHFLGLUFXiOGHGRVPiTXLQDVFRP- SUDU0iVD~QVXSyQTXHHVLPSRUWDQWHODORQJLWXGDODTXH ODVPiTXLQDVFRUWDQXQDSDUWHGHXQSURGXFWRSDUWLFXODU6L DPEDVPiTXLQDV SURGXFHQ SDUWHV TXH WLHQHQ ODPLVPD ORQ- JLWXGHQSURPHGLRTXpRWUDFRQVLGHUDFLyQHQFXDQWRD ODV ORQJLWXGHVVHUtDLPSRUWDQWH"3RUTXp" 1.39 *UXSRV GH FRQVXPLGRUHV DFWLYLVWDV GXUDQWH DxRV KDQ DOHQWDGRDORVPLQRULVWDVDXVDUMDFLyQXQLWDULDGHSUHFLRVHQ ORVSURGXFWRV$UJXPHQWDQTXHORVSUHFLRVGHORVDOLPHQWRV SRUHMHPSORVLHPSUHGHEHUtDQHWLTXHWDUVHHQRQ]DOLEUD JUDPR OLWUR HWF DGHPiV GH SDTXHWH ODWD FDMD ERWHOODHWF([SOLFDSRUTXp 1.408QDPiTXLQDH[SHQGHGRUDGHFDIpRSHUDGDSRUPRQHGDV HQWUHJD HQSURPHGLRR]GHFDIpSRU WD]D (VWH HQXQFLD- GRSXHGH VHU YHUGDGHURSDUD XQDPiTXLQD H[SHQGHGRUD TXH RFDVLRQDOPHQWHHQWUHJDVyORORVXFLHQWHSDUDDSHQDVOOHQDUOD PLWDGGHODFRSDHVGHFLUR]"([SOLFD 1.41/RVSURIHVRUHVXVDQORVH[iPHQHVSDUDPHGLUHOFRQRFL- PLHQWRGHORVHVWXGLDQWHVDFHUFDGHXQDPDWHULD([SOLFDFyPR ODIDOWDGHYDULDELOLGDGHQODVFDOLFDFLRQHVGHORVHVWXGLDQWHV SXHGHLQGLFDUTXHHOH[DPHQQRIXHXQGLVSRVLWLYRGHPHGLFLyQ PX\HIHFWLYR 1.42 Ejercicio Applet Skillbuilder 6LPXOD HOPXHVWUHR GH XQDSREODFLyQGHHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV D 7RPDPXHVWUDVGHWDPDxR VLJXHODSLVWDGHORVSUR PHGLRVPXHVWUDOHVGHKRUDV SRUVHPDQDTXHHVWXGLDQORV HVWXGLDQWHV(QFXHQWUDHOUDQJRGHGLFKRVSURPHGLRVDO UHVWDUHOSURPHGLRPiVEDMRGHOSURPHGLRPiVDOWR E 7RPDPXHVWUDVGHWDPDxRVLJXHODSLVWDGHORV SURPHGLRVPXHVWUDOHVGHKRUDVSRUVHPDQDTXHHVWXGLDQ ORVDOXPQRV(QFXHQWUDHOUDQJRGHGLFKRVSURPHGLRVDO UHVWDUHOSURPHGLRPiVEDMRGHOPiVDOWR F &XiOWDPDxRPXHVWUDOPXHVWUDPiVYDULDELOLGDG" G 6LHOSURPHGLRSREODFLRQDOHVGHDSUR[LPDGDPHQWH KRUDVSRUVHPDQDFXiOWDPDxRPXHVWUDOPXHVWUDHVWR FRQPiVSUHFLVLyQ"3RUTXp" 1.3 Recoleccin de datos E J E R C I C I O S S E C C I N 1 . 2 (QFHQJDJHEUDLQFRPHVWiQGLVSRQLEOHV$SSOHWV6NLOOEXLOGHUHQOtQHDSeccin 1.3 Recoleccin de datos www.fullengineeringbook.net 16 Captulo 1 Estadstica PXHVWUHRrecoleccin de datosTXHSURGXFLUiQGDWRVTXHVHDQUHSUHVHQWDWLYRVGHODSR- EODFLyQ\QRsesgados. Mtodo de muestreo Proceso de seleccin de tems o eventos que se conver- tirn en la muestra. Mtodo de muestreo sesgado Mtodo de muestreo que produce datos que sistemticamente difieren de la poblacin modelo. El muestreo repetido no corregir el sesgo. Mtodo de muestreo no sesgado Mtodo de muestreo que no est sesgado y produce datos que son representativos de la poblacin original. E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 7 UNA MODERNA MUESTRA DE VOLUNTARIOS DE ALTA TECNOLOGA Encuesta pblica: Sorprendamos a la NBC! En diciembre de 2008, la NBC public la siguiente pregunta en su sitio web para encuestar al pblico. Al mismo tiempo, el siguiente correo electrnico circul para ayudar a "pro- ducir el voto". A partir de esta encuesta no se pueden extraer conclusiones estadsticas sig- nificativas. El proceso de muestreo est severamente sesgado y es muy proba- ble que los resultados hayan sido enormemente sesgados y no sean represen- tativos de la poblacin estadounidense. Puedes proporcionar al menos dos razones por las que los resultados de esta encuesta no representan buenas prcticas estadsticas? Observa el ejercicio 1.46. +HDTXtVXRSRUWXQLGDGSDUDTXHORVPHGLRVFRQR]FDQGyQGHHVWiQODVSHUVR- QDVHQVXIHHQ'LRVFRPRQDFLyQ/D1%&OOHYDDFDERXQDHQFXHVWDDFHUFD GH,Q*RG:H7UXVWSDUDTXHSHUPDQH]FDHQODPRQHGDHVWDGRXQLGHQVH (QYtHHVWHFRUUHRDWRGRFULVWLDQRTXHFRQR]FDSDUDTXHSXHGDYRWDUHQHVWH LPSRUWDQWHWHPD3RUIDYRUKiJDORGHLQPHGLDWRDQWHVGHTXHOD1%&OD TXLWHGHVXSiJLQDZHE (VWRQRVHHQYtDSDUDGLVFXVLyQVLHVWiGHDFXHUGRUHHQYtHORVLQRORHVWi EyUUHOR$O\RUHHQYLDUORXVWHGVDEHORTXHVLHQWR$SXHVWRTXHHVWRIXHXQD VRUSUHVDSDUDOD1%& Voto en vivo 16 de marzo de 2009, con 12 810 699 respuestas contadas Debe quitarse la leyenda "In God We Trust" de las monedas estadounidenses? S. Es una violacin al principio de separacin de Iglesia y Estado. 14% No. La leyenda tiene significado histrico y patritico y no establece una religin de Estado. 86% www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 17 'RVPpWRGRV GH PXHVWUHR XWLOL]DGRV FRP~QPHQWH TXH FRQ IUHFXHQFLD UHVXOWDQ HQ PXHVWUDVVHVJDGDVVRQODVmuestras de conveniencia\ODVvoluntarias. Una muestra de convenienciaHQRFDVLRQHVOODPDGDPXHVWUDpuntualRFXUUHFXDQ- GRORVtWHPVVHHOLJHQDUELWUDULDPHQWH\HQXQDIRUPDQRHVWUXFWXUDGDGHXQDSREODFLyQ PLHQWUDVTXHXQDmuestra voluntaria FRQVLVWH HQ UHVXOWDGRV UHFROHFWDGRVGHDTXHOORV HOHPHQWRVGH ODSREODFLyQTXHVHHOLJHQSDUDDSRUWDU OD LQIRUPDFLyQQHFHVDULDSDUDVX SURSLDLQLFLDWLYD $OJXQDYH]FRPSUDVWHXQDFDQDVWDGHIUXWDHQHOPHUFDGRFRQEDVHHQODEXHQDDSD- ULHQFLDGHODIUXWDHQODSDUWHVXSHULRUVyORSDUDPiVWDUGHGHVFXEULUTXHHOUHVWRGHODIUXWD QRHUDWDQIUHVFD"(UDPX\LQFRQYHQLHQWHLQVSHFFLRQDUODIUXWDGHOIRQGRDVtTXHFRQDVWH HQXQDPXHVWUDGHFRQYHQLHQFLD7XSURIHVRUKDXVDGRWXFODVHFRPRXQDPXHVWUDGHOD FXDOUHFRSLODUGDWRV"&RPRJUXSRODFODVHHVPX\FRQYHQLHQWHSHURUHDOPHQWHHVUHSUH- VHQWDWLYDGHODSREODFLyQGHODHVFXHOD"&RQVLGHUDODVGLIHUHQFLDVHQWUHORVHVWXGLDQWHVGH ODPDxDQDODWDUGH\RHOQGHVHPDQDWLSRGHFXUVRHWFpWHUD $OJXQDYH]HQYLDVWHWXVUHVSXHVWDVDODHQFXHVWDGHXQDUHYLVWD"%DMRTXpFRQGLFLR- QHVWRPDUtDVHOWLHPSRSDUDFRPSOHWDUWDOFXHVWLRQDULR"/DDFWLWXGLQPHGLDWDGHODPD\RUtD GHODVSHUVRQDVHVLJQRUDUODHQFXHVWD4XLHQHVWHQJDQIXHUWHVVHQWLPLHQWRVKDUiQXQHV- IXHU]RSDUDUHVSRQGHUSRUWDQWRQRGHEHUtDQHVSHUDUVHPXHVWUDVUHSUHVHQWDWLYDVFXDQGR VHUHFROHFWHQPXHVWUDVYROXQWDULDV El proceso de recoleccin de datos 5HFROHFWDUGDWRVSDUDDQiOLVLVHVWDGtVWLFRHVXQSURFHVRLQYROXFUDGRHLQFOX\HORVVLJXLHQ- WHVSDVRV 'HQLUORVREMHWLYRVGHODHQFXHVWDRHVWXGLR (MHPSORVFRPSDUDUODHIHFWLYLGDGGHXQQXHYRPHGLFDPHQWRFRQODHIHFWLYLGDGGHO PHGLFDPHQWRHVWiQGDUHVWLPDUHOLQJUHVRGRPpVWLFRSURPHGLRHQ(VWDGRV8QLGRV 'HQLUODYDULDEOH\ODSREODFLyQGHLQWHUpV (MHPSORVGXUDFLyQGHOWLHPSRGHUHFXSHUDFLyQSDUDORVSDFLHQWHVTXHVXIUHQGHXQD HQIHUPHGDGSDUWLFXODULQJUHVRWRWDOGHORVKRJDUHVHQ(VWDGRV8QLGRV 'HQLUFyPRUHFROHFWDUORVGDWRV\ORVHVTXHPDVGHPHGLFLyQGHGDWRV (VWR LQFOX\H HOPDUFR GHOPXHVWUHR ORV SURFHGLPLHQWRV GHPXHVWUHR HO WDPDxR PXHVWUDO\HOGLVSRVLWLYRGHPHGLFLyQGHGDWRVFXHVWLRQDULRWHOpIRQRHWFpWHUD 5HFROHFFLyQGHODPXHVWUDVHOHFFLRQDUORVVXMHWRVDPXHVWUHDU\UHFROHFWDUGDWRV 5HYLVDUHOSURFHVRGHPXHVWUHRDOFRPSOHWDUODUHFROHFFLyQ &RQ IUHFXHQFLDXQDQDOLVWD VHDIHUUDD ORVGDWRV\D UHFROHFWDGRVSRVLEOHPHQWH LQFOXVR GDWRVUHFROHFWDGRVFRQRWURVSURSyVLWRVORTXHKDFHLPSRVLEOHGHWHUPLQDUVLORVGDWRVVRQ EXHQRV8VDUODVWpFQLFDVDSUREDGDVSDUDUHFROHFWDUWXVSURSLRVGDWRVHVPiVSUHIHULEOH $XQTXHHVWH WH[WR VHSUHRFXSDSULQFLSDOPHQWHSRUYDULDV WpFQLFDVGHDQiOLVLVGHGDWRV GHEHVHVWDUDOWDQWRGHODVSUHRFXSDFLRQHVGHODUHFROHFFLyQGHGDWRV (OVLJXLHQWHHMHPSORGHVFULEHODSREODFLyQ\ODYDULDEOHGHLQWHUpVSDUDXQDLQYHVWLJDFLyQ HVSHFtFD E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 8 POBLACIN Y VARIABLE DE INTERS El director de admisiones de tu escuela quiere estimar el costo "promedio" ac- tual de los libros de texto por semestre, por estudiante. La poblacin de inters es "el cuerpo estudiantil inscrito actualmente" y la variable es "la cantidad total gastada para libros de texto" por cada estudiante este semestre. Seccin 1.3 Recoleccin de datos www.fullengineeringbook.net 18 Captulo 1 Estadstica 'RVPpWRGRVFRP~QPHQWHXVDGRVSDUDODUHFROHFFLyQGHGDWRVVRQexperimentos\es- tudios observacionales(QXQH[SHULPHQWRHOLQYHVWLJDGRUFRQWURODRPRGLFDHOHQWRUQR \REVHUYDHOHIHFWRVREUHODYDULDEOHEDMRHVWXGLR&RQIUHFXHQFLDOHHVDFHUFDGHORVUHVXO- WDGRVGHODERUDWRULRREWHQLGRVDOXVDUUDWDVEODQFDVSDUDSRQHUDSUXHEDGLIHUHQWHVGRVLVGH XQQXHYRPHGLFDPHQWR\VXHIHFWRVREUHODSUHVLyQDUWHULDO/RVWUDWDPLHQWRVH[SHULPHQ- WDOHVVHGLVHxDURQHVSHFtFDPHQWHSDUDREWHQHUORVGDWRVQHFHVDULRVSDUDHVWXGLDUHOHIHFWR VREUHODYDULDEOH(QXQestudio observacionalHOLQYHVWLJDGRUQRPRGLFDHOHQWRUQR\ QRFRQWURODHOSURFHVRDREVHUYDU/RVGDWRVVHREWLHQHQDOPXHVWUHDUSDUWHGHODSREODFLyQ GHLQWHUpV/DVencuestasVRQHVWXGLRVREVHUYDFLRQDOHVGHSHUVRQDV 6LWRGRHOHPHQWRHQODSREODFLyQSXHGHPHQFLRQDUVHRHQXPHUDUVH\REVHUYDUVHHQ- WRQFHVVHFRPSLODXQcenso6LQHPEDUJRORVFHQVRVVHXVDQUDUDYH]SRUTXHFRQIUHFXHQ- FLDVRQGLItFLOHVGHFRPSLODU\FRQVXPHQPXFKRWLHPSR\SRU WDQWRVRQPX\FRVWRVRV ,PDJLQDODWDUHDGHFRPSLODUXQFHQVRGHFDGDSHUVRQDTXHHVXQFOLHQWHSRWHQFLDOGHXQD HPSUHVDGHFRUUHWDMH(QVLWXDFLRQHVVLPLODUHVDpVWDSRUORJHQHUDOVHUHDOL]DXQDencuesta piloto. &XDQGRVHVHOHFFLRQDXQDPXHVWUDSDUDXQDHQFXHVWDHVQHFHVDULRFRQVWUXLUXQmarco muestral. Marco muestral Lista o conjunto de los elementos que pertenecen a la pobla- cin de la cual se extraer la muestra. 'HPDQHUDLGHDOHOHQFXDGUHPXHVWUDOGHEHVHULGpQWLFRDODSREODFLyQFRQFDGDHOH- PHQWRGHODSREODFLyQLQFOXLGRXQD\VyORXQDYH](QHVWHFDVRXQFHQVRVHFRQYHUWLUtDHQ HOPDUFRPXHVWUDO(QRWUDVVLWXDFLRQHVXQFHQVRSXHGHQRVHUWDQIiFLOGHREWHQHUSRUTXH QRHVWiGLVSRQLEOHXQDOLVWDFRPSOHWD(QRFDVLRQHVODVOLVWDVGHYRWDQWHVUHJLVWUDGRVRHO GLUHFWRULRWHOHIyQLFRVHXVDQFRPRPDUFRVPXHVWUDOHVGHOS~EOLFRHQJHQHUDO'HDFXHUGR FRQODQDWXUDOH]DGHODLQIRUPDFLyQDUHFDEDUODOLVWDGHYRWDQWHVUHJLVWUDGRVRHOGLUHFWRULR WHOHIyQLFRSXHGHQRQRVHUYLUFRPRXQPDUFRPXHVWUDOQRVHVJDGR3XHVWRTXHVyORORV E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 9 INFECCIN QUIRRGICA ES CUESTIN DE TIEMPO EXPERIMENTO O ESTUDIO OBSERVACIONAL? Esta investigacin es un ejemplo de un estudio observacional. Los investiga- dores no modificaron o trataron de controlar el entorno. Observaron lo que ocurri y escribieron sus hallazgos. 0XFKRV SDFLHQWHV TXLU~UJLFRV QR REWLHQHQ RSRUWXQDPHQWH ODV GRVLV GH ORV PHGLFDPHQWRV FRUUHFWRV OR TXH HOHYD HO ULHVJR GH LQIHFFLyQ UHSRUWDQ LQYHVWLJDGRUHV HQ ORV $U- FKLYHV RI 6XUJHU\'H PLOORQHV GHRSHUDFLRQHV UHDOL]DGDVFDGDDxR HQ (8$ DSUR[LPDGDPHQWH VH FRPSOLFDQ SRU XQD LQIHFFLyQ ORFDO GLFHHOUHSRUWH(OHVWXGLRGH SDFLHQWHVTXLU~UJLFRVHQFDVL KRVSLWDOHV HQ GHVFXEULy TXH VyOR UHFLEHQ PHGLFDPHQWRV SUROiFWLFRV GXUDQWH HO WLHPSR GH ODFLUXJtDFXDQGRSXHGHQVHUHIHF- WLYRV Fuente: USA Today, 22 de febrero de 2006 www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 19 HOHPHQWRVHQHOPDUFRWLHQHQRSRUWXQLGDGGHVHUVHOHFFLRQDGRVFRPRSDUWHGHODPXHVWUD HVLPSRUWDQWHTXHHOPDUFRPXHVWUDOVHD representativoGHODSREODFLyQ 8QDYH]HVWDEOHFLGRHOPDUFRPXHVWUDOUHSUHVHQWDWLYRVHSURFHGHFRQODVHOHFFLyQGH ORVHOHPHQWRVPXHVWUDOHVGHOPDUFRPXHVWUDO(VWHSURFHVRGHVHOHFFLyQVHOODPDdiseo muestral([LVWHQPXFKRVWLSRVGLIHUHQWHVGHGLVHxRVPXHVWUDOHVVLQHPEDUJRWRGRVHOORV HQFDMDQHQGRVFDWHJRUtDVmuestras dirigidas\muestras probabilsticas. Muestras dirigidas Muestras que se seleccionan sobre la base de juzgarse "tpicas". &XDQGRVHUHFROHFWDXQDPXHVWUDGLULJLGDODSHUVRQDTXHVHOHFFLRQDODPXHVWUDHOLJH ORVtWHPVTXHFRQVLGHUDTXHVRQUHSUHVHQWDWLYRVGHODSREODFLyQ/DYDOLGH]GHORVUHVXO WDGRVGHXQDPXHVWUDGLULJLGDUHHMDQODUPH]DGHOMXLFLRGHOUHFROHFWRUeVWHQRHVXQ SURFHGLPLHQWRHVWDGtVWLFRDFHSWDEOH Muestras probabilsticas Muestras en las que los elementos a seleccionar se extraen sobre la base de la probabilidad. Cada elemento en una poblacin tiene cierta posibilidad de ser seleccionado como parte de la muestra. /DVLQIHUHQFLDVTXHVHHVWXGLDUiQHQHVWHOLEURPiVDGHODQWHVHEDVDQVREUHODVXSRVL FLyQGHTXHORVGDWRVPXHVWUDOHVVHREWLHQHQXVDQGRXQDPXHVWUDSUREDELOtVWLFD([LVWHQ PXFKDVIRUPDVGHGLVHxDUHVWDVPXHVWUDV(VWXGLDUiVGRVGHHOODVORVPpWRGRVGHXQVROR IDFWRU\ORVPpWRGRVGHP~OWLSOHVIDFWRUHVDSUHQGHUiVDFHUFDGHDOJXQRVGHORVPXFKRV GLVHxRVHVSHFtFRVTXHVRQSRVLEOHV Mtodos sencillos Muestreo sencillo Diseo muestral en el que los elementos del marco muestral se tratan igual y no hay subdivisin o particin del marco. 8QRGHORVPpWRGRVGHPXHVWUHRSUREDELOtVWLFRVHQFLOORPiVFRP~QXVDGRSDUDUHFR OHFWDUGDWRVHVODmuestra aleatoria simple. SABAS QUE...? Mejor la parte que el todo En 1930, Prasanta Chan- dra Mahalanobis tuvo alta prioridad para produ- cir una muestra represen- tativa adecuada. Quera determinar las caracters- ticas de las poblaciones grandes cuando casi era imposible obtener todas las mediciones de una poblacin estadstica. Las muestras dirigidas parecan ser una buena opcin, pero tenan gra- ves defectos: si se saba lo sufi ciente acerca de la poblacin para reco- lectar una buena muestra dirigida, probablemente no habra necesidad de una muestra; si la muestra era incorrecta, no habra forma de saber cun in- correcta es. La respuesta a esta cuestin fue una muestra aleatoria. Diseos muestrales Muestras probabilsticas Muestras dirigidas Muestreo sencillo Mtodos mltiples Muestra aleatoria simple Muestra sistemtica Muestreo aleatorio mltiple Muestra aleatoria estratifi cada Muestra estratifi cada proporcional Muestreo de conglomerados Seccin 1.3 Recoleccin de datos www.fullengineeringbook.net 20 Captulo 1 Estadstica Muestra aleatoria simple Muestra seleccionada de tal forma que todo ele- mento en la poblacin o marco muestral tiene la misma probabilidad de ser elegido. De manera equivalente, todas las muestras de tamao n tienen una igual oportunidad de ser seleccionadas. Nota:/DVPXHVWUDVDOHDWRULDVVHREWLHQHQDOPXHVWUHDUFRQUHHPSOD]RGHXQDSREODFLyQ QLWDRDOPXHVWUHDUVLQUHHPSOD]RGHXQDSREODFLyQLQQLWD ,QKHUHQWHHQHOFRQFHSWRGHDOHDWRULHGDGHVWiODLGHDGHTXHHOVLJXLHQWHUHVXOWDGRX RFXUUHQFLDQRHVSUHGHFLEOH&XDQGRVHH[WUDHXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHEHKDFHUVHWRGR HOHVIXHU]RSDUDJDUDQWL]DUTXHFDGDHOHPHQWRWLHQHXQDLJXDOSUREDELOLGDGGHVHUVHOHF- FLRQDGR\TXHHOVLJXLHQWHUHVXOWDGRQRVHYXHOYHSUHGHFLEOH(OSURFHGLPLHQWRDGHFXDGR SDUDVHOHFFLRQDUXQDPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOHUHTXLHUHHOXVRGHQ~PHURVDOHDWRULRV3RU ORJHQHUDOVHFRPHWHQHUURUHVSRUTXHHOWpUPLQRaleatorioLJXDORSRUWXQLGDGVHFRQIXQGH FRQfortuitoVLQSDWUyQ 3DUDVHOHFFLRQDUXQDPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOHSULPHURDVLJQDVXQQ~PHURGH LGHQ- WLFDFLyQDFDGDHOHPHQWRHQHOPDUFRPXHVWUDO3RUORJHQHUDOHVWRVHKDFHDOXVDUVH- FXHQFLDOPHQWHHOPLVPRQ~PHURGHGtJLWRVSDUDFDGDHOHPHQWR(QWRQFHVFRQQ~PHURV DOHDWRULRVTXHWLHQHQHOPLVPRQ~PHURGHGtJLWRVVHVHOHFFLRQDQWDQWRVQ~PHURVFRPRVH QHFHVLWHQSDUDHOWDPDxRGHPXHVWUDGHVHDGR&DGDHOHPHQWRQXPHUDGRHQHOPDUFRPXHV- WUDOTXHFRUUHVSRQGDDXQQ~PHURDOHDWRULRVHOHFFLRQDGRVHHOLJHSDUDODPXHVWUD 8QDPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOHHVHOSULPHUSDVRKDFLDXQDPXHVWUDVLQVHVJR/DVPXHV- WUDVDOHDWRULDVVHUHTXLHUHQSDUDODPD\RUtDGHORVSURFHGLPLHQWRVHVWDGtVWLFRVTXHVHSUH- VHQWDQHQHVWHOLEUR6LQXQGLVHxRDOHDWRULRODVFRQFOXVLRQHVTXHH[WUDLJDVGHORVSURFHGL- PLHQWRVHVWDGtVWLFRVSXHGHQQRVHUFRQDEOHV E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 1 0 E J E M P L O A P L I C A D O 1 . 1 1 USO DE NMEROS ALEATORIOS La oficina de admisiones de tu escuela quiere estimar el costo "promedio" ac- tual de los libros de texto por semestre, por estudiante. La poblacin de inters es "el cuerpo estudiantil actualmente inscrito" y la variable es "la cantidad total gastada en libros de texto" por cada estudiante este semestre. Puesto que se desea una muestra aleatoria, el Sr. Clar, quien trabaja en la oficina de ad- misiones, obtuvo una lista por computadora de la matrcula de tiempo comple- to de este semestre. En la lista haba 4 265 nombres de estudiantes. Numer a los estudiantes 0001, 0002, 0003, etc., hasta 4 265; despus, con nme- ros aleatorios de cuatro dgitos, identific una muestra: fueron seleccionados 1 288, 2 177, 1 952, 2 463, 1 644, 1 004, etc. (Consulta el Manual de so- luciones del estudiante para una discusin del uso de los nmeros aleatorios.) PROCESO PARA RECOLECTAR DATOS Considera la grfica "Los empleadores buscan actitud positiva" en la pgina 3 y los cinco pasos del proceso de recoleccin de datos. www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 21 (QFRQFHSWRODPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOHHVODPiVVHQFLOODGHODVWpFQLFDVGHPXHVWUHR SUREDELOtVWLFRSHURUDUDYH]VHXVDHQ ODSUiFWLFDSRUTXHFRQIUHFXHQFLDHVXQD WpFQLFD LQHFLHQWH8QRGHORVPpWRGRVPiVIiFLOHVGHXVDUSDUDDSUR[LPDUXQDPXHVWUDDOHDWRULD VLPSOHHVHOmtodo de muestreo sistemtico. Muestra sistemtica Muestra en la que se selecciona cada k-simo trmino del marco muestral, a partir de un primer elemento, que se selecciona aleatoria- mente de los primeros k elementos. 3DUD VHOHFFLRQDU XQDPXHVWUD VLVWHPiWLFD SRUFHQWXDO x QHFHVLWDUiV VHOHFFLRQDU DOHDWRULDPHQWHXQHOHPHQWRGHFDGDHOHPHQWRV'HVSXpVGHORFDOL]DUDOHDWRULDPHQWHDO SULPHUHOHPHQWRGHQWURGHORVSULPHURVHOHPHQWRVSURFHGHVDVHOHFFLRQDUFDGDHOH- PHQWRGHDKtHQDGHODQWHKDVWDTXHWLHQHVHOQ~PHURGHVHDGRGHYDORUHVGHGDWRVSDUDWX PXHVWUD 3RUHMHPSORVLGHVHDVXQDPXHVWUDVLVWHPiWLFDGHORFDOL]DUtDVHOSULPHUtWHPDO VHOHFFLRQDUDOHDWRULDPHQWHXQHQWHURHQWUH\TXHFXDQGRVHUHGRQGHD VHFRQYLHUWHHQ6XSyQTXHHOVHVHOHFFLRQyDOHDWRULDPHQWH(VWRVLJQLFDTXHWX SULPHUYDORUGHGDWRVVHREWLHQHGHVGHHOVXMHWRHQODSRVLFLyQHQHOPDUFRPXHVWUDO(O VHJXQGRYDORUGHGDWRVSURYHQGUiGHOVXMHWRHQODSRVLFLyQ HOWHUFHURGH ODHWFKDVWDTXHODPXHVWUDHVWpFRPSOHWD /DWpFQLFDVLVWHPiWLFDHVIiFLOGHGHVFULELU\HMHFXWDUVLQHPEDUJRWLHQHFLHUWRVSHOL- JURVLQKHUHQWHVFXDQGRHOPDUFRPXHVWUDOHVUHSHWLWLYRRFtFOLFRHQQDWXUDOH]D3RUHMHP- SORXQDPXHVWUDVLVWHPiWLFDGHFDGDkpVLPDFDVDD OR ODUJRGHXQDFDOOH ODUJDSXHGH UHVXOWDUHQXQDPXHVWUDGHVSURSRUFLRQDOHQFXDQWRDODVFDVDVTXHVHHQFXHQWUDQHQODV HVTXLQDV /D LQIRUPDFLyQ UHVXOWDQWH SUREDEOHPHQWH HVWDUtD VHVJDGD VL HO SURSyVLWR GHO PXHVWUHRHVDSUHQGHUDFHUFDGHODSR\RSDUDXQLPSXHVWRGHEDQTXHWDSURSXHVWR(QGL- FKDVVLWXDFLRQHVORVUHVXOWDGRVSXHGHQQRDSUR[LPDUVHDXQDPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOH 1. Define los objetivos de la encuesta o experimento. Determina la opinin de los empleadores en cuanto a cules cualidades buscan cuando con- tratan empleados eventuales. 2. Define la variable y la poblacin de inters. La variable es la opinin o respuesta a una pregunta en cuanto a las cualidades o caractersticas. La poblacin de inters es todos los gerentes de vacantes estadouni- denses. 3. Define los esquemas de recoleccin y de medicin de datos. Con base en la misma grfica, puedes ver que la fuente para los porcentajes pre- sentados fue SnagAJob.com. Al investigar ms, IPSOS Public Affairs, una empresa de investigacin externa, realiz la encuesta en represen- tacin del "sitio web de empleos por hora" SangAJob.com entre el 20 y el 25 de febrero de 2009. Se trat de una encuesta en lnea de 1 043 gerentes de vacantes con responsabilidad para contratar empleados de verano y eventuales por hora. 4. Recolecta la muestra. La informacin recolectada de cada gerente de contrataciones fue su cualidad/caracterstica individual "ms" esencial que debe poseer un empleado eventual. 5. Revisa el proceso de muestreo al completar la recoleccin. Dado que el proceso de muestreo fue una encuesta en lnea, slo los gerentes de contrataciones que dirigan sus empresas en lnea estuvieron al tanto de esta encuesta? Estuvieron representadas varias reas del pas y tipos de empresas? Acaso t puedes pensar en preocupaciones adicionales. Seccin 1.3 Recoleccin de datos x x x x www.fullengineeringbook.net 22 Captulo 1 Estadstica Mtodos mltiples &XDQGRVHPXHVWUHDQSREODFLRQHVPX\JUDQGHVHQRFDVLRQHVHVQHFHVDULRXVDUXQGLVHxR de muestreo mltipleSDUDDSUR[LPDUHOPXHVWUHRDOHDWRULR Muestreo aleatorio mltiple Diseo muestral en el que los elementos del mar- co muestral se subdividen y la muestra se elige en ms de una etapa. /RVGLVHxRVGHPXHVWUHRP~OWLSOHVFRQIUHFXHQFLDFRPLHQ]DQDOGLYLGLUXQDSREODFLyQ PX\JUDQGHHQVXESREODFLRQHVVREUHODEDVHGHFLHUWDFDUDFWHUtVWLFD'LFKDVVXESREODFLR- QHVVHOODPDQestratos(VWRVHVWUDWRVPiVSHTXHxRVPiVIiFLOHVGHWUDEDMDUSXHGHQPXHV- WUHDUVHHQWRQFHVSRUVHSDUDGR8QRGHWDOHVGLVHxRVPXHVWUDOHVHVHOPpWRGRGHmuestreo DOHDWRULRHVWUDWLFDGR. Muestra aleatoria estratificada Muestra que se obtiene al estratificar la pobla- cin o marco muestral y entonces se selecciona un nmero de tems de cada uno de los estratos mediante una tcnica de muestreo aleatorio simple. 8QDPXHVWUDDOHDWRULDHVWUDWLFDGDUHVXOWDFXDQGRODSREODFLyQRPDUFRPXHVWUDOVH VXEGLYLGHHQYDULRVHVWUDWRVSRUORJHQHUDOHQDOJXQDVVXEGLYLVLRQHVQDWXUDOHVTXH\DRFX- UUHQ\HQWRQFHVVHH[WUDHXQDVXEPXHVWUDGHFDGDXQRGHGLFKRVHVWUDWRV'LFKDVVXEPXHV- WUDVSXHGHQH[WUDHUVHGHORVGLIHUHQWHVHVWUDWRVXVDQGRPpWRGRVDOHDWRULRVRVLVWHPiWLFRV /DVVXEPXHVWUDVVHUHVXPHQSULPHURSRUVHSDUDGR\GHVSXpVVHFRPELQDQSDUDH[WUDHU FRQFOXVLRQHVDFHUFDGHWRGDODSREODFLyQ &XDQGRVHPXHVWUHDXQDSREODFLyQFRQPXFKRVHVWUDWRVFRQIUHFXHQFLDVHUHTXLHUH TXHHOQ~PHURGHtWHPVUHFROHFWDGRVGHFDGDHVWUDWRVHDSURSRUFLRQDODO WDPDxRGHORV HVWUDWRVHVWHPpWRGRVHOODPDPXHVWUHRHVWUDWLFDGRSURSRUFLRQDO. Muestra estratificada proporcional Muestra que se obtiene al estratificar la poblacin o marco muestral y despus seleccionar un nmero de tems pro- porcional al tamao de los estratos de cada estrato mediante una tcnica de muestreo aleatorio simple. 8QD IRUPDFRQYHQLHQWHGH H[SUHVDU OD LGHDGHPXHVWUHRSURSRUFLRQDO HV HVWDEOHFHU XQDFXRWD3RUHMHPSORODFXRWDSRUFDGDWHSLGHVHOHFFLRQDUXQYDORUGHGDWRV SRUFDGDHOHPHQWRVHQFDGDHVWUDWR'HHVDIRUPDHOWDPDxRGHORVHVWUDWRVGHWHUPLQD HOWDPDxRGHODVXEPXHVWUDGHGLFKRHVWUDWR/DVVXEPXHVWUDVVHUHVXPHQSRUVHSDUDGR\ OXHJRVHFRPELQDQSDUDH[WUDHUFRQFOXVLRQHVDFHUFDGHWRGDODSREODFLyQ 2WURPpWRGRGHPXHVWUHRTXHFRPLHQ]DSRUHVWUDWLFDUODSREODFLyQRPDUFRPXHVWUDO HVXQDmuestra de conglomerados. Muestra de conglomerados Muestra que se obtiene al estratificar la poblacin o marco muestral y despus seleccionar algunos o todos los tems de algunos estratos, mas no de todos. (OPXHVWUHRGHFRQJORPHUDGRVHVXQGLVHxRP~OWLSOH8VDPpWRGRVDOHDWRULRVRVLVWHPi- WLFRVSDUDVHOHFFLRQDUORVHVWUDWRVFRQJORPHUDGRVDPXHVWUHDUSULPHUDHWDSD\GHVSXpV XWLOL]DPpWRGRVDOHDWRULRVRVLVWHPiWLFRVSDUDVHOHFFLRQDUHOHPHQWRVGHFDGDFRQJORPHUDGR LGHQWLFDGRVHJXQGDHWDSD(OPpWRGRGHPXHVWUHRGHFRQJORPHUDGRVWDPELpQSHUPLWHOD SRVLELOLGDGGHVHOHFFLRQDUWRGRVORVHOHPHQWRVGHFDGDFRQJORPHUDGRLGHQWLFDGR'HFXDO- TXLHUIRUPDODVVXEPXHVWUDVVHUHVXPHQSRUVHSDUDGR\OXHJRVHFRPELQDODLQIRUPDFLyQ 3DUDLOXVWUDUXQSRVLEOHSURFHVRGHPXHVWUHRDOHDWRULRP~OWLSOHFRQVLGHUDTXHQHFH- VLWDVXQDPXHVWUDGHXQJUDQSDtV(QODSULPHUDHWDSDHOSDtVVHGLYLGHHQUHJLRQHVPiV www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 23 SHTXHxDVFRPRORVHVWDGRV\VHVHOHFFLRQDXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHGLFKRVHVWDGRV(QOD VHJXQGDHWDSDVHHOLJHXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHiUHDVPiVSHTXHxDVGHQWURGHORVHVWDGRV VHOHFFLRQDGRVFRQGDGRV(QODWHUFHUDHWDSDGHQWURGHFDGDFRQGDGRVHWRPDXQDPXHV- WUDDOHDWRULDGHiUHDVWRGDYtDPiVSHTXHxDVFLXGDGHV)LQDOPHQWHHQODFXDUWDHWDSDVL GLFKDVFLXGDGHVVRQVXFLHQWHPHQWHSHTXHxDVSDUDORVSURSyVLWRVGHOHVWXGLRHOLQYHVWL- JDGRUSXHGHVHJXLUUHFROHFWDQGRPXHVWUDVDOHDWRULDVVLPSOHVGHFDGDXQDGHODVFLXGDGHV LGHQWLFDGDV(VWRVLJQLFDUtDTXHWRGDODPXHVWUDHVWXYRFRQVWLWXLGDGHYDULDVVXEPXHV- WUDVORFDOHVLGHQWLFDGDVFRPRUHVXOWDGRGHODVGLIHUHQWHVHWDSDV (OGLVHxRPXHVWUDOQRHVDVXQWRVLPSOHPXFKDVXQLYHUVLGDGHV\HVFXHODVRIUHFHQFXU- VRVVHSDUDGRVHQHQFXHVWDVSLORWR\GLVHxRH[SHULPHQWDO(OWHPDGHODVHQFXHVWDVSLORWRHV XQOLEURGHWH[WRFRPSOHWRHQVtPLVPR3RUWDQWRODLQIRUPDFLyQDQWHULRUWLHQHODLQWHQ- FLyQGHRIUHFHUWHXQSDQRUDPDGHOPXHVWUHR\SRQHUVXSDSHOHQSHUVSHFWLYD 1.43 USA TodayUHJXODUPHQWHSUHJXQWDDVXVOHFWRUHV7LH- QHDOJXQDTXHMDDFHUFDGHOHTXLSDMHDpUHRGHYROXFLRQHVSX- EOLFLGDGVHUYLFLRDOFOLHQWH"(VFULED D 4XpWLSRGHPpWRGRGHPXHVWUHRHVpVWH" E (VSUREDEOHTXHORVUHVXOWDGRVVHDQVHVJDGRV"([SOLFD 1.44 USA TodayUHDOL]yXQDHQFXHVWDHQODTXHSUHJXQWyDVXV OHFWRUHV&XiOHVODFRVDPiVKLODUDQWHTXHOHKDVXFHGLGRHQ UXWDRGXUDQWHXQYLDMHGHQHJRFLRV" D 4XpWLSRGHPpWRGRGHPXHVWUHRHVpVWH" E (VSUREDEOHTXHORVUHVXOWDGRVVHDQVHVJDGRV"([SOLFD 1.45(QXQDHQFXHVWDDFHUFDGHODVIDPLOLDV$QQ/DQGHUVXQD ELHQ FRQRFLGD FROXPQLVWD GH FRQVHMRV SUHJXQWy D SDGUHV VL WHQGUtDQKLMRVQXHYDPHQWHUHVSRQGLyQR8QDHQFXHVWD DOHDWRULDLQGHSHQGLHQWHTXHSODQWHyODPLVPDSUHJXQWDSURGX- MRXQDUHVSXHVWDGHVt3URRSUFLRQDDOPHQRVXQDH[- SOLFDFLyQGHSRUTXpHOSRUFHQWDMHUHVXOWDQWHGHODHQFXHVWDGH /DQGHUVHVWDQGLIHUHQWHGHOSRUFHQWDMHGHODPXHVWUDDOHDWRULD 1.46'HVFULEHGRVUD]RQHVSRUODVTXHORVUHVXOWDGRVGHOD HQFXHVWD,Q*RG:H7UXVWGHOHMHPSORDSOLFDGRGH ODSiJLQDQRGHEHQHVSHUDUVHTXHVHDQUHSUHVHQWDWLYRV GHODSREODFLyQ 1.477RGRPXQGRVDEHTXHHOHMHUFLFLRHVEXHQRSDUDODVDOXG 3HURHOHMHUFLFLRSXHGHHYLWDURGHPRUDU ORVVtQWRPDVGHOD HQIHUPHGDGGH3DUNLQVRQ"8QHVWXGLRUHFLHQWHGHOD+DUYDUG 6FKRRO RI 3XEOLF+HDOWK HVWXGLy KRPEUHV \ PXMHUHVTXHHUDQUHODWLYDPHQWHVDQRV\GHHGDGPHGLDRPiV 'XUDQWH HO FXUVR GHO HVWXGLR SHUVRQDV GHVDUUROODURQ OD HQIHUPHGDG(O HVWXGLRGHVFXEULyTXH ORVKRPEUHVTXHSDU- WLFLSDURQHQDOJXQDDFWLYLGDGYLJRURVDDOPHQRVGRVYHFHVD ODVHPDQDHQHOEDFKLOOHUDWRODXQLYHUVLGDG\KDVWDODHGDGGH WHQtDQGH ULHVJR UHGXFLGRGHFRQWUDHU3DUNLQVRQ(O HVWXGLRQRGHVFXEULyWDOUHGXFFLyQHQODVPXMHUHV4XpWLSR GHPXHVWUHRUHSUHVHQWDHVWR" 1.48$XQGLVWULEXLGRUGHDOLPHQWRVPLQRULVWDHQXQDJUDQiUHD PHWURSROLWDQDOHJXVWDUtDSRQHUDSUXHEDODGHPDQGDSDUDXQ QXHYRSURGXFWRDOLPHQWLFLReOGLVWULEX\HDOLPHQWRVD WUDYpV GHFLQFRJUDQGHVFDGHQDVGHVXSHUPHUFDGRV(OGLVWULEXLGRUGH DOLPHQWRVVHOHFFLRQDXQDPXHVWUDGHWLHQGDVXELFDGDVHQiUHDV GRQGHFRQVLGHUDTXHORVFRPSUDGRUHVVRQUHFHSWLYRVDSUREDU ORVQXHYRVSURGXFWRV4XpWLSRGHPXHVWUHRUHSUHVHQWDHVWR" 1.49&RQVLGHUDXQDSREODFLyQVLPSOHTXHFRQVLVWHVRODPHQWH GHORVQ~PHURV\XQQ~PHURLOLPLWDGRGHFDGDXQR ([LVWHQQXHYHGLIHUHQWHVPXHVWUDVGH WDPDxRTXHSRGUtDQ H[WUDHUVHGHHVWDSREODFLyQ D 6LODSREODFLyQFRQVLVWHGHORVQ~PHURV\PHQ- FLRQDWRGDVODVPXHVWUDVGHWDPDxRTXHSRVLEOHPHQWH SRGUtDQVHOHFFLRQDUVH E 6LODSREODFLyQFRQVLVWHGHORVQ~PHURV\PHQ- FLRQDWRGDVODVPXHVWUDVGHWDPDxRTXHSRVLEOHPHQWH SRGUtDQVHOHFFLRQDUVH 1.50D4XpHVXQPDUFRPXHVWUDO" E4XpXVDHO6U&ODUSDUDXQPDUFRPXHVWUDOHQHO HMHPSORSiJLQD" F'HGyQGHSURYLQRHOQ~PHUR\FyPRVHXVy" 1.51 8Q DUWtFXOR WLWXODGR6XUIDFH 6DPSOLQJ LQ *UDYHO 6WUHDPV0XHVWUHRGHVXSHUFLHHQFRUULHQWHVGHJUDYDJour- nal of Hydraulic EngineeringDEULOGHGLVFXWHHOPXHV- WUHRSRUUHWtFXODV\HOPXHVWUHRDULDO(OPXHVWUHRSRUUHWtFXODV LQYROXFUD OD UHPRFLyQDPDQRGHSLHGUDVTXH VHHQFXHQWUDQ HQ SXQWRV HVSHFtFRV'LFKRV SXQWRV VH HVWDEOHFHQ VREUH OD VXSHUFLHGHJUDYDPHGLDQWHHOXVRGHXQDUHMLOODGHDODPEUHR FRQHOXVRGHGLVWDQFLDVSUHGHWHUPLQDGDVHQXQDFLQWDGHPH- GLFLyQ(OPDWHULDOUHFROHFWDGRHQHOPXHVWUHRSRUUHMLOODVSRU ORJHQHUDOVHDQDOL]DFRPRXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLD8QD PXHVWUDDULDOVHUHFROHFWDDOUHPRYHUWRGDVODVSDUWtFXODVTXH VHHQFXHQWUDQHQXQDiUHDSUHGHWHUPLQDGDGHXQOHFKRXYLDO E J E R C I C I O S S E C C I N 1 . 3 Seccin 1.3 Recoleccin de datos Fuente: "Exercise may prevent Parkinson's", USA Today, 22 de febrero de 2005 FRQWLQ~DHQODSiJLQD www.fullengineeringbook.net 24 Captulo 1 Estadstica (QDxRVUHFLHQWHVODWHFQRORJtDHOHFWUyQLFDWXYRXQLPSDFWRWUHPHQGRVREUHFDVLWRGRDV SHFWRGHODYLGD(OFDPSRGHODHVWDGtVWLFDQRHVODH[FHSFLyQ&RPRVHREVHUYDHOFDPSR GHODHVWDGtVWLFDXVDPXFKDVWpFQLFDVTXHVRQUHSHWLWLYDVSRUQDWXUDOH]DFiOFXORVGHHVWD GtVWLFRVQXPpULFRVSURFHGLPLHQWRVSDUDFRQVWUXLUJUiFRVGHGDWRV\SURFHGLPLHQWRVTXH VHVLJXHQSDUDIRUPXODULQIHUHQFLDVHVWDGtVWLFDV/DVFRPSXWDGRUDV\ODVFDOFXODGRUDVVRQ PX\EXHQDVSDUDUHDOL]DUHVDVHQRFDVLRQHVODUJDV\WHGLRVDVRSHUDFLRQHV6LWXFRPSXWD GRUDWLHQHXQRGHORVSDTXHWHVHVWDGtVWLFRVHVWiQGDURVLWLHQHVXQDFDOFXODGRUDHVWDGtVWLFD HQWRQFHVUHDOL]DUiVHODQiOLVLVPiVIiFLO (OPDWHULDOUHFXSHUDGRVHDQDOL]DPiVXVXDOPHQWHFRPRXQD GLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDSRUSHVR7~MHUDUTXL]DUtDVGLFKRV GLVHxRVGHPXHVWUDFRPRPXHVWUDVGLULJLGDVRSUREDELOtVWLFDV" 1.528QDPXHVWUDDOHDWRULDSRGUtDVHUPX\GLItFLOGHREWHQHU 3RUTXp" 1.533RUTXpODPXHVWUDDOHDWRULDHVWDQLPSRUWDQWHHQHVWD GtVWLFD" 1.546KHLOD-RQHVWUDEDMDSDUDXQDFRPSDxtDGHLQYHVWLJDFLyQ GHPHUFDGRV HVWDEOHFLGD HQ&LQFLQQDWL2KLR 6X VXSHUYLVRU OH DFDEDGH HQWUHJDUXQD OLVWDGHQ~PHURV DOHDWRULRVGH FXDWURGtJLWRVH[WUDtGRVGHXQDWDEODHVWDGtVWLFDGHGtJLWRVDOHD WRULRV/HSLGLyD6KHLOD UHDOL]DUXQDHQFXHVWD DO OODPDUSRU WHOpIRQRDUHVLGHQWHVGH&LQFLQQDWLVLHPSUHTXHORV~OWL PRVFXDWURGtJLWRVGHOQ~PHURWHOHIyQLFRFRLQFLGDQFRQXQRGH ORVQ~PHURVHQODOLVWD6L6KHLODVLJXHODVLQGLFDFLRQHVGHVX VXSHUYLVRUHVWipOVHJXURGHREWHQHUXQDPXHVWUDDOHDWRULDGH HQFXHVWDGRV"([SOLFD 1.55'HVFULEH FRQGHWDOOH FyPR VHOHFFLRQDUtDVXQDPXHVWUD VLVWHPiWLFDGHGHORVDGXOWRVHQXQDJUDQFLXGDGFHUFDQD FRQODQDOLGDGGHFRPSOHWDUXQDHQFXHVWDDFHUFDGHXQWHPD SROtWLFR 1.56D 4XpFXHUSRGHOJRELHUQRIHGHUDOLOXVWUDXQPXHVWUHR HVWUDWLFDGRGHOSXHEOR"1RVHXVDXQSURFHVRGH VHOHFFLyQDOHDWRULR E 4XpFXHUSRGHOJRELHUQRIHGHUDOLOXVWUDXQPXHV WUHRSURSRUFLRQDOGHOSXHEOR"1RVHXVDXQSURFHVR GHVHOHFFLyQDOHDWRULR 1.57 6XSyQTXHXQJUXSRGHHVWDFLRQHVGHUDGLRGHSRUWLYDVWH FRQWUDWDSDUDGHWHUPLQDUODGLVWULEXFLyQGHHGDGHVGHVXVHV FXFKDV'HVFULEHFRQGHWDOOHFyPRVHOHFFLRQDUtDVXQDPXHVWUD DOHDWRULDGHGHODViUHDVGHHVFXFKDVLQYROXFUDGRV 1.58([SOLFDSRUTXpODVHQFXHVWDVTXHVHFLWDQWDQIUHFXHQ WHPHQWHGXUDQWH ODVSULPHUDV WUDQVPLVLRQHV WHOHYLVLYDV HQ OD FREHUWXUDGHOGtDGHODVHOHFFLRQHVVRQXQHMHPSORGHPXHVWUHR SRUFRQJORPHUDGRV 1.59(OGLUHFWRULRWHOHIyQLFRSXHGHQRVHUXQPDUFRPXHVWUDO UHSUHVHQWDWLYR([SOLFDSRUTXp 1.60/DOLVWDGHYRWDQWHVUHJLVWUDGRVGHOFRQVHMRHOHFWRUDOQR HVXQFHQVRGHODSREODFLyQDGXOWD([SOLFDSRUTXp 1.61 6XVWLWX\H ODV OiPSDUDV LQFDQGHVFHQWHV FRQ OiPSDUDV XRUHVFHQWHVFRPSDFWDVTXHXVDQKDVWDPHQRVHQHUJtD\ GXUDQKDVWDYHFHVPiV7RPDGRGH6LPSOH:D\VWR6DYH (QHUJ\NYSEG Energy LinesIHEUHURGH D &XiOHVVRQODVGRVDUPDFLRQHVTXHKDFHHQODGH FODUDFLyQDQWHULRUOD1HZ<RUN6WDWH(OHFWULFDQG*DV &RPSDQ\"(Q~QFLDODVHQWpUPLQRVGHXQSDUiPHWURHVWD GtVWLFR E &UHHVTXHORVGRVHQXQFLDGRVGHOD1<6(*VRQUD]RQD EOHV\SUREDEOHPHQWHVHDQYHUGDGHURV"([SOLFD F 6LFUHHVTXHXQDDUPDFLyQHVUD]RQDEOH\SUREDEOHPHQWH YHUGDGHUDWHVHQWLUtDVPRWLYDGRDHQFRQWUDUHYLGHQFLD SDUDYHULFDUVXYHUDFLGDG"([SOLFD G 6LFUHHVTXHXQDDUPDFLyQQRHVUD]RQDEOH\SUREDEOH PHQWHQRVHDYHUGDGHUDWHVHQWLUtDVPRWLYDGRDHQFRQ WUDUHYLGHQFLDSDUDYHULFDUTXHHVLQFRUUHFWD"([SOLFD H &XiOVLWXDFLyQLQYHVWLJDUtDVFRQPiVSUREDELOLGDGODF RODG"([SOLFD I &yPRSURFHGHUtDVDWUDWDUGHYHULFDUKDVWDPHQRV HQHUJtD" J &yPRSURFHGHUtDVDWUDWDUGHYHULFDUGXUDKDVWD YHFHVPiV" Imagen copyright Ossile, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com1.4 Estadstica y tecnologa www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 25 $ORODUJRGHHVWHWH[WRFRQIRUPHHVWXGLHVORVSURFHGLPLHQWRVHVWDGtVWLFRVHQFRQWUDUiV ODLQIRUPDFLyQQHFHVDULDSDUDKDFHUTXHXQDFRPSXWDGRUDFRPSOHWHORVPLVPRVSURFHGL- PLHQWRVXVDQGRHOVRIWZDUHGH0,1,7$%\([FHO7DPELpQVHPRVWUDUiQORVSURFHGLPLHQ- WRVGHFiOFXORSDUDODFDOFXODGRUD7, $FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDXQDH[SOLFDFLyQGHODVFRQYHQFLRQHVWLSRJUiFDVPiVFR- PXQHVTXHVHXVDUiQHQHVWHOLEUR/DVH[SOLFDFLRQHVRVHOHFFLRQHVDGLFLRQDOHVVHSURSRU- FLRQDUiQVHJ~QVHUHTXLHUDQ 'HWDOOHVDGLFLRQDOHVDFHUFDGHOXVRGH0,1,7$%\([FHOHVWiQGLVSRQLEOHVHQHOVLVWH- PDGHD\XGDGHORVVRIWZDUHV0,1,7$%\([FHO'HWDOOHVDGLFLRQDOHVSDUDOD7,VH HQFXHQWUDQHQODFRUUHVSRQGLHQWHJXtDGHODTI-83/84 Plus Graphing Calculator'HWDOOHV HVSHFtFRVDFHUFDGHOXVRGHFRPSXWDGRUDV\FDOFXODGRUDVORVSXHGHVREWHQHUGHWXSURIH- VRURGHOSHUVRQDOGHOODERUDWRULRGHFyPSXWRORFDO I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C O N V E N C I O N E S B S I C A S MINITAB PTI Para informacin acerca de cmo ob- tener MINITAB, visita la pgina en internet http://www.minitab. com. Excel PTI Excel es parte de Microsoft Office y puede encontrarse en muchas computadoras personales. TI-83/84 Plus PTI Para informacin acerca de cmo obte- ner TI-83/84 Plus, visita la pgina en internet http://www.ti.com/ calc. Elige: te pide hacer una seleccin de men con una entrada de ratn "apunta y haz clic". Por ejemplo: Elige: Stat > Quality Tools > Pareto Chart te pide, en secuencia, "apuntar y hacer clic" en Stat en la barra de men, "se- guido por" Quality Tools en el men desplegable y luego "seguido por" Pareto Chart en el segundo men desplegable. Selecciona: indica que debes hacer clic en el pequeo recuadro o crculo a la izquierda del tem especificado. Ingresa: te pide escribir o seleccionar la informacin necesaria para un tem especfico. Elige: te pide hacer una seleccin de men o de pestaa con una entra- da de ratn "apunta y haz clic". Por ejemplo: Elige: Insert > Scatter > 1st graph picture te pide, en secuencia, "apuntar y hacer clic" en la pestaa Insert, seguido por Scatter bajo la seccin "Charts", seguido por 1st graph picture en el subtipo Chart. Selecciona: indica que debes hacer clic en el pequeo recuadro o crculo a la izquierda del tem especificado. Con frecuencia es seguido por un "apunta y haz clic sobre" Next (siguiente), Close (cerrar) o Finish (terminar) en la ventana de dilogo. Ingresa: te pide escribir o seleccionar la informacin necesaria para un tem especfico. Elige: te dice cules teclas oprimir o selecciones de men hacer. Por ejemplo: Elige: Zoom > 9:ZoomStat > Trace >>> te indica opri- mir la tecla Zoom, seguido por la seleccin de 9:ZoomStat del men, seguido por la tecla Trace; >>> indica que debes presionar las teclas de flechas repetidamente para moverte a lo largo de una grfica para obtener puntos importantes. Ingresa: te pide escribir o seleccionar la informacin necesaria para un tem especfico. Captura te proporciona imgenes de cmo debera verse la pantalla de tu de pantalla: calculadora y destaca las especificaciones elegidas. Seccin 1.4 Estadstica y tecnologa www.fullengineeringbook.net 26 Captulo 1 Estadstica 7XFHQWURGHFyPSXWRORFDOSXHGHRIUHFHUWHXQDOLVWDGHTXpWLHQHGLVSRQLEOHSDUD WL$OJXQRVGH ORVSDTXHWHVGHSURJUDPDVPiVIiFLOPHQWHGLVSRQLEOHVVRQ0,1,7$% -03,1\63663DTXHWH(VWDGtVWLFRSDUD&LHQFLDV6RFLDOHVSRUVXVVLJODVHQLQJOpV Nota: Siempre es una gran tentacin usar la computadora o calculadora para analizar cualquiera de todos los conjuntos de datos y despus tratar los resultados como si los estadsticos fuesen correctos. Recuerda el refrn: "Entra basura, sale basura!". El uso responsable de la metodologa estadstica es muy importante. La carga est en el usuario para asegurarse de que los mtodos apropiados estn aplicados correctamente y de que las conclusiones exactas son extradas y comunicadas a otras. En retrospectiva E J E R C I C I O S S E C C I N 1 . 4 1.62 &yPRDXPHQWDURQ ODV FRPSXWDGRUDV ODXWLOLGDGGH OD HVWDGtVWLFDSDUDSURIHVLRQDOHVFRPRLQYHVWLJDGRUHVWUDEDMDGR- UHVGHOJRELHUQRTXHDQDOL]DQGDWRVFRQVXOWRUHVHVWDGtVWLFRV\ RWURV" 1.63&yPRSXHGHQD\XGDUWHODVFRPSXWDGRUDVHQODHVWDGtV- WLFD" 1.64 D $OJXQDYH]HVFXFKDVWHDDOJXLHQGHFLU"GHEHVHU FRUUHFWRHVORTXHPHGLMRPLFDOFXODGRUD([SOLFD SRUTXpODFDOFXODGRUDSXHGHRQRGDUODUHVSXHVWD FRUUHFWD E 4XpVHHQWLHQGHSRU(QWUDEDVXUDVDOHEDVXUD\ FyPRODVFRPSXWDGRUDVDXPHQWDURQODSUREDELOLGDG GHTXHORVHVWXGLRVSXHGDQVDFULFDUVHGHELGRDO UHIUiQ" Repaso del captulo $KRUDGHEHVWHQHUXQDLGHDJHQHUDOGHORTXHWUDWDODHVWDGtV- WLFDXQDLPDJHQTXHFUHFHUi\FDPELDUiFRQIRUPHWUDEDMHVD WUDYpVGHHVWHOLEUR6DEHVORTXHVRQXQDPXHVWUD\XQDSR- EODFLyQ\ODGLVWLQFLyQHQWUHYDULDEOHVFXDOLWDWLYDVDWULEXWRV\ FXDQWLWDWLYDVQXPpULFDV7DPELpQGHEHUtDVDSUHFLDU\ WHQHU XQDFRPSUHQVLyQSDUFLDOGHFXiQLPSRUWDQWHVVRQODVPXHVWUDV DOHDWRULDVHQHVWDGtVWLFD $ OR ODUJR GHO FDStWXOR YLVWH QXPHURVRV DUWtFXORV TXH UHSUHVHQWDQYDULRVDVSHFWRVGHODHVWDGtVWLFD/DVJUiFDVHV- WDGtVWLFDVSUHVHQWDQXQDYDULHGDGGHLQIRUPDFLyQDFHUFDGHWL SXHVWHGHVFULEHQSHUVRQDOPHQWH\RWURVDVSHFWRVGHOPXQGRD WXDOUHGHGRU/DVHVWDGtVWLFDVLQFOXVRSXHGHQVHUHQWUHWHQLGDV /RVHMHPSORVVRQLQWHUPLQDEOHV2EVHUYDDWXDOUHGHGRU\HQ- FRQWUDUiVDOJXQRVHMHPSORVGHODHVWDGtVWLFDHQWXYLGDGLDULD FRQVXOWDORVHMHUFLFLRV\S (O VLWLR Statistics CourseMate SDUDHVWHOLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQKH- UUDPLHQWDVLQWHUDFWLYDVGHDSUHQGL]DMHHVWXGLR\SUHSDUDFLyQ GHH[iPHQHVLQFOXLGDVSUHJXQWDVUiSLGDV\WDUMHWDVGHHVWXGLR SDUDHOYRFDEXODULR\ORVFRQFHSWRVFODYHTXHDSDUHFHQDFRQ- WLQXDFLyQ(OVLWLRWDPELpQRIUHFHXQDYHUVLyQeBookGHOWH[WR FRQFDSDFLGDGHVGHVXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGH ORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORVFRQFHSWRV \HMHPSORVTXHWLHQHQVXVFRUUHVSRQGLHQWHVUHFXUVRVLQWHUDFWL- YRVFRPRvideo\tutoriales animadosTXHGHPXHVWUDQSDVR D SDVR FyPR UHVROYHU SUREOHPDV FRQMXQWRV GH GDWRV SDUD HMHUFLFLRV\ HMHPSORVApplets Skillbuilder SDUD D\XGDUWH D FRPSUHQGHUPHMRUORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa\ VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\HData Analysis PlusXQD VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com c 2010 Erik Isakson/Jupiterimages Corporation www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 27 Ejercicios del captulo Vocabulario y conceptos clave FHQVRS GDWRVS GLVHxRPXHVWUDOS HQFXHVWDS HVWDGtVWLFDS HVWDGtVWLFRS HVWDGtVWLFDGHVFULSWLYDS HVWDGtVWLFDLQIHUHQFLDOS HVWUDWRS HVWXGLRREVHUYDFLRQDOS H[SHULPHQWRS IRUWXLWRS PDUFRPXHVWUDOS PpWRGRGHPXHVWUHRS PpWRGRGHPXHVWUHRQRVHVJDGRS PpWRGRGHPXHVWUHRVHVJDGRS PXHVWUDS PXHVWUDDOHDWRULDHVWUDWLFDGDS PXHVWUDDOHDWRULDVLPSOHS PXHVWUDGHFRQJORPHUDGRVS PXHVWUDGHFRQYHQLHQFLDS PXHVWUDGLULJLGDS PXHVWUDHVWUDWLFDGDSURSRUFLRQDO S PXHVWUDSUREDELOtVWLFDS PXHVWUDVLVWHPiWLFDS PXHVWUDYROXQWDULDS PXHVWUHRDOHDWRULRP~OWLSOHS PXHVWUHRVHQFLOORS SDUiPHWURS SREODFLyQS SREODFLyQQLWDS SREODFLyQLQQLWDS UHFROHFFLyQGHGDWRVS UHSUHVHQWDWLYRS YDORUGHGDWRVS YDULDELOLGDGS YDULDEOHS YDULDEOHDWULEXWRS YDULDEOHFDWHJyULFDS YDULDEOHFRQWLQXDS YDULDEOHFXDOLWDWLYDS YDULDEOHFXDQWLWDWLYDS YDULDEOHGHUHVSXHVWDS YDULDEOHGLVFUHWDS YDULDEOHQRPLQDOS YDULDEOHQXPpULFDS YDULDEOHRUGLQDOS Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHU\GHVFULELUODGLIHUHQFLDHQWUHHVWDGtVWLFDGHVFULSWLYDHLQIHUHQFLDO S(M &RPSUHQGHULGHQWLFDUHLQWHUSUHWDUODVUHODFLRQHVHQWUHPXHVWUDSREODFLyQHVWDGtVWLFR\SDUiPHWUR SS(- &RQRFHULGHQWLFDU\GHVFULELUORVGLIHUHQWHVWLSRVGHYDULDEOHV SS(M &RPSUHQGHUFyPRODVPXHVWUDVGHFRQYHQLHQFLD\ODVYROXQWDULDVUHVXOWDQHQPXHVWUDVVHVJDGDV SS(M &RPSUHQGHUODVGLIHUHQFLDVHQWUHLGHQWLFDUH[SHULPHQWRVHVWXGLRVREVHUYDFLRQDOHV SS \PXHVWUDVGLULJLGDV &RPSUHQGHU\GHVFULELUORVPpWRGRVGHPXHVWUHRVHQFLOORVGHPXHVWUDDOHDWRULDVLPSOH SS \PXHVWUHRVLVWHPiWLFR &RPSUHQGHU\GHVFULELUORVPpWRGRVGHPXHVWUHRP~OWLSOHVGHPXHVWUHRHVWUDWLFDGR SS \PXHVWUHRSRUFRQJORPHUDGRV &RPSUHQGHUTXHODYDULDELOLGDGHVLQKHUHQWHHQWRGR\HQHOSURFHVRGHPXHVWUHR SS(M 1.656HGHVHDGHVFULELUDOOODPDGRHVWXGLDQWHWtSLFRHQWXHV- FXHOD'HVFULEHXQDYDULDEOHTXHPLGDDOJXQDFDUDFWHUtVWLFDGH XQHVWXGLDQWH\UHVXOWHHQ D 'DWRVGHDWULEXWRV E 'DWRVQXPpULFRV 1.668QFDQGLGDWRSDUDXQSXHVWRSROtWLFRDUPDTXHpOJDQD- UiODHOHFFLyQ6HOOHYDDFDERXQDHQFXHVWD\GHYRWDQ- WHVLQGLFDQTXHYRWDUiQSRUHOFDQGLGDWRYRWDQWHVLQGLFDQ TXHYRWDUiQSRUVXRSRQHQWH\YRWDQWHVQRHVWiQGHFLGLGRV D &XiOHVHOSDUiPHWURSREODFLRQDOGHLQWHUpV" E &XiOHVHOYDORUGHOHVWDGtVWLFRGHPXHVWUDTXHSXHGH XVDUVHSDUDHVWLPDUHOSDUiPHWURSREODFLRQDO" F 7HQGHUtDVDFUHHUOHDOFDQGLGDWRFRQEDVHHQORVUHVXOWD- GRVGHODHQFXHVWD" 1.678QLQYHVWLJDGRUTXHHVWXGLDORVKiELWRVGHFRPSUDGHORV FRQVXPLGRUHVSUHJXQWDDFDGDYLJpVLPDSHUVRQDTXHHQWUDDO 3XEOL[6XSHUPDUNHWFXiQWDVYHFHVSRUVHPDQDYDGHFRPSUDV DHVDWLHQGD(QWRQFHVUHJLVWUDODUHVSXHVWDFRPRT. a. T HVXQHMHPSORGHXQDPXHVWUDXQDYDULDEOH XQHVWDGtVWLFRXQSDUiPHWURRXQYDORUGHGDWRV" 6XSyQTXHODLQYHVWLJDGRUDSUHJXQWDDFRPSUDGRUHVGX- UDQWHODHQFXHVWD E 3URSRUFLRQDXQHMHPSORGHXQDSUHJXQWDTXHSXHGDUHV- SRQGHUVHFRQODVKHUUDPLHQWDVGHODHVWDGtVWLFDGHVFULSWLYD Ejercicis del captulo FRQWLQ~DHQODSiJLQD www.fullengineeringbook.net 28 Captulo 1 Estadstica F 3URSRUFLRQDXQHMHPSORGHXQDSUHJXQWDTXHSXHGDUHV- SRQGHUVHFRQODVKHUUDPLHQWDVGHODHVWDGtVWLFDLQIHUHQFLDO 1.688QLQYHVWLJDGRUTXHHVWXGLDODVDFWLWXGHVGHORVSDGUHV GHQLxRVGHSUHHVFRODUHQWUHYLVWDXQDPXHVWUDDOHDWRULDGH PDGUHVFDGDXQDFRQXQKLMRHQSUHHVFRODU3UHJXQWDDFDGD PDGUH &XiQWDV YHFHVKDODJy D VXKLMR D\HU"eO UHJLVWUD OD UHVSXHVWDFRPR& a. C HVXQHMHPSORGHXQYDORUGHGDWRVXQHVWD- GtVWLFRXQSDUiPHWURXQDYDULDEOHRXQDPXHVWUD" E 3URSRUFLRQDXQHMHPSORGHXQDSUHJXQWDTXHSXHGDUHV- SRQGHUVHFRQODVKHUUDPLHQWDVGHODHVWDGtVWLFDGHVFULSWLYD F 3URSRUFLRQDXQHMHPSORGHXQDSUHJXQWDTXHSXHGDUHV- SRQGHUVHFRQODVKHUUDPLHQWDVGHODHVWDGtVWLFDLQIHUHQ- FLDO 1.69&RQVLGHUDHODUWtFXORGHOUSA TodayGHOGHMXQLRGH WLWXODGR$XPHQWDGHOLQFXHQFLDFRQWDUMHWDGHFUpGLWR D &XiOHVODSREODFLyQ" E 0HQFLRQDDOPHQRVWUHVYDULDEOHVTXHVHKD\DQXVDGR F &ODVLFDWRGDVODYDULDEOHVGHOHVWXGLRRFRPRDWULEXWR RFRPRQXPpULFD 1.70+DUULV,QWHUDFWLYHUHDOL]yXQDHQFXHVWDHQOtQHDGHDGXO- WRVHVWDGRXQLGHQVHVGXUDQWHDJRVWRGHHQDQWLFLSDFLyQGH VHSWLHPEUHFRPRHOPHVGHLQVFULSFLyQDODELEOLRWHFD D &XiOHVODSREODFLyQ" E 0HQFLRQDDOPHQRVWUHVYDULDEOHVTXHVHKD\DQXVDGR F &ODVLFDWRGDVODVYDULDEOHVGHOHVWXGLRRFRPRDWULEXWR RFRPRQXPpULFD 1.71 /DJUiFDDQWHULRUPXHVWUDFyPRSUREDEOHVYRWDQWHVHQ DEULOGHVHVHQWtDQDFHUFDGHXVDUFiPDUDVSDUDLGHQWLFDU Aumenta delincuencia con tarjeta de crdito /D WDVDGHGHOLQFXHQFLDSDUD WDUMHWDVGH FUpGLWR HPLWL- GDVSRUEDQFRVDXPHQWyHQORVSULPHURVWUHVPHVHV GHODxRGHDFXHUGRFRQODDJHQFLDGHUHSRUWHGHFUpGL- WR7UDQV8QLRQ/D WDVDGHGHOLQFXHQFLD VDOWyD HVWHDxRGHHQORVSULPHURVWUHVPHVHVGH GLMR7UDQV8QLRQ/D HVWDGtVWLFDPLGH HO SRUFHQWDMH GH SRVHHGRUHVGHWDUMHWDTXHWLHQHQWUHVPHVHVRPiVGHGH- PRUDHQVXVSDJRVSDUD ODV WDUMHWDV0DVWHU&DUG9LVD $PHULFDQ([SUHVV\'LVFRYHU/DGHXGDWRWDOSURPHGLR HQWDUMHWDVEDQFDULDVWDPELpQDXPHQWy\VDOWyD GHHO DxRSDVDGR/RVEDODQFHVXVXDOPHQWH VH HPLWHQHQHOSULPHUWULPHVWUHFXDQGRORVJDVWRVGHODV HVWDVYHQFHQGLMR(]UD%HFNHUGLUHFWRUGHFRQVXOWR- UtD\HVWUDWHJLDHQHOJUXSRGHVHUYLFLRVQDQFLHURVGH 7UDQV8QLRQ3HURORVUHVXOWDGRVGHODVYHQWDVPLQRULVWDV PRVWUDURQTXHORVJDVWRVGHODVHVWDVFD\HURQXQSRFR (VRSUREDEOHPHQWHVLJQLFDTXHORVEDODQFHVPiVDOWRV UHHMDQDORVFRQVXPLGRUHVTXHXVDQWDUMHWDVGHFUpGLWR SDUDSDJDUVXVDUWtFXORVGHSULPHUDQHFHVLGDGGLMR Fuente: "Credit Card Delinquencies Rise", USA Today, 8 de junio de 2009. Copyright 2009, USA Today. Reimpreso con permiso. Fuente: http://www.harrisinteractive.com/harris_poll/ Tarjeta de biblioteca eVWRV VRQ DOJXQRV GH ORV UHVXOWDGRV GH XQD HQFXHVWD GH+DUULV,QWHUDFWLYHGHDGXOWRVHVWDGRXQLGHQVHV UHDOL]DGDHQOtQHDHQWUHHO\HOGHDJRVWRGH $FWXDOPHQWHGHORVHVWDGRXQLGHQVHVSRVHHQXQD WDUMHWDGHELEOLRWHFD &LHUWRV JUXSRV WLHQHQPiV SUREDELOLGDG GH WHQHU XQD WDUMHWDGHELEOLRWHFDTXHRWURV(FKR%RRPHUV ORVGH WLHQHQPiVSUREDELOLGDGGHWHQHUXQDVREUHRWUDV FDWHJRUtDVGH HGDG IUHQWH D ODVPXMH- UHVVREUHORVKRPEUHVIUHQWHDORVKLVSDQRV VREUH ORV DIURDPHULFDQRV \ EODQFRV IUHQWH D \ ORVGHOPHGLRRHVWH VREUH ORVGHOHVWH \ORVGHOVXU 3ROtWLFDPHQWH WDPELpQH[LVWHXQDGLIHUHQFLDSXHV ORV GHPyFUDWDV WLHQHQPiVSUREDELOLGDGGHWHQHUXQDWDU- MHWDGHELEOLRWHFDVREUHORVUHSXEOLFDQRV\ORVLQGHSHQ- GLHQWHVIUHQWHD\ 0iVGHXQWHUFLRGHODVSHUVRQDVFRQXQDWDUMHWD GHELEOLRWHFDXVDURQODELEOLRWHFDGHDYHFHVHODxR SDVDGR\ODXVDURQPiVGHYHFHVHODxRSDVDGR Fuente: Public Opinion Strategies; encuesta de 800 probables votantes, abril de 2009 Apoyas el uso de cmaras para identificar a quienes se pasan la luz roja? Apoya firmemente Apoya un poco Opone un poco Opone firmemente No sabe 2% www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 29 DTXLHQHVVHSDVDQODOX]URMD&ODVLFDUtDVORVGDWRVUHFROHF WDGRV\ ORVXVDUtDVSDUDGHWHUPLQDUGLFKRVSRUFHQWDMHVFRPR FXDOLWDWLYRVQRPLQDOHVXRUGLQDOHVRFXDQWLWDWLYRVGLVFUHWRR FRQWLQXR"3RUTXp" 1.72&RQVLGHUDHODUWtFXORGHOUSA TodayGHOGHPD\RGH WLWXODGR$FXSXQWXUDVLPXODGDDOLYLDHOGRORU D &XiOHVODSREODFLyQ" E &XiOHVODPXHVWUD" F eVWDHVXQDPXHVWUDGLULJLGDRXQDPXHVWUDSUREDELOtVWLFD" G 6LHVWHHVWXGLRHVXQDPXHVWUDSUREDELOtVWLFDTXpWLSRGH PpWRGRGHPXHVWUHRFUHHVTXHVHXWLOL]y" 1.73'HVSOHJDUODVVRPEUDVXQDUWtFXORHQODUHYLVWDGood HousekeepingGHOPHVGHMXOLRGHSUHVHQWyORVUHVXOWD GRVGHXQHVWXGLRGHSHUVRQDVHQ+DZDLUHDOL]DGRSRU OD8QLYHUVLGDGGH+DZDLHQ0DQRD/RVGDWRVUHFROHFWDGRVHQ SOD\DVSDUTXHV\DOEHUFDVHQ ODVROHDGD+RQROXO~ UHYHODURQ TXHVyORGHDGXOWRVXVDEDQOHQWHVSDUDHOVROSDUDSURWHJHU VXVRMRV D (VWHHVWXGLRIXHXQH[SHULPHQWRRXQHVWXGLRREVHUYD FLRQDO" E ,GHQWLFDHOSDUiPHWURGHLQWHUpV F ,GHQWLFDHOHVWDGtVWLFR\SURSRUFLRQDVXYDORU 1.74(O&OXE%DUU\%RQGVMXJySDUDORV*LJDQWHVGH6DQ )UDQFLVFR\FDVLDOQDOGHVXFDUUHUDHVWDEDHQUXWDSDUDFRQ YHUWLUVHHQHOUH\GHORVFXDGUDQJXODUHVHQHOEpLVERO6HXQLy D+DQN$DURQ\%DEH5XWKFRPRORV~QLFRVMXJDGRUHVGHODV /LJDV0D\RUHVHQEDWHDUPiVGHFXDGUDQJXODUHVHQ VXV FDUUHUDV/DVLJXLHQWHJUiFDHVXQYLVWD]RDFyPRDFXPXODURQ VXVWRWDOHV D 'HVFULEH\FRPSDUDODDSDULHQFLDJOREDOGHODVWUHVJUi FDV,QFOX\HSHQVDPLHQWRVDFHUFDGHFRVDVFRPRGXUD FLyQGHODFDUUHUDFXiQGREDWHDURQPiVFXDGUDQJXODUHV SRUDxR\VXUHODFLyQFRQHOSURFHVRGHHQYHMHFLPLHQWR\ FXDOTXLHURWUDFRVDHQODTXHSLHQVHV E 3DUHFHTXHXQRGHHOORVHUDPiVFRQVLVWHQWHFRQODSUR GXFFLyQDQXDOGHFXDGUDQJXODUHV" F $SDUWLUGHODHYLGHQFLDTXHVHSUHVHQWDDTXtTXLpQFRQ VLGHUDVTXHGHEHOODPDUVH5H\GHORVFXDGUDQJXODUHV" FRQWLQ~DHQODSiJLQD Grfi ca y datos para el ejercicio 1.74 Fuente: Nanci Hellmich, "Simulated Acupuncture Eases Pain", USA Today 12 de mayo de 1999. Copyright 1999, USA Today. Reimpreso con permiso. Acupuntura simulada alivia el dolor 8QHVWXGLRGHVFXEULyTXHODDFXSXQWXUDEULQGyPiVDOLYLR DODJHQWHFRQGRORUGHHVSDOGDTXHORVWUDWDPLHQWRVHVWiQ GDU\DVHDTXHVHUHDOLFHFRQXQSDOLOORRFRQXQDDJXMDUHDO SHURFyPRIXQFLRQDODDFXSXQWXUDVLJXHVLHQGRSRFRFODUR (QHOHVWXGLRDGXOWRVFRQGRORUGHHVSDOGDEDMDFUyQL FRVHGLYLGLHURQHQFXDWURJUXSRV\UHFLELHURQWUDWDPLHQWR GH DFXSXQWXUD HVWDQGDUL]DGR WUDWDPLHQWR FRQ DFXSXQWX UDSUHVFULWD LQGLYLGXDOPHQWH WUDWDPLHQWRFRQDFXSXQWXUD VLPXODGDXVDQGRXQSDOLOORHQXQWXERJXtDGHDJXMDTXH QRSHUIRUDEDODSLHOFRPRKDFHODDFXSXQWXUDUHJXODUVLQR TXHVHGLULJtDDORVSXQWRVGHDFXSXQWXUDFRUUHFWRVRWUD WDPLHQWRPpGLFRHVWiQGDUPHGLFDPHQWRV\WHUDSLDItVLFD 'HVSXpVGHRFKR VHPDQDV GHTXLHQHV WXYLHURQ DO J~QWLSRGHDFXSXQWXUDUHSRUWDURQPHMRUtDVLJQLFDWLYDHQ FRPSDUDFLyQFRQTXLHQHVWXYLHURQVyORWUDWDPLHQWRHVWiQ GDUGLFHHOHVWXGLRHQHOArchives of Internal Medicine de HVWDVHPDQD Ejercicis del captulo Fuente: The Washington Post www.fullengineeringbook.net 30 Captulo 1 Estadstica G /RVFXDGUDQJXODUHVGH%DUU\%RQGVHQXQDWHPSRUD- GDIXHURQFKLULSD" H 6LIXHVHVHOGXHxRGHXQHTXLSR\WHLQWHUHVDUDODSURGXF- FLyQGHFXDGUDQJXODUHVGXUDQWHORVVLJXLHQWHVDxRVWH JXVWDUtDFRQWUDWDUDXQMXJDGRUSDUDWXHTXLSRTXHGXSOL- FDUDDFXiOGHORVMXJDGRUHV"6XSyQTXHORFRQWUDWDVD ORVDxRVGHHGDG$ORVDxRVGHHGDG 1.75'HVFULEHFRQWXVSDODEUDV\RIUHFHXQHMHPSORGHFDGD XQRGHORVVLJXLHQWHVWpUPLQRV7XVHMHPSORVQRGHEHQVHUORV SURSRUFLRQDGRVHQFODVHRHQHOOLEURGHWH[WR D YDULDEOH E GDWRV F PXHVWUD G SREODFLyQ H HVWDGtVWLFR I SDUiPHWUR 1.76'HVFULEH FRQ WXV SDODEUDV \ RIUHFH XQ HMHPSOR GH ORV VLJXLHQWHVWpUPLQRV7XVHMHPSORVQRGHEHQVHUORVSURSRUFLR- QDGRVHQFODVHRHQHOOLEURGHWH[WR D PXHVWUDDOHDWRULD EPXHVWUDSUREDELOtVWLFD F PXHVWUDGLULJLGD 1.77(QFXHQWUD XQ DUWtFXORRXQ DQXQFLRSXEOLFLWDULR HQXQ SHULyGLFRRUHYLVWDTXHHMHPSOLTXHHOXVRGHODHVWDGtVWLFD D ,GHQWLFD\GHVFULEHXQHVWDGtVWLFRUHSRUWDGRHQHODUWtFXOR E ,GHQWLFD\GHVFULEHODYDULDEOHUHODFLRQDGDFRQHOHVWD- GtVWLFRGHOLQFLVRD F ,GHQWLFD\GHVFULEHODPXHVWUDUHODFLRQDGDFRQHOHVWD- GtVWLFRGHOLQFLVRD G ,GHQWLFD\GHVFULEHODSREODFLyQGHGRQGHVHWRPyOD PXHVWUDGHOLQFLVRF 1.78D (QFXHQWUDXQDUWtFXORHQXQDUHYLVWDTXHHMHPSOL- TXHHOXVRGHODHVWDGtVWLFDHQXQDIRUPDTXHSXHGD FRQVLGHUDUVHHQWUHWHQLGDRUHFUHDWLYD'HVFULEH SRUTXpFUHHVTXHHVWHDUWtFXORHQFDMDFRQXQDGH GLFKDVFDWHJRUtDV E (QFXHQWUDXQDUWtFXORHQXQSHULyGLFRRUHYLVWDTXH HMHPSOLTXHHOXVRGHODHVWDGtVWLFD\SUHVHQWHXQ KDOOD]JRLQXVXDOFRPRUHVXOWDGRGHXQHVWXGLR'HV- FULEHSRUTXpGLFKRVUHVXOWDGRVVRQRQRVRQGH LQWHUpVSHULRGtVWLFR 1.79(QHOHMHUFLFLRVHWHSLGLyHVFULELUXQHQXQFLDGRSDUD FDGDXQDGHODVWUHVDFWLYLGDGHVHVWDGtVWLFDVGDGDVHQODGHQL- FLyQGHestadstica$KRUDTXHFRPSOHWDVWHHOFDStWXORUHYLVD WXWUDEDMR1XHYDPHQWHFRQWXVSDODEUDVFDPELD\RPHMRUDWX LQYHVWLJDFLyQSDUDFRPSOHWDUXQSiUUDIRDFHUFDGHODGHQLFLyQ de estadstica. Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFHUODVGHQLFLRQHV 5HVSRQGH9HUGDGHURVLHOHQXQFLDGRVLHPSUHHVYHUGDGHUR 6LHOHQXQFLDGRQRVLHPSUHHVYHUGDGHURVXVWLWX\HODVSDODEUDV LPSUHVDVHQQHJULOODVFRQODVSDODEUDVTXHKDJDQDOHQXQFLDGR VLHPSUHYHUGDGHUR 1.1 /Destadstica inferencialHVHOHVWXGLR\GHVFULSFLyQGH ORVGDWRVTXHUHVXOWDQGHXQH[SHULPHQWR 1.2/Destadstica descriptivaHVHOHVWXGLRGHXQDPXHVWUD TXHWHSHUPLWHKDFHUSUR\HFFLRQHVRHVWLPDFLRQHVDFHUFD GHODSREODFLyQGHODTXHVHH[WUDMRODPXHVWUD 1.3 Una poblacinXVXDOPHQWHHVXQDFROHFFLyQPX\JUDQGH GHLQGLYLGXRVXREMHWRVDFHUFDGHORVFXDOHVVHGHVHDLQ- IRUPDFLyQ 1.48QHVWDGtVWLFRHVODPHGLGDFDOFXODGDGHDOJXQDFDUDFWH- UtVWLFDGHXQDpoblacin. 1.58QSDUiPHWURHVODPHGLGDGHFLHUWDFDUDFWHUtVWLFDGHXQD muestra. 1.6 &RPRUHVXOWDGRGHHQFXHVWDUDHVWXGLDQWHVGHSULPHU DxRVHHQFRQWUyTXHSDUWLFLSDURQHQGHSRUWHVLQWHUHV- FRODUHVWUDEDMDURQFRPRRFLDOHVGHFODVHV\FOXEHV \HVWXYLHURQHQMXHJRVHVFRODUHVGXUDQWHVXVDxRVGH EDFKLOOHUDWReVWHHVXQHMHPSORGHdatos numricos. 1.7(OQ~PHURGHPDQ]DQDVSRGULGDVSRUFDMDHPEDUFDGD HVXQHMHPSORGHXQDYDULDEOHcualitativa. 1.8(OJURVRUGHXQDKRMDGHPHWDOXVDGDHQXQSURFHVRGH IDEULFDFLyQHVXQHMHPSORGHYDULDEOHcuantitativa. 1.98QDPXHVWUDrepresentativaHVODTXHVHREWLHQHGHWDO IRUPDTXHWRGRVORVLQGLYLGXRVWLHQHQLJXDORSRUWXQLGDG GHVHUVHOHFFLRQDGRV 1.10/RVREMHWLYRVEiVLFRVGHODestadsticaVRQREWHQHUXQD PXHVWUD LQVSHFFLRQDUOD \ GHVSXpV UHDOL]DU LQIHUHQFLDV DFHUFD GH ODV FDUDFWHUtVWLFDV GHVFRQRFLGDV GH OD SREOD- FLyQGHGRQGHVHH[WUDMRODPXHVWUD PARTE II: Aplicacin de conceptos /RVSURSLHWDULRVGH/D7LHQGLWDGHOD(VTXLQDHVWiQSUHRFX- SDGRVSRUODFDOLGDGGHOVHUYLFLRTXHUHFLEHQVXVFOLHQWHV&RQ ODQDOLGDGGHHVWXGLDUHOVHUYLFLRUHFROHFWDURQPXHVWUDVSDUD FDGDXQDGHYDULDVYDULDEOHV 1.11&ODVLFDFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVYDULDEOHVFRPRQR- PLQDORUGLQDOGLVFUHWDRFRQWLQXD www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 31 D 0pWRGRGHSDJRSDUDFRPSUDVHIHFWLYRWDUMHWDGH FUpGLWRFKHTXH E 6DWLVIDFFLyQGHOFOLHQWHPX\VDWLVIHFKRVDWLVIHFKR QRVDWLVIHFKR F &DQWLGDGGHLPSXHVWRVPHUFDQWLOHVSRUFRPSUD G 1~PHURGHDUWtFXORVFRPSUDGRV H 1~PHURGHOLFHQFLDGHFRQGXFLUGHOFOLHQWH 1.12(OWLHPSRGHVDOLGDPHGLRSDUDWRGRVORVFOLHQWHVGH/D 7LHQGLWDGH OD(VTXLQD VH HVWLPDUiXVDQGRHO WLHPSR GHVDOLGDPHGLRSDUDFOLHQWHVVHOHFFLRQDGRVDOD]DU 5HODFLRQDORV tWHPVGH ODFROXPQDFRQORV WpUPLQRV HVWDGtVWLFRVGHODFROXPQD PARTE III: Comprender los conceptos (VFULEHXQEUHYHSiUUDIRHQUHVSXHVWDDFDGDSUHJXQWD 1.13/D SREODFLyQ \ OD PXHVWUD VRQ FRQMXQWRV GH REMH- WRV'HVFULEH OD UHODFLyQ HQWUH HOORV \ SURSRUFLRQD XQ HMHPSOR 1.14/DYDULDEOH\ORVGDWRVSDUDXQDVLWXDFLyQHVSHFtFDHV- WiQHVWUHFKDPHQWHUHODFLRQDGRV([SOLFDHVWDUHODFLyQ\ SURSRUFLRQDXQHMHPSOR 1.15/RVGDWRVHOHVWDGtVWLFR\HOSDUiPHWURVRQYDORUHVTXH VHXVDQSDUDGHVFULELUXQDVLWXDFLyQHVWDGtVWLFD&yPR GLVWLQJXHV HQWUH HVWRV WUHV WpUPLQRV" 3URSRUFLRQD XQ HMHPSOR 1.164XpFRQGLFLRQHVVHUHTXLHUHQSDUDTXHXQDPXHVWUDVHD XQDPXHVWUDDOHDWRULD"([SOLFDHLQFOX\HXQHMHPSORGH XQDPXHVWUDTXHVHDDOHDWRULD\XQDTXHQRVHDDOHDWRULD 1 ___valor de datos ___datos ___experimento ___parmetro ___poblacin ___muestra ___estadstico ___variable 2 a) los 75 clientes b) el tiempo medio para todos los clientes c) dos minutos, tiempo de salida de un cliente d el tiempo medio para los 75 clientes e) todos los clientes en "La Tiendita de la Esquina" f) el tiempo de salida para un cliente g) los 75 tiempos h) el proceso usado para seleccionar 75 clients y medir sus tiempos Examen de prctic del captulo www.fullengineeringbook.net 32 Captulo 00 Captulo ttulo 2 PRESENTACIN GRFICA DE DATOS 2.1*UiFDVGLDJUDPDVGH3DUHWR\GLDJUDPDV GHWDOOR\KRMDV Una imagen vale ms que mil palabras. 2.2'LVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLDHKLVWRJUDPDV 0pWRGRVJUiFRV para conjuntos de datos ms grandes. ESTADSTICA DESCRIPTIVA NUMRICA 2.30HGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDO Media, mediana, moda y medio rango son valores promedio. 2.40HGLGDVGHGLVSHUVLyQ Cmo medir la FDQWLGDGGHGLVSHUVLyQ en un conjunto de datos. 2.50HGLGDVGHSRVLFLyQ CmoFRPSDUDU un valor de datos con el conjunto de datos. 2.6,QWHUSUHWDFLyQ\FRPSUHQVLyQGHODGHVYLDFLyQ HVWiQGDU La longitud de una vara de medir estandarizada. 2.7(ODUWHGHOHQJDxRHVWDGtVWLFR *UiFDVWUXFXOHQWDV e LQIRUPDFLyQLQVXFLHQWH confunden. Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Estudiantes: Aqu los observan &RQVLGHUDWRGDODLQIRUPDFLyQHQODJUiFDHVSHFtFDPHQWHOODPDGDJUiFDGHSDVWHO RJUiFDGHFtUFXOR7~GtDVHGLYLGHHQODVFDWHJRUtDVTXHVHPXHVWUDQHQODVLJXLHQWHSiJLQD"2 WLHQHVXQDRGRVFDWHJRUtDVDGLFLRQDOHV"7DOYH]PHQRVFDWHJRUtDV"$KRUDFRQVLGHUDHOWLHPSRRWRUJDGR Total = 24.0 horas Uso de tiempo en un da promedio para estudiantes universitarios de tiempo completo Fuente: Bureau of Labor Statistics NOTA: Los datos incluyen individuos, con edades de 15 a 49 aos, inscritos de tiempo completo en una universidad. Los datos incluyen fines de semana no festivos y son promedios para 2003-2007. 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas Ocio y deportes (3.9 horas) Trabajo y actividades relacionadas (3.0 horas) Actividades educativas (3.2 horas) Comer y beber (1.0 horas) Aseo (0.8 horas) Viajar (1.5 horas) Otros (2.3 horas) c 2010 Alys Tomlinson/Jupiterimages c 2010 Chris Whitehead/Jupiterimages Dormir (8.3 horas) www.fullengineeringbook.net 33 SDUDFDGDDFWLYLGDGHQSURPHGLRFyPRVHFRPSDUDODFDQWLGDGGHWLHPSRTXHW~HP- SOHDV"4XL]iW~WLHQHVFDWHJRUtDVFRPSOHWDPHQWHGLIHUHQWHV'HVHDVWHQHUODVKRUDV GHVXHxRHQSURPHGLR"/RVDXWRUHVVt 3XHGHVLPDJLQDUWRGDHVWDLQIRUPDFLyQHVFULWDHQRUDFLRQHV"/DVSUHVHQWDFLRQHV JUiFDVYHUGDGHUDPHQWHSXHGHQYDOHUPLOSDODEUDV(VWDJUiFDGHSDVWHOUHVXPHOD LQIRUPDFLyQ8VRGHOWLHPSRGHOD(QFXHVWDGH8VRGH7LHPSR(VWDGRXQLGHQVH $786SRUVXVVLJODVHQLQJOpVGHPiVGHHVWDGRXQLGHQVHV'DGRTXH VHWUDWDGHXQVRQGHRWUDQVYHUVDOItMDWHTXHHVWDJUiFDVyORLQFOX\HDORVHVWXGLDQWHV XQLYHUVLWDULRVGHWLHPSRFRPSOHWRTXHSDUWLFLSDURQ $KRUDTXHFRQRFHVODIXHQWH\YHVHOWDPDxRJOREDOGHODPXHVWUDSXHGHVVHQWLUTXH GLFKRVGDWRVUHSUHVHQWDQXQDLPDJHQUHODWLYDPHQWHSUHFLVDGHXQGtDGHXQHVWXGLDQWH XQLYHUVLWDULR7DOYH]TXLHUDVREVHUYDUPiVGHFHUFDDOJXQDGHODVFDWHJRUtDV7LHQHV SUHJXQWDVDFHUFDGHOSURPHGLRGHKRUDVSRUGtDHQDVHR"&UHHVTXHSXHGDKDEHU XQDGLIHUHQFLDGHJpQHUR"7HKDFHSHQVDUQRHVDVt" PTI ATUS es un sondeo continuo de la adminis- tracin federal acerca del uso del tiempo en Estados Unidos, patro- cinado por la Bureau of Labor Statistics y realizada por la U.S. Census Bureau PTI No hay una res- puesta correcta exclu- siva cuando construyes una presentacin grfi- ca. El juicio del analista y las circunstancias que rodean el problema tienen importantes pa- peles en el desarrollo de la grfica. E J E M P L O 2 . 1 GRAFICACIN DE DATOS CUALITATIVOS La tabla 2.1 presenta el nmero de casos de cada tipo de operacin realizada en el Hospital General el ltimo ao. TABLA 2.1 Operaciones realizadas en el Hospital General el ltimo ao [TA02-01] Tipo de operacin Nmero de casos Torcica 20 Huesos y articulaciones 45 Ojo, odo, nariz y garganta 58 General 98 Abdominal 115 Urolgica 74 Proctolgica 65 Neurociruga 23 Total 498 Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas &RPRVHGHPXHVWUDFRQODJUiFDGHODSiJLQDXQDGHODVIRUPDVPiV~WLOHVSDUD IDPLOLDUL]DUVHFRQODLQIRUPDFLyQHVXVDUXQDWpFQLFDGHDQiOLVLVLQLFLDOSDUDH[SORUDUORV GDWRVTXHUHVXOWDUiQHQXQDUHSUHVHQWDFLyQSLFWyULFDGHORVPLVPRV/DSUHVHQWDFLyQUHYH- ODUiYLVXDOPHQWHSDWURQHVGHFRPSRUWDPLHQWRGHODYDULDEOHDHVWXGLDU([LVWHQYDULDVIRU- PDVJUiFDVYLVXDOHVSDUDGHVFULELUODLQIRUPDFLyQ(OWLSRGHGDWRV\ODLGHDDSUHVHQWDU GHWHUPLQDQFXiOPpWRGRXVDU Datos cualitativos Grficas de pastel (grficas circulares) y grficas de barras Grficas que se usan para resumir datos cualitativos, atributos o categricos. Las grficas de pastel (grficas circulares) muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categora como una parte proporcional de un crculo. Las grficas de barras muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categora como un rea rectangular de tamao proporcional. www.fullengineeringbook.net 34 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 23% 15% 13% 20% 5% 4% 9% 12% TorcicaHuesos y articulacionesOjo, odo, nariz y gargantaGeneralAbdominal UrolgicaProctolgicaNeurocirugaLos datos en la tabla 2.1 se muestran en una grfica de pastel en la figura 2.1, donde cada tipo de operacin se representa mediante una proporcin relativa de un crculo, que se encuentra al dividir el nmero de casos por el tamao muestral total, a saber, 498. Las proporciones se reportan entonces como porcentajes (por ejemplo, 25% es 1/4 del crculo). La figura 2.2 muestra los mismos datos de "tipo de operacin", pero en forma de una grfica de barras. Las grficas de barras de datos de atributo deben dibujarse con un espacio entre barras de igual ancho. PTI Todas las repre- sentaciones grficas necesitan explicarse completamente a s mismas. Esto incluye una descripcin, ttulo significativo e identifi- cacin adecuada de las cantidades y varia- bles involucradas. FIGURA 2.1 Grfica de pastel Operaciones realizadas en el Hospital General el ltimo ao Ojo, odo, nariz y garganta FIGURA 2.2 Grfica de barras Operaciones realizadas en el Hospital General el ltimo ao Tipo de operacin Nmero de casosAbdominal General Urolgica Proctolgica Neurociruga Torcica Huesos y articulaciones I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G R F I C A D E P A S T E L MINITAB Excel Escribe las categoras en C1 y las frecuencias correspondientes en C2; despus contina con: Elige: Graph > Pie Chart . . . Selecciona: Chart Values from a table Escribe: Variable categrica: C1 Variables resumen: C2 Selecciona: Labels > Title/Footnotes Escribe: Ttulo: tu ttulo Selecciona: Etiquetas deseadas > Select desired labels > OK > OK Escribe las categoras en la columna A y las frecuencias correspondientes en la columna B; activa ambas columnas de datos al resaltar y seleccionar los nombres de columna y las celdas de datos, despus contina con: Elige: Insert > Pie > 1st picture (usualmente) Elige: Chart LayoutsLayout 1 Escribe: Chart title: Tu ttulo 120 100 80 60 40 20 0 www.fullengineeringbook.net 35 &XDQGRODJUiFDGHEDUUDVVHSUHVHQWDHQODIRUPDGHXQdiagrama de ParetoSUHVHQWD LQIRUPDFLyQDGLFLRQDO\PX\~WLO Diagrama de Pareto Grfica de barra con las barras ordenadas de la cate- gora ms numerosa a la categora menos numerosa. Incluye una grfica de lnea que muestra los porcentajes acumulados y conteos de las barras. (OGLDJUDPDGH3DUHWRHVSRSXODUHQDSOLFDFLRQHVGHFRQWUROGHFDOLGDG8QGLDJUDPD GH3DUHWRGHWLSRVGHGHIHFWRPRVWUDUiDTXHOORVTXHWHQJDQHOPD\RUHIHFWRVREUHODWDVDGH GHIHFWRVHQRUGHQGHHIHFWR(QWRQFHVHVIiFLOYHUFXiOHVGHIHFWRVGHEHQREVHUYDUVHSDUD UHGXFLUGHPDQHUDPiVHIHFWLYDODWDVDGHGHIHFWRV E J E M P L O 2 . 2 DIAGRAMA DE PARETO DE CRMENES DE ODIO El FBI report el nmero de crmenes de odio por categora para 2003 (http://www.fbi.gov/). El diagrama de Pareto de la figura 2.3 muestra los 8 715 crmenes de odio por categora, sus porcentajes y porcentajes acumulados. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP FIGURA 2.3 Diagrama de Pareto Diagrama de Pareto de crimen Conteo 4 574 1 430 1 426 1 236 49 Porcentaje 52.5 16.4 16.4 14.2 0.6 % acum. 52.5 68.9 85.3 99.4 100.0 Conteo PorcentajeCrimen Raza Orientacin sexual Reli- gin Etnicidad Otro TI-83/84 Plus Para editar la grfica de pastel: Haz clic en: Cualquier parte para limpiar la grfica (usa las manijas para el tamao) Cualquier celda en la categora o columna de frecuencia y escribe dife- rentes nombres o cantidades > ENTER Escribe las frecuencias para las diversas categoras en L1; despus contina con: Elige: PRGM > EXEC > CIRCLE* Escribe: LIST: L1 > ENTER DATA DISPLAYED?: 1:PERCENTAGES OR 2:DATA * El programa "CIRCLE" de la TI-83/84 Plus y otros programas estn disponibles para descarga a travs de cengagebrain.com. Los programas de la TI-83/84 Plus y los archivos de datos pueden estar en formato zip o comprimido. Si es as, guarda los archivos y descomprmelos usando una utilidad zip. Descarga los progra- mas a tu calculadora usando el software TI-Graph Link. Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 9 000 100 80 60 40 20 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 www.fullengineeringbook.net 36 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Datos cuantitativos 8QDGHODVSULQFLSDOHVUD]RQHVSDUDFRQVWUXLUXQDJUiFDGHdatos cuantitativos es mostrar VXdistribucin Distribucin Patrn de variabilidad que muestran los datos de una variable. La distribucin muestra la frecuencia de cada valor de la variable. 8QDGHODVJUiFDVPiVVLPSOHVXVDGDVSDUDPRVWUDUXQDGLVWULEXFLyQHVODJUiFDGH puntos I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : D I A G R A M A D E P A R E T O MINITAB Excel TI-83/84 Plus Escribe las categoras en C1 y las frecuencias correspondientes en C2; despus contina con: Elige: Start Chart > Quality Tools > Pareto Selecciona: Chart defects table Escribe: Datos de defectos o atributo en: C1 Frecuencias en: C2 Selecciona: Options Escribe: Title: tu ttulo > OK > OK Escribe las categoras en la columna A y las frecuencias correspondientes en la columna B (los encabezados de columna son opcionales); despus contina con: Primero ordena la tabla: Activa ambas columnas de la distribucin Elige: Data > AZ / ZA Short Selecciona: Story by: frecuency column Order: Largest to Samllest > OK Elige: Insert > Column > 1st picutre (usualmente) Elige: Chart LayoutsLayout 9 Escribe: Ttulo grfica: tu ttulo Ttulo eje categora (x): ttulo para eje x Ttulo eje valor (y): ttulo para eje y Para editar el diagrama de Pareto: Haz clic en: Cualquier parte para limpiar la grfica (usa las manijas para el tamao) Cualquier nombre de ttulo para cambiarlo Cualquier celda en la columna de categora y escribe un nombre > Enter Excel no incluye la grfica de lnea. Escribe las categoras numeradas en L1 y las frecuencias correspondientes en L2; despus con- tina con: Elige: PRGM > EXEC > PARETO * Escribe: LIST: L2 > ENTER Ymax: al menos la suma de las frecuencias > ENTER Yscl: incremento para eje y > ENTER *El programa "PARETO" es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar. Vase la pgi- na 35 para instrucciones especficas. www.fullengineeringbook.net 37 Grfica de puntos Describe los datos de una muestra al representar cada valor de datos con un punto colocado a lo largo de una escala. Esta escala puede ser horizontal o vertical. La frecuencia de los valores se representa a lo largo de la otra escala. /DJUiFDGHSXQWRVHVXQDWpFQLFDFRQYHQLHQWHTXHVHXVDFXDQGRXQRFRPLHQ]DD DQDOL]DU ORVGDWRV5HVXOWD HQXQD LPDJHQGH ORVGDWRVTXH ORVRUGHQDQXPpULFDPHQWH Ordenar ORVGDWRVHVKDFHUXQDOLVWDGHORVPLVPRVHQXQDFODVLFDFLyQRUJDQL]DGDGH DFXHUGRFRQHOYDORUQXPpULFR E J E M P L O 2 . 3 GRFICA DE PUNTOS DE CALIFICACIONES DE EXAMEN La tabla 2.2 proporciona una muestra de 19 calificaciones de examen selec- cionadas al azar de una clase grande. TABLA 2.2 Muestra de 19 calificaciones de examen [TA02-02] La figura 2.4 es una grfica de puntos de las 19 calificaciones de examen. Nota cmo los datos de la figura 2.4 estn "apiados" cerca del centro y ms "dispersos" cerca de los extremos. FIGURA 2.4 Grfica de puntos 19 calificaciones de examen FrecuenciaCalificacin 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68 86 84 62 76 78 92 82 74 88 I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G R F I C A D E P U N T O S MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Graph > Dotplot . . . > One Y, Simple > OK Escribe: Graph Variables: C1 > OK La grfica de puntos no est disponible, pero puedes hacer el paso inicial de clasificar los datos. Escribe los datos en la columna A y activa la columna de datos; despus contina con: Elige: Data > AZ (Sort) Use los datos ordenados para terminar de construir la grfica de puntos. Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 3 50 60 70 80 90 100 2 1 www.fullengineeringbook.net 38 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable (QDxRVUHFLHQWHVVHKDYXHOWRSRSXODUXQDWpFQLFDFRQRFLGDFRPRpresentacin de ta- llo y hojasSDUDUHVXPLUGDWRVQXPpULFRV(VXQDFRPELQDFLyQGHXQDWpFQLFDJUiFD\XQD WpFQLFDGHRUGHQDFLyQ'LFKDVSUHVHQWDFLRQHVVRQVLPSOHVGHFUHDU\XVDU\VRQEDVWDQWH DGHFXDGDVSDUDDSOLFDFLRQHVGHFyPSXWR Presentacin de tallo y hojas Presenta los datos de una muestra con los dgitos reales que constituyen los valores de datos. Cada valor numrico se divide en dos partes: el (los) dgito(s) inicial(es) es (son) el tallo y los dgitos posteriores son las hojas. Los tallos se ubican a lo largo del eje principal y para cada valor de datos se ubica una hoja de modo que muestre la distribucin de los datos. E J E M P L O 2 . 4 CONSTRUCCIN DE UNA PRESENTACIN DE TALLO Y HOJAS Ahora construye una presentacin de tallo y hojas para las 19 calificaciones de examen que se proporcionan en la tabla 2.2 de la pgina 37. En un vistazo rpido podrs ver que hay calificaciones en los 50, 60, 70, 80 y 90. Usa el primer dgito de cada calificacin como el tallo y el segundo dgito como la hoja. Por lo general, la presentacin se construye verticalmente. Traza una lnea vertical y coloca los tallos, en orden, a la izquierda de la lnea. FIGURA 2.5A Presentacin sin terminar de tallo y hojas 5 6 7 8 9 A continuacin coloca cada hoja sobre su tallo. Esto se hace al colocar el dgito posterior a la derecha de la lnea vertical opuesta a su correspondiente dgito inicial. El primer valor de datos es 76; 7 es el tallo y 6 es la hoja. Por tanto, coloca un 6 opuesto al tallo 7: 19 calificaciones de examen FIGURA 2.5B Presentacin final de tallo y hojas 19 calificaciones de examen El siguiente valor de datos es 74, de modo que una hoja 4 se coloca en el tallo 7 junto al 6. 7 | 6 7 | 6 4 5 6 7 8 9 2 6 8 2 6 4 6 8 2 6 8 4 2 6 4 2 8 6 2 TI-83/84 Plus Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: PRGM > EXEC > DOTPLOT * Escribe: LIST: L1 > ENTER Xmin: cuando mucho el valor x ms bajo Xmax: al menos el valor x ms alto Xscl: 0 o incremento Ymax: al menos la frecuencia ms alta *El programa "DOTPLOT" es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar. Vase la pgina 35 para instrucciones especficas. 5 6 7 8 9 2 2 6 8 2 4 4 6 6 6 8 8 2 2 4 6 8 2 6 www.fullengineeringbook.net 39 (VEDVWDQWHXVXDOTXHPXFKDVYDULDEOHVSUHVHQWHQXQDGLVWULEXFLyQTXHHVWpFRQFHQ- WUDGDDMXVWDGDHQWRUQRDXQYDORUFHQWUDO\GHVSXpVHQDOJXQDIRUPDGLVSHUVDHQXQDR DPEDVGLUHFFLRQHV&RQIUHFXHQFLDXQDSUHVHQWDFLyQJUiFDUHYHODDOJRTXHHODQDOLVWD SXHGHRQRKDEHUDQWLFLSDGR(OHMHPSORGHPXHVWUDORTXHHQJHQHUDORFXUUHFXDQGR GRVSREODFLRQHVVHPXHVWUHDQMXQWDV El siguiente valor de datos es 82, de modo que una hoja 2 se coloca en el tallo 8. Contina hasta que cada una de las otras 16 hojas se coloque en la pre- sentacin. La figura 2.5A muestra la presentacin resultante en tallo y hojas; la figura 2.5B muestra la presentacin completa de tallo y hojas despus de ordenar las hojas. A partir de la figura 2.5B, puedes ver que las calificaciones se centran al- rededor de los 70. En este caso todas las calificaciones con los mismos dgitos de decenas se colocaron sobre la misma rama, pero esto puede no ser siempre deseable. Supn que reconstruyes la presentacin; esta vez, en lugar de agru- par 10 posibles valores en cada tallo, agrupas los valores de modo que slo 5 posibles valores puedan caer en cada tallo, como se muestra en la figura 2.6. Observas alguna diferencia en la apariencia de la figura 2.6?, la forma general es aproximadamente simtrica en torno al alto de los 70. La informa- cin est un poco ms refinada, pero bsicamente se ve la misma distribucin. FIGURA 2.6 Presentacin de tallo y hojas 7 6 4 8 2 19 calificaciones de examen TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Graph > Stem-and-Leaf ... Escribe: Graph varialbes: C1 Increment: ancho de tallo (opcional) > OK Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus* > Stem and Leaf Display > OK Escribe: Input Range: (A2:A6 o selecciona celdas) Increment: Stem Increment *Data Analysis Plus es una coleccin de macros estadsticos para Excel y uno de los muchos programas disponibles para descargar a travs de cengagebrain.com. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R E S E N T A C I O N E S D E T A L L O Y H O J A S Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: STAT > EDIT > 2:SortA( Escribe: L1 Usa los datos ordenados para terminar de construir a mano el diagrama de tallo y hojas. Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 2 2 6 8 2 4 4 6 6 6 8 8 2 2 4 6 8 2 6 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 (5054) (5559) (6064) (6569) (7074) (7579) (8084) (8589) (9094) (9599) www.fullengineeringbook.net 40 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8 1 8 8 0 2 5 5 6 8 8 0 0 0 8 9 2 5 7 2 3 5 8 0 4 4 5 7 8 1 2 2 5 7 8 0 0 6 6 7 3 4 6 8 0 1 5 5 5 5 8 1 8 8 0 2 5 5 6 8 8 0 0 0 8 9 2 5 7 2 3 5 8 0 4 4 5 7 8 1 2 2 5 7 8 0 0 6 6 7 3 4 6 8 0 1 5 5 5 5 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 E J E M P L O 2 . 5 DISTRIBUCIONES TRASLAPADAS Se selecciona una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios. Sus pesos se obtienen a partir de sus registros mdicos. Los datos resultantes se muestran en la tabla 2.3. Observa que los pesos varan de 98 a 215 libras. Agrupa los pesos en tallos de 10 unidades, usando los dgitos de centenas y decenas como tallos y los d- gitos de unidades como la hoja (vase la figura 2.7). Las hojas se ordenaron numricamente. Una inspeccin cercana de la figura 2.7 sugiere que pueden estar involucra- das dos distribuciones traslapadas. Esto es exactamente lo que se tiene: una dis- tribucin de pesos de mujeres y una distribucin de pesos de hombres. La figura 2.8 muestra una presentacin de tallo y hojas "espalda con espalda" de este con- junto de datos y hace obvio que estn involucradas dos distribuciones distintas. TABLA 2.3 Pesos de 50 estudiantes universitarios [TA02-03] Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hombre/Mujer M H M H H M M H H M Peso 98 150 108 158 162 112 118 167 170 120 Estudiante 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Hombre/Mujer H H H M M H M H H M Peso 177 186 191 128 135 195 137 205 190 120 Estudiante 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Hombre/Mujer H H M H M M H H H H Peso 188 176 118 168 115 115 162 157 154 148 Estudiante 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Hombre/Mujer M H H M H M H M H H Peso 101 143 145 108 155 110 154 116 161 165 Estudiante 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Hombre/Mujer M H M H H M M H H H Peso 142 184 120 170 195 132 129 215 176 183 FIGURA 2.7 Presentacin de tallo y hojas Pesos de 50 estudiantes universitarios (lb) FIGURA 2.8 Presentaciones de tallos y hojas "espalda con espalda" Pesos de 50 estudiantes universitarios (lb) 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP N = 50 Unidad hoja = 1.0 Mujeres Hombres www.fullengineeringbook.net 41 La figura 2.9, una grfica de puntos "lado a lado" (misma escala) de los mis- mos 50 datos de peso, muestra la misma distincin entre los dos subconjuntos. Con base en la informacin que se muestra en las figuras 2.8, 2.9 y en lo que se sabe acerca del peso de las personas, parece razonable concluir que las estudiantes universitarias pesan menos que los estudiantes universitarios. En el captulo 3 se estudian las situaciones que involucran ms de un conjunto de datos. Pesos Pesos FIGURA 2.9 Grficas de puntos con escala comn Pesos de 50 estudiantes universitarios Mujer Hombre TI-83/84 MINITAB Excel No estn disponibles grficas de puntos mltiples, pero puedes hacer el paso inicial de clasificar los datos. Usa los comandos como se muestran con la grfica de puntos de la pgina 37; des- pus termina la construccin de la grfica de puntos a mano. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G R F I C A D E P U N T O S M LT I P L E S Escribe los datos en C1 y las correspondientes categoras numricas en C2; despus contina con: Elige: Graph > Dotplot . . . Selecciona: One Y, With Groups > OK Escribe: Graficar variables: C1 Variables categricas para agrupamiento: C2 > OK Si las diversas categoras estn en columnas separadas, selecciona Multiple Y's Simple e ingresa todas las columnas bajo Graficar variables. Escribe los datos para la primera grfica de puntos en L1 y los datos para la segunda grfica de puntos en L3; despus contina con: Elige: STAT > EDIT > 2:SortA( Escribe: L1 > ENTER En L2, escribe nmeros de conteo para cada categora. Ej. L1 L2 15 1 16 1 16 2 17 1 Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 100 125 150 175 200 225 www.fullengineeringbook.net 42 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.1D 8VXDOPHQWHFXiQWRWLHPSRHPSOHDVHQWXDVHRSRU GtD" E &yPRFUHHVTXHWHFRPSDUDVFRQORVHVWX GLDQWHVXQLYHUVLWDULRVHQ(VWXGLDQWHVDTXtORVRE VHUYDQGHODSiJLQD" F &yPRFUHHVTXHWHFRPSDUDVFRQWRGRVORVHVWX GLDQWHVXQLYHUVLWDULRV"&XiOHVVRQODVVLPLOLWXGHV" &XiOHVVRQODVGLIHUHQFLDV" 2.2 [EX02-002]$HVWXGLDQWHVHQXQFXUVRGHHVWDGtVWLFDHQ OtQHDVHOHVSUHJXQWyHQFXiQWDVGLIHUHQWHVDFWLYLGDGHVHQLQ WHUQHWVHLQYROXFUDQGXUDQWHXQDVHPDQDWtSLFD/RVVLJXLHQWHV GDWRVPXHVWUDQHOQ~PHURGHDFWLYLGDGHV 6 7 3 6 9 10 8 9 9 6 4 9 4 9 4 2 3 5 13 12 4 6 4 9 5 6 9 11 5 6 5 3 7 9 6 5 12 2 6 9 D 6LVHWHSLGHSUHVHQWDUGLFKRVGDWRVFyPRORVRUJDQL]D UtDV\ORVUHVXPLUtDV" E (QFXiQWDVGLIHUHQWHVDFWLYLGDGHVHQLQWHUQHWWHLQYROX FUDVWHODVHPDQDSDVDGD" F &yPRFUHHVTXHWHFRPSDUDVFRQORVXVXDULRVGHLQ WHUQHWHQODPXHVWUDDQWHULRU" 2.3&RPRJUiFDHVWDGtVWLFDODJUiFDFLUFXODUWLHQHOLPLWD FLRQHV([DPLQDODJUiFDFLUFXODUGHODJXUD\ODJUiFD GHEDUUDVHQODJXUD D 4XpLQIRUPDFLyQPXHVWUDQDPEDV" E 4XpLQIRUPDFLyQVHPXHVWUDHQODJUiFDFLUFXODUTXHQR VHSXHGHPRVWUDUHQODJUiFDGHEDUUDV" F(QWpUPLQRVJHQHUDOHVODJUiFDGHEDUUDVHVXQDPHMRURS FLyQSDUDXVDUTXHODJUiFDFLUFXODU-XVWLFDHVWDDUPDFLyQ 2.4/RVUHVXOWDGRVGHXQDHQFXHVWD6HOIFRPDFHUFDGH&XiO HV WX SULQFLSDO SUHRFXSDFLyQ GH EHOOH]D HQ FOLPD IUtR" VH UHSRUWDURQHQHOQ~PHURGHGLFLHPEUHGHGH OD UHYLVWD SelfSLHOVHFDODELRVDJULHWDGRVFDEHOORVLQEULOOR SLHViVSHURV D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSDVWHOTXHPXHVWUHODVSULQFLSD OHVSUHRFXSDFLRQHVGHEHOOH]DGHFOLPDIUtR E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHODVSULQFLSD OHVSUHRFXSDFLRQHVGHEHOOH]DGHFOLPDIUtR F (QWXRSLQLyQODJUiFDGHSDVWHOGHOLQFLVRDRODJUi FDGHEDUUDVGHOLQFLVREUHVXOWDXQDPHMRUUHSUHVHQWDFLyQ GHODLQIRUPDFLyQ"([SOLFD 2.5 /D$PHULFDQ 3D\UROO$VVRFLDWLRQ REWXYR XQD JUDQ UHV SXHVWDDHVWDSUHJXQWDDFHUFDGHOFyGLJRGHYHVWLGRGHODFRP SDxtD(ODFWXDOFyGLJRGHYHVWLGRHQPLFRPSDxtDHV 5HVXOWDGRVQDOHV D 'HPDVLDGRUHODMDGR E 'HPDVLDGRIRUPDO F $GHFXDGR /DPD\RUtDGHODVSHUVRQDVPHQFLRQyODLPSRUWDQFLDGHODFR PRGLGDGHQVXVH[SOLFDFLRQHV/DJUDQPD\RUtDGHORVUHTXH ULGRVHVWXYRPX\IHOL]FRQHOFyGLJRRSROtWLFDGHYHVWLGRGH VXFRPSDxtD D &RQVWUX\HXQDJUiFDFLUFXODUTXHPXHVWUHHVWDLQIRUPD FLyQ(WLTXpWDODSRUFRPSOHWR E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHHVWDPLVPD LQIRUPDFLyQ(WLTXpWDODSRUFRPSOHWR E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 1 Elige: STAR > EDIT > 2:SortA( Escribe: L3 > ENTER En L4, escribe nmeros de conteo (un conjunto* superior) para cada categora; *por ejemplo: usa 10, 10, 11, 10, 10, 11, 12, . . . (recorre las dos grficas de puntos) Elige: 2nd > FORMAT > AxesOff (Opcional: debe regresar a AxesOn) Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:PLOT1 Elige: 2nd > STAT PLOT > 2:PLOT2 Elige: Window Escribe: cuando mucho el valor ms bajo para ambos, al menos el valor ms alto para ambos, 0 o incre- mento, 2, al menos nmero de conteo ms alto, 1, 1 Elige: Graph > Trace > > > > (proporciona valores de datos) >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 43 F &RPSDUDODVGRVJUiFDVDQWHULRUHV\GHVFULEHORTXHYHV HQFDGDXQRDKRUDTXHODVJUiFDVHVWiQFRPSOHWDPHQWH GLEXMDGDV\HWLTXHWDGDV2EWLHQHVODPLVPDLPSUHVLyQ DFHUFDGHORVVHQWLPLHQWRVGHHVWDVSHUVRQDVDSDUWLUGH DPEDVJUiFDV"$OJXQDHQIDWL]DDOJRTXHODRWUDQR" 2.6(QODLQVWDQWiQHDGHOUSA TodayGHOGHIHEUHURGH VHUHSRUWyFXiQWRPiVORVMyYHQHVHVWDGRXQLGHQVHVHQWUH\ DxRVGHHGDGTXLHUHQSDJDUSRUXQYHKtFXORDPLJDEOHFRQ HODPELHQWHPXFKRPiVXQSRFRPiVOLJHUDPHQ- WHPiVQRSDJDUtDQPiV D 0HQFLRQDODYDULDEOHGHLQWHUpV E ,GHQWLFDHOWLSRGHYDULDEOH F &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSDVWHOTXHPXHVWUHFyPRVH VLHQWHQORVMyYHQHVHVWDGRXQLGHQVHVDFHUFDGHSDJDUSRU XQYHKtFXORDPLJDEOHFRQHODPELHQWH G &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHFyPRVH VLHQWHQORVMyYHQHVHVWDGRXQLGHQVHVDFHUFDGHSDJDUSRU XQYHKtFXORDPLJDEOHFRQHODPELHQWH H (QWXRSLQLyQFXiOJUiFDHVODPHMRUUHSUHVHQWDFLyQGH ODLQIRUPDFLyQ"3RUTXp"([SOLFD 2.7$FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDHOQ~PHURGHSXQWRVDQRWDGRV SRUORVHTXLSRVJDQDGRUHVHOGHRFWXEUHGHODQRFKH GHDSHUWXUDGHODWHPSRUDGDGHOD1%$ Equipo Boston Chicago LA Lakers Puntos anotados 90 108 96 Fuente: http://www.nba.com/ D 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVGHHVWDVSXQWXDFLRQHVFRQ XQDHVFDODYHUWLFDOTXHYDUtHGHD E 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVGHODVSXQWXDFLRQHVFRQXQD HVFDODYHUWLFDOTXHYDUtHGHD F (QFXiOJUiFDGHEDUUDVSDUHFHTXHODVSXQWXDFLRQHVGH OD1%$YDUtDQPiV"3RUTXp" G &yPRSRGUtDVFUHDUXQDUHSUHVHQWDFLyQSUHFLVDGHOWDPD- xRUHODWLYR\ODYDULDFLyQHQWUHGLFKDVSXQWXDFLRQHV" 2.8 [EX02-008] /D$PHULFDQ &RPPXQLW\ 6XUYH\ UHFRSLOD GDWRV GH HVWLPDFLRQHV GH SREODFLyQ GHPRJUDItD \ XQLGDGHV GH DORMDPLHQWR'HVSXpV OD2FLQDGH&HQVRVXVD ORVGDWRV SDUDSURGXFLU\GLVHPLQDUHVWLPDFLRQHVRFLDOHVGHXQLGDGHV GHDORMDPLHQWRSRUHVWDGRV\FRQGDGRV$FRQWLQXDFLyQVHSUH- VHQWDQODVHVWLPDFLRQHVGHXQLGDGHVGHDORMDPLHQWR SDUDODFLXGDGGH:HEVWHUHQHOHVWDGRGH1XHYD<RUN Unidades de alojamiento Webster, NY Unidades de alojamiento ocupadas por el propietario 12 627 Unidades de alojamiento ocupadas por arrendatario 3 803 Unidades de alojamiento vacantes 539 Total 16 969 Fuente: U.S. Census Bureau D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSDVWHOGHHVWHGHVJORVH E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVGHHVWHGHVJORVH F &RPSDUDODVGRVJUiFDVTXHFRQVWUXLVWHHQORVLQFLVRVD \EFXiOSDUHFHVHUODPiVLQIRUPDWLYD"([SOLFDSRUTXp 2.9/LPSLDUGHWUiVGHORVPXHEOHV\ODYDUODVYHQWDQDVHQFD- EH]DQ OD OLVWDGH ODERUHVGRPpVWLFDVGH OLPSLH]DJHQHUDOGH DFXHUGRFRQOD~OWLPD(QFXHVWD1DFLRQDOGH/LPSLH]D*HQHUDO GHOD6RDSDQG'HWHUJHQW$VVRFLDWLRQ6'$/D,QWHUQDWLRQDO &RPPXQLFDWLRQV 5HVHDUFK ,&5 FRPSOHWy HO HVWXGLR LQGH- SHQGLHQWH GH LQYHVWLJDFLyQ GHO FRQVXPLGRU HQ HQHURIHEUHUR GH/DSUHJXQWDLQLFLDOGHODHQFXHVWDVHSODQWHyD DGXOWRVHVWDGRXQLGHQVHVKRPEUHV\PXMHUHV /D SUHJXQWD GHFtD 5HJXODUPHQWH VH LQYROXFUD HQ OLPSLH]D JHQHUDO" 5HVXOWDGRV6t 1R 0iVPXMHUHVTXHKRPEUHVKDFHQOLPSLH]D JHQHUDO D &RQVWUX\H\HWLTXHWDFRPSOHWDPHQWHXQDJUiFDGHEDUUDV TXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRVGHWRGRVORVDGXOWRVHQFXHVWD- GRV E &RQVWUX\H\HWLTXHWDFRPSOHWDPHQWHXQDJUiFDGHEDUUDV TXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRVFRPSDUDWLYRVGHPXMHUHV\ KRPEUHVSRUVHSDUDGR F 'LVFXWHODVJUiFDVGHORVLQFLVRVD\E\DVHJ~UDWHGHFR- PHQWDUDFHUFDGHFRQFXiQWDSUHFLVLyQRQRODVJUiFDV PXHVWUDQODLQIRUPDFLyQ Fuente: http://www.cleaning101.com/ 2.10 [EX02-010] (QRFDVLRQHV ODVFRPSDxtDVGH WDUMHWDV GHFUpGLWREULQGDQDVXVFRQVXPLGRUHVXQUHVXPHQDOQDO GHODxR(O UHVXPHQRIUHFHXQ UHSRUWHDFFHVLEOH\ IiFLOGH OHHUTXHUHVXPHODVWUDQVDFFLRQHVHQYDULDVFDWHJRUtDV8VD ODWDEODTXHDSDUHFHHQODSDUWHVXSHULRUGHODSiJLQD D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODVHQWUDGDVGHWDEODGH\ E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVWRWDOHV\ F 8VDXQDJUiFDGHSDVWHOSDUDPRVWUDUORVWRWDOHVGHFD- WHJRUtDDQGHDxRXVDQGRWDQWRFDQWLGDGHVHQGyODUHV FRPRSRUFHQWDMHV$VHJ~UDWHGHHWLTXHWDUSRUFRPSOHWR G 8VDXQDJUiFDGHEDUUDVSDUDPRVWUDUORVWRWDOHVPHQ- VXDOHV$VHJ~UDWHGHHWLTXHWDUSRUFRPSOHWR 2.118QLQVSHFWRUGHFDPLVHWDVHQXQDIiEULFDGHURSDFODVL- FDORV~OWLPRVGHIHFWRVFRPRIDOWDERWyQPDOD FRVWXUDWDPDxRLQDGHFXDGRIDOORGHWHOD&RQVWUX\H XQGLDJUDPDGH3DUHWRSDUDHVWDLQIRUPDFLyQ Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas www.fullengineeringbook.net 44 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.12 [EX02-012] /DV GHQLFLRQHV GH FRUUHR HOHFWUyQLFR VSDPRFRUUHRHOHFWUyQLFREDVXUDSRUORJHQHUDOLQFOX\HQOD LGHDGHTXHHOFRUUHRHOHFWUyQLFRQRHVVROLFLWDGR\VHHQYtDHQ PDVD$SULQFLSLRGHORVDxRVODFDQWLGDGGHFRUUHRHOHF WUyQLFRVSDPFUHFLyGHPDQHUDFRQVWDQWHKDVWDODDFWXDOLGDG FRQXQYROXPHQWRWDOGHPiVGHPLOORQHVGHFRUUHRV HOHFWUyQLFRVGLDULRVHQDEULOGH/DFDQWLGDGUHFLELGDFR PHQ]yDGLVPLQXLUGHELGRDOXVRGHPHMRUVRIWZDUHGHOWUDGR 3RULQFUHtEOHTXHSDUH]FDPHQRVGHspammersHQYLDURQ DOUHGHGRUGHGHWRGRHOVSDP (O VLJXLHQWH FXDGURPHQFLRQD ORV SRUFHQWDMHV GH FRUUHR HOHFWUyQLFRVSDPUHWUDQVPLWLGRVSRUFDGDSDtVHQ Pas Porcentaje Brasil 4.1 China 8.4 UE 17.9 Francia 3.3 Alemania 4.2 India 2.5 Italia 2.8 Polonia 4.8 Rusia 3.1 Corea del Sur 6.5 Turqua 2.9 Reino Unido 2.8 EUA 19.6 Fuente: http://en.wikipedia.org/ D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVGHHVWDLQIRUPDFLyQFRQ ORVSRUFHQWDMHVHQRUGHQGHFUHFLHQWH E ([SOLFDSRUTXpQRVHSXHGHFRQVWUXLUXQGLDJUDPDGH 3DUHWRGHHVWDLQIRUPDFLyQ 2.138QHVWXGLRFRPSOHWDGRSRUOD,QWHUQDWLRQDO&RPPXQLFD WLRQV5HVHDUFKSDUDOD6RDSDQG'HWHUJHQW$VVRFLDWLRQ6'$ PHQFLRQD HO DUWtFXOR TXH ORV HVWDGRXQLGHQVHV GLFHQ HVWDUtDQ PiVGHVHRVRVGHFHGHUFRQ ODQDOLGDGGHSRGHUFRQWUDWDUD DOJXLHQSDUDKDFHUVXOLPSLH]DJHQHUDO/DUHVSXHVWDPiVSR SXODUIXHVHJXLGRSRUFHQDUIXHUDGXUDQWHXQPHV EROHWRVSDUDFRQFLHUWRVXQYLDMHGHQGHVHPD QD\RWURV D&RQVWUX\HXQGLDJUDPDGH3DUHWRTXHPXHVWUHHVWDLQIRU PDFLyQ E 'HELGRDOWDPDxRGHODFDWHJRUtDRWURVHOGLDJUDPDGH 3DUHWRSXHGHQRVHUODPHMRUJUiFDDXVDU([SOLFDSRU TXp\GHVFULEHTXpLQIRUPDFLyQDGLFLRQDOVHQHFHVLWDSDUD KDFHUDOGLDJUDPDGH3DUHWRPiVDSURSLDGR 2.144Xp12GDUHO'tDGHVDQ9DOHQWtQ D 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORVSRUFHQWDMHV GH3UHVHQWHVQRGHVHDGRV E 'LEXMDXQGLDJUDPDGH3DUHWRTXHPXHVWUHORV3UHVHQWHV QRGHVHDGRV F 6LTXLHUHVHVWDUVHJXURGHQRGDUDWXVHUDPDGRDOJR TXHQRTXLHUHTXpHYLWDUtDVFRPSUDU"&yPRPXHVWUD HVWRHOGLDJUDPDGH3DUHWR" G 6LVHHQFXHVWDDDGXOWRVTXpIUHFXHQFLDVHVSHUDUtDV TXHRFXUUDQSDUDFDGDDUWtFXORQRGHVHDGRPHQFLRQDGRHQ ODJUiFD" 2.15(OUHSRUWHGHGHIHFWRVGHODLQVSHFFLyQQDOSDUDODOtQHD GHHQVDPEODGR$VHUHSRUWDHQXQGLDJUDPDGH3DUHWR D &XiOHVHOFRQWHRGHGHIHFWRWRWDOHQHOUHSRUWH" Tabla para el ejercicio 2.10 Mes Viaje Restaurante Mercanca Auto Servicios Utilitarios Totales Enero $ $ $ 87.38 $ $ 13.80 $ $ 101.18 Febrero $ $ 39.86 $ 9.99 $ 176.90 $ (100.55) $ $ 126.20 Marzo $ $ 24.45 $ $ $ 60.51 $ $ 84.96 Abril $ 25.00 $ 135-78 $ $ $ 260.00 $ $ 420.78 Mayo $ $ $ $ $ 175.27 $ $ 175.27 Junio $ 25.00 $ 19.12 $ 254.30 $ $ $ $ 298.42 Julio $ 25.00 $ 46.94 $ 281.12 $ 64.02 $ 30.00 $ $ 447.08 Agosto $ 25.00 $ $ 45.54 $ $ 21-48 $ 35.40 $ 127.42 Septiembre $ $ 22.18 $ $ $ 55.85 $ $ 78.03 Octubre $ 25.00 $ 38.01 $ $ $ 61.55 $ $ 124.56 Noviembre $ $ $ 86.51 $ $ 15.00 $ $ 101.51 Diciembre $ $ $ 394.35 $ $ 22.55 $ $ 416.90 Totales $ 125.00 $ 326.34 $ 1 159.19 $ 240.92 $ 615.46 $ 35.40 $ 2 502.31 Presentes no deseados Cuando se trata de regalos del Da de san Valentn, los adultos estadounidenses dicen que prefi eren NO recibir osos de peluche. Fuente: Datos tomados de Anne R. Carey y Juan Thomassie, USA Today Flores Osos de peluche Joyera No sabe Fuente: http://www.cleaning101.com/ www.fullengineeringbook.net 45 E 9HULFDHOPHQFLRQDGRSDUD5DVSDGXUD F ([SOLFDFyPRVHREWXYR\TXpVLJQLFDHOYDORUGH GHDFXPXODGRSDUDGREODGR G /DDGPLQLVWUDFLyQGLRDODOtQHDGHSURGXFFLyQODPHWDGH UHGXFLUVXVGHIHFWRVHQ$FXiOHVGRVGHIHFWRVVXJH- ULUtDVGDUDWHQFLyQHVSHFLDOSDUDWUDEDMDUKDFLDHVWDPHWD" ([SOLFD 2.16 $OJXQDV ODERUHV GH OLPSLH]D VRQ PiV GHWHVWDGDV TXH RWUDV'HDFXHUGRFRQODLQVWDQWiQHDGHOUSA TodayGHOGH MXOLRGHDFHUFDGHXQDHQFXHVWDGHPXMHUHVGHO&RQVXPHU 5HSRUWV1DWLRQDO5HVHDUFK&HQWHUODVODERUHVGHOLPSLH]DTXH GHVDJUDGDQPiVDODVPXMHUHVVHSUHVHQWDQHQHOVLJXLHQWHGLD- JUDPDGH3DUHWR D $FXiQWDVPXMHUHVHQWRWDOVHHQFXHVWy" E 9HULFDHOPHQFLRQDGRSDUD/LPSLDUUHIULJHUDGRU F ([SOLFDFyPRVHREWXYR\TXpVLJQLFDHOYDORUGH SDUDDFXPXODGRSDUDTXLWDUSROYR G &XiOHVWUHVODERUHVKDUtDQIHOLFHVDQRPiVGHGHODV PXMHUHVHQFXHVWDGDVVLGLFKDVODERUHVVHHOLPLQDUDQ" 2.17 [EX02-017]/D$PHULFDQ7LPH8VH6XUYH\TXHVHSUH- VHQWyDOFRPLHQ]RGHOFDStWXORGHVWDFyHOXVRGHOWLHPSRGHXQ GtDGHODVHPDQDSURPHGLRSDUDHVWXGLDQWHVGHXQLYHUVLGDGGH WLHPSRFRPSOHWR D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGH3DUHWRTXHPXHVWUHHOXVRGH WLHPSRSURPHGLRSDUDHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVGHWLHP- SRFRPSOHWR E 4XpDFWLYLGDGHVSDUHFHQFRQVWLWXLUGHOGtDGHXQ HVWXGLDQWHXQLYHUVLWDULR" 2.18 [EX02-018] /D 2IFH RI $YLDWLRQ (QIRUFHPHQW DQG 3URFHHGLQJV86'HSDUWPHQWRI7UDQVSRUWDWLRQSXEOLFyHVWD WDEODTXHPHQFLRQDHOQ~PHURGHTXHMDVGHOFRQVXPLGRUFRQ- WUDODVSULQFLSDOHVDHUROtQHDVHVWDGRXQLGHQVHVSRUFDWHJRUtDGH TXHMD D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGH3DUHWRTXHPXHVWUHHVWDLQIRU- PDFLyQ E (QFXiOHVTXHMDVUHFRPHQGDUtDVDODVDHUROtQHDVSRQHU PiVDWHQFLyQSDUDFRUUHJLUODVVLTXLHUHQWHQHUHOPHMRU HIHFWRVREUHHOQ~PHURJOREDOGHTXHMDV"([SOLFDFyPRHO GLDJUDPDGH3DUHWRGHOLQFLVRDGHPXHVWUDODYDOLGH]GHWX UHVSXHVWD 2.19 [EX02-019] (OQ~PHURGHSXQWRVDQRWDGRVGXUDQWHFDGD MXHJRSRUXQHTXLSRGHEDORQFHVWRGHEDFKLOOHUDWR OD~OWLPD WHPSRUDGDIXHURQORVVLJXLHQWHV &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSXQWRV GHGLFKRVGDWRV 2.20 [EX02-020] (QXQDUWtFXORGHOUSA TodayGHOGHMXOLR GH WLWXODGR3DUHMDVTXHGLFHQQRDERGDVFRVWRVDV ORVUHFRUWHVSXHGHQQRH[WHQGHUVHDOQ~PHURGHDVLVWHQWHV(Q XQDHQFXHVWDGHERGDVUHFLHQWHVHOQ~PHURGHPDGULQDVIXHHO VLJXLHQWH 7 6 5 2 3 7 6 13 6 3 2 7 8 9 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHGLFKRVGDWRV E &XiOHVVRQORVQ~PHURVPiVFRPXQHVGHPDGULQDV" &yPRPXHVWUDHVWRHOGLDJUDPDGHSXQWRV" Labores de limpieza que detestan ms las mujeres Categora Horas Dormir 8.3 Ocio y deportes 3.9 Actividades educativas 3.2 Trabajo y actividades relacionadas 3.0 Comer y beber 1.0 Viajar 1.5 Aseo 0.8 Otro 2.3 Total 24.0 Categora de queja Nmero Categora de queja Nmero Publicidad 68 Problemas de vuelo 2 031 Equipaje 1 421 Sobreventa 454 Servicio al cliente 1 715 Devoluciones 1 106 Discapacidad 477 Reservaciones/ 1 159 boletaje/abordaje Tarifas 523 Otro 322 Fuente: Office of Aviation Enforcement and Proceedings, U.S. Departament of Transportation, Air Travel Consumer Report, http://www.infoplease.com/ ConteoConteoPorcentajePorcentajeDefecto Manchado Raspa- dura Astillado DobladoAbollado Otros Conteo Porcentaje % acum. Conteo Porcentaje % acum. Labores Limpiar ducha/tina Limpiar retrete Limpiar refrigerador Quitar polvo Otras Lavar el piso Defectos de producto Seccin 2.1 Grficas, diagramas de Pareto y diagramas de tallo y hojas 150 100 50 0 100 80 60 40 20 0 56 37.3 37.3 45 30.0 67.3 23 15.3 82.7 12 8.0 90.7 8 5.3 96.0 6 4.0 100.0 1000 800 600 400 200 262 26.0 26.0 252 25.0 51.0 151 15.0 66.0 141 14.0 80.0 111 11.0 91.0 91 9.0 100.0 0 100 80 60 40 20 0 www.fullengineeringbook.net 46 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.21 [EX02-021]$FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDQODVDOWXUDVHQ SXOJDGDVGHORVMXJDGRUHVGHEDORQFHVWRTXHIXHURQODVSUL PHUDVVHOHFFLRQHVGHORVHTXLSRVSURIHVLRQDOHVGHOD1DWLRQDO %DVNHWEDOO$VVRFLDWLRQHQ 82 86 76 77 75 72 75 81 78 74 77 77 81 81 82 80 76 72 74 74 73 82 80 84 74 81 80 77 74 78 D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSXQWRVGHODVDOWXUDVGHGLFKRV MXJDGRUHV E 8VDODJUiFDGHSXQWRVSDUDGHVFXEULUDORVMXJDGRUHV PiVEDMR\PiVDOWR F &XiOHVODDOWXUDPiVFRP~Q\FXiQWRVMXJDGRUHVFRP SDUWHQGLFKDDOWXUD" G 4XpFDUDFWHUtVWLFDGHODJUiFDGHSXQWRVLOXVWUDODDOWXUD PiVFRP~Q" 2.22 [EX02-022] /DWDEODPHQFLRQDODPHGLDQDGHORVSUH FLRV GH YHQWD GH FDVDV SDUD ORV VXEXUELRV GH5RFKHVWHU 1XHYD<RUNVHJ~QFLWDHODemocrat & ChronicleGHOGH MXOLRGH Mediana de precios de casas en miles de dlares 160 125 122 89 100 110 94 125 108 235 133 121 190 175 218 130 180 113 156 114 D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSXQWRVGHGLFKRVGDWRV E 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQTXHPXHVWUDODJUiFDGHSXQWRV HQFRQWUDGDHQHOLQFLVRD 2.23 [EX02-023] 'HOFR 3URGXFWV XQD GLYLVLyQ GH*HQHUDO 0RWRUVSURGXFHFRQPXWDGRUHVGLVHxDGRVSDUDWHQHUXQDORQ JLWXGWRWDOGHPP8QFRQPXWDGRUHVXQGLVSRVLWLYR TXHVHXVDHQHOVLVWHPDHOpFWULFRGHXQDXWRPyYLO/DVLJXLHQ WHPXHVWUDGHORQJLWXGHVGHFRQPXWDGRUVHWRPyPLHQWUDV VHPRQLWRUHDEDHOSURFHVRGHIDEULFDFLyQ 18.802 18.810 18.780 18.757 18.824 18.827 18.825 18.809 18.794 18.787 18.844 18.824 18.829 18.817 18.785 18.747 18.802 18.826 18.810 18.802 18.780 18.830 18.874 18.836 18.758 18.813 18.844 18.861 18.824 18.835 18.794 18.853 18.823 18.863 18.808 8VDXQDFRPSXWDGRUDSDUDFRQVWUXLUXQDJUiFDGHSXQWRVGH HVWRVYDORUHVGHGDWRV 2.243DUDFRQVWUXLUODVLJXLHQWHJUiFDGHSXQWRVVHXVyXQD FRPSXWDGRUD D &XiQWRVYDORUHVGHGDWRVVHPXHVWUDQ" E 0HQFLRQDORVYDORUHVGHORVFLQFRGDWRVPiVSHTXHxRV F &XiOHVHOYDORUGHOREMHWRGHGDWRVPiVJUDQGH" G 4XpYDORURFXUULyPiVQ~PHURGHYHFHV"&XiQWDVYHFHV RFXUULy" 2.25 [EX02-025] &RQVWUX\HXQDJUiFDGHWDOOR\KRMDVGHO Q~PHURGHSXQWRVDQRWDGRVGXUDQWHFDGDMXHJRGHEDORQFHVWR OD~OWLPDWHPSRUDGD 56 54 61 71 46 61 55 68 60 66 54 61 52 36 64 51 2.26 [EX02-026](QODWDEODTXHVHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQ VH SUHVHQWDQ ODV WHPSHUDWXUDVPi[LPD \PtQLPD SDUD FDGD XQDGHFLXGDGHVGH0p[LFRGHXQGtDGHRFWXEUHGH D &RQVWUX\HHOGLDJUDPDGHWDOORV\KRMDVSDUDODWHPSHUD WXUDPi[LPD\SDUDODWHPSHUDWXUDPtQLPD E &RQEDVHHQORVGLDJUDPDVDQWHULRUHVGHVFULEHODGLVWUL EXFLyQGHWHPSHUDWXUDVPi[LPDV\GHWHPSHUDWXUDV PtQLPDV 2.27 [EX02-027]/DVFDQWLGDGHVTXHVHPXHVWUDQDFRQWLQXD FLyQVRQODVWDULIDVTXHFREUD4XLN'HOLYHU\SDUDORVSDTXH WHVSHTXHxRVTXHHQWUHJyHOSDVDGRMXHYHVHQODWDUGH 4.03 3.56 3.10 6.04 5.62 3.16 2.93 3.82 4.30 3.86 4.57 3.59 4.57 6.16 2.88 5.03 5.46 3.87 6.81 4.91 3.62 3.62 3.80 3.70 4.15 2.07 3.77 5.77 7.86 4.63 4.81 2.86 5.02 5.24 4.02 5.44 4.65 3.89 4.00 2.99 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDV E &RQEDVHHQHOGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHVFULEHODGLV WULEXFLyQGHORVGDWRV 2.28 [EX02-028]8QDGHODVPXFKDVFRVDVTXHUHSRUWyDOS~ EOLFROD86&HQVXV%XUHDXHVHODXPHQWRHQSREODFLyQSDUD YDULDViUHDVJHRJUiFDVGHQWURGHOSDtV(QODVLJXLHQWHWDEOD VHSUHVHQWDHOSRUFHQWDMHGHLQFUHPHQWRHQSREODFLyQSDUDORV FRQGDGRVGHPiV UiSLGRFUHFLPLHQWRHQ(VWDGRV8QLGRV GHOGHMXOLRGHDOGHMXOLRGH Condado Estado Porcentaje St. Bernard Parish Luisiana 42.9 Orleans Parish Luisiana 13.8 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com Fuente: http://www.mynbadraft.com/ Fuente: Con permiso de Delco Products Division, GMC Fuente: Greater Rochester Association of Realtors Fuente: http://www.census.gov/ Temperatura) Temperatura Ciudad mnima (C) mxima (C) Acapulco 25 28 Aguascalientes 11 21 Campeche 23 28 Cd. de Mxico 11 19 Cd. Jurez 13 30 Cd. Madero 24 31 Chihuahua 11 29 Guadalajara 12 24 Hermosillo 18 30 Ixtapa 23 29 Monterrey 18 38 Puebla 9 21 Quertaro 10 20 Tijuana 14 29 Zacatecas 8 21 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 x www.fullengineeringbook.net 47 /DVOLVWDVGHJUDQGHVFRQMXQWRVGHGDWRVQRSUHVHQWDQXQDJUDQLPDJHQ(QRFDVLRQHVVH TXLHUHFRQGHQVDUORVGDWRVHQXQDIRUPDPiVPDQHMDEOH(VWRSXHGHORJUDUVHFRQODD\XGD GHXQDdistribucin de frecuencias. Distribucin de frecuencias Listado, con frecuencia expresado en forma de tabla, que relaciona los valores de una variable con su frecuencia. 3DUDGHPRVWUDUHOFRQFHSWRGHXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDXWLOLFHPRVHVWHFRQMXQWR GHGDWRV 3 2 2 3 2 4 4 1 2 2 4 3 2 0 2 2 1 3 3 1 6LxUHSUHVHQWDODYDULDEOHHQWRQFHVSXHGHVXVDUXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVSDUD UHSUHVHQWDUHVWHFRQMXQWRGHGDWRVDOKDFHUXQDOLVWDGHORVYDORUHVxFRQVXVIUHFXHQFLDV3RU HMHPSORHOYDORURFXUUHHQODPXHVWUDWUHVYHFHVSRUWDQWROD frecuenciaSDUDx HV (QODWDEODVHPXHVWUDHOFRQMXQWRGHGDWRVFRPSOHWRHQODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV /DIUHFXHQFLDfHVHOQ~PHURGHYHFHVTXHHOYDORUxRFXUUHHQODPXHVWUD/DWDEOD HVXQDdistribucin de frecuencias no agrupadasQRDJUXSDGDVSRUTXHFDGDYDORUGH xHQODGLVWULEXFLyQHVLQGHSHQGLHQWH&XDQGRXQFRQMXQWRJUDQGHGHGDWRVWLHQHPXFKRV YDORUHVxGLIHUHQWHVHQOXJDUGHDOJXQRVYDORUHVUHSHWLGRVFRPRHQHOHMHPSORDQWHULRU SXHGHVDJUXSDUORVYDORUHVHQXQFRQMXQWRGHFODVHV\FRQVWUXLUXQDdistribucin de fre- cuencias agrupadas(OGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHODJXUD%SPXHVWUDHQ IRUPD GH LPDJHQ XQD GLVWULEXFLyQ GH IUHFXHQFLDV DJUXSDGD&DGD WDOOR UHSUHVHQWD XQD FODVH(OQ~PHURGHKRMDVHQFDGDWDOORHVHOPLVPRTXHODIUHFXHQFLDSDUDGLFKDPLVPD claseHQRFDVLRQHVOODPDGDcaja/RVGDWRVTXHVHSUHVHQWDQHQODJXUD%VHPHQFLR- QDQFRPRXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVHQODWDEOD TABLA 2.4 Distribucin de frecuencia no agrupada D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDV E &RQEDVHHQHOGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHVFULEHODGLV- WULEXFLyQGHORVGDWRV 2.29'DGRHOVLJXLHQWHGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDV Steam-and-Leaf of C1 N = 16 Leaf Unit = 0.010 1 59 7 4 60 148 (5) 61 02669 7 62 0247 3 63 58 1 64 3 D &XiOHVHOVLJQLFDGRGH/HDI8QLW8QLGDGGHKRMD " E &XiQWRVGDWRVVHPXHVWUDQHQHVWHGLDJUDPDGHWDOOR\ KRMDV" F 0HQFLRQDORVSULPHURVFXDWURYDORUHVGHGDWRV G 4XpHVODFROXPQDGHQ~PHURVDODL]TXLHUGDGHODJXUD" 2.308QWpUPLQRTXHVHXVDFRQIUHFXHQFLDHQLQYHVWLJDFLyQ HQHQHUJtDVRODUHVgrados da de calefaccin(VWHFRQFHSWR VHUHODFLRQDFRQODGLIHUHQFLDHQWUHXQDWHPSHUDWXUDLQWHULRUGH )\ODWHPSHUDWXUDH[WHULRUSURPHGLRGHXQGtDGDGR8QD WHPSHUDWXUDH[WHULRUSURPHGLRGH)RIUHFHJUDGRVGtDGH FDOHIDFFLyQ(QHOVLJXLHQWHGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVFRQVWUXL- GRXVDQGR0,1,7$%VHPXHVWUDQORVGtDVJUDGRGHFDOHIDF- FLyQDQXDOHVQRUPDOHVSDUDYDULDVXELFDFLRQHVGH1HEUDVND Steam-and-Leaf of C1 N = 25 Leaf Unit = 10 2 60 78 7 61 03699 9 62 69 11 63 26 (3) 64 233 11 65 48 9 66 8 8 67 249 5 68 18 3 69 145 D &XiOHVHOVLJQLFDGRGH/HDI8QLW " E 0HQFLRQDORVSULPHURVFXDWURYDORUHVGHGDWRV F 0HQFLRQDWRGRVORVYDORUHVGHGDWRVTXHRFXUULHURQPiV GHXQDYH] x f 0 1 1 3 2 8 3 5 4 3 2.2 Distribuciones de frecuencia histogramas Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 48 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 3XHGHVXVDUHOSURFHVRGHWDOOR\KRMDVSDUDFRQVWUXLUXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV VLQHPEDUJRODUHSUHVHQWDFLyQHQWDOORVQRHVFRPSDWLEOHFRQWRGRVORVanchos de clase 3RUHMHPSORORVDQFKRVGHFODVHGH\VRQGLItFLOHVGHXVDU3RUWDQWRHQRFDVLRQHVHV YHQWDMRVRWHQHUXQSURFHGLPLHQWRVHSDUDGRSDUDFRQVWUXLUXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV DJUXSDGDV TABLA 2.5 Distribucin de frecuencias agrupadas Clase Frecuencia 50 o ms a menos de 60 50 < 60 1 60 o ms a menos de 70 60 < 70 3 70 o ms a menos de 80 70 < 80 8 80 o ms a menos de 90 80 < 90 5 90 o ms a menos de 100 90 < 100 2 19 E J E M P L O 2 . 6 AGRUPAMIENTO DE DATOS PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS Para ilustrar este procedimiento de agrupamiento (o clasificacin), usa una muestra de 50 calificaciones del examen final de la clase de estadstica ele- mental del semestre pasado. La tabla 2.6 presenta las 50 calificaciones. Procedimiento para construir una distribucin de frecuencias agrupadas 1. Identifica la calificacin alta (H = 98) y la calificacin baja (L = 39) y encuentra el rango: rango = H L = 98 39 = 59 2. Selecciona un nmero de clase (m = 7) y un ancho de clase (c = 10) de modo que el producto (mc = 70) sea un poco mayor que el rango (rango = 59). TABLA 2.6 Calificaciones de examen de estadstica [TA02-06] 60 47 82 95 88 72 67 66 68 98 90 77 86 58 64 95 74 72 88 74 77 39 90 63 68 97 70 64 70 70 58 78 89 44 55 85 82 83 72 77 72 86 50 94 92 80 91 75 76 78 3. Elige un punto de partida. Este punto de partida debe ser un poco menor que la calificacin ms baja, L. Supn que comienzas en 35; al contar desde las decenas (el ancho de clase), obtienes 35, 45, 55, 65, . . ., 95, 105. A ellos se les llama lmites de clase. Las clases para los datos en la tabla 2.6 son: 35 o ms a menos de 45 35 < 45 45 o ms a menos de 55 45 < 55 55 o ms a menos de 65 55 < 65 65 o ms a menos de 75 65 < 75 75 < 85 85 < 95 95 o ms a e incluido 105 95 105 Notas: 1. De un vistazo puedes verificar el patrn de nmero para determinar si la aritmtica usada para formar las clases fue correcta (35, 45, 55, . . ., 105.) 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 49 (QFRQVHFXHQFLDVHXVDQORVVLJXLHQWHVlineamientos bsicosSDUDFRQVWUXLUXQDGLV- WULEXFLyQGHIUHFXHQFLDDJUXSDGD &DGDFODVHGHEHVHUGHOPLVPRDQFKR /DV FODVHV HQRFDVLRQHV OODPDGDVcajas GHEHQ HVWDEOHFHUVHGHPRGRTXHQR VH WUDVODSHQ\GHPRGRTXHFDGDYDORUGHGDWRSHUWHQH]FDH[DFWDPHQWHDXQDFODVH 3DUDORVHMHUFLFLRVRIUHFLGRVHQHVWHWH[WRGHDFODVHVHVORPiVGHVHDEOH SRUTXH WRGDV ODVPXHVWUDV FRQWLHQHQPHQRV GH YDORUHV GH GDWRV /D UDt] FXDGUDGDGHnHVXQOLQHDPLHQWRUD]RQDEOHSDUDHOQ~PHURGHFODVHVFRQPXHVWUDV FRQPHQRVGHYDORUHVGHGDWRV 8VDXQVLVWHPDTXHVDTXHYHQWDMDGHDOJ~QSDWUyQSDUDJDUDQWL]DUSUHFLVLyQ &XDQGRVHDFRQYHQLHQWHFRQIUHFXHQFLDHVYHQWDMRVRXQDQFKRGHFODVHSDU 8QDYH]HVWDEOHFLGDVODVFODVHVHVQHFHVDULRRUGHQDUORVGDWRVHQGLFKDVFODVHV(O PpWRGRXWLOL]DGRSDUDRUGHQDUGHSHQGHUiGHO IRUPDWR DFWXDO GH ORVGDWRV VL ORVGDWRV HVWiQ FODVLFDGRV ODV IUHFXHQFLDV SXHGHQ FRQWDUVH VL ORV GDWRV QR HVWiQ FODVLFDGRV cuenta ORVGDWRVSDUDHQFRQWUDUORVQ~PHURVGHIUHFXHQFLD&XDQGRFODVLTXHVGDWRVHV ~WLOXVDUXQFXDGURHVWiQGDUYpDVHODWDEOD 2. Para el intervalo 3.5 ) x < 45, 35 es el lmite de clase inferior y 45 es el lmite de clase superior. Las observaciones que caen en el lmite de clase inferior permanecen en dicho intervalo; las observaciones que caen en el lmite de clase superior pasan al siguiente intervalo superior, excepto por la ltima clase. 3. El ancho de clase es la diferencia entre los lmites de clase superior e inferior. 4. Cuando se clasifican datos, son posibles muchas combinaciones de anchos de clase, nmeros de clases y puntos de partida. No hay una opcin mejor. Intenta algunas combinaciones diferentes y usa el buen juicio para decidir la que usars. Notas: 6LORVGDWRVHVWiQFODVLFDGRVHQIRUPDGHOLVWDJUiFDGHSXQWRVRWDOOR\KRMDV \DQRHVQHFHVDULRFODVLFDUVyORFXHQWDORVGDWRVTXHSHUWHQHFHQDFDGDFODVH 6LORVGDWRVQRHVWiQFODVLFDGRVWHQFXLGDGRFRQWXFODVLFDFLyQ\FRQWHR /DIUHFXHQFLDfSDUDFDGDFODVHHVHOQ~PHURGHSLH]DVGHGDWRVTXHSHUWHQHFHQD GLFKDFODVH /DVXPDGHODVIUHFXHQFLDVGHEHVHULJXDODOQ~PHURGHSLH]DVGHGDWRVnn = f (VWDVXPDVLUYHFRPRXQDEXHQDFRPSUREDFLyQ TABLA 2.7 Cuadro estndar para distribucin de frecuencias Nmero de clase Cuentas de clase Lmites Frecuencia 1 || 35 < 45 2 2 || 45 < 55 2 3 ||||| || 55 < 65 7 4 ||||| ||||| ||| 65 < 75 13 5 ||||| ||||| | 75 < 85 11 6 ||||| ||||| | 85 < 95 11 7 |||| 95 ) 105 4 50 Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 50 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Nota:&RQVXOWD HOManual de soluciones del estudiante SDUD LQIRUPDFLyQ DFHUFD GH OD notacin OpDVH"notacin de sumatoria" E J E M P L O 2 . 7 Nota:$KRUDSXHGHVYHUSRUTXpHV~WLOWHQHUXQDQFKRGHFODVHSDU8QDQFKRGHFODVH LPSDUUHVXOWDUtDHQXQSXQWRPHGLRGHFODVHFRQXQGtJLWRDGLFLRQDO3RUHMHPSOROD FODVHWLHQHDQFKR\HOSXQWRPHGLRGHFODVHHV TABLA 2.8 Distribucin de frecuencias con puntos medios de clase Nmero de clase Lmites de clase Frecuencia f Puntos medios de clase, x 1 35 < 45 2 40 2 45 < 55 2 50 3 55 < 65 7 60 4 65 < 75 13 70 5 75 < 85 11 80 6 85 < 95 11 90 7 95 ) 105 4 100 50 Lmites de clase Frecuencia relativa 0 < 1 0.05 0 < 2 0.20 0 < 4 0.33 0 0.39 No sabe 0.03 LIMPIAR LA CASA La grfi ca de "Horas semanales dedicadas a limpiar la casa" presen- ta una versin de grfi - ca circular de una dis- tribucin de frecuencias relativa. Cada sector del crculo representa la cantidad de tiempo que emplea cada persona en limpiar semanalmen- te y el "tamao relativo" del sector representa el porcentaje o frecuencia relativa. Ahora, con termi- nologa estadstica, puedes decir que la variable "tiempo em- pleado en limpiar" se representa en la grfi - ca mediante sectores del crculo. La frecuen- cia relativa se repre- senta mediante el tamao del ngulo que forma el sector. Para formar esta informacin en una distribucin de frecuencias "relativas" agrupadas, cada intervalo de la variable se expresar en la forma a x < b. Por ejemplo, la categora 2 a 4 horas se expresara como 2 x < 4. (De esta forma, el lmite inferior es parte del intervalo, pero el lmite superior es parte del siguiente intervalo ms grande.) La tabla de distribucin para esta grfi ca circular apa- recera entonces como en la tabla que se muestra a la izquierda. Horas semanales dedicadas a limpiar la casa Los estadounidenses emplean un promedio de 3.4 horas cada semana en la limpieza de la casa. Cunto tiempo emplea en limpiar semanalmente? + de 4 horas Menos de 1 hora, 5% No sabe, 3% 1-2 horas 2-4 horas E J E M P L O A P L I C A D O 2 . 7 Fuente: Datos tomados de Cindy Hall y Sam Ward, USA TODAY; Yankelovich Partners para GCI/ZEP Chemicals. www.fullengineeringbook.net 51 &DGDFODVHQHFHVLWDXQVRORYDORUQXPpULFRSDUDUHSUHVHQWDUWRGRVORVYDORUHVGHGDWR TXHFDHQHQGLFKDFODVH(Opunto medio de claseHQRFDVLRQHVOODPDGRmarca de clase HVHOYDORUQXPpULFRTXHHVWiH[DFWDPHQWHHQPHGLRGHFDGDFODVH6HHQFXHQWUDDOVXPDU ORVOtPLWHVGHFODVH\GLYLGLUHQWUH/DWDEODPXHVWUDXQDFROXPQDDGLFLRQDOSDUDHO SXQWRPHGLRGHFODVHx&RPRFRPSUREDFLyQGHWXDULWPpWLFDORVSXQWRVPHGLRVGHFODVH VXFHVLYRVGHEHQHVWDUVHSDUDGRVXQDQFKRGHFODVHTXHHQHVWDLOXVWUDFLyQHV HVXQSDWUyQUHFRQRFLEOH &XDQGRORVGDWRVVHFODVLFDQHQFODVHVVHSLHUGHDOJRGHLQIRUPDFLyQ6yORFXDQGRVH WLHQHQWRGRVORVGDWRVEUXWRVVHFRQRFHQORVYDORUHVH[DFWRVTXHUHDOPHQWHVHREVHUYDURQ SDUDFDGDFODVH3RUHMHPSORVHFRORFDXQ\XQHQODFODVHFRQOtPLWHVGHFODVH \8QDYH]TXHVHFRORFDQHQODFODVHVXVYDORUHVVHSLHUGHQ\VHXVDHOSXQWRPHGLRGH FODVHFRPRVXYDORUUHSUHVHQWDWLYR Histograma Grfica de barras que representa una distribucin de frecuencias de una variable cuantitativa. Un histograma se constituye con los componen- tes siguientes: 1. Un ttulo, que identifica la poblacin o muestra de inters. 2. Una escala vertical, que identifica las frecuencias en las diversas clases. 3. Una escala horizontal, que identifica a la variable x. Los valores para los lmites de clase o puntos medios de clase pueden etiquetarse a lo largo del eje x. Usa cualquier mtodo de etiquetado de ejes que represente mejor la variable. /DGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVGHODWDEODDSDUHFHHQIRUPDGHKLVWRJUDPDHQOD JXUD (QRFDVLRQHVHVLPSRUWDQWHODfrecuencia relativaGHXQYDORU/DIUHFXHQFLDUHODWLYD HVXQDPHGLGDSURSRUFLRQDOGHODIUHFXHQFLDSDUDXQDRFXUUHQFLD6HHQFXHQWUDDOGLYLGLU ODIUHFXHQFLDGHFODVHHQWUHHOQ~PHURWRWDOGHREVHUYDFLRQHV/DIUHFXHQFLDUHODWLYDSXHGH H[SUHVDUVHFRPRXQDIUDFFLyQFRP~QHQIRUPDGHFLPDORFRPRSRUFHQWDMH3RUHMHPSOR HQHOHMHPSORODIUHFXHQFLDDVRFLDGDFRQODWHUFHUDFODVHHV/DIUHFXHQFLD UHODWLYDSDUDODWHUFHUDFODVHHVRR8VXDOPHQWHODVIUHFXHQFLDVUHODWLYDV VRQ~WLOHVHQXQDSUHVHQWDFLyQSRUTXHODPD\RUtDGHODVSHUVRQDVFRPSUHQGHQODVSDUWHV IUDFFLRQDOHVFXDQGRVHH[SUHVDQFRPRSRUFHQWDMHV/DVIUHFXHQFLDVUHODWLYDVVRQSDUWLFX- ODUPHQWH~WLOHVFXDQGRVHFRPSDUDQODVGLVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLDGHGRVFRQMXQWRVGH GDWRVGHWDPDxRGLIHUHQWH/DJXUDHVXQhistograma de frecuencia relativa de la PXHVWUDGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQQDOGHODWDEOD 8QGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVFRQWLHQHWRGDODLQIRUPDFLyQQHFHVDULDSDUDFUHDUXQKLV- WRJUDPD/DJXUD%SPXHVWUDHOGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVTXHVHFRQVWUX\yHQ PTI Observa que el histograma de frecuen- cias y el histograma de frecuencias relativas tienen la misma forma (si supones que se usan las mismas clases para ambos); slo cambia la etiqueta del eje vertical. PTI Asegrate de identi- ficar ambas escalas de modo que el histograma cuente la historia completa. FIGURA 2.10 Histograma de frecuencias FIGURA 2.11 Histograma de frecuencias relativas 50 calificaciones del examen final en estadstica elemental 50 calificaciones del examen final en estadstica elemental FrecuenciaPorcentajeCalificacin Calificacin 7 50 Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas 15 10 5 0 40 50 60 70 80 90 100 30 20 10 0 35 45 55 65 75 85 95 105 www.fullengineeringbook.net 52 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable HOHMHPSOR(QODJXUD$HOGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVVHJLUy\VHDJUHJDURQ HWLTXHWDVSDUDPRVWUDUVXUHODFLyQFRQXQKLVWRJUDPD/DJXUD%PXHVWUDHOPLVPR FRQMXQWRGHGDWRVFRPRXQKLVWRJUDPDFRPSOHWR FIGURA 2.12A Diagrama de tallo y hojas modificado FIGURA 2.12B Histograma 19 calificaciones de examen 19 calificaciones de examen Calificacin Calificacin Frecuencia FrecuenciaMINITAB Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Graph > Histogram > Simple > OK Escribe: Variables grficas: C1 Elige: Labels > Titles / Footnote Escribe: Tu ttulo y/o nota al pie > OK Elige: Scle > Y-Scale Type Selecciona: Tipo escala Y: Frequency or Percent or Density > OK > OK Para ajustar el histograma: haz doble clic en cualquier parte sobre las barras del histograma. Selecciona: Binning Selecciona: Tipo intervalo: Midpoint o Cutpoint Interval Definitions: Authomatic o, Number of intervals; Enter: N o Midpt/cutpt posi- tions; Enter: A:B/C > OK Notas: 1. Los puntos medios son los puntos medios de clase y los puntos de corte son los lmites de clase. 2. El porcentaje es frecuencia relativa. 3. Automtico significa que MINITAB har todas las elecciones; N = nmero de intervalos, esto es, el nmero de clases que quieres usar. 4. A = punto medio o lmite de clase ms pequeo, B = punto medio o lmite de clase ms grande, C = ancho de clase que quieres especificar. Los siguientes comandos dibujarn el histograma de una distribucin de frecuencias. Las clases finales pueden tener ancho completo al sumar una clase adicional con frecuencia cero a cada extremo de la distribucin de frecuencias. Ingresa los puntos medios de clase en C1 y las frecuencias correspondientes en C2. Elige: Graph > Scatterplot > With Connect Line > OK Escribe: Y variables: C2 X varialbes: C1 Selecciona: Deta View: Data Display: Symbols Connect > OK > OK Haz doble clic sobre una lnea de conexin. Selecciona: Options Connection Function: Step > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : H I S T O G R A M A 8 6 4 2 5059 6069 7079 8089 9099 x f 2 2 2 2 2 6 4 2 8 4 4 6 6 6 6 8 8 8 6 8 6 4 2 50 60 70 80 90 100 x f f www.fullengineeringbook.net 53 TI-83/84 Plus Ingresa los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot1 La calculadora selecciona las clases: Elige: Zoom > 9:ZoomStat > Trace > > > La persona selecciona clases: Elige: Window Escribe: cuando mucho el valor ms bajo, al menos el valor ms alto, ancho de clase, 1, al menos frecuencia ms alta, 1 (depende de nmeros de frecuencia), 1 Elige: Graph > Trace (usa valores para construir distribucin de frecuencias) Excel Escribe los datos en la columna A y los lmites de clase superior* en la columna B (opcional) y (encabezados de columna son opcionales); despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > Histogram > OK Escribe: Input Range: Data (A1:A6 o selecciona celdas) Bin Range: upper class limits (B1:B6 o selecciona celdas) [deja en blanco si Excel determina los intervalos] Selecciona: Labels (si se usan encabezados de columna) Output Range Escribe: area for freq. distr. & graph (C1 o selecciona celdas) Seleccciona: Chart Output > OK Para quitar las separaciones entre barras: Haz clic sobre: Cualquier barra sobre la grfi ca Haz clic sobre: Botn derecho del ratn Elige: Format Data Series Escribe: Gap Width: 0 % > Close Para editar el histograma: Haz clic sobre: Cualquier lugar para limpiar el grficousa manijas para el tamao Cualquier ttulo o nombre de eje para cambiar Cualquier lmite de clase superior o frecuencia en la distribucin de frecuencias para cambiar el valor > Enter Recuadro Delete "Frequency" a la derecha *Si lmite = 50, entonces lmite = 49.9 (depende del nmero de lugares decimales en los datos). Si Data Analysis no aparece en el men Data. Elige: Office Button > Excel Options (bottom) > Add-Ins (al fondo) Selecciona: Analysis ToolPak Analysis ToolPak-VBA Observa que los lmites de clase superior aparecen en el centro de las barras. Sustituye con puntos medios de clase. La celda "More" en la distribucin de frecuencias tambin puede borrarse. Para datos tabulados, escribe las clases en la columna A (ej., 30-40) y las frecuencias en la columna B; activa ambas columnas; despus contina con: Elige: Insert > Column > 1st picture (por lo general) Elige: Chart Layouts > Layouts 8 Escribe: Ttulo de grfi ca: tu ttulo Eje categora (x): ttulo para eje x Eje valor (y): ttulo para eje y Haz como se describi para quitar separaciones y ajustar. Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 54 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable /RVKLVWRJUDPDVVRQKHUUDPLHQWDVYDOLRVDV3RUHMHPSORHOKLVWRJUDPDGHXQDPXHVWUD GHEHWHQHUXQDIRUPDGHGLVWULEXFLyQPX\VLPLODUDODGHODSREODFLyQGHODTXHVHH[WUDMR ODPXHVWUD 6L HO OHFWRU GH XQ KLVWRJUDPD HVWi WRWDOPHQWH IDPLOLDUL]DGR FRQ OD YDULDEOH LQYROXFUDGDSRUORJHQHUDOSRGUiLQWHUSUHWDUYDULRVKHFKRVLPSRUWDQWHV/DJXUDSUH VHQWDKLVWRJUDPDVFRQIRUPDVHVSHFtFDVTXHVXJLHUHQHWLTXHWDVGHVFULSWLYDV/DVSRVLEOHV HWLTXHWDVGHVFULSWLYDVVHPHQFLRQDQEDMRFDGDKLVWRJUDPD FIGURA 2.13 Formas de histogramas Forma de J Bimodal Simtrico, normal o triangular Simtrico, uniforme o rectangular Sesgada a la derecha Sesgada a la izquierda Para datos tabulados, escribe los puntos medios de clase en L1 y las frecuencias en L2; despus contina con: Elige: 2nd > STAT PILOT > 1:Plot1 Elige: Window Escribe: lmite de clase inferior ms peque- o, lmite de clase superior ms grande, ancho de clase, ymx/4, frecuencia ms alta, 0 (para quitar marcas), 1 Elige: Graph > Trace > > > Para obtener un histograma de frecuencias relativas de datos tabulados: Elige: STAT > EDIT > 1:EDIT . . . Destaca: L3 Escribe: L3 = L2 SUM(L2) (SUM - 2ND LIST > MATH > 5:sum) Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot1 Elige: Window Escribe: lmite de clase inferior ms peque- o, lmite de clase superior ms grande, ancho de clase, ymx/4, frecuencia relativa ms alta, 0 (para quitar marcas), 1 Elige: Graph > Trace > > > (TI-83/84 Plus continuacin) www.fullengineeringbook.net 55 (QUHVXPHQORVWpUPLQRVXVDGRVSDUDGHVFULELUKLVWRJUDPDVVRQORVVLJXLHQWHV Simtrico Ambos lados de esta distribucin son idnticos (las mitades son imgenes especulares). Normal Una distribucin simtrica que se amontona en torno a la media y se dispersa en los extremos. (Propiedades adicionales se discuten ms adelante.) Uniforme (rectangular) Cada valor aparece con igual frecuencia. Sesgado Una cola se prolonga ms que la otra. La direccin de asimetra est en el lado de la cola ms larga. Forma de J No hay cola al lado de la clase con la frecuencia ms alta. Bimodal Las dos clases ms pobladas estn separadas por una o ms clases. Con frecuencia, esta situacin implica que se muestrearon dos poblaciones. (Observa la figura 2.7, p. 40.) Notas: /DmodaHVHOYDORUGHORVGDWRVTXHRFXUUHFRQPD\RUIUHFXHQFLD/DPRGDVH GLVFXWLUiHQODVHFFLyQS /Dclase modalHVODFODVHFRQODIUHFXHQFLDPiVDOWD 8QDdistribucin bimodalWLHQHGRVFODVHVGHIUHFXHQFLDDOWDVHSDUDGDVSRUFODVHV FRQIUHFXHQFLDVPHQRUHV1RHVQHFHVDULRTXHODVGRVIUHFXHQFLDVDOWDVVHDQLJXDOHV 2WUD IRUPDGHH[SUHVDUXQDGLVWULEXFLyQGH IUHFXHQFLDVHVXVDUXQDdistribucin de frecuencias acumuladas Distribucin de frecuencias acumuladas Distribucin de frecuencias que rela- ciona frecuencias acumuladas con valores de la variable. /Dfrecuencia acumuladaSDUDXQDFODVHGDGDHVODVXPDGHODIUHFXHQFLDSDUDGLFKD FODVH\ODVIUHFXHQFLDVGHWRGDVODVFODVHVGHYDORUHVPHQRUHV/DWDEODPXHVWUDODGLV- WULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDFXPXODGDVGHODWDEODS /DPLVPDLQIRUPDFLyQVHSXHGHSUHVHQWDUXVDQGRXQDGLVWULEXFLyQGHfrecuencias re- lativas acumuladasYpDVHODWDEODeVWDFRPELQDODVLGHDVGHIUHFXHQFLDDFXPXODGD \IUHFXHQFLDUHODWLYD TABLA 2.9 Uso de distribucin de frecuencias para formar una distribucin de frecuencias acumuladas Nmero de clase Lmites de clase Frecuencia f Frecuencia acumulada 1 35 < 45 2 2 (2) 2 45 < 55 2 4 (2 + 2) 3 55 < 65 7 11 (7 + 4) 4 65 < 75 13 24 (13 + 11) 5 75 < 85 11 35 (11 + 24) 6 85 < 95 11 46 (11 + 35) 7 95 < 105 4 50 (4 + 46) 50 Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 56 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable /DVGLVWULEXFLRQHVDFXPXODGDVSXHGHQPRVWUDUVHJUiFDPHQWH Ojiva Grfica de lnea de una frecuencia acumulada o distribucin de fre- cuencias relativas acumuladas. Una ojiva tiene los siguientes componentes: 1. Un ttulo, que identifica la poblacin o muestra. 2. Una escala vertical que identifica las frecuencias acumuladas o las fre- cuencias relativas acumuladas. (La figura 2.14 muestra una ojiva con frecuencias relativas acumuladas.) 3. Una escala horizontal, que identifica los lmites de clase superiores. (Hasta alcanzar el lmite superior de una clase, no puedes estar seguro de haber acumulado todos los datos en dicha clase. Por tanto, la escala horizontal de una ojiva siempre se basa en los lmites de clase superiores.) Calificacin /DRMLYDSXHGHXVDUVHSDUDKDFHUHQXQFLDGRVSRUFHQWXDOHVDFHUFDGHGDWRVQXPpULFRV HQJUDQPHGLGDFRPRKDFHXQGLDJUDPDGH3DUHWRSDUDGDWRVDWULEXWR3RUHMHPSORVXSyQ TXHTXLHUHVVDEHUTXpSRUFHQWDMHGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQQDOIXHQRDSUREDWRULR VLVHFRQVLGHUDQDSUREDWRULDVODVFDOLFDFLRQHVGHRPiV$OVHJXLUYHUWLFDOPHQWHGHVGH VREUHODHVFDODKRUL]RQWDOKDVWDODOtQHDGHODRMLYD\OHHUHQODHVFDODYHUWLFDOSRGUtDV GHFLUTXHDSUR[LPDGDPHQWHGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQQDOIXHURQFDOLFDFLR- QHVQRDSUREDWRULDV Nmero Lmites Frecuencia Las frecuencias acumuladas son para el intervalo de clase de clase relativa acumulada de 35 hasta el lmite superior de dicha clase 1 35 < 45 2/50 o 0.04 desde 35 hasta menos de 45 2 45 < 55 4/50 o 0.08 desde 35 hasta menos de 55 3 55 < 65 11/50 o 0.22 desde 35 hasta menos de 65 4 65 < 75 24/50 o 0.48 5 75 < 85 35/50 o 0.70 6 85 < 95 46/50 o 0.92 7 95 < 105 50/50 o 1.00 desde 35 hasta e incluido 105 TABLA 2.10 Distribucin de frecuencias relativas acumuladas PTI Toda ojiva comien- za a la izquierda, con una frecuencia relativa de cero en el lmite de clase inferior de la primera clase y termina a la derecha con una frecuencia relativa acumulada de 1.00 (o 100%), en el lmite de clase superior de la ltima clase. FIGURA 2.14 Ojiva 50 calificaciones del examen final de estadstica elemental Frecuencia relativa acumulada1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 35 45 55 65 75 85 95 105 www.fullengineeringbook.net 57 I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : O J I V A MINITAB Excel TI-83/84 Plus Ingresa los lmites de clase en C1 y los porcentajes acumulados en C2 (escribe 0 [cero] para el porcentaje relacionado con el lmite inferior de la primera clase y para cada porcentaje acumu- lado con el lmite de clase superior). Usa porcentajes; esto es: usa 25% en lugar de 0.25. Elige: Graph > Scatterplot > With Connect Line > OK Escribe: Y variables: C2 X variables: C1 Selecciona: Data View: Data Display: Symbols Connect > OK Selecciona: Labels > Titles/Footnotes Escribe: tu ttulo o notas al pie > OK > OK Ingresa los datos en la columna A y los lmites* de clase superior en la columna B (incluye una clase adicional al principio). Elige: Data > Data Analysis** > Histogram > OK Escribe: Input Range: data (A1:A6 o selecciona celdas) Bin Range: upper class limits (B1:B6 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si se usan encabezados de columna) Output Range Enter: area for freq. distr. & graph: (C1 o selecciona celdas) Cumulative Percentage Chart Output > OK Para cerrar separaciones y editar, consulta los comandos de histograma de la pgina 53. Para datos tabulados, escribe los lmites de clase superior en la columna A y las frecuencias relativas acumuladas en la columna B (incluye un lmite de clase adicional al comienzo con una frecuencia relativa acumulada igual a 0 [cero]); activa la columna B; despus contina con: Elige: Insert > Line > 1st picture (por lo general) Da clic derecho sobre el rea de la grfica Elige: Select Data > Horizontal (Categora) Axis Labels Edit Escribe: (A2:A8 o selecciona celdas) > OK > OK Elige: Chart Tools > Layout > Labels Escribe: Ttulo grfica: tu ttulo Ttulos ejes: ttulo para eje x; ttulo para eje y Para editar, consulta los comandos del histograma en la pgina 53. *Si el lmite = 50, entonces el lmite = 49.9 (depende del nmero de lugares decimales en los datos). **Si Data Analysis no aparece en el men Data, consulta la pgina 53. Ingresa los lmites de clase en L1 y las frecuencias en L2 (incluye un lmite de clase adicional al comienzo con una frecuencia de cero); despus contina con: Elige: STAT > EDIT > 1:EDIT . . . Destaca: L3 Escribe: L3 = 2nd > LIST > OPS > 6:cum sum (L2) Destaca: L4 Escribe: L4 = L3 / 2nd > LIST > Math > 5:sum (L2) Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot Elige: Zoom > 9:ZoomStat > Trace > > > Ajusta la ventana si es necesario para mejor legibilidad. Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 58 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP2.31 D)RUPDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDV GHORVVLJXLHQWHVGDWRV 1, 2, 1, 0, 4, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 4 &RQUHIHUHQFLDDODGLVWULEXFLyQDQWHULRU E ([SOLFDTXpUHSUHVHQWDf F &XiOHVODVXPDGHODFROXPQDIUHFXHQFLD" G 4XpUHSUHVHQWDHVWDVXPD" 2.32*UiFDVGHEDUUDVHKLVWRJUDPDVQRVRQODPLVPDFRVD ([SOLFDVXVVLPLOLWXGHV\GLIHUHQFLDV 2.33 [EX02-033]/DVMXJDGRUDVHQOD1DWLRQDO6RFFHU7HDP GHPXMHUHVDQRWDURQSXQWRVGXUDQWHODWHPSRUDGD(O Q~PHURGHJROHVGHODVMXJDGRUDVTXHDQRWDURQIXHURQ Jugadora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Goles 1 2 2 1 2 8 15 9 1 10 1 6 12 13 1 D 6LTXLHUHVPRVWUDUHOQ~PHURGHJROHVDQRWDGRVSRUFDGD MXJDGRUDVHUtDPiVDGHFXDGRPRVWUDUHVWDLQIRUPDFLyQ HQXQDJUiFDGHEDUUDVRHQXQKLVWRJUDPD" E &RQVWUX\HODJUiFDDGHFXDGDSDUDHOLQFLVRD F 6LTXLHUHVPRVWUDUHQIDWL]DUODGLVWULEXFLyQGHODDQRWD FLyQSRUHOHTXLSRVHUtDPiVDGHFXDGRPRVWUDUHVWD LQIRUPDFLyQHQXQDJUiFDGHEDUUDVRHQXQKLVWRJUDPD" ([SOLFD G &RQVWUX\HODJUiFDDGHFXDGDSDUDHOLQFLVRF 2.34 [EX02-034](O'HSDUWDPHQWRGH(GXFDFLyQGH&DOLIRU- QLDHQWUHJDXQUHSRUWHDQXDODFHUFDGHORVUHVXOWDGRVGHOH[D- PHQGH&RORFDFLyQ$YDQ]DGD$3SDUDFDGDDxR(QHODxR HVFRODU+XJKVRQ8QLHGHQHOFRQGDGR6WDQLVODXV WXYRHVWXGLDQWHVFRQODVVLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHV Calificaciones AP 3 4 1 4 1 2 4 5 1 3 4 3 2 3 1 3 4 1 1 2 5 2 5 3 2 1 2 4 2 3 3 3 3 2 1 3 3 3 1 2 2 2 D &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDV SDUDODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQ E &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVGHHVWDGLVWULEX- FLyQ F 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVSDUD HVWRVPLVPRVGDWRV G 6LODVFDOLFDFLRQHV$3GHDOPHQRVVHUHTXLHUHQIUH- FXHQWHPHQWHSDUDODWUDQVIHULELOLGDGXQLYHUVLWDULDTXp SRUFHQWDMHGHODVFDOLFDFLRQHV$3GH+XJKVRQUHFLELUi FUpGLWRXQLYHUVLWDULR" 2.35 [EX02-035](OHTXLSRHVWDGRXQLGHQVHIHPHQLOROtPSLFR GHVRFFHUWXYRXQJUDQDxRHQ8QDIRUPDGHGHVFULELUD ODVMXJDGRUDVHQGLFKRHTXLSRHVPHGLDQWHVXVHVWDWXUDVLQGL- YLGXDOHV Estatura (pulgadas) 70 68 65 64 68 66 66 67 68 68 67 65 65 66 64 69 66 65 D &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDV SDUDODVHVWDWXUDV E &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVGHHVWDGLVWULEX- FLyQ F 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVSDUD HVWRVPLVPRVGDWRV G 4XpSRUFHQWDMHGHOHTXLSRWLHQHXQDHVWDWXUDGHDOPHQRV SLHVSXOJDGDV" 2.36 [EX02-036]/D86&HQVXV%XUHDXSXEOLFyHOVLJXLHQWH 5HSRUWHDFHUFDGHODV)DPLOLDV\*UXSRV&RUHVLGHQWHV HQ(VWDGRV8QLGRVSDUDWRGDVODVUD]DV Nm. en vivienda Porcentaje 1 27% 2 33% 3 17% 4 14% 5 6% 6 2% 7+ 1% D 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVSDUDHO Q~PHURGHSHUVRQDVSRUYLYLHQGD E 4XpIRUPDGHGLVWULEXFLyQVXJLHUHHOKLVWRJUDPD" F &RQEDVHHQODJUiFDTXpVDEHVDFHUFDGHODVYLYLHQGDV HQ(VWDGRV8QLGRV" 2.37 [EX02-037] (O XQLYHUVR GH OD $PHULFDQ &RPPXQLW\ 6XUYH\HVWi OLPLWDGRDSREODFLyQGRPpVWLFD\ H[FOX\H ODSREODFLyQTXHYLYHHQLQVWLWXFLRQHVGRUPLWRULRVXQLYHUVLWD- ULRV\RWURVVLWLRVGHDORMDPLHQWRFROHFWLYR/DVLJXLHQWHWDEOD PHQFLRQDHOQ~PHURGHKDELWDFLRQHVHQFDGDXQDGHODV XQLGDGHVGRPpVWLFDVHQ(OOLV&RXQW\7H[DV Habitaciones Unidades domsticas 1 habitacin 403 2 habitaciones 485 3 habitaciones 2 171 4 habitaciones 8 108 5 habitaciones 12 177 6 habitaciones 11 251 7 habitaciones 6 250 8 habitaciones 4 320 9+ habitaciones 3 357 E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 2 Fuente: U.S. Soccer Fuente: http://data 1.cde.ca.gov/ Fuente: www.usasoccer.com Fuente: http://infoplease.com/ Fuente: U.S. Census Bureau, American Community Survey Office www.fullengineeringbook.net 59 D 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDUHODWLYDSDUDHOQ~PH URGHKDELWDFLRQHVSRUYLYLHQGD E 4XpIRUPDGHGLVWULEXFLyQVXJLHUHHOKLVWRJUDPD" F &RQEDVHHQODJUiFDTXpVDEHVDFHUFDGHOQ~PHURGH KDELWDFLRQHVSRUYLYLHQGDHQ(OOLV&RXQW\7H[DV" 2.38 [EX02-038]$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDQODVHGDGHVGH EDLODULQHV TXH UHVSRQGLHURQ D XQD VROLFLWXG GH DXGLFLyQ SDUDXQDFRPHGLDPXVLFDO 21 19 22 19 18 20 23 19 19 20 19 20 21 22 21 20 22 20 21 20 21 19 21 21 19 19 20 19 19 19 20 20 19 21 21 22 19 19 21 19 18 21 19 18 22 21 24 20 24 17 D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDVGH GLFKDVHGDGHV E 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVQRDJUX SDGDVGHORVPLVPRVGDWRV F 3UHSDUDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHGLFKRV GDWRV G 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVDFXPX ODGDVGHORVPLVPRVGDWRV H 3UHSDUDXQDRMLYDGHGLFKRVGDWRV 2.39 [EX02-039]/DVWDUMHWDVGHODURQGDGHDSHUWXUDGHOWRU QHR GH OD 3*$GHPXMHUHV HQ/RFXVW+LOO&RXQWU\&OXE VH SXEOLFDURQGHODPDQHUDVLJXLHQWH 69 73 72 74 77 80 75 74 72 83 68 73 75 78 76 74 73 68 71 72 75 79 74 75 74 74 68 79 75 76 75 77 74 74 75 75 72 73 73 72 72 71 71 70 82 77 76 73 72 72 72 75 75 74 74 74 76 76 74 73 74 73 72 72 74 71 72 73 72 72 74 74 67 69 71 70 72 74 76 75 75 74 73 74 74 78 77 81 73 73 74 68 71 74 78 70 68 71 72 72 75 74 76 77 74 74 73 73 70 68 69 71 77 78 68 72 73 78 77 79 79 77 75 75 74 73 73 72 71 68 70 71 78 78 76 74 75 72 72 72 75 74 76 77 78 78 D )RUPDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDVGH GLFKDVWDUMHWDV E 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHODVWDUMHWDVGHJROIGHODSULPHUD URQGD8VDODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVGHOLQFLVRD 2.40$GLYLQDUdndeFDHUiXQUD\RHVXQDWDUHDFDVLLPSRVL EOH6LQHPEDUJRcundoRFXUULUiVHKDYXHOWRPiVSUHGHFLEOH FRQEDVHHQLQYHVWLJDFLyQ3DUDXQDSHTXHxDiUHDGH&RORUD GR VH UHFROHFWDURQGDWRV\ ORV UHVXOWDGRV VHPXHVWUDQ HQ HO VLJXLHQWHKLVWRJUDPD &RQEDVHHQHOKLVWRJUDPD D 3DUDFXiOYDULDEOHVHUHFROHFWDURQGDWRV" E 4XpUHSUHVHQWDFDGDEDUUDLQWHUYDOR" F 4XpFRQFOXVLyQSXHGHVH[WUDHUDFHUFDGHFXiQGRFDHUi XQUD\RHQHVWDSHTXHxDiUHDGH&RORUDGR" G &XiOHVFDUDFWHUtVWLFDVGHODJUiFDDSR\DQODFRQFOXVLyQ" 2.41 [EX02-041] 8QD HQFXHVWD D DGPLQLVWUDGRUHV GH FHQWURVYDFDFLRQDOHVDFHUFDGHVXVVDODULRVDQXDOHVUHVXOWyHQ ODVLJXLHQWHGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV Salario anual (miles de dlares) 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 Nm. de administradores 12 37 26 19 6 D (OYDORUGHGDWRVSHUWHQHFHDFXiOFODVH" E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGH F ([SOLFDFXiOHVHODQFKRGHFODVHSURSRUFLRQDVXYDORU \GHVFULEHWUHVIRUPDVHQTXHVHSXHGHGHWHUPLQDU G 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVGHORVVDODULRVDQXD OHVSDUDORVDGPLQLVWUDGRUHVGHFHQWURVYDFDFLRQDOHV(WL TXHWDORVOtPLWHVGHFODVH &RQVHUYDHVWDVVROXFLRQHVSDUDXVDUODVHQHOHMHUFLFLRGH ODS 2.42 Ejercicio Applet Skill- builder'HPXHVWUD HO SURFH GLPLHQWR GH WUDQVIRUPDU XQ GLDJUDPDGH WDOOR\KRMDV HQ XQ KLVWRJUDPD (VFULEH ODV KRMDV SDUD HO Q~PHUR GH KLVWRULHWDV HQ HO GLDJUDPD GH WDOOR \KRMDV+D]FOLFHQ2.SDUDYHUHOKLVWRJUDPDFRUUHVSRQGLHQ WH&RPHQWDDFHUFDGHODVVLPLOLWXGHV\ODVGLIHUHQFLDV 2.43 [EX02-043] HVWXGLDQWHV DSOLFDURQ SDUD HO H[DPHQ .6:GHDSWLWXGHQFLHQFLDVGHODFRPSXWDFLyQ$SDUWLUGHVXV FDOLFDFLRQHVVHREWXYRODVLJXLHQWHGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV Califi cacin examen KSW 0-4 4-8 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 Frecuencia 4 8 8 20 6 3 1 D &XiOHVVRQORVOtPLWHVGHFODVHSDUDODFODVHFRQODIUH FXHQFLDPiVDOWD" E 3URSRUFLRQDWRGRVORVSXQWRVPHGLRVGHFODVHDVRFLDGRV FRQHVWDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV F &XiOHVHODQFKRGHFODVH" FRQWLQ~DHQODSiJLQD DasRayos Hora del da Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas 20 15 10 5 0 6 pm 3 am 9 6 3 12 www.fullengineeringbook.net 60 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable G 3URSRUFLRQDODVIUHFXHQFLDVUHODWLYDVSDUDODVFODVHV H 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHODVFDOL- FDFLRQHVGHH[DPHQ 2.44 [EX02-044]'XUDQWHHOVHPHVWUHSULPDYHUD HVWXGLDQWHVDSOLFDURQXQH[DPHQGHHVWDGtVWLFDGHXQLQVWUXFWRU SDUWLFXODU(QODVLJXLHQWHWDEODVHSURSRUFLRQDQODVFDOLFDFLR- QHVUHVXOWDQWHV Calificaciones examen Nmero 50 - 60 13 60 - 70 44 70 - 80 74 80 - 90 59 90 - 100 9 100 - 110 1 Total 200 D &XiOHVHODQFKRGHFODVH" E 'LEXMD\HWLTXHWDFRPSOHWDPHQWHXQKLVWRJUDPDGHIUH- FXHQFLDVGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQGHHVWDGtVWLFD F 'LEXMD\HWLTXHWDFRPSOHWDPHQWHXQKLVWRJUDPDGHIUH- FXHQFLDVUHODWLYDVGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQGH HVWDGtVWLFD G ([DPLQDFXLGDGRVDPHQWHORVGRVKLVWRJUDPDVGHORVLQFL- VRVE\F\H[SOLFDSRUTXpXQRGHHOORVSXHGHVHUPiV~WLO SDUDXQHVWXGLDQWH\SDUDHOLQVWUXFWRU PTI Usa los comandos de computadora o calculadora de las pginas 52-54 para construir un histograma de una distribu- cin de frecuencias. 2.45 [EX02-045](QXQDFDOOHGHODFLXGDGXQGLVSRVLWLYRGH UDGDUPLGLyODVYHORFLGDGHVGHDXWRPyYLOHV 27 23 22 38 43 24 35 26 28 18 20 25 23 22 52 31 30 41 45 29 27 43 29 28 27 25 29 28 24 37 28 29 18 26 33 25 27 25 34 32 36 22 32 33 21 23 24 18 48 23 16 38 26 21 23 D &ODVLFDGLFKRVGDWRVHQXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV DJUXSDGDVXVDQGRORVOtPLWHVGHFODVH E (QFXHQWUDHODQFKRGHFODVH F 3DUDODFODVHHQFXHQWUDHOSXQWRPHGLRGHODFODVH HOOtPLWHGHFODVHLQIHULRU\HOOtPLWHGHFODVHVXSHULRU G &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVGHGLFKRVGDWRV PTI Usa los comandos de computadora o calculadora de las pginas 52-54 para construir un histograma para un conjunto de datos dado. 2.46 [EX02-046]/DSUXHEDGHKHPRJORELQD$FXQDSUXHED GHVDQJUHTXHVHSUDFWLFDHQSDFLHQWHVGLDEpWLFRVGXUDQWHVXV FKHTXHRVSHULyGLFRVLQGLFDHOQLYHOGHFRQWUROGHOD]~FDUHQ ODVDQJUHGXUDQWHORV~OWLPRVRPHVHV3DUDGLIHUHQWHV SDFLHQWHVGLDEpWLFRVHQXQDFOtQLFDXQLYHUVLWDULDVHREWXYLHURQ ORVVLJXLHQWHVYDORUHVGHGDWRV 6.5 5.0 5.6 7.6 4.8 8.0 7.5 7.9 8.0 9.2 6.4 6.0 5.6 6.0 5.7 9.2 8.1 8.0 6.5 6.6 5.0 8.0 6.5 6.1 6.4 6.6 7.2 5.9 4.0 5.7 7.9 6.0 5.6 6.0 6.2 7.7 6.7 7.7 8.2 9.0 D &ODVLFDHVWRVYDORUHV$FHQXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQ- FLDVDJUXSDGDVFRQODVFODVHVHWFpWHUD E &XiOHVVRQORVSXQWRVPHGLRVGHFODVHSDUDGLFKDVFODVHV" F &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVGHGLFKRVGDWRV 2.47 [EX02-047] $WRGRVORVHVWXGLDQWHVGHOWHUFHUJUDGRHQ5RWK (OHPHQWDU\6FKRROVHOHVDSOLFyXQDSUXHEDGHIXHU]DHQDFRQGL- FLRQDPLHQWRItVLFR/RVVLJXLHQWHVVRQORVGDWRVUHVXOWDQWHV 12 22 6 9 2 9 5 9 3 5 16 1 22 18 6 12 21 23 9 10 24 21 17 11 18 19 17 5 14 16 19 19 18 3 4 21 16 20 15 14 17 4 5 22 12 15 18 20 8 10 13 20 6 9 2 17 15 9 4 15 14 19 3 24 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHSXQWRV E 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQ ODVFODVHVHWFGLEXMDXQKLVWRJUDPDGHODGLVWUL- EXFLyQ&RQVHUYDODVROXFLyQ\~VDODSDUDUHVSRQGHUHO HMHUFLFLRS F 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQODV FODVHVHWFGLEXMDXQKLVWRJUDPDGHODGLVWUL- EXFLyQ G 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQORV OtPLWHVGHFODVHHWFGLEXMDXQKLVWR- JUDPDGHODGLVWULEXFLyQ H 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQODV FODVHVGHWXHOHFFLyQ\GLEXMDXQKLVWRJUDPDGHODGLVWUL- EXFLyQ I 'HVFULEHODIRUPDGHORVKLVWRJUDPDVTXHHQFRQWUDVWHHQ ORVLQFLVRVEHSRUVHSDUDGR5HODFLRQDODGLVWULEXFLyQTXH YHVHQHOKLVWRJUDPDFRQODGLVWULEXFLyQTXHREVHUYDVWHHQ HOGLDJUDPDGHSXQWRV J 'LVFXWHFyPRHOQ~PHURGHFODVHVXVDGR\ODHOHFFLyQGH ORVOtPLWHVGHFODVHDIHFWDQODDSDULHQFLDGHOKLVWRJUDPD UHVXOWDQWH 2.48 [EX02-048] /DVSHUVRQDV VHKDQPDUDYLOODGRGXUDQWH DxRVSRU ODVFRQWLQXDVHUXSFLRQHVGHOJpLVHU9LHMR)LHOHQ HO3DUTXH1DFLRQDO<HOORZVWRQH$FRQWLQXDFLyQVHFLWDQORV WLHPSRVGHGXUDFLyQHQPLQXWRVSDUDXQDPXHVWUDGHHUXS- FLRQHVGHO9LHMR)LHO 4.00 3.75 2.25 1.67 4.25 3.92 4.53 1.85 4.63 2.00 1.80 4.00 4.33 3.77 3.67 3.68 1.88 1.97 4.00 4.50 4.43 3.87 3.43 4.13 4.13 2.33 4.08 4.35 2.03 4.57 4.62 4.25 1.82 4.65 4.50 4.10 4.28 4.25 1.68 3.43 4.63 2.50 4.58 4.00 4.60 4.05 4.70 3.20 4.60 4.73 Fuente: http://www.stat.sc.edu/ www.fullengineeringbook.net 61 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVTXHPXHVWUHORVGDWRVGH GXUDFLyQGHODHUXSFLyQ E 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHORVGDWRVGHGXUDFLyQGHODHUXS FLyQFRQORVOtPLWHVGHFODVH F 'LEXMDRWURKLVWRJUDPDGHORVGDWRVFRQGLIHUHQWHVOtPLWHV \DQFKRVGHFODVH G 5HSLWHHOLQFLVRF H 5HSLWHORVLQFLVRVD\EFRQHOFRQMXQWRPiVJUDQGHGH HUXSFLRQHVGLVSRQLEOHVHQ[EX02-048] I &XiOJUiFDHQWXRSLQLyQWLHQHPHMRUGHVHPSHxRSDUD PRVWUDUODGLVWULEXFLyQ"3RUTXp" J (VFULEHXQEUHYHSiUUDIRTXHGHVFULEDODGLVWULEXFLyQ 2.49 [EX02-049]/DRFLQDGH&DUEyQ1XFOHDU(OpFWULFD\ &RPEXVWLEOHV$OWHUQDWLYRVUHSRUWyORVVLJXLHQWHVGDWRVFRPR ORV FRVWRV HQ FHQWDYRV GHO LQJUHVRSURPHGLRSRU NLORZDWW KRUDSRUVHFWRUHVHQ$UNDQVDV 6.61 7.61 6.99 7.48 5.10 7.56 6.65 5.93 7.92 5.52 7.47 6.79 8.27 7.50 7.44 6.36 5.20 5.48 7.69 8.74 5.75 6.94 7.70 6.67 4.59 5.96 7.26 5.38 8.88 7.49 6.89 7.25 6.89 6.41 5.86 8.04 D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVSDUD HOLQJUHVRSURPHGLRSRUNLORZDWWKRUDFRQORVOtPLWHVGH FODVH E (QFXHQWUDHODQFKRGHFODVH F 0HQFLRQDORVSXQWRVPHGLRVGHFODVH G &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHGL FKRVGDWRV 2.50 [EX02-050] 'HVGHKDFHPXFKRVHKDFRQVLGHUDGRTXH ODHGXFDFLyQHVHOEROHWRSDUDODPRYLOLGDGDVFHQGHQWHHQ(V WDGRV8QLGRV(QODHUDGHODLQIRUPDFLyQDFWXDOXQDHGXFD FLyQXQLYHUVLWDULDVHKDFRQYHUWLGRHQHOPtQLPRQLYHOGHORJUR HGXFDWLYR QHFHVDULR SDUD HQWUDU HQ XQPHUFDGR ODERUDO FDGD YH]PiVFRPSHWLWLYRFRQVDODULRVPiVTXHGHVXEVLVWHQFLD8Q UHSRUWHEDVDGRHQLQIRUPDFLyQGHOD$PHULFDQ)DFW)LQGHU\OD $PHULFDQ&RPPXQLW\6XUYH\GHSURGXMRORVVLJXLHQWHV SRUFHQWDMHVGHSREODFLyQTXHKDORJUDGRXQJUDGRGHEDFKLOOH UDWRRVXSHULRUSRUHVWDGR 21.4 26.0 25.3 19.3 29.5 ... ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVSDUDHO SRUFHQWDMHGHSREODFLyQSRUHVWDGRTXHORJUyXQJUDGRGH EDFKLOOHUDWRRVXSHULRUFRQSXQWRVPHGLRVGHFODVH E 0HQFLRQDORVOtPLWHVGHFODVH F &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHGL FKRVGDWRV 2.51 3XHGHV SHQVDU HQ YDULDEOHV FX\D GLVWULEXFLyQ SXHGD SURGXFLUODVVLJXLHQWHVIRUPDVGLIHUHQWHV"&RQVXOWDODJXUD GHODSiJLQDVLHVQHFHVDULR D 8QDIRUPDVLPpWULFDRQRUPDO E 8QDIRUPDXQLIRUPH F 8QDIRUPDVHVJDGDDODGHUHFKD G 8QDIRUPDVHVJDGDDODL]TXLHUGD H 8QDIRUPDELPRGDO 2.52 Ejercicio Applet Skillbuilder'HPXHVWUDHOHIHFWRTXH WLHQHVREUHODIRUPDGHXQKLVWRJUDPDHOQ~PHURGHFODVHVR FDMDV D 4XpIRUPDGHGLVWUL EXFLyQVHREWLHQHDO XVDUXQDFODVHRFDMD" E 4XpIRUPDGHGLV WULEXFLyQVHREWLHQH DOXVDUGRVFODVHVR FDMDV" F 4XpIRUPDGHGLVWULEXFLyQVHREWLHQHDOXVDURFDMDV" 2.53 [EX02-041] 8QD HQFXHVWD GH DGPLQLVWUDGRUHV GH FHQWURVYDFDFLRQDOHVDFHUFDGHVXVVDODULRVDQXDOHVUHVXOWyHQ ODVLJXLHQWHGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV Salario anual (miles de dlares) 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 Nm. de administradores 12 37 26 19 6 D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDFXPXODGDVSDUD ORVVDODULRVDQXDOHV E 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVDFXPX ODGDVSDUDORVVDODULRVDQXDOHV F &RQVWUX\HXQDRMLYDSDUDODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLD UHODWLYDDFXPXODGDTXHHQFRQWUDVWHDQWHULRUPHQWH G 4XpYDORUDFRWDODIUHFXHQFLDUHODWLYDDFXPXODGDGH" H (VWiQSRUDEDMRGHORVVDODULRVDQXDOHVGHTXpYD ORU"([SOLFDODUHODFLyQHQWUHORVLQFLVRVG\H 2.54 [EX02-034]D3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV UHODWLYDVDFXPXODGDVSDUDODYDULDEOHFDOLFDFLyQ$3HQHO HMHUFLFLR E &RQVWUX\HXQDRMLYDGHODGLVWULEXFLyQ F &RQODRMLYDHQFXHQWUDODIUHFXHQFLDUHODWLYDDFXPXODGD SDUDODFDOLFDFLyQGH'HVFULEHVXVLJQLFDGR G &RQODUHVSXHVWDDOLQFLVRFDSUR[LPDGDPHQWHTXpSRU FHQWDMHGHODVFDOLFDFLRQHV$3UHFLELUiFUpGLWRXQLYHU VLWDULRVLVHUHTXLHUHXQDFDOLFDFLyQGHDOPHQRVSDUD WUDQVIHULELOLGDGXQLYHUVLWDULD"'HVFULEHODUHODFLyQHQWUH ODVUHVSXHVWDVF\G H &RPSDUDWXUHVSXHVWDFRQODUHVSXHVWDTXHHQFRQWUDVWHHQ G Frecuencia Peso Seccin 2.2 Distribuciones de frecuencia e histogramas www.fullengineeringbook.net 62 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.55 [EX02-043] D3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGH IUHFXHQFLDV UHODWLYDV DFXPXODGDV SDUD OD YDULDEOHFDOLFDFLyQ H[DPHQ .6:GHOHMHUFLFLR E &RQVWUX\HXQDRMLYDGHODGLVWULEXFLyQ F &RQODRMLYDDSUR[LPDGDPHQWHTXpSRUFHQWDMHGHORV HVWXGLDQWHVREWXYRQRPiVGHHQHOH[DPHQ.6:GH DSWLWXGSDUDFLHQFLDVGHODFRPSXWDFLyQ" 2.56 [EX02-056] /RV HVWXGLDQWHV XQLYHUVLWDULRV TXH XVDQ SUpVWDPRVSDUDSDJDUODXQLYHUVLGDGSURPHGLDQGyODUHV HQGHXGD/DGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHVXGHXGD PHQVXDOGHVSXpVGHJUDGXDUVHHV 300 Deuda Menos o mensual, $ que 100 100-149 150-199 200-249 250-299 ms Porcentaje 0.17 0.17 0.17 0.19 0.10 0.20 D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVDFXPX- ODGDVSDUDODGHXGDPHQVXDO E &RQVWUX\HXQDRMLYDSDUDODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV UHODWLYDVDFXPXODGDVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD F &RQEDVHHQODRMLYDGHODVGHXGDVPHQVXDOHVGHV- SXpVGHODJUDGXDFLyQHVWiQSRUDEDMRGHTXpFDQWLGDG DSUR[LPDGD" 2.57 [EX02-057] /RV DGXOWRV HVWDGRXQLGHQVHV SDVDQ JUDQ SDUWHGHORVGtDVGHODVHPDQDHQHO WUDEDMR/RVWLHPSRVGH WUDVODGRSXHGHQFRQWULEXLUSDUDXQGtDDGLFLRQDOPHQWH ODUJR (O WDPDxR\XELFDFLyQGHODFLXGDG MXQWRFRQHOPpWRGRGH WUDQVSRUWHSXHGHQKDFHUXQDGLIHUHQFLDHQXQWLHPSRGHWUDV- ODGR /D$PHULFDQ&RPPXQLW\ 6XUYH\ GH UHSRUWy ORV VLJXLHQWHVWLHPSRVGHWUDVODGRSURPHGLRSDUDFDGDHVWDGR 31.5 31.1 30.1 29.8 28.2 ... ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com D 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVGHORV GDWRVGHWLHPSRGHWUDVODGRSURPHGLRFRQORVSXQWRVPH- GLRVGHFODVH E 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDV DJUXSDGDVGHGLFKRVGDWRV F 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHGLFKRV GDWRV G 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDV DFXPXODGDVGHORVPLVPRVGDWRV H 'LEXMDXQDRMLYDGHGLFKRVGDWRV I &RQODRMLYDHQFXHQWUDHOYDORUTXHVXSHUDGHORV GDWRV'HVFULEHODUHODFLyQHQWUHODUHVSXHVWD ORVGDWRV\ODLGHDGHODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV UHODWLYDVDFXPXODGDV 2.58/RVQLYHOHVGHYDULRVFRPSXHVWRVUHVXOWDURQHQODVJUi- FDVGHGLVWULEXFLyQTXHVHSUHVHQWDQDFRQWLQXDFLyQ7RGDV SDUHFHQ VHU EDVWDQWH VLPpWULFDV HQ WRUQR D VXV FHQWURV SHUR GLHUHQHQVXVGLVSHUVLRQHV D 3DUDFXiOKLVWRJUDPD$%&R'DQWLFLSDUtDVTXHOD PHGLGDQXPpULFDGHGLVSHUVLyQVHUtDPD\RU"0HQRU" E &XiOHVGRVGHORVFXDWURKLVWRJUDPDVDQWLFLSDUtDVTXH WLHQHQDSUR[LPDGDPHQWHODPLVPDGLIHUHQFLDHQWUHVXV YDORUHVPiVSHTXHxR\VXVYDORUHVPiVJUDQGHV" Fuente: USA Today Snapshot, 23 de diciembre de 2004 Fuente: Census Bureau; 2007 American Community Survey Histogramas para el ejercicio 2.58 Histograma A Histograma C Histograma B Histograma D FrecuenciaFrecuenciaFrecuenciaFrecuencia6 5 4 3 2 1 0 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 6 5 4 3 2 1 0 2 4 6 8 10 9 5 6 7 8 4 3 2 1 0 2 4 6 8 10 www.fullengineeringbook.net 63 /DV medidas de tendencia central VRQYDORUHVQXPpULFRVTXHXELFDQHQFLHUWRVHQWLGRHO FHQWURGHXQFRQMXQWRGHGDWRV&RQIUHFXHQFLDHOWpUPLQRpromedio se asocia con todas ODVPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDO Media (media aritmtica) Promedio con el que probablemente ya ests ms fa- miliarizado. La media muestral se representa con x (lase "x barra" o "media muestral"). La media se encuentra al sumar todos los valores de la variable x (esta suma de los valores x se simboliza x) y dividir la suma entre el nmero de dichos valores, n (el "tamao muestral"). Esto se expresa en forma de frmula como Media muestral: x barra = suma de todas las x nmero de x x = x n Nota:&RQVXOWDHOManual de soluciones del estudianteSDUDLQIRUPDFLyQDFHUFDGHODQR tacin QRWDFLyQVXPDWRULD 8QDUHSUHVHQWDFLyQItVLFDGHODPHGLDSXHGHFRQVWUXLUVHDOSHQVDUHQXQDOtQHDQXPp ULFDHTXLOLEUDGDHQXQIXOFUR(QHOQ~PHURFRUUHVSRQGLHQWHDFDGDYDORUGHGDWRVHQOD PXHVWUDGHOHMHPSORVHFRORFDXQSHVRVREUHODOtQHDQXPpULFD(QODJXUDKD\ XQSHVRVREUH\\GRVSHVRVVREUHHOSXHVHQODPXHVWUDKD\GRV/DPHGLDHVHO YDORUTXHHTXLOLEUDORVSHVRVVREUHODUHFWDQXPpULFDHQHVWHFDVR FIGURA 2.15 Representacin fsica de la media 7XWRULDODQLPDGRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP 2.3 Medidas de tendencia central E J E M P L O 2 . 8 PTI La media poblacio- nal, (letra minscula mu del alfabeto grie- go), es la media de todos los valores x para toda la poblacin. PTI La media es el pun- to medio por peso. CMO ENCONTRAR LA MEDIA Un conjunto de datos consiste en los cinco valores 6, 3, 8, 6 y 4. Encuentra la media. Solucin Con la frmula (2.1), se encuentra x = x = 6 3 8 6 4 = 27 = 5.4 n 5 5 Por tanto, la media de esta muestra es 5.4. x = 5.4 (el centro de gravedad o punto de equilibrio) Seccin 2.3 Medidas de tendencia central (2.1) www.fullengineeringbook.net 64 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Mediana Valor de los datos que ocupan la posicin media cuando los datos se clasifi can en orden de acuerdo con su tamao. La mediana muestral se representa x (lase "x tilde" o "mediana muestral"). Procedimiento para encontrar la mediana Paso 1:&ODVLFDORVGDWRV Paso 2: Determina la profundidad de la mediana./DprofundidadRSRVLFLyQ Q~ PHURGHSRVLFLRQHVGHVGHFXDOTXLHUH[WUHPRGHODPHGLDQDVHGHWHUPLQDFRQOD IyUPXOD SURIXQGLGDGGHPHGLDQD SURIXQGLGDGGHODPHGLDQD = tamao muestral (2.2) /DSURIXQGLGDGRSRVLFLyQGHODPHGLDQDVHHQFXHQWUDDOVXPDUORVQ~PHURVGH SRVLFLyQGHORVGDWRVPiVSHTXHxRV\ORVGDWRVPiVJUDQGHVn\GLYLGLUOD VXPDSRUnHVHOQ~PHURGHSLH]DVGHGDWRV Paso 3: Determina el valor de la mediana.&XHQWDORVGDWRVFODVLFDGRVXELFDORVGD tos en la dxpVLPDSRVLFLyQ/DPHGLDQDVHUiODPLVPDVLQLPSRUWDUGHVGHFXiO H[WUHPRGHORVGDWRVFODVLFDGRVDOWRREDMRFRQWDVWH'HKHFKRFRQWDUGHVGH DPERVH[WUHPRVVHUYLUiFRPRXQDH[FHOHQWHFRPSUREDFLyQ /RV VLJXLHQWHV GRV HMHPSORV GHPXHVWUDQ HVWH SURFHGLPLHQWR FRQIRUPH VH DSOLFDQ D FRQMXQWRVWDQWRFRQQ~PHURLPSDUGHGDWRVFRPRFRQQ~PHURSDUGHGDWRV SABAS QUE...? Las aportaciones de sir Francis Galton a la estadstica son casi in- contables. En 1875, experiment con semi- llas de guisantes; con 100 semillas de cada uno de siete diferentes dimetros construy un esquema de dos entra- das que relacionaba las semillas con las semillas en la descendencia. Observ que el dime- tro mediano de la des- cendencia de la mayor era menor que el de sus padres, mientras que el dimetro mediano de la descendencia del me- nor era mayor que el de sus padres. Denomin regresin a la media a este fenmeno de resul- tados que caan hacia el centro de una distribu- cin estadstica. dx n TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Calc > Column Statics Selecciona: Mean Escribe: Input variable: C1 > OK Escribe los datos en la columna A y activa una celda para la respuesta; despus contina con: Elige: Insert Function, fx > Statistical > AVERAGE > OK Escribe: Number 1: (A2:A6 o selecciona las celdas) > OK [Comienza en A1 si no usaste fila de encabezado (ttulo de columna)] I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : M E D I A Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > LIST > Math > 3:mean( Escribe: L1 www.fullengineeringbook.net 65 E J E M P L O 2 . 9 2EVHUYDTXH ODPHGLDQDHQHVHQFLD VHSDUDHOFRQMXQWRGHGDWRVFODVLFDGRVHQGRV VXEFRQMXQWRVGHLJXDOWDPDxRYpDVHODJXUD &RPRHQHOHMHPSORFXDQGRnHVLPSDUODSURIXQGLGDGGHODPHGLDQDdxVLHP- SUH VHUiXQHQWHUR6LQ HPEDUJR FXDQGRn HVSDU ODSURIXQGLGDGGH ODPHGLDQDdx VLHPSUHVHUiXQPHGLRQ~PHURFRPRVHPXHVWUDHQHOHMHPSOR Solucin Paso 1 Los datos, clasificados en orden de tamao, son 3, 3, 5, 6 y 8. Paso 2 Profundidad de la mediana: d(x) = = = 3 (la "3a" posicin). Paso 3 La mediana es el tercer nmero desde cualquier extremo en los datos clasificados o x = 5. 7XWRULDOHVDQLPDGRVGLVSRQLEOHVLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP E J E M P L O 2 . 1 0 MEDIANA PARA n PAR Encuentra la mediana de la muestra 9, 6, 7, 9, 10, 8. Solucin Paso 1 Los datos, clasificados en orden de tamao, son 6, 7, 8, 9, 9 y 10. Paso 2 Profundidad de la mediana: d(x) = = = 3.5 (la "3.5-sima" posicin). Paso 3 La mediana est a medio camino entre el tercero y el cuarto valores de datos. Para encontrar el nmero a la mitad entre cualesquiera dos valores, suma los dos valores y divide la suma entre 2. En este caso, suma el tercer valor (8) y el cuarto valor (9) y despus divide la suma (17) entre 2. La mediana es x = = 8.5 un nmero a la mitad entre "el medio" de dos nmeros (vase la figura 2.17). Observa que la mediana nuevamente separa el conjunto de datos clasificados en dos subconjuntos de igual tamao. MEDIANA PARA n IMPAR Encuentra la mediana para el conjunto de datos {6, 3, 8, 5, 3}. PTI El valor de d(x) es la profundidad de la mediana, NO el valor de la mediana, x. FIGURA 2.16 Mediana de {3, 3, 5, 6, 8} (el valor medio; 2 valores de datos son ms pequeos, 2 son ms grandes) PTI La mediana es el punto medio por conteo. n 1 2 5 1 2 n 1 2 6 1 2 8 9 2 Seccin 2.3 Medidas de tendencia central 3 3 6 x = 5 8 5 www.fullengineeringbook.net 66 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Moda Es el valor de x que ocurre con ms frecuencia. (QHOFRQMXQWRGHGDWRVGHOHMHPSOR^`ODPRGDHVYpDVHODJXUD (QODPXHVWUDODPRGDHV(QHVWDPXHVWUDVyORHORFXUUHPiVGH XQDYH]HQORVGDWRVGHOHMHPSORVyORHORFXUUHPiVGHXQDYH]6LGRVRPiVYD ORUHVHQXQDPXHVWUDHVWiQHPSDWDGRVHQODIUHFXHQFLDPiVDOWDQ~PHURGHRFXUUHQFLDV VHGLFHTXHno hay moda3RUHMHPSORHQODPXHVWUDHO\HODSDUHFHQ LJXDOQ~PHURGHYHFHV1RKD\XQYDORUTXHDSDUH]FDFRQPiVIUHFXHQFLDSRUWDQWRHVWD PXHVWUDQRWLHQHPRGD Medio rango Nmero exactamente a la mitad entre un dato de valor ms bajo, L y un dato de valor ms alto, H. Se encuentra al promediar los va- lores bajo y alto: medio rango = valor bajo + valor alto 2 medio rango = L + H 2 (2.3) x = 8.5 (valor en el medio; 3 valores de datos son ms pequeos; 3 son ms grandes) Moda = 3 (el valor ms frecuente) Ejemplo 2.10 (continuacin) PTI La mediana poblacional, M (letra mayscula mu del alfabeto griego), es el valor de datos en la posicin de en medio de toda la poblacin clasifi cada. FIGURA 2.17 Mediana de {6, 7, 8, 9, 9, 10} TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Calc > Column Statistics Selecciona: Median Escribe: Input variable: C1 > OK Escribe los datos en la columna A y activa una celda para la respuesta; despus contina con: Elige: Insert Function, fx > Statistical > MEDIAN > OK Escribe: Number 1: (A2:A6 o selecciona celdas) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : M E D I A N A Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > LIST > Math > 4:median( Escribe: L1 FIGURA 2.18 6 7 8 9 10 9 3 3 5 6 8 www.fullengineeringbook.net 67 E J E M P L O A P L I C A D O 2 . 1 1 3DUDHOFRQMXQWRGHGDWRVGHOHMHPSOR^`L \H REVHUYDOD JXUD 3RUWDQWR medio rango = L + H FIGURA 2.19 Medio rango de {3, 3, 5, 6, 8} /DVFXDWURPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDOUHSUHVHQWDQFXDWURPpWRGRVGLIHUHQWHVSDUD GHVFULELUHOPHGLR(VWRVFXDWURYDORUHVSXHGHQVHULJXDOHVSHURPiVSUREDEOHPHQWHVHUiQ GLIHUHQWHV 3DUDORVGDWRVPXHVWUDOHVGHOHMHPSORODPHGLDxHVODPHGLDQDxHV ODPRGDHV\HOPHGLRUDQJRHV(QODJXUDVHPXHVWUDODUHODFLyQHQWUHHOORV\ ORVGDWRV Medio rango = 5.5 (a medio camino entre los extremos) = 3 8 3 5 8 8 9 8.2 8.5 7 6 6 9 10 9 FIGURA 2.20 Medidas de tendencia central para {6, 7, 8, 9, 9, 10} Medio rango Moda Mediana Media "PROMEDIO" SIGNIFICA DIFERENTES COSAS Cuando se trata de conveniencia, pocas cosas pueden acercarse a ese mara- villoso dispositivo matemtico llamado promediar. Con un promedio, puedes tomar un puado de cifras de cualquier tema y calcular una cifra que represen- tar a todo el puado. Pero hay una cosa a recordar. Existen varios tipos de medidas que ordina- riamente se conocen como promedios y cada una ofrece una imagen diferente de las cifras que trata de representar. Considera un ejemplo. La tabla 2.11 muestra los ingresos anuales de 10 familias. Cul sera el ingreso "tpico" de este grupo? Promediar proporcionara la respuesta, as que calcula el ingreso tpico por los tipos de promediar ms simples y ms frecuentemente usados. Seccin 2.3 Medidas de tendencia central www.fullengineeringbook.net 68 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable U La media aritmtica. Esta es la forma de promedio ms comn, que se obtiene al sumar los objetos en el conjunto de datos y despus dividir por el nmero de objetos; para dichos datos, la media aritmtica es $35 400. La media es representativa del conjunto de datos en el sen- tido de que la suma de las cantidades en las que las cifras superiores superan la media es exactamente la misma que la suma de las canti- dades por las que las cifras inferiores caen abajo de la media. Los ingresos superiores superan la media por un total de $25 650. Los ingresos inferiores caen abajo de la media por un total de $25 650. U La mediana. Como lo estudiaste, seis familias ganan menos que la media y cuatro familias ganan ms. Tal vez quieras representar este grupo variado por el ingreso de la familia que est exactamente en medio de todo el grupo. La mediana resulta ser $33 375. U El medio rango. Otro nmero que puede usarse para representar el promedio es el medio rango, que se obtiene al calcular la cifra que yace a la mitad entre los ingresos superior e inferior: $39 750. U La moda. De este modo, tres tipos de promedios y ninguna familia real- mente tiene un ingreso que se relacione con alguna de ellas. Supn que quieres representar el grupo al establecer el ingreso que ocurre con ms frecuencia. A esto se le llama moda. El ingreso modal sera $31 500. Estn disponibles cuatro diferentes promedios, cada uno vlido, correcto e informativo por cuenta propia. Pero cmo difieren! Y diferiran todava ms si slo una familia en el grupo fuese millonaria, o una fuera desempleada! El valor grande de $54 000 (extremadamente diferente de los otros valores) sesga los datos hacia los valores de datos ms grandes. Este sesgo hace que la media y el medio rango se vuelvan mucho ms grandes en valor. As que hay tres lecciones. Primera, cuando veas o escuches un pro- medio, descubre de cul promedio se trata. Entonces sabrs qu tipo de cuadro se te proporciona. Segunda, piensa en las cifras que se promedian, de modo que puedes juzgar si el promedio usado es adecuado. Tercera, no supongas que se pretende una cuantificacin matemtica literal cada vez que alguien dice "promedio". No lo es. Con frecuencia, todas las personas dicen "la persona promedio" sin pensar en implicaciones de media, media- na o moda. Todo lo que pretenden es transmitir la idea de otras personas que en muchas formas son muy parecidas al resto de los dems. TABLA 2.11 Ingresos anuales de 10 familias [TA02-11] $54 000 $39 000 $37 000 $36 750 $35 250 $31 500 $31 500 $31 500 $31 500 $25 500 media aritmtica mediana medio rango moda $35 400 $33 375 $39 750 $31 500 Fuente: Tomado de Kiplinger's Personal Finance, 1980 Kiplinger's Personal Finance. Todos los derechos reservados. Usado con permiso y protegido por las leyes de copyright de Estados Unidos. Est prohibida la impresin, copiado, redistribucin y retransmisin del material sin permiso escrito expreso. www.fullengineeringbook.net 69 $KRUDTXHDSUHQGLVWHFyPRFDOFXODUYDULRVHVWDGtVWLFRVPXHVWUDOHVVHSODQWHD ODVL JXLHQWHSUHJXQWDFyPRH[SUHVDVWXUHVSXHVWDQDO" >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP2.59([SOLFDSRUTXpHVSRVLEOHHQFRQWUDUODPHGLDSDUDORV GDWRVGHXQDYDULDEOHFXDQWLWDWLYDPDVQRSDUDXQDYDULDEOH FXDOLWDWLYD 2.60(OQ~PHURGHKLMRVxTXHSHUWHQHFHQDFDGDXQDGHRFKR IDPLOLDVUHJLVWUDGDVSDUDQDGDUIXH(QFXHQ WUDODPHGLDx 2.61 [EX02-061](OFRVWRGH OOHYDUFRQWLJRD WXPDVFRWDD ERUGRGHXQDYLyQDXVWHURHQ(VWDGRV8QLGRVYDUtDGHDFXHUGR FRQODDHUROtQHD/RVSUHFLRVSDUDGHODVSULQFLSDOHVDHUR OtQHDVHVWDGRXQLGHQVHVHQMXQLRGHIXHURQHQGyODUHV 69 100 100 100 125 150 100 60 100 125 75 100 125 100 (QFXHQWUHHOFRVWRPHGLRSDUDYRODUMXQWRFRQWXPDVFRWD 2.62 Ejercicio Applet Skill- builder 'HPXHVWUD HO HIHF WR GH HTXLOLEULRGH ODPHGLD 6H SURSRUFLRQD XQD JUiFD FRQXQSXQWRGHGDWRVHQ $JUHJDPiVEORTXHVDODSXQ WDU\KDFHUFOLFVREUHODXELFD FLyQGHVHDGDGHODJUiFDKDVWDORJUDUXQDPHGLDGH D &XiQWRVEORTXHVVHUHTXLHUHQSDUDHTXLOLEUDUXQDPHGLD GH" E (QTXpYDORUVHXELFDQGLFKRVEORTXHV" 2.63 /D LQWHUHVWDWDO GH (VWDGRV 8QLGRV FRUUH HQWUH 6W /RXLV02HQ,HQHOH[WUHPRRHVWHKDFLD3RUWVPRXWK 9$ HQ , HQ HO H[WUHPR HVWHPLHQWUDV SDVD D WUDYpV GH VHLVHVWDGRV(OQ~PHURGHPLOODVHQFDGDHVWDGRHV0LVVRXUL PLOODV,OOLQRLVPLOODV,QGLDQDPLOODV.HQWXFN\ PLOODV:HVW9LUJLQLDPLOODV9LUJLQLDPLOODV D (QFXHQWUHHOQ~PHURPHGLRGHPLOODVHQFDGDHVWDGRDOR ODUJRGH, , LQWHUVHFDFRQRWUDVQXHYHDXWRSLVWDV LQWHUHVWDWDOHV DGH PiVGH,H,HQVXVSXQWRVH[WUHPRV E (QFXHQWUDODGLVWDQFLDPHGLDHQWUHLQWHUFDPELRVFRQRWUDV DXWRSLVWDVLQWHUHVWDWDOHVDORODUJRGH, Sugerencia:SRUHMHPSORVLKXELHUDLQWHUFDPELRVSDUDXQ WUDPRGHDXWRSLVWDKDEUtDVyORVHFFLRQHVGHDXWRSLVWDHQWUH GLFKDVLQWHUVHFFLRQHV 2.64 /D LQWHUHVWDWDO LQWHUVHFD FRQ PXFKDV RWUDV DXWR SLVWDVPLHQWUDV FUX]D FXDWUR HVWDGRV HQPHGLR GH (VWDGRV 8QLGRV\FRUUHGHVGHHOH[WUHPRVXUHQ.DQVDV&LW\02D OD,HQHOH[WUHPRQRUWHHQ3HPELQD1'HQODIURQWHUD FDQDGLHQVH Interestatal 29 de EUA Estado Millas Nmero de intersecciones Missouri 123 37 Iowa 161 32 Dakota del Sur 252 44 Dakota del Norte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pVRQ GLIHUHQWHV Sugerencia:SRUHMHPSORVLKXELHUDLQWHUFDPELRVSDUDXQ WUDPRGHDXWRSLVWDVyORKDEUtDVHFFLRQHVGHDXWRSLVWDHQWUH GLFKDVLQWHUVHFFLRQHV 2.65 &XiOHVODSDJDVHPDQDOPHGLDVLHPSOHDGRVJDQDQ SRUVHPDQDJDQDQSRUVHPDQD\JDQD" E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 3 Fuente: http://www.ihoz.com/ Regla de redondeo Cuando se redondea una respuesta, se tiene el acuerdo de conservar en la respuesta un lugar decimal ms del que estaba presente en la informacin original. Para evitar acumulacin de redondeo, redondea slo la respuesta fi nal, no los pasos intermedios. Esto es: evita usar un valor redondeado para realizar clculos posteriores. En los ejemplos previos, los datos estaban compuestos de nmeros enteros; por tanto, aque- llas respuestas que tenan valores decimales deban redondearse a la dcima ms cercana. Consulta el Manual de soluciones del estudiante para instrucciones especfi cas acerca de cmo realizar el redondeo. Fuente: Rand McNally y http://www.ihoz.com/ Seccin 2.3 Medidas de tendencia central Tarjet = 10 Mean = 10.0 Add block Reset www.fullengineeringbook.net 70 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.66(VSRVLEOHTXHRFKRHPSOHDGRVJDQHQHQWUH\ GyODUHVPLHQWUDVTXHXQQRYHQRJDQHGyODUHVSRUVHPD QD\ODPHGLDVHDGyODUHV"9HULFDWXUHVSXHVWD 2.67(QFXHQWUDODDOWXUDPHGLDQDGHXQHTXLSRGHEDORQFHVWR \SXOJDGDV 2.68(QFXHQWUDODWDVDPHGLDQDSDJDGDHQ-LPV%XUJHUVVLORV VDODULRVKRUDULRVGHORVWUDEDMDGRUHVVRQ 2.693DUDORVHVWXGLDQWHVGHVpSWLPRJUDGRFRQWHOpIRQRVFHOX ODUHVODFDQWLGDGGHQ~PHURVSURJUDPDGRVHQVXVWHOpIRQRVVRQ 100 37 12 20 53 10 20 50 35 30 D (QFXHQWUDODFDQWLGDGPHGLDGHQ~PHURVSURJUDPDGRVHQ XQWHOpIRQRFHOXODUGHXQHVWXGLDQWHGHVpSWLPRJUDGR E (QFXHQWUDODFDQWLGDGPHGLDQDGHQ~PHURVSURJUDPDGRV HQXQWHOpIRQRFHOXODUGHXQHVWXGLDQWHGHVpSWLPRJUDGR F ([SOLFDODGLIHUHQFLDHQYDORUHVGHODPHGLD\ODPHGLDQD G 5HPXHYHHOYDORUPiVH[WUHPR\UHVSRQGHQXHYDPHQWH ORVLQFLVRVDDOF H 5HPRYHUHOYDORUH[WUHPRWLHQHPiVHIHFWRVREUHODPH GLDRODPHGLDQD"([SOLFDSRUTXp 2.70 Ejercicio Applet Skill- builder 'HPXHVWUD HO HIHFWR TXH XQYDORU GH GDWRV SXHGH WHQHUVREUHODPHGLD\ODPH GLDQD D 0XHYHHOSXQWRRVFXUR KDFLDODH[WUHPDGHUHFKD 4XpRFXUUHFRQODPHGLD"4XpRFXUUHFRQODPHGLDQD" E 0XHYHHOSXQWRRVFXURKDFLDODH[WUHPDL]TXLHUGD4Xp RFXUUHFRQODPHGLD"4XpRFXUUHFRQODPHGLDQD" F &XiOPHGLGDGHWHQGHQFLDFHQWUDOODPHGLDRODPHGLD QDEULQGDXQPHMRUVHQWLGRGHOFHQWURFXDQGRVHSUHVHQWD XQYDORUHUUiWLFRRYDORUH[WUHPRHQORVGDWRV" 2.71(OQ~PHURGHDXWRPyYLOHVSRUDSDUWDPHQWRSURSLHGDG GHXQDPXHVWUDGHUHVLGHQWHVHQXQJUDQFRPSOHMRHV &XiOHVODPRGD" 2.72 &DGD DxR DOUHGHGRU GH FROHJLRV SDUWLFLSDQ HQ OD &RPSHWHQFLDGH&DQRDGH&RQFUHWRGHOD$PHULFDQ6RFLHW\ RI&LYLO(QJLQHHUV&DGDHTXLSRGHEHGLVHxDUXQDFDQRDDSWD SDUDODQDYHJDFLyQPDULQDDSDUWLUGHFRQFUHWRXQDVXVWDQFLD QRFRQRFLGDSRU VXFDSDFLGDGSDUDRWDU/DVFDQRDVGHEHQ SHVDUHQWUH\OLEUDV&XDQGRVHSHVDURQODVFDQRDVGHO ~OWLPRDxRORVSHVRVYDULDURQGHDOLEUDV D (QFXHQWUDHOUDQJRPHGLR E /DLQIRUPDFLyQGDGDFRQWLHQHYDORUHVGHSHVRH[SOLFD SRUTXpXVDVWHGRVGHHOORVHQHOLQFLVRD\QRXVDVWHORV RWURVGRV 2.73D(QFXHQWUDODPHGLDPHGLDQDPRGD\PHGLRUDQJR SDUDORVGDWRVPXHVWUDOHV E9HULFD\GLVFXWHODUHODFLyQHQWUHODVUHVSXHVWDVHQ HOLQFLVRDFRPRVHPXHVWUDHQODJXUDGHOD SiJLQD 2.74&RQVLGHUDODPXHVWUD(QFXHQWUDORVLJXLHQWH D PHGLD E PHGLDQD F PRGD G UDQJRPHGLR 2.75 &RQVLGHUD ODPXHVWUD(QFXHQWUD OR VL JXLHQWH D PHGLD E PHGLDQD F PRGD G UDQJRPHGLR 2.76$HVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVVHOHFFLRQDGRVDOD]DUVH OHVSLGLyPHQFLRQDUHOQ~PHURGHKRUDVTXHGXUPLy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x x x x x x Peso Media Mediana www.fullengineeringbook.net 71 E (QFXHQWUDODPHGLDGHODVWDVDVGHGHVHPSOHRSDUDORV FLQFRFRQGDGRVGHODFLXGDGGH1XHYD<RUN F ([SOLFDFRQGHWDOOHVSRUTXpODPHGLDGHORVFLQFRFRQGD- GRVQRHVODPLVPDTXHODWDVDSDUDWRGDODFLXGDG G 4XpFRQGLFLRQHVGHEHUtDQH[LVWLUSDUDTXHODPHGLDGH ORVFLQFRFRQGDGRVIXHUDLJXDODOYDORUSDUDWRGDODFLX- GDG" 2.79 [EX02-079] 8Q REMHWLYR FRQVWDQWH HQ OD IDEULFDFLyQ GH OHQWHVGHFRQWDFWRHVPHMRUDUDTXHOODVFDUDFWHUtVWLFDVTXH DIHFWHQHOSRGHUGHORVOHQWHV\ODDJXGH]DYLVXDO8QDGHWD- OHVFDUDFWHUtVWLFDVLQYROXFUDODVKHUUDPLHQWDVGRQGHDQDOGH FXHQWDVVH IDEULFDQ ORV OHQWHV/RV UHVXOWDGRVGH ODVSUXHEDV LQLFLDOHVGHOSURFHVRGHGHVDUUROORVHH[DPLQDURQSDUDODFD- UDFWHUtVWLFD FUXFLDOX /RV GDWRV UHVXOWDQWHV VHPHQFLRQDQ D FRQWLQXDFLyQ 0.026 0.027 0.024 0.023 0.034 0.035 0.035 0.033 0.034 0.033 0.032 0.038 0.041 0.041 0.021 0.022 0.027 0.032 0.023 0.023 0.024 0.017 0.023 0.019 0.027 D 'LEXMDWDQWRXQGLDJUDPDGHSXQWRVFRPRXQKLVWRJUDPD GHORVGDWRVGHODFDUDFWHUtVWLFDFUXFLDOX E (QFXHQWUDODPHGLDSDUDODFDUDFWHUtVWLFDFUXFLDOX F (QFXHQWUDODPHGLDQDSDUDODFDUDFWHUtVWLFDFUXFLDOX G (QFXHQWUDHOUDQJRPHGLRSDUDODFDUDFWHUtVWLFDFUXFLDOX H (QFXHQWUDODPRGDVLH[LVWHSDUDODFDUDFWHUtVWLFDFUX cial X I 4XpFDUDFWHUtVWLFDGHODGLVWULEXFLyQFRPRPXHVWUDQODV JUiFDVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRDSDUHFHLQXVXDO" 'yQGHFDHQODVUHVSXHVWDVTXHHQFRQWUDVWHHQORVLQFLVRV EF\GHQUHODFLyQFRQODGLVWULEXFLyQ"([SOLFD J ,GHQWLFDDOPHQRVXQDFDXVDSRVLEOHSDUDHVWDVLWXDFLyQ DSDUHQWHPHQWHLQXVXDO 2.80%XLFN\-DJXDUHPSDWDURQHQHOSULPHUOXJDUHQHO(VWX- GLRGH&RQDELOLGDG9HKLFXODUGH-'3RZHU $VVR- FLDWHV6HWUDWDGHXQDHQFXHVWDDQXDOGHDXWRPyYLOHVGHWUHV DxRVGHDQWLJHGDGGRQGHORVFRQVXPLGRUHVLQGLFDQWRGRVORV SUREOHPDVTXHWXYLHURQFRQVXVYHKtFXORVPRGHOR 8QDPXHVWUDDOHDWRULDGHORVGDWRVGH-'3RZHUSURGXMHURQ ORVVLJXLHQWHVQ~PHURVGHSUREOHPDV D &DOFXODODPHGLD E &RQEDVHHQODLQIRUPDFLyQSURSRUFLRQDGDH[SOLFDTXpWH GLFHODPHGLD(VWRWLHQHVHQWLGR" F $OOHHUPiVHOHVWXGLRGHVFXEUHVTXHORVGDWRVGHOQ~- PHURGHSUREOHPDVVRQXQWRWDOSDUDDXWRPyYLOHV GHGLFKDPDUFDGHYHKtFXOR'LYLGHHQWUHFDGDXQR GHORVYDORUHVGHGDWRVHQHOLQFLVRD\YXHOYHDFDOFXODU ODPHGLD G ([LVWHXQDIRUPDPiVUiSLGDHQODTXHSXHGDVFDOFXODU ODPHGLDSDUDHOLQFLVRF" H ([SOLFDTXpWHGLFHHVWDQXHYDPHGLD I &XiOPHGLDVHUtDPiV~WLOWDQWRSDUDHOIDEULFDQWHFRPR SDUDHOFRQVXPLGRU"3RUTXp" 2.81 [EX02-081] (OHTXLSRSURIHVLRQDOGH6RFFHU5RFKHVWHU 5DJLQJ5KLQRVHVSHUDXQDEXHQDWHPSRUDGD/DPH]FOD GH H[SHULHQFLD \ MXYHQWXG HQ ORV HQpUJLFRV MXJDGRUHV GHEH FRQVWLWXLU XQ HTXLSR VyOLGR /DV HGDGHV DFWXDOHV GHO HTXLSR VRQ 23 24 25 32 30 20 31 24 30 24 33 36 30 20 25 26 30 31 23 24 D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQ ODVFODVHVHWFpWHUD E 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQTXHVHPXHVWUDHQHOKLVWRJUDPD F &RQEDVHHQHOKLVWRJUDPD\VXIRUPDTXpSUHGHFLUtDV SDUDODPHGLD\ODPHGLDQD"&XiOVHUtDPiVDOWD"3RU TXp" G &DOFXODODPHGLD\ODPHGLDQD&RPSDUDODVUHVSXHVWDVD WXVYDORUHVSUHGLFKRVHQHOLQFLVRF H &XiOPHGLGDGHWHQGHQFLDFHQWUDOSURSRUFLRQDODPHMRU PHGLGDGHOFHQWUR"3RUTXp" 2.82(OSURPHGLRHVXQHVWDGtVWLFRFRP~QPHQWHUHSRUWDGR (VWH~QLFRWUR]RGHLQIRUPDFLyQSXHGHVHUPX\LQIRUPDWLYRR PX\HQJDxRVRGRQGHPHGLD\PHGLDQDVRQORVGRVPiVFR- P~QPHQWHUHSRUWDGRV D /DPHGLDHVXQDPHGLGD~WLOSHURSXHGHVHUHQJDxRVD 'HVFULEHXQDFLUFXQVWDQFLDFXDQGRODPHGLDHVPX\~WLO FRPRHOSURPHGLR\XQDFLUFXQVWDQFLDFXDQGRODPHGLDHV PX\HQJDxRVDFRPRHOSURPHGLR E /DPHGLDQDHVXQDPHGLGD~WLOSHURSXHGHVHUHQJDxRVD 'HVFULEHXQDFLUFXQVWDQFLDFXDQGRODPHGLDQDVHDPX\ ~WLOFRPRHOSURPHGLR\XQDFLUFXQVWDQFLDFXDQGRODPH- GLDVHDPX\HQJDxRVDFRPRHOSURPHGLR 2.83 [EX02-047] $WRGRVORVHVWXGLDQWHVGHWHUFHUJUDGRHQOD (VFXHOD(OHPHQWDO5RWKVHOHVDSOLFyXQH[DPHQGHIRUWDOH]D HQDFRQGLFLRQDPLHQWRItVLFR5HVXOWDURQORVVLJXLHQWHVGDWRV 12 22 6 9 2 9 5 9 3 5 16 1 22 18 6 12 21 23 9 10 24 21 17 11 18 19 17 5 14 16 19 19 18 3 4 21 16 20 15 14 17 4 5 22 12 15 18 20 8 10 13 20 6 9 2 17 15 9 4 15 14 19 3 24 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHSXQWRV E (QFXHQWUDODPRGD FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb (variable no mencionada y datos codificados a peticin de B&L) Fuente: J.D. Power & Assoc. 2009 Vehicle Dependability Study Seccin 2.3 Medidas de tendencia central www.fullengineeringbook.net 72 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable F 3UHSDUDXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVFRQ FODVHVHWF\GLEXMDXQKLVWRJUDPDGHODGLVWULEX- FLyQ G 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQHVSHFtFDPHQWHODGLVWULEXFLyQ HVELPRGDOHQWRUQRDFXiOHVYDORUHV" H &RPSDUDWXVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVD\FFRPHQWDDFHU- FDGHODUHODFLyQHQWUHODPRGD\ORVYDORUHVPRGDOHVHQ GLFKRVGDWRV I /DGLVFUHSDQFLDTXHHQFRQWUDVWHHQODFRPSDUDFLyQGHO LQFLVRHSRGUtDRFXUULUFXDQGRXVDVXQDGLVWULEXFLyQGH IUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDV"([SOLFD J ([SOLFDSRUTXpHQJHQHUDOODPRGDGHXQFRQMXQWRGH GDWRVQRQHFHVDULDPHQWHEULQGDODPLVPDLQIRUPDFLyQTXH ORVYDORUHVPRGDOHV 2.84 [EX02-084]&RQIUHFXHQFLDVHDGYLHUWHDORVFRQVXPLGR- UHVFRQWUDFRPHUGHPDVLDGRDOLPHQWRTXHVHDDOWRHQFDORUtDV JUDVDV\VRGLRSRUQXPHURVDVUD]RQHVGHVDOXG\GHFRQGLFLyQ ItVLFD Nutrition in ActionSXEOLFyXQDOLVWDGHPDUFDVSRSXOD- UHVEDMDVHQJUDVDGHKRWGRJVXVXDOPHQWHHWLTXHWDGDVOLEUHHQ JUDVDVUHGXFLGRHQJUDVDVEDMRHQJUDVDVOLJKWHWF MXQWRFRQVXVFDORUtDVFRQWHQLGRGHJUDVDV\VRGLR7RGDVODV FDQWLGDGHVPHGLGDVVRQSDUDXQKRWGRJ Marca de hot dog Caloras Grasa (g) Sodio (mg) Ball Park Fat Free Beef Franks 50 0 460 Butterball Fat Free Franks 40 0 490 *** Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D (QFXHQWUDODPHGLDPHGLDQDPRGD\UDQJRPHGLRGHO FRQWHQLGRGHFDORUtDVJUDVDV\VRGLRGHWRGDVODVVDOFKL- FKDVPHQFLRQDGDV8VDXQDWDEODSDUDUHVXPLUWXVUHVXO- WDGRV E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHSXQWRVGHOFRQWHQLGRGHJUDVD 8ELFDODPHGLDPHGLDQDPRGD\UDQJRPHGLRHQOD JUiFD F (QHOYHUDQRGHHOJDQDGRUGHOIDPRVRFRQFXUVR 1DWKDQVGHFRPHUKRWGRJVHOFXDWURGHMXOLRFRQVXPLy KRWGRJVHQPLQXWRV6LVHOHVLUYLyHOKRWGRJGHOD PHGLDQDFXiQWDVFDORUtDVJUDPRVGHJUDVD\PLOLJUDPRV GHVRGLRFRQVXPLUtDHQHVDVRODVHQWDGD"6LODUHFRPHQ- GDFLyQGLDULDGHLQJHVWDGHVRGLRHVPJODKDEUi H[FHGLGR"([SOLFD 2.85 [EX02-085] (O Q~PHUR GH FDUUHUDV DQRWDGDV SRU ORV HTXLSRVGHODVJUDQGHVOLJDVHVSUREDEOHTXHHVWpLQXLGRSRU VLHOMXHJRVHUHDOL]DHQFDVDRHQHOFDPSRGHORSRQHQWH&RQ ODLQWHQFLyQGHPHGLUODVGLIHUHQFLDVHQWUHMXJDUHQFDVDRGH YLVLWDVHFDOFXOyHOQ~PHURSURPHGLRGHFDUUHUDVDQRWDGDVSRU MXHJRSRUFDGDHTXLSRGHOD0/%PLHQWUDVMXJDEDHQVXFDVD \PLHQWUDV MXJDEDHQJLUD HQFDPSRVGH ORVRSRQHQWHV/D VLJXLHQWHWDEODUHVXPHORVGDWRV Equipo Carreras prom., casa Carreras prom., visita Angels 4.73 4.72 Astros 4.59 4.26 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D (QFXHQWUDODPHGLDPHGLDQDPi[LPRPtQLPR\UDQJR PHGLRGHODVFDUUHUDVDQRWDGDVSRUORVHTXLSRVPLHQWUDV MXJDURQHQFDVD E (QFXHQWUDODPHGLDPHGLDQDPi[LPRPtQLPR\UDQJR PHGLRGHODVFDUUHUDVDQRWDGDVSRUORVHTXLSRVPLHQWUDV MXJDEDQHQJLUD F &RPSDUDFDGDXQDGHODVPHGLGDVTXHHQFRQWUDVWHHQORV LQFLVRVD\E4XpSXHGHVFRQFOXLU" 2.86 [EX02-086] 7RGR DXPHQWD FDGD DxR" (Q RFDVLRQHV SDUHFHTXHVt/DWDVDGHDXPHQWRSRUFHQWXDODQXDOHQHO FRQVXPRGHFDUEXUDQWHVSRUHVWDGRVGH(8$VHUHSRUWyHQOD +LJKZD\6WDWLVWLFVQRYLHPEUHGH\VHPHQFLRQDHQODWD- EOD2EVHUYDTXHHOFRQVXPRQRDXPHQWDHQWRGRVORVHVWDGRV Cambio porcentual en consumo de carburantes de 2006 a 2007 por estado 2.4 0.4 0.3 6.8 0.5 1.3 0.3 1.5 1.3 2.1 0.7 1.5 4.9 0.4 0.8 0.1 3.3 0.3 10.2 1.6 1.0 3.0 2.7 0.3 2.9 0.9 0.6 3.4 0.5 1.9 2.2 1.3 0.4 1.2 4.3 0.1 4.4 0.3 0.4 0.9 0.1 3.4 1.4 2.6 3.9 1.1 2.1 0.6 0.6 2.1 5.2 D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHYDORUHVQHJDWLYRV\SRVLWLYRV YDORUHVJUDQGHV\SHTXHxRVYDORUHVFHUFDQRVDFHURYD- ORUHVQRFHUFDQRVDFHUR E ([DPLQDORVGDWRVGHODWDEOD4XpGLVWULEXFLyQDQWLFLSDV SDUDHOFDPELRSRUFHQWXDO"&XiOFUHHVVHUiHOFDPELR SRUFHQWXDOPHGLR"-XVWLFDWXVHVWLPDFLRQHVVLQDOJ~Q WUDEDMRGHFiOFXORSUHOLPLQDU F 6LHVSHUDVPX\SRFRRQLQJ~QFDPELRTXpYDORUWHQGUi ODPHGLD"([SOLFD G &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHOSRUFHQWDMHGHFDPELR H &DOFXODHOSRUFHQWDMHPHGLRGHFDPELRVHQHOFRQVXPRGH D I /D)HGHUDO+LJKZD\$GPLQLVWUDWLRQUHSRUWyHODXPHQWR SRUFHQWXDOSDUDWRGR(VWDGRV8QLGRVFRPRGH (OYDORUFDOFXODGRSDUDODPHGLDHQHOLQFLVRHQRHVHO PLVPR([SOLFDFyPRHVSRVLEOHHVWR 2.87 [EX02-087]$ORVHVWXGLDQWHVOHVJXVWDLQYROXFUDUVHHQ ODEDWDOODGHORVVH[RVFXDQGRVHWUDWDGHTXLpQHVPHMRUFRQ- GXFWRU3HURFXiOJpQHURVXSHUDDORWURHQHOFDPLQR"/RV Q~PHURV SXHGHQ VRUSUHQGHUWH $ FRQWLQXDFLyQ VH PHQFLRQD HOQ~PHURGHFRQGXFWRUHVKRPEUHV\PXMHUHVFRQOLFHQFLDHQ FDGDXQRGHORVHVWDGRVVHOHFFLRQDGRVDOD]DU Fuente: Nutrition Action HealthLetter, "On the Links", julio-agosto de 1998 Fuente: MajorLeagueBaseball.com Fuente: U.S. Department of Transportation: Federal Highway Administration www.fullengineeringbook.net 73 Nmero de conductores con licencia por gnero y estado Estado Hombre Mujer KY 1 451 596 1 481 670 DE 304 455 320 017 *** Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D /DVFRQGXFWRUDVVXSHUDQDORVFRQGXFWRUHV"(VWXGLDOD WDEOD\YHVLORVGDWRVSDUHFHQDSR\DUWXVVXSRVLFLRQHV ([SOLFDWXUHVSXHVWDLQLFLDO E 'HQHODYDULDEOHUD]yQ+0FRPRHOQ~PHURGHFRQ- GXFWRUHVKRPEUHVFRQOLFHQFLDGLYLGLGRSRUHOQ~PHURGH FRQGXFWRUHVPXMHUHVFRQOLFHQFLDHQFDGDHVWDGR&DOFXOD ODUD]yQ+0SDUDORVHVWDGRVGHODPXHVWUD F 6LXQYDORUGHODUD]yQ+0HVFHUFDQRDTXpVLJQL- FD"0D\RUTXH"0HQRUTXH"([SOLFD G &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD H 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQTXHVHPXHVWUDHQHOKLVWRJUDPD TXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRG I &DOFXODHOYDORUPHGLRGHODUD]yQ+0 J ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVYDORUHVHQFDGDXQDGHODV FRODVGHOKLVWRJUDPD K 0HQFLRQDGRVHVWDGRVQRHQODWDEODDQWHULRUTXHHVSHUHV HQFRQWUDUFHUFDGHFDGDFRODGHODGLVWULEXFLyQGH+0 ([SOLFDSRUTXpFUHHVTXHGLFKRVHVWDGRVWHQGUiQUD]RQHV DOWDVREDMDV L 5HVSRQGHODVSUHJXQWDVG\IFRQORVYDORUHVGHGDWRV M &RPSDUDORVUHVXOWDGRVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRLFRQ ORVTXHHQFRQWUDVWHHQORVLQFLVRVG\I N &yPRWHIXHFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRK"([SOLFD 2.887~HUHVHOUHVSRQVDEOHGHSODQHDUODVQHFHVLGDGHVGHHV- WDFLRQDPLHQWRSDUDXQQXHYRFRPSOHMRGHDSDUWDPHQWRV\ WHSLGHQEDVDUODVQHFHVLGDGHVHQHOHVWDGtVWLFRQ~PHURSUR- PHGLRGHYHKtFXORVSRUYLYLHQGD D &XiOSURPHGLRPHGLDPHGLDQDPRGDUDQJRPHGLRWH VHUi~WLO"([SOLFD E ([SOLFDSRUTXpQRSXHGHVHUODPHGLDQDODPRGDR HOUDQJRPHGLRSDUDODYDULDEOHQ~PHURGHYHKtFXORV F 6LHOSURSLHWDULRTXLHUHXQHVWDFLRQDPLHQWRTXHDORMDUD GHWRGRVORVLQTXLOLQRVTXHSRVHDQYHKtFXORVFXiQ- WRVHVSDFLRVGHEHVSODQHDU" 2.89(QFXiOHVHVWDGRVORVUHVLGHQWHVSDJDQPiVLPSXHVWRV" (QFXiOSDJDQPHQRV"4XL]iGHSHQGHGH ODYDULDEOHXVDGD SDUDPHGLUODFDQWLGDGGHLPSXHVWRVSDJDGRV(QHO&HQ- WURGH3ROtWLFD)LVFDOUHSRUWyORVVLJXLHQWHVHVWDGtVWLFRVDFHUFD GHOSURPHGLRGHLPSXHVWRVDQXDOHV\SRUFHQWDMHGHLQ- JUHVRSHUVRQDOSDJDGRSRUSHUVRQDSRUHVWDGR Ingresos fiscales 2006 Porcentaje Impuestos de ingreso per cpita Clasificacin personal Clasificacin DISTRITO DE COLUMBIA $7 764 1 14.1 4 ALABAMA $2 782 51 9.6 48 WYOMING $6 116 3 16.6 1 DAKOTA DEL SUR $2 842 48 9.1 51 D &RPSDUD\FRQWUDVWDODVYDULDEOHVLPSXHVWRVSHUFiSLWD \SRUFHQWDMHGHLQJUHVRSHUVRQDO&yPRH[SOLFDVODV GLIHUHQFLDVHQFODVLFDFLyQSDUDHO'LVWULWRGH&ROXPELD\ :\RPLQJ" E &RQEDVHHQHVWDLQIRUPDFLyQ\HOLPSRUWHGHLPSXHVWRV SDJDGRVSRUSHUVRQDPiVDOWR\PiVEDMRSRUHVWDGR FXiOIXHHOSRUFHQWDMHSURPHGLRSDJDGRSRUSHUVRQD" F &RQEDVHHQHVWDLQIRUPDFLyQ\HOSRUFHQWDMHGHLQJUHVR SRUHVWDGRPiVDOWR\PiVEDMRSDJDGRSRUSHUVRQDFXiO IXHHOSRUFHQWDMHSURPHGLRSDJDGRSRUSHUVRQD" G ([SOLFDSRUTXpWXVUHVSXHVWDVHQORVLQFLVRVE\FVyOR VRQHOYDORUSURPHGLRTXHSXHGHVGHWHUPLQDUDSDUWLUGH ODLQIRUPDFLyQGDGD&XiOHVVXQRPEUH" 2.907XSURIHVRU\WXFODVHKLFLHURQXQWUDWRDFHUFDGHOH[D- PHQUHFLpQDSOLFDGR\TXHVHFDOLFDHQODDFWXDOLGDG6LODFOD- VHORJUDXQDFDOLFDFLyQPHGLDGHRPHMRUQRKDEUiWDUHDHO VLJXLHQWHQGHVHPDQD6LODPHGLDGHODFODVHHVRPHQRV HQWRQFHV QR VyOR KDEUi WDUHD FRPR VLHPSUH VLQR TXH WRGRV ORVPLHPEURV GH OD FODVH WHQGUiQ TXH SUHVHQWDUVH HO ViEDGR \KDFHUGRVKRUDVGHOLPSLH]DJHQHUDODOUHGHGRUGHORVSDWLRV GH ODHVFXHODFRPRXQSUR\HFWRGHVHUYLFLRFRPXQLWDULR(Q WXFODVHKD\HVWXGLDQWHV7XSURIHVRUFDOLFyORVSULPHURV H[iPHQHV\VXFDOLFDFLyQPHGLDHV7XH[DPHQHVHO ~QLFRTXHIDOWDSRUFDOLFDU D 4XpFDOLFDFLyQGHEHVREWHQHUSDUDTXHODFODVHJDQHHO WUDWR" E 4XpFDOLFDFLyQGHEHVREWHQHUSDUDTXHODFODVHQRKDJD HOWUDEDMRGHVHUYLFLRFRPXQLWDULR" 2.91$SDUWLUGHORVYDORUHVGHGDWRV\VXPDWUHVYD- ORUHVGHGDWRVDODPXHVWUDGHPRGRTXHODPXHVWUDWHQJDOR VLJXLHQWH-XVWLFDWXUHVSXHVWDHQFDGDFDVR D 0HGLDGH E 0HGLDQDGH F 0RGDGH G 0HGLRUDQJRGH H 0HGLDGH\PHGLDQDGH I 0HGLDGH\PRGDGH FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: Federal Highway Administration, U.S. Dept. of Transportation Fuente: Federation of Tax Administrators (2007) and U.S. Bureau of the Census and Bureau of Economic Analysis. http://taxpolicycenter.org/ Seccin 2.3 Medidas de tendencia central www.fullengineeringbook.net 74 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable $OKDEHUORFDOL]DGRODSDUWHPHGLDFRQODVPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDOODE~VTXHGDGH LQIRUPDFLyQDSDUWLUGHORVFRQMXQWRVGHGDWRVDKRUDVHGLULJHKDFLDODVPHGLGDVGHGLVSHU VLyQ/DVmedidas de dispersin LQFOX\HQrangovarianza\desviacin estndar'LFKRV YDORUHVQXPpULFRVGHVFULEHQ OD FDQWLGDGGHGLVSHUVLyQRYDULDELOLGDGTXH VH HQFXHQWUD HQWUHORVGDWRVORVGDWRVHVWUHFKDPHQWHDJUXSDGRVWLHQHQYDORUHVUHODWLYDPHQWHSHTXHxRV \ORVGDWRVPiVDPSOLDPHQWHGLVSHUVRVWLHQHQYDORUHVPiVJUDQGHV(ODJUXSDPLHQWRPiV FHUFDQDPHQWHSRVLEOHRFXUUHFXDQGRORVGDWRVQRWLHQHQGLVSHUVLyQWRGRVORVGDWRVVRQGHO PLVPRYDORUHQHVWDVLWXDFLyQODPHGLGDGHGLVSHUVLyQVHUiFHUR1RKD\OtPLWHDFHUFDGH FXiQDPSOLDPHQWHGLVSHUVRVSXHGHQHVWDUORVGDWRVSRUWDQWRODVPHGLGDVGHGLVSHUVLyQ SXHGHQVHUPX\JUDQGHV/DPHGLGDGHGLVSHUVLyQPiVVLPSOHHVHOUDQJR Rango Diferencia en valor entre los datos con valor ms alto, H y los datos con valor ms bajo, L: /DPXHVWUDWLHQHXQUDQJRGHHL (OUDQJRGHGLFHTXHHVWRV GDWRVFDHQWRGRVGHQWURGHXQLQWHUYDORGHXQLGDGHVYpDVHODJXUD 2.4 Medidas de dispersin J 0HGLDGH\PHGLRUDQJRGH K 0HGLDGHPHGLDQDGH\PRGDGH 2.92 Ejercicio Applet Skillbuilder 5HODFLRQD PH GLDV FRQ KLVWRJUDPDV FR UUHVSRQGLHQWHV 'HVSXpV GH YDULDV URQGDV GH SUiFWLFD FRQ1HZ 3ORWV QXHYDV JUiFDV H[SOLFD WXPpWRGR GHUHODFLRQDU /DVRWUDVPHGLGDVGHGLVSHUVLyQDHVWXGLDUHQHVWHFDStWXORVRQPHGLGDVGHGLVSHUVLyQ HQWRUQRDODPHGLD3DUDGHVDUUROODUXQDPHGLGDGHGLVSHUVLyQHQWRUQRDODPHGLDSULPHUR UHVSRQGHODSUHJXQWDFXiQOHMRVHVWiFDGDxGHODPHGLD" Desviacin de la media Una desviacin de la media, x x, es la diferencia entre el valor de x y la media, x. &DGDYDORULQGLYLGXDOGHxVHGHVYtDGHODPHGLDSRUXQDFDQWLGDGLJXDODxx(VWD GHVYLDFLyQxxHVFHURFXDQGRxHVLJXDODODPHGLDx/DGHVYLDFLyQxxHVSRVLWLYD FXDQGRxHVPiVJUDQGHTXHx\QHJDWLYDFXDQGRxHVPHQRUTXHx rango = valor alto valor bajo rango = H L (2.4) FIGURA 2.21 Rango de {3, 3, 5, 6, 8} Bajo Alto Respuestas Empez Plot A Plot B Plot C Plot D Xxxxx Xxxxx 3 8 5 3 6 Rango ("distancia") www.fullengineeringbook.net 75 &RQVLGHUDODPXHVWUD&RQODIyUPXODx = HQFXHQWUDVTXHODPHGLD HV&DGDGHVYLDFLyQxxVHHQFXHQWUDHQWRQFHVDOUHVWDUGHFDGDYDORUx Datos x 6 3 8 5 3 Desviacin x x 1 2 3 0 2 3DUDGHVFULELUHOYDORUSURPHGLRGHGLFKDVGHVYLDFLRQHVSXHGHVXVDUODGHVYLDFLyQ PHGLDODVXPDGHODVGHVYLDFLRQHVGLYLGLGDHQWUHn6LQHPEDUJRGDGRTXHODVXPD GHODVGHVYLDFLRQHVxxHVH[DFWDPHQWHFHURODGHVYLDFLyQPHGLDWDPELpQVHUiFHUR 'HKHFKRVLHPSUHVHUiFHURORTXHVLJQLFDTXHQRHVXQHVWDGtVWLFR~WLO&yPR\SRU TXpRFXUUHHVWR" /DVXPDGHODVGHVYLDFLRQHVxxVLHPSUHHVFHURSRUTXHODVGHVYLDFLRQHVGHORV YDORUHVxPHQRUHVTXHODPHGLDTXHVRQQHJDWLYRVFDQFHODQDDTXHOORVYDORUHVxPD\RUHV TXHODPHGLDTXHVRQSRVLWLYRV(VWHHIHFWRQHXWUDOL]DGRUSXHGHUHPRYHUVHVLKDFHVDOJR SDUDYROYHUSRVLWLYDVWRGDVODVGHVYLDFLRQHV3XHGHVORJUDUHVWRDOHOHYDUDOFXDGUDGRFDGD XQDGHODVGHVYLDFLRQHVODVGHVYLDFLRQHVDOFXDGUDGRVLHPSUHVHUiQYDORUHVQRQHJDWLYRV SRVLWLYRVRFHUR/DVGHVYLDFLRQHVDOFXDGUDGRVHXVDQSDUDHQFRQWUDUODYDULDQ]D Varianza muestral La varianza muestral, s2, es la media de las desviaciones al cuadrado, calculada con n 1 como el divisor: varianza muestral: s al cuadrado = suma de (desviaciones al cuadrado) nmero 1 /DYDULDQ]DGHODPXHVWUDVHFDOFXODHQODWDEODFRQODIyUPXOD Notas: /DVXPDGHWRGRVORVYDORUHVxVHXVDSDUDHQFRQWUDUx /DVXPDGHODVGHVYLDFLRQHVxxVLHPSUHHVFHURVLHPSUHTXHVHXVHHOYDORU H[DFWRGHx8VDHVWHKHFKRFRPRFRPSUREDFLyQHQWXVFiOFXORVFRPRVHKL]RHQOD WDEODGHQRWDGRFRQ FIGURA 2.22 Desviaciones de la media /DJXUDPXHVWUDODVFXDWURGHVYLDFLRQHVGLVWLQWDVGHFHURGHVGHODPHGLD donde n es el tamao muestral; esto es: el nmero de datos en la muestra. (2.5) (x x)2 n 1 x n xx n s2 = FN Seccin 2.4 Medidas de dispersin www.fullengineeringbook.net 76 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 6LVHXVDXQYDORUUHGRQGHDGRGHxHQWRQFHVx xQRVLHPSUHVHUiH[DFWDPHQWH FHUR6LQHPEDUJRHVWDUiUD]RQDEOHPHQWHFHUFDQRDFHUR /DVXPDGHODVGHVYLDFLRQHVDOFXDGUDGRVHHQFXHQWUDDOHOHYDUDOFXDGUDGRFDGD GHVYLDFLyQ\GHVSXpVVXPDUORVYDORUHVDOFXDGUDGR 6 3 8 5 3 3DUDGHPRVWUDUJUiFDPHQWHORTXHGLFHQODVYDULDQ]DVGHFRQMXQWRVGHGDWRVFRQVLGH- UDXQVHJXQGRFRQMXQWRGHGDWRV^`1RWDTXHORVYDORUHVGHGDWRVHVWiQPiV GLVSHUVRVTXHORVYDORUHVGHGDWRVHQODWDEOD(QFRQFRUGDQFLDVXYDULDQ]DFDOFXODGD HVPD\RUHQs (QODJXUDVHPXHVWUDXQDLOXVWUDWLYDFRPSDUDFLyQJUiFD ODGRDODGRGHHVWDVGRVPXHVWUDV\VXVYDULDQ]DV Datos tabla 2.12 Segundo conjunto de datos 7XWRULDODQLPDGRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4. Paso 5. Encuentra x Encuentra x Encuentra cada x x Encuentra (x x)2 Encuentra s2 TABLA 2.12 Clculo de varianza con la frmula (2.5) x 25 x n 25 5 18 4 6 5 1 3 5 2 8 5 3 5 5 0 3 5 2 1 2 1 3 2 9 0 2 0 2 2 4 2 2 4 s2 x x x 2 x x x x x x s2 s2 5 4.5 0 18 FIGURA 2.23 Comparacin de datos 3 5 6 8 s2 = 4.5 3 1 3 5 6 10 s2 = 11.5 Desviacin estndar muestral La desviacin estndar de una muestra, s, es la raz cuadrada positiva de la varianza: desviacin estndar muestral: s = raz cuadrada de varianza muestral 3DUDODVPXHVWUDVTXHVHSUHVHQWDQHQODJXUDODVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUVRQ o 2.1\R3.4 (OQXPHUDGRUSDUDODYDULDQ]DPXHVWUDOx xFRQIUHFXHQFLDVHOODPDsuma de cua- drados para x\VHVLPEROL]DPHGLDQWH66x3RUWDQWRODIyUPXODSXHGHH[SUHVDUVH como YDULDQ]DPXHVWUDOs 66x n GRQGH66x /DVIyUPXODVSDUDYDULDQ]DSXHGHQPRGLFDUVHHQRWUDVIRUPDVSDUDIDFLOLWDUVXXVRHQ YDULDVVLWXDFLRQHV3RUHMHPSORVXSyQTXHWLHQHVODPXHVWUD/DYDULDQ]DSDUD HVWDPXHVWUDVHFDOFXODHQODWDEOD (2.6) s = s2 x 2. x n1 (2.27) FN www.fullengineeringbook.net 77 6 3 8 5 3 6 3 8 5 2 62 36 82 64 52 25 22 4 32 9 /DDULWPpWLFDSDUDHVWHHMHPSORVHYROYLyPiVFRPSOLFDGDSRUTXHODPHGLDFRQWLHQHGt- JLWRVGLVWLQWRVGHFHURDODGHUHFKDGHOSXQWRGHFLPDO6LQHPEDUJRODVXPDGHFXDGUDGRV SDUDxHOQXPHUDGRUGHODIyUPXODSXHGHUHVFULELUVHGHPRGRTXHQRVHLQFOX\Dx Suma de cuadrados para x Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4. Paso 5. Encuentra x Encuentra x Encuentra cada x x Encuentra (x x)2 Encuentra s2 Paso 1. Paso 2. Paso 3. Paso 4. Paso 5. Encuentra x Encuentra x2 Encuentra cada SS(x) Encuentra s2 Encuentra s TABLA 2.13 Cmo calcular la varianza con la frmula (2.5) TABLA 2.14 Cmo calcular desviacin estndar con el mtodo de atajo x 24 x 24 x2 138 x n 24 5 22.80 4 6 4.8 1.2 SSx x2 x 2 SSx 138 24 2 SSx 138 115.2 SSx 22.8 3 4.8 1.8 8 4.8 3.2 5 4.8 0.2 2 4.8 2.8 1.22 1.44 3.22 10.24 0.22 0.04 1.82 3.24 2.82 7.84 x x 2 x x x x x s2 s2 s s s s2 s2 s2 s2 4.8 5.7 0 22.80 s2 x x n1 $OFRPELQDUODVIyUPXODV\VHSURGXFHODIyUPXODDWDMRSDUDODYDULDQ]D PXHVWUDO Varianza muestral, "frmula atajo" 66x x x2 x2 (x)2 n n /DVIyUPXODV\VHOODPDQatajosSRUTXHHYDGHQHOFiOFXORGHx/RVFiOFXORV SDUD66xs\sFRQODVIyUPXODV\VHUHDOL]DQFRPRVHPXHVWUDHQOD WDEOD varianza muestral: s2 7XWRULDODQLPDGRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP /DXQLGDGGHPHGLGDSDUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVODPLVPDTXHODXQLGDGGHPHGLGD SDUDORVGDWRV3RUHMHPSORVLORVGDWRVHVWiQHQOLEUDVHQWRQFHVODGHVYLDFLyQHVWiQGDU sWDPELpQHVWDUiHQOLEUDV/DXQLGDGGHPHGLGDSDUDODYDULDQ]DSXHGHFRQVLGHUDUVHHQ- tonces como unidades al cuadrado(QHOHMHPSORGHOLEUDVHVWRVHUtDlibras al cuadrado &RPRSXHGHVYHUODXQLGDGWLHQHPX\SRFRVLJQLFDGR (2.9) (2.8) s cuadado (suma de x2) nmero 1 (suma de x2) nmero n 1 n 5 x2 x2 n n 1 22.8 5.7 5.7 2.4 4 Seccin 2.4 Medidas de dispersin FN www.fullengineeringbook.net 78 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable TI-83/84 Plus TI-83/84 Plus MINITAB MINITAB Excel Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Calc > Column Statistics Selecciona: Standard deviation Escribe: Input variable C1 > OK Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Calc > Column Statistics Luego, uno a la vez, selecciona el estadstico deseado Selecciona: N total Nmero de datos en columna Sum Suma de los datos en columna Minimum Valor ms pequeo en columna Maximun Valor ms grande en columna Range Rango de valores en columna Suma de valores Suma de valores x al cuadrado, x2 Escribe: Input variable: C1 > OK Escribe los datos en la columna A y activa una celda para la respuesta; despus contina con: Elige: Insert Function, fx > Statistical > STDEV > OK Escribe: Number 1: (A2:A6 o selecciona celdas) > OK Escribe los datos en la columna A y activa una celda para la respuesta; despus contina con: Elige: Insert Function, fx > Statistical > COUNT > MIN > MAX O > All > SUM >SUMSQ Escribe: Number 1: (A2:A6 o selecciona celdas) Para el rango, escribe una frmula: Mx ( ) Mn ( ) I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : D E S V I A C I N E S T N D A R I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : E S T A D S T I C O S A D I C I O N A L E S Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > LIST > Math > 7:StdDev( Escribe: L1 Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > LIST > Math > 5:sum( > 1:min( > 2:max( Escribe: L1 www.fullengineeringbook.net 79 Desviacin estndar en tu calculadora La mayora de las calculadoras tie- nen dos frmulas para encontrar la desviacin estndar y descuidadamente calcular ambas y se espera totalmente que el usuario decida cul es la correc- ta para los datos obtenidos. Cmo lo decides? La desviacin estndar muestral se denota s y usa la frmula "divide entre n 1". La desviacin estndar poblacional se denota y usa la frmula "divide entre n". Cuando tienes datos muestrales, siempre usa la s o la frmula que "divide entre n 1". Tener los datos de la poblacin es una situacin que probable- mente nunca ocurrir, aparte de en un ejercicio del texto. Si al no saber si tienes datos muestrales o datos poblacionales, un "cinturn de seguridad" es que son datos muestrales: usa la s o la frmula que "divide entre n 1"! Frmulas mltiples Los estadsticos tienen mltiples frmulas por convenien- cia; esto es: conveniencia relativa a la situacin. Los siguientes enunciados te ayudarn a decidir cul frmula usar: 1. Cuando trabajes en una computadora y uses software estadstico, por lo general primero almacenars todos los valores de datos. La computadora maneja con facilidad operaciones repetidas y puede "revisitar" los datos almacenados con tanta frecuencia como sea necesario para completar un procedimiento. Los clculos para varianza muestral se realizarn con la frmula (2.5) y seguirn el proceso que se presenta en la tabla 2.12. 2. Cuando trabajes con una calculadora con funciones estadsticas incor- poradas, la calculadora debe realizar todas las operaciones necesarias sobre cada valor de datos conforme los valores se ingresan (la mayora de las calculadoras porttiles no graficadoras no tienen la habilidad de almacenar datos). Despus puedes ingresar todos los datos, los clculos se completarn con las sumas apropiadas. Los clculos para varianza mues- tral se realizarn con la frmula (2.9) y seguirn el procedimiento que se presenta en la tabla 2.14. 3. Si realizas clculos a mano o con la ayuda de una calculadora, mas no con funciones estadsticas, la frmula ms conveniente a usar depender de cuntos datos hay y cun conveniente es trabajar los valores numricos. 2.93(QHO&HQWURGH3ROtWLFD)LVFDOUHSRUWyORVVLJXLHQ- WHV HVWDGtVWLFRV DFHUFD GH ORV LPSXHVWRV DQXDOHV SURPHGLR \HOSRUFHQWDMHGHLQJUHVRSHUVRQDOSDJDGRSRUSHUVRQD SRUHVWDGR D (QFXHQWUDHOUDQJRSDUDODFDQWLGDGGHLPSXHVWRVSDJDGRV SRUSHUVRQD E (QFXHQWUDHOUDQJRSDUDHOSRUFHQWDMHGHLQJUHVRSHUVRQDO SDJDGRHQLPSXHVWRVSRUSHUVRQD Ingresos fiscales 2006 Porcentaje Impuestos de ingreso per cpita Rango personal Rango DISTRITO DE COLUMBIA $7 764 1 14.4 4 ALABAMA $2 782 51 9.6 48 WYOMING $6 116 3 16.6 1 DAKOTA DEL SUR $2 842 48 9.1 51 2.94D(OYDORUGHGDWRVx WLHQHXQYDORUGHGHVYLDFLyQ GH([SOLFDHOVLJQLFDGRGHHVWR E(OYDORUGHGDWRVx WLHQHXQYDORUGHGHVYLDFLyQ GH([SOLFDHOVLJQLFDGRGHHVWR 2.95/DVXPDWRULDxxVLHPSUHHVFHUR3RUTXp"3LHQ VDGHQXHYRHQODGHQLFLyQGHODPHGLDS\REVHUYDVL SXHGHVMXVWLFDUHVWDDUPDFLyQ 2.967RGDVODVPHGLGDVGHYDULDFLyQVRQQRQHJDWLYDVHQYDORU SDUDWRGRVORVFRQMXQWRVGHGDWRV D 4XpVLJQLFDTXHXQYDORUVHDQRQHJDWLYR" E 'HVFULEHODVFRQGLFLRQHVQHFHVDULDVSDUDTXHXQDPHGLGD GHYDULDFLyQWHQJDHOYDORUFHUR FRQWLQ~DHQODSiJLQD E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 4 Fuente: Federation of Tax Administrators (2007) y U.S. Bureau of the Census and Bureau of Economic Analysis. http://taxpolicycenter.org/ Seccin 2.4 Medidas de dispersin www.fullengineeringbook.net 80 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable F 'HVFULEHODVFRQGLFLRQHVQHFHVDULDVSDUDTXHXQDPHGLGD GHYDULDFLyQWHQJDXQYDORUSRVLWLYR 2.978QDPXHVWUDFRQWLHQHORVGDWRV^` D 8VDODIyUPXODSDUDHQFRQWUDUODYDULDQ]D E 8VDODIyUPXODSDUDHQFRQWUDUODYDULDQ]D F &RPSDUDORVUHVXOWDGRVGHORVLQFLVRVD\E 2.98&RQVLGHUDODPXHVWUD(QFXHQWUDORVLJXLHQWH D 5DQJR E 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD F 'HVYLDFLyQHVWiQGDUs 2.99&RQVLGHUD ODPXHVWUD (QFXHQWUD OR VL- JXLHQWH D 5DQJR E 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD F 'HVYLDFLyQHVWiQGDUs 2.100'DGDODPXHVWUD(QFXHQWUD ORVLJXLHQWH D 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD E 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD F 'HVYLDFLyQHVWiQGDUs 2.101$HVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVVHOHFFLRQDGRVDOD]DUVH OHVSUHJXQWyHOQ~PHURGHKRUDVTXHGXUPLHURQODQRFKHDQWH- ULRU/RVGDWRVUHVXOWDQWHVVRQ (QFXHQWUDORVLJXLHQWH D 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD E 9DULDQ]DsFRQODIyUPXOD F 'HVYLDFLyQHVWiQGDUs 2.102 [EX02-102]8QDPXHVWUDDOHDWRULDGHGHORVFRQ- GXFWRUHV1$6&$5SURGXMRODVVLJXLHQWHVHGDGHV 36 26 48 28 45 21 21 38 27 32 D (QFXHQWUDHOUDQJR E (QFXHQWUDODYDULDQ]D F (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU 2.103(OVXPDURUHVWDUHOPLVPRQ~PHURGHFDGDYDORUHQ XQ FRQMXQWR GH GDWRV QR DIHFWD ODVPHGLGDV GH YDULDELOLGDG SDUDGLFKRFRQMXQWRGHGDWRV D (QFXHQWUDODYDULDQ]DGHHVWHFRQMXQWRGHGDWRVDQXDOHV GHJUDGRGtDGHFDOHIDFFLyQ E (QFXHQWUDODYDULDQ]DGHHVWHFRQMXQWRGHGDWRVTXHVH REWLHQHDOUHVWDUGHFDGDYDORUHQHOLQFLVRD 2.104 [EX02-104]8QDVSHFWRGH ODEHOOH]DGH ORVSDLVDMHV SDQRUiPLFRV HV VX YDULDELOLGDG/DV HOHYDFLRQHV SLHV VREUH HOQLYHOGHOPDUGHFLXGDGHVVHOHFFLRQDGDVDOD]DUHQODV UHJLRQHV)LQJHU/DNHVGHO1XHYD<RUNVHSWHQWULRQDOVHUHJLV- WUDURQDTXt 559 815 767 668 651 895 1 106 1 375 861 1 559 888 1 106 D (QFXHQWUDODPHGLD E (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU 2.105 [EX02-105]$ORVUHFOXWDVSDUDXQDDFDGHPLDGHSR- OLFtD VH OHVSLGLy UHDOL]DUXQH[DPHQTXHPLGHVXFDSDFLGDG GHHMHUFLFLR/DFDSDFLGDGGHHMHUFLFLRHQPLQXWRVVHREWXYR SDUDFDGDXQRGHUHFOXWDV 25 27 30 33 30 32 30 34 30 27 26 25 29 31 31 32 34 32 33 30 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVGDWRV E (QFXHQWUDODPHGLD F (QFXHQWUDHOUDQJR G (QFXHQWUDODYDULDQ]D H (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU I &RQHOGLDJUDPDGHSXQWRVGHOLQFLVRDGLEXMDXQDOtQHD TXHUHSUHVHQWHHOUDQJR'HVSXpVGLEXMDXQDOtQHDTXH FRPLHQFHHQODPHGLDFRQXQDORQJLWXGTXHUHSUHVHQWH HOYDORUGHODGHVYLDFLyQHVWiQGDU J 'HVFULEHFyPRVHUHODFLRQDQODGLVWULEXFLyQGHGDWRVHO UDQJR\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU 2.106 [EX02-106]-DFNVRQTXLHUHFRPSUDUXQQXHYRSDORGH JROIHQSDUWLFXODUXQGULYHU6HLPDJLQDTXHFRPSUDUHQOtQHD OHDKRUUDUiWLHPSR\GLQHUR6HOHFFLRQDDOD]DUXQDPXHVWUDGH driversGHOVLWLRZHE*ROLQNFRP6XVSUHFLRVVHPHQFLR- QDQDFRQWLQXDFLyQHQGyODUHV Precios de driver 149.99 299.99 49.99 499.99 167.97 299.99 399.99 199.99 99.99 149.99 D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\GHWHUPLQDODIRUPD E &RQEDVHHQHOKLVWRJUDPDTXpVDEHVDFHUFDGHODPHGLD \ODPHGLDQD" F &DOFXODODPHGLD\ODPHGLDQD/RVUHVXOWDGRVFRLQFLGHQ FRQWXUHVSXHVWDHQHOLQFLVRE" G &DOFXODHOUDQJR H &DOFXODODGHVYLDFLyQHVWiQGDU I 'HVFULEHTXpOHGLFHQD-DFNVRQHOUDQJR\ODGHVYLDFLyQ HVWiQGDUDFHUFDGHFRPSUDUXQdriverHQOtQHDDWUDYpVGH *ROLQNFRP >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFuente: http://www.city-data.com Fuente: http://www.golflink.com/ www.fullengineeringbook.net 81 2.107 [EX02-107] /D UHYLVWDBetter Roads UHSRUWy HO SRU FHQWDMHGHSXHQWHV LQWHUHVWDWDOHV\SURSLHGDGGHO HVWDGRTXH HUDQHVWUXFWXUDOPHQWHGHFLHQWHVRIXQFLRQDOPHQWHREVROHWRV 6')2SDUDFDGDHVWDGRGH(8$HQ/RVSRUFHQWD MHVVHH[SUHVDQHQIRUPDGHFLPDO>SRUHMHPSOR @ Estado SD/FO* Estado SD/FO* Estado SD/FO* AK 0.20 AL 0.22 AR 0.20 *** Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD E /DYDULDEOH6')2SDUHFHWHQHUXQDGLVWULEXFLyQ QRUPDODSUR[LPDGD" F &DOFXODODPHGLD G (QFXHQWUDODPHGLDQD H (QFXHQWUDHOUDQJR I (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU &RQVHUYDHVWDVVROXFLRQHVSDUDXVDUODVHQHOHMHUFLFLR GHODS 2.108 [EX02-108]8QDPHGLGDGHGHVHPSHxRGHDHUROtQHDV HVODWDVDGHOOHJDGDDWLHPSR3DUDPD\RGHODVWDVDVGH OOHJDGDDWLHPSRGHYXHORVGRPpVWLFRVSDUDODVDHUROtQHDV HVWDGRXQLGHQVHVPiVJUDQGHVIXHURQODVVLJXLHQWHV Aerolnea % Llegada a tiempo Hawaiian 90.26 SkyWest 86.84 Pinnacle 86.81 *** Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D (QFXHQWUDHOUDQJR\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDODVWDVDV GHOOHJDGDDWLHPSR E 'HVFULEHODUHODFLyQHQWUHODGLVWULEXFLyQGHORVGDWRVHO UDQJR\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU 2.109&RQVLGHUDHVWRVGRVFRQMXQWRVGHGDWRV Conjunto 1 46 55 50 47 52 Conjunto 2 30 55 65 47 53 $PERVFRQMXQWRVWLHQHQODPLVPDPHGLD&RPSDUDHVWDV PHGLGDVSDUDDPERVFRQMXQWRVxx66x\UDQJR&R PHQWDDFHUFDGHOVLJQLFDGRGHHVWDVFRPSDUDFLRQHV 2.110&RQVLGHUDORVVLJXLHQWHVGRVFRQMXQWRVGHGDWRV Conjunto 1 45 80 50 45 30 Conjunto 2 30 80 35 30 75 $PERVFRQMXQWRVWLHQHQODPLVPDPHGLD&RPSDUDHVWDV PHGLGDVSDUDDPERVFRQMXQWRVxx66x\UDQJR&R PHQWDDFHUFDGHOVLJQLFDGRGHHVWDVFRPSDUDFLRQHVHQUHOD FLyQFRQODGLVWULEXFLyQ 2.111&RPHQWDDFHUFDGHOHQXQFLDGR/DSpUGLGDPHGLDSDUD ORVFRQVXPLGRUHVHQHO3ULPHU%DQFR(VWDWDOTXHQRHVWDED DVHJXUDGRIXHGH/DGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODVSpUGLGDV IXH 2.112&RPLHQ]DFRQx \VXPDFXDWURYDORUHVxSDUD KDFHUXQDPXHVWUDGHFLQFRGDWRVWDOHVTXH D s E s F s G s 2.113&DGDXQDGHGRVPXHVWUDVWLHQHXQDGHVYLDFLyQHVWiQ GDUGH6L ORVGRV FRQMXQWRVGHGDWRV VH FRQYLHUWHQHQXQ FRQMXQWRGHYDORUHVGHGDWRVODQXHYDPXHVWUDWHQGUiXQD GHVYLDFLyQHVWiQGDUTXHVHDPHQRUTXHDSUR[LPDGDPHQWHOD PLVPDTXHRPD\RUTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDURULJLQDOGH" &RQVWUX\HGRVFRQMXQWRVGHFLQFRYDORUHVGHGDWRVFDGDXQR FRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHSDUDMXVWLFDUWXUHVSXHVWD ,QFOX\HORVFiOFXORV 2.114 Ejercicio Applet Skillbuilder 5HODFLRQD PH GLDV\GHVYLDFLRQHVHVWiQGDU FRQ ORV KLVWRJUDPDV FRUUHV SRQGLHQWHV 'HVSXpV GH YD ULDV URQGDV GH SUiFWLFD FRQ 6WDUW2YHUH[SOLFDWXPp WRGRGHUHODFLRQDU Fuente: Better Roads, noviembre de 2003 *SD/FO = estructuralmente defi ciente o funcionalmente obsoleto. Fuente: U.S. Department of Transportation Seccin 2.4 Medidas de dispersin www.fullengineeringbook.net 82 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable /DV medidas de posicinVHXVDQSDUDGHVFULELUODSRVLFLyQTXHXQYDORUGHGDWRVHVSHFt- FRSRVHHHQUHODFLyQFRQHOUHVWRGHORVGDWRVFXDQGRHVWiQHQRUGHQFODVLFDGRCuartiles \percentilesVRQGRVGHODVPHGLGDVGHSRVLFLyQPiVSRSXODUHV Cuartiles Valores de la variable que dividen los datos clasificados en cuartos; cada conjunto de datos tiene tres cuartiles. El primer cuartil, Q1, es un nmero tal que cuando mucho 25% de los datos son menores en valor que Q1 y cuan- do mucho 75% son mayores. El segundo cuartil es la mediana. El tercer cuar- til, Q3, es un nmero tal que cuando mucho 75% de los datos son menores en valor que Q3 y cuando mucho 25% son mayores. (Observa la figura 2.24.) 2.5 Medidas de posicin Datos clasificados, orden creciente L H Q1 Q2 Q3 (OSURFHGLPLHQWRSDUDGHWHUPLQDUORVYDORUHVGHORVFXDUWLOHVHVHOPLVPRTXHSDUDORV SHUFHQWLOHV\VHPXHVWUDHQODVLJXLHQWHGHVFULSFLyQGHORVpercentiles 5HFXHUGDTXHWXVGDWRVGHEHQHVWDUFODVLFDGRVGHEDMRL) a alto (H). Percentiles Valores de la variable que dividen un conjunto de datos en 100 subconjuntos iguales; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles (observa la figura 2.25). El k-simo percentil, Pk, es un valor tal que cuando mucho k% de los datos son menores en valor que Pk y cuando mucho (100 k)% de los datos son mayores (observa la figura 2.26). Notas: (OSULPHUFXDUWLO\HOSHUFHQWLOVRQHOPLVPRHVWRHVQ= P$GHPiVQ= P /DPHGLDQDHOVHJXQGRFXDUWLO\HOSHUFHQWLOVRQHOPLVPRx = Q= P3RUWDQWR FXDQGRVHSLGDHQFRQWUDUP o QXVDHOSURFHGLPLHQWRSDUDHQFRQWUDUODPHGLDQD (OSURFHGLPLHQWRSDUDGHWHUPLQDUHOYDORUGHFXDOTXLHUkpVLPRSHUFHQWLORFXDUWLOLQ- YROXFUDFXDWURSDVRVEiVLFRVFRPRVHGHVWDFDHQHOGLDJUDPDGHODJXUD(OHMHPSOR GHPXHVWUDHOSURFHGLPLHQWR FIGURA 2.24 Cuartiles FIGURA 2.25 Percentiles FIGURA 2.26 k-simo percentil 25% 25% 25% 25% Datos clasificados, orden creciente Datos clasificados, orden creciente 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% cuando mucho k% cuando mucho (100 k)% L L H H Pk P1 P2 P3 P4 P97 P98 P99 www.fullengineeringbook.net 83 E J E M P L O 2 . 1 2 Paso 4 Pk est a la mitad entre el valor de CMO ENCONTRAR CUARTILES Y PERCENTILES Con la muestra de 50 calificaciones del examen final de estadstica elemental que se mencionan en la tabla 2.15, encuentra el primer cuartil, Q1; el percen- til 58, P58; y el tercer cuartil, Q3. FIGURA 2.27 Procedimiento para encontrar Pk PTI d(Pk) = profundidad o ubicacin del k-simo percentil Paso 1 Clasifica los n datos, del ms bajo al ms alto Paso 2 Calcula Paso 3 d(Pk) = A.5 Pk es el valor de los datos en la posicin B-sima. los datos en la posicin A-sima y el valor de los datos en la posicin A + 1. d(Pk) = B, el siguiente entero ms grande Resulta un entero A TABLA 2.15 [TA02-06] Calificaciones brutas para el examen de estadstica elemental Solucin Paso 1 Clasifica los datos: puedes formular una lista clasificada (observa la tabla 2.16) o puedes usar una presentacin grfica que muestre los datos clasificados. El diagrama de puntos y el de tallo y hojas son adecuados para este propsito. El diagrama de tallo y hojas es espe- cialmente til, porque proporciona nmeros de profundidad contados desde ambos extremos cuando se genera por computadora (vase la figura 2.28). El paso 1 es el mismo para los tres estadsticos. Encuentra Q1: Paso 2 Encuentra nk : nk = (50)(25) = 12.5 100 100 100 (n = 50 y k = 25, dado que Q1 = P25.) Paso 3 Encuentra la profundidad de Q1: d(Q1) = 13 (dado que 12.5 contie- ne una fraccin, B es el siguiente entero ms grande, 13). Paso 4 Encuentra Q1: Q1 es el 13 valor, al contar desde L (vase la tabla 2.16 o la figura 2.28), Q1 = 67 60 47 82 95 88 72 67 66 68 98 90 77 86 58 64 95 74 72 88 74 77 39 90 63 68 97 70 64 70 70 58 78 89 44 55 85 82 83 72 77 72 86 50 94 92 80 91 75 76 78 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP nk 100 Resulta un nmero con una fraccin Seccin 2.5 Medidas de posicin www.fullengineeringbook.net 84 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable $KRUDVHSXHGHGHQLUXQDPHGLGDDGLFLRQDOGHWHQGHQFLDFHQWUDOHOcuartil medio 7XWRULDODQLPDGRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Encuentra P58: Paso 2 Encuentra nk : nk = (50)(58) = 29 : (n = 50 y k = 58 para P58). 100 100 100 Paso 3 Encuentra la profundidad de P58: d(P58) = 29.5 (dado que A = 29, un entero, suma 0.5 y usa 29.5). Paso 4 Encuentra P58: P58 es el valor a la mitad entre los valores de las pie- zas de datos 29a. y 30a., al contar desde L (observa la tabla 2.16 o la figura 2.28), de modo que En consecuencia, se puede afirmar que "cuando mucho, 58% de las cali- ficaciones del examen son menores en valor que 77.5". Esto tambin es equi- valente a afirmar que "cuando mucho, 42% de las calificaciones del examen fueron mayores en valor que 77.5". Tcnica opcional: Cuando k es mayor que 50, resta k de 100 y usa (100 k) en lugar de k en el paso 2. Entonces la profundidad se cuenta desde el dato de valor ms alto, H. Encuentra Q3 con la tcnica opcional: Paso 2 Encuentra nk : nk = (50)(25) = 12.5 (n = 50 y k = 75 dado que 100 100 100 Q3 = P75 y k > 50; usa 100 k = 100 75 = 25). Paso 3 Encuentra la profundidad de Q3 desde H: d(Q3 ) = 13 Paso 4 Encuentra Q3: Q3 es el 13o. valor; al contar desde H (vase la tabla 2.16 o la figura 2.28), Q3 = 86 Por tanto, se puede afirmar que "cuando mucho, 75% de las calificacio- nes de examen son menores en valor que 86". Esto tambin es equivalente a afirmar que "cuando mucho, 25% de las calificaciones del examen son mayores en valores que 86". 13 posicin desde H TABLA 2.16 Datos clasificados: Calificaciones de examen FIGURA 2.28 Calificaciones del examen final Tallo y hojas de calificacin N = 50 Unidad de hoja = 1.0 13 posicin desde L 29 y 30 posiciones desde L 39 64 72 78 89 44 66 72 80 90 47 67 74 82 90 50 68 74 82 91 55 68 75 83 92 58 70 76 85 94 58 70 77 86 95 60 70 77 86 95 63 72 77 88 97 64 72 78 88 98 1 | 3 | 9 2 | 4 | 4 3 | 4 | 7 4 | 5 | 0 7 | 5 | 588 11 | 6 | 0344 15 | 6 | 6788 24 | 7 | 000222244 (7) | 7 | 5677788 19 | 8 | 0223 15 | 8 | 566889 9 | 9 | 00124 4 | 9 | 5578 P58 = 77 + 78 = 77.5 2 PTI Una ojiva de estas calificaciones de exa- men determinara gr- ficamente estos mismos percentiles sin el uso de frmulas. www.fullengineeringbook.net 85 Cuartil medio Valor numrico a la mitad entre el primer cuartil y el tercer cuartil. cuartil medio = Q1 + Q3 2 E J E M P L O 2 . 1 3 CMO ENCONTRAR EL CUARTIL MEDIO Encuentra el cuartil medio para el conjunto de 50 calificaciones de examen dado en el ejemplo 2.12. Solucin Q1 = 67 y Q3 = 86, como se encontr en el ejemplo 2.12. Por tanto, La mediana, el medio rango y el cuartil medio no necesariamente son el mismo valor. Cada uno es el valor medio, pero por diferentes definiciones de "medio". La figura 2.29 resume la relacin de estos tres estadsticos como se aplica a las 50 calificaciones del examen del ejemplo 2.12. Un resumen de 5 nmerosHVPX\HIHFWLYRSDUDGHVFULELUXQFRQMXQWRGHGDWRV(V LQIRUPDFLyQIiFLOGHREWHQHU\HVPX\LOXVWUDWLYRSDUDHOOHFWRU Resumen de 5 nmeros El resumen de 5 nmeros est compuesto de lo si- guiente: 1. L, el valor ms pequeo en el conjunto de datos. 2. Q1, el primer cuartil (tambin llamado P25, el percentil 25). 3. x, la mediana. 4. Q3, el tercer cuartil (tambin llamado P75, el percentil 75). 5. H, el valor ms grande en el conjunto de datos. (2.10) 25 datos menores Mediana 25 datos mayores cuartil medio = Q1 + Q3 = 67 + 86 = 76.5 2 2 FIGURA 2.29 Calificaciones del examen final Cuartil medio, a la mitad entre Q1 y Q3 Seccin 2.5 Medidas de posicin 40 50 70 80 90 100 60 L H 75.5 68.5 76.5 Q1 Q3 Q1 www.fullengineeringbook.net 86 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable (OUHVXPHQGHQ~PHURVSDUDHOFRQMXQWRGHFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQGHOHMHPSOR HV 2EVHUYD TXH HVWRV FLQFR YDORUHV QXPpULFRV GLYLGHQ HO FRQMXQWR GH GDWRV HQ FXDWUR VXEFRQMXQWRVFRQXQFXDUWRGHORVGDWRVHQFDGDVXEFRQMXQWR$SDUWLUGHOUHVXPHQGH Q~PHURVSXHGHVREVHUYDUFXiQWRHVWiQGLVSHUVRVORVGDWRVHQFDGDXQRGHORVFXDUWRV $KRUDSXHGHVGHQLUXQDPHGLGDDGLFLRQDOGHGLVSHUVLyQ Rango intercuartlico La diferencia entre el primero y el tercer cuartiles. Es el rango de 50% medio de los datos. (OUHVXPHQGHQ~PHURVHVLQFOXVRPiVLQIRUPDWLYRFXDQGRVHGHVSOLHJDHQXQGLDJUD- PDGLEXMDGRDHVFDOD8QDSUHVHQWDFLyQJUiFDTXHORJUDHVWRVHFRQRFHFRPRdiagrama de cajas y bigotes Diagrama de cajas y bigotes Representacin grfica del resumen de 5 n- meros. Los cinco valores numricos (ms pequeo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y ms grande) se ubican en una escala, vertical u horizontal. La caja se usa para mostrar la mitad media de los datos que yacen entre los dos cuartiles. Los bigotes son segmentos de lnea que se usan para mostrar la otra mitad de los datos: un segmento de lnea representa el cuarto de los datos que son menores en valor que el primer cuartil y un segundo segmento de lnea representa el cuarto de los datos que son mayores en valor que el tercer cuartil. /DJXUDHVXQGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHVGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQ Calificaciones del examen final 39 67 75.5 86 98 L Q1 Q3 H FIGURA 2.30 Diagrama de cajas y bigotes Calificacin MINITAB Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Data > Sort . . . Escribe: Sort column(s): C1 By column: C1 Selecciona: Store sorted data in: Columns(s) of current worksheet Escribe: C2 > OK En C2 se obtendr una lista clasificada de datos. Determina la posicin profunda y localiza el percentil deseado. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P E R C E N T I L E S x 40 50 60 70 80 90 100 www.fullengineeringbook.net 87 TI-83/84 Plus TI-83/84 Plus MINITAB MINITAB Excel Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Satatistics . . . Escribe: Variables: C1 > OK Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Graph > Boxplot . . . > One Y, Simple > OK Escribe: Graph variables: C1 Opcional: Selecciona: Labels > Tu Ttulo, notas al pie Escribe: tu ttulo, notas al pie > OK Selecciona: Scale > Axes and Ticks Selecciona: Transpose value and category scales > OK > OK Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis* > Descriptive Statistics > OK Escribe: Input Range: (A2:A6 o selecciona celdas) Selecciona: Labels in First Row (si es necesario) Output Range Enter: (B1 o selecciona celdas) Selecciona: Summary Statistics > OK Para hacer legible la salida: Elige: Home > Cells > Format > AutoFit Column Width *Si Data Analysis no aparece en el men Data, consulta la pgina 53. Escribe los datos en la columna A y activa una celda para la respuesta; despus contina con: Elige: Formulas > Insert Function, fx > Statistical > PERCENTILE > OK Escribe: Array: (A2:A6 o selecciona celdas) k: K (percentil deseado; ej. .95, .47) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : R E S U M E N D E 5 N M E R O S I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : D I A G R A M A D E C A J A S Y B I G O T E S Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: STAT > CALC > 1:1-VAR STATS Escribe: L1 Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: STAT > EDIT > 2:SortA( Escribe: L1 Escribe: percentile 3 sample size (ej. .25 100) Con base en el producto, determina la posicin de la profundidad; despues contina con Escribe: L1(deph position) > Enter Seccin 2.5 Medidas de posicin www.fullengineeringbook.net 88 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable E J E M P L O 2 . 1 4 CMO ENCONTRAR VALORES z Encuentra los valores estndar para a) 92 y b) 72 con respecto a una muestra de califi caciones del examen que tengan una califi cacin media de 74.92 y una desviacin estndar de 14.20. /DSRVLFLyQGHXQYDORUHVSHFtFRWDPELpQSXHGHPHGLUVHHQWpUPLQRVGHODPHGLD\OD GHVYLDFLyQHVWiQGDUXVDQGRHOvalor estndarFRP~QPHQWHOODPDGDvalor z Valor estndar o valor z La posicin que un valor particular de x tiene en rela- cin con la media, medido en desviaciones estndar. El valor z se encuentra con la frmula z = valor media = x x desv. est. s (2.11) Para diagramas de cajas mltiples, escribe los conjuntos de datos adicionales en C2; des- pus haz lo recin descrito ms: Elige: Graph > Boxplot. . . > Multiple Y's, Simple > OK Escribe: Graph variables: C1 C2 > OK Opcional: Ve arriba. TI-83/84 Plus Excel Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus* > BoxPlot > OK Escribe: (A2:A6 o selecciona celdas) Para editar el diagrama de caja, revisa las opciones que se muestran con la edicin de histogramas en la pgina 53. *Si Data Analysis Plus no aparece en el men Data, consulta la pgina 39. Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot1 . . . Elige: ZOOM > 9:ZoomStat > TRACE > > > Si los puntos medios de clase estn en L1 y las frecuencias estn en L2, haz lo recin descrito excepto: Escribe: Freq: L2 Para diagramas de caja mltiples, escribe los conjuntos de datos adicionales en L2 o L3; haz lo recin descrito adicional: Elige: 2nd > STAT PLOT > 2:Plot2. . . www.fullengineeringbook.net 89 Notas: 3RUORJHQHUDOHOYDORUFDOFXODGRGHzVHUHGRQGHDDODFHQWpVLPDPiVFHUFDQD 1RUPDOPHQWHORVYDORUHVzYDUtDQHQYDORUGHVGHDSUR[LPDGDPHQWHKDVWD 3XHVWRTXHORVYDORUHVzVRQXQDPHGLGDGHODSRVLFLyQUHODWLYDUHVSHFWRDODPHGLD SXHGHQXVDUVHSDUDD\XGDUWHDFRPSDUDUGRVYDORUHVEUXWRVTXHSURYHQJDQGHSREODFLRQHV VHSDUDGDV3RUHMHPSORVXSyQTXHTXLHUHVFRPSDUDUXQDFDOLFDFLyQTXHUHFLELVWHHQXQ H[DPHQFRQODFDOLFDFLyQGHXQDDPLJDHQXQH[DPHQFRPSDUDEOHHQVXFXUVR7~UHFL- ELVWHXQDFDOLFDFLyQEUXWDGHSXQWRVHOODREWXYRSXQWRV6XFDOLFDFLyQHVPHMRU" 1HFHVLWDVPiVLQIRUPDFLyQDQWHVGHSRGHUH[WUDHUXQDFRQFOXVLyQ6XSyQTXHODPHGLDHQ HOH[DPHQTXHWRPDVWHIXH\ODPHGLDHQVXH[DPHQIXH6XVFDOLFDFLRQHVHVWiQ DPEDVSXQWRVDUULEDGHODPHGLDSHURWRGDYtDQRSXHGHVH[WUDHUXQDFRQFOXVLyQGHQL- WLYD/DGHVYLDFLyQHVWiQGDUHQHOH[DPHQTXHDSOLFDVWHIXHGHSXQWRV\GHSXQWRVHQ HOH[DPHQGHWXDPLJD(VWRVLJQLFDTXHWXFDOLFDFLyQHVWiGHVYLDFLyQHVWiQGDUDUULED GHODPHGLDz PLHQWUDVTXHODFDOLFDFLyQGHWXDPLJDHVWiVyORDGHVYLDFLRQHV HVWiQGDUDUULEDGHODPHGLDz 7XFDOLFDFLyQWLHQHODPHMRUSRVLFLyQUHODWLYDDVt TXHFRQFOX\HVTXHWXFDOLFDFLyQHV OLJHUDPHQWHPHMRUTXHODFDOLFDFLyQGHWXDPLJD 1XHYDPHQWHHVWRHVGHVGHXQSXQWRGHYLVWDUHODWLYR Solucin a. x = 92, x = 74.92, s = 14.20. Por tanto z = x x = 92 74.92 = 17.08 = 1.20. s 14.20 14.20 b. x = 72, x = 74.92, s = 14.20. Por tanto z = x x = 72 74.92 = 2.92 = 0.21. s 14.20 14.20 Esto significa que la calificacin 92 est aproximadamente 1.2 desviacio- nes estndar arriba de la media y que la calificacin 72 est aproximada- mente a un quinto de desviacin estndar por abajo de la media. MINITAB Escribe los datos en C1; despus: Para ordenar los datos en orden ascendente y almacenarlos en C2, contina con: Elige: Data > Sort . . . Escribe: Sort column(s): C1 By column: C1 Selecciona: Store sorted data in: Column(s) of current worksheet Escribe: C2 > OK Para formar una distribucin de frecuencias no agrupadas, contina con: Elige: Stat > Tables > Tally Individual Variables Escribe: Variables: C1 Selecciona: Counts > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C O M A N D O S A D I C I O N A L E S Seccin 2.5 Medidas de posicin www.fullengineeringbook.net 90 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable Para imprimir los datos en la ventana de sesin, contina con: Elige: Data > Display Data Escribe: Columnas a mostrar: C1 o C1 C2 o C1-C2 > OK TI-83/84 Plus TI-83/84 Plus Excel Excel Escribe los datos en la columna A; activa los datos, despus contina con lo siguiente para ordenar los datos: Elige: Data > AZ (Sort) Elige: Data > Data Analysis* > Random Number Generation > OK Escribe: Numero de variables: 1 Nmero de nmeros aleatorios: (cantidad deseada) Selecciona: Distribucin: Normal, Discreta u otras Escribe: Parmetros: (, , L, H, A o B) (Los parmetros requeridos variarn dependiendo de la distribucin.) Selecciona: Output Range Escribe: (A1 o selecciona celdas) > OK *Si Data Analysis no aparece en el men Data, consulta la pgina 53. Escribe los datos en L1; despus contina con lo siguiente para ordenar los datos: Elige: 2nd > STAT > OPS > 1:SortA( Escribe: L1 Para formar una distribucin de frecuencias de los datos en L1, contina con: Elige: PRGM > EXEC > FREQDIST* Escribe: L1 > ENTER LW BOUND = primer lmite de clase inferior UP BOUND = ltimo lmite de clase superior WIDTH = ancho de clase (usa 1 para distribucin no agrupada) *El programa "FREQDIST" est entre los disponibles para descargar. Consulta la pgina 35 para detalles. Elige: STAT > 1:EDIT Selecciona: L1 Destaca: MATH > PRB > 6:randNorm( or 5:randInt( Escribe: , , # de intentos o L, H, # de intentos MINITAB Los datos se colocarn en C1: Elige: Calc > Random Data > {Normal, Uniform, Integer, etc.} Escribe: Nmero de filas de datos a generar: K Almacenar en columna(s): C1 Parmetros de poblacin necesarios: (, , L, H, A o B) > OK (Los parmetros requeridos variarn dependiendo de la distribucin.) I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G E N E R A C I N D E M U E S T R A S A L E AT O R I A S www.fullengineeringbook.net 91 E J E M P L O A P L I C A D O 2 . 1 5 TABLA DE CRECIMIENTO PARA HOMBRES DE 2 A 20 AOS DE EDAD P E S O (lbs) Tablas de crecimiento clnico que muestra los percentiles 5, 10, 25, 50, 75, 90, 95 para hombres de 2 a 20 aos. Fuente: http://www.cdc.gov/ Edad (aos) Edad (aos) A L T U R A A L T U R A (pulg) P E S O Excel Los datos existentes a seleccionar deben estar en la columna A; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis* > Sampling > OK Escribe: Input range: (A2:A10 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (opcional) Random Escribe: Number of Samples: K Output range: Escribe: (B1 o selecciona celdas) > OK *Si Data Analysis no aparece en el men Data, consulta la pgina 53. MINITAB Los datos existentes a seleccionar deben estar en C1; despus contina con: Elige: Calc > Random Data > Sample from Columns Escribe: Nmero de filas a muestrear: K De columnas: C1 Almacenar muestras en: C2 Selecciona: Sample with replacement (opcional) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : S E L E C C I N D E M U E S T R A S A L E AT O R I A S Seccin 2.5 Medidas de posicin 40 60 80 34 38 42 46 50 54 58 62 66 70 74 5 10 25 50 75 90 95 5 10 25 50 75 90 95 40 60 80 120 100 140 160 180 200 220 58 62 66 70 74 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 www.fullengineeringbook.net 92 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPE J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 5 2.115&RQVXOWDORVLJXLHQWHHQODWDEODGHODVFDOLFDFLRQHVGH H[DPHQHQODWDEODGHODSiJLQD D &RQHOFRQFHSWRGHSURIXQGLGDGGHVFULEHODSRVLFLyQGH HQHOFRQMXQWRGHFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQHQGRV IRUPDVGLIHUHQWHV E (QFXHQWUDP\PSDUDODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQ F (QFXHQWUDP\PSDUDODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQ 2.116 [EX02-116]$FRQWLQXDFLyQHVWiQODVFDOLFDFLRQHVGHO $&7H[DPHQSDUDLQJUHVRDODXQLYHUVLGDGREWHQLGDVSRUORV PLHPEURVGHXQDFODVHTXH VHJUDG~DHQXQEDFKLOOHUDWR ORFDO 21 24 23 17 31 19 19 20 19 25 17 23 16 21 20 28 25 25 21 14 19 17 18 28 20 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHODVFDOLFDFLRQHV$&7 E &RQHOFRQFHSWRGHSURIXQGLGDGGHVFULEHODSRVLFLyQGH HQHOFRQMXQWRGHFDOLFDFLRQHV$&7HQGRVIRUPDV GLIHUHQWHV F (QFXHQWUDPP\PSDUDODVFDOLFDFLRQHV$&7 G (QFXHQWUDPP\PSDUDODVFDOLFDFLRQHV$&7 2.117 [EX02-117] $FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDQORVVDODULRV DQXDOHVHQGHORVSURIHVRUHVGHMDUGtQGHQLxRV\HVFXH- ODHOHPHQWDOHPSOHDGRVHQXQDGHODVHVFXHODVS~EOLFDVHQHO GLVWULWRHVFRODUORFDO 574 434 455 413 391 471 458 269 501 326 367 433 367 495 376 371 295 317 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVVDODULRV E &RQHOFRQFHSWRGHSURIXQGLGDGGHVFULEHODSRVLFLyQGH HQHOFRQMXQWRGHVDODULRVHQGRVIRUPDVGLIHUHQWHV F (QFXHQWUDQSDUDGLFKRVVDODULRV G (QFXHQWUDQSDUDGLFKRVVDODULRV 2.118 [EX02-118]4XLQFHSDtVHVVHVHOHFFLRQDURQDOD]DUGH ODOLVWDGHSDtVHVGHOPXQGRHQHOWorld Factbook 2009\VH UHJLVWUyVXWDVDGHPRUWDOLGDGLQIDQWLOHVWLPDGDSRUQD- FLPLHQWRVYLYRV Tasa de mortalidad infantil por 1 000 nacidos vivos 151.95 180.21 13.79 15.25 23.07 9.10 17.87 63.34 98.69 18.9 15.96 49.45 12.70 45.36 5.35 D (QFXHQWUDHOSULPHUR\WHUFHUFXDUWLOHVSDUDODWDVDGH PRUWDOLGDGSRU E (QFXHQWUDHOFXDUWLOPHGLR 2.119 [EX02-119]/RVVLJXLHQWHVGDWRVVRQODVSURGXFFLRQHV HQOLEUDVGHO~SXOR 3.9 3.4 5.1 2.7 4.4 7.0 5.6 2.6 4.8 5.6 7.0 4.8 5.0 6.8 4.8 3.7 5.8 3.6 4.0 5.6 D (QFXHQWUDHOSULPHUR\WHUFHUFXDUWLOHVGHODVSURGXF FLRQHV E (QFXHQWUDHOFXDUWLOPHGLR F (QFXHQWUD\H[SOLFDORVSHUFHQWLOHVPP\P 2.120 [EX02-120] 8QHVWXGLRGH LQYHVWLJDFLyQGHGHVWUH]D PDQXDOLQYROXFUyHOGHWHUPLQDUHOWLHPSRUHTXHULGRSDUDFRP- SOHWDUXQDWDUHD$FRQWLQXDFLyQVHPXHVWUDHOWLHPSRUHTXH- ULGRSDUDFDGDXQRGHLQGLYLGXRVFRQGLVFDSDFLGDGHVORV GDWRVHVWiQFODVLFDGRV Un uso muy importante de las tablas de crecimiento es dar seguimiento al patrn de crecimiento de un nio. Si de nio, la altura y el peso estn aproxi- madamente en el percentil 40, el nio es ms grande que aproximadamente el 40% y ms pequeo que el otro 60% de los de la misma edad. El mdico comprobar esta informacin peridicamente y, si el percentil de clasificacin cambia dramticamente de un ao al siguiente, puede haber una razn para preocuparse. Considera esto: si t eres uno del 5% ms alto que el percentil 95 o uno del 5% que son ms bajos que el percentil 5, es casi seguro que algn objeto cotidiano no es del tamao correcto para ti. Altura y peso no son las nicas dimensiones que pueden compararse; es posible comparar otras caracters- ticas fsicas como tamao del pie, longitud del antebrazo, altura sentado, etc. A quienes su constitucin los coloca cerca de uno de los extremos, estn familiarizados con los problemas asociados con un tamao extremo. Fuente: The World Factbook 2009 www.fullengineeringbook.net 93 7.1 7.2 7.2 7.6 7.6 7.9 8.1 8.1 8.1 8.3 8.3 8.4 8.4 8.9 9.0 9.1 9.1 9.1 9.1 9.1 9.4 9.6 9.9 10.9 10.1 10.1 10.2 10.3 10.5 10.7 11.0 11.1 11.2 11.2 11.2 12.0 13.6 14.7 14.9 15.5 D (QFXHQWUDQ E (QFXHQWUDQ F (QFXHQWUDQ G (QFXHQWUDP H (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV I 'LEXMDXQGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHV 2.121'LEXMDXQGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHVSDUDHOFRQMXQWR GHGDWRVFRQHOUHVXPHQGHQ~PHURV 2.122 [EX02-122]/D86*HRORJLFDO6XUYH\UHFROHFWyGD- WRVGHGHSRVLFLyQDWPRVIpULFDHQODVPRQWDxDV5RFRVDV3DUWH GHOSURFHVRGHPXHVWUHRFRQVLVWLyHQGHWHUPLQDUODFRQFHQWUD- FLyQGHLRQHVDPRQLRHQSRUFHQWDMHV+HDTXtORVUHVXOWDGRV GHODVPXHVWUDV 2.9 4.1 2.7 3.5 1.4 5.6 12.3 3.9 4.0 2.9 7.0 4.2 4.9 4.6 3.5 3.7 3.3 5.7 3.2 4.2 4.4 6.5 3.1 5.2 2.6 2.4 5.2 4.8 4.8 3.9 3.7 2.8 4.8 2.7 4.2 2.9 2.8 3.4 4.0 4.6 3.0 2.3 4.4 3.1 5.5 4.1 4.5 4.6 4.7 3.6 2.6 4.0 D (QFXHQWUDQ E(QFXHQWUDQ F (QFXHQWUDQ G(QFXHQWUDHOFXDUWLOPHGLR H (QFXHQWUDP I (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV J 'LEXMDHOGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHV 2.123 [EX02-123] (O*UDQ %DLOH GHO EDORQFHVWR GH OD 1&$$SDUDKRPEUHVFRPLHQ]DSOHQDPHQWHFDGDPDU]R3HUR VLREVHUYDVODWDVDGHJUDGXDFLyQGHGLFKRVDWOHWDVGHVFXEULUiV TXHPXFKRVHTXLSRVQRREWLHQHQ OD FDOLFDFLyQGHDFXHUGR FRQXQHVWXGLROLEHUDGRHQPDU]RGH$FRQWLQXDFLyQVH SUHVHQWDQODVWDVDVGHJUDGXDFLyQSDUDGHORVHTXLSRV GHOWRUQHR Tasas de graduacin (porcentajes), equipos varoniles 2009, Torneo de Baloncesto NCAA Divisin I 63 100 8 89 80 10 53 67 17 37 31 89 100 56 70 34 89 64 55 36 53 77 42 47 53 86 31 91 29 60 40 46 57 55 80 50 46 100 82 20 92 71 100 42 60 45 92 100 57 67 50 38 30 33 67 100 36 86 69 86 38 100 41 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVGDWRVGHODWDVDGH JUDGXDFLyQ E 'LEXMDXQGLDJUDPDGHWDOORV\KRMDVGHGLFKRVGDWRV F (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV\GLEXMDXQGLDJUDPD GHFDMDV\ELJRWHV G (QFXHQWUDP\P H 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQGHODVWDVDVGHJUDGXDFLyQ\ DVHJ~UDWHGHLQFOXLUODLQIRUPDFLyQTXHDSUHQGLVWHHQORV LQFLVRVDDOG I ([LVWHQHTXLSRVFX\DVWDVDVGHJUDGXDFLyQSDUH]FDQ VHUPX\GLIHUHQWHVGHODVGHOUHVWR"&XiQWRV"&XiOHV" ([SOLFD 2.124 [EX02-124]/DWDVDGHPRUWDOLGDGHQODVDXWRSLVWDVHV- WDGRXQLGHQVHVHQIXHODPiVEDMDGHVGHSHURGLFKDV FLIUDVWRGDYtDVRQVRUSUHQGHQWHV$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDHO Q~PHURGHSHUVRQDVPXHUWDVHQDFFLGHQWHVDXWRPRYLOtVWLFRV SRUHVWDGRLQFOXLGRHO'LVWULWRGH&ROXPELDHQ 1 110 84 1 066 650 3 974 554 277 117 44 3 214 1 641 138 252 1 249 898 445 416 864 985 183 614 417 1 088 504 884 992 277 256 373 129 724 413 1 333 1 675 111 1 257 754 455 1 491 69 1 066 146 1 210 3 363 299 66 1 027 568 431 756 150 D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHGDWRVGHPRUWDOLGDG E 'LEXMDXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHGLFKRVGDWRV'HV- FULEHFyPRVHPDQHMDQORVWUHVGDWRVFRQYDORUJUDQGH F (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV\GLEXMDXQGLDJUDPD GHFDMDV\ELJRWHV G (QFXHQWUDP\P H 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQGHOQ~PHURGHGHFHVRVSRUHVWDGR \DVHJ~UDWHGHLQFOXLUODLQIRUPDFLyQTXHDSUHQGLVWHHQ ORVLQFLVRVDDOG I 3RUTXpSXHGHQRVHUMXVWRH[WUDHUFRQFOXVLRQHVDFHUFD GHOQLYHOGHVHJXULGDGUHODWLYRGHODVDXWRSLVWDVHQORV HVWDGRVFRQEDVHHQGLFKRVGDWRV" 2.125 [EX02-125]/DVOOHJDGDVGHORVYXHORVDOJXQDYH]HV- WiQHQWLHPSR"(OS~EOLFRHQJHQHUDOSLHQVDTXHVLHPSUHHVWiQ GHPRUDGRVSHURORHVWiQ"(O%XUHDXRI7UDQVSRUWDWLRQPDQ- WLHQHUHJLVWURV\UHSRUWDSHULyGLFDPHQWHORVKDOOD]JRV$FRQ- WLQXDFLyQVHSUHVHQWDQORVSRUFHQWDMHVGHODVOOHJDGDVDWLHPSR HQORVSULQFLSDOHVDHURSXHUWRVHVWDGRXQLGHQVHVGXUDQWHHO PHVGHDEULOGH ATL 71.2 BOS 77.7 BWI 83.9 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVGDWRVGHGHVHPSHxR HQWLHPSR E 'LEXMDXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHGLFKRVGDWRV F (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV\GLEXMDXQGLDJUDPD GHFDMDV\ELJRWHV G (QFXHQWUDP\P H 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQGHSRUFHQWDMHHQWLHPSR\DVHJ~- UDWHGHLQFOXLUODLQIRUPDFLyQTXHDSUHQGLVWHHQORVLQFL- VRVDDOG I 3RUTXpHVPiVSUREDEOHTXHKDEOHVGHSRUFHQWDMHVGH GHVHPSHxRVXSHULRUHVDRTXHGHSRUFHQWDMHVHQ PHGLRGHR" FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: Instituto para la Diversidad y tica en los Deportes Fuente: http://www-fars.nhtsa.dot.gov/ Fuente: U.S. Department of Transportation, Bureau of Transportation Statistics Seccin 2.5 Medidas de posicin www.fullengineeringbook.net 94 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable J +D\DHURSXHUWRVFX\RVSRUFHQWDMHVHQWLHPSRSDUH]FDQ VHUPX\GLIHUHQWHVGHORVGHOUHVWR"&XiQWRV"&XiOHV" ([SOLFD 2.126 [EX02-126] /RV HVWDGLRV GH ODV *UDQGHV /LJDV GH %pLVEROYDUtDQHQHGDGHVWLORQ~PHURGHDVLHQWRV\PXFKDV RWUDVFRVDV3HURSDUDORVMXJDGRUHVGHEpLVEROHOWDPDxRGHO FDPSRHVORGHPD\RULPSRUWDQFLD6XSyQTXHHVWiVGHDFXHU- GRHQPHGLUHOWDPDxRGHOFDPSRXVDQGRODGLVWDQFLDGHVGHHO SODWRGHhomeKDVWDODEDUGDGHOMDUGtQFHQWUDO$FRQWLQXDFLyQ VHSUHVHQWDODGLVWDQFLDKDVWDHOMDUGtQFHQWUDOHQORVHVWDGLRV GHODV*UDQGHV/LJDVHQ Distancia: plato de home hasta barda del jardn central 420 400 400 400 400 400 408 400 400 406 434 405 400 415 400 404 407 405 422 404 435 400 400 404 401 396 400 403 408 408 D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD E (OUDQJRLQWHUFXDUWtOLFRVHGHVFULEHPHGLDQWHODVFRWDV GHFHQWUDOGHORVGDWRVQ\Q(QFXHQWUDHOUDQJR LQWHUFXDUWtOLFR F +D\FDPSRVTXHSDUH]FDQVHUFRQVLGHUDEOHPHQWHPiV SHTXHxRVRPiVJUDQGHVTXHORVRWURV" G ([LVWHXQDJUDQGLIHUHQFLDHQHOWDPDxRGHHVWRV FDPSRVVHJ~QODGLVWDQFLDPHGLGDKDVWDHOMDUGtQFHQWUDO" -XVWLFDWXUHVSXHVWDFRQHYLGHQFLDHVWDGtVWLFD 2.1274XpSURSLHGDGQHFHVLWDODGLVWULEXFLyQSDUDTXHPH- GLDQDUDQJRPHGLR\FXDUWLOPHGLRWHQJDQWRGRVHOPLVPRYD- ORU" 2.128 [EX02-128] +HQU\&DYHQGLVKTXtPLFR\ItVLFRLQJOpV DERUGyPXFKRVGHVXVH[SHULPHQWRVFRQPHGL- FLRQHVFXDQWLWDWLYDV)XHHOSULPHURHQPHGLUFRQSUHFLVLyQOD GHQVLGDGGHOD7LHUUD$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDQPHGL- FLRQHVFODVLFDGDVSDUDWXFRQYHQLHQFLDGHODGHQVLGDGGHOD 7LHUUDUHDOL]DGRVSRU&DYHQGLVKHQXVDQGRXQDEDODQ]D GH WRUVLyQ/DGHQVLGDG VHSUHVHQWD FRPRXQP~OWLSORGH OD GHQVLGDGGHODJXD0HGLFLRQHVHQJFP 4.88 5.07 5.10 5.26 5.27 5.29 5.29 5.30 5.34 5.34 5.36 5.39 5.42 5.44 5.46 5.47 5.50 5.53 5.55 5.57 5.58 5.61 5.62 5.63 5.65 5.68 5.75 5.79 5.85 D 'HVFULEHHOFRQMXQWRGHGDWRVDOFDOFXODUODPHGLDPHGLD- QD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU E &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\H[SOLFDFyPRGHPXHVWUDORV YDORUHVGHORVHVWDGtVWLFRVGHVFULSWLYRVGHOLQFLVRD F (QFXHQWUDHOUHVXPHQGHQ~PHURV G &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHV\H[SOLFDFyPR GHPXHVWUDORVYDORUHVGHORVHVWDGtVWLFRVGHVFULSWLYRVGHO LQFLVRF H &RQEDVHHQORVGRVJUiFRVTXpIRUPDWLHQHODGLVWUL- EXFLyQGHPHGLFLRQHV" I 6LVXSRQHVTXHODVPHGLFLRQHVGHODGHQVLGDGGHOD7LHUUD WLHQHQDSUR[LPDGDPHQWHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOPiVR PHQRVGHORVGDWRVGHEHFDHUGHQWURGHGHVYLDFLR- QHVHVWiQGDUGHODPHGLD(VFLHUWR" 2.129(QFXHQWUDHOYDORUzSDUDODVFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQ GH\HQXQDSUXHEDTXH WLHQHXQDPHGLDGH\XQD GHVYLDFLyQHVWiQGDUGH 2.1308QDPXHVWUDWLHQHXQDPHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGH(QFXHQWUDHOYDORUzSDUDFDGDYDORUGHx D x E x F x G x 2.1318QH[DPHQSURGXMRFDOLFDFLRQHVFRQXQDFDOLFDFLyQ PHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH(QFXHQWUDHO YDORU]SDUDFDGDFDOLFDFLyQGHH[DPHQ[ D x E x F x G x 2.1328QH[DPHQDSOLFDGRHQODQDFLyQWLHQHXQDPHGLDGH \XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH6LWXYDORUHVWiQGDUHQ HVWHH[DPHQIXHFXiOIXHWXFDOLFDFLyQGHH[DPHQ" 2.1338QDPXHVWUDWLHQHXQDPHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGH(QFXHQWUDHOYDORUGHxTXHFRUUHVSRQGDD FDGDXQRGHHVWRVYDORUHVHVWiQGDU D z E z F z G z 2.134D 4XpVLJQLFDGHFLUTXHx WLHQHXQYDORU HVWiQGDUGH" E4XpVLJQLFDGHFLUTXHXQYDORUSDUWLFXODUGH[ WLHQHXQYDORUzGH" F(QJHQHUDOHOYDORUHVWiQGDUHVXQDPHGLGDGH TXp" 2.135 [EX02-107] &RQVLGHUD HO SRUFHQWDMH GH SXHQWHV LQ- WHUHVWDWDOHV\SURSLHGDGGHO(VWDGRTXHHUDQHVWUXFWXUDOPHQWH GHFLHQWHVRIXQFLRQDOPHQWHREVROHWRV6')2TXHVHPHQ- FLRQyHQHOHMHUFLFLRGHODSiJLQD D 2PLWHORVQRPEUHVGHORVHVWDGRV\FODVLFDORVYDORUHV 6')2HQRUGHQDVFHQGHQWHFRQOHFWXUDKRUL]RQWDOHQ FDGDOD E &RQVWUX\HXQDWDEODGHUHVXPHQGHQ~PHURV\HOFRUUHV- SRQGLHQWHGLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHV F (QFXHQWUDHOSRUFHQWDMHGHFXDUWLOPHGLR\HOUDQJRLQWHU- FXDUWtOLFR G&XiOHVVRQORVYDORUHVzSDUD&DOLIRUQLD+DZDL1HEUDV- ND2NODKRPD\5KRGH,VODQG" Fuente: http://mlb.com Fuente: Los datos y la informacin descriptiva se basan en material de "Do robust estimators work with real data? de Stephen M. Stigler, Annals of Statistics 5 (1977), 1055-1098. www.fullengineeringbook.net 95 /DGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVXQDPHGLGDGHYDULDFLyQGLVSHUVLyQHQ ORVGDWRV6HGHQH FRPRXQYDORUFDOFXODGRFRQHOXVRGHIyUPXODV$~QDVtSXHGHVSUHJXQWDUWHTXpFRVDHV HQUHDOLGDG\FyPRVHUHODFLRQDFRQORVGDWRV(VXQWLSRGHYDUDGHPHGLUFRQODTXHVH SXHGHFRPSDUDUODYDULDELOLGDGGHXQFRQMXQWRGHGDWRVFRQODGHRWUR(VWDPHGLGDSDUWL- FXODUSXHGHHQWHQGHUVHD~QPiVDOH[DPLQDUGRVHQXQFLDGRVTXHGLJDQFyPRODGHVYLDFLyQ HVWiQGDUVHUHODFLRQDFRQORVGDWRVODregla emprica\HOteorema de Chebyshev La regla emprica y la prueba de normalidad Regla emprica Si una variable tiene distribucin normal, entonces: 1) dentro de 1 desviacin estndar de la media, habr aproximadamente 68% de los datos; 2) dentro de 2 desviaciones estndar de la media, habr aproximada- mente 95% de los datos; y 3) dentro de 3 desviaciones estndar de la media, habr aproximadamente 99.7% de los datos. (Esta regla se aplica especfica- mente a una distribucin normal [con forma de campana], pero se aplica con frecuencia como una gua interpretativa a cualquier distribucin montada.) /DJXUDPXHVWUDORVLQWHUYDORVGH\GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUHQWRUQRDOD PHGLDGHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO3RUORJHQHUDOHVWDVSURSRUFLRQHVQR RFXUUHQFRQH[DFWLWXGHQXQDPXHVWUDSHURWXVYDORUHVREVHUYDGRVHVWDUiQFHUFDFXDQGRVH H[WUDLJDXQDJUDQPXHVWUDGHXQDSREODFLyQFRQGLVWULEXFLyQQRUPDO 2.136(O$&7$VVHVVPHQWHVWiGLVHxDGRSDUDYDORUDUHOGH- VDUUROORHGXFDWLYRJHQHUDOGHORVHVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWR\ VXKDELOLGDGSDUDFRPSOHWDUHO WUDEDMRGHQLYHOXQLYHUVLWDULR /D WDEODPHQFLRQD ODPHGLD \ OD GHVYLDFLyQ HVWiQGDU GH ODV FDOLFDFLRQHVREWHQLGDVSRUORVHVWXGLDQWHVGHED- FKLOOHUDWRGHODVFODVHVHQTXHVHJUDGXDURQGHD\ TXHDSOLFDURQHOH[DPHQ$&7 2006-2008 Ingls Matemticas Lectura Ciencia Composicin Media 20.6 21.0 21.4 20.9 21.1 Desviacin estndar 6.0 5.1 6.1 4.8 4.9 &RQYLHUWHODVVLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQ$&7HQYD- lores zSDUDLQJOpV\PDWHPiWLFDV&RPSDUDODFRORFDFLyQHQWUH ORVGRVH[iPHQHV D x E x F x G ([SOLFDSRUTXpODVSRVLFLRQHVUHODWLYDVHQLQJOpV\PDWH- PiWLFDVFDPELDURQSDUDODVFDOLFDFLRQHV$&7GH\ H 6L-HVVLFDWXYRXQHQXQRGHORVH[iPHQHV$&7HQ FXiOGHORVH[iPHQHVWHQGUtDODPHMRUFDOLFDFLyQUHODWLYD SRVLEOH"([SOLFDSRUTXp 2.137&XiOYDORUxWLHQHODPD\RUSRVLFLyQUHODWLYDDOFRQ- MXQWRGHGDWRVGHORVTXHSURYLHQH" $x GRQGHPHGLD \GHVYLDFLyQ HVWiQGDU %x GRQGHPHGLD \GHVYLDFLyQ HVWiQGDU 2.138&XiOYDORUxWLHQHODPHQRUSRVLFLyQUHODWLYDDOFRQ- MXQWRGHGDWRVGHORVTXHSURYLHQH" $x GRQGHx \s %x GRQGHx \s 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar Fuente: American College Testing Seccin 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 96 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable x + 3s x + 2s x + s x x 2s x s x 3s 3 2 1 0 1 2 3 2.5% 13.5% 13.5% 34% 34% 2.5% 68% 95% 99.7% 6LXQDGLVWULEXFLyQHVDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDOVHUiFDVLVLPpWULFD\ODPHGLDGLYLGLUi ODGLVWULEXFLyQDODPLWDGODPHGLD\ODPHGLDQDVRQODVPLVPDVHQXQDGLVWULEXFLyQVLPp- WULFD(VWRSHUPLWHUHQDUODUHJODHPStULFDFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Valores z /DUHJODHPStULFDSXHGHXVDUVHSDUDGHWHUPLQDUVLXQFRQMXQWRGHGDWRVWLHQHXQDGLVWUL- EXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO$FRQWLQXDFLyQVHGHPRVWUDUiHVWDDSOLFDFLyQDOWUDEDMDU FRQODGLVWULEXFLyQGHFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQQDOTXHVHKDXVDGRDORODUJRGHHVWH FDStWXOR6HHQFRQWUyTXHODPHGLDxHV\TXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUsHUD(O LQWHUYDORGHVGHGHVYLDFLyQHVWiQGDUSRUDEDMRGHODPHGLDxsKDVWDGHVYLDFLyQHVWiQ- GDUSRUDUULEDGHODPHGLDx + sHV KDVWD (VWH LQWHUYDORDLQFOX\H$OLQVSHFFLRQDUORVGDWRVFODVLFDGRV WDEODSSXHGHVYHUTXHGHORVGDWRVR\DFHQGHQWURGHGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGHODPHGLD0iVD~Qxs KDVWD xs SURGXFHHOLQWHUYDORGHD'HORVGDWRV R\DFHQGHQWURGHGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLD/RVGDWRVRVH LQFOX\HQGHQWURGHGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLDGHVGHKDVWD(VWD LQIRUPDFLyQSXHGHFRORFDUVHHQXQDWDEODSDUDFRPSDUDFLyQFRQORVYDORUHVGDGRVSRUOD UHJODHPStULFDFRQVXOWDODWDEOD FIGURA 2.31 Regla emprica FIGURA 2.32 Refinamiento de la regla emprica Porcentaje regla Porcentaje Intervalo emprica encontrado x s hasta x + s 68 68 x 2s hasta x + 2s 95 96 x 3s hasta x + 3s 99 .7 100 TABLA 2.17 Porcentajes observados frente a la regla emprica www.fullengineeringbook.net 97 /RVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRVHVWiQUD]RQDEOHPHQWHFHUFDGHORVSUHGLFKRVSRUODUHJOD HPStULFD$OFRPELQDUHVWDHYLGHQFLDFRQODIRUPDGHOKLVWRJUDPDFRQVXOWDODJXUD SSXHGHVGHFLUFRQVHJXULGDGTXHORVGDWRVGHOH[DPHQQDOWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQ DSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO ([LVWHRWUDIRUPDGHSRQHUDSUXHEDODQRUPDOLGDGDOGLEXMDUXQDJUiFDGHSUREDELOL- GDGXQDRMLYDTXHVHGLEXMDVREUHSDSHOGHSUREDELOLGDG FRQXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXOD- GRUDJUDFDGRUD3DUDLOXVWUDFLyQHQODJXUDVHPXHVWUDXQDJUiFDGHSUREDELOLGDG GHORVHVWDGtVWLFRVGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQQDO/DSUXHEDGHQRUPDOLGDGHQHVWH SXQWRGHOHVWXGLRGH ODHVWDGtVWLFDHVVLPSOHPHQWHFRPSDUDU ODJUiFDGH ORVGDWRVOD RMLYDFRQODOtQHDUHFWDTXHVHGLEXMDGHVGHODHVTXLQDLQIHULRUL]TXLHUGDKDVWDODHVTXLQD VXSHULRUGHUHFKDGHODJUiFD6LODRMLYDVHHQFXHQWUDFHUFDGHHVWDOtQHDUHFWDVHGLFHTXH ODGLVWULEXFLyQHVDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO/DHVFDODYHUWLFDOTXHVHXVDSDUDFRQVWUXLUOD JUiFDGHSUREDELOLGDGVHDMXVWDGHPRGRTXHODRMLYDSDUDXQDGLVWULEXFLyQH[DFWDPHQWH QRUPDOWUD]DUiODOtQHDUHFWD/DRMLYDGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQVLJXHODOtQHDUHFWD PX\GHFHUFDORTXHVXJLHUHTXHODGLVWULEXFLyQGHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQHVDSUR[L- PDGDPHQWHQRUPDO Calificacin 6LXVDVFRPSXWDGRUDREWHQGUiVXQDSLH]DDGLFLRQDOGH LQIRUPDFLyQDOGHWHUPLQDU OD QRUPDOLGDG(VWDSLH]DGHLQIRUPDFLyQYLHQHHQODIRUPDGHXQYDORUp\VLVXYDORUHV PD\RUTXHSXHGHVVXSRQHUTXHODPXHVWUDVHH[WUDMRGHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPD- GDPHQWHQRUPDOVLHOYDORUpQRHVQRUPDO(OYDORUpVHGHQLUiGHPDQHUDPiV FRPSOHWDHQHOFDStWXORVHFFLyQ PTI *En papel de pro- babilidad la escala vertical no es uniforme; se ajust para explicar la forma montada de una distribucin normal y sus porcentajes acu- mulados. FIGURA 2.33 Grfica de probabilidad de calificaciones del examen de estadstica Calificaciones del examen final PorcentajeMINITAB Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > Normality Test Escribe: Variable: C1 Ttulo: tu ttulo > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A S D E N O R M A L I D A D Seccin 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar 108 98 88 78 68 58 48 38 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 www.fullengineeringbook.net 98 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 3 4 s Teorema de Chebyshev (QHOFDVRGHTXHORVGDWRVQRVHGHVSOLHJXHQHQXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRU PDO HO WHRUHPD GH&KHE\VKHY SURSRUFLRQD LQIRUPDFLyQ DFHUFD GH FXiQWR GH ORV GDWRV FDHUiGHQWURGHLQWHUYDORVFRQFHQWURHQODPHGLDSDUDWRGDVODVGLVWULEXFLRQHV Teorema de Chebyshev La proporcin de cualquier distribucin que yazca dentro de k desviaciones estndar de la media es al menos 1 , donde k es cualquier nmero positivo mayor que 1. Este teorema se aplica a todas las distribuciones de datos. (VWHWHRUHPDGLFHTXHGHQWURGHGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLDk VLHPSUH HQFRQWUDUiVDOPHQRVHVWRHVRPiVGHORVGDWRV = al menos 75% k /DJXUDPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQPRQWDGDTXHLOXVWUDDOPHQRV 6LFRQVLGHUDVHOLQWHUYDORHQFHUUDGRSRUGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUHQFXDOTXLHUODGRGH ODPHGLDk HOWHRUHPDGLFHTXHVLHPSUHHQFRQWUDUiVDOPHQRVHVWRHVR PiVGHORVGDWRV = al menos 89% k /DJXUDPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQDPRQWRQDGDTXHLOXVWUDDOPHQRV FIGURA 2.34 Teorema de Chebyshev con k = 2 FIGURA 2.35 Teorema de Chebyshev con k = 3 al menos al menos TI-83/84 Plus Excel Excel usa una prueba de normalidad, no la grfi ca de probabilidad. Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus* > Chi-Squared Test of Normality > OK Escribe: Rango de entrada: data (A1:A6 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si usas encabezados de columna) > OK Los valores esperados para una distribucin normal se proporcionan frente a la distribucin dada. Si el valor p es mayor que 0.05, entonces la distribucin dada es aproximadamente normal. *Si Data Analysis Plus no aparece en el men Data, consulta la pgina 39. Escribe los datos en L1; despus contina con: Elige: Window Escribe: cuando mucho el valor de datos ms pequeo, al menos el valor de datos ms grande, escala x, -5, 5, 1, 1 Selecciona: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot 1 k2 8 9 s x 3s x 2s x + 3s x + 3s x x www.fullengineeringbook.net 99 9XHOYHDUHYLVDUORVUHVXOWDGRVGHODSUXHEDGHIXHU]DHQDFRQGLFLRQDPLHQWRItVLFRTXH VHDSOLFyDORVDOXPQRVGHWHUFHUDxRHQHOHMHUFLFLRGHODSiJLQD$FRQWLQXDFLyQ VHSUHVHQWDQORVUHVXOWDGRVGHVXVH[iPHQHVHQRUGHQDVFHQGHQWH\VHPXHVWUDQHQHOKLV- WRJUDPD Fuerza $OJXQDVSUHJXQWDVGHLQWHUpVVRQHVWDGLVWULEXFLyQVDWLVIDFHODUHJODHPStULFD"(OWHR- UHPDGH&KHE\VKHYFRQWLQ~DVLHQGRYiOLGR"/DGLVWULEXFLyQHVDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO" 3DUDUHVSRQGHUODVSULPHUDVGRVSUHJXQWDVQHFHVLWDVHQFRQWUDUHOSRUFHQWDMHGHGDWRV HQFDGDXQRGHORVWUHVLQWHUYDORVHQWRUQRDODPHGLD/DPHGLDHV\ODGHVYLDFLyQ HVWiQGDUHV 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 8 9 9 9 9 9 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 16 17 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22 22 23 24 24 media k (Desv. est.) Intervalo Porcentaje encontrado Emprica Al menos 13.0 1(6.6) 6.4 a 19.6 36/64 = 56.3% 68% 13.0 2 (6.6) 0.2 a 26.2 64/64 = 100% 95% al menos 75% 13.0 3(6.6) 6.8 a 32.8 64/64 = 100% 99.70% al menos 89% 7~GHEHVYHULFDUORVYDORUHVGHODPHGLDGHVYLDFLyQHVWiQGDUORVLQWHUYDORV\ORVSRU- FHQWDMHV /RVWUHVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRV\QRVHDSUR[LPDQDORVSRUFHQWDMHV GH\HVWDEOHFLGRVHQODUHJODHPStULFD/RVGRVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRV\ FRQFXHUGDQFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYHQTXHVRQPD\RUHVTXH\5HFXHU- GDHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYVHPDQWLHQHSDUDWRGDVODVGLVWULEXFLRQHV /DSUXHEDGHQRUPDOLGDGTXHVHLQWURGXMRHQODSiJLQDSURGXFHXQYDORUSGH \MXQWRFRQODGLVWULEXFLyQYLVWDHQHOKLVWRJUDPD\ORVWUHVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRVHV UD]RQDEOHFRQFOXLUTXHHVWRVUHVXOWDGRVGHSUXHEDQRWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 6 2.139/DVLQVWUXFFLRQHVSDUDODDVLJQDFLyQGHXQHQVD\RLQ- FOX\HQHOHQXQFLDGR/DORQJLWXGGHEHVHUHVWDUGHQWURGH SDODEUDVGH4XpYDORUHVGHxQ~PHURGHSDODEUDVVD- WLVIDFHQHVWDVLQVWUXFFLRQHV" 2.140/DUHJODHPStULFDLQGLFDTXHVHSXHGHHVSHUDUHQFRQWUDU TXpSURSRUFLyQGHODPXHVWUDLQFOXLGDHQWUHORVLJXLHQWH D xs\x + s E xs\xs F xs\xs 2.1413RUTXpHVTXHHOYDORUzSDUDXQYDORUTXHSHUWHQHFH DXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOSRUORJHQHUDO\DFHHQWUH\" 2.142/DYLGDPHGLDGHFLHUWRQHXPiWLFRHVPLOODV\OD GHVYLDFLyQHVWiQGDUHVPLOODV D 6LVXSRQHVTXHHOPLOODMHWLHQHGLVWULEXFLyQQRUPDO DSUR[LPDGDPHQWHTXpSRUFHQWDMHGHWRGRVHVRVQHXPiWL- FRVGXUDUiHQWUH\PLOODV" FRQWLQ~DHQODSiJLQD Histograma de fuerza FrecuenciaSeccin 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar 10 6 8 4 2 0 0 5 10 15 20 25 www.fullengineeringbook.net 100 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable E 6LQRVXSRQHVQDGDDFHUFDGHODIRUPDGHODGLVWULEXFLyQ DSUR[LPDGDPHQWHTXpSRUFHQWDMHGHWRGRVHVRVQHXPiWL- FRVGXUDUiHQWUH\PLOODV" 2.143(OWLHPSRGHOLPSLH]DSURPHGLRSDUDXQHTXLSRGHXQD HPSUHVDGH WDPDxRPHGLRHVKRUDV\ ODGHVYLDFLyQHV- WiQGDUHVKRUDV6XSyQTXHODUHJODHPStULFDHVDGHFXDGD D 4XpSURSRUFLyQGHOWLHPSRWRPDUiDOHTXLSRGHOLPSLH]D KRUDVRPiVSDUDOLPSLDUODSODQWD" E 'HQWURGHTXpLQWHUYDORFDHUiHOWLHPSRGHOLPSLH]DWRWDO GHODVYHFHV" 2.144D4XpSURSRUFLyQGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOHV PD\RUTXHODPHGLD" E4XpSURSRUFLyQHVWiGHQWURGHGHVYLDFLyQHVWiQ- GDUGHODPHGLD" F4XpSURSRUFLyQHVPD\RUTXHXQYDORUTXHHVWi GHVYLDFLyQHVWiQGDUSRUDEDMRGHODPHGLD" 2.145&RQODUHJODHPStULFDGHWHUPLQDHOSRUFHQWDMHDSUR[L- PDGRGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOTXHVHHVSHUDFDLJDGHQWUR GHOLQWHUYDORGHVFULWR D 0HQRVTXHODPHGLD E 0D\RUTXHGHVYLDFLyQHVWiQGDUSRUDUULEDGHODPHGLD F 0HQRVTXHGHVYLDFLyQHVWiQGDUSRUDUULEDGHODPHGLD G (QWUHGHVYLDFLyQHVWiQGDUSRUDEDMRGHODPHGLD\ GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUSRUDUULEDGHODPHGLD 2.146'HDFXHUGRFRQODUHJODHPStULFDFDVLWRGRVORVGDWRV GHEHQHQFRQWUDUVHHQWUHxs\xs(OUDQJRFXHQWD SDUDWRGRVORVGDWRV D 4XpUHODFLyQGHEHPDQWHQHUVHDSUR[LPDGDPHQWHHQWUH ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU\HOUDQJR" E &yPRSXHGHVXVDUORVUHVXOWDGRVGHOLQFLVRDSDUDHVWL- PDUODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHQVLWXDFLRQHVFXDQGRVHFRQR- FHHOUDQJR" 2.147(OWHRUHPDGH&KHE\VKHYJDUDQWL]DTXpSURSRUFLyQGH XQDGLVWULEXFLyQVHLQFOXLUiGHHQWUHORVLJXLHQWH Dxs\xs E xs\xs 2.148'HDFXHUGRFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYTXpSURSRU- FLyQGHXQDGLVWULEXFLyQHVWDUiGHQWURGHk GHVYLDFLRQHV HVWiQGDUGHODPHGLD" 2.149(OWHRUHPDGH&KHE\VKHYSXHGHHQXQFLDUVHHQXQDIRU- PDHTXLYDOHQWHDODGDGDHQODSiJLQD3RUHMHPSORGHFLU DOPHQRVGHORVGDWRVFDHQGHQWURGHGHVYLDFLRQHVHV- WiQGDUGHODPHGLDHVHTXLYDOHQWHDDUPDUFXDQGRPXFKR HVWDUiDPiVGHGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHGLVWDQFLDGH ODPHGLD D &XDQGRPXFKRTXpSRUFHQWDMHGHXQDGLVWULEXFLyQHVWD- UiDRPiVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLD" E &XDQGRPXFKRTXpSRUFHQWDMHGHXQDGLVWULEXFLyQHVWD- UiDRPiVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLD" 2.150/DVFDOLFDFLRQHVREWHQLGDVSRUORVHVWXGLDQWHVHQ(V- WDGRV8QLGRVFRQIUHFXHQFLDGDQGHTXpKDEODU\FRQEDVHHQ GLFKDVFDOLFDFLRQHV VHH[WUDH WRGR WLSRGHFRQFOXVLRQHV(O $&7 $VVHVVPHQW HVWi GLVHxDGR SDUD YDORUDU HO GHVDUUROOR HGXFDWLYRJHQHUDOGHORVHVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWR\VXKDEL- OLGDGSDUDFRPSOHWDUHOWUDEDMRGHQLYHOXQLYHUVLWDULR8QDGH ODVFDWHJRUtDVTXHVHSRQHDSUXHEDHVHOUD]RQDPLHQWRFLHQ- WtFR/DFDOLFDFLyQPHGLDGHOH[DPHQ$&7SDUDWRGRVORV JUDGXDGRVGHEDFKLOOHUDWRHQHQUD]RQDPLHQWRFLHQWtFR IXHFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH D 'HDFXHUGRFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYDOPHQRVTXp SRUFHQWDMHGHFDOLFDFLRQHV$&7GHJUDGXDGRVGHEDFKL- OOHUDWRHQUD]RQDPLHQWRFLHQWtFRHVWXYLHURQHQWUH\ " E 6LVDEHVTXHODVFDOLFDFLRQHV$&7WLHQHQXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOTXpSRUFHQWDMHGHFDOLFDFLRQHVGHUD]RQD- PLHQWRFLHQWtFR$&7HVWXYLHURQHQWUH\" 2.151'HDFXHUGRFRQOD86&HQVXV%XUHDXDSUR[LPDGDPHQ- WHGHORVPLOORQHVGHORVKDELWDQWHVGHDDxRV GHHGDGHQ(VWDGRV8QLGRVHVWiQLQVFULWRVHQHGXFDFLyQVXSH- ULRU3DUDVRQGHDUFRQPiVSUHFLVLyQDHVWRVMyYHQHVYRWDQWHV XQSURIHVRUGH(GJHZRRG&ROOHJH0DGLVRQ:,UHDOL]yXQD HQFXHVWDQDFLRQDOHQFDPSXVXQLYHUVLWDULRVGHSHUVRQDV GHDDxRVGHHGDGHQXQLYHUVLGDGHVGHODOGH RFWXEUHGH/DHQFXHVWDDQDOL]yFXiOHVIXHQWHVGHLQIRU- PDFLyQLQX\HURQPiVORVYRWRVGHORVHVWXGLDQWHV&RQEDVH HQXQDHVFDODGHDFRQFRPRPiVLQX\HQWH ORV HVWXGLDQWHVGLMHURQTXHODVPiVLQX\HQWHVIXHURQORVGHEDWHV SUHVLGHQFLDOHVPHGLD GHVYLDFLyQHVWiQGDU D 'HDFXHUGRFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYDOPHQRVTXp SRUFHQWDMHGHODVFDOLFDFLRQHVHVWiQHQWUH\" E 6LVDEHVTXHGLFKDVFDOLFDFLRQHVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRU- PDOTXpSRUFHQWDMHGHGLFKDVFDOLFDFLRQHVHVWiQHQWUH \" F ([SOLFDSRUTXpODUHODFLyQHQWUHODVFRWDVGHLQWHUYDORGH ORVLQFLVRVD\EODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGDGDV HQODSUHJXQWDVXJLHUHQTXHODGLVWULEXFLyQGHFDOLFDFLR- QHVQRWLHQHGLVWULEXFLyQQRUPDO,QFOX\HHVSHFLFLGDGHV 2.152 [EX02-152](OSULPHUGtDGHFODVHVGHO~OWLPRVHPHV- WUH VHSUHJXQWyDHVWXGLDQWHVSRU ODGLVWDQFLDGHXQDYtD GHVGHVXFDVDKDVWD ODXQLYHUVLGDG D ODPLOODPiVFHUFDQD /RVGDWRVUHVXOWDQWHVVRQORVVLJXLHQWHV 6 5 3 24 15 15 6 2 1 3 5 10 9 21 8 10 9 14 16 16 10 21 20 15 9 4 12 27 10 10 3 9 17 6 11 10 12 5 7 11 5 8 22 20 13 1 8 13 4 18 D &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDDJUXSDGDGHORV GDWRVFRQHOSULPHUGtDGHFODVHV >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 101 E &DOFXODODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU F 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHxs\GHWHUPLQDHOSRUFHQWDMH GHGDWRVGHQWURGHGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLD 2.153 [EX02-153](O'HSDUWDPHQWRGH7UDEDMRHPLWLyHOUH- SRUWHGHGHVHPSHxRHVWDGRSRUHVWDGRGHIHEUHURGH\ PRVWUyGHFOLYHFRQWLQXRHQHOPHUFDGRODERUDO/DVVLJXLHQWHV VRQODVWDVDVGHGHVHPSOHRHQIHEUHURGHSDUDORVHV- WDGRV\'& Tasas de desempleo estatal, febrero 2009 8.4 8.0 7.4 6.6 10.5 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD E (OKLVWRJUDPDVXJLHUHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQ- WHQRUPDO" F (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU G (QFXHQWUDHOSRUFHQWDMHGHGDWRVTXHFDHGHQWURGHORV WUHVGLIHUHQWHVLQWHUYDORVHQWRUQRDODPHGLD\FRPSiUD- ORVFRQODUHJODHPStULFD/RVSRUFHQWDMHV\ODUHJODHP- StULFDFRQFXHUGDQFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRE"([SOLFD H 8WLOL]DXQDGHODV,QVWUXFFLRQHVGH7HFQRORJtDSUXHEDV GHQRUPDOLGDGGHODVSiJLQDV&RPSDUDORVUHVXO- WDGRVFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRG 2.154 [EX02-154] 8QDGHODVPXFKDVFRVDVTXHUHSRUWDDO S~EOLFROD86&HQVXV%XUHDXHVHODXPHQWRGHODSREODFLyQ SDUDYDULDViUHDVJHRJUiFDVGHQWURGHOSDtV(QODVLJXLHQWH WDEODVHFLWDQORVSRUFHQWDMHVGHDXPHQWRGHODSREODFLyQSDUD ORVFRQGDGRVGHPiVUiSLGRFUHFLPLHQWRFRQRPiV KDELWDQWHVHQHQ(VWDGRV8QLGRVGHOGHDEULOGH DOGHMXOLRGH Porcentaje de aumento de la poblacin 89.6 83.1 82.1 80.2 71.0 70.8 64.5 63.2 60.5 59.7 58.9 57.7 56.1 55.0 53.7 53.2 52.9 52.3 51.9 50.1 50.0 48.4 48.2 47.7 47.6 47.5 47.4 47.0 47.0 46.4 46.0 44.4 44.1 44.1 44.0 41.4 41.0 41.0 40.5 40.1 40.0 39.9 39.8 39.0 38.7 38.7 38.5 38.5 38.1 38.0 37.9 37.8 37.7 37.6 37.5 37.3 36.9 36.8 36.6 36.4 36.4 36.1 36.0 35.9 35.6 35.6 35.6 35.6 35.5 35.4 35.0 34.8 34.7 34.5 34.4 34.2 34.0 34.0 33.1 33.1 33.0 32.9 32.9 32.8 32.7 32.6 32.6 32.4 32.4 32.1 32.0 31.9 31.8 31.7 31.6 31.3 31.2 31.1 31.0 30.9 D &DOFXODODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU E 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHxs\xs\GHWHUPLQDHO SRUFHQWDMHGHGDWRVGHQWURGH\GHVYLDFLRQHVHVWiQGDU GHODPHGLD F /RVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRVHQHOLQFLVREFRQFXHUGDQ FRQODUHJODHPStULFD"4XpVLJQLFDHVWR" G /RVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRVHQHOLQFLVREFRQFXHUGDQ FRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHY"4XpVLJQLFDHVWR" H &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\RWUDJUiFDGHWXHOHFFLyQ /DJUiFDPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQTXHFRQFXHUGHFRQ WXVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVF\G"([SOLFD I 8WLOL]DXQDGHODV,QVWUXFFLRQHVGH7HFQRORJtDGHODV SUXHEDVGHQRUPDOLGDGGHODVSiJLQDV&RPSDUD ORVUHVXOWDGRVFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRF 2.155 [EX02-155] &DGDDxRD ORV IDQiWLFRVGHO I~WEROFR- OHJLDO1&$$ OHV JXVWD VDEHU DFHUFD GH OD SUy[LPD FODVH GH MXJDGRUHVGHSULPHUDxR$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDQODVHVWD- WXUDVHQSXOJDGDVGHORVPHMRUHVMXJDGRUHVGHI~WEROGH EDFKLOOHUDWRHQWRGRHOSDtVSDUD 73 75 71 76 74 77 74 72 73 72 74 72 74 72 72 78 73 76 75 72 77 76 73 72 76 72 73 70 75 72 71 74 77 78 74 75 71 75 71 76 70 76 72 71 74 74 71 72 76 71 75 79 78 79 74 76 76 76 75 73 74 70 74 74 75 75 75 75 76 71 74 75 74 78 72 73 71 72 73 72 74 75 77 73 77 75 77 71 72 70 74 76 71 73 76 76 79 77 74 78 D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\RWUDJUiFDGHWXHOHFFLyQTXH PXHVWUHODGLVWULEXFLyQGHHVWDWXUDV E &DOFXODODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU F 2UGHQDORVGDWRVHQXQDOLVWDFODVLFDGD G 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHx sxs\xs\GHWHUPL- QDHOSRUFHQWDMHGHGDWRVGHQWURGH\GHVYLDFLRQHV HVWiQGDUGHODPHGLD H /RVSRUFHQWDMHVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRGFRQFXHU- GDQFRQODUHJODHPStULFD"4XpLPSOLFDHVWR"([SOLFD I /RVSRUFHQWDMHVHQFRQWUDGRVHQHOLQFLVRGFRQFXHUGDQ FRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHY"4XpVLJQLFDHVWR" J/DJUiFDPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQTXHFRQFXHUGHFRQWXV UHVSXHVWDVDOLQFLVRH"([SOLFD K 8WLOL]DXQDGHODV,QVWUXFFLRQHVGH7HFQRORJtDSUXHEDV GHQRUPDOLGDGGHODVSiJLQDV&RPSDUDORVUHVXO- WDGRVFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRH 2.156 [EX02-156] &DGDDxRDORVIDQiWLFRVGHOI~WEROFROH- JLDO1&$$OHVJXVWDVDEHUDFHUFDGHODWDOODGHORVMXJDGRUHV HQODFODVHGHUHFOXWDPLHQWRGHODxRHQFXUVR$FRQWLQXDFLyQ VHSUHVHQWDQORVSHVRVHQOLEUDVGHORVPHMRUHVMXJDGRUHV GHI~WEROGHEDFKLOOHUDWRHQWRGRHOSDtVSDUD Pesos en libras 176 226 210 205 225 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: http://blog.wsj.com/ Fuente: http://www.census.gov/ Fuente: http://www.takkle.com/ Fuente: http: //www.takkle.com/ Seccin 2.6 Interpretacin y comprensin de la desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 102 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable ([LVWHQWUHVWLSRVGHPHQWLUDVODVPHQWLUDVODVPDOGLWDVPHQWLUDV\ODHVWDGtVWLFD(VWDV QRWDEOHVSDODEUDVSURQXQFLDGDVSRU%HQMDPLQ'LVUDHOL SULPHUPLQLVWUREULWiQLFRHQHO siglo XIXUHSUHVHQWDQODYLVLyQFtQLFDGHODHVWDGtVWLFDTXHVRVWLHQHQPXFKDVSHUVRQDV/D PD\RUtDGHODVSHUVRQDVHVWiQHQHOH[WUHPRFRQVXPLGRUGHODHVWDGtVWLFD\SRUWDQWRWLHQHQ TXHWUDJDUODV Buena aritmtica, mala estadstica ([SORUDXQDPHQWLUDHVWDGtVWLFDURWXQGD6XSyQTXHXQDSHTXHxDHPSUHVDHPSOHDDRFKR SHUVRQDVTXHJDQDQHQWUH\DODVHPDQD(OGXHxRGHODHPSUHVDVHSDJDDVt PLVPRDODVHPDQDeOUHSRUWDDOS~EOLFRJHQHUDOTXHHOVDODULRSURPHGLRSDJDGRD ORVHPSOHDGRVGHVXHPSUHVDHVGHDODVHPDQD(VWHSXHGHVHUXQHMHPSORGHEXHQD DULWPpWLFDSHURHVPDODHVWDGtVWLFD(VXQDIDODFLDGHODVLWXDFLyQSRUTXHVyORXQHPSOHDGR 2.7 El arte del engao estadstico D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\RWUDJUiFDGHWXHOHFFLyQTXH PXHVWUHODGLVWULEXFLyQGHSHVRV E &DOFXODODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU F 2UGHQDORVGDWRVHQXQDOLVWDFODVLFDGD G 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHx sxs\xs\GHWHUPL- QDHOSRUFHQWDMHGHGDWRVGHQWURGH\GHVYLDFLRQHV HVWiQGDUGHVGHODPHGLD H /RVSRUFHQWDMHVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRGFRQFXHU- GDQFRQODUHJODHPStULFD"4XpLPSOLFDHVWR"([SOLFD I /RVSRUFHQWDMHVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRGFRQFXHU- GDQFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHY"4XpVLJQLFD" J /DVJUiFDVPXHVWUDQXQDGLVWULEXFLyQTXHFRQFXHUGD FRQ WXVUHVSXHVWDVDOLQFLVRH"([SOLFD K 8WLOL]DXQDGHODV,QVWUXFFLRQHVGH7HFQRORJtDSUXHEDV GHQRUPDOLGDGGHODVSiJLQDV&RPSDUDORVUHVXO- WDGRVFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRH 2.157/DUHJODHPStULFDDUPDTXHORVLQWHUYDORVGH\ GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUHQWRUQRDODPHGLDFRQWHQGUiQ\ UHVSHFWLYDPHQWH D 8VDORVFRPDQGRVGHFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDGHOD SiJLQDSDUDJHQHUDUDOHDWRULDPHQWHXQDPXHVWUDGH GDWRVGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHV- YLDFLyQHVWiQGDU&RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDFRQOtPLWHV GHFODVHTXHVHDQP~OWLSORVGHODGHVYLDFLyQHVWiQGDU HVWRHVXVDOtPLWHVGHVGHKDVWDHQLQWHUYDORV GHFRQVXOWDORVFRPDQGRVGHODVSS&DOFXOD ODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUFRQORVFRPDQGRVTXH VHHQFXHQWUDQHQODVSiJLQDV\GHVSXpVUHYLVDHO KLVWRJUDPDSDUDGHWHUPLQDUHOSRUFHQWDMHGHORVGDWRVTXH FDHQGHQWURGHFDGDXQRGHORVLQWHUYDORVGH\ GHVYLDFLRQHVHVWiQGDU&XiQFHUFDQDPHQWHVHFRPSDUDQ ORVWUHVSRUFHQWDMHVFRQORVSRUFHQWDMHVTXHDUPDODUH- JODHPStULFD" E 5HSLWHHOLQFLVRD2EWXYLVWHUHVXOWDGRVVLPLODUHVDORV GHOLQFLVRD"([SOLFD F &RQVLGHUDUHSHWLUHOLQFLVRDYDULDVYHFHVPiV/RVUHVXO- WDGRVVRQVLPLODUHVFDGDYH]"6LHVDVtHQTXpIRUPD" G 4XpFRQFOX\HVDFHUFDGHODYHUGDGGHODUHJODHPStULFD" 2.158(OWHRUHPDGH&KHE\VKHYDUPDTXHDOPHQRV GHORVGDWRVGHXQDGLVWULEXFLyQFDHUiQGHQWURGHkGHVYLDFLR- QHVHVWiQGDUGHODPHGLD D 8VDORVFRPDQGRVGHFRPSXWDGRUDGHODSiJLQDSDUD JHQHUDUDOHDWRULDPHQWHXQDPXHVWUDGHGDWRVDSDUWLU GHXQDGLVWULEXFLyQXQLIRUPHQRQRUPDOTXHWHQJDXQ YDORUEDMRGH\XQYDORUDOWRGH&RQVWUX\HXQKLV- WRJUDPDFRQOtPLWHVGHFODVHGHDHQLQFUHPHQWRVGH FRQVXOWDORVFRPDQGRVGHODVSS&DOFXODOD PHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUFRQORVFRPDQGRVTXHVH HQFXHQWUDQHQODVSiJLQDV\GHVSXpVLQVSHFFLRQDHO KLVWRJUDPDSDUDGHWHUPLQDUHOSRUFHQWDMHGHORVGDWRVTXH FDHQGHQWURGHFDGDXQRGHORVLQWHUYDORVGH\ GHVYLDFLRQHVHVWiQGDU&XiQFHUFDQDPHQWHVHFRPSDUDQ ORVWUHVSRUFHQWDMHVFRQORVSRUFHQWDMHVTXHDUPDQHO WHRUHPDGH&KHE\VKHY\ODUHJODHPStULFD" E 5HSLWHHOLQFLVRD2EWXYLVWHUHVXOWDGRVVLPLODUHVDORV GHOLQFLVRD"([SOLFD F &RQVLGHUDUHSHWLUHOLQFLVRDYDULDVYHFHVPiV/RVUHVXO- WDGRVVRQVLPLODUHVFDGDYH]"6LHVDVtHQTXpIRUPD" G 4XpFRQFOX\HVDFHUFDGHODYHUGDGGHOWHRUHPDGH &KHE\VKHY\GHODUHJODHPStULFD" k www.fullengineeringbook.net 103 HOSURSLHWDULRUHFLEHPiVGHOVDODULRPHGLR(OS~EOLFRSHQVDUiTXHODPD\RUtDGHORVHP SOHDGRVJDQDQDOUHGHGRUGHDODVHPDQD Engao grfi co /DVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiFDVSXHGHQVHUWUXFXOHQWDV\HQJDxRVDV/DHVFDODGHIUHFXHQFLD TXHSRUORJHQHUDOHVHOHMHYHUWLFDOGHEHFRPHQ]DUHQFHURFRQODQDOLGDGGHSUHVHQWDU XQDLPDJHQWRWDO3RUORJHQHUDOODVJUiFDVTXHQRFRPLHQ]DQHQFHURVHXVDQSDUDDKR UUDUHVSDFLR1RREVWDQWHHVWRSXHGHVHUHQJDxRVR/DVJUiFDVHQODVTXHODHVFDODGH IUHFXHQFLDFRPLHQ]DHQFHURWLHQGHQDHQIDWL]DUHOWDPDxRGHORVQ~PHURVLQYROXFUDGRV PLHQWUDV TXH ODV JUiFDV TXH VH UHFRUWDQSXHGHQ WHQGHU D HQIDWL]DU OD YDULDFLyQ HQ ORV Q~PHURVVLQLPSRUWDUHOWDPDxRUHDOGHORVQ~PHURV/DVHWLTXHWDVGHODHVFDODKRUL]RQWDO WDPELpQSXHGHQVHUHQJDxRVDV1HFHVLWDVLQVSHFFLRQDUODVUHSUHVHQWDFLRQHVJUiFDVFRQ PXFKRFXLGDGRDQWHVGHH[WUDHUDOJXQDFRQFOXVLyQDSDUWLUGHODKLVWRULDTXHVHFXHQWD &RQVLGHUDHOVLJXLHQWHHMHPSORDSOLFDGR 7RGRHVWRVHUHGXFHDTXHFRQODHVWDGtVWLFDFRPRFRQWRGRVORVOHQJXDMHVVHSXHGH DEXVDU(QPDQRVGHGHVFXLGDGRVLQH[SHUWRVRLQHVFUXSXORVRVODLQIRUPDFLyQHVWDGtVWLFD SXHGHVHUWDQIDOVDFRPRODVPDOGLWDVPHQWLUDV E J E M P L O A P L I C A D O 2 . 1 6 Fuente: http: //www.math.yorku.ca/ SCS/Gallery/context.html AFIRMAR LO QUE EL LECTOR ESPERA/MALAS NOTICIAS ANTICIPADAS Esta "astuta" superposicin grfi ca, del Ithaca Times (7 de diciembre de 2000), debe ser la peor grfi ca alguna vez publicada en una portada. La historia de portada, "Por qu la universidad debe costar tanto?", presenta dos grfi cas superpuestas en una escena del campus de la Cornell University. Las dos lneas quebradas representan "Colegiatura de Cornell" y "Clasifi cacin de Cornell", donde la colegiatura aumenta de manera constante y la clasifi cacin se es- tanca y cae. Se crea una imagen muy clara: los estudiantes obtienen menos y pagan ms! Ahora observa las dos grfi cas por separado. Observa: 1) Las grfi cas cubren dos periodos diferentes. 2) Las escalas verticales difi eren. 3) El "mejor" engao proviene de la impresin de que una "cada en la clasifi cacin" re- presenta una menor calidad de la educacin. No sera mejor un lugar 6 que un lugar 15? Cortesa del Ithaca TimesSEGN LAS CIFRAS: DURANTE 35 AOS, LA COLEGIATURA DE CORNELL HA TOMADO UNA PARTE CADA VEZ MS GRANDE DE LA MEDIANA DEL INGRESO FAMILIAR DEL ESTUDIANTE. JERARQUA: DURANTE 12 AOS, LA CLASIFICACIN DE CORNELL EN US NEWS & WORLD REPORT HA SUBIDO Y CADO ERRTICAMENTE. Fuente: http: //www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/context.html Seccin 2.7 El arte del engao estadstico .60 .50 .40 .30 .20 .10 .00 1965197019751980198519901995200016 14 12 10 8 6 4 2 0 198819891990199119921993199419951996199719981999 www.fullengineeringbook.net 104 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable E J E R C I C I O S S E C C I N 2 . 7 2.159D/DVLJXLHQWHJXUDHVXQDJUiFDGHEDUUDVRXQ KLVWRJUDPD"([SOLFDFyPRGHWHUPLQDVODUHVSXHVWD E(ODJUXSDPLHQWRSRUHGDGHVTXHVHXVyHQODJUiFD GH5HFRUWHGHFXSRQHVQRFRQGXFHDXQDJUiFD PX\LQIRUPDWLYD'HVFULEHFyPRSXGLHURQIRUPDU VHORVJUXSRVGHHGDG\FyPRVXJLHUHVTXHHODJUX SDPLHQWRGDUtDVLJQLFDGRDGLFLRQDODODJUiFD 2.160 Sabas que...?0LHQWUDVPiVDSUHQGHVPiVJDQDV 1RUHQXQFLHVDWXWUDEDMR 2EWpQWXJUDGRHQOtQHDVHJ~QWXFDOHQGDULR *DQDPiVGLQHUR D ([DPLQDHVWDJUiFDGHEDUUDV\GHVFULEHFyPRHVHQJD xRVD6pPX\HVSHFtFR E 9XHOYHDGLEXMDUODJUiFDGHEDUUDV\FRUULJHODVSURSLH GDGHVHQJDxRVDV 2.1614XpHVWiPDO HQHVWD LPDJHQ"eVDHV ODSUHJXQWD TXHGHEHVSODQWHDUWHFXDQGRREVHUYHVODVJUiFDVGHO(MHPSOR $SOLFDGRGHODSiJLQD D (QFXHQWUD\GHVFULEHDOPHQRVFXDWURFDUDFWHUtVWLFDVGHOD JUiFDGHODSRUWDGDTXHVHXVHQGHPDQHUDLQFRUUHFWD E (QFXHQWUD\GHVFULEHDOPHQRVGRVFDUDFWHUtVWLFDVDFHUFD GHODJUiFD-HUDUTXtDTXHVHDQHQJDxRVDV 2.1626DEtDVTXHHVPiVGHOGREOHTXH"5L GtFXORGLUiV D ([SOLFDFyPRODJUiFDVXJLHUHWDOUHODFLyQ E &yPRSRGUtDFRUUHJLUVHHVWDIDODFLD" F 9XHOYHDGLEXMDUHVWDJUiFDSDUDPRVWUDUFRUUHFWDPHQWH ODUHODFLyQHQWUH\ 2.163/DJUiFDGHSDVWHOVHGLEXMDFRUUHFWDPHQWHSHURRIUH FHXQDLPSUHVLyQLQFRUUHFWD ** Ingreso Nacional Promedio con Base en Nivel Educativo; Fuente: U.S. Census Bureau Population Survey 2004 o menos Tasa de mortalidad de acuerdo con la mediana de ingreso domstico Fuente: Anlisis de centros federales de los servicios Medicare y Medicaid Trabajar aos adicionales para el retiro Recorte de cupones y ms Como los altos precios de la gasolina y la prdida de vivienda dejaron a las personas sin efectivo el ao pasado, muchos examinaron el correo con ms cuidado en busca de cupones, en comparacin con seis meses antes. Por grupos de edad: Diploma de bachillerato Grado de asociado Grado de licenciatura Grado de maestra Posgrados Ataque cardiaco Promedio nacional (determinado por Medicare) Fuente: Encuesta Sun Life de 1 200 adultos de 30 a 66 aos de edad. Margen de error: 3 puntos porcentuales. Trabajars ms tiempo que lo planeado por cuestiones econmicas? S, 1 a 2 aos S, 3 a 5 aos S, ms de 5 aos Fuente: DMNews para Pitney Bowes; encuesta realizada en lnea entre 1 003 adultos, 9-16 de septiembre de 2008. www.fullengineeringbook.net 105 D (OiUHDGHFDGDVHJPHQWRFLUFXODUGHEHVHUSURSRUFLRQDO DOSRUFHQWDMHTXHUHSUHVHQWD([SOLFDFyPRSXHGHVXVDU ODVYDULOODVGHODVRPEULOODSDUDYHULFDUTXHORVVHJPHQ WRVHVWiQGLEXMDGRVGHPDQHUDFRUUHFWD E ([SOLFDSRUTXp\FyPRHVHQJDxRVDODJUiFD 2.164(VWDRIHUWDHVWDGtVWLFDHVXQDJUiFDPiVELHQLQJHQLRVD TXHXVDOLFHQFLDDUWtVWLFDFRQELOOHWHVFRPRODVEDUUDVGHXQD JUiFDGHEDUUDV8QSRUHOHVIXHU]RFRPRKDEUiVHVFX FKDGRDQWHVSHURORVDVSHFWRVGHODHVFDODGHODJUiFDIXHURQ FRPSURPHWLGRV D ,GHQWLFDFyPR\GyQGHODHVFDODGHSRUFHQWDMHHVWiPDO UHSUHVHQWDGD E 6LDFRQVHMDUDVDOGLEXMDQWHFyPRKDUtDVSDUDDMXVWDUORV ELOOHWHV\FRUUHJLUHOSUREOHPDGHVFULWRHQODUHVSXHVWDDO LQFLVRD" 2.1654XpWLSRVGHWUDQVDFFLRQHVQDQFLHUDVKDFHVHQOtQHD" (VWiVSUHRFXSDGRSRUWXVHJXULGDG"'HDFXHUGRFRQ&RQVX PHU,QWHUQHW%DURPHWHUODIXHQWHGHOUSA Today6DQSVKRWGHO GHPDU]RGHWLWXODGD6HJXULGDGGHFXHQWDVHQOtQHD VHUHSRUWDURQODVVLJXLHQWHVWUDQVDFFLRQHV\SRUFHQWDMHVGHSHU VRQDVSUHRFXSDGDVSRUVXVHJXULGDGHQOtQHD Qu Porcentaje Banca 72 Pagar cuentas 70 Comprar acciones, bonos 62 Pagar impuestos 62 3UHSDUDGRVJUiFDVGHEDUUDVSDUDPRVWUDUORVGDWRVSRUFHQ WXDOHV(VFDODHOHMHYHUWLFDOGHODSULPHUDJUiFDGHD (VFDODODVHJXQGDJUiFDGHD&XiOHVWXFRQFOXVLyQ DFHUFDGHFyPRORVSRUFHQWDMHVGHODVFXDWURUHVSXHVWDVVHDFX PXODQFRQEDVHHQODVGRVJUiFDVGHEDUUDV\TXpUHFRPHQGD UtDVVLKD\DOJRSDUDPHMRUDUODVSUHVHQWDFLRQHV" 2.166 (QFXHQWUD XQ DUWtFXOR R XQ DQXQFLR SXEOLFLWDULR TXH FRQWHQJDXQDJUiFDTXHHQDOJXQDIRUPDSUHVHQWHPDOODLQ IRUPDFLyQRORVHVWDGtVWLFRV D 'HVFULEHFyPRGLFKDJUiFDUHSUHVHQWDPDOORVKHFKRV E 9XHOYHDGLEXMDUODJUiFDHQIRUPDTXHVHDPiVUHSUH VHQWDWLYDGHODVLWXDFLyQ'HVFULEHFyPRWXQXHYDJUiFD HVXQDJUiFDPHMRUDGD Pagar deudas Ahorrar Gastos diarios Compras mayores Vacaciones En qu piensas gastar tu devolucin de impuestos? Nota: Se permiten respuestas mltiples Fuente: National Retail Federation 2009; encuesta de devoluciones de impuestos e intenciones y acciones del consumidor de 8 426 consumidores. Margen de error: 1 punto porcentual Fuente: USA Today y Consumer Internet Barometer Repaso del captulo En retrospectiva 6HLQWURGXMHURQDOJXQDVGHODVWpFQLFDVPiVFRPXQHVGHODHV WDGtVWLFDGHVFULSWLYD([LVWHQPXFKRVPiVWLSRVHVSHFtFRVGH HVWDGtVWLFRVXVDGRVHQFDVL WRGRFDPSRGHHVWXGLRHVSHFLDOL ]DGRFRPRSDUDUHYLVDUDTXt6yORVHGHVWDFDURQORVXVRVGH ORV HVWDGtVWLFRVPiV XQLYHUVDOHV (VSHFtFDPHQWH FRQRFLVWH YDULDV WpFQLFDVJUiFDVEiVLFDVJUiFDVGHSDVWHO\JUiFDV GHEDUUDVGLDJUDPDVGH3DUHWRJUiFDVGHSXQWRVGLDJUDPDV GH WDOOR \ KRMDV KLVWRJUDPDV \ JUiFDV GH FDMDV \ ELJRWHV TXHVHXVDQSDUDSUHVHQWDUGDWRVPXHVWUDOHVHQIRUPDJUiFD 7DPELpQVHLQWURGXMHURQDOJXQDVGHODVPHGLGDVPiVFRPXQHV GH WHQGHQFLDFHQWUDO PHGLDPHGLDQDPRGD UDQJRPHGLR\ FXDUWLOPHGLRPHGLGDVGHGLVSHUVLyQUDQJRYDULDQ]D\GHV YLDFLyQHVWiQGDU\PHGLGDVGHSRVLFLyQFXDUWLOHVSHUFHQWLOHV \YDORUHVz 2010 Alys Tomlinson/JupiterimagesRepaso del captulo www.fullengineeringbook.net 106 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable $KRUDGHEHVHVWDUDOWDQWRGHTXHXQSURPHGLRSXHGHVHU FXDOTXLHUDGHFLQFRGLIHUHQWHVHVWDGtVWLFRV\GHEHVFRPSUHQ- GHUODVGLVWLQFLRQHVHQWUHORVGLIHUHQWHVWLSRVGHSURPHGLRV(O DUWtFXOR3URPHGLR VLJQLFD GLIHUHQWHV FRVDV GHO HMHPSOR DSOLFDGRSSGLVFXWHFXDWURGHORVSURPHGLRVTXH HVWXGLDVWHHQHVWHFDStWXOR3XHGHVYROYHUDOHHUORDKRUD\GHV- FXEULUiVTXHWLHQHPiVVLJQLFDGR\HVGHPiVLQWHUpV6HUi WLHPSRELHQHPSOHDGR 7DPELpQGHEHV LQWXLU\FRPSUHQGHUHOFRQFHSWRGHGHV- YLDFLyQHVWiQGDU3DUDHVWHSURSyVLWRVHLQWURGXMHURQODUHJOD HPStULFD\HOWHRUHPDGH&KHE\VKHY /RVHMHUFLFLRVGHOFDStWXORFRPRHQRWURVVRQH[WUHPDGD- PHQWHLPSRUWDQWHVHOORVUHIRU]DUiQORVFRQFHSWRVHVWXGLDGRV DQWHVGHTXHFRQWLQ~HVSDUDDSUHQGHUFyPRXVDUGLFKDVLGHDV HQFDStWXORVSRVWHULRUHV8QDEXHQDFRPSUHQVLyQGHODVWpFQL- FDVGHVFULSWLYDVSUHVHQWDGDVHQHVWHFDStWXORHV IXQGDPHQWDO SDUDWXp[LWRHQFDStWXORVSRVWHULRUHV (O VLWLR Statistics CourseMate SDUDHVWHOLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQKH- UUDPLHQWDVLQWHUDFWLYDVGHDSUHQGL]DMHHVWXGLR\SUHSDUDFLyQ GHH[iPHQHVLQFOXLGDVSUHJXQWDVUiSLGDV\WDUMHWDVGHHVWXGLR SDUDHOYRFDEXODULR\ORVFRQFHSWRVFODYHTXHDSDUHFHQDFRQ- WLQXDFLyQ(OVLWLRWDPELpQRIUHFHXQDYHUVLyQeBookGHOWH[WR FRQFDSDFLGDGHVGHVXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGH ORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORVFRQFHSWRV \HMHPSORVTXHWLHQHQVXVFRUUHVSRQGLHQWHVUHFXUVRVLQWHUDFWL- YRVFRPRvideo\tutoriales animadosTXHGHPXHVWUDQSDVR D SDVR FyPR UHVROYHU SUREOHPDV FRQMXQWRV GH GDWRV SDUD HMHUFLFLRV\ HMHPSORVApplets Skillbuilder SDUD D\XGDUWH D FRPSUHQGHUPHMRUORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa\ VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\HData Analysis PlusXQD VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave DQFKRGHFODVHS FODVHS FODVHPRGDOS FRQWHR\FODVLFDFLyQS FXDUWLOS FXDUWLOPHGLRS GDWRVFXDOLWDWLYRVS GDWRVFXDQWLWDWLYRVS GHVYLDFLyQGHODPHGLDS GHVYLDFLyQHVWiQGDUSS GLDJUDPDGHFDMDV\ELJRWHVS GLDJUDPDGH3DUHWRS JUiFDGHSXQWRVS GLVWULEXFLyQSS GLVWULEXFLyQELPRGDOS GLVWULEXFLyQFRQIRUPDGHFDPSDQD S GLVWULEXFLyQFRQIRUPDGH-S GLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVS GLVWULEXFLyQGH IUHFXHQFLDV DFXPXODGDV S GLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDV S GLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSD- GDVS GLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYD S GLVWULEXFLyQQRUPDOS GLVWULEXFLyQXQLIRUPHRUHFWDQJXODUS GLVWULEXFLyQVHVJDGDS GLVWULEXFLyQVLPpWULFDS GLVWULEXFLyQXQLIRUPHS IyUPXODVP~OWLSOHVS IUHFXHQFLDS IUHFXHQFLDDFXPXODGDS IUHFXHQFLDUHODWLYDS JUiFDFLUFXODUS JUiFDGHEDUUDVS JUiFDGHSDVWHOS KLVWRJUDPDS KLVWRJUDPDGHIUHFXHQFLDUHODWLYDS OtPLWHGHFODVHS OLQHDPLHQWRVEiVLFRVS PHGLDS PHGLDDULWPpWLFDS PHGLDQDS PHGLGDGHGLVSHUVLyQS PHGLGDGHSRVLFLyQS PHGLGDGHWHQGHQFLDFHQWUDOS PHGLRUDQJRS PRGDSS QRWDFLyQVXPDWRULDS RMLYDS SHUFHQWLOS SUHVHQWDFLyQGHWDOOR\KRMDVS SURIXQGLGDGS SXQWRPHGLR GH FODVH PDUFD GH FODVH S UDQJRS UDQJRLQWHUFXDUWtOLFRS UHJODGHUHGRQGHRS UHJODHPStULFDS UHVXPHQGHQ~PHURVS WHRUHPDGH&KHE\VKHYS YDORUHVWiQGDUS YDORUzS YDULDQ]DSS xEDUUDS Resultados del aprendizaje &UHDUHLQWHUSUHWDUSUHVHQWDFLRQHVJUiFDVLQFOXLGDVJUiFDVGHSDVWHO (-(M JUiFDVGHEDUUDVGLDJUDPDVGH3DUHWRJUiFDVGHSXQWRV\GLDJUDPDV GHWDOOR\KRMDV &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUODGLIHUHQFLDHQWUHGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLD SS DJUXSDGD\QRDJUXSDGDIUHFXHQFLD\IUHFXHQFLDUHODWLYDIUHFXHQFLDUHODWLYD \IUHFXHQFLDUHODWLYDDFXPXODGD www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 107 ,GHQWLFDU\GHVFULELUODVSDUWHVGHXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV (-(M OtPLWHVGHFODVHDQFKRGHFODVH\SXQWRPHGLRGHFODVH &UHDUHLQWHUSUHWDUKLVWRJUDPDVGHIUHFXHQFLDVKLVWRJUDPDV SS(M GHIUHFXHQFLDVUHODWLYDV\RMLYDV ,GHQWLFDUODVIRUPDVGHODVGLVWULEXFLRQHV SS &DOFXODUGHVFULELU\FRPSDUDUODVFXDWURPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDO (-(M PHGLDPHGLDQDPRGD\UDQJRPHGLR &RPSUHQGHUHOHIHFWRGHORVSXQWRVH[WUHPRVVREUHFDGDXQD (M GHODVFXDWURPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDO &DOFXODUGHVFULELUFRPSDUDUHLQWHUSUHWDUODVGRVPHGLGDVGHGLVSHUVLyQ SS(M UDQJR\GHVYLDFLyQHVWiQGDUYDULDQ]D &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUODVPHGLGDVGHSRVLFLyQ (-(M FXDUWLOHVSHUFHQWLOHV\YDORUHVz &UHDUHLQWHUSUHWDUGLDJUDPDVGHSXQWRV (M (QWHQGHUODUHJODHPStULFD\HOWHRUHPDGH&KHE\VKHY\SRGHUYDORUDU (M HOFXPSOLPLHQWRGHXQFRQMXQWRGHGDWRVFRQGLFKDVUHJODV 6DEHUFXiQGRVt\FXiQGRQRXVDUFLHUWRVHVWDGtVWLFRVJUiFRV\QXPpULFRV SS(M Ejercicios del captulo 2.1674XLpQFUHHHQODUHJODGHVHJXQGRV"/DPD\RUtD GHODVSHUVRQDVGLFHQTXHHODOLPHQWRTXHFDHDOVXHORQRHV VHJXURGHFRPHU D 'LEXMDXQDJUiFDFLUFXODUTXHPXHVWUHORVSRUFHQWDMHV GHORVDGXOWRVSDUDFDGDUHVSXHVWD E 6LVHHQFXHVWDDDGXOWRVTXpIUHFXHQFLDVHVSHUDUtDV SDUDFDGDUHVSXHVWDHQODJUiFDDQWHULRU" 2.168 /RV VXPLQLVWURV QHFHVDULRV SDUD XQ EHEp GXUDQWH VX SULPHUDxRSXHGHQVHUFRVWRVRVHQSURPHGLRFRPR PXHVWUDODVLJXLHQWHJUiFDGHEDUUDVGLYLGLGD D &RQVWUX\HXQDJUiFDFLUFXODUTXHPXHVWUHHVWDPLVPD LQIRUPDFLyQ E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHHVWDPLVPD LQIRUPDFLyQ F &RPSDUDODDSDULHQFLDGHODJUiFDGHEDUUDVGLYLGLGD GDGDFRQODJUiFDFLUFXODUTXHGLEXMDVWHHQHOLQFLVRD \ODJUiFDGHEDUUDVTXHGLEXMDVWHHQHOLQFLVRE&XiO UHSUHVHQWDPHMRUODUHODFLyQHQWUHORVGLIHUHQWHVFRVWRVGH ORVVXPLQLVWURVSDUDHOEHEp" Quin cree en la regla de 5 segundos? Fuente: Datos de Anne R. Carey y Juan Thomassie, USA Today. Presupuesto para beb Fuente: Datos de Julie Snider, 2005 USA Today Cuando se trata de comer lo que cay al suelo, casi 8 de 10 estadounidenses dice que no es seguro comerlo, a pesar de que la "regla" de cinco segundos dice lo contrario. Regla de 10 segundos Regla de 5 segundos Regla de 3 segundos No es seguro Costo promedio de suministros de beb (desde el nacimiento hasta 1 ao de edad): Total $5 000 Cuna, colchn, tocador, mecedora Alimento/frmula para beb Paales desechables Ropas para beb Enseres de guardera, silla alta, juguetes Varios Ropa de cama/ decoracin Cochecito, asiento para el automvil, carreola *Supone beb amamantado durante 6 meses. Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 108 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.169([LVWHQPXFKRVWLSRVGHJUiFDVHVWDGtVWLFDVGHGRQGH XQRSXHGHHOHJLUFXDQGRVHUHSUHVHQWDXQFRQMXQWRGHGDWRV /DJUiFDGHEDUUDVGLYLGLGDTXHVHPXHVWUDHQODVLJXLHQWH SiJLQDHVXQDDOWHUQDWLYDDODJUiFDFLUFXODU D &RQVWUXLUXQDJUiFDFLUFXODUTXHPXHVWUHHVWDPLVPD LQIRUPDFLyQ E &RPSDUDODDSDULHQFLDGHODJUiFDGHEDUUDVGLYLGLGD GDGD\ODJUiFDFLUFXODUGLEXMDGDHQHOLQFLVRD&XiOHV PiVIiFLOGHOHHU"&XiOEULQGDXQDUHSUHVHQWDFLyQPiV SUHFLVDGHODLQIRUPDFLyQTXHVHSUHVHQWD" 2.170 [EX02-170] 8QDYH]TXHXQHVWXGLDQWHVHJUDG~DGHOD XQLYHUVLGDGSDUHFHHQWUDUHQMXHJRWRGRXQQXHYRFRQMXQWRGH FRQLFWRV\SUHRFXSDFLRQHV/LHEHUPDQ5HVHDUFK:RUOGZLGH UHDOL]yXQDHQFXHVWDGH&KDUOHV6FKZDEGHDGXOWRVFRQ HGDGHVGHDxRV/RVUHVXOWDGRVVHUHSRUWDURQHQHOUSA Today Snapshot&RQLFWRVPiVLPSRUWDQWHVTXHHQIUHQWDQORV DGXOWRVMyYHQHVHOGHPD\RGH\VRQORVVLJXLHQWHV Confl ictos Porcentaje Hacer mejores elecciones en administracin de dinero 52% Fortalecer las relaciones familiares 18% Proteger el ambiente 11% Equilibrar trabajo y vida personal 10% Mejorar nutricin/salud 9% D &RQVWUX\HXQDJUiFDFLUFXODUTXHPXHVWUHHVWDLQIRUPD FLyQ E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHHVWDLQIRU PDFLyQ F &RPSDUDODDSDULHQFLDGHODJUiFDFLUFXODUGLEXMDGDHQHO LQFLVRDFRQODJUiFDGHEDUUDVGLEXMDGDHQHOLQFLVRE&XiO UHSUHVHQWDPHMRUODUHODFLyQHQWUHORVGLYHUVRVFRQLFWRV" 2.171 [EX02-171] (QHOVLWLRZHEGHORV&HQWURVSDUDHO&RQ WURO\OD3UHYHQFLyQGH(QIHUPHGDGHV&'&VHFLWDURQODV SULQFLSDOHVFDXVDVGHPXHUWHHQ(VWDGRV8QLGRVGXUDQWH 6HUHJLVWUyXQWRWDOGHPXHUWHV Causa de muerte Nmero (10 000) Alzheimer 7.2 Enfermedad respiratoria crnica 12.5 Diabetes 7.2 Cardiopata 63.2 Infl uenza/neumona 5.6 Neoplasmas malignos 56.0 Accidentes 12.2 Nefritis/nefrosis 4.5 Septicemia 3.4 Ictus 13.7 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGH3DUHWRGHHVWDLQIRUPDFLyQ E (VFULEHXQSiUUDIRTXHGHVFULEDORTXHHOGLDJUDPDGH 3DUHWRPXHVWUDGHPDQHUDWUiJLFDDVXOHFWRU 2.172 [EX02-172] /D 86 &HQVXV %XUHDX SXEOLFy OD VL JXLHQWH GLVWULEXFLyQ GH HGDGHV SDUD ODV SHUVRQDV GH 5KRGH,VODQG(OXQLYHUVRGHOD$PHULFDQ&RPPXQLW\6XUYH\ HVWiOLPLWDGRDODSREODFLyQGRPpVWLFD\H[FOX\HD ODSREODFLyQTXHYLYHHQLQVWLWXFLRQHVGRUPLWRULRVXQLYHUVLWD ULRV\RWUDVYLYLHQGDVJUXSDOHV Distribucin de gnero y edad Hombre 513 051 Mujer 549 014 Abajo de 5 aos 61 570 5 a 14 aos 131 509 15 a 24 aos 157 149 25 a 34 aos 131 265 35 a 44 aos 158 549 45 a 54 aos 159 317 55 a 64 aos 115 381 65 a 74 aos 67 936 75 a 84 aos 56 573 85 aos y ms 22 816 D &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVGHORV GDWRVGHJpQHUR\HGDG E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVGHORVGDWRVGHJpQHUR F &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHORVGDWRVGHHGDG G ([SOLFDSRUTXpODJUiFDGLEXMDGDHQHOLQFLVREQRHVXQ KLVWRJUDPD\ODJUiFDGLEXMDGDHQHOLQFLVRFHVXQKLVWR JUDPD 2.173 ,GHQWLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVHMHPSORVGHYD ULDEOHDWULEXWRFXDOLWDWLYDRQXPpULFDVFXDQWLWDWLYDV D /DVFDOLFDFLRQHVUHJLVWUDGDVSRUODVSHUVRQDVTXHDSOLFD URQVXH[DPHQHVWDWDOHVFULWRSDUDVXOLFHQFLDGHFRQGXFLU E 6LXQPRWRFLFOLVWDSRVHHRQRXQDOLFHQFLDGHRSHUDGRUGH PRWRFLFOLVWDYiOLGD >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPY si ganas $1 milln... Fuente: Impulse Research para MSN; encuesta de 1 078 adultos en febrero. Fuente: CDC, Center for Disease Control and Prevention Fuente: U.S. Census Bureau, American Community Survey Los adultos dicen en qu gastaran primero el dinero si ganaran $1 milln en un pozo de baloncesto de Marzo Loco. CaridadComprar boletos para la Final Four 2010Tomar el dinero, nunca entrar de nuevo al pozoProbar suerte en Las VegasIrse en un crucero AhorrarPagar deudas www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 109 F (OQ~PHURGHWHOHYLVRUHVLQVWDODGRVHQXQDFDVD G /DPDUFDGHOMDEyQGHEDUUDTXHVHXVDHQXQEDxR H (OYDORUGHXQFXSyQGHFHQWDYRVXWLOL]DGRHQODFRPSUD GHXQDFDMDGHFHUHDO 2.174,GHQWLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFRPRHMHPSORGH YDULDEOHDWULEXWRFXDOLWDWLYDRQXPpULFDFXDQWLWDWLYD D /DFDQWLGDGGHSpUGLGDGHSHVRHOPHVSDVDGRSRUXQD SHUVRQDTXHVLJXHXQDGLHWDHVWULFWD E 3URPHGLRVGHEDWHRGHMXJDGRUHVGHODVJUDQGHVOLJDV F 'HFLVLRQHVGHOMXUDGRHQMXLFLRVFULPLQDOHV G 8VRGHSURWHFWRUVRODUDQWHVGHLUDO6ROVLHPSUHFRQ IUHFXHQFLDHQRFDVLRQHVUDUDYH]QXQFD H 5D]yQSRUODTXHXQJHUHQWHIUDFDVySDUDDFWXDUFRQWUDHO SREUHUHQGLPLHQWRGHXQHPSOHDGR 2.175&RQVLGHUDODPXHVWUD$\%2EVHUYDTXHODVGRVPXHV- WUDVVRQODPLVPDH[FHSWRTXHHOHQ$IXHVXVWLWXLGRSRUXQ HQ% A 2 4 5 5 7 8 B 2 4 5 5 7 9 4XpHIHFWRWLHQHFDPELDUHOSRUXQVREUHFDGDXQRGHORV VLJXLHQWHVHVWDGtVWLFRV" D0HGLD E 0HGLDQD F 0RGD G 5DQJRPHGLR H5DQJR I9DULDQ]D J 'HVYLDFLyQHVWiQGDU 2.176 &RQVLGHUD ODVPXHVWUDV& \'2EVHUYD TXH ODV GRV PXHVWUDVVRQODPLVPDH[FHSWRSRUGRVYDORUHV C 20 60 60 70 90 D 20 30 70 70 90 4XpHIHFWRWLHQHFDPELDUORVGRVD\VREUHFDGDXQR GHORVVLJXLHQWHVHVWDGtVWLFRV" D0HGLD E0HGLDQD F 0RGD G 5DQJRPHGLR H5DQJR I9DULDQ]D J 'HVYLDFLyQHVWiQGDU 2.177 [EX02-177]6HDUPDTXHODDGLFLyQGHXQQXHYRDFH- OHUDGRUGLVPLQX\HHOWLHPSRGHVHFDGRGHODSLQWXUDOiWH[HQ PiVGH6HUHDOL]DQYDULDVPXHVWUDVGHSUXHEDFRQORVVL- JXLHQWHVSRUFHQWDMHVGHUHGXFFLyQHQWLHPSRGHVHFDGR D (QFXHQWUDODPHGLDPXHVWUDO E (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODPXHVWUD F &UHHVTXHHVWRVSRUFHQWDMHVSURPHGLDQRPiV"([SOLFD &RQVHUYDHVWDVVROXFLRQHVSDUDXVDUODVHQHOHMHUFLFLR S 2.178 [EX02-178]6HVXSRQHTXHODJDVROLQDERPEHDGDGHV- GHODWXEHUtDGHXQSURYHHGRUWLHQHXQDFODVLFDFLyQGHRFWD- QDMHGH(QGtDVFRQVHFXWLYRVVHWRPy\DQDOL]yXQD PXHVWUDGHFODVLFDFLRQHVGHRFWDQDMHFRQORVVLJXLHQWHVUH- VXOWDGRV 88.6 86.4 87.2 88.4 87.2 87.6 86.8 86.1 87.4 87.3 86.4 86.6 87.1 D (QFXHQWUDODPHGLDPXHVWUDO E (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODPXHVWUD F &UHHVTXHHVWDVOHFWXUDVSURPHGLDQ"([SOLFD &RQVHUYDHVWDVVROXFLRQHVSDUDXVDUODVHQHOHMHUFLFLR S 2.179 [EX02-179] /RVVLJXLHQWHVVRQGDWRVGHODVHGDGHVGH RIHQVRUHVFRQRFLGRVTXHFRPHWLHURQXQDXWRUURERHODxR SDVDGRHQ*DUGHQ&LW\0LFKLJDQ 11 14 15 15 16 16 17 18 19 21 25 36 12 14 15 15 16 16 17 18 19 21 25 39 13 14 15 15 16 17 17 18 29 22 26 43 13 14 15 15 16 17 17 18 29 22 26 46 13 14 15 16 16 17 17 18 20 22 27 50 13 14 15 16 16 17 18 19 20 23 27 54 13 15 15 16 16 17 18 19 20 23 30 67 14 15 15 16 16 17 18 19 21 24 31 14 15 15 16 16 17 18 19 21 24 34 D (QFXHQWUDODPHGLD E (QFXHQWUDODPHGLDQD F (QFXHQWUDODPRGD G (QFXHQWUDQ\Q H (QFXHQWUDP\P 2.180 [EX02-180] (QPD\RSDVDGRVHHQFXHVWyDWUDED- MDGRUHVGHOHGLFLRGH(DVWPDQ.RGDN&RPSDQ\$FDGD WUDEDMDGRU VH OH SUHJXQWyFXiQWDV KRUDV GH WHOHYLVLyQ YLR D\HU"/RVUHVXOWDGRVIXHURQORVVLJXLHQWHV 0 0 1/2 1 2 0 3 21/2 0 0 1 11/2 5 21/2 0 2 21/2 1 0 2 0 21/2 4 0 6 21/2 0 1/2 1 11/2 0 2 D&RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDV E (QFXHQWUDODPHGLD F (QFXHQWUDODPHGLDQD G (QFXHQWUDODPRGD H (QFXHQWUDHOUDQJRPHGLR FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 110 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable I &XiOPHGLGDGHWHQGHQFLDFHQWUDOUHSUHVHQWDUtDPHMRUDO REVHUYDGRUSURPHGLRVLWUDWDUDVGHUHWUDWDUDOWHOHYLGHQWH WtSLFR"([SOLFD J &XiOPHGLGDGHWHQGHQFLDFHQWUDOGHVFULELUtDPHMRUOD FDQWLGDGGHWHOHYLVLyQREVHUYDGD"([SOLFD K (QFXHQWUDHOUDQJR L (QFXHQWUDODYDULDQ]D M (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU 2.181 [EX02-181]/DGLVWDQFLDGHIUHQDGRHQXQDVXSHUFLH K~PHGDVHGHWHUPLQySDUDDXWRPyYLOHVFDGDXQRYLDMDQGR DPLOODV SRUKRUD/RVGDWRV HQSLHV VHPXHVWUDQ HQ HO VLJXLHQWHGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDV (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHGLFKDVGLV- WDQFLDVGHIUHQDGR 2.182 [EX02-182]&DGDDxR6SRUWV,OOXVWUDWHGFODVLFDDORV DWOHWDVFRQPD\RUHVJDQDQFLDVHQ(VWDGRV8QLGRV6XVJDQDQ- FLDVLQFOX\HQVXVDODULRDVtFRPRSDWURFLQLRV&RQIUHFXHQFLD ORVSDWURFLQLRVVRQPiVOXFUDWLYRVTXHVXVJDQDQFLDV /DVPHMRUHVJDQDQFLDVSDUDVHSUHVHQWDQHQODVL- JXLHQWHWDEODHQPLOORQHVGHGyODUHV 128 62 40 40 35 35 35 31 31 30 27 27 26 26 25 25 25 23 23 23 D (QFXHQWUDODVJDQDQFLDVPHGLDVSDUDORVDWOHWDVPHMRU SDJDGRV E (QFXHQWUDODVJDQDQFLDVPHGLDQDVSDUDORVDWOHWDVPH- MRUSDJDGRV F (QFXHQWUDHOUDQJRPHGLRGHODVJDQDQFLDVSDUDORV DWOHWDVPHMRUSDJDGRV G (VFULEHXQDGLVFXVLyQTXHFRPSDUHORVUHVXOWDGRVGHORV LQFLVRVDE\F H (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHGLFKDVJDQDQFLDV I (QFXHQWUDHOSRUFHQWDMHGHGDWRVTXHHVWiGHQWURGH GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODPHGLD J (QFXHQWUDHOSRUFHQWDMHGHGDWRVTXHHVWiGHQWURGH GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUGHODPHGLD K &RQEDVHHQGLFKRVUHVXOWDGRVGLVFXWHSRUTXpVtRSRU TXpQRFRQVLGHUDVTXHORVGDWRVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRU- PDO 2.183 [EX02-183]/D2IFHRI$YLDWLRQ(QIRUFHPHQW DQG 3URFHHGLQJVGHO86'HSDUWPHQWRI7UDQVSRUWDWLRQLQIRUPy HOQ~PHURGHUHSRUWHVGHPDOPDQHMRGHHTXLSDMHSUHVHQWDGRV SRUSDVDMHURVGHODDHUROtQHDGXUDQWHRFWXEUHGH(O SURPHGLRGHODLQGXVWULDIXH Aerolnea Reportes Pasajeros Reportes/1000 JETBLUE AIRWAYS 5 345 1 641 382 3.26 HAWAIIAN AIRLINES 2 069 613 250 3.37 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D 'HQHORVWpUPLQRVpoblacin\variableUHVSHFWRDHVWD LQIRUPDFLyQ E /RVQ~PHURVUHSRUWDGRVVRQGDWRVR HVWDGtVWLFRV"([SOLFD F (OSURPHGLRHVXQYDORUGHGDWRVXQHVWDGtVWLFRR XQYDORUGHSDUiPHWUR"([SOLFDSRUTXp G (OSURPHGLRGHODLQGXVWULDHVODPHGLDGHODVWDVDVGH DHUROtQHDGHUHSRUWHVSRU"6LQRORHVH[SOLFDFRQ GHWDOOHFyPRVHUHODFLRQDQORVYDORUHVGHDHUROtQHDFRQ HOSURPHGLRGHODLQGXVWULD 2.184 [EX02-184]8QRGHORVSULPHURVFLHQWtFRVHQHVWX- GLDUODGHQVLGDGGHOQLWUyJHQRIXHORUG5DOHLJKeOREVHUYyTXH OD GHQVLGDG GHO QLWUyJHQRSURGXFLGR D SDUWLU GH DLUH SDUHFtD VHUPD\RUTXHODGHQVLGDGGHOQLWUyJHQRSURGXFLGRDSDUWLUGH FRPSXHVWRVTXtPLFRV6XVFRQFOXVLRQHVSDUHFHQMXVWLFDGDV DXQFXDQGRWXYRSRFRVGDWRV" /DV PHGLFLRQHV GH ORUG 5DOHLJK TXH DSDUHFLHURQ SRU SULPHUD YH] HQ Proceedings, Royal Society /RQGUHV SS VH SUHVHQWDQ D FRQWLQXDFLyQ /RV GDWRV VRQODPDVDGHQLWUyJHQRTXHOOHQDFLHUWRPDWUD]EDMRSUHVLyQ \WHPSHUDWXUDHVSHFtFRV Atmosfrica Qumica 2.31017 2.31010 2.30143 2.29940 2.30986 2.31028 2.29890 2.29849 2.31010 2.31163 2.29816 2.29889 2.31001 2.30956 2.30182 2.30074 2.31024 2.29869 2.30054 D &RQVWUX\HJUiFDVGHSXQWRVODGRDODGRGHORVGRVFRQ- MXQWRVGHGDWRVFRQXQDHVFDODFRP~Q E &DOFXODPHGLDPHGLDQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUSULPHUR\ WHUFHUFXDUWLOHVSDUDFDGDFRQMXQWRGHGDWRV Fuente: Office of Aviation Enforcement and Proceedings, U.S. Department of Transportation Fuente: http://exploringdata.cqu.edu.au/datasets/nitrogen.xls www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 111 F &RQVWUX\HGLDJUDPDVGHFDMDODGRDODGRGHORVGRVFRQ- MXQWRVGHGDWRVFRQXQDHVFDODFRP~Q G 'LVFXWHFyPRVHFRPSDUDQHVWRVGRVFRQMXQWRVGHGDWRV (VWRVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVWDQSHTXHxRVPXHVWUDQ HYLGHQFLDFRQYLQFHQWHGHXQDGLIHUHQFLD" 2.185 [EX02-185]/DVORQJLWXGHVHQPLOtPHWURVGHWUX- FKDVFRPXQHVHQHOHVWDQTXH%HQ+DSS\$FUHV)LVK+DW- FKHU\HOGHMXQLRGHODxRSDVDGRIXHURQODVVLJXLHQWHV 15.0 15.3 14.4 10.4 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D (QFXHQWUDODPHGLD E (QFXHQWUDODPHGLDQD F (QFXHQWUDODPRGD G (QFXHQWUDHOUDQJRPHGLR H (QFXHQWUDHOUDQJR I (QFXHQWUDQ\Q J (QFXHQWUDHOFXDUWLOPHGLR K (QFXHQWUDP\P L &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVTXH XVHFRPRODSULPHUDFODVH M &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDGHODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV N &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVUHODWLYDVDFX- PXODGDV O &RQVWUX\HXQDRMLYDGHODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV UHODWLYDVDFXPXODGDV 2.186 [EX02-186] (O VLVWHPD QDFLRQDO GH DXWRSLVWDV HVWi FRQVWLWXLGRSRUDXWRSLVWDVLQWHUHVWDWDOHV\QRLQWHUHVWDWDOHV/D )HGHUDO+LJKZD\$GPLQLVWUDWLRQUHSRUWyHOQ~PHURGHPLOODV GHFDGDWLSRHQFDGDHVWDGR$FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDXQD OLVWDGHXQDPXHVWUDDOHDWRULDGH Millas de autopistas interestatales y no interestatales por estado Estado Interestatal No interestatal Estado Interestatal No interestatal NH 235 589 TN 1 073 2 172 FL 1 471 2 896 NM 1 000 1 935 ME 367 922 LA 904 1 701 HI 55 292 TX 3 233 10 157 MT 1 192 2 683 OH 1 574 2 812 MN 912 3 060 IA 782 2 433 GA 1 245 3 384 NY 1 674 3 476 OK 930 2 431 NE 482 2 476 NC 1 019 2 742 AR 1 167 1 565 RI 71 197 DC 13 70 'HQHUD]yQ ,1 FRPRHO Q~PHURGHPLOODV LQWHUHVWDWDOHV GLYLGLGDVHQWUHHOQ~PHURGHPLOODVQRLQWHUHVWDWDOHV D ,QVSHFFLRQDORVGDWRV&XiOHVWLPDVTXHVHUiODUD]yQ,1 SURPHGLR" E &DOFXODODUD]yQ,1SDUDFDGDXQRGHORVHVWDGRV PHQFLRQDGRV F 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHODUD]yQ,1 G &DOFXODODPHGLDUD]yQ,1SDUDORVHVWDGRVPHQFLR- QDGRV H 8VDHOQ~PHURWRWDOGHPLOODVLQWHUHVWDWDOHV\QRLQWHUHV- WDWDOHVGHHVWDGRVSDUDFDOFXODUODUD]yQ,1SDUDORV HVWDGRVFRPELQDGRV I ([SOLFDSRUTXpODVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVG\HQRVRQ LJXDOHV J &DOFXODODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDODUD]yQ,1SDUD ORVHVWDGRVPHQFLRQDGRV K 8VDHOFRQMXQWRGHGDWRVLQGLFDGRVSDUDUHVSRQGHUODV SUHJXQWDVGHORVLQFLVRVEDOJXVDQGRORVYDORUHV 2.187 [EX02-187] (O 1DWLRQDO (QYLURQPHQWDO 6DWHOOLWH 'DWDDQG,QIRUPDWLRQ6HUYLFHGHO'HSDUWDPHQWRGH&RPHUFLR HVWDGRXQLGHQVHSXEOLFyHOiUHDPLOODVFXDGUDGDV\ODSREOD- FLyQSDUDORVHVWDGRVHVWDGRXQLGHQVHVFRQWLJXRVHQ Estado rea (millas cuad.) Poblacin AL 51 610 4 447 100 AZ 113 909 5 130 632 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com &XDQGRVHHVWXGLDFXiQWDJHQWHYLYHHQXQSDtVWDQJUDQGH\ GLYHUVRFRPR(VWDGRV8QLGRVDFDVRXQDYDULDEOHPiVLQWHUH- VDQWHGHHVWXGLDUTXHODSREODFLyQGHFDGDHVWDGRSXHGDVHUOD GHQVLGDGGHSREODFLyQGHFDGDHVWDGRSXHVORVHVWDGRVFRQ- WLJXRVYDUtDQPXFKRHQiUHD'HQHGHQVLGDGGHXQHVWDGR FRPRODSREODFLyQGHOHVWDGRGLYLGLGDHQWUHVXiUHD D 0HQFLRQDWUHVHVWDGRVTXHFRQVLGHUHVHVWDUiQHQWUHDTXH- OORVFRQODGHQVLGDGPiVDOWD-XVWLFDWXHOHFFLyQ E 0HQFLRQDWUHVHVWDGRVTXHFRQVLGHUHVHVWDUiQHQWUHDTXH- OORVFRQODGHQVLGDGPiVEDMD-XVWLFDWXHOHFFLyQ F 'HVFULEHFyPRFUHHVTXHVHUiODGLVWULEXFLyQGHGHQVLGDG ,QFOX\HLGHDVGHODIRUPDGHODGLVWULEXFLyQQRUPDOVHV- JDGDHWFpWHUD G &RQORVWRWDOHVGHORVHVWDGRVFDOFXODODGHQVLGDGJOR- EDOSDUDORVHVWDGRVHVWDGRXQLGHQVHVFRQWLJXRV&RQOD PTI Las diferencias entre estos conjuntos de datos condujeron al descubrimiento del argn. Fuente: Federal Highway Administration, U.S. Department of Transportation Fuente: U.S. Department of Commerce, http://www5.ncdc.noaa.gov FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 112 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable SREODFLyQ\HOiUHDGHFDGDHVWDGRFDOFXODODVGHQVLGDGHV LQGLYLGXDOHVSDUDORVHVWDGRVHVWDGRXQLGHQVHVFRQWL- JXRV H &DOFXODODVPHGLGDVGHWHQGHQFLDFHQWUDO I &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD J &ODVLFDORVYDORUHVGHGHQVLGDG,GHQWLFDORVFLQFRHV- WDGRVFRQODGHQVLGDGPiVDOWD\ORVFLQFRFRQODGHQVLGDG PiVEDMD K &RPSDUDODGLVWULEXFLyQGHODLQIRUPDFLyQGHGHQVLGDG UHVSXHVWDVDORVLQFLVRVHDOJFRQWXH[SHFWDWLYD UHVSXHVWDVDORVLQFLVRVDDOF&yPRORKLFLVWH" 2.188 [EX02-188] (OYROXPHQGHiUEROHVGH1DYLGDGYHQGL- GRVDQXDOPHQWHHQ(VWDGRV8QLGRVGHFOLQyHQGpFDGDVUHFLHQ- WHVGHDFXHUGRFRQXQUHSRUWHGHO86'$1DWLRQDO$JULFXOWXUDO 6WDWLVWLFV6HUYLFH/RVHVWDGRV UHSRUWDQDSRUWDFLRQHVD OD YHQWDHVWDGRXQLGHQVH WRWDOGHDSUR[LPDGDPHQWHPLOORQHV GHiUEROHVGH1DYLGDGDODxR0iVD~QFDGDHVWDGRUHSRUWD VXFXOWLYRSRUFRQWDGR/RVPHMRUHVFRQGDGRVSURGXFWRUHV HQ(VWDGRV8QLGRVSURYLHQHQGHVLHWHVHVWDGRV(OQ~PHURGH iUEROHVYHQGLGRVSRUORVSULQFLSDOHVFRQGDGRVHQVH PHQFLRQDHQODVLJXLHQWHWDEOD(VWDHQFXHVWDVHUHDOL]DFDGD DxRV Nmero de rboles de Navidad cortados por estado (10 000) 12.0 11.4 11.3 20.2 12.7 157.2 20.2 34.8 309.5 27.3 685.1 118.0 16.7 16.8 31.4 78.5 95.0 D &DOFXODODPHGLDPHGLDQD\UDQJRPHGLRSDUDHOQ~PHUR GHiUEROHVGH1DYLGDGYHQGLGRVDQXDOPHQWHSRUORV SULQFLSDOHVFRQGDGRVSURGXFWRUHV E &DOFXODODGHVYLDFLyQHVWiQGDU F 4XpWHGLFHQODVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVD\EDFHUFDGH ODGLVWULEXFLyQSDUDHOQ~PHURGHiUEROHV"([SOLFD G 2EVHUYDTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVXQQ~PHURPiV JUDQGHTXHODPHGLD4XpVLJQLFDHVRHQHVWDVLWXDFLyQ" H 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVGDWRV I /RFDOL]DORVYDORUHVGHODVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVD\E HQHOGLDJUDPDGHSXQWRVGLEXMDGRSDUDHOLQFLVRH J 5HVSRQGHQXHYDPHQWHORVLQFLVRVF\GXVDODLQIRUPD- FLyQDSUHQGLGDGHOGLDJUDPDGHSXQWRV 2.189 [EX02-189] 4XLpQVHFRPLyORV0 0"/DVLJXLHQWH WDEODSURSRUFLRQDORVFRQWHRVGHFRORU\SHVRQHWRHQJUDPRV SDUDXQDPXHVWUDGHEROVDVGH0 0(OSHVRQHWRSXEOLFL- WDGRHVGHJUDPRVSRUEROVD Caso Rojo Verde Azul Naranja Amarillo Caf Peso 1 15 9 3 3 9 19 49.79 2 9 17 19 3 3 8 48.98 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com +D\DOJRHQXQFDVRGHHVWHFRQMXQWRGHGDWRVTXHHVVRVSH- FKRVDPHQWHLQFRQVLVWHQWHFRQHOUHVWRGHORVGDWRV(QFXHQWUD ODLQFRQVLVWHQFLD D &RQVWUX\HGRVGLIHUHQWHVJUiFDVSDUDORVSHVRV E &DOFXODYDULRVHVWDGtVWLFRVQXPpULFRVSDUDORVGDWRVGHSHVR F (QFRQWUDVWHDOJXQDVSRWHQFLDOHVLQFRQVLVWHQFLDVHQORV LQFLVRVD\E"([SOLFD G (QFXHQWUDHOQ~PHURGH0 0HQFDGDEROVD H &RQVWUX\HGRVGLIHUHQWHVJUiFDVSDUDHOQ~PHURGH 0 0SRUEROVD I &DOFXODYDULRVHVWDGtVWLFRVQXPpULFRVSDUDHOQ~PHURGH 0 0SRUEROVD J 4XpLQFRQVLVWHQFLDHQFRQWUDVWHHQORVLQFLVRVH\I" ([SOLFD K 2IUHFHXQDSRVLEOHH[SOLFDFLyQDFHUFDGHSRUTXpODLQ- FRQVLVWHQFLDQRVHPXHVWUDHQORVGDWRVGHSHVRSHURVtVH PXHVWUDHQORVGDWRVQXPpULFRV 2.1903DUDXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQIRUPDGHFDPSDQD HQFXHQWUDHOUDQJRGHSHUFHQWLOHVTXHFRUUHVSRQGDD D z Ez F 'LEXMDODFXUYDQRUPDO\PXHVWUDODUHODFLyQHQWUHHOYD- lor z\ORVSHUFHQWLOHVGHORVLQFLVRVD\E 2.1913DUDXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQIRUPDGHFDPSDQD HQFXHQWUDHOYDORU]TXHFRUUHVSRQGDDOkpVLPRSHUFHQWLO D k Ek F 'LEXMDODFXUYDQRUPDO\PXHVWUDODUHODFLyQHQWUHHOYD- lor z\ORVSHUFHQWLOHVSDUDORVLQFLVRVD\E 2.192 %LOO\5REVRQEXHQRVDPLJRVDXQTXHDVLVWHQDGLIH- UHQWHVEDFKLOOHUDWRVHQVXFLXGDG(OVLVWHPDGHHVFXHODVS~- EOLFDVXVDXQDEDWHUtDGHSUXHEDVGHDFRQGLFLRQDPLHQWRItVLFR SDUD SRQHU D SUXHED D WRGRV ORV HVWXGLDQWHV GH EDFKLOOHUDWR 'HVSXpVGHFRPSOHWDUORVH[iPHQHVGHDFRQGLFLRQDPLHQWRIt- VLFR%LOO\5REFRPSDUDQVXVFDOLFDFLRQHVSDUDYHUTXLpQVH GHVHPSHxyPHMRUHQFDGDHYHQWR1HFHVLWDQD\XGD Fuente: USDA National Agricultural Statistics Service Fuente: http://www.math.uah.edu/stat/ Christine Nickel y Jason York, proyecto ST 687, otoo de 1998 www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 113 Carrera Arrancada Lanzamiento Abdominales Flexiones progresiva 50 yardas softball Bill z = 1 z = 1.3 z = 0.0 z = 1.0 z = 0.5 Rob 61 17 9.6 6.0 179 pies Media 70 8 9.8 6.6 173 pies Desv. est. 12 6 0.6 0.3 16 pies %LOOUHFLELyORVUHVXOWDGRVGHVXSUXHEDHQYDORUHVzPLHQWUDV TXHD5REOHGLHURQSXQWDMHVEUXWRV'DGRTXHDPERVFKLFRV HQWLHQGHQORVSXQWDMHVEUXWRVFRQYLHUWHORVYDORUHVzGH%LOO HQYDORUHVEUXWRVFRQODQDOLGDGGHKDFHUXQDFRPSDUDFLyQ SUHFLVD 2.193/DVJHPHODV-HDQ\-RDQ:RQJHVWiQHQTXLQWRJUDGR GLIHUHQWHVVHFFLRQHV\D ODFODVHVH OHHQWUHJyXQDVHULHGH SUXHEDVGHKDELOLGDG6LODVFDOLFDFLRQHVSDUDGLFKDVSUXHEDV GH KDELOLGDG WLHQHQ XQD GLVWULEXFLyQ DSUR[LPDGDPHQWH QRU- PDOFXiOFKLFD WLHQH ODPD\RUFDOLFDFLyQUHODWLYDHQFDGD XQDGHODVKDELOLGDGHVPHQFLRQDGDV"([SOLFDWXVUHVSXHVWDV Habilidad Jean: valor z Joan: percentil Condicin fsica 2.0 99 Postura 1.0 69 Agilidad 1.0 88 Flexibilidad 1.0 35 Fuerza 0.0 50 2.194/DVFDOLFDFLRQHVREWHQLGDVSRUORVHVWXGLDQWHVHQ(V- WDGRV8QLGRVFRQIUHFXHQFLDGDQGHTXpKDEODU\FRQEDVHHQ GLFKDVFDOLFDFLRQHVVHH[WUDHQWRGRWLSRGHFRQFOXVLRQHV(O $&7$VVHVVPHQWHVWiGLVHxDGRSDUDYDORUDUHOGHVDUUROORHGX- FDWLYRJHQHUDOGHORVHVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWR\VXKDELOLGDG SDUDFRPSOHWDUHOWUDEDMRGHQLYHOXQLYHUVLWDULR/DVLJXLHQWH WDEODPHQFLRQD ODPHGLD\ ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH ODVFD- OLFDFLRQHVGHWRGRVORVJUDGXDGRVGHEDFKLOOHUDWRHQ\ HQODVFXDWURSUXHEDV$&7\VXFRPSXHVWR Razonamiento Ingls Matemticas Lectura cientfico Compuesto 2004 Media 20.4 20.7 21.3 20.9 20.9 Desv. est. 5.9 5.0 6.0 4.6 4.8 2008 Media 20.6 21.0 21.4 20.8 21.1 Desv. est. 6.1 5.2 6.1 4.9 5.0 &RQEDVHHQODLQIRUPDFLyQGHODWDEOD D 'LVFXWHFyPRODVFLQFRGLVWULEXFLRQHVVRQVLPLODUHV\ GLIHUHQWHVXQDGHRWUDHQFXDQWRDYDORUFHQWUDO\GLVSHU- VLyQ E 'LVFXWHFXDOTXLHUFRUULPLHQWRHQODVFDOLFDFLRQHVHQWUH \,QFOX\HHQWXUHVSXHVWDHVSHFLFLGDGHVDFHU- FDGHFyPRFDGDGLVWULEXFLyQGHH[DPHQFDPELyRQRGH DFXHUGRFRQHOYDORUFHQWUDO\ODGLVSHUVLyQ 2.195 [EX02-195] /DV HVSHFLFDFLRQHV GH IDEULFDFLyQ FRQ IUHFXHQFLDVHDSR\DQHQORVUHVXOWDGRVGHPXHVWUDVWRPDGDVGH SUXHEDVSLORWR VDWLVIDFWRULDV/RV VLJXLHQWHVGDWRV UHVXOWDURQ VyORGHWDOVLWXDFLyQHQODTXHRFKRORWHVSLORWRVHFRPSOHWDURQ \PXHVWUHDURQ/RVWDPDxRVGHSDUWtFXODUHVXOWDQWHVHVWiQHQ DQJVWURPVGRQGH$ FP D (QFXHQWUDODPHGLDPXHVWUDO E (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUPXHVWUDO F 6LVXSRQHVTXHHOWDPDxRGHSDUWtFXODWLHQHXQDGLVWUL- EXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDOGHWHUPLQDODHVSHFL- FDFLyQGHIDEULFDFLyQTXHDFRWDGHORVWDPDxRVGH SDUWtFXODHVWRHVHQFXHQWUDHOLQWHUYDORGHxs 2.196 [EX02-196] 'HOFR3URGXFWRVXQDGLYLVLyQGH*HQHUDO 0RWRUV SURGXFH XQDPpQVXOD TXH VH XVD FRPRSDUWH GH XQ HQVDPEOHGHFHUUDGXUDHOpFWULFD/DORQJLWXGGHHVWDPpQVXOD VHPRQLWRUHDFRQVWDQWHPHQWH8QDPXHVWUDGHPpQVXODVGH SXHUWDHOpFWULFDWLHQHODVVLJXLHQWHVORQJLWXGHVHQPLOtPHWURV 11.86 11.88 11.88 11.91 11.88 11.88 11.88 11.88 11.88 11.86 11.88 11.88 11.88 11.88 11.86 11.83 11.86 11.86 11.88 11.88 11.88 11.83 11.86 11.86 11.86 11.88 11.88 11.86 11.88 11.83 D 6LQKDFHUFiOFXORVTXpHVWLPDUtDVSDUDODPHGLDPXHVWUDO" E &RQVWUX\HXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVQRDJUXSDGDV F 'LEXMDXQKLVWRJUDPDGHHVWDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDV G 8VDODGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLDVFDOFXODODPHGLDPXHV- WUDO\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU H 'HWHUPLQDORVOtPLWHVGHOLQWHUYDORxs\PDUFDHVWH LQWHUYDORHQHOKLVWRJUDPD I /RVOtPLWHVGHHVSHFLFDFLyQGHOSURGXFWRVRQ /DPXHVWUDLQGLFDTXHODSURGXFFLyQHVWiGHQWURGHGL- FKRVUHTXHULPLHQWRV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 2.197 [EX02-197] (OJHUHQWHGHODEDUEHUtDGH-HUU\UHFLHQWH- PHQWHSLGLyDVXV~OWLPRVFOLHQWHVSHUIRUDUXQDWDUMHWDGHFRQ- WUROFXDQGROOHJDUDQDOORFDO\SHUIRUDUODMXVWRGHVSXpVGHSDJDUVX FRUWHGHFDEHOOR'HVSXpVXVyORVGDWRVGHODVWDUMHWDVSDUDPHGLU FXiQWRWLHPSRWDUGDQ-HUU\\VXVEDUEHURVHQFRUWDUHOFDEHOOR\ XVyGLFKDLQIRUPDFLyQSDUDSURJUDPDUVXVLQWHUYDORVGHFLWDV7D- EXOyORVVLJXLHQWHVWLHPSRVHQPLQXWRV Fuente: American Collage Testing, Digest of Education Statistics Fuente: Con permiso de Delco Products Division, GMC FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 114 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 50 21 36 35 35 27 38 51 28 35 32 32 27 25 24 38 43 46 29 45 40 27 36 38 35 31 28 38 33 46 35 31 38 48 23 35 43 31 32 38 43 32 18 43 52 52 49 53 46 19 D &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHWDOOR\KRMDVGHGLFKRVGDWRV E &DOFXODPHGLDPHGLDQDPRGDUDQJRUDQJRPHGLRYD- ULDQ]D\GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHORVWLHPSRVGHFRUWHGH FDEHOOR F &RQVWUX\HXQDWDEODGHUHVXPHQGHQ~PHURV G 'HDFXHUGRFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYDOPHQRV GHORVWLHPSRVGHFRUWHGHFDEHOORFDHUiQHQWUHFXiOHV GRVYDORUHV"(VWRHVFLHUWR"([SOLFDSRUTXpVtRSRU TXpQR H &RQFXiQWDVHSDUDFLyQUHFRPHQGDUtDVD-HUU\SURJUDPDU VXVFLWDVSDUDPDQWHQHUODRSHUDFLyQGHVXQHJRFLRDXQ ULWPRFRQIRUWDEOH" 2.198(OVLJXLHQWHGLDJUDPDGHSXQWRVPXHVWUDHOQ~PHURGH LQWHQWRVGHSDVHODQ]DGRVSRUORVPDULVFDOHVGHFDPSRGH GHORVHTXLSRVGHOD1)/TXHMXJDURQHQXQDWDUGHGHGRPLQJR SDUWLFXODU D 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQHLQFOX\HFyPRORVSXQWRV$\% VHUHODFLRQDQFRQORVRWURV E 6LTXLWDVHOSXQWR$\DFDVRHOSXQWR%GLUtDVTXHORV GDWRVUHVWDQWHVWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQWH QRUPDO"([SOLFD F &RQEDVHHQODLQIRUPDFLyQDFHUFDGHODVGLVWULEXFLRQHV TXHSURSRUFLRQDQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHY\ODUHJOD HPStULFDFXiQWtSLFRFRQVLGHUDVVHDHOHYHQWRTXHUHSUH- VHQWDHOSXQWR$"([SOLFD 2.199$SDUWLUGHORVYDORUHVGHGDWRVGH\DJUHJDRWURV WUHVYDORUHVGHGDWRVDWXPXHVWUDGHPRGRTXHODPXHVWUDWHQ- JDORVLJXLHQWH-XVWLFDWXUHVSXHVWDHQFDGDFDVR D 8QDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH E 8QDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH F 8QDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH G &RPSDUDWXVWUHVPXHVWUDV\ODYDULHGDGGHYDORUHVQHFH- VDULRVSDUDREWHQHUFDGDXQDGHODVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDU UHTXHULGDV 2.200 &RQVWUX\H XQ FRQMXQWR GH GDWRV SLHQVD HQ HOORV FRPRHQFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQGHPRGRTXH ODPXHVWUD VDWLVIDJDFDGDXQRGHHVWRVFRQMXQWRVGHFULWHULRV D 0HGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU E 0HGLDPi[LPRPtQLPR\GHVYLDFLyQHVWiQGDU F 0HGLDPi[LPRPtQLPR\GHVYLDFLyQHVWiQGDU G (QTXpGLHUHQORVGDWRVGHODPXHVWUDSDUDHOLQFLVRE\ ORVGHOLQFLVRF" 2.201&RQVWUX\HGRVGLIHUHQWHVJUiFDVGHORVSXQWRV \ D (QODSULPHUDJUiFDDORODUJRGHOHMHKRUL]RQWDOFRORFD LQWHUYDORVLJXDOHV\HWLTXpWDORV\FRORFD LQWHUYDORVLJXDOHVDORODUJRGHOHMHYHUWLFDO\HWLTXpWDORV \*UDFDORVSXQWRV\FRQpFWDORVFRQ VHJPHQWRVGHUHFWD E (QODVHJXQGDJUiFDDORODUJRGHOHMHKRUL]RQWDOFRORFD LQWHUYDORVLJXDOPHQWHHVSDFLDGRV\HWLTXpWDORV \PDUFDHOHMHYHUWLFDOHQLQWHUYDORV LJXDOHV\HWLTXpWDORV\*UDFDORVSXQWRV \FRQpFWDORVFRQVHJPHQWRVGHUHFWD Intentos de pase Figura para el ejercicio 2.198 20 30 40 50 60 70 A B www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 115 F &RPSDUDHOHIHFWRTXHWLHQHODHVFDODVREUHODDSDULHQFLD GHODVJUiFDVHQORVLQFLVRVD\E([SOLFDODLPSUHVLyQ TXHSUHVHQWDFDGDJUiFD 2.2028VDXQDFRPSXWDGRUDSDUDJHQHUDUXQDPXHVWUDDOHD- WRULDGHYDORUHVGHXQDYDULDEOHxFRQGLVWULEXFLyQQRUPDO \PHGLD GH \ GHVYLDFLyQ HVWiQGDU GH &RQVWUX\H XQ KLVWRJUDPDGHORVYDORUHV D 8VDORVFRPDQGRVGHFRPSXWDGRUDGHODSiJLQDSDUD JHQHUDUDOHDWRULDPHQWHXQDPXHVWUDGHGDWRVGHXQD GLVWULEXFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPDFRQOtPLWHVGHFODVHTXH VHDQP~OWLSORVGHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVWRHVXVD OtPLWHVGHDHQLQWHUYDORVGHFRQVXOWDORVFR- PDQGRVGHODVSS &RQVLGHUDFRPRSREODFLyQORVYDORUHVxTXHHQFRQWUDVWH HQHOLQFLVRD E 8VDORVFRPDQGRVGHFRPSXWDGRUDGHODSiJLQDSDUD VHOHFFLRQDUDOHDWRULDPHQWHXQDPXHVWUDGHYDORUHVGH ODSREODFLyQTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD&RQVWUX\HXQ KLVWRJUDPDGHODPXHVWUDFRQORVPLVPRVLQWHUYDORVGH FODVHXVDGRVHQHOLQFLVRD F 5HSLWHWUHVYHFHVHOLQFLVRE G &DOFXODYDULRVYDORUHVPHGLDPHGLDQDPi[LPRPtQL- PRGHVYLDFLyQHVWiQGDUHWFTXHGHVFULEDODSREODFLyQ\ FDGDXQDGHODVFXDWURPXHVWUDV&RQVXOWDORVFRPDQGRV GHODS H &UHHVTXHXQDPXHVWUDGHGDWRVUHSUHVHQWDGHPDQHUD DGHFXDGDXQDSREODFLyQ"&RPSDUDFDGDXQDGHODVFXD- WURPXHVWUDVTXHHQFRQWUDVWHHQORVLQFLVRVE\FFRQOD SREODFLyQ 2.2035HSLWHHOHMHUFLFLRFRQXQWDPDxRGHPXHVWUDGL- IHUHQWH3XHGHVWUDWDUDOJXQRVGLIHUHQWHVWDPDxRVGHPXHVWUD n n n n n n 4XpHIHFWRWLHQH HOWDPDxRGHODPXHVWUDVREUHODHIHFWLYLGDGGHODPXHVWUDSDUD UHSUHVHQWDUDODSREODFLyQ"([SOLFD 2.2045HSLWHHOHMHUFLFLRFRQSREODFLRQHVFRQGLVWULEX- FLRQHVGHGLIHUHQWHVIRUPDV D 8VDXQDGLVWULEXFLyQXQLIRUPHRUHFWDQJXODU6XVWLWX\H ORVVXEFRPDQGRVXVDGRVHQHOHMHUFLFLRHQOXJDUGH 1250$/XVD81,)250(FRQXQEDMRGH\XQDOWRGH \XVDOtPLWHVGHFODVHGHDHQLQFUHPHQWRVGH E 8VDXQDGLVWULEXFLyQVHVJDGD6XVWLWX\HORVVXEFRPDQ- GRVXVDGRVHQHOHMHUFLFLRHQOXJDUGH1250$/ XVD32,6621\XVDOtPLWHVGHFODVHGHDHQ LQFUHPHQWRVGH F 8VDXQDGLVWULEXFLyQFRQIRUPDGH-6XVWLWX\HORVVXE- FRPDQGRVXVDGRVHQHOHMHUFLFLRHQOXJDUGH125- 0$/XVD(;321(1&,$/\XVDOtPLWHVGHFODVHGH DHQLQFUHPHQWRVGH G /DIRUPDGHODGLVWULEXFLyQGHODSREODFLyQWLHQHXQ HIHFWRVREUHFXiQELHQXQDPXHVWUDGHWDPDxRUHSUH- VHQWDODSREODFLyQ"([SOLFD H 4XpHIHFWRFUHHVTXHWHQJDTXHFDPELDUHOWDPDxRGHOD PXHVWUDVREUHODHIHFWLYLGDGGHODPXHVWUDSDUDUHSUHVHQWDU ODSREODFLyQ",QWHQWDGLIHUHQWHVWDPDxRVGHPXHVWUD/RV UHVXOWDGRVFRQFXHUGDQFRQWXVH[SHFWDWLYDV"([SOLFD 2.205 [EX02-205] Valores atpicos!&RQFXiQWDIUHFXHQFLD RFXUUHQ"4XpKDFHUFRQHOORV"&RPSOHWDHO LQFLVRDSDUDYHU FRQFXiQWDIUHFXHQFLDRFXUUHQORVYDORUHVH[WUHPRV/XHJRFRP- SOHWDHOLQFLVRESDUDGHFLGLUTXpKDFHUFRQORVYDORUHVDWtSLFRV D 8VDODWHFQRORJtDGHWXHOHFFLyQSDUDWRPDUPXHVWUDVGH YDULRVWDPDxRVVHUtDQEXHQDVRSFLRQHV GHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOPHGLDGH\GHVYLDFLyQ HVWiQGDUGHIXQFLRQDUiQPX\ELHQ\REVHUYDFXiQWRV YDORUHVH[WUHPRVFRQWLHQHXQDPXHVWUDJHQHUDGDDOD]DU 3UREDEOHPHQWHHVWDUiVVRUSUHQGLGR*HQHUDPXHVWUDV GHFDGDWDPDxRSDUDXQUHVXOWDGRPiVUHSUHVHQWDWLYR 'HVFULEHWXVUHVXOWDGRVHQSDUWLFXODUFRPHQWDDFHUFDGH ODIUHFXHQFLDGHORVYDORUHVDWtSLFRVHQWXVPXHVWUDV (QODSUiFWLFDVHTXLHUHKDFHUDOJRFRQORVSXQWRVGHGDWRV TXHVHGHVFXEUHQFRPRYDORUHVDWtSLFRV3ULPHURHOYDORU DWtSLFRGHEHLQVSHFFLRQDUVHVLKD\DOJXQDUD]yQREYLDSRU ODTXHVHDLQFRUUHFWRGHEHFRUUHJLUVH3RUHMHPSOROD DOWXUDGHXQDPXMHUGHSXOJDGDVELHQSXHGHLQJUHVDUVH GHPDQHUDLQFRUUHFWDFRPRSXOJDGDVORTXHVHUtDFDVL SLHVGHDOWR\HVXQDHVWDWXUDPX\LPSUREDEOH6LORV Elige: Calc > Random Data > Normal Escribe: Generate 10 rows of data (Use n = 10, 30, 100, 300) Store in column(s): C1-C10 Mean: 100 Stand. Dev.: 20 Elige: Graph > Boxplot > Multiple Y's Simple > OK Escribe: Graph variables: C1-C10 Elige: Data View Selecciona: Interquartile range box Outlier symbols FRQWLQ~DHQODSiJLQD MINITAB Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 116 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable YDORUHVGHORVGDWRVSXHGHQFRUUHJLUVHFRUUtJHORV'H RWURPRGRGHEHVVRSHVDUODRSFLyQHQWUHGHVFDUWDUGDWRV EXHQRVLQFOXVRVLVRQGLIHUHQWHV\FRQVHUYDUORVGDWRV HUUyQHRV(QHVWHQLYHOSUREDEOHPHQWHHVPHMRUWRPDU XQDQRWDDFHUFDGHOYDORUDWtSLFR\FRQWLQXDUFRQODVR- OXFLyQ3DUDD\XGDUDHQWHQGHUHOHIHFWRGHUHPRYHUXQ YDORUDWtSLFRREVHUYDHOVLJXLHQWHFRQMXQWRGHGDWRVJH- QHUDGRDOD]DUGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDON 74.2 84.5 88.5 110.8 97.6 110.6 93.7 113.3 96.1 86.7 102.8 82.5 107.6 91.1 95.7 100.2 116.4 78.3 154.8 144.7 97.3 102.8 91.8 58.5 120.1 98.0 98.4 81.9 58.5 118.1 E &RQVWUX\HXQGLDJUDPDGHFDMDVHLGHQWLFDFXDOTXLHU YDORUH[WUHPR F 5HPXHYHHOYDORUH[WUHPR\FRQVWUX\HXQQXHYRGLDJUD- PDGHFDMDV G 'HVFULEHWXVKDOOD]JRV\FRPHQWDDFHUFDGHSRUTXpSXH- GHVHUPHMRU\PHQRVFRQIXVRPLHQWUDVHVWXGLDVHVWDGtVWL- FDLQWURGXFWRULDQRGHVFDUWDUORVYDORUHVH[WUHPRV Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV 5HVSRQGHYHUGDGHURVLHOHQXQFLDGRVLHPSUHHVYHUGDGHUR 6LHOHQXQFLDGRQRVLHPSUHHVYHUGDGHURVXVWLWX\HODVSDODEUDV HQQHJULOODVFRQODVSDODEUDVTXHKDJDQDOHQXQFLDGRVLHPSUH YHUGDGHUR 2.1 /DmediaGHXQDPXHVWUDVLHPSUHGLYLGHORVGDWRV HQGRVPLWDGHVODPLWDGPiVJUDQGH\ODPLWDGPiV SHTXHxDHQYDORUTXHHOODPLVPD 2.2 Una medida de tendencia centralHVXQYDORUFXDQWL- WDWLYRTXHGHVFULEHFXiQDPSOLDPHQWHHVWiQGLVSHUVRV ORVGDWRVHQWRUQRDXQYDORUFHQWUDO 2.3 /DVXPDGHORVFXDGUDGRVGHODVGHVYLDFLRQHVGHOD PHGLDxxHQocasionesVHUiQHJDWLYD 2.4 3DUDFXDOTXLHUGLVWULEXFLyQODVXPDGHODVGHVYLDFLR- QHVGHODPHGLDHVLJXDOD cero 2.5 /DGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDHOFRQMXQWRGHYDORUHV \HV2 2.6 (QXQH[DPHQ-RKQFDOLFyHQHOSHUFHQWLO\-RUJH FDOLFyHQHOSHUFHQWLOSRUWDQWRODFDOLFDFLyQ GHOH[DPHQGH-RKQHUDHOdobleODFDOLFDFLyQGHO H[DPHQGH-RUJH 2.7 /DIUHFXHQFLDGHXQDFODVHHVHOQ~PHURGHSLH]DVGH GDWRVFX\RVYDORUHVFDHQGHQWURGHORVlmites de di- FKDFODVH 2.8 /DVdistribuciones de frecuenciasVHXVDQHQHVWD- GtVWLFDSDUDSUHVHQWDUJUDQGHVFDQWLGDGHVGHYDORUHV UHSHWLWLYRVHQXQDIRUPDFRQFLVD 2.9 /DXQLGDGGHPHGLGDSDUDHOYDORUHVWiQGDUVLHPSUH es desviaciones estndar 2.10 3DUDXQDGLVWULEXFLyQFRQIRUPDGHFDPSDQDHOUDQJR VHUiDSUR[LPDGDPHQWHLJXDOD6 desviaciones estndar PARTE II: Aplicacin de los conceptos 2.11 /RVUHVXOWDGRVGHXQHVWXGLRGHOFRQVXPLGRUFRPSOH- WDGRVHQ/D7LHQGLWDGHOD(VTXLQDVHUHSRUWDQHQHO VLJXLHQWHKLVWRJUDPD5HVSRQGHFDGDSUHJXQWD D &XiOHVHODQFKRGHFODVH" E &XiOHVHOSXQWRPHGLRGHFODVHSDUDODFODVH" F &XiOHVHOOtPLWHVXSHULRUSDUDODFODVH" G &XiOHVODIUHFXHQFLDGHODFODVH" H &XiOHVODIUHFXHQFLDGHODFODVHTXHFRQWLHQHHO YDORUREVHUYDGRPiVJUDQGHGHx" I &XiOHVHOOtPLWHLQIHULRUGHODFODVHFRQODIUH- FXHQFLDPiVJUDQGH" J &XiQWDVSLH]DVGHGDWRVVHPXHVWUDQHQHVWH KLVWRJUDPD" K &XiOHVHOYDORUGHODPRGD" L &XiOHVHOYDORUGHOUDQJRPHGLR" M (VWLPDHOYDORUGHOSHUFHQWLOP Tiempo de salida (segundos) FrecuenciaCantidad de tiempo necesario para salir de "La Tiendita de la Esquina" 24 18 12 6 0 1 31 61 91 121 151 181 x y 15 21 24 9 5 1 www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 117 2.12 8QDPXHVWUDGHODVFRPSUDVGHYDULRVFOLHQWHVGH/D 7LHQGLWDGHOD(VTXLQDUHVXOWyHQORVVLJXLHQWHVGDWRV PXHVWUDOHV[ Q~PHURGHDUWtFXORVFRPSUDGRVSRU FOLHQWH x 1 2 3 4 5 f 6 10 9 8 7 D 4XpUHSUHVHQWDHO" E 4XpUHSUHVHQWDHO" F &XiQWRVFOLHQWHVVHXVDURQSDUDIRUPDUHVWD PXHVWUD" G &XiQWRVDUWtFXORVFRPSUDURQORVFOLHQWHVHQHVWD PXHVWUD" H &XiOHVHOQ~PHURPiVJUDQGHGHDUWtFXORVFRP- SUDGRVSRUXQFOLHQWH" (QFXHQWUDFDGDXQRGHORVLJXLHQWHPXHVWUDODV IyUPXODV\HOWUDEDMR I 0RGD J0HGLDQD K 5DQJRPHGLR L 0HGLD M 9DULDQ]D N 'HVYLDFLyQ estndar 2.13 'DGRHOFRQMXQWRGHGDWRVHQFXHQ- WUDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVHVWDGtVWLFRVPXHVWUDOHV D 0HGLD E 0HGLDQD F 0RGD G 5DQJRPHGLR H 3ULPHUFXDUWLO I P J 9DULDQ]D K 'HVYLDFLyQHVWiQGDU L 5DQJR 2.14 D (QFXHQWUDHOYDORUHVWiQGDUSDUDHOYDORUx UHODWLYRDVXPXHVWUDGRQGHODPHGLDPXHVWUDOHV \ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHV E (QFXHQWUDHOYDORUGHxTXHFRUUHVSRQGDDOYDORU HVWiQGDUGHGRQGHODPHGLDHV\ODGHV- YLDFLyQHVWiQGDUHV PARTE III: Comprender los conceptos 5HVSRQGHWRGDVODVSUHJXQWDV 2.15/D7LHQGLWDGHOD(VTXLQDVLJXHODSLVWDGHOQ~PHUR GHFOLHQWHVSDJDGRUHVTXHWXYRGXUDQWHHOPHGLRGtD GHFDGDGtDGXUDQWHGtDV/RVHVWDGtVWLFRVUHVXO- WDQWHVVHUHGRQGHDQDOHQWHURPiVFHUFDQR PHGLD PHGLDQD PRGD SULPHUFXDUWLO WHUFHUFXDUWLO UDQJRPHGLR UDQJR GHVYLDFLyQHVWiQGDU D/D7LHQGLWDGHOD(VTXLQDDWHQGLyDTXpQ~- PHURGHFOLHQWHVSDJDGRUHVGXUDQWHHOPHGLRGtD FRQPiVIUHFXHQFLDTXHFXDOTXLHURWURQ~PHUR" ([SOLFDFyPRGHWHUPLQDVWHWXUHVSXHVWD E (QFXiQWRVGtDVKXERHQWUH\FOLHQWHV SDJDGRUHVGXUDQWHHOPHGLRGtD"([SOLFDFyPR GHWHUPLQDVWHWXUHVSXHVWD F &XiOIXHHOQ~PHURPiVJUDQGHGHFOLHQWHV SDJDGRUHVGXUDQWHFXDOTXLHUPHGLRGtD"([SOLFD FyPRGHWHUPLQDVWHWXUHVSXHVWD G 3DUDFXiQWRVGHORVGtDVHOQ~PHURGHFOLHQ- WHVSDJDGRUHVHVWXYRGHQWURGHGHVYLDFLRQHV HVWiQGDUGHODPHGLDxs"([SOLFDFyPRGH- WHUPLQDVWHWXUHVSXHVWD 2.16 (O6U9DQ&RWWLQLFLyVXSURSLRQHJRFLRGHPiTXLQDV KDFHYDULRVDxRV6XQHJRFLRFUHFLy\VHYROYLyPX\ H[LWRVRHQDxRVUHFLHQWHV(QODDFWXDOLGDGHPSOHDD SHUVRQDVLQFOXLGRpO\SDJDORVVLJXLHQWHVVDODULRV DQXDOHV Propietario, presidente $80 000 Trabajador $25 000 Gerente comercial 50 000 Trabajador 25 000 Gerente de produccin 40 000 Trabajador 25 000 Supervisor de ventas 35 000 Trabajador 20 000 Trabajador 30 000 Trabajador 20 000 Trabajador 30 000 Trabajador 20 000 Trabajador 28 000 Trabajador 20 000 D &DOFXODORVFXDWURSURPHGLRVPHGLDPHGLDQD PRGD\UDQJRPHGLR E 'LEXMDXQGLDJUDPDGHSXQWRVGHORVVDODULRV\ XELFDFDGDXQRGHORVFXDWURSURPHGLRVHQpO F 6XSyQTXHW~HUHVHOLQYHVWLJDGRUDVLJQDGRSDUD HVFULELUODFUyQLFDGHHVWDVHPDQDDFHUFDGHOD WLHQGDGHPiTXLQDVGHO6U9DQ&RWWXQDGHXQD VHULHDFHUFDGHSHTXHxRVQHJRFLRVORFDOHVTXH HVWiQSURVSHUDQGR7~SODQHDVHQWUHYLVWDUDO6U 9DQ&RWWDVXJHUHQWHFRPHUFLDODOVXSHUYLVRUGH YHQWDV\DXQRGHVXVWUDEDMDGRUHVPiVUHFLHQWHV &XiOSURPHGLRHVWDGtVWLFRFUHHVTXHGDUiFDGD XQRGHHOORVFXDQGROHVSUHJXQWHVFXiOHVHO VDODULRDQXDOSURPHGLRTXHSDJDQDORVHPSOHDGRV DTXtHQ9DQ&RWW""([SOLFDSRUTXpFDGDSHUVR- QDHQWUHYLVWDGDWHQGUtDXQDSHUVSHFWLYDGLIHUHQWH\ SRUTXpHVWHSXQWRGHYLVWDSXHGHKDFHUTXHFDGD XQRFLWHXQGLIHUHQWHSURPHGLRHVWDGtVWLFR G 4XpKD\DFHUFDGHODGLVWULEXFLyQGHGLFKRV VDODULRVTXHKDFHTXHORVFXDWURYDORUHVSURPH- GLRVHDQWDQGLIHUHQWHV" Examen de prctic del captulo www.fullengineeringbook.net 118 Captulo 2 Anlisis descriptivo y presentacin de datos de una variable 2.17 &UHDXQFRQMXQWRGHGDWRVTXHFRQWHQJDWUHVRPiV YDORUHVHQORVVLJXLHQWHVFDVRV D 'RQGHODPHGLDHV\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHV E 'RQGHODPHGLDHV\HOUDQJRHV F 'RQGHPHGLDPHGLDQD\PRGDVRQWRGDVLJXDOHV G 'RQGHPHGLDPHGLDQD\PRGDVRQWRGDVGLIHUHQWHV H 'RQGHPHGLDPHGLDQD\PRGDVRQWRGDVGLIHUHQ- WHV\ODPHGLDQDHVODPiVJUDQGH\ODPRGDHVOD PiVSHTXHxD I 'RQGHPHGLDPHGLDQD\PRGDVRQWRGDVGLIH- UHQWHV\ODPHGLDHVODPiVJUDQGH\ODPHGLDQD HVODPiVSHTXHxD 2.18 8QFRQMXQWRGHH[iPHQHVIXHFDOLFDGRSRUXQDPi- TXLQD0iVWDUGHVHGHVFXEULyTXHGHEtDQDJUHJDUVH SXQWRVDFDGDFDOLFDFLyQ(OHVWXGLDQWH$GLMROD FDOLFDFLyQPHGLDWDPELpQGHEHDXPHQWDUVHSRU SXQWRV(OHVWXGLDQWH%DJUHJyWDPELpQODGHVYLD- FLyQHVWiQGDUGHEHDXPHQWDUVHHQSXQWRV4XLpQ WLHQHODUD]yQ"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 2.19 (OHVWXGLDQWH$DUPDWDQWRODGHVYLDFLyQHVWiQ- GDUFRPRODYDULDQ]DFRQVHUYDQODPLVPDXQLGDGGH PHGLFLyQTXHORVGDWRV(OHVWXGLDQWH%QRHVWiGH DFXHUGR\DUJXPHQWDODXQLGDGGHPHGLFLyQSDUDOD YDULDQ]DHVXQDXQLGDGGHPHGLFLyQVLQVLJQLFDGR 4XLpQWLHQHODUD]yQ"-XVWLFDWXUHVSXHVWD www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 119 www.fullengineeringbook.net 120 Captulo 00 Captulo ttulo 3 3.1 Datos bivariados Dos variables se emparejan para anlisis. 3.2 Correlacin lineal Un aumento en el valor indica un cambio en la otra? 3.3 Regresin lineal La recta de mejor ajuste es una expresin matemtica de la relacin entre dos variables. Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Pesa tu pez con una regla Alguna vez quisiste conocer el peso de tu pescado, pero no tenas bscula? Mide la longitud de una trucha arco iris desde la boca hasta la punta de la cola y consulta la tabla. Dichos pesos son promedios tomados de peces recolectados por grupos de gestin de peces del DEC (Departamento de Conservacin Ambiental, por sus siglas en ingls) a lo largo del estado de Nueva York. [EX03-001] 3.1 Datos bivariados Imagen copyright Dec Hogan, 2010. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Peso (onzas)Fuente: NYS DEC 2008-2009 Freshwater Fishing Guide Longitud, pulgadas 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Peso, libras-onza 0-10 0-12 1-0 1-3 1-7 1-12 2-1 2-7 2-14 3-5 3-13 4-6 5-0 5-11 6-6 7-2 8-0 8-14 9-14 Peso de trucha arco iris con regla Longitud (pulgadas) 160 180 140 120 100 80 60 40 20 10 15 20 25 30 0 www.fullengineeringbook.net 121 E J E M P L O 3 . 1 (QHOFDStWXORDSUHQGLVWHFyPRPRVWUDUJUiFDPHQWH\GHVFULELUGHPDQHUDQXPpULFD datos muestrales para una variable. Ahora extenders dichas tcnicas para cubrir datos muestrales que involucran dos variables emparejadas. En particular, la longitud y el peso de la trucha arco iris, que se muestran en la pgina 120, son dos variables cuantitativas (numricas) emparejadas. Datos bivariados Valores de dos diferentes variables que se obtienen a partir del mismo elemento de poblacin. Cada una de las dos variables pueden ser o cualitativas o cuantitativas. Como resultado, los datos bivariados pueden formar tres combinaciones de tipos de variable: 1. Ambas variables son cualitativas (ambos atributos). 2. Una variable es cualitativa (atributo) y la otra es cuantitativa (numrica). 3. Ambas variables son cuantitativas (ambas numricas). (QHVWDVHFFLyQVHSUHVHQWDQORVPpWRGRVWDEXODU\JUiFRSDUDPRVWUDUFDGDXQDGH dichas combinaciones de datos bivariados. Dos variables cualitativas Cuando los datos bivariados resultan de dos variables cualitativas (atributo o categrica), con frecuencia los datos se ordenan en una tabla cruzada o de contingencia. Observa un ejemplo. CMO CONSTRUIR TABLAS CRUZADAS Treinta estudiantes de tu escuela fueron identificados al azar y clasificados de acuerdo con dos variables: gnero (M/F) y especializacin (humanidades, administracin de empresas, tecnologa), como se muestra en la tabla 3.1. Esos 30 datos bivariados pueden resumirse en una tabla cruzada 2 3, don- de las dos filas representan los dos gneros, masculino y femenino y las tres columnas representan las tres principales categoras de humanidades (LA), administracin de empresas (BA) y tecnologa (T). La entrada en cada celda se encuentra al determinar cuntos estudiantes encajan en cada categora. Adams es masculino (M) y humanidades (LA) y se clasifica en la celda de la primera fila, primera columna. Observa la marca de conteo en la tabla 3.2. Los otros 29 estudiantes se clasifican (cuentan, se muestran en azul claro) en forma similar. Nombre Gnero Esp. Nombre Gnero Esp. Nombre Gnero Esp. Adams M LA Feeney M T McGowan M BA Argento F BA Flanigan M LA Mowers F BA Baker M LA Hodge F LA Ornt M T Benett F LA Holmes M T Palmer F LA Brand M T Jopson F T Pullen M T Brock M BA Kee M BA Rattan M BA Chun F LA Kleeberg M LA Sherman F LA Crain M T Light M BA Small F T Cross F BA Linton F LA Tate M BA Ellis F BA Lpez M T Yamamoto M LA Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com TABLA 3.1 Gneros y especializaciones de 30 estudiantes universitarios [TA03-01] PTI m = n (filas) n = n (columnas) para una tabla de contingencia m n. Seccin 3.1 Datos bivariados www.fullengineeringbook.net 122 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados La tabla cruzada (de contingencia) 2 3 resultante, tabla 3.3, muestra la frecuencia para cada categora cruzada de las dos variables junto con los totales de fila y columna, llamados totales marginales (o marginales). El total de los totales marginales es el gran total y es igual a n, el tamao muestral. Con frecuencia, las tablas de contingencia muestran porcentajes (frecuen- cias relativas). Dichos porcentajes pueden basarse en toda la muestra o en las clasificaciones de la submuestra (fila o columna). Porcentajes basados en el gran total (toda la muestra) Las frecuencias en la tabla de contingencia que se muestran en la tabla 3.3 pueden convertirse fcilmente a porcentajes del gran total al dividir cada frecuencia por el gran total y multiplicar el resultado por 100. Por ejemplo, 6 se convierte en 20% 6 100 = 20 . Consulta la tabla 3.4. 30 A partir de la tabla de porcentajes del gran total, fcilmente puedes ver que 60% de la muestra es masculina, 40% es femenina, 30% tienen especia- lizacin en tecnologa, etc. Estos mismos estadsticos (valores numricos que describen resultados muestrales) pueden mostrarse en una grfica de barras (vase la figura 3.1). La tabla 3.4 y la figura 3.1 muestran la distribucin de estudiantes de humanidades masculinos, estudiantes de humanidades femeninos, estudian- tes de administracin de empresas masculinos, etc., en relacin con toda la muestra. Especializacin Gnero LA BA T M ||||| (5) ||||| | (6) ||||| || (7) F ||||| | (6) |||| (4) || (2) Especializacin Gnero LA BA T Total fila M 5 6 7 18 F 6 4 2 12 Total col. 11 10 9 30 TABLA 3.2 Tabla cruzada de gnero y especializacin (conteo) TABLA 3.3 Tabla cruzada de gnero y especializa- cin (frecuencias) Tecnologa Especializacin Gnero LA BA T Total fila M 17% 20% 23% 60% F 20% 13% 7% 40% Total col. 37% 33% 30% 100% TABLA 3.4 Tabla cruzada de gnero y especializacin (frecuencias relativas; % de gran total) FIGURA 3.1 Grfica de barras Porcentajes basados en el gran total Humanidades Administracin de empresas 25% 20% 15% 10% 5% 0% M F M F M F www.fullengineeringbook.net 123 Porcentajes basados en totales de fila Las frecuencias en la misma tabla de contingencia, tabla 3.3, pueden expre- sarse como porcentajes de los totales de fila (o gnero) al dividir cada entrada de fila por el total de dicha fila y multiplicar los resultados por 100. La tabla 3.5 se basa en totales de fila. A partir de la tabla 3.5 puedes ver que 28% de los estudiantes hombres tienen especializacin en humanidades, mientras que 50% de las mujeres tie- nen especializacin en humanidades. Estos mismos estadsticos se muestran en la grfica de barras de la figura 3.2. Mujeres Tecnologa La tabla 3.5 y la figura 3.2 muestran por separado la distribucin de las tres especializaciones para estudiantes hombres y mujeres. Porcentajes basados en totales de columna Las frecuencias en la tabla de contingencia, tabla 3.3, pueden expresarse como porcentajes de los totales de columna (o especializacin) al dividir cada entrada de columna por el total de dicha columna y multiplicar el resultado por 100. La tabla 3.6 se basa en totales de columna. A partir de la tabla 3.6 puedes ver que 45% de los estudiantes de huma- nidades son hombres, mientras que 55% de los estudiantes de humanidades son mujeres. Estos mismos estadsticos se muestran en la grfica de barras de la figura 3.3. Especializacin Gnero LA BA T Total fila M 28% 33% 39% 100% F 50% 33% 17% 100% Total col. 37% 33% 30% 100% Especializacin Gnero LA BA T Total fila M 45% 60% 78% 60% F 55% 40% 22% 40% Total col. 100% 100% 100% 100% TABLA 3.5 Tabla cruzada de gnero y especializacin (% de totales de fila) TABLA 3.6 Tabla cruzada de gnero y especializacin (% de totales de columna) FIGURA 3.2 Grfica de barras FIGURA 3.3 Grfica de barras Porcentajes basados en gnero Porcentajes basados en especializacin La tabla 3.6 y la figura 3.3 muestran por separado la distribucin de estu- diantes hombres y mujeres para cada especializacin. Hombres Humanidades Administracin empresas Seccin 3.1 Datos bivariados 50% 40% 30% 20% 10% 0% LA BA T LA BA T M 80% 60% 40% 20% 0% F M F M F www.fullengineeringbook.net 124 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Una variable cualitativa y una cuantitativa Cuando los datos bivariados resultan de una variable cualitativa y una cuantitativa, los va- ORUHVFXDQWLWDWLYRVVHYHQFRPRPXHVWUDVVHSDUDGDV\FDGDFRQMXQWRVHLGHQWLFDPHGLDQWH etiquetas de la variable cualitativa. Cada muestra se describe con las tcnicas del captulo 2 y los resultados se presentan lado a lado para fcil comparacin. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : T A B L A S C R U Z A D A S MINITAB Excel TI-83/84 Plus Escribe los valores categricos de la variable de fila en C1 y los correspondientes valores cate- gricos de variable de columna en C2; despus contina con: Elige: Stat > Tables > Cross Tabulation and Chi-Square Escribe: Variables categricas: Para filas: C1 Para columnas: C2 Selecciona: Counts Row Percents Column Percents Total Percents > OK Sugerencia: los cuatro subcomandos que estn disponibles para "Display" pueden usarse en conjunto; sin embargo, la tabla resultante ser mucho ms sencilla de leer si se usa un subco- mando a la vez. Primero debes codificar numricamente los datos categricos; usa 1, 2, 3, . . . , para las diver- sas variables de fila y 1, 2, 3, . . . , para las diversas variables de columna. Escribe los valores numricos de variable fila en L1 y los correspondientes valores numricos de variable columna en L2; despus contina con: Elige: PGRM > EXEC > CROSSTAB * Escribe: ROWS: L1 > ENTER COLS: L2 > ENTER La tabla cruzada que muestre las frecuencias se almacena en la matriz [A], la tabla cruzada que muestra los porcentajes de fila est en la matriz [B], los porcentajes de columna en la matriz [C] y los porcentajes basados en el gran total en la matriz [D]. Todas las matrices contienen totales marginales. Para ver las matrices, contina con: Elige: MATRX > NAMES Escribe: 1:{A} o 2:{B} o 3:{C} o 4:{D} > ENTER *El programa "CROSSTAB" es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar. Con- sulta la pgina 35 para instrucciones especficas. Con encabezados o ttulos de columna, escribe los valores categricos de variable fila en la columna A y los correspondientes valores categricos de variable de columna en la columna B; despus contina con: Elige: Insert > Tables > Pivot Table pulldown > Pivot Chart Selecciona: Selecciona una tabla o rango Escribe: Rango: (A1:B5 o selecciona celdas) Selecciona: Hoja de trabajo existente Escribe: (C1 o selecciona celdas) > OK Arrastra: Encabezados a fila o columna (depende de la preferencia) en el cuadro de grfica formado Un encabezado hacia el rea de datos* *Para otras sumas, haz doble clic en "Count of" en el recuadro del rea de datos; despus contina con: Elige: Resumir por: Conteo Mostrar valores como: % de fila o % de columna o % de total > OK www.fullengineeringbook.net 125 E J E M P L O 3 . 2 CMO CONSTRUIR COMPARACIONES LADO A LADO La distancia requerida para detener un automvil de 3 000 libras en pa- vimento hmedo se midi para comparar las capacidades de frenado de tres diseos de banda de rodamiento de neumtico (consulta la tabla 3.7). Neumticos de cada diseo se pusieron a prueba repetidamente en el mismo automvil sobre un pavimento hmedo controlado. Diseo A (n = 6) Diseo B (n = 6) Diseo C (n = 6) 37 36 38 33 35 38 40 39 40 34 40 32 34 42 34 41 41 43 TABLA 3.7 Distancias de frenado (en pies) para tres diseos de banda de rodamiento de neumtico [TA03-07] El diseo de la llanta es una variable cualitativa con tres niveles de respues- ta y la distancia de frenado es una variable cuantitativa. La distribucin de las distancias de frenado para el diseo de la llanta A se comparar con la distribucin de las distancias de frenado para cada uno de los otros diseos de la llanta. Esta comparacin puede realizarse tanto con tcnicas numricas como con grficas. Algunas de las opciones disponibles se muestran en la figura 3.4, y en las tablas 3.8 y 3.9. Diseo neumtico Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com FIGURA 3.4 Diagrama de puntos, diagrama de cajas y bigotes con una escala comn Distancias de frenado Distancia (pies) Diseo A Diseo B Diseo C Alto 40 42 43 Q3 38 38 41 Mediano 36.5 34.5 40.5 Q1 34 34 40 Bajo 32 33 39 Diseo A Diseo B Diseo C Media 36.2 36.0 40.7 Desviacin estndar 2.9 3.4 1.4 TABLA 3.8 Resumen de 5 nmeros para cada diseo TABLA 3.9 Media y desviacin estndar para cada diseo Seccin 3.1 Datos bivariados A 44 42 40 38 36 34 32 B C www.fullengineeringbook.net 126 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Mucha de la informacin que se presenta aqu tambin puede demostrarse con otras tcni- cas estadsticas, como los diagramas de tallo y hojas o los histogramas. La discusin de este captulo se restringir a las tcnicas descriptivas para la forma ms bsica de correlacin y anlisis de regresin: el caso lineal bivariado. Dos variables cuantitativas Cuando los datos bivariados son resultado de dos variables cuantitativas, se acostumbra expresar los datos de manera matemtica como pares ordenados (x, y), donde x es la va- riable de entrada (en ocasiones llamada variable independiente) y y es la variable de salida (en ocasiones llamada variable dependiente). Se dice que los datos son ordenados porque un valor, x, siempre se escribe primero. Se llaman emparejados porque, para cada valor x, existe un valor y correspondiente de la misma fuente. Por ejemplo, si x es altura y y es peso, entonces un valor altura y un correspondiente valor peso se registran para cada persona. La variable de entrada, xVHPLGHRFRQWURODFRQODQDOLGDGGHSUHGHFLUOD variable de salida y. Supn que algunos mdicos investigadores ponen a prueba un nuevo medicamento al prescribir diferentes dosis y observar la duracin de los tiempos de recu- peracin de sus pacientes. El investigador puede controlar la cantidad de medicamento SUHVFULWRGHPRGRTXHODFDQWLGDGGHPHGLFDPHQWRVHUHHUHFRPRx. En el caso de altura y peso, cualquier variable podra tratarse como entrada y la otra como salida, dependiendo de la pregunta que se plantee. Sin embargo, se obtendrn diferentes resultados a partir del anlisis de regresin, dependiendo de la eleccin realizada. En problemas que traten con dos variables cuantitativas, los datos muestrales se pre- sentan visualmente en un diagrama de dispersin. TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los valores numricos en C1 y las correspondientes categoras en C2; despus contina con: Elige: Graph > Boxplot. . . > One Y, With Groups > OK Escribe: Variables grficas: C1 Variables categricas: C2 > OK Los comandos MINITAB para construir diagramas de puntos lado a lado para datos en esta forma se localizan en la pgina 41. Si los datos para las diversas categoras estn en columnas separadas, usa los comandos MINI- TAB para mltiples diagramas de caja en la pgina 88. Si necesitas diagramas de puntos lado a lado para datos en esta forma, contina con: Elige: Graph > Dotplots Selecciona: Multiple Y's, Simple > OK Escribe: Variables grficas: C1 C2 > OK Los comandos de Excel para construir un diagrama de cajas individual estn en la pgina 88. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : D I A G R A M A S D E C A J A S Y D E P U N T O S L A D O A L A D O Los comandos TI-83/84 para construir mltiples diagramas de cajas estn en la pgina 88. Los comandos TI-83/84 para construir mltiples diagramas de puntos estn en la pgina 42. www.fullengineeringbook.net 127 E J E M P L O 3 . 3 Diagrama de dispersin Grfica de todos los pares ordenados de datos bi- variados sobre un sistema de ejes coordenados. La variable de entrada, x, se grafica en el eje horizontal y la variable de salida y, se grafica en el eje vertical. Nota: cuando construyes un diagrama de dispersin, es conveniente elaborar las escalas de modo que el rango de los valores y a lo largo del eje vertical sea igual a, o ligeramente ms corto que el rango de los valores x a lo largo del eje horizontal. Esto crea una "ventana de datos" que es aproximadamente cuadrada. CMO CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE DISPERSIN En el curso de acondicionamiento fsico del Sr. Chamberlain, se tomaron varios valores de condicin fsica. La siguiente muestra es el nmero de flexio- nes de brazos y abdominales realizados por 10 estudiantes seleccionados al azar: (27, 30) (22, 26) (15, 25) (35, 42) (30, 38) (52, 40) (35, 32) (55, 54) (40, 50) (40, 43) La tabla 3.10 muestra estos datos muestrales y la figura 3.5 representa un diagrama de dispersin de los datos. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com El diagrama de dispersin del curso de acondicionamiento fsico del Sr. Chamberlain muestra un patrn definido. Observa que, conforme el nmero de flexiones aumenta, tambin lo hace el nmero de abdominales. TABLA 3.10 Datos para flexiones y abdominales [TA03-10] Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Flexiones, x 27 22 15 35 30 52 35 55 40 40 Abdominales, y 30 26 25 42 38 40 32 54 50 43 FIGURA 3.5 Diagrama de dispersin Curso de acondicionamiento fsico del Sr. Chamberlain Flexiones AbdominalesSeccin 3.1 Datos bivariados 55 45 35 25 15 25 35 45 55 www.fullengineeringbook.net 128 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados E J E M P L O A P L I C A D O 3 . 4 LOS ESTADOUNIDENSES AMAN SUS AUTOMVILES El romance de Estados Unidos con los vehculos todoterreno (SUV) comenz a finales de 1990 y principios de 2000, pero puede declinar un poco re- cientemente debido a su consumo de gasolina, costo y pobres registros de seguridad. El SUV conjunta la imagen de un automvil de alto rendimiento, robusto, con traccin en las cuatro ruedas construido sobre un chasis de camin que: puede ir fuera del camino; tiene buenas habilidades para jalar; puede transportar ms de cuatro pasajeros; es un vehculo ms seguro que un automvil debido a su construccin ms grande y ms pesada y sortea mejor la nieve. Sin embargo, si se dice la verdad, la mayora de las personas compran SUV porque pueden. La siguiente tabla menciona 16 de las SUV de traccin cudruple (4WD) y 6 cilindros que ofrecieron los fabricantes de automviles en 2009 y los valores de cuatro variables para cada vehculo. iStockphoto.com/Luis Sandoval Mandujano Variables: Fab. Fabricante del vehculo Modelo Modelo del vehculo Gas. Gasolina regular o premium Costo Costo de gasolina para conducir 25 millas Llenado Costo de llenar el tanque Tanque Capacidad del tanque de gasolina en galones Adems de mostrar esta informacin en forma de tabla, los datos se exhi- ben con alguna de las tcnicas de esta seccin en combinacin con alguna del captulo 2. Costo de gasolina para conducir 25 millas (dlares)La figura 3.6 muestra que el costo de gasolina para conducir 25 millas es tres veces ms para las SUV que usan gasolina regular que para las SUV que usan premium. Muchas de las SUV que usan gasolina regular cuestan menos. FIGURA 3.6 Grfica lado a lado de costo para conducir 25 millas por grado de gasolina Grado de gasolina TABLA 3.11 SUV 2009 4WD, 6 cil [EX03-022] http://www.fueleconomy.gov/ Fab. Modelo Gas. Costo Llenado Tanque Buick Enclave Reg. 2.51 37.82 22.0 Chevrolet Trailblazer Reg. 2.98 37.82 22.0 Chrysler Aspen Reg. 3.18 46.41 27.0 Dodge Durango Reg. 3.18 46.41 27.0 Ford Escape Reg. 2.39 28.36 16.5 GMC Dnvoy Reg. 2.98 37.82 22.0 Honda Pilot Reg. 2.65 36.10 21.0 Jeep Grand Cherokee Reg. 2.81 36.27 21.1 Kia Sportage Reg 2.39 29.57 17.2 Lexus RX 350 Prem. 2.83 37.15 19.2 Lincoln MKX Reg. 2.51 32.66 19.0 Mazda CX-7 Prem. 2.99 35.22 18.2 Mercury Mountaineer Reg. 3.18 38.68 22.5 Mitsubishi Outlander Reg. 2.15 27.16 15.8 Nissan Murano Prem. 2.69 41.99 21.7 Toyota RAV4 Reg. 2.27 27.33 15.9 Premium Regular 2.20 2.00 2.40 2.60 2.80 3.00 3.20 www.fullengineeringbook.net 129 La figura 3.7 muestra que seis de las SUV que usan gasolina regular tie- nen tanques con mayores capacidades que las tres SUV que usan premium. Por qu algunos vehculos necesita- ran tanques de gasolina de 27 galo- nes? Consulta el ejercicio 3.43 para una posible respuesta. MINITAB Excel Escribe los valores de la variable x en C1 y los correspondientes valores de la variable y en C2; despus contina con: Elige: Graph > Scatter Plot. . . > Simple > OK Escribe: Variables Y: C2 Variables X: C1 Selecciona: Labels > Titles/Footnotes Escribe: Ttulo: tu ttulo > OK > OK Escribe los valores de la variable x en la columna A y los correspondientes valores de la variable y en la columna B; activa las columnas de datos; despus contina con: Elige: Insert > Scatter > 1st picutre (usualmente) Elige: Chart Layouts > Layout 1 Escribe: Ttulo grfica: tu ttulo; ttulo eje (x): ttulo para eje x; ttulo eje (y): ttulo para eje y* I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : D I A G R A M A D E D I S P E R S I N FIGURA 3.7 FIGURA 3.8 Grfica lado a lado de capacidad del tanque por grado de gasolina Grado de gasolina Capacidad del tanque (galones)La figura 3.8 probablemente mues- tra informacin que ya sabas: mien- tras ms grande sea el tanque de ga- solina, ms costar llenarlo. Cmo podra ser de otra forma? Obser- vas las tres SUV que usan premium? Cmo aparecen en la figura 3.8 las distribuciones que se muestran en la figura 3.7? Consulta el ejercicio 3.16 para saber ms acerca de este tema. Capacidad del tanque de gasolina (galones) Costo de llenar el tanque frente a la capacidad del tanque Costo de llenar el tanque (dlares)Seccin 3.1 Datos bivariados Premium Regular 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 25 30 35 40 45 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5 www.fullengineeringbook.net 130 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados TI-83/84 Plus Escribe los valores de la variable x en L1 y los correspondientes valores de la variable y en L2; despus contina con: Elige: 2nd > STATPLOT > 1:Plot1 Elige: ZOOM > 9:ZoomStat > TRACE > > > o WINDOW Escribe: cuando mucho el valor x ms bajo, cuando menos el valor x ms alto, escala x, escala y, al menos valor y ms alto, escala y, 1 TRACE > > > [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP*Para quitar cuadrculas: Elige: Chart Tools > Layout > Gridlines > Primary Horizontal Gridlines > None Para editar el diagrama de dispersin, sigue los comandos de edicin bsica que se muestran para un histograma en la pgina 53. Para cambiar la escala y/o mostrar marcas gruesas, haz doble clic en los ejes; despus contina con: Elige: Chart Tools > Layout > Current Selection > Plot A Horiz/Vertical Axes > Format Selection Escribe: nuevos valores Selecciona: Principal tipo marca gruesa: Cross > OK E J E R C I C I O S S E C C I N 3 . 1 3.1 [EX03-001] Consulta el "Pesa tu pez con una regla" de la pgina 120 para responder las siguientes preguntas: a. Existe alguna relacin (patrn) entre las dos variables: longitud de una trucha arco iris y peso de una trucha arco iris? Explica por qu s o por qu no. b. Crees que es razonable (o posible) predecir el peso de una trucha arco iris con base en la longitud de la trucha arco iris? Explica por qu s o por qu no. 3.2 a. Existe alguna relacin entre el peso de una persona y el tamao de su zapato conforme crece de beb a 16 aos de edad? Conforme una variable se hace ms grande, la otra tambin se vuelve ms grande? Explica tus respuestas. b. Existe alguna relacin entre la altura y el tamao del zapato para las personas que son mayores de 16 aos de edad? Las personas ms altas usan zapatos ms grandes? Explica tus respuestas. 3.3 [EX03-003] En una encuesta nacional de 500 viajeros de negocios y 500 de descanso, a cada uno se le pregunt dnde le gustara "ms espacio". En el avin Cuarto hotel Todo lo dems Negocios 355 92 50 Descanso 250 165 85 a. Expresa la tabla como porcentajes del total. E ([SUHVDODWDEODFRPRSRUFHQWDMHVGHORVWRWDOHVGHOD Por qu uno preferira que la tabla se expresara de esta forma? c. Expresa la tabla como porcentajes de los totales de co- lumna. Por qu uno preferira que la tabla se expresara de esta forma? 3.4/DJUiFD(QODPLUDGDGHOREVHUYDGRUPXHVWUDGRVJUi FDV FLUFXODUHV FDGD XQD FRQ FXDWUR VHFFLRQHV(VWDPLVPD informacin podra representarse en la forma de una tabla de contingencia 2 4 de dos variables cualitativas. D ,GHQWLFDODSREODFLyQ\PHQFLRQDODVGRVYDULDEOHV b. Construye la tabla de contingencia usando entradas de SRUFHQWDMHVEDVDGDVHQWRWDOHVGHOD www.fullengineeringbook.net 131 3.5 /DJUiFD/DHGDGSHUIHFWDPXHVWUD ORVUHVXOWDGRVGH una tabla de contingencia 9 2 para una variable cualitativa y una cuantitativa. D ,GHQWLFDODSREODFLyQ\PHQFLRQDODVYDULDEOHVFXDOLWDWL va y cuantitativa. E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHODVGRVGLV tribuciones lado a lado. c. Parece existir una gran diferencia entre los gneros de esta encuesta? 3.6 [EX03-006] La Ley de Designacin del Sistema de Au- topistas Nacionales de 1995 permite a los estados establecer sus propios lmites de velocidad. La mayora de los estados elevaron los lmites. En la siguiente tabla se proporcionan los lmites de velocidad mximos, para noviembre de 2008, en las autopistas interestatales (rurales) para automviles y camiones por cada estado. Estado Automviles Camiones Estado Automviles Camiones Alabama 70 70 Montana 75 65 Alaska 65 65 Nebraska 75 75 Arizona 75 75 Nevada 75 75 Arkansas 70 65 New Hampshire 65 65 California 70 55 New Jersey 65 65 Colorado 75 75 Nuevo Mxico 75 75 Connecticut 65 65 Nueva York 65 65 Delaware 65 65 Carolina del Norte 70 70 Florida 70 70 Dakota del Norte 75 75 Georgia 70 70 Ohio 65 55 Hawai 60 60 Oklahoma 75 75 Idaho 75 65 Oregon 65 55 Illinois 65 55 Pennsylvania 65 65 Indiana 70 65 Rhode Island 65 65 Iowa 70 70 Carolina del Sur 70 70 Kansas 70 70 Dakota del Sur 75 75 Kentucky 65 65 Tennessee 70 70 Louisiana 70 70 Texas 75 65 Maine 65 65 Utah 75 75 Maryland 65 65 Virginia 65 65 Massachusetts 65 65 Vermont 65 65 Michigan 70 60 Washington 70 60 Minnesota 70 70 West Virginia 70 70 Mississippi 70 70 Wisconsin 65 65 Missouri 70 70 Wyoming 75 75 a. Construye una tabla cruzada de las dos variables: tipo de vehculo y lmite de velocidad mximo en autopistas interestatales. Expresa los resultados en frecuencias y muestra los totales marginales. b. Expresa la tabla de contingencia que derivaste en el inci- so a en porcentajes basados en el gran total. F 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRV del inciso b. d. Expresa la tabla de contingencia que dedujiste en el inciso a en porcentajes basados en el total marginal para lmite de velocidad. H 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRV del inciso d. Si usas una computadora o calculadora, intenta los comandos de la tabla cruzada de la pgina 124. 3.7 [EX03-007] Una encuesta estatal se llev a cabo para in- vestigar la relacin entre las preferencias de los televidentes por la informacin noticiosa de ABC, CBS, NBC, PBS o FOX \VXDOLDFLyQFRQXQSDUWLGRSROtWLFR/RVUHVXOWDGRVVHPXHV tran en forma tabular: a. A cuntos televidentes se encuest? (contina en la pgina 132) Fuente: Encuesta Energizer en lnea de 1 051 adultos casados, edades 44 a 62 aos Fuente: American Trucking Association Fuente: Datos de Cindy Hall y Genevieve Lynn, USA TODAY; IRC Research para Walt Disney. 1998 USA TODAY, reimpreso con permiso Mejor de lo que esper Peor de lo que esper Como esper No s Figura para el ejercicio 3.4 En la mirada del observador Cmo envejece su cnyuge? Hombres respondieronMujeres respondieronEdad "La edad perfecta" Edad que los adultos estadounidenses dicen que les gustara conservar por el resto de sus vidas si pudieran. o ms Hombres Mujeres Seccin 3.1 Datos bivariados Estacin de televisin Afi liacin poltica ABC CBS NBC PBS FOX Demcrata 203 218 257 156 226 Republicano 421 350 428 197 174 Otra 156 312 105 57 90 www.fullengineeringbook.net 132 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados b. Por qu stos son datos bivariados? Menciona las dos variables. Qu tipo de variable es cada una? F &XiQWRVWHOHYLGHQWHVSUHULHURQYHU&%6" d. Qu porcentaje de la encuesta fue republicana? H 4XpSRUFHQWDMHGHORVGHPyFUDWDVSUHULHURQ$%&" f. Qu porcentaje de los televidentes fueron republicanos \SUHULHURQ3%6" 3.8 [EX03-008] Considera la tabla de contingencia siguiente, que presenta los resultados de una encuesta publicitaria acerca del uso de crdito por los clientes de Martan Oil Company. Nmero de compras en estacin de gasolina el ao pasado Mtodo preferido de pago 0-4 5-9 10-14 15-19 20 Suma Efectivo 150 100 25 0 0 275 Tarjeta petrolera 50 35 115 80 70 350 Tarjeta de crdito bancaria 50 60 65 45 5 225 Suma 250 195 205 125 75 850 a. A cuntos clientes se entrevist? b. Por qu stos son datos bivariados? Qu tipo de varia- ble es cada una? F &XiQWRVFOLHQWHVSUHULHURQXVDUXQDWDUMHWDSHWUROHUD" d. Cuntos clientes realizaron 20 o ms compras el ao pasado? H &XiQWRVFOLHQWHVSUHULHURQXVDUXQDWDUMHWDSHWUROHUD\ realizaron entre cinco y nueve compras el ao pasado? I 4XpVLJQLFDHOHQODFXDUWDFHOGDGHODVHJXQGDOD" 3.9 [EX03-009] Las tasas de desempleo en junio de 2009 para los estados estadounidenses del Este y el Oeste fueron las si- guientes: Tasas de desempleo estatal, junio de 2009 Este 8.0 10.6 10.1 7.3 9.2 11.0 12.1 7.2 Oeste 8.7 11.6 8.4 6.4 12.0 12.2 5.7 9.3 Muestra estas tasas como dos diagramas de puntos con la mis- ma escala; compara medias y medianas. 3.10 [EX03-010] Qu efecto tiene la cantidad mnima so- EUHODWDVDGHLQWHUpVDRIUHFHUSRUORVFHUWLFDGRVGHGHSyVLWR (CD) a 3 meses? Las siguientes son las tasas de rendimiento publicitadas y, para un depsito mnimo de 500, 1 000, 2 500, 5 000 o 10 000 dlares, x. (Observa que x est en 100 dlares y y es tasa de rendimiento porcentual anual.) Depsito mn. Tasa Depsito mn. Tasa Depsito mn. Tasa 100 0.95 25 1.00 25 0.75 100 1.24 50 1.00 10 0.75 10 1.24 100 1.00 100 0.70 10 1.15 5 1.00 5 0.64 100 1.10 10 1.00 10 0.50 50 1.09 10 0.80 100 0.35 100 1.07 10 0.75 25 0.35 5 1.00 10 0.75 5 0.99 25 0.75 a. Prepara un diagrama de puntos de los cinco conjuntos de datos con una escala comn. b. Prepara un resumen de 5 nmeros y un diagrama de cajas de los cinco conjuntos de datos. Usa la misma escala para los diagramas de cajas. c. Describe cualquier diferencia que veas entre los tres con- juntos de datos. Si usas una computadora o calculadora para el ejemplo 3.10, intenta los comandos de la pgina 126. 3.11 [EX03-011] Puede predecirse la estatura de una mujer a partir de la estatura de su madre? A continuacin se mencio- nan las estaturas de algunos pares madre-hija; x es la estatura de la madre y y es la estatura de la hija. x 63 63 67 65 61 63 61 64 62 63 y 63 65 65 65 64 64 63 62 63 64 x 64 63 64 64 63 67 61 65 64 65 66 y 64 64 65 65 62 66 62 63 66 66 65 a. Dibuja dos diagramas de puntos con la misma escala y muestra los dos conjuntos de datos lado a lado. b. Qu puedes concluir al ver los dos conjuntos de datos como conjuntos separados en el inciso a? Explica. c. Dibuja un diagrama de dispersin de dichos datos como pares ordenados. d. Qu puedes concluir al ver los datos presentados como pares ordenados? Explica. 3.12 [EX03-012] Las siguientes tablas mencionan las edades, estaturas (en pulgadas) y pesos (en libras) de los jugadores en la plantilla de 2009 para los equipos Boston Bruins y Edmon- ton Oilers de la National Hockey League. Boston Bruins Edmonton Oilers Edad Estatura Peso Edad Estatura Peso 31 72 193 22 70 180 24 72 186 22 69 178 23 71 176 19 70 191 32 70 195 24 71 183 22 71 194 24 71 190 32 71 209 24 72 190 35 74 186 24 73 195 34 73 175 23 71 200 21 76 220 30 73 202 30 72 195 24 76 217 25 77 215 28 78 265 25 72 192 33 74 220 21 72 189 26 76 243 Fuente: Bankrate.com, 28 de julio de 2009 Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics www.fullengineeringbook.net 133 Boston Bruins Edmonton Oilers Edad Estatura Peso Edad Estatura Peso 27 72 195 23 71 180 24 75 188 25 72 191 22 75 196 32 73 203 41 70 195 23 75 217 29 72 192 22 72 196 32 73 209 26 75 210 22 75 185 25 73 195 25 74 225 21 74 223 32 81 261 23 75 204 26 73 211 33 76 227 30 70 189 36 73 200 24 70 187 34 76 225 30 72 220 32 70 188 23 73 185 25 76 189 25 74 218 36 73 208 26 72 200 34 72 207 22 74 171 25 73 190 28 74 200 35 71 182 a. Compara cada una de las tres variables (estatura, peso y edad) o con un diagrama de puntos o con un histograma (usa la misma escala). E &RQEDVHHQORTXHYHVHQODVJUiFDVGHOLQFLVRDSXH- des detectar una diferencia sustancial entre los dos equi- pos en cuanto a estas tres variables? Explica. c. Explica por qu los datos, como se usaron en el inciso a, no son datos bivariados. 3.13 Considera las dos variables de la estatura y el peso de una persona. Cul variable, estatura o peso, usaras como la varia- ble de entrada cuando estudies su relacin? Explica por qu. 3.14'LEXMD XQ HMH FRRUGHQDGR \ JUDFD ORV SXQWRV (3, 5), (3, 2) y (5, 0) para formar un diagrama de dispersin. Describe el patrn que muestran los datos en esta presentacin. 3.15 Estudiar para que un examen rinda frutos? a. Dibuja un diagrama de dispersin del nmero de horas de estudio, xHQFRPSDUDFLyQFRQODFDOLFDFLyQUHFLELGDHQ el examen y. x 2 5 1 4 2 y 80 80 70 90 60 b. Explica qu puedes concluir con base en el patrn de datos que se muestra en el diagrama de dispersin que dibujaste en el inciso a. (Conserva estas soluciones para usarlas en el ejercicio 3.55, p. 157.) 3.16&RQVXOWD ODJXUD GHO/RV HVWDGRXQLGHQVHV DPDQ sus automviles" (Ejemplo aplicado 3.4 de la p. 128) para res- ponder las siguientes preguntas: a. Menciona las dos variables utilizadas. b. El diagrama de dispersin sugiere una relacin entre las dos variables? Explica. c. Qu conclusin, si hay alguna, puedes extraer a partir de la apariencia del diagrama de dispersin? 3.17 Las tablas de crecimiento usualmente las usan los pedia- tras para monitorear el crecimiento de un nio. Considera la siguiente tabla de crecimiento. D &XiOHVVRQODVGRVYDULDEOHVTXHVHPXHVWUDQHQODJUiFD" b. Qu informacin representa el par ordenado (3,87)? c. Describe cmo el pediatra puede usar esta tabla y qu tipos de conclusiones pueden basarse en la informacin que se muestra en ella. 3.18 [EX03-012] a. Dibuja un diagrama de dispersin que muestre estatura, x y peso y, para el equipo de Boston Bruins, con los datos del ejercicio 3.12. b. Dibuja un diagrama de dispersin que muestre estatura, x y peso, y, para el equipo de hockey Edmonton Oilers, con los datos del ejercicio 3.12. c. Explica por qu los datos, como se usaron en los incisos a y b, son datos bivariados. PTI Si usas una computadora o calculadora, intenta los co- mandos de las pginas 129-130. 3.19 [EX03-019] Los siguientes datos muestran el nmero de horas, xHVWXGLDGDVSDUDXQH[DPHQ\ODFDOLFDFLyQUHFLELGD y (y se mide en decenas; esto es: y VLJQLFDTXHODFDOLFD- cin, redondeada a los 10 puntos ms cercanos, es 80). Dibuja el diagrama de dispersin. (Conserva esta solucin para usarla en el ejercicio 3.37, p. 143.) x 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 y 5 5 7 5 7 7 8 6 9 8 7 9 10 8 9 3.20 [EX03-020] 8Q SVLFyORJR H[SHULPHQWDO DUPD TXH mientras ms edad tenga un nio, son menos las respuestas irrelevantes que dar durante un experimento controlado. Para LQYHVWLJDUHVWDDUPDFLyQVHUHFRSLODURQORVVLJXLHQWHVGDWRV Fuente: http://sports.espn.go.com/ Edad (aos) Tabla de crecimiento Estatura (cm)(contina en la pgina 134) Seccin 3.1 Datos bivariados 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 www.fullengineeringbook.net 134 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Dibuja un diagrama de dispersin. (Conserva esta solucin para usarla en el ejercicio 3.38, p. 143.) Edad, x 2 4 5 6 6 7 9 9 10 12 Respuestas Irr., y 12 13 9 7 12 8 6 9 7 5 3.21 [EX03-021] Se seleccion una muestra de 15 estudian- tes de clase superior que se trasladaban hacia las clases en el registro. Se les pidi estimar la distancia (x) y el tiempo (y) requerido para dirigirse cada da a clase (consulta la siguiente tabla). Distancia, x Tiempo, y Distancia, x Tiempo, y (milla (5 minutos (milla (5 minutos ms cercana) ms cerca) ms cercana) ms cerca) 18 20 2 5 8 15 15 25 20 25 16 30 5 20 9 20 5 15 21 30 11 25 5 10 9 20 15 20 10 25 a. Esperas encontrar una relacin lineal entre las dos variables: distancia y tiempo de traslado? Si es as, explica qu relacin esperas. b. Construye un diagrama de dispersin que muestre dichos datos. c. El diagrama de dispersin en el inciso b refuerza lo que esperas en el inciso a? 3.22 [EX03-022] Consulta la tabla de SUV 2009 traccin cudruple y 6 cilindros del ejemplo aplicado 3.4 de la pgina 128 y las dos variables capacidad de tanque de gasolina, x y el costo de llenarlo, y. a. Si dibujaras diagramas de dispersin de estas dos variables, HQODPLVPDJUiFDSHURVHSDUDGDVSDUDODV689TXHXVDQ gasolina regular y premium, crees que los dos conjuntos de datos seran distinguibles? Explica qu anticipas ver. b. Construye un diagrama de dispersin de capacidad de tanque, x y costo de llenado de tanque, y, para las SUV que usan gasolina regular. c. Construye un diagrama de dispersin de capacidad de tanque, x y costo de llenado de tanque, y, para las SUV que usan gasolina premium en el diagrama de dispersin del inciso b. d. Los dos conjuntos son distinguibles? e. Cmo se compara tu respuesta al inciso a con tu respues- ta al inciso d? Explica cualquier diferencia. 3.23 [EX03-023] Los estadios de bisbol varan en edad, es- tilo y tamao y muchas otras formas. Los fanticos pueden pensar en el tamao de un estadio en trminos del nmero de asientos, mientras que los jugadores pueden medir el tamao de un estadio en trminos de la distancia desde home hasta la cerca del jardn central. Asientos CF Asientos CF Asientos CF 38 805 420 36 331 434 40 950 435 41 118 400 43 405 405 38 496 400 56 000 400 48 911 400 41 900 400 45 030 400 50 449 415 42 271 404 34 077 400 50 091 400 43 647 401 40 793 400 43 772 404 42 600 396 56 144 408 49 033 407 46 200 400 50 516 400 47 447 405 41 222 403 40 615 400 40 120 422 52 355 408 48 190 406 41 503 404 45 000 408 Existe alguna relacin entre estas dos mediciones del "tama- o" de los 30 estadios de la Major League Baseball? a. Qu crees que encontrars? Los campos ms grandes tienen ms asientos? Los campos ms pequeos tienen ms asientos? No hay relacin entre tamao de campo y nmero de asientos? Hay una fuerte relacin entre tamao de campo y nmero de asientos? Explica. b. Construye un diagrama de dispersin. c. Describe qu te dice el diagrama de dispersin, e incluye una reaccin a tu respuesta al inciso a. 3.24 [EX03-024] La mayora de los adultos estadouniden- ses conducen. Pero tienes alguna idea de cuntos conducto- res con licencia hay en cada estado de Estados Unidos? La siguiente tabla menciona el nmero de conductores hombres y mujeres con licencia en cada uno de 15 estados estadouniden- ses seleccionados al azar durante 2007. Conductores con licencia por estado ( 100 000) Hombre Mujer Hombre Mujer 17.92 17.10 59.07 54.62 5.18 5.10 2.38 2.33 21.24 21.85 15.01 16.26 10.03 10.15 75.98 75.86 14.52 14.82 8.32 8.20 15.91 15.59 25.26 23.53 3.74 3.62 2.05 1.93 6.77 6.89 a. Esperas encontrar una relacin lineal (lnea recta) entre el nmero de conductores hombres y el de conductores mujeres con licencia por estado? Cun fuerte anticipas que sea esta relacin? Describe. b. Construye un diagrama de dispersin con x como el nmero de conductores hombres y y para el nmero de conductores mujeres. c. Compara el diagrama de dispersin con tus expectativas en el inciso a. Cmo te fue? Explica. d. Existen puntos de datos que parecen estar separados del patrn creado por el resto de los pares ordenados? Si se quitaran del conjunto de datos, cambiaran los resultados? Qu hace que estos puntos estn separados CF = distancia desde home hasta la cerca del jardn central Fuente: http://mlb.mlb.com Fuente: Federal Highway Admin., U.S. Dept. of Transportation www.fullengineeringbook.net 135 de los otros, pero an as sean parte del patrn exten- dido? Explica. e. Usa el conjunto de datos para los 51 estados para cons- truir un diagrama de dispersin. Compara el patrn de la muestra de 15 con el patrn que muestran los 51. Descri- be con detalle. I /DPXHVWUDSURSRUFLRQyVXFLHQWHLQIRUPDFLyQSDUDTXH comprendas la relacin entre las dos variables en esta situacin? Explica. 3.25 [EX03-025] Ronald Fisher, estadstico ingls (1890- 1962), recopil mediciones para una muestra de 150 irises. Le preocupaban cinco variables: especie, ancho de ptalo (PW), longitud de ptalo (PL), ancho de spalo (SW) y longitud de spalo (SL) (todos en mm). Los spalos son las hojas ms ex- WHUQDVTXHHQFLHUUDQODRUDQWHVGHTXHVHDEUD/DPHWDGHO experimento de Fisher fue producir una funcin simple que SXGLHUD XVDUVH SDUD FODVLFDU FRUUHFWDPHQWH ODV RUHV 8QD muestra aleatoria de este conjunto de datos completo se pro- porciona en la siguiente tabla. Tipo PW PL SW SL Tipo PW PL SW SL 0 2 15 35 52 1 24 51 28 58 2 18 48 32 59 1 19 50 25 63 1 19 51 27 58 0 1 15 31 49 0 3 13 35 50 1 23 59 32 68 0 3 15 38 51 2 13 44 23 63 2 12 44 26 55 2 15 42 30 59 1 20 64 38 79 1 25 57 33 67 2 15 49 31 69 1 21 57 33 67 2 15 45 29 60 0 2 15 37 54 2 12 39 27 58 1 18 49 27 63 1 22 56 28 64 1 17 45 25 49 1 13 52 30 67 1 24 56 34 63 0 2 14 29 44 0 2 14 36 50 2 16 51 27 60 2 10 50 22 60 0 5 17 33 51 0 2 12 32 50 a. Construye un diagrama de dispersin de longitud de p- talo, x y ancho de ptalo, y. Usa diferentes smbolos para representar las tres especies.* b. Construye un diagrama de dispersin de longitud de spa- lo, x y ancho de spalo, y. Usa diferentes smbolos para representar las tres especies. c. Explica qu retratan los diagramas de dispersin de los incisos a y b. Observa cun bien una muestra aleatoria representa los datos de donde se seleccion. d. Repite los incisos a y b con el conjunto de datos que con- tiene los 150 datos de Fisher en [EX03-025]. e. Aparte del hecho de que los diagramas de dispersin de los incisos a y b tienen menos datos, comenta acerca de las similitudes y diferencias entre las distribuciones mostradas para los 150 datos y para los 30 datos seleccio- nados al azar. 3.26 [EX03-026] Los eclipses totales de Sol en realidad tie- nen lugar casi con tanta frecuencia que los eclipses de Luna, pero los primeros son visibles en una trayectoria mucho ms estrecha. Tanto el ancho de la trayectoria como la duracin varan sustancialmente de un eclipse al siguiente. La siguiente tabla muestra la duracin (en segundos) y los anchos de tra- yectoria (en millas) de 44 eclipses totales de Sol medidos en el pasado y los proyectados para el ao 2010: Fecha Duracin (s) Ancho (mi) Fecha Duracin (s) Ancho (mi) 1950 73 83 1983 310 123 1952 189 85 1984 119 53 1954 155 95 1985 118 430 1955 427 157 1986 1 1 1956 284 266 1987 7 3 1958 310 129 1988 216 104 1959 181 75 1990 152 125 1961 165 160 1991 413 160 1962 248 91 1992 320 182 1963 99 63 1994 263 117 1965 315 123 1995 129 48 1966 117 52 1997 170 221 1968 39 64 1998 248 94 1970 207 95 1999 142 69 1972 155 109 2001 296 125 1973 423 159 2002 124 54 1974 308 214 2003 117 338 1976 286 123 2005 42 17 1977 157 61 2006 247 114 1979 169 185 2008 147 144 1980 248 92 2009 399 160 1981 122 67 2010 320 160 a. Dibuja un diagrama de dispersin que muestre duracin y y ancho de trayectoria x, para los eclipses totales de Sol. b. Cmo describiras este diagrama? c. Las duraciones y anchos de trayectoria para los aos 2006-2009 fueron proyecciones. Los valores registrados fueron: Ao Ancho de trayectoria Duracin 2006 65 millas 247 s 2008 147 millas 147 s 2009 160 millas 399 s Compara los valores registrados con las proyecciones. Comen- ta acerca de la precisin. Para MINITAB: Selecciona: Scatterplot With Group Escribe: Variables categricas para agrupamiento: Type Para TI-83/84: Escribe diferentes grupos en columnas separadas x y y. Usa una Stat Plot separada y "Mark" para cada grupo Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 1998. *Adems de usar los comandos de las pginas 129-130, usa: Seccin 3.1 Datos bivariados www.fullengineeringbook.net 136 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados El principal propsito del anlisis de correlacin lineal es medir la fuerza de una relacin lineal entre dos variables. Examina algunos diagramas de dispersin que demuestren di- ferentes relaciones entre entrada, o variables independientes, x y salida o variables depen- dientes, y. Si, conforme xDXPHQWDQRKD\XQGHVSOD]DPLHQWRGHQLGRHQORVYDORUHVGHy, se dice que no hay correlacin, o no hay relacin entre x y y. Si, conforme x aumenta, hay un desplazamiento en los valores de y, entonces existe una correlacin. La correlacin es positiva cuando y tiende a aumentar, y negativa cuando y tiende a disminuir. Si los pares ordenados (x, y) tienden a seguir una trayectoria en lnea recta, existe una correlacin lineal. La precisin del desplazamiento en y conforme x aumenta determina la fuerza de la correlacin lineal/RVGLDJUDPDVGHGLVSHUVLyQHQODJXUDPXHVWUDQHVWDVLGHDV 3.2 Correlacin lineal Negativa alta La correlacin lineal perfecta ocurre cuando todos los puntos caen exactamente a lo ODUJRGHXQDOtQHDUHFWDFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD/DFRUUHODFLyQSXHGHVHUSRVLWL- va o negativa, dependiendo de si y aumenta o disminuye conforme x aumenta. Si los datos forman una lnea recta horizontal o vertical, no hay correlacin, porque una variable no WLHQHHIHFWRVREUHODRWUDFRPRWDPELpQVHPXHVWUDHQODJXUD FIGURA 3.9 Diagramas de dispersin y correlacin FIGURA 3.10 Pares ordenados que forman una lnea recta FIGURA 3.11 No correlacin lineal Vertical: no correlacin Los diagramas de dispersin no siempre aparecen en una de las formas que se mues- WUDQHQODVJXUDV\(QRFDVLRQHVVXJLHUHQUHODFLRQHVGLVWLQWDVDODOLQHDOFRPR HQODJXUD3DUHFHH[LVWLUXQSDWUyQGHQLGRVLQHPEDUJRODVGRVYDULDEOHVQRVH relacionan linealmente y por tanto no hay correlacin lineal. El FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO r, es la medida numrica de la fuerza de la re- ODFLyQOLQHDOHQWUHGRVYDULDEOHV(OFRHFLHQWHUHHMD ODFRQVLVWHQFLDGHOHIHFWRTXHXQ FDPELRHQXQDYDULDEOHWLHQHVREUHODRWUD(OYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO ayuda a responder la pregunta: existe una correlacin lineal entre las dos variables bajo FRQVLGHUDFLyQ"(OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr, siempre tiene un valor entre 1 y +1. 8QYDORUGHVLJQLFDXQDFRUUHODFLyQSRVLWLYDSHUIHFWD\XQYDORUGHVLJQLFDXQD correlacin negativa perfecta. Si, conforme x aumenta, existe un aumento general en el valor de y, entonces r ser positivo en valor. Por ejemplo, un valor positivo de r se espera- No correlacin Positiva Positiva alta Negativa Correlacin positiva perfecta Correlacin negativa perfecta Horizontal: no correlacin www.fullengineeringbook.net 137 Frmula para definicin ra para la edad y la estatura de los nios, porque, conforme los nios tienen ms edad, se vuelven ms altos. Adems, considera la edad, x y el valor de reventa, y, de un automvil. Conforme el automvil envejece, su valor de reventa disminuye. Dado que, conforme x aumenta, y disminuye, la relacin resulta en un valor negativo de r. El valor de rVHGHQHPHGLDQWHODfrmula producto-momento de Pearson: Notas: 1. Las desviaciones estndar de las variables x y y son s x y s y . 2. El desarrollo de esta frmula se estudia en el captulo 13. Para calcular r, usars una frmula alternativa, la frmula (3.2), que es equivalente a la frmula (3.1). Como clculos preliminares, calculars por separado tres sumas de cuadra- dos y despus las sustituirs en la frmula (3.2) para obtener r. Frmula para clculo coeficiente de correlacin lineal = suma de cuadrados para xy Recuerda el clculo de SS(x) de la frmula (2.8) para la varianza muestral (p. 77): suma de cuadrados para x = suma de x2 (suma de x) 2 n SS(x) = x2 x Tambin puedes calcular: suma de cuadrados para y = suma de y2 (suma de y) 2 SS(y) = y2 y suma de cuadrados para xy = suma de xy (suma de x) (suma de y) SS(xy) = xy x y (3.1) PTI SS(x) es el numera- dor de la varianza. (3.2) (suma de cuadrados para x) (suma de cuadrados para y) r = (x x)(y y) (n 1)sxsy (2.8) n n n n n 2 2 (3.3) (3.4) r = SS(xy) SS(x)SS(y) Seccin 3.2 Correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 138 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados E J E M P L O 3 . 5 Nota: por lo general, r se redondea a la centsima ms cercana. (OYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOD\XGDDUHVSRQGHUODSUHJXQWDH[LVWHXQD correlacin lineal entre las dos variables bajo consideracin? Cuando el valor calculado de r est cerca de cero, se concluye que existe poca o ninguna correlacin lineal. Conforme el valor calculado de r cambia de 0.0 hacia o +1.0 o 1.0, ello incide en una correlacin OLQHDOFUHFLHQWHHQWUHODVGRVYDULDEOHV'HVGHXQSXQWRGHYLVWDJUiFRFXDQGRFDOFXODVr, CMO CALCULAR EL COEFICIENTE DE CORRELACIN LINEAL, r Encuentra el coeficiente de correlacin lineal para los datos de flexiones/ab- dominales del ejemplo 3.3 (p. 127). Solucin Primero, construye una tabla de extensiones (tabla 3.12) que mencione todos los pares de valores (x, y) para ayudarte a encontrar x2, xy y y2 para cada par y los cinco totales de columna. Tutoriales en video disponibles; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com PTI Observa esto en accin con el ejercicio 3.27 de la pgina 142. PTI Los valores y SS se necesitarn para la regresin en la seccin 3.3. Asegrate de guardarlos! Segundo, para completar los clculos preliminares sustituye las cinco suma- torias (los cinco totales de columna) de la tabla de extensiones en las frmulas (2.8), (3.3) y (3.4) y calcula las tres sumas de cuadrados: Tercero, sustituye las tres sumas de cuadrados en la frmula (3.2) para encontrar el valor del coeficiente de correlacin: TABLA 3.12 Tabla de extensiones para encontrar cinco sumatorias [TA03-10] Estudiante Flexiones, x x2 Abdominales, y y 2 xy 1 27 729 30 900 810 2 22 484 26 676 572 3 15 225 25 625 375 4 35 1 225 42 1 764 1 470 5 30 900 38 1 444 1 140 6 52 2 704 40 1 600 2 080 7 35 1 225 32 1 024 1 120 8 55 3 025 54 2 916 2 970 9 40 1 600 50 2 500 2 000 10 40 1 600 43 1 849 1 720 x = 351 x2 = 13 717 y = 380 y 2 = 15 298 xy = 14 257 suma de x suma de x2 suma de y suma de y 2 suma de xy r = SS(xy) = 919.0 = 0.8394 = 0.84 SS(x)SS(y) (1396.9)(858.0) SS(x) = x2 (x) 2 = 13 717 (351) 2 = 1 396.9 n 10 SS(y) = y2 (y) 2 = 15 298 (380) 2 = 858.0 n 10 SS(xy) = xy xy = 14 257 (351)(380) = 919.00 n 10 www.fullengineeringbook.net 139 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos de la variable x en C1 y los correspondientes datos de la variable y en C2; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > Correlation . . . Escribe: Variables: C1 C2 > OK Escribe los datos de la variable x en la columna A y los correspondientes datos de la variable y en la columna B; activa una celda para la respuesta, despus contina con: Elige: Insert function fx > Statistical > CORREL > OK Escribe: Array 1: x data range Array 2: y data range > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C O E F I C I E N T E D E C O R R E L A C I N Escribe los datos de la variable x en L1 y los correspondientes datos de la variable y en L2; despus contina con: Elige: 2nd > CATALOG > DiagnostocOn * > ENTER > ENTER Elige: STAT > CALC > 8: LinReg( a + bx) Escribe: L1, L2 *Debes seleccionar DiagnosticOn para que se muestren r y r 2. Una vez establecido, omite este paso. lo que haces es medir cun bien una lnea recta describe el diagrama de dispersin como pares ordenados. Conforme el valor de r cambia de 0.0 hacia +1.0 o 1.0, los puntos de datos crean un patrn que se mueve ms cerca a una lnea recta. Comprender el coeficiente de correlacin lineal (OVLJXLHQWHPpWRGRFUHDUiXQVLJQLFDGRYLVXDOSDUDODFRUUHODFLyQXQVLJQLFDGR YLVXDOSDUDORTXHPLGHHOFRHFLHQWHOLQHDO\XQDHVWLPDFLyQSDUDr. El mtodo es r- pido y por lo general produce una estimacin razonable cuando la "ventana de datos" es aproximadamente cuadrada. Nota: esta tcnica de estimacin no sustituye el clculo de r. Es muy sensible a la "disper- sin" del diagrama. Sin embargo, si la "ventana de datos" es aproximadamente cuadrada, esta aproximacin ser til como una estimacin o comprobacin mental. Procedimiento: 1. Construye un diagrama de dispersin de tus datos y asegrate de que escalas los ejes GHPRGRTXHODJUiFDUHVXOWDQWHWHQJDXQDYHQWDQDGHGDWRVDSUR[LPDGDPHQWH FXDGUDGDFRPRVHPXHVWUDHQODJXUDPHGLDQWHHOPDUFRD]XOFODUR/DYHQ- tana puede no ser la misma regin determinada por las cotas de las dos escalas, que VHPXHVWUDQFRPRXQUHFWiQJXORD]XORVFXURHQODJXUD 2. Tiende dos lpices en tu diagrama de dispersin. Mantnlos paralelos y muvelos a una posicin de modo que estn tan cerca como sea posible mientras encierran entre HOORVDWRGRVORVSXQWRVGHOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQ2EVHUYDODJXUD 3. Visualiza una regin rectangular que est acotada por los dos lpices y que termina justo ms all de los puntos del diagrama de dispersin. (Observa la porcin som- EUHDGDGHODJXUD FIGURA 3.12 La ventana de datos FIGURA 3.13 Enfcate en el patrn Seccin 3.2 Correlacin lineal y x y x www.fullengineeringbook.net 140 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 4. Estima el nmero de veces que el rectngulo es ms largo que ancho. Una forma sencilla de hacer esto es marcar mentalmente cuadrados en el rectngulo. (Observa ODJXUD/ODPDk a este nmero de mltiplos. 5. El valor de r puede estimarse como 1 . 6. El signo asignado a r se determina mediante la posicin general de la longitud de la regin rectangular. Si se encuentra en una posicin creciente, r ser positivo; si se encuentra en una posicin decreciente, rVHUiQHJDWLYRYpDVHODJXUD6LHO rectngulo est en una posicin horizontal o en una vertical, entonces r ser cero, sin importar la razn longitud-ancho. FIGURA 3.14 Cmo encontrar k FIGURA 3.16 Flexiones frente a abdominales para 10 estudiantes FIGURA 3.15 a) Posicin creciente b) Posicin decreciente 8VDHVWHPpWRGRSDUDHVWLPDUHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUDODUH- ODFLyQHQWUHHOQ~PHURGHH[LRQHV\DEGRPLQDOHV&RPRVHPXHVWUDHQODJXUDVH descubre que el rectngulo es aproximadamente 3.5 veces ms largo que ancho (esto es: k 3.5) y el rectngulo se encuentra en una posicin creciente. Por tanto, la estimacin para r es Causacin y variables ocultas Conforme uno intenta explicar el pasado, comprender el presente y estimar el futuro, los juicios acerca de causa y efecto son necesarios debido al deseo de imponer orden en el entorno. La relacin causa y efecto es bastante directa. Puedes enfocarte en una situacin, el efecto (por ejemplo, una enfermedad o problema social) y tratar de determinar su causa(s), o puedes comenzar con una causa (condiciones insalubres o pobreza) y discutir su(s) efecto(s). Para determinar la causa de algo, pregntate por qu ocurri. Para determinar el efecto, pregntate qu ocurri. Variable oculta Variable que no est incluida en un estudio, pero que tiene un efecto sobre las variables del estudio y hace parecer que dichas variables estn relacionadas. Un buen ejemplo es la fuerte relacin positiva que muestra la cantidad de dao causado por un incendio y el nmero de bomberos que combaten el incendio. El "tamao" del in- cendio es la variable de confusin; "causa" tanto la "cantidad" de dao como el "nmero" de bomberos. Si existe una fuerte correlacin lineal entre dos variables, entonces una de las siguien- tes situaciones puede ser verdadera acerca de la relacin entre las dos variables: 1. Existe una relacin directa causa-efecto entre las dos variables. 2. Existe una relacin inversa causa-efecto entre las dos variables. Flexiones Abdominalesr po sitiv o r negativo r + 1 1 + 0.70 35 1 k y x k 2.5 55 45 35 25 35 45 55 15 25 x y y x www.fullengineeringbook.net 141 E J E M P L O A P L I C A D O 3 . 6 3. Su relacin puede ser provocada por una tercera variable. 4. Su relacin puede ser provocada por las interacciones de muchas otras variables. 5. La aparente relacin puede ser estrictamente una coincidencia. Recuerda que una fuerte correlacin no necesariamente implica causacin. He aqu algunas trampas a evitar: 1. En una relacin directa causa-efecto, un aumento (o disminucin) en una variable causa un aumento (o disminucin) en otra. Supn que hay una fuerte correlacin positiva entre peso y estatura. Un aumento en peso causa un aumento en estatura? No necesariamente. O, para ponerlo de otra forma: una disminucin en peso causa una disminucin en estatura? Muchas otras posibles variables estn involucradas, como gnero, edad y estructura corporal. Estas otras variables se llaman variables ocultas. 2. En el ejemplo aplicado 3.4 (p. 128), existi una correlacin positiva entre la capa- cidad del tanque de gasolina y el costo del llenado del tanque. Si tuvieras una de las SUV con un tanque de gasolina ms pequeo que cuesta menos llenar, esto te ahorrara dinero por la gasolina? 3. No razones a partir de la correlacin para la causa: slo porque todas las personas TXHVHPXHYHQKDFLDODFLXGDGHQYHMHFHQQRVLJQLFDTXHODFLXGDGcausa enveje- cimiento. La ciudad puede ser un factor, pero no puedes basar tu argumento en la correlacin. TASAS DE SEGUROS DE VIDA TABLA 3.13 Primas mensuales no fumadores para seguro de vida [TA03-13] iStockphoto.com Edad Prima mensual no fumador para seguro de vida Un alto coeficiente de corre- lacin lineal, r, implica que los datos son lineales por na- turaleza? La edad de emisin del asegurado y la prima de seguro de vida mensual para usuarios no fumadores pare- ce enormemente correlacio- nada al observar la tabla que se presenta aqu. Con- forme aumenta la edad de emisin, la prima mensual para el seguro aumenta para cada uno de los gneros. Costo hombre ($100)Fuente: http://www.reliaquote.com/ Todas las primas mencionadas son las mejores clasificaciones para no fumadores de cada portador. $100 000 $250 000 $500 000 Edad emisin Hombre ($) Mujer ($) Hombre ($) Mujer ($) Hombre ($) Mujer ($) 30 7.96 6.59 11.96 9.13 19.25 12.46 35 8.05 6.56 11.96 9.13 19.57 12.46 40 9.63 7.79 15.22 10.89 23.19 16.47 45 13.14 9.80 22.40 15.44 35.87 24.03 50 18.44 12.42 33.69 21.10 53.81 33.38 55 26.01 15.75 49.22 29.37 87.59 48.06 60 37.10 20.83 74.59 42.05 137.38 69.87 Seccin 3.2 Correlacin lineal 40 35 30 25 20 10 15 30 35 40 45 50 55 60 www.fullengineeringbook.net 142 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP3.27 Ejercicio Applet Skill- builder Proporciona diagra- mas de dispersin para varios FRHFLHQWHVGHFRUUHODFLyQ a. A partir de r = 0, mueve la barra deslizante hacia la derecha hasta r = 1. Expli- ca qu ocurre con los co- rrespondientes diagramas de dispersin. b. A partir de r = 0, mueve la barra deslizante hacia la iz- quierda hasta r = 1. Explica qu ocurre con los corres- pondientes diagramas de dispersin. 3.28 Cmo interpretaras los hallazgos de un estudio de co- UUHODFLyQTXH UHSRUWDXQ FRHFLHQWHGH FRUUHODFLyQ OLQHDO GH 1.34? 3.29 Cmo interpretaras los hallazgos de un estudio de FRUUHODFLyQTXHUHSRUWDXQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGH + 0.37? 3.30 Explica por qu tiene sentido que un conjunto de da- WRVWHQJDXQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHFHURFXDQGRORVGD WRVPXHVWUDQXQSDWUyQPX\GHQLGRFRPRHQODJXUD (p. 136). 3.31 Estudiar para un examen rinde frutos? El nmero de horas estudiadas, xVHFRPSDUDFRQODFDOLFDFLyQUHFLELGDHQ el examen, y: x 2 5 1 4 2 y 80 80 70 90 60 a. Completa los clculos preliminares: extensiones, cinco sumatorias, SS(x), SS(y) y SS(xy). b. Encuentra r. 3.32 [EX03-032] Los telfonos celulares y los iPods son ar- tculos para la generacin actual. El uso de uno indica el uso del otro? Siete estudiantes de penltimo ao de bachillerato, que posean tanto un telfono celular como un iPod, se selec- cionaron al azar, lo que result en los siguientes datos: Celular, n (# telfonos) 42 7 75 78 126 22 23 iPod, n (canciones guardadas) 303 212 401 500 536 200 278 a. Completa los clculos preliminares: extensiones, cinco sumatorias y SS(x), SS(y) y SS(xy). b. Encuentra r. 3.33 [EX03-033] Muchas organizaciones ofrecen tarifas de revistas "especiales" a sus miembros. La Federacin Estado- unidense de Profesores (AFT, por sus siglas en ingls) no es diferente, y a continuacin se presentan algunas de las tarifas que ofrecen a sus miembros. Revista Tarifa usual Su precio Cosmopolitan 29.97 18.00 Sports Illustrated 89.04 39.95 Time 59.95 29.95 Rolling Stone 25.94 14.95 Martha Stewart Living 28.00 24.00 a. Construye un diagrama de dispersin con "su precio" como la variable dependiente y y "tarifa usual" como la variable independiente, x. Encuentra: b. SS(x) c. SS(y) d. SS(xy) H &RHFLHQWHSURGXFWRPRPHQWRGH3HDUVRQr 3.34 [EX03-034] Una muestra aleatoria de 10 estudiantes de sptimo grado produjo los siguientes datos acerca de x = n- mero de minutos promedio que ven televisin las noches de la semana, frente al nmero de minutos promedio empleados en hacer la tarea las noches de la semana. E J E R C I C I O S S E C C I N 3 . 2 Considera la edad de emisin del asegurado y la prima mensual mascu- lina para una pliza de $100 000. El coefi ciente de correlacin calculado para esta clase especfi ca de seguro resulta en un valor de r = 0.932. Por lo general, un valor de r as cercano de 1.0 indicara una relacin bastan- te fuerte en lnea recta; pero espera. Tienes una relacin lineal? Slo un diagrama de dispersin puede decrtelo. El diagrama de dispersin muestra claramente un patrn no en lnea recta. Sin embargo, el coefi ciente de correlacin era muy alto. Es el patrn alargado en los datos el que produce una r calculada tan grande. La leccin de este ejemplo es que uno siempre debe comenzar con un diagrama de dispersin cuando considera correlacin lineal. El coefi ciente de correlacin slo cuenta un lado de la historia! Fuente: AFT, febrero de 2009 www.fullengineeringbook.net 143 Fila Televisin Tarea Fila Televisin Tarea 1 15 50 6 90 35 2 120 30 7 120 20 3 50 30 8 20 60 4 40 60 9 10 45 5 60 40 10 60 25 a. Construye un diagrama de dispersin con "minutos tarea" como la variable dependiente y y "minutos televisin" como la variable independiente, x. Encuentra: b. SS(x) c. SS(y) d. SS(xy) e. Producto-momento de Pearson, r 3.35/RVPDQDWtHVQDGDQFHUFDGHODVXSHUFLHGHODJXD&RQ frecuencia se meten en problemas con los muchos botes de PRWRUHQ)ORULGD&RQVLGHUDODVLJXLHQWHJUiFD a. Cules dos grupos de sujetos se comparan? b. Cules dos variables se usan para realizar la compara- cin? F 4XpFRQFOXVLyQSXHGHH[WUDHUVHFRQEDVHHQHVWDJUiFD de dispersin? d. Qu podras hacer si fueras un funcionario de la vida salvaje en Florida? 3.36(VWLPDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSDUDFDGDXQRGHORV siguientes datos: 3.37 a. Usa el diagrama de dispersin que dibujaste en el ejercicio 3.19 (p. 133) para estimar r para los datos muestrales acerca del nmero de horas estudiadas y ODFDOLFDFLyQGHOH[DPHQ b. Calcula r. 3.38 a. Usa el diagrama de dispersin que dibujaste en el ejercicio 3.20 (pp. 133-134) para estimar r para los datos muestrales acerca del nmero de respuestas irrelevantes y la edad del nio. b. Calcula r. PTI Alguna vez has intentado usar los comandos de correla- cin en tu computadora o calculadora? 3.39 [EX03-039] Una empresa de mercadeo quiere deter- minar si el nmero de comerciales de televisin transmitidos estaba linealmente correlacionado con las ventas de sus pro- ductos. Los datos, obtenidos de cada una de varias ciudades, se muestran en la siguiente tabla. Ciudad A B C D E F G H I J Comerciales, x 12 6 9 15 11 15 8 16 12 6 Unidades vendidas, y 7 5 10 14 12 9 6 11 11 8 a. Dibuja un diagrama de dispersin. b. Estima r. c. Calcular r. 3.40 [EX03-040] /DV FRPSDxtDV FLQHPDWRJUiFDV JDVWDQ millones de dlares para producir pelculas, con la gran espe- ranza de atraer a millones de personas al cine. El xito de una pelcula puede medirse en muchas formas, dos de las cuales son los boletos de taquilla y el nmero de nominaciones al Oscar recibidas. A continuacin hay una lista de 10 pelculas GHFRQVXVOLEUHWDVGHFDOLFDFLRQHV&DGDSHOtFXODVH midi con su costo presupuestario (en millones de dlares), sus boletos de taquilla (en millones de dlares) y el nmero de nominaciones al scar que recibi. Pelcula Presupuesto Taquilla Nominaciones The Curious Case of Benjamin Button 150 127.5 13 Smildogn Millonaire 15 141.3 10 Milk 20 31.8 8 The Dark Knight 185 533.3 8 WALL-E 180 223.8 6 Frost/Nixon 25 18.6 5 The Reader 32 34.2 5 Doubt 20 33.4 5 Changeling 55 35.7 3 The Wrestler 6 26.2 2 a. Dibuja un diagrama de dispersin con x = presupuesto y y = taquilla. b. Parece haber una relacin lineal? F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr. d. Qu parece decir este valor de correlacin? Explica. e. Repite las preguntas de la a a la d con x = taquilla y y = nominaciones. Registros Manates y botes de motor MuertesFuente: http://www.boxofficemojo.com/ Seccin 3.2 Correlacin lineal 40 35 30 25 20 10 15 4 5 6 7 www.fullengineeringbook.net 144 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 3.41 Ejercicio Applet Skill- builder 5HODFLRQD FRHFLHQWHV de correlacin con sus diagramas de dispersin. Despus de varias rondas de prctica con "New Plots", explica tu mtodo de re- lacionar. 3.42 Ejercicio Applet Skill- builder Proporciona prctica en la construccin de diagramas de dispersin para relacionar los FRHFLHQWHV GH FRUUHODFLyQ GD dos. a. Despus de colocar slo 2 puntos, cul es el valor r calculado para cada diagra- ma de dispersin? Por qu? b. Cul diagrama de disper- sin encontraste ms fcil de construir? 3.43 [EX04-043] Considera los siguientes datos 2009 de SUV 4WD y 6 cilindros. SUV 2009, 4WD, 6 cilindros Fabricante Modelo Petro Tons Buick Enclave 18.0 9.6 Chevrolet Trailblazer 21.4 11.4 Chysler Aspen 22.8 12.2 Dodge Durango 22.8 12.2 Ford Escape 17.1 9.2 GMC Envoy 21.4 11.4 Honda Pilot 19.0 10.2 Jeep Grd Cherokee 20.1 10.8 Kia Sportage 17.1 9.2 Lexus RX 350 18.0 9.6 Lincoln MKX 18.0 9.6 Mazda CX-7 19.0 10.2 Mercury Mountaineer 22.8 12.2 Mitsubishi Outlander 18.0 9.6 Nissan Murano 17.1 9.2 Toyota RAV4 16.3 8.7 D 4XpYDORUDQWLFLSDVSDUDXQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGH las dos variables: consumo de petrleo anual en barriles, x y toneladas anuales de CO 2 emitidas, y? Explica. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUDODVGRV variables: consumo de petrleo anual en barriles, x y toneladas anuales de CO 2 emitidas, y. c. El valor que encontraste en el inciso b es aproximada- mente el que anticipaste en el inciso a? Explica por qu s o por qu no. d. Tiene sentido que los datos muestren tan alta correla- cin? Si la cantidad de consumo se duplica, qu crees que ocurrir con las toneladas de CO 2 emitidas? S espe- FtFRHQWXH[SOLFDFLyQ 3.44 [EX03-044]/D2FLQDGHO1LxRGHO'HSDUWDPHQWRGH Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos tiene una labor monumental. En 2006, 510 000 nios estuvieron en cuidado sustituto. De ellos, aproximadamente 51 000 fueron adopta- dos. Usualmente se adoptan ms hombres o ms mujeres? Existe alguna diferencia? La tabla menciona el nmero de hombres y mujeres adoptados en cada uno de 16 estados iden- WLFDGRVDOD]DU Estado Hombres Mujeres Estado Hombres Mujeres Delaware 50 44 Wyoming 27 30 Nevada 231 213 Nueva Jersey 689 636 Alabama 190 197 Arkansas 178 217 Michigan 1 296 1 296 Idaho 580 603 Carolina del Sur 203 220 Hawai 202 195 Iowa 512 472 Washington 586 610 Georgia 660 586 Tennessee 497 497 Vermont 90 74 Alaska 112 100 Existe una relacin lineal entre el nmero de hombres y mu- MHUHVDGRSWDGRVGHOFXLGDGRVXVWLWXWRGXUDQWH"8VDJUi cas y estadsticos numricos para apoyar tu respuesta. 3.45 [EX03-045] Las bebidas deportivas son muy populares en la cultura contempornea alrededor del mundo. La siguien- te tabla menciona 10 diferentes productos que puedes com- prar en Inglaterra y los valores para tres variables: costo por porcin (en peniques), energa por porcin (en kilocaloras) y carbohidratos por porcin (en gramos). Bebida deportiva Costo Energa Carbs Lucozade Sport RTD 330 ml pouch/can 72 92 21.1 Lucozade Sport RTD 500 ml bot. 79 140 32 Lucozade Sport RTD 650 ml sports bot. 119 182 41.6 POWERade 500 ml bot. 119 120 30 Gatorade Sports 750 ml 89 188 45 Science in Sport Go Electrolye (500 ml) 99 160 40 High Five Isotonic electrolyte (750 ml) 99 220 55 Isostar powder (por litro) 5l tub 126 320 77 Isostar RTD 500 ml bot. 99 150 35 Maxim Electrolyte (por litro) 2 kg bag 66 296 75 a. Dibuja un diagrama de dispersin con x = carbs/porcin y y = energa/porcin. b. Parece haber una relacin lineal? F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr. d. Qu parece decir este valor de correlacin? Explica. e. Repite los incisos a al d con x = costo/porcin y y = ener- ga/porcin. (Conserva estas soluciones para usarlas en el ejercicio 3.59, p. 157.) Nota: el costo est en peniques (p), 0.01 de libra britnica, que equivalente a US$0.0187 al 28 de marzo de 2005. Fuente: http://www.simplyrunning.net Fuente: Childrens Bureau, Administration for Children and Families, U.S. Department of Health and Human Services, 2006 www.fullengineeringbook.net 145 3.46 [EX03-046] Durante el concurso de cuadrangulares del juego de estrellas de la MLB de 2008, Josh Hamilton present XQPDJQtFRHVSHFWiFXORFRQVXVFXDGUDQJXODUHV$FRQWL- nuacin se mencionan el pice y la distancia registrados para cada cuadrangular: pice (Apex): punto ms alto alcanzado por la bola en su vuelo sobre el nivel del campo, en pies. Distancia estndar (StdDist): distancia estimada, en pies, que el cuadrangular habra recorrido si hubiera volado sin interrupcin hasta el nivel del campo. La distancia estn- GDUIDFWRUL]DODVLQXHQFLDVGHYLHQWRWHPSHUDWXUDDOWLWXG y por tanto es la mejor forma de comparar los cuadrangu- lares bajo varias condiciones diferentes. Apex 100 114 145 45 98 130 105 94 59 StdDist 459 474 404 378 479 443 393 410 356 Apex 112 50 144 154 153 132 126 123 118 StdDist 430 390 411 418 423 455 421 464 440 Apex 70 152 95 48 162 117 54 110 88 StdDist 432 435 447 386 364 447 379 423 442 Apex 125 47 119 111 84 155 153 116 StdDist 428 387 453 401 387 445 426 463 a. Construye un diagrama de dispersin con pice como x y distancia estndar como y. b. Los puntos parecen sugerir un patrn lineal? Explica. c. El pice para el vuelo de un cuadrangular ser til para predecir la longitud del cuadrangular? Explica y propor- ciona al menos una razn que no sea estadstica y al me- nos una razn que sea estadstica. d. Qu otro factor acerca del vuelo de un cuadrangular puede causar que el patrn de puntos sea tan variado? H (VWLPDHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO I &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ 3.47 [EX03-047] Los jugadores, equipos y fanticos de la NBA estn interesados en ver a sus jugadores lderes anotar muchos puntos, aunque al mismo tiempo el nmero de faltas personales que cometen tiende a limitar su tiempo de juego. Para el jugador lder en cada equipo, la tabla menciona el n- mero de minutos por juego, MPG, y el nmero de faltas perso- nales cometidas por juego, PFPG, durante la temporada NBA 2008/2009. Equipo MPG PFPG Equipo MPG PFPG Hawks 39.6 2.23 Bucks 36.4 1.36 Celtics 37.5 2.65 Timberwolves 36.7 2.82 Hornets 37.6 2.96 Nets 36.1 2.38 Bulls 36.6 2.24 Hornets 38.5 2.72 Cavaliers 37.7 1.72 Kniks 29.8 2.78 Mavericks 37.7 2.17 Thunder 39.0 1.81 Nuggets 34.5 2.95 Magic 35.7 3.42 Pistons 34.0 2.63 76ers 39.9 1.85 Warriors 39.6 2.59 Suns 36.8 3.08 Rockets 33.6 3.34 Blazers 37.2 1.63 Pacers 36.2 3.09 Kings 38.2 2.27 Clippers 37.4 3.20 Spurs 34.1 1.53 Lakers 36.1 2.30 Raptors 38.0 2.45 Grizzlies 37.3 2.80 Jazz 36.8 1.97 Heat 38.6 2.25 Wizards 38.2 2.60 a. Construye un diagrama de dispersin. b. Describe el patrn mostrado. Se muestran algunas carac- tersticas inusuales? F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ G (OYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSDUHFHUD]RQDEOH" 3.48 [EX03-048] Alguna vez quisiste pesar tu pez, pero no tenas bscula? Mide un lucio masquinongy del hocico a la punta de la cola. Los siguientes pesos son promedios tomados de peces recolectados por personal de administracin de pesca DEC a travs del estado de Nueva York. Longitud Maskinongy Maskinongy Longitud Maskinongy Maskinongy pulg lb oz pulg lb oz 30 7 4 41 20 7 31 8 1 42 22 2 32 8 15 43 23 15 33 9 15 44 25 14 34 11 0 45 27 14 35 12 1 46 30 0 36 13 4 47 32 3 37 14 8 48 34 8 38 15 14 49 37 0 39 17 5 50 39 9 40 18 13 51 40 4 a. Examina los datos y encuentra un patrn aproximado para ganancia de peso por pulgada de longitud para cada tipo de pez. b. Explica por qu los pesos no pueden usarse como estn GDGRVHVSHFtFDPHQWHSRUTXpOER]QRHVOE)LMD los pesos de modo que se expresen en trminos de una unidad de medida. c. Construye un diagrama de dispersin para longitudes y pesos de lucios masquinongy. d. Los puntos parecen seguir una lnea recta? Explica. e. Y qu hay del pez que es ms largo que hace que la tra- yectoria de puntos sea cncava hacia arriba? I &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO (contina en la pgina 146) Fuente: http://www.hitrackeronline.com Fuente: NBA.com Fuente: New Cork Freshwater Fishing, 2008-2009 Official Regulations Guide iStockphoto.com/Andrew Hyslop Seccin 3.2 Correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 146 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados $XQTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQPLGHODIXHU]DGHXQDUHODFLyQOLQHDOQRKDEODDFHUFD de la relacin matemtica entre las dos variables. En la seccin 3.2, se encontr que el co- HFLHQWHGHFRUUHODFLyQSDUDORVGDWRVGHH[LRQHVDEGRPLQDOHVHVYpDVHODS Esto, junto con el patrn sobre el diagrama de dispersin implica que existe una relacin OLQHDOHQWUHHOQ~PHURGHH[LRQHV\HOQ~PHURGHDEGRPLQDOHVTXHKDFHXQHVWXGLDQWH6LQ HPEDUJRHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQQRD\XGDDSUHGHFLUHOQ~PHURGHDEGRPLQDOHVTXH XQDSHUVRQDSXHGHKDFHUFRQEDVHHQHOFRQRFLPLHQWRGHTXHSXHGHKDFHUH[LRQHV(O anlisis de regresin encuentra la ecuacin de la recta que mejor describe la relacin entre dos variables. Un uso de esta ecuacin es realizar predicciones. Las predicciones se usan regularmente, por ejemplo, para predecir el xito que un estudiante tendr en la universi- dad con base en los resultados del bachillerato y para predecir la distancia requerida para frenar un automvil con base en su rapidez. Por lo general, el valor exacto de y no es prede- cible y comnmente uno est satisfecho si las predicciones son razonablemente cercanas. La relacin entre dos variables ser una expresin algebraica que describa la relacin matemtica entre x y y. He aqu algunos ejemplos de varias posibles relaciones, llamados modelos o ecuaciones de prediccin: Lineal (lnea recta): y = b 0 + b 1 x Cuadrtico: y = a + bx + cx2 Exponencial: y = a(bx) Logartmico: y = a log b x /DVJXUDV\PXHVWUDQSDWURQHVGHGDWRVELYDULDGRVTXHSDUHFHQWHQHU XQDUHODFLyQPLHQWUDVTXHHQODJXUDODVYDULDEOHVQRSDUHFHQHVWDUUHODFLRQDGDV Si un modelo en lnea recta parece adecuado, la lnea recta de mejor ajuste se encuentra al usar el mtodo de mnimos cuadrados. Supn que y = b 0 + b 1 x es la ecuacin de una lnea recta, donde y (lase "y sombrero") representa el valor predicho de y que corres- ponde a un valor particular de x. El criterio de mnimos cuadrados requiere encontrar las constantes b 0 y b 1 tales que (y y)2 esa tan pequea como sea posible. /DJXUDPXHVWUDODGLVWDQFLDGHXQYDORUREVHUYDGRGHy desde un valor predi- g. Explica por qu el valor de r es tan cercano a 1.0 y sin HPEDUJRJUiFDPHQWHORVGDWRVQRSDUHFHQVHUOLQHDOHV 3.49 En muchas comunidades existe una fuerte correla- cin positiva entre la cantidad de helado vendida en un mes dado y el nmero de ahogamientos que ocurren en dicho PHV (VWR VLJQLFD TXH HO KHODGR FDXVD DKRJDPLHQWR"6L no, puedes pensar en una explicacin alternativa para la fuerte asociacin? Escribe algunas oraciones que aborden estas preguntas. 3.50 Explica por qu uno esperara encontrar una correlacin positiva entre el nmero de camiones de bomberos que res- ponden a un incendio y la cantidad de dao causada por el LQFHQGLR(VWRVLJQLFDTXHHOGDxRVHUtDPHQRVH[WHQVRVLVH despacharan menos camiones de bomberos? Explica. 3.3 Regresin lineal FIGURA 3.17 Regresin lineal con pendiente positiva FIGURA 3.18 Regresin lineal con pendiente negativa y x y x www.fullengineeringbook.net 147 FIGURA 3.19 Regresin curvilnea (cuadrtica) FIGURA 3.21 Valores observado y predicho de y FIGURA 3.20 No relacionada FIGURA 3.22 Recta de mejor ajuste FIGURA 3.23 No recta de mejor ajuste cho de y. La longitud de esta distancia representa el valor (y y) (que se muestra como el VHJPHQWRGHOtQHDD]XORVFXURHQODJXUD2EVHUYDTXHy y) es positivo cuando el punto (x, y) est por arriba de la recta y negativo cuando (x, y) est por abajo de la recta FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD /DJXUDPXHVWUDXQGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQFRQORTXHSDUHFHVHUODrecta de mejor ajuste, junto con 10 valores individuales (y y). (Los valores positivos se muestran en azul oscuro; los negativos, en azul medio.) La suma de los cuadrados de dichas dife- rencias se minimiza (se hace tan pequea como sea posible) si la recta de hecho es la recta de mejor ajuste. /DJXUDPXHVWUDORVPLVPRVSXQWRVGHGDWRVTXHODJXUD/RVYDORUHV individuales de (y yVHJUDFDQFRQXQDUHFWDTXHGHQLWLYDPHQWHQRHVODUHFWDGHPHMRU ajuste. [El valor de (y y)2HVPXFKRPD\RUTXHHOGHODJXUD@&DGDUHFWD diferente dibujada a travs de este conjunto de 10 puntos resultar en un valor diferente para (y y)2. Tu labor es encontrar la recta que har (y y)2 el valor ms pequeo po- sible. La ecuacin de la recta de mejor ajuste se determina mediante su pendiente (b 1 ) y su ordenada al origen (b0). (Consulta el Manual de soluciones del estudiante para revisar los conceptos de pendiente y ordenada de una lnea recta.) Los valores de las constantes (pen- diente y ordenada al origen) que satisfacen el criterio de mnimos cuadrados se encuentran al usar las frmulas que se presentan a continuacin: Frmula para definicin (3.5) pendiente: b1 = (x x ) (y y ) (x x ) 2 Seccin 3.3 Regresin lineal y x y x x y y = b0 + b1x (x, y ) y y (x, y) y y +1 +1 +2.5 +1.5 +1 1 1 2.5 1.5 1 x y (y y)2 = (1)2 + (+1)2 + . . . + (+1)2 = 23.0 6 x y 4 2 +2.5 +3.5 +6 +4 +0.5 2.5 4 (y y)2 = (6)2 + (4)2 + . . . + (+6)2 = 149.0 www.fullengineeringbook.net 148 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Para la pendiente, b 1 , se usar un equivalente matemtico de la frmula (3.5), que usa las sumas de cuadrados que se encontraron en los clculos preliminares para correlacin: Frmula para clculo pendiente: b1 = SS(xy) SS(x) Observa que el numerador de la frmula (3.6) es la frmula de SS(xy) (3.4) (p. 137) y el GHQRPLQDGRUHVODIyUPXODSGHORVFiOFXORVGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ3RU WDQWRVLDQWHULRUPHQWHFDOFXODVWHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOFRQHOSURFHGLPLHQWR que se destac en la pgina 138, fcilmente puedes encontrar la pendiente de la recta de mejor ajuste. Si anteriormente no calculaste r, construye una tabla similar a la tabla 3.12 (p. 138) y completa los clculos preliminares necesarios. Para la ordenada al origen se tiene: Frmula para clculo Frmula alternativa para clculo Ahora considera los datos del ejemplo 3.3 (p. 127) y la cuestin de predecir el nmero GHDEGRPLQDOHVGHXQHVWXGLDQWHFRQEDVHHQHOQ~PHURGHH[LRQHV6HTXLHUHHQFRQWUDUOD recta de mejor ajuste, y = b 0 + b 1 x. Los clculos preliminares ya se completaron en la tabla 3.12 (p. 138). Para calcular la pendiente, b 1 , con la frmula (3.6), recuerda que SS(xy) = 919.0 y SS(x) = 1 396.9. Por tanto, pendiente: b 1 = SS(xy) = 919.0 = 0.6579 = 0.66 SS(x) 1 396.9 Para calcular la ordenada al origen, b 0 , con la frmula (3.7), recuerda que x = 351 y y = 380, a partir de la tabla de extensiones. Se tiene ordenada al origen: b 0 = y (b 1 t x) = 380 (0.6579) (351) n 10 = 380 230.9229 = 14.9077 = 14.9 10 Al colocar los dos valores recin encontrados en el modelo y = b 0 + b 1 x, se obtiene la ecuacin de la recta de mejor ajuste: y = 14.9 + 0.66x ordenada al origen = (suma de y) [(pendiente)(suma de x)] nmero b0 = y (b1U x) n Tutorial animado disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com (3.6) (3.7) (3.7a) ordenada al origen = y-barra (pendiente U x-barra) b0 = y (b1 U x) www.fullengineeringbook.net 149 Notas: 1. Recuerda conservar al menos tres lugares decimales adicionales mientras realizas los clculos, para asegurar una respuesta precisa. 2. Cuando redondees los valores calculados de b 0 y b 1 , siempre conserva al menos dos GtJLWRVVLJQLFDWLYRVHQODUHVSXHVWDQDO Ahora que conoces la ecuacin para la recta de mejor ajuste, dibuja la recta sobre el diagrama de dispersin, de modo que puedas ver la relacin entre la recta y los datos. 1HFHVLWDVGRVSXQWRVFRQODQDOLGDGGHGLEXMDUODOtQHDVREUHHOGLDJUDPD6HOHFFLRQDGRV valores x convenientes, uno cerca de cada extremo del dominio (x = 10 y x = 60 son buenas opciones para esta ilustracin) y encuentra sus correspondientes valores y. Para x = 10: y = 14.9 + 0.66x = 14.9 + 0.66(10) = 21.5; Para x = 60: y = 14.9 + 0.66x = 14.9 + 0.66(60) = 54.5; Entonces, estos dos puntos, (10, 21.5) y (60, 54.5), se ubican sobre el diagrama de dispersin (se usa una + azul oscuro para distinguirlos de los puntos de datos) y se dibuja ODUHFWDGHPHMRUDMXVWHTXHVHPXHVWUDHQD]XOFODURHQODJXUD Flexiones Existen algunos hechos adicionales acerca del mtodo de mnimos cuadrados que es necesario discutir. 1. La pendiente, b 1 , representa el cambio predicho en y por aumento unitario en x. En el ejemplo, donde b 1 VLXQHVWXGLDQWHSXHGHKDFHUH[LRQHVx) adicionales, se predice que sera capaz de hacer aproximadamente 7 (0.66 H[LRQHVy) adicionales. 2. La ordenada al origen es el valor de y donde la recta de mejor ajuste interseca el eje y. (Cuando la escala vertical se ubica por arriba de x = 0, la ordenada al origen se ve fcilmente en el diagrama de dispersin, que se muestra como una + azul medio en ODJXUD6LQHPEDUJRSULPHURDOLQWHUSUHWDUb 0 , debes considerar si x = 0 es un valor x realista antes de poder concluir que predeciras y = b 0 si x = 0. Predecir TXHVLXQHVWXGLDQWHQRKDFHH[LRQHVWRGDYtDKDUtDDSUR[LPDGDPHQWHDEGRPL- nales (b 0 = 14.9), probablemente es incorrecto. Segundo, el valor x de cero puede estar fuera del dominio de los datos sobre los que se basa la recta de regresin. Para predecir y con base en un valor x, comprueba para asegurarte que el valor x est dentro del dominio de los valores x observados. 3. La recta de mejor ajuste siempre pasar a travs del centroide, el punto (x, y). Cuan- do dibujes la recta de mejor ajuste sobre tu diagrama de dispersin, usa este punto como comprobacin. Para esta ilustracin, x = x = 351 = 35.1, y = y = 380 = 38.0 n 10 n 10 Se ve que la recta de mejor ajuste pasa a travs de (x, y) = (35.1, 38.0), como se muestra con el smbolo +GHODJXUD FIGURA 3.24 Recta de mejor ajuste para flexiones frente a abdominales Curso de acondicionamiento fsico del Sr. Chamberlain Abdominales Seccin 3.3 Regresin lineal 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 www.fullengineeringbook.net 150 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados $KRUD WUDEDMD D WUDYpV GH RWUR HMHPSOR SDUD FODULFDU ORV SDVRV LQYROXFUDGRV HQ HO anlisis de regresin. E J E M P L O 3 . 7 CMO CALCULAR LA ECUACIN DE LA RECTA DE MEJOR AJUSTE En una muestra aleatoria de ocho mujeres universitarias, a cada mujer se le pregunt su estatura (a la pulgada ms cercana) y su peso (a las 5 libras ms cercanas). Los datos obtenidos se muestran en la tabla 3.14. Encuentra una ecuacin para predecir el peso de una mujer universitaria con base en su esta- tura (la ecuacin de la recta de mejor ajuste) y dibjala sobre el diagrama de dispersin en la figura 3.25. Solucin Antes de comenzar a encontrar la ecuacin para la recta de mejor ajuste, con frecuencia es til dibujar el diagrama de dispersin, que ofrece comprensin visual a la relacin entre las dos variables. El diagrama de dispersin para los datos acerca de las estaturas y pesos de mujeres universitarias, que se muestra en la figura 3.25, indica que el modelo lineal es apropiado. Para encontrar la ecuacin para la recta de mejor ajuste, primero necesitas completar los clculos preliminares, como se muestra en la tabla 3.15. Los Estatura (pulgadas) FIGURA 3.25 Diagrama de dispersin Estaturas frente a pesos de mujeres universitarias Peso (libras) 1 2 3 4 5 6 7 8 Estatura, x 65 65 62 67 69 65 61 67 Peso, y 105 125 110 120 140 135 95 130 TABLA 3.14 Estaturas y pesos de mujeres universitarias [TA03-14] 145 135 125 115 105 95 60 62 64 66 68 70 www.fullengineeringbook.net 151 TABLA 3.15 Clculos preliminares necesarios para encontrar b1 y b0 otros clculos preliminares incluyen encontrar SS(x) de la frmula (2.8) y SS(xy) de la frmula (3.4): Segundo, necesitas encontrar la pendiente y la ordenada al origen con las frmulas (3.6) y (3.7): y = 186.5 + 4.71x = 186.5 + (4.71)(60) = 186.5 + 282.6 = 96.1 96 y = 186.5 + 4.71x = 186.5 + (4.71)(70) = 186.5 + 329.7 = 143.2 143 Por tanto, la ecuacin de la recta de mejor ajuste es y = 186.5 + 4.71x. Para dibujar la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dispersin, necesitas ubicar dos puntos. Sustituye dos valores para x (por ejemplo, 60 y 70) en la ecuacin para la recta de mejor ajuste para obtener dos valores correspondientes para y: FIGURA 3.26 Diagrama de dispersin con la recta de mejor ajuste Estatura (pulgadas) Nota:HQ ODJXUDx, y) = (65.1, 120) tambin est so- bre la recta de mejor ajuste. Se seala con el smbolo + . Usa (x, y) como comprobacin de tu trabajo. Estaturas frente a pesos de mujeres universitarias Peso (libras) Estudiante Estatura, x x2 Peso, y xy 1 65 4 225 105 6 825 2 65 4 225 125 8 125 3 62 3 844 110 6 820 4 67 4 489 120 8 040 5 69 4 761 140 9 660 6 65 4 225 135 8 775 7 61 3 721 96 5 795 8 67 4 489 130 8 710 x = 521 x2 = 33 979 y = 960 xy = 62 750 SS(x) = x2 (x 2) = 33 979 (521) 2 = 48.875 n 8 SS(xy) = xy xy = 62 750 (521)(960) = 230.0 n 8 pendiente: b1 = SS(xy) = 230.0 = 4.706 = 4.71 SS(x) 48.875 ordenada al origen: b0 = y (b1 U x) = 960 (4.706)(521) = 186.478 = 186.5 n 8 Los valores (60, 96) y (70, 143) representan dos puntos (designados mediante una + azul claro en la figura 3.26) que te permiten dibujar la recta de mejor ajuste. Seccin 3.3 Regresin lineal 145 135 125 115 105 95 60 62 64 66 68 70 www.fullengineeringbook.net 152 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Realizacin de predicciones Una de las principales razones para encontrar una ecuacin de regresin es realizar pre- dicciones. Una vez establecida una relacin lineal y conocido el valor de la variable de entrada x, puedes predecir un valor de y, y. Considera la ecuacin y = 186.5 + 4.71x que relaciona la estatura y el peso de las mujeres universitarias. Si una estudiante universitaria particular mide 66 pulgadas de alto, cul predices que ser su peso? El valor predicho es y = 186.5 + 4.71x = 186.5 + (4.71)(66) = 186.5 + 310.86 = 124.36 124 lb No debes esperar que este valor predicho ocurra con exactitud; ms bien, se trata del peso promedio que esperaras para todas las estudiantes universitarias que miden 66 pulgadas de alto. Cuando realices predicciones con base en la recta de mejor ajuste, observa las siguien- tes restricciones: 1. La ecuacin debe usarse para realizar predicciones solamente acerca de la pobla- cin de la que se tom la muestra. Por ejemplo, usar la relacin entre la estatura y el peso de las mujeres universitarias para predecir el peso de atletas profesionales dada su estatura sera cuestionable. 2. La ecuacin debe usarse solamente dentro del dominio muestral de la variable de entrada. Se sabe que los datos demuestran una tendencia lineal dentro del dominio de los datos x, pero no se sabe cul es la tendencia afuera de este intervalo. Por tanto, las predicciones pueden ser muy peligrosas afuera del dominio de los datos x. Por ejemplo, en el ejemplo 3.7 no tiene sentido predecir que una mujer universitaria de estatura cero pesar 186.5 libras. No uses una estatura afuera del dominio mues- tral de 61 a 69 pulgadas para predecir peso. En alguna ocasin tal vez quieras usar la recta de mejor ajuste para estimar valores afuera del intervalo de dominio de la muestra. Puedes hacer esto, pero debes hacerlo con precaucin y slo para valores cercanos al intervalo de dominio. 3. Si la muestra se tom en 2010, no esperes que los resultados sean vlidos en 1929 o se sostengan en 2020. Las mujeres de hoy pueden ser diferentes de las mujeres de 1929 y a las de 2020. SABAS QUE...? Una recta de regresin En la Exposicin Inter- nacional de Londres, 1884, sir Francis Galton mont un laboratorio en el que pag a las perso- nas 3 peniques por me- dir sus cabezas. Galton estaba interesado en predecir la inteligencia humana y dara a la persona que le pagaba su opinin acerca de su inteligencia. Despus de la exposicin, el labora- torio se mud al Museo de Londres, donde Gal- ton sigui recolectando datos acerca de ca- ractersticas humanas, como estatura, peso y fuerza. Galton elabor grfi cas de dos factores de estaturas para pa- dres e hijos, que even- tualmente condujeron a la pendiente de la recta de regresin. MINITAB Escribe los valores x en C1 y los correspondientes valores y en C2; luego, para obtener la ecua- cin para la recta de mejor ajuste, contina con: Method 1 Elige: Stat > Regression > Regression . . . Escribe: Respuesta (y): C2 Predictors (x): C1 > OK Para dibujar el diagrama de dispersin con la recta de mejor ajuste superpuesta sobre los puntos de datos, contina con: I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : R E C T A D E M E J O R A J U S T E www.fullengineeringbook.net 153 TI-83/84 Plus Excel Escribe los datos de la variable x en la columna A y los correspondientes datos de la variable y en la columna B; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis* > Regression > OK Escribe: Rango entrada Y: (B1:B10 o selecciona celdas) Rango entrada X: (A1:A10 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Output Range Escribe: (C1 o selecciona celdas) Line Fits Plots > OK Para hacer legible la salida, contina con: Elige: Home > Cells > Format > AutoFit Column Width Para formar la ecuacin de regresin, la ordenada al origen se ubica en la interseccin de la ordenada y las columnas de coeficientes, mientras que la pendiente se ubica en la interseccin de la variable x y las columnas de coeficientes. Para dibujar la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dispersin, activa el grfico; despus contina con: Elige: Chart Tools > Layout > Analysis Trendline > Linear Trendline O Elige: Chart Tools > Design > Chart Layouts Layout 9 (Este comando tambin funciona con los comandos Excel del diagrama de dispersin de las pp. 129-130). *Si Data Analysis no se muestra en el men Data, consulta la pgina 53. Escribe los datos de la variable x en L1 y los correspondientes datos de la variable y en L2; despus contina con: Si slo quieres la ecuacin: Elige: STAT > CALC > 8: LinReg( a + bx) Escribe: L1, L2* *Si quieres la ecuacin y la grfica sobre el diagrama de dispersin, usa: Escribe: L1, L2, Y1 despus contina con los mismos comandos para un diagrama de dispersin, como se muestra en la pgina 130. Para ingresar Y1, usa: Elige: VARS > Y- VARS > 1: Function > 1: Y1 > ENTER Elige: Graph > Scatterplot Selecciona: With Regression > OK Escribe: Y variable: C2 X variable: C1 Selecciona: Labels > Titles / Footnotes Escribe: Ttulo: tu ttulo > OK > OK O Mtodo 2: Elige: Stat > Regression > Fitted Line Plot Escribe: Respuesta (Y): C2 Respuesta (X): C1 Selecciona: Linear Selecciona: Options Escribe: Ttulo: tu ttulo > OK > OK Seccin 3.3 Regresin lineal www.fullengineeringbook.net 154 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados Para comprender la recta de mejor ajuste (OVLJXLHQWHPpWRGRFUHDUiXQVLJQLFDGRYLVXDOSDUDODUHFWDGHPHMRUDMXVWHXQ VLJQLFDGRYLVXDOSDUDORTXHGHVFULEHODOtQHDGHPHMRUDMXVWH\XQDHVWLPDFLyQSDUDOD pendiente y la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste. Como con la aproximacin de r, las estimaciones de la pendiente y la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste deben usarse solamente como una estimacin mental o comprobacin. Nota: esta tcnica de estimacin no sustituye los clculos para b 1 y b 0 . Procedimiento 1. Sobre el diagrama de dispersin de los datos, dibuja la lnea recta que parece ser la recta de mejor ajuste. (Sugerencia: si dibujas una recta paralela y a la mitad entre ORVGRVOiSLFHVGHVFULWRVHQODVHFFLyQGHODSiJLQD>JXUD@ WHQGUiV una estimacin razonable para la recta de mejor ajuste.) Los dos lpices sealan la "trayectoria" mostrada por los pares ordenados y la recta bajo el centro de esta tra- \HFWRULDHVWLPDODUHFWDGHPHMRUDMXVWH/DJXUDPXHVWUDORVOiSLFHV\ODUHFWD estimada resultante para el ejemplo 3.7. Estatura (pulgadas) 2. Esta recta puede usarse ahora para aproximar la ecuacin. Primero, ubica cuales- quiera dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) a lo largo de la recta y determina sus coordenadas. 'RVGHWDOHVSXQWRVHQFHUUDGRVHQFtUFXORVHQODJXUDWLHQHQODVFRRUGHQDGDV (59, 85) y (66, 125). Estos dos pares de coordenadas pueden usarse ahora en la si- guiente frmula para estimar la pendiente b 1 : estimacin de la pendiente, b 1 : b l y 2 y 1 = 125 85 = 40 = 5.7 x 2 x 1 66 59 7 3. Con este resultado, las coordenadas de uno de los puntos y la frmula siguiente, puedes determinar una estimacin para la ordenada al origen, b 0 : estimacin de la ordenada al origen, b 0 : b 0 y b 1 x = 85 (5.7) (59) = 85 336.3 = 251.3 Por tanto, b 0 es aproximadamente 250. 4. Ahora puedes escribir la ecuacin estimada para la recta de mejor ajuste: y = 250 + 5.7x Esto debe servir como una estimacin rigurosa. La ecuacin real calculada con todos los pares ordenados fue y = 186.5 + 4.71x. FIGURA 3.27 Estimacin de la recta de mejor ajuste para los datos de mujeres universitarias Peso (libras) 150 140 130 120 110 100 90 60 62 64 66 68 70 72 x y www.fullengineeringbook.net 155 E J E M P L O A P L I C A D O 3 . 8 VER UNA ERUPCIN DE "EL VIEJO FIEL" "El Viejo Fiel" tiene erupciones muy constan- tes durante un corto periodo (1.5 a 5 minutos) regularmente todos los das (cada 35 a 120 minutos) y lo ha hecho desde 1870, cuando comenzaron a conservarse tales registros; de ah su nombre. No es el ms comn, no es el ms grande, pero es el giser regular ms grande en Yellowstone. Si tu suerte es como la de muchos y via- jas para ver una de dichas famosas erup- ciones, probablemente llegars minutos despus de que una erupcin se haya dete- nido. Cundo har erupcin nuevamente? y cunto tiempo durar?, son preguntas comunes. Lo que en realidad preguntas es: cunto tengo que esperar para el prximo espectculo? y valdr la pena esperar? Dado que "El Viejo Fiel" es uno de los gise- res ms estudiados, los guardias del parque pueden predecir la siguiente erupcin con ra- zonable precisin (10 minutos). Slo pueden predecir la siguiente erupcin, as que ser mejor que esperes por ah. El tiempo hasta la siguiente erupcin, el intervalo, se predice con base n la lonitud de la rupcin anterior, la duracin. No es posible predecir el tiempo de ocurrencia para ms de una erupcin por adelantado. He aqu una tabla que resume el intervalo predicho con base en la duracin anterior. Al observar la tabla pare- ce que el intervalo de tiempo para el siguiente espectcu- lo aumenta de 5 a 7 minutos para cada medio minuto adi- cional de erupcin. La infor- macin de la tabla tambin se puede observar sobre el diagrama de dispersin con la recta de mejor ajuste. La pendiente para la recta de mejor ajuste es 12.64, lo que implica que cada minuto adicional de erupcin resulta en unos 12.6 minutos adicionales de tiempo de espera para la siguiente erupcin, o aproximadamente 6.3 minutos por cada medio minuto de erupcin, como en la informacin dada. Los pares ordenados de la tabla 3.16 y sobre el diagrama de dispersin, figura 3.28, no son valores de datos; son el resultado de un efecto de prome- diado pues se resumieron cientos de valores registrados. Los datos de "El Viejo Duracin, minutos Intervalo, minutosTABLA 3.16 Duracin 1.5 min 2.0 min 2.5 min 3.0 min 3.5 min 4.0 min 4.5 min 5.0 min Intervalo 50 min 57 min 65 min 71 min 76 min 82 min 89 min 95 min FIGURA 3.28 iStockphoto.com/Sascha Burkard Seccin 3.3 Regresin lineal 50 60 70 80 90 100 1 2 3 4 5 Giser "El Viejo Fiel" Intervalo min = 32.04 + 12.64 min duracin www.fullengineeringbook.net 156 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFiel" no resultarn en puntos exactamente distribuidos a lo largo de la recta de mejor ajuste como los que se muestran en la figura 3.28; en vez de ello, mostrarn una cantidad sustancial de variabilidad. La tabla 3.17 contiene datos recolectados por un visitante durante un fin de semana. Estn ordenados en orden secuencial. Duracin, minutos TABLA 3.17 Duracin, min 1.7 1.9 2.0 2.3 3.1 3.4 3.5 4.0 4.3 4.5 4.7 4.9 Intervalo, min 55 49 51 53 57 75 80 76 84 76 93 76 Los 12 tiempos de duracin e intervalo que se citan en la tabla 3.17 y se muestran en la figura 3.29, ofrecen una impresin diferente de la de los ocho puntos mencionados en la tabla 3.16 de la pgina anterior. Dichos datos parecen ms realistas, con puntos dispersos arriba y abajo de la recta de mejor ajuste. Una comparacin de las dos rectas de mejor ajuste muestra resultados muy similares. SABAS QUE..? Yellowstone contiene aproximadamente la mitad de las particu- laridades hidrotrmi- cas del mundo. En el parque existen ms de 10 000 particula- ridades hidrotrmicas, incluidos ms de 300 giseres. FIGURA 3.29 Imagen copyright de yoyo_slc, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.comDatos de erupcin giser "El Viejo Fiel" Intervalo min = 30.33 + 11.44 duracin min Intervalo, minutosE J E R C I C I O S S E C C I N 3 . 3 3.51 Dibuja un diagrama de dispersin para estos datos: x 1 2.5 3 4 5 1.5 y 1.5 2.2 3.5 3 4 2.5 7HQGUtDVMXVWLFDFLyQSDUDXVDUODVWpFQLFDVGHUHJUHVLyQOL- neal sobre dichos datos para encontrar la recta de mejor ajuste? Explica. 3.52 [EX03-052] Dibuja un diagrama de dispersin para es- tos datos: x 2 12 4 6 9 4 11 3 10 11 3 1 13 12 14 7 2 8 y 4 8 10 9 10 8 8 5 10 9 8 3 9 8 8 11 6 9 7HQGUtDVMXVWLFDFLyQSDUDXVDUODVWpFQLFDVGHUHJUHVLyQOL- neal sobre dichos datos para encontrar la recta de mejor ajuste? Explica. 3.53 [EX03-053]/D2FLQDGHO1LxRGHO'HSDUWDPHQWRGH Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos tiene una labor monumental. En 2006, 510 000 nios estuvieron en cuidado sustituto. De ellos, aproximadamente 303 000 entraron duran- te el ao 2006 (1/10/05-20/9/06). La siguiente tabla menciona las edades de los nios que entraron a cuidado sustituto duran- te el ao 2006 y el nmero en cada grupo de edad. Edad Nmero Edad Nmero Edad Nmero 0 47 536 7 12 380 14 18 981 1 20 646 8 11 312 15 22 729 2 18 234 9 10 649 16 21 062 3 16 145 10 10 136 17 12 829 4 14 919 11 10 316 18 702 5 14 159 12 11 910 19 154 6 13 196 13 14 944 20 62 a. Construye un diagrama de dispersin de las edades cuan- do los nios entraron a cuidado sustituto, x y el nmero de nios en cada grupo de edad, y. Fuente: U.S. Department of Health and Human Services 50 60 70 80 90 2.0 2.5 3.5 4.0 4.5 5.0 3.0 www.fullengineeringbook.net 157 b. Qu crees que provoque el inusual patrn que se muestra en el diagrama de dispersin? c. Parece que estas dos variables estn correlacionadas? G (VWiVMXVWLFDGRSDUDXVDUODVWpFQLFDVGHODUHJUHVLyQ lineal sobre estos datos? Explica. e. Existen grupos de edades particulares donde las tcnicas GHODUHJUHVLyQOLQHDOSXHGDQHVWDUMXVWLFDGDV" 3.54 Las frmulas para encontrar la pendiente y la ordena- da al origen de la recta de mejor ajuste usa tanto sumatorias, , como sumas de cuadrados, SS() . Es importante conocer la diferencia. Con referencia al ejemplo 3.5 (p. 138): a. Encuentra tres pares de valores: x2, SS(x); y2, SS(y) y xy, SS(xy). b. Explica la diferencia entre los nmeros para cada par de nmeros. 3.55 Rinde frutos estudiar para un examen? El nmero de horas estudiadas, xVHFRPSDUDFRQODFDOLFDFLyQUHFLELGDHQ el examen, y: x 2 5 1 4 2 y 80 80 70 90 60 a. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. b. Dibuja la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dispersin de los datos dibujados en el ejercicio 3.15 (p. 133). c. Con base en lo que ves en tus respuestas a los incisos a y b, rinde frutos estudiar para un examen? Explica. 3.56 [EX03-056] Cun vieja es mi lubina? Alguna vez te has preguntado la edad de la lubina que acabas de pescar? Mide a tu lubina desde el hocico hasta la punta de la cola. Las siguientes son edades promedio para longitud de lubina negra y lubina boca pequea en el estado de Nueva York. Edad lubina boca Edad lubina Longitud (pulg) pequea (aos) negra (aos) 8 2 2 9 2 2 10 3 3 11 4 4 12 4 4 13 5 5 14 5 6 15 6 6 16 7 7 17 7 8 18 8 8 19 8 9 20 9 10 21 10 10 22 10 11 a. Examina los datos y encuentra un patrn aproximado para aumento de edad por longitud en pulgadas para cada tipo de pez. b. Construye un diagrama de dispersin para las lubinas ERFDSHTXHxD\QHJUDVREUHODPLVPDJUiFD c. Los puntos para ambos peces parecen seguir una lnea recta? Explica. d. Los puntos para ambos peces siguen la misma lnea? Explica. e. Calcula ambas rectas de mejor ajuste. 3.57 Los valores de x usados para encontrar puntos para gra- FDUODUHFWDy = 14.9 + 0.66xHQODJXUDSVRQ arbitrarios. Supn que eliges usar x = 20 y x = 50. a. Cules son los correspondientes valores y? E 8ELFDHVWRVGRVSXQWRVVREUHODJXUD(VWRVSXQWRV estn sobre la lnea de mejor ajuste? Explica por qu s o por qu no. 3.58 Si a todos los estudiantes del curso de acondicionamien- to fsico del Sr. Chamberlain de la pgina 127, que pueden KDFHUH[LRQHVVHOHVSLGHKDFHUWDQWDVDEGRPLQDOHVFRPR sea posible: a. Cuntas abdominales esperas que pueda hacer cada uno? b. Podrn hacer el mismo nmero? F ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODUHVSXHVWDDOLQFLVRD 3.59 [EX03-045] Cul es la relacin entre los carbohidratos consumidos y la energa liberada en una bebida deportiva? Usa los datos de bebida deportiva mencionados en el ejercicio 3.45 de la pgina 144 para investigar la relacin. a. En el ejercicio 3.45, se dibuj un diagrama de dispersin con x = carbs/porcin y y = energa/porcin. Revisa el diagrama de dispersin (si no lo dibujaste antes, hazlo ahora) y describe por qu crees que hay o no hay una relacin lineal. b. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. c. Con la ecuacin que encontraste en el inciso b, estima la cantidad de energa que uno puede esperar obtener al consumir 40 gramos de carbohidratos. d. Con la ecuacin que encontraste en el inciso b, estima la cantidad de energa que uno puede esperar obtener al consumir 65 gramos de carbohidratos. 3.60 Con referencia al ejemplo aplicado 3.8 (p. 155): a. Explica (en 25 palabras o ms) qu crees que dice el enunciado: "Los pares ordenados de la tabla 3.16 y sobre HOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQJXUDQRVRQYDORUHVGH datos; son el resultado de un efecto de promediado, pues se resumieron cientos de valores registrados". E &RQODHFXDFLyQTXHVHPXHVWUDHQODJXUDFXiOHV el intervalo anticipado hasta la siguiente erupcin despus de una erupcin de 4.0 minutos? (contina en la pgina 158) Fuente: New York Freshwater Fishing, 2008-2009 Official Regulations Guide Seccin 3.3 Regresin lineal www.fullengineeringbook.net 158 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados F &RQODHFXDFLyQTXHVHPXHVWUDHQODJXUDFXiOHV el intervalo anticipado hasta la siguiente erupcin despus de una erupcin de 4.0 minutos? d. Las dos ecuaciones dan como resultado aproximadamente el mismo tiempo de espera anticipado para la siguiente erupcin. Verdadero o falso? Explica tu respuesta. 3.61 A. J. us regresin lineal para ayudarse a entender su fac- tura telefnica mensual. La recta de mejor ajuste fue y = 23.65 + 1.28x, donde x es el nmero de llamadas de larga distancia realizadas durante un mes y y es el costo telefnico total por un mes. En trminos del nmero de llamadas de larga distancia y costo: D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODRUGHQDGDDORULJHQ E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODSHQGLHQWH 3.62 Geoff est interesado en comprar una SUV de precio ac- cesible. Se da cuenta de que un automvil o camin pierden su valor tan pronto como se conducen afuera del lote del vende- dor. Geoff usa regresin lineal para obtener un mejor sentido de cmo funciona este declive. La recta de regresin es y = 34.03 3.04x, donde x es la edad del automvil en aos y y es el valor del automvil ( $1 000). En trminos de edad y valor: D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODRUGHQDGDDORULJHQ E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODSHQGLHQWH 3.63 Para el ejemplo 3.7 (p. 150) y el diagrama de dispersin HQODJXUDGHODSiJLQD a. Explica cmo puede verse la pendiente de 4.71. b. Explica por qu la ordenada al origen de 186.5 no puede verse. 3.64 Para cualquier jugador de bsquetbol, son de inters el nmero de puntos anotados por juego y el nmero de faltas personales cometidas. Los datos tomados para un equipo la temporada pasada resultaron en la ecuacin y = 1.122 + 3.394x, donde x es el nmero de faltas personales cometidas por juego y y es el nmero de puntos anotados por juego. a. Si uno de los jugadores cometi dos faltas en un juego, cuntos puntos esperara anotar? b. Cul es el nmero promedio de puntos que un jugador puede esperar si comete tres faltas en un juego? 3.65 Se realiz un estudio para investigar la relacin entre el costo y (en trminos de miles de dlares), por unidad de equi- po fabricado y el nmero de unidades producidas por turno, x. la ecuacin resultante para la recta de mejor ajuste fue y = 7.31 0.01x, con x como los valores observados entre 10 y 200. Si un turno de produccin tiene programado producir 50 unidades, qu costo predeciras por unidad? 3.66 Se realiz un estudio para investigar la relacin entre el precio de reventa, y (en cientos de dlares) y la edad, x (en aos), de automviles estadounidenses de lujo de tamao me- diano. La ecuacin de la recta de mejor ajuste se determin que era y = 185.7 21.52x. a. Encuentra el valor de reventa de tal automvil cuando tiene 3 aos de antigedad. b. Encuentra el valor de reventa de tal automvil cuando tiene 6 aos de antigedad. c. Cul es la reduccin anual promedio en el precio de reventa de dichos automviles? 3.67 La Administracin Federal de Autopistas reporta anual- mente los impuestos estatales para combustibles. Con base en el ms reciente reporte, el importe de recibos, en miles de dlares, puede estimarse con la ecuacin: recibos = 5 359 + 0.9956 recaudaciones. a. Si un estado recaud $500 000, de cunto estimaras fue- ron los recibos? b. Si un estado recaud $1 000 000, de cunto estimaras fueron los recibos? c. Si un estado recaud $1 500 000, de cunto estimaras fueron los recibos? 3.68 Se complet un estudio de los hbitos de dejar propi- nas de los comensales en restaurantes. Los datos para dos de las variables (x, el importe de la cuenta del restaurante y y, el importe dejado como propina por los clientes) se usaron para construir un diagrama de dispersin. a. Esperas que las dos variables muestren una relacin lineal? Explica. b. Qu sugiere el diagrama de dispersin acerca de la rela- cin lineal? Explica. c. Qu valor esperas para la pendiente de la recta de mejor ajuste? Explica. d. Qu valor esperas para la ordenada al origen de la recta de mejor ajuste? Explica. Los datos se usan para determinar la ecuacin para la recta de mejor ajuste: y = 0.02 + 0.177x. e. Qu representa la pendiente de esta recta, cmo se aplica a la situacin real? El valor 0.177 tiene sentido? Explica. f. Qu representa la ordenada al origen de esta recta, cmo se aplica a la situacin real? El valor 0.02 tiene sentido? Explica. g. Si la siguiente cuenta de restaurante fue por $30, qu predecira la recta de mejor ajuste para la propina? h. Con la recta de mejor ajuste, predice la propina para una cuenta de $31. Cul es la diferencia entre este importe y el importe en el inciso g para una cuenta de $30? Esta diferencia tiene sentido? Dnde la ves en la ecuacin para la recta de mejor ajuste? www.fullengineeringbook.net 159 3.69&RQVLGHUDODJXUDGHODSiJLQD/DRUGHQDGD DORULJHQGHODJUiFDHVQRDSUR[LPDGDPHQWHFRPR SXHGHOHHUVHDSDUWLUGHODJXUD([SOLFDSRUTXp 3.70 Considera los datos de mujeres universitarias presenta- dos en el ejemplo 3.7 y la recta de mejor ajuste. Cuando se estima la recta de mejor ajuste a partir de un diagrama de dis- persin, la seleccin de los dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) a usar es un poco arbitraria. Cuando se usan diferentes puntos, resul- tarn valores ligeramente diferentes para b 0 y b 1 , pero deben ser aproximadamente iguales. D 4XpSXQWRVVREUHHOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQJXUD p. 154) se usaron para estimar la pendiente y la ordenada al origen en el ejemplo de la pgina 150? Cules fueron las estimaciones resultantes? b. Usa los puntos (61, 95) y (67, 130) y encuentra los valo- res aproximados de pendiente y ordenada al origen. c. Compara los valores que encontraste en el inciso b con los descritos en el inciso a. Cun similares son? d. Compara ambos conjuntos de estimaciones con los valo- res reales de pendiente y ordenada al origen que encon- traste en el ejemplo 3.7 de las pginas 150-151. Dibuja ambas rectas estimadas de mejor ajuste sobre el diagrama GHGLVSHUVLyQTXHVHPXHVWUDHQODJXUD&XiQ~WL les crees que puedan ser los valores estimados? Explica. 3.71 Phi ( = 1.618033988749895...), es simplemente un nmero irracional como pi ( = 3.14159265358979...), pero con muchas propiedades matemticas inusuales. Phi es la base para la proporcin urea. (Visita http://goldennumber.net/ para aprender otras interesantes cosas acerca de phi.) a. Si el brazo de toda persona muestra la proporcin urea exacta, describe la apariencia de un diagrama de disper- VLyQGRQGHVHJUDTXHQODORQJLWXGGHODQWHEUD]Ry, y la longitud de la mano, x. b. Dado que las proporciones corporales varan de persona a persona, describe la apariencia de un diagrama de disper- VLyQGRQGHVHJUDTXHQODORQJLWXGGHODQWHEUD]Ry, y la longitud de la mano, x, para 25 personas cuyas dos longi- tudes se midan. 3.72 Otra interesante proporcin que usa la longitud del ante- brazo de una persona (como se muestra en el ejercicio 3.71) es la proporcin de la longitud del antebrazo a la longitud del pie de una persona (en pulgadas). Esta proporcin es 1 a 1. a. Describe la apariencia de un diagrama de dispersin GRQGHVHJUDTXHQODORQJLWXGGHOSLHy, y la longitud del antebrazo, x. b. Qu valor esperaras para la pendiente de la recta de regresin? 3.73 Recolecta las longitudes del antebrazo (y) y la mano (x) de 15 o ms personas y sigue la imagen del ejercicio 3.71. D *UDFDORVGDWRVUHFRSLODGRVFRPRXQGLDJUDPDGHGLV persin; asegrate de etiquetar completamente. b. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. c. Cul es la pendiente? Cmo se compara este valor con phi? Explica las similitudes o diferencias encontradas. 3.74 Recolecta las longitudes del pie (y) y el antebrazo (x) de 15 o ms personas. D *UDFDORVGDWRVUHFRSLODGRVFRPRXQGLDJUDPDGHGLV persin; asegrate de etiquetar completamente. b. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. c. Cul es la pendiente? Cmo se compara este valor con tu respuesta al inciso b del ejercicio 3.72? Explica las similitudes o diferencias encontradas. 3.75 [EX03-075] "Ahora ms que nunca, un grado importa", de acuerdo con un anuncio publicitario de una universidad al norte de Nueva York publicado en el Democrat and Chronicle del 31 de mayo de 2009. Los siguientes estadsticos del U.S. Bureau of Labor Statistics se presentaron como mediana de ganancias semanales usuales. Mediana ganancias Aos de Nivel de escolaridad semanales usuales escolaridad Menos que un diploma de bachillerato $453 10 Graduado bachillerato, no universitario $618 12 Grado licenciatura $1 115 16 Grado avanzado $1 287 18 a. Construye un diagrama de dispersin con los aos de escolaridad como la variable independiente, x y la media- na de las ganancias semanales usuales como la variable dependiente, y. b. Parece haber una relacin lineal? Por qu? F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO d. El valor de r parece razonable en comparacin con el patrn demostrado en el diagrama de dispersin? Explica. e. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. (contina en la pgina 160) Seccin 3.3 Regresin lineal Imagestate/PhotoLibrary www.fullengineeringbook.net 160 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados f. Interpreta la pendiente de la ecuacin. J *UDFDODOtQHDGHPHMRUDMXVWHVREUHHOGLDJUDPDGHGLV- persin. h. Cul es la ordenada al origen para la ecuacin? Interpre- WDVXVLJQLFDGRHQHVWDDSOLFDFLyQ 3.76 [EX03-076] El consumo estadounidense per cpita de agua embotellada creci de manera continua desde 1997, en ms de 1 galn al ao. a. Inspecciona los datos en la siguiente tabla y explica cmo los datos muestran crecimiento de ms de 1 galn al ao. b. Construye un diagrama de dispersin con aos despus de 1997, x y consumo, y. c. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. d. Explica cmo la ecuacin en el inciso c muestra que el consumo anual creci de manera sostenida durante 10 DxRVDXQDWDVDGHPiVGHJDOyQSRUDxR6pHVSHFtFR 3.77 [EX03-077] El agua embotellada es un gran negocio en Estados Unidos y tambin en todo el mundo. A continuacin se proporciona nmeros anuales que indican cun grande es el mercado estadounidense de agua embotellada (el volumen est en galones y los ingresos del productor en dlares estado- unidenses). 2000-2008 (proyeccin) Ao Millones de galones Millones de dlares 2000 4 725.10 $6 113.00 2001 5 185.30 $6 880.60 2002 5 795.70 $7 901.40 2003 6 269.80 $8 526.40 2004 6 806.70 $9 169.50 2005 7 538.90 $10 007.40 2006 8 253.50 $10 857.80 2007 8 823.00 $11 705.90 2008 9 418.00 $12 573.50 a. Inspecciona los datos en la tabla y explica cmo los n- meros muestran gran y sostenido crecimiento anual. b. Construye un diagrama de dispersin con galones, x y dlares, y. c. El diagrama de dispersin muestra el mismo crecimiento estable que se estudi en el inciso a? Explica cualquier diferencia. d. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. e. Qu representa la pendiente que encontraste en el inciso d? 3.78 [EX03-078] Los equipos de bisbol ganan y pierden juegos. Muchos fanticos creen que el promedio de carreras limpias permitidas (ERA) de un equipo tiene un gran efec- to sobre los ganados de dicho equipo. Durante la temporada 2008, los 30 equipos de la Major League Baseball registraron los siguientes nmeros de ganados mientras generaban dichos promedios de carreras limpias permitidas: Ganados ERA Ganados ERA Ganados ERA 89 4.07 92 3.88 89 4.28 88 4.16 84 3.68 72 4.46 63 4.41 86 3.49 81 4.45 89 4.06 95 4.01 84 4.43 97 3.82 74 4.77 61 4.73 90 3.85 75 4.48 75 4.01 67 5.08 74 4.90 82 3.98 86 4.19 74 4.55 59 4.66 100 3.99 72 4.38 86 4.36 97 3.87 79 5.37 68 5.13 a. Qu piensas: los equipos con los mejores ERA tienen ms ganados? (Mientras ms bajo sea el ERA, menos carreras limpias anot el otro equipo.) b. Si esto es verdadero, cmo se ver el patrn sobre el GLDJUDPDGHGLVSHUVLyQ"6pHVSHFtFR c. Construye un diagrama de dispersin de dichos datos. d. El diagrama de dispersin sugiere que los equipos tien- den a ganar ms juegos cuando el ERA de su equipo es ms bajo? Explica cmo s o cmo no. e. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste con ERA para x y el nmero de ganados para y. f. En promedio, cmo el nmero de ganados es afectado por un aumento de 1 en el ERA? Explica cmo determi- naste este nmero. g. Tus hallazgos parecen apoyar la idea de que los equi- SRVFRQPHMRU(5$WLHQHQPiVJDQDGRV"-XVWLFDWX respuesta. 3.79 [EX03-079] Considera el dicho "constryelo y ellos vendrn". Este notable dicho de una pelcula puede muy bien aplicarse a los centros comerciales. Slo asegrate de que, Tabla para el ejercicio 3.76 Ao 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Aos despus de 1997 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Galones per cpita 13.5 14.7 16.2 16.7 18.2 20.1 21.6 23.2 25.4 27.6 29.3 Fuente: Beverage Marketing Corporation Fuente: http://mlb.mlb.com Fuente: Beverage Marketing Corporation www.fullengineeringbook.net 161 cuando lo construyas, no slo haya espacio para el centro co- mercial, sino tambin para quienes vendrn y por tanto incluye VXFLHQWHHVSDFLRSDUDHVWDFLRQDPLHQWR&RQVLGHUDODPXHVWUD aleatoria de los grandes centros comerciales en Irvine, Cali- fornia. Pies cuadrados Espacios estacionamiento Nmero de tiendas 270 987 3 128 65 258 761 1 500 43 1 600 350 8 572 120 210 743 793 59 880 000 7 100 95 2 700 000 15 000 300 a. Dibuja un diagrama de dispersin con "espacios estacio- namiento" como la variable dependiente, y, y "pies cua- drados" como la variable independiente, x. (Sugerencia: usa miles de pies cuadrados.) b. El diagrama de dispersin del inciso a sugiere que ser til una regresin lineal? Explica. c. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste. d. Dibuja la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dis- persin que obtuviste en el inciso a. Explica el papel de una pendiente positiva para este par de variables. e. Ves una potencial variable de confusin? Explica su posible papel. f. Dibuja un diagrama de dispersin con "espacios de esta- cionamiento" como la variable dependiente, y, y "nmero de tiendas" como la variable independiente, x. g. El diagrama de dispersin en el inciso e sugiere que ser til una regresin lineal? Explica. h. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste. i. Dibuja la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dis- persin que obtuviste en el inciso e. j. Ves una potencial variable oculta? Explica su posible papel. k. Dibuja un diagrama de dispersin con "nmero de tien- das" como la variable dependiente, y, y "pies cuadrados" como la variable predictora, x. l. El diagrama de dispersin en el inciso k sugiere que ser til una regresin lineal? Explica. m. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste. n. Dibuja la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dis- persin que obtuviste en el inciso k. 3.80 [EX03-080] La regla emprica dada es que las mascotas envejecen siete veces ms rpido que las personas. Las masco- tas ms comunes son perros y gatos. a. Considera los siguientes datos acerca de edades de gato frente a edades humanas. Existe una relacin entre eda- des de gato y edades humanas? Comenta acerca de la fuerza. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste. Cul es la tasa promedio de cambio para gatos? b. Considera los siguientes datos acerca de edades de perro frente a edades humanas. Existe una relacin entre las edades de perros y las edades humanas? Comenta acerca de la fuerza. Calcula la ecuacin para la recta de mejor ajuste. Cul es la tasa promedio de cambio para perros? c. Hacia los 7 aos de edad, la mayora de los perros, en particular las razas ms grandes, entran a los aos de YHMH]/RVGDWRVDSR\DQHVWDDUPDFLyQ"3RUTXp\ cmo? Edad humana Edad gato Edad humana Edad perro 23 1 14 1 35 2 23 2 40 3 29 3 45 4 34 4 47 5 38 5 50 6 41 6 53 7 47 7 56 8 50 8 59 9 55 9 61 10 60 10 65 11 64 11 69 12 68 12 72 13 74 13 75 14 78 14 78 15 84 15 3.81/DJUiFDGHODSiJLQDPXHVWUDODUHODFLyQHQWUHWUHV variables: nmero de conductores con licencia, nmero de ve- hculos registrados y el tamao de la poblacin residente en (VWDGRV8QLGRVGHD(VWXGLDODJUiFD\UHVSRQGH las preguntas. a. Parece razonable que la recta de poblacin y la recta de conductores sean en esencia mutuamente paralelas, con la recta de poblacin arriba de la recta de conductores? ([SOLFDTXpVLJQLFDTXHVHDQSDUDOHODV4XpVLJQLFDUtD si no fueran paralelas? E 4XpVLJQLFDTXHVHFUXFHQODVUHFWDVGHFRQGXFWRUHV\ de vehculos? Cundo y qu representa el punto de inter- seccin? c. Explica la relacin entre vehculos y conductores antes de 1973. d. Explica la relacin entre vehculos y conductores despus de 1973. e. Predices que los conductores alguna vez sobrepasarn los vehculos despus de 2007? Por qu s o por qu no? (contina en la pgina 162) Seccin 3.3 Regresin lineal www.fullengineeringbook.net 162 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 260 310 210 160 110 60 1960 1966 1972 1978 1984 1990 1996 2002 2008 f. Con los aos 1990 y 2002, estima las pendientes de la recta de vehculos y la recta de conductores. Compara y contrasta las pendientes que encontraste. 3.82(OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ\ODSHQGLHQWHGHODUHFWDGH PHMRUDMXVWHVHUHODFLRQDQSRUGHQLFLyQ D 9HULFDHVWDDUPDFLyQ b. Describe cmo puede verse, en los estadsticos que des- criben un conjunto de datos particular, la relacin entre FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ\SHQGLHQWH c. Demuestra que b 1 = r(s y /s x ). Comenta acerca de esta rela- cin. Fuente: U.S. Dept. of Transportation: Federal Highway Administration Conductores con licencia, vehculos registrados y poblacin residente MillonesAo En retrospectiva Repaso del captulo Para resumir lo que acabas de aprender: hay una diferencia distintiva entre el propsito del anlisis de regresin y el pro- psito de la correlacin. En el anlisis de regresin se busca una relacin entre las variables. La ecuacin que representa esta relacin puede ser la respuesta que se desea o puede ser el medio para la prediccin que se desea. En el anlisis de correlacin se mide la fuerza de la relacin lineal entre las dos variables. Los ejemplos aplicados en el texto muestran varios usos para las tcnicas de correlacin y regresin. Vale la pena leer de nuevo dichos ejemplos. Cuando los datos bivariados pa- recen caer a lo largo de una lnea recta sobre el diagrama de dispersin, sugieren una relacin lineal. Pero esto no es prueba de causa y efecto. Claramente, si un jugador de bsquetbol co- mete muchas faltas, no anotar ms puntos. Los jugadores con problemas de faltas "montan el pino" sin posibilidad de anotar. Tambin parece razonable que, mientras ms tiempo de juego tengan, ms puntos anotarn y ms faltas cometern. Por tanto, existir una correlacin positiva y una regresin positiva entre estas dos variables. Aqu el tiempo es una variable oculta. En consecuencia, los mtodos lineales bivariados estudia- dos se presentaron como un primer vistazo descriptivo. Por necesidad, ms detalles deben esperar hasta que hayas efec- tuado trabajo de desarrollo adicional. Despus de completar este captulo debes tener una comprensin bsica de los datos bivariados, cmo son diferentes de slo dos conjuntos de da- tos, cmo se presentan, qu son los anlisis de correlacin y de regresin y cmo se usa cada uno. El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com Imagen copyright Dec Hogan, 2010. Usada bajo licencia de Shutterstock.comPoblacin Vehculos Conductores www.fullengineeringbook.net 163 Vocabulario y conceptos clave anlisis de correlacin lineal (p. 136) anlisis de regresin (p. 146) FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr (p. 136) correlacin (p. 136) correlacin lineal (p. 136) correlacin negativa (p. 136) correlacin positiva (p. 136) criterio de mnimos cuadrados (p. 146) datos bivariados (p. 121) diagrama de dispersin (p. 127) ecuacin de prediccin (p. 146) frmula producto-momento de Pearson, r (p. 137) recta de mejor ajuste (p. 147) mtodo de mnimos cuadrados (p. 146) no correlacin (p. 136) ordenada al origen, b 0 (p. 147) par ordenado (p. 126) pendiente, b 1 (p. 147) regresin (p. 146) relacin lineal (p. 146) relacin causa y efecto (p. 140) tabla de contingencia (p. 121) tabla cruzada (p. 121) valor predicho (p. 146) valor predicho de y (p. 147) variable oculta (p. 140) variable de entrada (p. 126) variable de salida (p. 126) variable dependiente (p. 126) variable independiente (p. 126) Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUSRGHUSUHVHQWDU\GHVFULELUGDWRVHQIRUPDGHGRVYDULDEOHV (-SS(M FXDOLWDWLYDVWDQWRHQIRUPDWRGHWDEODGHFRQWLQJHQFLDFRPRHQJUiFDVDGHFXDGDV &RPSUHQGHUSRGHUSUHVHQWDU\GHVFULELUGDWRVHQIRUPDGHXQDYDULDEOHFXDOLWDWLYD (-S(M \XQDYDULDEOHFXDQWLWDWLYDWDQWRHQIRUPDWRGHWDEODFRPRHQJUiFDVDGHFXDGDV &RPSUHQGHUSRGHUSUHVHQWDU\GHVFULELUODUHODFLyQHQWUHGRVYDULDEOHV (-(M$(MSS cuantitativas con un diagrama de dispersin. Ej. 3.15 &RPSUHQGHU\SRGHUH[SOLFDUXQDUHODFLyQOLQHDO S &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ SS(-(M &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDUHFWDGHPHMRUDMXVWH (- 'HQLU\FRPSUHQGHUODVGLIHUHQFLDVHQWUHFRUUHODFLyQ\FDXVDFLyQ SS(M 'HWHUPLQDU\H[SOLFDUSRVLEOHVYDULDEOHVRFXOWDV\VXVHIHFWRVVREUH SS(M una relacin lineal. &RPSUHQGHU\SRGHUH[SOLFDUODSHQGLHQWHGHODUHFWDGHPHMRUDMXVWH (M respecto al contexto donde se presenta. &RPSUHQGHU\SRGHUH[SOLFDUODRUGHQDGDDORULJHQGHODUHFWDGHPHMRU (M ajuste respecto al contexto donde se presenta. &UHDUXQGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQFRQODUHFWDGHPHMRUDMXVWHGLEXMDGDVREUHpO (M &DOFXODUYDORUHVGHSUHGLFFLyQFRQEDVHHQODUHFWDGHPHMRUDMXVWH S(M &RPSUHQGHU\SRGHUH[SOLFDUTXpVRQORVYDORUHVGHSUHGLFFLyQ SS &RPSUHQGHUTXHODVSUHGLFFLRQHVGHEHQKDFHUVHVyORSDUDYDORUHVGHQWUR S del dominio muestral y que debe tener cuidado con valores afuera de dicho dominio. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP Ejercicios del captulo 3.83 [EX03-083] El miedo al dentista (o a la silla del den- tista) es una emocin que sienten muchas personas de todas las edades. Se llev a cabo una encuesta de 100 individuos en cinco grupos de edad acerca de este miedo y stos fueron los resultados: Elemental Secundaria Bachillerato Universidad Adulto Miedo 37 28 25 27 21 No miedo 63 72 75 73 79 a. Encuentra los totales marginales. b. Expresa las frecuencias como porcentajes del gran total. c. Expresa las frecuencias como porcentajes de los totales marginales de cada grupo de edad. (contina en la pgina 164) Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 164 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados d. Expresa las frecuencias como porcentajes de quienes tienen miedo y de quienes no tienen miedo. H 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVFRQEDVHHQORVJUXSRVGH edad. 3.84 Conforme el verano se calienta, los estadounidenses vol- tean al helado como una forma de enfriarse. Una de las pre- guntas que se plante como parte de una Encuesta Harris en julio de 2009 fue: cul es tu forma favorita de comer helado? El estudio incluy a 2 177 adultos estadounidenses. /DJUiFD)RUPDIDYRULWDGHFRPHUKHODGRPHQFLRQDHQ porcentajes, la distribucin de las formas en que ambos gne- URVSUHHUHQFRPHUVXKHODGR D ,GHQWLFDODSREODFLyQODVYDULDEOHV\HOWLSRGHYDULDEOHV E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHODVGRVGLV- tribuciones lado a lado. c. Las distribuciones parecen ser diferentes para los gne- ros? Explica. 3.85 [EX03-085] Seis razas de perros han sido populares en Estados Unidos durante los ltimos aos. La siguiente tabla presenta las razas junto con el nmero de registros de cada una llenados por el American Kennel Club en 2004 y 2005: Razas 2004 2005 Cobrador (Labrador) 146 692 137 867 Cobrador (Dorado) 52 550 48 509 Pastor alemn 46 046 45 014 Sabuesos pequeos 44 555 42 592 Salchichas 40 770 38 566 a. Se proporciona una tabla cruzada de las dos variables, DxRFROXPQDV\UD]DGHSHUURODV'HWHUPLQDORVWRWD- les marginales. b. Expresa la tabla de contingencia del inciso a en porcenta- jes con base en el gran total. F 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRV del inciso b. d. Expresa la tabla de contingencia del inciso a en porcenta- jes con base en los totales marginales para cada ao. H 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRV del inciso d. 3.86 [EX03-086] Cundo fue la ltima vez que visitaste a tu mdico? Esta pregunta se plante para la encuesta que se resume en la siguiente tabla. Tiempo desde ltima consulta 6 meses Menos de a menos de 1 ao 6 meses 1 ao o ms Menor a 18 aos 413 192 295 Edad 28-40 574 208 218 Mayor a 40 653 288 259 a. Encuentra los totales marginales. b. Expresa las frecuencias como porcentajes del gran total. c. Expresa las frecuencias como porcentajes de los totales marginales de cada grupo de edad. d. Expresa las frecuencias como porcentajes de cada periodo. H 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVFRQEDVHHQHOJUDQWRWDO 3.87 [EX03-087] Parte del control de calidad es seguir la huella de lo que ocurre. La siguiente tabla de contingencias muestra el nmero de moldes rechazados el mes pasado, ca- tegorizados por su causa y el turno de trabajo durante el que ocurri. 1er turno 2o turno 3er turno Arena 87 110 72 Falla 16 17 4 Cada 12 17 16 Centro roto 18 16 33 Roto 17 12 20 Otro 8 18 22 a. Encuentra los totales marginales. b. Expresa los nmeros como porcentajes del gran total. c. Expresa los nmeros como porcentajes del total marginal de cada turno. d. Expresa los nmeros como porcentajes de cada tipo de rechazo. H 'LEXMDXQDJUiFDGHEDUUDVFRQEDVHHQORVWXUQRV Imagen copyright M. Unal Ozmen. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Fuente: American Kennel Club FORMA FAVORITA DE COMER HELADO Base: Todos los adultos que comen helado Forma favorita Hombre, % Mujer, % Copa 50 41 Cono 24 34 Sundae 17 18 Sandwich 2 2 Otro 8 5 Total 101 100 www.fullengineeringbook.net 165 3.88 Determina si cada una de las siguientes preguntas requie- re anlisis de correlacin o anlisis de regresin para obtener una respuesta. D ([LVWHXQDFRUUHODFLyQHQWUHODVFDOLFDFLRQHVTXHREWLH- QHXQHVWXGLDQWHHQHOEDFKLOOHUDWR\ODVFDOLFDFLRQHVTXH obtiene en la universidad? b. Cul es la relacin entre el peso de un paquete y el costo de enviarlo por correo en primera clase? c. Existe una relacin lineal entre la estatura de una perso- na y el tamao de sus zapatos? d. Cul es la relacin entre el nmero de horas-hombre y el nmero de unidades de produccin completadas? H /DFDOLFDFLyQREWHQLGDHQFLHUWDSUXHEDGHDSWLWXGVH relaciona linealmente con la habilidad de una persona para realizar cierta tarea? 3.89 El dueo de un automvil registra el nmero de galo- nes de gasolina, x, requeridos para llenar el tanque de gaso- lina y el nmero de millas recorridas, y, entre llenados de tanque. a. Si realiza un anlisis de correlacin sobre los datos, cul sera el propsito y cul sera la naturaleza de sus resultados? b. Si realiza un anlisis de regresin sobre los datos, cul sera el propsito y cul sera la naturaleza de los resultados? 3.90 Los siguientes datos se generaron con la ecuacin y = 2x + 1. x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 Un diagrama de dispersin de los datos resulta en cinco pun- tos que caen perfectamente sobre una lnea recta. Encuentra el FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ\ODHFXDFLyQGHODUHFWDGHPHMRU ajuste. 3.91 Considera el siguiente conjunto de datos bivariados: x 1 1 3 3 y 1 3 1 3 a. Dibuja un diagrama de dispersin. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ c. Calcula la recta de mejor ajuste. 3.92 Comienza con el punto (5, 5) y agrega al menos cuatro pares ordenados (x, y), para hacer un conjunto de pares orde- nados que muestre las siguientes propiedades. Demuestra que tu muestra satisface los requisitos. a. La correlacin de x y y es 0.0. b. La correlacin de x y y es +1.0. c. La correlacin de x y y es 1.0. d. La correlacin de x y y est entre 0.2 y 0.0. e. La correlacin de x y y est entre + 0.5 y + 0.7. 3.93 Se dibuja un diagrama de dispersin que muestra los da- tos para x y y, dos variables con distribucin normal. Los datos FDHGHQWURGHORVLQWHUYDORVx\y'yQGH esperas encontrar los datos sobre el diagrama de dispersin si?: D (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV E (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV F (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV G (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV H (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV 3.94 Comienza con el punto (5, 5) y agrega al menos cuatro pares ordenados (x, y), para hacer un conjunto de pares orde- nados que muestre las siguientes propiedades. Demuestra que tu muestra satisface los requisitos. a. La correlacin de x y y est entre +0.9 y +1.0 y la pen- diente de la recta de mejor ajuste es 0.5. b. La correlacin de x y y est entre + 0.5 y + 0.7 y la pen- diente de la recta de mejor ajuste es 0.5. c. La correlacin de x y y est entre 0.7 y 0.9 y la pen- diente de la recta de mejor ajuste es 0.5. d. La correlacin de x y y est entre + 0.5 y + 0.7 y la pendiente de la recta de mejor ajuste es 1.0. 3.95 [EX03-095] Se llev a cabo un estudio biolgico de un pececillo llamado leucisco nariz negra.* Se registraron la lon- gitud, y (en milmetros) y la edad, x (al ao ms cercano). *Visita: http://www.dnr.state.oh.us/ x 0 3 2 2 1 3 2 4 1 1 y 25 80 45 40 36 75 50 95 30 15 a. Dibuja un diagrama de dispersin de estos datos. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ c. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. G ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVDDOF Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 166 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados 3.96 [EX03-096] Los siguientes datos son una muestra de las edades y los precios de venta para Honda Accord usados que se citaron en AutoTrader.com el 10 de marzo de 2005: Edad x (aos) Precio y ( $1 000) Edad x (aos) Precio y ( $1 000) 3 24.9 2 26.9 7 9.0 4 23.8 5 17.8 5 19.3 4 29.2 4 21.9 6 15.7 6 16.4 3 24.9 4 21.2 2 25.7 3 24.9 7 11.9 5 20.0 6 15.2 7 13.6 2 25.9 5 18.8 a. Dibuja un diagrama de dispersin. b. Calcula la ecuacin de la recta de mejor ajuste. F *UDFDODUHFWDGHPHMRUDMXVWHVREUHHOGLDJUDPDGHGLV- persin. d. Predice el precio de venta promedio para todos los Honda Accord que tienen 5 aos de edad. Obtn esta respuesta de dos formas: usa la ecuacin del inciso b y usa la recta dibujada en el inciso c. e. Puedes pensar en alguna potencial variable oculta para esta situacin? Explica cualquier posible papel que pueda tener. 3.97 [EX03-097] El canto de los grillos que chirran es un agradable sonido en las noches de verano. De hecho, el chi- rrido de esos grillos bien pueden decirte la temperatura. En el libro The Song of Insects (El canto de los insectos), George W. Pierce, profesor de fsica en Harvard, present datos reales que relacionan el nmero de chirridos por segundo, x, de los grillos rayados con la temperatura en F, y. La siguiente tabla proporciona datos reales de grillos y temperatura. Parece que el nmero de chirridos representa un promedio, porque est dado a la dcima ms cercana. x y x y x y 20.2 88.6 15.5 75.2 15.0 79.6 16.0 71.6 14.7 69.7 17.2 82.6 19.8 93.3 17.1 82.0 16.0 80.6 18.4 84.3 15.4 69.4 17.0 83.5 17.1 80.6 16.2 83.3 14.4 76.3 a. Dibuja un diagrama de dispersin del nmero de chirridos por segundo, x y la temperatura del aire, y. b. Describe el patrn mostrado. c. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. d. Con la ecuacin del inciso c, encuentra las temperaturas que corresponden a 14 y 20 chirridos, las cotas aproxima- das para el dominio del estudio. e. El rango de valores de temperaturas acotado por los va- lores de temperatura que encontraste en el inciso d parece razonable para el estudio? Explica. f. La prxima vez que ests fuera, donde chirren grillos en una noche de verano y te encuentres sin termmetro, slo cuenta los chirridos y podrs decir la temperatura. Si la cuenta es 16, qu temperatura supondras que es? 3.98 [EX03-098] Los lagos son cuerpos de agua rodeados por tierra y pueden incluir mares. La siguiente tabla menciona las reas y profundidades mximas de 32 lagos a lo largo del mundo. a. Dibuja un diagrama de dispersin que muestre el rea, x y la profundidad mxima, y, para los lagos. E (QFXHQWUDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOHQWUHiUHD\ profundidad mxima. Qu implica el valor de esta corre- lacin lineal? Lago rea (mi cuadradas) Profundidad mx. (ft) Mar Caspio 143 244 3 363 Superior 31 700 1 330 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com 3.99 [EX03-099] Las poblaciones de la vida salvaje se mo- nitorean con fotografas areas. El nmero de animales y sus ubicaciones relativas a las reas habitadas por la poblacin humana, son informacin til. En ocasiones es posible moni- torear las caractersticas fsicas de los animales. La longitud de un cocodrilo puede estimarse con bastante precisin a partir de fotografas areas, pero no su peso. Los siguientes datos son las longitudes, x (en pulgadas) y pesos, y (en libras), de cocodrilos capturados en Florida central y pueden usarse para predecir el peso de un cocodrilo con base en su longitud. Peso Longitud Peso Longitud Peso Longitud 130 94 38 72 44 61 51 74 366 128 106 90 640 147 84 85 84 89 28 58 80 82 39 68 80 86 83 86 42 76 110 94 70 88 197 114 33 63 61 72 102 90 90 86 54 74 57 78 36 69 a. Construye un diagrama de dispersin para longitud, x y peso, y. Fuente: http://autotrader.com/ Fuente: George W. Pierce, The Songs of Insects, Harvard University Press, 1948 Fuente: Geological Survey, U.S. Department of the Interior Fuente: http;//exploringdata.cqu.edu.au/ www.fullengineeringbook.net 167 b. Parece que el peso de un cocodrilo es predecible a partir de su longitud? Explica. c. La relacin es lineal? d. Explica por qu la recta de mejor ajuste, como se describe en este captulo, no es adecuada para estimar el peso con base en la longitud. H (QFXHQWUDHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO f. Explica por qu el valor de r puede ser tan alto para un conjunto de datos que tan obviamente no es lineal por naturaleza. 3.100 [EX03-100] Los productores de caa de azcar estn preocupados por la relacin entre los acres totales de caa de azcar cosechados y la produccin total de caa de azcar (to- neladas) de dichos acres. Los siguientes datos son para la co- secha 2007 de 14 condados de Louisiana productores de caa de azcar seleccionados al azar. Acres Produccin Acres Produccin 2 600 70 000 10 100 300 000 28 900 825 000 12 300 375 000 13 600 470 000 25 100 730 000 9 600 295 000 51 000 1 530 000 26 400 800 000 11 100 335 000 39 400 1 220 000 26 500 770 000 30 000 910 000 1 700 55 000 a. Estos valores de datos tienen muchos ceros que estarn en el camino. Cambia los acres cosechados a cientos de acres y la produccin a miles de toneladas de produccin antes de continuar. b. Construye un diagrama de dispersin de acres cosecha- dos, x y toneladas de produccin, y. c. La relacin entre las variables parece ser lineal? Explica. d. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. e. Cul es la pendiente para la recta de mejor ajuste? Qu UHSUHVHQWDODSHQGLHQWH"([SOLFDTXpVLJQLFDSDUDHO productor de caa de azcar. 3.101 [EX03-101] Relativamente pocos viajeros de negocios usan sistemas de transporte masivo cuando visitan grandes ciudades. Los frutos podran ser sustanciales, tanto en tiempo como en dinero, si aprendieran cmo usar los sistemas, como se apunta en el artculo "Mass transit could serve business tra- velers big bucks" (El transporte masivo podra ahorrar grandes cantidades a los viajeros de negocios) del USA Today del 28 de diciembre de 2004. El USA Today recopil la siguiente in- formacin acerca de los sistemas ferroviarios estadounidenses ms ocupados. Ciudad Estaciones Vehculos Va (millas) Atlanta 38 252 193 Baltimore 14 100 34 Boston 53 408 108 Chicago 144 1 190 288 Cleveland 18 60 42 Los ngeles 16 102 34 Miami 22 136 57 Nueva York 468 6 333 835 Filadelfia 53 371 102 San Francisco 43 669 246 Washington 86 950 226 Supn que un sistema de transporte masivo se propone para una ciudad y t eres el encargado de preparar la informacin HVWDGtVWLFDWDQWRJUiFDFRPRQXPpULFDDFHUFDGHODUHODFLyQ entre las siguientes tras variables: nmero de estaciones, n- mero de vehculos y nmero de millas de va. Te proporcionan los datos anteriores. a. Comienza por inspeccionar los datos dados. Observas algo inusual acerca de los datos? Existen algunos valores que parezcan muy diferentes del resto? Explica. b. Tu supervisor sugiere que quites los datos para Nueva <RUN'HHQGHHOSXQWRGHTXHHVRHVDFHSWDEOH,QFOX\H DOJXQDVJUiFDVSUHOLPLQDUHV\HVWDGtVWLFDVFDOFXODGDV SDUDMXVWLFDUHOTXLWDUGLFKRVYDORUHV Con los datos de las otras 10 ciudades: c. Construye un diagrama de dispersin con millas de va como la variable independiente, x y el nmero de estacio- nes como la variable dependiente, y. d. Hay evidencia de una relacin lineal entre estas dos va- ULDEOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD e. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste para el inciso c. I ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHODHFXDFLyQSDUDODUHFWDGH mejor ajuste. Qu te dice? g. Construye un diagrama de dispersin con millas de va como la variable independiente, x y el nmero de vehcu- los como la variable dependiente, y. h. Hay evidencia de una relacin lineal entre estas dos va- ULDEOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD i. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste para el inciso g. Fuente: http://www.nass.usda.gov/ Fuente: USA Today, 28 de diciembre de 2004 (contina en la pgina 168) Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 168 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados M ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHODHFXDFLyQSDUDODUHFWDGH mejor ajuste. Qu te dice? k. Construye un diagrama de dispersin con el nmero de estaciones como la variable independiente, x y el nmero de vehculos como la variable dependiente, y. l. Hay evidencia de una relacin lineal entre estas dos YDULDEOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD m. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste para el inciso k. Q ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHODHFXDFLyQSDUDODUHFWDGH mejor ajuste. Qu te dice? o. La ciudad sopesa las propuestas iniciales para un sistema de transporte masivo de 50 millas de va. Con base en las respuestas que encontraste en los incisos del c al n, cuntas estaciones y cuntos vehculos se necesitarn SDUDHOVLVWHPD"-XVWLFDWXVUHVSXHVWDV p. Si alguien quiere estimar el nmero de estaciones y ve- hculos necesarios para un sistema de 100 millas, no slo debe duplicar los resultados encontrados en el inciso o. Explica por qu no. q. Con base en las respuestas encontradas en los incisos c al n, cuntas estaciones y cuntos vehculos se necesitarn SDUDXQVLVWHPDGHPLOODV"-XVWLFDWXVUHVSXHVWDV 3.102 [EX03-102] Las cigarras son insectos voladores her- bvoros. Una especie particular, las cigarras de 13 aos (Ma- gicicada), pasan cinco etapas juveniles en madrigueras sub- terrneas. Durante los 13 aos bajo tierra las cigarras crecen desde aproximadamente el tamao de una pequea hormiga, hasta casi el tamao de una cigarra adulta. Cada 13 aos los animales salen de sus madrigueras como adultos. La si- guiente tabla presenta tres diferentes especies de estas ciga- rras de 13 aos y sus correspondientes: peso corporal adulto (BW), en gramos y longitud de alas (WL), en milmetros. Especies BW WL Especies BW WL tredecula 0.15 28 tredecula 0.18 29 tredecim 0.29 32 tredecassini 0.21 27 tredecim 0.17 27 tredecula 0.15 30 tredecula 0.18 30 tredecula 0.17 27 tredecim 0.39 35 tredecassini 0.13 27 tredecim 0.26 31 tredecassini 0.17 29 tredecassini 0.17 29 tredecassini 0.23 30 tredecassini 0.16 28 tredecim 0.12 22 tredecassini 0.14 25 tredecula 0.26 30 tredecassini 0.14 28 tredecula 0.19 30 tredecassini 0.28 25 tredecassini 0.20 30 tredecim 0.12 28 tredecula 0.14 23 a. Construye un diagrama de dispersin del peso corporal, x y la correspondiente longitud de alas, y. Usa un smbolo diferente para representar los pares ordenados para cada especie. b. Describe qu muestra el diagrama de dispersin respecto a la relacin y las especies. F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQr. d. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. e. Supn que el peso corporal de una cigarra es 0.20 gra- mos. Qu longitud de ala predeciras? De cul especie crees que pueda ser la cigarra? 3.103 [EX03-103] "El Viejo Fiel" del Parque Nacional Ye- llowstone ha sido un gran atractivo turstico durante mucho tiempo. Entender la duracin de las erupciones y el tiempo entre erupciones es necesario para predecir el momento de la prxima erupcin. Las variables del conjunto de datos de "El Viejo Fiel" son las siguientes: fecha: indica la fecha en que se tom la observacin; duracin: duracin de una erupcin del giser, en minutos; e interrupcin: tiempo hasta la siguiente erupcin, en minutos. Da 1 Da 2 Da 3 Duracin Interrupcin Duracin Interrupcin Duracin Interrupcin 4.4 78 4.3 80 4.5 76 3.9 74 1.7 56 3.9 82 4.0 68 3.9 80 4.3 84 4.0 76 3.7 69 2.3 53 3.5 80 3.1 57 3.8 86 4.1 84 4.0 90 1.9 51 2.3 50 1.8 42 4.6 85 4.7 93 4.1 91 1.8 45 1.7 55 1.8 51 4.7 88 4.9 76 3.2 79 1.8 51 1.7 58 1.9 53 4.6 80 4.6 74 4.6 82 1.9 49 3.4 75 2.0 51 3.5 82 a. Construye un diagrama de dispersin de las 39 duracio- nes, x, e interrupciones, y. Usa un smbolo diferente para representar los pares ordenados para cada da. b. Describe el patrn mostrado por los 39 pares ordenados. c. Los datos para los das individuales muestran el mismo patrn que otro y como el conjunto de datos total? d. Con base en la informacin del diagrama de dispersin, si la ltima erupcin de "El Viejo Fiel" dur 4 minutos, cunto tiempo predices habr que esperar hasta que comience la siguiente erupcin? e. Encuentra la recta de mejor ajuste para los datos mencio- nados en la tabla. Fuente: http://insects/ummz.lsa.umich.edu Fuente: http://comp.uark.edu/ www.fullengineeringbook.net 169 f. Con base en la lnea de mejor ajuste, si la ltima erupcin de "El Viejo Fiel" dur 4 minutos, cunto tiempo pre- dices habr que esperar hasta que comience la siguiente erupcin? g. Qu efecto crees que tenga, sobre la recta de mejor ajus- te, el patrn distintivo que se muestra en el diagrama de dispersin? h. Repite los incisos a al g con el conjunto de datos para 16 das de observaciones. i. Compara los resultados que encontraste en el inciso h con los resultados en los incisos a al g. Discute tus con- clusiones. 3.104D9HULFDDOJHEUDLFDPHQWHTXHODIyUPXOD para calcular r es equivalente a la frmula para GHQLFLyQ E 9HULFDDOJHEUDLFDPHQWHTXHODIyUPXODHV equivalente a la frmula (3.5). 3.105 Esta ecuacin proporciona una relacin que existe entre b 1 y r: r = b 1 SS(x) SS (y) D 9HULFDODHFXDFLyQSDUDORVVLJXLHQWHVGDWRV x 4 3 2 3 0 y 11 8 6 7 4 E 9HULFDHVWDHFXDFLyQFRQODVIyUPXODV\ 3.106 Demuestra que la frmula (3.7a) es equivalente a la frmula (3.7) (p. 148). Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negrillas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 3.1 El anlisis de correlacin es el mtodo para obtener la ecuacin que representa la relacin entre dos variables. 3.2 (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOVHXVDSDUDGHWHUPL- nar la ecuacin que representa la relacin entre dos variables. 3.3 8QFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHceroVLJQLFDTXHODV dos variables estn perfectamente correlacionadas. 3.4 Siempre que la pendiente de la recta de regresin sea cero, el FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ tambin ser cero. 3.5 Cuando r es positivo, b 1 siempre ser negativo. 3.6 La pendiente de la recta de regresin representa la cantidad de cambio que se espera tenga lugar en y cuando x aumente por una unidad. 3.7 Cuando el valor calculado de r es positivo, el valor calculado de b 1 ser negativo. 3.8 /RVFRHFLHQWHVGHFRUUHODFLyQYDUtDQHQWUH0 y +1. 3.9 El valor predicho se llama variable de entrada. 3.10 La recta de mejor ajuste se usa para predecir el valor promedio de y que se puede esperar ocurra en un valor dado de x. PARTE II: Aplicacin de los conceptos 3.11 Consulta el siguiente diagrama de dispersin. a. Relaciona las descripciones en la columna 2 con los trminos en la columna 1. BBBSREODFLyQ D FODVLFDFLyQGHFDEDOORV de fuerza para un automvil ___muestra b) todos los automviles 2005 fabricados en EUA BBBYDULDEOHGHHQWUDGD F ODFODVLFDFLyQGHPLOODMH(3$ para un automvil ___variable de salida d) los automviles 2005 con FODVLFDFLRQHVPRVWUDGDVHQ el diagrama de dispersin (contina en la pgina 170) Caballos de fuerza Caballos de fuerza y clasificaciones de millaje EPA de automviles estadounidenses 2005 Millaje EPA (mpg)Examen de prctica del captulo 30 25 20 15 10 75 100 125 150 175 x Q y www.fullengineeringbook.net 170 Captulo 3 Anlisis descriptivo y presentacin de datos bivariados b. Encuentra el tamao de la muestra. c. Cul es el valor ms pequeo reportado para la variable de salida? d. Cul es el valor ms grande reportado para la va- riable de entrada? H (OGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQVXJLHUHXQFRHFLHQWH de correlacin lineal positivo, negativo o cero? f. Cules son las coordenadas del punto Q? g. La pendiente para la recta de mejor ajuste ser positiva, negativa o cero? h. La ordenada para la recta de mejor ajuste ser positiva, negativa o cero? 3.128QJUXSRGHLQYHVWLJDFLyQUHSRUWDXQFRHFLHQWHGHFR- rrelacin 2.3 para dos variables. Qu puedes concluir a partir de esta informacin? 3.13 Para los datos bivariados, las extensiones y los totales que se muestran en la tabla, encuentra lo siguiente: a. SS(x) b. SS(y) c. SS(xy) G (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr e. La pendiente, b 1 f. La ordenada al origen, b 0 g. La ecuacin de la recta de mejor ajuste x y x 2 xy y 2 2 6 4 12 36 3 5 9 15 25 3 7 9 21 49 4 7 16 28 49 5 7 25 35 49 5 9 25 45 81 6 8 36 48 64 28 49 124 204 353 PARTE III: Comprende los conceptos 3.14 Se aplica un examen para medir la habilidad matem- tica de las personas en cierta ciudad. Algunos de los habitantes se sorprendieron al descubrir que los resul- tados de sus exmenes y tamaos de zapatos se corre- lacionaban fuertemente. Explica por qu no debera sorprender una fuerte correlacin positiva. 3.15 El estudiante A recolect un conjunto de datos bivaria- dos y calcul rHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO6X YDORUIXH(OHVWXGLDQWH$DUPDTXHQRH[LVWH correlacin entre las dos variables, porque el valor de r no est entre 1.0 y +1.0. El estudiante B argumenta que 1.78 era imposible y que slo los valores de r cercanos a cero implicaban no correlacin. Quin est HQORFRUUHFWR"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 3.16 (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOr, es un valor nu- mrico que vara de 1.0 a +1.0. Escribe un enunciado RGRVTXHGHVFULEDQHOVLJQLFDGRGHr para cada uno de estos valores: a. 0.93 d. + 0.08 b. + 0.89 e. 2.3 c. 0.03 3.17 &RQJXUDXQFRQMXQWRGHWUHVRPiVSDUHVRUGHQDGRV tales que: a. r = 0.0 c. r = 1.0 b. r = +1.0 d. b 1 = 0.0 www.fullengineeringbook.net 171 www.fullengineeringbook.net 172 Captulo 00 Captulo ttulo 4 4.1 Probabilidad de eventos Emprico, terico y subjetivo 4.2 Probabilidad condicional de eventos Probabilidad bajo una condicin preexistente 4.3 Reglas de probabilidad Las probabilidades son valores numricos que siempre muestran ciertas propiedades 4.4 Eventos mutuamente excluyentes Eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo 4.5 Eventos independientes La ocurrencia de uno no cambia la probabilidad del otro 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes estn relacionados? Los eventos no pueden ser tanto independientes como mutuamente excluyentes Probabilidad Dulces estadsticas Esta "dulce" imagen sbitamente te hace sentir hambre por algn dulce? Es muy difcil resistirse a un M&M. Seguramente tienes un color favorito. Fjate si tu color favorito puede cambiar, dependiendo de cun hambriento ests! Supn que abres una gran bolsa de M&M y que la distribucin resultante del conteo de colores es como se muestra en la tabla 4.1. Si te dicen que puedes tener todos los M&M de un color de esta bolsa, cul color elegiras? Recuer- da que ests muy hambriento! Parece que el "azul" es la eleccin! Tiene el mayor conteo para esta bolsa, con 692 M&M. Pero, cmo se compara con el resto de los colores? Una forma conveniente para hacer la comparacin es usar SRUFHQWDMHV6LGLYLGHVREWLHQHVR3RUWDQWRGHORV0 0HQHVWDEROVD son "azules". Otra forma de considerar este evento es que, si seleccionaras sin mirar un M&M de un con- WHQHGRUEDVWDQWHPH]FODGRH[LVWHXQDSRVLELOLGDGGHGHVDFDUXQ0 0D]XO 4.1 Probabilidad de eventos Imagen copyright Pablo Eder, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Color Conteo Caf 91 Amarillo 112 Rojo 102 Azul 151 Naranja 137 Verde 99 692 Color Porcentaje Caf 13.2 Amarillo 16.2 Rojo 14.7 Azul 21.8 Naranja 19.8 Verde 14.3 100.0 TABLA 4.1 Colores de M&M por conteo TABLA 4.2 Colores de M&M por porcentaje www.fullengineeringbook.net 173 Acabas de completar tu primer experimento de probabilidad! (Cierto: en realidad, hacer el experimento y comerse los M&M, habra sido ms divertido!) $KRUDHVWiVOLVWRSDUDGHQLUORTXHVHHQWLHQGHSRUSUREDELOLGDG(VSHFtFDPHQWHVH habla de "la probabilidad de que cierto evento ocurrir". Probabilidad de un evento La frecuencia relativa con la que puede esperarse la ocurrencia de dicho evento. La probabilidad de un evento puede obtenerse en tres formas diferentes: 1) emprica- mente, 2) tericamente o 3) subjetivamente. El mtodo emprico recin se ilustr con los M&M y sus porcentajes, adems pue- de llamarse probabilidad experimental o emprica. Esta probabilidad es la frecuencia relativa observada con la que un evento ocurre. En el ejemplo de los M&M, se observ que 137 de los 692 M&M fueron anaranjados. La probabilidad emprica observada para la ocurrencia de anaranjado fue 137/692 o 0.198. El valor asignado a la probabilidad del evento A como resultado de la experimentacin puede encontrarse mediante la frmula: Probabilidad emprica (observada) P ' (A) En palabras: probabilidad emprica de A = nmero de veces que ocurri A nmero de ensayos En lgebra: P'(A) = n(A) n Notacin para probabilidad emprica: cuando el valor asignado a la probabilidad de XQHYHQWRUHVXOWDGHGDWRVH[SHULPHQWDOHVRHPStULFRVVHLGHQWLFDUiODSUREDELOLGDGGHO evento con el smbolo P'( ). El mtodo terico para obtener la probabilidad de un evento usa un espacio muestral. Un espacio muestral es una lista de todos los posibles resultados del experimento a con- siderar (que se denota con la letra S mayscula). Cuando se usa este mtodo, el espacio muestral debe contener puntos muestrales igualmente probables. Por ejemplo, el espa- cio muestral para la rodadura de un dado es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cada resultado (es decir, nmero) es igualmente probable. Un evento es un subcon- junto del espacio muestral (denotado con una letra mayscula distinta de S; usualmente se usa A para el primer evento). Por tanto, la probabilidad de un evento A, P(A), es la razn GHOQ~PHURGHSXQWRVTXHVDWLVIDFHQODGHQLFLyQGHOHYHQWR$n(A), al nmero de puntos muestrales en todo el espacio muestral, n(S). Los seis posibles resultados de una rodadura PTI La idea de los M&M's Plain Choco- late Candies (dulces de chocolate M&M) naci en el trasfondo de la guerra civil espaola. Dice la leyenda que, en un viaje por Espa- a, Forrest Mars Sr. Encontr soldados que coman bolitas de cho- colate encapsuladas en un duro recubrimiento de azcar para evitar que se derritieran. Ins- pirado por esta idea, Mars regres a su coci- na e invent la receta para los M&M's Plain Chocolate Candies. (4.1) Seccin 4.1 Probabilidad de eventos www.fullengineeringbook.net 174 Captulo 4 Probabilidad Probabilidad terica (esperada) P(A) En palabras: probabilidad terica de A = nmero de veces que ocurre A en el espacio muestral nmero de elementos en el espacio muestral En lgebra: P(A) = n(A) , cuando los elementos de S son igualmente probables n(S) Notas: 1. Cuando el valor asignado a la probabilidad de un evento resulta de una fuente terica, ODSUREDELOLGDGGHOHYHQWRVHLGHQWLFDUiFRQHOVtPERORP(). 2. El smbolo prima no se usa con probabilidades tericas; slo se usa para probabilida- des empricas. E J E M P L O 4 . 1 E J E M P L O 4 . 2 (4.2) UN DADO Considera una rodadura de un dado. Defi ne el evento A como la ocurrencia de un nmero "mayor que 4". En una sola rodadura de un dado, existen seis posibles resultados, lo que constituye n(S) = 6. El evento "mayor que 4" se sa- tisface con la ocurrencia de un 5 o un 6; por tanto, n(A) = 2. Si supones que el dado es simtrico y que cada nmero tiene una igual probabilidad de ocurrir, la probabilidad de A es o . BOLAS DE GOLF En una exposicin de golf, conforme cada visitante ingresa, se le permite lle- gar a un gran barril y seleccionar, sin mirar, una bola de golf como premio de entrada. El barril contiene una mezcla de tres marcas, Titleist, Callaway y Brid- gestone, en la razn de 2 a 1 a 1. El espacio muestral para este experimento simple de probabilidad es S = {Titleist, Callaway, Bridgestone}. Sin embargo, el espacio muestral expresado de esta forma no est constituido con elemen- tos igualmente probables y por tanto no es til para asignar probabilidades a los tres eventos de la bola seleccionada como una Titleist (T), Callaway (C) o Bridgestone (B). Con la fi nalidad de usar el espacio muestral para asignar probabilidades, debe modifi carse para tener puntos muestrales igualmente probables. Esto se logra fcilmente al mencionar algunos de los elementos repetidamente, segn sea necesario, para establecer la razn correcta de ele- mentos. Dado que existen dos Titleist por una Callaway y una Bridgestone, el espacio muestral puede considerarse como aquel donde los elementos ahora son igualmente probables. 2 6 1 3 La probabilidad de que la bola seleccionada sea Titleist, Callaway o Brid- gestone ahora puede encontrarse usando el espacio muestral y la frmula (4.2): P(T) = 2/4 = 1/2 = 0.5, P(C) = 1/4 = 0.25 y P(B) = 1/4 = 0.25. www.fullengineeringbook.net 175 E J E M P L O 4 . 3 Cuando un experimento de probabilidad puede considerarse como una secuencia de eventos, con frecuencia es muy til un diagrama de rbol como una forma de presentar el espacio muestral. E J E M P L O 4 . 4 USO DE DIAGRAMAS DE RBOL Una familia con dos hijos se seleccionar al azar y se quiere encontrar la probabilidad de que la familia elegida tenga un hijo de cada gnero. Puesto que siempre habr un hijo que naci primero y uno que naci segundo, se UN PAR DE DADOS Un par de dados (uno blanco, uno negro) se ruedan una vez y se observa el nmero de puntos que muestra cada dado. El espacio muestral se presenta en formato de cuadro: Considera la suma de sus puntos. Una lista de las posibles "sumas" for- ma un espacio muestral, S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} y n(S) = 11. Sin embargo, los elementos de este espacio muestral no son igualmente probables; por tanto, este espacio muestral no puede usarse para encontrar probabilidades tericas: debes usar el espacio muestral de 36 puntos que se presentan en el cuadro anterior. Al usar el espacio muestral de 36 puntos, el espacio muestral est totalmente constituido con puntos muestrales igualmen- te probables y las probabilidades para las sumas de 2, 3, 4, etc., pueden encontrarse con mucha facilidad. La suma de 2 representa {(1, 1)}, donde el primer elemento del par ordenado es el resultado del dado blanco y el segundo elemento del par ordenado es el resultado del dado negro. La suma de 3 representa {(2, 1), (1, 2)} y la suma de 4 representa {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}, etc. Por tanto, puedes usar la frmula (4.2) y el espacio muestral de 36 puntos para obtener las probabilidades para las 11 sumas. P(2) = n(2) = 1 , P(3) = n(3) = 2 , P(4) = n(4) = 3 n(S) 36 n(S) 36 n(S) 36 etctera. Representacin en cuadro Seccin 4.1 Probabilidad de eventos n(S) = 36 www.fullengineeringbook.net 176 Captulo 4 Probabilidad usar un diagrama de rbol para mostrar los posibles arreglos de gnero, lo que entonces har posible la determinacin de la probabilidad. Comienza por determinar la secuencia de eventos involucrados: en este caso, nacidos en primero y segundo lugar. Usa el rbol para mostrar los posibles resulta- dos del primer evento (se muestra en azul oscuro en la figura 4.1) y despus agrega segmentos de rama para mostrar los posibles resultados para el segundo evento (que se muestra en azul claro en la figura 4.1). Notas: 1. Los dos segmentos de rama que representan B y G para el hijo nacido en segundo lugar debe dibujarse desde cada resultado para el hijo nacido en primer lugar, lo que por tanto crea la apariencia de "rbol". 2. Existen cuatro ramas; cada rama comienza en la "raz del rbol" y con- tina hasta un "extremo" (constituido por dos segmentos de rama cada uno) y muestra un posible resultado. Puesto que los segmentos de rama son igualmente probables y si supo- nes igual probabilidad de gnero, las cuatro ramas son entonces igualmente probables. Esto significa que slo necesitas el conteo de ramas para usar la frmula (4.2) para encontrar la probabilidad de la familia que tiene un hijo de cada gnero. Las dos ramas de en medio, (B, G) y (G, B), representan el evento de inters, de modo que n(A) = n(uno de cada uno) = 2, mientras que n(S) = 4, porque existe un total de cuatro ramas. En consecuencia, P(uno de cada gnero en familia de dos hijos) = 2 = 1 = 0.5 4 2 Ahora considera la seleccin de una familia de tres hijos y encuentra la probabilidad de "al menos un nio" en dicha familia. Nuevamente, la familia puede considerarse como una secuencia de tres eventos: nacidos en primero, segundo y tercer lugares. Para crear un diagrama de rbol de esta familia, necesitas agregar un tercer conjunto de segmentos de rama al diagrama de rbol de la familia con dos hijos. Los segmentos de rama azul medio repre- sentan al tercer hijo (observa la figura 4.2). De nuevo, dado que los segmentos de rama son igualmente probables y si supones igual probabilidad de gnero, las ocho ramas son entonces igual- mente probables. Esto significa que slo necesitas el conteo de ramas para Primer Segundo nacido nacido Resultados FIGURA 4.1 Representacin en diagrama de rbol* de una familia con dos hijos *Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin acerca de los diagramas de rbol. Punto de partida n(S) = 4, las cuatro ramas B = nio G = nia B G B G G B B, G G, G B, B G, B S = {(B, B,) (B, G,) (G, B,) (G, G,)} www.fullengineeringbook.net 177 Cuando una pregunta de probabilidad proporciona informacin acerca de los eventos en la forma de la probabilidad de los diferentes eventos, el nmero de objetos por conjunto, o el porcentaje de cada conjunto, con frecuencia un diagrama de Venn es una forma muy til de mostrar el espacio muestral o la informacin. Los diagramas de Venn pueden usarse para encontrar tanto probabilidades tericas como empricas. usar la frmula (4.2) para encontrar la probabilidad de la familia que tiene al menos un varn. Las siete ramas superiores tienen todas uno o ms varones, el equivalente de "al menos uno". P(al menos un nio en una familia de tres hijos) = 7 = 0.875 8 Considera otra pregunta antes de dejar este ejemplo. Cul es la proba- bilidad de que el tercer hijo en esta familia de tres hijos sea una nia? La pregunta en realidad es sencilla; la respuesta es 0.5, porque supusiste igual probabilidad de cualquier gnero. Sin embargo, si observas el diagrama de rbol de la figura 4.2, existen dos formas de ver la respuesta. Primera, si observas slo los segmentos de rama del tercer hijo, ves que en cada con- junto uno de los dos es una nia, por tanto , o 0.5. Adems, si observas el diagrama de rbol completo, el ltimo hijo es una nia en cuatro de las ocho ramas; por tanto , o 0.5. n(S) = 8, las ocho ramas S = {(B, B, B,) (B, B, G,) (B, G, B,) (B, G, G,) (G, B, B,) (G, B, G,) (G, G, B,) (G, G, G,)} FIGURA 4.2 Representacin en diagrama de rbol* de familia con tres hijos *Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin acerca de los diagramas de rbol. E J E M P L O 4 . 5 USO DE DIAGRAMAS DE VENN En el lote de automviles usados de Charlie, un cliente afortunado tendr la oportunidad de seleccionar al azar una llave de un barril lleno de llaves. El barril contiene las llaves de todos los autos del lote de Charlie. El inventario de Charlie menciona 80 automviles, de los cuales 38 son modelos extran- jeros, 50 son modelos compactos y 22 son modelos compactos extranjeros. El diagrama de Venn que se muestra en la figura 4.3 resume el inventario de Charlie. Observa que algunos de los 38 modelos extranjeros son compactos y algunos no lo son. Lo mismo es cierto de los modelos compactos; algunos 1 2 4 8 "Raz" Primer Segundo Tercer nacido nacido nacido Resultados Seccin 4.1 Probabilidad de eventos B B, B, B, B, G, G, G, G, G B B, B, G, G, G, G, B, B, B B G G G G G G G G B B B B B B B G G www.fullengineeringbook.net 178 Captulo 4 Probabilidad Siempre debes poner especial atencin al espacio muestral. Como la poblacin esta- GtVWLFDHOHVSDFLRPXHVWUDOGHEHHVWDUELHQGHQLGR8QDYH]GHQLGRHOHVSDFLRPXHVWUDO encontrars el trabajo restante mucho ms sencillo. Una probabilidad subjetiva generalmente resulta del juicio personal. El comentarista local del clima con frecuencia asigna una probabilidad al evento "precipitacin". Por ejem- SORKR\H[LVWHXQGHSUREDELOLGDGGHOOXYLDRPDxDQDH[LVWHXQDSUREDELOLGDGGHO GHQLHYH(QWDOHVFDVRVHO~QLFRPpWRGRGLVSRQLEOHSDUDDVLJQDUSUREDELOLGDGHVHV el juicio personal. Tales asignaciones de probabilidad se llaman probabilidades subjetivas. La precisin de las probabilidades subjetivas depende de la habilidad de un individuo para valorar correctamente la situacin. son extranjeros y algunos no lo son. Por tanto, cuando se descompone este tipo de informacin, debes comenzar con lo ms especfico. En este caso, 22 automviles son extranjeros y compactos; ellos se representan con la regin central del diagrama de Venn. A partir de ah, puedes determinar cuntos automviles son extranjeros pero no compactos y cuntos son compactos pero no extranjeros. Consulta la figura 4.3. T eres el afortunado cliente que gan la oportunidad de conseguir un automvil gratis en el lote de automviles usados de Charlie y ests a punto de sacar 1 de las 80 llaves. Cul es la probabilidad de que ganes un auto- mvil compacto no extranjero? Al observar el diagrama de Venn, ves que los automviles extranjeros estn dentro del crculo azul claro; en consecuencia, los automviles no extranjeros estn afuera del crculo azul claro. El evento de inters junto con no extranjero es compacto (dentro del crculo azul oscuro), que, con base en la figura 4.3, puede determinarse es 28 de dichos autom- viles. Al usar la frmula (4.2), se encuentra P(compactos no extranjeros) = 28 = 0.35 80 Convenientemente, el diagrama de Venn funcionara igualmente bien si la informacin se diera en porcentajes o probabilidades. El diagrama se vera igual, excepto que los valores seran, o probabilidades o porcentajes. Para estar seguro de que se cubri todo el espacio muestral, la suma de todas las regiones debe ser exactamente 1.0 con la finalidad de que el eti- quetado sea correcto. Nota: en ocasiones es til colocar una moneda sobre el crculo que represen- ta un evento cuando observas un evento que "no" ocurri. En el diagrama de Venn que se muestra en la figura 4.3, una moneda colocada sobre el crculo "modelos extranjeros" dejara visibles todos los modelos no extranjeros. FIGURA 4.3 Representacin en diagrama de Venn* del inventario de automviles usados de Charlie *Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin acerca de los diagramas de Venn. Modelos compactos Modelos extranjeros 16 22 28 14 www.fullengineeringbook.net 179 Propiedades de los nmeros de probabilidad Ya sea que la probabilidad sea emprica, terica o subjetiva, deben sostenerse las siguien- tes propiedades. Propiedad 1 En palabras: "Una probabilidad siempre es un valor numrico entre cero y uno." En lgebra: 0 cada P(A) o 0 cada P '(A) 1 Notas acerca de la propiedad 1: 1. La probabilidad es 0 si el evento no puede ocurrir. 2. La probabilidad es 1 si el evento ocurre todas las veces. 3. De otro modo, la probabilidad es un nmero fraccionario entre 0 y 1. Propiedad 2 En palabras: "La suma de las probabilidades para todos los resultados de un experimento es igual a exactamente uno." En lgebra: P(A) = 1 o P '(A) = 1 Nota acerca de la propiedad 2: La lista de "todos los resultados" debe ser un conjunto no traslapante de eventos que incluya todas las posibilidades (todos incluidos). Notas acerca de los nmeros de probabilidad: 1. La probabilidad representa una frecuencia relativa, ya sea de un espacio muestral o una muestra. 2. P(A) es la razn del nmero de veces que puede esperarse ocurra un evento, dividida por el nmero de posibilidades. P '(A) es la razn del nmero de veces que un evento no ocurri, dividido entre el nmero de datos. 3. El numerador de la razn de probabilidad debe ser un nmero positivo o cero. 4. El denominador de la razn de probabilidad debe ser un nmero positivo (mayor que cero). 5. Como resultado de las anteriores notas de la 1 a la 4, la probabilidad de un evento, ya sea emprica, terica o subjetiva, siempre ser un valor numrico entre cero y uno, inclusive. 6. Las reglas de la probabilidad son las mismas para los tres tipos de probabilidad: emp- rica, terica y subjetiva. Cmo se relacionan las probabilidades emprica y terica? &RQVLGHUDODURGDGXUDGHXQGDGR\GHQHHOHYHQWR$FRPRODRFXUUHQFLDGHXQ8Q dado ordinario tiene seis lados igualmente probables, de modo que la probabilidad terica del evento A es P(A) = . 4XpVLJQLFDHVWR" Esperas ver un "1" en cada ensayo de seis rodaduras? Explica. Si no, qu resultados esperas? Si rodaras el dado varias veces y sigues la pista de la proporcin del tiempo que ocurre el evento A, observaras una probabilidad emprica para el evento A. Qu valor es- SABAS QUE...? Leche en tu t? A fi nales de los vein- te, en una fi esta de t una tarde de verano en Cambridge, Inglaterra, una invitada afi rm que el t sabe diferente de- pendiendo de si el t se vierte en la leche o la leche se vierte en el t. Su afi rmacin se recibi con mucha burla. Des- pus de mucha algara- ba, un hombre, Ronald A. Fisher, propuso una forma cientfi ca de po- ner a prueba su hipte- sis: combinar la leche y el t en ambas formas, despus ofrecerle una de cada una, dos a la vez en orden aleatorio, para su identifi cacin. Rpidamente, otros se unieron a l y lo ayuda- ron con el experimento: ella identifi c correcta- mente 10 en fi la. Qu opinas? Podra decir ella la diferencia? todos los resultados todos los resultados 1 6 Seccin 4.1 Probabilidad de eventos www.fullengineeringbook.net 180 Captulo 4 Probabilidad peraras observar para P'(A)? Explica. Cmo se relacionan las dos probabilidades: P(A) y P'(A)? Explica. Para conseguir alguna comprensin de esta relacin, realiza un experimento. E J E M P L O 4 . 6 DEMOSTRACIN: LEY DE GRANDES NMEROS El experimento consistir de 20 ensayos. Cada ensayo del experimento con- sistir de rodar un dado seis veces y registrar el nmero de veces que ocurre el "1". Realiza 20 ensayos. Cada fila de la tabla 4.3 muestra los resultados de un ensayo; realiza 20 ensayos, de modo que existan 20 filas. La columna 1 menciona el nmero de 1 observada en cada ensayo (conjunto de seis rodaduras); la columna 2 mencio- na la frecuencia relativa observada para cada ensayo y la columna 3 menciona la frecuencia relativa acumulada conforme se complet cada ensayo. La figura 4.4a muestra la fluctuacin (arriba y abajo) de la probabilidad observada, P '(A) (tabla 4.3, columna 2), en torno a la probabilidad terica, P(A) = , mientras que la figura 4.4b muestra la fluctuacin de la frecuencia relativa acumulada (tabla 4.3, columna 3) y cmo se vuelve ms estable. De hecho, la frecuencia relativa acumulada se vuelve relativamente cercana a la probabilidad terica o esperada o 0.1666 = 0.167. TABLA 4.3 Resultados experimentales de rodar un dado seis veces en cada ensayo FIGURA 4.4 Fluctuaciones encontra- das en el experimento de lanzamiento del dado Ensayo Frecuencia relativa de 1 Columna 1: Columna 2: Columna 3: Columna 1: Columna 2: Columna 3: Nmero de 1 Frecuencia Frecuencia relativa Nmero de 1 Frecuencia Frecuencia relativa Ensayo observados relativa acumulada Ensayo observados relativa acumulada 1 1 1/6 1/6 = 0.17 11 1 1/6 10/66 = 0.15 2 2 2/6 3/12 = 0.25 12 0 0/6 10/72 = 0.14 3 0 0/6 3/18 = 0.17 13 2 2/6 12/78 = 0.15 4 1 1/6 4/24 = 0.17 14 1 1/6 13/84 = 0.15 5 0 0/6 4/30 = 0.13 15 1 1/6 14/90 = 0.16 6 1 1/6 5/36 = 0.14 16 3 3/6 17/96 = 0.18 7 2 2/6 7/42 = 0.17 17 0 0/6 17/102 = 0.17 8 2 2/6 9/48 = 0.19 18 1 1/6 18/108 = 0.17 9 0 0/6 9/54 = 0.17 19 0 0/6 18/114 = 0.16 10 0 0/6 9/60 = 0.15 20 1 1/6 19/120 = 0.16 Valor esperado = P(A) = 1/6 (1 de 6) 1 6 1 6 6/6 P'(A) 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 www.fullengineeringbook.net 181 E J E M P L O 4 . 7 8QDJUiFDDFXPXODGDFRPRODTXHVHPXHVWUDHQODJXUDEGHPXHVWUDODLGHD de un promedio a largo plazo y con frecuencia se conoce como la ley de los grandes nmeros. Ley de los grandes nmeros Conforme aumenta el nmero de veces que un experimento se repite, la razn del nmero de ocurrencias exitosas al nmero de ensayos tender a aproximarse a la probabilidad terica del resultado para un ensayo individual. La ley de los grandes nmeros dice que, mientras ms grande sea el nmero de ensa- yos experimentales, n, se espera que la probabilidad emprica, P'(A), est ms cerca de la probabilidad verdadera o terica, P(A). Este concepto tiene muchas aplicaciones. El ante- rior experimento de lanzamiento de dados es un ejemplo donde se pueden comparar con facilidad los resultados reales contra lo que se esperaba ocurriera; te dio la oportunidad de YHULFDUODDUPDFLyQGHODOH\GHORVJUDQGHVQ~PHURV El ejemplo 4.7 es una ilustracin en la que se vive con los resultados obtenidos a partir de grandes conjuntos de datos, cuando se desconoce la expectativa terica. USOS DE PROBABILIDADES EMPRICAS La clave para establecer primas de seguros de vida adecuados, es usar la probabilidad de que los asegurados vivirn 1, 2 o 3 aos, etc., desde el momento en que compran sus plizas. Dichas probabilidades se deducen de estadsticas reales de vida y muerte; por tanto son probabilidades empricas. El gobierno las publica y son extremadamente importantes para la industria de seguros de vida. b) Frecuencia relati- va acumulada P'(A) acum. Frecuencia relativa acumuladaEnsayo Valor esperado = P(A) = 1/6 Seccin 4.1 Probabilidad de eventos 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.20 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 www.fullengineeringbook.net 182 Captulo 4 Probabilidad Probabilidades como posibilidades Las probabilidades pueden y se expresan en muchas formas; muchas de ellas se ven y escu- chan en las noticias casi todos los das (la mayora de las veces, son probabilidades subjeti- vas). Las posibilidades son una forma de expresar las probabilidades al expresar el nmero de formas en que un evento puede ocurrir, comparado con el nmero de formas en que no SXHGHRFXUULU(OHQXQFLDGRKD\FXDWURYHFHVPiVSUREDELOLGDGHVGHTXHPDxDQDOOXHYD5 de que no llueva (NR)" es un enunciado de probabilidad que puede expresarse como posi- ELOLGDGHVODVSRVLELOLGDGHVVRQDHQIDYRUGHOOXYLDPDxDQDWDPELpQVHHVFULEH La relacin entre posibilidades y probabilidad se muestra a continuacin: Si las posibilidades en favor de un evento A son a a b (o a:b), entonces 1. Las posibilidades en contra del evento A son b a a (o b:a). 2. La probabilidad del evento A es P(A) = a . a + b 3. La probabilidad de que el evento A no ocurrir es P(A no) = b . a + b Para ilustrar esta relacin, considera el enunciado "las posibilidades en favor de lluvia PDxDQDVRQD&RQODQRWDFLyQSUHFHGHQWHa = 4 y b = 1. Por tanto, la probabilidad de OOXYLDPDxDQDHVR /DVSRVLELOLGDGHVHQFRQWUDGHOOXYLDPDxDQDVRQDR \ODSUREDELOLGDGGHTXHQRKDEUiOOXYLDPDxDQDHVR E J E M P L O A P L I C A D O 4 . 8 LLEGAR AL SIGUIENTE NIVEL Muchos jvenes aspiran a convertirse en atle- tas profesionales. Slo pocos lo consiguen, como se indica en la siguiente grfi ca. Por cada 13 600 jugadores de ftbol de ltimo ao universitario, slo 250 son selecciona- dos por un equipo profesional; ello se tra- duce en una probabilidad de slo 0.018 (250/13 600). Llegar al siguiente nivel 4 5 4 4 + 1 1 4 + 1 1 5 Estudiantes atletas Ftbol Estudiantes atletas de ltimo ao de bachillerato 306 200 Posiciones de plantilla NCAA de primer ao 17 500 Estudiantes atletas NCAA de ltimo ao 13 600 Estudiantes atletas NCAA seleccionados 250 Fuente: http://www.ncaa.org/ 250 estudiantes atletas NCAA seleccionados por profesionales 13 600 estudiantes atletas NCAA de ltimo ao 17 500 posiciones de plantilla NCAA de primer ao 306 200 estudiantes atletas de ltimo ao de bachillerato Clave: 1 baln pequeo = 500 jugadores www.fullengineeringbook.net 183 Comparacin de probabilidad y estadstica Probabilidad y estadstica son dos campos de la matemtica, separados pero relaciona- dos. Se ha dicho que "la probabilidad es el vehculo de la estadstica". Esto es: si no fuera por las leyes de la probabilidad, la teora de la estadstica no sera posible. La relacin y la diferencia entre estas dos ramas de las matemticas se ilustran al obser- YDUGRVFDMDV6HVDEHTXHODFDMDGHSUREDELOLGDGFRQWLHQHFLQFRFKDVGHSyTXHUD]XOHV cinco rojas y cinco blancas. La probabilidad trata de responder preguntas como: "si una FKDVHVDFDDOD]DUGHHVWDFDMDFXiOHVODSRVLELOLGDGGHTXHVHUiD]XO"3RURWUDSDUWH HQODFDMDGHHVWDGtVWLFDQRVHVDEHFXiOHVODFRPELQDFLyQGHFKDV6HH[WUDHXQDPXHVWUD y, con base en los hallazgos en la muestra, se hacen conjeturas acerca de lo que se cree hay en la caja. Nota la diferencia: la probabilidad te pregunta acerca de la posibilidad de que DOJRHVSHFtFRFRPRH[WUDHUXQDFKDD]XORFXUULUiFXDQGRFRQR]FDVODVSRVLELOLGDGHV (esto es: conoces la poblacin). La estadstica, por otra parte, te pide extraer una muestra, describir la muestra (estadstica descriptiva) y despus hacer inferencias acerca de la po- blacin con base en la informacin encontrada en la muestra (estadstica inferencial). Existen muchas otras interesantes particularidades ocultas en esta informa- cin. Por ejemplo, muchos jvenes de bachillerato suean con ser jugadores profesionales de ftbol, pero, de acuerdo con estos nmeros, la probabilidad de que un estudiante de ltimo ao de bachillerato sea seleccionado alguna vez por los profesionales slo es de 0.000816 (250/306 200). Una vez que un jugador llega a un equipo de ftbol universitario, puede estar muy interesado en las posibilidades que jugar como estudiante de ltimo ao. De los 17 500 jugadores que llegan a un equipo universitario el primer ao, 13 600 juegan como estudiantes de ltimo ao, mientras que 3 900 no lo hacen. Por tanto, si un jugador entra en un equipo universitario, las posibili- dades que jugar como estudiante de ltimo ao son 13 600 a 3 900, lo que se reduce de 136 a 39. El estudiante de ltimo ao universitario que juega, est interesado en sus posibilidades de pasar al siguiente nivel. Observa que, de los 13 600 estudiantes universitarios de ltimo ao, slo 250 son seleccio- nados por los profesionales, mientras que 13 350 no lo son; por tanto, las posibilidades en contra de que pase al siguiente nivel son de 13 350 a 250, lo que se reduce de 267 a 5. Las posibilidades estn fuertemente en contra de que sea seleccionado y las posibilidades en contra de que entre al equipo son un poco ms fuertes. E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 1 4.1 a. Si compras una bolsa de M&M, cul color espera- ras ver ms? Cul color menos? Por qu? b. Si compras una bolsa de M&M, esperaras encon- trar los porcentajes mencionados anteriormente en la tabla 4.2 (p. 172)? Si no, por qu y qu esperaras? 4.2D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVTXHPXHVWUHORV porcentajes de la tabla 4.2 (p. 172) obtenidos de los 692 M&M. E &RQEDVHHQWXJUiFDFXiOFRORUGH0 0RFXUULy con ms frecuencia? Cmo se muestra esto en tu JUiFD" F &RQEDVHHQWXJUiFDFXiOFRORUGH0 0RFXUULy PHQRV"&yPRVHPXHVWUDHVWRHQWXJUiFD" 4.36LWHGLHUDQXQDEROVDSHTXHxDGH0 0FRQGXOFHVHQ ella, con los porcentajes de la tabla 4.2 (p. 172), cuntos de cada color "esperaras" encontrar? Seccin 4.1 Probabilidad de eventos Probabilidad (5A, 5R, 5B) Estadstica ?, ?, ? www.fullengineeringbook.net 184 Captulo 4 Probabilidad 4.4&XDGURVPDORV"7DOFRPRKD\JUiFDVPDODVFRPRYLV- te en la seccin 2.7), existen cuadros malos, cuadros que son confusos y difciles de leer. MADD report los siguientes da- WRVDFHUFDGH ODVPXHUWHVSRUDFFLGHQWHVGH WUiFRHQ das festivos que ocurrieron en 2002. Qu est mal con los nmeros de este cuadro? Muertes Muertes relacionadas Da festivo 2002 de trfico con alcohol Vspera de Ao Nuevo (2001) 118 45 Da de Ao Nuevo 165 94 Fiesta de Ao Nuevo 575 301 Domingo de Super Tazn 147 86 Da de san Patricio 158 72 Da de los Cados 491 237 Cuatro de Julio 683 330 Fin de semana Da del Trabajo 541 300 Halloween 268 109 Accin de Gracias 543 255 Accin de Gracias; Ao Nuevo 4 019 1 561 Navidad 130 68 Vspera de Ao Nuevo (2002) 123 57 a. Los totales de columna no estn incluidos porque seran YDORUHVLQVLJQLFDQWHV([DPLQDODWDEOD\H[SOLFDSRUTXp b. Cul es el nmero total de muertes en accidentes de tr- FRUHODFLRQDGRVFRQDOFRKROORVGtDVIHVWLYRVSDUD" c. Describe cmo organizaras este cuadro para hacerlo ms VLJQLFDWLYR 4.5 Si ruedas un dado 40 veces y 9 de las rodaduras resultan en un "5", qu probabilidad emprica observas para el evento? 4.6 Explica por qu una probabilidad emprica, una propor- cin observada y una frecuencia relativa en realidad son tres nombres diferentes para la misma cosa. 4.7 Mi clase observa demasiada televisin las noches de escuela? sta fue una pregunta que la Sra. Gordon plante respecto a sus estudiantes de sptimo grado. Ella realiz una encuesta rpida en clase y descubri los siguientes resultados: a. Qu porcentaje de la clase no observa televisin las noches de escuela? b. Qu porcentaje de la clase observa cuando mucho 2 horas de televisin las noches de escuela? c. Qu porcentaje de la clase observa al menos 4 horas de televisin las noches de escuela? 4.8 Webster Aquatic Center ofrece varios niveles de leccio- QHVGHQDWDFLyQ WRGRHO DxR/DV OHFFLRQHVYHVSHUWLQDVGH OX- nes y mircoles en septiembre de 2008 incluyeron clases desde %HEpVDFXiWLFRVKDVWD$GXOWRV(OQ~PHURHQFDGDFODVLFDFLyQ se proporciona en la siguiente tabla. Si un participante se selecciona al azar, encuentra la probabi- lidad de lo siguiente: a. El participante est en Bucitos. b. El participante est en la leccin de Adultos. c. El participante est en una leccin del Nivel 2 al Nivel 5. 4.9 La siguiente tabla muestra el nmero promedio de naci- mientos por da en Estados Unidos, segn reporta el CDC (Cen- tros para Control de Enfermedades, por sus siglas en ingls). Con base en esta informacin, cul es la probabilidad de TXHXQEHEpLGHQWLFDGRDOD]DU a. Naciera en lunes? E 1DFLHUDHQQGHVHPDQD" c. Naciera en martes o mircoles? d. Naciera en mircoles, jueves o viernes? 4.10 La Encuesta de Poblacin Actual 2007 report los si- guientes resultados en el ingreso domstico anual estadouni- dense (en miles). La encuesta es un esfuerzo conjunto entre la RFLQDGHOFHQVR\HOGHSDUWDPHQWRGHHVWDGtVWLFDVODERUDOHV Supn que un hogar se selecciona al azar para una entrevista de seguimiento. Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos: a. El ingreso domstico anual es $49 999 o menos. Fuente: Madres Contra Conducir Alcoholizados (MADD, por sus siglas en ingls). http://www.infoplease.com/ Horas Nmero 0 2 1 3 2 2 3 0 4 3 5 2 6 1 Tipos de clase natacin Nm. de participantes Bebs acuticos 9 Bucitos 7 Renacuajos 6 Nivel 2 11 Nivel 3 10 Nivel 4 9 Nivel 5 3 Adultos 2 Total 57 Da Nmero Domingo 7 563 Lunes 11 733 Martes 13 001 Mircoles 12 598 Jueves 12 514 Viernes 12 396 Sbado 8 605 Total 78 410 Ingreso domstico anual Nmero Menos que $15 000 15 506 $15 000-$29 999 19 842 $30 000-$49 999 22 739 $50 000-$74 999 21 268 $75 000-$99 999 13 841 $100 000 o ms 23 586 Total 116 782 Fuente: http://www.census.gov/ www.fullengineeringbook.net 185 b. El ingreso domstico anual es $75 000 o ms. c. El ingreso domstico anual est entre $30 000 y $99 999. d. El ingreso domstico anual es al menos $100 000. 4.11 Existe una gran variacin en precio para universidades SULYDGDVGHFXDWURDxRVHQ(VWDGRV8QLGRV/DVPDWUtFXODVSUR- medio y las tarifas 2007-2008 variaron de $3 000 a ms de DO DxR GH DFXHUGR FRQ &ROOHJH%RDUG ZZZFROOH- geboard.com/). La distribucin de estudiantes de pregrado de WLHPSRFRPSOHWRHQLQVWLWXFLRQHVSULYDGDVGHFXDWURDxRVHV Porcentaje de estudiantes pregrado Matrcula y tarifas tiempo completo $36 000 y ms 5 $33 000 a $35 999 14 $30 000 a $32 999 8 $27 000 a $29 999 8 $24 000 a $26 999 17 $21 000 a $23 999 12 $18 000 a $20 999 11 $15 000 a $17 999 9 $12 000 a $14 999 6 $9 000 a $11 999 2 $6 000 a $8 999 2 $3 000 a $5 999 6 100 % Si supones que un estudiante universitario en una institucin SULYDGDGHFXDWURDxRVVHVHOHFFLRQDDOD]DUSDUDSDUWLFLSDUHQ una encuesta, cul es la probabilidad de que el estudiante: a. Asista a una universidad que cuesta menos de $12 000 DODxR" b. Asista a una universidad que cuesta $30 000 o ms DODxR" c. Asista a una universidad que cuesta entre $15 000 \DODxR" d. Asista a una universidad que cuesta menos de $3 000 DODxR" 4.12 Una caja contiene uno de cada billete de $1, $5, $10 y $20. a. Un billete se selecciona al azar; menciona el espacio muestral. b. Dos billetes se extraen al azar (sin sustitucin); menciona el espacio muestral como un diagrama de rbol. 4.13 Un nmero de un solo dgito se selecciona al azar. a. Menciona el espacio muestral. b. Cul es la probabilidad de cada dgito solo? c. Cul es la probabilidad de un nmero par? 4.14 Se rueda un solo dado. Cul es la probabilidad de que el nmero en la parte superior sea el siguiente? a. Un 3 b. Un nmero impar c. Un nmero menor que 5 d. Un nmero no mayor que 3 4.15 Un tazn contiene dos tipos de huevos de chocolate de apariencia idntica, envueltos en aluminio. Todos menos 42 son chocolates de leche y todos menos 35 son de chocolate oscuro. a. Cuntos de cada tipo hay en el tazn? b. Cuntos chocolates hay en el tazn? c. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que sea chocolate de leche? d. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea chocolate de leche u oscuro? e. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que sea chocolate de leche y oscuro? 4.16 Un tazn contiene tres tipos de huevos de chocolate de apariencia idntica, envueltos en aluminio. Todos menos 50 son chocolate de leche, todos menos 50 son de chocolate oscu- ro y todos menos 50 son de chocolate semiamargo. a. Cuntos chocolates hay en el tazn? b. Cuntos de cada tipo hay en el tazn? c. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que sea chocolate de leche? d. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea chocolate de leche u oscuro? e. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea chocolate de leche y oscuro? 4.17 Usa la tabla de nmeros aleatorios (apndice B), una cal- culadora o una computadora (vase la p. 90) para simular lo siguiente: a. La rodadura de un dado 50 veces; expresa tus resultados como frecuencias relativas. b. El lanzamiento de una moneda 100 veces; expresa tus resultados como frecuencias relativas. 4.18 Usa la tabla de nmeros aleatorios (apndice B), una calculadora o una computadora (vase la p. 90), para simular la seleccin aleatoria de 100 nmeros de un solo dgito, del 0 al 9. a. Menciona los 100 dgitos. b. Prepara una distribucin de frecuencias relativas de los 100 dgitos. c. Prepara un histograma de frecuencias relativas de la distribucin del inciso b. 4.19 Rueda un par de dados. En el ejemplo 4.3 se discuti la probabilidad para cada una de las posibles sumas y se encon- Seccin 4.1 Probabilidad de eventos www.fullengineeringbook.net 186 Captulo 4 Probabilidad traron tres de las probabilidades, P(2), P(3) y P(4). Encuentra la probabilidad para cada una de las sumas restantes de los dos dados: P(5), P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) y P(12). 4.20 Rueda dos dados. Encuentra las probabilidades en los incisos b-e. Usa el espacio muestral dado en el ejemplo 4.3 (p. 175). a. Por qu el conjunto {2, 3, 4, . . . , 12} no es un espacio muestral til? b. P(dado blanco es nmero impar) c. P(suma es 6) d. P(ambos dados muestran nmeros impares) e. P(nmero en dado negro es mayor que nmero en dado blanco) 4.21 Toma dos dados (uno blanco y uno de color) y rudalos 50 veces; registra los resultados como pares ordenados [(blan- co, color); por ejemplo (3, 5), representa 3 en el dado blanco y 5 en el dado de color]. (Podras simular estas 50 rodaduras con una tabla de nmeros aleatorios o una computadora.) Despus calcula cada probabilidad observada: a. P '(dado blanco es nmero impar) b. P '(suma es 6) c. P '(ambos dados muestran nmeros impares) d. P '(nmero en dado de color es mayor que nmero en dado blanco) e. Explica por qu dichas respuestas y las que encontraste en el ejercicio 4.20 no son exactamente iguales. 4.22 Usa una tabla de nmeros aleatorios o una computadora para simular la rodadura de un par de dados 100 veces. a. Menciona los resultados de cada rodadura como un par ordenado y una suma. b. Prepara una distribucin de frecuencias no agrupadas y un histograma de las sumas. c. Describe cmo dichos resultados se comparan con lo que esperas ocurra cuando dos dados se ruedan. MINITAB Elige: Calc > Random Data > Integer Escribe: Nmero de filas a generar: 100 Almacenar en columna(s): C1 C2 Valor mnimo: 1 Valor mximo: 6 > OK Elige: Calc > Calculator Escribe: Almacenar resultado en variable: C3 Expresin: C1 + C2 > OK Elige: Stat > Tables > Tally Individual Variables Escribe: Variable: C3 Selecciona: Counts > OK Usa los comandos MINITAB de la pgina 52 para construir un histograma de frecuencias de los datos en C3. (Usa Binning > midpoint y posiciones de punto medio 2:12/1 si es necesario.) Excel Escribe 1, 2, 3, 4, 5, 6 en la columna A, etiqueta C1: Dado1; D1: Dado2; E1: Rodar y activa B1. Elige: Home > Number pulldown > Number > Category: Number Escribe: Lugares decimales: 8 > OK Escribe: 1/6 en B1 Arrastra: Esquina inferior derecha de B1 abajo para 6 entradas Elige: Data > Data Analysis > Random Number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 2 Nmero de nmeros aleatorios: 100 Distribucin: Discrete Valor y rango de entrada de probabilidad: (A1:B6 o selecciona celdas) Selecciona: Output Range Escribe: (C2 o selecciona celdas) > OK Activa la celda E2. Escribe: = C2 + D2 > Enter Arrastra: Esquina inferior derecha de E2 abajo para 100 entradas Elige: Insert > Tables > Pivot Table pulldown > Pivot Chart Selecciona: Selecciona una tabla o rango Escribe: Rango: (E1:E101 o selecciona celdas) > Next Selecciona: Hoja de clculo existente Escribe: (F1 o selecciona celdas) > OK En tabla pivote Arrastra: Encabezado "Rueda" en ambos Campos Eje y rea de valores Selecciona: Defer Layout Update > Update Haz doble clic en "suma de rueda" en el recuadro del rea de datos; despus contina con: Selecciona: Resumir por: Count Etiqueta la columna J "sumas" e ingresa los nmeros 2, 3, 4,..., 12 en ella. Usa los comandos de histograma de Excel de la pgina 53 con la columna E como el rango de entrada y la columna J como el rango de caja, o usa el cuadro dado. TI-83/84 Plus Elige: MATH > PRB > 5:randInt( Escribe: 1,6, 100) Elige: STO > 2nd L1 Repite lo anterior para L2. www.fullengineeringbook.net 187 Elige: STAT > EDIT > 1:Edit Resalta: L3 Escribe: L3 = L1 + L2 Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot1 Elige: WINDOW Escribe: .5, 12.5, 1, 10, 40, 10, 1 Elige: TRACE > > > 4.23 Sea xODFODVLFDFLyQGHp[LWRGHXQQXHYRSURJUDPDGH televisin. La siguiente tabla menciona las probabilidades sub- jetivas asignadas a cada x para un nuevo programa particular por tres diferentes crticos de medios. Cul de estos conjuntos de probabilidades son inadecuados porque violan una regla b- sica de probabilidad? Explica. Crtico A B C Enormemente exitoso 0.5 0.6 0.3 Exitoso 0.4 0.5 0.3 No exitoso 0.3 0.1 0.3 4.24 a. Una moneda equilibrada se lanza dos veces. Men- ciona un espacio muestral que presente los posibles resultados. b. Una moneda con truco (favorece las caras en una razn de 3 a 1) se lanza dos veces. Menciona un es- pacio muestral que presente los posibles resultados. 4.258QJUXSRGHDUFKLYRVHQXQDFOtQLFDPpGLFDFODVLFDD los pacientes por gnero y por tipo de diabetes (tipo 1 o tipo 2). Los agrupamientos pueden mostrarse del modo siguiente. La WDEODSURSRUFLRQDHOQ~PHURHQFDGDFODVLFDFLyQ a. Muestra la informacin en esta tabla 2 2 como un diagrama de Venn usando "tipo 1" y "hombre" como los dos eventos mostrados como crculos. Explica cmo el diagrama de Venn y la tabla dada 2 2 muestran la mis- ma informacin. Si un archivo se selecciona al azar, encuentra la probabilidad de lo siguiente: b. El individuo seleccionado es mujer. c. El individuo seleccionado tiene diabetes tipo 2. 4.26 Los investigadores han estado interesados desde hace mucho tiempo en la relacin entre tabaquismo y cncer pul- monar. La siguiente tabla muestra los porcentajes de mujeres adultas observadas en un estudio reciente. Fuma No fuma Tiene cncer 0.06 0.03 No tiene cncer 0.15 0.76 a. Muestra la informacin en esta tabla 2 2 como un diagrama de Venn usando "fuma" y "tiene cncer" como los dos eventos mostrados como crculos. Explica cmo el diagrama de Venn y la tabla dada 2 2 muestran la misma informacin. Supn que una mujer adulta se selecciona al azar de esta po- blacin particular. Cul es la probabilidad de lo siguiente? b. Fuma y tiene cncer. c. Fuma. d. No tiene cncer. e. No fuma o no tiene cncer. f. Tiene cncer si fuma. g. No tiene cncer y se sabe que no fuma. 4.27 Una tienda de autopartes vende partes tanto nuevas como usadas. Sesenta por ciento de las partes en el almacn son usa- GDV6HVHQWD\XQRSRUFLHQWRVRQXVDGDVRGHIHFWXRVDV6L de las partes de la tienda son defectuosas, qu porcentaje es tanto usado como defectuoso? Resuelve usando un diagrama de Venn. 4.28)XQFLRQDULRVVLQGLFDOHVUHSRUWDQTXHGHORV WUDED MDGRUHVHQXQDJUDQIiEULFDSHUWHQHFHQDOVLQGLFDWRJD QDQPiV GH SRU KRUD \ SHUWHQHFHQ DO VLQGLFDGR \ ganan ms de $12 por hora. Son crebles estos porcentajes? Explica. Resuelve usando un diagrama de Venn. 4.29 a. Explica qu se entiende por el enunciado: "Cuando se rueda un solo dado, la probabilidad de un 1 es ". b. Explica qu se entiende por el enunciado: "Cuando se lanza una moneda una vez, hay una posibilidad de 50-50 de obtener cara". 4.30 Ejercicio Applet Skillbuilder Demues- tra la ley de grandes nmeros y tambin te permite ver si tienes po- deres psquicos. Repite las simulaciones al me- nos 50 veces y adivina entre elegir una carta roja o una carta negra de un mazo de cartas. a. Qu proporcin del tiempo adivinas correctamente? b. Conforme realizas ms pronsticos, tus proporciones comienzan a estabilizarse? Si es as, en qu valor? Este valor tiene sentido para el experimento? Por qu? c. Cmo puedes saber si tienes PES (percepcin extrasen- sorial)? 4.31 Un experimento consiste en dos ensayos. El primero es lanzar una moneda y observar si aterriza con cara o cruz hacia Tipo de Diabetes Gnero 1 2 Hombre 30 15 Mujer 35 20 Applets Skillbuilder disponibles en lnea a travs de cengagebrain.com.1 6 Seccin 4.1 Probabilidad de eventos www.fullengineeringbook.net 188 Captulo 4 Probabilidad arriba; el segundo es rodar un dado y observar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. a. Construye el espacio muestral con un diagrama de rbol. b. Menciona tus resultados como pares ordenados, con el primer elemento que representa la moneda y el segundo, el dado. 4.32 Usa una computadora (o una tabla de nmeros aleato- rios) para simular 200 ensayos del experimento descrito en el ejercicio 4.31: el lanzamiento de una moneda y la rodadura de un dado. Sea 1 = H (cara) y 2 = T (cruz) para la moneda y 1, 2, 3, 4, 5, 6 para el dado. Reporta tus resultados con una tabla cruzada que muestre la frecuencia de cada resultado. a. Encuentra la frecuencia relativa para cara. b. Encuentra la frecuencia relativa para 3. c. Encuentra la frecuencia relativa para (H, 3). 4.33 Con una moneda, realiza el experimento discutido en las pginas 180-181. Lanza una moneda 10 veces, observa el n- mero de caras (o coloca 10 monedas en una taza, agtala y va- cala en una caja; usa cada lanzamiento para un bloque de 10) y registra los resultados. Repite hasta que tengas 200 lanza- PLHQWRV)RUPDXQFXDGUR\JUDFDORVGDWRVFRPRFRQMXQWRV individuales de 10 y como frecuencias relativas acumuladas. 7XVGDWRVWLHQGHQDDSR\DUODDUPDFLyQGHTXHP(cara) = ? Explica. 4.34 Un kiss de chocolate se lanzar al aire y aterrizar so- EUHXQDVXSHUFLHOLVDGXUDVLPLODUDODQ]DUXQDPRQHGDRUR dar un dado). a. Qu proporcin del tiempo crees que el kiss aterrizar "punta arriba" (en oposicin a "punta abajo" ? b. Estima la probabilidad de que un kiss de chocolate ate- UULFHSXQWDDUULEDFXDQGRDWHUULFHVREUHXQDVXSHUFLH lisa dura despus de lanzarlo. Con un kiss de chocolate, todava con la envoltura, realiza el experimento de dados discutido en las pginas 180-181. Lanza el kiss 10 veces, registra el nmero de aterrizajes "punta arriba" (o coloca 10 kissesHQXQDWD]DDJtWDOD\YDFtDODHQXQDVXSHUFLH lisa dura; usa cada lanzamiento para un bloque de 10) y registra los resultados. Repite hasta que tengas 200 ODQ]DPLHQWRV)RUPDXQDWDEOD\JUDFDORVGDWRVFRPR conjuntos individuales de 10 y como frecuencias relativas acumuladas. c. Cul es tu mejor estimacin para la verdadera P( )? Explica. d. Si se lanzaran kisses sin envoltura, cul crees que sera la probabilidad de los aterrizajes "punta arriba"? Sera diferente? Explica. e. Desenvuelve los kisses de chocolate del inciso b y repite el experimento. f. Los resultados del inciso e son lo que anticipaste? Ex- plica. 4.35 Una caja contiene canicas de cinco colores diferentes: rojo, verde, azul, amarillo y morado. Hay un nmero igual de cada color. Asigna probabilidades a cada color en el espacio muestral. 4.36 Supn que una caja de canicas contiene igual nmero de canicas rojas y amarillas, pero el doble de canicas verdes que de canicas rojas. Saca una canica de la caja y observa su color. Asigna probabilidades a los elementos en el espacio muestral. 4.37 Si cuatro veces ms estudiantes aprueban un curso de estadstica que los que reprueban y un estudiante de estadstica se selecciona al azar, cul es la probabilidad de que el estu- diante aprobar estadstica? 4.38/RVHYHQWRV$%\&VHGHQHQHQHOHVSDFLRPXHVWUDO S. Sus correspondientes conjuntos de puntos muestrales no in- tersecan y su unin es S. Ms an, el evento B es dos veces ms probable que ocurra que el evento A y el evento C es dos veces ms probable que ocurra que el evento B. Determina la probabilidad de cada uno de los tres eventos. 4.39 Las posibilidades para que los Santos ganen el Super Ta- ]yQGHOSUy[LPRDxRVRQGHD a. Cul es la probabilidad de que los Santos ganen el Super 7D]yQGHOSUy[LPRDxR" b. Cules son las posibilidades en contra de que los Santos JDQHQHO6XSHU7D]yQGHOSUy[LPRDxR" 4.40 La temporada varonil de bsquetbol NCAA comienza FRQHTXLSRVXQLYHUVLWDULRVWRGRVVRxDQGRHQOOHJDUDHO gran baile" y lograr el campeonato nacional. Para el torneo se seleccionan 65 equipos y slo uno gana todo. a. Cules son las posibilidades en contra de que un equipo se seleccione para el torneo? b. Cules son las posibilidades de un equipo que est en el torneo de ganar el campeonato nacional? c. Espera un minuto! Qu suposicin hiciste para respon- der las preguntas anteriores? Esto parece real? 4.41 Alan Garole fue un jockey en la carrera Saratoga Springs durante la temporada del 23/7/08 al 1/9/08. Tuvo 195 arran- cadas, con 39 primeros lugares, 17 segundos lugares y 28 terceros lugares. Si todas las condiciones de la temporada de carreras 2008 se mantuvieran para Alan Garole al inicio de la temporada 2009, cules habran sido: a. Las posibilidades en favor de que Alan Garole termine en pri- mer lugar durante la temporada de carreras 2009 en Saratoga? 1 2 www.fullengineeringbook.net 189 b. La probabilidad de que Alan Garole llegue en primer lugar durante la temporada de carreras 2009 en Saratoga? F /DVSRVLELOLGDGHVHQIDYRUGHODFODVLFDFLyQGH$ODQ Garole (que termine en primer, segundo o tercer lugar) durante la temporada de carreras 2009 en Saratoga? G /DVSUREDELOLGDGHVGHODFODVLFDFLyQGH$ODQ*DUROH durante la temporada de carreras 2009 en Saratoga? e. Con base en los estadsticos anteriores, apostaras que $ODQ*DUROHOOHJDUiHQSULPHURRVHFODVLFDUi"3RU qu? 4.42 El ejemplo aplicado 4.8, "Llegar al siguiente nivel", de la pgina 182, usa dos grandes balones de ftbol en el fondo de ODJUiFD6LODHVFDODXVDGDSDUDODSDUWHVXSHULRUGHODJUi- FDVHXVDUDSDUDORVHVWXGLDQWHVGH~OWLPRDxRGHEDFKLOOHUDWR FXiQWRVEDORQHVGHI~WEROSHTXHxRVVHQHFHVLWDUtDQ" 4.43 Muchos jvenes aspiran a convertirse en atletas profesio- nales. Slo algunos lo consiguen, como se indica en la tabla. Estudiantes atletas Bisbol Estudiantes atletas de bachillerato 470 671 Estudiantes atletas ltimo ao de bachillerato 134 477 Estudiantes atletas NCAA 28 767 Posiciones de plantilla NCAA de primer ao 8 219 Estudiantes atletas NCAA de ltimo ao 6 393 Estudiantes atletas NCAA seleccionados 600 a. Cules son las posibilidades en favor de que un atleta de EDFKLOOHUDWRMXHJXHFRPRHVWXGLDQWHGH~OWLPRDxR1&$$" b. Cules son las posibilidades en contra de que un jugador YDURQLOGHEpLVEROTXHOOHJXHDSRVLFLyQGHSULPHUDxR NCAA, sea seleccionado por un equipo profesional? c. Cul es la probabilidad de que un estudiante atleta de ~OWLPRDxRGHEDFKLOOHUDWRVHDVHOHFFLRQDGRSRUXQHTXLSR profesional de bisbol? d. Cul es la probabilidad de que un estudiante atleta de ~OWLPRDxRGHEDFKLOOHUDWRWRGDYtDMXHJXHEpLVEROFRPR HVWXGLDQWHDWOHWDGH~OWLPRDxR1&$$" 4.44 Muchas mujeres jvenes aspiran a convertirse en atletas profesionales. Slo algunas lo consiguen, como se indica en la tabla. Estudiantes atletas Bsquetbol femenil Estudiantes atletas de bachillerato 452 929 Estudiantes atletas ltimo ao bachillerato 129 408 Estudiantes atletas NCAA 15 096 Posiciones de plantilla NCAA de primer ao 4 313 Estudiantes atletas NCAA de ltimo ao 3 355 Estudiantes atletas NCAA seleccionadas 32 a. Cules son las posibilidades en favor de que una atleta de bachillerato sea seleccionada por un equipo de bs- quetbol profesional? b. Cules son las posibilidades en contra de que una jugadora de bsquetbol, que est en la plantilla universita- ULDGHSULPHUDxRMXHJXHFRPRHVWXGLDQWHGH~OWLPRDxR" c. Cul es la probabilidad de que una estudiante atleta de ~OWLPRDxRGHEDFKLOOHUDWRVHDVHOHFFLRQDGDSRUXQHTXLSR profesional de bsquetbol? d. Cul es la probabilidad de que una estudiante atleta GH~OWLPRDxR1&$$VHDVHOHFFLRQDGDSRUXQHTXLSRGH bsquetbol profesional? 4.45 Un tazn contiene cuatro tipos de huevos de chocolate de apariencia idntica, envueltos en aluminio. Todos menos 50 de ellos son de chocolate de leche, todos menos 50 son de cho- colate oscuro, todos menos 50 son de chocolate semiamargo y todos menos 60 son de chocolate blanco. a. Cuntos huevos de chocolate hay en el tazn? b. Cuntos de cada tipo de chocolate hay en el tazn? c. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea chocolate blanco? d. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea chocolate blanco o de leche? e. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que sea chocolate de leche y oscuro? f. Si dos chocolates se seleccionan al azar, cul es la pro- babilidad de que ambos sean de chocolate blanco? g. Si dos chocolates se seleccionan al azar, cul es la pro- babilidad de que uno sea de chocolate oscuro y uno sea de chocolate semiamargo? h. Si dos chocolates se seleccionan al azar, cul es la pro- babilidad de que ninguno sea de chocolate de leche? 4.46 Un tazn contiene 100 huevos de chocolate de apariencia idntica, envueltos en aluminio. Los huevos son de chocolate de leche, de chocolate oscuro; con relleno, o de nuez, o de pa- sas. Todos menos 40 de ellos son de chocolate de leche, todos menos 56 son de nuez y todos menos 29 estn llenos de nuez o son de chocolate de leche. a. Cuntos de cada tipo de chocolate hay en el tazn? b. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que sea chocolate de leche? c. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea oscuro o con pasas? (contina en la pgina 190) Seccin 4.1 Probabilidad de eventos www.fullengineeringbook.net 190 Captulo 4 Probabilidad Muchas de las probabilidades que ves o escuchas diariamente son resultado de condicio- nes existentes en el momento. En esta seccin aprenders acerca de las probabilidades condicionales. Probabilidad condicional de que un evento ocurrir Una probabilidad con- dicional es la frecuencia relativa con la que puede esperarse que ocurra un evento bajo la condicin de que se conoce informacin adicional preexistente acerca de algn otro evento. P(A | B) se usa para simbolizar la probabilidad de que el evento A ocurre bajo la condicin de que ya se conoce la existencia del evento B. 4.2 Probabilidad condicional de eventos d. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea oscuro o con pasas? e. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la proba- bilidad de que no sea oscuro ni con pasas? f. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que no sea oscuro pero s de nuez? g. Si un chocolate se selecciona al azar, cul es la probabi- lidad de que sea de leche o de nuez? 4.47 Cul de los siguientes ilustra la probabilidad? La es- tadstica? a. Determinar cun probable es que un "6" resulte cuando se ruede un dado. b. Estudiar los pesos de 35 bebs para estimar la ganancia de peso en el primer mes despus del nacimiento. 4.48 Cul de los siguientes ilustra la probabilidad? La estadstica? a. Recolectar el nmero de horas crdito de 100 estudiantes para estimar el nmero promedio de horas crdito por estudiante en una universidad pblica particular. b. Determinar cun probable es ganar la lotera de Nueva York. 4.49&ODVLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFRPRXQSUREOHPD de probabilidad o uno de estadstica: a. Determinar si un nuevo medicamento reduce el tiempo de recuperacin de cierta enfermedad. b. Determinar la posibilidad de que resulte cara cuando se lance una moneda. c. Determinar la cantidad de tiempo de espera requerido para salir de cierta tienda. d. Determinar la posibilidad de que te repartan un "black jack". 4.50&ODVLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFRPRXQSUREOHPD de probabilidad o uno de estadstica: a. Determinar cunto tiempo tarda en responderse una con- VXOWDWHOHIyQLFDWtSLFDHQXQDRFLQDGHELHQHVUDtFHV b. Determinar la esperanza de vida de una bombilla de 100 ZDWWVSURGXFLGDSRUXQDFRPSDxtD c. Determinar la posibilidad de sacar una bola azul de un tazn que contiene 15 bolas, de las cuales 5 son azules. d. Determinar la resistencia al corte de los remaches que tu FRPSDxtDUHFLpQFRPSUySDUDFRQVWUXLUDYLRQHV e. Determinar la posibilidad de sacar "dobles" cuando rue- das un par de dados www.fullengineeringbook.net 191 Algunas formas de decir o expresar la probabilidad condicional, P(A | B), son: 1. La "probabilidad de A, dado B" 2. La "probabilidad de A, con B conocido" 3. La "probabilidad de que ocurra A, sabiendo que B ya ocurri" El concepto de probabilidad condicional en realidad es muy familiar y ocurre con mucha frecuencia sin que incluso uno est consciente de ello. Las noticias en los medios de comunicacin con frecuencia reportan muchos valores de probabilidad condicional. Sin embargo, no aclaran que se trata de una probabilidad condicional y simplemente pasa como aritmtica cotidiana, como ilustra el siguiente ejemplo. Nota: las primeras dos son probabilidades simples, mientras que las ltimas dos son pro- babilidades condicionales. E J E M P L O 4 . 9 CMO ENCONTRAR PROBABILIDADES A PARTIR DE UNA TABLA DE PORCENTAJES A partir de una encuesta de salida nacional de 13 660 votantes en 250 distritos a lo largo del pas durante la eleccin presidencial de 2008, se tiene lo siguiente: Una persona se selecciona al azar de la muestra de 13 660 votantes. Con la tabla, encuentra las respuestas a las siguientes preguntas de probabilidad. 1. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre? Respuesta: 0.48. Expresado en forma de ecuacin: P(votante seleccionado es hombre) = 0.48 2. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada sea de edad 18 a 29? Respuesta: 0.14. Expresado en forma de ecuacin: P(votante seleccionado es de edad 18 a 29) = 0.14 3. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada vot por McCain, sabiendo que el votante era mujer? Respuesta: 0.46. Expresado en forma de ecuacin: P(McCain | mujer) = 0.46 4. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada vot por Obama, si el votante tena 65 o ms? Respuesta: 0.52. Expresado en forma de ecuacin: P(Obama | 65 o ms) = 0.52 Porcentaje Porcentaje Porcentaje Porcentaje Gnero de votantes para Obama para McCain para otros Hombres 48 44 54 2 Mujeres 52 56 46 1 Edad 18 a 29 14 63 36 1 30 a 44 27 44 55 1 45 a 64 39 45 44 1 65 y ms 20 52 48 0 Todos los porcentajes de la tabla anterior estn al entero ms cercano. Seccin 4.2 Probabilidad condicional de eventos www.fullengineeringbook.net 192 Captulo 4 Probabilidad E J E M P L O 4 . 1 0 CMO ENCONTRAR PROBABILIDADES A PARTIR DE UNA TABLA DE CONTEO DE DATOS A partir de una encuesta de salida nacional de 1 000 votantes en 25 distritos en todo el pas durante la eleccin presidencial 2008, se tiene lo siguiente: Una persona se selecciona al azar de la muestra anterior de 1 000 vo- tantes. Con la tabla, encuentra las respuestas a las siguientes preguntas de probabilidad. 1. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada haya votado por McCain, sabiendo que el votante es graduado de bachillerato? Respuesta: 103/220 = 0.46818 = 0.47. Expresado en forma de ecuacin: P(McCain | grado bachillerato) = 103/220 = 0.46818 = 0.47 2. Cul es la probabilidad de que la persona seleccionada haya votado por Obama, dado que el votante tiene alguna educacin universitaria? Respuesta: 172/320 = 0.5375 = 0.54. Expresado en forma de ecuacin: P(Obama | universidad incompleta) = 172/320 = 0.5375 = 0.54 3. Si sabes que la persona seleccionada vot por McCain, cul es la probabilidad de que el votante tenga una educacin de posgrado? Respuesta: 88/477 = 0.1844 = 0.18. Expresado en forma de ecuacin: P(posgrado | McCain) = 88/477 = 0.1844 = 0.18 4. Dado que la persona seleccionada vot por Obama, cul es la pro- babilidad de que el votante no tenga educacin de bachillerato? Respuesta: 19/510 = 0.0372 = 0.04. Expresado en forma de ecuacin: P(no bachillerato | Obama) = 19/510 = 0.0372 = 0.04 Notas: 1. La notacin de probabilidad condicional es muy informativa y til. Cuando expresas una probabilidad condicional en forma de ecuacin, tienes la ventaja de usar la no- tacin ms completa; de esa forma, cuando leas nuevamente la informacin, toda la informacin estar ah. 2. Cuando encuentres una probabilidad condicional, algunas de las posibilidades se eli- minarn tan pronto como la condicin se conozca. Considera la pregunta 4 del ejemplo 4.10. Tan pronto como se enuncia el condicional "dado que la persona seleccionada vot por Obama", se eliminan los 447 que votaron por McCain y los 13 que votaron por otros, lo que deja los 510 posibles resultados. Nmero Nmero Nmero Nmero Educacin por Obama por McCain por otros de votantes No bachillerato 19 20 1 40 Grado bachillerato 114 103 3 220 Universidad incompleta 172 147 1 320 Ttulo universitario 135 119 6 260 Posgrado 70 88 2 160 510 477 13 1000 www.fullengineeringbook.net 193 E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 2 4.51 A 300 televidentes se les pregunta si estuvieron satis- fechos con la cobertura de televisin de un desastre reciente. Un televidente se selecciona al azar de dicha encuesta. a. Encuentra P(satisfecho) c. Encuentra P(S | hombre) b. Encuentra P(S | mujer) 4.52 /DVPDxDQDVGHViEDGRVRQPRPHQWRVDWDUHDGRVHQHO Centro Acutico Webster. Las lecciones de natacin, que van desde Nivel 2 de Cruz Roja, habilidades acuticas fundamen- tales, hasta Nivel 6 de Cruz Roja, pericia en natacin y habili- dades, se ofrecen durante dos sesiones. Nmero de personas Nmero de personas Nivel en clase de 10 a.m. en clase de 11 a.m. 2 12 12 3 15 10 4 8 8 5 2 0 6 2 0 Lauren, la coordinadora del programa, seleccionar al azar a un nadador para entrevistarlo para un anuncio publicitario en la televisin local acerca del centro y de su programa de nata- cin. Cul es la probabilidad de que l nadador seleccionado est en las siguientes? a. Una clase de nivel 3. b. La clase de 10 a.m. c. Una clase de nivel 2, dado que es la sesin de 10 a.m. d. La sesin de 11 a.m., dado que es la clase de nivel 6. 4.53 The World Factbook, 2008, reporta que los aeropuertos estadounidenses tienen los siguientes nmeros de metros de pistas de aterrizaje que estn pavimentadas, o no estn pavi- mentadas. Nmero de aeropuertos Pista aterrizaje total (metros) Pavimentado No pavimentado Ms de 3 047 m 190 0 2 438 a 3 047 m 227 6 1 524 a 2 437 m 1 464 156 914 a 1 523 m 2 307 1 734 Abajo de 914 m 958 7 909 Total 5146 9 805 Si uno de dichos aeropuertos se selecciona al azar para inspec- cin, cul es la probabilidad de que tendr a. pistas de aterrizaje pavimentadas? b. 914 a 2 437 metros de pista de aterrizaje? c. menos de 1 524 metros de pistas de aterrizaje y no estn pavimentadas? d. ms de 2 437 metros de pista de aterrizaje y estn pavimentadas? e. pista de aterrizaje pavimentada, dado que tiene ms de 1 523 metros de pista de aterrizaje? f. pista de aterrizaje no pavimentada, si sabes que tiene menos de 1 524 metros de pista de aterrizaje? g. menos de 1 524 metros de pista de aterrizaje, dado que no est pavimentada? 4.54 Durante el semestre de primavera 2009 en Monroe Community College, a una muestra aleatoria de estudiantes VH OHSUHJXQWyDFHUFDGHVXFRQRFLPLHQWRGHO VLJQLFDGRGH "sostenibilidad". La principal motivacin para la encuesta fue investigar cmo los estudiantes interesados pueden estar en XQFHUWLFDGRGHVRVWHQLELOLGDG\GHVFXEULUHOPHMRUPHGLRGH informarles dicha opcin. La siguiente tabla menciona cuntos de los 224 estudiantes estuvieron de acuerdo con el enunciado "La sostenibilidad es importante para m". Nivel de acuerdo con el enunciado "La sostenibilidad es importante para m" Totalmente Fuertemente Generacin de De Desa- en (edades) acuerdo acuerdo cuerdo desacuerdo Total Milenio Y (18 a 29) 74 109 11 1 195 Generacin X (30 a 44) 14 8 1 0 23 Baby boomers (45+) 2 3 0 1 6 Todos los entrevistados 90 120 12 2 224 Encuentra la probabilidad de que una estudiante seleccionada al azar: a. est "totalmente de acuerdo" en que la sostenibilidad es importante para ella. b. pertenezca a la Generacin X. c. est en "descuerdo" con la importancia de la sostenibilidad para ella, dado que pertenece a la generacin Milenio Y. d. pertenezca a los baby boomers, dado que ella est de "acuerdo" con la importancia de la sostenibilidad. 4.55 Un artculo del USA Today, "Yum Brands construye di- nasta en China" (7 de febrero de 2005), reporta acerca de cmo <XP%UDQGVODFRPSDxtDUHVWDXUDQWHUDPiVJUDQGHGHOPXQGR lleva la industria de la comida rpida a China, India y otros grandes pases. Yum Brands, una derivada de PepsiCo, tuvo un FUHFLPLHQWRFRQJDQDQFLDVGHGRVGtJLWRVHODxRSDVDGR Tienda EUA Extranjero Total KFC 5 450 7 676 13 126 Pizza Hut 6 306 4 680 10 986 Taco Bell 5 030 193 5 223 Long John Silver's 1 200 33 1 233 A&W All-American 485 209 694 Total 18 471 12 791 31 262 Mujer Hombre Satisfecho 80 55 No satisfecho 120 45 Fuente: The World Factbook, enero de 2008. https://www.cia.gov/ Fuente: USA Today, 7 de febrero de 2005 y Yum Brands Fuente: Monroe Community College, encuesta de certificado de sostenibilidad (contina en la pgina 194) Ubicacin y nmero de tiendas de comida rpida Yum Brands Seccin 4.2 Probabilidad condicional de eventos www.fullengineeringbook.net 194 Captulo 4 Probabilidad Supn que, cuando el CEO de Yum Brands fue entrevistado para este artculo, se le plantearon las siguientes preguntas. Cmo podra responder con base en el cuadro? a. Qu porcentaje de sus ubicaciones estn en Estados Unidos? b. Qu porcentaje de sus ubicaciones estn en el extranjero? c. Qu porcentaje de sus tiendas son Pizza Hut? d. Qu porcentaje de sus tiendas son Taco Bell, dado que la ubicacin es Estados Unidos? e. Qu porcentaje de sus tiendas estn en el extranjero, dado que la tienda es un A&W All-American? f. Qu porcentaje de sus tiendas son KFC, dado que la ubicacin est en el extranjero? g. Qu percibes acerca de sus respuestas a los incisos f y g? Por qu ocurre esto? 4.56 En 2007, datos de dos encuestas de comportamiento ries- goso juvenil, se analizaron para investigar el uso del cinturn de seguridad entre estudiantes de bachillerato con edades de 16 o ms. Los resultados se publicaron en el nmero de sep- tiembre 2008 del American Journal of Preventive Medicine. Los resultados (en porcentajes) incluyen la tabla que se pre- senta a continuacin: Si un estudiante se selecciona al azar de esta poblacin, cul es la probabilidad de que el estudiante seleccionado: a. siempre use cinturn de seguridad cuando conduzca y siempre use cinturn de seguridad cuando es pasajero? b. siempre use cinturn de seguridad cuando conduce mas QRVLHPSUHFXDQGRHVSDVDMHURGDGRTXHWLHQHDxRV o ms? c. no siempre use cinturn de seguridad cuando conduce pero siempre lo hace cuando es pasajero, si sabes que tiene 16? d. siempre use cinturn de seguridad cuando conduce? e. no siempre use cinturn de seguridad cuando conduce \WLHQHDxRVGHHGDG" 4.57 La American Community Survey report sus hallazgos acerca de los principales medios de transporte de los trabaja- dores para ir al trabajo durante 2007. Medios de transporte Nmero (miles) Todos los trabajadores 139 260 Automvil 120 442 Conduce l mismo 105 955 Auto compartido 14 487 2 personas 11 139 3 personas 1 963 4+ personas 1 385 Transporte pblico1 6 801 Taxi 179 Bicicleta o motocicleta 949 Slo camina 3 954 Otros medios2 1 258 Trabaja en casa 5 677 a. El total de columna no se incluye porque sera un valor LQVLJQLFDQWH([DPLQDODWDEOD\H[SOLFDSRUTXp Una persona se selecciona y se le hacen preguntas adicionales como parte de este sondeo. Si dicha persona se selecciona al azar, encuentra la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos. b. La persona seleccionada es miembro de un automvil compartido. c. La persona seleccionada es miembro de un automvil com- partido de 2 personas, dado que tiene automvil compartido. d. La persona seleccionada no llega en automvil. e. La persona seleccionada usa transporte pblico, si sabes que no usa automvil. 4.58 Los cinco colores ms populares para automviless de- SRUWLYRVFRPSDFWRVIDEULFDGRVGXUDQWHHODxRGHPRGHOR en Norteamrica se reportan aqu en porcentajes. NOTA: principales medios de transporte se refiere al modo que usa con ms frecuencia un individuo. 1 Transporte pblico se refiere a autobs, tranva, subterrneo o tren elevado. 2 Otros medios incluyen transbordadores, trenes de superficie y servicio de camioneta. Fuente: U.S. Census Bureau, Bureau of Transportation Statistics, 2007 American Community Survey, http://factfinder.census.gov/ Fuente: DuPont Herberts Automotive Systems, Troy, Mich. 2006 DuPont Automotive Color Popularity Survey Results. http://www.infoplease.cpm/ Deportivo/compacto Porcentaje 1. Plata 18 2. Negro 15 3. Gris 15 4. Rojo 15 5. Azul 13 Tabla para el ejercicio 4.56 Siempre usa cuando conduce No siempre usa cuando conduce Siempre usa No siempre usa Siempre usa No siempre usa Caracterstica cuando es pasajero cuando es pasajero cuando es pasajero cuando es pasajero Total 38.4 20.6 3.4 37.6 Edad (aos) 16 38.2 22.5 3.2 36.1 17 38.1 19.9 3.6 38.4 *18 39.4 18.4 3.6 38.6 Fuente: http://www.ajpm-online.net/ www.fullengineeringbook.net 195 Con frecuencia, uno quiere conocer la probabilidad de un evento compuesto, pero los nicos datos disponibles son las probabilidades de los eventos simples relacionados. (Los eventos compuestos son combinaciones de ms de un evento simple.) En los siguientes prrafos se resume la relacin entre dichas probabilidades. Cmo encontrar la probabilidad de "no A" El concepto de eventos complementarios es fundamental para encontrar la probabilidad de "no A". Eventos complementarios El complemento de un evento A, A, es el conjunto de todos los puntos muestrales en el espacio muestral que no pertenecen al evento A. Nota: el complemento del evento A se denota A (lase "A complemento"). Algunos ejemplos de eventos complementarios son: 1) el complemento del evento "xito" es "fracaso", 2) el complemento de "votante seleccionado es republicano" es "vo- tante seleccionado no es republicano" y 3) el complemento de "no cara" en 10 lanzamien- tos de una moneda es "al menos una cara". $O FRPELQDU OD LQIRUPDFLyQ HQ OD GHQLFLyQ GH FRPSOHPHQWR FRQ OD SURSLHGDG (p. 179), puedes decir que P(A) + P(A) = 1.0 para cualquier evento A Como resultado de esta relacin se tiene la regla del complemento: Regla del complemento En palabras: probabilidad de A complemento = uno probabilidad de A En lgebra: P(A) = 1 P(A) Nota: todo evento A tiene un evento complementario A. Las probabilidades complemen- tarias son muy tiles cuando la pregunta pide la probabilidad de "al menos uno". Por lo general, esto representa una combinacin de varios eventos, pero el evento complementa- rio "ninguno" es un solo resultado. Es ms fcil resolver para el evento complementario y obtener la respuesta al usar la frmula (4.3). 4.3 Reglas de probabilidad D 3RUTXpODFROXPQDGHSRUFHQWDMHVQRWRWDOL]D" b. Por qu todas las probabilidades se basan en esta tabla condicional? Cul es dicha condicin? c. Tu color favorito aparece en la lista? Si eliges al azar un automvil deportivo/compacto 2006 de entre todos los automviles deportivos/compactos fabricados en Estados Unidos en 2006, cul es la probabilidad de que su color sea d. negro, plata, gris, rojo o azul? e. no plata? f. negro, si sabes que el automvil deportivo/compacto tiene uno de los cinco colores ms populares? g. negro, si sabes que el automvil deportivo/compacto tiene uno de los cinco colores ms populares, mas no rojo? Seccin 4.3 Reglas de probabilidad (4.3) www.fullengineeringbook.net 196 Captulo 4 Probabilidad E J E M P L O 4 . 1 1 E J E M P L O 4 . 1 2 Cmo encontrar la probabilidad de "A o B" Un trabajador con salario por hora quiere estimar las posibilidades de "recibir una promo- cin u obtener un aumento de salario". El trabajador estara feliz con cualquier resultado. Hay informacin histrica disponible que permitir al trabajador estimar la probabilidad de "recibir una promocin" y "obtener un aumento de salario" por separado. En esta sec- cin aprenders cmo aplicar la regla de la suma para encontrar la probabilidad compues- ta de inters. Regla general de la suma Sean A y B dos eventos definidos en un espacio muestral, S. En palabras: probabilidad de A o B = probabilidad de A + probabilidad de B probabilidad de A y B En lgebra: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) CMO USAR COMPLEMENTOS PARA ENCONTRAR PROBABILIDADES Rueda dos dados. Cul es la probabilidad de que la suma sea al menos 3 (esto es: 3, 4, 5, ..., 12)? Solucin Supn que uno de los dados es negro y el otro es blanco. (Consulta el cuadro del ejemplo 4.3 en la pgina 175; muestra los 36 posibles pares de resulta- dos cuando ruedas un par de dados.) En lugar de encontrar la probabilidad para cada una de las sumas 3, 4, 5, ..., 12 por separado y sumar, es mucho ms simple encontrar la probabi- lidad de que la suma sea 2 ("menos que 3") y despus usar la frmula (4.3) para encontrar la probabilidad de "al menos 3", porque "menos que 3" y "al menos 3" son eventos complementarios. COMPRENSIN DE LA REGLA DE LA SUMA Se realiza una encuesta estatal de 800 votantes registrados en 25 distritos en el estado de Nueva York. Cada votante se identifica como republicano, demcrata, u otro registrado, y despus se le pregunta "est a favor o en P(suma de 2) = P(A) = 1 ("2" ocurre slo una vez en el espacio muestral de 36 puntos) 36 P(suma es al menos 3) = P(A) = 1 P(A) = 1 1 = 35 [con la frmula (4.3)] 36 36 Para ver si funciona la relacin expresada por la regla general de la suma, observa el ejemplo 4.12. (4.4) www.fullengineeringbook.net 197 En consecuencia, obtienes respuestas idnticas al aplicar la regla de la suma y al refe- rirse a las celdas relevantes en la tabla. Usualmente no tienes la opcin de encontrar P(A o B) de dos formas, como se hizo aqu. En vez de ello, te pedirn encontrar P(A o B) a partir de P(A) o P(B). Sin embargo, necesitars un tercer trozo de informacin. En la situacin previa, necesitas P(A y B). Necesitars conocer o P(A y B) o alguna informacin que te permita encontrarla. contra de la actual propuesta presupuestal que espera la firma del goberna- dor?". A continuacin se muestran los conteos resultantes. Supn que un votante se selecciona al azar de los 800 votantes resumidos en la tabla anterior. Considera los dos eventos: "el votante seleccionado est a favor" y "el votante es republicano". Encuentra las cuatro probabilidades: P(a favor), P(republicano), P(a favor o republicano) y P(a favor y republica- no). Despus usa los resultados para comprobar la veracidad de la regla de la suma. Solucin Nmero a favor Nmero en contra Nmero de votantes Republicano 136 88 224 Demcrata 314 212 526 Otros 14 36 50 Totales 464 336 800 Probabilidad de que el votante seleccionado est "a favor" = P(a favor) = 464/800 = 0.58. Probabilidad de que el votante seleccionado sea "republicano" = P(republicano) = 224/800 = 0.28. Probabilidad de que el votante seleccionado sea "a favor o republicano" = P(a favor o republicano) = (136 + 314 + 14 + 88)/800 = 552/800 = 0.69. Probabilidad de que el votante seleccionado est "a favor" y sea "republica- no" = P(a favor y republicano) = 136/800 = 0.17. Notas acerca de cmo encontrar las probabilidades anteriores: 1. El conectivo "o" significa "uno o el otro o ambos"; por tanto, "a favor o republicano" significa todos los votantes que satisfacen cualquier evento. 2. El conectivo "y" significa "ambos" o "en comn"; por tanto, "a favor y republicano" significa todos los votantes que satisfacen ambos eventos. Ahora usa las probabilidades anteriores para demostrar la veracidad de la regla de la suma. Sea A = "a favor" y B = "republicano". La regla general de la suma se convierte entonces en: P(a favor o republicano) = P(a favor) + P(republicano) P(a favor y repu- blicano) Recuerda: anteriormente se encontr: P(a favor o republicano) = 0.69. Con las otras tres probabilidades, se ve: P(a favor) + P(republicano) P(a favor y republicano) = 0.58 + 0.28 0.17 = 0.69. Seccin 4.3 Reglas de probabilidad www.fullengineeringbook.net 198 Captulo 4 Probabilidad Cmo encontrar la probabilidad de "A y B" Supn que un profesor de justicia criminal quiere que su clase determine la probabilidad del evento "un conductor recibe infraccin por violacin de velocidad y el conductor an- teriormente asisti a una clase de conduccin defensiva". Los estudiantes estn seguros de que pueden encontrar las probabilidades de "un conductor recibe infraccin por violacin de velocidad" y "un conductor que asisti a una clase de conduccin defensiva" por sepa- rado. En esta seccin aprenders cmo aplicar la regla de la multiplicacin para encontrar la probabilidad compuesta de inters. Regla general de la multiplicacin Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S. En palabras: probabilidad de A y B = probabilidad de A probabilidad de B, si conoces A En lgebra: P(A y B) = P(A) U P(B | A) E J E M P L O 4 . 1 3 COMPRENSIN DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIN Se realiza una encuesta estatal de 800 votantes registrados en 25 distritos en el estado de Nueva York. Cada votante se identific como republicano, demcrata u otro registrado y despus se le pregunt: est a favor o en con- tra de la actual propuesta presupuestal que espera la firma del gobernador? A continuacin se presentan los conteos resultantes. Supn que un votante se selecciona al azar de los 800 votantes resumidos en la tabla anterior. Considera los dos eventos: "el votante seleccionado est a favor" y "el votante es republicano". Encuentra las tres probabilidades: P(a favor), P(republicano | a favor) y P(a favor y republicano). Despus usa los resultados para comprobar la veracidad de la regla de la multiplicacin. Solucin Probabilidad de que el votante seleccionado est "a favor" = P(a favor) = 464/800 = 0.58. Probabilidad de que el votante seleccionado sea "republicano, dado a favor" = P(republicano | a favor) = 136/464 = 0.29. (4.5) Nmero a favor Nmero en contra Nmero de votantes Republicano 136 88 224 Demcrata 314 212 526 Otros 14 36 50 Totales 464 336 800 Nota:FXDQGRHVWiQLQYROXFUDGRVGRVHYHQWRVFXDOTXLHUHYHQWRVHSXHGHLGHQWLFDUFRPR $\HORWURVHLGHQWLFDFRPR%/DUHJODJHQHUDOGHODPXOWLSOLFDFLyQWDPELpQSRGUtDHV- cribirse como P(B y A) = P(B) U P(A | B) www.fullengineeringbook.net 199 Usualmente no tienes la opcin de encontrar P(A y B) de dos formas, como se hizo aqu. Cuando se te pide encontrar P(A y B), con frecuencia se proporciona P(A) y P(B). Sin embargo, no siempre obtendrs la respuesta correcta con slo multiplicar dichas dos probabilidades. Necesitars un tercer trozo de informacin: la probabilidad condicional de uno de los dos eventos o informacin que te permitir encontrarla. Probabilidad de que el votante seleccionado est "a favor" y sea "republicano" = P(a favor y republicano) = 136/800 = 136 = 0.17. 800 Notas acerca de cmo encontrar las probabilidades anteriores: 1. El condicional "dado" significa que existe una restriccin; por tanto, "repu- blicano | a favor" significa que comienzas slo con aquellos votantes que estn "a favor". En este caso, esto significa que solamente observas a 464 votantes cuando determinas esta probabilidad. 2. El conectivo "y" significa "ambos" o "en comn"; por tanto, "en favor y republicano" significa todos los votantes que satisfacen ambos eventos. Ahora usa las probabilidades anteriores para demostrar la veracidad de la regla de la multiplicacin. Sea A = "a favor" y B = "republicano". La regla general de la multiplica- cin se convierte entonces en: P(a favor y republicano) = P(a favor) U P(republicano | a favor) Anteriormente se encontr: P(a favor y republicano) = 136 = 0.17. 800. Al usar las otras dos probabilidades, se ve que: P(a favor) U P(republicano | a favor) = 464 U 136 = 136 = 0.17. 800 464 800 E J E M P L O 4 . 1 4 CMO EXTRAER SIN REEMPLAZO En un juego de feria, el jugador extrae a ciegas una canica de color a la vez de una caja que contiene dos canicas rojas y cuatro azules. La canica elegida no se regresa a la caja despus de seleccionarla; esto es: cada extraccin se realiza sin reemplazo. Las canicas se mezclan antes de cada extraccin. Cuesta $1 jugar y si las primeras dos canicas extradas son rojas, el jugador recibe un premio de $2. Si las primeras cuatro canicas extradas son azules, el jugador recibe un premio de $5. De otro modo, no recibe premio. Para en- contrar la probabilidad de ganar un premio, observa primero la probabilidad de extraer rojo o azul en extracciones consecutivas y organiza la informacin en un diagrama de rbol. En la primera extraccin (representada por los segmentos de rama azul oscuro en la figura 4.5), la probabilidad de rojo es dos oportunidades de seis, 2/6 o 1/3, mientras que la probabilidad de azul es 4/6 o 2/3. Puesto que las canicas no se sustituyen, slo cinco canicas quedan en la caja; el n- mero de cada color restante depende del color de la primera canica extrada. Si la primera canica fue roja, entonces las probabilidades son 1/5 y 4/5, Seccin 4.3 Reglas de probabilidad www.fullengineeringbook.net 200 Captulo 4 Probabilidad como se muestra en el diagrama de rbol (segmentos de rama azul claro en la figura 4.5). Si la primera canica fue azul, entonces las probabilidades son 2/5 y 3/5, como se muestra en el diagrama de rbol (segmentos de rama azul medio en la figura 4.5). Las probabilidades cambian con cada extrac- cin, porque el nmero de canicas disponibles sigue disminuyendo con cada extraccin que tiene lugar. El diagrama de rbol es un maravilloso auxiliar visual para seguir el avance. Ahora puedes encontrar la probabilidad de ganar el premio de $2 con la frmula (4.5): P(A y B) = P(A) U P(B | A) P(gana $2) = P(R1 y R2) = P(R1) U P(R2 | R1) = 2 U 1 = 1 = 0.067 6 5 15 (Ganar el premio de $5 se deja como ejercicio 4.79.) Nota: el diagrama de rbol, cuando se etiqueta, tiene las probabilidades necesarias para multiplicar junto con la rama que representa el esfuerzo ganador. 4.59 a. Si la probabilidad de que el evento A ocurra durante un experimento es 0.7, cul es la probabilidad de que el evento A no ocurra durante dicho experimento? b. Si los resultados de un experimento de probabilidad pueden ser cualquier entero de 16 a 28 y la probabili- dad de que el entero sea menor que 20 es 0.78, cul es la probabilidad de que el entero sea 20 o ms? 4.60 a. Si la probabilidad de que apruebes el siguiente examen de estadstica se valora precisamente en 0.75, cul es la probabilidad de que no apruebes el siguiente examen de estadstica? b. El anunciador del clima predice que hay un "70 por ciento" de posibilidad de menos de 1 pulgada de lluvia durante el prximo periodo de 30 das. Cul es la probabilidad de al menos 1 pulgada de lluvia en los prximos 30 das? 4.61 De acuerdo con la Encuesta Nacional 2007-2008 de propietarios de Mascotas de la Asociacin Estadounidense de Fabricantes de Productos para Mascotas, aproximada- PHQWHGHWRGRVORVSURSLHWDULRVHVWDGRXQLGHQVHVGHSH- UURVDOUHGHGRUGHPLOORQHVVRQGXHxRVGHXQSHUUR&RQ base en esta informacin, encuentra la probabilidad de que XQ SURSLHWDULR HVWDGRXQLGHQVH GH SHUUR VHD GXHxR GHPiV de un perro. 4.62 'HDFXHUGRFRQ6OHHS&KDQQHOKWWSZZZVOHHSGLVRU- GHUFKDQQHOFRP MXOLRGH ODDSQHDGHVXHxRDIHFWDD 18 millones de individuos en Estados Unidos. El trastorno del VXHxRLQWHUUXPSHODUHVSLUDFLyQ\SXHGHGHVSHUWDUDTXLHQOD padece hasta cinco veces por hora. Muchas personas no reco- nocen el padecimiento aun cuando provoca fuertes ronquidos. Si supones que existen 304 millones de personas en Estados Unidos, cul es la probabilidad de que un individuo elegido DOD]DUQRSDGH]FDDSQHDGHVXHxR" FIGURA 4.5 Diagrama de rbol: primeras dos extracciones, juego de feria Gana $2 A A A E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 3 Extraccin 1 Extraccin 2 R R RR = R 2/6 1/5 4/5 2/5 3/5 4/6 www.fullengineeringbook.net 201 4.63 Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A y B) = 0.1, encuentra P(A o B). 4.64 Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.3 y P(A y B) = 0.2, encuentra P(A o B). 4.65 Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(A o B) = 0.7, encuentra P(A y B). 4.66 Si P(A) = 0.4, P(A o B) = 0.9 y P(A y B) = 0.1, encuentra P(B). 4.67 La industria de los deportes de entretenimiento emplea atletas, entrenadores, rbitros y trabajadores relacionados. De ellos, 0.37 trabajan tiempo parcial y 0.50 ganan ms de $20 540 DODxR6LGHGLFKRVHPSOHDGRVWUDEDMDQWLHPSRFRPSOHWR y ganan ms de $20 540, qu proporcin de los empleados de la industria son de tiempo completo o ganan ms de $20 540? 4.68 Jason asiste a la reunin de su bachillerato. De los asis- WHQWHV VRQPXMHUHV (O FRQRFLPLHQWR FRP~Q UHFRQRFH TXHGH ODVSHUVRQDVVRQGLHVWUDV$OVHUKRPEUH]XUGR Jason sabe que, de una multitud dada, slo aproximadamente VRQKRPEUHV]XUGRV6L-DVRQKDEODFRQODSULPHUDSHUVRQD que encuentra en la reunin, cul es la probabilidad de que la persona sea hombre o zurda? 4.69 Una tienda de partes automotrices vende partes tanto nuevas como usadas. Sesenta por ciento de las partes en el al- macn son usadas. Sesenta y un por ciento son usadas o defec- WXRVDV6LGHODVSDUWHVGHODWLHQGDVRQGHIHFWXRVDVTXp porcentaje es tanto usada como defectuosa? Resuelve con las frmulas. Compara tu solucin con tu respuesta al ejercicio 4.27. 4.702FLDOHVVLQGLFDOHVUHSRUWDQTXHGHORVWUDEDMDGRUHV HQXQDJUDQ IiEULFDSHUWHQHFHQDO VLQGLFDWRJDQDQPiV GHSRUKRUD\SHUWHQHFHQDOVLQGLFDWR\JDQDQPiVGH $12 por hora. Crees en estos porcentajes? Explica. Resuelve con las frmulas. Compara tu solucin con tu repuesta al ejer- cicio 4.28. 4.71$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLRPXHVWUDOFRQ P(A) = 0.7 y P(B | A) = 0.4. Encuentra P(A y B). 4.72$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLRPXHVWUDOFRQ P(A | B) = 0.5 y P(B) = 0.8. Encuentra P(A y B). 4.73$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLRPXHVWUDOFRQ P(A) = 0.6 y P(A y B) = 0.3. Encuentra P(A | B). 4.74$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLRPXHVWUDOFRQ P(B) = 0.5 y P(A y B) = 0.4. Encuentra P(A | B). 4.75 Se sabe que los esteroides brindan a los usuarios una ventaja en las competencias atlticas, pero tambin se sabe que el uso de esteroides est prohibido en los atletas. Como resultado, se instituye un programa de pruebas de esteroides y los atletas se ponen a prueba al azar. Los procedimientos de prueba se consideran igualmente efectivos tanto en usuarios FRPRHQQRXVXDULRV\DUPDQVHUSUHFLVRV6LGH los atletas afectados por este programa de pruebas est lim- pio, cul es la probabilidad de que el siguiente atleta puesto a prueba sea un usuario y falle la prueba? 4.76 Juan vive en una gran ciudad y viaja al trabajo diaria- PHQWHHQVXEWHUUiQHRRHQWD[L$ERUGDHOVXEWHUUiQHRGHO WLHPSRSRUTXHFXHVWDPHQRV\WRPDXQWD[LHORWURGHO tiempo. Cuando toma el subterrneo, llega al trabajo a tiempo GHODVYHFHVPLHQWUDVTXHOOHJDDWLHPSRGHODVYH- ces cuando viaja en taxi. a. Cul es la probabilidad de que Juan tome el subterrneo y llegue a tiempo al trabajo en cualquier da dado? b. Cul es la probabilidad de que Juan tome un taxi y lle- gue a tiempo al trabajo en cualquier da dado? 4.77$QDGLHOHJXVWDSDJDULPSXHVWRVSHURHOHQJDxRQRHVOD IRUPDGHOLEUDUVHGHHOORV6HFRQVLGHUDTXHGHWRGRVORV contribuyentes intencionalmente declaran algunas deduccio- QHVDODVTXHQRHVWiQDXWRUL]DGRV6LGHWRGRVORVFRQWUL- buyentes intencionalmente declaran deducciones adicionales tanto como niegan hacerlo cuando son auditados, encuentra la probabilidad de que un contribuyente que realiza deducciones adicionales intencionalmente, las niegue. 4.78&DVH\DPDVXFDIpGHPHGLDPDxDQD\VLHPSUHVHGH- tiene en una de sus cafeteras favoritas por una taza. Cuando consigue comida para llevar, existe una posibilidad de 0.6 de que tambin conseguir un pastel. Lleva un caf y un pastel con una probabilidad de 0.48. Cul es la probabilidad de que s lleve comida? 4.79 Encuentra la probabilidad de ganar $5 si juegas el juego de feria descrito en el ejemplo 4.14. a. Completa las ramas del diagrama de rbol iniciado en la JXUD\PHQFLRQDODVSUREDELOLGDGHVGHWRGDVODVSR- sibles extracciones. b. Cul es la probabilidad de extraer una canica roja en la segunda extraccin? Qu informacin adicional se nece- sita para encontrar la probabilidad? Qu "condiciones" podran existir? c. Calcula la probabilidad de ganar el premio de $5. d. Cul es ms difcil de ganar, el premio de $2 o el de $5? &XiOHVPiVSUREDEOH"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 4.80 Supn que las reglas para el juego de feria del ejemplo VHPRGLFDQGHPRGRTXHODFDQLFDH[WUDtGDFDGDYH]VH regresa a la caja antes de la siguiente extraccin. a. Vuelve a dibujar el diagrama de rbol del ejercicio 4.79 y menciona las probabilidades para el juego cuando juega "con reemplazo". b. Cul es la probabilidad de extraer una canica roja en la segunda extraccin? Qu informacin adicional se nece- sita para encontrar la probabilidad? Qu efecto tiene esto sobre P(rojo en la segunda extraccin)? (contina en la pgina 202) Seccin 4.3 Reglas de probabilidad www.fullengineeringbook.net 202 Captulo 4 Probabilidad Para impulsar el estudio de los eventos compuestos, debe introducirse el concepto de "mu- tuamente excluyente". Eventos mutuamente excluyentes Eventos no vacos definidos en el mismo espacio muestral, donde cada evento excluye la ocurrencia del otro. En otras palabras, son eventos que no comparten elementos comunes. En lgebra: P(A y B) = 0 En palabras: Existen muchas formas equivalentes de expresar el concepto de mutuamente excluyente: 1. Si sabes que alguno de los eventos ocurri, entonces el otro evento se excluye o no puede ocurrir. 2. Si observas las listas de los elementos que constituyen cada evento, nin- guno de los elementos mencionados para algn evento aparecern en la lista del otro evento; "no hay elementos compartidos". 3. Si observas un diagrama de Venn, las reas cerradas que representan cada evento "no se intersecan"; esto es: "no hay elementos comparti- dos", o, dicho de otra forma, "son disjuntos". 4. La ecuacin dice: "la interseccin de los dos eventos tiene una probabi- lidad de cero", lo que significa "la interseccin es un conjunto vaco" o "no hay interseccin". Nota: el concepto de eventos mutuamente excluyentes se basa en la relacin entre los con- juntos de elementos que satisfacen los eventos. Mutuamente excluyente no es un concepto GHSUREDELOLGDGSRUGHQLFLyQVyORUHVXOWDVHU~WLOSDUDH[SUHVDUHOFRQFHSWRXVDQGRXQ enunciado de probabilidad. 4.4 Eventos mutuamente excluyentes c. Calcula la probabilidad de ganar el premio de $2. d. Calcula la probabilidad de ganar el premio de $5. e. Cuando el juego se juega con reemplazo, cul es ms difcil de ganar, el premio de $2 o el de $5? Cul es PiVSUREDEOH"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 4.816XSyQTXH$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLR muestral comn y que se conocen las siguientes probabilida- des: P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 y P(A | B) = 0.2. Encuentra P(A o B). 4.826XSyQTXH$\% VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLR muestral comn y que se conocen las siguientes probabilidades: P(A o B) = 0.7, P(B) = 0.5 y P(A | B) = 0.2. Encuentra P(A). 4.836XSyQTXH$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLR muestral comn y que se conocen las siguientes probabilida- des: P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(A o B) = 0.66. Encuentra P(A | B). 4.846XSyQTXH$\%VRQHYHQWRVGHQLGRVHQXQHVSDFLR muestral comn y que se conocen las siguientes probabilida- des: P(A) = 0.5, P(A y B) = 0.24 y P(A|B) = 0.4. Encuentra P(A o B). 4.85 Dado P(A o B) = 1.0, P(A y B) = 0.7 y P(B) = 0.4, en- cuentra: a. P(B) b. P(A) c. P(A | B) 4.86 Dado P(A o B) = 1.0, P(A y B) = 0.3 y P(B) = 0.4, en- cuentra: a. P(B) b. P(A) c. P(A | B) 4.87 La probabilidad de A es 0.5. La probabilidad condicional de que A ocurra dado que B ocurre es 0.25. La probabilidad condicional de que B ocurra dado que A ocurre es 0.2. a. Cul es la probabilidad de que B ocurra? b. Cul es la probabilidad condicional de que B no ocurra dado que A no ocurre? 4.88 La probabilidad de C es 0.4. La probabilidad condicional de que C ocurra dado que D ocurre es 0.5. La probabilidad condicional de que C ocurra dado que D no ocurre es 0.25. a. Cul es la probabilidad de que D ocurra? b. Cul es la probabilidad condicional de que D ocurra dado que C ocurre? www.fullengineeringbook.net 203 E J E M P L O 4 . 1 5 E J E M P L O 4 . 1 6 COMPRENSIN DE EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES A partir de una encuesta de salida nacional de 1 000 votantes en 25 distritos en el pas, el 4 de noviembre de 2008, se tiene lo siguiente: Considera los dos eventos: "el votante seleccionado vot por McCain" y "el votante seleccionado tiene universidad incompleta". Supn que un vo- tante se selecciona al azar de los 1 000 votantes resumidos en la tabla. Con la finalidad de que ocurra el evento "el votante seleccionado vot por Observa algunos ejemplos. COMPRENSIN DE LOS EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES A partir de una encuesta de salida nacional de 1 000 votantes en 25 distritos en el pas el 4 de noviembre de 2008, se tiene lo siguiente: Considera los dos eventos: "el votante seleccionado vot por McCain" y "el votante seleccionado vot por Obama". Supn que un votante se seleccio- na al azar de los 1 000 votantes resumidos en la tabla. Con la finalidad de que ocurra el evento "el votante seleccionado vot por McCain", el votante seleccionado debe ser 1 de los 510 votantes mencionados en la columna "Nmero por McCain". Con la finalidad de que ocurra el evento "el votante seleccionado vot por Obama", el votante seleccionado debe ser 1 de los 477 votantes mencionados en la columna "Nmero por Obama". Puesto que ningn votante mencionado en la columna McCain se menciona tambin en la columna Obama y dado que ningn votante mencionado en la columna Obama se menciona tambin en la columna McCain, estos dos eventos son mutuamente excluyentes. En forma de ecuacin: P(vot por McCain y vot por Obama) = 0. Nmero Nmero Nmero Nmero Educacin por McCain por Obama por otros de votantes No bachillerato 19 20 1 40 Grado bachillerato 114 103 3 220 Universidad incompleta 172 147 1 320 Ttulo universitario 135 119 6 260 Posgrado 70 88 2 160 Total 510 477 13 1 000 Nmero Nmero Nmero Nmero Educacin por McCain por Obama por otros de votantes No bachillerato 19 20 1 40 Grado bachillerato 114 103 3 220 Universidad incompleta 172 147 1 320 Ttulo universitario 135 119 6 260 Posgrado 70 88 2 160 Total 510 477 13 1 000 Seccin 4.4 Eventos mutuamente excluyentes www.fullengineeringbook.net 204 Captulo 4 Probabilidad E J E M P L O 4 . 1 7 E J E M P L O 4 . 1 8 EVENTOS DE NAIPES MUTUAMENTE EXCLUYENTES Considera un mazo regular de naipes y los dos eventos "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es as". El mazo se baraja y un naipe se extrae al azar. Con la finalidad de que ocurra el evento "naipe extrado es reina", el naipe extrado debe ser una de las cuatro reinas: reina de corazones, reina de diamantes, reina de espadas o reina de trboles. Con la finalidad de que ocurra el evento "naipe extrado es as", el naipe extrado debe ser uno de los cuatro ases: as de corazones, as de diamantes, as de espadas o as de trboles. Observa que no hay un naipe que sea tanto reina como as. Por tan- to, estos dos eventos, "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es as", son eventos mutuamente excluyentes. En forma de ecuacin: P(reina y as) = 0. EVENTOS DE NAIPES NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES Considera un mazo regular de naipes y los dos eventos "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es corazn". El mazo se baraja y un naipe se extrae al azar. Los eventos "reina" y "corazn" son mutuamente excluyentes? El evento "naipe extrado es reina" est constituido por las cuatro reinas: reina de corazones, reina de diamantes, reina de espadas y reina de trboles. El evento "naipe extrado es corazn" est constituido por los 13 corazones: as de corazones, rey de corazones, reina de corazones, sota de corazones y los otros nueve corazones. Observa que "reina de corazones" est en ambas lis- tas, lo que en consecuencia hace posible que ambos eventos, "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es corazn", ocurran simultneamente. Esto signi- fica: cuando uno de estos dos eventos ocurre, no excluye la posibilidad de la ocurrencia del otro. Estos eventos no son mutuamente excluyentes. En forma de ecuacin: P(reina y corazn) = 1/52, que no es igual a cero. McCain", el votante seleccionado debe ser 1 de los 510 votantes menciona- dos en la columna "Nmero por McCain". Con la finalidad de que ocurra el evento "el votante seleccionado tiene universidad incompleta", el votante seleccionado debe ser 1 de los 320 votantes mencionados en la fila "Universi- dad incompleta". Puesto que los 172 votantes que se muestran en la intersec- cin de la columna "Nmero por McCain" y la fila "Universidad incompleta" pertenecen a ambos eventos ("el votante seleccionado vot por McCain" y "el votante seleccionado tiene universidad incompleta"), estos dos eventos NO son mutuamente excluyentes. En forma de ecuacin: P(vot por McCain y universidad incompleta) = 172/1 000 = 0.172, que no es igual a cero. www.fullengineeringbook.net 205 E J E M P L O 4 . 1 9 Regla especial de la suma /DUHJODGHODVXPDVHVLPSOLFDFXDQGRORVHYHQWRVLQYROXFUDGRVVRQPXWXDPHQWHH[FOX- yentes. Si se sabe que dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, al aplicar P(A y B) = 0, a la regla de la suma para probabilidades, se sigue que P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) se convierte en P(A o B) = P(A) + P(B). PRESENTACIN VISUAL Y COMPRENSIN DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Considera un experimento donde se ruedan dos dados. Tres eventos se defi- nen del modo siguiente: A: La suma de los nmeros en los dos dados es 7. B: La suma de los nmeros en los dos dados es 10. C: Cada uno de los dos dados muestra el mismo nmero. Determina si estos tres eventos son mutuamente excluyentes. Es posible demostrar que tres eventos son mutuamente excluyentes al de- mostrar que cada par de eventos son mutuamente excluyentes. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? S, lo son, porque la suma en los dos dados no puede ser tanto 7 como 10 al mismo tiempo. Si ocurre una suma de 7, es imposible que la suma sea 10. La figura 4.6 presenta el espacio muestral para este experimento. ste es el mismo espacio muestral que se presenta en el ejemplo 4.3, excepto que, en lugar de las imgenes, se usan pares ordenados. Los valos, diamantes y rectngulos muestran los pares ordenados que estn en los eventos A, B y C, respectivamente. Puedes ver que los eventos A y B no intersecan. Por tanto, son mutuamente excluyentes. El punto (5, 5) en la figura 4.6 satisface los eventos B y C. En consecuencia, B y C no son mutuamente excluyentes. Dos dados pueden mostrar cada uno 5, lo que satisface C y el total satisface B. Puesto que se encuentra un par de eventos que no son mu- tuamente excluyentes, los eventos A, B y C no son mutuamente excluyentes. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com Dado negroDado blanco FIGURA 4.6 Espacio muestral para la rodadura de dos dados Seccin 4.4 Eventos mutuamente excluyentes 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) C B A www.fullengineeringbook.net 206 Captulo 4 Probabilidad Regla especial de la suma Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes definidos en un espacio muestral S. En palabras: Probabilidad de A o B = probabilidad de A + probabilidad de B En lgebra: P(A o B) = P(A) + P(B) Esta frmula puede expandirse para considerar ms de dos eventos mutua- mente excluyentes: P(A o B o C o ... o E) = P(A) + P(B) + P(C) + ... + P(E) Con frecuencia esta ecuacin es conveniente para calcular probabilidades, pero no ayuda a entender la relacin entre los eventos A y B. Es la GHQLFLyQ la que nos dice cmo debes pensar acerca de los eventos mutuamente excluyentes. Los estudiantes que entienden la exclusividad mutua de esta forma obtienen comprensin de lo que trata la exclusividad mutua. Esto debe conducirte a pensar con ms claridad acerca de situaciones que tratan con eventos mutuamente excluyentes y en consecuencia hacen que tengas menos probabilidad de confundir el concepto de eventos mutuamente exclu- \HQWHVFRQHYHQWRVLQGHSHQGLHQWHVTXHVHGHQLUiQHQODVHFFLyQRDFRPHWHURWURV errores comunes concernientes al concepto de mutuamente excluyentes. Notas: 'HQHORVHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHVHQWpUPLQRVGHORVFRQMXQWRVGHHOHPHQWRV que satisfacen los eventos y pon a prueba la exclusividad mutua de esa manera. 2. No uses P$\% FRPRODGHQLFLyQGHHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHV(VXQD SURSLHGDGTXHUHVXOWDGHODGHQLFLyQ3XHGHXVDUVHFRPRXQDSUXHEDSDUDORVHYHQ- WRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHVVLQHPEDUJRFRPRHQXQFLDGRQRPXHVWUDVLJQLFDGRR comprensin del concepto de eventos mutuamente excluyentes. 3. En forma de ecuacin, la GHQLFLyQGHHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHVDUPD P(A y B) = 0 (Ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo.) P(A | B) = 0 y P(B | A) = 0 (Si sabes que ocurri uno, entonces el otro no ocurri.) Vuelve a considerar el ejemplo 4.17, con los dos eventos "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es as" cuando se extrae exactamente un naipe de un mazo de naipes regu- lares. El naipe extrado es una reina, o el naipe extrado es un as. Dicho naipe no puede ser al mismo tiempo tanto una reina como un as y por tanto hace que estos dos eventos sean mutuamente excluyentes. En consecuencia, la regla especial de la suma se aplica a la situacin de encontrar P(reina o as). P(reina o as) = P(reina) + P(as) = 4 + 4 = 8 = 2 52 52 52 13 4.89 Determina si cada uno de los siguientes pares de eventos es mutuamente excluyente. a. Cinco monedas se lanzan: "se observa una cara", "se ob- serva al menos una cara". b. Un vendedor llama a un cliente y realiza una venta: "la venta supera $100", "la venta supera $1 000". c. Un estudiante es seleccionado al azar de un cuerpo estu- diantil: la persona seleccionada es "hombre", la persona VHOHFFLRQDGDWLHQHPiVGHDxRVGHHGDG d. Dos dados se ruedan: el total que muestran es "menor que 7", el total que muestran es "ms que 9". E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 4 (4.6) www.fullengineeringbook.net 207 4.90 Determina si cada uno de los siguientes conjuntos de eventos es mutuamente excluyente. a. Cinco monedas se lanzan: "no se observa ms de una cara", "se observan dos caras", "se observan tres o ms caras". b. Un vendedor llama a un cliente y realiza una venta: el im- porte de la venta es "menor que $100", est "entre $100 y $1 000", es "mayor que $500". c. Un estudiante es seleccionado al azar de un cuerpo estu- diantil: la persona seleccionada es "mujer", es "hombre", WLHQHPiVGHDxRVGHHGDG d. Dos dados se ruedan: los nmeros de puntos que mues- tran los dados son "ambos impares", "ambos pares", "total 7", "total 11". 4.91 Explica por qu P(A y B) = 0 cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes. 4.92 Explica por qu P(A ocurre cuando B ocurre) = 0 cuando los eventos A y B son mutuamente excluyentes. 4.93 Si P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4, y si A y B son eventos mu- tuamente excluyentes, encuentra: a. P(A) c. P(A o B) b. P(B) d. P(A y B) 4.94 Si P(A) = 0.4 y P(B) = 0.5 y si A y B son eventos mutua- mente excluyentes, encuentra P(A o B). 4.95 Un estudiante se selecciona al azar del cuerpo estudiantil GHWXXQLYHUVLGDG'HQHORVVLJXLHQWHVHYHQWRV0HOHVWXGLDQ- te seleccionado es hombre; F: el estudiante seleccionado es mu- jer; S: el estudiante seleccionado est registrado en estadstica. a. Los eventos M y F son mutuamente excluyentes? Explica. b. Los eventos M y S son mutuamente excluyentes? Explica. c. Los eventos F y S son mutuamente excluyentes? Explica. d. Los eventos M y F son complementarios? Explica. e. Los eventos M y S son complementarios? Explica. f. Los eventos complementarios tambin son mutuamente excluyentes? Explica. g. Los eventos mutuamente excluyentes tambin son even- tos complementarios? Explica. 4.96 Un estudiante se selecciona al azar de un cuerpo estudian- til. Supn que la probabilidad de que este estudiante sea mujer es 0.5 y la probabilidad de que este estudiante trabaje tiempo parcial es 0.6. Los dos eventos "mujer" y "trabajar tiempo par- cial" son mutuamente excluyentes? Explica. 4.97'RVGDGRVVH UXHGDQ'HQH ORVHYHQWRVGHOPRGRVL- guiente: A: suma de 7; C: dobles; E: suma de 8. a. Cules pares de eventos, A y C, A y E, o C y E, son mu- tuamente excluyentes? Explica. b. Encuentra las probabilidades P(A o C), P(A o E), y P(C o E). 4.98 Un acuario en una tienda de mascotas contiene 40 peces espada anaranjados (22 hembras y 18 machos) y 28 espadas verdes (12 hembras y 16 machos). Al azar, atrapas uno de los peces. a. Cul es la probabilidad de que sea un espada anaranjado? b. Cul es la probabilidad de que sea un macho? c. Cul es la probabilidad de que sea un espada anaranjado hembra? d. Cul es la probabilidad de que sea una hembra o un espada verde? e. Los eventos "macho" y "hembra" son mutuamente excluyentes? f. Los eventos "macho" y "espada" son mutuamente excluyentes? Explica. 4.99 Las personas toman clases de natacin en interiores a mediados del clido verano? En el Centro Acutico Webster aseguran que s. Slo durante el mes de julio de 2009, 283 personas participaron en varias formas de lecciones. Si un nadador se selecciona al azar de los participantes de ju- lio: a. En los eventos el participante seleccionado es "diurno" y "nocturno" son mutuamente excluyentes? Explica. b. En los eventos el participante seleccionado es "preesco- lar" y "niveles" son mutuamente excluyentes? Explica. c. En los eventos el participante seleccionado es "diurno" y "preescolar" son mutuamente excluyentes? Explica. d. Encuentra P(preescolar). e. Encuentra P(diurno). f. Encuentra P(no niveles). g. Encuentra P(preescolar o nocturno). h. Encuentra P(preescolar y diurno). i. Encuentra P(diurno | niveles). j. Encuentra P(adulto y buceo | nocturno). 4.100 Las lesiones son parte desafortunada de todos los de- portes. El bsquetbol de bachillerato no es la excepcin, como muestra la tabla siguiente. Los porcentajes mencionados son el porcentaje de lesiones reportadas que ocurren a hombres y Categoras de natacin Diurno Nocturno Preescolar 66 80 Niveles 69 56 Adulto y buceo 10 2 Total 145 138 (contina en la pgina 208) Seccin 4.4 Eventos mutuamente excluyentes www.fullengineeringbook.net 208 Captulo 4 Probabilidad El concepto de eventos independientes es necesario para continuar el estudio de los even- tos compuestos. Eventos independientes Dos eventos son independientes si la ocurrencia (o no ocurrencia) de uno no proporciona informacin acerca de la probabilidad de ocurrencia del otro. En otras palabras, si la probabilidad de A permane- ce invariable despus de saber que B ocurre (o no ocurre), los eventos son independientes. En lgebra: P(A) = P(A | B) = P(A|no B) En palabras: Existen muchas formas equivalentes de expresar el concepto de independencia: 1. La probabilidad del evento A no es afectada por el conocimiento de que un segundo evento, B, ocurri, el conocimiento de que B no ocurri o nin- gn conocimiento acerca del evento B. 2. La probabilidad del evento A no es afectada por el conocimiento, o no conocimiento, acerca de un segundo evento, B, que ocurri o no ocurri. 3. La probabilidad del evento A (sin conocimiento acerca del evento B) es la misma que la probabilidad del evento A, como conocimiento de que ocurri el evento B y ambas son la misma que la probabilidad del evento A, con conocimiento de que el evento B no ocurri. mujeres de bachillerato que juegan bsquetbol y la ubicacin de la lesin en sus cuerpos. Si un jugador se selecciona al azar de los incluidos en la tabla: a. En los eventos el jugador seleccionado era "hombre" y "mujer" son mutuamente excluyentes? Explica. b. En los eventos la lesin del jugador seleccionado fue "tobillo/pie" y "rodilla" son mutuamente excluyentes? Explica. c. En los eventos "mujer" y "rostro/cuero cabelludo" son mutuamente excluyentes? Explica. d. Encuentra P(tobillo/pie | hombre). e. Encuentra P(tobillo/pie | mujer). f. Encuentra P(no pierna relacionada | hombre). g. Encuentra P(rodilla o rostro/cuero cabelludo | hombre). h. Encuentra P(rodilla o rostro/cuero cabelludo | mujer). i. Explica por qu P(rodilla) para todos los jugadores de bsquetbol de bachillerato no puede encontrarse al usar la informacin de la tabla. Qu informacin adicional se necesita? 4.101/DPD\RUtDGHORVHVWDGRXQLGHQVHVGHKHFKRGL- cen que lavarse frecuentemente las manos es la mejor forma GHGHIHQGHUVHFRQWUDODLQXHQ]D$SHVDUGHHOORFXDQGRXVDQ EDxRVS~EOLFRVODVPXMHUHVVHODYDQODVPDQRVVyORGHODV YHFHV\ORVKRPEUHVVyORGHOWLHPSR'HORVDGXOWRVTXH XVDQORVEDxRVS~EOLFRVHQXQDJUDQFDGHQDGHVXSHUPHUFDGRV VRQPXMHUHV&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODVLJXLHQWH SHUVRQDHQHQWUDUDOEDxRHQHVWDWLHQGDVHODYHODVPDQRV" 4.102 l es la ltima persona que quieres ver en tu espejo re- trovisor cuando aceleras por la autopista, pero la investigacin muestra que una infraccin de trnsito reduce la posibilidad de un conductor de involucrarse en un accidente mortal, al me- QRVGXUDQWHDOJXQDVVHPDQDV3RUJUXSRVGHHGDGGH WRGRV ORV FRQGXFWRUHV VRQPiV MyYHQHV TXH DxRV HVWiQHQWUHODVHGDGHVGH\\WLHQHQDxRVR PiV/DVHVWDGtVWLFDVPXHVWUDQTXHGHORVFRQGXFWRUHV PHQRUHVGHDxRVGHORVTXHWLHQHQHQWUH\\ GHORVGHRPiVWHQGUiQXQDFFLGHQWHHQHOVLJXLHQWH PHV&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQFRQGXFWRULGHQWLFDGR al azar tenga un accidente el siguiente mes? 4.5 Eventos independientes Ubicacin de la lesin Hombres Mujeres Tobillo/pie 38.3% 36.0% Cadera/muslo/pierna 14.7% 16.6% Rodilla 10.3% 13.0% Antebrazo/mueca/mano 11.5% 11.2% Rostro/cuero cabelludo 12.2% 8.8% Otro 13.0% 14.4% Total 100.0% 100.0% www.fullengineeringbook.net 209 No todos los eventos son independientes. Eventos dependientes Eventos que no son independientes. Esto es: la ocurren- cia de un evento tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento. Observa algunos ejemplos. Cuando compruebas las tres probabilidades, P(A), P(A | B), y P(A | no B), es nece- sario comparar slo dos de ellas. Si dos de las tres probabilidades son iguales, la tercera tendr el mismo valor. Ms an, si dos de las tres probabilidades son distintas, entonces las tres tendrn diferente valor. Nota: determina los tres valores y usa el tercero como comprobacin. Todos sern iguales o todos sern diferentes; no hay otro posible resultado. E J E M P L O 4 . 2 0 COMPRENSIN DE LOS EVENTOS INDEPENDIENTES Se realiz una encuesta estatal de 750 republicanos y demcratas regis- trados en 25 distritos del estado de Nueva York. Cada votante se identific como republicano o demcrata registrado y despus se le pregunt: est a favor o en contra de la actual propuesta presupuestal que espera la firma del gobernador? A continuacin se presentan los conteos resultantes. Supn que un votante se selecciona al azar de los 750 votantes resumidos en la tabla anterior. Considera los dos eventos: "el votante seleccionado est a favor" y "el votante es republicano". Estos dos eventos son independientes? Para responder esto considera las siguientes tres probabilidades: 1) pro- babilidad de que el votante seleccionado est a favor; 2) probabilidad de que el votante seleccionado est a favor, si sabes que el votante es republi- cano, y 3) probabilidad de que el votante seleccionado est a favor, si sabes que el votante no es republicano. Probabilidad de que el votante seleccionado est a favor P = P(a favor) = 450/750 = 0.60. Probabilidad de que el votante seleccionado est a favor, si sabes que el votante es republicano = P(en favor | republicano) = 135/225 = 0.60. Probabilidad de que el votante seleccionado est a favor, si sabes que el votante no es republicano = Probabilidad de que el votante seleccionado est a favor, si sabes que el votante es demcrata = P(a favor | no republicano) = P(a favor | demcrata) = 315/525 = 0.60. Saber que la afiliacin poltica del votante tiene un efecto influyente so- bre la probabilidad de que el votante est a favor de la propuesta presupues- tal? Sin informacin acerca de la afiliacin poltica, la probabilidad de estar a favor es 0.60. La informacin acerca del evento "republicano" no altera la probabilidad de "a favor". Todas tienen el valor 0.60. En consecuencia, se dice que estos dos eventos son eventos independientes. Nmero a favor Nmero en contra Nmero de votantes Republicano 135 90 225 Demcrata 315 210 525 Totales 450 300 750 Seccin 4.5 Eventos independientes www.fullengineeringbook.net 210 Captulo 4 Probabilidad EVENTOS DE NAIPES INDEPENDIENTES Considera un mazo regular de naipes y los dos eventos: "naipe extrado es reina" y "naipe extrado es corazn". Supn que el mazo se baraja, al azar se extrae un naipe y, antes de mirar el naipe, te preguntan la probabilidad de que sea "reina". T dices 4/52, o 1/13. Despus observan el naipe y te dicen que es un "corazn". Ahora: cul es la probabilidad de que el naipe sea una "reina"? T dices que es 1/13, la misma que antes de saber que el naipe era un "corazn". La pista de que el naipe era un corazn te ofreci informacin adicio- nal, pero dicha informacin no cambi la probabilidad de que el naipe fuera una reina. Por tanto, "reina" y "corazn" son independientes. Ms an, supn que, despus de extraer el naipe y mirarlo, te dicen que el naipe "no era un corazn". Cul sera la probabilidad de que el naipe sea una "reina"? T dices 3/39, o 1/13. Nuevamente, observa que saber que el naipe "no es un corazn" proporciona informacin adicional, pero dicha informacin no cambi la probabilidad de que fuera una "reina". Esto es lo que significa que los dos eventos, "naipe es una reina" y "naipe es un corazn", sean independientes. E J E M P L O 4 . 2 1 E J E M P L O 4 . 2 2 COMPRENSIN DE LOS EVENTOS NO INDEPENDIENTES A partir de una encuesta de salida nacional de 13 660 votantes en 250 dis- tritos a lo largo del pas, el 4 de noviembre de 2008, se tiene lo siguiente: Supn que un votante se selecciona al azar de los 13 660 resumidos en la tabla. Considera los dos eventos: "el votante es mujer" y "el votante vot por Obama". Estos dos eventos son independientes? Para responder esto, considera la pregunta: saber que el votante es mujer tiene un efecto influyente sobre la probabilidad de que el votante vot por Obama? Cul es la probabilidad de votar por Obama, si el votante es mujer? T dices: "0.56". Ahora compara esto con la probabilidad de votar por Obama, si el votante no es mujer. T dices que la probabilidad es 0.44. As que te preguntan: saber que el votante fue mujer influy en la probabilidad de votar por Obama? S, as es; es 0.56 cuando el votante es mujer y 0.44 cuando el votante no es mujer. La informacin acerca del evento "mujer" altera la probabilidad de "vot por Obama". Por tanto, estos dos eventos no son independientes y se dice que son eventos dependientes. En forma de ecuacin: P(vot por Obama | se sabe que el votante es mujer) = P(O | W) = 0.56 y P(vot por Obama | se sabe que el votante no es mujer) = P(O | W) = 0.44. Por tanto, P(O | W) & P(O | W) y los dos eventos no son independientes. Porcentaje Porcentaje Porcentaje Porcentaje de votantes por Obama por McCain por otros Hombre 48 44 54 2 Mujer 52 56 43 1 Espadas Corazones Trboles Diamantes Cengage Learning www.fullengineeringbook.net 211 Regla especial de la multiplicacin /DUHJODGHODPXOWLSOLFDFLyQVHVLPSOLFDFXDQGRORVHYHQWRVLQYROXFUDGRVVRQLQGHSHQ- dientes. 6LVDEHVTXHGRVHYHQWRVVRQLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVDODSOLFDUODGHQLFLyQGHLQGH- pendencia, P(B | A) = P(B), a la regla de la multiplicacin, se sigue que: P(A y B) = P(A) U P(B | A) se convierte en P(A y B) = P(A) P(B) Regla especial de la multiplicacin Sean A y B dos eventos independientes definidos en un espacio muestral S. En palabras: probabilidad de A y B = probabilidad de A probabilidad de B En lgebra: P(A y B) = P(A) U P(B) Esta frmula puede expandirse para considerar ms de dos eventos indepen- dientes: P(A y B y C y ... y E) = P(A) U P(B) U P(C) U ... U P(E) En forma de ecuacin: P(reina | naipe es corazn) = P(Q | H) = P(Q) P(reina | naipe no es corazn) = P(Q | no H) = P(Q) Por tanto, P(Q) = P(Q | H) = P(Q | no H) y los dos eventos son inde- pendientes. E J E M P L O 4 . 2 3 EVENTOS DE NAIPES NO INDEPENDIENTES Ahora, considera los dos eventos: "naipe extrado es corazn" y "naipe extra- do es rojo". Los eventos "corazn" y "rojo" son independientes? Al seguir el mismo escenario que en el ejemplo 4.22, se baraja el mazo de 52 naipes, se extrae un naipe al azar y, antes de mirarlo, dices que la probabilidad de que el naipe desconocido sea "rojo" es 26/52 = 1/2. Sin embargo, cuando te dicen la informacin adicional de que el naipe es un "corazn", cambias tu proba- bilidad de que el naipe sea "rojo" a 13/13, o 1. Esta informacin adicional resulta en una probabilidad diferente de "rojo". P(rojo|naipe es corazn) = P(R | H) = 13/13 = 1, y P(rojo) = P(rojo | no tie- nes informacin adicional) = 26/52 = 1/2. Por tanto, la informacin adicional cambi la probabilidad del evento "rojo". Estos dos eventos no son indepen- dientes y en consecuencia se dice que son eventos dependientes. En forma de ecuacin, la definicin establece: A y B son independientes si y slo si P(A | B) = P(A) Nota: define independencia en trminos de probabilidad condicional y pon a prueba la independencia de esa manera. (4.7) Seccin 4.5 Eventos independientes www.fullengineeringbook.net 212 Captulo 4 Probabilidad Con frecuencia, esta ecuacin es conveniente para calcular probabilidades, pero no ayuda a entender la relacin entre los eventos A y B. Es la GHQLFLyQ la que te dice cmo debes pensar acerca de los eventos independientes. Los estudiantes que entienden la inde- pendencia de esta forma obtienen comprensin de lo que trata la independencia. Esto debe conducirte a pensar con ms claridad acerca de situaciones que tratan con eventos indepen- dientes y en consecuencia hacen que tengas menos probabilidad de confundir el concepto de eventos independientes con eventos mutuamente excluyentes o a cometer otros errores comunes concernientes a la independencia. Nota: no uses P(A y B) = P(A) U P%FRPRODGHQLFLyQGHLQGHSHQGHQFLD(VXQDSUR- SLHGDGTXHUHVXOWDGHODGHQLFLyQ3XHGHXVDUVHFRPRXQDSUXHEDGHLQGHSHQGHQFLDSHUR FRPRHQXQFLDGRQRPXHVWUDVLJQLFDGRRFRPSUHQVLyQSRUHOFRQFHSWRGHHYHQWRVLQGH- pendientes. 4.103 Determina si cada uno de los siguientes pares de even- tos es independiente: a. La rodadura de un par de dados y observar un "1" en el primer dado y un "1" en el segundo dado b. Extraer una "espada" de un mazo regular de naipes y des- pus extraer otra "espada" del mismo mazo sin sustituir el primer naipe c. Igual que el inciso b, excepto que el primer naipe se de- vuelve al mazo antes de extraer el segundo d. Poseer un automvil rojo y tener cabello rubio e. Poseer un automvil rojo y que se ponche un neumtico hoy f. Estudiar para un examen y aprobar el examen 4.104 Determina si cada uno de los siguientes pares de even- tos es independiente: a. La rodadura de un par de dados y observar un "2" en un dado y tener un "total de 10" b. Extraer un naipe de un mazo regular de naipes y tener un naipe "rojo" y tener un "as" c. Que llueva hoy y aprobar el examen de hoy d. Que llueva hoy y jugar golf hoy e. Completar la tarea de hoy y llegar a tiempo a clase 4.105 A y B son eventos independientes y P(A) = 0.7 y P(B) = 0.4. Encuentra P(A y B). 4.106 A y B son eventos independientes y P(A) = 0.5 y P(B) = 0.8. Encuentra P(A y B). 4.107 A y B son eventos independientes y P(A) = 0.6 y P(A y B) = 0.3. Encuentra P(B). 4.108 A y B son eventos independientes y P(A) = 0.4 y P(A y B) = 0.5. Encuentra P(B). 4.109 Si P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4 y A y B son eventos indepen- dientes, cul es la probabilidad de cada uno de los siguientes? a. P(A y B) b. P(B | A) c. P(A | B) 4.110 Supn que Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.4. y P(A y B) = 0.12. a. Cul es P(A | B)? b. Cul es P(B | A)? c. Son A y B independientes? 4.111 Supn que Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.4 y P(A y B) = 0.20. a. Cul es P(A | B)? b. Cul es P(B | A)? c. A y B son independientes? 4.112 Un estudiante se selecciona al azar de un grupo de 200 estudiantes que se sabe consiste en 140 estudiantes de tiem- po completo (80 mujeres y 60 hombres) y 60 estudiantes de tiempo parcial(40 mujeres y 20 hombres). El evento A es "el estudiante seleccionado es de tiempo completo" y el evento C es "el estudiante seleccionado es mujer". D /RVHYHQWRV$\&VRQLQGHSHQGLHQWHV"-XVWLFDWX respuesta. b. Encuentra la probabilidad P(A y C). 4.113 Se extrae un solo naipe de un mazo estndar. Sea A el evento de que "el naipe es un naipe cara" (sota, reina o rey), B es un "naipe rojo" y C es "el naipe es un corazn". Deter- mina si los siguientes pares de eventos son independientes o dependientes: a. A y B b. A y C c. B y C E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 5 www.fullengineeringbook.net 213 4.1148QDFDMDFRQWLHQHFXDWURFKDVGHSyTXHUURMDV\WUHV D]XOHV6HVHOHFFLRQDUiQWUHVFKDVGHSyTXHUDOD]DUXQDDOD vez. D &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODVWUHVFKDVVHUiQURMDV si la seleccin se hace con reemplazo? E &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODVWUHVFKDVVHDQURMDV si la seleccin se hace sin reemplazo? c. Las extracciones son independientes en el inciso a o en HOE"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 4.115 Si se excluye la cobertura por prestaciones laborales, DSUR[LPDGDPHQWH GH ORV DGXOWRV FRPSUDQ VHJXURV GH vida. La probabilidad de que quienes tienen edad entre 18 y 24 DxRVVLQVHJXURGHYLGDFRPSUDUiQVHJXURGHYLGDHOSUy[L PRDxRHVGH\SDUDTXLHQHVWLHQHQHGDGHVGHDHV GH2SLQLRQ5HVHDUFK a. Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado al azar no compre seguro de vida. E &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQDGXOWRGHDDxRV FRPSUHVHJXURGHYLGDGHQWURGHOVLJXLHQWHDxR" c. Encuentra la probabilidad de que un adulto seleccionado DOD]DUHVWpHQWUH\DxRVGHHGDGQRWHQJD en la actualidad seguro de vida y compre uno dentro GHOSUy[LPRDxR 4.116 El programa espacial estadounidense tiene una historia GHPXFKRVp[LWRV\PXFKRVIUDFDVRV/DDELOLGDGGHORVYXH- los espaciales es de la mayor importancia en el lanzamiento de WUDQVERUGDGRUHVHVSDFLDOHV/DDELOLGDGGHODPLVLyQFRPSOH- WDVHDSR\DHQODDELOLGDGGHWRGRVVXVFRPSRQHQWHV&DGD una de las seis juntas en el cohete propulsor del transborda- dor espacial ChallengerWLHQHXQDDELOLGDGGH/DVVHLV uniones funcionan de manera independiente. D 4XpVLJQLFDGHFLUTXHODVVHLVXQLRQHVIXQFLRQDQ de manera independiente? E &XiOIXHODDELOLGDGSUREDELOLGDGGHODVVHLV uniones al trabajar en conjunto? 4.117 En un estudio de 2008 de Experian Automotive, se descubri que el nmero promedio de vehculos por hogar en Estados Unidos es de 2.28 vehculos. Los resultados tambin PRVWUDURQTXHFDVLGHORVKRJDUHVWLHQHQWUHVRPiVYHKtFX- ORVKWWSZZZDXWRVSLHVFRP a. Si dos hogares estadounidenses se seleccionan al azar, encuentra la probabilidad de que ambos tendrn tres o ms vehculos. b. Si dos hogares estadounidenses se seleccionan al azar, encuentra la probabilidad de que ninguno de los dos tenga tres o ms vehculos. c. Si cuatro hogares estadounidenses se seleccionan al azar, encuentra la probabilidad de que los cuatro tendrn tres o ms vehculos. 4.118 Un artculo del USA Today titulado "Peso excesivo" (5 de febrero de 2009) proporciona los resultados del resumen ZHEGHOD9DORUDFLyQ1DFLRQDOGH6DOXGHQ(VFXHODVGH(GX- FDFLyQ6XSHULRUHQODTXHGHORVHVWXGLDQWHVGLMR que el "estrs" era el problema de salud fsica y mental que FRQPiV IUHFXHQFLDGLFXOWDED VXGHVHPSHxRDFDGpPLFR6L cinco estudiantes universitarios se seleccionan al azar, cul es la probabilidad de que los cinco digan que el "estrs" es el problema de salud fsica y mental que con ms frecuencia GLFXOWDVXGHVHPSHxRDFDGpPLFR" 4.119 El nmero del 16 de junio de 2009 del Democrat and Chronicle present el artculo "La mayora de las veces, los QLxRVWLHQHQODUD]yQ'HDFXHUGRFRQLQIRUPDFLyQGH&'& (Centros para el Control de Enfermedades) y Safe Kids USA, XQJUXSRGHFRQVXOWRUtDQROXFUDWLYRGHORVQLxRVFRQ edades de 19 a 35 meses, reciben todas las vacunas recomen- GDGDV6L WUHVQLxRVFRQHGDGHVGHDPHVHVVHVHOHF- cionan al azar, cul es la probabilidad de que los tres hayan recibido todas las vacunas recomendadas? 4.120 T solicitas dos becas: una beca al mrito (M) y una beca atltica (A). Supn que la probabilidad de que recibas la beca atltica es 0.25, la probabilidad de que recibas ambas becas es 0.15 y la probabilidad de que consigas al menos una de las becas es 0.37. Usa un diagrama de Venn para responder estas preguntas: a. Cul es la probabilidad de que recibas la beca al mrito? b. Cul es la probabilidad de que no recibas ninguna de las dos becas? c. Cul es la probabilidad de que recibas la beca al mrito, dado que te otorgaron la beca atltica? d. Cul es la probabilidad de que recibas la beca atltica, dado que recibiste la beca al mrito? e. Los eventos "recibir una beca atltica" y "recibir una beca al mrito" son eventos independientes? Explica. 4.121 /RVGXHxRVGHXQQHJRFLRGHGRVSHUVRQDVWRPDQVXV decisiones independientemente una de otra y despus compa- ran sus decisiones. Si estn de acuerdo, la decisin se realiza; si no estn de acuerdo, entonces es necesaria una mayor consi- deracin antes de alcanzar una decisin. Si cada persona tiene HO KLVWRULDO GH WRPDU OD GHFLVLyQ FRUUHFWD GH ODV YHFHV cul es la probabilidad de que, en conjunto, ellas: a. Tomen la decisin correcta en el primer intento? b. Tomen la decisin equivocada en el primer intento? c. Demoren la decisin para estudio posterior? 4.122 Las posibilidades en contra de rodar un par de dados y obtener un total de 5, son 8 a 1. Las posibilidades en contra de rodar un par de dados y obtener un total de 10, son 11 a 1. Cul es la probabilidad de rodar los dados dos veces y obtener un total de 5 en la primera rodadura y 10 en la segunda rodadura? Seccin 4.5 Eventos independientes www.fullengineeringbook.net 214 Captulo 4 Probabilidad Los eventos mutuamente excluyentes y los eventos independientes son dos conceptos muy GLIHUHQWHVFRQEDVHHQGHQLFLRQHVTXHSDUWHQGHRULHQWDFLRQHVPX\GLIHUHQWHV/RVGRV conceptos pueden confundirse con facilidad porque interactan mutuamente y estn entre- lazados por los enunciados de probabilidad que se usan para describir dichos conceptos. Para describir estos dos conceptos y eventualmente comprender la distincin entre ellos, as como la relacin entre ellos, es necesario acordar que los eventos a considerar VHDQGRVHYHQWRVQRYDFtRVGHQLGRVHQHOPLVPRHVSDFLRPXHVWUDO\SRUWDQWRFDGDXQR tiene probabilidades distintas de cero. Nota: con frecuencia, los estudiantes tienen momentos difciles al darse cuenta de que, cuando dicen "el evento A es un evento no vaco" y escriben "P(A) > 0", describen la misma situacin. Las palabras y el lgebra con frecuencia parecen no tener el mismo signi- FDGR(QHVWHFDVRODVSDODEUDV\HOHQXQFLDGRGHSUREDELOLGDGGLFHQDPERVTXHHOHYHQWR A existe dentro del espacio muestral. Mutuamente excluyentes /RVHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHVVRQGRVHYHQWRVQRYDFtRVGHQLGRVHQHOPLVPR espacio muestral y que no comparten elementos comunes. 4.123 Considera el conjunto de enteros 1, 2, 3, 4 y 5. a. Un entero se selecciona al azar. Cul es la probabilidad de que sea impar? b. Dos enteros se seleccionan al azar (uno a la vez, con reemplazo, de modo que cada uno de los cinco est dispo- nible para una segunda seleccin). Encuentra la probabi- lidad de que ninguno sea impar; exactamente uno de ellos sea impar; ambos sean impar. 4.124 Una caja contiene 25 partes, de las cuales 3 son defec- tuosas y 22 no son defectuosas. Si 2 partes se seleccionan sin reemplazo, encuentra las siguientes probabilidades: a. P(ambas defectuosas) b. P(exactamente una es defectuosa) c. P(ninguna es defectuosa) 4.125 De acuerdo con el Departamento de Educacin de Esta- dos Unidos, el porcentaje de estudiantes universitarios que se JUDG~DQHQXQSHULRGRGHDxRVGHXQDLQVWLWXFLyQSULYDGDHV 'LFKRSRUFHQWDMHFDHDSDUDLQVWLWXFLRQHVS~EOLFDV 8QDGHODVUD]RQHVSDUDHVWRSXHGHVHUTXHGHORVHVWX- diantes universitarios asiste slo tiempo parcial. Fuente: http://www.naicu.edu/ Qu informacin adicional necesitas para determinar la pro- babilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea de WLHPSRSDUFLDO\VHJUDG~HGHQWURGHDxRV" 4.126 $SDUWLUGHXQDHQFXHVWDGHDGXOWRVSODQHDQFRP- SUDUGXOFHVHVWHDxRHQ3DVFXD/RVWLSRVGHGXOFHVTXHFRPSUD- rn se describen en la tabla siguiente. Qu informacin adicional necesitas para determinar la pro- babilidad de que un cliente seleccionado al azar comprar dul- ces y sern de chocolate? Tabla para el ejercicio 4.126 Chocolate No de chocolate Llenos de crema con licor Melcocha Malteada No sabe 30% 25% 13% 11% 8% 7% 6% Fuente: International Mass Retail Association 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes, estn relacionados? Malvaviscos www.fullengineeringbook.net 215 (VWRVLJQLFD 1. En palabras: en este diagrama de Venn, las reas cerradas que repre- sentan cada evento "no intersecan"; en otras palabras: son conjuntos disjuntos, o no ocurre interseccin entre sus respectivos conjuntos. 2. En lgebra: P(A y B) = 0, que dice: "la interseccin de los dos eventos es un conjunto vaco"; en otras palabras: no hay interseccin entre sus respectivos conjuntos. Nota que el concepto de mutuamente excluyente se basa en la relacin de los elemen- tos que satisfacen los eventos. Mutuamente excluyente no es un concepto de probabilidad SRU GHQLFLyQ VyOR UHVXOWD VHU ~WLO SDUD H[SUHVDU HO FRQFHSWR XVDQGR XQ HQXQFLDGR GH probabilidad. Independencia /RV HYHQWRV LQGHSHQGLHQWHV VRQ GRV HYHQWRV QR YDFtRV GHQLGRV HQ HOPLVPR HVSDFLR muestral que se relacionan en tal forma que la ocurrencia de algn evento no afecta la probabilidad del otro evento. (VWRVLJQLFDTXH 1. En palabras: si el evento A ya ocurri (o se sabe que ocurrir), la probabilidad del evento B no se afecta (esto es: la probabilidad de B despus de saber que ocurri el evento A permanece igual que antes de saber que ocurri el evento A). Adems, tambin es el caso cuando A y B intercambian papeles que si el evento B ya ocurri (o se sabe que ocurrir), la probabilidad del evento A no es afectada (es decir: la probabilidad de A todava es la misma de antes, despus de saber que el evento B ocurri). sta es una "relacin mutua"; funciona en ambas vas. 2. En lgebra: P(B | A) = P(B | no A) = P(B) y P(A | B) = P(A | no B) = P(A) O con algunas palabras para ayudar a interpretar el lgebra, P(B, si sabes que A ocurri) = P(B, si sabes que A no ocurri) = P(B) y P(A, si sabes que B ocurri) = P(A, si sabes que B no ocurri) = P(A). Observa que el concepto de independencia se basa en el efecto que un evento (en este caso, la falta de efecto) tiene sobre la probabilidad del otro evento. Observa las siguientes cuatro demostraciones que relacionan los eventos mutuamente excluyentes con los independientes: Demostracin I Dados: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, A y B son mutuamente excluyentes; son indepen- dientes? Respuesta: si A y B son eventos mutuamente excluyentes P(A | B) = 0.0 y dado que se proporciona P(A) = 0.4, se ve que la ocurrencia de B tiene un efecto sobre la probabi- lidad de A. Por tanto, A y B no son eventos independientes. Conclusin I: si los eventos son mutuamente excluyentes, NO son independientes. Demostracin II Dados: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, y A y B son independientes; los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Diagrama de Venn que representa la poblacin Evento A Evento B Seccin 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes, estn relacionados? www.fullengineeringbook.net 216 Captulo 4 Probabilidad Respuesta: si A y B son eventos independientes, entonces P(A y B) = P(A) U P(B) = 0.4 U 0.5 = 0.20, y puesto que P(A y B) es mayor que cero, los eventos A y B deben LQWHUVHFDUORTXHVLJQLFDTXHORVHYHQWRVQRVRQPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHV Conclusin II: si los eventos son independientes, NO son mutuamente excluyentes. Demostracin III Dados: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, A y B no son mutuamente excluyentes; los eventos A y B son independientes? Respuesta: puesto que A y B no son eventos mutuamente excluyentes, debe ser que P(A y B) es mayor que cero. Ahora, si P(A y B) son exactamente 0.20, entonces A y B son independientes [P(A) U P(B) = 0.4 U 0.5 = 0.20], pero si P(A y B) es cualquier otro valor positivo, por decir, 0.1, entonces los eventos A y B no son independientes. Por tanto, los eventos A y B podran ser independientes o dependientes; se necesita alguna otra informacin para hacer dicha determinacin. Conclusin III: si los eventos no son mutuamente excluyentes, PUEDEN ser indepen- dientes o dependientes; se necesita informacin adicional para determinar cul. Demostracin IV Dados: P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, A y B no son independientes; los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Respuesta: dado que A y B no son eventos independientes, debe ser que P(A y B) es diferente de 0.20, el valor que sera si fueran independientes [P(A) U P(B) = 0.4 U 0.5 = 0.20]. Ahora, si P(A y B) son exactamente 0.00, entonces los eventos A y B son mu- tuamente excluyentes, pero si P(A y B) es cualquier otro valor positivo, por decir, 0.1, entonces los eventos A y B no son mutuamente excluyentes. Por tanto, los eventos A y B podran no ser mutuamente excluyentes; se necesita alguna otra informacin para hacer dicha determinacin. Conclusin IV: si los eventos NO son independientes, PUEDEN ser mutuamente excluyentes o no mutuamente excluyentes; se necesita informacin adicional para de- terminar cul. Consejo 7UDEDMDFRQPXFKRFXLGDGRDSDUWLUGHODLQIRUPDFLyQTXHVHSURSRUFLRQD\ODVGHQL- ciones de los conceptos involucrados. Qu no hacer No te apoyes en el primer ejemplo "de arriba" que pienses te conducir a la respuesta correcta. Por lo general no lo har! Los siguientes ejemplos ofrecen mayor prctica con estos conceptos de probabilidad. E J E M P L O 4 . 2 4 CMO CALCULAR PROBABILIDADES Y LA REGLA DE LA SUMA Se rueda un par de dados. El evento T se define como la ocurrencia de un "total de 10 u 11" y el evento D es la ocurrencia de "dobles". Encuentra la probabilidad P(T o D). Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com www.fullengineeringbook.net 217 E J E M P L O 4 . 2 5 USO DE PROBABILIDADES CONDICIONALES PARA DETERMINAR INDEPENDENCIA En una muestra de 150 residentes, a cada persona se le pregunta si fa- vorece el concepto de tener una sola agencia policiaca en el condado. El condado est compuesto de una gran ciudad y muchos suburbios. La residencia (ciudad o fuera de la ciudad) y las respuestas de los residentes se resumen en la tabla 4.4. Si uno de tales residentes se selecciona al azar, cul es la probabilidad de que la persona: a) favorecer el concep- to, b) favorecer el concepto si la persona seleccionada es un residente de la ciudad, c) favorecer el concepto si la persona seleccionada es un residente de fuera de la ciudad? y d) Los eventos F (favorece el concepto) y C (reside en la ciudad) son independientes? Solucin a) P(F) es la proporcin de la muestra total que favorece el concepto. Por tanto, P(F) = n(F) = 100 = 2 n(S) 150 3 (contina en la pgina 218) Solucin Observa el espacio muestral de 36 pares ordenados para la rodadura de dos dados en la figura 4.6 (p. 205). El evento T ocurre si ocurre alguno de 5 pares ordenados: (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6) (6, 5). Por tanto, P(T) = . El evento D ocurre si ocurre alguno de 6 pares ordenados: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Por tanto, P(D) = . Sin embargo, observa que estos dos eventos no son mutuamente excluyentes. Los dos eventos "comparten" el par ordenado (5, 5). Por tanto, la pro- babilidad P(T y D) = . Como resultado, la probabilidad P(T o D) se encon- trar con la frmula (4.4). P(T o D) = P(T) + P(D) P(T y D) = 5 + 6 1 = 10 = 5 36 36 36 36 18 Observa el espacio muestral de la figura 4.6 y verifica P(T o D) = 5 . 18 Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com 5 36 6 36 1 36 TABLA 4.4 Resultados muestrales para el ejemplo 4.25 Residencia A favor (F) Se opone (F) Total En ciudad (C) 80 40 120 Fuera de la ciudad (C) 20 10 30 Total 100 50 150 Seccin 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes, estn relacionados? www.fullengineeringbook.net 218 Captulo 4 Probabilidad E J E M P L O 4 . 2 6 DETERMINACIN DE INDEPENDENCIA Y USO DE LA REGLA DE LA MULTIPLICACIN Un estudiante se selecciona al azar de un grupo de 200 que se sabe consisten en 140 estudiantes de tiempo completo (80 mujeres y 60 hombres) y 60 estudiantes de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres). El evento A es "el estu- diante seleccionado es de tiempo completo" y el evento C es "el es- tudiante seleccionado es mujer". a) Los eventos A y C son independientes? b) Encuentra la probabilidad P(A y C) con la regla de la multiplicacin. Solucin 1 a) Primero encuentra las pro- babilidades P(A), P(C), y P(A | C): P(A) = n(A) = 140 = 0.7 n(S) 200 P(C) = n(C) = 120 = 0.6 n(S) 200 b) P(F | C) es la probabilidad de que la persona seleccionada favorezca el concepto, dado que vive en la ciudad. La condicin, "es residente de la ciudad", reduce el espacio muestral a los 120 residentes de la ciudad en la muestra. De ellos, 80 favorecen el concepto; por tanto, P(F | C) = n(F y C) = 80 = 2 n(C) 120 3 c) P(F | C) es la probabilidad de que la persona seleccionada favorez- ca el concepto, si se sabe que la persona vive fuera de la ciudad. La condicin, "vive fuera de la ciudad", reduce el espacio muestral a los 30 que no residen en la ciudad; por tanto, P(F | C) = n(F y C) = 20 = 2 n(C) 30 3 d) Las tres probabilidades tienen el mismo valor, . En consecuencia, es posible decir que los eventos F (favor) y C (reside en la ciudad) son independientes. La ubicacin de residencia no afecta P(F). Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com 2 3 60 40 A C 20 80 60 40 A C 20 80 www.fullengineeringbook.net 219 E J E M P L O 4 . 2 7 CMO USAR VARIAS REGLAS DE PROBABILIDAD Un proceso de produccin produce miles de artculos. En promedio, 20% de todos los artculos producidos son defectuosos. Cada artculo se inspecciona antes de embarcarlo. El inspector clasifica mal un artculo 10% de las veces; esto es, P(clasificado bien | artculo defectuoso) = P(clasificado defectuoso | artculo bien) = 0.10 Qu proporcin de los artculos ser "clasificado bien"? Solucin Qu se entiende por el evento "clasificado bien"? G: El artculo es bueno. D: El artculo es defectuoso. CG: El artculo se clasifica bien por el inspector. CD: El artculo se clasifica defectuoso por el inspector. (contina en la pgina 220) Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com P(A | C) = n(A y C) = 80 & 0.67 n(C) 120 A y C son eventos dependientes porque P(A) & P(A | C) b) P(A y C) = P(C) U P(A | C) = 120 U 80 = 80 = 0.4 200 120 200 Solucin 2 a) Primero encuentra las probabili- dades P(A), P(C) y P(C | A): P(A) = n(A) = 140 = 0.7 n(S) 200 P(C) = n(C) = 120 = 0.6 n(S) 200 P(C|A) = n(C y A) = 80 = 0.57 n(A) 140 A y C son eventos dependientes porque P(C) & P(C | A). b) P(C y A) = P(A) U P(C | A) = 140 U 80 = 80 = 0.4 200 140 200 PTI La mala clasifica- cin puede ocurrir de dos formas! Seccin 4.6 Mutuamente excluyentes e independientes, estn relacionados? 60 40 A C 20 80 www.fullengineeringbook.net 220 Captulo 4 Probabilidad 0.8 0.1 0.9 0.9 0.1 0.72 0.02 0.74 E J E R C I C I O S S E C C I N 4 . 6 4.127 a. Describe con tus palabras qu entiendes por dos eventos que son mutuamente excluyentes. b. Describe con tus palabras qu entiendes por dos eventos que son independientes. c. Explica cmo mutuamente excluyente e indepen- diente son dos propiedades muy diferentes. 4.128 a. Describe con tus palabras por qu dos eventos no pueden ser independientes si ya se sabe que son mutuamente excluyentes. b. Describe con tus palabras por qu dos eventos no pueden ser mutuamente excluyentes si ya se sabe que son independientes. CG consiste en dos posibilidades: "el artculo es bueno y est correcta- mente clasificado como bien" y "el artculo es defectuoso y est mal clasifi- cado como bien". Por tanto, P(CG) = P[(CG y G) o (CG y D)] Dado que las dos posibilidades son mutuamente excluyentes, puedes co- menzar usando la regla de la suma, frmula (4.6): P(CG) = P(CG y G) + P (CG y D) La condicin de un artculo y su clasificacin por el inspector no son independientes. Debes usar la regla de la multiplicacin para eventos de- pendientes. Por tanto, P(CG) = P[(G) U P(CG | G)] + [P(D) U P(CG | D)] Al sustituir las probabilidades conocidas en la figura 4.7, se obtiene P(CG) = [(0.8)(0.9)] + [(0.2)(0.1)] = 0.72 + 0.02 = 0.74 Esto es: 74% de los artculos se clasifican bien. FIGURA 4.7 Cmo usar varias reglas de probabilidad Clasificacin del inspector Artculo Bien Defectuoso Bien Bien Defectuoso Defectuoso www.fullengineeringbook.net 221 4.129 P(G) = 0.5, P(H) = 0.4, y P(G y H) = 0.1 (consulta el diagrama). a. Encuentra P(G | H). b. Encuentra P(H | G). c. Encuentra P(H). d. Encuentra P(G o H). e. Encuentra P(G o H). f. Los eventos G y H son mutuamente excluyentes? Expli- ca. g. Los eventos G y H son independientes? Explica. 4.130 P(R) = 0.5, P(S) = 0.3 y los eventos R y S son inde- pendientes. a. Encuentra P(R y S). b. Encuentra P(R o S). c. Encuentra P(S). d. Encuentra P(R | S). e. Encuentra P(S | R). f. Los eventos R y S son mutuamente excluyentes? Explica. 4.131 P(M) = 0.3, P(N) = 0.4 y los eventos M y N son mutua- mente excluyentes. a. Encuentra P(M y N). b. Encuentra P(M o N). c. Encuentra P(M o N). d. Encuentra P(M | N. e. Encuentra P(M | N). f. Los eventos M y N son independientes? Explica. 4.132'RVVHPLOODVGHRUHVVHVHOHFFLRQDQDOD]DUGHXQSD TXHWHTXHFRQWLHQHFLQFRVHPLOODVSDUDRUHVURMDV\WUHVVHPL OODVSDUDRUHVEODQFDV a. Cul es la probabilidad de que ambas semillas resultarn HQRUHVURMDV" b. Cul es la probabilidad de que se seleccione una de cada color? c. Cul es la probabilidad de que ambas semillas sean para RUHVEODQFDV" 4.133 Se entrevistaron a 1 000 empleados en la Russell Mi- croprocessor Company acerca de la satisfaccin laboral. Un empleado se selecciona al azar. Hombre Mujer Califi cado No califi cado Califi cado No califi cado Total Satisfecho 350 150 25 100 625 Insatisfecho 150 100 75 50 375 Total 500 250 100 150 1 000 D (QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQWUDEDMDGRUQRFDOL cado est satisfecho con el trabajo. b. Encuentra la probabilidad de que una empleada mujer FDOLFDGDHVWpVDWLVIHFKDFRQHOWUDEDMR c. La satisfaccin para las empleadas mujeres es indepen- GLHQWHGHTXHVHDQFDOLFDGDVRQRFDOLFDGDV" 4.1348QDFRPSDxtDTXHIDEULFD]DSDWRVWLHQHWUHVIiEULFDV /DIiEULFDSURGXFHGHORV]DSDWRVGHODFRPSDxtD OD IiEULFDSURGXFH\ODIiEULFDSURGXFH8QSRU centaje de los zapatos producidos por la fbrica 1 estn mal HWLTXHWDGRVGHORVSURGXFLGRVSRUODIiEULFDHVWiQWDP ELpQPDOHWLTXHWDGRV\GHORVSURGXFLGRVSRUODIiEULFD igualmente estn mal etiquetados. Si compras un par de zapa- WRVIDEULFDGRVSRUHVWDFRPSDxtDFXiOHVODSUREDELOLGDGGH que los zapatos estn mal etiquetados? PTI Dibuja un diagrama de rbol. Repaso del captulo Imagen copyright Pablo Eder, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.comEn retrospectiva Estudiaste los conceptos bsicos de probabilidad. Necesitas dominar estos fundamentos antes de continuar con el estudio de la estadstica. La probabilidad es el vehculo de la estads- tica y comienzas a ver cmo ocurren los eventos probabilsti- cos. Exploraste probabilidades tericas y experimentales para el mismo evento. La probabilidad experimental resulta tener el mismo valor que la terica? No exactamente, pero viste que, a largo plazo, tiene aproximadamente el mismo valor. Al completar este captulo, debes comprender las propieda- des de la exclusividad mutua y la independencia y poder aplicar las reglas de la multiplicacin a eventos compuestos "y" y "o". Tambin debes poder calcular probabilidades condicionales. Repaso del captulo 0.4 0.3 0.1 H G 0.2 www.fullengineeringbook.net 222 Captulo 4 Probabilidad En los siguientes tres captulos observars distribuciones asociadas con eventos probabilsticos. Esto te preparar para los estadsticos que siguen. Debes poder predecir la variabi- lidad que presentar la muestra respecto a la poblacin antes de poder tener xito en la "estadstica inferencial", donde la poblacin se describe con base en los estadsticos muestrales disponibles. El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de ORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORVFRQFHSWRV y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\HData Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave posibilidades (p. 182) diagrama de rbol (p. 175) diagrama de Venn (p. 177) espacio muestral (p. 173) estadstica (p. 183) evento (p. 173) evento complementario (p. 195) evento compuesto (p. 195) eventos dependientes (p. 209) eventos igualmente probables (p. 173) eventos independientes (p. 208) eventos mutuamente excluyentes (p. 202) eventos todos incluidos (p. 179) frecuencia relativa observada (p. 173) independencia (p. 211) interseccin (p. 202) ley de los grandes nmeros (p. 181) par ordenado (p. 175) probabilidad condicional (p. 190) probabilidad de un evento (p. 173) probabilidad emprica (p. 173) probabilidad experimental (p. 173) probabilidad subjetiva (p. 178) probabilidad terica (p. 174) promedio a largo plazo (p. 181) puntos muestrales (p. 173) regla de la multiplicacin (p. 198) regla de la suma (p. 196) regla del complemento (p. 195) regla especial de la multiplicacin (p. 211) regla especial de la suma (p. 206) regla general de la multiplicacin (p. 198) regla general de la suma (p. 196) resultado (p. 173) Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUHOFRQFHSWREiVLFRGHSUREDELOLGDG SS &RPSUHQGHU\GHVFULELUXQHYHQWRVLPSOH (- &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUODVGLIHUHQFLDVHQWUHSUREDELOLGDGHVHPStULFD SS terica y subjetiva. &DOFXODUHLQWHUSUHWDUIUHFXHQFLDVUHODWLYDV (M ,GHQWLFDU\GHVFULELUXQHVSDFLRPXHVWUDOSDUDXQH[SHULPHQWR SS(M &RQVWUXLUWDEODVGLDJUDPDVGHiUERO\RGLDJUDPDVGH9HQQ (-(M para ayudar en el clculo y la interpretacin de probabilidades. &RPSUHQGHUODVSURSLHGDGHVGHORVQ~PHURVGHSUREDELOLGDG S(M &DGDP$ 2. P(A) = 1 &RPSUHQGHUGHVFULELU\XVDUODOH\GHORVJUDQGHVQ~PHURV (-S(M para determinar probabilidades. &RPSUHQGHUFDOFXODUHLQWHUSUHWDUFXRWDVGHXQHYHQWR (-(M &RPSUHQGHUTXHORVHYHQWRVFRPSXHVWRVLQYROXFUDQODRFXUUHQFLD ([ de ms de un evento. &RQVWUXLUGHVFULELUFDOFXODUHLQWHUSUHWDUXQDSUREDELOLGDGFRQGLFLRQDO (-(M(M todos los resultados www.fullengineeringbook.net 223 &RPSUHQGHU\SRGHUXWLOL]DUODUHJODGHOFRPSOHPHQWR (-(M &DOFXODUSUREDELOLGDGHVGHHYHQWRVFRPSXHVWRVFRQODUHJODGHODVXPD (-(M(- &DOFXODUSUREDELOLGDGHVGHHYHQWRVFRPSXHVWRVFRQODUHJODGHODPXOWLSOLFDFLyQ (-(M &RPSUHQGHUGHVFULELU\GHWHUPLQDUHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHV S(-(M &DOFXODUSUREDELOLGDGHVGHHYHQWRVFRPSXHVWRVFRQODUHJODGHODVXPD (-(M para eventos mutuamente excluyentes. &RPSUHQGHUGHVFULELU\GHWHUPLQDUHYHQWRVLQGHSHQGLHQWHV S(-(M &DOFXODUSUREDELOLGDGHVGHHYHQWRVFRPSXHVWRVFRQODUHJODGHODPXOWLSOLFDFLyQ (-(M para los eventos independientes. 5HFRQRFHU\FRPSDUDUODVGLIHUHQFLDVHQWUHHYHQWRVPXWXDPHQWHH[FOX\HQWHV SS(M y eventos independientes. Ejercicios del captulo [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRVGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP4.135 El Departamento de Transportes de Estados Unidos y la Federal Motor Carrier Safety Administration producen un UHSRUWHDQXDODFHUFDGHYDULDVYLRODFLRQHVGHWUiFR(Q hubo 2 092 "violaciones de movimiento" en el estado de Nue- va York, segn describe la siguiente tabla. Violaciones de movimiento Nmeros 2008 No obedecer el dispositivo de control de trfico 1 050 Seguir muy de cerca 37 Cambio de carril inadecuado 67 Paso inadecuado 9 Conducir imprudentemente 4 Acelerar 857 Vueltas prohibidas 33 No respetar derecho de paso 13 Operar un vehculo de motor mientras se 22 est enfermo o fatigado Total 2 092 Si una violacin se selecciona al azar para revisin, cul es la probabilidad de que la violacin de movimiento se deba a: a. Acelerar? b. Conducir imprudentemente? c. Paso o vueltas prohibidas? d. Si dos violaciones se seleccionan para revisin, ste se- ra un ejemplo de muestreo con o sin reemplazo? Explica por qu. 4.136 [EX04-136] El nmero de personas que vivan en los 50 estados de Estados Unidos y el Distrito de Columbia en septiembre de 2004 se report por grupos etreos en la si- guiente tabla. Grupo etreo Porcentaje Nmero (miles) 0-17 25% 73 447.7 18-24 10% 28 855.7 25-34 13% 39 892.5 34-49 23% 66 620.3 50 29% 84 119.8 D 9HULFDORVSRUFHQWDMHVUHSRUWDGRVHQODWDEOD Si una persona se selecciona al azar de todas las personas re- presentadas en la tabla, cul es la probabilidad de los siguien- tes eventos? E(QWUH\&yPRVHUHODFLRQDFRQHOPHQFLR- nado en la tabla? c. "Mayor que 17" d. "Entre 18 y 24" y "mayor que 17" e. "Entre 18 y 24" o "mayor que 17" f. "Al menos 25" g. "No ms de 24" 4.137 A 1 000 personas tamizadas por cierta enfermedad se les practica un examen clnico. Como resultado del examen, la PXHVWUDGHSHUVRQDVVHFODVLFDGHDFXHUGRFRQHVWDWXUD y estado de enfermedad. Estado de enfermedad Estatura Ninguno Leve Moderado Severo Total Alto 122 78 139 61 400 Mediano 74 51 90 35 250 Bajo 104 71 121 54 350 Total 300 200 350 150 1 000 Usa la informacin de la tabla para estimar la probabilidad de ser mediano o bajo y de tener un estado de enfermedad mode- rado o severo. 4.138 [EX04-138] /D)HGHUDO+LJKZD\$GPLQLVWUDWLRQUDV- trea peridicamente el nmero de los conductores con licencia por sexo y por edad. La siguiente tabla muestra los resultados de los hallazgos de la administracin en 2007: (contina en la pgina 224) Ejercicios del captulo Fuente: Encuesta de poder adquisitivo de EUA de Sales & Marketing Manage- ment, septiembre de 2004, para los 50 estados de EUA y el Distrito de Columbia. www.fullengineeringbook.net 224 Captulo 4 Probabilidad Grupo edad (aos) Hombre Mujer 19 y menos 5 077 141 4 843 033 20-24 8 669 114 8,520 482 25-29 9 072 595 9 077 275 30-34 8 852 063 8 766 584 35-39 9 762 966 9 935 291 40-44 10 117 084 10 041 634 45-49 10 583 203 10 641 856 50-54 9 869 590 9 994 330 55-59 8 581 110 8 723 673 60-64 6 891 032 6 976 462 65-69 4 981 745 5 095 436 70-74 3 733 751 3 877 392 75-79 2 933 321 3 187 834 80-84 1 999 765 2 305 836 85 y ms 1 340 456 1 589 791 Total 102 464 936 103 576 909 Supn que encuentras un conductor de un vehculo al azar. Encuentra las probabilidades de los siguientes eventos: D (OFRQGXFWRUHVKRPEUH\PD\RUGHDxRVGHHGDG b. El conductor es mujer o menor de 30. c. El conductor es menor de 25. d. El conductor es mujer. e. El conductor es hombre entre las edades de 35 y 49. f. El conductor es mayor de 69. g. El conductor es mujer, dado que el conductor est entre las edades de 25 y 44. h. El conductor est entre las edades de 25 y 44, dado que el conductor es mujer. 4.139 Supn que existen tres semforos entre tu casa y la casa de un amigo. Conforme llegas a cada semforo, puede ser rojo (R) o verde (V). a. Menciona el espacio muestral que presente todas las posibles secuencias de luces rojas y verdes que pudieran ocurrir en un viaje desde tu casa hasta la casa de tu ami- go. (RVV representa rojo en la primera luz y verde en las otras dos.) Supn que cada elemento del espacio muestral es igualmente probable que ocurra. b. Cul es la probabilidad de que, en tu siguiente viaje a la casa de tu amigo, tengas que detenerte exactamente en una luz roja? c. Cul es la probabilidad de que tengas que detenerte durante al menos una luz roja? 4.140 Si supones que es igualmente probable que una mujer GpD OX]XQQLxRRXQDQLxDXVDXQGLDJUDPDGHiUEROSDUD calcular la probabilidad de que una familia de cuatro hijos con- VLVWDHQXQQLxR\WUHVQLxDV 4.141 Ejercicio Applet Skillbuilder Simula la ge- neracin de una familia. La "familia" dejar de tener KLMRV FXDQGR WHQJD XQ QLxR R WUHV QLxDV OR TXH VXFHGD primero. Si supones que una mujer tiene igual probabi- OLGDGGHGDUDOX]XQQLxRR XQDQLxDUHDOL]DODVLPXODFLyQYHFHV&XiOHVODSUREDELOL GDGGHTXHODIDPLOLDWHQJDXQQLxR" 4.142 Una moneda se lanza tres veces. a. Dibuja un diagrama de rbol que represente todos los posibles resultados. E ,GHQWLFDWRGDVODVUDPDVTXHUHSUHVHQWDQHOHYHQWR "ocurre exactamente una cara". c. Encuentra la probabilidad de "ocurre exactamente una cara". 4.143 Una encuesta reciente de familias del estado de Nueva York pregunt acerca de los hbitos de vacaciones. La siguien- te tabla de dos vas muestra el nmero de familias de acuerdo con dnde viven (rural, suburbana, urbana) y la duracin de sus ltimas vacaciones (1 a 7 das, 8 das o ms). Rural Suburbana Urbana Total 1 a 7 das 90 57 52 199 8 das o ms 74 38 21 133 Total 164 95 73 332 Si una familia se selecciona al azar de estas 332 familias, cul es la probabilidad de lo siguiente? a. Pasan 8 das o ms de vacaciones. b. Es una familia rural. c. Es una familia urbana y pasa 8 das o ms de vacaciones. d. Es una familia rural o pasa de 1 a 7 das de vacaciones. e. Pasan 8 das o ms de vacaciones, dado que es una familia suburbana. f. Es una familia rural, dado que pasan 1 a 7 das de vacaciones. 4.144 La demografa de edad y gnero para los estudiantes de tiempo completo del Monroe Community College en oto- xRGHVHGHVWDFDQHQODWDEODVLJXLHQWH 19 y menos 20-24 25-29 30 y ms Mujer 2 928 1 658 420 649 Hombre 2 883 1 705 377 438 Total 5 811 3 363 797 1 087 Applets Skillbuilder disponibles a travs de cengagebrain.comFuente: U.S Department of Transportation, Federal Highway Administration. Highway Statistics 2007 www.fullengineeringbook.net 225 Si uno de dichos estudiantes se selecciona al azar, cul es la probabilidad de que el estudiante a. sea hombre? E WHQJDHQWUH\DxRVGHHGDG" c. sea mujer y de 30 o ms? G VHDKRPEUHRWHQJDDxRV\PHQRV" H WHQJDHQWUH\DxRVGHHGDGGDGRTXHHOHVWXGLDQWH es mujer? f. sea estudiante hombre, dado que el estudiante tiene 20 o ms? 4.145(VWDJUiFDGHEDUUDVPXHVWUDHOQ~PHURGHDXWRPyYL- les registrados en cada uno de varios pases. a. Menciona al menos dos pases no incluidos en la infor- macin. b. Por qu todas las probabilidades resultantes de esta informacin son probabilidades condicionales? &RQEDVHHQODLQIRUPDFLyQGHODJUiFD c. Qu porcentaje de todos los automviles en dichos pases est registrado en Estados Unidos? d. Si un automvil registrado se selecciona al azar de entre todos estos automviles, cul es la probabilidad de que est registrado en Estados Unidos? e. Explica la relacin entre tus respuestas a los incisos c y d. 4.146 Las probabilidades para los eventos A, B y C se distri- EX\HQFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD(QFXHQWUD a. P(A y B) b. P(A o C) c. P(A | C) 4.147 Demuestra que, si el evento A es un subconjunto del evento B, entonces P(A o B) = P(B). 4.148 Explica por qu estas probabilidades no pueden ser le- gtimas: P(A) = 0.6, P(B) = 0.4, P(A y B) = 0.7. 4.149 Llega un embarque de uvas que contiene las siguientes SURSRUFLRQHVGHWLSRVVLQVHPLOODURVDVLQVHPLOOD EODQFDFRQVHPLOODURVD\FRQVHPLOODEODQFD8QD uva se selecciona al azar del embarque. Encuentra la probabi- lidad de estos eventos: a. No tiene semillas. b. Es blanca. c. Es rosa y sin semillas. d Es rosa o sin semillas. e. Es rosa, dado que no tiene semillas. f. Es sin semillas, dado que es rosa. 4.1508QDQiOLVLVGHWUiFRHQXQDWUDQVLWDGDJORULHWDHQ:DV- hington, DC, mostr que 0.8 de los automviles que usan la glorieta entran desde Connecticut Avenue. De los que entran a la glorieta desde Connecticut Avenue, 0.7 siguieron sobre Connecticut Avenue en el lado opuesto de la glorieta. Cul es la probabilidad de que un automvil seleccionado al azar observado en la glorieta entre desde Connecticut y contine sobre Connecticut? 4.151 Supn que, cuando un candidato a un empleo se en- trevista en RJB Enterprises, la probabilidad de que querr el puesto (A) despus de la entrevista es 0.68. Adems, la pro- babilidad de que RJB querr al candidato (B) es 0.36. La pro- babilidad P(A | B) es 0.88. a Encuentra P(A y B). b. Encuentra P(B | A). c. Los eventos A y B son independientes? Explica. (contina en la pgina 226) Japn Alemania Reino Unido Mxico Francia Suecia Canad EUA Nmero de automviles MillonesEjercicios del captulo 140 120 100 80 60 40 20 0 49.8 27.4 42.3 3.8 22.1 13.8 9.8 132.4 A 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 C 0.1 B www.fullengineeringbook.net 226 Captulo 4 Probabilidad d. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explica. H 4XpVLJQLFDUtDGHFLUTXH$\%VRQHYHQWRVPXWXDPHQ- te excluyentes en este ejercicio? 4.152 La probabilidad de que haya tormentas en la vecindad de un aeropuerto particular en el medio oeste en un da de agosto es 0.70. Cuando hay tormentas en la vecindad, la pro- babilidad de que un avin aterrice a tiempo es 0.80. Encuentra la probabilidad de que haya tormentas en la vecindad y que el avin aterrice a tiempo. 4.153 Llantas rescatadas de un choque de trenes estn a la venta en Getrich Tire Company. De las 15 llantas ofrecidas en YHQWDVXIULHURQGDxRLQWHUQR\ODVUHVWDQWHVHVWiQOLEUHV GHGDxR7~VHOHFFLRQDVDOD]DU\FRPSUDVGRVGHODVOODQWDV a. Cul es la probabilidad de que ambas llantas que FRPSUDVWHHVWpQOLEUHVGHGDxR" b. Cul es la probabilidad de que exactamente una GHODVOODQWDVTXHFRPSUDVWHHVWpOLEUHGHGDxR" c. Cul es la probabilidad de que al menos una de las OODQWDVTXHFRPSUDVWHHVWpOLEUHGHGDxR" 4.154 De acuerdo con estadsticas de accidentes automovi- lsticos, uno de cada seis accidentes resulta en un reclamo de VHJXURGHRPHQRVHQGDxRDODSURSLHGDG7UHVDXWRPy- YLOHVDVHJXUDGRVSRUXQDFRPSDxtDDVHJXUDGRUDVHLQYROXFUDQ en diferentes accidentes. Considera estos dos eventos: A: La mayora de las reclamaciones supera $100. B: Exactamente dos reclamaciones son de $100 o menos. a. Menciona los puntos muestrales para este experimento. b. Los puntos muestrales son igualmente probables? c. Encuentra P(A) y P(B). G /RVHYHQWRV$\%VRQLQGHSHQGLHQWHV"-XVWLFDWX respuesta. 4.1558QDRUJDQL]DFLyQGHSUXHEDVTXLHUHFDOLFDUXQDPDUFD particular de televisores. Se seleccionan al azar seis televisores del inventario. Si nada se encuentra defectuoso con alguno de los seis, la marca se juzga satisfactoria. D &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODPDUFDVHFDOLTXH VDWLVIDFWRULDVLGHORVWHOHYLVRUHVUHDOPHQWH son defectuosos? E &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODPDUFDVHFDOLTXH VDWLVIDFWRULDVLGHORVWHOHYLVRUHVUHDOPHQWHVRQ defectuosos? F &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODPDUFDVHFDOLTXH VDWLVIDFWRULDVLGHORVWHOHYLVRUHVUHDOPHQWHVRQ defectuosos? 4.156 Supn que cierto rasgo oftlmico se asocia con el color de ojos. Se estudian 300 individuos seleccionados al azar, con los resultados dados en la siguiente tabla. Color de ojos Rasgo Azul Caf Otro Total S 70 30 20 120 No 20 110 50 180 Total 90 140 70 300 a. Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga ojos azules? b. Cul es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga el rasgo? c. Los eventos A (tiene ojos azules) y B (tiene el rasgo) son LQGHSHQGLHQWHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD d. Cmo se relacionan los dos eventos, A (tiene ojos azu- les) y C (tiene ojos cafs): independientes, mutuamente excluyentes, complementarios o todos incluidos? Explica por qu s o por qu no se aplica cada trmino. 4.157 Como se menciona en The World Factbook, 2009, la estructura etrea de la poblacin estadounidense se muestra en la tabla. Hombre Mujer 0 a 14 aos 31 639 127 30 305 704 15 a 64 aos 102 665 043 103 129 321 65 aos y ms 16 901 232 22 571 696 Si un ciudadano estadounidense se seleccionara al azar de esta poblacin, cul es la probabilidad de que la persona selec- cionada a. sea mujer? E WHQJDDDxRVGHHGDG" F VHDKRPEUH\WHQJDDDxRVGHHGDG" G VHDPXMHURWHQJDDxRV\PiV" H WHQJDPHQRVGHDxRVGHHGDGVLVDEHVTXHODSHUVRQD es mujer? I VHDKRPEUHGDGRTXHODSHUVRQDWLHQHDDxRVGH edad? g. Los eventos "persona seleccionada es hombre" y "per- sona seleccionada es mujer" son eventos independientes? -XVWLFDWXUHVSXHVWD&XiOHVODUHODFLyQHQWUHPXMHU\ hombre en esta situacin? Fuente: The World Factbook, julio de 2009. https://www.cia.gov/ www.fullengineeringbook.net 227 4.158 La siguiente tabla muestra los sentimientos de 2 500 empleados asalariados en la Spruce Company acerca de una propuesta para enfatizar las prestaciones complementarias en lugar del aumento salarial durante las inminentes discusiones de contrato. Opinin Empleado Favor Neutral Opone Total Hombre 800 200 500 1 500 Mujer 400 100 500 1 000 Total 1 200 300 1 000 2 500 a. Calcula la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar de este grupo se oponga. b. Calcula la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar de este grupo sea mujer. c. Calcula la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar de este grupo se oponga, dado que la persona es mujer. d. Los eventos "opone" y "mujer" son independientes? Explica. 4.159/RVHYHQWRV5\6VHGHQHQHQXQHVSDFLRPXHVWUDO Si P(R) = 0.2 y P(S) = 0.5, explica por qu cada uno de los siguientes enunciados es o verdadero o falso: a. Si R y S son mutuamente excluyentes, entonces P(R o S) = 0.10. b. Si R y S son independientes, entonces P(R o S) = 0.6. c. Si R y S son mutuamente excluyentes, entonces P(R y S) = 0.7. d. Si R y S son mutuamente excluyentes, entonces P(R o S) = 0.6. 4.1606HFRQVLGHUDTXHGHORVSDFLHQWHVGHXQDFOtQLFDWLH- nen cncer. Una prueba de sangre particular produce un resulta- GRSRVLWLYRSDUDGHORVSDFLHQWHVFRQFiQFHUSHURWDPELpQ PXHVWUDSRVLWLYRSDUDGHORVSDFLHQWHVTXHQRWLHQHQFiQFHU Un paciente se elige al azar de la lista de pacientes de la clnica y se somete a la prueba. Cul es la probabilidad de que, si la prueba resulta positiva, la persona realmente tenga cncer? 4.161 La caja 1 contiene dos bolas rojas y tres bolas verdes y la caja 2 contiene cuatro bolas rojas y una bola verde. Una bola se selecciona al azar de la caja 1 y se coloca en la caja 2. Despus una bola se selecciona al azar de la caja 2. Cul es la probabilidad de que la bola seleccionada de la caja 2 sea verde? 4.162 Los vendedores Adams y Jones llaman a tres y cuatro clientes, respectivamente, un da dado. Adams podra hacer 0, 1, 2 o 3 ventas, mientras que Jones podra hacer 0, 1, 2, 3 o 4 ventas. En la tabla se presenta el espacio muestral que mencio- na el nmero de posibles ventas para cada persona en un da dado. (3, 1 representa 3 ventas de Jones y 1 venta de Adams.) Jones Adams 0 1 2 3 4 0 0, 0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0 1 0, 1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 3 0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 Supn que cada punto muestral es igualmente probable. Con- sidera estos eventos: A: Al menos uno de los vendedores no realiza ventas. B. En conjunto hacen exactamente tres ventas. C: Cada uno hace el mismo nmero de ventas. D: Adams hace exactamente una venta. Encuentra las probabilidades al contar los puntos muestrales: a. P(A) b. P(B) c. P(C) d. P(D) e. P(A y B) f. P(B y C) g. P(A o B) h. P(B o C) i. P(A | B) j. P(B | D) k. P(C | B) l. P(B | A) m. P(C | A) n. P(A o B o C) Los siguientes pares de eventos son mutuamente excluyen- tes? Explica. o. A y B p. B y C q. B y D Los siguientes pares de eventos son independientes? Explica. r. A y B s. B y C t. B y D 4.163 Alex, Bill y Chen, cada uno, a la vez, lanzan una mone- da balanceada. Gana el primero en lanzar una cara. a. Cules son sus respectivas probabilidades de ganar si cada uno lanza una sola vez? b. Cules son sus respectivas probabilidades de ganar si continan lanzando un mximo de dos veces cada uno? 4.164 La moneda A est cargada en tal forma que P(caras) es 0.6. La moneda B es una moneda equilibrada. Ambas monedas se lanzan. Encuentra: a. El espacio muestral que representa este experimento; asigna una medida de probabilidad a cada resultado. b. P(ambas muestran caras). (contina en la pgina 228) PTI Dibuja un diagrama de rbol. Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 228 Captulo 4 Probabilidad c. P(muestra exactamente una cara). d. P(ninguna moneda muestra una cara). e. P(ambas muestran caras | moneda A muestra cara). f. P(ambas muestran caras | moneda B muestra cara). g. P(caras en moneda A | muestra exactamente una cara). 4.165(OSURIHVRU)UHQFKROYLGDMDUVXDODUPDFRQXQDSUR- EDELOLGDGGH6LMDODDODUPDVXHQDFRQXQDSUREDELOLGDG de 0.8. Si la alarma suena, se despierta a tiempo para dar su pri- mera clase con una probabilidad de 0.9. Si la alarma no suena, se despierta a tiempo para su primera clase con una probabili- dad de 0.2. Cul es la probabilidad de que el profesor French GHVSLHUWHDWLHPSRSDUDLPSDUWLUVXSULPHUDFODVHPDxDQD" 4.166 La probabilidad de que cierta puerta se cierre es 0.6. /DOODYHSDUDODSXHUWDHVXQDGHFLQFROODYHVQRLGHQWLFDGDV que cuelgan de un llavero. T seleccionas dos llaves antes de aproximarte a la puerta. Cul es la probabilidad de que pue- das abrir la puerta sin regresar por otra llave? 4.167 Tu museo de arte local plane el calendario de 52 se- PDQDVGHOSUy[LPRDxRDOSURJUDPDUXQDPH]FODGHH[SRVL- ciones de 1 y 2 semanas que presentan las obras de 22 pin- tores y 20 escultores. Hay una exposicin programada para FDGD VHPDQDGHO DxR\ VyORXQDUWLVWD VHSUHVHQWD D ODYH] Hay 42 diferentes exposiciones programadas para el prximo DxR7~HOLJHVXQDVHPDQDDOD]DUSDUDDVLVWLU\WHGLFHQTXH la probabilidad de que sea una exposicin de escultura de 2 semanas es 3/13. a. Cul es la probabilidad de que la exposicin que seleccionaste sea la exposicin de un pintor? b. Cul es la probabilidad de que la exposicin que seleccionaste sea la exposicin de un escultor? c. Cul es la probabilidad de que la exposicin que seleccionaste sea una exposicin de una semana? d. Cul es la probabilidad de que la exposicin que seleccionaste sea una exposicin de 2 semanas? 4.168 Un reporte escrito de dos pginas contiene un error en una de las pginas. Dos lectores de pruebas revisan el escrito. &DGDXQR WLHQHXQDRSRUWXQLGDGGHGHSHVFDU HO HUURU &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHHOHUURUVHLGHQWLTXHHQORV siguientes casos? a. Cada uno lee una pgina diferente. b. Cada uno lee ambas pginas. c. El primer lector selecciona al azar una pgina para leer y despus el segundo lector selecciona al azar una pgina, sin estar al tanto de cul pgina se seleccion primero. 4.169 En deportes, los campeonatos con frecuencia se deci- den entre dos equipos que juegan una serie de campeonato. &RQIUHFXHQFLDORVIDQiWLFRVGHOHTXLSRSHUGHGRUDUPDQTXH no tuvieron suerte y su equipo en realidad es el mejor equipo. Supn que el equipo A es el mejor equipo y la probabilidad de que vencer al equipo B en cualquier juego es 0.6. a. Cul es la probabilidad de que el mejor equipo, el equi- po A, gane la serie, si es una serie de un juego? b. Cul es la probabilidad de que el mejor equipo, el equi- po A, gane la serie, si es el mejor en una serie de tres? c. Cul es la probabilidad de que el mejor equipo, el equi- po A, gane la serie, si es una serie de siete? d. Supn que la probabilidad de que A derrote a B en cual- quier juego en realidad es 0.7. Vuelve a calcular los incisos a-c. e. Supn que la probabilidad de que A venza a B en cual- quier juego dado en realidad es 0.9. Vuelve a calcular los incisos a-c. f. Cul es la relacin entre el "mejor" equipo que gana y el nmero de juegos jugados? El mejor equipo que gana y las probabilidades de que cada uno gane? 4.170 Una mujer y un hombre (no relacionados) cada uno tie- QHQGRVKLMRV$OPHQRVXQRGHORVKLMRVGHODPXMHUHVXQQLxR \HOKLMRPD\RUGHOKRPEUHHVQLxR/DSUREDELOLGDGGHTXH ODPXMHUWHQJDGRVQLxRVHVPD\RUTXHLJXDODRPHQRUTXHOD SUREDELOLGDGGHTXHHOKRPEUHWHQJDGRVQLxRV" a. Demuestra la veracidad de tu respuesta usando una mues- tra simple para representar a cada familia. b. Demuestra la veracidad de tu respuesta al tomar dos muestras, una de hombres con familias de dos hijos y una de mujeres con familias de dos hijos. c. Demuestra la veracidad de tu respuesta usando simula- cin por computadora. Con la funcin de probabilidad de Bernoulli, con p VHD QLxD\ QLxRJHQHUD 500 "familias de dos hijos" para el hombre y la mujer. Determina cul de las 500 satisface la condicin para cada una y determina la proporcin observada con dos QLxRV www.fullengineeringbook.net 229 d. Demuestra la veracidad de tu respuesta al repetir la simula- cin por computadora varias veces. Repite la simulacin del inciso c varias veces. e. Los procedimientos anteriores parecen producir los mismos resultados? Explica. 4.171 Tres monedas equilibradas se lanzan simultneamente. Encuentra la probabilidad de obtener tres caras, dado que al menos una de las monedas muestra caras. a. Resuelve usando un espacio muestral igualmente probable. b. Resuelve usando la frmula para probabilidad condicional. Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negrillas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 4.1 La probabilidad de un evento es un nmero entero. 4.2 Los conceptos de probabilidad y frecuencia relativa, como se relacionan con un evento, son muy similares. 4.3 El espacio muestral es la poblacin terica para pro- blemas de probabilidad. 4.4 Los puntos muestrales de un espacio muestral son eventos igualmente probables. 4.5 El valor que se encuentra para la probabilidad experi- mental siempre ser exactamente igual a la probabili- dad terica asignada al mismo evento. 4.6 Las probabilidades de los eventos complementarios siempre son iguales. 4.7 Si dos eventos son mutuamente excluyentes, tambin son independientes. 4.8 Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, la suma de sus probabilidades debe ser exactamente 1. 4.9 Si los conjuntos de puntos muestrales que pertenecen a dos diferentes eventos no se intersecan, los eventos son independientes. 4.10 Un evento compuesto, formado con la palabra "y", re- quiere el uso de la regla de la suma. PARTE II: Aplicacin de los conceptos 4.11 Una computadora se programa para generar los ocho enteros de un solo dgito 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, con igual frecuencia. Considera el experimento "el siguiente en- tero generado" y estos eventos: A: nmero impar, {1, 3, 5, 7} B: nmero mayor que 4, {5, 6, 7, 8} C: 1 o 2, {1, 2} a. Encuentra P(A). b. Encuentra P(B). c. Encuentra P(C). d. Encuentra P(C). e. Encuentra P(A y B). f. Encuentra P(A o B). g. Encuentra P(B y C). h. Encuentra P(B o C). i. Encuentra P(A y C). j. Encuentra P(A o C). k. Encuentra P(A | B). l. Encuentra P(B | C). m. Encuentra P(A | C) n. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explica. o. Los eventos B y C son mutuamente excluyentes? Explica. p. Los eventos A y C son mutuamente excluyentes? Explica. q. Los eventos A y B son independientes? Explica. r. Los eventos B y C son independientes? Explica. s. Los eventos A y C son independientes? Explica. 4.12 Los eventos A y B son mutuamente excluyentes y P(A) = 0.4 y P(B) = 0.3 a. Encuentra P(A y B). b. Encuentra P(A o B). c. Encuentra P(A | B). d. Los eventos A y B son independientes? Explica. 4.13 Los eventos E y F tienen probabilidades P(E) = 0.5, P(F) = 0.4 y P(E y F) = 0.2. a. Encuentra P(E o F). b. Encuentra P(E | F). c. Los eventos E y F son mutuamente excluyentes? Explica. d Los eventos E y F son independientes? Explica. e. Los eventos G y H son independientes? Explica. 4.14 -DQLFH TXLHUH FRQYHUWLUVH HQ RFLDO GH SROLFtD (OOD debe aprobar un examen fsico y despus un examen escrito. Los registros muestran que la probabilidad de aprobar el examen fsico es 0.85 y que, una vez apro- bado el examen fsico, la probabilidad de aprobar el examen escrito es 0.60. Cul es la probabilidad de que Janice apruebe ambos exmenes? PARTE III: Comprender los conceptos 4.15 El estudiante A dice que independientes y mutuamente excluyentes bsicamente son la misma cosa; a saber: DPERVVLJQLFDQTXHQLQJ~QHYHQWRWLHQHTXHYHUFRQ HORWUR(OHVWXGLDQWH%DUJXPHQWDTXHDXQTXHODDU- macin del estudiante A tiene cierta verdad, el estu- diante A no comprende el punto principal de estas dos propiedades. El estudiante B tiene la razn. Explica cuidadosamente por qu. 4.16 Con oraciones completas, describe lo siguiente con tus palabras: a. Eventos mutuamente excluyentes b. Eventos independientes c. La probabilidad de un evento d. Una probabilidad condicional Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 230 Captulo 00 Captulo ttulo 5 5.1 Variables aleatorias Un valor numrico asignado a cada resultado 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta La probabilidad para cada valor de la variable aleatoria se menciona en una distribucin de probabilidad 5.3 Distribucin de probabilidad binomial Las situaciones binomiales ocurren cuando cada ensayo tiene dos posibles resultados Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 5.1 Variables aleatorias EUA y sus automviles Los estadounidenses estn muy enamorados del automvil y muchos tienen ms de uno disponible para ellos. El promedio nacional es 2.28 vehculos por hogar, con casi 34% con un solo vehculo y 31% con dos vehculos en el hogar. Sin embargo, casi 35% de todos los hogares tienen tres o ms vehculos. Vehculos, x 1 2 3 4 5 6 7 8 P (x) 0.34 0.31 0.22 0.06 0.03 0.02 0.01 0.01 Al aparear el nmero de vehculos por hogar como la variable x, con la probabilidad para cada valor de x, se crea una distribucin de probabilidad. Esto es muy parecido a la distribucin de frecuencias relativas que estudiaste en el captulo 2. Si a cada resultado de un experimento de probabilidad se le asigna un valor numrico, entonces, cuando revisas los resultados del experimento, observas los valores de una variable aleatoria. Este valor numrico es el valor de la variable aleatoria. Variable aleatoria Variable que asume un valor numrico nico para cada uno de los resul- tados en el espacio muestral de un experimento de probabilidad. En otras palabras, una variable aleatoria se usa para denotar los resultados de un experimento de pro- babilidad. La variable aleatoria puede tomar cualquier valor numrico que pertenezca al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. (Se le llama "aleatoria" porque el valor que asume es resultado de un evento de posibilidad o aleatorio.) Cada evento en un experimento de probabilidad tambin debe GHQLUVHHQWDOIRUPDTXHVyORVHOHDVLJQHXQYDORUGHODYDULDEOHDOHDWRULDeventos mutuamente exclu- yentes) y cada evento debe tener un valor asignado (eventos todo incluido). Imagen copyright Michael Shake, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 231 /DVYDULDEOHVDOHDWRULDVQXPpULFDVSXHGHQVXEGLYLGLUVHHQGRVFODVLFDFLRQHVvaria- bles aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Variable aleatoria discreta Variable aleatoria cuantitativa que puede asumir un nmero contable de valores. Variable aleatoria continua Variable aleatoria cuantitativa que puede asumir un nmero incontable de valores. Las variables aleatorias "nmero de caras" y "nmero de llamadas telefnicas reci- bidas" en el ejemplo 5.1 incisos a y b son discretas. Cada una representa un conteo y por tanto existe un nmero contable de posibles valores. Las variables aleatorias "longitud del FRUGyQ\YHORFLGDGGHFDOLFDFLyQHQHOHMHPSORLQFLVRVF\GVRQFRQWLQXDV&DGD una representa mediciones que pueden asumir cualquier valor a lo largo de un intervalo y SRUWDQWRH[LVWHXQQ~PHURLQQLWRGHSRVLEOHVYDORUHV E J E M P L O 5 . 1 VARIABLES ALEATORIAS a. Lanza cinco monedas y observa el "nmero de caras" visibles. La va- riable aleatoria x es el nmero de caras observadas y puede tomar valores enteros de 0 a 5. b. Sea "nmero de llamadas telefnicas recibidas" por da por una compaa la variable aleatoria. Valores enteros que varan de cero a algn nmero muy grande son posibles valores. c. Sea "longitud del cordn" en un electrodomstico una variable alea- toria. La variable aleatoria es un valor numrico entre 12 y 72 pul- gadas para la mayora de los electrodomsticos. d. Sea "velocidad de calificacin" para automviles de carreras que tratan de calificar para Indianpolis 500 una variable aleatoria. De- pendiendo de cun rpido vaya el conductor, las velocidades son aproximadamente 220 y ms rpido y se miden en millas por hora (hasta la milsima ms cercana). PTI Las variables discre- tas y continuas se defi- nieron en la pgina 8. 5.1 Consulta la tabla que acompaa a "EUA y sus automvi- les" en la pgina 230. a. Qu porcentaje de hogares tiene tres vehculos? b. Qu nmero de vehculos por hogar tiene la mayor probabilidad? c. Qu variable podra usarse para describir los ocho eventos que se muestran en la tabla? d. Los eventos son mutuamente excluyentes? Explica. 5.2 Con base en la informacin que se muestra en "EUA y sus automviles" de la pgina 230, D TXpJUiFDHVWDGtVWLFDSRGUtDXVDUVHSDUDPRVWUDUHVWD informacin? Dibjala. b. qu otros mtodos estadsticos podran usarse para describir esta informacin? 5.3 Encuesta a tus compaeros de clase acerca del nmero de hermanos que tienen y la duracin de la ltima conversacin TXHWXYLHURQFRQVXPDGUH,GHQWLFDODVGRVYDULDEOHVDOHDWR- rias de inters y menciona sus posibles valores. E J E R C I C I O S S E C C I N 5 . 1 5.1 V riabes aleatorias El siguiente ejemplo muestra variables aleatorias. www.fullengineeringbook.net 232 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 5.4 a. Explica por qu la variable "cantidad de nmeros tele- fnicos guardados en el telfono celular de una perso- na" es discreta. b. Explica por qu la variable "peso de un libro de texto de estadstica" es continua. 5.5 a. Las variables del ejercicio 5.3 son o discretas o con- tinuas. Cules son y por qu? b. Explica por qu la variable "nmero de invitados a cenar el Da de Accin de Gracias" es discreta. c. Explica por qu la variable "nmero de millas hasta la casa de tu abuela" es continua. 5.6 Una trabajadora social est involucrada en un estudio acerca de estructura familiar. Ella obtiene informacin con- cerniente al nmero de hijos por familia en cierta comunidad DSDUWLU GH GDWRV FHQVDOHV ,GHQWLFD OD YDULDEOH DOHDWRULD GH inters, determina si es discreta o continua y menciona sus po- sibles valores. 5.7 La bolsa de trabajo de una universidad dio a conocer su lista de las 100 mejores compaas para trabajar de febrero de 2011. Muchas de las empresas de la lista planean contratar personal este ao. Dentro de las que planean contratar ms em- SOHDGRVVHHQFXHQWUDQ a. Cul es la variable aleatoria que participa en este estudio? b. Es la variable aleatoria discreta o continua? Explica. 5.8 Un clima clido por arriba del promedio se extendi sobre el noroeste el 3 de agosto de 2009. Las altas temperaturas pre- GLFKDVSDUDHOGtDHQFXDWURFLXGDGHVGHOiUHDDIHFWDGDIXHURQ a. Cul es la variable aleatoria involucrada en este estudio? b. La variable aleatoria es discreta o continua? Explica. 5.98QDUTXHURGLVSDUDHFKDVDODGLDQDGHXQEODQFR\PLGH ODGLVWDQFLDGHVGHHOFHQWURGHOEODQFRKDVWDODHFKD,GHQWL- FDODYDULDEOHDOHDWRULDGHLQWHUpVGHWHUPLQDVLHVGLVFUHWDR continua y menciona sus posibles valores. 5.10 Un artculo del USA Today titulado "En qu 'malgas- tan' las mujeres" (21 de julio de 2009) report que 34% de las mujeres dicen "zapatos"; 22% dicen "bolsas de mano"; 15% dicen "ropa de trabajo"; 12% dicen "vestir formal" y 10% di- cen "joyera". a. Cul es la variable involucrada y cules son los posibles valores? b. Por qu esta variable no es una variable aleatoria? 5.11 Un artculo del USA Today del 11 de marzo de 2009, titulado "Estudiantes de primer ao de universidad estudian borracheras ms que libros", presenta el siguiente cuadro que muestra horas promedio por semana empleadas en varias ac- tividades por estudiantes de primer ao de universidad. El patrocinador del estudio, Outside the Classroom, entrevist a ms de 30 000 estudiantes de primer ao de 76 campus. Actividad Cantidad promedio de tiempo/semana Fiestas 10.2 horas Estudiar 8.4 horas Ejercicio 5.0 horas Red social en lnea o jugar videojuegos 4.1 horas Red social 2.5 horas Trabajar por paga 2.2 horas a. Cul es la variable aleatoria involucrada en este estudio? b. La variable aleatoria es discreta o continua? Explica. 5.12 [EX05-012] Si pudieras detener el tiempo y vivir por siempre con buena salud, qu edad elegiras? Las respuestas a esta pregunta se reportaron en un artculo del USA Today. La edad ideal promedio para cada grupo etreo se menciona en la siguiente tabla; se descubri que la edad ideal promedio para todos los adultos era de 41 aos. Curiosamente, los menores a 30 aos de edad queran ser ms viejos, mientras que los mayores a 30 aos queran ser ms jvenes. Grupo etreo 18-24 25-29 30-39 40-49 50-64 65+ Edad ideal 27 31 37 40 44 59 La edad se usa como una variable dos veces en esta aplicacin. a. La edad de la persona entrevistada no es la variable alea- toria en esta situacin. Explica por qu y describe cmo la "edad" se usa respecto al grupo etreo. b. Cul es la variable aleatoria involucrada en este estudio? Describe su papel en esta situacin. c. La variable aleatoria es discreta o continua? Explica. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFuente: http://money.cnn.com Nmero Compaa Nuevos empleos 51. Ropa para jvenes 2 800 5. Juegos sanos 2 000 2. Grupo banquero 1 040 Ciudad Temperatura Boise, ID 100 Spokane, WA 95 Portland, OR 91 Helena, MT 91 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 233 Considera un experimento de lanzamiento de monedas, donde dos monedas se lanzan y se REVHUYDQQRFDUDVXQDFDUDRGRVFDUDV6LGHQHVODYDULDEOHDOHDWRULDx como el nmero de caras observadas cuando se lanzan dos monedas, x puede tomar el valor 0, 1 o 2. La pro- EDELOLGDGGHFDGDXQRGHHVWRVWUHVHYHQWRVSXHGHFDOFXODUVHFRQODVWpFQLFDVGHOFDStWXOR P(x = 0) = P(0H) = P(TT) = 1 U 1 = 1 = 0.25 2 2 4 P(x = 1) = P(1H) = P(HT o TH) = 1 U 1 + 1 U 1 = 1 = 0.50 2 2 2 2 2 P(x = 2) = P(2H) = P(HH) = 1 U 1 = 1 = 0.25 2 2 4 Dichas probabilidades pueden citarse en cualquier nmero de formas. Una de las ms convenientes es un formato de tabla conocido como distribucin de probabilidad (vase la tabla 5.1). Distribucin de probabilidad Una distribucin de las probabilidades asocia- das con cada uno de los valores de una variable aleatoria. La distribucin de probabilidad es una distribucin terica; se usa para representar pobla- ciones. En un experimento en el que se rueda un solo dado y se observa el nmero de puntos en ODVXSHUFLHODYDULDEOHDOHDWRULDHVHOQ~PHURREVHUYDGR/DGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG para esta variable aleatoria se muestra en la tabla 5.2. En ocasiones es conveniente escribir una regla que exprese algebraicamente la pro- babilidad de un evento en trminos del valor de la variable aleatoria. Esta expresin se escribe usualmente en forma de frmula y se llama funcin de probabilidad. Funcin de probabilidad Regla que asigna probabilidades a los valores de las variables aleatorias. Una funcin de probabilidad puede ser tan simple como una lista que empareje los valores de una variable aleatoria con sus probabilidades. Las tablas 5.1 y 5.2 muestran dos de tales listas. Sin embargo, una funcin de probabilidad se expresa con ms frecuencia en forma de frmula. &RQVLGHUDXQGDGRTXHVHPRGLFyGHPRGRTXHWHQJDXQDFDUDFRQXQSXQWRGRVFDUDV con dos puntos y tres caras con tres puntos. Sea x el nmero de puntos observados cuando este dado se rueda. La distribucin de probabilidad para este experimento se presenta en la tabla 5.3. 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta x 1 2 3 4 5 6 P(x) 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 x P(x) 0 0.25 1 0.50 2 0.25 TABLA 5.2 Distribucin de probabilidad: rodadura de un dado TABLA 5.1 Distribucin de probabilidad: lanzamiento de dos monedas PTI Puedes ver por qu se usa el nombre "distribucin de probabilidad"? 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta www.fullengineeringbook.net 234 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Cada una de las probabilidades pueden representarse mediante el valor de x dividido HQWUHHVWRHVFDGDP(x) es igual al valor de x dividido entre 6, donde x = 1, 2 o 3. Por tanto, P(x) = x para x = 1, 2, 3 6 es la frmula para la funcin de probabilidad de este experimento. La funcin de probabilidad para el experimento de rodar un dado ordinario es P(x) = 1 para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 Esta funcin particular se llama funcin constante porque el valor de P(x) no cambia conforme x cambia. Toda funcin de probabilidad debe mostrar las dos propiedades bsicas de la probabi- OLGDGYpDVHODS(VWDVGRVSURSLHGDGHVVRQODSUREDELOLGDGDVLJQDGDDFDGDYDORU de la variable aleatoria debe estar entre cero y uno, inclusive y 2) la suma de las probabi- lidades asignadas a todos los valores de la variable aleatoria debe ser igual a uno; esto es, Propiedad 1 FDGDP(x Propiedad 2 P(x) = 1 E J E M P L O 5 . 2 x P(x) 1 1 6 2 2 6 3 3 6 x P(x) 1 1 = 0.1 10 2 2 = 0.2 10 3 3 = 0.3 10 4 4 = 0.4 10 10 = 0.1 ck 10 DETERMINACIN DE UNA FUNCIN DE PROBABILIDAD P(x) = para x = 1, 2, 3, 4 es una funcin de probabilidad? Solucin Para responder esta pregunta slo es necesario poner a prueba la funcin en trminos de las dos propiedades bsicas. La distribucin de probabilidad se muestra en la tabla 5.4. La propiedad 1 se satisface, porque 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4, son todos va- lores numricos entre cero y uno. (Observa la que indica que cada valor se comprob.) La propiedad 2 tambin se satisface porque la suma de las cuatro probabilidades es exactamente uno. (Observa el ck que indica que la suma se comprob.) Dado que ambas propiedades se satisfacen, es posible concluir que P(x) = para x = 1, 2, 3, 4 es una funcin de probabilidad. Y qu hay de P(x = 5) (o cualquier otro valor distinto de x = 1, 2, 3 o 4) para la funcin P(x) = para x = 1, 2, 3, 4? P(x = 5) se considera que es cero. Esto es: la funcin de probabilidad proporciona una probabilidad de cero para todos los valores de x distintos de los valores especificados como parte del dominio. Las distribuciones de probabilidad pueden presentarse grficamente. Sin importar la representacin grfica especfica usada, los valores de la varia- ble aleatoria se grafican en la escala horizontal y la probabilidad asociada con cada valor de la variable aleatoria se grafica sobre la escala vertical. La distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta podra pre- sentarse mediante un conjunto de segmentos de recta dibujados en los valo- res de x con longitudes que representan la probabilidad de cada x. La figura 5.1 muestra la distribucin de probabilidad de P(x) = para x = 1, 2, 3, 4. Se utiliza un histograma regular con ms frecuencia para presentar las distribuciones de probabilidad. La figura 5.2 muestra la distribucin de TABLA 5.3 Distribucin de probabilidad: rodadura de dado modificado TABLA 5.4 Distribucin de probabilidad para P(x) = para x = 1, 2, 3, 4 PTI Estas propiedades se presentaron en el captulo 4. toda x x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 235 MINITAB Excel Escribe los posibles valores de la variable aleatoria en C1 y las correspondientes probabilidades en C2; luego contina con: Elige: Calc > Random Data > Discrete Escribe: Nmero de filas de datos a generar: 25 (nmero deseado) Almacenar en columna(s): C3 Valores (de x) en: C1 Probabilidades en: C2 > OK Escribe los posibles valores de la variable aleatoria en la columna A y las correspondientes pro- babilidades en la columna B; luego contina con: Elige: Data > Data Analysis > Random number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 1 Nmero de nmeros aleatorios: 25 (nmero deseado) Distribucin: Discreta Rango entrada. Valor y Prob.: (A2:B5 selecciona celdas de datos, no etiquetas) Seleciona: Output Range Escribe: (C1 o selecciona celdas) I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G E N E R A R D AT O S A L E AT O R I O S Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com probabilidad de la figura 5.1 como histograma de probabilidad. El his- tograma de una distribucin de probabilidad usa el rea fsica de cada barra para representar su probabilidad asignada. La barra para x = 2 tiene 1 unidad de ancho (de 1.5 a 2.5) y 0.2 unidad de alto. Por tanto, su rea (longitud ancho) es (0.2)(1) = 0.2, la probabilidad asignada a x = 2. Las reas de las otras barras pueden determinarse en forma similar. Esta representacin de rea ser un concepto importante en el captulo 6, cuando comiences a trabajar con variables aleatorias continuas. PTI La grfica en la figura 5.1 en ocasiones se llama grfica de aguja. FIGURA 5.1 Representacin lineal: Distribucin de probabilidad para P(x) = para x = 1, 2, 3, 4 FIGURA 5.2 Histograma: Distribucin de probabilidad para P(x) = para x = 1, 2, 3, 4 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta x 10 x 10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 x P(x) P(x) 1 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 3 4 x x www.fullengineeringbook.net 236 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) E J E M P L O A P L I C A D O 5 . 3 Media y varianza de una distribucin de probabilidad discreta Recuerda que, en el captulo 2 se calcularon varios estadsticos muestrales numricos (me- dia, varianza, desviacin estndar y otros) para describir conjuntos de datos empricos. Las distribuciones de probabilidad pueden usarse para representar poblaciones tericas, la contraparte a las muestras. Los parmetros poblacionales (media, varianza y desviacin estndar) se usan para describir dichas distribuciones de probabilidad tal como se usan los estadsticos muestrales para describir muestras. Notas: 1. x es la media de la muestra. 2. s2 y s son la varianza y la desviacin estndar de la muestra, respectivamente. 3. x, s2 y s se llaman estadsticos muestrales. 4. (letra griega mu minscula) es la media de la poblacin. 5. 2 (sigma al cuadrado) es la varianza de la poblacin. 6. (letra griega sigma minscula) es la desviacin estndar de la poblacin. 7. , 2 y se llaman parmetros poblacionales. (Un parmetro es una constante; , 2 y por lo general son valores desconocidos en problemas estadsticos reales. Ms o PHQRVOD~QLFDYH]HQTXHVHFRQRFHHVHQSUREOHPDVGHOLEURGHWH[WRFRQJXUDGRV con el propsito de aprendizaje y comprensin.) La media de la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria discreta, o la media de una variable aleatoria discreta, se encuentra en una forma que saca plena ventaja del formato de tabla de una distribucin de probabilidad discreta. La media de una variable aleatoria discreta con frecuencia se conoce como valor esperado. Observa la distribucin que se muestra en la grfi ca de barras. Tiene las hechuras de una distribucin de probabilidad discreta. La variable aleatoria, "nmero de universidades solicitadas", es una variable aleatoria discreta con valores de cero a 11 o ms. Cada uno de los valores tiene una probabilidad correspondiente y la suma de las probabilidades es igual a 1. SOLICITUD DE ADMISIN Estudiantes hacen sus apuestas La mayora de los estudiantes solicitan ms de una escuela, lo que difi culta a las universidades predecir cuntos realmente se inscribirn. A la clase de primer ao del otoo pasado se le pregunt: A cuntas universidades, adems de en donde se inscribi, solicit admisin este ao? Fuente: The American Freshman: normas nacionales para otoo de 2001; encuesta de 281 064 estudiantes de primer ao que ingresan a 421 universidades y escuelas de cuatro aos. Datos de Julie Snider, 2002 USA Today Ninguna Una Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete a 10 11 o ms Universidades y escuelas de educacin superior enviarn por co- rreo su ltimo lote de ofertas de ad- misin dentro de los prximos das, pero el proceso est lejos de acabar. Ahora, los estudiantes tienen hasta el 1 de mayo para decidir a dnde emigrarn este otoo. Y con duraderas preocupaciones acerca de la economa y temores residuales acerca de los viajes y la seguridad desde el 11 de septiembre, muchos funcionarios de admisiones tienen menos posibilidades este ao de predecir cmo respondern los es- tudiantes. UNIVERSIDADES LUCHAN POR LLENAR DORMITORIOS Por Mary Beth Marklein, USA Today 19.6% 13.1% 16.2% 16.8% 12.1% 8.2% 5.4% 7.2% 1.4% www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 237 Media de una variable aleatoria discreta (valor esperado) La media, , de una variable aleatoria discreta x se encuentra al multiplicar cada posible valor de x por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos: media de x: mu = suma de (cada x multiplicada por su propia probabilidad) = [xP(x)] /DYDULDQ]DGHXQDYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWDVHGHQHHQJUDQ IRUPDGH ODPLVPD manera que la varianza de los datos muestrales, la media de las desviaciones de la media al cuadrado. Varianza de una variable aleatoria discreta La varianza, 2, de una variable aleatoria discreta x se encuentra al multiplicar cada posible valor de la des- viacin de la media al cuadrado, (x )2, por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos: varianza: sigma al cuadrado = suma de (desviacin al cuadrado por probabilidad) 2 = [(x )2P(x)] Con frecuencia no es conveniente usar la frmula (5.2); puede reformularse de las siguien- WHVPDQHUDV varianza: sigma al cuadrado = suma de (x2 por probabilidad) [suma de (x por probabilidad)]2 2 = [x2P(x)] {[xP(x)]}2 o 2 = [x2P(x)] 2 Del mismo modo, la desviacin estndar de una variable aleatoria se calcula en la mis- ma forma que la desviacin estndar de datos muestrales. Desviacin estndar de una variable aleatoria discreta La raz cuadrada po- sitiva de la varianza. desviacin estndar: = 2 E J E M P L O 5 . 4 ESTADSTICOS PARA UNA FUNCIN DE PROBABILIDAD (DISTRIBUCIN) Encuentra la media, varianza y desviacin estndar de la funcin de proba- bilidad P(x) = x para x = 1, 2, 3, 4 10 Solucin La media se encuentra con la frmula (5.1), la varianza con la frmula (5.3a) y la desviacin estndar con la frmula (5.4). La forma ms conveniente de organizar los productos y encontrar los totales necesarios es expandir la dis- tribucin de probabilidad en una tabla de extensiones (vase la tabla 5.5). (5.1) (5.2) (5.3a) (5.3b) (5.4) i 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta www.fullengineeringbook.net 238 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) E J E M P L O 5 . 5 Notas: 1. El propsito de la tabla de extensiones es organizar el proceso de encontrar los WRWDOHVGHODVWUHVFROXPQDV[P(x)], [xP(x)] y [x2P(x)]. 2. Las otras columnas, x y x2, no deben totalizarse; no se usan. 3. [P(x)] siempre ser 1.0; usa esto slo como comprobacin. 4. [xP(x)] y [x2P(x)] se usan para encontrar la media y la varianza de x. Encuentra la media de x: la columna xP(x) contiene cada valor de x multiplicado por su correspondiente probabilidad y la suma en el fondo es el valor necesario en la frmula (5.1): = [xP(x)] = 3.0 Encuentra la varianza de x: los totales en el fondo de las columnas xP(x) y x2P(x) se sustituyen en la frmula (5.3a): 2 = [x2P(x)] {[xP(x)]}2 = 10.0 {3.0}2 = 1.0 Encuentra la desviacin estndar de x: usa la frmula (5.4): = 2 = 1.0 = 1.0 MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIN ESTNDAR DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Una moneda se lanza tres veces. Sea "nmero de caras (H)" que ocurren en dichos tres lanzamientos la variable aleatoria, x. Encuentra la media, varianza y desviacin estndar de x. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com x P(x) xP(x) x2 x2 P(x) 1 1 = 0.1 0.1 1 0.1 10 2 2 = 0.2 0.4 4 0.8 10 3 3 = 0.3 0.9 9 2.7 10 4 4 = 0.4 1.6 16 6.4 10 10 = 1.0 ck [xP(x)] = 3.0 [x2P(x)] = 10.0 10 TABLA 5.5 Tabla de extensiones: distribucin de probabilidad, P(x) = x para x = 1, 2, 3, 4 10 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 239 Solucin Existen ocho posibles resultados (todos igualmente probables) a este experimento (H = cara; T = cruz): {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}. Un resultado es x = 0, tres en x = 1, tres en x = 2 y uno en x = 3. Por tanto, las probabilida- des para esta variable aleatoria son , , y . La distribucin de probabilidad asociada con este experimento se muestra en la figura 5.3 y en la tabla 5.6. Las extensiones y sumas necesarias para el clculo de media, varianza y desviacin tambin se muestran en la tabla 5.6. La media se encuentra con la frmula (5.1): = [xP(x)] = 1.5 Este resultado, 1.5, es la media de la distribucin terica para la variable aleatoria "nmero de caras" observado por conjunto de tres lanzamientos de moneda. Se espera que la media para muchos valores observados de la varia- ble aleatoria tambin sea aproximadamente igual a este valor. La varianza se encuentra con la frmula (5.3a): 2 = [x2P(x)] {[xP(x)]}2 = 3.0 (1.5)2 = 3.0 2.25 = 0.75 FIGURA 5.3 Distribucin de probabilidad: nmero de caras en tres lanzamientos de moneda TABLA 5.6 Tabla de extensiones de distribucin de probabilidad del nmero de caras en tres lanzamientos de moneda x P(x) xP(x) x2 x2 P(x) 0 1 0 0 0 8 8 8 1 3 3 1 3 8 8 8 2 3 6 4 12 8 8 8 3 1 3 9 9 8 8 8 [P(x)] 8 = 1.0 ck [xP (x)] = 12 = 1.5 [x2P (x)] = 24 = 3.0 8 8 8 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta 1 8 1 8 3 8 3 8 1 2 3 x P(x) 0 3 8 2 8 1 8 ( ) www.fullengineeringbook.net 240 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 5.13 Expresa el lanzamiento de una moneda como una distri- bucin de probabilidad de x, el nmero de caras que ocurren HVWRHVx = 1 si ocurre cara y x = 0 si ocurre cruz). 5.14 a. Expresa P(x) = , para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, en forma de distribucin. b. Construye un histograma de la distribucin de pro- babilidad P(x) = , para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. c. Describe la forma del histograma en el inciso b. 5.15 a. Explica cmo los diversos valores de x en una dis- tribucin de probabilidad forman un conjunto de eventos mutuamente excluyentes. b. Explica cmo los diversos valores de x en una distribucin de probabilidad forman un conjunto de eventos "todo incluido". 5.16 Pon a prueba la siguiente funcin para determinar si es una funcin de probabilidad. Si no lo es, trata de convertirla en una funcin de probabilidad. R(x) = 0.2, para x = 0, 1, 2, 3, 4 a. Menciona la distribucin de probabilidades. b. Bosqueja un histograma. 5.17 Pon a prueba la siguiente funcin para determinar si es una funcin de probabilidad. P(x) = x 2 + 5 , para x = 1, 2, 3, 4 50 a. Menciona la distribucin de probabilidad. b. Bosqueja un histograma. 5.18 Pon a prueba la siguiente funcin para determinar si es una funcin de probabilidad. Si no lo es, trata de convertirla en una funcin de probabilidad. S(x) = 6 | x 7 | , para x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 11, 12 36 a. Menciona la distribucin de probabilidades y bosqueja un histograma. b. Reconoces S(x)? Si s, identifcala. 5.19 Con frecuencia, los datos censales se usan para obtener distribuciones de probabilidad para varias variables aleatorias. Los datos censales para familias en un estado particular con un ingreso combinado de $50 000 o ms muestran que 20% de dichas familias no tienen hijos, 30% tienen un hijo, 40% tienen dos hijos y 10% tienen tres hijos. A partir de esta in- formacin, construye la distribucin de probabilidad para x, donde x representa el nmero de hijos por familia para este grupo de ingreso. 5.20 En un artculo del USA Today (1 de junio de 2009), se re- portaron las siguientes estadsticas acerca del nmero de horas de sueo que tienen los adultos. a. Existen otros valores que pueda adquirir el nmero de horas? b. Explica por qu el total de los porcentajes no es 100%. c. sta es una distribucin de probabilidad discreta? Es una distribucin de probabilidad? Explica. 5.219HULFDTXHODVIyUPXODVD\EVRQHTXLYDOHQWHV a la frmula (5.2). E J E R C I C I O S S E C C I N 5 . 2 La desviacin estndar se encuentra con la frmula (5.4): = 2 = 0.75 = 0.866 = 0.87 Esto es, 0.87 es la desviacin estndar de la distribucin terica para la variable aleatoria "nmero de caras" observado por el conjunto de tres mo- nedas lanzadas. Se espera que la desviacin estndar para muchos valores observados de la variable aleatoria tambin sea aproximadamente igual a este valor. Fuente: Encuesta de StrategyOne para Tempur-Pedic, de 1 004 adultos en abril Nmero de horas Porcentaje 5 o menos 12% 6 29% 7 37% 8 o ms 24% 1 6 1 6 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 241 5.22 a. Forma la tabla de distribucin de probabilidad para P(x) = para x = 1, 2, 3. b. Encuentra las extensiones xP(x) y x2P(x) para cada x. c. Encuentra [xP(x)] y [x2P(x)]. d. Encuentra la media para P(x) = para x = 1, 2, 3. e. Encuentra la varianza para P(x) = para x = 1, 2, 3. f. Encuentra la desviacin estndar para P(x) = para x = 1, 2, 3. 5.23 Si encuentras la suma de las columnas x y x2 en la tabla de extensiones, exactamente qu encontraste? 5.24 Dada la funcin de probabilidad P(x) = para x = 1, 2, 3, 4, encuentra la media y la desviacin estndar. 5.25 Dada la funcin de probabilidad R(x) = 0.2 para x = 0, 1, 2, 3, 4, encuentra la media y la desviacin estndar. 5.26 El nmero de embarcaciones por llegar a un muelle en cualquier da dado, es una variable aleatoria representada por x. La distribucin de probabilidad para xHVODVLJXLHQWH x 10 11 12 13 14 P(x) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 Encuentra la media y la desviacin estndar del nmero de embarcaciones que llegan a un muelle en un da dado. 5.27 El sitio web del College Board ofrece mucha informa- cin a estudiantes, padres y profesionales respecto a los mu- chos aspectos involucrados en los cursos y exmenes Advan- ced Placement (AP). Un reporte anual particular proporciona el porcentaje de estudiantes que obtienen cada una de las posi- EOHVFDOLFDFLRQHV$3GHODO/DGLVWULEXFLyQGHFDOLFD- FLRQHVSDUDWRGDVODVPDWHULDVIXHODVLJXLHQWH a. Expresa esta distribucin como una distribucin de pro- babilidad discreta. E (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODVFDOL- caciones del examen AP para 2008. 5.28 El nmero de hijos por hogar, x, en Estados Unidos en 2008 se expresa aqu como una distribucin de probabilidad. x 0 1 2 3 4 5+ P(x) 0.290 0.384 0.249 0.106 0.032 0.020 a. La distribucin de probabilidad es discreta? Explica. b. Dibuja un histograma para la distribucin de x, el nmero de hijos por hogar. c. Al sustituir "5+" con exactamente "5", encuentra la me- dia y la desviacin estndar. 5.29 Un perro es "el mejor amigo del hombre"? Uno pen- sara que s, con 60 millones de perros mascota en toda la na- cin. Pero, cuntos amigos se necesitan? En la National Pet Owners Survey (Encuesta Nacional de Dueos de Mascotas) 2007-2008 de la American Pet Products Association (Asocia- cin Estadounidense de Productos para Mascotas), se reporta- ron las siguientes estadsticas. a. La distribucin de probabilidad es discreta? Explica. b. Dibuja un histograma de frecuencias relativas para mos- trar los resultados que se citan en la tabla. c. Al sustituir la categora "3 o ms" con exactamente "3", encuentra la media y la desviacin estndar del nmero de perros mascota por hogar. d. Cmo interpretas la media? e. Explica el efecto que tiene sobre la media y la desviacin estndar el cambiar la categora "3 o ms" con "3". 5.30 Como se report en el inicio del captulo "EUA y sus au- tomviles", los estadounidenses estn enamorados del autom- vil y la mayora tienen ms de un vehculo por hogar. De hecho, el promedio nacional es 2.28 vehculos por hogar. El nmero de vehculos por hogar en Estados Unidos puede describirse del PRGRVLJXLHQWH a. Al sustituir la categora "8 o ms" con exactamente "8", encuentra la media y la desviacin estndar del nmero de vehculos por hogar en Estados Unidos. b. Cmo la media calculada en el inciso a corresponde al promedio nacional de 2.28? (contina en la pgina 242) Calificacin AP Porcentaje 1 20.9 2 21.3 3 24.1 4 19.4 5 14.3 x 6 x 6 x 6 x 6 5 x 10 Fuente: U.S. Census Bureau Fuente: APPMA 2007-2008 National Pet Owners Survey Nmero de perros mascota Porcentaje Uno 63 Dos 25 Tres o ms 12 Vehculos, x P(x) 1 0.34 2 0.31 3 0.22 4 0.06 5 0.03 6 0.02 7 0.01 8 o ms 0.01 5.2 Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta www.fullengineeringbook.net 242 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) c. Explica el efecto que tiene sobre la media y la desviacin estndar el sustituir la categora "8 o ms" con "8". 5.31 La variable aleatoria A tiene la siguiente distribucin de SUREDELOLGDG A 1 2 3 4 5 P(A) 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 a. Encuentra la media y la desviacin estndar de A. b. Cunto de la distribucin de probabilidad est dentro de 2 desviaciones estndar de la media? c. Cul es la probabilidad de que A est entre 2 y + 2? 5.32 La variable aleatoria x tiene la siguiente distribucin de SUREDELOLGDG x 1 2 3 4 5 P(x) 0.6 0.1 0.1 0.1 0.1 a. Encuentra la media y la desviacin estndar de (x). b. Cul es la probabilidad de que est x entre y + ? 5.33 a. Dibuja un histograma de la distribucin de probabi- lidad para los nmeros aleatorios de un solo dgito 0, 1, 2, ..., 9. b. Calcula la media y la desviacin media asociadas con la poblacin de nmeros aleatorios de un dgito. F5HSUHVHQWDODXELFDFLyQGHODPHGLDHQHOKLVWR grama con una recta vertical y 2) la magnitud de la desviacin estndar con un segmento de recta. d. Cunto de esta distribucin de probabilidad est dentro de 2 desviaciones estndar de la media? 5.34 Ejercicio Applet Skillbuilder Simula el jue- go donde un jugador tiene una probabilidad de 0.2 de ganar $3 y una probabili- dad de 0.8 de perder $1. Repite las simulaciones para varios conjuntos de 100 juegos con el botn "Play 25 times" (jugar 25 veces). a. Qu estimaras para tu valor esperado (ganancia o prdi- da promedio) a partir de los resultados? b. Con la siguiente distribucin de probabilidad calcula la media. c. Cmo se comparan tus respuestas a los incisos a y b? Consideraras ste un juego justo? Por qu? 5.35 Un artculo del USA Today (4 de marzo de 2009) presen- WyXQDJUiFDGHSDVWHOTXHPXHVWUDFyPRORVWUDEDMDGRUHVGD an sus laptops. Los estadsticos se derivaron de una encuesta realizada por Ponemon Institute para Dell, de 714 gerentes de TI. sta es una distribucin de probabilidad? Explica. 5.36 a. Usa una computadora (o tabla de nmeros aleatorios) para generar una muestra aleatoria de 25 observacio- nes extradas de la siguiente distribucin de probabi- lidad discreta. x 1 2 3 4 5 P(x) 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 Compara los datos resultantes con tus expectativas. b. Forma una distribucin de frecuencias relativas de los datos aleatorios. c. Construye un histograma de probabilidad de la distribu- cin dada y un histograma de frecuencias relativas de los datos observados usando puntos medios de clase de 1, 2, 3, 4 y 5. d. Compara los datos observados con la distribucin terica. Describe tus conclusiones. e. Repite los incisos a al d varias veces, con n = 25. Descri- be la variabilidad que observas entre las muestras. f. Repite los incisos a al d varias veces, con n = 250. Descri- be la variabilidad que observas entre las muestras de este tamao mucho ms grande. MINITAB a. Escribe los valores x de la variable aleatoria en C1 y sus co- rrespondientes probabilidades, P(x), en C2; luego contina con los comandos MINITAB de generacin de datos aleatorios de la pgina 235. b. Para obtener la distribucin de frecuencias, contina con: Elige: Stat > Tables > Cross Tabulation Escribe: Variables categricas: Para filas: C3 Selecciona: Display: Total percents > OK Applets Skillbuilder disponibles en lnea a travs de cengagebrain.com. x P(x) $3 0.2 $1 0.8 Razn de dao a laptop Porcentaje (%) Derramar alimento o lquido 34 Dejarla caer 28 No protegerla durante viaje 25 Trabajador enojado 13 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 243 Considera el siguiente experimento de probabilidad. Tu profesor aplica un examen sorpre- sa de cuatro preguntas de opcin mltiple. T no estudiaste el material y por tanto decides responder las cuatro preguntas al suponer al azar las respuestas sin leer las preguntas o las respuestas. 5.3 Distribucin de probabilidad binomial c. Para construir el histograma de los datos generados en C3, con- tina con los comandos MINITAB de histograma de la pgina 53 y selecciona scale > Y-Scale Type > Percent. (Usa Binning seguido por punto medio y posiciones de punto medio 1:5/1 si es necesario.) Para construir una grfica de barras de la distribucin dada: Elige: Graph > Bar Chart > Bars represent: Values from a table > One Column of values: Simple > OK Escribe: Variables grficas: C2 Variables categricas: C1 Selecciona: Labels > Data Labels > Label Type: Use y-value labels > OK Selecciona: Data View > Data Display: Bars > OK > OK Excel a. Escribe los valores x de la variable aleatoria en la columna A y sus correspondientes probabilidades, P(x), en la columna B; luego contina con los comandos Excel para generacin de datos aleatorios de la pgina 235, para n = 25. b. y c. La distribucin de frecuencias est dada con el histograma de los datos generados. Usa los comandos Excel de histo- grama de la pgina 53 y usa los datos en la columna C y el rango de caja en la columna A. Para construir un histograma de la distribucin dada, activa A1:B6 o selecciona celdas y contina con: Elige: Insert > Column > 1st picture (por lo general) Chart Layouts > Layout 9 Elige: Selct Data > Series 1 > Remove > OK Escribe: Chart and axes titles (Edita segn necesites) 5.37 a. Usa una computadora (o tabla de nmeros aleatorios) y genera una muestra aleatoria de 100 observaciones extradas de la poblacin de probabilidad discreta P(x) = para x = 1, 2, 3, 4. Menciona la muestra resultante. (Usa los comandos de computadora del ejercicio 5.36; slo cambia los argumentos.) b. Forma una distribucin de frecuencias relativas de los datos aleatorios. c. Forma una distribucin de probabilidad de la distri- bucin de probabilidad esperada. Compara los datos resultantes con tus expectativas. d. Construye un histograma de probabilidad de la dis- tribucin dada y un histograma de frecuencias rela- tivas de los datos observados usando puntos medios de clase de 1, 2, 3 y 4. e. Compara los datos observados con la distribucin terica. Describe tus conclusiones. f. Repite los incisos a-d varias veces con n = 100. Des- cribe la variabilidad que observas entre las muestras. 5.38 Todos los martes, Jason's Video tiene das de "rueda el dado". Un cliente puede rodar dos dados equilibrados y rentar una segunda pelcula por un importe (en centavos) determina- do por los nmeros que muestre el dado, el nmero mayor pri- mero. Por ejemplo, si el cliente rueda un uno y un cinco, una segunda pelcula puede rentarse por $0.51. Sea x el importe pagado por una segunda pelcula el martes de "rodar el dado". a. Usa el espacio muestral para la rodadura de un par de dados y expresa el costo de renta de la segunda pelcula, x, como una distribucin de probabilidad. b. Cul es la media del costo de renta esperado (media de x) de la segunda pelcula los martes de "rodar el dado"? c. Cul es la desviacin estndar de x? d. Con una computadora y la distribucin de probabilidad que encontraste en el inciso a, genera una muestra alea- toria de 30 valores para x y determina el costo total de rentar la segunda pelcula para 30 rentas. e. Con una computadora obtn una estimacin para la pro- babilidad de que el importe total pagado por 30 segundas pelculas superar $15.00 al repetir el inciso d 500 veces y usar los 500 resultados. 5 x 10 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 244 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Encierra en un crculo tus respuestas antes de continuar. Antes de mirar las respuestas correctas al examen y descubrir cmo te fue, piensa en algunas de las cosas que pueden suceder si respondes un examen de esta forma. 1. Cuntas de las cuatro preguntas es probable que respondas correctamente? 2. Cun probable es que tengas ms de la mitad de las respuestas correctas? 3. Cul es la probabilidad de que selecciones las respuestas correctas a las cua- tro preguntas? 4. Cul es la probabilidad de que selecciones las respuestas equivocadas a las cuatro preguntas? 5. Si toda una clase responde las preguntas mediante "adivinacin", cul crees que sea el nmero "promedio" de respuestas correctas de la clase? Para encontrar las respuestas a estas preguntas, comienza con un diagrama de rbol del espacio muestral y presenta las 16 posibles formas de responder el examen de cuatro preguntas. Cada una de las cuatro preguntas se responde con la respuesta correcta (C) o FRQXQDUHVSXHVWDHTXLYRFDGD(2EVHUYDODJXUD Pgina de respuestas al examen ,QVWUXFFLRQHVHQFLHUUDHQXQFtUFXORODPHMRUUHVSXHVWDDFDGDSUHJXQWD 1. a b c 2. a b c 3. a b c 4. a b c PTI Es correcto: adivina! Puedes convertir la informacin del diagrama de rbol en una distribucin de proba- bilidad. Sea x el "nmero de respuestas correctas" en el examen de una persona cuando el examen se resuelve mediante adivinacin aleatoria. La variable aleatoria x puede tomar FXDOTXLHUDGHORVYDORUHVRSDUDFDGDSUHJXQWD/DJXUDPXHVWUDUD mas que representan cinco diferentes valores de x. Observa que el evento x = 4, "cuatro respuestas correctas", se representa mediante la rama superior del diagrama de rbol y el PTI EEEE? representa equivocado en 1, equi- vocado en 2, equivoca- do en 3 y equivocado en 4; por tanto, su pro- babilidad se encuentra al usar la regla de la multiplicacin, frmula (4.7). FIGURA 5.4 Diagrama de rbol: posibles respuestas a un examen de cuatro preguntas Pregunta Pregunta Pregunta Pregunta C C C C C C C C CCCC CCCE CCEC CCEE CECC CECE CEEC CEEE ECCC ECCE ECEC ECEE EECC EECE EEEC EEEE 4 3 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 0 C C C C C C E E E E E E E E E E E E E E C x 4 3 2 1 Resultado www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 245 evento x = 0, "cero respuestas correctas", se muestra en la rama inferior. Los otros even- tos, "una respuesta correcta", "dos respuestas correctas" y "tres respuestas correctas", se representan cada uno mediante varias ramas del rbol. Se descubre que el evento x = 1 ocu rre en cuatro diferentes ramas, el evento x = 2 ocurre en seis ramas y el evento x = 3 ocurre en cuatro ramas. Cada pregunta individual tiene slo una respuesta correcta entre las tres respuestas posibles, de modo que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta a una pregunta adicional es 1/3. La probabilidad de que una respuesta equivocada sea seleccionada en una pregunta adicional es 2/3. La probabilidad de cada valor de x puede encontrarse al calcular las probabilidades de todas las ramas y luego combinar las probabilidades para las ramas que tienen los mismos valores x. Los clculos continan y la distribucin de probabilidad resultante aparece en la tabla 5.7. P(x = 0) es la probabilidad de que cero preguntas reciban respuestas correctas y para FXDWURSUHJXQWDVVHGHQUHVSXHVWDVHTXLYRFDGDVVyORKD\XQDUDPDHQODJXUDGRQGH ODVFXDWURVRQHTXLYRFDGDV(((( P(x = 0) = 2 2 2 2 = 2 4 = 16 = 0.198 3 3 3 3 3 81 Nota: responder cada pregunta individual es un evento separado e independiente, lo que SRUWDQWRSHUPLWHXVDUODIyUPXODORTXHDUPDTXHGHEHVPXOWLSOLFDUODVSUREDELOL- dades. P(x = 1) es la probabilidad de que la respuesta correcta sea dada para exactamente una SUHJXQWD\ODVRWUDVWUHVUHFLEDQUHVSXHVWDVHTXLYRFDGDVH[LVWHQFXDWURUDPDVHQODJXUD GRQGHHVWRRFXUUHDVDEHU&((((&((((&((((&\FDGDXQDWLHQHODPLVPD SUREDELOLGDG P(x = 1) = (4) 1 2 2 2 = (4) 1 1 2 3 = 0.395 3 3 3 3 3 3 P(x = 2) es la probabilidad de que exactamente dos preguntas reciban respuestas co- UUHFWDV\ODVRWUDVGRVUHFLEDQUHVSXHVWDVHTXLYRFDGDVHQODJXUDH[LVWHQVHLVUDPDV donde esto ocurre CCEE, CECE, CEEC, ECCE, ECEC, EECC y cada una tiene la mis- PDSUREDELOLGDG P(x = 2) = (6) 1 1 2 2 = (6) 1 2 2 2 = 0.296 3 3 3 3 3 3 P(x = 3) es la probabilidad de que exactamente tres preguntas reciban respuestas co- UUHFWDV\ODRWUDSUHJXQWDUHFLEDXQDUHVSXHVWDHTXLYRFDGDHQODJXUDH[LVWHQFXDWUR ramas donde esto ocurre CCCE, CCEC, CECC, ECCC y cada una tiene la misma pro- EDELOLGDG P(x = 3) = (4) 1 1 1 2 = (4) 1 3 2 1 = 0.099 3 3 3 3 3 3 P(x = 4) es la probabilidad de que las cuatro preguntas reciban respuestas correctas HQODJXUDVyORKD\XQDUDPDGRQGHODVFXDWURVRQFRUUHFWDV&&&& P(x = 4) = 1 1 1 1 = 1 4 = 1 = 0.012 3 3 3 3 3 81 Ahora puedes responder las cinco preguntas que se plantearon acerca del examen de cuatro preguntas (p. 244). 5HVSXHVWD/DRFXUUHQFLDPiVSUREDEOHVHUtDREWHQHUXQDUHVSXHVWDFRUUHFWDWLHQH una probabilidad de 0.395. Cero, una o dos respuestas correctas se espera que resulten aproximadamente 89% de las veces (0.198 + 0.395 + 0.296 = 0.889). TABLA 5.7 Distribucin de probabilidad para el examen de cuatro preguntas x P(x) 0 0.198 1 0.395 2 0.296 3 0.099 4 0.012 1.000 5.3 Distribucin de probabilidad binomial ck www.fullengineeringbook.net 246 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 5HVSXHVWD7HQHUPiVGHODVUHVSXHVWDVFRUUHFWDVVHUHSUHVHQWDx = 3 o 4; su proba- bilidad total es 0.099 + 0.012 = 0.111. (Slo aprobars este examen 11% de las veces al adivinar al azar.) 5HVSXHVWDP(cuatro correctas) = P(x = 4) = 0.012. (Todas correctas slo ocurre 1% de las veces.) 5HVSXHVWDP(todas equivocadas) = P(x = 0) = 0.198. (Esto es casi 20% de las veces.) 5HVSXHVWD6HHVSHUDTXHHOSURPHGLRGH ODFODVHVHDGHRUHVSXHVWDV correctas. Las respuestas correctas al examen son b, c, b, a. Cuntas respuestas correctas tuvis- WH"&XiOUDPDGHODVWUHVHQODJXUDUHSUHVHQWDORVUHVXOWDGRVGHWXH[DPHQ"3XH- des pedir a varias personas que respondan este mismo examen al adivinar las respuestas. Luego construye una distribucin de frecuencias relativas observadas y comprala con la distribucin que se muestra en la tabla 5.7. Muchos experimentos se componen con ensayos repetidos cuyos resultados pueden FODVLFDUVHHQXQDGHGRVFDWHJRUtDVxito o fracaso. Los ejemplos de tales experimentos son lanzamientos de monedas, respuestas de examen correcto/equivocado y otros experi- mentos ms prcticos, como determinar si un producto hace o no su labor prescrita y si un candidato es electo o no. Existen experimentos en los que los ensayos tienen muchos resultados que, bajo las condiciones correctas, pueden encajar en esta descripcin general GHFODVLFDUVHHQXQDGHGRVFDWHJRUtDV3RUHMHPSORFXDQGRUXHGDVXQVRORGDGRSRU lo general consideras seis posibles resultados. Sin embargo, si slo ests interesado en VDEHUVLVHPXHVWUDRQRXQXQRHQUHDOLGDGVyORH[LVWHQGRVUHVXOWDGRVHOXQRTXH se muestra o el "algo ms" que se muestra. Los experimentos recin descritos se llaman experimentos de probabilidad binomial. Experimento de probabilidad binomial Un experimento que se construye con ensayos repetidos que posee las siguientes propiedades: 1. Existen n en- sayos independientes idnticos repetidos. 2. Cada ensayo tiene dos posibles resultados (xito o fracaso). 3. P(xito) = p, P(fracaso) = q y p + q = 1. 4. La variable aleatoria binomial x es el conteo del nmero de ensayos exito- sos que ocurren; x puede tomar cualquier valor entero desde cero hasta n. Notas: 1. Las propiedades 1 y 2 describen las dos caractersticas bsicas de cualquier experimen- to binomial. 2. Ensayos independientes VLJQLFDQTXHHO UHVXOWDGRGHXQHQVD\RQRDIHFWD ODSUR- EDELOLGDGGHp[LWRHQFXDOTXLHURWURHQVD\RHQHOH[SHULPHQWR(QRWUDVSDODEUDVOD probabilidad de xito permanece constante a lo largo de todo el experimento. 3. La propiedad 3 ofrece la notacin algebraica para cada ensayo. 4. La propiedad 4 tiene que ver con la notacin algebraica para el experimento completo. 5. Es de suma importancia que tanto x como p se asocien con "xito". (O H[DPHQ GH FXDWUR SUHJXQWDV FDOLFD FRPR H[SHULPHQWR ELQRPLDO FRQVWLWXLGR GH cuatro ensayos cuando las cuatro respuestas se obtienen por adivinacin al azar. 3URSLHGDG8Qensayo es la respuesta de una pregunta y se repite n = 4 veces. Los ensayos son independientes porque la probabilidad de una respuesta correcta a cual- quier pregunta no es afectada por las respuestas a otras preguntas. 3URSLHGDG/RVGRVSRVLEOHVUHVXOWDGRVHQFDGDHQVD\RVRQxito = C, respuesta co- rrecta y fracaso = E, respuesta equivocada. www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 247 3URSLHGDG3DUDFDGDHQVD\RFDGDSUHJXQWD p = P(correcta) = y q = P(incorrecta) = U [p + q = 1 ck ] 3URSLHGDG3DUDHOH[SHULPHQWRWRWDOHOH[DPHQx = nmero de respuestas correc- tas y puede ser cualquier valor entero entre cero hasta n = 4. La clave para trabajar con cualquier experimento de probabilidad es su distribucin de probabilidad. Todos los experimentos de probabilidad binomial tienen las mismas pro- piedades y por tanto puedes usar el mismo esquema de organizacin para representarlos todos. La funcin de probabilidad binomial permite encontrar la probabilidad para cada posible valor de x. Funcin de probabilidad binomial Para un experimento binomial, sea p la probabilidad de un "xito" y q la probabilidad de un "fracaso" en un solo ensayo. Entonces P(x), la probabilidad de que habr exactamente x xitos en n ensayos es P(x) = n (px)(qn x) para x = 0, 1, 2, . . . , n E J E M P L O 5 . 6 E J E M P L O 5 . 7 DEMOSTRACIN DE LAS PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL Considera el experimento de rodar un dado 12 veces y observar un "uno" o "algo ms". Al final de las 12 rodaduras, reportas el nmero de "unos". La variable aleatoria x es el nmero de veces que se observa un "uno" en los n = 12 ensayos. Dado que "uno" es el resultado de inters, se considera "xito"; por tanto, p = P(uno) = y q = P(no uno) = . Este experimento es binomial. DEMOSTRACIN DE LAS PROPIEDADES DE UN EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD BINOMIAL Si fueras inspector en una lnea de produccin en una planta donde se fabri- can televisores, estaras preocupado por identificar el nmero de televisores defectuosos. Probablemente definiras "xito" como la ocurrencia de un tele- visor defectuoso. Esto no es lo que usualmente se considera un xito, pero, si cuentas televisores "defectuosos" en un experimento binomial, debes definir "xito" como un "defectuoso". La variable aleatoria x indica el nmero de televisores defectuosos encontrados por lote de n televisores; p = P(televisor defectuoso) y q = P(televisor bueno). 5.3 Distribucin de probabilidad binomial 1 3 2 3 1 6 5 6 x (5.5) www.fullengineeringbook.net 248 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Cuando observas la funcin de probabilidad, notas que es el producto de tres factores EiVLFRV 1. El nmero de formas en que exactamente pueden ocurrir x xitos en n ensayos, n 2. La probabilidad de exactamente x xitos, px 3. La probabilidad de que el fracaso ocurra en los restantes (n x) ensayos, qn x El nmero de formas en que exactamente pueden ocurrir x xitos en un conjunto de n ensayos se representa mediante el smbolo n , que siempre debe ser un entero positivo. Este trmino se llama FRHFLHQWHELQRPLDO y se encuentra al usar la frmula n = n! x!(n x)! Notas: 1. n! ("n factorial") es una abreviatura para el producto de la secuencia de enteros que comienza con n y termina con uno. Por ejemplo, 3! = 3 U 2 U 1 = 6 y 5! = 5 U 4 U3 U 2 U ([LVWHXQFDVRHVSHFLDOTXHSRUGHQLFLyQHV3DUDPiVLQIRUPDFLyQ acerca de la notacin factorial, consulta el Manual de soluciones del estudiante. 2. Los valores para n! y n pueden encontrarse fcilmente con la mayora de las calcu- ODGRUDVFLHQWtFDV (OFRHFLHQWHELQRPLDOn es equivalente al nmero de combinaciones nCx, el smbo- lo que ms probablemente se encuentra en tu calculadora. 4. Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin general acerca del FRHFLHQWHELQRPLDO 9XHOYHDFRQVLGHUDUHOHMHPSORSSXQDPRQHGDVHODQ]DWUHVYHFHV\VH observa el nmero de caras que ocurre en los tres lanzamientos. ste es un experimento ELQRPLDOSRUTXHPXHVWUDWRGDVODVSURSLHGDGHVGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDO 1. Existen n = 3 ensayos independientes repetidos (cada lanzamiento de moneda es un ensayo separado y el resultado de cualquier ensayo no tiene efecto sobre la probabilidad de otro ensayo). 2. Cada ensayo (cada lanzamiento de la moneda) resulta en uno de dos posibles resul- WDGRVp[LWR caras (las que se cuentan) o fracaso = ensayos. 3. La probabilidad de xito es p = P(H) = 0.5 y la probabilidad de fracaso es q = P(T) = 0.5. [p + q = 0.5 + 0.5 = 1 ck ] 4. La variable aleatoria x es el nmero de caras que ocurren en los tres ensayos, x asumir exactamente uno de los valores 0, 1, 2 o 3 cuando el experimento est completo. La funcin de probabilidad binomial para el lanzamiento de tres monedas es P(x) = n (px) (q nx) = 3 (0.5)x (0.5)3 x para x = 0, 1, 2, 3 Encuentra la probabilidad de x FRQODIXQFLyQGHSUREDELOLGDGELQRPLDODQWHULRU P(x = 1) = 3 (0.5)1(0.5)2 = 3(0.5)(0.25) = 0.375 Nota que ste es el mismo valor que encontraste en el ejemplo 5.5 (p. 238). x x x (5.6) x x x x 1 PTI En la tabla 5.6 (p. 239), P(1) = . Aqu, P(1) = 0.375 y = 0.375. 3 8 3 8 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 249 E J E M P L O 5 . 8 E J E M P L O 5 . 9 DETERMINACIN DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL Y SUS PROBABILIDADES Considera un experimento que te pide extraer cinco naipes, uno a la vez con reemplazo, de un mazo de naipes bien barajado. El naipe extrado se iden- tifica como espada o no espada, se regresa al mazo, el mazo se vuelve a barajar, etctera. La variable aleatoria x es el nmero de espadas observadas en el conjunto de cinco extracciones. Se trata de un experimento binomial? Identifica las cuatro propiedades. 1. Existen cinco extracciones repartidas; n = 5. Estos ensayos individua- les son independientes porque el naipe extrado se devuelve al mazo y el mazo se vuelve a barajar antes de la siguiente extraccin. 2. Cada extraccin es un ensayo y cada extraccin tiene dos resultados: espada o no espada. 3. p = P(espada) = y q = P(no espada) = 4. x es el nmero de espadas registradas al completar los cinco ensayos; los posibles valores son 0, 1, 2, ..., 5. La funcin de probabilidad binomial es P(x) = 5 13 x39 5 x = 5 1 x3 5 x = 5 (0.25)x(0.75)5 x x 52 52 x 4 4 x P(0) = 5 (0.25)0(0.75)5 = (1)(1)(0.2373) = 0.2373 P(1) = 5 (0.25)1(0.75)4 = (5)(0.25)(0.3164) = 0.3955 P(2) = 5 (0.25)2(0.75)3 = (10)(0.625)(0.421875) = 0.2637 P(3) = 5 (0.25)3(0.75)2 = (10)(0.15625)(0.5625) = 0.0879 Las dos probabilidades restantes se dejan para que las calcules en el ejercicio 5.52. PROBABILIDAD BINOMIAL DE "HUEVOS MALOS" El gerente de Steve's Food Market garantiza que ninguno de sus cartones de una docena de huevos contendr ms de un huevo malo. Si un cartn con- tiene ms de un huevo malo, reemplazar toda la docena y permitir que el cliente conserve los huevos originales. Si la probabilidad de que un huevo in- dividual sea malo es 0.05, cul es la probabilidad de que el gerente tendr que reemplazar un cartn de huevos dado? La anterior distribucin de probabilidades indica que el valor individual ms probable de x es uno, el evento de observar exactamente una espada en una mano de cinco naipes. Cul es el nmero menos probable que observaras? Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com PTI Respuesta: cinco 0 1 2 3 para x = 0, 1, ..., 5 5.3 Distribucin de probabilidad binomial 13 52 39 52 www.fullengineeringbook.net 250 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Nota: el valor de muchas probabilidades binomiales para valores de n\YDORUHVFR- munes de p, se encuentran en la tabla 2 del apndice B. En este ejemplo, se tiene n = 12 y p = 0.05 y se quieren las probabilidades para x = 0 y 1. Es necesario ubicar la seccin de la tabla 2 donde n = 12, encontrar la columna encabezada p = 0.05 y leer los nmeros a travs de x = 0 y x = 1. Se encuentra .540 y .341, como se muestra en la tabla 5.8. (Busca estos valores en la tabla 2 del apndice B.) Solucin A primera vista, la situacin del gerente parece encajar en las propiedades de un experimento binomial si se hace x el nmero de huevos malos encon- trados en un cartn de una docena de huevos, sea p = P(malo) = 0.05 y sea la inspeccin de cada huevo un ensayo que resulta en encontrar un huevo "malo" o "no malo". Habr n = 12 ensayos para contar los 12 huevos en un cartn. Sin embargo, los ensayos de un experimento binomial deben ser independientes; por tanto, se supondr que la calidad de un huevo en un cartn es independiente de la calidad de alguno de los otros huevos. (sta puede ser una gran suposicin! Pero con esta suposicin podrs usar la distribucin de probabilidad binomial como modelo.) Ahora, con base en esta suposicin podrs encontrar/estimar la probabilidad de que el gerente tenga que hacer efectiva su garanta. La funcin de probabilidad asociada con este experimento ser: P(x) = 12 (0.05)x(0.95)12 x para x = 0, 1, 2, ..., 12 La probabilidad de que el gerente sustituya una docena de huevos es la probabilidad de que x = 2, 3, 4, ..., 12. Recuerda que P(x) = 1; esto es: P (0) + P (1) + P (2) + ... + P (12) = 1 P(reemplazo) = P (2) + P (3) + ... +P (12) = 1 [P (0) + P (1)] Es ms fcil encontrar la probabilidad de reemplazo al encontrar P(x = 0) y P(x = 1) y restar su total de 1, que encontrar todas las otras probabilidades. Se tiene P (x) = 12 (0.05)x(0.95)12 x P (0) = 12 (0.05)0(0.95)12 = 0.540 P (1) = 12 (0.05)1(0.95)11 = 0.341 P (reemplazo) = 1 (0.540 + 0.341) = 0.119 Si p = 0.05 es correcto, entonces el gerente estar ocupado en reem- plazar cartones de huevos. Si l reemplaza 11.9% de todos los cartones de huevos que vende, ciertamente tendr que deshacerse de una proporcin sustancial de sus huevos. Esto sugiere que debe ajustar su garanta (o vender mejores huevos). Por ejemplo, si tuviera que sustituir un cartn de huevos slo cuando cuatro o ms se encuentren malos, esperara sustituir slo 3 de cada 1 000 cartones [1.0 (0.540 + 0.341 + 0.099 + 0.017)], o 0.3% de los cartones vendidos. Observa que el gerente podr controlar su "riesgo" (pro- babilidad de reemplazo) si ajusta el valor de la variable aleatoria que postula en su garanta. x x 0 1 www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 251 Nota:XQDQRWDFLyQFRQYHQLHQWHSDUDLGHQWLFDUODGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGELQRPLDO para un experimento binomial con n = 12 y p = 0.05 es B(12, 0.05). B(12, 0.05), lase "distribucin binomial para n = 12 y p = 0.05", representa la distribucin completa o "bloque" de probabilidades que se muestran en azul oscuro en la tabla 5.8. Cuando se usa en combinacin con la notacin P(x), P(x = 1|B(12, 0.05)) indica la probabilidad de x = 1 a partir de esta distribucin o 0.341, como se muestra en la tabla 5.8. MINITAB Excel Para probabilidades binomiales, escribe los valores x en C1; luego contina con: Elige: Calc > Probability Distributions > Binomial Selecciona: Probability* Escribe: Nmero de ensayos: n Probabilidad del evento: p Selecciona: Input column Escribe: C1 Almacenamiento opcional: C2 (no necesario) > OK O Selecciona: Input constant Escribe: One single x value > OK *Para probabilidades binomiales acumuladas, repite los comandos anteriores pero sustituye la seleccin de probabilidad con: Selecciona: Cumulative Probability Para probabilidades binomiales, escribe los valores x en la columna A y activa la celda de la columna B a travs del primer valor x; luego contina con: Elige: Insert function, fx > Statistical > BINOMDIST > OK Escribe: Nmero_s: (A1:A4 o selecciona celdas "valor x") Ensayos: n Probabilidad: p Acumulada: falso* (proporciona probabilidades individuales) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R O B A B I L I D A D E S B I N O M I A L Y B I N O M I A L A C U M U L A D A TABLA 5.8 Extracto de la tabla 2 del apndice B, probabilidades binomiales p n x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 x 12 0 .886 .540 .282 .069 .014 .002 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0 1 .107 .341 .377 .206 .071 .017 .003 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 1 2 .006 .099 .230 .283 .168 .064 .016 .002 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 2 3 0+ .017 .085 .236 .240 .142 .054 .012 .001 0+ 0+ 0+ 0+ 3 4 0+ .002 .021 .133 .231 .213 .121 .042 .008 .001 0+ 0+ 0+ 4 ......5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 252 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) E J E M P L O A P L I C A D O 5 . 1 0 VIVIR CON LA LEY Las regulaciones AAP no justifi can el uso de una prueba especfi ca para determinar si el porcentaje de minoras o mujeres es menor del que se espe- rara razonablemente. Sin embargo, usualmente se utilizan muchas pruebas. Una de las pruebas se llama prueba binomial exacta, como se defi ne a continuacin. TI-83/84 Plus Para obtener una lista completa de probabilidades para n y p particulares, contina con Elige: 2nd > DISTR > 0:binompdf( Escribe: n, p) Usa la tecla de fl echa derecha para navegar a travs de las probabilidades. Para navegar a travs de una lista vertical en L1: Elige: STO >L1 > ENTER STAT > EDIT > 1:Edit Para obtener probabilidades individuales para n, p y x particulares, contina con: Elige: 2nd > DISTR > A:binomcdf( Escribe: n, p, x) Para obtener probabilidades acumuladas para x = 0 y x = n para n y p particulares, contina con: Elige: 2nd > DISTR > A:binomcdf( Escribe: n, p)* (consulta lneas arriba para navegar a travs de probabilidades) *Para obtener probabilidades acumuladas individuales para n, p y x particulares, repite los comandos anteriores pero sustituye el escribir con: Escribe: n, p, x QU ES UN PROGRAMA DE ACCIN AFIRMATIVA (AAP)? Arrastra: Esquina inferior derecha de la celda del valor de probabilidad en la columna B para obtener las otras probabilidades *Para probabilidades binomiales acumuladas, repite los comandos anteriores pero sustituye el acumulado falso con: Acumulada: true (proporciona probabilidades acumuladas) > OK Fuente:KWWSHHRVRXUFHSHRSOHFOLFNFRPDDS Como condicin para realizar negocios con el gobierno federal, los contratistas del gobierno que se renen para cierto contrato y emplean niveles de poblacin acuerdan en preparar, en concordancia con las regu- laciones federales 41 CFR 60-1, 60-2, et- FpWHUDXQ3URJUDPDGH$FFLyQ$UPDWLYD (AAP, por sus siglas en ingls). El AAP de un contratista es una combinacin de repor- tes numricos, compromisos de accin y descripcin de polticas. Un panorama rpi- do de un AAP con base en las regulaciones IHGHUDOHV&)5HVHOVLJXLHQWH Los AAP deben desarrollarse para 0LQRUtDV\PXMHUHV&)5\ 60-2) 9HWHUDQRVFRQGLVFDSDFLGDGHVHVSHFLD les, veteranos de la era de Vietnam y otros veteranos cubiertos (41 CFR 60- 250) ,QGLYLGXRVFRQGLVFDSDFLGDGHV&)5 60-741) www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 253 Media y desviacin estndar de la distribucin binomial La media y la desviacin estndar de una distribucin de probabilidad binomial terica SXHGHQHQFRQWUDUVHDOXVDUHVWDVGRVIyUPXODV Media de distribucin binomial = np y Desviacin estndar de distribucin binomial = npq La frmula para la media, SDUHFHDGHFXDGDHOQ~PHURGHHQVD\RVPXOWLSOLFDGR por la probabilidad de "xito". [Recuerda que el nmero medio de respuestas correctas en el examen binomial (respuesta 5, p. 246) se esperaba que fuera 1/3 de 4, 4(1/3) o np.] La frmula para la desviacin estndar, , no se entiende tan fcilmente. Por tanto, en este punto es adecuado observar un ejemplo que demuestre que las frmulas (5.7) y (5.8) producen los mismos resultados que las frmulas (5.1), (5.3a) y (5.4). En el ejemplo 5.5 (pp. 236-238), x es el nmero de caras en tres lanzamientos de mone- da, n = 3 y p = = 0.5. Al usar la frmula (5.7), se encuentra que la media de x es = np = (3)(0.5) = 1.5 SABAS QUE...? Huellas digitales A sir Francis Galton se le acredita el "descubrimien- to" de las huellas digitales (es decir que las huellas digitales son nicas para cada individuo) y fue Galton quien desarroll los mtodos usados para identifi carlas. Es la ocu- rrencia de marcas irregu- lares y cortes en los patro- nes del dedo lo que hace nica a cada huella. Di- chas marcas se conocen como Marcas de Galton. El sistema Galton-Henry de clasifi cacin de huellas digitales se public en ju- nio de 1900 y comenz a (contina) PRUEBA BINOMIAL EXACTA Por ejemplo, si T = 50 empleados y M = 2 mujeres, A = 6% disponibilidad femenina. Con una computadora, encuentra el valor Q: Q = 0.41625. Dado que Q es menor que 0.5, P = 2Q = 0.8325. P, 0.8325, es mayor que 0.05, de modo que el porcentaje de mujeres "no es el que se esperara razonablemente". 1 2 (5.7) (5.8) /DVYDULDEOHVXVDGDVVRQ T = Nmero total de empleados en el grupo de trabajo M = Nmero de mujeres o minoras en el grupo de trabajo A = Porcentaje disponible de mujeres o minoras para el grupo de trabajo Esta prueba involucra el clculo de una probabilidad, denotada como P y la compa- racin de dicha probabilidad con 0.05. Si P es menor que o igual a 0.05, el porcentaje de minoras o mujeres se considera "me- nor del que se esperara razonablemente". La frmula para calcular PHVODVLJXLHQWH 1. Calcula la probabilidad, Q, la proba- bilidad binomial acumulada para la distribucin de probabilidad binomial con n = T, x = M y p = A/100. 2. Si Q es menor que o igual a 0.05, en- tonces P = 2Q; de otro modo, P = Q. 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 254 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) (continuacin) usarse en Scotland Yard en 1901 y pronto se us en todo el mundo como un identificador en investigaciones cri- minales. Al usar la frmula (5.8), se encuentra que la desviacin estndar de x es = npq = (3)(0.5)(0.5) = 0.75 = 0.866 = 0.87 Ahora observa nuevamente la solucin para el ejemplo 5.5 (p. 237). Nota que los resul- tados son iguales, sin importar cul frmula uses. Sin embargo, las frmulas (5.7) y (5.8) son mucho ms fciles de usar cuando x es una variable aleatoria binomial. CLCULO DE LA MEDIA Y DE LA DESVIACIN ESTNDAR DE UNA DISTRIBUCIN BINOMIAL Encuentra la media y la desviacin estndar de la distribucin binomial cuan- do n = 20 y p = (o 0.2, en forma decimal). Recuerda que la "distribucin binomial donde n = 20 y p = 0.2" tiene la funcin de probabilidad P(x) = 20 (0.2)x(0.8)20 x para x = 0, 1, 2, ..., 20 y una distribucin correspondiente con 21 valores x y 21 probabilidades, como se muestra en el cuadro de distribucin, tabla 5.9 y en el histograma de la figura 5.5. Encuentra la media y la desviacin estndar de esta distribucin de x con las frmulas (5.7) y (5.8): = np = (20)(0.2) = 4.0 = npq = (20)(0.2)(0.8) = 3.2 = 1.79 Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com Distribucin binomial, n = 20, p = 0.2 Distribucin binomial, n = 20, p = 0.2 FIGURA 5.5 Histograma de distribucin binomial B(20, 0.2) FIGURA 5.6 Histograma de distribucin binomial B(20, 0.2) TABLA 5.9 Distribucin binomial: n = 20, p = 0.2 1 5 x x P(x) 0 0.012 1 0.058 2 0.137 3 0.205 4 0.218 5 0.175 6 0.109 7 0.055 8 0.022 9 0.007 10 0.002 11 0+ 12 0+ 13 0+ 20 0+ ......E J E M P L O 5 . 1 1 0.2 0.1 0.0 0 10 20 0.2 0.1 0.0 0 10 20 P(x)P(x)x x www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 255 5.39 Considera el examen de cuatro preguntas de opcin ml- tiple que se present al inicio de esta seccin (pp. 244-246). a. Explica por qu las cuatro preguntas representan cuatro ensayos independientes. b. Explica por qu el nmero 4 se multiplica en P(x = 1). c. En la respuesta 5 de la pgina 246, de dnde provienen 1/3 y 4? Por qu multiplicarlos para encontrar un pro- medio esperado? 5.40,GHQWLFDODVSURSLHGDGHVTXHKDFHQGHODQ]DUXQDPRQH- da 50 veces y guardar el registro de las caras un experimento binomial. 5.41 Enuncia una razn muy prctica de por qu el artculo GHIHFWXRVRHQXQDVLWXDFLyQLQGXVWULDOSXHGHGHQLUVHFRPRHO "xito" en un experimento binomial. 5.42 4XpVLJQLFDTXHORVHQVD\RVVHDQLQGHSHQGLHQWHVHQ un experimento binomial? 5.43 Evala cada uno de los siguientes. a. 4! b. 7! c. 0! d. 6! e. 5! f. 6! g. (0.3)4 h. 7 i. 5 j. 3 k. 4 (0.2)1(0.8)3 l. 5 (0.3)0(0.7)5 5.44 Demuestra que cada uno de los siguientes es verdadero para cualquier valor de n y k8VDGRVFRQMXQWRVHVSHFtFRV de valores para n y k para mostrar que cada uno es verdadero. a. n = 1 y n = 1 b. n = n y n = n c. n = n 5.45 Se revisa una caja que contiene 100 camisetas. Cada ca- PLVHWDVHFDOLFDSULPHUDFDOLGDGRLUUHJXODU'HVSXpVGH inspeccionar las 100 camisetas, el nmero de irregulares se reporta como una variable aleatoria. Explica por qu x es una variable aleatoria binomial. 5.46 Un dado rueda 20 veces y el nmero de "cincos" que ocurren se reporta como la variable aleatoria. Explica por qu x es una variable aleatoria binomial. 5.47 Cuatro naipes se seleccionan, uno a la vez, de un mazo estndar de 52 naipes. Sea x el nmero de ases extrados en el conjunto de cuatro naipes. a. Si este experimento se completa sin reemplazo, explica por qu x no es una variable aleatoria binomial. b. Si este experimento se completa con reemplazo, explica por qu x es una variable aleatoria binomial. 5.48 Una planta de ensamblado de General Motors entrevista a los empleados conforme salen del trabajo. A cada uno se le SUHJXQWD (Q TXpPDUFD GH DXWRPyYLO FRQGXFH D FDVD"/D variable aleatoria a reportar es el nmero de cada marca men- cionada, xHVXQDYDULDEOHDOHDWRULDELQRPLDO"-XVWLFDWXUHV- puesta. 5.49 Considera un experimento binomial constituido de tres ensayos con resultados de xito, E y fracaso, F, donde P(E) = p y P(F) = q. a. Completa el diagrama de rbol. Etiqueta por completo todas las ramas. b. En la columna b) del diagrama de rbol, expresa la pro- babilidad de cada resultado representado por las ramas como un producto de potencias de p y q. (contina en la pgina 256) La figura 5.6 muestra la media, = 4 (que se muestra con la ubicacin de la recta vertical azul claro a lo largo del eje x), en relacin con la variable x. Este 4.0 es el valor medio esperado para x, el nmero de xitos en cada muestra aleatoria de tamao 20 extrada de una poblacin con p = 0.2. La figura 5.6 tambin muestra el tamao de la desviacin estndar, = 1.79 (como se ensea por la longitud del segmento de la recta horizontal azul oscuro). Es la desviacin estndar esperada para los valores de la variable aleatoria x que ocurren en muestras de tamao 20 extradas de esta misma poblacin. E J E R C I C I O S S E C C I N 5 . 3 2! 3 2!3! 4!(6 4)! 2 0 0 1 n 1 n k 0 1 n k 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 256 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) c. Sea x la variable aleatoria, el nmero de xitos observa- GRV(QODFROXPQDFLGHQWLFDHOYDORUGHx para cada rama del diagrama de rbol. d. Observa que todos los productos en la columna b) estn constituidos por tres factores y que el valor de la variable aleatoria es la misma que el exponente para el nmero p. Escribe la ecuacin para la funcin de probabilidad bino- mial para esta situacin. 5.50 Dibuja un diagrama de rbol que muestre un experimen- to binomial de cuatro ensayos. 5.51 Usa la funcin de probabilidad para lanzamientos de tres PRQHGDV FRPR VHGHPRVWUy HQ ODSiJLQD\YHULFD ODV probabilidades para x = 0, 2 y 3. 5.52 a. Calcula P(4) y P(5) para el ejemplo 5.8 de la pgina 249. E9HULFDTXHODVVHLVSUREDELOLGDGHVP(0), P(1), P(2), ..., P(5) forman una distribucin de probabilidad. 5.53 Ejercicio Applet Ski- llbuilder Demuestra cmo calcular una probabilidad binomial junto con una in- terpretacin visual. Supn que compras 20 plantas de XQFULDGHUR\HOFULDGHURDU ma que 95% de sus plantas sobreviven cuando se plantan. Al escribir n = 20 y p = 0.95, FDOFXODORVLJXLHQWH a. La probabilidad de que las 20 sobrevivirn b. La probabilidad de que cuando mucho sobreviven 16 c. La probabilidad de que al menos sobreviven 18 5.54 Ejercicio Applet Ski- llbuilder Demuestra cmo calcular una probabilidad binomial junto con una in- terpretacin visual. Supn que ests en una clase de 30 estudiantes y se supone que aproximadamente 11% de la poblacin es zurda. Al escribir n = 30 y p FDOFXODORVLJXLHQWH a. La probabilidad de que exactamente cinco estudiantes sean zurdos b. La probabilidad de que cuando mucho cuatro estudiantes sean zurdos c. La probabilidad de que al menos seis estudiantes sean zurdos 5.55 Si x es una variable aleatoria binomial, calcula la proba- bilidad de x para cada caso. a. n = 4, x = 1, p = 0.3 b. n = 3, x = 2, p = 0.8 c. n = 2, x = 0, p = 1 d. n = 5, x = 2, p = 1 e. n = 4, x = 2, p = 0.5 f. n = 3, x = 3, p = 1 5.56 Si x es una variable aleatoria binomial, usa la tabla 2 del apndice B para determinar la probabilidad de x para cada uno GHORVVLJXLHQWHV a. n = 10, x = 8, p = 0.3 b. n = 8, x = 7, p = 0.95 c. n = 15, x = 3, p = 0.05 d. n = 12, x = 12, p = 0.99 e. n = 9, x = 0, p = 0.5 f. n = 6, x = 1, p = 0.01 J ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHOVtPERORTXHDSDUHFHHQOD tabla 2. 5.57 Pon a prueba la siguiente funcin para determinar si se trata o no de una funcin de probabilidad binomial. Menciona la distribucin de probabilidades y bosqueja un histograma. T(x) = 5 1 x 1 5 x para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 5.58 Sea x una variable aleatoria con la siguiente distribucin GHSUREDELOLGDG x 0 1 2 3 P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 xWLHQHXQDGLVWULEXFLyQELQRPLDO"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 5.59 De acuerdo con una encuesta en lnea de la revista Self, HQ GLFLHPEUH GH UHVSRQGLHURQVt DTXLHUHV revivir tus das de universidad?". Cul es la probabilidad de que exactamente la mitad de los prximos 10 participantes en la encuesta, seleccionados al azar, respondern "s" a esta pregunta? 5.60 De acuerdo con un reporte del Consejo de Seguridad Nacional, hasta 78% de las colisiones automovilsticas son resultado de distracciones como enviar mensajes de texto, lla- mar por telfono o rebuscar en el estreo. Considera un grupo seleccionado al azar de 18 colisiones reportadas. Fuente: Revista Self, diciembre de 2008, "Cruise Control" Applets Skillbuilder disponibles en lnea a travs de cengagebrain.com.2 x 2 Ensayo Ensayo Ensayo Inicio Probabilidad 3 4 6 E E E www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 257 a. Cul es la probabilidad de que todas las colisiones se deban a las distracciones mencionadas? b. Cul es la probabilidad de que 15 de las colisiones se deban a las distracciones mencionadas? 5.61 De acuerdo con el artculo "Season's Cleaning", el De- partamento de Energa de EUA reporta que 25% de los hoga- res con garaje para dos autos no tienen espacio para estacionar ningn auto adentro. Fuente: 1 de enero de 2009, Rochester D&C Si supones que esto es verdadero, cul es la probabilidad de lo siguiente? a. Exactamente 3 hogares con garaje para dos autos, de una muestra aleatoria de 5 hogares con garaje para dos autos, no tienen espacio para estacionar ningn auto adentro. b. Exactamente 7 hogares con garaje para dos autos, de una muestra aleatoria de 15 hogares con garaje para dos autos, no tienen espacio para estacionar ningn auto adentro. c. Exactamente 20 hogares con garaje de dos autos, de una muestra aleatoria de 30 hogares con garaje de dos autos, no tienen espacio para estacionar ningn auto adentro. 5.62 Jugar videojuegos como nio o adolescente puede con- ducir a una adiccin por el juego o por sustancias? De acuerdo con el artculo del USA Today del 11 de abril de 2009, "Nios muestran sntomas de adiccin", la investigacin publicada en Psychological Science descubri que 8.5% de los nios y adolescentes que juegan videojuegos muestran signos de comportamiento que pueden indicar adiccin. Supn que se selecciona al azar un grupo de 30 videojugadores de octavo grado. a. Cul es la probabilidad de que exactamente 2 muestren sntomas de adiccin? b. Si el estudio tambin indica que 12% de los nios video- jugadores muestran sntomas de adiccin, cul es la probabilidad de que exactamente 2 de los 17 nios en el grupo muestren sntomas de adiccin? c. Si el estudio tambin indica que 3% de las nias videoju- gadoras muestran sntomas de adiccin, cul es la proba- bilidad de que exactamente 2 de las 13 nias en el grupo muestren sntomas de adiccin? 5.63 De las partes producidas por una mquina particular, 0.5% son defectuosas. Si una muestra aleatoria de 10 partes producidas por esta mquina contiene 2 o ms partes defectuo- sas, la mquina se desconecta para su reparacin. Encuentra la probabilidad de que la mquina se desconectar para repara- ciones con base en este plan de muestreo. 5.64 Como inspector de control de calidad de camiones de juguete, observas que 3% de las veces, las ruedas de madera se perforan fuera del centro. Si en cada camin se usan seis rue- das de madera, cul es la probabilidad de que un camin de juguete seleccionado al azar tenga ruedas no fuera del centro? 5.65 La tasa de supervivencia durante una operacin riesgo- sa para pacientes sin otra esperanza de sobrevivencia es 80%. Cul es la probabilidad de que exactamente cuatro de los prximos cinco pacientes sobrevivan a esta operacin? 5.66 De todos los rboles plantados por una empresa de pai- sajismo, 90% sobreviven. Cul es la probabilidad de que 8 o ms de los 10 rboles que plantan sobrevivir? (Encuentra la respuesta al usar una tabla.) 5.67 En el evento de biatln de los Juegos Olmpicos, un par- ticipante de esqu a campo traviesa y en cuatro ocasiones inter- mitentes se detiene en un coto de tiro y dispara un conjunto de cinco municiones. Si golpea el centro del blanco, no se asignan puntos de penalizacin. Si un hombre particular tiene una his- toria de acertar al centro del blanco con 90% de sus disparos, cul es la probabilidad de lo siguiente? a. Golpear el centro del blanco con los cinco de su siguien- te conjunto de cinco disparos. b. Golpear el centro del blanco con al menos cuatro de su siguiente conjunto de cinco disparos. (Supn indepen- dencia.) 5.68 El artculo del USA Today del 26 de mayo de 2009, "Su- perar el robo de identidad", report los resultados de una en- cuesta de vctimas de robo de identidad. De acuerdo con la IXHQWH$IQLRQ6HFXULW\&HQWHUGHODVYtFWLPDVDUPy que le tom "de una semana a un mes" recuperarse del robo de identidad. Un grupo de 14 vctimas de robo de identidad se seleccionan al azar en tu ciudad. a. Cul es la probabilidad de que ninguna de ellas pueda re- cuperarse del robo de identidad en una semana a un mes? b. Cul es la probabilidad de que exactamente 3 puedan re- cuperarse del robo de identidad en una semana a un mes? c. Cul es la probabilidad de que al menos 5 puedan recu- perarse del robo en una semana a un mes? d. Cul es la probabilidad de que no ms de 4 puedan recu- perarse del robo en una semana a un mes? 5.69 Una encuesta de motociclistas en enero de 2005, comi- sionada por el Grupo Progresivo de Compaas Aseguradoras, demostr que 40% de los motociclistas tienen arte corporal, como tatuajes y perforaciones. Un grupo de 10 motociclistas estn en el proceso de comprar un seguro para motocicleta. Fuente: http://www.syracuse.com/ a. Cul es la probabilidad de que ninguno de los 10 tenga algn arte corporal? b. Cul es la probabilidad de que exactamente 3 tengan algn arte corporal? c. Cul es la probabilidad de que al menos 4 tengan algn arte corporal? (contina en la pgina 258) 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 258 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) d. Cul es la probabilidad de que no ms de 2 tengan algn arte corporal? 5.70 Considera al gerente de Steve's Food Market que se pre- sent en el ejemplo 5.9. Cul sera el "riesgo" del gerente si comprara "mejores" huevos, por decir con P(malo) = 0.01, con la garanta "ms de uno"? 5.71 Si nios y nias tienen igual probabilidad de nacer, cul es la probabilidad de que, en una familia seleccionada al azar de seis hijos, habr al menos un nio? (Encuentra la respuesta usando una frmula.) 5.72 Un cuarto de cierta raza de conejos nace con pelo largo. Cul es la probabilidad de que en una camada de seis conejos, exactamente tres tendrn pelo largo? (Encuentra la respuesta usando una frmula.) 5.73 Encuentra la media y la desviacin estndar para la va- riable aleatoria binomial x con n = 30 y p = 0.6, con las frmu- las (5.7) y (5.8). 5.74 Considera la distribucin binomial donde n = 11 y p = 0.05. a. Encuentra la media y la desviacin estndar con las frmulas (5.7) y (5.8). b. Con la tabla 2 del apndice B, menciona la distribucin de probabilidad y dibuja un histograma. c. Ubica y en el histograma. 5.75 Considera la distribucin binomial donde n = 11 y p = 0.05 (consulta el ejercicio 5.74). a. Usa la distribucin [ejercicio 5.74b o la tabla 2] y encuen- tra la media y la desviacin estndar con las frmulas (5.1), (5.3a) y (5.4). b. Compara los resultados del inciso a con las respuestas que encontraste en el ejercicio 5.74a. 5.76 Dada la funcin de probabilidad binomial P(x) = 5 U ( )x U ( ) 5 x para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 a. Calcula la media y la desviacin estndar de la variable aleatoria con las frmulas (5.1), (5.3a) y (5.4). b. Calcula la media y la desviacin estndar con las frmu- las (5.7) y (5.8). c. Compara los resultados de los incisos a y b. 5.77 Encuentra la media y la desviacin estndar de x para FDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVYDULDEOHVDOHDWRULDVELQRPLDOHV a. El nmero de cruces que se ven en 50 lanzamientos de una moneda. b. El nmero de estudiantes zurdos en un saln con 40 estu- diantes (supn que 11% de la poblacin es zurda). c. El nmero de automviles que tienen neumticos no se- guros entre los 400 automviles detenidos en un control vial para inspeccin (supn que 6% de todos los auto- mviles tienen uno o ms neumticos no seguros). d. El nmero de semillas de meln que germinan cuando se SODQWDXQSDTXHWHGHVHPLOODVHOSDTXHWHDUPDTXHOD probabilidad de germinacin es 0.88). 5.78 Encuentra la media y la desviacin estndar para cada una de las siguientes variables aleatorias binomiales en los in- FLVRVDF a. El nmero de seises vistos en 50 rodaduras de un dado. b. El nmero de televisores defectuosos en un embarque de HOIDEULFDQWHDUPDTXHGHORVWHOHYLVRUHVVRQ operativos). c. El nmero de televisores operativos en un embarque de HOIDEULFDQWHDUPDTXHGHORVWHOHYLVRUHVVRQ operativos). d. Cmo se relacionan los incisos b y c? Explica. 5.79 De acuerdo con United Mileage Plus Visa (22 de no- viembre de 2004), 41% de los pasajeros dicen que se "ponen los audfonos" para evitar ser molestados por sus compaeros de asiento durante los vuelos. Para mostrar cun importantes, o no, son los audfonos para las personas, considera la variable x como el nmero de personas en una muestra de 12 que dice se "ponen los audfonos" para evitar a sus compaeros de asiento. Supn que 41% es verdadero para toda la poblacin de viajeros de avin y que se selecciona una muestra aleatoria. a. xHVXQDYDULDEOHDOHDWRULDELQRPLDO"-XVWLFDWXUHVSXHVWD b. Encuentra la probabilidad de que x = 4 o 5. c. Encuentra la media y la desviacin estndar de x. d. Dibuja un histograma de la distribucin de xHWLTXpWDOD por completo, destaca el rea que representa x = 4 y x = 5, dibuja una recta vertical en el valor de la media y marca la ubicacin de x que sea 1 desviacin estndar ms larga que la media. 5.80 De acuerdo con el artculo del USA Today titulado "Adictos a la droga conocidos", 45% de los estadounidenses conocen a alguien que se volvi adicto a una droga distinta del alcohol. Si supones que esto es verdadero, cul es la probabi- lidad de lo siguiente? a. Exactamente 3 personas de una muestra aleatoria de 5 conocen a alguien que se volvi adicto. Calcula el valor. b. Exactamente 7 personas de una muestra aleatoria de 15 conocen a alguien que se volvi adicto. Estima a partir de la tabla 2 del apndice B. c. Al menos 7 personas de una muestra aleatoria de 15 conocen a alguien que se volvi adicto. Estima a partir de la tabla 2. d. No ms de 7 personas de una muestra aleatoria de 15 conocen a alguien que se volvi adicto. Estima a partir de la tabla 2. 1 2 1 2 x www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 259 5.81 a. Usa una calculadora o computadora para encontrar la probabilidad de que x = 3 en un experimento binomial donde n = 12 y p P(x = 3 | B(12, 0.30)). (Consulta la Nota acerca de esta notacin en la p. 251.) E 8VDODWDEODSDUDYHULFDUODUHVSXHVWDHQHOLQFLVRD 5.82 Si el binomio (q + p) se eleva al cuadrado, el resultado es (q + p)2 = q2 + 2qp + p2. Para el experimento binomial con n = 2, la probabilidad de no xitos en dos ensayos es q2 (el primer trmino en la expansin), la probabilidad de un xito en dos ensayos es 2qp (el segundo trmino en la expansin) y la pro- babilidad de dos xitos en dos ensayos es p2 (el tercer trmino en la expansin). Encuentra (q + p)3 y compara sus trminos con las probabilidades binomiales para n = 3 ensayos. 5.83 Usa una computadora para encontrar las probabilidades para todos los posibles valores x para un experimento binomial donde n = 30 y p = 0.35. MINITAB Elige: Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers Escribe: Almacenar patrn datos en: C1 Desde primer valor: 0 Hasta ltimo valor: 30 En pasos de: 1 > OK Contina con los comandos MINITAB de probabilidad binomial de la pgina 251 y usa n = 30, p = 0.35 y C2 para almacenamiento opcional. Excel Escribe: 0, 1, 2, . . . , 30 en la columna A Contina con los comandos Excel de probabilidad binomial de las pginas 251-252 y usa n = 30 y p = 0.35. TI-83/84 Plus Usa los comandos TI-83 de probabilidad binomial en la pgina 252 y usa n = 30 y p = 0.35. 5.84 Usa una computadora para encontrar las probabilidades acumuladas para todos los posibles valores x para un experi- mento binomial donde n = 45 y p = 0.125. a. Explica por qu existen tantos 1.000 citados. b. Explica qu representa cada nmero en la lista. MINITAB Elige: Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers . . . Escribe: Almacenar patrn datos en: C1 Desde primer valor: 0 Hasta ltimo valor: 45 En pasos de: 1 > OK Contina con los comandos MINITAB de probabilidad binomial acumulada en la pgina 251 y usa n = 45, p = 0.125 y C2 como almacenamiento opcional. Excel Escribe: 0, 1, 2, . . . , 45 en la columna A Contina con los comandos Excel de probabilidad binomial acumulada de las pginas 251-252 y usa n = 45 y p = 0.125. TI-83/84 Plus Usa los comandos TI-83 de probabilidad binomial acumulada en la pgina 252 y usa n = 45 y p = 0.125. 5.85 A dnde van todos los dulces de Halloween? El nmero de octubre de 2004 del Readers' Digest cita que "90% de los padres admiten tomar dulces de Halloween de las bolsas de sus hijos". La fuente de informacin fue la National Confectioners Association. Supn que entrevistas a 25 padres. Cul es la probabilidad de que 20 o ms tomen dulces de Halloween de las bolsas de sus hijos? 5.86 Harris Interactive realiz una encuesta para Tylenol PM en la que preguntaba a conductores estadounidenses qu hacen si conducen estando somnolientos. Los resultados se reporta- ron en un artculo del USA Today el 18 de enero de 2005, don- de 40% de los respondientes dicen que "abren las ventanas" para combatir el sueo. Supn que entrevistas a 35 conduc- tores estadounidenses. Cul es la probabilidad de que entre 10 y 20 de los conductores diga que "abre las ventanas" para combatir el sueo? 5.87 De todas las hipotecas vencidas en Estados Unidos, 48% VRQFDXVDGDVSRUGLVFDSDFLGDGSHUVRQDVOHVLRQDGDVRTXHQR pueden trabajar, entonces pierden sus empleos y por tanto sus ingresos. Sin ingresos, no pueden pagar sus hipotecas y el ban- co extingue el derecho de propiedad. Fuente: http://www.ricedelman.com Dado que una gran institucin de prstamo audita 20 hipotecas YHQFLGDVHQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHORVLJXLHQWH a. Cinco o menos de las hipotecas vencidas se deben a dis- capacidad. b. Al menos tres hipotecas vencidas se deben a discapacidad. 5.88 El aumento en el uso de internet durante los ltimos aos ha sido fenomenal, como demuestra el reporte de febrero de 2004 del Pew Internet & American Life Project. La encuesta de estadounidenses de 65 aos de edad o ms (aproximada- mente 8 millones de adultos) report que 22% tienen acceso a internet. En contraste, 58% de los de 50 a 64 aos de edad, 75% de los de 30 a 49 aos de edad y 77% de los de 18 a 29 aos de edad, actualmente se conectan en lnea. Fuente: http://www.suddenlysenior.com/ 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 260 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Supn que entrevistas a 50 adultos en cada grupo etreo. a. Cul es la probabilidad de que "tiene acceso a internet" sea la respuesta de 10 a 20 adultos en el grupo de 65 aos o ms? b. Cul es la probabilidad de que "tiene acceso a internet" sea la respuesta de 30 a 40 adultos en el grupo de 50 a 64 aos de edad? c. Cul es la probabilidad de que "tiene acceso a internet" sea la respuesta de 30 a 40 adultos en el grupo de 30 a 49 aos de edad? d. Cul es la probabilidad de que "tiene acceso a internet" sea la respuesta de 30 a 40 adultos en el grupo de 18 a 29 aos de edad? e. Por qu las respuestas a los incisos a y d son casi igua- les? Explica. f. Qu efecto tienen los diversos valores de p sobre las probabilidades? Explica. 5.89 Una variable aleatoria binomial tiene una media igual a 200 y una desviacin estndar de 10. Encuentra los valores de n y p. 5.90 Se sabe que la probabilidad de xito en un solo ensayo de un experimento binomial es de 1/4. La variable aleatoria x, nmero de xitos, tiene un valor medio de 80. Encuentra el nmero de ensayos involucrado en este experimento y la desviacin estndar de x. 5.91 Una variable aleatoria binomial x se basa en 15 ensayos con la probabilidad de xito igual a 0.4. Encuentra la probabi- lidad de que esta variable tome un valor de ms de 2 desviacio- nes estndar arriba de la media. 5.92 Una variable aleatoria binomial x se basa en 15 ensayos con la probabilidad de xito igual a 0.2. Encuentra la probabi- lidad de que esta variable tome un valor de ms de 2 desviacio- nes estndar arriba de la media. 5.93 a. Cuando se usa la prueba binomial exacta (ejemplo aplicado 5.10, pp. 252-253), cul es la interpretacin de la situacin cuando el valor calculado de P es menor que o igual a 0.05? b. Cuando se usa la prueba binomial exacta, cul es la in- terpretacin cuando el valor calculado de P es mayor que 0.05? c. Un empresario tiene 15 empleados en un grupo de trabajo muy especializado, de los cuales 2 son minoras. Con base en la informacin censal de 2000, la proporcin de las minoras disponibles para este tipo de trabajo es 5%. Con la prueba binomial, el porcentaje de minoras es el que se esperara razonablemente? d. Para este mismo empresario y el mismo grupo de traba- jo, existen tres empleadas. El porcentaje de disponibili- dad femenina para esta posicin es 50%. Parece que el porcentaje de mujeres es el que se esperara razonable- mente? 5.94 Llevado a tiempo extra en el juego 7 de gira en los jue- gos de postemporada de la NBA 2002, el dos veces campen GHIHQVRU/RV$QJHOHV/DNHUVKL]RORTXHKDFHPHMRUOXFKDU cuando la presin est en su apogeo. Los dos jugadores estrella de los Lakers tuvieron su oportunidad en la lnea de falta ms tarde en el tiempo extra. D &RQPLQXWRVUHVWDQWHVHQHOWLHPSRH[WUD\HOMXHJR empatado a 106, Shaquille (Shaq) O'Neal estuvo en la lnea por dos intentos de tiro libre. l tiene un historial de anotar 0.555 de sus intentos de tiro libre y, durante este juego, antes de estos dos tiros, anot 9 de sus 13 intentos. -XVWLFDHOHQXQFLDGRODOH\GHSURPHGLRVIXQFLRQDFRQ- tra l". E &RQVHJXQGRVUHVWDQWHVHQHOWLHPSRH[WUD\HO juego en 110-106, Kobe Bryant estuvo en la lnea por dos tiros libres. l tiene un historial de anotar 0.829 de sus tiros libres y durante este juego, antes de estos dos tiros, DQRWyGHVXVLQWHQWRV-XVWLFDHOHQXQFLDGR "la ley de los promedios funciona a favor de l". Ambos jugadores anotaron los dos tiros y la serie con los Sa- cramento Kings termin. 5.95 Imprints Galore compra camisetas (para imprimir con un objeto de la eleccin del cliente) de un fabricante que ga- rantiza que las camisetas fueron inspeccionadas y que no ms de 1% son defectuosas en forma alguna. Las camisetas llegan en cajas de 12. Sea x el nmero de camisetas defectuosas en cualquiera de las cajas. a. Presenta la distribucin de probabilidad y dibuja el histo- grama de x. b. Cul es la probabilidad de que alguna caja no tenga ca- misetas defectuosas? c. Cul es la probabilidad de que alguna caja no tenga ms de una camiseta imperfecta? d. Encuentra la media y la desviacin estndar de x. e. Qu proporcin de la distribucin est entre y + ? f. Qu proporcin de la distribucin est entre 2 y + 2? g. Cmo se relaciona esta informacin con la regla empri- ca y el teorema de Chebyshev? Explica. www.fullengineeringbook.net Seccin 00 Captulo ttulo 261 h. Usa una computadora para simular las compras de Im- prints Galore de 200 cajas de camisetas y observar x, el nmero de camisetas defectuosas por caja de 12. Describe cmo se compara la informacin de la simulacin con lo que esperabas (las respuestas a los incisos a-g describen los resultados esperados). i. Repite el inciso h varias veces. Describe cmo se comparan estos resultados con los de los incisos a-g y con el inciso h. MINITAB a. Elige: Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers . . . Escribe: Almacenar patrn datos en: C1 Desde primer valor: 1 (vase la nota) Hasta ltimo valor: 12 En pasos de: 1 > OK c. Contina con los comandos MINITAB de probabilidad bino- mial de la pgina 251 y usa n = 12, p = 0.01 y C2 para almacenamiento opcional. Elige: Graph > Scatterplot > Simple > OK Escribe: Variables Y: C2 variables X: C1 Selecciona: Data view: Data Display: Area > OK La grfica no es un histograma, pero puede convertirse en un histo- grama al hacer doble clic en "rea" de la grfica. Selecciona: Options Select: Step > OK > OK h. Contina con los comandos MINITAB de probabilidad bino- mial acumulada de la pgina 251 y usa n = 12, p = 0.01 y C3 para almacenamiento opcional. Elige: Calc > Random Data > Binominal Escribe: Nmero de filas de datos a generar: 200 filas de datos Almacenar en columna C4 Nmero de ensayos: 12 Probabilidad: .01 > OK Elige: Stat > Tables > Cross Tabulation Escribe: Variables categricas: Por filas: C4 Selecciona: Display: Total percents > OK Elige: Calc > Column Statistics Selecciona: Statistic: Mean Escribe: Variable entrada: C4 > OK Elige: Calc > Column Statistics Selecciona: Statististic: Standard deviation Escribe: Variable entrada: C4 > OK Contina con los comandos MINITAB de histograma en la pgina 53, usa los datos en C4 y selecciona las opciones: porcentaje y punto medio con intervalos 0:12/1. Nota: la variable binomial x no puede tomar el valor 1. El uso de 1 (el siguiente sera punto medio de clase a la izquier- da de 0) permite a MINITAB dibujar el histograma de una distribucin de probabilidad. Sin 1, PLOT dibujar slo la mitad de la barra que representa x = 0. Excel a. Escribe: 0, 1, 2, . . . , 12 en la columna A Contina con los comandos Excel de probabilidad binomial en las pginas 251-252 y usa n = 12 y p = 0.01. Activa las columnas A y B; luego contina con: Elige: Inset > Column > 1st picture (por lo general) Elige: Select Data > Series 1 > Remove > OK Si es necesario: Haz clic en: Cualquier parte para limpiar el cuadro usa los asideros para redimensionar, de modo que los valores x caigan bajo las barras correspondientes Contina con los comandos Excel de probabilidad binomial acumulada de las pginas 251-252 y usa n = 12, p = 0.01 y la columna C para la celda activada. h. Elige: Data > Data analysis > Random Number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 1 Nmero de nmeros aleatorios: 200 Distribucin: Binomial Valor p = 0.01 Nmero de ensayos = 12 Selecciona: Output Options: Output Range Escribe: (D1 o selecciona celdas) > OK Activa la celda E1, luego: Elige: Insert function, fx > Statistical > AVERAGE > OK Escribe: Nmero 1: D1:D200 > OK Activa la celda E2, luego: Elige: Insert function fx > Statistical > STDEV > OK Escribe: Nmero 1: D1:D200 > OK Contina con los comandos Excel de histograma de las pginas 53-54, usa los datos en la columna D y el rango de cajas en la columna A. TI-83/84 Plus a. Elige: STAT > EDIT > 1:Edit Escribe: L1: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Elige: 2nd QUIT > 2nd DISTR > 0:binompdf( Escribe: 12, 0.01) > ENTER Elige: STO > L2 > ENTER Elige: 2nd > STAT PLOT > 1:Plot1 Elige: WINDOW Escribe: 0, 13, 1, .1, .9, .1, 1 Elige: TRACE > > > c. Elige: 2nd > DISTR > A:binomcdf( Escribe: 12, 0.01) Elige: STO L3 > ENTER STAT > EDIT > 1:Edit h. Elige: MATH > PRB > 7:randBin( Escribe: 12, .01, 200) (tarda un poco en procesar) Elige: STO > L4 > ENTER (contina en la pgina 262) 5.3 Distribucin de probabilidad binomial www.fullengineeringbook.net 262 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Elige: 2nd LIST > Math > 3:mean( Escribe: L4 Elige: 2nd LIST > Math > 7:StdDev( Escribe: L4 Contina con los comandos TI-83/84 de histograma en la pgina 54, usa los datos en la columna L4 y ajusta la ventana despus del vistazo inicial usando ZoomStat. 5.96 Alguna vez has comprado una bombilla incandescente que falla (o se quema o no funciona) la primera vez que en- ciendes el interruptor? Cuando colocas una nueva bombilla en una lmpara, esperas que encienda y la mayora de las veces lo hace. Considera paquetes de 8 bombillas de 60 watts y sea x el nmero de bombillas en un paquete que "fallan" la primera vez que se usan. Si 0.02 de todas las bombillas de este tipo fallan en su primer uso y cada paquete de 8 se considera una muestra aleatoria, a. Menciona la distribucin de probabilidad y dibuja el his- tograma de x. b. Cul es la probabilidad de que cualquier paquete de 8 no tenga bombillas que fallen al primer uso? c. Cul es la probabilidad de que cualquier paquete de 8 no tenga ms de una bombilla que falle en el primer uso? d. Encuentra la media y la desviacin estndar de x. e. Qu proporcin de la distribucin est entre y + ? f. Qu proporcin de la distribucin est entre 2 y + 2? g. Cmo se relaciona esta informacin con la regla empri- ca y el teorema de Chebyshev? Explica. h. Usa una computadora para simular 100 pruebas de paque- tes de 8 bombillas y observar x, el nmero de fallas por paquete de 8. Describe cmo la informacin de la simula- cin se compara con lo que esperabas (las respuestas a los incisos a-g describen los resultados esperados). i. Repite el inciso h varias veces. Describe cmo se comparan estos resultados con los de los incisos a-g y con el inciso h. Repaso del captulo Imagen copyright Michael Shake, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.comEn retrospectiva En este captulo se combinaron conceptos de probabilidad con algunas de las ideas presentadas en el captulo 2. Ahora puedes lidiar con distribuciones de valores de probabilidad y encon- trar medias, desviaciones estndar y otros estadsticos. En el captulo 4 exploraste los conceptos de eventos mutua- mente excluyentes y eventos independientes. Usaste las reglas de la suma y de la multiplicacin en varias ocasiones de este captulo, pero se dijo muy poco acerca de la exclusividad mu- tua o la independencia. Recuerda que cada vez que se suman probabilidades, como hiciste en cada una de las distribuciones de probabilidad, es necesario saber que los eventos asociados son mutuamente excluyentes. Si observas de vuelta el captulo, notars que la variable aleatoria en realidad requiere eventos que sean mutuamente excluyentes; por tanto, no se puso real nfasis en este concepto. El mismo comentario bsico puede hacerse con referencia a la multiplicacin de probabilidades y al concepto de eventos independientes. A lo largo de este captulo, las probabilidades se multiplicaron y ocasionalmente se mencion la independencia. La independencia, desde luego, es necesaria para poder multiplicar probabilidades. Ahora, despus de completar el captulo 5, si tuvieras que echar un vistazo cercano a alguno de los conjuntos de datos del captulo 2, veras que muchos problemas podran reorganizar- se a formas de distribucion de probabilidad. He aqu algunos HMHPSORV6HDx el nmero de horas crdito a las que est re- gistrado un estudiante este semestre, apareadas con el porcen- taje de todo el cuerpo estudiantil reportado para cada valor de x. 2) Sea x el nmero de pasajes correctos a travs de los cuales pasa un animal de laboratorio experimental antes de tomar uno equivocado, apareado con la probabilidad de cada valor x. 3) Sea x el nmero de solicitudes hechas a universidades distintas de aquella en la que te inscribiste (ejemplo aplicado 5.3), apa- reado con la probabilidad de cada valor . La lista de ejemplos es interminable. Ahora ests listo para extender estos conceptos a variables aleatorias continuas en el captulo 6. www.fullengineeringbook.net 263 El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave FRHFLHQWHELQRPLDOS desviacin estndar de una variable aleatoria discreta (p. 237) distribucin de probabilidad (p. 233) ensayo (p. 246) ensayos independientes (p. 246) estadstico muestral (p. 236) eventos mutuamente excluyentes (p. 230) eventos todo incluido (p. 230) xito (p. 246) experimento (p. 230) experimento de probabilidad binomial (p. 246) fracaso (p. 246) funcin constante (p. 234) funcin de probabilidad (p. 233) funcin de probabilidad binomial (p. 247) histograma de probabilidad (p. 235) media de una variable aleatoria discreta (p. 237) notacin factorial (p. 248) parmetro poblacional (p. 236) variable aleatoria (p. 230) variable aleatoria binomial (p. 246) variable aleatoria continua (p. 231) variable aleatoria discreta (p. 231) varianza de una variable aleatoria discreta (p. 237) Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUTXHXQDYDULDEOHDOHDWRULDHVXQDFDQWLGDGQXPpULFDFX\RYDORU SS(- depende de las condiciones y probabilidades asociadas con un experimento. &RPSUHQGHUODGLIHUHQFLDHQWUHXQDYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWD (M y una continua. 3RGHUFRQVWUXLUXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGGLVFUHWDFRQEDVHHQXQ SS(M experimento o funcin dada. &RPSUHQGHUORVWpUPLQRVmutuamente excluyente y todo incluido p. 231, Ej. 5.15 como se aplican a las variables para distribuciones de probabilidad. &RPSUHQGHUODVVLPLOLWXGHV\GLIHUHQFLDVHQWUHGLVWULEXFLRQHVGHIUHFXHQFLD S(M y distribuciones de probabilidad. &RPSUHQGHU\SRGHUXWLOL]DUODVGRVSULQFLSDOHVSURSLHGDGHVGH S(- ODVGLVWULEXFLRQHVGHSUREDELOLGDGSDUDYHULFDUHOFXPSOLPLHQWR (M &RPSUHQGHUTXHXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGHVXQDGLVWULEXFLyQ SS(M de probabilidad terica y que la media y la desviacin estndar ( y , respectivamente) son parmetros. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU (-(M de una distribucin de probabilidad. &RPSUHQGHUORVHOHPHQWRVFODYHGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDO S(- \SRGHUGHQLUx, n, p y q. &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUSUREDELOLGDGHVELQRPLDOHVXVDQGRODIXQFLyQ (-(M de probabilidad binomial. &RPSUHQGHU\SRGHUXVDUODWDEODGHODSpQGLFH%3UREDELOLGDGHV S(M binomiales, para determinar probabilidades binomiales. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU (-(M de una distribucin de probabilidad binomial. Resultados del aprendizaje www.fullengineeringbook.net 264 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) Ejercicios del captulo 5.97 Cules son las dos propiedades bsicas de toda distribu- cin de probabilidad? 5.98 a. Explica la diferencia y la relacin entre una distribu- cin de probabilidad y una funcin de probabilidad. b. Explica la diferencia y la relacin entre una distribu- cin de probabilidad y una distribucin de frecuen- cias y explica cmo se relacionan con una poblacin y una muestra. 5.999HULFDVLFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHVRQRHVXQDIXQ- cin de probabilidad. Enuncia tu conclusin y explica. a. f(x) = , para x = 0, 1, 2, 3, x!(3 x)! b. f(x) = 0.25, para x = 9, 10, 11, 12 c. f(x) = (3 x)/2, para x = 1, 2, 3, 4 d. f(x) = (x2 + x + 1)/25, para x = 0, 1, 2, 3 5.1009HULFDVLFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVHVRQRHVXQDIXQ- cin de probabilidad. Enuncia tu conclusin y explica. a. f(x) = 3x , para x = 1, 2, 3, 4 8x! b. f(x) = 0.125, para x = 0, 1, 2, 3, y f(x) = 0.25, para x = 4, 5 c. f(x) = (7 x)/28, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 d. f(x) = (x2 + 1)/60, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 5.101 El nmero de embarcaciones que llegan a un puerto en cualquier da dado es una variable aleatoria representada por x. La distribucin de probabilidad para xHVODVLJXLHQWH x 10 11 12 13 14 P (x) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 Encuentra la probabilidad de lo siguiente para cualquier da GDGR a. Llegan exactamente 14 embarcaciones. b. Llegan al menos 12 embarcaciones. c. Llegan cuando mucho 11 embarcaciones. 5.102 "Cuntos televisores hay en su hogar?", fue una de las preguntas en un cuestionario que se envi a 5 000 perso- nas en Japn. Los datos recopilados resultaron en la siguiente GLVWULEXFLyQ Nmero TV/hogar 0 1 2 3 4 5 o ms Porcentaje 1.9 31.4 23.0 24.4 13.0 6.3 a. Qu porcentaje de los hogares tienen al menos un televisor? b. Qu porcentaje de los hogares tienen cuando mucho tres televisores? c. Qu porcentaje de los hogares tienen tres o ms televi- sores? d. ste es un experimento de probabilidad binomial? -XVWLFDWXUHVSXHVWD e. Sea x el nmero de televisores por hogar. sta es una distribucin de probabilidad? Explica. f. Asigna x = 5 para "5 o ms" y encuentra la media y la desviacin estndar de x. 5.103 Los pacientes que tienen ciruga de reemplazo de ca- dera experimentan dolor el primer da despus de la ciruga. Por lo general, el dolor se mide en una escala subjetiva que usa valores del 1 al 5. Sea xODYDULDEOHDOHDWRULDODFDOLFDFLyQGH dolor dterminada por un paciente. La distribuci de proba- bilidad para xVHFRQVLGHUDTXHHV x 1 2 3 4 5 P (x) 0.10 0.15 0.25 0.35 0.15 a. Encuentra la media de x. b. Encuentra la desviacin estndar de x. 5.104 El consumo de caf per cpita en Estados Unidos es aproximadamente 1.9 tazas al da para hombres y 1.4 tazas para mujeres. El nmero de tazas consumidas por da, x, por mujeres bebedoras de caf se expresa como la siguiente dis- tribucin. x 1 2 3 4 5 6 7 P (x) 0.20 0.33 0.28 0.10 0.05 0.02 0.02 a. sta es una distribucin de probabilidad discreta? Ex- plica. b. Dibuja un histograma de la distribucin. c. Encuentra la media y la desviacin estndar de x. 5.105 Imagina que ests a punto de comprar un boleto de lo- tera y la persona detrs del mostrador imprime demasiados 3 4 Fuente: http://www.japanguide.com/ www.fullengineeringbook.net 265 boletos con tus nmeros. Qu haras? Los resultados de una HQFXHVWDHQOtQHDIXHURQORVVLJXLHQWHV Permitirle conservar los boletos 30.77% Confiar que la persona los borrar 15.38% Comprar los adicionales y confiar en que ganen 30.77% Otro 23.08% sta es una distribucin de probabilidad? Explica. 5.106 "Sostenibilidad" es la palabra de moda para los am- bientalistas. Cuando piensan en sostenibilidad, la palabra que usualmente llega a la mente para la mayora de los estadouni- denses es "reciclar". Una encuesta Harris, en mayo de 2008, a 2 602 adultos estadounidenses encuestados en lnea plante ODSUHJXQWD+DHVFXFKDGRHOXVRGHODIUDVHVRVWHQLELOLGDG ambiental?". El porcentaje de adultos que respondi "s" para FDGDJUXSRHWiUHRVHUHSRUWyGHOPRGRVLJXLHQWH Grupo etreo 18-31 32-43 44-62 63+ Porcentaje 46% 47% 42% 30% sta es una distribucin de probabilidad? Explica. 5.107 Una doctora sabe por experiencia que 10% de los pa- cientes a quienes da cierto medicamento tendrn efectos cola- terales indeseables. Encuentra las probabilidades de que entre ORVSDFLHQWHVDTXLHQHVOHVGLRHOPHGLFDPHQWR a. Cuando mucho dos tendrn efectos colaterales inde- seables. b. Al menos dos tendrn efectos colaterales indeseables. 5.108 En una encuesta reciente de mujeres, 90% admiti que nunca haba ledo un ejemplar de la revista Vogue. Si supones que sta es informacin precisa, cul es la proba- bilidad de que una muestra al azar de tres mujeres mostrar que menos de dos han ledo la revista? 5.109 De quienes buscan una licencia de conducir, 70% ad- miti que no reportara a alguien si copiaba algunas respuestas durante el examen escrito. T acabas de entrar en la habitacin y ves que 10 personas esperan tomar el examen escrito. Cul es la probabilidad de que, si alguien copia, 5 de los 10 no re- porten lo que vieron? 5.110 Los motores de un avin operan de manera indepen- diente. La probabilidad de que un motor individual opere para un viaje dado es 0.95. Un avin podr completar un viaje exi- tosamente si al menos la mitad de sus motores opera durante todo el viaje. Determina si un avin de cuatro motores o uno de dos motores tiene mayor probabilidad de un viaje exitoso. 5.111 El Pew Internet & American Life Project descubri que casi 70% de los ciudadanos adultos mayores "conectados" es- tn en lnea todos los das. En un grupo seleccionado al azar, GHFLXGDGDQRVDGXOWRVPD\RUHVFRQHFWDGRV a. Cul es la probabilidad de que ms de cuatro digan que estn en lnea todos los das? b. Cul es la probabilidad de que exactamente 10 digan que estn en lnea todos los das? c. Cul es la probabilidad de que menos de 10 digan que estn en lnea todos los das? 5.112 Existen 750 jugadores en las plantillas activas de los 30 equipos de bisbol de las grandes ligas. Se selecciona una muestra aleatoria de 15 jugadores y se ponen a prueba por uso de drogas ilegales. a. Si 5% de todos los jugadores usan drogas ilegales al momento de la prueba, cul es la probabilidad de que 1 o ms jugadores d positivo y falle en la prueba? b. Si 10% de todos los jugadores usan drogas ilegales al momento de la prueba, cul es la probabilidad de que 1 o ms jugadores d positivo y falle en la prueba? c. Si 20% de todos los jugadores usan drogas ilegales al momento de la prueba, cul es la probabilidad que 1 o ms jugadores d positivo y falle en la prueba? 5.113 Una caja contiene 10 artculos, de los cuales 3 son de- fectuosos y 7 no son defectuosos. Dos artculos se seleccionan sin reemplazo y x es el nmero de artculos defectuosos en la muestra de dos. Explica por qu x no es una variable aleatoria binomial. 5.114 Una caja contiene 10 artculos, de los cuales 3 son de- fectuosos y 7 no son defectuosos. Dos artculos se seleccionan al azar, uno a la vez, con reemplazo y x es el nmero de artcu- los defectuosos en la muestra de dos. Explica por qu x es una variable aleatoria binomial. 5.115 Un gran embarque de radios se acepta en la entrega si una inspeccin de 10 radios seleccionados al azar produce no ms de 1 radio defectuoso. a. Encuentra la probabilidad de que este embarque se acep- te, si 5% del embarque total es defectuoso. b. Encuentra la probabilidad de que este embarque no se acepte, si 20% de este embarque es defectuoso. c. La distribucin de probabilidad binomial con frecuencia se usa en situaciones similares a sta, a saber, grandes poblaciones muestreadas sin reemplazo. Explica por qu la binomial produce una buena estimacin. Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 266 Captulo 5 Distribuciones de probabilidad (variables discretas) 5.116 El consejo de la ciudad tiene nueve miembros. Se considera una propuesta para establecer una nueva industria en esta ciudad y todas las propuestas deben tener al menos dos tercios de los votos para ser aceptada. Si se sabe que dos miembros del consejo de la ciudad se oponen y que los otros votan al azar "a favor" y "en contra", cul es la probabilidad de que la propuesta se acepte? 5.117 El ingeniero de diseo del puente estatal concibe un plan para reparar los 4 706 puentes de Carolina del Norte que actualmente se mencionan en condicin pobre o en condicin aceptable. El estado tiene un total de 13 268 puentes. Antes de que el gobernador incluya el costo de este plan en su presupues- to, decidi visitar personalmente e inspeccionar cinco puentes, que se seleccionan al azar. Cul es la probabilidad de que en la muestra de cinco puentes, el gobernador visite los siguientes? D 1LQJ~QSXHQWHFDOLFDGRFRPRSREUHRDFHSWDEOH E 8QRRGRVSXHQWHVFDOLFDGRVFRPRSREUHVRDFHSWDEOHV F &LQFRSXHQWHVFDOLFDGRVFRPRSREUHVRDFHSWDEOHV 5.118 Una variable aleatoria discreta tiene una desviacin es- tndar igual a 10 y una media igual a 50. Encuentra x2P(x). 5.119 Una variable aleatoria binomial se basa en n = 20 y p = 0.4. Encuentra x2P(x). 5.120 [EX05-120] En un ensayo de germinacin, 50 semi- OODVVHSODQWDQHQFDGDXQDGHODV(OQ~PHURGHVHPLOODV JHUPLQDGDVHQFDGDOD VH UHJLVWUD FRPRVHPHQFLRQDHQ OD siguiente tabla. Nmero Nmero Nmero Nmero que germina de filas que germina de filas 39 1 45 8 40 2 46 4 41 3 47 3 42 4 48 1 43 6 49 1 44 7 a. Usa la tabla de distribucin de frecuencias anterior para determinar la tasa de germinacin observada para dichas semillas. b. El experimento de probabilidad binomial con su corres- pondiente distribucin de probabilidad puede usarse con ODYDULDEOHQ~PHURGHVHPLOODVTXHJHUPLQDQSRUOD FXDQGRVHPLOODVVHSODQWDQHQFDGDOD,GHQWLFDOD IXQFLyQELQRPLDOHVSHFtFD\PHQFLRQDVXGLVWULEXFLyQ usando la tasa de germinacin que encontraste en el LQFLVRD-XVWLFDWXUHVSXHVWD c. Supn que planeas repetir este experimento al plantar 40 ODVGHGLFKDVVHPLOODVFRQVHPLOODVHQFDGDOD8VD tu modelo de probabilidad del inciso b para encontrar la distribucin de frecuencias para x que esperaras resulte de tu experimento planeado. d. Compara tu respuesta al inciso c con los resultados pro- porcionados en la tabla anterior. Describe cualquier simi- litud y diferencia. 5.121 En otro experimento de germinacin que involucra VHPLOODVYLHMDVVHSODQWDQODVGHVHPLOODV(OQ~PHURGHVH- PLOODVTXHJHUPLQDQHQFDGDODVHUHJLVWUDHQODVLJXLHQWHWDEOD FDGDODFRQWHQtDHOPLVPRQ~PHURGHVHPLOODV Nmero Nmero Nmero Nmero que germina de filas que germina de filas 0 17 3 2 1 20 4 1 2 10 5 o ms 0 a. Qu distribucin de probabilidad (o funcin) sera til para modelar la variable "nmero de semillas que germi- QDQSRUOD"-XVWLFDWXHOHFFLyQ E 4XpLQIRUPDFLyQVHQHFHVLWDFRQODQDOLGDGGHDSOLFDU la distribucin de probabilidad que elegiste en el inciso a? c. Con base en la informacin que tienes, cul es la tasa de germinacin ms alta o ms baja que puedes estimar para estas semillas? Explica. 5.122 Una empresa comercial considera dos inversiones. Ele- gir aquella que prometa el mayor rendimiento. Cul de las LQYHUVLRQHVGHEHUtDDFHSWDU"6HDODPHGLGDGHOEHQHFLRPH- dio la utilidad.) Inversin en tienda herramientas Inversin en librera Beneficio Probabilidad Beneficio Probabilidad $100 000 0.10 $400 000 0.20 50 000 0.30 90 000 0.10 20 000 0.30 20 000 0.40 80 000 0.30 250 000 0.30 Total 1.00 Total 1.00 5.123 Bill complet un examen de 10 preguntas de opcin mltiple en el que respondi 7 preguntas correctamente. Cada pregunta tiene una respuesta correcta a elegir de cinco alterna- tivas. Bill dice que respondi el examen al adivinar al azar las respuestas sin leer las preguntas o respuestas. D 'HQHODYDULDEOHDOHDWRULDx como el nmero de respues- tas correctas en este examen y construye la distribucin de probabilidad si las respuestas se obtuvieron por adivi- nacin al azar. b. Cul es la probabilidad de que Bill adivine 7 de las 10 respuestas correctamente? [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRVGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 267 c. Cul es la probabilidad de que alguien pueda adivinar seis o ms respuestas correctamente? G &UHHVTXH%LOOUHDOPHQWHDGLYLQyDOD]DUFRPRORDUPD" Explica. 5.124 Una variable aleatoria que puede asumir cualquiera de valores enteros 1, 2, . . . , n con iguales probabilidades de xxse dice que tiene una distribucin uniforme. La funcin de proba- bilidad se escribe P(x) = , para x = 1, 2, 3, . . . , n. Demuestra que = . (Sugerencian = [n(n + 1)]/2) Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negrillas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 5.1 El nmero de horas que esperas en lnea para registrar este semestre es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. 5.2 El nmero de accidentes automovilsticos en los que estuviste involucrado como conductor el ao pasado es un ejemplo de una variable aleatoria discreta. 5.3 La suma de todas las probabilidades en cualquier dis- tribucin de probabilidad siempre es exactamente dos. 5.4 Los diversos valores de una variable aleatoria forman una lista de eventos mutuamente excluyentes. 5.5 Un experimento binomial siempre tiene tres o ms posibles resultados en casa ensayo. 5.6 La frmula = np puede usarse para calcular la media de una poblacin discreta. 5.7 El parmetro binomial p es la probabilidad de un xito que ocurre en n ensayos cuando se realiza un experi- mento binomial. 5.8 Un parmetro es una medida estadstica de algn as- pecto de una muestra. 5.9 Los estadsticos muestrales se representan mediante letras del alfabeto griego. 5.10 La probabilidad del evento A o B es igual a la suma de la probabilidad del evento A y la probabilidad del evento B cuando A y B son eventos mutuamente ex- cluyentes. PARTE II: Aplicacin de los conceptos 5.1 a. Demuestra que la siguiente es una distribucin de SUREDELOLGDG x 1 3 4 5 P (x) 0.2 0.3 0.4 0.1 b. Encuentra P(x = 1). c. Encuentra P(x = 2). d. Encuentra P(x > 1). e. Encuentra la media de x. f. Encuentra la desviacin estndar de x. 5.12 Una compaa fabricante de camisetas anuncia que la probabilidad de que una camiseta individual sea irre- gular es 0.1. Una caja de 12 de tales camisetas se se- lecciona e inspecciona al azar. a. Cul es la probabilidad de que exactamente 2 de dichas 12 camisetas sean irregulares? b. Cul es la probabilidad de que exactamente 9 de dichas 12 camisetas sean irregulares? Sea x el nmero de camisetas que son irregulares en todas di- chas cajas de 12 camisetas. c. Encuentra la media de x. d. Encuentra la desviacin estndar de x. PARTE III: Comprender los conceptos 5.13 Qu propiedades debe poseer un experimento con la QDOLGDGGHTXHVHDXQH[SHULPHQWRGHSUREDELOLGDG binomial? 5.14 El estudiante A usa una distribucin de frecuencias rela- tivas para un conjunto de datos muestrales y calcula la media y la desviacin estndar con las frmulas del cap- WXOR(OHVWXGLDQWH$MXVWLFDVXHOHFFLyQGHIyUPXODVDO decir que, dado que las frecuencias relativas son proba- bilidades empricas, su muestra se representa mediante una distribucin de probabilidad y en consecuencia su eleccin de las frmulas fue correcta. El estudiante B argumenta que, dado que la distribucin representa una muestra, la media y la desviacin estndar involucradas se conocen como x y s y deben calcularse con la corres- pondiente distribucin de frecuencias y frmulas del ca- StWXOR4XLpQHVWiHQORFRUUHFWR$R%"-XVWLFDWX eleccin. 5.15 El estudiante A y el estudiante B discuten acerca de una HQWUDGDHQXQFXDGURGHGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG x P(x) 2 0.1 El estudiante B piensa que esta entrada estaba bien, porque P(x) es un valor entre 0.0 y 1.0. El estudiante A argumenta que esta entrada era imposible para una distribucin de probabili- dad porque x es 2 y no son posibles los negativos. Quin est HQORFRUUHFWR$R%"-XVWLFDWXHOHFFLyQ 1 n 1 n n + 1 2 Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 268 Captulo 00 Captulo ttulo 6 6.1 Distribucin de probabilidad normal El dominio de las distribuciones con forma de campana es el conjunto de todos los nmeros reales. 6.2 La distribucin normal estndar Para trabajar con distribuciones normales, es necesario el valor estndar. 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales La distribucin normal puede ayudar a determinar probabilidades. 6.4 Notacin La notacin z es crucial en el uso de distribuciones normales. 6.5 Aproximacin normal de la binomial Las probabilidades binomiales pueden estimarse al usar una distribucin normal. Distribuciones de probabilidad normal Calificaciones de inteligencia La distribucin de probabilidad normal se considera la distribucin de probabilidad in- dividual ms importante. Un nmero ilimitado de variables aleatorias continuas tiene una distri- bucin normal o aproximadamente normal. Todo mundo est familiarizado con los puntajes de CI (cociente de inteligencia) y/o SAT (Scholastic Aptitude Test: Examen de Aptitud Acadmica). Los puntajes CI tienen una media de 100 y una desviacin HVWiQGDUGH/DVFDOLFDFLRQHV6$7WLHQHQXQDPHGLDGHFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH 3HURVDEtDVTXHHVWDVYDULDEOHVDOHDWRULDVFRQWLQXDVWDPELpQVLJXHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDO" 6.1 Distribucin de probabilidad normal 2010/Jupiterimages Corporation /DJXUD$PXHVWUDODFRPSDUDFLyQGHYDULDV FDOLFDFLRQHV GH GHVYLDFLyQ \ OD GLVWULEXFLyQ QRUPDO ODV FDOLFDFLRQHV HVWiQGDU WLHQHQ XQD media de cero y una desviacin estndar de 1.0. /DVFDOLFDFLRQHVGHOScholastic Aptitude Test WLHQHQXQDPHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQHV- tndar de 100. /DV FDOLFDFLRQHV GH OD HVFDOD GH LQWHOL- JHQFLDGH%LQHWWLHQHQXQDPHGLDGH\XQD desviacin estndar de 16. En cada caso existe GHODVFDOLFDFLRQHVHQWUHODPHGLD\XQD GHVYLDFLyQHVWiQGDUHQWUHXQD\GRVGHV- viaciones estndar y 2% ms all de dos desvia- ciones estndar. Fuente: Beck, Applying Psychology: Critical and Creative Thinking, figura 6.2, "Pictures the Comparison of Several Deviation Scores and the Normal Distribution", 1992 Prentice-Hall, Inc. Reproducido con permiso de Pearson Education, Inc. FIGURA A Calificaciones estndar Calificaciones SAT Calificaciones de la escala de inteligencia de Binet 3.0 2.0 1.0 0 2% 2% 14% 14% 34% 34% 1.0 2.0 3.0 200 300 400 500 600 700 800 52 68 84 100 116 132 148 www.fullengineeringbook.net 269 /DUHJODHPStULFDGHOFDStWXORGHHVWHWH[WRYpDVHODSiJLQDUHIXHU]DODJXUD$HQ HOH[WUDFWRDQWHULRU\ORTXH\DVDEHVDFHUFDGHXQDIRUPDVLPpWULFDTXHVHDPRQWRQDHQHO FHQWUR/RVSRUFHQWDMHVGHQWURGHWDQWDVGHVYLDFLRQHVVHSUHVHQWDURQ\DFHSWDURQHQHOFDSt- WXOR3HURGHGyQGHSURYLHQHQ" 5HFXHUGDTXHHQHOFDStWXORDSUHQGLVWHFyPRXVDUXQDIXQFLyQGHSUREDELOLGDGSDUD calcular probabilidades asociadas con variables aleatorias discretas. La distribucin de probabilidad normal tiene una variable aleatoria continua y usa dos funciones: una fun- cin para determinar las ordenadas (valores yGHODJUiFDTXHPXHVWUDODGLVWULEXFLyQ\ XQDVHJXQGDIXQFLyQSDUDGHWHUPLQDUSUREDELOLGDGHV Distribucin de probabilidad, variable continua Frmula o lista que proporcio- na la probabilidad para que una variable aleatoria continua tenga un valor que est dentro de un intervalo especfico. La distribucin de probabilidad es una distribucin terica; se usa para representar poblaciones. PTI La escala de inteligencia de Binet. Al- fred Binet, quien dise el primer examen general de aptitud a principios del siglo XX, defini la inteligencia como la habilidad para hacer adaptaciones. El propsito general del examen era determinar cules nios en Pars podan beneficiarse de la escuela. El examen de Binet, como sus revisiones posteriores, consiste en una serie de tareas progresivamente ms difciles que los nios de diferentes edades pueden completar exitosamente. Un nio que pue- de resolver problemas usualmente resueltos por nios en un nivel de edad particular, se dice que tiene dicha edad mental. Por ejemplo, si un nio puede hacer exi- tosamente las mismas tareas que un nio promedio de 8 aos puede hacer, se dice que tiene una edad mental de 8. El cocien- te de inteligencia, o CI, se define mediante la frmula: cociente de inteligencia = 100 (edad mental/edad cronolgica) En aos recientes se ha presentado mucha controversia acerca de qu miden los exmenes de inteligencia. Muchos de los tems del examen dependen del idioma o de otras experiencias culturales especficas para responderse de manera correcta. No obstante, tales exmenes pueden predecir de manera ms bien efectiva el xito escolar. Si la escuela requiere idioma y los exmenes miden la habilidad con el idioma, en un punto par- ticular del tiempo en la vida de un nio, entonces el examen es un predictor ms que casual del desempeo escolar. PTI La frmula (6.1) expresa la ordenada (valor y) que corresponde a cada abscisa (valor x). Funcin de distribucin de probabilidad normal y = f(x) = e para todo x real Nota: cada diferente par de valores para media () y desviacin estndar () resultar en una funcin de distribucin de probabilidad normal diferente. Cuando se dibuja una grfica de tales puntos, la curva normal (con forma de cam- pana) aparecer como se muestra en la figura 6.1. La frmula (6.2) produce la probabilidad asociada con el intervalo de x = a a x = b. Al usar clculo para encontrar probabilidad, P(a ) x ) b) = b f (x)dx Fuente: Beck, Applying Psychology: Critical and Creative Thinking. (6.1) FIGURA 6.1 La distribucin de probabilidad normal 1 2 ( ) 2 a Seccin 6.1 Distribucin de probabilidad normal x 2 (6.2) x www.fullengineeringbook.net 270 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal /DLQWHJUDOGHQLGDGHODIyUPXODHVXQWHPDGHFiOFXOR\PDWHPiWLFDPHQWHHVWi PiVDOOiGHORTXHVHHVSHUDHQHVWDGtVWLFDHOHPHQWDO(QOXJDUGHXVDUODVIyUPXODV \XVDUiVXQDWDEODSDUDHQFRQWUDUSUREDELOLGDGHVSDUDGLVWULEXFLRQHVQRUPDOHV6LQ HPEDUJRDQWHVGHDSUHQGHUDXVDUODWDEODGHEHDSXQWDUVHTXHODWDEODVHH[SUHVDHQIRUPD HVWDQGDUL]DGD(VHVWDQGDUL]DGDGHPRGRTXHHVWD WDEODSXHGHXVDUVHSDUDHQFRQWUDU probabilidades para todas las combinaciones de valores de media y desviacin estndar . Esto es: la distribucin de probabilidad normal con media 38 y desviacin estndar 7 es muy similar a la distribucin de probabilidad normal con media 123 y desviacin estndar 5HFXHUGDODUHJODHPStULFD\HOSRUFHQWDMHGHODGLVWULEXFLyQTXHFDHGHQWURGHFLHUWRV LQWHUYDORVGH ODPHGLD YpDVH ODSiJLQD/RVPLVPRV WUHVSRUFHQWDMHVVHPDQWLHQHQ verdaderos para todas las distribuciones normales. La probabilidad de que x est dentro del intervalo de x = a a x = b se muestra como el rea sombreada en la figura 6.2. FIGURA 6.2 rea sombreada: P(a ) x ) b) 6.1D ([SOLFDSRUTXpHOSXQWDMH&,HVXQDYDULDEOHFRQWLQXD E &XiOHVVRQODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDOD GLVWULEXFLyQGHORVSXQWDMHV&,"ODVFDOLFDFLRQHV 6$7"YDORUHVHVWiQGDU" F ([SUHVDDOJHEUDLFDPHQWHRFRPRHFXDFLyQODUHOD- cin entre valores estndar y puntajes CI y la relacin HQWUHYDORUHVHVWiQGDU\FDOLFDFLRQHV6$7 G 4XpYDORUHVWiQGDUHVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUDUULED GHODPHGLD"4XpSXQWDMH&,HVGHVYLDFLRQHVHV- WiQGDUDUULEDGHODPHGLD"4XpFDOLFDFLyQ6$7HV GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUDUULEDGHODPHGLD" e. Compara la informacin acerca del porcentaje de GLVWULEXFLyQHQODJXUD$GHODSiJLQDFRQOD UHJODHPStULFDHVWXGLDGDHQHOFDStWXOR([SOLFDODV similitudes. 6.2([DPLQDHOFRFLHQWHGHLQWHOLJHQFLDR&,FRPRVHGHQH por la frmula: FRFLHQWHGHLQWHOLJHQFLD HGDGPHQWDOHGDGFURQROyJLFD -XVWLFDSRUTXpHVUD]RQDEOHTXHODPHGLDVHD 6.33RUFHQWDMHSURSRUFLyQRSUREDELOLGDG LGHQWLFDFXiOVH LOXVWUDPHGLDQWHFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRV D 8QWHUFLRGHODPXOWLWXGWHQtDXQDFODUDYLVLyQGHOHYHQWR E 4XLQFHSRUFLHQWRGHORVYRWDQWHVIXHURQHQFXHVWDGRV FRQIRUPHVDOtDQGHODFDVHWDGHYRWDFLyQ PTI Porcentaje, proporcin y probabilidad bsicamente son los mismos conceptos. Por lo general, el porcentaje (25%) se usa cuando se habla acerca de una proporcin (1/4) de una poblacin. Por lo general, la probabilidad se usa cuando se habla de la posibilidad de que el siguiente tem individual posea cierta propiedad. El rea es la representacin grfica de los tres cuando se dibuja una imagen para ilustrar la situa- cin. La regla emprica es un dispositivo de medicin bastante burdo; con l es posible encontrar probabilidades asociadas slo con mltiplos de nmeros enteros de la des- viacin estndar (dentro de 1, 2 o 3 desviaciones estndar de la media). Con frecuen- cia uno est interesado en las probabilidades asociadas con partes fraccionarias de la desviacin estndar. Por ejemplo, tal vez quieras saber la probabilidad de que x est dentro de 1.37 desviaciones estndar de la media. Por tanto, debes refinar la regla emprica de modo que puedas lidiar con mediciones ms precisas. Este refinamiento se estudia en la siguiente seccin. E J E R C I C I O S S E C C I N 6 . 1 b a x www.fullengineeringbook.net 271 <3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 <2 0.1587 <1 0 1 2 3 ([LVWHXQQ~PHUR LOLPLWDGRGHGLVWULEXFLRQHVGHSUREDELOLGDGQRUPDOSHURSRU IRUWXQD todas se relacionan con una distribucin: la distribucin normal estndar. La distribu- cin normal estndar es la distribucin normal de la variable estndar z (llamada "valor estndar" o "valor z"). Propiedades de la distribucin normal estndar 1. El rea total bajo la curva normal es igual a 1. 2. La distribucin es amontonada y simtrica; se extiende indefinidamente en ambas direcciones y tiende a, pero nunca toca, el eje horizontal. 3. La distribucin tiene una media de 0 y una desviacin estndar de 1. 4. La media divide el rea a la mitad, 0.50 a cada lado. 5. Casi toda el rea est entre z = 3.00 y z = 3.00. /DWDEODGHODSpQGLFH%OLVWDODVSUREDELOLGDGHVDVRFLDGDVFRQHOrea acumulada a ODL]TXLHUGDGHXQYDORUHVSHFtFRGHz. Las probabilidades asociadas con otros intervalos SXHGHQGHQLUVHDOXVDUODVHQWUDGDVGHODWDEODMXQWRFRQODVRSHUDFLRQHVGHVXPD\UHVWD HQFRQFRUGDQFLDFRQODVSURSLHGDGHVDQWHULRUHV2EVHUYDYDULRVHMHPSORVTXHGHPXHVWUDQ FyPRXVDUODWDEODSDUDHQFRQWUDUSUREDELOLGDGHVGHOYDORUQRUPDOHVWiQGDUz. 5HFXHUGD TXH HQ FDStWXORV DQWHULRUHV HVWXGLDVWH ODdistribucin normal estndar GRQGHDSDUHFtDFRPRODUHJODHPStULFD&XDQGRVHXVDODUHJODHPStULFDORVYDORUHVGHz 6.2 La distribucin normal estndar PTI Las ojivas son la representacin grfica de las distribuciones de frecuencia relativa acumulada, como aprendiste en el captulo 2. La tabla 3 del apndice B es un listado de la distribucin de probabilidad normal estndar acumulada. La siguiente grfica muestra la relacin entre la curva de probabilidad normal estndar (en azul oscuro) y la distribucin normal estndar acumulada (en azul claro). Aun cuando se use una sola escala vertical, las unidades de medida para las dos curvas son totalmente dife- rentes: la escala vertical para la distribucin acumulada es probabilidad, mientras que la escala para la curva normal (azul oscuro) es densidad de probabilidad. F /DSRVLELOLGDGGHTXHOOXHYDGXUDQWHHOGtDGHPDxDQDHV 0.2. 6.43RUFHQWDMHSURSRUFLyQRSUREDELOLGDGFRQ WXVSDODEUDV XVDHQWUH\SDODEUDVSDUDFDGDXQR\GHVFULEHFyPR a. el porcentaje es diferente de las otras dos. b. la proporcin es diferente de las otras dos. c. la probabilidad es diferente de las otras dos. d. los tres son bsicamente la misma cosa. Valor estndar, z La probabilidad acumulada en z = 1.0 se representa mediante el rea lavanda bajo la curva de probabilidad normal (azul oscuro) a la izquierda de z = 1.0 y tam- bin se representa mediante la altura de la curva de probabilidad acumulada (azul claro). Ambas tienen el valor 0.1587. Seccin 6.2 La distribucin normal estndar www.fullengineeringbook.net 272 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal SRUORJHQHUDOHUDQYDORUHVHQWHURVFRQVXOWDODJXUD$OXVDUODWDEODHOYDORUz se medir al centsimo ms cercano y permitir precisin creciente. 5HFXHUGDWDPELpQTXHXQDGHODVSURSLHGDGHVEiVLFDVGHXQDGLVWULEXFLyQGHSURED- ELOLGDGHVTXHODVXPDGHWRGDVODVSUREDELOLGDGHVHVH[DFWDPHQWH'DGRTXHHOiUHD EDMRODFXUYDQRUPDOUHSUHVHQWDODPHGLGDGHSUREDELOLGDGHOiUHDWRWDOEDMRODFXUYDFRQ IRUPDGHFDPSDQDHVH[DFWDPHQWH2EVHUYDHQODJXUDTXHODGLVWULEXFLyQWDPELpQ es simtrica respecto a una recta vertical dibujada a travs de z (VWRHVHOiUHDEDMROD FXUYDDODL]TXLHUGDGHODPHGLDHVXQPHGLR\HOiUHDDODGHUHFKDWDPELpQHVXQPH- GLR1RWDz HQODWDEODGHODSpQGLFH%/DViUHDVSUREDELOLGDGHVSRUFHQWDMHV QRGDGDVGLUHFWDPHQWHSRUODWDEODSXHGHQHQFRQWUDUVHFRQODD\XGDGHGLFKDVSURSLHGDGHV $KRUDREVHUYDDOJXQRVHMHPSORV E J E M P L O 6 . 1 FIGURA 6.3 Distribucin normal estndar de acuerdo con la regla emprica Valor estndar, z CMO ENCONTRAR EL REA A LA IZQUIERDA DE UN VALOR z NEGATIVO Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la izquierda de z = 1.52 (consulta la figura 6.4). Solucin La tabla 3 del apndice B est diseada para proporcionar directamente el rea a la izquierda de 1.52. El valor z se ubica en los mrgenes, con las unidades y dgitos de dcimos a lo largo del lado izquierda y los dgitos de centsimos a lo largo de la parte superior. Para z = 1.52, ubica la fila marca- da 1.5 y la columna marcada 0.02; en su interseccin encontrars 0.0643, la medida del rea acumulada a la izquierda de z = 1.52 (consulta la tabla 6.1). Expresada como probabilidad: P(z < 1.52) = 0.0643. TABLA 6.1 Una parte de la tabla 3 z 0.00 0.01 0.02 . . . 1.5 0.0643 ... FIGURA 6.4 rea a la izquierda de z = 1.52 <3.0 <2.0 2.5% 13.5% 34% 34% 13.5% 2.5% <1.0 0 1.0 2.0 3.0 50% 50% z <1.52 z 0 z <1.52 z 0 0.0643 www.fullengineeringbook.net 273 Notas: 1. Las probabilidades asociadas con valores positivos zVRQPD\RUHVTXHSXHV LQFOX\HQWRGDODPLWDGL]TXLHUGDGHODFXUYDQRUPDO &RPRVHKL]RHQORVHMHPSORV\VLHPSUHGLEXMD\HWLTXHWDXQERVTXHMR(VPiV til. $GRSWDHOKiELWRGHHVFULELUHOYDORUzFRQGRVOXJDUHVGHFLPDOHV\ODViUHDVSUREDEL- OLGDGHVSRUFHQWDMHVFRQFXDWUROXJDUHVGHFLPDOHVFRPRHQODWDEOD(VWRD\XGDUiD GLVWLQJXLUHQWUHORVGRVFRQFHSWRV (OiUHDEDMRWRGDODFXUYDGHGLVWULEXFLyQQRUPDOHVLJXDODHVHOIDFWRUFODYHSDUD GHWHUPLQDUODVSUREDELOLGDGHVDVRFLDGDVFRQORVYDORUHVDODGHUHFKDGHXQYDORUz. E J E M P L O 6 . 2 E J E M P L O 6 . 3 CMO ENCONTRAR EL REA A LA IZQUIERDA DE UN VALOR z POSITIVO Encuentra el rea bajo la curva normal a la izquierda de z = 1.52: P(z < 1.52). Solucin La tabla 3 est diseada para tambin proporcionar directamente el rea a la izquierda de valores positivos z. Observa la parte derecha de la tabla 3, que muestra los valores positivos z. Del mismo modo, el valor z se ubica en los mrgenes, con las unidades y dgitos de dcimos a lo largo del lado izquierdo y los dgitos de centsimos a lo largo de la parte superior. Para z = 1.52, ubica la fila marcada 1.5 y la columna marcada 0.02; en su inter- seccin encontrars 0.9357, la medida del rea acumulada a la izquierda de z = +1.52. CMO ENCONTRAR EL REA A LA DERECHA DE UN VALOR z Encuentra el rea bajo la curva normal a la derecha de z = 1.52: P(z > 1.52). TABLA 6.2 Una parte de la tabla 3 z 0.00 0.01 0.02 . . . 1.5 0.9357 ... Solucin El problema solicita el rea que no est incluida en el rea sombreada 0.0643. Dado que el rea bajo toda la curva normal es 1, resta 0.0643 de 1: P(z > 1.52) = 1.000 0.0643 = 0.9357 rea solicitada por Seccin 6.2 La distribucin normal estndar P(z < 1.52) = 0.9357 rea solicitada por z 1.52 z 0 0.9357 z <1.52 z 0 0.0643 www.fullengineeringbook.net 274 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal &XDQGRHQFXHQWUDVHOiUHDDODGHUHFKDGHFXDOTXLHUYDORUzHOPpWRGRHVHOPLVPRTXH HOGHPRVWUDGRHQHOHMHPSOREXVFDUHOiUHDDODL]TXLHUGD\UHVWDUHOYDORUGHODWDEOD GH(OWRWDOGHOiUHDDODL]TXLHUGDYDORUGHODWDEOD\HOiUHDDODGHUHFKDVLHPSUH sern 1.0. En ocasiones se necesita el rea entre dos valores z(OVLJXLHQWHHMHPSORGHPXHVWUD este caso. E J E M P L O 6 . 4 E J E M P L O 6 . 5 Nota:H[LVWHQPXFKDVVLWXDFLRQHVTXHVRQVLPLODUHVDOHMHPSOR&RPRHQHOHMHPSOR XQYDORUzSXHGHVHUQHJDWLYRPLHQWUDVTXHHORWURHVSRVLWLYRRDPERVSXHGHQVHUQH- JDWLYRVRDPERVSXHGHQVHUSRVLWLYRV(QORVWUHVFDVRVXQRGHORVYDORUHVzHVPiVJUDQGH DODGHUHFKDGHODJXUDHORWURHVPiVSHTXHxRDODL]TXLHUGDGHODJXUD\HOiUHDHQ medio se encuentra como se mostr en el ejemplo anterior. La tabla 3 tambin puede usarse para encontrar el valor zTXHDFRWDXQiUHDHVSHFtFD$O HQFRQWUDUHOiUHDRSUREDELOLGDGGHQWURGHODWDEODHOYDORUzSXHGHOHHUVHDORODUJRGHOODGR L]TXLHUGR\HQORVPiUJHQHVVXSHULRUHV CMO ENCONTRAR EL VALOR z ASOCIADO CON UN PERCENTIL Cul es el valor z asociado con el percentil 75 de una distribucin normal? CMO ENCONTRAR EL REA ENTRE CUALESQUIERA DOS VALORES z Encuentra el rea bajo la curva normal entre z = 1.36 y z = 2.14: P(1.36 < z < 2.14) Solucin El rea entre z = 1.36 y z = 2.14 se encuentra usando resta. El rea acumulada a la izquierda del z ms grande, z = 2.14, incluye tanto el rea solicitada como el rea a la izquierda del z ms pequeo, z = 1.36. Por tanto, resta el rea a la izquierda del z ms pequeo, z = 1.36, del rea a la izquierda del z ms grande, z = 2.14: P(1.36 < z < 2.14) = 0.9838 0.0869 = 0.8969 Solucin El rea acumulada de la tabla 3 coincide con la definicin de un percentil. Recuerda que el percentil 75 significa que 75% de los datos son menores que el valor del percentil. Para encontrar el valor z para el percentil 75, busca en la tabla 3 y encuentra la entrada de "rea" que est ms cerca de 0.7500; esta entrada de rea es 0.7486. Ahora lee el valor z que corresponda a esta rea. rea solicitada z 2.14 z <1.36 0.0869 z 0 0.9838 P75 75% o 0.7500 75 www.fullengineeringbook.net 275 E J E M P L O 6 . 6 E J E M P L O 6 . 7 A partir de la tabla, se encuentra que el valor z es z = 0.67. Esto dice que el percentil 75 en una distribucin normal est 0.67 (aproximadamente 2/3) desviaciones estndar arriba de la media. CMO ENCONTRAR EL VALOR z QUE ACOTA UN REA Qu valor z forma la frontera inferior para el 14% superior de una distribu- cin normal? CMO ENCONTRAR DOS VALORES z QUE ACOTAN UN REA Qu valores z acotan el 95% medio de una distribucin normal? Solucin El 95% se divide en dos partes iguales por la media, de modo que 0.4750 es el rea (porcentaje) entre el valor z en la frontera izquierda y z = 0, la media (as como el rea entre z = 0, la media y la frontera derecha). Consulta la figura 6.5. TABLA 6.3 Una parte de la tabla 3 z ... 0.07 0.08 0.6 ... 0.7486 0.7500 0.7518 Solucin La tabla 3 menciona el rea acumulada. Con la finalidad de rela- cionar la tabla, el rea a la izquierda debe determinarse al restar 0.1400 de 1.0, el rea total. 1.0000 0.1400 = 0.86000, el valor a buscar en la tabla 3. En la tabla 3, la entrada de "rea" que est ms cerca de 0.8600 es 0.8599. Ahora lee el valor z que corresponda a esta rea. A partir de la tabla, se encuentra que el valor z es z = 1.08. Esto dice que z = 1.08 es la frontera inferior para 14% superior de la distribucin normal estndar. TABLA 6.4 Una parte de la tabla 3 z ... 0.08 0.09 1.0 ... 0.8599 0.8600 0.8621 Seccin 6.2 La distribucin normal estndar z 0 14% o 0.1400 www.fullengineeringbook.net 276 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal E J E R C I C I O S S E C C I N 6 . 2 6.5D 'HVFULEHODGLVWULEXFLyQGHOYDORUQRUPDOHVWiQGDUz. E 3RUTXpHVWDGLVWULEXFLyQVHOODPDQRUPDOHVWiQGDU" 6.6 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la iz- TXLHUGDGHz 6.7(QFXHQWUDHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOTXHVHHQFXHQWUDD ODL]TXLHUGDGHORVVLJXLHQWHVYDORUHVz. a. z E z c. z G z 6.8 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la iz- TXLHUGDGHz 6.9(QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQWUR]RGHGDWRVHOH- JLGR DO D]DU GH XQD SREODFLyQ QRUPDO WHQJD XQ YDORU HV- El rea que no se incluye en alguna cola puede encontrarse al recordar que el rea para cada mitad de la curva normal es igual a 0.5000 y que la curva es simtrica. Por tanto, en el lado izquierdo, se necesita 0.5000 0.4750 = 0.0250; y en el lado derecho se necesita 0.5000 + 0.4750 = 0.9750. Para encontrar el valor z frontera izquierda, usa el rea 0.0250 en la tabla 3 y encuentra la entrada de "rea" que est ms cerca de 0.0250; esta entrada es exactamente 0.0250. Al leer la tabla, se encuentra que el valor z que corresponde a esta rea es z = 1.96. Del mismo modo, para encontrar el valor z de frontera derecha, usa el rea 0.9750 en la tabla 3 y encuentra la entrada de "rea" que est ms cerca de 0.9750; esta entrada es exactamente 0.9750. Al leer este valor z se obtiene z = +1.96. Por tanto, puedes buscar cualquiera y utilizar la simetra de la distribucin normal. z = 1.96 y z = 1.96 acotan el 95% medio de una distribucin normal. Como verificacin, considera hacerlo de una forma y luego comprueba el resultado usando la otra forma. FIGURA 6.5 y TABLA 6.5 Una parte de la ta- bla 3 (lado z negativo) Una parte de la tabla 3 (lado z positivo) z 0.06 1.9 0.0250 z 0.06 1.9 0.9750 Implica En el lado izquierdo (negativo) (positivo) En el lado derecho y z z 0 0.0250 0.4750 0 z z 0 95% o 0.9500 0.9750 www.fullengineeringbook.net 277 tndar (zTXHVHHQFXHQWUHDODL]TXLHUGDGHORVVLJXLHQWHV valores z. a. z E z c. z G z 6.10 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la de- UHFKDGHz P(z! 6.11(QFXHQWUDODVVLJXLHQWHViUHDVEDMRODFXUYDQRUPDOHV- tndar. D $ODGHUHFKDGHz P(z! E $ODGHUHFKDGHz P(z! F $ODGHUHFKDGHz P(z! 6.12 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la de- UHFKDGHz P(z > 2.03). 6.13(QFXHQWUDODVVLJXLHQWHViUHDVEDMRODFXUYDQRUPDOHV- tndar. D $ODGHUHFKDGHz P(z > 3.18) E $ODGHUHFKDGHz P(z > 1.84) F $ODGHUHFKDGHz P(z! 6.14 a. Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la L]TXLHUGDGHz P(z < 0). b. Encuentra el rea bajo la curva normal estndar a la GHUHFKDGHz P(z > 0). 6.15 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre \ODPHGLDPz < 0.00). 6.16 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre z \ODPHGLDPz < 0). 6.17 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre z \z Pz < 1.23). 6.18 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre z \z Pz < 1.46). 6.19(QFXHQWUDHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOHVWiQGDUTXHFR- UUHVSRQGHDORVVLJXLHQWHVYDORUHVz. D (QWUH\ E $ODGHUHFKDGH F $ODL]TXLHUGDGH G (QWUH\ 6.20(QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSDUWHGHGDWRVHOH- JLGDDOD]DUGHXQDSREODFLyQQRUPDOWHQJDXQYDORUHVWiQGDU (zTXHVHHQFXHQWUH a. entre 0 y 0.74. E DODGHUHFKDGH F DODL]TXLHUGDGH G HQWUH\ 6.21(QFXHQWUDODVVLJXLHQWHViUHDVEDMRODFXUYDQRUPDO D $ODGHUHFKDGHz E $ODGHUHFKDGHz F $ODGHUHFKDGHz G $ODL]TXLHUGDGHz H $ODL]TXLHUGDGHz 6.22(QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSDUWHGHGDWRVHOH- JLGDDOD]DUGHXQDSREODFLyQFRQGLVWULEXFLyQQRUPDOWHQGUi XQYDORUHVWiQGDUTXHVHD D PHQRUTXH E PD\RUTXH F PHQRUTXH G PHQRUTXH H PD\RUTXH 6.23(QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. P(0.00 < z b. Pz < 2.34) c. P(z > 0.13) d. P(z < 1.48) 6.24(QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. Pz < 0.00) b. Pz < 2.07) c. P(z d. P(z 6.25(QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. P(0.00 < z < 0.74) b. Pz c. P(z! d. P(z Seccin 6.2 La distribucin normal estndar www.fullengineeringbook.net 278 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal 6.26(QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. Pz < 0.00) b. Pz < 1.37) c. P(z d. P(z > 2.43) 6.27 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre z \z Pz 6.28 Encuentra el rea bajo la curva normal estndar entre z \z Pz 6.29(QFXHQWUDHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOTXHVHHQFXHQWUD HQWUHORVVLJXLHQWHVSDUHVGHYDORUHVz: a. z Dz b. z Dz c. z Dz d z Dz 6.30(QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSDUWHGHGDWRVHOH- JLGDDOD]DUGHXQDSREODFLyQQRUPDOWHQJDXQYDORUHVWiQGDU (zTXHVHHQFXHQWUDHQWUHORVVLJXLHQWHVSDUHVGHYDORUHVz: a. z Dz b. z Dz c. z Dz 6.31 Encuentra el valor z para la distribucin normal estndar TXHVHPXHVWUDHQFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.32 Encuentra el valor z para la distribucin normal estndar TXHVHPXHVWUDHQFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.33(QFXHQWUDHOYDORUHVWiQGDUzTXHVHPXHVWUDHQFDGD XQRGHORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.34(QFXHQWUDHOYDORUHVWiQGDUzTXHVHPXHVWUDHQFDGD XQRGHORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 0 0.3980 z X% 0 0.2422 z Y% z 0 0.1844 Z% [% 0 z 0.4625 \% 0 z 0.4410 ]% 0 z 0.0915 a. c. e. b. d. f. Y% 0 0.025 z 0 0.05 z X% Z% 0 0.01 z a. c. b. 0 0.3729 z X% Y% 0 0.1808 z Z% 0 z 0.4515 [% 0 0.3051 z \% 0 z 0.4590 ]% 0 z 0.4870 a. c. e. b. d. f. Y% 0 z 0.7190 X% 0 0.7673 z a. b. z z z www.fullengineeringbook.net 279 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales (QODVHFFLyQDSUHQGLVWHFyPRXVDUODWDEODGHODSpQGLFH%SDUDFRQYHUWLUHQSUR- babilidad informacin acerca de la variable normal estndar z R OR RSXHVWR FRQYHUWLU informacin de probabilidad acerca de la distribucin normal estndar en valores z$KRUD HVWiVOLVWRSDUDDSOLFDUHVWDPHWRGRORJtDDWRGDVODVGLVWULEXFLRQHVQRUPDOHV/DFODYHHV el valor estndar z. La informacin asociada con una distribucin normal ser en trminos de valores x o probabilidades. Se usarn el valor z\ODWDEODFRPRODVKHUUDPLHQWDVSDUD "pasar entre" la informacin dada y la respuesta deseada. 5HFXHUGDTXHHOYDORUHVWiQGDUzVHGHQLyHQHOFDStWXOR Valor estndar z z = x (media de x) (desviacin estndar de x) z = x PTI Cuando x = , el valor estndar z = 0. Diagrama para el ejercicio 6.34 6.356LVXSRQHVXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFXiOHVHOYDORUz DVRFLDGRFRQHOSHUFHQWLO"HOSHUFHQWLO"HOSHUFHQWLO " 6.366LVXSRQHVXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFXiOHVHOYDORUz DVRFLDGRFRQHOSULPHUFXDUWLO"HOVHJXQGRFXDUWLO"HOWHUFHU FXDUWLO" 6.37 Encuentra el valor zTXHIRUPDODIURQWHUDVXSHULRUSDUD el 20% inferior de una distribucin normal. 6.38 Encuentra un valor de zWDOTXHGHODGLVWULEXFLyQVH encuentre entre l y la media. (Existen dos posibles respues- tas.) 6.39 a. Encuentra el valor zHVWiQGDUWDOTXHGHODGLV- WULEXFLyQHVWpSRUEDMRDODL]TXLHUGDGHHVWHYDORU b. Encuentra el valor zHVWiQGDUWDOTXHHOiUHDDODGHUH- FKDGHHVWHYDORUVHD c. Encuentra los dos valores zTXHDFRWDQHOPHGLR de una distribucin normal. 6.40 Encuentra dos valores zHVWiQGDUWDOHVTXH D HOPHGLRGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWpDFRWDGR por ellos. E HOPHGLRGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWpDFRWDGR por ellos. 6.41 a. Encuentra el valor z para el percentil 80 de la distri- bucin normal estndar. b. Encuentra los valores zTXHDFRWDQHOPHGLRGH la distribucin normal estndar. 6.42 a. Encuentra el valor z para el percentil 33 de la distri- bucin normal estndar. b. Encuentra los valores zTXHDFRWDQHOPHGLRGH la distribucin normal estndar. (6.3) Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales c. 0 z 0.1515 www.fullengineeringbook.net 280 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal E J E M P L O 6 . 8 E J E M P L O 6 . 9 CMO CONVERTIR UNA CURVA NORMAL ESTNDAR PARA ENCONTRAR PROBABILIDADES Considera los puntajes de cociente de inteligencia (CI) para personas. Los puntajes CI tienen distribucin normal, con una media de 100 y una desvia- cin estndar de 16. Si una persona se elige al azar, cul es la probabilidad de que su CI est entre 100 y 115? Esto es: cul es P(100 < x < 115)? Solucin PTI Recuerda: cuando busques el rea entre dos valores z, resta el rea que corresponda al z ms pequeo del rea que corresponde al z ms grande. CMO CALCULAR LA PROBABILIDAD BAJO "CUALQUIER" CURVA NORMAL Encuentra la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un CI mayor que 90 ( = 100. = 16). 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP P(100 < x < 115) se representa mediante el rea sombreada en la figura. La variable x debe estandarizarse con la frmula (6.3). Los valores z se muestran en la figura a la izquierda. z = x Cuando x = 100: z = 100 100 = 0.00 Cuando x = 115: z = 115 100 = 0.94 Por tanto, P(100 < x < 115) = P(0.00 < z < 0.94) = 0.8264 0.5000 = 0.3264 En consecuencia, la probabilidad es 0.3264 de que una persona elegida al azar tenga un CI entre 100 y 115. 16 16 Solucin z = x = 90 100 = 10 = 0.625 = 0.63 16 16 P(x > 90) = P(z > 0.63) = 1.0000 0.2643 = 0.7357 Por tanto, la probabilidad es 0.7357 de que una persona selec- cionada al azar tenga un CI mayor que 90. rea de la tabla 3 rea acum. rea de la tabla 3 CI mayor que 90 rea solicitada por 0.5000 100 0 115 0.94 x z x z 90 <0.63 100 16 www.fullengineeringbook.net 281 /DWDEODQRUPDOWDEODSXHGHXVDUVHSDUDUHVSRQGHUPXFKRVWLSRVGHSUHJXQWDVTXH LQYROXFUDQXQD GLVWULEXFLyQQRUPDO0XFKDV YHFHV XQSUREOHPD VROLFLWDUi OD XELFDFLyQ GHXQSXQWRGHFRUWHHVWRHVXQYDORUSDUWLFXODUGHxWDOTXHH[LVWDH[DFWDPHQWHFLHUWR SRUFHQWDMHHQXQiUHDHVSHFtFD/RVVLJXLHQWHVHMHPSORVWLHQHQTXHYHUFRQDOJXQRVGH estos problemas. E J E M P L O 6 . 1 0 E J E M P L O 6 . 1 1 CMO USAR LA CURVA NORMAL Y z PARA DETERMINAR PERCENTILES Encuentra el percentil 33 para valores CI ( = 100. = 16; del ejemplo 6.8, p. 280). Solucin P(z < P33) = 0.3300 El percentil 33 est en z = 0.44 Ahora convierte el percentil 33 de los valores z, 0.44, a un valor x: Frmula (6.3), z = x : 0.44 = x 100 16 x 100 = 16(0.44) x = 100 7.04 = 92.96 Por tanto, 92.96 es el percentil 33 para puntajes CI. CMO USAR LA CURVA NORMAL Y z PARA DETERMINAR VALORES DE DATOS z 0.04 . . . 0.4 . . . 0.3300 . . . En una gran clase, supn que tu instructor te dice que necesitas ob- tener una calificacin en el 10% superior de tu clase para conseguir una A en un examen particular. A partir de experiencias pasadas, puedes estimar que la media y la desviacin estndar en este exa- men sern 72 y 13, respectivamente. Cul ser la calificacin m- nima necesaria para obtener una A? (Supn que las calificaciones tendrn una distribucin aproximadamente normal.) Solucin Comienza por convertir el 10% a informacin que sea compatible con la tabla 3 al restar: 10% = 0.1000; 1.0000 0.1000 = 0.9000 10% superior rea de la tabla 3 Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales 0.3300 P33100 x z =? z 0 0.1000 z www.fullengineeringbook.net 282 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal E J E M P L O 6 . 1 2 (OHMHPSORWUDWDFRQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOHQODTXHVHWHSLGHHQFRQWUDUODGHVYLD- cin estndar cuando se proporciona informacin relacionada. CMO USAR LA CURVA NORMAL Y z PARA DETERMINAR PARMETROS POBLACIONALES Los ingresos de los ejecutivos junior en una gran corporacin tienen una distribucin aproximadamente normal. Un recorte pendiente no descartar a aquellos ejecutivos junior con ganancias dentro de $4 900 de la media. Si esto representa el 80% medio de los ingresos, cul es la desviacin estn- dar para los salarios de este grupo de ejecutivos junior? Solucin La tabla 3 indica que el 80% medio o 0.8000, de una distribucin normal est acotado por 1.28 y 1.28. Considera el punto B que se muestra en la figura: 4 900 es la diferencia entre el valor x en B y el valor de la media, el numerador de la frmula (6.3): x = 4 900. Al usar la frmula (6.3) puedes encontrar el valor de : z = x : 1.28 = 4 900 = 4 900 1.28 = 3 828.125 = $3 828 Busca en la tabla 3 para encontrar el valor de z asociado con la entrada de rea ms cercana a 0.9000; es z = 1.28. Por tanto, P(z > 1.28) = 0.10. Ahora encuentra el valor x que corresponda a z = 1.28 con la frmula (6.3): z = x : 1.28 = x 72 13 x 72 = (13)(1.28) x = 72 + (13)(1.28) = 72 + 16.64 = 88.64, u 89 En consecuencia, si recibes un 89 o superior, puedes esperar estar en el 10% superior (lo que significa que obtienes una A). PTI Recuerda que el valor z es el nmero de mltiplos de la desvia- cin estndar al que se encuentra de la media un valor x. Dentro de $4 900 de la media Esto es, la desviacin estndar actual para los salarios de ejecu- tivos junior es $3 828. B x z 0.1000 m s A 1.28 0 <1.28 0.1000 4900 4900 www.fullengineeringbook.net 283 Comprensin adicional (QUHIHUHQFLDQXHYDPHQWHDORVSXQWDMHVGH&,FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSHU- VRQDHOHJLGDDOD]DUWHQJDXQ&,GHP(x "/RVSXQWDMHV&,WLHQHQGLVWULEXFLyQ QRUPDOFRQXQDPHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH(VWDVLWXDFLyQWLHQHGRV interpretaciones: 1) terica y 2) prctica. Observa primero la interpretacin terica. Re- FXHUGDTXHODSUREDELOLGDGDVRFLDGDFRQXQLQWHUYDORSDUDXQDYDULDEOHDOHDWRULDFRQWLQXD se representa mediante el rea bajo la curva. Esto es: P(axbHVLJXDODOiUHDHQWUHa y b bajo la curva. P(x HVWRHVxHVH[DFWDPHQWHHVHQWRQFHVPx RHOiUHDGHOVHJPHQWRGHUHFWDYHUWLFDOHQx (VWDiUHDHVFHUR6LQHPEDUJRHVWHQR HVHOVLJQLFDGRSUiFWLFRGHx TXHSRUORJHQHUDOVLJQLFDDOYDORUHQWHURPiV FHUFDQR3RUWDQWRP(x VHUtDPiVSUREDEOHPHQWHLQWHUSUHWDGRFRPR Px (OLQWHUYDORGHVGHKDVWDEDMRODFXUYDWLHQHXQDiUHDPHQVXUDEOH\HQWRQ- FHVHVGLVWLQWDGHFHUR(QVLWXDFLRQHVGHHVWDQDWXUDOH]DGHEHVDVHJXUDUWHGHOVLJQLFDGR a usar. PTI Una notacin estndar usada para abreviar "distribucin normal con media y desviacin estndar " es N(, ). Esto es: N(58, 7) representa "distribucin normal, media = 58 y desvia- cin estndar = 7". TI-83/84 Plus MINITAB Excel Elige: Calc > Random Data > Normal Escriba: Nmero de filas de datos a generar: n Almacenar en columna(s): C1 Media: Desviacin Est.: > OK Si quieres muestras mltiples (por decir, 12), todas del mismo tamao, modifica los comandos anteriores: almacenar en columna(s): C1-C12. Nota: para encontrar estadsticos descriptivos para cada una de dichas muestras, usa los coman- dos: Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics para C1-C12 Elige: Data > Data Analysis > Random Number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 1 Nmero de nmeros aleatorios: n Distribucin: Normal Media: Desviacin Est.: Selecciona: Opciones de salida: Output Range Escribe: (A1 o selecciona celdas) > OK Si quieres muestras mltiples (por decir, 12), todas del mismo tamao, modifica los comandos anteriores: Nmero de variables: 12. Nota: para encontrar estadsticos descriptivos para cada una de dichas muestras, usa los comandos: Data > Analysis > Descriptive Statistics para columnas A-L. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : G E N E R A C I N D E D AT O S A L E AT O R I O S A P A R T I R D E U N A D I S T R I B U C I N N O R M A L B S I C A Elige: MATH > PRB > 6:randNorm( Escribe: , , # of trails) Elige: STO >L1 > ENTER Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales www.fullengineeringbook.net 284 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe las abscisas deseadas (x) en C1; luego contina con: Elige: Calc > Probability Distributions > Normal Selecciona: Probability Density Escribe: Media: Desviacin Est.: Columna entrada: C1 Almacenamiento opcional: C2 > OK Para dibujar la grfica de una curva de probabilidad normal con los valores x en C1 y los valo- res y en C2, contina con: Elige: Graph > Scatterplot Selecciona: With Connect Line > OK Escribe: Variables Y: C2 Variables X: C1 > OK Escribe las abscisas deseadas (x) en la columna A y activa B1; luego contina con: Elige: Insert function fx > Statistical > NORMDIST > OK Escribe: X: (A1:A100 o selecciona celdas "valor x") Media: Desviacin Est.: Acumulado: Falso > OK Arrastra: Esquina inferior izquierda del recuadro de valor ordenada hacia abajo para dar otras ordenadas Para dibujar la grfica de una curva de probabilidad normal con los valores x en la columna A y los valores y en la columna B, activa ambas columnas y contina con: Elige: Insert > Scatter > 1st picture I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C M O C A L C U L A R V A L O R E S D E O R D E N A D A ( y ) P A R A U N A C U R V A D E D I S T R I B U C I N N O R M A L Los valores de ordenada pueden calcularse para valores de abscisa individuales, "x". Elige: 2nd > DISTR > 1:normalpdf( Escribe: x, , ) Para dibujar la grfica de la curva de probabilidad normal para y particulares, contina con: Elige: WINDOW Escribe: 3, + 3, , .05, 1, .1, 0) Elige: Y = > 2nd > DISTR > 1:normalpdf( Escribe: x, , ) Despus de una grfica inicial, ajusta con 0:ZoomFit del men ZOOM. Si quieres muestras mltiples (por decir, 6), todas del mismo tamao, repite los comandos ante- riores seis veces y almacena en L1-L6. Nota: para encontrar estadsticos descriptivos para cada una de dichas muestras, usa los comandos: STAT > CALC > 1:1-Var Stats para L1-L6. www.fullengineeringbook.net 285 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe las abscisas deseadas (x) en C1; luego contina con: Elige: Calc > Probability Distributions > Normal Selecciona: Cumulative probability Escribe: Media: Desviacin Est.: Columna entrada: C1 Almacenamiento opcional: C3 > OK Notas: 1. Para encontrar la probabilidad entre dos valores x, escribe los dos valores en C1, usa los comandos anteriores y resta usando los nmeros en C3. 2. Para dibujar una grfica de la distribucin de probabilidad acumulada (ojiva), usa los co- mandos Scaterrplot de la pgina 284, con C3 como la variable y. Escribe las abscisas deseadas (x) en la columna A y activa C1; luego contina con: Elige: Insert function fx > Statistical > NORMDIST > OK Escribe: X: (A1:A100 o selecciona celdas "valor x") Media: Desviacin Est.: Acumulada: Verdadero > OK Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro de probabilidad acumulada hacia abajo para proporcionar otras probabilidades acumuladas Notas: 1. Para encontrar la probabilidad entre dos valores x, escribe los dos valores en la columna A, usa los comandos anteriores y resta usando los nmeros en la columna C. 2. Para dibujar una grfica de la distribucin de probabilidad acumulada (ojiva), usa los co- mandos Insert de la pgina 284, elige el subcomando Select Data para remover la serie 1. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R O B A B I L I D A D A C U M U L A D A P A R A D I S T R I B U C I O N E S N O R M A L E S Las probabilidades acumuladas se pueden calcular para valores de abscisa individuales, "x". Elige: 2nd > DISTR > 2:normalcdf( Escribe: 1 EE 99, x, , ) Notas: 1. Para encontrar la probabilidad entre dos valores x, escribe los dos valores en lugar de 1 EE 99 y la x. 2. Para dibujar una grfica de la distribucin de probabilidad acumulada (ojiva), usa o los comandos Scatter debajo de STATPLOTS, con los valores x y sus probabilidades acumuladas en un par de listas, o normalcdf(1EE99, x, , ) en el Y = editor. E J E M P L O A P L I C A D O 6 . 1 3 FABRICACIN DE JABONES Ya que los jabones artesanales en el bao se han convertido en una muestra ms del retorno a lo natural, y sin duda son un excelente negocio para nuevos emprendedores. Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales www.fullengineeringbook.net 286 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal Una maestra de qumica que tiene 250 alumnos en una escuela prepa- ratoria les indica realizar en su casa una prctica de qumica para elaborar jabn y les da las siguientes instrucciones: 1. Construye un molde de madera con las dimensiones siguientes 50 mm de largo por 30 mm de ancho por 24 mm de altura. 2. Compra una base de jabn de glicerina, esencia y colorante. 3. Funda la base: Ya sea en microondas, o a bao Mara. La clave para un buen jabn es calentarlo justo hasta que se funda. No dejes que tu base de jabn supere temperaturas de ms de 60 a 65C (utiliza un ter- mmetro). No dejes que la base de jabn hierva ya que perder toda la humedad 4. Aade la esencia, si usaste bao Mara retira del fuego, aade la esen- cia antes del color ya que todas las esencias, en mayor o menor grado, tien ligeramente la base. De esa manera, cuando aadas el color vas a hacerte una idea exacta del color final. 5. Aade el color poco a poco, ya que siempre puedes aadir un poco ms. 6. Aade aceites para hacer un jabn ms hidratante, como aceite de al- mendras dulces, aceite de germen de trigo (vitamina E). Nunca agregues ms de una cucharada sopera por 500 gramos de base de jabn. Si aades demasiada cantidad de aceite tu jabn ser blando y hmedo en exceso, y no cuajar bien. 7. Engrasa el molde, con una ligersima capa de aceite de maz o de vase- lina lquida. 8. Una vez vertido el jabn en el molde se pueden formar burbujas de aire en la superficie. Ten siempre a mano un rociador con alcohol rebajado. Con una rociada las burbujas desaparecen instantneamente. 9. Desmolda, recuerda que la base se vuelve lquida y luego, al cuajar, de nuevo se hace slida. Por tanto, el jabn est adherido al molde. Cinco minutos en el congelador y un poco de agua caliente en la parte exterior del molde harn un buen trabajo a la hora de desmoldar tu jabn. 10. Envuelve tu jabn completamente con una pelcula de plstico transparen- te, para evitar que se deshidrate. Una vez que todos los alumnos han terminado y presentado su jabn, ya que se les ha dado la misma indicacin respecto a las dimensiones del molde, las variables largo, ancho y altura tienen distribuciones normales. Una muestra de 250 jabones da como resultado el resumen siguiente Histograma de largo FrecuenciaLargo del jabn 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 49 49.2 50.2 50.4 50.6 50.8 49.4 49.6 49.6 50 51 Media 50.0432 Desv. est 0.4267 N 250 www.fullengineeringbook.net 287 E J E R C I C I O S S E C C I N 6 . 3 6.43 Ejercicio Applet Skillbuil- der 'HPXHVWUD TXH OD SUREDELOL GDGHVLJXDODOiUHDEDMRXQDFXUYD 'DGRTXHORVHVWXGLDQWHVXQLYHUVL tarios duermen un promedio de 7 KRUDVSRUQRFKH FRQXQDGHVYLD FLyQHVWiQGDULJXDODKRUDVXVD la barra de desplazamiento en el applet para encontrar: a. PXQHVWXGLDQWHGXHUPHHQWUH\KRUDV b. PXQHVWXGLDQWHGXHUPHHQWUH\KRUDV c. PXQHVWXGLDQWHGXHUPHHQWUH\KRUDV 6.44 Ejercicio Applet Skillbuil- der 'HPXHVWUD ORV HIHFWRV TXH tienen la media y la desviacin estndar sobre una curva normal. a. Al dejar la desviacin estn- GDUHQDXPHQWDODPHGLDD 4XpSDVDFRQODFXUYD" b. Restablece la media a 0 y aumenta la desviacin estndar D4XpRFXUUHFRQODFXUYD" F 6LSXGLHUDVGLVPLQXLUODGHVYLDFLyQHVWiQGDUDTXp FUHHVTXHVXFHGHUtDFRQODFXUYDQRUPDO" 6.45 'DGRx \ HQFXHQWUDz. 6.46 'DGRx \ HQFXHQWUDz. 6.47'DGR TXH x es una variable aleatoria con distribucin QRUPDOFRQXQDPHGLDGH\GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHHQ FXHQWUDODVVLJXLHQWHVSUREDELOLGDGHV a. P(x > 60) b. P(60 < x < 72) c. Px < 83) d. Px < 82) e. P(38 < x < 78) f. P(x < 83) 6.48'DGR TXH x es una variable aleatoria con distribucin QRUPDOFRQXQDPHGLDGH\GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHHQ FXHQWUDODVVLJXLHQWHVSUREDELOLGDGHV FRQWLQ~DHQODSiJLQD [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales Histograma de ancho Ancho del jabn FrecuenciaAltura del jabn Histograma de altura Frecuencia50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 29 29.2 30.2 30.4 30.6 30.8 29.4 29.6 29.6 30 31 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 49 49.2 50.2 50.4 50.6 50.8 49.4 49.6 49.6 50 51 Media 30.0088 Desv. est. 0.4565 N 250 Media 23.98 Desv. est. 0.4835 N 250 www.fullengineeringbook.net 288 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal a. P(x < 28) b. P(28 < x < 38) c. P(24 < x < 40) d. P(30 < x e. Px I P(x < 48) 6.49&RPRVHPXHVWUDHQHOHMHPSORORVSXQWDMHV&,VH FRQVLGHUDQFRQGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLDGH\ una desviacin estndar de 16. D (QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSHUVRQDVHOHFFLRQD- GDDOD]DUWHQJDXQSXQWDMH&,HQWUH\ E (QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSHUVRQDVHOHFFLRQD- GDDOD]DUWHQJDXQSXQWDMH&,SRUDUULEDGH 6.50&RQEDVHHQXQDHQFXHVWDUHDOL]DGDSRU*UHHQHOG2Q- OLQHODVSHUVRQDVGHDDxRVGHHGDGSDVDQODPD\RUSDU- te de cada semana en la comida rpida. El importe semanal SURPHGLRGHVHUHSRUWyHQXQDUWtFXORGHOUSA Today en PD\RGH6LVXSRQHVTXHORVJDVWRVVHPDQDOHVHQFRPLGD UiSLGDWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHV- WiQGDUGHFXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQDSHUVRQD GHDDxRVGHHGDGJDVWH D PHQRVGHDODVHPDQDHQFRPLGDUiSLGD" E HQWUH\DODVHPDQDHQFRPLGDUiSLGD" F PiVGHDODVHPDQDHQFRPLGDUiSLGD" 6.51 'HSHQGLHQGR GH GyQGH YLYDV \ GH OD FDOLGDG GH OD JXDUGHUtDORVFRVWRVGHJXDUGHUtDSXHGHQYDULDUGHD DODxRRDDOPHVSRUXQQLxRGHDFXHU- GRFRQHO%DE\&HQWHU/RVFHQWURVGHJXDUGHUtDHQODVJUDQGHV FLXGDGHVFRPR1XHYD<RUN\6DQ)UDQFLVFRVRQQRWDEOHPHQWH FRVWRVRV6XSyQTXHORVFRVWRVGHJXDUGHUtDWLHQHQXQDGLVWUL- EXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLDLJXDOD\XQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDULJXDODFuente:KWWSZZZEDE\FHQWHUFRP D 4XpSRUFHQWDMHGHORVFHQWURVGHJXDUGHUtDFXHVWDQHQWUH \" E 4XpSRUFHQWDMHGHORVFHQWURVGHJXDUGHUtDFXHVWDQHQWUH \" F 4XpSRUFHQWDMHGHORVFHQWURVGHJXDUGHUtDFXHVWDQHQWUH \" G &RPSDUDORVUHVXOWDGRVGHDDFFRQODUHJODHPStULFD Explica la relacin. 6.52 'H DFXHUGR FRQ &ROOHJHERDUGFRP >KWWSZZZFROOH- JHERDUGFRP@HOVDODULRQDFLRQDOSURPHGLRSDUDXQSORPHUR DHV6LVXSRQHVTXHORVVDODULRVDQXDOHVSDUD SORPHURVWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGHHQFXHQWUDORVLJXLHQWH D 4XpSRUFHQWDMHJDQDSRUDEDMRGH" E 4XpSRUFHQWDMHJDQDSRUDUULEDGH" 6.53'H DFXHUGR FRQ ODV HVWDGtVWLFDV GH DXWRSLVWDV GH OD)HGHUDO+LJKZD\$GPLQLVWUDWLRQODGLVWULEXFLyQGHHGDGHV SDUDFRQGXFWRUHVFRQOLFHQFLDWLHQHXQDPHGLDGHDxRV\ XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHDxRV>ZZZIKZDGRWJRY@6L VXSRQHVTXHODGLVWULEXFLyQGHHGDGHV WLHQHXQDGLVWULEXFLyQ QRUPDOTXpSRUFHQWDMHGHORVFRQGXFWRUHV D HVWiQHQWUHODVHGDGHVGH\DxRV" E VRQPiVMyYHQHVGHDxRVGHHGDG" F VRQPD\RUHVGHDxRVGHHGDG" G HVWiQHQWUHODVHGDGHVGH\DxRV" H VRQPD\RUHVGHDxRVGHHGDG" 6.54([LVWHXQDQXHYDFODVHWUDEDMDGRUDFRQGLQHURSDUDJDV- WDU GH DFXHUGR FRQ HO DUWtFXOR GHO GHPDU]RGH GHO USA Today1XHYRV WUDEDMDGRUHV MyYHQHV FXHOOR GRUDGR JDQDQLQXHQFLD&XHOORGRUDGRHVXQVXEFRQMXQWRGHORV WUDEDMDGRUHV GH FXHOOR D]XO GHQLGR SRU ORV LQYHVWLJDGRUHV FRPRDTXHOORVTXH WUDEDMDQHQHPSOHRVGHFRPLGDUiSLGD\ PLQRULVWDVRFRPRJXDUGLDVGHVHJXULGDGRFLQLVWDVRHVWL- OLVWDV/RVWUDEDMDGRUHVGHFXHOORGRUDGRTXHWLHQHQGHD DxRVGHHGDGJDVWDQXQSURPHGLRGHDOPHVHQHOORV PLVPRVFRQWUDGHORVHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV\ GHORVWUDEDMDGRUHVGHFXHOORD]XO6LVXSRQHVTXHHVWHJDVWR WLHQHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH TXpSRUFHQWDMHGHORVWUDEDMDGRUHVGHFXHOORGRUDGR JDVWDQ D HQWUH\DOPHVHQHOORVPLVPRV" E HQWUH\DOPHVHQHOORVPLVPRV" F PiVGHDOPHVHQHOORVPLVPRV" G PHQRVGHDOPHVHQHOORVPLVPRV" 6.55/RVKDOOD]JRVGHXQDHQFXHVWDGHDGXOWRVHVWDGRXQLGHQ- VHV UHDOL]DGD SRU<DQNHORYLFK3DUWQHUV SDUD OD ,QWHUQDWLRQDO %RWWOHG:DWHU$VVRFLDWLRQ LQGLFDQ TXH ORV HVWDGRXQLGHQVHV EHEHQHQSURPHGLRSDUWHVGHRQ]DVGHDJXDDOGtD>KWWS ZZZSDQJDHDZDWHUFRP@6LVXSRQHVTXHHOQ~PHURGHSRU- FLRQHVGHRQ]DVGHDJXDWLHQHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGD- PHQWHQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHSRUFLRQHV TXpSURSRUFLyQGHORVHVWDGRXQLGHQVHVEHEH D PiVGHODVSRUFLRQHVUHFRPHQGDGDV" E PHQRVGHODPLWDGGHODVSRUFLRQHVUHFRPHQGDGDV" 6.56 &RPR VHPXHVWUD HQ HO HMHPSOR ORV LQJUHVRV GH los ejecutivos junior tienen una distribucin normal con una desviacin estndar de $3 828. D &XiOHVODPHGLDSDUDORVVDODULRVGHORVHMHFXWLYRVju- niorVLXQVDODULRGHHVWiHQHOH[WUHPRVXSHULRU GHOPHGLRGHLQJUHVRV" E &RQODLQIRUPDFLyQDGLFLRQDODSUHQGLGDHQHOLQFLVRD FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHXQHMHFXWLYRjunior selec- FLRQDGRDOD]DUJDQHPHQRVGH" 6.57'HDFXHUGRFRQ$&7 ORVUHVXOWDGRVGHOH[DPHQ$&7 GHVFXEULHURQTXHORVHVWXGLDQWHVWLHQHQXQDFDOLFDFLyQ www.fullengineeringbook.net 289 GHOHFWXUDPHGLDGHFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH 6LVXSRQHVTXHODVFDOLFDFLRQHVWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDO D HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLRQDGR DOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHOHFWXUDPHQRUTXH E HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLR- QDGRDOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHOHFWXUDHQWUH 18 y 24. F HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLR- QDGRDOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHOHFWXUDPD\RU TXH G HQFXHQWUDHOYDORUGHOSHUFHQWLOSDUDODVFDOLFDFLRQHV ACT. 6.58(QXQGtDGDGRHOQ~PHURGHSLHVFXDGUDGRVGHHVSDFLR GHRFLQDGLVSRQLEOHSDUDUHQWDHQXQDSHTXHxDFLXGDGHVXQD YDULDEOHDOHDWRULDTXHWLHQHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQD PHGLDGHSLHV FXDGUDGRV\ GHVYLDFLyQ HVWiQGDU GH 60 000 pies cuadrados. El nmero de pies cuadrados dispo- QLEOHVHQXQDVHJXQGDFLXGDGSHTXHxDWLHQHGLVWULEXFLyQQRU- PDOFRQXQDPHGLDGHSLHVFXDGUDGRV\GHVYLDFLyQ estndar de 60 000 pies cuadrados. D %RVTXHMDODGLVWULEXFLyQGHHVSDFLRGHRFLQDHQUHQWD SDUDDPEDVFLXGDGHVVREUHODPLVPDJUiFD E &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHHOQ~PHURGHSLHV cuadrados disponibles en la primera ciudad sea menor TXH" F &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHHOQ~PHURGHSLHV FXDGUDGRVGLVSRQLEOHVHQODVHJXQGDFLXGDGVHDPiVGH " 6.598QDPiTXLQDGHOOHQDGRGHXQDFHUYHFHUtDVHDMXVWDSDUD llenar botellas de cuarto con una media de 32.0 oz de cerveza y XQDYDULDQ]DGH3HULyGLFDPHQWHXQDERWHOODVHYHULFD y se anota la cantidad de cerveza. D 6LVXSRQHVTXHODFDQWLGDGGHOOHQDGRWLHQHXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOFXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODVLJXLHQWH ERWHOODYHULFDGDDOD]DUFRQWHQJDPiVGHR]" E 6XSyQTXHFRPSUDVERWHOODVGHFXDUWRGHHVWDFHUYH]D SDUDXQDHVWDFXiQWDVERWHOODVTXHFRQWHQJDQPiVGH R]GHFHUYH]DHVSHUDUtDVHQFRQWUDU" 6.60 Con la curva normal estndar y z: D (QFXHQWUDODFDOLFDFLyQPtQLPDQHFHVDULDSDUDUHFLELU XQD$VLHOLQVWUXFWRUGHOHMHPSORGLFHTXHHO superior es para obtener A. E (QFXHQWUDHOSHUFHQWLOSDUDSXQWDMHV&,GHOHMHPSOR F 6LODVFDOLFDFLRQHV6$7WLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQ XQDPHGLDGH\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHTXp FDOLFDFLyQQHFHVLWDXQHVWXGLDQWHSDUDDOPHQRVVHUFRQ- VLGHUDGRSRUXQDXQLYHUVLGDGTXHVyORUHFLEHHVWXGLDQWHV FRQFDOLFDFLRQHVGHQWURGHOVXSHULRU" 6.61/RVSURPHGLRVQDOHVSRUORJHQHUDO WLHQHQXQDGLVWUL- EXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDOFRQXQDPHGLDGH\XQD GHVYLDFLyQHVWiQGDUGH7XSURIHVRUGLFHTXHHOVX- SHULRUGHODFODVHUHFLELUi$HOVLJXLHQWH%HOVLJXLHQWH &HOVLJXLHQWH'\HOLQIHULRU) D 4XpSURPHGLRGHEHVVXSHUDUSDUDREWHQHU$" E 4XpSURPHGLRGHEHVVXSHUDUSDUDUHFLELUXQDFDOLFD- FLyQPHMRUTXH&" F 4XpSURPHGLRGHEHVREWHQHUSDUDDSUREDUHOFXUVR" 1HFHVLWDUiV'RPHMRU 6.62 Una unidad de radar se usa para medir la velocidad de ORVDXWRPyYLOHVHQXQDYtDH[SUpVGXUDQWHKRUDVSLFRGHWUi- FR/DVYHORFLGDGHVGHDXWRPyYLOHVLQGLYLGXDOHVWLHQHQXQD GLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLDGHPSK D (QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHWRGDVODVYHORFLGDGHV VLGHORVDXWRPyYLOHVYLDMDQPiVUiSLGRTXHPSK E &RQODGHVYLDFLyQHVWiQGDUTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD HQFXHQWUDHOSRUFHQWDMHGHDTXHOORVDXWRPyYLOHVTXHYLD- MDQDPHQRVGHPSK F &RQODGHVYLDFLyQHVWiQGDUTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD HQFXHQWUDHOSHUFHQWLOSDUDODYDULDEOHYHORFLGDG 6.63/RVSHVRVGHVDQGtDVPDGXUDVFRVHFKDGDVHQODJUDQMD GHO6U6PLWKWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLD- FLyQHVWiQGDUGHOE(QFXHQWUDHOSHVRPHGLRGHODVVDQGtDV PDGXUDVGHO6U6PLWKVLVyORSHVDQPHQRVTXHOE 6.648QDPiTXLQDOOHQDFRQWHQHGRUHVFRQXQSHVRPHGLRSRU FRQWHQHGRUGHR]6LQRPiVGHGHORVFRQWHQHGRUHV GHEHQSHVDUPHQRVGHR]DTXpGHEHVHULJXDOODGHVYLD- FLyQHVWiQGDUGHORVSHVRV"6XSyQQRUPDOLGDG 6.656HVDEHTXHORVWLHPSRVGHHVSHUDSDUDTXLHQHVOODPDQ DXQDFRPSDxtDGHWHOHYLVLyQSRUFDEOHORFDOWLHQHQXQDGLVWUL- EXFLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHPLQXWRV (QFXHQWUDHOSURPHGLRGHWLHPSRGHHVSHUDGHOVROLFLWDQWH VLODFRPSDxtDVRVWLHQHTXHQRPiVGHGHTXLHQHVOODPDQ deben esperar ms de 6 minutos. 6.66 [EX06-066]/RVVLJXLHQWHVGDWRVVRQORVSHVRVQHWRVHQ JUDPRVSDUDXQDPXHVWUDGHEROVDVGH0 0(OSHVRQHWR SXEOLFLWDGRHVGHJUDPRVSRUEROVD 46.22 46.72 46.94 47.61 47.67 47.70 47.98 48.28 48.33 48.45 48.49 48.72 48.74 48.95 48.98 49.16 49.40 49.69 49.79 49.80 49.80 50.01 50.23 50.40 50.43 50.97 51.53 51.68 51.71 52.06 /D)'$UHTXLHUHTXHFDVLWRGDEROVDFRQWHQJDHOSHVRSXEOL- FLWDGRGHRWURPRGRODVYLRODFLRQHVPHQRUHVDJUDPRV SRUEROVDSURGXFLUiQPXOWDVREOLJDWRULDV/RV0 0VHID- brican y distribuyen por parte de Mars Inc.) FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: http://www.math.uah.edu/ Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales www.fullengineeringbook.net 290 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal D 4XpSRUFHQWDMHGHODVEROVDVHQODPXHVWUDHVWiQHQYLR- ODFLyQ" b. Si el peso de las bolsas llenas tienen una distribucin nor- PDOFRQXQSHVRPHGLRGHJTXpSRUFHQWDMHGHODV EROVDVHVWDUiHQYLRODFLyQ" F 6LVXSRQHVTXHORVSHVRVGHODVEROVDVWLHQHQXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHJTXp YDORUPHGLRGHMDUtDGHORVSHVRVSRUDEDMRGHJ" G 6LVXSRQHVTXHORVSHVRVGHODVEROVDVWLHQHQXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHJTXp YDORUPHGLRGHMDUtDGHORVSHVRVSRUDEDMRGHJ" H 6LVXSRQHVTXHORVSHVRVGHODVEROVDVWLHQHQXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHJTXp YDORUPHGLRGHMDUtDGHORVSHVRVSRUDEDMRGHJ" I 3RUTXpHVLPSRUWDQWHTXH0DUVPDQWHQJDEDMRHOSRU- FHQWDMHGHYLRODFLRQHV" J 3DUD0DUVHVLPSRUWDQWHPDQWHQHUODGHVYLDFLyQHVWiQGDU WDQEDMDFRPRVHDSRVLEOHGHPRGRTXHDVXYH]ODPHGLD SXHGDVHUWDQSHTXHxDFRPRVHDSRVLEOHSDUDPDQWHQHUHO peso neto. Explica la relacin entre la desviacin estndar \ODPHGLD([SOLFDSRUTXpHVWRHVLPSRUWDQWHSDUD0DUV 6.676HPLGHHOODUJRGHFDGDMDEyQVHJ~QVHGHVFULEHHQHO ejemplo aplicado 6.13 y se reporta un promedio para el jabn. (OODUJRSURPHGLRWLHQHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPH- GLDGHPP\XQDGHVYLDFLyQGHPP D 6LODVHVSHFLFDFLRQHVSDUDHVWDYDULDEOHIXHUDQPP PPPPH[SUHVDGLFKDVYDULDEOHVFRPRXQ intervalo. E 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVVHHVSHUDTXHHVWpQGHQWUR GHODVHVSHFLFDFLRQHV" F 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVWHQGUiXQODUJRSURPHGLR GHPiVGHPP" G 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVWHQGUiXQDDOWXUDSURPH- GLRGHQWURGHPPGH" 6.686HPLGHODDOWXUDGHFDGDMDEyQVHJ~QVHGHVFULEHHQHO ejemplo aplicado 6.13 y se reporta una altura promedio para el jabn. La altura promedio tiene una distribucin normal con XQDPHGLDGHPP\XQDGHVYLDFLyQGHPP D 6LODVHVSHFLFDFLRQHVSDUDHVWDYDULDEOHIXHUDQPP PPPPH[SUHVDGLFKDVYDULDEOHVFRPRXQ intervalo. E 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVVHHVSHUDTXHHVWpGHQWUR GHODVHVSHFLFDFLRQHV" F 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVWHQGUiXQDDOWXUDSURPH- GLRGHPiVGHPP" G 4XpSRUFHQWDMHGHORVMDERQHVWHQGUiXQDDOWXUDSURPH- GLRGHQWURGHPPGH" 6.69 a. Genera una muestra aleatoria de 100 datos de una GLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLD\GHVYLDFLyQ estndar 12. E &RQODPXHVWUDDOHDWRULDGHGDWRVTXHHQFRQWUDV- WHHQHOLQFLVRD\ORVFRPDQGRVGHWHFQRORJtDSDUD FDOFXODUYDORUHVGHRUGHQDGDVGHODSiJLQDHQ- cuentra los correspondientes 100 valores y para la FXUYDGHGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHVYLD- cin estndar 12. F 8VDORVSDUHVRUGHQDGRVTXHHQFRQWUDVWHHQHO inciso b para dibujar la curva para la distribucin QRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU /RVFRPDQGRVGHWHFQRORJtDVHLQFOX\HQFRQORV comandos del inciso b en la p. 284.) G &RQORVFRPDQGRVGHWHFQRORJtDSDUDODSUREDELOLGDG DFXPXODGDGHODSiJLQDHQFXHQWUDODSUREDELOLGDG GHTXHXQYDORUVHOHFFLRQDGRDOD]DUGHXQDGLVWULEXFLyQ QRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDUHVWp HQWUH\9HULFDWXVUHVXOWDGRVFRQODWDEOD 6.70 Usa una computadora o calculadora para encontrar la SUREDELOLGDGGHTXHXQYDORUx seleccionado al azar de una GLVWULEXFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU WHQJDXQYDORU D PHQRUTXH E HQWUH\ F GHDOPHQRV G 9HULFDHOUHVXOWDGRFRQODWDEOD H ([SOLFDFXDOTXLHUGLIHUHQFLDTXHSXHGDVHQFRQWUDU MINITAB Escribe 525 y 590 en C1; luego contina con los comandos de probabilidad acumulada de la pgina 285 y usa 584.2 como , 37.3 como y C2 como almacenamiento opcional. Excel Escribe 525 y 590 en la columna A y activa la celda B1; luego contina con los comandos de probabilidad acumulada de la p- gina 285 y usa 584.2 como y 37.3 como . TI-83/84 Plus Escribe 525 y 590 en L1; luego contina con los comandos de probabilidad acumulada de la pgina 285 en L2 y usa 584.2 como y 37.3 como . 6.71 Usa una computadora para comparar una muestra aleato- ULDFRQODSREODFLyQGHODTXHVHH[WUDMRODPXHVWUD&RQVLGHUD la poblacin normal con media 100 y desviacin estndar 16. a. Lista los valores desde KDVWD + 4HQLQFUHPHQ- tos de media desviacin estndar y almacnalos en una columna. www.fullengineeringbook.net 291 b. Encuentra la ordenada (valor y) correspondiente a cada abscisa (valor x) para la curva de distribucin normal para N\DOPDFpQDORVHQXQDFROXPQD F *UDFDODFXUYDGHGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGQRUPDO para N d. Genera 100 valores de datos aleatorios de la distribucin N\DOPDFpQDORVHQXQDFROXPQD H *UDFDHOKLVWRJUDPDGHORVGDWRVREWHQLGRVHQHO inciso d y usa los nmeros mencionados en el inciso a FRPROtPLWHVGHFODVH I &DOFXODRWURVHVWDGtVWLFRVGHVFULSWLYRV~WLOHVGHORV valores de datos y compara los datos con la distribucin esperada. Comenta acerca de las similitudes y las diferen- FLDVTXHREVHUYHV MINITAB a. Elige: Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers Escribe: Almacenar patrn datos en: C1 Desde primer valor: 36 Hasta ltimo valor: 164 En pasos de: 8 > OK b. Elige: Calc > Prob. Dist. > Normal Selecciona: Probability density Escribe: Media: 100 Desviacin Est.: 16 Columna entrada: C1 Almacenamiento opcional: C2 > OK c. Usa los comandos Scatterplot de la pgina 284 para los datos en C1 y C2. d. Usa los comandos Calculate RANDOM DATA de la pgina 283 y sustituye n con 100, almacenar con C3, media con 100 y desviacin estndar con 16. e. Usa los comandos HISTOGRAM With Fits de la pgina 53 para los datos en C3. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con cutpoint y cutpoint positions 36:148/8 f. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en C3. Excel a. Elige: Data > Data Analysis > Random Number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 1 Distribucin: Patterned Desde: 36 hasta 172 en pasos de 8 Repite cada nmero: 1 vez Selecciona: Output Range Escribe: (A1 o selecciona celdas) b. Activa B1; luego contina con: Escribe: Insert function fx > Statistical > NORMDIST > OK Escribe: X: (A1:A? o selecciona celdas "valor x", Media: 100 Desviacin Est.: 16 Acumulado: Falso > OK Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro de valor ordenada hacia abajo para proporcionar otras ordenadas c. Usa los comandos Insert > Scatter de la pgina 284 para los datos en las columnas A y B. d. Activa la celda C1; luego usa los comandos Normal RAN- DOM NUMBER GENERATION de la pgina 283 y sustituye el nmero de nmeros aleatorios con 100, media con 100 y desviacin estndar con 16. e. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con columna C como el rango de entrada y columna A como el rango bin. f. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en la columna C. 6.72 Usa una computadora para comparar una muestra aleatoria con la poblacin de donde se extrajo la muestra. Considera la SREODFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU5HV- SRQGHODVSUHJXQWDVDDIGHOHMHUFLFLRFRQN 6.73 6XSyQ TXH TXLHUHV JHQHUDU YDULDVPXHVWUDV DOHDWRULDV WRGDVGHOPLVPR WDPDxR WRGDVGH ODPLVPDGLVWULEXFLyQGH SUREDELOLGDGQRUPDO7RGDVVHUiQLJXDOHV"&yPRGLIHULUiQ" 3RUFXiQWRGLIHULUiQ" D 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDJHQHUDUGLIH- UHQWHVPXHVWUDVWRGDVGHWDPDxRWRGDVGHODPLVPD GLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGQRUPDOFRQPHGLD\ GHVYLDFLyQHVWiQGDU E 'LEXMDKLVWRJUDPDVGHODVPXHVWUDVXVDQGRORVPLVPRV OtPLWHVGHFODVH F &DOFXODYDULRVHVWDGtVWLFRVGHVFULSWLYRVSDUDODVPXHV- WUDVSRUVHSDUDGR G &RPHQWDDFHUFDGHODVVLPLOLWXGHV\GLIHUHQFLDVTXHRE- serves. MINITAB a. Usa los comandos Generate RANDOM DATA de la pgina 283 y sustituye n con 100, almacenar en C1-C10, media con 200 y desviacin estndar con 25. b. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C1-C10. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con cutpoint y cutpoint positions 36:148/8. c. Usa el comando DISPLAY DESCRIPTIVE STATISTICS de la pgi- na 88 para los datos en C1- C10. Excel a. Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 283 y sustituye el nmero de variables con 10, cantidad de nmeros aleatorios con 100, media con 200 y desviacin estndar con 25. b. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71 y sustituye el primer valor con 100, el ltimo valor con 300, los pasos con 25 y el rango de salida con K1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pgi- nas 53-54 para cada una de las columnas de la A a la J (rango de entrada), con columna K como el rango bin. FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 6.3 Aplicaciones de las distribuciones normales www.fullengineeringbook.net 292 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal El valor zVHXVDDORODUJRGHODHVWDGtVWLFDHQYDULDVIRUPDVVLQHPEDUJRODUHODFLyQHQWUH el valor numrico de z y el rea bajo la curva de distribucin normal estndar no cambia. 'DGRTXHzVHXVDFRQJUDQIUHFXHQFLDVHGHVHDXQDQRWDFLyQFRQYHQLHQWHSDUDLGHQWLFDU ODLQIRUPDFLyQQHFHVDULD/DFRQYHQFLyQTXHVHXVDUiFRPRQRPEUHDOJHEUDLFRSDUDXQ valor zHVSHFtFRHVz(GRQGHUHSUHVHQWDHOiUHDDODGHUHFKDGHOz a nombrar. c. Usa los comandos DESCRIPTIVE STATISTICS de la pgina 88 para los datos en las columnas de la A a la J. TI-83/84 Plus a. Usa los comandos 6:randNorm de las pginas 283-284 y sus- tituye la media con 200, la desviacin estndar con 25 y el nmero de ensayos con 100. Repite 6 veces y usa L1L6 para almacenamiento. b. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 54 para los da- tos en L1-L6 y escribe valores WINDOW: 100, 300, 25, 10, 60, 10, 1. Ajusta con ZoomStat. c. Usa el comando 1-Var Stats de la pgina 88 para los datos en L1-L6. 6.74*HQHUDPXHVWUDVDOHDWRULDVFDGDXQDGH WDPDxR DSDUWLUGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQPHGLD\GHVYLDFLyQ HVWiQGDU5HVSRQGHODVSUHJXQWDVEDGGHOHMHUFLFLR 6.4 Notacin E J E M P L O 6 . 1 4 E J E M P L O 6 . 1 5 INTERPRETACIN VISUAL DE z () z(0.05) (lase "z de 0.05") es el nombre algebraico para el z tal que el rea a la derecha y abajo de la curva normal estndar es exactamente 0.05, como se muestra en al figura 6.6. INTERPRETACIN VISUAL DE z () z(0.90) (lase "z de 0.90") es aquel valor de z tal que 0.90 del rea se encuen- tra a su derecha, como se muestra en la figura 6.7. FIGURA 6.6 rea asociada con z(0.05) FIGURA 6.7 rea asociada con z(0.90) z(0.05) z 0.05 0 0.9000 z 0 z(0.90) z www.fullengineeringbook.net 293 $KRUDHQFXHQWUDORVYDORUHVQXPpULFRVGHz y z. E J E M P L O 6 . 1 6 E J E M P L O 6 . 1 7 CMO DETERMINAR LOS CORRESPONDIENTES VALORES z PARA z () Encuentra el valor numrico de z(0.05). Solucin Recuerda que el rea bajo la curva normal total es 1. Por tanto, al restar 0.05 de 1 produce 0.95, el rea a la izquierda de z(0.05). El rea 0.9500 es el rea que puede usar con la tabla 3 del apndice B, o con la funcin acumu- lada en una calculadora o computadora; ve las reas que se muestran en la figura 6.8. Cuando examinas en la tabla 3, buscas una rea tan cercana como sea posible a 0.9500. Usa el z que corresponda al rea ms cercana en valor. Cuando el valor est exactamente a la mitad entre las entradas de la tabla, como arriba, siem- pre usa el valor ms grande de z. Por tanto, z(0.05) = 1.65. CMO DETERMINAR LOS CORRESPONDIENTES VALORES z PARA z () Encuentra el valor de z(0.90). Solucin Como en el ejemplo 6.16, el rea 0.90 necesita restarse de 1, lo que por tanto da una rea de 0.10 a la izquierda de z(0.90). El rea 0.1000 es el FIGURA 6.8 Encuentra el valor de z(0.05) PTI Se acostumbra redondear al siguiente valor ms grande debi- do al uso comn de valores crticos, como vers en el captulo 8. z ... 0.04 0.05 . . . 1.6 ... 0.9495 0.9500 0.9505 ... rea acumulada Seccin 6.4 Notacin z(0.05) z 0.0500 0.9500 0 www.fullengineeringbook.net 294 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal La notacin z() VH XVDGHPDQHUD UHJXODU HQ FRQH[LyQ FRQ VLWXDFLRQHV LQIHUHQFLDOHV TXHLQYROXFUDQHOiUHDGHXQDUHJLyQGHFRODH[WUHPRVQDOHVGHXQDFXUYDGHGLVWUL- EXFLyQRDODL]TXLHUGDRDODGHUHFKD(QFDStWXORVSRVWHULRUHVHVWDQRWDFLyQVHXVDUi GHPDQHUDUHJXODU/RVYDORUHVGHzTXHVHXVDUiQUHJXODUPHQWHSURYLHQHQGHXQDGHODV VLJXLHQWHVVLWXDFLRQHVHOYDORUzWDOTXHH[LVWHXQDiUHDHVSHFtFDHQXQDFRODGHOD GLVWULEXFLyQQRUPDORORVYDORUHVzTXHDFRWDQXQDSURSRUFLyQPHGLDHVSHFtFDGH la distribucin normal. (OHMHPSORPRVWUyXQDVLWXDFLyQGHXQDFRODGHXVRFRP~Qz VHXELFD GHPRGRTXHGHOiUHDEDMRODFXUYDGHGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWiHQODFRODDODGHUHFKD (OHMHPSORWDPELpQPRVWUyXQDVLWXDFLyQGHXQDFRODGHXVRFRP~Qz VHXELFDGHPRGRTXHGHOiUHDEDMRODFXUYDGHGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWiHQODFRODD ODL]TXLHUGD 'HELGRDODQDWXUDOH]DVLPpWULFDGHODGLVWULEXFLyQQRUPDOz() y z) estn estre- FKDPHQWHUHODFLRQDGRV\OD~QLFDGLIHUHQFLDHVTXHXQRHVSRVLWLYR\HORWURHVQHJDWLYR 2EVHUYDXQHMHPSORTXHGHPXHVWUDHVWR rea que puedes usar con la tabla 3 del apndice B, como se muestra en el siguiente diagrama. Los valores ms cercanos en la tabla 3 son 0.1003 y 0.0985, siendo 0.1003 el ms cercano a 0.1000. Por tanto, z(0.90) se relaciona con 1.28. Dado que z(0.90) est por abajo de la media, tiene sentido que z(0.90) = 1.28. E J E M P L O 6 . 1 8 CMO DEMOSTRAR LA RELACIN ENTRE z() Y z(1 ) En el ejemplo 6.16 (p. 293) se encontr que el valor de z(0.05) es 1.65. En- cuentra z(0.95). Solucin z(0.95) se ubica en el lado izquierdo de la distribucin normal, pues el rea a la derecha es 0.95. El rea en la cola a la izquierda contiene entonces el otro 0.05, como se muestra en la figura 6.9. z ... 0.08 0.09 1.2 . . . 0.1003 0.1000 0.0985 rea acumulada 0.9000 z 0 z(0.90) 0.1000 www.fullengineeringbook.net 295 E J E M P L O 6 . 1 9 (QPXFKDVVLWXDFLRQHVVHUiPiVFRQYHQLHQWHUHIHULUVHDOiUHDGHODFRODTXHDOiUHD DFXPXODGDRDOiUHDDODGHUHFKDSRUWDQWRVHLQWURGXFHXQQRPEUHDOJHEUDLFRDOWHUQDWLYR para los valores zTXHDFRWDQXQDVLWXDFLyQGHFRODL]TXLHUGD3RUHMHPSORGDGRTXHz y z WLHQHQHOPLVPRYDORUQXPpULFR\VyORGLHUHQHQVLJQRVHYLRTXHHVSRVLEOH LGHQWLFDUzFRPRz. (QJHQHUDOFXDQGRHVPD\RUTXHODFRQYHQFLyQGHQRWDFLyQTXHVHXVDUi es z) z(). CMO USAR LA TABLA 4 PARA DETERMINAR z() Y z(1 ) Encuentra los valores de z(0.05) y z(0.95) con la tabla 4 del apndice B. Solucin La tabla 4, Valores crticos de distribucin normal estndar, se dise para proporcionar slo los valores de z de uso ms comn, cuando se proporcio- na el rea de las regiones de cola. La parte A, Situaciones de una cola, se usa cuando se proporciona el rea de una cola. z(0.05) = 1.65 y dado que la distribucin normal estndar es simtrica, el valor de z(0.95) = z(0.05) 1.65. &XDQGRVHHVSHFLFDODSURSRUFLyQPHGLDGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOWDPELpQVHSXH- GHXVDUODQRWDFLyQiUHDDODGHUHFKDSDUDLGHQWLFDUHOYDORUzHVSHFtFRLQYROXFUDGR Con la tabla 3, z(0.95) = 1.65. Debido a la naturaleza simtrica de la distribucin normal, z(0.95) = 1.65 y z(0.05)) = 1.65 slo difieren en signo y el lado de la distribucin a la que pertenecen. Por tanto, z(0.95) = z(0.05) = 1.65. FIGURA 6.9 rea asociada con z(0.95) Una parte de la tabla 4A, Situaciones de una cola Cantidad de en una cola ... 0.10 0.05 0.025 . . . z() ... 1.28 1.65 1.96 . . . rea acumulada Seccin 6.4 Notacin 0.9500 z 0 z(0.95) 0.0500 www.fullengineeringbook.net 296 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal E J E M P L O 6 . 2 0 FIGURA 6.12 Cmo encontrar valores z para 0.95 medio FIGURA 6.10 rea asociada con 0.95 medio FIGURA 6.11 Cmo encontrar valores z para 0.95 medio CMO DETERMINAR VALORES z PARA REAS ACOTADAS Encuentra los valores z que acotan el 0.95 medio de la distribucin normal. Solucin 1: Uso de una cola Dado 0.95 como el rea en el medio (figura 6.10), las dos colas deben conte- ner un total de 0.05. Por tanto, cada cola contiene de 0.05, o 0.025, como se muestra en la figura 6.11. El valor de la cola derecha, z(0.025), se encuentra al usar la tabla 4, para A, Situaciones de una cola, como se demostr en el ejemplo 6.19. z(0.025) = 1.96 y dado que la distribucin normal estndar es simtrica, el valor de z(0.975) = z(0.025) = 1.96. Solucin 2: Uso de dos colas Dado 0.95 como el rea en el medio (figura 6.12), las dos colas deben con- tener un total de 0.05. La tabla 4, parte B, Situaciones de dos colas, puede usarse cuando se proporciona el rea combinada de ambas colas (o el rea en el centro). Ubica la columna que corresponde a = 0.05 o (1 ) = 0.95. Una parte de la tabla 4A, Situaciones de una cola Cantidad de en una cola ... 0.05 0.025 0.02 . . . z() ... 1.65 1.96 2.05 . . . 1 2 z 0.025 0.95 0.025 z(0.975) o <z(0.025) z(0.025) 0.025 0.95 0.025 z z(0.975) o <z(0.025) z(0.025) 0.025 0.95 0.025 z www.fullengineeringbook.net 297 E J E R C I C I O S S E C C I N 6 . 4 6.75 Con la notacin z()LGHQWLFDHOYDORUGH usado dentro GHORVSDUpQWHVLVQRPEUDFDGDXQDGHODVYDULDEOHVQRUPDOHV estndar zTXHVHPXHVWUDQHQORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.76 Con la notacin z()LGHQWLFDHOYDORUGH usado dentro GHORVSDUpQWHVLVQRPEUDFDGDXQDGHODVYDULDEOHVQRUPDOHV estndar zTXHVHPXHVWUDQHQORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.77 Con la notacin z()LGHQWLFDHOYDORUGH usado dentro GHORVSDUpQWHVLVQRPEUDFDGDXQDGHODVYDULDEOHVQRUPDOHV estndar zTXHVHPXHVWUDQHQORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV 6.78 Con la notacin z()LGHQWLFDHOYDORUGH usado dentro GHORVSDUpQWHVLVQRPEUDFDGDXQDGHODVYDULDEOHVQRUPDOHV estndar zTXHVHPXHVWUDQHQORVVLJXLHQWHVGLDJUDPDV FRQWLQ~DHQODSiJLQD PTI Existe otra opcin para encontrar valores de z(): usa la funcin acumulada inversa de tu calculadora o computadora. Para instrucciones especfi- cas, consulta la pgina 285. A partir de la tabla 4B se encuentra Z(0.05/2) = Z(0.025) = 1.96. Al usar la pro- piedad de simetra de la distribucin, se encuentra Z(0.975) = Z(0.025) = 1.96. El 0.95 medio de la distribucin normal est acotado por 1.96 y 1.96. rea en el "centro" Una parte de la tabla 4B, Situaciones de dos colas Cantidad de en dos colas ... 0.10 0.05 0.02 . . . z( 2) ... 1.65 1.96 2.33 ... 1 ... 0.90 0.95 0.98 . . . Seccin 6.4 Notacin \% z 0.87 ]% z 0.98 z X% 0.03 Y% z 0.14 Z% z 0.75 [% z 0.22 z a. c. e. b. d. f. z 0.92 X% Y% z 0.95 a. b. Z% [% z 0.05 z 0.18 \% ]% z 0.32 z 0.85 c. e. d. f. z 0.01 z 0.4 [% Z% X% Y% 0 z 0.37 0 z 0.975 a. b. c. d. www.fullengineeringbook.net 298 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal z 0.10 X% Z% Y% [% z 0.23 0 z 0.95 z 0.42 0 6.79'LEXMDXQDJXUDGHODFXUYDQRUPDOHVWiQGDU\PXHVWUD a. z b. z(0.82) 6.80'LEXMDXQDJXUDGHODFXUYDQRUPDOHVWiQGDU\PXHVWUD a. z (0.04) b. z 6.81 Con frecuencia uno est interesado en encontrar el valor de zTXHDFRWDXQDiUHDGDGDHQODFRODGHUHFKDGHODGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRPRVHPXHVWUDHQODJXUDVLJXLHQWH/DQRWD- cin z() representa el valor de zWDOTXHP(z > z() . (QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. z b. z c. z(0.01) 6.82 Con frecuencia uno est interesado en encontrar el valor de zTXHDFRWDXQiUHDGDGDHQODFRODL]TXLHUGDGHODGLVWUL- EXFLyQ QRUPDO FRPR VHPXHVWUD HQ OD JXUD VLJXLHQWH /D notacin z() representa el valor de zWDOTXHP(z > z() . (QFXHQWUDORVLJXLHQWH a. z b. z(0.80) c. z(0.70) 6.838VDODWDEOD$DSpQGLFH%\ODSURSLHGDGGHVLPHWUtD GH ODV GLVWULEXFLRQHV QRUPDOHV SDUD HQFRQWUDU ORV VLJXLHQWHV valores de z: a. z b. z(0.01) c. z d. z e. z 6.848VDODWDEOD$\ODSURSLHGDGGHVLPHWUtDGHODGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRPSOHWDHOVLJXLHQWHFXDGURGHYDORUHVz. El rea GDGDHQODVWDEODVHVHOiUHDDODGHUHFKDEDMRODGLVWULEXFLyQ QRUPDOHQODVJXUDV D 9DORUHVzDVRFLDGRVFRQODFRODGHUHFKDGDGDHOiUHDA encuentra z(A). A 0.10 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 Z(A) E 9DORUHVzDVRFLDGRVFRQODFRODL]TXLHUGDGDGDHOiUHDB encuentra z(B). B 0.995 0.99 0.98 0.975 0.95 0.090 Z(B) 6.85&RQ OD WDEOD%HQFXHQWUD ORVYDORUHVzTXHDFRWDQHO 0.80 medio de la distribucin normal. 9HULFDORVYDORUHVz con la tabla 4A. 6.868VD OD WDEOD%HQFXHQWUD ORVYDORUHVz TXHDFRWDQHO PHGLRGHODGLVWULEXFLyQQRUPDO 9HULFDORVYDORUHVz con la tabla 4A. 6.87&RQODWDEOD%FRPSOHWDHOVLJXLHQWHFXDGURGHYDORUHV zTXHDFRWDQXQDiUHDPHGLDGHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDO Media 0.75 0.90 0.95 0.99 z 6.88 a. Encuentra el rea bajo la curva normal para z entre z y z. b. Encuentra zz. 6.89 La notacin zz()FRPELQDGRVFRQFHSWRVUHODFLRQDGRV el valor z\HOiUHDD ODGHUHFKDHQXQVtPERORPDWHPiWLFR ,GHQWLFDODOHWUDHQFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVFRPRXQYDORU (A) a. c. b. d. z(A) A z(a) a A z B z B (B) www.fullengineeringbook.net 299 6.5 Aproximacin normal de la binomial FIGURA 6.13 Distribuciones binomiales zRXQDiUHD\OXHJRFRQODD\XGDGHXQGLDJUDPDH[SOLFDTXp UHSUHVHQWDQWDQWRHOQ~PHURFRPRODOHWUDGDGRVVREUHODFXU- va estndar. a. z(A) E z(0.10) % c. z(C) G z ' 6.90 Comprender la notacin zz()UHTXLHUHVDEHUVLVHWLHQH un valor zRXQiUHD&DGDXQDGHODVVLJXLHQWHVH[SUHVLRQHV usa la notacin zHQYDULDVIRUPDVDOJXQDVXVXDOHV\DOJXQDV no tan usuales. Encuentra el valor pedido en cada una de las VLJXLHQWHVH[SUHVLRQHV\GHVSXpVFRQODD\XGDGHXQGLDJUDPD H[SOLFDTXpUHSUHVHQWDWXUHVSXHVWD a. z(0.08) b. el rea entre z y z(0.02) c. z d. zz (QHOFDStWXORVHLQWURGXMRODdistribucin binomial5HFXHUGDTXHODGLVWULEXFLyQELQR- PLDOHVXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGGHODYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWDxHOQ~PHURGH xitos observados en nHQVD\RVLQGHSHQGLHQWHVUHSHWLGRV$KRUDYHUiVFyPRODVprobabi- lidades binomiales (esto es: las probabilidades asociadas con una distribucin binomial) pueden aproximarse razonablemente con el uso de la distribucin de probabilidad normal. 2EVHUYDSULPHURDOJXQDVGLVWULEXFLRQHVELQRPLDOHVHVSHFtFDV/DJXUDPXHVWUD las probabilidades de x para 0 a n en tres situaciones: n n \n 3DUDFDGDXQDGH GLFKDVGLVWULEXFLRQHVODSUREDELOLGDGGHp[LWRSDUDXQHQVD\RHV1RWDTXHFRQIRUPH nVHYXHOYHPiVJUDQGHODGLVWULEXFLyQSDUHFHFDGDYH]PiVFRPRODGLVWULEXFLyQQRUPDO 3DUDKDFHUODDSUR[LPDFLyQGHVHDGDHVQHFHVDULRWRPDUHQFXHQWDXQDJUDQGLIHUHQFLD entre la distribucin binomial y la de probabilidad normal. La variable aleatoria binomial es discretaPLHQWUDVTXHODYDULDEOHDOHDWRULDQRUPDOHVcontinua5HFXHUGDTXHHQHOFD- StWXORVHPRVWUyTXHODSUREDELOLGDGDVLJQDGDDXQYDORUSDUWLFXODUGHx debe presentarse HQXQGLDJUDPDPHGLDQWHXQVHJPHQWRGHOtQHDUHFWDFX\DORQJLWXGUHSUHVHQWDODSUREDEL- OLGDGFRPRHQODJXUD6LQHPEDUJRHQHOFDStWXORVHVXJLHUHTXHWDPELpQSXHGH XVDUVHXQKLVWRJUDPDGRQGHHOiUHDGHFDGDEDUUDHVLJXDODODSUREDELOLGDGGHx. a) Distribucin para n = 4, p = 0.5 b) Distribucin para n = 8, p = 0.5 c) Distribucin para n = 24, p = 0.5 Seccin 6.5 Aproximacin normal de la binomial 0.4 0.3 0.2 0.1 x 4 0 1 2 3 P(x) P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 x 8 0 2 4 6 7 1 3 5 0.4 0.3 0.2 0.1 x 24 0 4 12 20 P(x) 16 8 www.fullengineeringbook.net 300 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal Observa la distribucin de la variable binomial xFXDQGRn \p /DVSURED- bilidades para cada valor xSXHGHQREWHQHUVHDSDUWLUGHODWDEODHQHODSpQGLFH%(VWD distribucin de xVHPXHVWUDHQODJXUD6HYHODPLVPDGLVWULEXFLyQHQODJXUD HQIRUPDGHKLVWRJUDPD FIGURA 6.14 La distribucin de x cuando n = 14, p = 0.5 FIGURA 6.15 Histograma para la distribucin de x cuando n = 14, p = 0.5 FIGURA 6.16 El rea de la barra arriba de x = 4 es 0.061, para B(n = 14 p = 0.5) Examina P(x SDUDn \p SDUDHVWXGLDU OD WpFQLFDGHDSUR[LPDFLyQ P(x HVLJXDODFRQVXOWDODWDEODHQHODSpQGLFH%HOiUHDGHODEDUUDUHFWiQ- JXORDUULEDGHx HQODJXUD (OiUHDGHXQUHFWiQJXORHVHOSURGXFWRGHVXDQFKR\VXDOWXUD(QHVWHFDVRODDOWXUD HV\HODQFKRHVGHPRGRTXHHOiUHDHV(FKDXQYLVWD]RPiVFHUFDQRDO DQFKR3DUDx ODEDUUDFRPLHQ]DHQ\WHUPLQDHQGHPRGRTXHPLUDVXQiUHD acotada por x \x /DVXPD\UHVWDGHDOYDORUx comnmente se llama factor de correccin de continuidad. Es el mtodo para convertir una variable discreta en una variable continua. $KRUDREVHUYDODGLVWULEXFLyQQRUPDOUHODFLRQDGDFRQHVWDVLWXDFLyQ3ULPHURQHFHVL- WDUiVXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLD\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDULJXDODODVGHOD GLVWULEXFLyQELQRPLDOTXHVHHVWXGLD/DVIyUPXODV\SURGXFHQHVWRVYDORUHV np 7.0 npq 1.87 /DSUREDELOLGDGGHTXHx VHDSUR[LPHPHGLDQWHHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOHQWUH x \x VHPXHVWUDHQODJXUD/DJXUDPXHVWUDWRGDODGLVWULEXFLyQ de la variable binomial x con una distribucin normal de la misma media y desviacin es- WiQGDUVXSHUSXHVWDV2EVHUYDTXHODVEDUUDV\ORVLQWHUYDORVGHiUHDVEDMRODFXUYDFXEUHQ casi la misma rea. P (x) 0 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 14 x P(x) 0 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 14 x P(x) 0 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 14 x ( ) (x) ( ) www.fullengineeringbook.net 301 FIGURA 6.17 Probabilidad de que x = 4 se aproxi- me mediante el rea sombreada FIGURA 6.19 Distribuciones binomiales FIGURA 6.20 Distribuciones binomiales FIGURA 6.18 Distribucin normal superpuesta sobre la distribucin para la variable binomial x /DSUREDELOLGDGGHTXHxHVWpHQWUH\EDMRHVWDFXUYDQRUPDOVHHQFXHQWUDDOXVDU ODIyUPXODWDEOD\ORVPpWRGRVGHVWDFDGRVHQODVHFFLyQ z x : Px P < z < 1.87 1.87 P(1.87 < z 0.0594 'DGRTXHODSUREDELOLGDGELQRPLDOGH\ODSUREDELOLGDGQRUPDOGHHVWiQUD- ]RQDEOHPHQWHFHUFDODGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGQRUPDOSDUHFHVHUXQDDSUR[LPDFLyQ razonable de la distribucin binomial. La aproximacin normal de la distribucin binomial tambin es til para valores de pTXHQRHVWiQFHUFDGH/DVGLVWULEXFLRQHVGHSUREDELOLGDGELQRPLDOTXHVHPXHVWUDQ HQODVJXUDV\VXJLHUHQTXHODVSUREDELOLGDGHVELQRPLDOHVSXHGHQDSUR[LPDUVH FRQODGLVWULEXFLyQQRUPDO2EVHUYDTXHFRQIRUPHnDXPHQWD ODGLVWULEXFLyQELQRPLDO a) Distribucin para n = 4, p = 0.3 b) Distribucin para n = 8, p = 0.3 c) Distribucin para n = 24, p = 0.3 a) Distribucin para n = 4, p = 0.1 b) Distribucin para n = 8, p = 0.1 c) Distribucin para n = 50, p = 0.1 Seccin 6.5 Aproximacin normal de la binomial P(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 x 3.5 4.5 (x) P(x) 0 0.2 0.1 2 4 6 8 10 12 14 x (x) 0.4 0.3 0.2 0.1 x 4 0 1 2 3 P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 x 8 0 2 4 6 P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 x 24 0 4 12 20 P(x) 7 1 3 5 16 8 (x) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x 4 0 1 2 3 P(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 x 8 0 2 1 4 6 P(x) 0.20 0.10 0.00 x 14 0 2 8 12 P(x) 7 3 5 10 6 4 ( ) ( ) ( ) x www.fullengineeringbook.net 302 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal comienza a parecerse a la distribucin normal. Conforme el valor de pVHDOHMDGHVH necesita una nPiVJUDQGHFRQODQDOLGDGGHTXHODDSUR[LPDFLyQQRUPDOVHDUD]RQDEOH /DVLJXLHQWHregla emprica usualmente se usa como lineamiento: Regla La distribucin normal ofrece una aproximacin razonable a una dis- tribucin de probabilidad binomial siempre que los valores de np y n(1 p) son iguales o superan 5. 3RUDKRUDSXHGHVSHQVDU<HVRTXp"6yORXVDUpODWDEODELQRPLDO\HQFRQWUDUpODGLV- tribucin de probabilidad directamente y evitar todo el trabajo adicional." Pero considera SRUXQPRPHQWRODVLWXDFLyQTXHVHSUHVHQWyHQHOHMHPSOR E J E M P L O 6 . 2 1 CMO RESOLVER UN PROBLEMA DE PROBABILIDAD BINOMIAL CON LA DISTRIBUCIN NORMAL Una falla mecnica no apreciada caus que de la produccin de una tienda mecnica de 5 000 pistolas que disparan remaches sea defectuosa. Cul es la probabilidad de que un inspector descubra no ms de 3 remachadoras defectuosas en una muestra aleatoria de 25? Solucin En este ejemplo de un experimento binomial, x es el nmero de defectuosos que se ncontr en la muestra, n = 25 y p = P(defectuoso) = . Para responder la pregunta con la distribucin binomial, necesitars usar la funcin de proba- bilidad binomial, frmula (5.5): P(x) = 25 1 x 2 25 x para x = 0, 1, 2, ..., 25 x 3 3 Debes calcular los valores para P(0), P(1), P(2) y P(3), porque no aparecen en la tabla 2. sta es una labor bastante tediosa debido al tamao del exponen- te. En situaciones como sta, puedes usar el mtodo de aproximacin normal. Ahora encuentra P(x ) 3) usando el mtodo de aproximacin normal. Pri- mero necesitas encontrar la media y la desviacin estndar de x, frmulas (5.7) y (5.8): = np = (25) 1 = 8.333 = npq = (25)1 2 = 5.55556 = 2.357 3 3 Dichos valores se muestran en la figura. El rea de la regin sombreada (x < 3.5) representa la probabilidad de x = 0, 1, 2 o 3. Recuerda que x = 3, la variable binomial discreta, cubre el intervalo continuo desde 2.5 hasta 3.5. P(x no es ms que 3) = P(x ) 3) (para una variable discreta x) = P(x < 3.5) (para una variable continua x) 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP 3 1 3 1 3 www.fullengineeringbook.net 303 E J E R C I C I O S S E C C I N 6 . 5 6.91 Encuentra los valores np y nq (recuerda: q p) para un experimento binomial con n \p (VWDGLVWUL- EXFLyQELQRPLDOVDWLVIDFHODUHJODSDUDDSUR[LPDFLyQQRUPDO" Explica. 6.92(QFXiOGHODVVLJXLHQWHVGLVWULEXFLRQHVELQRPLDOHVOD GLVWULEXFLyQQRUPDOSURSRUFLRQDXQDDSUR[LPDFLyQUD]RQDEOH" 8VDFRPDQGRVGHFRPSXWDGRUDSDUDJHQHUDUXQDJUiFDGHOD GLVWULEXFLyQ\FRPSDUDORVUHVXOWDGRVFRQODUHJODHPStULFD Expresa tus conclusiones. a. n p E n p c. n p G n p MINITAB Inserta n y p especficos segn requieras en el procedimiento si- guiente. Usa los comandos Make Patterned Data del ejercicio 6.71 y sustituye el primer valor con 0, el ltimo valor con n y los pasos con 1. Usa los comandos de Binomial Probability Distribution de la pgi- na 251, usa C2 como almacenamiento opcional. Usa los comandos Scatterplot Simple para los datos en C1 y C2. Selecciona Data View, Data Display, Project Lines para completar la grfica Excel Inserta n y p especficos segn requieras en el procedimiento si- guiente. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION del ejercicio 6.71 y sustituye el primer valor con 0, el ltimo valor con n, los pasos con 1 y el rango de salida con A1. Activa la celda B1; luego usa los comandos de Binomial Probabili- ty Distribution de las pginas 251-252. Usa los comandos Insert > para los datos en las columnas A y B. Elegir el subcomando Select Data remueve la serie 1. 6.93&RQODQDOLGDGGHYHUTXpVXFHGHFXDQGRODDSUR[LPD- FLyQQRUPDOVHXVDGHPDQHUDLQDGHFXDGDFRQVLGHUDODGLVWUL- bucin binomial con n \p 'DGRTXHnp OD UHJODHPStULFDnp!\nq!QRVHVDWLVIDFH&RQODVWDEODV ELQRPLDOHVHQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHXQRRPHQRVp[LWRV\ compara esto con la aproximacin normal. 6.94 Encuentra la aproximacin normal para la probabilidad binomial P(x GRQGHn \p &RPSDUDHVWRFRQ el valor de P(x TXHREWXYLVWHGHODWDEOD 6.95 Encuentra la aproximacin normal para la probabilidad binomial P(x GRQGHn \p &RPSDUDHVWRFRQ el valor de P(x TXHREWXYLVWHGHODWDEOD 6.96 Encuentra la aproximacin normal para la probabilidad binomial P(xGRQGHn \p &RPSDUDHVWRFRQ el valor de P(xTXHREWXYLVWHGHODWDEOD 6.97 Encuentra la aproximacin normal para la probabilidad binomial P(xGRQGHn \p &RPSDUDHVWRFRQ el valor de P(xTXHREWXYLVWHGHODWDEOD 6.98 Consulta al ejemplo 6.21 (p. 302): a. Calcula P(x|B E &XiQEXHQDIXHODDSUR[LPDFLyQQRUPDO"([SOLFDSu- gerenciaVLXVDVXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDXWLOL]D ORVFRPDQGRVGHODVSS 6.99 El melanoma es la forma ms seria de cncer de piel y DXPHQWDDXQDWDVDPD\RUTXHODGHFXDOTXLHURWURFiQFHUHQ (VWDGRV8QLGRV6L VHGHWHFWDHQVXHWDSD WHPSUDQD OD WDVD z = x : P(x < 3.5) = P z < 3.5 8.333 = P (z < 2.05) 2.357 = 0.0202 Por tanto, P(no ms que tres defectuosas) es aproximadamente 0.02. 1 3 FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 6.5 Aproximacin normal de la binomial 0 x 2.357 2 3.5 8.333 1 3 www.fullengineeringbook.net 304 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal GHVXSHUYLYHQFLDGHDxRVSDUDORVSDFLHQWHVHVHQSURPHGLR HQ(VWDGRV8QLGRV&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXH RPiV GH FLHUWR JUXSR GH SDFLHQWHV GH HWDSD WHPSUDQD VREUHYLYDQDxRVRPiVGHVSXpVGHVXGLDJQyVWLFRGHPHOD- QRPD" Fuente: http://www.health.com/ 6.100'HDFXHUGRFRQXQDHQFXHVWDGHVHSWLHPEUHGH \HO UHSRUWH UHDOL]DGRSRU3HZ,QWHUQHWGH ORVDGXOWRV XVDQLQWHUQHWRFRUUHRHOHFWUyQLFRHQVXVWUDEDMRV&XiOHVOD SUREDELOLGDGGHTXHPiVGHGHDGXOWRVXVHQLQWHUQHW RFRUUHRHOHFWUyQLFRHQVXVODERUHV" Fuente: http://www.pewinternet.org 6.101 'H DFXHUGR FRQ ODV HVWDGtVWLFDV GH OD )HGHUDO +LJKZD\$GPLQLVWUDWLRQHOSRUFHQWDMHGHFRQGXFWRUHVPXMH- res con licencia apenas sobrepas el porcentaje de conductores YDURQHVFRQOLFHQFLD'HORVFRQGXFWRUHVHQ(VWDGRV8QLGRV VRQPXMHUHV6LXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHFRQGXFWR- UHVVHVHOHFFLRQDSDUDXQDHQFXHVWD D FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHQRPiVGHODPLWDGGH ORVFRQGXFWRUHVVHDQPXMHUHV" E FXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHDOPHQRVWUHVFXDUWRV GHORVFRQGXFWRUHVVHDQPXMHUHV" 6.102'HDFXHUGRFRQXQDHQFXHVWDGHQRYLHPEUHGH FRPSOHWDGD SRU OD 3HZ ,QWHUQHW $PHULFDQ /LIH 3URMHFW >KWWSZZZSHZLQWHUQHWRUJ@ DSUR[LPDGDPHQWH GH WRGRV ORV XVXDULRV GH LQWHUQHW GLFHQ TXH HVWXYLHURQ HQ Ot- nea por noticias e informacin acerca de la eleccin 2008 o para comunicarse con otros acerca de la carrera electoral. Si VXSRQHVTXHHOSRUFHQWDMHHVFRUUHFWRXVDODDSUR[LPDFLyQ QRUPDODODELQRPLDOSDUDHQFRQWUDUODSUREDELOLGDGGHTXH en una encuesta de 2000 adultos estadounidenses usuarios de internet a. al menos 1 400 usaron internet por informacin acerca de la eleccin 2008. E DOPHQRVXVDURQLQWHUQHWSRULQIRUPDFLyQDFHUFDGH la eleccin 2008. F DOPHQRVXVDURQLQWHUQHWSRULQIRUPDFLyQDFHUFDGH la eleccin 2008. G DOPHQRVXVDURQLQWHUQHWSRULQIRUPDFLyQDFHUFDGH la eleccin 2008. 6.103 1R WRGRV ORV HQWUHQDGRUHV GH OD 1%$ TXH JR]DQ GH FDUUHUDVSURORQJDGDVUH~QHQFRQVLVWHQWHPHQWHWHPSRUDGDVJD- QDGRUDVFRQORVHTXLSRVTXHGLULJHQ3RUHMHPSOR%LOO)LWFK TXLHQ HQWUHQy WHPSRUDGDV GH EiVTXHWERO SURIHVLRQDO GHV- pus de iniciar su carrera de entrenador en la Universidad de 0LQQHVRWDJDQyMXHJRVSHURSHUGLyPLHQWUDVWUDED- MyFRQORV&DYDOLHUV&HOWLFV5RFNHWV1HWV\&OLSSHUV6LVHOHF- FLRQDUDVDOHDWRULDPHQWHWDUMHWDVGHORVUHJLVWURVKLVWyULFRVGH MXHJRVHQORVTXH%LOO)LWFKHQWUHQyXQRGHORVHTXLSRVFXiOHV ODSUREDELOLGDGGHTXHPHQRVGHODPLWDGGHHOODVPRVWUHQTXH VXHTXLSRJDQy"3DUDREWHQHUWXUHVSXHVWDXVDODDSUR[LPDFLyQ normal a la distribucin binomial. Fuente: basketball-reference.com 6.1048QDHQFXHVWDGHVFXEULyTXHGHORVHOHFWRUHVYR- WDUtDQ SRU XQD FDQGLGDWD SUHVLGHQFLDO VL HVWXYLHUD FDOLFDGD La encuesta fue realizada en febrero de 2007 por Gallup y re- SRUWDGDSRUHO3HZ5HVHDUFK&HQWHU>KWWSSHZUHVHDUFKRUJ@ 6yORGHORVYRWDQWHVVHVHQWtDQGHHVWDPDQHUDHQ6L VXSRQHVTXHHVODSURSRUFLyQDFWXDOYHUGDGHUDFXiOHV ODSUREDELOLGDGGHTXHRWUDHQFXHVWDUHDOL]DGDDOD]DUGH YRWDQWHVUHJLVWUDGRVUHVXOWHHQ D PiVGHTXHGLJDQTXHYRWDUtDQSRUXQDFDQGLGDWDSUH- VLGHQFLDOVLHVWXYLHUDFDOLFDGD" E PHQRVGHGLJDQTXHYRWDUtDQSRUXQDFDQGLGDWDSUH- VLGHQFLDOVLHVWXYLHUDFDOLFDGD" 6.105'HDFXHUGRFRQXQUHSRUWHGHGLFLHPEUHGHGHO VLWLR ZHE -RLQ 7RJHWKHU GH OD %RVWRQ 8QLYHUVLW\ 6FKRRO RI 3XEOLF+HDOWKDSUR[LPDGDPHQWHODPLWDGGHORVQLxRV HVWDGRXQLGHQVHV HVWiQ H[SXHVWRV D KXPR GH VHJXQGD PDQR VHPDQDOPHQWHFRQPiVGHGHSDGUHVTXHUHSRUWDQTXH VX KLMR IXH H[SXHVWR D KXPR HQ VXV KRJDUHV(VWH HVWDGtVWL- FRIXHXQRGHPXFKRVUHVXOWDGRVGHODSocial Climate Survey of Tobacco Control >KWWSZZZVRFLDOFOLPDWHRUJ@ 8VD OD aproximacin normal a la distribucin binomial para encon- WUDUODSUREDELOLGDGGHTXHHQXQDHQFXHVWDGHSDGUHV VHOHFFLRQDGRVDOD]DUHQWUH\LQFOXVLYHUHSRUWDUiQTXH VXVKLMRVHVWXYLHURQH[SXHVWRVDKXPRVHPDQDOPHQWH Fuente: http://www.jointogether.org a. Resuelve usando aproximacin normal y la tabla 3 del DSpQGLFH% b. Resuelve usando una computadora o calculadora y el mtodo de aproximacin normal. c. Resuelve usando una computadora o calculadora y la funcin de probabilidad binomial. 6.1067~QRHVWiVVRORVLWXJDUDMHHVWiWDQDWLERUUDGRTXHQR SXHGHVPHWHUWXDXWRPyYLOHQpO'HDFXHUGRFRQHODUWtFXORGHO Democrat & ChronicleWLWXODGR/LPSLH]DJHQHUDOGHHQH- URGHHO'HSDUWDPHQWRGH(QHUJtDGH(VWDGRV8QLGRV UHSRUWDTXHGHODVSHUVRQDVFRQJDUDMHSDUDGRVDXWRPy- YLOHVQRWLHQHQHVSDFLRSDUDHVWDFLRQDUQLQJ~QDXWRPyYLOHQVX interior. Usa la aproximacin normal a la distribucin bino- PLDOSDUDHQFRQWUDUODSUREDELOLGDGGHTXHHQXQDHQFXHVWDGH SURSLHWDULRVFRQJDUDMHSDUDGRVDXWRPyYLOHVHQWUH y 340 inclusive no pueden estacionar sus automviles dentro GHVXJDUDMH a. Resuelve usando la aproximacin normal y la tabla 3. b. Resuelve usando una computadora o calculadora y el mtodo de aproximacin normal. www.fullengineeringbook.net 305 6.107/DWHFQRORJtDHVODFODYHSDUDHOIXWXUR$SDUHQWHPHQ- WH ORV HVWXGLDQWHV FUHHQ HVWR WDPELpQ 'H DFXHUGR FRQ XQD HQFXHVWD GH HVWXGLDQWHV XQLYHUVLWDULRV UHDOL]DGD SRU 5LGJLG HQDEULOGHODRSFLyQSURIHVLRQDOPiVVHOHFFLRQDGDSRU HVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWRIXH WHFQRORJtDGH OD LQIRUPDFLyQ HOHJLGDSRUGHORVHVWXGLDQWHVHQWUHYLVWDGRV6XSyQTXH VHOHFFLRQDV DO D]DU HVWXGLDQWHV GH WX EDFKLOOHUDWR ORFDO Usa la aproximacin normal a la distribucin binomial para HQFRQWUDUODSUREDELOLGDGGHTXHGHQWURGHWXPXHVWUD D PiVGHGHORVHVWXGLDQWHVHOLJLHURQWHFQRORJtDGHOD informacin como su opcin de carrera. E PHQRVGHGHORVHVWXGLDQWHVHOLJLHURQWHFQRORJtDGH la informacin como su opcin de carrera. F HQWUH\GHORVHVWXGLDQWHVHOLJLHURQWHFQRORJtDGHOD informacin como su opcin de carrera. Repaso del captulo En retrospectiva Aprendiste acerca de la distribucin de probabilidad normal HVWiQGDU OD IDPLOLD PiV LPSRUWDQWH GH YDULDEOHV DOHDWRULDV continuas. Aprendiste a aplicarla a todas las dems distribu- ciones de probabilidad normal y cmo usarla para estimar pro- EDELOLGDGHVGHGLVWULEXFLRQHVELQRPLDOHV9LVWHXQDJUDQYD- ULHGDGGHYDULDEOHVTXHWLHQHQHVWDGLVWULEXFLyQQRUPDORTXH se aproximan razonablemente bien por ella. (Q HO VLJXLHQWH FDStWXOR H[DPLQDUiV GLVWULEXFLRQHV GH muestreo y aprenders a usar la probabilidad normal estndar para resolver aplicaciones adicionales. El sitio Statistics CourseMate SDUDHVWHOLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQKH- UUDPLHQWDVLQWHUDFWLYDVGHDSUHQGL]DMHHVWXGLR\SUHSDUDFLyQ GHH[iPHQHVLQFOXLGDVSUHJXQWDVUiSLGDV\WDUMHWDVGHHVWXGLR SDUDHOYRFDEXODULR\ORVFRQFHSWRVFODYHTXHDSDUHFHQDFRQ- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBookGHOWH[WR FRQFDSDFLGDGHVGHVXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGH ORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORVFRQFHSWRV \HMHPSORVTXHWLHQHQVXVFRUUHVSRQGLHQWHVUHFXUVRVLQWHUDFWL- vos como video y tutoriales animadosTXHGHPXHVWUDQSDVR D SDVR FyPR UHVROYHU SUREOHPDV FRQMXQWRV GH GDWRV SDUD HMHUFLFLRV\ HMHPSORVApplets Skillbuilder para ayudarte a FRPSUHQGHUPHMRUORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa y VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\HData Analysis Plus (una VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave aproximacin normal de la binomial (p. 301) rea acumulada (p. 271) curva normal (p. 271) GLVWULEXFLyQELQRPLDOS distribucin con forma de campana (p. 268) GLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGYDULDEOH FRQWLQXDS distribucin normal (p. 268) distribucin normal estndar (p. 271) factor de correccin de continuidad (p. 300) notacin zS porcentaje (p. 270) probabilidad (p. 270) SUREDELOLGDGELQRPLDOS proporcin (p. 270) representacin de rea para probabilidad (p. 270) valor estndar (p. 271) valor z (p. 271) YDULDEOHDOHDWRULDS YDULDEOHDOHDWRULDFRQWLQXDS YDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWDS Repaso del captulo 2010/Jupiterimages Corporation www.fullengineeringbook.net 306 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUODGLIHUHQFLDHQWUHXQDYDULDEOHDOHDWRULDGLVFUHWD S y una continua. &RPSUHQGHUODUHODFLyQHQWUHODUHJODHPStULFD\ODFXUYDQRUPDO SS(M &RPSUHQGHUTXHXQDFXUYDQRUPDOHVXQDFXUYDFRQIRUPDGHFDPSDQD SS FRQiUHDWRWDOEDMRODFXUYDLJXDOD (M &RPSUHQGHUTXHODFXUYDQRUPDOHVVLPpWULFDHQWRUQRDODPHGLD SS(M FRQXQiUHDGHDFDGDODGRGHODPHGLD 3RGHUGLEXMDUXQDFXUYDQRUPDO\PDUFDUODPHGLD\YDULRVYDORUHVz. p. 268 &RPSUHQGHU\SRGHUXVDUODWDEODUHDVGHODGLVWULEXFLyQ (- QRUPDOHVWiQGDUGHODSpQGLFH% &DOFXODUSUREDELOLGDGHVSDUDLQWHUYDORVGHQLGRVHQODGLVWULEXFLyQ (M normal estndar. 'HWHUPLQDUYDORUHVzSDUDLQWHUYDORVFRUUHVSRQGLHQWHVHQODGLVWULEXFLyQ (- QRUPDOHVWiQGDU (M &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQYDORUzSDUDXQYDORUGHGDWRVGHXQD (-(M distribucin normal. &DOFXODUYDORUHVz\SUREDELOLGDGHVSDUDDSOLFDFLRQHVGHODGLVWULEXFLyQQRUPDO (M 'LEXMDUFDOFXODUHLQWHUSUHWDUzGHQRWDFLyQDOIDz() (- (M &RPSUHQGHUORVHOHPHQWRVFODYHGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDOx, n, p, q SS Conocer las frmulas de su media y desviacin estndar. &RPSUHQGHUTXHODGLVWULEXFLyQQRUPDOSXHGHXVDUVHSDUDFDOFXODU SS(M SUREDELOLGDGHVELQRPLDOHVVLHPSUHTXHVHVDWLVIDJDQFLHUWDVFRQGLFLRQHV &RPSUHQGHU\SRGHUXVDUHOIDFWRUGHFRUUHFFLyQGHFRQWLQXLGDGFXDQGR S(M se calculan valores z. &DOFXODUYDORUHVz\SUREDELOLGDGHVSDUDDSUR[LPDFLRQHVQRUPDOHV (-(M a la binomial. Ejercicios del captulo 6.108'HDFXHUGRFRQHOWHRUHPDGH&KHE\VKHYDOPHQRV FXiQWD iUHD KD\ EDMR OD GLVWULEXFLyQ QRUPDO HVWiQGDU HQWUH z \z "&XiOHVHOiUHDUHDOEDMRODGLVWULEXFLyQQRU- mal estndar entre z \z " 6.109 El 60% medio de una poblacin con distribucin nor- PDOVHHQFXHQWUDHQWUHFXiOHVGRVYDORUHVHVWiQGDU" 6.110 Encuentra el valor estndar zWDOTXHHOiUHDDUULEDGHOD media y abajo de z bajo la curva normal sea D E F 6.111 Encuentra el valor estndar zWDOTXHHOiUHDDEDMRGHOD media y arriba de z bajo la curva normal sea a. 0.3212. b. 0.4788. c. 0.2700. 6.112'DGRTXHzHVODYDULDEOHQRUPDOHVWiQGDUHQFXHQWUDHO valor kWDOTXH a. P(|z|! k. b. P(|z| k. 6.113'DGRTXHzHVODYDULDEOHQRUPDOHVWiQGDUHQFXHQWUDHO valor cWDOTXH a. P(|z| > c E P(|z| < c 6.114(QFXHQWUDORVVLJXLHQWHVYDORUHVGHz: a. z(0.12). b. z(0.28). c. z. d. z. 6.115(QFXHQWUDHOiUHDEDMRODFXUYDQRUPDOTXHVHHQFXHQWUD HQWUHORVVLJXLHQWHVSDUHVGHYDORUHVz: a. z \z www.fullengineeringbook.net 307 b. z y z c. z(0.10) y z(0.01) 6.116&RQEDVHHQGDWRVGH$&7HQODFDOLFDFLyQSUR- PHGLR GHO H[DPHQ GH UD]RQDPLHQWR FLHQWtFR IXH FRQ XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH6LVXSRQHVTXHODVFDOLFDFLR- QHVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO D HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLR- QDGRDOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHUD]RQDPLHQWR FLHQWtFRGHDOPHQRV E HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLR- QDGRDOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHUD]RQDPLHQWR FLHQWtFRHQWUH\ F HQFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHXQHVWXGLDQWHVHOHFFLR- QDGRDOD]DUWHQJDXQDFDOLFDFLyQ$&7GHUD]RQDPLHQWR FLHQWtFRPHQRUTXH 6.117(OUHJLVWURGHDxRVGHGXUDFLyQSDUDHOFOLPDPXHVWUD TXHSDUDHOHVWDGRGH1XHYD<RUNODSUHFLSLWDFLyQDQXDOWLHQH XQDPHGLDGHSXOJDGDV\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH SXOJDGDV >'HSDUWDPHQWR GH&RPHUFLR5HSRUWH GH3UHFLSLWD- FLyQ0HQVXDO(VWDWDO5HJLRQDO\1DFLRQDO@6LODFDQWLGDGGH SUHFLSLWDFLyQDQXDO WLHQHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFXiOHV OD SUREDELOLGDGGHTXHHOSUy[LPRDxRODSUHFLSLWDFLyQWRWDOVHD D PiVGHSXOJDGDV" E HQWUH\SXOJDGDV" F HQWUH\SXOJDGDV" G PiVGHSXOJDGDV" H PHQRUTXHSXOJDGDV" I PHQRUTXHSXOJDGDV" 6.1188QDFRPSDxtDTXH IDEULFD UHPDFKHVXWLOL]DGRVSRU ORV IDEULFDQWHV GH DYLRQHV FRPHUFLDOHV VDEH TXH OD UHVLVWHQFLD DO FRUWHIXHU]DUHTXHULGDSDUDURPSHUGHVXVUHPDFKHVHVGHJUDQ SUHRFXSDFLyQ&RQVLGHUDQTXHODUHVLVWHQFLDDOFRUWHGHVXVUHPD- FKHVWLHQHGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLDGHOLEUDV\XQD desviacin estndar de 18 libras. D 6LHVWiQHQORFRUUHFWRTXpSRUFHQWDMHGHVXVUHPDFKHV WLHQHXQDUHVLVWHQFLDDOFRUWHPD\RUTXHOLEUDV" E &XiOHVODFRWDVXSHULRUSDUDODUHVLVWHQFLDDOFRUWHGHO PiVGpELOGHORVUHPDFKHV" F 6LXQUHPDFKHVHVHOHFFLRQDDOD]DUGHHQWUHWRGRVORV UHPDFKHVFXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHUHTXLHUDXQD IXHU]DGHDOPHQRVOLEUDVSDUDURPSHUVH" G &RQODSUREDELOLGDGTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRFFXiO HVODSUREDELOLGDGUHGRQGHDGDDODGHFHQDPiVFHUFDQD GHTXHUHPDFKHVHQXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHVH URPSHUiFRQXQDIXHU]DPHQRUTXHOLEUDV" 6.119(QXQHVWXGLRGHODGXUDFLyQGHWLHPSRTXHWDUGyHQMX- JDUVHXQMXHJRGHEpLVEROGHJUDQGHVOLJDVGXUDQWHHOLQLFLRGH ODWHPSRUDGDODYDULDEOHWLHPSRGHMXHJRDSDUHFLyFRQ XQDGLVWULEXFLyQQRUPDOFRQXQDPHGLDGHKRUDVPLQXWRV y una desviacin estndar de 21 minutos. Fuente: http://mlb.com/ D $OJXQRVIDQiWLFRVGHVFULEHQXQMXHJRFRPRLQFRQWUR- ODEOHPHQWHODUJRVLWDUGDPiVGHKRUDV&XiOHVOD SUREDELOLGDGGHTXHXQMXHJRLGHQWLFDGRDOD]DUVHDLQ- FRQWURODEOHPHQWHODUJR" E 0XFKRVIDQiWLFRVGHVFULEHQXQMXHJRTXHGXUDPHQRVGH KRUDVPLQXWRVFRPRUiSLGR&XiOHVODSUREDELOL- GDGGHTXHXQMXHJRVHOHFFLRQDGRDOD]DUVHDUiSLGR" F &XiOHVVRQODVFRWDVGHOUDQJRLQWHUFXDUWtOLFRSDUDOD YDULDEOHWLHPSRGHMXHJR" G &XiOHVVRQODVFRWDVSDUDHOPHGLRGHODYDULDEOH WLHPSRGHMXHJR" 6.120/DGXUDFLyQGHODYLGDGHFLHUWRWLSRGHUHIULJHUDGRUWLH- QHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDOFRQXQDPHGLD GHDxRV\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHDxRV D 6LHVWDPiTXLQDHVWiJDUDQWL]DGDSDUDDxRVFXiOHVOD SUREDELOLGDGGHTXHODPiTXLQDTXHFRPSUHVUHTXHULUi VXVWLWXFLyQEDMRODJDUDQWtD" E 4XpSHULRGRGHEHRIUHFHUHOIDEULFDQWHFRPRJDUDQWtDVL TXLHUHVXVWLWXLUVyORHOGHODVPiTXLQDV" 6.1218QDPiTXLQDVHSURJUDPDSDUDOOHQDUFRQWHQHGRUHVGH R]FRQXQOLPSLDGRU6LQHPEDUJRODYDULDELOLGDGLQKHUHQWH HQFXDOTXLHUPiTXLQDKDFHTXHODVFDQWLGDGHVUHDOHVGHOOHQDGR YDUtHQ/DGLVWULEXFLyQHVQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDU GHR]&XiOGHEHVHUODPHGLDSDUDTXHVyORGHORV FRQWHQHGRUHVUHFLEDQPHQRVGHR]" 6.122(QXQJUDQFRPSOHMRLQGXVWULDODOGHSDUWDPHQWRGHPDQ- WHQLPLHQWRVHOHLQVWUX\yVXVWLWXLUODVERPELOODVDQWHVGHTXHVH TXHPHQ6HVDEHTXHODYLGDGHODVERPELOODVWLHQHGLVWULEXFLyQ QRUPDOFRQXQDYLGDPHGLDGHKRUDVGHXVR\XQDGHVYLD- FLyQHVWiQGDUGHKRUDV&XiQGRGHEHQVXVWLWXLUVHODVERPEL- OODVGHPRGRTXHQRPiVGHGHHOODVVHTXHPHQPLHQWUDV HVWiQHQXVR" Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 308 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal 6.123/DVFDOLFDFLRQHVHQXQH[DPHQFX\DPHGLDHV \FX\DGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO D $OJXLHQTXHFDOLFDSRUDEDMRGHYROYHUiDH[DPLQDU- VH4XpSRUFHQWDMHUHSUHVHQWDHVWR" E (OVXSHULRUUHFLELUiXQHORJLRHVSHFLDO4XpFDOL- FDFLyQGHEHVREUHSDVDUSDUDUHFLELUHVWHHORJLRHVSH- FLDO" F (OUDQJRLQWHUFXDUWtOLFRGHXQDGLVWULEXFLyQHVODGLIHUHQ- cia entre Q 1 y Q 3 Q 3 Q 1 (QFXHQWUDHOUDQJRLQWHUFXDUWt- OLFRSDUDODVFDOLFDFLRQHVHQHVWHH[DPHQ G (QFXHQWUDODFDOLFDFLyQWDOTXHVyORGHFDGDFDOL- car por arriba de ella. 6.1248QDPiTXLQDH[SHQGHGRUDGHJDVHRVDVSXHGHUHJXODUVH GHPRGRTXHHQWUHJXHXQSURPHGLRGHR]GHJDVHRVDSRU recipiente. D 6LODVRQ]DVHQWUHJDGDVSRUUHFLSLHQWHWLHQHQXQDGLVWULEX- FLyQQRUPDOFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHR]HQ- FXHQWUDODFRQJXUDFLyQGHTXHSHUPLWLUiTXHXQYDVR GHR]VLQGHUUDPDUVHFRQWHQJDODFDQWLGDGHQWUHJDGD GHODVYHFHV b. Usa una computadora o calculadora para simular la ex- WUDFFLyQGHXQDPXHVWUDGHUHFLSLHQWHVGHJDVHRVDGHOD PiTXLQDFRQJXUDFRQWXUHVSXHVWDDOLQFLVRD MINITAB Usa los comandos Calculate RANDOM DATA de la pgina 283 y sustituye n con 40, almacenar con C1, media con el valor calcu- lado en el inciso a y la desviacin estndar con 0.2. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los datos en C1. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con cutpoint y cutpoint positions 5:6.2/0.05. Excel Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 283 y sustituye n con 40, la media con el valor calcu- lado en el inciso a, la desviacin estndar con 0.2 y el rango de salida con A1. Usa la distribucin con patrn RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 291 y sustituye el primer valor con 5, el ltimo valor con 6.2, los pasos con 0.05 y el rango de salida con B1. Usa los comandos de histograma de las pginas 53-54, con co- lumna A como el rango de entrada y la columna B como el rango de caja. TI-83/84 Plus Usa los comandos 6:randNorm de la pgina 283 y sustituye la media con el valor calculado en el inciso a, la desviacin estndar con 0.2 y el nmero de ensayos con 40. Almacenar con L1. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 54 para los datos en L1 y escribe WINDOW VALUES: 5, 6.2, 0.05, 1, 10, 1, 1. F 4XpSRUFHQWDMHGHWXPXHVWUDGHVERUGDUtDHOUHFLSLHQWH" G 7XPXHVWUDSDUHFHLQGLFDUTXHODFRQJXUDFLyQSDUD IXQFLRQDUi"([SOLFD PTI Repite el inciso b algunas veces. Intenta un valor diferente para el inciso a y repite el inciso b. Observa cuntos recipien- tes se desbordaran en cada conjunto de 40. 6.125 6XSyQ TXH x WLHQH XQD GLVWULEXFLyQ ELQRPLDO FRQ n \p D ([SOLFDSRUTXpODDSUR[LPDFLyQQRUPDOHVUD]RQDEOH b. Encuentra la media y la desviacin estndar de la distri- EXFLyQQRUPDOTXHVHXVDHQODDSUR[LPDFLyQ 6.126 Sea x una variable aleatoria binomial para n \ p D([SOLFDSRUTXpODDSUR[LPDFLyQQRUPDOQRHVUD]RQD- ble. b. Encuentra la funcin usada para calcular la probabili- GDGGHFXDOTXLHUxGHVGHx KDVWDx c. Usa una computadora o calculadora para mencionar la distribucin de probabilidad. 6.127 a. Usa una computadora o calculadora para mencio- nar las probabilidades binomiales para la distribu- FLyQGRQGH n \p b. Usa los resultados del inciso a para encontrar P(x c. Encuentra la aproximacin normal para P(x\ compara los resultados con los del inciso b. 6.128 a. Usa una computadora o calculadora para mencio- nar tanto la distribucin de probabilidad como la distribucin de probabilidad acumulada para el H[SHULPHQWRGHSUREDELOLGDGELQRPLDOFRQn y p E ([SOLFDODUHODFLyQHQWUHODVGRVGLVWULEXFLRQHVTXH encontraste en el inciso a. F 6LSXGLHUDVXVDUVyORXQDGHGLFKDVOLVWDVFXDQGR UHVXHOYHVSUREOHPDVFXiOXVDUtDV\SRUTXp" www.fullengineeringbook.net 309 6.129 Considera el experimento binomial con n \p D (VWDEOHFHSHURQRHYDO~HVODH[SUHVLyQGHSUREDELOLGDG SDUDRPHQRVp[LWRVHQORVHQVD\RV b. Usa una computadora o calculadora para encontrar P(xXWLOL]DQGRODIXQFLyQGHSUREDELOLGDGELQRPLDO c. Usa una computadora o calculadora para encontrar P(xXWLOL]DQGRODDSUR[LPDFLyQQRUPDO d. Compara las respuestas de los incisos b y c. PTI Usa los comandos de probabilidad acumulada. 6.130 6H VDEH TXH XQDPiTXLQD TXH FDOLFD H[iPHQHV UH- JLVWUDXQDFDOLFDFLyQLQFRUUHFWDHQGHORVH[iPHQHVTXH HYDO~D(QFXHQWUDSRUHOPpWRGRDGHFXDGRODSUREDELOLGDGGH TXHODPiTXLQDUHJLVWUH D H[DFWDPHQWHFDOLFDFLRQHVHTXLYRFDGDVHQXQFRQMXQWR GHH[iPHQHV E QRPiVGHFDOLFDFLRQHVHTXLYRFDGDVHQXQFRQMXQWRGH H[iPHQHV F QRPiVGHFDOLFDFLRQHVHTXLYRFDGDVHQXQFRQMXQWRGH H[iPHQHV G QRPiVGHFDOLFDFLRQHVHTXLYRFDGDVHQXQFRQMXQWRGH H[iPHQHV 6.1318QDFRPSDxtDDUPDTXHGHORVFOLHQWHVTXHFRP- pran su podadora especial no tendrn reparaciones durante los SULPHURVGRVDxRVGHSURSLHGDG7XHVWXGLRSHUVRQDOGHPXHV- WUDTXHVyORGHODVSRGDGRUDVHQWXPXHVWUDGXUDUiQORV GRV DxRV VLQ JDVWRV GH UHSDUDFLyQ &XiO HV OD SUREDELOLGDG GHTXHWXPXHVWUDVXEDREDMHVLHOSRUFHQWDMHUHDOGHJDVWRV JUDWXLWRVHV" 6.1326HFUHHTXHGHODVSDUHMDVFDVDGDVFRQKLMRVHVWiQ GHDFXHUGRDFHUFDGHORVPpWRGRVSDUDGLVFLSOLQDUDVXVKLMRV 6LVXSRQHVTXHpVWHHVHOFDVRFXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXH HQXQDHQFXHVWDDOHDWRULDGHSDUHMDVFDVDGDVHQFXHQWUHV D H[DFWDPHQWHSDUHMDVTXHHVWiQGHDFXHUGR" E PHQRVGHSDUHMDVTXHHVWiQGHDFXHUGR" F PiVGHSDUHMDVTXHHVWiQGHDFXHUGR" 6.133(VHYLGHQWHTXHWHQHUPXFKRGLQHURQRQHFHVDULDPHQWH WH KDFH VH[\(QXQD HQFXHVWD UHDOL]DGDSRU VDODU\FRP ORV ERPEHURVDUUDVDURQODFRPSHWHQFLD\JDQDURQHOWtWXORGHHP- pleo ms sexy" con 16% de los votos. Fuente: http://salary.com/ 6XSyQTXHVHOHFFLRQDVDOD]DUDGXOWRV8VDODDSUR[LPDFLyQ normal a la distribucin binomial para encontrar la probabili- GDGGHTXHGHQWURGHWXVHOHFFLyQ a. ms de 12 de los adultos escojan bombero como el em- pleo ms sexy. b. menos de 8 de los adultos escoja bombero como el em- pleo ms sexy. c. de 7 a 14 de los adultos escojan bombero como el empleo ms sexy. 6.134 National Coffee Drinking Trends es "la publicacin" HQODLQGXVWULDGHOFDIp&DGDDxRUDVWUHDORVSDWURQHVGHFRQ- VXPRHQXQDJUDQYDULHGDGGHVLWXDFLRQHV\FDWHJRUtDV\ORKD KHFKRDVtGXUDQWHPiVGHFLQFRGpFDGDV8QDHGLFLyQUHFLHQWH GLFHTXHGHO WRWDOGHEHEHGRUHVGHFDIpFRQHGDGHVGH DxRV\PiVFRPSUDURQFDIpFXOWLYDGRDODVRPEUDHODxR pasado. Si este porcentaje es verdadero para los bebedores de caf HQ OD FDIHWHUtD&ULPVRQ/LJKWV FXiO HV OD SUREDELOLGDGGH TXHGHORVVLJXLHQWHVFOLHQWHVTXHFRPSUHQFDIpHQ&ULP- VRQ/LJKWV D PiVGHSLGDQXQDYDULHGDGFXOWLYDGDDODVRPEUD" E PHQRVGHSLGDQXQDYDULHGDGFXOWLYDGDDODVRPEUD" 6.135 $SDUHQWHPHQWHMXJDUYLGHRMXHJRVPLUDU79\ODPHQ- VDMHUtDLQVWDQWiQHDFRQDPLJRVQRHVVXFLHQWHPHQWHUHODMDQWH (QXQDHQFXHVWDGH<HVDZLFK3HSSHUGLQH%URZQ\5XVVHOO VHGHVFXEULyTXHODJUDQPD\RUtDGHORVQLxRVGLFHQTXHQHFH- VLWDQYDFDFLRQHV8QWHUFLRGHORVQLxRVHQFXHVWDGRVGLMRTXH D\XGDEDQDLQYHVWLJDUDOJ~QDVSHFWRGHODVYDFDFLRQHVGHVXV IDPLOLDVHQLQWHUQHW6LVHWRPDXQDHQFXHVWDGHVHJXLPLHQWR GHGHGLFKRVQLxRVFXiOHVODSUREDELOLGDGGHTXH D PHQRVGHGHODQXHYDPXHVWUDGLJDQTXHD\XGDQD LQYHVWLJDUODVYDFDFLRQHVGHODIDPLOLDHQLQWHUQHW" E PiVGHGHODQXHYDPXHVWUDGLJDQTXHD\XGDQDLQ- YHVWLJDUODVYDFDFLRQHVGHODIDPLOLDHQLQWHUQHW" 6.136 [EX06-136] Las tasas de mortalidad infantil se usan frecuentemente para valorar la calidad de vida y lo adecua- do de la atencin a la salud. La tasa se basa en el nmero de PXHUWHVGHLQIDQWHVPHQRUHVDDxRGHHGDGHQXQDxRGDGR SRUQDFLPLHQWRVYLYRVHQHOPLVPRDxR$FRQWLQXDFLyQ VHSUHVHQWDQODVWDVDVGHPRUWDOLGDGLQIDQWLODOHQWHURPiVFHU- FDQRHQRFKRQDFLRQHVGHOPXQGRFRPRVHHQFRQWUyHQThe World Factbook. FRQWLQ~DHQODSiJLQD [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPEjercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 310 Captulo 6 Distribuciones de probabilidad normal 6XSyQTXH ORV VLJXLHQWHV QDFLPLHQWRV GHQWUR GH FDGD nacin se rastrean para la ocurrencia de muertes infantiles. D &RQVWUX\HXQDWDEODTXHPXHVWUHODPHGLD\ODGHVYLDFLyQ estndar de las distribuciones binomiales asociadas. E (QODFROXPQDQDOGHODWDEODHQFXHQWUDODSUREDELOLGDG GHTXHDOPHQRVLQIDQWHVGHODVPXHVWUDVGHQWURGH FDGDQDFLyQVHFRQYHUWLUiQHQPXHUWHVTXHFRQWULEX\DQD la tasa de mortalidad de la nacin. Muestra todo tu trabajo. 6.137 [EX06-137]8QDJUDQPXHVWUDGHOHQWHVVHVHOHFFLRQD al azar y se evala para una dimensin particular de lentes. /XHJRVHFRPSDUDFRQVXUDQJRGHHVSHFLFDFLyQGH XQLGDGHV6HHYDOXDURQOHQWHV/RVGDWRVVHFRGL- caron en dos formas y se muestran a continuacin: 0.020 0.043 0.002 0.002 0.018 0.016 0.051 0.024 0.024 0.032 0.002 0.003 0.014 0.022 0.000 0.004 0.035 0.006 0.004 0.000 0.014 0.017 0.014 0.008 0.002 0.006 0.032 0.034 0.004 0.012 0.006 0.034 0.032 0.012 0.016 0.004 0.029 0.030 0.026 0.028 0.024 0.016 0.014 0.040 0.010 0.000 0.020 0.016 0.008 0.026 0.008 0.019 0.018 0.012 0.014 0.014 0.026 0.028 0.032 0.010 0.010 0.065 0.016 0.010 0.010 0.010 0.011 0.008 0.000 0.006 0.004 0.018 0.026 0.044 0.006 0.014 0.036 0.002 0.001 0.008 0.004 0.022 0.012 0.014 0.024 0.078 0.005 0.000 0.006 0.016 0.012 0.000 0.010 0.002 0.018 0.006 0.029 0.20 0.024 0.002 0.006 0.018 0.022 0.018 0.014 0.010 0.010 0.016 0.018 0.016 a. Calcula la media y la desviacin estndar de los datos. E &UHDXQKLVWRJUDPD\FRPHQWDDFHUFDGHOSDWUyQGHYDULD- bilidad de los datos. F 8VDSUXHEDVGHQRUPDOLGDG\RODUHJODHPStULFDFRPR FRQUPDFLyQGHODDSDULHQFLDQRUPDO([SOLFDWXVKDOOD]- JRV G 'HWHUPLQDHOSRUFHQWDMHREVHUYDGRGHFRQIRUPLGDGFRQOD HVSHFLFDFLyQ(VWRHVTXpSRUFHQWDMHGHODVPHGLFLRQHV FDHQGHQWURGHOUDQJRGHHVSHFLFDFLyQGH XQLGDGHV" 6.1386XSyQTXHODGLVWULEXFLyQGHGDWRVHQHOHMHUFLFLR WLHQHXQDGLVWULEXFLyQH[DFWDPHQWHQRUPDOFRQXQDPHGLDGH 0.00 y una desviacin estndar de 0.020. D (QFXHQWUDODVFRWDVGHOPHGLRGHODGLVWULEXFLyQ E 4XpSRUFHQWDMHGHORVGDWRVHVWiUHDOPHQWHGHQWURGHO LQWHUYDORTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD" F &RQYDORUHV]GHWHUPLQDHOSRUFHQWDMHGHFRQIRUPLGDG HVWLPDGDFRQODHVSHFLFDFLyQ(VWRHVTXpSRUFHQWDMH GHODVPHGLFLRQHVVHHVSHUDUtDHVWpQGHQWURGHOUDQJRGH HVSHFLFDFLyQGHXQLGDGHV" Examen de prctica del captulo Fuente: http://www.cia.gov Nacin Mortalidad infantil China 25 Alemania 4 India 58 Japn 3 Mxico 22 Rusia 17 Sudfrica 62 Estados Unidos 7 Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb [variable no mencionada y datos codificados a peticin de B&L] 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. 6LHOHQXQFLDGRQRVLHPSUHHVYHUGDGHURVXVWLWX\HODVSDODEUDV HQQHJULOODVFRQODVSDODEUDVTXHKDJDQDOHQXQFLDGRVLHPSUH verdadero. 6.1 La distribucin de probabilidad normal es simtrica en torno a cero. 6.2 (OiUHDWRWDOEDMRODFXUYDGHFXDOTXLHUGLVWULEXFLyQ normal es 1.0. www.fullengineeringbook.net 311 6.3 /DSUREDELOLGDGWHyULFDGHTXHRFXUULUiXQYDORUSDUWL- cular de una variable aleatoria continua es exactamen- te cero. 6.4 La unidad de medida para el valor estndar es el mis- mo que la unidad de medida de los datos. 6.5 Todas las distribuciones normales tienen la misma IXQFLyQ\GLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGJHQHUDO 6.6 En la notacin zHOQ~PHURHQWUHSDUpQWHVLVHVOD medida del rea a la izquierda del valor z. 6.7 Los valores normales estndar tienen una media de uno y una desviacin estndar de cero. 6.8 Las distribuciones de probabilidad de todas las varia- bles aleatorias continuas tienen distribucin normal. 6.9 Es posible sumar y restar las reas bajo la curva de una GLVWULEXFLyQFRQWLQXDSRUTXHGLFKDViUHDVUHSUHVHQWDQ probabilidades de eventos independientes. 6.10 La distribucin ms comn de una variable aleatoria comn es la probabilidad binomial. PARTE II: Aplicacin de los conceptos 6.11(QFXHQWUDODVVLJXLHQWHVSUREDELOLGDGHVSDUDzHOYDORU normal estndar: a. P(0 < z < 2.42) b. P(z < 1.38) c. P(z G Pz < 2.72) 6.12 Encuentra el valor de cada valor z: a. P(z!" E P(z" c. z(0.04) 6.13 Usa la notacin simblica z() para dar el nombre sim- blico para cada valor zTXHVHPXHVWUDHQODVLJXLHQWH JXUD 6.14 /DYLGDGHODVEDWHUtDVSDUDOiPSDUDWLHQHQGLVWULEX FLyQQRUPDOHQWRUQRDXQDPHGLDGHKUFRQXQD GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHKU.HYLQVHOHFFLRQy XQDGHGLFKDVEDWHUtDVDOD]DU\ODSXVRDSUXHED &XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHHVWDEDWHUtDGXUH PHQRVGHKU" 6.15 6HFUHHTXHHOWLHPSRxTXHHPSOHDQORVHVWXGLDQWHV HQYLDMDUGLDULDPHQWHHQXQVHQWLGRKDFLDODXQLYHU- VLGDGWLHQHXQDPHGLDGHPLQFRQXQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGHPLQ6LHOWLHPSRTXHHPSOHDQHQYLD- MDUWLHQHXQDGLVWULEXFLyQDSUR[LPDGDPHQWHQRUPDO HQFXHQWUDHOWLHPSRxTXHVHSDUDDGHTXLHQHV pasan ms tiempo viajando del resto de los otros viajeros. 6.16 0LOHVGHHVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWRDSOLFDQHO6$7 FDGDDxR/DVFDOLFDFLRQHVTXHORJUDQORVHVWXGLDQ- tes en cierta ciudad tienen una distribucin aproxi- PDGDPHQWHQRUPDOFRQXQDPHGLDGH\XQD desviacin estndar de 70. Encuentra: DHOSRUFHQWDMHGHHVWXGLDQWHVTXHFDOLFDQHQWUH 600 y 700 EHOSRUFHQWDMHGHHVWXGLDQWHVTXHFDOLFDQPHQRV GH c. el tercer cuartil GHOSHUFHQWLOP HHOSHUFHQWLOP PARTE III: Comprender los conceptos 6.17 (QSDODEUDVGHVFULEHODGLVWULEXFLyQQRUPDO estndar. 6.18 'HVFULEHHOVLJQLFDGRGHOVtPERORz(). 6.19 ([SOLFDSRUTXpODGLVWULEXFLyQQRUPDOHVWiQGDU FRPRVHFDOFXODHQODWDEODGHODSpQGLFH%SXHGH usarse para encontrar probabilidades para todas las distribuciones normales. Examen de prctica del captulo 0.3100 0 z() z() X% Y% 0.2170 0 a. b. www.fullengineeringbook.net 312 Captulo 00 Captulo ttulo 7 7.1 Distribuciones muestrales Una distribucin de valores repetidos para un estadstico muestral 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales Teorema que describe la distribucin de medias muestrales 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales El comportamiento de las medias muestrales es predecible Variabilidad muestral 7.1 Distribuciones muestrales Imagen copyright cosma, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Muestreo cotidiano Las muestras se toman todos los das por muchas razones. Las industrias monitorean sus pro- ductos continuamente para asegurarse de su calidad, las agencias monitorean el ambiente, los profesiona- les mdicos monitorean la salud; la lista es interminable. Bastantes de sas son muestras de una ocasin, mientras que muchas son muestras que se repiten para monitoreo continuo. Muestreo poblacional En Estados Unidos slo se realiza un censo, una encuesta o muestreo de 100%, cada 10 aos. Se trata de una labor enorme y abrumadora, pero la informacin que se obtiene es vital para la organizacin y la HVWUXFWXUDGHOSDtV/RVFRQLFWRVVHSUHVHQWDQ\ORVWLHPSRVFDPELDQODLQIRUPDFLyQHVQHFHVDULD\XQ censo no es prctico. Es aqu donde entran las muestras representativas y cotidianas. www.fullengineeringbook.net 313 Seccin 7.1 Distribuciones muestrales Por tanto, para hacer inferencias acerca de una poblacin, es necesario estudiar los resultados muestrales un poco ms. Una media muestral, x, se obtiene a partir de una muestra. Esperas que este valor, x, sea exactamente igual al valor de la media poblacional, ? La respuesta debe ser no. Uno no espera que las medias sean idnticas, pero estar satisfecho con los resul- tados muestrales si la media muestral est "cerca" del valor de la media poblacional. Consi- dera una segunda pregunta: si se toma una segunda muestra, la segunda muestra tendr una media igual a la media poblacional? Igual a la media de la primera muestra? Nuevamente, no, no se espera que la media muestral sea igual a la media poblacional, ni se espera que la segunda media muestral sea una repeticin de la primera. Sin embargo, nuevamente se espera que los valores sean "cercanos". (Este argumento debe sostenerse para cualquier otro estadstico muestral y su correspondiente valor poblacional.) Las siguientes preguntas ya deben haber llegado a tu mente: qu es "cerca"? Cmo determino (y mido) esta cercana? Cmo se distribuirn los estadsticos muestrales re- petidos? Para responder estas preguntas, debes observar una distribucin muestral. Distribucin muestral de un estadstico muestral Distribucin de valores para un estadstico muestral obtenido a partir de muestras repetidas, todas del mismo tamao y extradas de la misma poblacin. Enumerador censal comprueba datos en una computadora de mano completa con capacidades GPS para registrar datos EL PROBLEMA DEL MUESTREO La meta fundamental de una en- cuesta es encontrar los mismos resul- tados que se habran obtenido de en- trevistar a cada miembro individual de una poblacin. Para las encuestas nacionales Gallup, el objetivo es pre- sentar las opiniones de una muestra de personas que sean exactamente las mismas opiniones que se habran ob- tenido, de ser posible, al entrevistar a todos los adultos estadounidenses en el pas. La clave para alcanzar esta meta es un principio fundamental llamado igual probabilidad de seleccin, que DUPDTXHVLWRGRPLHPEURGHXQDSR blacin tuviera una igual probabilidad de ser seleccionado en una muestra, entonces dicha muestra ser represen- tativa de la poblacin. As de directo. Por tanto, la meta de Gallup al se- leccionar muestras es permitir que todo adulto estadounidense tenga igual opor- tunidad de caer en la muestra. Cmo se hace esto, por supuesto es la clave para el xito o fracaso del proceso. Fuente: Reimpreso con permiso de Gallup Organization, http://www.gallup.com/ Trabajador censal haciendo seguimiento AP Photo/Toby TalbotThe JerseyJournal/Landov www.fullengineeringbook.net 314 Captulo 7 Variabilidad muestral Comienza por investigar dos pequeas distribuciones muestrales tericas diferentes. El ejemplo 7.1 es terico en naturaleza y por tanto se expresa en probabilidades. Dado que esta poblacin es pequea, es fcil citar las 25 posibles muestras de tamao 2 (un es- pacio muestral) y asignar probabilidades. Sin embargo, no siempre es posible hacer esto. E J E M P L O 7 . 1 FORMACIN DE UNA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS Y RANGOS Considera como una poblacin el conjunto de enteros pares de un dgito {0, 2, 4, 6, 8}. Adems, considera todas las posibles muestras de tamao 2. Observa dos diferentes distribuciones muestrales que pueden formarse: la distribucin muestral de medias muestrales y la distribucin muestral de rangos muestrales. Primero, necesitas mencionar todas las posibles muestras de tamao 2; existen 25 posibles muestras: {0, 0} {2, 0} {4, 0} {6, 0} {8, 0} {0, 2} {2, 2} {4, 2} {6, 2} {8, 2} {0, 4} {2, 4} {4, 4} {6, 4} {8, 4} {0, 6} {2, 6} {4, 6} {6, 6} {8, 6} {0, 8} {2, 8} {4, 8} {6, 8} {8, 8} Cada una de dichas muestras tiene una media x. Dichas muestras son, respectivamente: 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 Cada una de dichas muestras es igualmente probable y por tanto a cada una de las 25 medias muestrals puede asignarse una prbabilidad de = 0.04. La distribucin muestral de medias muestrales se muestra en la tabla 7.1 como una distribucin de probabilidad y se muestra en la figura 7.1 como un histograma. Para el mismo conjunto de todas las posibles muestras de tamao 2, en- cuentra la distribucin muestral de rangos muestrales. Cada muestra tiene un rango R. Los rangos son: 0 2 4 6 8 2 0 2 4 6 4 2 0 2 4 6 4 2 0 2 8 6 4 2 0 Nuevamente, cada uno de esos 25 rangos muestrales tiene una probabili- dad de 0.04. La tabla 7.2 presenta la distribucin muestral de rangos muestra- les como una distribucin de probabilidad y la figura 7.2 muestra la distribu- cin muestral como un histograma. PTI Las muestras se extraen con reemplazo. FIGURA 7.1 Histograma: distribucin muestral de medias mues- trales TABLA 7.1 Distribucin de probabilidad: distribu- cin muestral de medias muestrales TABLA 7.2 Distribucin de probabilidad: distribu- cin muestral de rangos muestrales 1 25 FIGURA 7.2 Histograma: distribucin muestral de rangos muestrales x P(x) 0 0.04 1 0.08 2 0.12 3 0.16 4 0.20 5 0.16 6 0.12 7 0.08 8 0.04 R P(R) 0 0.20 2 0.32 4 0.24 6 0.16 8 0.08 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 P (x) 0 0.32 0.24 0.16 0.08 2 4 6 8 P (R) R (x) (R) www.fullengineeringbook.net 315 P (x) x 0.20 0.10 0.00 1 2 3 4 5 = 3.0 = 1.41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.8 2.2 2.8 2.4 2.8 3.4 3.4 3.0 3.8 2.2 2.2 2.8 3.0 2.8 2.6 4,5,1,4,5 1,1,3,5,1 2,5,1,5,1 4,3,3,1,1 1,2,5,2,4 4,2,2,5,4 1,4,5,5,2 4,5,3,1,2 5,3,3,3,5 5,2,1,1,2 2,1,4,1,3 5,4,3,1,1 1,3,1,5,5 3,4,5,1,1 3,1,5,3,1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4.4 2.0 2.0 2.8 3.0 3.4 3.8 3.0 3.6 3.2 3.2 3.8 2.4 2.0 3.6 4,5,5,3,5 3,3,1,2,1 2,1,3,2,2 4,3,4,2,1 5,3,1,4,2 4,4,2,2,5 3,3,5,3,5 3,4,4,2,2 3,3,4,5,3 5,1,5,2,3 3,3,3,5,2 3,4,4,4,4 2,3,2,4,1 2,1,1,2,4 5,3,3,2,5 E J E M P L O 7 . 2 Ahora, investiga empricamente (esto es, por experimentacin) otra distribucin mues- tral. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com CREACIN DE UNA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS MUESTRALES Considera una poblacin que consiste en cinco enteros igualmente proba- bles: 1, 2, 3, 4 y 5. La figura 7.3 presenta una representacin en histograma de la poblacin. Puedes observar una porcin de la distribucin muestral de medias muestrales cuando 30 muestras de tamao 5 se seleccionan al azar. La tabla 7.3 presenta 30 muestras y sus medias. En la figura 7.4 se pre- senta la distribucin muestral resultante, una distribucin de frecuencias de medias muestrales. Observa que esta distribucin de medias muestrales no se parece a la poblacin. En vez de ello, parece mostrar las caractersticas de una distribucin normal: es amontonada y casi simtrica en torno a su media (aproximadamente 3.0). Media muestral FIGURA 7.3 La poblacin: distribucin de probabilidad terica FIGURA 7.4 Distribucin emprica de medias muestrales TABLA 7.3 30 muestras de 5 medidas [TA07-03] Muestras de tamao 5 FrecuenciaNm. Muestra x Nm. Muestra x usar las 30 medias extraer muestras Seccin 7.1 Distribuciones muestrales P(x) = 0.2, para x = 1, 2, 3, 4, 5 6 5 4 3 2 1 0 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 3.8 4.2 4.6 = 2.98 sx = 0.638 x (x) www.fullengineeringbook.net 316 Captulo 7 Variabilidad muestral Nota: la variable para la distribucin muestral es x; por tanto, la media de las x es x y la desviacin estndar de x es s x . La teora involucrada con las distribuciones muestrales que se describir en el resto de este captulo requiere muestreo aleatorio. Muestra aleatoria Es la que se obtiene de tal forma que cada posible muestra de tamao fi jo n tiene igual probabilidad de ser seleccionada (consulta la p. 20). /DJXUDSUHVHQWDFyPRVHIRUPDODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHODVPHGLDVPXHVWUDOHV E J E M P L O A P L I C A D O 7 . 3 EDAD PROMEDIO DE VEHCULOS FRREOS DE TRNSITO URBANO Existen muchas razones para recolectar datos de manera repetida. No todas las colecciones de datos repetidos se realizan con la fi nalidad de formar una distribucin muestral. Considera las siguientes estadsticas de "Edad promedio de los vehculos frreos del trnsito urbano (aos)" del Depar- tamento de Transportes de EUA. La tabla muestra la edad promedio para cuatro diferentes clasifi caciones de vehculos frreos rastreados durante va- rios aos. Al estudiar el patrn de cambio en la edad promedio para cada clase de vehculo, una persona puede extraer conclusiones acerca de lo que le ha ocurrido a la fl otilla durante varios aos. Hay posibilidades de que las personas involucradas en mantener cada fl otilla tambin pueden detectar cundo se necesita un cambio en las polticas concernientes a la sustitucin FIGURA 7.5 La distribucin muestral de medias muestrales Poblacin estadstica a estudiar Se necesita muestreo repetido para formar la distribucin muestral Todas las posibles muestras de tamao n De cada muestra se obtiene un valor del estadstico muestral (en este caso, x) correspondiente al parmetro de inters (en este caso, ) Luego todos los valores del estadstico muestral, x, se usan para formar la distribucin muestral Muestra Todas las otras muestras Muestra Muestra Muchos ms valores x La distribucin muestral de las medias muestrales Los elementos de la distribucin muestral: Descripcin grfi ca de la distribucin muestral: Distribucin muestral de medias muestrales Medias muestrales Descripcin numrica de distribucin muestral: Poblacin estadstica Parmetro de inters, y www.fullengineeringbook.net 317 [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPde vehculos viejos. Sin embargo, por til que sea esta informacin, no existe distribucin muestral involucrada. E J E R C I C I O S S E C C I N 7 . 1 7.1 [EX07-01] Supn que se toma una muestra aleatoria de 100 edades de la distribucin censal 2000. 45 78 55 15 47 85 93 46 13 41 87 78 7 7 94 48 11 41 81 32 59 8 15 20 49 66 11 61 16 19 39 74 34 6 46 8 46 21 44 41 52 84 27 53 33 48 80 6 62 21 47 11 17 3 31 43 46 23 52 20 35 24 30 37 54 90 26 55 89 2 58 44 30 45 15 25 47 13 28 10 80 41 30 57 63 79 75 7 26 4 2 10 21 19 5 62 32 59 40 16 D &yPRGHVFULELUtDVJUiFDPHQWHORVDQWHULRUHVGDWRV PXHVWUDOHVHGDGHV"&RQVWUX\HODJUiFD E &RQODJUiFDTXHFRQVWUXLVWHHQHOLQFLVRDGHVFULEHOD forma de la distribucin de los datos muestrales. c. Si se recolectara otra muestra, esperaras los mismos resultados? Explica. 7.2 a. Qu estadsticos numricos usaras para describir los datos muestrales "edades" del ejercicio 7.1? Cal- cula dichos estadsticos. De acuerdo con el censo 2000 (el censo 2010 no est completo), 275 millones de estadounidenses tienen una edad media de 36.5 aos y una desviacin estn- dar de 22.5 aos. b. Cun bien los estadsticos calculados en el inciso a se comparan con los parmetros del censo 2000? S HVSHFtFR c. Si se recolectara otra muestra, esperaras los mismos resultados? Explica. 7.3 Los fabricantes usan muestras aleatorias para poner a SUXHEDVLVXVSURGXFWRVFXPSOHQRQRODVHVSHFLFDFLRQHV'L- chas muestras podran ser personas, partes fabricadas o incluso muestras durante la fabricacin de papas fritas. a. Crees que todas las muestras aleatorias tomadas de la misma poblacin conducirn al mismo resultado? b. Qu caracterstica (o propiedad) de las muestras aleato- rias podra observarse durante el proceso de muestreo? 7.4 Consulta la tabla 7.1 del ejemplo 7.1 (p. 314) y explica por qu las muestras son igualmente probables; esto es: por qu P(0) = 0.04 y por qu P(2) = 0.12. 7.5 a. Cul es la distribucin muestral de medias mues- trales? b. Una muestra de tamao 3 se toma de una poblacin y se encuentra la media muestral. Describe cmo esta media muestral se relaciona con la distribucin mues- tral de medias muestrales. 7.6 Considera el conjunto de enteros impares de un solo dgito {1, 3, 5, 7, 9}. a. Elabora una lista de todas las muestras de tamao 2 que puedan extraerse de este conjunto de enteros. (Muestra con reemplazo; esto es: se extrae el primer nmero, se observa y despus se sustituye [regresa al conjunto mues- tral] antes de la siguiente extraccin.) b. Construye la distribucin muestral de medias muestra- les para muestras de tamao 2 seleccionadas de este conjunto. c. Construye las distribuciones muestrales de rangos mues- trales para muestras de tamao 2. 7.7 Considera el conjunto de enteros pares de un solo dgito {0, 2, 4, 6, 8}. Edad promedio de vehculos frreos del trnsito urbano (aos) 1985 1990 1995 2000 2003 2007 Trnsito frreo Locomotorasa 16.3 15.7 15.9 13.4 16.6 18.4 Coches de viajeros 19.1 17.6 21.4 16.9 20.5 18.9 Ferrocarril metropolitano 17.1 16.2 19.3 22.9 19.0 21.6 Vehculos ligeros (tranvas) 20.6 15.2 16.8 16.1 15.6 16.1 aNo se incluyen las locomotoras usadas en los servicios de pasajeros Amtrak entre ciudades. Fuente: U.S. Departament of Transportation, Federal Transit Administration Seccin 7.1 Distribuciones muestrales www.fullengineeringbook.net 318 Captulo 7 Variabilidad muestral a. Elabora una lista de todas las posibles muestras de tama- o 3 que puedan extraerse de este conjunto de enteros. (Muestra con reemplazo; esto es: se extrae el primer n- mero, se observa y despus se sustituye [regresa al con- junto muestral] antes de la siguiente extraccin.) b. Construye la distribucin muestral de las medianas mues- trales para muestras de tamao 3. c. Construye la distribucin muestral de las medias muestra- les para muestras de tamao 3. 7.8 Usando los nmeros telefnicos de tu directorio telef- nico como tu poblacin, obtn al azar 20 muestras de tama- xR$SDUWLUGHFDGDQ~PHURWHOHIyQLFRLGHQWLFDGRFRPR fuente, toma el cuarto, quinto y sexto dgitos. (Por ejemplo, para 245-8268, tomaras el 8, el 2 y el 6 como tu muestra de tamao 3.) a. Calcula la media de las 20 muestras. b. Dibuja un histograma que muestre las 20 medias mues- trales. (Usa las clases 0.5 a 0.5, 0.5 a 1.5, 1.5 a 2.5, etctera.) c. Describe la distribucin de x que veas en el inciso b (for- ma de distribucin, centro y cantidad de dispersin). d. Extrae 20 muestras ms y agrega las 20 nuevas x al histo- grama en el inciso b. Describe la distribucin que parezca desarrollarse. 7.9 Con un conjunto de cinco dados, rueda el dado y de- termina el nmero medio de puntos que muestren los cinco dados. Repite el experimento hasta que tengas 25 medias muestrales. a. Dibuja un diagrama de puntos que muestre la distribucin de las 25 medias muestrales. (Consulta el ejemplo 7.2, p. 315.) b. Describe la distribucin de x en el inciso a. c. Repite el experimento para obtener 25 medias muestrales ms y agrega estas 25 x a tu diagrama de puntos. Describe la distribucin de 50 medias. 7.10 Considera la poblacin de cinco enteros igualmente pro- bables del ejemplo 7.2: D 9HULFD y para la poblacin del ejemplo 7.2. b. La tabla 7.3 menciona 30 valores x. Construye una distri- EXFLyQGHIUHFXHQFLDVDJUXSDGDVSDUDYHULFDUODGLVWULEX- FLyQGHIUHFXHQFLDTXHVHPXHVWUDHQODJXUD c. Encuentra la media y la desviacin estndar de los 30 valores xGHODWDEODSDUDYHULFDUORVYDORUHVSDUDx y s x ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVGRVVtPERORVx y s x . 7.11 Con referencia al ejemplo aplicado 7.3 de la pgina 316: a. Explica por qu los valores numricos en esta tabla no forman una distribucin muestral. E ([SOLFDFyPRHVWDUHFROHFFLyQUHSHWLGDGHGDWRVGLHUHGH la idea de muestreo repetido para recopilar informacin acerca de una distribucin muestral. 7.12 A partir de la tabla de nmeros aleatorios de la tabla 1 del apndice B, construye otra tabla que muestre 20 conjuntos de 5 enteros de un solo dgito seleccionados al azar. Encuentra la media de cada conjunto (la gran media) y compara este valor con la media poblacional terica, y usa la diferencia absolu- ta y el % de error. Presenta todo tu trabajo. 7.13 a. Con una computadora o una tabla de nmeros alea- torios, simula la extraccin de 100 muestras, cada una de tamao 5, a partir de la distribucin de proba- bilidad uniforme de enteros de un solo dgito, 0 a 9. b. Encuentra la media para cada muestra. c. Construye un histograma de las medias muestrales. (Usa valores enteros como puntos medios de clase.) d. Describe la distribucin muestral que se presenta en el histograma del inciso c. MINITAB a. Usa los comandos Integer RANDOM DATA de la pgina 91, sustituye generar con 100, almacenar en C1-C5, valor mnimo con 0 y valor mximo con 9. b. Elige: Calc > Row Statistics Selecciona: Mean Escribe: Variables entrada: C1-C5 Almacenar resultado en: C6 > OK c. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C6. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con punto medio y posiciones de punto medio 0:9/1. Excel a. Escribe del 0 al 9 en la columna A y los correspondientes 0.1 en la columna B; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > Selecciona: Random Number Generation > OK Escribe: Nmero de variables: 5 Nmero de nmeros aleatorios: 100 Distribucin: Discrete Valor y rango entrada probabilidad: (A1:B10 o selecciona celdas) Selecciona: Output Range: Escribe: (C1 o selecciona celdas) > OK b. Activa la celda H1. Elige: Insert function, fx > Statistical > AVERAGE > OK Escribe: Number1: (C1:G1 o selecciona celdas) Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro valor promedio hacia abajo para obtener otros promedios c. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con la columna H como el rango de entrada y la columna A como el rango de caja. www.fullengineeringbook.net 319 En las pginas anteriores estudiaste las distribuciones muestrales de dos estadsticos: me- dias muestrales y rangos muestrales. Muchos otros podran discutirse; sin embargo, la nica distribucin muestral de atencin en este momento es la distribucin muestral de medias muestrales. 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales TI-83/84 Plus a. Usa los comandos Integer RANDOM DATA y STO de la pgi- na 91, sustituye el Enter con 0, 9, 100). Repite los comandos anteriores cuatro veces ms y almacena los datos en L2, L3, L4 y L5, respectivamente. b. Elige: STAT > EDIT > 1: Edit Resalta: L6 (encabezado columna) Escribe: (L1 + L2 + L3 + L4 + L5)/5 c. Elige: 2nd > STAT PLOT > 1: Plot1 Elige: Window Escribe: 0, 9, 1, 0, 30, 5, 1 Elige: Trace >>> 7.14 a. Con una computadora o tabla de nmeros aleatorios, simula la extraccin de 250 muestras, cada una de tamao 18, a partir de la distribucin de probabilidad uniforme de enteros de un solo dgito, 0 a 9. b. Encuentra la media para cada muestra. c. Construye un histograma de las medias muestrales. d. Describe la distribucin muestral que se presenta en el histograma del inciso c. 7.15 a. Usa una computadora para extraer 200 muestras alea- torias, cada una de tamao 10, de la distribucin de probabilidad normal con media 100 y desviacin es- tndar 20. b. Encuentra la media para cada muestra. c. Construye un histograma de frecuencia de las 200 medias muestrales. d. Describe la distribucin muestral que se presenta en el histograma del inciso c. MINITAB a. Usa los comandos Normal RANDOM DATA de la pgina 91, sustituye generar con 200, almacenar en C1-C10, media con 100 y desviacin estndar con 20. b. Elige: Calc > Row Statistics Selecciona: Mean Escribe: Variables entrada: C1-C10 Almacenar resultado en: C11 > OK c. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C11. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con punto medio y posiciones de punto medio 74.8:125.2/6.3. Excel a. Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 91, sustituye nmero de variables con 10, nme- ro de nmeros aleatorios con 200, media con 100 y desvia- cin estndar con 20. b. Activa la celda K1. Elige: Insert function fx > Statistical > AVERAGE > OK Escribe: Number1: (A1:J1 o selecciona celdas) Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro valor promedio para obtener otros promedios c. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a de la pgina 290, susti- tuye el primer valor cn 74.8, el ltimo valor con 125.2, los pasos con 6.3 y el rango de salida con L1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con la columna K como el rango de entrada y la columna L como el rango de caja. 7.16 a. Usa una computadora para extraer 500 muestras aleatorias, cada una de tamao 20, de la distri- bucin de probabilidad normal con media 80 y desviacin estndar 15. b. Encuentra la media para cada muestra. c. Construye un histograma de frecuencias de las 500 medias muestrales. d. Describe la distribucin muestral que se presenta en el histograma del inciso c, e incluye la media y la desviacin estndar. Seccin 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales www.fullengineeringbook.net 320 Captulo 7 Variabilidad muestral Distribucin muestral de medias muestrales (DMMM) Si todas las posibles muestras aleatorias, cada una de tamao n, se toman de cualquier poblacin con media y desviacin estndar , entonces la distribucin muestral de las medias muestrales tendr lo siguiente: 1. Una media x es igual a 2. Una desviacin estndar x es igual a Ms an, si la poblacin muestreada tiene una distribucin normal, entonces la distribucin muestral de x tambin ser normal para muestras de todos los tamaos. ste es un muy interesante enunciado en dos partes. La primera parte habla acerca de la rela- cin entre la media poblacional y la desviacin estndar, y la media de la distribucin mues- tral y la desviacin estndar para todas las distribuciones muestrales de las medias muestra- les. La desviacin estndar de la distribucin muestral se denota con x y se le da un nombre HVSHFtFRSDUDHYLWDUFRQIXVLyQFRQODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSREODFLRQDO. Error estndar de la media (x ) La desviacin estndar de la distribucin muestral de las medias muestrales. La segunda parte indica que esta informacin no siempre es til. Dicho de una manera diferente, dice que el valor medio de slo algunas observaciones tendr una distribucin normal cuando las muestras se extraigan de una poblacin con distribucin normal, pero no tendr distribucin normal cuando la poblacin muestreada sea uniforme, sesgada o de alguna otra forma no normal. Sin embargo, el teorema central del lmite proporciona cierta informacin adicional y muy importante acerca de la distribucin muestral de las medias muestrales. Teorema central del lmite (TCL) La distribucin muestral de las medias mues- trales recordar ms estrechamente la distribucin normal conforme aumente el tamao de la muestra. Si la distribucin muestreada es normal, entonces la distribucin muestral de las me- dias muestrales (DMMM) es normal, como se enunci anteriormente y no se necesita el teorema central del lmite (TCL). Pero, si la poblacin muestreada no es normal, el TCL dice que la distribucin muestral todava tendr una distribucin aproximadamente normal bajo las condiciones correctas. Si la distribucin de la poblacin muestreada es casi nor- mal, la distribucin x es aproximadamente normal para n bastante pequea (posiblemente tan pequea como 15). Cuando la distribucin de la poblacin muestreada carece de sime- tra, es posible que n deba ser muy grande (acaso 50 o ms) antes de que la distribucin normal ofrezca una aproximacin satisfactoria. Al combinar la informacin precedente, puede describir la distribucin muestral de x completamente: 1) la ubicacin del centro (media), 2) una medida de dispersin que indica cun ampliamente se dispersa la distribucin (error estndar de la media) y 3) un indicio de cmo se distribuye. 1. x = ; la media de la distribucin muestral ( x ) es igual a la media de la poblacin (). 2. x = ; el error estndar de la media ( x ) es igual a la desviacin estndar de la po- blacin () dividida por la raz cuadrada del tamao muestral, n. 3. La distribucin de medias muestrales es normal cuando la poblacin padre tiene dis- tribucin normal y el TCL dice que la distribucin de las medias muestrales se vuel- ve aproximadamente normal (sin importar la forma de la poblacin padre) cuando HOWDPDxRGHODPXHVWUDHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH PTI esta es informa- cin muy til! PTI Verdaderamente sorprendente: x tiene distribucin normal cuando n es suficien- temente grande, sin importar la forma de la poblacin! n n www.fullengineeringbook.net 321 Nota: la n a la que se hace referencia es el tamao de cada muestra en la distribucin mues- tral. (El nmero de muestras repetidas usadas en una situacin emprica no tiene efecto sobre el error estndar.) En este texto no se muestra la prueba para los tres hechos precedentes; sin embargo, su validez se demostrar al examinar dos ejemplos. Para el primer ejemplo, considera una poblacin para la que se puede construir la distribucin muestral terica de todas las posibles muestras. E J E M P L O 7 . 4 CONSTRUCCIN DE UNA DISTRIBUCIN MUESTRAL DE MEDIAS MUESTRALES Considera todas las posibles muestras de tamao 2 que podran extraerse de una poblacin que contiene los tres nmeros 2, 4 y 6. Primero observa la po- blacin en s. Construye un histograma para representar su distribucin, figura 7.6; calcula la media, y la desviacin estndar, , tabla 7.4. (Recuerda: debes usar las tcnicas del captulo 5 para distribuciones de probabilidad discretas.) La tabla 7.5 menciona todas las posibles muestras de tamao 2 que pue- den extraerse de esta poblacin. (Se extrae un nmero, se observa y despus regresa a la poblacin antes de extraer el segundo nmero.) La tabla 7.5 tambin menciona las medias de dichas muestras. Las medias muestrales se re- colectan entonces para formar la distribucin muestral. La distribucin para di- chas medias y las extensiones se proporcionan en la tabla 7.6 (p. 322), junto con el clculo de la media y el error estndar de la media para la distribucin muestral. El histograma para la distribucin muestral de las medias muestrales se muestra en la figura 7.7 (p. 322). FIGURA 7.6 Poblacin TABLA 7.4 Tabla de extensiones para x Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com TABLA 7.5 Las nueve posibles muestras de tamao 2 x P(x) xP(x) x2P(x) 2 1 2 4 3 3 3 4 1 4 16 3 3 3 6 1 6 36 3 3 3 3 12 56 3 3 3 1.0 4.0 18.66 = 4.0 = 18.66 (4.0)2 = 2.66 = 1.63 Muestra x Muestra x Muestra x 2,2 2 4,2 3 6,2 4 2,4 3 4,4 4 6,4 5 2,6 4 4,6 5 6,6 6 ck P(x) = , para x = 2, 4, 6 Seccin 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales 1 3 P (x) 6 5 4 x 3 2 0.30 0.20 0.10 0.00 (x) www.fullengineeringbook.net 322 Captulo 7 Variabilidad muestral El ejemplo 7.4, una situacin terica, sugiere que los tres hechos parecen mantenerse verdaderos. Estos tres hechos se sostienen cuando se recolectan datos reales? Observa nuevamente el ejemplo 7.2 (p. 315) y ve si los tres hechos apoyan ah la distribucin muestral emprica. Primero, observa la poblacin: la distribucin de probabilidad terica de la que se WRPDURQODVPXHVWUDVGHOHMHPSOR/DJXUDHVXQKLVWRJUDPDTXHPXHVWUDODGLVWUL- bucin de probabilidad para datos seleccionados al azar de la poblacin de enteros igual- mente probables 1, 2, 3, 4, 5. La media poblacional es igual a 3.0. La desviacin estndar poblacional es 2, o 1.41. La poblacin tiene una distribucin uniforme. Ahora observa la distribucin emprica de las 30 medias muestrales que encontraste en el ejemplo 7.2. A partir de los 30 valores de x en la tabla 7.3, la media observada de las x, x, es 2.98 y el error estndar observado de la media, s x , es 0.638. El histograma de la GLVWULEXFLyQPXHVWUDOHQODJXUDSDUHFHVHUDPRQWRQDGRDSUR[LPDGDPHQWHVLPpWULFR y con centro cerca del valor 3.0. $KRUDFRPSUXHEDODYHUDFLGDGGHODVWUHVSURSLHGDGHVHVSHFtFDV 1. x y sern iguales. La media de la poblacin es 3.0 y la media de la distribucin muestral observada x es 2.98; estn muy cerca en valor. SABAS QUE...? Teorema central del lmite Abraham de Moivre fue un pionero en la teora de probabilidad y public la Doctrine of Chance, pri- mero en latn en 1711 y despus en ediciones ex- tendidas en 1718, 1738 y 1756. La edicin de 1756 contena su ms im- portante contribucin: la aproximacin de las distri- buciones binomiales para un nmero grande de (contina) Ahora comprueba la veracidad de los tres hechos acerca de la distribu- cin muestral de las medias muestrales: 1. La media x de la distribucin muestral ser igual a la media de la poblacin: tanto como x tienen el valor 4.0. 2. El error estndar de la media x para la distribucin muestral igualar a la desviacin estndar de la poblacin dividida por la raz cuadra- da del tamao muestral, n: x = 1.15 y = 1.63, n = 2, = = 1.15; son iguales: x = . 3. La distribucin tendr una distribucin aproximadamente normal: el histograma en la figura 7.7 sugiere con mucha fuerza la normalidad. TABLA 7.6 Tabla de extensiones para x FIGURA 7.7 Distribucin muestral de medias muestrales n 1.63 2 n x P(x) xP(x) x2P(x) 2 1 2 4 9 9 9 3 2 6 18 9 9 9 4 3 12 48 9 9 9 5 2 10 50 9 9 9 6 1 6 36 9 9 9 9 36 156 9 9 9 1.0 4.0 17.33 x = 4.0 x = 17.33 (4.0)2 = 1.33 = 1.15 ck Muestras de tamao 2 P (x) x 6 5 4 3 2 0.30 0.20 0.10 0.00 www.fullengineeringbook.net 323 (continuacin) ensayos usando la dis- tribucin normal. La de- finicin de independen- cia estadstica tambin hizo su debut junto con muchos dados y otros juegos. De Moivre pro- b que el teorema cen- tral del lmite se sostiene para nmeros que resul- tan de juegos de azar. Con el uso de matem- ticas, tambin tuvo xito al predecir la fecha de su propia muerte. 2. x es igual a . = 1.41 y n = 5; por tanto, = = 0.632 y s x = 0.638 estn muy cerca en valor. (Recuerda que slo se tomaron 30 muestras, no todas las posibles muestras, de tamao 5.) 3. La distribucin muestral de x tendr una distribucin aproximadamente normal. $XQFXDQGRODSREODFLyQWHQJDXQDGLVWULEXFLyQUHFWDQJXODUHOKLVWRJUDPDGHOD- gura 7.4 sugiere que la distribucin x tiene algunas de las propiedades de normalidad (montada, simtrica). Aunque los ejemplos 7.2 y 7.4 no constituyen una prueba, la evidencia parece sugerir fuertemente que ambos enunciados, la distribucin muestral de medias muestrales y el TCL, son verdaderos. /XHJRGHGDUXQYLVWD]RDHVWRVGRVHMHPSORVHVSHFtFRVDKRUDREVHUYDFXDWURLOXVWUD- FLRQHVJUiFDVTXHSUHVHQWDQODLQIRUPDFLyQGHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDO\HO7&/HQXQD forma ligeramente diferente. Cada una de dichas ilustraciones tiene cuatro distribuciones. /DSULPHUDJUiFDPXHVWUDODGLVWULEXFLyQGHODSREODFLyQSDGUHODGLVWULEXFLyQGHORVYD- lores xLQGLYLGXDOHV&DGDXQDGHODVRWUDVWUHVJUiFDVSUHVHQWDXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDO de medias muestrales, x, usando tres diferentes tamaos de muestra. (QODJXUDVHWLHQHXQDGLVWULEXFLyQXQLIRUPHPX\SDUHFLGDDODJXUDSDUDOD ilustracin entera y las distribuciones resultantes de las medias muestrales para muestras de tamaos 2, 5 y 30. FIGURA 7.8 Distribucin uniforme FIGURA 7.9 Distribucin con forma de U /DJXUDPXHVWUDXQDSREODFLyQFRQIRUPDGH8\ODVWUHVGLVWULEXFLRQHVPXHVWUDOHV d) Distribucin muestral de x cuando n = 30 d) Distribucin muestral de x cuando n = 30 n n 1.41 5 b) Distribucin muestral de x. cuando n = 2 b) Distribucin muestral de x. cuando n = 2 c) Distribucin muestral de x cuando n = 5 c) Distribucin muestral de x cuando n = 5 Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x a) Poblacin a) Poblacin Valores de x Valores de x Seccin 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales www.fullengineeringbook.net 324 Captulo 7 Variabilidad muestral /DJXUDPXHVWUDXQDSREODFLyQFRQIRUPDGH-\ODVWUHVGLVWULEXFLRQHVPXHV- trales. /DVWUHVGLVWULEXFLRQHVSREODFLRQDOHVQRQRUPDOHVSDUHFHQYHULFDUHO7&/ODVGLV- tribuciones muestrales de las medias muestrales parecen ser aproximadamente normales SDUDODVWUHVFXDQGRVHXVDQODVPXHVWUDVGHWDPDxR$KRUDFRQVLGHUDODJXUDTXH muestra una poblacin con distribucin normal y las tres distribuciones muestrales. Con la poblacin ormal, las distribuciones muestrales de las medias muestrales para todos los tamaos de muestra parecen ser normales. Por tanto, has visto un fenmeno sorprendente: sin importar cul sea la forma de una poblacin, la distribucin muestral de las medias muestrales o es normal o se vuelve aproximadamente normal cuando nVHYXHOYHVXFLHQ- temente grande. Debes notar otro punto: la media muestral se vuelve menos variable conforme aumenta el tamao de la muestra. Observa que, conforme n aumenta de 2 a 30, todas las distribucio- nes se vuelven ms estrechas y ms altas. FIGURA 7.10 Distribucin con forma de J FIGURA 7.11 Distribucin normal a) Poblacin a) Poblacin Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x Valores de x d) Distribucin muestral de x cuando n = 30 d) Distribucin muestral de x cuando n = 30 b) Distribucin muestral de x. cuando n = 2 b) Distribucin muestral de x. cuando n = 2 c) Distribucin muestral de x cuando n = 5 c) Distribucin muestral de x cuando n = 5 www.fullengineeringbook.net 325 Applets Skillbuilder disponibles en lnea a travs de cengagebrain.com.E J E R C I C I O S S E C C I N 7 . 2 7.17 Ejercicio Applet Skill- builder Simula la toma de muestras de tamao 4 de una poblacin aproximadamente normal, donde = 65.15 y = 2.754. a. Haz clic en "1" para "# Samples" (nmero de muestras). Observa los cuatro valores de datos y su me- dia. Cambia "slow" por "batch" y toma al menos 1 000 muestras usando "500" para "# Samples". b. Cul es la media para las medias de las 1 001 muestras? Cun cerca est a la media poblacional, ? c. Compara la desviacin estndar muestral con la desvia- cin estndar poblacional, . Qu ocurre con la des- viacin estndar muestral? Comprala con / n que es 2.754/ 4. d. El histograma de las medias muestrales tiene una forma aproximadamente normal? e. Relaciona tus hallazgos con el DMMM. 7.18 Ejercicio Applet Skillbuilder Simula el muestreo de una poblacin sesgada, donde = 6.029 y = 10.79. a. Cambia "# Obsreva- tions per sample" a "4". Usa batch (lote) y 500 y toma 1 000 muestras de tamao 4. b. Compara la media y la desviacin estndar para las me- dias muestrales con y . Compara la desviacin estn- dar muestral con / n, que es 10.79/ 4. El histograma tiene una forma aproximadamente normal? Si no, qu forma tiene? c. Con el botn "clear" cada vez, repite las instrucciones de los incisos a y b para muestras de tamao 25, 100 y 1 000. Tabula tus hallazgos para cada tamao de muestra. d. Relaciona tus hallazgos con DMMM y el TCL. 7.19 a. Cul es la medida total del rea para cualquier dis- tribucin de probabilidad? E-XVWLFDHOHQXQFLDGRx se vuelve menos variable conforme n aumenta". 7.20 Si una poblacin tiene una desviacin estndar de 25 unidades, cul es el error estndar de la media si se seleccio- nan muestras de tamao 16? Muestras de tamao 36? Mues- tras de tamao 100? 7.21 Cierta poblacin tiene una media de 500 y una desvia- cin estndar de 30. Muchas muestras de tamao 36 se selec- cionan al azar y se calculan las medias. a. Qu valor esperaras encontrar para la media de todas estas medias muestrales? b. Qu valor esperaras encontrar para la desviacin estn- dar de todas estas medias muestrales? c. Qu forma esperaras que tuviera la distribucin de todas estas medias muestrales? 7.22 De acuerdo con el Nielsen's Television Audience Re- port, en 2009 el promedio de hogares estadounidenses tiene 2.86 televisores (ms del nmero promedio de personas por hogar, a 2.5 personas). Si la desviacin estndar para el n- mero de televisores en un hogar estadounidense es 1.2 y se selecciona una muestra aleatoria de 80 hogares estadouni- denses, la media de esta muestra pertenece a una distribu- cin muestral. a. Cul es la forma de esta distribucin muestral? b. Cul es la media de esta distribucin muestral? c. Cul es la desviacin estndar de esta distribucin muestral? 7.23 El artculo del USA Today del 21 de septiembre de 2006, +RJDUSURPHGLRWLHQHPiV79TXHSHUVRQDVDUPDTXHORV estadounidenses observan un promedio de 4.58 horas de tele- visin por persona por da. Fuente: Nielsen Media Research Si la desviacin estndar para el nmero de horas de televisin que observan por da es 2.1 y se selecciona una muestra aleato- ria de 250 estadounidenses, la media de esta muestra pertenece a una distribucin muestral. a. Cul es la forma de esta distribucin muestral? b. Cul es la media de esta distribucin muestral? c. Cul es la desviacin estndar de esta distribucin muestral? 7.24 De acuerdo con The World Factbook, 2009, la tasa de fertilidad total (nmero medio estimado de hijos nacidos por mujer) para Uganda es 6.77. Supn que la desviacin estndar de la tasa de fertilidad total es 2.6. El nmero medio de hijos para una muestra de 200 mujeres seleccionadas al azar es un Seccin 7.2 La distribucin muestral de medias muestrales (contina en la pgina 326) www.fullengineeringbook.net 326 Captulo 7 Variabilidad muestral valor de muchos que forman la distribucin muestral de me- dias muestrales. a. Cul es el valor medio para esta distribucin muestral? b. Cul es la desviacin estndar de esta distribucin muestral? c. Describe la forma de esta distribucin muestral. 7.25 El American Meat Institute public el reporte 2007 "Pro- duccin y consumo de carne y pollo en EUA: Un panorama". La hoja descriptiva de 2007 menciona el consumo anual de pollo como 86.5 libras por persona. Supn que la desviacin estndar para el consumo de pollo por persona es 29.3 libras. El peso medio del pollo consumido por una muestra de 150 personas seleccionadas al azar es un valor de muchos que for- man la distribucin muestral de las medias muestrales. a. Cul es el valor medio para esta distribucin muestral? b. Cul es la desviacin estndar de esta distribucin muestral? c. Describe la forma de esta distribucin muestral. 7.26 Un investigador quiere tomar una muestra aleatoria sim- ple de aproximadamente 5% del cuerpo estudiantil de cada una de dos escuelas. La universidad tiene aproximadamente 20 000 estudiantes y el colegio tiene aproximadamente 5 000. ,GHQWLFDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFRPRYHUGDGHURRIDOVR\ MXVWLFDWXUHVSXHVWD a. La variabilidad muestral es la misma para ambas es- cuelas. b. La variabilidad muestral para la universidad es mayor que la del colegio. c. La variabilidad muestral para la universidad es menor que para el colegio. d. No puede enunciarse conclusin acerca de la variabilidad muestral sin conocer los resultados del estudio. 7.27 a. Usa una computadora para seleccionar al azar 100 muestras de tamao 6 de una poblacin normal con media = 20 y desviacin estndar = 4.5. b. Encuentra la media x para cada una de las 100 muestras. c. Con las 100 medias muestrales, construye un histo- grama, encuentra la media x y encuentra la desvia- cin estndar s x . MINITAB a. Usa los comandos Normal RANDOM DATA de la pgina 91, sustituye generar con 100, almacenar en C1-C6, media con 20 y desviacin estndar con 4.5. b. Usa los comandos ROW STATISTICS de la pgina 318, sustituye variables de entrada con C1-C6 y almacenar resultado en C7. c. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C7. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con punto medio y posiciones de punto medio 12.8:27.2/1.8. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pgi- nas 65 y 79 para los datos en C7. Excel a. Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 91, sustituye el nmero de variables con 6, nme- ro de nmeros aleatorios con 100, media con 20 y desviacin estndar con 4.5. b. Activa la celda G1. Elige: Insert function, fx > Statistical > AVERAGE > OK Escribe: Number1: (A1:F1 o selecciona celdas) Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro valor promedio hacia abajo para obte- ner otros promedios c. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a de la pgina 291 y sus- tituye el primer valor con 12.8, el ltimo valor con 27.2, los pasos con 1.8 y el rango de salida con H1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con columna G como el rango de entrada y columna H como el rango de caja. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en la columna G. TI-83/84 Plus a. Usa los comandos Normal RANDOM DATA y STO de la pgi- na 91, sustituye Enter con 20, 4.5, 100). Repite los comandos anteriores cinco veces ms, almacenar datos en L2, L3, L4, L5 y L6, respectivamente. b. Elige: (L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6)/6 Escribe: STO L7 (usa la tecla ALPHA para "L" o usa "MEAN") c. Escribe: 2nd > STAT PLOT > 1: Plot1 Escribe: Window Elige: 12.8, 27.2, 1.8, 0, 40, 5, 1 Escribe: Trace > > > Escribe: STAT > CALC > 1.1-VAR STATS > 2nd > LIST Selecciona: L7 www.fullengineeringbook.net 327 Cuando la distribucin muestral de medias muestrales tiene distribucin normal o aproxi- madamente normal, es posible responder preguntas de probabilidad con la ayuda de la distribucin normal estndar (tabla 3 del apndice B). 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales E J E M P L O 7 . 5 CMO CONVERTIR INFORMACIN DE x EN VALORES z Considera una poblacin normal con = 100 y = 20. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamao 16, cul es la probabilidad de que esta mues- tra tenga un valor medio entre 90 y 110? Esto es: cul es P(90 < x < 110)? Solucin Dado que la poblacin tiene distribucin normal, la distribucin muestral de x tiene distribucin normal. Para determinar las probabilidades asociadas con una distribucin normal, necesitars convertir el enunciado P(90 < x < 110) a un enunciado de probabilidad que involucre el valor z. Esto te permi- tir usar la tabla 3 del apndice B, la tabla de distribucin normal estndar. La distribucin muestral se presenta en la figura, donde el rea sombreada representa P(90 < x < 110). La frmula para encontrar el valor z correspondiente a un valor conocido de x es z = x x x La media y el error estndar de la media son x = y x = . Por tanto, la frmula (7.1) se reescribe en trminos de , y n: z = x n De regreso al ejemplo y al aplicar la frmula (7.2), se tiene: valor z para x = 90: z = x = 90 100 = 10 = 2.00 n 20/ 16 5 d. Compara los resultados del inciso c con los tres enunciados hechos en la DMMM. 7.28 a. Usa una computadora para seleccionar al azar 200 muestras de tamao 24 de una poblacin normal con media = 20 y desviacin estndar = 4.5. b. Encuentra la media x para cada una de las 200 muestras. c. Con las 200 medias muestrales, construye un histo- grama, encuentra la media x y encuentra la desvia- cin estndar s x . d. Compara los resultados del inciso c con los tres enunciados hechos para la DMMM y el TCL de la pgina 320. e. Compara estos resultados con los resultados obte- QLGRVHQHOHMHUFLFLR(VSHFtFDPHQWHTXp efecto tuvo el incremento en tamao muestral de 6 a 24? Qu efecto tuvo el incremento de 100 a 200 muestras? PTI Si usas una computadora, consulta el ejercicio 7.27. (7.1) (7.2) n Seccin 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales 110 x 90 x = 20/ 16 = 5 = 100 www.fullengineeringbook.net 328 Captulo 7 Variabilidad muestral Antes de estudiar ejemplos adicionales, considera qu se implica con x = . Para de- mostrar, supn que = 20 y usa una distribucin muestral de muestras con tamao 4. Aho- ra x es 20/ 4 o 10 y aproximadamente 95% (0.9545) de todas dichas medias muestrales deben estar dentro del intervalo de 20 abajo a 20 arriba de la media poblacional (dentro de 2 desviaciones estndar de la media poblacional). Sin embargo, si el tamao de la muestra aumenta a 16, x se convierte en 20/ 16 = 5 y aproximadamente 95% de la distribucin muestral debe estar dentro de 10 unidades de la media, etc. Conforme aumenta el tamao de la muestra, el tamao de x se vuelve ms pequeo y la distribucin de medias muestra- OHVVHYXHOYHPXFKRPiVHVWUHFKD/DJXUDLOXVWUDORTXHRFXUUHDODGLVWULEXFLyQGH x conforme el tamao de las muestras individuales aumenta. Recuerda que el rea (probabilidad) bajo la curva normal siempre es exactamente 1. De modo que, conforme el ancho de la curva se estrecha, la altura tiene que aumentar para mantener esta rea. FIGURA 7.12 Distribuciones de medias muestrales Distribucin de medias muestrales para tamao de muestra ms pequeo Distribucin de medias muestrales para tamao de muestra ms grande E J E M P L O 7 . 6 CMO CALCULAR PROBABILIDADES PARA LA ESTATURA MEDIA DE INFANTES DE JARDN DE NIOS Los infantes de jardn de nios tienen estaturas que poseen una distribucin aproximadamente normal en torno a una media de 39 pulgadas y una desvia- cin estndar de 2 pulgadas. Se toma una muestra aleatoria de tamao 25 y se calcula la media x. Cul es la probabilidad de que este valor medio est entre 38.5 y 40.0 pulgadas? Solucin Se quiere encontrar P(38.5 < x < 40.0). Los valores de x, 38.5 y 40.0, deben convertirse a valores z (necesarios para usar la tabla 3 del apndice B) usando z = : x = 38.5: z = x = 38.5 39.0 = 0.5 = 1.25 / n 2/ 25 0.4 valor z para x = 110: z = x = 110 100 = 10 = 2.00 n 20/ 16 5 Por tanto, P(90 < x < 110) = P(2.00 < z < 2.00) = 0.9773 0.0228 = 0.9545 n Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com x / n www.fullengineeringbook.net 329 E J E M P L O 7 . 7 CMO CALCULAR LOS LMITES DE ESTATURA MEDIA PARA EL 90% MEDIO DE INFANTES DE JARDN DE NIOS Usa las estaturas de infantes de jardn de nios dadas en el ejemplo 7.6. Dentro de qu lmites cae el 90% medio de la distribucin muestral de medias muestrales para muestras de tamao 100? x = 40.0: z = x = 40.0 39.0 = 1.0 = 2.50 / n 2/ 25 0.4 Por tanto, P(38.5 < x < 40.0) = P(1.25 < z < 2.50) = 0.9938 0.1057 = 0.8881 Solucin Las dos herramientas con las que debes trabajar son la frmula (7.2) y la tabla 3 del apndice B. La frmula relaciona los valores clave de la poblacin con los valores clave de la distribucin muestral y la tabla 3 relaciona reas con valores z. Primero, con la tabla 3, encuentra que el 0.9000 medio est acotado por z = 1.65. PTI Recuerda: si el valor est exactamente a la mitad, usa el z ms grande Segundo, usa la frmula (7.2), z = x : / n z = 1.65: 1.65 = x 39.0 z = 1.65: 1.65 = x 39.0 2/ 100 2/ 100 x 39 = (1.65)(0.2) x 39 = (1.65)(0.2) x = 39 0.33 x = 39 + 0.33 = 38.67 = 39.33 Por tanto, P(38.67 < x < 39.33) = 0.90 En consecuencia, 38.67 pulgadas y 39.33 pulgadas son los lmites que capturan el 90% medio de las medias muestrales. z ... 0.04 0.05 . . . ... 1.6 ... 0.0505 0.0500 0.0495 ... Seccin 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales 40.0 2.50 39.0 0 x z 38.5 1.25 z = 1.65 z = 1.65 0 z 90% (45%) (45%) 5% o 0.0500 5% o 0.0500 www.fullengineeringbook.net 330 Captulo 7 Variabilidad muestral E J E R C I C I O S S E C C I N 7 . 3 7.29 Considera una poblacin normal con = 43 y = 5.2. Calcula el valor z para una x de 46.5 de una muestra de tamao 16. 7.30 Considera una poblacin con = 43 y = 5.2. a. Calcula el valor z para una x de 46.5 de una muestra de tamao 35. b. Este valor z podra usarse para calcular probabilidades con la tabla 3 del apndice B? Por qu s o por qu no? 7.31 En el ejemplo 7.5, explica cmo se obtuvieron el 0.9773 y el 0.0228 y para qu se utilizan. 7.32 Cul es la probabilidad de que la muestra de infantes de jardn de nios del ejemplo 7.6 tenga una estatura media de menos de 39.75 pulgadas? 7.33 Una muestra aleatoria de tamao 36 se seleccionar de una poblacin que tiene una media = 50 y una desviacin estndar de 10. a. Esta muestra de 36 tiene un valor medio de x, que perte- nece a una distribucin muestral. Encuentra la forma de esta distribucin muestral. b. Encuentra la media de esta distribucin muestral. c. Encuentra el error estndar de esta distribucin muestral. d. Cul es la probabilidad de que esta media muestral est entre 45 y 55? e. Cul es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor que 48? f. Cul es la probabilidad de que la media muestral est dentro de 3 unidades de la media? 7.34 La pastelera local cocina ms de mil barras de pan de 1 libra todo los das y los pesos de dichas barras varan. El peso medio es 1 lb y 1 oz o 482 gramos. Supn que la desviacin estndar de los pesos es 18 gramos y que una muestra de 40 barras se selecciona al azar. a. Esta muestra de 40 tiene un valor medio de x, que perte- nece a una distribucin muestral. Encuentra la forma de esta distribucin muestral. b. Encuentra la media de esta distribucin muestral. c. Encuentra el error estndar de esta distribucin muestral. d. Cul es la probabilidad de que esta media muestral est entre 475 y 495? e. Cul es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor menor que 478? f. Cul es la probabilidad de que la media muestral est dentro de 5 gramos de la media? 7.35 Considera la poblacin aproximadamente normal de es- taturas de estudiantes universitarios varones con media = 69 pulgadas y desviacin estndar = 4 pulgadas. Se obtiene una muestra aleatoria de 16 estaturas. a. Describe la distribucin de x, estatura de estudiantes uni- versitarios varones. b. Encuentra la proporcin de estudiantes universitarios varones cuya estatura es mayor que 70 pulgadas. c. Describe la distribucin de x, la media de las muestras de tamao 16. d. Encuentra la media y el error estndar de la distribucin x. e. Encuentra P(x > 70). f. Encuentra P(x < 67). 7.36 La cantidad de llenado (peso de contenido) que se pone en un frasco de vidrio de salsa de espagueti tiene distribucin normal con media = 850 gramos y desviacin estndar = 8 gramos. a. Describe la distribucin de x, la cantidad de llenado por frasco. b. Encuentra la probabilidad de que un frasco seleccionado al azar contenga entre 848 y 855 gramos. c. Describe la distribucin de x, el peso medio para una muestra de 24 de tales frascos de salsa. d. Encuentra la probabilidad de que una muestra aleatoria de 24 frascos tenga un peso medio entre 848 y 855 gramos. 7.37 Las estaturas de los infantes de jardn de nios mencio- nados en el ejemplo 7.6 (p. 328) tienen distribucin aproxima- damente normal con = 39 y = 2. a. Si un nio individual de dicho jardn de nios se selec- ciona al azar, cul es la probabilidad de que tenga una estatura entre 38 y 40 pulgadas? b. Un saln de clase de 30 de dichos nios se usa como muestra. Cul es la probabilidad de que la media de la clase x est entre 38 y 40 pulgadas? c. Si un nio individual de ese jardn de nios se selecciona al azar, cul es la probabilidad de que sea ms alto que 40 pulgadas? d. Un saln de clase de 30 de dichos nios de ese jardn de nios se utiliza como muestra. Cul es la probabilidad de que la media de la clase x sea mayor que 40 pulgadas? 7.38 Los salarios para varias posiciones pueden variar signi- FDWLYDPHQWHGHSHQGLHQGRGHVLODFRPSDxtDHVWiRQRHQHO sector pblico o privado. El Departamento de Trabajo de EUA public el salario promedio en 2007 para gerentes de recursos www.fullengineeringbook.net 331 humanos empleados por el gobierno federal como 76 503 d- lares. Supn que los salarios anuales para este tipo de empleo tienen una distribucin normal y una desviacin estndar de 8 850 dlares. a. Cul es la probabilidad de que un gerente de recursos humanos seleccionado al azar recibiera ms de 100 000 dlares en 2007? b. Se toma una muestra de 20 gerentes de recursos humanos y se reportan sus salarios anuales. Cul es la probabili- dad de que la media muestral del salario anual est entre 70 000 y 80 000 dlares? 7.39 Con base en datos desde 1996 hasta 2006 del Western Regional Climate Center, la velocidad promedio de los vien- tos en Honolul, Hawai, es igual a 10.6 millas por hora. Su- pn que las velocidades de los vientos tienen una distribucin aproximadamente normal con una desviacin estndar de 3.5 millas por hora. a. Encuentra la probabilidad de que la velocidad del viento en cualquier lectura superar 13.5 millas por hora. b. Encuentra la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 9 lecturas supere 13.5 millas por hora. c. Crees que la suposicin de normalidad es razonable? d. Qu efecto crees que tenga la suposicin de normalidad sobre las respuestas a los incisos a y b? Explica. 7.40 TIMSS 2007 (estudio internacional de tendencias en matemticas y ciencias) se enfoc en el logro matemtico y FLHQWtFRGHHVWXGLDQWHVGHRFWDYRJUDGRHQWRGRHOPXQGR8Q total de 8 pases (incluido Estados Unidos) particip en el estu- GLR/DPHGLDGHODFDOLFDFLyQHQHOH[DPHQGHPDWHPiWLFDV para estudiantes estadounidenses fue 509, con una desviacin estndar de 88. Fuente: http://nces.ed.gov/ 6LVXSRQHVTXHODVFDOLFDFLRQHVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO encuentra lo siguiente para una muestra de 150 estudiantes. D (QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHODFDOLFDFLyQ7,066 media para un grupo seleccionado al azar de estudiantes de octavo grado est entre 495 y 515. E (QFXHQWUDODSUREDELOLGDGGHTXHODFDOLFDFLyQ7,066 para un grupo seleccionado al azar de estudiantes de octa- vo grado sea menor a 520. c. Crees que la suposicin de normalidad es razonable? Explica. 7.41 De acuerdo con el artculo "Slo en Estados Unidos", del Readers' Digest de junio de 2004, la cantidad promedio que un MRYHQGHDxRVJDVWDHQVXHVWDGHJUDGXDFLyQGHEDFKLOOHUD- to es 638 dlares. Supn que las cantidades gastadas tienen una distribucin normal, con una desviacin estndar de 175 dlares. a. Encuentra la probabilidad de que el costo medio por DVLVWLUDXQDHVWDGHJUDGXDFLyQGHEDFKLOOHUDWRSDUD jvenes de 17 aos seleccionados al azar est entre 550 y 700 dlares. b. Encuentra la probabilidad de que el costo medio por asistir DXQDHVWDGHJUDGXDFLyQGHEDFKLOOHUDWRSDUDMyYHQHV de 17 aos seleccionados al azar sea mayor que 750 dlares. c. Crees que la suposicin de normalidad es razonable? Explica. 7.42/DRFLQDGHHVWDGtVWLFDV ODERUDOHVRIUHFH LQIRUPDFLyQ de prestaciones y servicios para varias posiciones. A mayo de 2008, el salario nacional promedio para una RN (enfermera registrada) fue de 65 130 dlares. Supn que la desviacin es- tndar es 9 385 dlares. Encuentra lo siguiente para la media de una muestra aleatoria de 100 de tales enfermeras. a. La probabilidad de que la media de la muestra sea menor a 62 500 dlares. b. La probabilidad de que la media muestral est entre 64 000 y 67 500 dlares. c. La probabilidad de que la media muestral sea mayor que$66 000 dlares. d. Explica por qu la suposicin de normalidad acerca de la distribucin de salarios no estuvo involucrada en las soluciones a los incisos a, b y c. 7.43 Con referencia al ejemplo 7.6 (p. 328), qu estatura aco- tara el 25% inferior de todas las muestras de tamao 25? 7.44 Se selecciona una popular linterna que usa dos bateras tamao D, y se compran varias del mismo modelo para poner a prueba la "vida de uso continuo" de las bateras D. Confor- me se instalan bateras frescas, cada linterna se enciende y se anota el tiempo. Cuando la linterna ya no produce luz, se anota nuevamente el tiempo. Los datos de la "vida" resultante de bateras Rayovac tiene una media de 21.0 horas. Fuente: http://www.rayovac.com. Supn que dichos valores tienen una distribucin normal, con una desviacin estndar de 1.38 horas. a. Cul es la probabilidad de que una batera Rayovac se- leccionada al azar tenga una vida de prueba de entre 20.5 y 21.5 horas? b. Cul es la probabilidad de que una muestra de 4 bateras Rayovac seleccionadas al azar tenga una vida de prueba media de entre 20.5 y 21.5 horas? c. Cul es la probabilidad de que una muestra de 16 ba- teras Rayovac seleccionadas al azar tenga una vida de prueba media de entre 20.5 y 21.5 horas? d. Cul es la probabilidad de que una muestra de 64 ba- teras Rayovac seleccionadas al azar tenga una vida de prueba media de entre 20.5 y 21.5 horas? e. Describe el efecto que tiene el aumento en el tamao de la muestra sobre las respuestas a los incisos b-d. Seccin 7.3 Aplicacin de la distribucin muestral de medias muestrales www.fullengineeringbook.net 332 Captulo 7 Variabilidad muestral 7.45 a. Encuentra P(4 < x < 6) para una muestra aleatoria de tamao 4 extrada de una poblacin normal con = 5 y = 2. b. Usa una computadora para generar al azar 100 muestras, cada una de tamao 4, de una distribucin de probabilidad normal con = 5 y = 2. Calcula la media, x, para cada muestra. c. Cuntas de las medias muestrales en el inciso b tienen valores entre 4 y 6? Qu porcentaje es ese? d. Compara las respuestas a los incisos a y c; explica cualquier diferencia que ocurra. MINITAB a. Escribe los nmeros 4 y 6 en C1. Usa los comandos CUMULA- TIVE NORMAL PROBABILITY DISTRIBUTION de la pgina 285, sustituye la media con 5, la desviacin estndar con 1 (2 4), la columna de entrada con C1 y el almacenamiento temporal en C2. Encuentra CDF(6) CDF(4). b. Usa los comandos Normal RANDOM DATA de la pgina 91, sustituye generar con 100, almacenar en C3-C6, media con 5 y desviacin estndar con 2. Usa los comandos ROW STA- TISTICS de la pgina 318, sustituye variables de entrada con C3-C6 y almacenar resultado en C7. c. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C7. Selecciona Labels, Data Labels, Label Type; usa ni- veles de valor y. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con punto medio y posiciones de punto medio 0:10/1. Excel a. Escribe los nmeros 4 y 6 en la columna A. Activa la celda B1. Usa los comandos CUMULATIVE NORMAL DISTRIBUTION de la pgina 285, sustituye X con A1:A2. Encuentra CDF(6) CDF(4). b. Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 91, sustituye el nmero de variables con 4, nme- ro de nmeros aleatorios con 100, media con 5, desviacin estndar con 2 y rango de salida con C1. Activa la celda G1. Usa los comandos AVERAGE INSERT FUNCTION del ejercicio 7.13b de la pgina 318, sustituye Number1 con C1:F1. c. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a de la pgina 291, sustitu- ye el primer valor con 0, el ltimo valor con 9, los pasos con 1 y el rango de salida con H1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con la columna G como el rango de en- trada, columna H como el rango de caja y la columna I como el rango de salida. TI-83/84 Plus a. Usa los comandos CUMULATIVE NORMAL PROBABILITY de la pgina 285, sustituye el Enter con 4, 6, 5, 1). (La desviacin estndar es 1; de 2 4 .) b. Usa los comandos Normal RANDOM DATA y STO de la pgi- na 91, sustituye el Enter con 5, 2, 100). Repite dichos coman- dos tres veces ms, almacenar datos en L2, L3 y L4, respectiva- mente. Elige: STAT > EDIT > 1: Edit Resalta: L5 (encabezado columna) Escribe: (L1 + L2 + L3 + L4)/4 c. Usa los comandos HISTOGRAM y TRACE de la pgina 54 para contar. Escribe 0, 9, 1, 0, 45, 1 para la Ventana. 7.46 a. Encuentra P(46 < x < 55) para una muestra aleatoria de tamao 16 extrada de una poblacin normal con media = 50 y desviacin estndar = 10. b. Usa una computadora para generar al azar 200 mues- tras, cada una de tamao 16, de una distribucin de probabilidad normal con media = 50 y desviacin estndar = 10. Calcula la media, x, para cada muestra. c. Cuntas de las medias muestrales del inciso b tie- nen valores entre 46 y 55? Qu porcentaje es se? d. Compara las respuestas a los incisos a y c; explica cualquier diferencia que ocurra. PTI Si usas computadora, consulta el ejercicio 7.45. www.fullengineeringbook.net 333 Repaso del captulo Imagen copyright cosma, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.comEn retrospectiva En los captulos 6 y 7 aprendiste a usar la distribucin de pro- babilidad normal estndar. Ahora tienes dos frmulas para calcular un valor z: z = x y z = x / n Debes tener cuidado para distinguir entre estas dos frmu- las. La primera proporciona el valor estndar cuando se tienen valores individuales de una distribucin normal (valores x). La segunda frmula trata con una media muestral (valor x). La cla- ve para distinguir entre las frmulas es decidir si el problema trata con un individuo x o con una media muestral x. Si trata con los valores individuales de x, usa la primera frmula como se present en el captulo 6. Si el problema trata con una media muestral, x, usa la segunda frmula y procede como se ilustr en este captulo. El propsito bsico para considerar qu ocurre cuando una poblacin se muestrea de manera repetida, como se estudi en este captulo, es formar distribuciones muestrales. La distri- bucin muestral se usa entonces para describir la variabilidad que ocurre de una muestra a la siguiente. Una vez conocido y comprendido este patrn de variabilidad para un estadsti- FRPXHVWUDO HVSHFtFR HV SRVLEOHKDFHU SUHGLFFLRQHV DFHUFD del correspondiente parmetro poblacional con una medida de cun precisa es la prediccin. La DMMM y el teorema central del lmite ayudan a describir la distribucin para medias mues- trales. En el captulo 8 comenzars a hacer inferencias acerca de medias poblacionales. Existen otras razones para el muestreo repetido. Las mues- tras repetidas usualmente se utilizan en el campo del control de produccin, en el que las muestras se toman para determinar si un producto es del tamao o la cantidad adecuados. Cuando el estadstico muestral no encaja en los estndares, es necesario un ajuste mecnico de la maquinaria. Entonces el ajuste es se- guido por otro muestreo para asegurarse de que el proceso de produccin est bajo control. El "error estndar de ___________" es el nombre que se usa para la desviacin estndar de la distribucin muestral para cualquier estadstico que se mencione en el espacio. En este captulo se consider el error estndar de la media. Sin embar- go, tambin podras trabajar con el error estndar de la propor- cin, la mediana o cualquier otro estadstico. Ahora debes estar familiarizado con el concepto de distri- bucin muestral y, en particular, con la distribucin muestral de las medias muestrales. En el captulo 8 comenzars a realizar predicciones acerca de los valores de parmetros poblacionales. El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave distribucin de frecuencias (p. 315) distribucin de probabilidad (p. 314) distribucin muestral (p. 323) distribucin muestral de medias mues- trales (pp. 314, 320) error estndar de la media (p. 320) estadstico muestral repetido (p. 313) muestra aleatoria (p. 316) teorema central del lmite (p. 320) valor z (p. 327) Repaso del captulo www.fullengineeringbook.net 334 Captulo 7 Variabilidad muestral Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUTXpHVXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHPHGLDVPXHVWUDOHV\TXHOD SS(- distribucin se obtiene a partir de muestras repetidas, todas del mismo tamao. 3RGHUIRUPDUXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDOSDUDXQDPHGLDPHGLDRUDQJRFRQEDVH (-(M HQXQDSHTXHxDSREODFLyQQLWD &RPSUHQGHUTXHXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDOHVXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG (- para un estadstico muestral. &RPSUHQGHU\SRGHUSUHVHQWDU\GHVFULELUODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHPHGLDV SS(M muestrales y el teorema central del lmite. &RPSUHQGHU\SRGHUH[SOLFDUODUHODFLyQHQWUHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHXQD SS(M media de la muestra y del teorema del lmite central. 'HWHUPLQDU\SRGHUH[SOLFDUHOHIHFWRGHOWDPDxRGHODPXHVWUDVREUHHOHUURU SS(M estndar de la media. (QWHQGHUFXiQGR\FyPRSXHGHXVDUVHODGLVWULEXFLyQQRUPDOSDUDHQFRQWUDU (- probabilidades correspondientes a medias muestrales. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUYDORUHVzFRUUHVSRQGLHQWHVDYDORUHVFRQRFLGRV (-(- de x. Ej. 7.29, 7.30, 7.48 &DOFXODUYDORUHVz y probabilidades para aplicaciones de la distribucin Ej. 7.33, 7.35 muestral de medias muestrales. Ejercicios del captulo 7.47 Si una poblacin tiene una desviacin estndar de 18.2 unidades, cul es el error estndar de la media si se seleccio- nan muestras de tamao 9? Muestras de tamao 25? Mues- tras de tamao 49? Muestras de tamao 100? 7.48 Considera una poblacin normal con = 24.7 y = 4.5. a. Calcula el valor z para una x de 21.5. b. Calcula el valor z para una x de 21.5 de una muestra de tamao 25. c. Explica cmo 21.5 puede tener valores z tan diferentes. 7.49 La directora de enfermera dice a los estudiantes a inscri- bir para la prxima clase que los graduados de la escuela pue- den esperar ganar un ingreso semanal medio de 775 dlares XQDxRGHVSXpVGHODJUDGXDFLyQ6XSyQTXHODDUPDFLyQGH la directora es verdadera y que los salarios semanales un ao despus de la graduacin tienen una distribucin normal con una desviacin estndar de 115 dlares. Si se selecciona un graduado al azar: a. Describe la distribucin del salario semanal a obtener un ao despus de la graduacin. b. Cul es la probabilidad de que el graduado seleccionado gane entre 625 y 825? Si se selecciona una muestra al azar de 25 graduados: c. Describe el salario semanal medio a obtener un ao des- pus de la graduacin. d. Cul es la probabilidad de que la media muestral est entre 710 y 785 dlares? e. Por qu se usa el valor z para responder los incisos b y d? f. Por qu la frmula para z usada en el inciso d es diferen- te del que usaste en el inciso b? 7.50 Los dimetros de las manzanas Red Delicious en cierto huerto tienen distribucin normal, con una media de 2.63 pul- gadas y una desviacin estndar de 0.25 pulgada. a. Qu porcentaje de las manzanas en este huerto tienen dimetros menores a 2.25 pulgadas? b. Qu porcentaje de las manzanas en el huerto son mayo- res que 2.56 pulgadas de dimetro? Se recolecta una muestra de 100 manzanas y el dimetro me- dio obtenido es x = 2.56. c. Si se toma otra muestra de tamao 100, cul es la pro- babilidad de que su media muestral sea mayor que 2.56 pulgadas? d. Por qu se usa el valor z para responder los incisos a-c? www.fullengineeringbook.net 335 e. Por qu la frmula para z usada en el inciso d es diferen- te del que usaste en los incisos a y b? 7.51 a. Encuentra un valor para e tal que 95% de las manza- nas en el ejercicio 7.50 estn dentro de e unidades de la media, 2.63. Esto es: encuentra e tal que P(2.63 e < x < 2.63 + e) = 0.95. b. Encuentra un valor para E tal que 95% de las muestras de 100 manzanas tomadas del huerto del ejercicio 7.50 tendrn valores medios dentro de E unidades de la media, 2.63. Esto es: encuentra E tal que P(2.63 E < x < 2.63 + E) = 0.95. 7.52 Los estadounidenses gastan miles de millones en aten- cin veterinaria cada ao. De acuerdo con la APPA National Pet Owners Survey, los ciudadanos estadounidenses gastaron 10.1 mil millones de dlares en cuidado de mascotas en 2007. Los servicios de atencin a la salud ofrecidos para los anima- les rivalizan con los proporcionados a los humanos, siendo el costo usual de ciruga de entre 1 700 y 3 000 dlares o ms. En promedio, el dueo de un perro gast un estimado de 670 dlares en gastos relacionados con veterinario dicho ao. Fuente: American Pet Products Manufacturers Association Supn que el gasto anual en atencin a la salud por parte del dueo de un perro tiene una distribucin normal, con una me- dia de 670 dlares y una desviacin estndar de 290 dlares. a. Cul es la probabilidad de que el dueo de un perro, seleccionado al azar de la poblacin, haya gastado ms de 1 000 dlares en atencin a la salud durante 2007? b. Supn que se realiza una encuesta de 300 dueos de pe- rros y a cada uno se le pide reportar el total de su factura de atencin veterinaria durante 2007. Cul es la proba- bilidad de que el gasto anual medio de esta muestra caiga entre 700 y 750 dlares? c. La suposicin de distribucin normal en esta situacin probablemente desorienta. Explica por qu y qu efecto tiene esto sobre las respuestas a los incisos a y b. 7.53 El gerente de almacn en Marketview, consciente de la estadstica, registra el nmero de clientes que pasan por la puerta cada da. Aos de registros muestran que el nmero de clientes por da es de 586, con una desviacin estndar de 165. Supn que el nmero de clientes tiene una distribucin normal. a. Cul es la probabilidad de que, en un da dado, el nme- ro de clientes supere 1 000? b. Si se seleccionan 20 das al azar, cul es la probabilidad de que la media de esta muestra sea menor que 550? c. La suposicin de normalidad te permiti calcular las probabilidades; sin embargo, sta puede no ser una supo- sicin razonable. Explica por qu y cmo afecta esto a las probabilidades que encontraste en los incisos a y b. 7.54 Todos necesitan recortar costos, incluso quienes planean una boda, de acuerdo con el artculo del USA Today del 8 de MXOLRGH/DQRYLDGHKR\GHQLWLYDPHQWHHVORRSXHVWR a bridezilla'". El artculo cita el gasto promedio del vestido de novia, con base en informacin de la The Knot Real Wedding Survey de 2008, como 1 032 dlares. Si supones que el costo de los vestidos de novia tiene una distribucin normal, con una desviacin estndar de 550 dlares, cul es la probabili- dad de que el costo medio de los vestidos de novia, para una muestra de 20 futuras novias seleccionadas al azar, est entre 800 y 1 200 dlares? 7.55 Un embarque de barras de acero se acepte si la resisten- cia a la rotura media de una muestra al azar de 10 barras de acero es mayor que 250 libras por pulgada cuadrada. En el pasado, la resistencia a la rotura de tales barras tena una media de 235 y una varianza de 400. a. Si supones que las resistencias a la rotura tienen una distribucin normal, cul es la probabilidad de que una barra de acero seleccinada al azar tenga una resis- tencia a la rotura en el rango de 245 a 255 libras por pulgada cuadrada? b. Cul es la probabilidad de que se acepte el embarque? 7.56 Un reporte en The Washington Post (26 de abril de 2009) DUPDTXHODHGDGSURPHGLRSDUDTXHORVKRPEUHVVHFDVHQHQ Estados Unidos es ahora de 28 aos de edad. Si se supone que la desviacin estndar es de 3.2 aos, encuentra la probabili- dad de que una muestra al azar de 40 hombres estadounidenses muestre una edad media menor que o igual a 27 aos. 7.578QIDEULFDQWHGHIRFRVDUPDTXHVXVIRFRVWLHQHQXQD vida media de 700 horas y una desviacin estndar de 120 ho- ras. T compras 144 de dichas lmparas y decides que com- praras ms si la vida media de tu muestra actual superara las 680 horas. Cul es la probabilidad de que no compres nueva- mente a este fabricante? 7.588QIDEULFDQWHGHQHXPiWLFRVDUPDFRQEDVHHQDxRV de experiencia con sus neumticos) que el millaje medio de sus neumticos es 35 000 millas y la desviacin estndar es de 5 000 millas. Una agencia del consumidor selecciona al azar 100 de dichos neumticos y encuentra una media mues- tral de 31 000. La agencia del consumidor debe dudar de la DUPDFLyQGHOIDEULFDQWH" Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 336 Captulo 7 Variabilidad muestral 7.59 Para muestras grandes, la suma muestral (x) tiene una distribucin aproximadamente normal. La media de la suma muestral es n y la desviacin estndar es n . La distri- bucin de ahorros por cuenta para una institucin de ahorro y prstamo tiene una media igual a 750 y una desviacin estn- dar igual a 25 dlares. Para una muestra de 50 de tales cuentas, encuentra la probabilidad de que la suma en las 50 cuentas supere 38 000 dlares. 7.60 Los pesos de equipaje para los pasajeros que usan una aerolnea particular tienen una distribucin normal, con una media de 20 lb y una desviacin estndar de 4 lb. Si el lmite de peso del equipaje total es de 2 125 lb, cul es la probabilidad de que el lmite se superar para 100 pasajeros? 7.61 Una empresa de camiones entrega electrodomsticos en una gran operacin minorista. Los paquetes (o cajas) tienen un peso medio de 300 lb y una varianza de 2 500. a. Si un camin puede transportar 4 000 lb y es necesario transportar 25 electrodomsticos, cul es la probabilidad de que los 25 aparatos tengan un peso agregado mayor que la capacidad del camin? Supn que los 25 aparatos representan una muestra al azar. b. Si el camin tiene una capacidad de 8 000 lb, cul es la probabilidad de que pueda transportar todo el lote de 25 electrodomsticos? 7.62 Una compaa de discos de msica pop quiere que la distribucin de las duraciones de las pistas en sus discos ten- gan un promedio de 2 minutos y 15 segundos (135 segundos) y una desviacin estndar de 10 segundos, de modo que los disc jockeys tengan mucho tiempo para comerciales dentro de cada periodo de 5 minutos. La poblacin de tiempos para pis- tas tiene una distribucin aproximadamente normal, slo con un sesgo despreciable hacia la derecha. Acabas de contar el tiempo de las pistas en una nueva produccin y descubres que las 10 pistas promedian 140 segundos. a. Qu porcentaje del tiempo el promedio ser de 140 se- gundos o ms, si la nueva produccin se selecciona al azar? b. Si la compaa musical quiere que las 10 pistas prome- dien no ms de 140 segundos menos de 5% de las veces, cul debe ser la media poblacional, dado que la desvia- cin estndar sigue siendo de 10 segundos? 7.63 Simula la distribucin muestral relacionada con la preocupacin de los disc jockeys por la "duracin de la pista" del ejercicio 7.62. a. Usa una computadora para generar al azar 50 muestras, cada una de tamao 10, de una distribucin normal con media 135 y desviacin estndar 10. Encuentra el "total muestral" y la media muestral para cada muestra. b. Con 50 medias muestrales, construye un histograma y encuentra su media y desviacin estndar. c. Con 50 "totales" muestrales, construye un histograma y encuentra su media y desviacin estndar. d. Compara los resultados obtenidos en los incisos b y c. Explica cualquier similitud y cualquier diferencia que observes. MINITAB a. Usa los comandos Normal RANDOM DATA de la pgina 91, sustituye generar con 50, almacenar en C1-C10, media con 135 y desviacin estndar con 10. Usa los comandos ROW STATISTICS de la pgina 318, selecciona Sum y sustituye va- riables de entrada con C1-C10 y almacenar resultado en C11. Usa los comandos ROW STATISTICS, selecciona nuevamente Mean y despus sustituye variables de entrada con C1-C10 y almacenar el resultado en C12. b. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los da- tos en C12. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con punto medio. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIA- TION de las pginas 65 y 79 para los datos en C12. c. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los datos en C11. Para ajustar el histograma, selecciona Binning con puntos medios. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en C11. d. Usa los comandos DISPLAY DESCRIPTIVE STATISTICS de la p- gina 88 para los datos en C11 y C12. Excel a. Usa los comandos Normal RANDOM NUMBER GENERATION de la pgina 91, sustituye nmero de variables con 10, nme- ro de nmeros aleatorios con 50, media con 135 y desviacin estndar con 10. Activa la celda K1. Elige: Insert function fx > All > SUM > OK Escribe: Number1: (A1:J1 o selecciona celdas) Arrastra: Esquina inferior derecha del recuadro valor suma hacia abajo para obtener otras sumas Activa la celda L1. Usa los comandos AVERAGE INSERT FUNCTION del ejercicio 7.13b de la pgina 318, sustituye Num- ber1 con A1:J1. b. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a de la pgina 291, susti- tuye el primer valor con 125.4, el ltimo valor con 144.6, los pasos con 3.2 y el rango de salida con M1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con columna L como rango de entrada y columna M como rango de caja. Usa los coman- dos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en la columna L. www.fullengineeringbook.net 337 c. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a de la pgina 291, susti- tuye el primer valor con 1254, el ltimo valor con 1446, los pasos con 32 y el rango de salida con M20. Usa los coman- dos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con columna L como rango inicial y celdas M20-? como el rango de caja. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en la columna K. d. Usa los comandos DESCRIPTIVE STATISTICS de la pgina 88 para los datos en las columnas K y L. 7.64 a. Encuentra la media y la desviacin estndar de x para una distribucin de probabilidad normal con n = 16 y p = 0.5. b. Usa una computadora para construir la distribucin de probabilidad y el histograma para el experimento de probabilidad binomial con n = 16 y p = 0.5. c. Usa una computadora para generar al azar 200 mues- tras de tamao 25 de una distribucin de probabili- dad binomial, con n = 16 y p = 0.5. Calcula la media de cada muestra. d. Construye un histograma y encuentra la media y la desviacin estndar de las 200 medias muestrales. e. Compara la distribucin de probabilidad de x que encontraste en el inciso b y la distribucin de fre- cuencias de x del inciso d. Tu informacin apoya el TCL? Explica. MINITAB a. Usa los comandos MAKE PATTERNED DATA del ejercicio 6.71a de la pgina 291, sustituye el primer valor con 0, el ltimo valor con 16 y los pasos con 1. Usa los comandos BI- NOMIAL PROBABILITY DISTRIBUTIONS de la pgina 251, sustituye n con 16, p con 0.5, columna de entrada con C1 y almacenamiento opcional en C2. Usa los comandos Scatter- plot with Connect Line de la pgina 129, sustituye Y con C2 y X con C1. b. Usa los comandos BINOMIAL RANDOM DATA de la pgi- na 261, sustituye generar con 200, almacenar en C3-C27, nmero de ensayos con 16 y probabilidad con 0.5. Usa los comandos ROW STATISTICS para una media de la pgina 318 y sustituye variables de entrada con C3-C27 y almace- nar resultado en C28. Usa los comandos HISTOGRAM de la pgina 53 para los datos en C28. Para ajustar el histograma, selecciona Binning with midpoints. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en C28. Excel a. Escribe del 0 al 16 en la columna A. Contina con los co- mandos de probabilidad binomial de las pginas 251-252 y usa n = 16 y p = 0.5. Activa las columnas A y B; despus contina con: Elige: Insert > Column > 1st picture > Next > Series Elige: Select Data > Series1 > Remove > OK b. Usa los comandos Binomial RANDOM NUMBER GENERA- TION del ejercicio 5.95 de la pgina 261, sustituye nmero de variables con 25, nmero de nmeros aleatorios con 200, valor p con 0.05, nmero de ensayos con 16 y rango de sali- da con C1. Activa la celda BB1. Usa los comandos AVERAGE INSERT FUNCTION del ejercicio 7.13b en la pgina 318, sustituye Number1 con C1:AA1. c. Usa los comandos RANDOM NUMBER GENERATION Patter- ned Distribution del ejercicio 6.71a en la pgina 291, sustitu- ye el primer valor con 6.8, el ltimo valor con 9.2, los pasos con 0.4 y el rango de salida con CC1. Usa los comandos HISTOGRAM de las pginas 53-54 con columna BB como ran- go de entrada y columna CC como en rango de caja. Usa los comandos MEAN y STANDARD DEVIATION de las pginas 65 y 79 para los datos en la columna BB. 7.65 a. Encuentra la media y la desviacin estndar de x para una distribucin de probabilidad binomial, con n = 200 y p = 0.3. b. Usa una computadora para construir la distribucin de probabilidad y el histograma para la variable alea- toria x del experimento de probabilidad binomial con n = 200 y p = 0.3. c. Usa una computadora para generar al azar 200 mues- tras de tamao 25 de una distribucin de probabili- dad binomial con n = 200 y p = 0.3. Calcula la media x de cada muestra. d. Construye un histograma y encuentra la media y la desviacin estndar de las 200 medias muestrales. e. Compara la distribucin de probabilidad de x que encontraste en el inciso b y la distribucin de frecuencias de x que encontraste en el inciso d. Tu informacin apoya el TCL? Explica. PTI Usa los comandos del ejercicio 7.64 y haz los ajustes necesarios. 7.66 Una muestra de 144 valores se selecciona al azar de una poblacin con media, , igual a 45 y desviacin estndar, , igual a 18. a. Determina el intervalo (del valor ms pequeo al valor ms grande) dentro del cual esperaras que se encuentre la media muestral. (contina en la pgina 338) Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 338 Captulo 7 Variabilidad muestral b. Cul es la cantidad de desviacin desde la media para una media muestral de 45.3? c. Cul es la desviacin mxima que permitiste en tu respuesta al inciso a? d. Cmo se relaciona la desviacin mxima con el error estndar de la media? Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negrillas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 7.1 Una distribucin muestral es una distribucin que men- ciona todos los estadsticos muestrales que describen una muestra particular. 7.2 Los histogramas de todas las distribuciones muestrales son simtricos. 7.3 La media de la distribucin muestral de x es igual a la media de la muestra. 7.4 El error estndar de la media es la desviacin estndar de la poblacin de donde se tomaron las muestras. 7.5 El error estndar de la media aumenta conforme se in- crementa el tamao de la muestra. 7.6 La forma de la distribucin de medias muestrales siem- pre es el de una distribucin normal. 7.7 Una distribucin de probabilidad de un estadstico muestral es una distribucin de todos los valores de di- cho estadstico que se obtuvieron a partir de todas las muestras posibles. 7.8 La distribucin muestral de medias muestrales ofrece una descripcin de las tres caractersticas de una distri- bucin muestral de medianas muestrales. 7.9 Una muestra de frecuencias se obtiene en tal forma que todas las posibles muestras de un tamao dado tienen igual posibilidad de ser seleccionadas. 7.10 No es necesarioWRPDUPXHVWUDVUHSHWLGDVFRQODQDOL- dad de usar el concepto de distribucin muestral. PARTE II: Aplicacin de los conceptos 7.11 Se cree que las longitudes de la trucha de lago en Cone- sus Lake tienen una distribucin normal con una media de 15.6 pulgadas y una desviacin estndar de 3.8 pul- gadas. a. Kevin va a pescar a Conesus Lake maana. Si cap- tura una trucha de lago, cul es la probabilidad de que sea menor a 15.0 pulgadas de largo? b. Si maana el bote de pesca del capitn Brian lleva a 10 personas a pescar a Conesus Lake y capturan una muestra al azar de 16 truchas de lago, cul es la probabilidad de que la longitud media de su captura total sea menor a 15 pulgadas? 7.126H DUPDTXH ORV HQFHQGHGRUHV IDEULFDGRV SRU(DV- yVice Company tienen una vida media de 20 meses, con una desviacin estndar de 6 meses. La garanta de devolucin de dinero te permite regresar el encen- dedor si no dura al menos 12 meses desde la fecha de compra. a. Si las vidas de dichos encendedores tienen una dis- tribucin normal, qu porcentaje de los encendedo- res se devolvern a la compaa? b. Si se pone a prueba una muestra al azar de 25 en- cendedores, cul es la probabilidad de que la vida media muestral sea de ms de 18 meses? 7.13 Se considera que los remaches de aluminio producidos por Rivets Forever, Inc., tienen resistencias al corte que se distribuyen en torno a una media de 13.75, con una desviacin estndar de 2.4. Si esta informacin es ver- dadera y se pone a prueba la resistencia al corte de una muestra de 64 de dichos remaches, cul es la probabili- dad de que la resistencia media est entre 13.6 y 14.2? PARTE III: Comprender los conceptos 7.14 "Dos cabezas son mejor que una." Si esto es verdade- ro, entonces qu tan buenas seran muchas cabezas? Para descubrirlo, una profesora de estadstica dibuj una recta a travs del pizarrn y pidi a su clase estimar su longitud hasta la pulgada ms cercana. Ella recopil sus estimaciones, que variaron desde 33 hasta 61 pulga- das y calcul el valor medio. Despus report que dicha media fue de 42.25 pulgadas. Entonces midi la recta y descubri que meda 41.75 pulgadas. Esto demuestra que "muchas cabezas son mejor que una"? Cul teora estadstica apoya esta ocurrencia? Explica cmo. 7.15 La distribucin muestral de medias muestrales es ms que slo una distribucin de los valores medios que ocurren a partir de muchas muestras repetidas tomadas de la misma poblacin. Describe qu otra condicin es- SHFtFDGHEHVDWLVIDFHUVHFRQODQDOLGDGGHWHQHUXQD distribucin muestral de medias muestrales. www.fullengineeringbook.net 339 7.16 (O HVWXGLDQWH$DUPDXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDO GH las desviaciones estndar te dice cmo vara la desvia- cin estndar de muestra a muestra". El estudiante B argumenta: "una distribucin poblacional te dice eso". 4XLpQWLHQHODUD]yQ"-XVWLFDWXUHVSXHVWD 7.17 El estudiante A dice que es "el tamao de cada muestra utilizada" y el estudiante B dice que es "el nmero de muestras utilizadas" el que determina la dispersin de una distribucin muestral emprica. Quin tiene la razn? -XVWLFDWXHOHFFLyQ Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 340 Captulo 00 Captulo ttulo 8 8.1 La naturaleza de la estimacin Dos formas de estimacin: estimacin puntual y estimacin por intervalo 8.2 Estimacin de media ( conocida) Cmo usar la DMMM y el TCL para estimar la media poblacional 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis Las pruebas comienzan con una hiptesis nula y una hiptesis alternativa 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de valor de probabilidad Cmo usar la capacidad de la computadora para completar el proceso de toma de decisiones 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo clsico (opcional) Cmo usar valores crticos para la toma de decisiones Introduccin a la inferencia estadstica 8.1 La naturaleza de la estimacin 2010 Image Source/Jupiterimages Corporation Somos ms altos o ms bajos ahora? La estatura promedio de un ingls del siglo XVII era de aproximadamente 5 pies 6 pulgadas. Para las inglesas del siglo XVII, era de aproximadamente 5 pies pulgada. Aunque las estaturas promedio en Inglaterra virtualmente permanecieron invariables en los siglos XVII y XVIII, los colonizadores americanos crecieron ms altos. Los promedios para los estadounidenses modernos estn apenas por arriba de 5 pies 9 pulgadas para hombres y aproximadamente 5 pies 3 pulgadas para mujeres. Fuente: http://www.plimoth.org/ El Centro Nacional para Estadsticas de Salud (NCHS) proporciona informacin estadstica que guia- r acciones y polticas para mejorar la salud del pueblo estadounidense. Datos recientes del NCHS dan la estatura promedio de las mujeres en Estados Unidos en 63.7 pulgadas, con una desviacin estndar de 2.75 pulgadas. Supn que se recopila una muestra de estaturas de 50 mujeres profesionales de la salud estadouniden- ses seleccionadas al azar. Esperas que la media de esta muestra aleatoria de 50 estaturas de mujeres sea exactamente igual a la media poblacional de 63.7 pulgadas dadas por NCHS (una pregunta de estima- cin"6LODPHGLDPXHVWUDOHVPD\RUTXHSXOJDGDVHOORVLJQLFDTXHODVSURIHVLRQDOHVGHODVDOXG mujeres sean ms altas que las mujeres estadounidenses (una pregunta de prueba de hiptesis)? stas son preguntas inferenciales respecto a si "somos ms altos o ms bajos ahora?". Como recordars, el teorema central del lmite te da cierta informacin muy importante acerca de la GLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHODVPHGLDVPXHVWUDOHV'000(VSHFtFDPHQWHDUPDTXHHQPXFKRVFDVRV UHDOLVWDVFXDQGRODPXHVWUDDOHDWRULDHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGHXQDGLVWULEXFLyQGHPHGLDVPXHVWUDOHV tiene una distribucin normal o aproximadamente normal en torno a la media de la poblacin. Con esta informacin es posible hacer enunciados de probabilidad acerca de la posibilidad de que ocurran ciertos valores de medias muestrales cuando las muestras se extraen de una poblacin con una media conocida y una desviacin estndar conocida. Ahora ests listo para dar un giro a esta situacin hacia el caso donde la media poblacional no es conocida. Extraers una muestra, calculars su valor medio y luego hars una inferencia acerca del valor de la media poblacional con base en el valor de la media muestral. El objetivo de las estadsticas inferenciales es usar la informacin contenida en los datos muestrales para aumentar el conocimiento de la poblacin muestreada. Aprenders acerca de la realizacin de dos 1 2 3 4 www.fullengineeringbook.net 341 Seccin 8.1 La naturaleza de la estimacin tipos de inferencias: 1) estimacin del valor de un parmetro poblacional y 2) poner a prueba la hiptesis. La distribucin muestral de medias muestrales (DMMM) es la clave SDUDKDFHUGLFKDVLQIHUHQFLDVFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Numrico: En este captulo tratars con preguntas acerca de la media poblacional usando dos mtodos que suponen que el valor de la desviacin estndar poblacional es una cantidad conocida. Esta suposicin rara vez se observa en problemas de la vida real, pero ser el primer contacto con tcnicas de inferencia mucho ms simples. A partir del concepto de estimacin, considera una compaa que fabrica remaches para usar en la construccin de aeronaves. Una caracterstica de importancia extrema es la "resistencia al corte" de cada remache. Los ingenieros de la compaa deben monitorear la produccin para asegurarse de que la resistencia al corte de los remaches satisface las HVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV3DUDORJUDUHVWRWRPDQXQDPXHVWUD\GHWHUPLQDQODUHVLVWHQFLD al corte media de la muestra. Con base en esta informacin muestral, la compaa puede estimar la resistencia al corte media para todos los remaches que fabrica. Se selecciona una muestra de 36 remaches y cada remache se pone a prueba para resis- tencia al corte. La media muestral resultante es x = 924.23 lb. Con base en esta muestra, se dice: "se considera que la resistencia al corte media de todos los remaches es de 924.23 lb". Notas: 1. La resistencia al corte es la fuerza requerida para romper un material en una accin "de corte". Obviamente, el fabricante no pondr a prueba todos los remaches, porque la prueba destruye cada remache puesto a prueba. Por tanto, se ponen a prueba muestras y la informacin acerca de cada muestra debe usarse para realizar inferencias acerca de la poblacin de todos los remaches. $ORODUJRGHOFDStWXORWUDWDUiVODGHVYLDFLyQHVWiQGDU , como una cantidad conocida o dada y te concentrars en el aprendizaje de los procedimientos para realizar inferen- cias estadsticas en torno a la media poblacional, . En consecuencia, para continuar con la explicacin de las inferencias estadsticas, supondrs SDUDORVUHPDFKHV HVSHFtFRVGHVFULWRVHQHOHMHPSOR FIGURA 8.1 Dnde entra la distribucin muestral en el proceso estadstico SABAS QUE...? Adictos al chocolate El chocolate se obtie- ne del rbol de cacao. Cada fruto con forma de meln contiene de 20 a 50 granos. Para elabo- rar una libra de choco- late se necesitan aproxi- madamente 400 granos. Estados Unidos es un pas de adictos al choco- late: los estadounidenses consumen 11.6 lb por persona cada ao. Usa el estadstico muestral x (y la distribucin muestral) para hacer una inferencia acerca de la media poblacional, . El proceso estadstico Poblacin a estudiar Parmetro de inters, Recoleccin de muestra aleatoria Muestra Datos recolectados Anlisis de datos muestrales Estadsticos muestrales FrecuenciaGrfi ca: www.fullengineeringbook.net 342 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Sesgo positivo (sobrestimacin) /DVJXUDVDFG\IPXHVWUDQHVWDGtVWLFRVVHVJDGRVD\GPXHVWUDQGLVWULEX- ciones muestrales cuyos valores medios son menores que el valor del parmetro, mientras que c) y f) muestran distribuciones muestrales cuyos valores medios son mayores que el SDUiPHWUR/DVJXUDVE\HPXHVWUDQGLVWULEXFLRQHVPXHVWUDOHVTXHSDUHFHQWHQHUXQ YDORUPHGLRLJXDODOYDORUGHOSDUiPHWURSRUWDQWRQRVRQVHVJDGDV/DVJXUDVDE y c) muestran ms variabilidad, mientras que d), e) y f) muestran menos variabilidad en las distribuciones muestrales. El diagrama e) representa la mejor situacin, un estimador que no es sesgado (en el objetivo) y tiene baja variabilidad (todos los valores cercanos al objetivo). Estimacin puntual para un parmetro Un solo nmero designado para esti- mar un parmetro cuantitativo de una poblacin, por lo general el valor del correspondiente estadstico muestral. Esto es: la media muestral, x, es la estimacin puntual (valor de un solo nmero) para la media, , de la poblacin muestreada. Para el ejemplo de los remaches, 924.23 es la esti- macin puntual para , la resistencia al corte media de todos los remaches. La calidad de esta estimacin puntual debe cuestionarse. La estimacin es exacta? Es probable que la estimacin sea alta? O baja? Otra muestra producira el mismo resultado? Otra muestra producira una estimacin casi del mismo valor? O un valor que sea diferente? Cmo se miden "casi igual" o "muy diferente"?, la calidad de un pro- cedimiento de estimacin (o mtodo) se mejora enormemente si el estadstico muestral es tanto menos variable como sin sesgo. La variabilidad de un estadstico se mide por el error estndar de su distribucin muestral. La media muestral puede hacerse menos variable al reducir su error estndar, / n . Ello requiere usar una muestra ms grande porque, confor- me n aumenta, el error estndar disminuye. Estadstico sin sesgo Estadstico muestral cuya distribucin muestral tiene un valor medio igual al valor del parmetro poblacional a estimar. Un estadstico que no es no sesgado es un estadstico sesgado. /DJXUD LOXVWUDHO FRQFHSWRGHQRVHVJDGR\HO HIHFWRGHYDULDELOLGDGVREUH OD estimacin puntual. El valor A es el parmetro a estimar y los puntos representan posibles valores de estadstico muestral a partir de la distribucin muestral del estadstico. Si A representa la verdadera media poblacional, , entonces los puntos representan posibles medias muestrales de la distribucin muestral x. FIGURA 8.2 Efectos de variabilidad y sesgo Variacin alta Variacin baja Sesgo negativo (subestimacin) No sesgado (estimacin en el objetivo) A A A A A A (a) (b) (c) (d) (e) (f) www.fullengineeringbook.net 343 La media muestral, x, es un estadstico no sesgado porque el valor medio de la distri- bucin muestral de medias muestrales, x , es igual a la media poblacional, . (Recuerda que la distribucin muestral de las medias muestrales tiene una media x = .) Por tanto, el estadstico muestral x = 924.23 es una estimacin puntual no sesgada para la resistencia media de todos los remaches a fabricar en el ejemplo. Las medias muestrales varan en valor y forman una distribucin muestral en la que no todas las muestras resulten en valores x iguales a la media poblacional. Por tanto, no debes esperar que esta muestra de 36 remaches produzca una estimacin puntual (media mues- tral) que sea exactamente igual a la media de la poblacin muestreada. Sin embargo, de- bes esperar que la estimacin puntual est bastante cerca en valor a la media poblacional. La distribucin muestral de medias muestrales (DMMM) y el teorema central del lmite (TCL) proporcionan la informacin necesaria para describir cun cerca la estimacin pun- tual, x, se espera que est de la media poblacional, . Recuerda que aproximadamente 95% de una distribucin normal est dentro de 2 des- viaciones estndar de la media y que el TCL describe la distribucin muestral de medias PXHVWUDOHVFRPRFDVLQRUPDOHVFXDQGRODVPXHVWUDVVRQVXFLHQWHPHQWHJUDQGHV/DVPXHV- tras de tamao 36 de las poblaciones de variables como las resistencias de remaches por lo JHQHUDOVHFRQVLGHUDQVXFLHQWHPHQWHJUDQGHV3RUWDQWRGHEHVDQWLFLSDUTXHGHWRGDV las muestras aleatorias seleccionadas de una poblacin con media desconocida y desvia- cin estndar WHQGUiQPHGLDVx entre 2( x ) y + 2( x ) 2 y + 2 n n 2 y + 2 36 36 6 y + 6 Esto sugiere que 95% de todas las muestras aleatorias de tamao 36 seleccionadas de la poblacin de remaches debe tener una media x entre 6 y /DJXUDPXHVWUD 95% medio de la distribucin, las cotas del intervalo que cubren 95% y la media . Ahora rene toda esta informacin en la forma de un LQWHUYDORGHFRQDQ]D. Estimacin por intervalo Un intervalo acotado por dos valores y usado para estimar el valor de un parmetro poblacional. Los valores que acotan este intervalo son estadsticos calculados a partir de la muestra que se usar como la base para la estimacin. Nivel de confianza 1 Parte de todas las estimaciones de intervalo que incluyen el parmetro a estimar. Intervalo de confianza Estimacin por intervalo con un nivel especfico de confianza. PTI = 18 se dio en la nota 2 de la pgina 341. FIGURA 8.3 Distribucin muestral de x, desconocida o expresado algebraicamente P( 6 < x < + 6) = 0.95 Seccin 8.1 La naturaleza de la estimacin 6 x + 6 = 3 95% x www.fullengineeringbook.net 344 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 3DUDFRQVWUXLUHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DXVDUiVODHVWLPDFLyQSXQWXDOx como el valor cen- tral de un intervalo en gran forma como usaste la media como el valor central para en- contrar el intervalo que captura el 95% medio de la distribucin xHQODJXUD Para el ejemplo de remaches, es posible encontrar las cotas a un intervalo con centro en x. x 2( x ) a x + 2( x ) 924.23 6 a 924.23 + 6 (OLQWHUYDORUHVXOWDQWHHVD (OQLYHOGHFRQDQ]DDVLJQDGRDHVWHLQWHUYDORHVDSUR[LPDGDPHQWHR/DVFRWDV del intervalo son dos mltiplos (z = 2.0) del error estndar de la media muestral y al obser- YDUODWDEODGHODSpQGLFH%SXHGHVGHWHUPLQDUFRQPiVSUHFLVLyQHOQLYHOGHFRQDQ]D como 0.9545. Al juntar toda esta informacin, la estimacin se expresa como un intervalo GHFRQDQ]D918.23 a 930.23 HVHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODUHVLVWHQFLD al corte medio de los remaches. O, en forma abreviada: 918.23 a 930.23, el intervalo de FRQDQ]DGHSDUD . [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPE J E M P L O A P L I C A D O 8 . 1 E J E R C I C I O S S E C C I N 8 . 1 "EL VIEJO FIEL" DEL PARQUE YELLOWSTONE Bienvenido a la WebCam de "El Viejo Fiel". Las predicciones del momento de la siguiente erupcin de "El Viejo Fiel" las hacen los guardianes del parque median- te una frmula que toma en cuenta la du- racin de la erupcin anterior. La frmula usada resulta ser precisa, ms o menos 10 minutos, 90% de las veces. A las 3:05 p.m. del 14 de agosto de 2009, la prediccin del momento de la siguiente erupcin fue: Siguiente prediccin: 3:19 p.m. 10 min. Fuente: http://www.nps.gov/yell/oldfaithfulcam.htm Observa el momento en que se tom la fotografa: 3:25:19 p.m. Justo a tiempo! 8.1 [EX08-001] Una muestra aleatoria de 50 mujeres esta- dounidenses profesionales de la salud produjo los siguientes datos de estatura. 65 66 64 67 59 69 66 69 64 62 63 62 63 64 72 66 65 64 67 68 70 63 63 68 58 60 64 66 64 62 65 69 64 69 62 58 66 68 59 56 64 66 65 69 67 67 68 62 70 62 a. Qu poblacin se muestre para obtener los datos de estatura que se mencionan arriba? b. Describe los datos muestrales usando la media y la des- viacin estndar, ms algn otro estadstico numrico que ayude a describir la muestra. c. Construye un histograma y comenta acerca de la forma GHODGLVWULEXFLyQ&RQVWUX\HFXDOTXLHURWURJUiFRTXH ayude a describir la muestra. d. Usa los estadsticos que encontraste en los incisos b y c, estima la estatura media de todas las mujeres estadouni- denses profesionales de la salud usando un solo valor. Usa un intervalo. e. Qu calidad de la estimacin por intervalos mejorara la vala del intervalo? PTI Visita la WebCam de "El Viejo Fiel". Cundo se predice que ocurra la siguiente erupcin? SABAS QUE...? Yellowstone contiene aproximadamente la mitad de las particu- laridades hidrotrmi- cas del mundo. En el parque existen ms de 10 000 particula- ridades hidrotrmicas, incluidos ms de 300 giseres. SCPhotos/Alamy www.fullengineeringbook.net 345 8.2&RQUHIHUHQFLDDOHMHUFLFLR a. Cmo la distribucin de los datos de estatura muestrales de la p. 344 se relaciona con: 1) la distribucin de la po- blacin? 2) La distribucin muestral de las medias muestrales? b. Con las tcnicas del captulo 7, encuentra los lmites que acotaran 90% medio de la distribucin muestral de medias muestrales para muestras de tamao 50 seleccio- nadas al azar de la poblacin de estaturas de mujeres con una media conocida de 63.7 pulgadas y una desviacin estndar de 2.75 pulgadas. F (QHOKLVWRJUDPDGLEXMDGRHQHOHMHUFLFLR'LEXMD una recta vertical a la media poblacional de 63.7. 2) Di- buja un segmento de recta horizontal que muestre el in- tervalo que encontraste en el inciso b. La media muestral TXHHQFRQWUDVWHHQHOHMHUFLFLREFDHHQHOLQWHUYDOR" 5HVSRQGHVtRQR\H[SOLFDTXpVLJQLFD d. Usa las tcnicas del captulo 7 y encuentra P(x para una muestra aleatoria de 50, extrada de una pobla- cin con una media conocida de 63.7 pulgadas y una des- YLDFLyQHVWiQGDUGHSXOJDGDV([SOLFDHOVLJQLFDGR del valor resultante. e. La muestra de 50 valores de datos de estatura parecen pertenecer a la poblacin descrita por el NCHS? Explica. f. Revisa las respuestas anteriores y considera cmo pueden usarse la DMMM y el TCL del captulo 7 para hacer un mejoramiento en la estimacin por intervalos. 8.3 Explica la diferencia entre una estimacin puntual y una estimacin por intervalos. 8.4,GHQWLFDFDGDYDORUQXPpULFRSRUQRPEUHSRUHMHP- plo, media, varianza) y por smbolo (por ejemplo, x): a. La estatura media de 24 chicas de secundaria es 4 pies 11 pulgadas. b. La desviacin estndar para puntajes CI es 16. F /DYDULDQ]DHQWUHODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQGHOD semana pasada fue 190. d. La estatura media de todos los cadetes que alguna vez ingresaron a West Point es 69 pulgadas. 8.5 [EX08-005] Se obtuvo una muestra aleatoria de la canti- dad pagada (en dlares) para un taxi desde el centro hasta el aeropuerto: 15 19 17 23 21 17 16 18 12 18 20 22 15 18 20 Usa los datos para encontrar una estimacin puntual para cada uno de los siguientes parmetros. a. Media b. Varianza c. Desviacin estndar 8.6 [EX08-006] El nmero de camiones propiedad del de- partamento de bomberos se obtuvo de una muestra aleatoria WRPDGD GH ORV SHUOHV GH ORV GHSDUWDPHQWRV GH ERPEHURV D travs de Estados Unidos (Firehouse/junio de 2003). 29 8 7 33 21 26 6 11 4 54 7 4 Usa los datos para encontrar una estimacin puntual para cada uno de los siguientes parmetros: a. Media b. Varianza c. Desviacin estndar 8.7 En cada uno de los siguientes diagramas, I y II represen- tan distribuciones muestrales de dos estadsticos que pueden XVDUVHSDUDHVWLPDUXQSDUiPHWUR(QFDGDFDVRLGHQWLFDHO estadstico que consideres que sera el mejor estimador, o nin- guno, y describe por qu es sa tu eleccin. 8.8 Supn que existen dos estadsticos que servirn como es- timador para el mismo parmetro. Uno de ellos es sesgado y el otro es no sesgado. a. Si todo se mantiene igual, explica por qu usualmente preferiras un estimador no sesgado a un estimador sesgado. b. Si un estadstico es no sesgado, ello asegura que sea un buen estimador? Por qu s o por qu no? Qu otras consideraciones deben tomarse en cuenta? c. Describe una situacin que pueda ocurrir en la que el estadstico sesgado pueda ser una mejor eleccin como estimador que el estadstico no sesgado. Seccin 8.1 La naturaleza de la estimacin I II a. I II b. I II c. www.fullengineeringbook.net 346 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 8.9 El uso de una muestra tremendamente grande no garanti- za la calidad en un estimador. Qu problemas anticipas con muestras muy grandes? 8.10 Ser no sesgadas y tener una variabilidad pequea son dos caractersticas deseables de un estadstico si se usar como es- timador. Describe cmo la DMMM aborda ambas propiedades cuando se estima la media de una poblacin. 8.11/D2FLQDGH&HQVRVGH(VWDGRV8QLGRVUHSRUWDTXHOD media estimada del ingreso familiar estadounidense de parejas FDVDGDVHV/DRFLQDGHVFULEHHOPDUJHQGH error como uno que ofrece una probabilidad de 90% de que el LQWHUYDORGHQLGRSRUODHVWLPDFLyQPHQRVHOPDUJHQGHHUURU \ODHVWLPDFLyQPiVHOPDUJHQGHHUURUODVFRWDVGHFRQDQ]D inferior y superior) contienen el valor verdadero. Fuente: U.S. Census Bureau, 2005-2007 American Community Survey a. Cul es la poblacin y la variable de inters? b. Qu parmetro se estima? Cul es su valor estimado? c. Cmo se relaciona el margen de error con el error mxi- mo de estimacin? d. Qu valor se reporta como el margen de error? H 4XpQLYHOGHFRQDQ]DVHUHSRUWD" I (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D\HQXQFLDFRQH[DFWL- tud qu representa. 8.12 Reportes del consumidor El Centro Nacional de Investi- gacin report que 76% de las mujeres responde "diariamente o con mucha frecuencia" cuando se les pregunta: con qu fre- cuencia hace su cama? Como nota al pie se incluye esta infor- PDFLyQDGLFLRQDOPDUJHQGHHUURUSXQWRVSRUFHQWXDOHV a. Cul es la poblacin y la variable de inters? b. Qu parmetro se estima? Cul es su valor estimado? c. Qu valor se reporta como el margen de error? d. Encuentra el intervalo y enuncia con exactitud qu repre- senta. e. Qu informacin adicional desearas para saber acerca GHHVWHLQWHUYDORGHFRQDQ]D" 8.13 Explica por qu el error estndar de las medias mues- trales es 3 para el ejemplo de los remaches de la pgina 343. 8.14D 9HULFDTXHXQQLYHOGHFRQDQ]DGHUHTXLHUH un intervalo de 1.96 desviaciones estndar. E 9HULFDTXHHOQLYHOGHFRQDQ]DSDUDXQLQWHUYDOR de 2 desviaciones estndar es 95.45%. 8.15(QFXHQWUDHOQLYHOGHFRQDQ]DDVLJQDGRDXQDHVWLPD- cin por intervalos de la media formada usando los siguientes intervalos: a. x x a x x b. x 1.44 x a x + 1.44 x c. x 1.96 x a x + 1.96 x d. x 2.33 x a x + 2.33 x 8.16(QFXHQWUDHOQLYHOGHFRQDQ]DDVLJQDGRDXQDHVWLPD- cin por intervalos de la media formada usando los siguientes intervalos: a. x 1.15 x a x + 1.15 x b. x 1.65 x a x + 1.65 x c. x 2.17 x a x + 2.17 x d. x x a x x 8.17 La Universidad de Bristol, en el Reino Unido, llev a cabo el "Requerimiento poblacional para ciruga primaria de reemplazo de cadera: un estudio transversal". Los hallazgos resultaron en el siguiente enunciado: "La prevalencia de dolor de cadera autorreportado fue de 107 por 1 000 (95% IC 101- SDUDKRPEUHV\SRUSDUDPXMHUHV D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D,& 101-113. E (QFXHQWUDHOHUURUHVWiQGDUSDUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D de 95% para dolor de cadera autorreportado de hombres. c. Si supones que los datos de las mujeres tambin tienen XQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHHQFXHQWUDHOHUURU estndar. 8.18 Una muestra de 25 de 174 proyectos patrocinados revel que 19 estaban valuados en $17 320 cada uno y 6 estaban va- luados en $20 200 cada uno. A partir de los datos muestrales, estima el valor total del patrocinio para todos los proyectos. 8.19 Con la informacin de erupciones de "El Viejo Fiel" del HMHPSORDSOLFDGRHQODSiJLQD D 4XpVLJQLFDSPPLQ"([SOLFD b. Esta erupcin ocurri durante el intervalo de tiempo predicho? F 4XpVLJQLFDGHODVYHFHV"([SOLFD 8.20 Un reclutador estima que, si te contrata para trabajar en su compaa y laboras toda una semana en el puesto de repre- sentante de ventas comisionado te ofrece que ganars "$525 PiVRPHQRVGHODVYHFHV<DJUHJDWRGRGH- pende de ti!". D 4XpVLJQLFDPiVRPHQRV" E 4XpVLJQLFDGHODVYHFHV" c. Si ganas $300 al $10 ms cercano la mayora de las sema- nas, te habr dicho la verdad? Explica. www.fullengineeringbook.net 347 (QODVHFFLyQVHVRQGHDURQODVLGHDVEiVLFDVGHODHVWLPDFLyQHVWLPDFLyQSXQWXDOHV WLPDFLyQSRULQWHUYDORVQLYHOGHFRQDQ]DHLQWHUYDORGHFRQDQ]D'LFKDVLGHDVEiVLFDV estn interrelacionadas y se usan a lo largo de la estadstica cuando una inferencia necesita una estimacin. En esta seccin se formaliza el proceso de estimacin por intervalos como se aplica a la estimacin de la media poblacional con base en una muestra aleatoria bajo la restriccin de que la desviacin estndar poblacional es un valor conocido. La distribucin muestral de las medias muestrales y el TCL ofrecen la informacin que necesitas para garantizar que se satisfacen las suposiciones necesarias para estimar una media poblacional. La suposicin para estimar la media con el uso de una conocida La distri- bucin muestral de x tiene una distribucin normal. Nota: la palabra suposicinHVXQDGHQRPLQDFLyQXQSRFRHTXLYRFDGD1RVLJQLFDTXH "supones" que algo es la situacin y continas, sino ms bien que debes asegurarte de que existen las condiciones expresadas por las suposiciones antes de aplicar un mtodo estadstico particular. La informacin necesaria para asegurarte de que esta suposicin (o condicin) se satis- face est contenida en la DMMM y en el TCL (consulta el captulo 7, pp. 319-320): Por tanto, es posible satisfacer la suposicin requerida al 1) saber que la poblacin muestreada tiene distribucin normal o 2) al usar una muestra aleatoria que contenga una FDQWLGDGVXFLHQWHPHQWHJUDQGHGHGDWRV/DSULPHUDSRVLELOLGDGHVREYLD2VDEHVORVX FLHQWHDFHUFDGHODSREODFLyQSDUDVDEHUTXHWLHQHGLVWULEXFLyQQRUPDORQRORVDEHV/D segunda forma de satisfacer la suposicin es aplicar el TCL. La inspeccin de varias pre- VHQWDFLRQHVJUiFDVGHORVGDWRVPXHVWUDOHVGHEHSURGXFLUXQLQGLFLRGHOWLSRGHGLVWULEX cin que posee la poblacin. El TCL puede aplicarse a muestras ms pequeas (por decir, n = 15 o ms grandes) cuando los datos proporcionan un fuerte indicio de una distribucin unimodal que es aproximadamente simtrica. Si existe evidencia de cierto sesgo en los datos, entonces el tamao de la muestra necesita ser mucho ms grande (acaso n Si los datos proporcionan evidencia de una distribucin extremadamente sesgada o con IRUPDGH-HO7&/WRGDYtDVHDSOLFDUiVLODPXHVWUDHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH(QFDVRV H[WUHPRVVXFLHQWHPHQWHJUDQGHSXHGHVHULUUHDORLPSUDFWLFDEOHPHQWHJUDQGH 8.2 Estimacin de media ( conocida) La distribucin muestral de medias muestrales x se distribuye en torno a una media igual a , con un error es- tndar igual a / n y 1) si la poblacin muestreada al azar tiene distribucin normal, entonces x tiene distribu- cin normal para todos los tamaos de muestra, o 2) si la poblacin muestrea- da al azar no tiene distribucin normal, entonces x tiene distribucin aproxi- madamente normal para tamaos de PXHVWUDVXFLHQWHPHQWHJUDQGHV PTI Si las suposiciones no se satisfacen para estimar la media con una conocida, muy probablemente el nivel de confi anza ser ms bajo que lo enunciado. PTI Debes buscar la ayuda de un estadstico profesional cuando tratas con datos extre- madamente sesgados. Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) www.fullengineeringbook.net 348 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 0 Nota:QRH[LVWHXQDUHJODLQH[LEOHTXHGHQDVXFLHQWHPHQWHJUDQGHHOWDPDxRGHOD PXHVWUDTXHHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGHYDUtDEDVWDQWHGHDFXHUGRFRQODGLVWULEXFLyQGH la poblacin. (OLQWHUYDORGHFRQDQ]D para la estimacin de la media se encuentra con la IyUPXOD Intervalo de confianza para media x z(/2) a x + z(/2) n n +HDTXtODVSDUWHVGHODIyUPXODGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D 1. xHVODHVWLPDFLyQSXQWXDO\HOSXQWRFHQWUDOGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D 2. z(/2) es el FRHFLHQWHGHFRQDQ]D. Es el nmero de mltiplos del error estndar ne- cesario para formular una estimacin por intervalos del ancho correcto para tener un QLYHOGHFRQDQ]DGH/DJXUDPXHVWUDODUHODFLyQHQWUHHOQLYHOGHFRQDQ]D 1 (la parte media de la distribucin), /2 (el "rea a la derecha" usada con la nota- FLyQGHYDORUFUtWLFR\HOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(/2) (cuyo valor se encuentra con la tabla 4B del apndice B). Alfa, , es la primera letra del alfabeto griego y representa la parte asociada con las colas de la distribucin. 3. n es el error estndar de la media o la desviacin estndar de la distribucin mues- tral de medias muestrales. 4. z(/2) HVODPLWDGGHODQFKRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHOSURGXFWRGHOFRHFLHQWH GHFRQDQ]DSRUHOHUURUHVWiQGDU\VHOODPDerror mximo de estimacin, E. 5. x z(/2) se llama OtPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU (LCI) y x + z(/2) se llama OtPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU/&6SDUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D El procedimiento de estimacin se organiza en un proceso de cinco pasos que tomarn en cuenta toda la informacin precedente y producir tanto la estimacin puntual como el LQWHUYDORGHFRQDQ]D EL INTERVALO DE CONFIANZA: UN PROCEDIMIENTO EN CINCO PASOS Paso 1 La preparacin: Describe el parmetro poblacional de inters. Paso 2 Criterios del intervalo de confianza: a. Verifica las suposiciones. b. Identifica la distribucin de probabilidad y la frmula a usar. c. Establece el nivel de confianza, 1 . Paso 3 La evidencia muestral: Recolecta la informacin muestral. Paso 4 El intervalo de confianza: a. Determina el coeficiente de confianza. b. Encuentra el error mximo de estimacin. c. Encuentra los lmites de confianza inferior y superior. FIGURA 8.4 Coeficiente de confianza z(/2) PTI Bsicamente, el intervalo de confianza es "estimacin puntual error mximo". (8.1) n n n z(/2) z(/2) 1 z /2 /2 www.fullengineeringbook.net 349 E J E M P L O 8 . 2 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIA DE LA DISTANCIA DE VIAJE EN UN SENTIDO El cuerpo estudiantil de muchas universidades comunitarias se considera una "poblacin viajera". La oficina de actividades estudiantiles quiere obtener una respuesta a la pregunta: qu distancia (en un sentido) viaja todos los das un estudiante promedio de universidad comunitaria para llegar a la escuela? (Por lo general, la "distancia de viaje del estudiante promedio" significa la "distancia media" que recorren todos los estudiantes que viajan.) Se identific una muestra aleatoria de 100 estudiantes viajeros y se obtuvo la distancia en un sentido que cada uno recorre. La resultante distancia media muestral fue de 10.22 millas. Estima la distancia media en un sentido que recorren todos los estudiantes viajeros a partir de a) una estimacin puntual y b) un intervalo de confianza de 95%. (Usa = 6 millas.) Solucin a) La estimacin puntual para la distancia media en un sentido es 10.22 millas (la media muestral). b) Usa el procedimiento de cinco pasos para encontrar el intervalo de confianza de 95%. Paso 1 La preparacin: Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro de inters es la media de las distancias en un sentido recorridas por todos los estudiantes viajeros de la universidad comunitaria. Paso 2 Los criterios del intervalo de confianza: a. Verificar las suposiciones. Se conoce . Es muy probable que la variable "distancia recorrida" tenga una distribucin sesgada porque la gran mayora de los estu- diantes recorre entre 0 y 25 millas y pocos recorren ms de 25 millas. Un tamao de muestra de 100 debe ser suficientemente grande para que el TCL satisfaga la suposicin; la distribucin muestral x es aproxi- madamente normal. b. Identifica la distribucin de probabilidad y la frmula a utilizar. La distribucin normal estndar, z, se usar para determinar el coefi- ciente de confianza y la frmula (8.1) con = 6. c. Establece el nivel de confianza, 1 . La pregunta pide confianza de 95%, o 1 = 0.95. Paso 5 Los resultados: Establece el intervalo de confianza. (OHMHPSORLOXVWUDUiHVWHSURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]DHQFLQFRSDVRV Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) www.fullengineeringbook.net 350 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Observa otro ejemplo del procedimiento de estimacin. E J E M P L O 8 . 3 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA TAMAO DE PARTCULA MEDIO El "tamao de partcula" es una importante propiedad de la pintura ltex y se monitorea durante la produccin como parte del proceso de control de calidad. Se tomaron 13 mediciones de tamao de partcula usando el Dwight P. Joyce Disc y la media muestral fue 3 978.1 angstroms (donde 1 angstrom [1A] = 108 cm). El tamao de partcula, x, tiene distribucin normal con una desviacin estndar = 200 angstroms. Encuentra el intervalo de confianza de 98% para el tamao de partcula medio para este lote de pintura. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Paso 3 La evidencia muestral: Recolectar la informacin muestral. La informacin muestral est dada en el enunciado del problema: n = 100, x = 10.22. Paso 4 El intervalo de confianza: a. Determina el coeficiente de confianza. El coeficiente de confianza se encuentra con la tabla 4B: b. Encuentra el mximo error de estimacin. Usa la parte del mximo error de la frmula (8.1): E = z (/2) = 1.96 6 = (1.96)(0.6) = 1.176 n 100 c. Encuentra los lmites de confianza inferior y superior. Con la estimacin puntual, x, del paso 3 y el error mximo, E, del paso 4b, encuentra los lmites del intervalo de confianza: x z (/2) a x + z (/2) n n 10.22 1.176 a 10.22 + 1.176 9.044 a 11.396 9.04 a 11.40 Paso 5 Los resultados: Establece el intervalo de confianza. 9.04 a 11.40 es el intervalo de confianza de 95% para . Esto es, con 95% de confianza es posible decir: "La distancia media en un sentido est entre 9.04 y 11.40 millas". Salida de tabla con coeficiente de confianza: z(/2) = 1.96 Una parte de la tabla 4B . . . 0.05 z (/2) . . . 1.96 1 . . . 0.95 Entrada de tabla con nivel de confianza: 1 = 0.95 www.fullengineeringbook.net 351 'DOHRWURYLVWD]RDOFRQFHSWRGHQLYHOGHFRQDQ]D6HGHQLyFRPRODSUREDELOLGDG de que la muestra a seleccionar producir cotas de intervalo que contengan al parmetro. Solucin Paso 1 La preparacin: Describe el parmetro poblacional de inters. El tamao de partcula medio, , para el lote de pintura del que se extrajo la muestra. Paso 2 Los criterios del intervalo de confianza: a. Verifica las suposiciones. Se conoce . La variable "tamao de partcula" tiene distribucin normal; por tanto, la distribucin muestral de medias muestrales es normal para todos los tamaos de muestra. b. Identifica la distribucin de probabilidad y la frmula a utilizar. La variable normal estndar, z y la frmula (8.1) con = 200 c. Establece el nivel de confianza, 1 . 98%, o 1 = 0.98 Paso 3 La evidencia muestral: Recolecta la informacin muestral: n = 13 y x = 3 978.1. Paso 4 El intervalo de confianza: a. Determina el coeficiente de confianza. El coeficiente de confianza se encuentra con la tabla 4B: z(/2) = z(0.01) = 2.33 b. Encuentra el error mximo de estimacin. E = z(/2) = 2.33 200 = (2.33)(55.47) = 129.2 n 13 c. Encuentra los lmites de confianza inferior y superior. Con la estimacin puntual, x, del paso 3 y el error mximo, E, del paso 4b, encuentra los lmites del intervalo de confianza: x z(/2) a x + z (/2) n n 3 978.1 129.2 = 3 848.9 a 3 978.1 + 129.2 = 4 107.3 Paso 5 Los resultados: Establece el intervalo de confianza. 3 848.9 a 4 107.3 es el intervalo de confianza de 98% para . Con 98% de confianza es posible decir: "El tamao de partcula medio est entre 3 848.9 y 4 107.3 angstroms". Salida de tabla con coeficiente de confianza: z(/2) = 2.33 Una parte de la tabla 4B . . . 0.02 z(/2) . . . 2.33 1 . . . 0.98 Entrada de tabla con nivel de confianza: 1 = 0.95 Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) www.fullengineeringbook.net 352 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica E J E M P L O 8 . 4 DEMOSTRACIN DEL SIGNIFICADO DE UN INTERVALO DE CONFIANZA Los nmeros aleatorios de un solo dgito, como los de la tabla 1 del apndice B, tienen un valor medio = 4.5 y una desviacin estndar = 2.87 (consulta el ejercicio 5.33, p. 242). Extrae una muestra de 40 nmeros de un solo dgito de la tabla 1 y construye el intervalo de confianza de 90% para la media. El intervalo resultante contiene el valor esperado de , 4.5? Si de la tabla 1 selec- cionaras otra muestra de 40 nmeros de un solo dgito, obtendras el mismo resultado? Qu sucedera si seleccionaras un total de 15 muestras diferentes y construyeras el intervalo de confianza de 90% para cada uno? El valor es- perado para (a saber, 4.5) estara contenido en todas ellas? Debes esperar que los 15 intervalos de confianza contengan 4.5? Piensa en la definicin de "nivel de confianza"; dice que, a largo plazo, 90% de las muestras resultarn en cotas que contengan . En otras palabras: 10% de las muestras no conten- drn . Observa lo que ocurre. Primero es necesario abordar las suposiciones; si las suposiciones no se satisfacen, no puedes esperar que ocurran 90% y 10%. Sabes que: 1) la distribucin de nmeros aleatorios de un solo dgito es rectangular (defini- tivamente no normal), 2) la distribucin de nmeros aleatorios de un solo dgito es simtrica en torno a su media, 3) la distribucin x para muestras muy pequeas (n = 5) en el ejemplo 7.2 (p. 315) mostr una distribucin que pareca ser aproximadamente normal y 4) no debe haber sesgo involucrado. Por tanto, parece razonable suponer que n = 40 es suficientemente grande para aplicar el TCL. La primera muestra aleatoria se extrajo de la tabla 1 del apndice B: Los estadsticos muestrales son n = 40, x = 159, y x = 3.98. He aqu el resultante intervalo de confianza de 90%: x z(/2) : 3.98 1.65 2.87 n 40 3.98 (1.65)(0.454) 3.98 0.75 3.98 0.75 = 3.23 a 3.98 + 0.75 = 4.73 3.23 a 4.73 es el intervalo de confianza de 90% para . La figura 8.5 muestra este intervalo de confianza, sus cotas y la media espe- rada . TABLA 8.1 Muestra aleatoria de nmeros de un solo dgito [TA08-01] 2 8 2 1 5 5 4 0 9 1 0 4 6 1 5 1 1 3 8 0 3 6 8 4 8 6 8 9 5 0 1 4 1 2 1 7 1 7 9 3 Con 90% de confianza, se considera que est en alguna parte dentro de este intervalo. FIGURA 8.5 El intervalo de confianza de 90% 3.23 = 4.50 4.73 x www.fullengineeringbook.net 353 El valor esperado para la media, 4.5, cae dentro de las cotas del intervalo de confianza para esta muestra. Ahora selecciona 14 muestras aleatorias ms de la tabla 1 del apndice B, cada una de tamao 40. La tabla 8.2 menciona la media de la primera muestra y las medias obte- nidas de las 14 muestras aleatorias adicionales de tamao 40. Los intervalos de confianza de 90% para la estimacin de con base en cada una de las 15 muestras se mencionan en la tabla 8.2 y se muestran en la figura 8.6. Puedes ver que 86.7% (13 de los 15) de los intervalos contienen y 2 de las 15 muestras (muestra 7 y muestra 12) no contienen . Estos resultados son "tpicos"; la experimentacin repetida puede resultar en cualquier nme- ro de intervalos que contenga 4.5. Sin embargo, a largo plazo, debes espe- rar que aproximadamente 1 = 0.90 (o 90%) de las muestras resulten en cotas que contengan 4.5 y aproximadamente 10% que no contengan 4.5. FIGURA 8.6 Intervalos de confianza de la tabla 8.2 TABLA 8.2 Quince muestras de tamao 40 [TA08-02] Media Estimacin de Media Estimacin de Nmero muestral intervalo de confianza Nmero muestral intervalo de confianza de muestra x de 90% para de muestra x de 90% para 1 3.98 3.23 a 4.73 9 4.08 3.33 a 4.83 2 4.64 3.89 a 5.39 10 5.20 4.45 a 5.95 3 4.56 3.81 a 5.31 11 4.88 4.13 a 5.63 4 3.96 3.21 a 4.71 12 5.36 4.61 a 6.11 5 5.12 4.37 a 5.87 13 4.18 3.43 a 4.93 6 4.24 3.49 a 4.99 14 4.90 4.15 a 5.65 7 3.44 2.69 a 4.19 15 4.48 3.73 a 5.23 8 4.60 3.85 a 5.35 = 4.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) www.fullengineeringbook.net 354 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica E J E M P L O A P L I C A D O 8 . 5 TIEMPO DE VIAJE MEDIO AL TRABAJO Los estadounidenses emplean ms de 100 horas para viajar al trabajo cada ao, de acuerdo con datos de la American Communi- ty Survey (ACS) presentados por la oficina de censos de Estados Unidos. Esto supera las dos semanas de tiempo de vacaciones (80 horas) que los trabajadores usualmente toman duran- te el curso de un ao. Para la nacin como un todo, el viaje diario promedio al trabajo dur aproximadamente 24.3 minutos en 2003. He aqu los tiempos de viaje medios para algunas ciudades y estados y los respectivos intervalos de confianza de 90%: Clasificacin Lugar Media Cota inferior Cota superior Estados Unidos 24.4 24.2 24.6 Ciudades 1 Nueva York, NY 38.4 37.9 38.9 2 Chicago, IL 32.7 31.9 33.5 4 Riverside, CA 29.8 26.7 32.9 66 Cd. de Oklahoma, OK 17.8 17.0 18.6 Estados 1 Nueva York 30.8 30.5 31.1 2 Maryland 30.0 29.5 30.5 26 Kentucky 22.7 21.7 23.7 51 Dakota del Norte 14.8 14.0 15.6 La tabla anterior muestra las cotas (lmites) inferior y superior del interva- lo de confianza de 90%, un intervalo que proporciona un rango de proba- bles valores para incluir el verdadero valor poblacional. Nota: Definicin de la U.S. Census Bureau: Tiempo de viaje al trabajo se refiere al nmero total de minutos que usualmente tarda una persona para ir de su casa al trabajo cada da durante la semana de referencia. El tiempo transcurrido incluye tiempo empleado en espera del transporte pblico, tiem- po empleado en recoger a los pasajeros en transporte colectivo y el tiempo empleado en otras actividades relacionadas con ir al trabajo. MINITAB Escribe los datos en C1; luego contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z Escribe: Muestras en columnas: C1 Desviacin estndar: Selecciona: Options Escribe: Intervalo confianza: 1 (ej.: 0.95 o 95.0) Selecciona: Alternative: not equal > OK > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : I N T E R V A L O D E C O N F I A N Z A P A R A M E D I A C O N D A D A Fuente: U.S. Census Bureau AP Photo/Mary Altaffer www.fullengineeringbook.net 355 Tamao de muestra (OLQWHUYDORGHFRQDQ]DWLHQHGRVFDUDFWHUtVWLFDVEiVLFDVTXHGHWHUPLQDQVXFDOLGDGVX QLYHOGHFRQDQ]D\VXDQFKR(VSUHIHULEOHTXHHOLQWHUYDORWHQJDXQDOWRQLYHOGHFRQDQ ]D\VHDSUHFLVRHVWUHFKRDOPLVPRWLHPSR0LHQWUDVPiVDOWRVHDHOQLYHOGHFRQDQ]D es ms probable que el intervalo contenga el parmetro y mientras ms estrecho sea el intervalo, ms precisa ser la estimacin. Sin embargo, estas dos propiedades parecen funcionar una contra la otra, porque parecera que un intervalo ms estrecho tendera a poseer una probabilidad ms baja, y un intervalo ms ancho sera menos preciso. La parte GHHUURUPi[LPRGHODIyUPXODGHLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVSHFLFDODUHODFLyQLQYROXFUDGD Error mximo de estimacin E = z(/2) Esta frmula tiene cuatro componentes: 1) el error mximo E, la mitad del ancho del inter- YDORGHFRQDQ]DHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(/2), que est determinado por el nivel GHFRQDQ]DHOWDPDxRGHODPXHVWUDn, y 4) la desviacin estndar, . La desviacin estndar no es una preocupacin en esta discusin, porque es una constante (la desvia- cin estndar de una poblacin no cambia de valor). Esto deja tres factores. La inspeccin GHODIyUPXODLQGLFDORVLJXLHQWHDXPHQWDUHOQLYHOGHFRQDQ]DKDFHPiVJUDQGHHO FRHFLHQWHGHFRQDQ]D\HQFRQVHFXHQFLDUHTXLHUHRTXHDXPHQWHHOHUURUPi[LPRRTXH GLVPLQX\DHOWDPDxRGHODPXHVWUDUHGXFLUHOHUURUPi[LPRUHTXHULUiTXHHOQLYHOGHFRQ DQ]DGLVPLQX\DRTXHHOWDPDxRGHODPXHVWUDDXPHQWH\UHGXFLUHOWDPDxRGHODPXHVWUD IRU]DUiDTXHHOHUURUPi[LPRVHYXHOYDPiVJUDQGHRHOQLYHOGHFRQDQ]DGLVPLQX\D3RU WDQWRWLHQHVXQDFRPSHWHQFLDWULSDUWLWDFRPRVHUHSUHVHQWDHQODJXUD8QDXPHQWR o disminucin en alguno de los tres factores tiene un efecto sobre uno o ambos de los otros GRVIDFWRUHV/DODERUGHOHVWDGtVWLFRHVHTXLOLEUDUHOQLYHOGHFRQDQ]DHOWDPDxRGHOD muestra y el error mximo, de modo que resulte un intervalo aceptable. TI-83/84 Plus Excel Escribe los datos en la columna A; luego contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Estimate: Mean > OK Escribe: Rango entrada: (A1:A20 o selecciona celdas) > OK Desviacin estndar (SIGMA): > OK Alfa: (ej.: 0.05) > OK Escribe los datos en L1; luego contina con lo siguiente y escribe los valores apropiados y resalta Calcular: Elige: STAT > TESTS > 7:Zinterval PTI Cuando aumenta el denominador, dis- minuye el valor de la fraccin. n Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) (8.2) www.fullengineeringbook.net 356 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Observa en accin un ejemplo de esta relacin. FIGURA 8.7 La "competencia tripartita" entre 1 , n y E Tamao de la muestra Error mximo Nivel de confi anza E J E M P L O 8 . 6 DETERMINACIN DEL TAMAO DE LA MUESTRA PARA UN INTERVALO DE CONFIANZA Determina el tamao de la muestra necesario para estimar el peso medio de todos los nios de segundo grado, si quieres estar preciso dentro de 1 lb, con una confi anza de 95%. Supn una distribucin normal y que la desvia- cin estndar de los pesos de los nios es 3 lb. Solucin El nivel de confi anza deseado determina el coefi ciente de confi anza; el co- efi ciente de confi anza se encuentra con la tabla 4B: z(/2) = z(0.025) = 1.96. El error mximo deseado es E = 1.0. Ahora ests listo para usar la frmu- la del error mximo: E = z(/2) : 1.0 = 1.96 3 Resuelve para n:1.0 = 5.88 n = 5.88 n = (5.88)2 = 34.57 = 35 Por tanto, n = 35 es el tamao de muestra necesario si quieres un interva- lo de confi anza de 95% con un error mximo no mayor que 1 lb. PTI Las instrucciones para usar la tabla 4B se proporcionan en la pgina 350. Nota: cuando resuelvas para el tamao de la muestra n, se acostumbra redondear al si- guiente entero ms grande, sin importar qu fraccin (o decimal) resulte. (OXVRGHODIyUPXODGHHUURUPi[LPRSXHGHKDFHUVHXQSRFRPiVVHQFLOORDOUHV cribir la frmula en una forma que exprese n en trminos de los otros valores. Tamao de la muestra n = z(/2) U 2 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP n n n E (8.3) www.fullengineeringbook.net 357 Si el error mximo se expresa como un mltiplo de la desviacin estndar , entonces el valor real de QRHVQHFHVDULRFRQODQDOLGDGGHFDOFXODUHOWDPDxRGHODPXHVWUD E J E M P L O 8 . 7 DETERMINACIN DEL TAMAO MUESTRAL SIN UN VALOR CONOCIDO DE SIGMA () Encuentra el tamao de la muestra necesario para estimar la media pobla- cional hasta dentro de de una desviacin estndar con 99% de confianza. Solucin Determina el coeficiente de confianza (con la tabla 4B): 1 = 0.99, z(/2) = 2.58. El error mximo deseado E = . Ahora ests listo para usar la frmula de tamao muestral (8.3): n = z(/2) U 2 : n = (2.58) U 2 = (2.58)(5) 2 = [(2.58)(5)]2 E /5 = (12.90)2 = 166.41 = 167 E J E R C I C I O S S E C C I N 8 . 2 8.21 Discute las condiciones que deben existir antes de poder estimar la media poblacional con las tcnicas de intervalo de ODIyUPXOD 8.22'HWHUPLQDHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(/2) para cada situacin descrita: a. 1 = 0.90 b. 1 = 0.95 8.23 'HWHUPLQDHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(/2) para cada situacin descrita: D GHFRQDQ]D E GHFRQDQ]D 8.24'HWHUPLQDHOQLYHOGHODFRQDQ]DGDGRHOFRHFLHQWHGH FRQDQ]Dz(/2) para cada situacin: a. z(/2) = 1.645 b. z(/2) = 1.96 c. z(/2) = 2.575 d. z(/2) = 2.05 8.25 Dada la informacin, la poblacin muestreada tiene dis- tribucin normal, n = 16, x \ = 6: D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Se satisfacen las suposiciones? Explica. 8.26 Dada la informacin, la poblacin muestreada tiene dis- tribucin normal, n = 55, x \ = 12: D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Se satisfacen las suposiciones? Explica. 8.27 Dada la informacin, n x \ = 16.4: D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Se satisfacen las suposiciones? Explica. 8.28 Dada la informacin, n = 22, x = 72.3 y = 6.4: D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Se satisfacen las suposiciones? Explica. 8.29&RQEDVHHQHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DIRUPDGRHQHOHMHU- FLFLRSURSRUFLRQDHOYDORUSDUDFDGDXQRGHORVVLJXLHQ- tes: a. Estimacin puntual E &RHFLHQWHGHFRQDQ]D c. Error estndar de la media d. Error mximo de estimacin, E FRQWLQ~DHQODSiJLQD 5 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) 1 5 www.fullengineeringbook.net 358 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica H /tPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU I /tPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU 8.30&RQEDVHHQHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DIRUPDGRHQHOHMHU- FLFLRSURSRUFLRQDHOYDORUSDUDFDGDXQRGHORVVLJXLHQ- tes: a. Estimacin puntual E &RHFLHQWHGHFRQDQ]D c. Error estndar de la media d. Error mximo de estimacin, E H /tPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU I /tPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU 8.31 Con tus palabras, describe la relacin entre los siguien- tes: a. Media muestral y estimacin puntual b. Tamao de la muestra, desviacin estndar muestral y error estndar c. Error estndar y error mximo 8.32 "Tiempo de viaje medio al trabajo" (ejemplo aplicado RIUHFHLQIRUPDFLyQGHWUDVODGRSDUDYDULDVFLXGDGHV\HV- tados en Estados Unidos. Si consideras la ciudad de Chicago y ODLQIRUPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGDGD D 4XpWpUPLQRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHV" E 4XpWpUPLQRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHV" El 33.5? F 4XpWpUPLQRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHV" d. Cul es el error mximo? e. Calcula el error estndar. 8.33 Ejercicio Applet Skillbuilder Demues- tra el efecto que el QLYHO GH FRQDQ]D ) tiene sobre el an- cho de un intervalo de FRQDQ]D&RQVLGHUDHO muestreo de una poblacin donde = 300 y D 0XHYHHOGHVOL]DGRUSDUDHOQLYHOGHFRQDQ]DD Haz clic en "sample!" para construir un intervalo de con- DQ]DGH2EVHUYDORVOtPLWHVGHFRQDQ]DVXSHULRU e inferior y calcula el ancho del intervalo. Con "anmate!" construye muchas muestras y anota el porcentaje de inter- valos que contienen la media verdadera de 300. Haz clic en "stop" y "reset". E 0XHYHHOGHVOL]DGRUSDUDHOQLYHOGHFRQDQ]DD+D] FOLFHQVDPSOHSDUDFRQVWUXLUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 2EVHUYDORVOtPLWHVGHFRQDQ]DVXSHULRUHLQIHULRU\ calcula el ancho del intervalo. Con "anmate!" construye mu- chas muestras y anota el porcentaje de intervalos que contie- nen la media verdadera de 300. Haz clic en "stop" y "reset". F 0XHYHHOGHVOL]DGRUSDUDHOQLYHOGHFRQDQ]DD Haz clic en "sample!" para construir un intervalo de con- DQ]DGH2EVHUYDORVOtPLWHVGHFRQDQ]DVXSHULRU e inferior y calcula el ancho del intervalo. Con "animate!" construye muchas muestras y anota el porcentaje de inter- valos que contienen la media verdadera de 300. Haz clic en "stop" y "reset". d. Con la informacin recolectada en los incisos a-c, qu HIHFWRWLHQHHOQLYHOGHFRQDQ]DVREUHHODQFKRGHOLQWHU- valo? Por qu ocurre esto? 8.34 Discute el efecto que cada uno de los siguientes tiene VREUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D a. Estimacin puntual E 1LYHOGHFRQDQ]D c. Tamao de la muestra d. Variabilidad de la caracterstica a medir 8.35 Una mquina produce partes con longitudes que tienen distribucin normal, con = 0.5. Una muestra de 10 partes tiene una longitud media de 75.92. a. Encuentra la estimacin puntual para . b. Encuentra el error mximo de estimacin de SDUD GHFRQDQ]D F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 8.36 Una muestra de las edades de 60 estudiantes de la es- FXHODQRFWXUQDHVREWHQLGDFRQHOQGHHVWLPDUODHGDGPHGLD de los estudiantes de las escuelas nocturnas. x = 23.5 aos. La varianza poblacional es 16. a) Dar una estimacin puntual para . E'HWHUPLQHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. F 'HWHUPLQHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 8.37 Doscientos peces capturados en Cayuga Lake tienen una longitud media de 14.3 pulgadas. La desviacin estndar po- blacional es 2.5 pulgadas. D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODORQJL- tud media poblacional. E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODORQJL- tud media poblacional. 8.38&RQEDVHHQXQDHQFXHVWDUHDOL]DGDSRU*UHHQHOG2Q- line, las personas de 25 a 34 aos de edad gastan ms cada semana en comida rpida. La cantidad semanal promedio de $44 (con base en 115 respuestas) se report en la Snapshot del USA Today en mayo de 2009. Si supones que los gastos en comida rpida semanales tienen distribucin normal, con una >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 359 desviacin estndar conocida de $14.50, construye un inter- YDORGHFRQDQ]DGHSDUDODFDQWLGDGVHPDQDOPHGLDTXH gastan en comida rpida cada semana las personas de 25 a 34 aos de edad. 8.39 El Eurostar fue el primer tren internacional europeo diseado para sacar ventaja del Tnel del Canal que conecta ,QJODWHUUDFRQOD(XURSDFRQWLQHQWDO7UDQVSRUWDDFDVLSD- sajeros y ocasionalmente alcanza una velocidad pico de ms de 190 mph [http://www.o-keating.com/]. Supn que la des- viacin estndar de la velocidad del tren es 19 mph en el curso de todos los viajes de ida y vuelta y que la velocidad del tren tiene distribucin normal. Supn que durante los siguientes 20 viajes del Eurostar se realizan lecturas de velocidad y que la YHORFLGDGPHGLDGHGLFKDVPHGLFLRQHVHVGHPSK a. Cul es la variable a estudiar? E (QFXHQWUDODHVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 90% para la velocidad media. F (QFXHQWUDODHVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 95% para la velocidad media. 8.40 El Estudio de Tendencias en Matemticas y Ciencias Internacionales (TIMSS) de 2007 examin la habilidad de es- tudiantes de octavo grado en matemticas y ciencias. La cali- FDFLyQPHGLDHQODHVFDODGHPDWHPiWLFDVSDUDODPXHVWUDGH HVWXGLDQWHVGHRFWDYRJUDGRHQ(VWDGRV8QLGRVIXHGH FRQXQHUURUHVWiQGDUGH&RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQ- DQ]DGHSDUDODFDOLFDFLyQPHGLDHQPDWHPiWLFDVSDUD todos los estudiantes de octavo grado en Estados Unidos. 8.41 [EX08-041] Cierto ajuste a una mquina cambiar la longitud de las partes que elabora, mas no afectar la desvia- cin estndar. La longitud de las partes tiene distribucin nor- mal y la desviacin estndar es 0.5 mm. Despus de realizar el ajuste, se toma una muestra aleatoria para determinar la longitud media de las partes ahora producidas. Las longitudes resultantes son las siguientes: 75.3 76.0 75.0 77.0 75.4 76.3 77.0 74.9 76.5 75.8 a. Cul es el parmetro de inters? b. Encuentra la estimacin puntual para la longitud media de todas las partes ahora producidas. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 8.421LxRVPD\RUHVRDGROHVFHQWHVVHUHHUDDOJUXSRGH edad de los estudiantes de sptimo grado. El estirn de creci- miento es muy comn en esta edad. Una muestra de 12 muje- res de sptimo grado seleccionadas al azar en una escuela de la FLXGDGGH1XHYD<RUNUHVXOWyHQODVVLJXLHQWHVHVWDWXUDV 67 63 65 64 63 64 63 57 67 68 63 65 Si supones que las estaturas de las mujeres en el grupo de 12 a 13 aos de edad tienen distribucin normal con una desviacin estndar de 2.56 pulgadas: a. Cul es el parmetro de inters? b. Encuentra la estimacin puntual para la estatura media poblacional de las mujeres de sptimo grado. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHVWDWX- ra media poblacional de las mujeres de sptimo grado. 8.43 [EX08-043] El peso atmico de una muestra de refe- rencia de plata se midi en el Instituto Nacional de Estndares y Tecnologa (NIST) y us dos espectrmetros de masa casi idnticos. Este proyecto se realiz en conjunto con la redeter- minacin de la constante de Faraday. A continuacin se pre- VHQWDQREVHUYDFLRQHV 107.8681568 107.8681465 107.8681572 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com Fuente: StatLib, http://lib. Stat.cmu.edu/ 2EVHUYDTXHORVGDWRVVyORGLHUHQHQHOTXLQWRVH[WR\VpS- timo lugares decimales. La mayora de las computadoras re- GRQGHDUiQORVGDWRV\VXVUHVXOWDGRVFDOFXODGRVSRUWDQWROD variacin aparentemente se pierde. Los estadsticos pueden calcularse usando slo los tres ltimos dgitos de cada valor de GDWRVHVGHFLUVHFRQYHUWLUiHQ$OJHEUDL- FDPHQWHHVWDFRGLFDFLyQVHSDUHFHDORVLJXLHQWH 3HVRDWyPLFRFRGLFDGR SHVRDWyPLFR 10 000 000 Los datos se mencionan tanto en formatos original como codi- FDGRHQFHQJDJHEUDLQFRP D &RQVWUX\HXQDJUiFDGHORVGDWRVFRGLFDGRV&yPR DSDUHFHODFRGLFDFLyQHQODJUiFD" b. Encuentra la media y la desviacin estndar de los datos FRGLFDGRV c. Convierte las respuestas que encontraste en el inciso b a unidades originales. d. Determina si los datos tienen una distribucin aproxima- damente normal. Presenta tu caso. e. Se aplican DMMM y TCL? Explica. f. Se conoce sigma? J 6LODPHWDHVHQFRQWUDUHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH para el valor medio de todas las observaciones, qu haras? K (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYDORU PHGLRGHWDOHVREVHUYDFLRQHV-XVWLFDWXPpWRGR 8.44 [EX08-044] La fuerza requerida para extraer un corcho de una botella de vino es una propiedad importante del corcho. Si la fuerza es muy pequea, probablemente el corcho no es un buen protector del vino en su interior. Si la fuerza es muy gran- de, ser difcil de quitar. Ninguno de los dos es deseable. Se considera que los corchos del nmero 9 en el ejemplo aplicado SWLHQHQXQDIXHU]DGHH[WUDFFLyQTXHWLHQHGLVWUL- bucin normal, con una desviacin estndar de 36 Newtons. a. Una muestra de 20 botellas elegidas al azar se seleccio- nan para ponerse a prueba. (contina en la pgina 360) Seccin 8.2 Estimacin de media ( conocida) www.fullengineeringbook.net 360 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Fuerza de extraccin en Newtons 296 338 341 261 250 347 336 297 279 297 259 334 281 284 279 266 300 305 310 253 (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODIXHU]D de extraccin media. b. Durante una prueba diferente, una muestra de ocho bote- llas se selecciona al azar y se pone a prueba. Fuerza de extraccin en Newtons 331.9 312.0 289.4 303.6 346.9 308.1 346.9 276.0 (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODIXHU]D de extraccin media. c. Qu efecto tienen las dos diferentes medias muestrales sobre las respuestas a los incisos a y b? Explica. d. Qu efecto tienen los dos diferentes tamaos de muestra sobre las respuestas a los incisos a y b? Explica. H 6HDUPDTXHODIXHU]DGHH[WUDFFLyQPHGLDHVGH 1HZWRQV$OJXQDPXHVWUDH[KLEHVXFLHQWHUD]yQSDUD GXGDUGHODYHUDFLGDGGHODDUPDFLyQ"([SOLFD 8.456XEHQFRVWRVXQLYHUVLWDULRVGHRFWXEUHGH un artculo en el sitio web CNN Money proporcion las lti- mas cifras del College Board acerca de matrcula anual, cole- giaturas y alojamiento y comidas. Las cifras totales promedio son 34 132 dlares para universidades privadas y 14 333 dla- res para universidades pblicas. Fuente: http://money.cnn.com/ En un esfuerzo por comparar estos mismos costos en el estado GH1XHYD<RUNHQWRGRHOHVWDGRVHVHOHFFLRQDXQDPXHVWUD de 32 estudiantes de tercer ao en universidades privadas y 32 ms de universidades pblicas. La muestra de universidades privadas result en una media de 34 020 dlares y la media muestral de universidades pblicas fue de 14 045 dlares. a. Si supones que las matrculas universitarias anuales para universidades privadas tienen una distribucin amontona- da y la desviacin estndar es de 2 200 dlares, encuentra HOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDORVFRVWRVXQLYHUVL- tarios medios. b. Si supones que las matrculas universitarias anuales para universidades pblicas tienen una distribucin amontona- da y la desviacin estndar es de 1 500 dlares, encuentra HOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDORVFRVWRVXQLYHUVL- tarios medios. c. Cmo se comparan los costos universitarios del estado de 1XHYD<RUNFRQORVYDORUHVGHO&ROOHJH%RDUG"([SOLFD G &RPSDUDORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DTXHHQFRQWUDVWHHQ ORVLQFLVRVD\EGHVFULEHHOHIHFWRTXHWLHQHQODVGRVGLIH- rentes medias muestrales sobre las respuestas resultantes. H &RPSDUDORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DTXHHQFRQWUDVWHHQ ORVLQFLVRVD\EGHVFULEHHOHIHFWRTXHWLHQHQODVGRV diferentes desviaciones estndar muestrales sobre las respuestas resultantes. 8.46 Con una computadora o calculadora, selecciona al azar una muestra de 40 nmeros de un solo dgito y encuentra el LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. Repite muchas veces y observa si 4.5 est o no est en el intervalo cada vez. Consulta HOHMHPSORSiJLQD'HVFULEHWXVUHVXOWDGRV PTI Usa los comandos para generar datos enteros de la p- gina 91; luego contina con los comandos de intervalo de confianza de las pginas 354-355. 8.47 Encuentra el tamao de muestra necesario para estimar de una poblacin normal con = 3 hasta dentro de 1 unidad HQHOQLYHOGHFRQDQ]DGHSRUFLHQWR 8.48 Cun grande debe ser una muestra si la media pobla- FLRQDOGHEHHVWLPDUVHFRQXQDFRQDQ]DGHKDVWDGHQWUR de $75? La poblacin tiene una desviacin estndar de $900. 8.49 Una compaa de alta tecnologa quiere estimar el n- mero medio de aos de educacin universitaria que comple- taron sus empleados. Una buena estimacin de la desviacin estndar para el nmero de aos de universidad es 1.0. Cun grande debe ser una muestra para estimar hasta dentro de 0.5 GHXQDxRFRQGHFRQDQ]D" 8.50 Al medir la cantidad de tiempo que tarda un componente de un producto en moverse de una estacin de trabajo a la si- guiente, un ingeniero estim que la desviacin estndar es de 5 segundos. a. Cuntas mediciones deben hacerse para estar 95% seguro de que el error mximo de estimacin no superar 1 segundo? b. Qu tamao de muestra se requiere para un error mxi- mo de 2 segundos? 8.51 Las nuevas computadoras mini-laptop pueden entregar tanto poder de computacin como las mquinas varias veces ms grandes, pero pesan menos de 3 lb. Cun grande se re- querira una muestra para estimar el peso medio poblacional, si el error mximo de estimacin debe ser 0.4 de 1 desviacin HVWiQGDUFRQGHFRQDQ]D" 8.52 De acuerdo con el artculo del USA Today (11 de marzo GH(VWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVHVWXGLDQPiVHVWDVTXH libros", los estudiantes de primer ao estudian un promedio GHKRUDV D OD VHPDQD8QDJUDQXQLYHUVLGDG HQ HO QRUWH del estado est interesada en estimar este estadstico respecto a sus alumnos de tercer ao. Cun grande ser la muestra para HVWLPDUODPHGLDGHQWURGHGHGHVYLDFLyQHVWiQGDUFRQ GHFRQDQ]D" www.fullengineeringbook.net 361 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis *Se usa la notacin H o para la hiptesis nula para contrastarla con H a para la hiptesis alternativa. Otros textos pueden usar H 0 (subndice cero) en lugar de H o y H 1 en lugar de H a . Todos los das de la vida se toman decisiones. Algunas de dichas decisiones son de gran LPSRUWDQFLDRWUDVVRQDSDUHQWHPHQWHLQVLJQLFDQWHV7RGDVODVGHFLVLRQHVVLJXHQHOPLVPR SDWUyQEiVLFR6HVRSHVDQODVDOWHUQDWLYDVOXHJRFRQEDVHHQODVFUHHQFLDV\SUHIHUHQFLDV y cualquier evidencia disponible, se llega a una decisin y se toma la accin adecuada. La prueba de hiptesis estadstica sigue en gran parte el mismo proceso, excepto que involucra informacin estadstica. En esta seccin se desarrollan muchos de los conceptos y actitudes de la prueba de hiptesis mientras se observan varias situaciones de toma de decisiones sin usar ningn estadstico. 8QDPLJRKDUiXQDHVWDHO6~SHU7D]yQUHJUHVRDFDVDW~VDEUiVFXDOTXLHURFDVLyQ es buena) y te invit. Debes tomar una decisin: asistir o no asistir. As de simple... bueno, H[FHSWRTXHTXLHUHVLUVyORVLSXHGHVFRQYHQFHUWHGHTXHODHVWDVHUiPiVGLYHUWLGDGHOR TXHVRQODVHVWDVXVXDOHVGHWXDPLJR0iVD~QGHQLWLYDPHQWHnoTXHUUiVLUVLODHVWD GHQLWLYDPHQWHVHUiRWURDVFR7RPDVODSRVLFLyQGHTXHODHVWDVHUiXQDVFR\QR LUiVDPHQRVTXH WHFRQYHQ]DQGH ORFRQWUDULR7XDPLJR WHDVHJXUD*DUDQWL]DGR OD HVWDVHUiJUDQGLRVD,UiVRQR" (OSURFHVRGH WRPDGHGHFLVLRQHV FRPLHQ]DSRU LGHQWLFDUalgo de inters y luego formula dos hiptesis acerca de ello. Hiptesis Enunciado de que algo es verdadero. (OHQXQFLDGRGHWXDPLJR/DHVWDVHUiJUDQGLRVDHVXQDKLSyWHVLV7XSRVLFLyQ/D HVWDVHUiXQDVFRWDPELpQHVXQDKLSyWHVLV Prueba estadstica de hiptesis Proceso mediante el cual se toma una decisin entre dos hiptesis opuestas. Las dos hiptesis opuestas se formulan de modo que cada hiptesis es la negacin de la otra. (De esta forma, una de ellas siempre es verdadera y la otra siempre es falsa.) Entonces se pone a prueba una hiptesis con la esperanza de que se pueda demostrar que es una ocu- rrencia muy improbable y por tanto implica que la otra hiptesis probablemen- te es verdadera. Las dos hiptesis involucradas en la toma de decisiones se conocen como hiptesis nula e hiptesis alternativa. Hiptesis nula,* Ho La hiptesis que se pondr a prueba. Por lo general, ste es un enunciado de que un parmetro poblacional tiene un valor especfico. La hiptesis nula se llama as porque es el "punto de partida" para la investiga- cin. (Con frecuencia se usa la frase "no hay diferencia" en su interpretacin.) Hiptesis alternativa, Ha Enunciado acerca del mismo parmetro poblacional que se usa en la hiptesis nula. Por lo general, se trata de un enunciado que especifica que el parmetro poblacional tiene un valor diferente, en alguna forma, al valor dado en la hiptesis nula. El rechazo de la hiptesis nula im- plicar la probable veracidad de esta hiptesis alternativa. 5HVSHFWRDODHVWDGHWXDPLJRORVGRVSXQWRVGHYLVWDHQRSRVLFLyQRKLSyWHVLVVRQ /DHVWDVHUiJUDQGLRVD\/DHVWDVHUiXQDVFR&XiOHQXQFLDGRVHFRQYLHUWHHQ hiptesis nula y cul en hiptesis alternativa? Seccin 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis www.fullengineeringbook.net 362 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Determinar el enunciado de la hiptesis nula y el enunciado de la hiptesis alternativa es un paso muy importante. La idea bsica de la prueba de hiptesis es que la evidencia tenga posibilidad de "desaprobar" la hiptesis nula. La hiptesis nula es el enunciado de que la evidencia puede desaprobarse. Tu preocupacin (creencia o resultado deseado), como la persona que hace la prueba, se expresa en la hiptesis alternativa. Como la perso- na que toma la decisin, t crees que la evidencia demostrar la factibilidad de tu "teora" al demostrar la improbabilidad de la verdad de la hiptesis nula. La hiptesis alternativa en ocasiones se conoce como hiptesis de investigacin porque representa lo que el inves- tigador espera descubrir que es la "verdad". 3XHVWRTXHODHYLGHQFLDTXLpQYDDODHVWDTXpVHVHUYLUiHWFSXHGHGHPRVWUDU VyORODLPSUREDELOLGDGGHTXHODHVWDVHDXQDVFRWXSRVLFLyQLQLFLDO/DHVWDVHUiXQ DVFRVHFRQYLHUWHHQODKLSyWHVLVQXOD/DDUPDFLyQGHWXDPLJR/DHVWDVHUiJUDQ- diosa", se convierte entonces en la hiptesis alternativa. H o /DHVWDVHUiXQDVFRIUHQWHD H a /DHVWDVHUiJUDQGLRVD Los siguientes ejemplos ilustrarn la formacin de y la relacin entre las hiptesis nula y alternativa. E J E M P L O 8 . 8 E J E M P L O 8 . 9 ESCRIBIR HIPTESIS T pones a prueba un nuevo diseo de bolsas de aire usadas en automviles y ests preocupado de que puedan no abrir de manera adecuada. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin Las dos posibilidades en oposicin son "las bolsas abren de manera adecuada" y "las bolsas no abren de manera adecuada". Poner a prueba podra producir evidencia que desacredite la hiptesis "las bolsas abren de manera adecuada"; mas tu preocupacin es que "las bolsas no abren de manera adecuada". Por tanto, "las bolsas no abren de manera adecuada" se convertira en la hiptesis alternativa y "las bolsas abren de manera adecuada" sera la hiptesis nula. La hiptesis alternativa tambin puede ser el enunciado que el experimentador quiere demostrar que es verdadero. ESCRIBIR HIPTESIS Un ingeniero quiere demostrar que la nueva frmula que acaba de desarrollar resulta en una pintura de secado ms rpido. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin Las dos posibilidades en oposicin son "s seca ms rpido" y "no seca ms rpido". Puesto que el ingeniero quiere demostrar "s seca ms rpido", la hiptesis alternativa es "la pintura hecha con la nueva frmula s seca ms rpido" y la hiptesis nula es "la pintura hecha con la nueva frmula no seca ms rpido". www.fullengineeringbook.net 363 E J E M P L O 8 . 1 0 En ocasiones puede ser razonable esperar que la evidencia no conduzca a un rechazo GHODKLSyWHVLVQXOD7DOHVHOFDVRHQHOHMHPSOR ESCRIBIR HIPTESIS T sospechas que un detergente de marca supera a la marca de detergente de la tienda y quieres poner a prueba los dos detergentes porque preferiras comprar la marca de la tienda, que es ms barata. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin Tu sospecha, "el detergente de marca supera la marca de la tienda" es la razn para la prueba y por tanto se convierte en la hiptesis alternativa. Ho: "no hay diferencia en el rendimiento del detergen" Ha: "el detergente de marca tiene mejor rendimiento que la marca del almacn" Sin embargo, como consumidor, esperas no rechazar la hiptesis nula por razones de presupuesto. E J E M P L O A P L I C A D O 8 . 1 1 $QWHVGHUHJUHVDUDOHMHPSORDFHUFDGHODHVWDHVQHFHVDULRREVHUYDUORVFXDWURSRVL bles resultados que podran resultar en caso de que la hiptesis nula fuera verdadera o falsa y que la decisin fuera o "rechazar H o " o "fracasar en rechazar H o /DWDEODPXHVWUD estos cuatro posibles resultados. Una decisin correcta tipo A ocurre cuando la hiptesis nula es verdadera y decides en su favor. Una decisin correcta tipo B ocurre cuando la hiptesis nula es falsa y la decisin est en oposicin a la hiptesis nula. Un error tipo I se comete cuando se rechaza RESUMEN: ESTE ESTUDIO PONE A PRUEBA EL EFECTO DE LA COLECCIN DE TAREAS Y PREGUNTAS RPIDAS SOBRE LAS CALIFICACIONES DE EXAMEN EVALUACIN DE TCNICAS DE ENSEANZA La hiptesis para este estudio es que un profesor puede mejorar el GHVHPSHxRGHXQHVWXGLDQWHFDOLFD FLRQHVGHH[DPHQD WUDYpVGHLQXLU sobre la probabilidad esfuerzo-recom- pensa percibida por el estudiante. Un profesor logra esto al asignar tareas (tcnicas de enseanza) que son par- WHGHODFDOLFDFLyQGHOHVWXGLDQWH\HO estudiante las percibe como un medio SDUD PHMRUDU VX FDOLFDFLyQ HQ FOD se. El estudiante est motivado para aumentar el esfuerzo para completar aquellas tareas que tambin deben me- jorar la comprensin del material del FXUVR (O UHVXOWDGR QDO HVSHUDGR HV PHMRUDUODVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQ La hiptesis nula para este estudio es: H o : Las tcnicas de enseanza no WLHQHQ HIHFWR VLJQLFDWLYR VREUH ODV FDOLFDFLRQHVGHH[DPHQGHORVHVWX diantes... Fuente: "Evaluation of Teaching Techniques" por David R. Vruwink y Janon R. Otto, publicado en The Accounting Review9RO/;,,Q~PDEULOGH5HLPSUHVRFRQSHUPLVR 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis www.fullengineeringbook.net 364 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica XQDKLSyWHVLVQXODYHUGDGHUDHVWRHVFXDQGRODKLSyWHVLVQXODHVYHUGDGHUDSHURVHGHFLGH contra ella. Un error tipo II se comete cuando se decide en favor de una hiptesis nula que en realidad es falsa. Notas: 1. La verdad de la situacin no se conoce antes de tomar la decisin, alcanzar la con- clusin y de que tengan lugar las acciones resultantes. La verdad de H o puede nunca conocerse. (OHUURUWLSR,,FRQIUHFXHQFLDUHVXOWDHQTXHUHSUHVHQWDXQDSpUGLGDGHRSRUWXQLGDG en esta situacin se pierde la posibilidad de usar un producto que produce mejores resultados. Cuando se toma una decisin, sera bueno siempre tomar la decisin correcta. Sin embargo, esto no es posible en estadstica porque las decisiones se toman sobre la base de informacin muestral. Lo mejor que se puede esperar es controlar la probabilidad con la 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP E J E M P L O A P L I C A D O 8 . 1 2 DESCRIPCIN DE POSIBLES RESULTADOS Y ACCIONES RESULTANTES (ACERCA DE PRUEBAS DE HIPTESIS) Describe los cuatro posibles resultados y las acciones resultantes que ocurri- ran para la prueba de hiptesis en el ejemplo 8.10. Solucin Recuerda: Ho: "No hay diferencia en rendimiento del detergente" Ha: "El detergente de marca tiene mejor rendimiento que la marca del almacn" TABLA 8.3 Cuatro posibles resultados en una prueba de hiptesis Hiptesis nula Decisin Verdadera Falsa Fracasar en rechazar Ho Decisin correcta tipo A Error tipo II Rechazar Ho Error tipo I Decisin correcta tipo B Hiptesis nula es falsa Error tipo II Verdad de la situacin: el deter- gente de marca es mejor. Conclusin: se determina que no hay diferencia. Accin: el consumidor compra el detergente ms barato, ahorra dine- ro pero obtiene resultados inferiores. Decisin correcta tipo B Verdad de la situacin: el deter- gente de marca es mejor. Conclusin: se determina que el detergente de marca es mejor. Accin: el consumidor compra el detergente de marca, gasta ms y obtiene mejores resultados. Fracasar para rechazar Ho Rechazar Ho Hiptesis nula es verdadera Decisin correcta tipo A Verdad de la situacin: no hay di- ferencia entre los detergentes. Conclusin: se determina que no hay diferencia. Accin: el consumidor compra el detergente ms barato, ahorra dine- ro y obtiene los mismos resultados. Error tipo I Verdad de la situacin: no hay di- ferencia entre los detergentes. Conclusin: se determina que el detergente de marca es mejor. Accin: el consumidor compra el detergente de marca, gasta dinero adicional para no lograr mejores resultados. www.fullengineeringbook.net 365 que ocurre un error. La probabilidad asignada al error tipo I es (llamada "DOID"). La pro- babilidad del error tipo II es (llamada "beta es la segunda letra del alfabeto griego). &RQVXOWDODWDEOD Para controlar estos errores se asigna una pequea probabilidad a cada una de ellas. Los valores de probabilidad usados con ms frecuencia para y son 0.01 y 0.05. La probabi- lidad asignada a cada error depende de su seriedad. Mientras ms serio sea el error, menos GHVHRVVHWLHQHQGHTXHRFXUUDSRUWDQWRVHDVLJQDUiXQDSUREDELOLGDGPiVSHTXHxD y son probabilidades de errores, cada uno bajo condiciones separadas y no pueden combi- narse. En consecuencia, no es posible determinar una probabilidad sencilla para tomar una decisin incorrecta. Del mismo modo, las dos decisiones correctas estn distintivamen- WHVHSDUDGDV\FDGDXQDWLHQHVXSURSLDSUREDELOLGDG es la probabilidad de una de- cisin correcta cuando la hiptesis nula es verdadera y 1 es la probabilidad de una decisin correcta cuando la hiptesis nula es falsa. 1 se llama potencia de la prueba estadstica porque es la medida de la capacidad de una prueba de hiptesis para rechazar una hiptesis nula falsa, una caracterstica muy importante. Nota: sin importar el resultado de una prueba de hiptesis, nunca puedes estar seguro de que se haya alcanzado una decisin correcta. Observa nuevamente los dos posibles errores en la decisin que podran ocurrir en el HMHPSOR/DPD\RUtDGHODVSHUVRQDVVHPROHVWDUtDQVLGHVFXEUHQTXHJDVWDURQGLQHUR adicional por un detergente que no tiene mejor rendimiento que la marca ms barata. Del mismo modo, muchas personas se molestaran si descubren que podran haber comprado un mejor detergente. Para evaluar la seriedad relativa de dichos errores se requiere saber si se trata de tu lavandera personal o de un negocio de lavandera profesional, cunto ms cuesta el detergente de marca, etctera. Existe una interrelacin entre la probabilidad del error tipo I (), la probabilidad del error tipo II () y el tamao de la muestra (n). Esto es muy parecido a la interrelacin entre HOQLYHOGHFRQDQ]DHUURUPi[LPR\WDPDxRGHPXHVWUDTXHVHHVWXGLyHQODVSiJLQDV /DJXUDPXHVWUDODFRPSHWHQFLDWULSDUWLWDHQWUH, y n. Si alguno de los tres aumenta o disminuye, tiene un efecto sobre uno o ambos de los otros. Por tanto, la labor del estadstico es "equilibrar" los tres valores de , y n para lograr una situacin de prueba aceptable. FIGURA 8.8 La "competencia tripartita" entre , y n TABLA 8.4 Probabilidad con la que ocurren las decisiones Tamao de la muestra Si se reduce, entonces o debe aumentar o n GHEH DXPHQWDU VL dis- minuye, entonces aumenta o n debe DXPHQWDUVLn disminuye, entonces au- menta o aumenta. Las opciones para , y nGHQLWLYDPHQWHQRVRQDUELWUDULDV$ esta altura de tu estudio de la estadstica, slo se proporcionarn y usarn el tama- o de la muestra, n y , P(error tipo I), para completar una prueba de hiptesis. , P(error tipo II), se investigar con ms detalle en los ejercicios de seccin, pero no se utilizar en esta introduccin a la prueba de hiptesis. P(error tipo I) P(error tipo II) Error en decisin Tipo Probabilidad Decisin correcta Tipo Probabilidad Rechazo de una Fracaso para rechazar Ho verdadera I una Ho verdadera A 1 Fracaso para rechazar Rechazo de una una Ho falsa II Ho falsa B 1 n Seccin 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis www.fullengineeringbook.net 366 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica SABAS QUE...? El gusto de la dama puede ser la diferencia? A finales de 1920, se plante la pregunta: el gusto de la dama puede ser la diferencia entre verter leche en una taza de t, frente a verter t en una taza de leche? A la dama se le presentaron al azar dos tazas, una de cada una en pares y ella identific correcta- mente todas ellas. Si ella adivin, su probabilidad de adivinar correctamen- te fue 0.5. De modo que se plantea la hiptesis de que adivin y observ la evidencia muestral. Ella identific correctamente las 10 tazas ofrecidas. Cul es la probabilidad de adivinar correctamen- te 10 veces en fila? Este es el valor p de Fisher. Es probable que haya adivinado e identificado correctamente 10 veces en fila? (1 en 1 024 = 0.00098) El tamao de la muestra, n, se explica por s mismo, as que observa el papel de . Nivel de significancia probabilidad de cometer un error de tipo I. (VWDEOHFHUHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSXHGHFRQVLGHUDUVHFRPRXQDGHFLVLyQJHUHQFLDO3RU lo general, alguien a cargo determina el nivel de probabilidad con el que quiere arriesgar un error de tipo I. En este punto del procedimiento de la prueba de hiptesis, la evidencia se recolecta, se resume y se calcula el valor de un estadstico de prueba. Estadstico de prueba Variable aleatoria cuyo valor se calcula a partir de los datos muestrales y se usa para tomar la decisin "rechazar Ho" o "fracasar para rechazar Ho". El valor del estadstico de prueba calculado se usa en conjunto con una regla de decisin para determinar si se "rechaza H o " o se "fracasa para rechazar H o ". Esta regla de deci- sinGHEHHVWDEOHFHUVHDQWHVGHUHFROHFWDUORVGDWRVHOODHVSHFtFDFyPRVHOOHJDUiDOD decisin. 'HYXHOWDDODHVWDGHWXDPLJRWLHQHVTXHVRSHVDUODKLVWRULDGHHVWDVGHWXDPLJR el tiempo y el lugar, quines acuden ms, etc., contra tu propio criterio y despus tomar WXGHFLVLyQ&RPRUHVXOWDGRGHODGHFLVLyQDFHUFDGHODKLSyWHVLVQXODODHVWDVHUiXQ DVFRWRPDUiVODDFFLyQDGHFXDGDRLUiVRQRLUiVDODHVWD Para completar una prueba de hiptesis, necesitars escribir una conclusin que descri- EDFXLGDGRVDPHQWHHOVLJQLFDGRGHODGHFLVLyQHQUHODFLyQFRQHOLQWHQFLyQGHODSUXHED de hiptesis. La conclusin a. Si la decisin es "rechazar Ho", entonces la conclusin debe enunciarse ms o menos como: "existe suficiente evidencia en el nivel de significancia para demostrar que... [el significado de la hiptesis alternativa]". b. Si la decisin es "fracasar para rechazar Ho", entonces la conclusin debe enunciarse algo parecido a: "no hay suficiente evidencia en el nivel de significancia para demostrar que... [el significado de la hiptesis alter- nativa]". Cuando escribas la decisin y la conclusin, recuerda que: 1) la decisin es acerca de H o y 2) la conclusin es un enunciado acerca de si se apoya la argumentacin de H a . Esto es consistente con la "actitud" de todo el procedimiento de prueba de hiptesis. La hiptesis nula es el enunciado que est "en juicio" y por tanto la decisin debe ser acerca de ella. La argumentacin de la hiptesis alternativa es el concepto que da pie a la necesidad de la deci- sin. Por tanto, la pregunta que conduce a la hiptesis alternativa debe responderse cuando escribas la conclusin. Siempre debes recordar que, cuando tomas la decisin, nada se ha probado. Ambas decisiones pueden conducir a errores: "fracasar para rechazar H o " podra ser un error del WLSR,,ODIDOWDGHVXFLHQWHHYLGHQFLDFRQGXFHDTXHJUDQGHVHVWDVVHSLHUGDQPiVGHXQD vez) y "rechazar H o SRGUtDVHUXQHUURUGHOWLSR,PiVGHXQDSHUVRQDGHFLGLyLUDXQDHVWD TXHIXHXQDVFR www.fullengineeringbook.net 367 E J E R C I C I O S S E C C I N 8 . 3 8.53 "Positivamente el sistema de alivio ms efectivo del pla- neta para citica y dolor de espalda...", de acuerdo con el Dr. &UDLJ0XHOOHU(VWDDUPDFLyQDSDUHFLyHQZZZ(UDVH<RXU- BackPain.com. a. Cmo trataras de demostrar que el enunciado anterior es verdadero? Qu evidencia necesitaras recolectar? b. Cmo trataras de desaprobar el enunciado anterior? Qu evidencia necesitaras recolectar? c. Tendra ms sentido tratar de probar que el enunciado anterior es verdadero o desaprobarlo? Explica. 8.54 Alguna vez has escuchado que el varn estadounidense promedio mide 69.7 pulgadas de alto. Sin embargo, casi todos los varones adultos en tu mundo personal parecen estar entre 5 y 6 pies de alto, con unos pocos apenas arriba de 6 pies. As que, cmo es que el promedio es casi de 6 pies? De hecho, t ests bastante convencido de que la estatura promedio puede ser algo menor que 69.7 pulgadas. a. Cmo trataras de demostrar que el enunciado anterior de "menos de 69.7 pulgadas" es verdadero? Qu eviden- cia recolectaras? Qu necesitara mostrar la evidencia recolectada para convencerte de la verdad del enunciado? b. Cmo trataras de desaprobar el nunciado anterior de "menos de 69.7 pulgadas"? Qu evidencia recolectaras? Qu necesitara mostrar la evidencia recolectada para desaprobar el enunciado? c. Sera ms fcil probar que "menos de 69.7 pulgadas" es verdadero o desaprobarlo? Explica. 8.55 T pones a prueba un nuevo sistema de detonacin para H[SORVLYRV\HVWiVSUHRFXSDGRGHTXHHOVLVWHPDQRVHDFRQD- ble. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. 8.56&RQUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGRHQXQFLDODKLSy- tesis del instructor, la hiptesis alternativa. 8.57 Enuncia las hiptesis nula y alternativa para cada uno de los siguientes: a. Investigas una queja de que "el correo de entrega especial tarda demasiado tiempo" en distribuirse. b. Quieres demostrar que las personas encuentran el nuevo diseo de una silla reclinable ms cmodo que el diseo anterior. c. Tratas de demostrar que el humo del cigarrillo afecta la calidad de vida de una persona. d. Pones a prueba una nueva frmula para acondicionador de cabello y esperas demostrar que es efectivo para "pun- tas quemadas". 8.58 Enuncia las hiptesis nula y alternativa para cada uno de los siguientes: a. Quieres demostrar un aumento en compra y venta de ca- sas unifamiliares este ao cuando se comparan con la tasa del ao pasado. b. Pones a prueba una nueva receta para pastel de queso "bajo en grasas" y esperas encontrar que su sabor no es tan bueno como el pastel de queso tradicional. c. Tratas de demostrar que las lecciones de msica tienen un efecto positivo sobre la autoestima de un nio. d. Investigas la relacin entre el gnero de una persona y HODXWRPyYLOTXHFRQGXFHHVSHFtFDPHQWHTXLHUHVGH- mostrar que los varones tienden a conducir vehculos tipo camioneta ms que las mujeres. 8.59&RQHOHMHPSORGHODHVWDGHWXDPLJRSS\ con H o ODHVWDVHUiXQDVFRIUHQWHDH a ODHVWDVHUi grandiosa", describe las cuatro posibles decisiones y las accio- QHVUHVXOWDQWHVVHJ~QGHVFULEHHOHMHPSOR 8.60 Cuando se inspecciona un paracadas, el inspector busca algo que pueda indicar que el paracadas pueda no abrir. a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Describe los cuatro posibles resultados que pueden re- sultar dependiendo de la verdad de la hiptesis nula y la decisin alcanzada. c. Describe la seriedad de los dos posibles errores. 8.61 Cuando un mdico en la escena de un accidente serio inspecciona a cada vctima, administra la asistencia mdica adecuada a todos los heridos, a menos que est seguro de que la vctima est muerta. a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Describe los cuatro posibles resultados que puedan re- sultar dependiendo de la verdad de la hiptesis nula y la decisin alcanzada. c. Describe la seriedad de los dos posibles errores. 8.62 Un proveedor de materiales de construccin para auto- SLVWDVDUPDTXHSXHGHVXPLQLVWUDUXQDPH]FODGHDVIDOWRTXH har que los caminos pavimentados con este material sean me- nos resbalosos cuando estn hmedos. Un contratista general TXH FRQVWUX\H FDPLQRV TXLHUH SRQHU D SUXHED OD DUPDFLyQ del proveedor. La hiptesis nula es "los caminos pavimentados con esta mezcla de asfalto no son menos resbalosos que los caminos pavimentados con otro asfalto". La hiptesis alterna- tiva es "los caminos pavimentados con esta mezcla de asfalto son menos resbalosos que los caminos pavimentados con otro asfalto". FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis www.fullengineeringbook.net 368 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica D 'HVFULEHHOVLJQLFDGRGHORVGRVSRVLEOHVWLSRVGHHUUR- res que pueden ocurrir en la decisin cuando se completa esta prueba de hiptesis. b. Describe cmo la hiptesis nula, como se enunci an- teriormente, es un "punto de partida" para la decisin a tomar acerca del asfalto. 8.63&RQODLQIRUPDFLyQGHOHMHUFLFLRGHVFULEHFyPRHO HUURUGHWLSR,,HQHOHMHPSORGHODHVWDUHSUHVHQWDXQDRSRU- tunidad perdida". 8.64 Describe las acciones que resultaran en un error de tipo I y un error de tipo II si se ponen a prueba cada una de las si- guientes hiptesis nulas. (Recuerda: la hiptesis alternativa es la negacin de la hiptesis nula.) a. H o : La mayora de los estadounidenses favorece las leyes contra las armas de asalto. b. H o : Las opciones en el men de comida rpida no son bajas en sal. c. H o (VWHHGLFLRQRGHEHGHPROHUVH d. H o : No hay desperdicio en los gastos del gobierno. 8.65 Describe la accin que resultara en una decisin correc- ta tipo A y una decisin correcta tipo B si se pone a prueba FDGDXQDGHODVKLSyWHVLVQXODVGHOHMHUFLFLR 8.66 Describe la accin que resultara en una decisin correc- ta tipo A y una decisin correcta tipo B si se ponen a prueba las hiptesis para el nuevo sistema de detonacin para explosivos GHOHMHUFLFLR 8.67&RQVLGHUD ODKLSyWHVLVQXODGHOHMHPSORDSOLFDGR "H o ODV WpFQLFDVGHHQVHxDQ]DQR WLHQHQHIHFWRVLJQLFDWLYR VREUHODVFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQGHORVHVWXGLDQWHV'HVFUL- be las acciones que resultaran en errores tipo I y tipo II si H o se pone a prueba. 8.68&RQVLGHUD ODKLSyWHVLVQXODGHOHMHPSORDSOLFDGR "H o ODV WpFQLFDVGHHQVHxDQ]DQR WLHQHQHIHFWRVLJQLFDWLYR VREUHODVFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQGHORVHVWXGLDQWHV'HVFUL- be las acciones que resultaran en una decisin correcta tipo A y una decisin correcta tipo B si H o se pone a prueba. 8.69 a. Si la hiptesis nula es verdadera, qu error de decisin podra cometerse? b. Si la hiptesis nula es falsa, qu error de decisin podra cometerse? c. Si se toma la decisin "rechazar H o ", qu error de decisin podra cometerse? d. Si se toma la decisin "fracasar para rechazar H o ", qu error de decisin podra cometerse? 8.70 El director de una agencia de publicidad est preocupado por la efectividad de un comercial de televisin. a. Qu hiptesis nula pone a prueba si comete un error de tipo I cuando errneamente dice que el comercial es efectivo? b. Qu hiptesis nula pone a prueba si comete un error de tipo II cuando errneamente dice que el comercial es efectivo? 8.71 El director de una agencia de publicidad est preocupado por la efectividad de un comercial de televisin. a. Qu hiptesis nula pone a prueba si toma una decisin correcta de tipo A cuando dice correctamente que el co- mercial no es efectivo? b. Qu hiptesis nula pone a prueba si toma una decisin correcta de tipo B cuando dice correctamente que el co- mercial no es efectivo? 8.72 Un poltico est preocupado por ganar una eleccin ve- nidera. a. Qu hiptesis nula pone a prueba si comete un error de tipo I cuando errneamente dice que ganar la eleccin? b. Qu hiptesis nula pone a prueba si comete un error tipo II cuando errneamente dice que ganar la eleccin? 8.73 a. Si a se le asigna el valor 0.001, qu se dice acer- ca del error tipo I? b. Si a se le asigna el valor 0.05, qu se dice acerca del error tipo I? c. Si a se le asigna el valor 0.10, qu se dice acerca del error tipo I? 8.74 a. Si a se le asigna el valor 0.001, qu se dice acer- ca del error tipo II? b. Si a se le asigna el valor 0.05, qu se dice acerca del error tipo II? c. Si a se le asigna el valor 0.10, qu se dice acerca del error tipo II? 8.75 a. Si la hiptesis nula es verdadera, la probabilidad de XQHUURUGHGHFLVLyQVHLGHQWLFDFRQTXpQRPEUH" b. Si la hiptesis nula es falsa, la probabilidad de un HUURUGHGHFLVLyQVHLGHQWLFDFRQTXpQRPEUH" 8.76 Supn que una prueba de hiptesis se realiza con el uso de = 0.05. Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo I? 8.77 Explica por qu no siempre es la probabilidad de re- chazar la hiptesis nula. 8.78 Explica cmo asignar una probabilidad pequea a un error controla la probabilidad de su ocurrencia. 8.79 La conclusin es la parte de la prueba de hiptesis que comunica los hallazgos de la prueba al lector. Como tal, nece- www.fullengineeringbook.net 369 sita atencin especial, de modo que el lector reciba una imagen precisa de los hallazgos. a. Describe cuidadosamente la "actitud" del estadstico y el enunciado de la conclusin cuando la decisin es "recha- zar H o ". b. Describe cuidadosamente la "actitud" del estadstico y el enunciado de la conclusin cuando la decisin es "fraca- sar en rechazar H o ". 8.80 Encuentra la potencia de una prueba cuando la probabi- lidad del error tipo II es: a. 0.01 b. 0.05 c. 0.10 8.81 Se sabe que una poblacin con distribucin normal tiene una desviacin estndar de 5, pero su media est en cuestin. Se argumenta que es R = 90, y se disea la siguiente prueba de hiptesis para resolver el argumento. La hiptesis nula, H o : VHSRQGUiDSUXHEDDOXVDUXQYDORUGHGDWRV VHOHFFLRQDGRDOD]DU\FRPSDUDUORFRQHOYDORUFUtWLFRGH 6LHOYDORUGHGDWRVHVPD\RUTXHRLJXDODVHUHFKD]DUiOD hiptesis nula. a. Encuentra , la probabilidad del error tipo I. b. Encuentra , la probabilidad del error tipo II. 8.826XSyQTXHHODUJXPHQWRGHOHMHUFLFLRVHHVWDEOHFLy XVDQGRXQDPXHVWUDGHWDPDxRHQFXHQWUD y . 8.83 [EX08-083] T eres inspector de control de calidad y es- ts en una posicin para tomar la decisin de si un gran embar- que de tapones de corcho para usar en embotellado de vino no espumoso (frente a efervescente) pasa la inspeccin. Una vez que inspecciones el nmero obligatorio de la forma aprobada, tomars una decisin para aceptar o rechazar el lote. La parte 1 de la inspeccin requiere que selecciones al azar 32 corchos y midas tres dimensiones fsicas del tapn cilndri- FRGHDFXHUGRFRQORVSURFHGLPLHQWRVGHQLGRV /tPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ 'LiPHWUR PPPP 2YDOL]DFLyQ PP /RQJLWXG PPPP Niveles de calidad de aceptacin (NCA) El lote se acepta si no ms de dos corchos presentan un resul- WDGRLQIHULRURVXSHULRUDORVOtPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ El lote puede rechazarse si tres o ms corchos presentan XQUHVXOWDGRLQIHULRURVXSHULRUDORVOtPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ Fuente: http://www.codiliege.org A continuacin se presentan los resultados de inspeccionar la muestra obligada. (Todas las mediciones estn en milmetros.) a. Determina el nmero de corchos que pasan la parte 1 de la inspeccin. b. Enuncia la decisin y explica cmo llegaste a ella. c. Prepara un breve reporte escrito que resuma los requisitos y tus hallazgos y decisin. 8.84 [EX08-084] Como inspector de control de calidad en el HMHUFLFLRHVWiVOLVWRSDUDODVHJXQGDIDVHGHODLQVSHFFLyQ (contina en la pgina 370) [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPCorcho 1 2 3 4 5 6 7 8 Dimetro 24.51 24.13 24.28 24.27 23.79 24.11 24.08 23.66 Ovalizacin 0.20 0.88 0.38 0.20 0.29 0.14 0.20 0.32 Longitud 44.89 44.69 45.36 44.94 44.65 45.50 44.86 44.67 Corcho 9 10 11 12 13 14 15 16 Dimetro 24.41 24.08 24.02 23.94 23.71 24.18 24.13 24.30 Ovalizacin 0.03 0.43 0.50 0.43 0.51 0.46 0.53 0.14 Longitud 45.13 44.92 44.88 45.14 44.87 44.67 45.01 44.86 Corcho 17 18 19 20 21 22 23 24 Dimetro 23.78 24.01 24.03 24.10 23.77 24.28 23.85 24.39 Ovalizacin 0.07 0.32 0.34 0.23 .076 0.39 0.47 0.43 Longitud 45.12 45.21 45.70 44.95 44.27 45.23 45.29 44.98 Corcho 25 26 27 28 29 30 31 32 Dimetro 24.27 23.92 24.23 24.17 23.77 24.40 24.31 23.85 Ovalizacin 0.20 0.47 0.23 0.23 0.28 0.34 0.56 0.05 Longitud 44.80 45.06 45.38 45.11 44.75 45.42 45.04 44.53 Tabla para el ejercicio 8.83 Seccin 8.3 La naturaleza de la prueba de hiptesis www.fullengineeringbook.net 370 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica (Q OD VHFFLyQ VH HVWXGLDURQ ORV FRQFHSWRV \ JUDQSDUWH GHO UD]RQDPLHQWRGHWUiV GH una prueba de hiptesis mientras observabas ejemplos no estadsticos. En esta seccin se formalizar el procedimiento de prueba de hiptesis como se aplica a enunciados concer- nientes a la media de una poblacin bajo la restriccin de que , la desviacin estndar poblacional, es un valor conocido. La suposicin para las pruebas de hiptesis en torno a la media con una conocida La distribucin muestral de x tiene una distribucin normal. La informacin que necesitas para asegurar que esta suposicin se satisfaga est contenida en la distribucin muestral de las medias muestrales y en el TLC: La prueba de hiptesis es un procedimiento paso a paso bien organizado que se usa para tomar una decisin. Usualmente se usan dos formatos diferentes para la prueba de hiptesis. El mtodo de valor de probabilidad o simplemente mtodo valor p, es el proce- so de prueba de hiptesis que gan popularidad en aos recientes, principalmente como resultado de la conveniencia y la habilidad de las computadoras para "hacer cuentas". Este mtodo se organiza como un procedimiento de cinco pasos. La parte 2 requiere la determinacin del porcentaje de hu- medad de 20 tapones de corcho mientras se sigue el procedi- miento prescrito. /tPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ Valor nominal: 6% /tPLWHVGHHVSHFLFDFLyQHVGHFLUGHD Niveles de calidad de aceptacin (NCA) El lote se acepta si no ms de dos corchos presentan un resulta- GRLQIHULRURVXSHULRUDORVOtPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ El lote puede rechazarse si tres o ms corchos presentan XQUHVXOWDGRLQIHULRURVXSHULRUDORVOtPLWHVGHHVSHFLFDFLyQ Fuente: http://www.codiliege.org A continuacin se mencionan tres diferentes muestras, cada una tomada de diferentes lotes. Revisa los resultados de la muestra y responde estas preguntas para cada una de las muestras por separado. Muestra 1 5 5 6 3 7 6 6 7 8 6 6 7 5 7 6 6 7 6 4 5 Muestra 2 1 6 6 8 6 5 7 6 10 6 7 5 7 6 5 6 6 8 5 9 Muestra 3 5 7 3 5 5 5 6 5 9 3 5 7 7 9 7 8 5 10 8 9 a. Construye un diagrama de puntos de los datos. b. Etiqueta por completo el diagrama de puntos y encierra en un crculo los puntos que representen porcentajes de FRUFKRLQIHULRUHVRVXSHULRUHVDORVOtPLWHVGHHVSHFLFD cin. c. Enuncia la decisin y explica cmo llegaste a ella. d. Prepara un breve reporte escrito que resuma los requisitos y tus hallazgos y decisin para cada muestra. 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de valor de probabilidad La distribucin muestral de medias muestrales x se distribuye en torno a una media igual a con un error estndar igual a n\VLODSREODFLyQPXHV treada al azar tiene distribucin normal, entonces x tiene distribucin normal para todos los tamaos de muestra, o 2) si la poblacin muestreada al azar no tie- ne distribucin normal, entonces x tiene distribucin aproximadamente normal SDUDWDPDxRVGHPXHVWUDVXFLHQWHPHQ te grandes. PTI Si las suposiciones no se satisfacen para las pruebas de hipte- sis en torno a la media con una conocida, el valor p calculado podra causar una de- cisin equivocada en torno a Ho. www.fullengineeringbook.net 371 PTI Piensa en las conse- cuencias de usar rema- ches dbiles. PTI En las pginas 361-363 se dan instruc- ciones ms especficas. LA PRUEBA DE HIPTESIS MEDIANTE VALOR DE PROBABILIDAD: UN PROCEDIMIENTO DE CINCO PASOS Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. c. Determina el nivel de significancia, . Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Paso 4 La distribucin de probabilidad: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. b. Determina si el valor p es o no es menor que . Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. Un fabricante de aeronaves comerciales compra remaches para usar en el ensamblado de aviones. Cada proveedor de remaches que quiere vender remaches al fabricante de DHURQDYHVGHEHGHPRVWUDUTXHVXVUHPDFKHVFXPSOHQFRQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV 8QDGHODVHVSHFLFDFLRQHVHVODUHVLVWHQFLDPHGLDDOFRUWHGHWRGRVORVUHPDFKHV, es al menos 925 lb". Cada vez que el fabricante de aeronaves compra remaches, est preocu- SDGRSRUTXHODUHVLVWHQFLDPHGLDSXHGDVHUPHQRUTXHODHVSHFLFDFLyQGHOE Nota: cada remache individual tiene una resistencia al corte, que se determina al medir la fuerza requerida para cortar ("romper") el remache. Claramente, no todos los remaches pueden ponerse a prueba. por tanto, se pondr a prueba una muestra de remaches, y una decisin acerca de la resistencia media de todos los remaches sin probar se basar en la media de los que se muestrearon y pusieron a prueba. PASO 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro poblacional de inters es la media , la resistencia al corte media de (o fuerza media requerida para cortar) los remaches a considerar para la compra. b. Enuncia la hiptesis nula (H o ) y la hiptesis alternativa (H a ). La hiptesis nula y la hiptesis alternativa se formulan mediante inspeccin del proble- ma o enunciado a investigar y primero formulando dos enunciados opuestos acerca de la media . Para el ejemplo, estos dos enunciados en oposicin son: (A) "la resistencia media al corte es menor que 925" ( < 925, la preocupacin del fabricante de aerona- ves) y (B) "la resistencia media al corte es al menos 925" ( ODDUPDFLyQGHO SURYHHGRUGHUHPDFKHV\ODHVSHFLFDFLyQGHOIDEULFDQWHGHDHURQDYHV Nota:ODOH\GHWULFRWRPtDGHOiOJHEUDDUPDTXHGRVYDORUHVQXPpULFRVGHEHQUHODFLRQDUVH en exactamente una de tres relaciones posibles: <, = o >. Estas tres posibilidades deben UHSUHVHQWDUVHHQODVGRVKLSyWHVLVRSXHVWDVFRQODQDOLGDGGHTXHODVGRVKLSyWHVLVVHDQ negaciones una de la otra. Las tres posibles combinaciones de signos e hiptesis se mues- WUDQHQODWDEOD5HFXHUGDTXHODKLSyWHVLVQXODDVLJQDXQYDORUHVSHFtFRDOSDUiPHWUR en cuestin y por tanto "igual" siempre ser parte de la hiptesis nula. Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... www.fullengineeringbook.net 372 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica El parmetro de inters, la media poblacional , se relaciona con el valor 925. El enun- ciado (A) se convierte en la hiptesis alternativa: H a : < 925 (la media es menor que 925) Este enunciado representa la preocupacin del fabricante de aeronaves y dice: "los UHPDFKHVQRVDWLVIDFHQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV(OHQXQFLDGR%VHFRQYLHUWH en la hiptesis nula: H o : ODPHGLDHVDOPHQRV Esta hiptesis representa la negacin de la preocupacin del fabricante de aeronaves y GLFHORVUHPDFKHVVtVDWLVIDFHQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV Nota:ODKLSyWHVLVQXODVHHVFULELUiVyORFRQHOVLJQRLJXDOORTXHSRUWDQWRDUPDHOYDORU exacto asignado. Cuando "igual" se empareja con "menor que" o con "mayor que", el sm- bolo combinado se escribe al lado de la hiptesis nula como recordatorio de que los tres signos se representan en estos dos enunciados en oposicin. Antes de continuar con el ejemplo, observa los tres ejemplos que demuestran la formu- lacin de las hiptesis estadsticas nula y alternativa que involucran la media poblacional /RVHMHPSORV\GHPXHVWUDQFDGDXQRXQDKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDGHXQDFROD E J E M P L O 8 . 1 3 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE UNA COLA) Supn que la Agencia de Proteccin Ambiental enjuiciar a la ciudad de Rochester por no cumplir con los estndares de monxido de carbono. En especfico, la EPA querra demostrar que el nivel medio de monxido de car- bono en el aire del centro de Rochester es peligrosamente elevado, mayor a 4.9 partes por milln. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin Para enunciar las dos hiptesis, primero necesitas identificar el parmetro poblacional en cuestin: el "nivel medio de monxido de carbono en Roches- ter". El parmetro se comparar con el valor 4.9 partes por milln, el valor especfico de inters. La EPA cuestiona el valor y desea demostrar que es mayor a 4.9 (p.ej., > 4.9). Las tres posibles relaciones 1) < 4.9, 2) = 4.9 y 3) > 4.9 deben ordenarse para formar dos enunciados opues- tos: uno que enuncie la posicin de la EPA, "el nivel medio es mayor a 4.9 ( > 4.9)", y el otro que enuncie la negacin, "el nivel medio no es mayor a 4.9 ( ) 4.9)". Uno de estos dos enunciados se convertir en la hiptesis nula, Ho y el otro se convertir en la hiptesis alternativa, Ha. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP TABLA 8.5 Los tres posibles enunciados de las hiptesis nula y alternativa Hiptesis nula Hiptesis alternativa 1. Mayor que o igual a ( ) Menor que (<) 2. Menor que o igual a ( ) Mayor que (>) 3. Igual a (=) No igual a (=) www.fullengineeringbook.net 373 E J E M P L O 8 . 1 4 E J E M P L O 8 . 1 5 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE UNA COLA) Un ingeniero quiere demostrar que las aplicaciones de pintura hechas con la nueva frmula secan y estn listas para la siguiente capa en un tiempo medio de menos de 30 minutos. Enuncia las hiptesis nula y alternativa para esta situacin de prueba. Solucin El parmetro de inters es el tiempo de secado medio por aplicacin y 30 minutos es el valor especificado. < 30 corresponde a "el tiempo medio es me- nor que 30", mientras que * 30 corresponde a la negacin, "el tiempo medio no es menor que 30". Por tanto, las hiptesis son Ho: = 30 (*) y Ha: < 30 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE DOS COLAS) La satisfaccin en el empleo es muy importante para la productividad de los trabajadores. Funcionarios sindicales aplicaron un cuestionario estndar de satisfaccin en el trabajo a una muestra de trabajadores de lnea de ensam- blado en una gran planta, con la esperanza de demostrar que la calificacin media en este cuestionario para los trabajadores de ensamblado sera dife- rente de la media establecida de 68. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin O la calificacin media de satisfaccin laboral es diferente de 68 ( & 68) o la media es igual a 68 ( = 68). Por tanto, Ho: = 68 y Ha: & 68 Recuerda que existen dos reglas para formar las hiptesis: 1) la hiptesis nula afirma que el parmetro en cuestin tiene un valor especfico ("Ho debe contener el signo igual") y 2) la argumentacin de la EPA se convierte en la hiptesis alternativa ("mayor que"). Ambas reglas indican: Ho: = 4.9 ()) y Ha: > 4.9 (OHMHPSORGHPXHVWUDXQDKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDGHGRVFRODV 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... www.fullengineeringbook.net 374 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Notas: /DKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDVHUHHUHFRPRGHGRVFRODVFXDQGRH a "no es igual". 2. Cuando "menor que" se combina con "mayor que", se convierten en "no igual a". El punto de vista del experimentador afecta enormemente la manera en que se forman las hiptesis. Por lo general, el experimentador trata de demostrar que el valor de parme- WURHVGLIHUHQWHGHOYDORUHVSHFLFDGR3RUWDQWRHOH[SHULPHQWDGRUFRQIUHFXHQFLDHVSHUD poder rechazar la hiptesis nula, de modo que la teora del experimentador pueda sostener- VH/RVHMHPSORV\WDPELpQUHSUHVHQWDQORVWUHVSRVLEOHVDUUHJORVSDUDODV relaciones <, = y > entre el parmetro \XQYDORUHVSHFtFR /DWDEODPHQFLRQDDOJXQDVIUDVHVFRPXQHVDGLFLRQDOHVXVDGDVHQDUPDFLRQHV e indica sus negaciones y las hiptesis en las que se usar cada frase. Nuevamente, observa que "igual" siempre est en la hiptesis nula. Nota tambin que la negacin de "menor que" es "mayor que o igual a". Piensa en la negacin como "todos los otros" del conjunto de tres signos. Despus de establecer las hiptesis nula y alternativa, trabajars bajo la suposicin de TXHODKLSyWHVLVQXODHVXQHQXQFLDGRYHUGDGHURKDVWDTXHKD\DVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD rechazarla. Esta situacin debe compararse con un juicio en una sala de justicia, donde se supone que el acusado es inocente (H o : el acusado es inocente frente a H a : el acusado no HVLQRFHQWHKDVWDTXHVHKD\DSUHVHQWDGRVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHODLQR- cencia es totalmente increble ("ms all de toda duda razonable"). En la conclusin de la prueba de hiptesis, se tomar una de dos posibles decisiones. Se decidir en oposicin a la hiptesis nula y se dir que se "rechaza H o " (esto corresponde a "condena" del acusado en un juicio), o se decidir en concordancia con la hiptesis nula y se dir que se "fracasa para rechazar H o " (esto corresponde a "fracaso para condenar" o una "absolucin" del acusado en un juicio). Regresa al ejemplo de remaches que se interrumpi en la pgina 371 y contina con el paso 2. Recuerda que H o : DOPHQRV H a : < 925 ( menos que 925) PASO 2 Los criterios de la prueba de hiptesis: a. 9HULFDODVVXSRVLFLRQHV Supn que, de experiencias pasadas, se sabe que la desviacin estndar de la re- sistencia al corte de los remaches es /DVYDULDEOHVFRPRODUHVLVWHQFLDDO FRUWHSRUORJHQHUDOWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQDPRQWRQDGDSRUWDQWRXQDPXHVWUDGH WDPDxRGHEHVHUVXFLHQWHPHQWHJUDQGHSDUDDSOLFDUHO7/&\JDUDQWL]DUTXHOD DMMM tendr una distribucin muestral. b. ,GHQWLFDODGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG\HOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDDXVDU La distribucin de probabilidad normal estndar se usa porque x se espera que tenga una distribucin normal. Para una prueba de hiptesis de , se quiere comparar el valor de la media muestral con el valor de la media de poblacin como se enuncia en la hiptesis nula. Esta compara- FLyQVHORJUDFRQHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDGHODIyUPXOD Estadstico de prueba para la media z+ = x / n TABLA 8.6 Frases comunes y sus negaciones Ho: (*) frente a Ha: (<) Ho: ()) frente a Ha: (>) Ho: (=) frente a Ha: (&) Al menos Menor que Cuando mucho Ms que Es No es No menos que Menor que No ms que Ms que No diferente de Diferente de No menor que Menor que No mayor que Mayor que Igual que No igual que (8.4) www.fullengineeringbook.net 375 (OYDORUFDOFXODGR UHVXOWDQWH VH LGHQWLFDFRPRz+ ("z estrella") porque se espera que tenga una distribucin normal estndar cuando la hiptesis nula es verdadera y las supo- siciones se satisfacen. La + ("estrella") es para recordar que ste es el valor calculado del estadstico de prueba: El estadstico de prueba a usar es z+= x con / n c. 'HWHUPLQDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD. (Q OD VHFFLyQ VH GHVFULELy HO HVWDEOHFLPLHQWR GH como una decisin gerencial. Para ver qu se involucra en la determinacin de , la probabilidad del error tipo I, para HOHMHPSORGHORVUHPDFKHVFRPLHQ]DSRULGHQWLFDUORVFXDWURSRVLEOHVUHVXOWDGRVVXV VLJQLFDGRV\ODDFFLyQUHODFLRQDGDFRQFDGDXQR El error tipo I ocurre cuando se rechaza una hiptesis nula verdadera. Esto ocurrira FXDQGR HO IDEULFDQWH SRQH D SUXHED UHPDFKHV TXH VDWLVIDFHQ ODV HVSHFLFDFLRQHV \ ORV rechaza. Indudablemente esto conducira a que los remaches no se compraran aun cuando VDWLVIDFLHUDQODVHVSHFLFDFLRQHV&RQODQDOLGDGGHTXHHOJHUHQWHHVWDEOH]FDXQQLYHO GHVLJQLFDQFLDVHQHFHVLWDLQIRUPDFLyQUHODFLRQDGDDVDEHUFXiQSURQWRVHQHFHVLWDHO nuevo suministro de remaches? Si se necesitan maana y ste es el nico proveedor con un suministro disponible, esperar una semana para encontrar remaches aceptables podra ser PX\FRVWRVRSRUWDQWRUHFKD]DUUHPDFKHVEXHQRVSRGUtDFRQVLGHUDUVHXQVHULRHUURU3RU otra parte, si los remaches no se necesitan sino hasta el prximo mes, entonces este error SXHGHQRVHUPX\VHULR6yORHOJHUHQWHFRQRFHUiWRGDVODVUDPLFDFLRQHV\HQFRQVHFXHQ- cia, aqu son importantes los comentarios del gerente. 'HVSXpVGHPXFKDFRQVLGHUDFLyQHOJHUHQWHDVLJQDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD = 0.05. PASO 3 La evidencia muestral: a. 5HFROHFWDODLQIRUPDFLyQPXHVWUDO La muestra debe ser una muestra aleatoria extrada de la poblacin cuya media se cuestionar. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 remaches, se pone a prueba cada remache y se calcula la media muestral de la resistencia al corte: x \ n = 50. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. La evidencia muestral (x y n se encontraron en el paso 3a) se convierte a continua- cin en el valor calculado del estadstico de prueba, z+FRQ OD IyUPXOD ( es 925 de H o y HVXQDFDQWLGDGFRQRFLGD6HWLHQH z+ = x : z+ = = = 1.50 / n PASO 4 La distribucin de probabilidad: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Valor de probabilidad, o valor p La probabilidad de que el estadstico de prueba pueda ser el valor que es o un valor ms extremo (en la direccin de la hiptesis alternativa) cuando la hiptesis nula es verdadera. (Nota: se usar el smbolo P para representar el valor p, especialmente en situaciones algebraicas.) Dibuja un esquema de la distribucin normal estndar y ubica en ella z+ (que se en- FRQWUyHQHOSDVRE3DUDLGHQWLFDUHOiUHDTXHUHSUHVHQWDHOYDORUp, observa el signo en la hiptesis alternativa. Para esta prueba, la hiptesis alternativa indica que uno est interesado en aquella parte de la distribucin muestral que es "menor que" z+. En consecuencia, el valor p es el rea que yace a la izquierda de z+. Sombrea esta rea. PTI Hay ms en este es- cenario, pero se espera que captes la idea. PTI se asignar en el enunciado de los ejer- cicios. Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... 0 1.50 z P www.fullengineeringbook.net 376 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Para encontrar el valor p, puedes usar cualquiera de los tres mtodos resaltados aqu. El mtodo que uses no es lo importante, porque cada mtodo slo es la herramienta de elec- cin para ayudarte a encontrar el valor p. 0pWRGR Usa la tabla 3 del apndice B para determinar el rea tabulada relacio- nada a la izquierda de z = 1.50: valor p = P(z < z+) = P(z < 1.50) = 0.0668 0pWRGR Usa la tabla 5 del apndice B y la propiedad de simetra: la tabla 5 est FRQJXUDGDSDUDSHUPLWLUWHOHHUHOYDORUp directamente de la tabla. Dado que P(z < 1.50) = P(z > 1.50), simplemente localiza z+= 1.50 en la tabla 5 y lee el valor p: P(z < 1.50) = 0.0668 0pWRGR Usa la funcin de probabilidad acumulada en una computadora o calcu- ladora para encontrar el valor p: P(z < 1.50) = 0.0668 b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor pQRHVPHQRUTXH (0.05). PASO 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin acerca de H o . El valor pHVVXFLHQWHPHQWHSHTXHxRSDUDLQGLFDUTXHODHYLGHQFLDPXHVWUDOHV enormemente improbable en el evento de que la hiptesis nula sea verdadera? Con ODQDOLGDGGHWRPDUODGHFLVLyQQHFHVLWDVFRQRFHUODregla de decisin. Regla de decisin a. Si el valor p es menor que o igual a el nivel de significancia, entonces la decisin debe ser rechazar Ho. b. Si el valor p es mayor que el nivel de significancia, entonces la decisin debe ser fracasar para rechazar Ho. La decisin acerca de H o : fracasar para rechazar H o . b. Enuncia la conclusin acerca de H a . 1RKD\VXFLHQWHHYLGHQFLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUDGHPRVWUDUTXH la resistencia media al corte de los remaches sea menor que 925. "Se fracasa para condenar" la hiptesis nula. En otras palabras, una media muestral tan pequea FRPRHVSUREDEOHTXHRFXUUDFRPRVHGHQHFRQ) cuando el verdadero valor de la media poblacional es 925.0 y x tiene distribucin normal. La accin resultante del gerente sera comprar los remaches. Nota: cuando la decisin alcanzada es "fracasar para rechazar H o VLPSOHPHQWHVLJQLFD "por falta de mejor informacin, acto como si la hiptesis nula fuera verdadera" (esto es: "aceptar H o " es una denominacin equivocada). Antes de observar otro ejemplo, repasa los procedimientos para encontrar el valor p. El valor p se representa por el rea bajo la curva de la distribucin de probabilidad para el estadstico de prueba que es ms extremo que el valor calculado del estadstico de prueba. Existen tres casos separados y la direccin (o signo) de la hiptesis alternativa es la clave. /DWDEODGHVWDFDHOSURFHGLPLHQWRSDUDORVWUHVFDVRV PTI En las pginas 272- 276 se proporcionan instrucciones completas para usar la tabla 3. PTI Slo usars uno de estos tres mtodos equi- valentes. PTI En la pgina 285 se proporcionan instruccio- nes para usar este co- mando de computadora. Intntalo! Observa si obtienes la misma res- puesta. PTI En la pgina 366 se proporciona in- formacin especfica acerca de escribir la conclusin. www.fullengineeringbook.net 377 Observa un ejemplo que involucra el procedimiento de dos colas. Caso 1 Ha contiene ">" "Cola derecha" Caso 2 Ha contiene "<" "Cola izquierda" Caso 3 Ha contiene "&" "Dos colas" E J E M P L O 8 . 1 6 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS Durante aos, muchas grandes compaas en cierta ciudad han usado la Agencia de Empleo Kelley para poner a prueba empleados potenciales. El test de seleccin de empleo que se utiliza result histricamente en ca- lificaciones con distribucin normal en torno a una media de 82, con una desviacin estndar de 8. La Agencia Brown ha desarrollado un nuevo test que es ms rpido y ms fcil de administrar y por tanto menos costoso. Brown afirma que los resultados de su test son los mismos que los obteni- dos del test Kelley. Muchas de las compaas consideran un cambio de la Agencia Kelley a la Agencia Brown para recortar costos. Sin embargo, no quieren realizar el cambio si los resultados del test Brown tienen un valor me- dio diferente. Una empresa de pruebas independiente puso a anlisis a 36 empleados potenciales con el test Brown. Result una media muestral de 79. Determina el valor p asociado con esta prueba de hiptesis. (Supn = 8.) TABLA 8.7 Cmo encontrar valores p con la distribucin acumulada El valor p es el rea a la derecha de z+ Valor p = P(z > z+) El valor p es el rea a la izquierda de z+ Valor p = P(z < z+) El valor p es el rea total de ambas colas Valor p = P(z < |z+|) + P(z > |z+|) z+ puede estar en cualquier cola y dado que ambas reas son iguales, encuentra la proba- bilidad de una cola y duplcala. En consecuencia, valor p = 2 P(z < |z+|) Valor p en cola derecha 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Valor de tabla Valor de tabla Valor de tabla Valor p Valor p Valor p valor p Valor p en cola izquierda Valor p en dos colas Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... 1 2 |z+| z+ z+ |z+| z z z 0 0 0 www.fullengineeringbook.net 378 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. La media poblacional , la media de todas las calificaciones de test usando el test de la Agencia Brown. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Los resultados del test de la Agencia Brown "sern diferentes" (la pre- ocupacin) si la calificacin de test media no es igual a 82. Sern "iguales" si la media es igual a 82. Por tanto, Ho: = 82 (resultados de test tienen la misma media) Ho: & 82 (resultados de test tienen diferente media) Paso 2 Los criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Se conoce . Si las calificaciones del test se distribuyen igual que las calificaciones del test Kelley, tendrn una distribucin normal y la dis- tribucin muestral ser normal para todos los tamaos de muestra. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. La distribucin de probabilidad normal estndar y el estadstico de prueba z+ = x se usar con = 8 / n c. Determina el nivel de significancia, . Se omite el nivel de significancia porque la pregunta pide el valor p y no una decisin. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta informacin muestral: n = 36, x = 79. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. es 82 de Ho; = 8 es una cantidad conocida. Se tiene z+ = x : z+ = 79 82 = 3 = 2.25 / n 8/ 36 1.3333 Paso 4 La distribucin de probabilidad: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Dado que la hiptesis alternativa indica un test de dos colas, debes encontrar la probabilidad asociada con ambas colas. El valor p se en- cuentra al duplicar el rea de una cola (consulta la tabla 8.7, p. 377). z+ = 2.25 De la tabla 3: valor p = 2 P(z < 2.25) = 2(0.0122) = 0.0244. o De la tabla 5: valor p = 2 P(z > 2.25) = 2(0.0122) = 0.0244. o Usa la funcin de probabilidad acumulada en una computadora o calculadora: valor p = 2 P(z < 2.25) = 0.0244. SABAS QUE...? El conflicto Fisher y Neyman Su diferencia se centr en sus enfoques a las pruebas de hiptesis. Ambos mtodos comien- zan con una hiptesis nula y usan el mismo estadstico de prueba; sin embargo, Neyman y Pearson usan un riesgo de error establecido y Fisher no lo usa. El en- foque Neyman/Pearson sigue un mtodo lgico deductivo bsico de su- poner que la hiptesis es verdadera y luego bus- can evidencia que con- tradiga las suposiciones. El enfoque Fisher deter- mina la probabilidad de la ocurrencia para los datos que resultan y usa dicho valor de probabili- dad para valorar los da- tos. Una probabilidad pequea muestra "im- probabilidad" para que los datos hayan ocurrido bajo una hiptesis nula verdadera. La probabili- dad de que la hiptesis nula sea correcta es otra historia: ello requiere un enfoque bayesiano y conduce todava a otra disputa acadmica. www.fullengineeringbook.net 379 0 z 2.25 0.0122 0.0122 2.25 La idea fundamental del valor p es expresar el grado de creencia en la hiptesis nula: &XDQGRHOYDORUp es minsculo (algo como 0.0003), la hiptesis nula la recha- zaran todos porque los resultados muestrales son muy improbables para una H o verdadera. &XDQGRHOYDORUp es bastante pequeo (como 0.012), la evidencia contra H o es muy fuerte y H o la rechazarn muchos. &XDQGRHOYDORUpFRPLHQ]DDYROYHUVHPiVJUDQGHSRUGHFLUDH[LVWH mucha probabilidad de que datos como la muestra involucrada pudieran haber ocu- rrido incluso si H o fuese verdadera y el rechazo de H o no es una decisin sencilla. &XDQGRHOYDORUp se vuelve grande (como 0.15 o ms), los datos no son en abso- luto improbables si H o es verdadera y nadie rechazara H o . Las ventajas del mtido del valor p son las siguientes: 1) Los resultados del procedi- miento de prueba se expresan en trminos de una escala de probabilidad continua desde 0.0 hasta 1.0, en lugar de simplemente sobre la base de "rechazar" o "fracaso para rechazar". 2) Puede reportarse un valor p y el usuario de la informacin puede decidir acerca de la fuerza de la evidencia como se aplica a su propia situacin. 3) Las computadoras pueden hacer todos los clculos y reportar el valor p, lo que por tanto elimina la necesidad de tablas. La desventaja del mtodo del valor p es la tendencia de las personas a posponer la de- WHUPLQDFLyQGHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD1RGHEHVSHUPLWLUTXHHVWRRFXUUDSRUTXHHQWRQFHV HVSRVLEOHTXHDOJXLHQHVWDEOH]FDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHVSXpVGHOKHFKRORTXHGHMD abierta la posibilidad de que resultar la decisin "preferida". Sin embargo, probablemente esto es importante slo cuando el valor p reportado cae en el rango de "eleccin difcil" SRUGHFLUDFRPRVHGHVFULELyDQWHULRUPHQWH PTI Consulta las instruc- ciones en las pginas 375-376. PTI Tus oponentes muestran sus manos de pquer antes de tu apuesta? E J E M P L O 8 . 1 7 b. Determina si el valor p es o no es menor que . No es posible una comparacin; en el enunciado de la pre- gunta no se proporciona un valor . Paso 5 Los resultados: El valor p para esta prueba de hiptesis es 0.0244. Ahora cada compaa individual decidir si contina con los servicios de la Agencia Kelley o cambia a la Agencia Brown. Cada una necesi- tar establecer el nivel de significancia que mejor se ajuste a su propia situacin y despus tomar una decisin usando la regla de decisin descrita anteriormente. PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS CON DATOS MUESTRALES De acuerdo con los resultados del ejercicio 5.33 (p. 242), la media de nme- ros aleatorios de un solo dgito es 4.5 y la desviacin estndar es = 2.87. Extrae una muestra aleatoria de 40 nmeros de un solo dgito de la tabla 1 del apndice B y pon a prueba la hiptesis "la media de los nmeros de un solo dgito de la tabla 1 es 4.5". Usa = 0.10. Valor de tabla valor p valor p Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... 1 2 1 2 www.fullengineeringbook.net 380 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 0 z 1.16 1.16 0.1230 0.1230 Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro poblacional de inters es la media de la poblacin de nmeros de un solo dgito de la tabla 1 del apndice B. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: = 4.5 (media es 4.5) Ha: & 4.5 (media no es 4.5) Paso 2 Los criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Se conoce . Las muestras de tamao 40 deben ser suficientemente grandes para satisfacer el TLC; consulta la discusin de este tema en la pgina 370. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Usa la distribucin de probabilidad normal estndar y el estadstico de prueba es z+ = x ; = 2.87. / n c. Determina el nivel de significancia, . = 0.10 (dado en el enunciado del problema) Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta informacin muestral. Esta muestra aleatoria se extrajo de la tabla 1 del apndice B [TA08-01]: 2 8 2 1 5 5 4 0 9 1 0 4 6 1 5 1 1 3 8 0 3 6 8 4 8 6 8 9 5 0 1 4 1 2 1 7 1 7 9 3 A partir de la muestra: x = 3.975 y n = 40. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (8.4) y es 4.5 a partir de Ho y = 2.87: z+ = x : z+ = 3.975 4.50 = 0.525 = 1.156 = 1.16 / n 2.87/ 40 0.454 Paso 4 La distribucin de probabilidad: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Dado que la hiptesis alternativa indica una prueba de dos colas, debes encontrar la probabilidad asociada con ambas colas. El valor p se en- cuentra al duplicar el rea de una cola. z+ = 1.16. El valor p = P = 2 P(z < 1.16) = 2(0.1230) = 0.2460 b. Determina si el valor p es o no es menor que . El valor p (0.2460) es mayor que (0.10). Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin acerca de Ho: fracaso para rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin acerca de Ha. La media muestral observada no es significativamente diferente de 4.5 en el nivel de significancia 0.10. valor de tabla valor p valor p 1 2 1 2 www.fullengineeringbook.net 381 Supn que tomas otra muestra de tamao 40 de la tabla 1. Obtendras los mismos resultados? Supn que tomas una tercera muestra y una cuarta. Qu resultados puedes esperar? Qu mide el valor pGHOHMHPSOR"/DWDEODPHQFLRQDODVPHGLDVREWH- a. Las medias de 50 muestras aleatorias tomadas de la tabla 1 del apndice B [TA08-08] 3.850 5.075 4.375 4.675 5.200 4.250 3.775 4.075 5.800 4.975 4.225 4.125 4.350 4.925 5.100 4.175 4.300 4.400 4.775 4.525 4.225 5.075 4.325 5.025 4.725 4.600 4.525 4.800 4.550 3.875 4.750 4.675 4.700 4.400 5.150 4.725 4.350 3.950 4.300 4.725 4.975 4.325 4.700 4.325 4.175 3.800 3.775 4.525 5.375 4.225 b. Los valores z+ correspondientes a las 50 medias 1.432 1.267 0.275 0.386 1.543 0.551 1.598 0.937 2.865 1.047 0.606 0.826 0.331 0.937 1.322 0.716 0.441 0.220 0.606 0.055 0.606 1.267 0.386 1.157 0.496 0.220 0.055 0.661 0.110 1.377 0.551 0.386 0.441 0.220 1.432 0.496 0.331 1.212 0.441 0.496 1.047 0.386 0.441 0.386 0.716 1.543 1.598 0.055 1.928 0.606 c. Los valores p correspondientes a las 50 medias 0.152 0.205 0.783 0.700 0.123 0.582 0.110 0.349 0.004 0.295 0.545 0.409 0.741 0.349 0.186 0.474 0.659 0.826 0.545 0.956 0.545 0.205 0.700 0.247 0.620 0.826 0.956 0.509 0.912 0.168 0.582 0.700 0.659 0.826 0.152 0.620 0.741 0.226 0.659 0.620 0.295 0.700 0.659 0.700 0.474 0.123 0.110 0.956 0.054 0.545 nidas de 50 muestras diferentes de tamao 40 que se tomaron de la tabla 1 del apndice B, 2) los 50 valores de z+ correspondientes a las 50 x y 3) sus 50 valores p correspondientes. /DJXUDPXHVWUDXQKLVWRJUDPDGHORVYDORUHVz+. El histograma muestra que seis valores de z+ fueron menores que 1.16 y siete valores IXHURQPD\RUHVTXH(VRVLJQLFDTXHGHODVPXHVWUDVRWLHQHQYDORUHV medios ms extremos que la media (x GHOHMHPSOR(VWDIUHFXHQFLDUHODWLYD observada de 0.26 representa un vistazo emprico al valor p. Observa que el valor emprico para el valor p (0.26) es muy similar al valor pFDOFXODGRGH9HULFDODOLVWDGHYD- lores pHQFXHQWUDVTXHGHORVYDORUHVp son menores que 0.2460? Cules muestras resultaron en | z+ | > 1.16? Cules muestras resultaron en un valor p mayor que 0.2460? Cmo se comparan? TABLA 8.8 FIGURA 8.9 Los 50 valores de z+ de la tabla 8.8 FrecuenciaSeccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... 10 5 0 2.90 2.32 1.74 1.16 0.58 0.00 0.58 1.16 1.74 2.32 2.90 11 7 6 13 6 5 1 0 0 1 z+ www.fullengineeringbook.net 382 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica La solucin MINITAB al ejemplo de remaches que se us en esta seccin (pp. 371-372, 374-376), se muestra a continuacin: One-sample Z C1: Test of mu = 925.00 vs < 925.00 The assumed standard deviation = 18.0 N Mean StDev SE Mean Z P 50 921.18 17.58 2.546 1.50 0.0668 Cuando se usa computadora, todo lo que queda por hacer es tomar la decisin y escribir la conclusin. TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; luego contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z Escribe: Muestras en columnas: C1 Desviacin estndar: Selecciona: Perform hypothesis test Escribe: Media hipotetizada: Selecciona: Options Selecciona: Alternative: less than o not equal to o greater than > OK > OK Escribe los datos en la columna A; luego contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Test: Mean > OK Escribe: Rango entrada: (A1:A20 o selecciona celdas) Media hipotetizada: Desviacin estndar (SIGMA): > OK Proporciona valores p para pruebas de una cola y de dos colas. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A M E D I A C O N D A D A Escribe los datos en L1; luego contina con lo si- guiente y escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > 1:Z-Test E J E R C I C I O S S E C C I N 8 . 4 8.85 En el ejemplo que comienza en la pgina 371, el cons- tructor de aeronaves que compra los remaches est preocupa- GRGHTXHORVUHPDFKHVQRSXHGDQVDWLVIDFHUODHVSHFLFDFLyQ de resistencia media. Enuncia las hiptesis nula y alternativa del fabricante de aeronaves. 8.86(OSURIHVRU+DUWQRFUHHXQDDUPDFLyQTXHHVFXFKyHO peso medio de las mujeres universitarias es de 54.4 kg". Enun- FLDODVKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDTXHpOXVDUtDSDUDGHVDDU GLFKDDUPDFLyQ 8.87 Enuncia las hiptesis nula y alternativa utilizadas para SRQHUDSUXHEDFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVDUPDFLRQHV a. El tiempo de reaccin medio es mayor que 1.25 segun- dos. E /DFDOLFDFLyQPHGLDHQHVHH[DPHQGHFDOLFDFLyQHV menor que 335. c. El precio de venta medio de las viviendas en el rea no es $230 000. d. El peso medio de los jugadores de ftbol colegial no es mayor que 260 lb. e. El salario medio por hora para un prestador de cuidado infantil es cuando mucho de $15.00. PTI El mtodo de valor p se "hizo" para la computadora! www.fullengineeringbook.net 383 8.88 Enuncia la hiptesis nula H o y la hiptesis alternativa H a que se usara para una prueba de hiptesis relacionada con cada uno de los siguientes enunciados: a. La edad media de los estudiantes inscritos en clases ves- pertinas en cierta universidad es mayor que 26 aos. b. El peso medio de los paquetes embarcados en Air Express durante el mes pasado fue de menos de 36.7 lb. F /DYLGDPHGLDGHODVOiPSDUDVXRUHVFHQWHVHVDOPHQRV de 1 600 horas. d. La resistencia media de las soldaduras para un nuevo pro- ceso es diferente de 570 lb por rea unitaria, la resistencia media de las soldaduras mediante el proceso anterior. 8.89,GHQWLFDORVFXDWURSRVLEOHVUHVXOWDGRV\GHVFULEHOD situacin involucrada con cada una en cuanto a las pruebas y compra de remaches del fabricante de aeronaves. Cul es el error ms serio: el error de tipo I o el error de tipo II? Explica. 8.90 Un fabricante quiere poner a prueba la hiptesis de que "al cambiar la frmula de su dentfrico, dar a sus usuarios ma- yor proteccin". La hiptesis nula representa la idea de que "el cambio no mejorar la proteccin" y la hiptesis alternativa HVHOFDPELRPHMRUDUiODSURWHFFLyQ'HVFULEHHOVLJQLFDGR de los dos posibles tipos de errores que pueden ocurrir en la decisin cuando se realiza la prueba de la hiptesis. 8.91 Supn que quieres poner a prueba la hiptesis de que el cobro medio para reparaciones automotrices es al menos $60 por hora en los talleres de una ciudad cercana. Expli- ca las condiciones que existiran si cometieras un error de GHFLVLyQDOUHDOL]DUXQHUURUGHWLSR,<TXpKD\GHOHUURU tipo II? 8.92 Describe cmo la hiptesis nula, enunciada en el ejem- SORSHVXQSXQWRGHSDUWLGDSDUDODGHFLVLyQD tomar acerca del tiempo de secado para la pintura fabricada con la nueva frmula. 8.93 Supn que z es el estadstico de prueba y calcula el valor de z+ para cada uno de los siguientes: a. H o : = 10, = 3, n = 40, x = 10.6 b. H o : = 120, = 23, n = 25, x = 126.2 c. H o : = 3.7, n = 140, x d. H o : = 13.3, n = 50, x = 79.6 8.94 Supn que z es el estadstico de prueba y calcula el valor de z+ para cada uno de los siguientes: a. H o : = 51, = 4.5, n = 40, x = 49.6 b. H o : = 20, = 4.3, n = 75, x = 21.2 c. H o : = 3.7, n = 14, x = 142.93 d. H o : = 43.3, n = 60, x = 799.6 8.95 Slo existen dos posibles decisiones que pueden resultar de una prueba de hiptesis. a. Enuncia las dos posibles decisiones. b. Describe las condiciones que conducirn a cada una de ODVGRVGHFLVLRQHVLGHQWLFDGDVHQHOLQFLVRD 8.96 a. A qu decisin se llega cuando el valor p es mayor que ? b. A qu decisin se llega cuando es mayor que el valor p? 8.97 Para cada uno de los siguientes pares de valores, enuncia la decisin que ocurrir y por qu. a. Valor p = 0.014, = 0.02 b. Valor p = 0.05 c. Valor p = 0.05 d. Valor p = 0.064, = 0.10 8.98 Para cada uno de los siguientes pares de valores, enuncia la decisin que ocurrir y por qu. a. Valor p = 0.01 b. Valor p = 0.033, = 0.05 c. Valor p = 0.05 d. Valor p = 0.235, = 0.10 8.99 El valor p calculado para una prueba de hiptesis es 4XpGHFLVLyQDFHUFDGHODKLSyWHVLVQXODRFXUULUtDHQ los siguientes? D /DSUXHEDGHKLSyWHVLVVHFRPSOHWDHQHOQLYHOGHVLJQL cancia 0.05. E /DSUXHEDGHKLSyWHVLVVHFRPSOHWDHQHOQLYHOGHVLJQL cancia 0.10. 8.100 a. Una prueba de hiptesis de una cola se completar HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD4XHYDORUHVFDOFX lados de p causarn un rechazo de H o ? b. Una prueba de hiptesis de dos colas se completar HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD4XpYDORUHVFDOFX lados de p causarn una decisin de "fracaso para rechazar H o "? 8.101 Ejercicio Applet Skillbuilder Estima el valor p para una prueba de hiptesis de una cola al si- mular la toma de muchas [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... www.fullengineeringbook.net 384 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica muestras. La prueba de hiptesis dada es para una H o : = 1500 frente a H o : < 1500. Se toma una muestra de 24 y la media muestral es 1 451. a. Haz clic en "10" para "# of samples". Observa las medias muestrales y la probabilidad de ser menores que 1 451 si la media verdadera realmente es 1 500. b. Cambia a "Batch" y simula 1 000 muestras ms. Cul es la probabilidad de que sean menores que 1 451? ste es tu valor p estimado. c. Cmo se muestra tu valor p estimado en el histograma formado de la toma de muchas muestras? Explica qu VLJQLFDHVWHYDORUp respecto a la prueba. G 6LHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDIXHVHFXiOVHUtDWXGHFL sin? 8.102 Ejercicio Applet Skillbuilder Estima el valor p para una prueba de hiptesis de dos colas al simular la toma de muchas muestras. La prueba de hiptesis dada es para H o : = 4 frente a H o : Se toma una muestra de 100 y la media muestral es 3.6. a. Haz clic en "10" para "# of samples". Obser- va las medias muestra- les y la probabilidad de ser menores que 3.6 o mayores que 4.4. Por qu se incluye el "mayor que 4.4"? b. Cambia a "Batch" y simula 1 000 muestras ms. Cul es la probabilidad de que sean menores que 3.6 o mayores que 4.4? ste es tu valor p estimado. c. Cmo se muestra tu valor p estimado en el histograma formado de la toma de muchas muestras? Explica qu VLJQLFDHVWHYDORUp con respecto a la prueba. G 6LHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDIXHVHFXiOVHUtDWXGHFL sin? 8.103 Describe con tus palabras qu mide el valor p. 8.104 a. Calcula el valor p, dado H o : < 45 y z+= 2.3. b. Calcula el valor p, dado H o : !\z+ 8.105 Calcula el valor p, dado H a : \z+= 1.1. 8.106 Encuentra el estadstico de prueba z+ y el valor p para cada una de las siguientes situaciones. a. H o : = 22.5, H a : > 22.5, x = 24.5, = 6, n = 36 b. H o : = 200, H a : < 200, x = 192.5, = 40, n = 50 c. H o : = 12.4, H a : x = 11.52, = 2.2, n = 16 8.107 Calcula el valor p para cada uno de los siguientes: a. H o : = 10, H a : > 10, z+ b. H o : = 105, H a : < 105, z+ c. H o : = 13.4, H a : z+ = 1.17 d. H o : H a : z+ = 2.11 e. H o : = 110, H a : z+ = 0.93 8.108 Calcula el valor p para cada uno de los siguientes: a. H o : = 20, H a : x = 9, n = 36 b. H o : H a : !x = 15, n = 100 c. H o : H a : x = 1.602, n = 50 8.109 Encuentra el valor de z+ para cada uno de los siguien- tes: a. H o : = 35 frente a H a : > 35 cuando valor p b. H o : = 35 frente a H a : < 35 cuando valor p = 0.0166 c. H o : = 35 frente a H a : FXDQGRYDORUp = 0.0042 8.110 La hiptesis nula, H o : VHSXVRDSUXHEDFRQWUD la hiptesis alternativa, H a : !8QDPXHVWUDGHUHVXOWy en un valor p calculado de 0.102. Si = 3.5, encuentra el valor de la media muestral, x. 8.111 La hiptesis nula, H o : = 16, se puso a prueba contra la hiptesis alternativa, H a : < 16. Una muestra de 50 result en un valor p calculado de 0.017. Si x = 14, encuentra el valor de la desviacin estndar poblacional. 8.112 Con la solucin MINITAB al ejemplo de remaches que VHPXHVWUDHQODSiJLQDGHVFULEHFyPR0,1,7$%HQFRQ tr cada uno de los seis valores numricos que report como resultados. 8.113 La siguiente salida de computadora se us para com- pletar una prueba de hiptesis. TEST OF MU = 525.00 VS MU<525.00 THE ASSUMED SIGMA = 60.0 N MEAN STDEV SE MEAN Z P VALUE 38 512.14 64.78 9.733 1.32 0.093 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Si la prueba se completa con = 0.05, a qu decisin y conclusin se llega? F 9HULFDHOYDORUGHOHUURUHVWiQGDUGHODPHGLD 8.114 Con la salida de computadora y la informacin en el HMHUFLFLRGHWHUPLQDHOYDORUGHORVLJXLHQWH a. Valor hipottico de media poblacional b. Media muestral c. Desviacin estndar poblacional d. Estadstico de prueba www.fullengineeringbook.net 385 8.115 La siguiente salida de computadora se us para com- pletar una prueba de hiptesis. TEST OF MU = 6.250 VS MU NOT = 6.250 THE ASSUMED SIGMA = 1.40 N MEAN STDEV SE MEAN Z P VALUE 78 6.596 1.273 0.1585 2.18 0.029 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Si la prueba se completa con = 0.05, a qu decisin y conclusin se llega? F 9HULFDHOYDORUGHOHUURUHVWiQGDUGHODPHGLD d. Encuentra los valores para x y x2. 8.116 Con la salida de computadora y la informacin del ejer- FLFLRGHWHUPLQDHOYDORUGHORVLJXLHQWH a. Valor hipottico de media poblacional b. Media muestral c. Desviacin estndar poblacional d. Estadstico de prueba 8.117 Ponemon Institute, junto con Intel, publicaron en abril de 2009 el estudio "El costo de una laptop perdida". Con una fuerza laboral cada vez ms mvil, que transpor- ta datos ms sensibles en sus laptops, la prdida involucra mucho ms que la laptop en s. El costo promedio de una laptop perdida, con base en casos de varias industrias, es de 49 246 dlares. Esta cifra incluye el reemplazo de la laptop, costo de violacin de datos, costo de prdida de producti- vidad, otros costos legales y forenses. Un estudio separado realizado respecto a 30 casos de industrias de atencin a la VDOXGSURGXMRXQDPHGLDGHGyODUHV6LVXSRQHVTXH GyODUHVH[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDDSR\DU OD DUPDFLyQGHTXH ORV FRVWRV GH VXVWLWXFLyQGHXQD ODS top de atencin a la salud son mayores en general? Usa un QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH Fuente: http://communities.intel.com/ 8.118 Uno de los mejores indicadores de la salud de un beb es su peso al nacer. En Estados Unidos, las madres que viven en pobreza por lo general tienen bebs con peso al nacer ms bajo que quienes no viven en pobreza. Aunque el peso promedio al nacer para bebs nacidos en Estados Unidos es de aproximadamente 3 300 gramos, el peso al nacer para los EHEpVGHPXMHUHVTXHYLYHQHQSREUH]DHVGHJUDPRV con una desviacin estndar de 500 gramos. Recientemente, un hospital local introdujo un nuevo programa innovador para atencin prenatal, para reducir el nmero de bebs con EDMRSHVRQDFLGRVHQHOKRVSLWDO$OQDOGHOSULPHUDxRVH recolectaron los pesos al nacer de 25 bebs seleccionados DOD]DUWRGRVORVEHEpVQDFLHURQGHPXMHUHVTXHYLYtDQHQ pobreza y participaron en el programa. Su peso medio al na- cer fue de 3 075 gramos. La pregunta que te plantean como LQYHVWLJDGRUHVH[LVWHXQDPHMRUDVLJQLFDWLYDHQORVSH- sos al nacer de los bebs de mujeres pobres?" Usa = 0.02. Fuente: http://www.ccnmtl.columbia.edu/ D 'HQHHOSDUiPHWUR b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. F (VSHFLFDORVFULWHULRVGHSUXHEDGHKLSyWHVLV d. Presenta la evidencia muestral. e. Encuentra la informacin de la distribucin muestral. f. Determina los resultados. 8.119 La duea de una cadena local de almacenes siempre trata de minimizar el tiempo que tardan sus clientes en salir. En el pasado, realiz muchos estudios de los tiempos de salida y mostraron una distribucin normal con un tiempo medio de 12 minutos y una desviacin estndar de 2.3 minutos. Ella im- plement un nuevo programa para los cajeros con la esperanza de reducir el tiempo medio de salida. Una muestra aleatoria GHFOLHQWHVTXHYLVLWDURQVXWLHQGDHVWDVHPDQDUHVXOWyHQ XQDPHGLD GH PLQXWRV (OOD WLHQH VXFLHQWH HYLGHQFLD SDUDDUPDUTXHHOWLHPSRGHVDOLGDPHGLRHVWDVHPDQDIXHGH menos de 12 minutos? Usa = 0.02. 8.120 (O WDPDxR SURPHGLR GH XQD FDVD HQ FD\y D 2 343 pies cuadrados, de acuerdo con la National Associa- tion of Home Builders y reportado en el USA Today (11 de enero de 2009). Los constructores de vivienda de una ciudad al noreste creen que el tamao promedio de las casas sigue FUHFLHQGRFDGDDxR3DUDSRQHUDSUXHEDVXDUPDFLyQVH seleccion una muestra aleatoria de 45 casas nuevas, que revelaron un promedio de 2 490 pies cuadrados. Si supones que la desviacin estndar poblacional es de aproximada- mente 450 pies cuadrados, existe evidencia de que el tama- o promedio sea ms grande en el noreste en comparacin FRQODFLIUDQDFLRQDOSDUD"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQ- cia de 0.05. 8.121'HVGHGXOFHVKDVWDMR\HUtD\RUHVVHHVSHUDEDTXH HO FRQVXPLGRU SURPHGLR JDVWDUD GyODUHV HO'tD GH las Madres de 2009, de acuerdo con una encuesta de la Na- tional Retail Federation para abril de 2009. Los comercian- tes locales creyeron que este promedio era muy alto para su rea y contrataron una agencia para realizar un estudio. Se tom una muestra aleatoria de 60 consumidores en un comercio local el sbado previo al Da de las Madres y pro- dujo un importe medio muestral de 106.27 dlares. Si = GyODUHVODPXHVWUDSURSRUFLRQDVXFLHQWHHYLGHQFLD SDUDDSR\DUODDUPDFLyQGHORVFRPHUFLDQWHVHQHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD" Fuente: http://www.marketingcharts.com 8.122 Imagina que eres un cliente que vive en el rea de FRPSUDVGHVFULWDHQHOHMHUFLFLR\QHFHVLWDVFRPSUDUXQ UHJDORGHO'tDGHODV0DGUHV,GHQWLFDORVFXDWURSRVLEOHVUH- sultados y describe la situacin involucrada con cada resultado FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 8.4 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo de ... www.fullengineeringbook.net 386 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica en cuanto al importe promedio gastado en un regalo del Da de las Madres. Cul es el error ms serio: el error tipo I o el error tipo II? Explica. 8.123 Quin dice que, mientras ms gastas en un reloj de pulsera, el reloj dar la hora con ms precisin? Algunos di- cen que ahora puedes comprar un reloj de cuarzo por menos de 25 dlares que da la hora con una precisin igual a la de los relojes que cuestan cuatro veces ms. Supn que la precisin promedio para todos los relojes vendidos hoy, sin importar su SUHFLRHVWiGHQWURGHVHJXQGRVDOPHVFRQXQDGHVYLD- cin estndar de 9.1 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 36 relojes de cuarzo, con precio menor a 25 dlares y la comprobacin de su precisin revela un error muestral medio de 22.7 segundos al mes. Con base en esta evidencia, comple- ta la prueba de hiptesis de H o : = 20 frente a H a : > 20 en HOQLYHOGHVLJQLFDQFLDXVDQGRHOPpWRGRGHYDORUGH probabilidad. D 'HQHHOSDUiPHWUR b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. F (VSHFLFDORVFULWHULRVGHSUXHEDGHKLSyWHVLV d. Presenta la evidencia muestral. e. Encuentra la informacin de distribucin de probabilidad. f. Determina los resultados. 8.124 [EX08-124] Los juegos de las grandes ligas de bis- bol promedian 2 horas 50.1 minutos, con una desviacin HVWiQGDUGHPLQXWRV6HDUPDTXH ORV MXHJRVGH ORV Cardenales de St. Louis duran, en promedio, ms tiempo que los juegos de los otros equipos de las grandes ligas. Para SRQHUDSUXHEDODYHUGDGGHHVWHHQXQFLDGRVHLGHQWLFDQDO azar 12 juegos de los Cardenales y se obtiene el "tiempo de juego" para cada uno. 140 208 187 173 164 195 170 163 187 150 170 208 Fuente: http://mlb.com/ (Q HO QLYHO GH VLJQLFDQFLD HVWRV GDWRVPXHVWUDQ VX- FLHQWH HYLGHQFLD SDUD FRQFOXLU TXH HO WLHPSRPHGLR GH ORV juegos de bisbol de los Cardenales es ms largo que el de los otros equipos de las grandes ligas? D 'HQHHOSDUiPHWUR b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. F (VSHFLFDORVFULWHULRVGHSUXHEDGHKLSyWHVLV d. Presenta la evidencia muestral. e. Encuentra la informacin de distribucin de probabilidad. f. Determina los resultados. 8.125 [EX08-125] Nacionalmente, la razn de enfermeras a estudiantes queda abajo del estndar federal recomendado, de acuerdo con el artculo del USA Today "Enfermeras escolares en suministro bajo" (11 de agosto de 2009). La recomendacin de los Centros para el Control y Prevencin de Enfermedades (CDC) es de 1 enfermera por 750 estudiantes. Usa la siguien- WHPXHVWUDGHHVFXHODVVHOHFFLRQDGDVDOD]DUHQHOHVWDGR GH1XHYD<RUNSDUDSRQHUDSUXHEDHOHQXQFLDGRHOQ~PHUR PHGLRGHHVWXGLDQWHVSRUHQIHUPHUDHVFRODUHQ1XHYD<RUNHV VLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHHOHVWiQGDU&'&GH6XSyQ = 540. 1062 1070 353 675 1557 1374 459 302 1946 487 295 1047 1751 784 480 377 883 1035 332 330 989 1098 1241 778 1691 963 1645 1594 2125 338 1380 885 707 1267 1412 1037 1603 915 a. Describe el parmetro de inters. b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. c. Calcula el valor para z+ y encuentra el valor p. d. Enuncia tu decisin y conclusin con = 0.01. 8.126 [EX08-126] La Encuesta Nacional de Valoracin de Salud y Nutricin (NHANES, por sus siglas en ingls) indica que ms adultos estadounidenses tienen o sobrepeso u obe- VLGDGTXH VHGHQHFRPR WHQHUXQ tQGLFHGHPDVDFRUSRUDO (IMC) de 25 o ms. Los datos de los Centros para el Control y Prevencin de Enfermedades (CDC) indican que, para las mujeres con edades de 35 a 55, el IMC medio es 25.12, con una desviacin estndar de 5.3. En un estudio similar que exa- min a mujeres tcnicas cardiovasculares registradas en Esta- dos Unidos y dentro del mismo rango de edad, resultaron los siguientes IMC: 22 28 26 19 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com Fuente: "An Assessment of Cardiovascular Risk Behaviors of Registered Cardiovascular Technologists", conferencia de la Dra. Susan Wambold, Universidad de Toledo, 2002. Reimpresa con permiso. 3RQDSUXHED ODDUPDFLyQGHTXH ODV WpFQLFDVFDUGLRYDVFX lares tienen un IMC promedio ms bajo que la poblacin ge- neral. Usa = 0.05. a. Describe el parmetro de inters. b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. c. Calcula el valor para z+ y encuentra el valor p. d. Enuncia tu decisin y conclusin con = 0.05. 8.127 [EX08-001] (QHOHMHUFLFLRSiJLQDVHSURSRU- cionaron las estaturas para una muestra aleatoria de 50 muje- res estadounidenses profesionales de la salud. D 'HWHUPLQDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHVWD- tura media de todas las mujeres estadounidenses profesio- nales de la salud. Supn que la desviacin estndar para las estaturas femeninas es 2.75 pulgadas. b. La estatura promedio de las mujeres en Estados Unidos es 63.7 pulgadas, de acuerdo con el Centro Nacional de Estadsticas de Salud. El intervalo para las profesionales de la salud contiene la media para todas las mujeres? www.fullengineeringbook.net 387 (QODVHFFLyQVHVRQGHDURQORVFRQFHSWRV\JUDQSDUWHGHOUD]RQDPLHQWRGHWUiVGHXQD prueba de hiptesis mientras considerabas ejemplos no estadsticos. En esta seccin se formalizar el procedimiento de prueba de hiptesis como se aplica a enunciados concer- nientes a la media de una poblacin bajo la restriccin de que , la desviacin estndar poblacional, es un valor conocido. Suposicin para las pruebas de hiptesis acerca de la media usando una conocida La distribucin muestral de x tiene una distribucin normal. La informacin que necesitas para garantizar que esta suposicin se satisface, est conte- nida en la distribucin muestral de medias muestrales y en el teorema del lmite central. 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo clsico (opcional) 8.128 [EX08-001] De acuerdo con el Centro Nacional de Estadsticas de Salud, la estatura promedio de las mujeres en Estados Unidos es de 63.7 pulgadas, con una desviacin estn- dar de 2.75 pulgadas. Con las estaturas de la muestra aleatoria de 50 mujeres estadounidenses profesionales de la salud del HMHUFLFLRSiJLQD D 3RQDSUXHEDODDUPDFLyQGHTXHODHVWDWXUDPHGLDGHODV mujeres en la profesin de salud es diferente de las 63.7 pulgadas, la estatura media de todas las mujeres en Esta- GRV8QLGRV8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH E &yPRVHUHYHODKD\XQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDUH FKD]RGHODKLSyWHVLVQXODHQHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D IRUPDGRHQHOHMHUFLFLRD" F ([SOLFDFyPRHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DIRUPDGRHQHO HMHUFLFLRDSRGUtDXVDUVHSDUDSRQHUDSUXHEDOD DUPDFLyQSUXHEDGHKLSyWHVLVGHOLQFLVRDGHTXH la estatura media de las mujeres en la profesin de salud es diferente. G &yPRVHUHYHODUtDQRKD\XQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYD (fracaso para rechazar la hiptesis nula) con un intervalo GHFRQDQ]D" 8.129 Usa una computadora o calculadora para seleccionar 40 nmeros aleatorios de un solo dgito. Encuentra la media muestral, z+ y el valor p para poner a prueba H o : = 4.5 con- tra una alternativa de dos colas. Repite varias veces como en ODWDEOD'HVFULEHWXVKDOOD]JRV PTI Usa comandos para generar datos enteros de la pgina 91, luego contina con los comandos de prueba de hiptesis de la pgina 382. 8.130 Usa una computadora o calculadora para seleccionar 36 nmeros aleatorios de una distribucin normal con media 100 y desviacin estndar 15. Encuentra la media muestral, z+ y el valor p para poner a prueba una hiptesis de dos colas de 5HSLWHYDULDVYHFHVFRPRHQODWDEOD'HVFULEH tus hallazgos. PTI Usa comandos para generar datos de las pginas 283- 284, luego contina con los comandos de prueba de hipte- sis de la pgina 382. La distribucin muestral de medias muestrales x se distribuye en torno a una media igual a , con un error estndar igual a / n\VLODSREODFLyQPXHV treada al azar tiene distribucin normal, entonces x tiene distribucin normal para todos los tamaos de muestra, o 2) si la poblacin muestreada al azar no tiene distribucin normal, entonces x tiene distribucin aproximadamente normal SDUDWDPDxRVGHPXHVWUDVXFLHQWHPHQWH grandes. Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... www.fullengineeringbook.net 388 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica La prueba de hiptesis es un procedimiento paso a paso bien organizado que se usa para tomar una decisin. Usualmente se usan dos formatos diferentes para la prueba de hipte- sis. El enfoque clsico es el proceso de prueba de hiptesis que ha gozado de popularidad durante muchos aos. Este enfoque se organiza como un procedimiento de cinco pasos. La prueba de hiptesis clsica: un procedimiento de cinco pasos PASO 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). PASO 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. c. Determina el nivel de significancia, . PASO 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. PASO 4 La distribucin de probabilidad: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). b. Determina si el estadstico de prueba est o no est en la regin crtica. PASO 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. Un fabricante de aeronaves comerciales compra remaches para usar en el ensamblado de aviones. Cada proveedor de remaches que quiere vender remaches al fabricante de DHURQDYHVGHEHGHPRVWUDUTXHVXVUHPDFKHVFXPSOHQFRQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV 8QDGHODVHVSHFLFDFLRQHVHVODUHVLVWHQFLDPHGLDDOFRUWHGHWRGRVORVUHPDFKHV, es al menos 925 lb". Cada vez que el fabricante de aeronaves compra remaches, est preocu- SDGRSRUTXHODUHVLVWHQFLDPHGLDSXHGDVHUPHQRUTXHODHVSHFLFDFLyQGHOE Nota: cada remache individual tiene una resistencia al corte, que se determina al medir la fuerza requerida para cortar ("romper") el remache. Claramente, no todos los remaches pueden ponerse a prueba. Por tanto, se pondr a prueba una muestra de remaches y una decisin acerca de la resistencia media de todos los remaches sin probar se basar en la media de los que se muestrearon y pusieron a prueba. PASO 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro poblacional de inters es la media , la resistencia media al corte de (o fuerza media requerida para cortar) los remaches a considerar para compra. b. Enuncia la hiptesis nula (H o ) y la hiptesis alternativa (H a ). La hiptesis nula y la hiptesis alternativa se formulan mediante inspeccin del problema o enunciado a investigar y primero formular dos enunciados opuestos acerca de la media . Para el ejemplo, estos dos enunciados en oposicin son A) "la resistencia al corte media es menor que 925" ( < 925, la preocupacin del fabricante de aeronaves) y B) "la resistencia al corte media es al menos 925" ( = ODDUPDFLyQGHOSURYHHGRUGHUHPDFKHV\ODHVSHFLFDFLyQGHOIDEULFDQWHGH aeronaves). Nota:ODOH\GHWULFRWRPtDGHOiOJHEUDDUPDTXHGRVYDORUHVQXPpULFRVGHEHQUHODFLRQDUVH en exactamente una de tres relaciones posibles: <, = o >. Estas tres posibilidades deben UHSUHVHQWDUVHHQODVGRVKLSyWHVLVRSXHVWDVFRQODQDOLGDGGHTXHODVGRVKLSyWHVLVVHDQ PTI En las pginas 361-363 se dan instruc- ciones ms especficas. www.fullengineeringbook.net 389 negaciones una de la otra. Las tres posibles combinaciones de signos e hiptesis se mues- WUDQHQODWDEOD5HFXHUGDTXHODKLSyWHVLVQXODDVLJQDXQYDORUHVSHFtFRDOSDUiPHWUR en cuestin y por tanto "igual" siempre ser parte de la hiptesis nula. El parmetro de inters, la media poblacional , se relaciona con el valor 925. El enuncia- do (A) se convierte en la hiptesis alternativa: H a : < 925 (la media es menor que 925) Este enunciado representa la preocupacin del fabricante de aeronaves y dice: "los rema- FKHVQRVDWLVIDFHQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV(OHQXQFLDGR%VHFRQYLHUWHHQOD hiptesis nula: H o : ODPHGLDHVDOPHQRV Esta hiptesis representa la negacin de la preocupacin del fabricante de aeronaves y GLFHORVUHPDFKHVVtVDWLVIDFHQODVHVSHFLFDFLRQHVUHTXHULGDV Nota:ODKLSyWHVLVQXODVHHVFULELUiVyORFRQHOVLJQRLJXDOORTXHSRUWDQWRDUPDHOYDORU exacto asignado. Cuando "igual" se empareja con "menor que" o con "mayor que", el sm- bolo combinado se escribe al lado de la hiptesis nula como recordatorio de que los tres signos se representan en estos dos enunciados en oposicin. Antes de continuar con l ejemplo, observa los tres ejemplos que demuestran la formu- lacin de las hiptesis estadsticas nula y alternativa que involucran la media poblacional /RVHMHPSORV\GHPXHVWUDQFDGDXQRXQDKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDGHXQDFROD E J E M P L O 8 . 1 8 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE UNA COLA) Un grupo de defensa del consumidor quiere desaprobar la afirmacin de un fabricante de automviles de que un modelo especfico promediar 24 millas por galn de gasolina. Especficamente, el grupo quisiera demostrar que las millas medias por galn es considerablemente inferior a 24. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin Para enunciar las dos hiptesis, primero necesitas identificar el parmetro po- blacional en cuestin: "millaje medio logrado por este modelo de automvil". El parmetro se comparar con el valor 24 millas por galn, el valor espe- cfico de inters. Los defensores cuestionan el valor de y quieren demostrar que es menor que 24 (p.ej., < 24). Existen tres posibles relaciones: 1) < 24, 2) = 24 y 3) > 24. Estos tres casos deben ordenarse para formar dos enunciados en oposicin: uno enuncia lo que los defensores tratan de demostrar, "el nivel medio es menor que 24 ( < 24)", mientras que la "ne- gacin" es "el nivel medio no es menor que 24 ( * 24)". Uno de estos dos TABLA 8.9 Los tres posibles enunciados de las hiptesis nula y alternativa Hiptesis nula Hiptesis alternativa 1. Mayor que o igual a (*) Menor que (<) 2. Menor que o igual a ()) Mayor que (>) 3. Igual a (=) No igual a (&) Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... www.fullengineeringbook.net 390 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica (OHMHPSORGHPXHVWUDXQDKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDGHGRVFRODV enunciados se convertir en la hiptesis nula Ho y el otro se convertir en la hiptesis alternativa Ha. Nota: recuerda que existen dos reglas para formar las hiptesis: 1) la hiptesis nula afirma que el parmetro en cuestin tiene un valor especfico ("Ho debe contener el signo igual") y 2) la argumentacin del grupo de defensa del con- sumidor se convierte en la hiptesis alternativa ("menor que"). Ambas reglas indican: Ho: = 24 ( * ) y Ha: < 24 E J E M P L O 8 . 1 9 E J E M P L O 8 . 2 0 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE UNA COLA) Supn que la EPA demandar a una gran compaa manufacturera por no cumplir los lineamientos federales de emisiones. Especficamente, la EPA afir- ma que la cantidad media de dixido de azufre en el aire es peligrosamente alta, mayor que 0.09 partes por milln. Enuncia las hiptesis nula y alternativa para esta situacin de prueba. Solucin El parmetro de inters es la cantidad media de dixido de azufre en el aire y 0.09 partes por mill es el valor especificado. > 0.09 corresponde a "la cantidad media es mayor que 0.09", mientras que ) 0.09 corresponde a la negacin, "la cantidad media no es mayor que 0.09". Por tanto, las hip- tesis son Ho: = 0.09 ( ) ) y Ha: > 0.09 CMO ESCRIBIR LAS HIPTESIS NULA Y ALTERNATIVA (SITUACIN DE DOS COLAS) La satisfaccin en el empleo es muy importante para la productividad de los trabajadores. Funcionarios sindicales aplicaron un cuestionario estndar de satisfaccin en el trabajo a una muestra de trabajadores de lnea de ensam- blado en una gran planta, con la esperanza de demostrar que la calificacin media en este cuestionario para los trabajadores de ensamblado sera dife- rente de la media establecida de 68. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. Solucin O la calificacin media de satisfaccin laboral es diferente de 68 ( & 68) o la media es igual a 68 ( = 68). Por tanto, Ho: = 68 y Ha: & 68 www.fullengineeringbook.net 391 Notas: /DKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDVHUHHUHFRPRGHGRVFRODVFXDQGRH a "no es igual". 2. Cuando "menor que" se combina con "mayor que", se convierten en "no igual a". El punto de vista del experimentador afecta enormemente la manera en que se forman las hiptesis. Por lo general, el experimentador trata de demostrar que el valor del parme- WURHVGLIHUHQWHGHOYDORUHVSHFLFDGR3RUWDQWRHOH[SHULPHQWDGRUFRQIUHFXHQFLDHVSHUD poder rechazar la hiptesis nula, de modo que la teora del experimentador pueda sostener- VH/RVHMHPSORV\WDPELpQUHSUHVHQWDQORVWUHVSRVLEOHVDUUHJORVSDUDODV relaciones <, = y > entre el parmetro \XQYDORUHVSHFtFR /DWDEODPHQFLRQDDOJXQDVIUDVHVFRPXQHVDGLFLRQDOHVXVDGDVHQDUPDFLRQHVHLQ- dica sus negaciones y las hiptesis en las que se usar cada frase. Nuevamente, observa que "igual" siempre est en la hiptesis nula. Observa tambin que la negacin de "menor que" es "no menor que", que es equivalente a "mayor que o igual a". Piensa en la negacin de un signo como en los otros dos signos combinados. Despus de establecer las hiptesis nula y alternativa, trabajars bajo la suposicin de TXHODKLSyWHVLVQXODHVXQHQXQFLDGRYHUGDGHURKDVWDTXHKD\DVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD rechazarla. Esta situacin debe compararse con un juicio en una sala de justicia, donde se supone que el acusado es inocente (H o : el acusado es inocente frente a H a : el acusado no HVLQRFHQWHKDVWDTXHVHKD\DSUHVHQWDGRVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHODLQR- cencia es totalmente increble ("ms all de toda duda razonable"). En la conclusin de la prueba de hiptesis, se tomar una de dos posibles decisiones. Se decidir en oposicin a la hiptesis nula y se dir que se "rechaza H o " (esto corresponde a "condena" del acusado en un juicio), o se decidir en concordancia con la hiptesis nula y se dir que se "fracasa para rechazar H o " (esto corresponde a "fracaso para condenar" o una "absolucin" del acusado en un juicio). 5HJUHVDDOHMHPSORGHORVUHPDFKHVTXHVHLQWHUUXPSLyHQODSiJLQD\FRQWLQ~DFRQ el paso 2. Recuerda que H o : DOPHQRV H a : < 925 (menos que 925) PASO 2 Los criterios de la prueba de hiptesis: D 9HULFDODVVXSRVLFLRQHV Supn que, de experiencias pasadas, se sabe que la desviacin estndar de la re- sistencia al corte de los remaches es /DVYDULDEOHVFRPRODUHVLVWHQFLDDO FRUWHSRUORJHQHUDOWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQDPRQWRQDGDSRUWDQWRXQDPXHVWUDGH WDPDxRGHEHVHUVXFLHQWHPHQWHJUDQGHSDUDDSOLFDUHO7/&\JDUDQWL]DUTXHOD DMMM tendr una distribucin muestral. E ,GHQWLFDODGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG\HOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDDXVDU La distribucin de probabilidad normal estndar se usa porque x se espera que tenga una distribucin normal o aproximadamente normal. Para una prueba de hiptesis de , se quiere comparar el valor de la media muestral con el valor de la media poblacin como se enuncia en la hiptesis nula. Esta comparacin VHORJUDFRQHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDGHODIyUPXOD TABLA 8.10 Frases comunes y sus negaciones Ho: (*) frente a Ha: (<) Ho: ()) frente a Ha: (>) Ho: (=) frente a Ha: (&) Al menos Menor que Cuando mucho Ms que Es No es No menos que Menor que No ms que Ms que No diferente de Diferente de No menor que Menor que No mayor que Mayor que Igual como No igual como Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un meetodo ... www.fullengineeringbook.net 392 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Estadstico de prueba para la media z+ = x / n (OYDORUFDOFXODGR UHVXOWDQWH VH LGHQWLFDFRPRz+ ("z estrella") porque se espera que tenga una distribucin normal estndar cuando la hiptesis nula es verdadera y las supo- siciones se satisfacen. La + ("estrella") es para recordar que ste es el valor calculado del estadstico de prueba: El estadstico de prueba a usar es z+ = x . / n F 'HWHUPLQDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD. (QODVHFFLyQVHGHVFULELyHOHVWDEOHFLPLHQWRGH como una decisin gerencial. Para ver qu se involucra en la determinacin de , la probabilidad del error tipo I, para HOHMHPSORGHORVUHPDFKHVFRPLHQ]DSRULGHQWLFDUORVFXDWURSRVLEOHVUHVXOWDGRVVXV VLJQLFDGRV\ODDFFLyQUHODFLRQDGDFRQFDGDXQR El error tipo I ocurre cuando se rechaza una hiptesis nula verdadera. Esto ocurrira FXDQGR HO IDEULFDQWH SRQH D SUXHED UHPDFKHV TXH VDWLVIDFHQ ODV HVSHFLFDFLRQHV \ ORV rechaza. Indudablemente esto conducira a que los remaches no se comprarn aun cuando VDWLVIDJDQODVHVSHFLFDFLRQHV&RQODQDOLGDGGHTXHHOJHUHQWHHVWDEOH]FDXQQLYHOGH VLJQLFDQFLDQHFHVLWDLQIRUPDFLyQUHODFLRQDGDDVDEHUFXiQSURQWRVHQHFHVLWDHOQXHYR suministro de remaches? Si se necesitan maana y ste es el nico proveedor con un sumi- nistro disponible, esperar una semana para encontrar remaches aceptables podra ser muy FRVWRVRSRUWDQWRUHFKD]DUUHPDFKHVEXHQRVSRGUtDFRQVLGHUDUVHXQVHULRHUURU3RURWUD parte, si los remaches no se necesitan sino hasta el prximo mes, entonces este error puede QRVHUPX\VHULR6yORHOJHUHQWHFRQRFHUiWRGDVODVUDPLFDFLRQHV\HQFRQVHFXHQFLD aqu son importantes los comentarios del gerente. 'HVSXpVGHPXFKDFRQVLGHUDFLyQHOJHUHQWHDVLJQDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD = 0.05. PASO 3 La evidencia muestral: D 5HFROHFWDODLQIRUPDFLyQPXHVWUDO La muestra debe ser una muestra aleatoria extrada de la poblacin cuya media se cuestionar. Se selecciona una muestra aleatoria de 50 remaches, se pone a prueba cada remache y se calcula la media muestral de la resistencia al corte: x \ n = 50. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. La evidencia muestral (x y n se encontraron en el paso 3a) se convierte a continua- cin en el valor calculado del estadstico de prueba, z+FRQODIyUPXOD es 925 de H o y HVXQDFDQWLGDGFRQRFLGD6HWLHQH z+ = x : z+ = = = 1.50 / n PASO 4 La distribucin de probabilidad: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La variable normal estndar z es el estadstico de prueba para esta prueba de hiptesis. Regin crtica Conjunto de valores para el estadstico de prueba que causa- rn el rechazo de la hiptesis nula. El conjunto de valores que no estn en la regin crtica se llama regin no crtica (en ocasiones llamada regin de aceptacin). PTI Hay ms en este es- cenario, pero se espera que captes la idea. PTI se asignar en el enunciado de los ejer- cicios. (8.4) www.fullengineeringbook.net 393 0 z 1.65 0.05 925 x 920.8 95% 5% Recuerda que trabajas bajo la suposicin de que la hiptesis nula es verdadera. Por tanto, supones que la resistencia media al corte de todos los remaches en la poblacin muestreada es 925. Si ste es el caso, entonces, cuando selecciones una muestra aleatoria de 50 remaches, puedes esperar que esta media muestral, x, sea parte de una distribucin normal con centro en 925 y que tenga un error estndar de / n = RDSUR[LPDGD- mente 2.55. Aproximadamente 95% de los valores de media muestral sern mayores que >XQYDORUHUURUHVHVWiQGDUSRUDEDMRGHODPHGLD @ Por tanto, si H o es verdadera y = 925, entonces se espera que xVHDPD\RUTXH DSUR[LPDGDPHQWHGHODVYHFHV\PHQRUTXHVyORGHODVYHFHV Sin embargo, si el valor de xTXHVHREWLHQHGHODPXHVWUDHVPHQRUTXHSRUGH- cir, 919.5) tendrs que hacer una eleccin. Podra ser que: (A) tal valor x (919.5) es miem- bro de la distribucin muestral con media 925 aunque tenga una muy baja probabilidad de ocurrencia (menos que 0.05), o (B) x = 919.5 es miembro de una distribucin muestral cuya media es menor que 925, lo que la hara un valor que sera ms probable de ocurriera. En estadstica, se "apuesta" sobre lo "ms probable que ocurra" y se considera la segunda opcin (B) como la correcta. Por tanto, la cola izquierda de la distribucin z se convierte en ODUHJLyQFUtWLFD\HOQLYHOGHVLJQLFDQFLD se convierte en la medida de su rea. Valor(es) crtico(s) El "primer" valor o "frontera" de la regin crtica. El valor crtico para el ejemplo es z(0.05) y tiene el valor de 1.65, como se encuentra en la tabla 4A del apndice B. b. Determina si el estadstico de prueba calculado est o no en la regin crtica. *UiFDPHQWHHVWDGHWHUPLQDFLyQVHPXHVWUDDOORFDOL]DUHOYDORUSDUDz+ en el bos- quejo del paso 4a. PTI En las pginas 292-297 se proporcio- na informacin acerca de la notacin de valor crtico, z(). PTI El sombreado se usar para identificar la regin crtica. SABAS QUE...? Disputas en enfoque La estadstica no es slo matemtica. Existen dife- rentes formas de enfocar las inferencias estadsti- cas y diferentes formas de interpretar lo que di- cen los datos. Mientras ms significativas sean las diferencias, ms probable es que existan desacuerdos acalorados entre esos puntos de vis- ta opuestos. Como una disputa que surgi en 1935 en una discusin de la Real Sociedad Es- tadstica, cuando R.A. Fisher desafi a Jerzy Neyman en cuanto a si estaba completamen- te familiarizado con el tema a discutir. La dispu- ta se centr en el uso de intervalos de confianza y el enfoque a la prueba de hiptesis de Pearson y Neyman, frente a los intervalos y concepto de valores p de Fisher en las pruebas de signifi- cancia. La disputa dur hasta la muerte de Fis- her, en 1962. x mayor que 920.8 x < 920.8 Cualquier distribucin con < 925 regin crtica regin no crtica Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... 0.05 920.8 919.5 925 x www.fullengineeringbook.net 394 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 0 z 1.65 z = 1.50 0.05 El valor calculado de z, z+ = 1.50, no est en la regin crtica (est en la porcin QRVRPEUHDGDGHODJXUD PASO 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin acerca de H o . &RQODQDOLGDGGHWRPDUODGHFLVLyQHVQHFHVDULRFRQRFHUODregla de decisin. Regla de decisin a. Si el estadstico de prueba cae dentro de la regin crtica, entonces la de- cisin debe ser rechazar Ho. (El valor crtico es parte de la regin crtica.) b. Si el estadstico de prueba no est en la regin crtica, entonces la decisin debe ser fracasar para rechazar Ho. La decisin es: fracaso para rechazar H o . b. Enuncia la conclusin acerca de H a . 1RKD\VXFLHQWHHYLGHQFLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUDGHPRVWUDUTXH la resistencia media al corte de los remaches es menor que 925. "Se fracasa para condenar" la hiptesis nula. En otras palabras, una media muestral tan pquea FRPRQRHVLPSUREDEOHTXHRFXUUDFRPRVHGHQHSRU) cuando el verda- dero valor de la media poblacional es 925.0. En consecuencia, la accin resultante sera comprar los remaches. Antes de observar otro ejemplo, se resumen brevemente algunos de los detalles vistos hasta el momento: /DKLSyWHVLVQXODHVSHFLFDXQYDORUSDUWLFXODUGHXQSDUiPHWURSREODFLRQDO 2. La hiptesis alternativa puede tomar tres formas. Cada forma dicta una ubicacin HVSHFtFDGHODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQODWDEODVLJXLHQWH 3. Para muchas pruebas de hiptesis, el signo en la hiptesis alternativa "apunta" en la GLUHFFLyQHQODTXHVHXELFDODUHJLyQFUtWLFD3LHQVDHQHOVLJQRQRLJXDOD>@FRPR en menos que [<] y en mayor que [>] y por tanto apunta en ambas direcciones.) El valor asignado a se llama QLYHOGHVLJQLFDQFLD de la prueba de hiptesis. Alfa no puede interpretarse como algo ms que el riesgo (o probabilidad) de rechazar la hiptesis nula cuando en realidad es verdadera. Rara vez podrs determinar si la hiptesis nula es YHUGDGHUDRIDOVDSRUWDQWR slo decidirs "rechazar H o " o "fracaso para rechazar H o ". La frecuencia relativa con la que se rechaza una hiptesis verdadera es , pero nunca se cono- cer la frecuencia relativa con la que se comete un error en la decisin. Las dos ideas son PX\GLIHUHQWHVHVWRHVXQHUURUGHWLSR,\XQHUURUHQODGHFLVLyQVRQGRVFRVDVWRWDOPHQWH diferentes. Recuerda que existen dos tipos de errores: tipo I y tipo II. Observa otra prueba de hiptesis, una que involucra el procedimiento de dos colas. PTI En la pgina 366 se proporciona informa- cin especfica acerca de cmo escribir la conclusin. Signo en la hiptesis alternativa < & > Una regin Dos regiones Una regin Regin crtica Lado izquierdo Mitad en cada lado Lado derecho Prueba de una cola Prueba de dos colas Prueba de una cola regin crtica regin no crtica www.fullengineeringbook.net 395 E J E M P L O 8 . 2 1 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS Se afirma que el peso medio de las mujeres estudiantes en cierta universidad es de 54.4 kg. El profesor Hart no cree en la afirmacin y se prepara para demostrar que el peso medio no es 54.4 kg. Para poner a prueba la afirma- cin, recolecta una muestra aleatoria de 100 pesos de entre las mujeres estu- diantes. Resulta una media muestral de 53.75 kg. sta es suficiente evidencia para que el profesor Hart rechace el enunciado? Usa = 0.05 y = 5.4 kg. Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro poblacional de inters es la media , el peso medio de todas las mujeres estudiantes en la universidad. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). El peso medio es igual a 54.4 kg o el peso medio no es igual a 54.4 kg. Ho: = 54.4 (peso medio es 54.4) Ha: & 54.4 (peso medio no es 54.4) (Recuerda: & es < y > al mismo tiempo.) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Se conoce . Los pesos de un grupo de mujeres adultas por lo general tiene distribucin aproximadamente normal; por tanto, una muestra de n = 100 es suficientemente grande para permitir la aplicacin del TLC. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. La distribucin de probabilidad normal estndar y el estadstico de prueba z+ = x se usar; = 5.4. / n c. Determina el nivel de significancia, . = 0.05 (dado en el enunciado del problema). Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: x = 53.75 y n = 100. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (8.4), informacin de Ho: = 54.4 y = 5.4 (conocido): z+ = x : z+ = 53.75 54.4 = 0.65 = 1.204 = 1.20 / n 5.4/ 100 0.54 Paso 4 La distribucin de probabilidad: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica es tanto la cola izquierda como la cola derecha, por- que tanto valores ms pequeos como ms grandes de la media mues- tral sugieren que la hiptesis nula est equivocada. El nivel de signi- ficancia se dividir a la mitad, con 0.025 como la medida en cada 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... www.fullengineeringbook.net 396 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica z = 1.20 0 z 1.96 1.96 0.025 0.025 E J E M P L O 8 . 2 2 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS CON DATOS MUESTRALES De acuerdo con los resultados del ejercicio 5.33 (p. 242), la media de los nmeros aleatorios de un solo dgito es 4.5 y la desviacin estndar es = 2.87. Extrae una muestra aleatoria de 40 nmeros de un solo dgito de la tabla 1 del apndice B y pon a prueba la hiptesis "la media de los nmeros de un solo dgito de la tabla 1 es 4.5". Usa = 0.10. Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. El parmetro de inters es la media de la poblacin de nmeros de un solo dgito de la tabla 1 del apndice B. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: = 4.5 (media es 4.5) Ha: & 4.5 (media no es 4.5) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Se conoce . Las muestras de tamao 40 deben ser suficientemente grandes para satisfacer el TLC; consulta la discusin de este tema en la pgina 387. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Usa la distribucin de probabilidad normal estndar y el estadstico de prueba z+ = x ; = 2.87. / n c. Determina el nivel de significancia, . = 0.10 (dado en el enunciado del problema) cola. Los valores crticos se encuentran en la tabla 4B del apndice B: z(0.025) = 1.96 . (Las instrucciones para la tabla 4B estn en la p. 348.) b. Determina si el estadstico de prueba est o no en la regin crtica. El valor calculado de z, z+ = 1.20, no est en la regin crtica (que se muestra en azul claro en la figura adyacente). Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Fracaso para rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. No hay suficiente evidencia, en el nivel de significancia 0.05, para demostrar que las mujeres estudiantes tienen un peso medio diferente de los 54.4 kg afirmados. En otras palabras: no hay evidencia estads- tica para apoyar las argumentaciones del profesor Hart. regin crtica regin crtica regin no crtica www.fullengineeringbook.net 397 0 z 1.65 1.65 0.05 0.05 Supn que vas a tomar otra muestra de tamao 40 de la tabla 1. Obtendras los mis- mos resultados? Supn que tomas una tercera y una cuarta muestras. Qu resultados pue- GHVHVSHUDU"&XiOHVHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD"6tVXYDORUHVSHURTXpPLGH"/D WDEODPHQFLRQDODVPHGLDVREWHQLGDVGHGLIHUHQWHVPXHVWUDVDOHDWRULDVGHWDPDxR 40 que se tomaron de la tabla 1 del apndice B. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral. Esta muestra aleatoria se extrajo de la tabla 1 del apndice B. 2 8 2 1 5 5 4 0 9 1 0 4 6 1 5 1 1 3 8 0 3 6 8 4 8 6 8 9 5 8 1 4 1 2 1 7 1 7 9 3 Los estadsticos muestrales son x = 3.975 y n = 40. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (8.4), informacin de Ho = 4.5 y = 2.87: z+ = x : z+ = 3.975 4.50 = 0.525 = 1.156 = 1.16 / n 2.87/ 40 0.454 Paso 4 La distribucin de probabilidad: a. Determina la regin crtica y el(los) valor(es) crtico(s). Se usar una regin de dos colas y 0.05 ser el rea en cada cola. Los valores crticos son z(0.05) = 1.65. b. Determina si el estadstico de prueba est o no en la regin crtica. El valor calculado de z, z+ = 1.16, no est en la regin crtica (se muestra en azul claro en la figura). Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Fracaso para rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. La media muestral observada no es significativamente diferente de 4.5 en el nivel de significancia 0.10. TABLA 8.12 Veinte muestras aleatorias de tamao 40 tomadas de la tabla 1 del apndice B [TA08-12] Nmero Media z calculada Decisin Nmero Media z calculada Decisin de muestra muestral x z+ alcanzada de muestra muestral x z+ alcanzada 1 4.62 +0.26 Fracaso para rechazar Ho 11 4.70 +0.44 Fracaso para rechazar Ho 2 4.55 +0.11 Fracaso para rechazar Ho 12 4.88 +0.83 Fracaso para rechazar Ho 3 4.08 0.93 Fracaso para rechazar Ho 13 4.45 0.11 Fracaso para rechazar Ho 4 5.00 +1.10 Fracaso para rechazar Ho 14 3.93 1.27 Fracaso para rechazar Ho 5 4.30 0.44 Fracaso para rechazar Ho 15 5.28 +1.71 Rechazar Ho 6 3.65 1.87 Rechazar Ho 16 4.20 0.66 Fracaso para rechazar Ho 7 4.60 +0.22 Fracaso para rechazar Ho 17 3.48 2.26 Rechazar Ho 8 4.15 0.77 Fracaso para rechazar Ho 18 4.78 +0.61 Fracaso para rechazar Ho 9 5.05 +1.21 Fracaso para rechazar Ho 19 4.28 0.50 Fracaso para rechazar Ho 10 4.80 +0.66 Fracaso para rechazar Ho 20 4.23 0.61 Fracaso para rechazar Ho TABLA 8.11 Muestra aleatoria de nmeros de un solo dgito [TA08-01] est no est no est Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... z+ = 1.16 www.fullengineeringbook.net 398 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica Tambin se mencionan el valor calculado de z+ que corresponde a cada x y la decisin que FDGDXQDGLFWDUtD/DVFDOLFDFLRQHVzFDOFXODGDVVHPXHVWUDQHQODJXUD2EVHUYD que 3 de las 20 muestras (o 15%) causaron el rechazo de la hiptesis nula aun cuando se sabe que la hiptesis nula es verdadera para esta situacin. Puedes explicar esto? FrecuenciaNota: recuerda que es la probabilidad de que "rechaces H o " cuando en realidad es un enunciado verdadero. Por tanto, puedes anticipar que ocurrirn errores tipo I del tiempo cuando pruebes una hiptesis nula verdadera. En la situacin emprica anterior, observaste una tasa de rechazo de 15%. Si repitieras este experimento muchas veces, la proporcin de muestras que conduciran a un rechazo variara, pero la frecuecia relativa de rechazo observada debera ser aproximadamente o 10 por ciento. E J E R C I C I O S S E C C I N 8 . 5 FIGURA 8.10 Valores z de la tabla 8.12 8.131(QHOHMHPSORGHODSiJLQDHOFRQVWUXFWRUGHDH- ronaves que compra los remaches est preocupado de que los UHPDFKHVQRSXHGDQVDWLVIDFHUODHVSHFLFDFLyQGHUHVLVWHQFLD media. Enuncia las hiptesis nula y alternativa del fabricante de aeronaves. 8.132 El profesor Hart no cree que el enunciado "la distancia media recorrida diariamente por los estudiantes no residentes en la universidad no es ms de 9 millas". Enuncia las hiptesis QXOD\DOWHUQDWLYDTXHXVDUtDVSDUDGHVDDUGLFKRHQXQFLDGR 8.133 Establezca las hiptesis nula y alternativa utilizadas SDUDSUREDUFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVDUPDFLRQHV a) El tiempo medio de reaccin es menor que 25 segundos. E /DSXQWXDFLyQPHGLDHQHVHH[DPHQGHFDOLFDFLyQHV diferente de 335. c) El precio medio de venta de las casas en el rea no es mayor que $230 000. 8.134 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a , que usaras para una prueba de hiptesis para cada uno de los siguientes enunciados: a. La edad media de los jvenes que pasan el rato en el cen- tro comercial es menor a 16 aos. b. La estatura media de los jugadores profesionales de bs- quetbol es mayor a 6 pies 6 pulgadas. c. La cada de elevacin media para pistas de esqu en los FHQWURVGHHVTXtGHO(VWHHVGHDOPHQRVSLHV d. El dimetro medio de los remaches no es ms que 0.375 pulgadas. e. El nivel de colesterol medio de los estudiantes universita- rios varones es diferente de 200 mg/dL. 8.135 Supn que quieres poner a prueba la hiptesis de que "el contenido medio de sal de las comidas 'lite' congeladas es 5 4 3 2 1 0 2.75 2.20 1.65 1.10 0.55 0.00 0.55 1.10 1.65 2.20 2.75 3 4 4 3 2 1 1 1 1 0 z+ www.fullengineeringbook.net 399 ms de 350 mg por porcin". Un promedio de 350 mg es una FDQWLGDGDFHSWDEOHGHVDOSRUSRUFLyQSRUWDQWRORXVDVFRPR el estndar. La hiptesis nula es "el contenido promedio no es ms de 350 mg" ( = 350). La hiptesis alternativa es "el contenido promedio es ms de 350 mg" ( > 350). a. Describe las condiciones que existiran si tu decisin re- sulta en un error tipo I. b. Describe las condiciones que existiran si tu decisin re- sulta en un error tipo II. 8.136 ,GHQWLFD ORVFXDWURSRVLEOHV UHVXOWDGRV\GHVFULEH OD situacin involucrada con cada resultado en cuanto a las prue- bas y compra de remaches del fabricante de aeronaves. Cul es el error ms serio: el error tipo I o el error tipo II? Explica. 8.137 Supn que quieres poner a prueba la hiptesis de que el cobro mnimo medio de llamada de servicio domstico para plomeros es cuando mucho $95 en tu rea. Explica las con- diciones que existiran si cometes un error en la decisin al cometer un a. error tipo I. b. error tipo II. 8.138'HVFULEH FyPR ODKLSyWHVLVQXODGHO HMHPSOR HV un "punto de partida" para la decisin a tomar acerca del peso medio de todas las mujeres estudiantes en la universidad. 8.139 a. Qu es la regin crtica? b. Qu es el valor crtico? 8.140 a. Qu decisin se alcanza cuando el estadstico de prueba cae en la regin crtica? b. Qu decisin se alcanza cuando el estadstico de prueba cae en la regin no crtica? 8.141 Puesto que el tamao del error de tipo I siempre puede hacerse ms pequeo al reducir el tamao de la regin crtica, por qu no siempre eliges regiones crticas que hagan ex- tremadamente pequea? 8.142 Calcula el estadstico de prueba z+, dado H o : = 356, = 17, x = 354.3 y n = 120. 8.143 Encuentra la regin y valor(es) crtico(s) para H o : < 19 y = 0.01. 8.144 Encuentra la regin y valor(es) crtico(s) para H o : > 34 y = 0.02. 8.145 Determina la regin y valores crticos para z que usaras SDUDSRQHUDSUXHEDODKLSyWHVLVQXODHQHOQLYHOGHVLJQLFDQ- cia dado, como se describe en cada uno de los siguientes: a. H o : = 20, H a : = 0.10 b. H o : H a : > 24, = 0.01 c. H o : H a : < 10.5, = 0.05 d. H o : = 35, H a : = 0.01 8.146 Determina la regin y valores crticos usados para po- ner a prueba las siguientes hiptesis nulas: a. H o : H a : < 55, = 0.02 b. H o : H a : = 0.01 c. H o : = 107, H a : = 0.05 d. H o : H a : > 17.4, = 0.10 8.147 La hiptesis nula H o : = 250 se puso a prueba contra la hiptesis alternativa H a : < 250. Una muestra de n result en un estadstico de prueba calculado de z+ 6L = 22.6, encuentra el valor de la media muestral, x. Encuentra la suma de los datos muestrales, x. 8.148 Encuentra el valor de x para cada uno de los siguientes: a. H o : z+= 2.10, = 26, n = 55 b. H o : = 75, z+= = 9.2, n = 35 8.149 El valor calculado del estadstico de prueba en reali- GDGHVHOQ~PHURGHHUURUHVHVWiQGDUTXHGLHUHGHODPHGLD muestral del valor hipottico de en la hiptesis nula. Supn que la hiptesis nula es H o : = 4.5, se sabe que es 1.0 y una muestra de tamao 100 resulta en x a. Cuntos errores estndar x est por arriba de 4.5? b. Si la hiptesis alternativa es H o : > 4.5 y = 0.01, re- chazaras H o ? 8.150 Considera la prueba de hiptesis donde las hiptesis son H o : = 26.4 y H a : < 26.4. Se selecciona una muestra aleatoria de tamao 64 y produce una media muestral de 23.6. a. Si se sabe que = 12, cuntos errores estndar abajo de = 26.4 est la media muestral, x = 23.6? b. Si = 0.05, rechazaras H o ? Explica. 8.151 Slo existen dos posibles decisiones como resultado de una prueba de hiptesis. a. Enuncia las dos posibles decisiones. b. Describe las condiciones que conducirn a cada una de ODVGRVGHFLVLRQHVLGHQWLFDGDVHQHOLQFLVRD 8.152 a. Qu proporcin de la distribucin de probabilidad est en la regin crtica, siempre que la hiptesis nula sea correcta? b. Qu error podras cometer si el estadstico de prueba cae en la regin crtica? c. Qu proporcin de la distribucin de probabilidad est en la regin no crtica, siempre que la hipte- sis nula no sea correcta? d. Qu error podras cometer si el estadstico de prueba cae en la regin no crtica? Seccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... www.fullengineeringbook.net 400 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 8.153 La siguiente salida de computadora se us para com- pletar una prueba de hiptesis. TEST OF MU = 15.0000 VS MU not = 15.0000 THE ASSUMED SIGMA = 0.50 N MEAN STDEV SE MEAN Z 30 15.6333 0.4270 0.0913 6.94 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Si la prueba se completa con = 0.01, qu decisin y conclusin se alcanzan? F 9HULFDHOYDORUGHOHUURUHVWiQGDUGHODPHGLD 8.154 Con la salida de computadora y la informacin del ejer- FLFLRGHWHUPLQDHOYDORUGHORVLJXLHQWH a. Valor hipottico de la media poblacional b. Media muestral c. Desviacin estndar poblacional d. Estadstico de prueba 8.155 La siguiente salida de computadora se us para com- pletar una prueba de hiptesis. TEST OF MU = 72.00 VS MUnot > 72.00 THE ASSUMED SIGMA = 12.0 N MEAN STDEV SE MEAN Z 36 75.2 11.87 2.00 1.60 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Si la prueba se completa usando = 0.05, qu decisin y conclusin se alcanzan? F 9HULFDHOYDORUGHOHUURUHVWiQGDUGHODPHGLD 8.156 Con la salida de computadora y la informacin del ejer- FLFLRGHWHUPLQDHOYDORUGHORVLJXLHQWH a. Valor hipottico de la media poblacional b. Media muestral c. Desviacin estndar poblacional d. Estadstico de prueba 8.157 El Departamento de Salud de Texas public los UHVXOWDGRV HVWDWDOHV SDUD HO ([DPHQ GH &HUWLFDFLyQ HQ Servicios Mdicos de Emergencia. Los datos de quienes aplicaron el examen paramdico por primera vez dan una FDOLFDFLyQ SURPHGLR GH GH XQ SRVLEOH FRQ una desviacin estndar de 9.06. Supn que una muestra aleatoria de 50 individuos que aplicaron el examen produce XQDFDOLFDFLyQPHGLDGH([LVWHVXFLHQWHHYLGHQ- cia para concluir que "la poblacin de donde se tom esta PXHVWUD HQ SURPHGLR FDOLFyPiV DOWR TXH HO SURPHGLR estatal"? Usa = 0.05. 8.158 De acuerdo con el artculo del Centro de Presupues- to y Prioridades Polticas, "Restringir las cuentas de gastos H[LEOHVSRGUtDD\XGDUDSDJDUODUHIRUPDGHDWHQFLyQDOD salud" (revisado el 10 de junio de 2009), las cuentas de gas- WRH[LEOHDOLHQWDQHOVREUHFRQVXPRGHODDWHQFLyQDODVD- OXG/DVSHUVRQDVFRPSUDQFRVDVTXHQRQHFHVLWDQHVGHFLU pierden el dinero. En 2007, para quienes no usaron todas sus cuentas (aproximadamente una de cada 7), el importe promedio perdido fue de 723 dlares. Fuente: http://www.cbpp.org/ Supn que se toma una muestra aleatoria de 150 empleados que no usaron todos sus fondos en 2009 y se perdi una can- WLGDGSURPHGLRGHGyODUHV3RQDSUXHEDODKLSyWHVLVGH TXH QR KD\ GLIHUHQFLD VLJQLFDWLYD HQ OD FDQWLGDG SURPHGLR perdida. Supn que = $307 por ao. Usa = 0.05. D 'HQHHOSDUiPHWUR b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. F (VSHFLFDORVFULWHULRVGHODSUXHEDGHKLSyWHVLV d. Presenta la evidencia muestral. e. Encuentra la informacin de distribucin de probabilidad. f. Determina los resultados. 8.159 Las mujeres poseen un promedio de 15 pares de za- patos. Esto se apoya en una encuesta de mujeres adultas de Kelton Research para Eneslow, el Centro de Confort Podal FRQ EDVH HQ OD FLXGDG GH1XHYD<RUN 6XSyQ TXH VH WRPD una muestra aleatoria de 35 mujeres graduadas universitarias UHFLHQWHPHQWH FRQWUDWDGDV\ ODPHGLDPXHVWUDO IXHGH pares de zapatos. Si HVWDPXHVWUDSURSRUFLRQDVX- ciente evidencia de que el nmero medio de zapatos de las mu- jeres jvenes graduadas universitarias es mayor que el nmero medio global para todas las mujeres adultas? Usa un nivel de VLJQLFDQFLDGH 8.160 Una compaa de seguros contra incendios conside- ra que la distancia media desde una casa hasta la estacin de bomberos ms cercana en un suburbio de Chicago era de al menos 4.7 millas. La empresa establece las primas de seguro contra incendio en concordancia. Los miembros de la comu- nidad quieren demostrar que la distancia media era de menos de 4.7 millas. Esto, piensan, convencera a la compaa ase- JXUDGRUDGHEDMDUVXVSULPDV/RVKDELWDQWHVLGHQWLFDURQDO azar 64 casas y midieron la distancia desde cada una hasta la estacin de bomberos ms cercana. La media muestral resul- tante fue de 4.4. Si PLOODVODPXHVWUDRIUHFHVXFLHQWH HYLGHQFLDSDUDDSR\DUODDUPDFLyQGHODFRPXQLGDGHQHOQL- YHOGHVLJQLFDQFLD = 0.05? 8.161 [EX08-161] La duracin de los juegos en las grandes ligas de bisbol tiene una distribucin aproximadamente nor- mal y promedia 2 horas y 50.1 minutos, con una desviacin HVWiQGDUGHPLQXWRV6HDUPDTXHORVMXHJRVGHEpLVERO GHORV<DQTXLVGH1XHYD<RUNGXUDQHQSURPHGLRPiVTXHORV juegos de los otros equipos de las ligas mayores. Para poner a SUXHEDODYHUGDGGHHVWHHQXQFLDGRVHLGHQWLFyDOD]DUXQD www.fullengineeringbook.net 401 PXHVWUDGHRFKRMXHJRVGHORV<DQTXLV\VHREWXYRHOWLHPSR de juego" (en minutos) para cada uno: 199 196 202 213 187 169 169 188 Fuente: http://mlb.com/ (Q HO QLYHO GH VLJQLFDQFLD HVWRV GDWRVPXHVWUDQ VX- FLHQWH HYLGHQFLD SDUD FRQFOXLU TXH HO WLHPSRPHGLR GH ORV MXHJRVGHEpLVEROGHORV<DQTXLVHVPD\RUTXHHOGHORVRWURV equipos de bisbol de las grandes ligas? 8.162 [EX08-162] El gerente de Air Express cree que los pe- sos de los paquetes embarcados recientemente son menores que en el pasado. Los registros muestran que, en el pasado, los paquetes tenan un peso medio de 36.5 lb y una desviacin estndar de 14.2 lb. Una muestra aleatoria de los registros de embarque del mes pasado produjo los siguientes 64 valores de datos: 32.1 41.5 16.1 8.9 36.2 12.3 28.4 40.4 45.5 15.2 26.5 13.3 23.5 33.7 18.3 16.3 15.4 39.7 50.3 14.8 44.4 47.7 45.8 52.3 48.4 10.4 59.9 5.5 6.7 17.1 20.0 28.1 48.1 29.5 22.9 47.8 24.8 20.1 40.1 12.6 24.3 43.3 32.4 57.7 42.9 36.7 15.5 46.4 51.3 38.6 39.4 27.1 55.7 37.7 39.4 55.5 26.9 15.7 32.3 47.8 33.2 29.1 31.1 34.5 eVWDHVVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXODHQ IDYRUGHODDUPDFLyQGHOJHUHQWH"8VD = 0.01. 8.163%HEHVODFDQWLGDGUHFRPHQGDGDGHDJXDFDGDGtD"/D mayora de los estadounidenses no! En promedio, los estado- unidenses beben 4.6 porciones de ocho onzas de agua al da. Fuente: http://www.bottledwater.org Una muestra de 42 profesionales de la educacin se selec- cion al azar y se monitore su consumo de agua para un SHULRGR GH KRUDV OD FDQWLGDGPHGLD FRQVXPLGD IXH GH 39.3 oz. Si supones que la cantidad de agua consumida dia- riamente por los adultos tiene una distribucin normal y la GHVYLDFLyQHVWiQGDUHVR]H[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLD para mostrar que los profesionales de la educacin consu- men, en promedio, ms agua diariamente que el promedio nacional? Usa = 0.05. 8.164 La cantidad recomendada de agua que una persona GHEHEHEHUHVGHRFKRSRUFLRQHVGHR]GLDULDV a. La muestra de profesionales de la educacin del ejer- FLFLRPXHVWUDVXFLHQWHHYLGHQFLDGHTXHORVSUR- fesionales de la educacin consumen, en promedio, sig- QLFDWLYDPHQWHPHQRVDJXDGLDULDPHQWHTXHODFDQWLGDG recomendada? Usa = 0.05. b. El valor del valor z calculado en el inciso a es inusual. (QTXpIRUPDHVLQXVXDO\TXpVLJQLFDHVR" 8.165 Usa una computadora o calculadora para seleccionar 40 nmeros aleatorios de un solo dgito. Encuentra la media muestral y z+. Con = 0.05, enuncia la decisin para poner a prueba H o : = 4.5 contra una alternativa de dos colas. Repite YDULDVYHFHVFRPRHQODWDEOD'HVFULEHWXVKDOOD]JRVGHV- pus de varios intentos. PTI usa los comandos para generar datos enteros de la pgi- na 91; luego contina con los comandos de prueba de hipte- sis de la pgina 382. 8.166 Usa una computadora o calculadora para seleccionar 36 nmeros aleatorios de una distribucin normal con media 100 y desviacin estndar 15. Encuentra la media muestral y z+ para poner a prueba una hiptesis de dos colas de = 100. Con = 0.05, enuncia la decisin. Repite varias veces como HQODWDEOD'HVFULEHWXVKDOOD]JRV PTI Usa los comandos para generar datos de las pginas 283-284; luego contina con los comandos de prueba de hiptesis de la pgina 382. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 8.5 Prueba de hiptesis de media ( conocida): Un mtodo ... www.fullengineeringbook.net 402 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica En retrospectiva Repaso del captulo 2010 Image Source/Jupiterimages CorporationEn este captulo se presentaron dos formas de inferencia: es- timacin y prueba de hiptesis. Pueden usarse por separado y con frecuencia se usan as. Sin embargo, parece natural que el rechazo de una hiptesis nula est seguido por un intervalo de FRQDQ]D6LHOYDORUDUPDGRHVWiHTXLYRFDGRFRQIUHFXHQ- cia se quiere una estimacin para el valor verdadero.) Estas dos formas de inferencia son muy diferentes, pero estn relacionadas. Existe cierta cantidad de entrecruzamiento entre el uso de las dos inferencias. Por ejemplo, supn que PXHVWUHDVWH \ FDOFXODVWH XQ LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH para la media de una poblacin. El intervalo fue de 10.5 a 15.6. (QWRQFHVDOJXLHQDUPDTXHODPHGLDYHUGDGHUDHV7X LQWHUYDORGHFRQDQ]DSXHGHFRPSDUDUVHFRQHVWDDUPDFLyQ 6LHOYDORUDUPDGRFDHGHQWURGHWXHVWLPDFLyQGHLQWHUYDOR fracasaras para rechazar la hiptesis nula de que = 15.2 a XQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHHQXQDSUXHEDGHGRVFRODV 6LHOYDORUDUPDGRSRUGHFLUFDHDIXHUDGHOLQWHUYDOR rechazaras la hiptesis nula de que = 16.0 en = 0.10 en una prueba de dos colas. Si se requiere una prueba de una cola, RVLSUHHUHVXQYDORUGLIHUHQWHGH, debes usar una hiptesis separada. Muchos usuarios de la estadstica (en especial quienes co- PHUFLDOL]DQXQSURGXFWRDUPDUiQTXHVXVUHVXOWDGRVHVWDGtV- ticos prueban que su producto es superior. Pero recuerda: la prueba de hiptesis no prueba o desaprueba algo. La decisin a la que se llega en una prueba de hiptesis tiene probabilidades asociadas con las cuatro situaciones diversas. Si la decisin es "fracaso para rechazar H o ", es posible que haya ocurrido un error. Ms an, si la decisin que se alcanza es "rechazar H o ", es posible que esto sea un error. Ambos errores tienen probabi- lidades mayores que cero. En este captulo se restringi la discusin de las inferen- cias a la media de una poblacin para la cual se conoce la desviacin estndar. En los captulos 9 y 10 se discutirn las inferencias acerca de la media poblacional y se quitar la res- triccin acerca del valor conocido para la desviacin estndar. Tambin se observarn las inferencias acerca de los parme- tros proporcin, varianza y desviacin estndar. El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso D SDVR FyPR UHVROYHU SUREOHPDV FRQMXQWRV GH GDWRV SDUD HMHUFLFLRV\ HMHPSORVApplets Skillbuilder para ayudarte a FRPSUHQGHUPHMRUORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave alfa () (p. 365) beta () (p. 365) FRHFLHQWHGHFRQDQ]DS conclusin (p. 366) criterios de la prueba (p. 371) decisin correcta tipo A (pp. 363, 364) decisin correcta tipo B (pp. 363, 364) HUURUHVWiQGDUGHODPHGLDS HUURUPi[LPRGHHVWLPDFLyQSS error tipo I (pp. 363, 364) error tipo II (p. 364) estadstico de prueba (pp. 366, 374, 392) estadstico muestral (p. 342) estadstico sin sesgo (p. 342) estadstico sesgado (p. 342) estimacin (p. 341) estimacin por intervalo (p. 343) estimacin puntual para un parmetro (p. 342) hiptesis (p. 361) KLSyWHVLVDOWHUQDWLYDSS KLSyWHVLVQXODSS LQWHUYDORGHFRQDQ]DSS OtPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRUS OtPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRUS QLYHOGHFRQDQ]DS QLYHOGHVLJQLFDQFLDS parmetro (p. 342) pregunta de estimacin (p. 340) pregunta de prueba de hiptesis (p. 340) SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D SS prueba estadstica de hiptesis (p. 361) www.fullengineeringbook.net 403 SUXHEDGHKLSyWHVLVFOiVLFDS prueba de hiptesis, procedimiento de valor p (p. 371) regin crtica (p. 392) regin no crtica (p. 392) regla de decisin (pp. 366, 376, 394) VXSRVLFLRQHVSS tamao de la muestra (p. 356) valor calculado z+ (pp. 375, 392) valor crtico (p. 393) valor p (p. 375) z(SS Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUODGLIHUHQFLDHQWUHHVWDGtVWLFDGHVFULSWLYD\HVWDGtVWLFDLQIHUHQFLDO S(MS &RPSUHQGHUTXHXQHVWDGtVWLFRQRVHVJDGRWLHQHXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDOFRQ SS una media que es igual al parmetro poblacional a estimar. 5HVSHFWRDORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]D &RPSUHQGHUTXHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVXQDHVWLPDFLyQGHLQWHUYDOR S de un parmetro poblacional, con un grado de certidumbre, que se usa cuando se desconoce el parmetro poblacional. &RPSUHQGHUTXHXQDHVWLPDFLyQSXQWXDOSDUDXQSDUiPHWURSREODFLRQDO S(M es el valor del correspondiente estadstico muestral. &RPSUHQGHUTXHHOQLYHOGHFRQDQ]DHVODSURSRUFLyQDODUJRSOD]RGHORVLQWHUYDORV (- que contendr los verdaderos parmetros poblacionales, con base en muestreo repetido. &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUORVFRPSRQHQWHVFODYHSDUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]D S HVWLPDFLyQSXQWXDOQLYHOGHFRQDQ]DFRHFLHQWHGHFRQDQ]DHUURUPi[LPR (M GHHVWLPDFLyQOtPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU\OtPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDFRQXQD SS conocida es que la distribucin muestral de x tiene una distribucin normal. Con base en esta suposicin, se usar la distribucin z normal estndar. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODPHGLDSREODFLRQDO (-(M &DOFXODUWDPDxRVGHPXHVWUDUHTXHULGRVSDUDFRQVWUXLULQWHUYDORVGHFRQDQ]D SS FRQQLYHOHVYDULDGRVGHFRQDQ]D\HUURUHVDFHSWDEOHV (M Respecto a las pruebas de hiptesis: &RPSUHQGHUTXHXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVVHXVDSDUDWRPDUXQDGHFLVLyQDFHUFD S del valor de un parmetro poblacional. &RPSUHQGHU\SRGHUGHQLUKLSyWHVLVQXODV\DOWHUQDWLYDV S &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUORVGRVWLSRVGHHUURUHVHQXQDSUXHEDGHKLSyWHVLV SS(M tipo I y tipo II. Comprender que la probabilidad de dichos errores son y , respectivamente. &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUORVGRVWLSRVGHGHFLVLRQHVFRUUHFWDVHQXQDSUXHED SS(M de hiptesis, tipo A y tipo B. &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUODUHODFLyQHQWUHORVFXDWURSRVLEOHVUHVXOWDGRV SS(M de una prueba de hiptesis: los dos tipos de errores y los dos tipos de decisiones correctas. 'HPRVWUDU\FRPSUHQGHUODVWUHVSRVLEOHVFRPELQDFLRQHVSDUDODVKLSyWHVLVQXOD SS(M \DOWHUQDWLYD SS(M &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUD con una SS conocida es que la distribucin muestral de x tiene una distribucin normal. Con base en esta suposicin, se usar la distribucin z normal estndar. &DOFXODU\FRPSUHQGHUHOYDORUGHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDFDOFXODUHOYDORUpSDUD SS(M el estadstico de prueba y/o determinar la regin crtica y el(los) valor(es) crtico(s). pp. 392-394 (M &RPSUHQGHU\SRGHUGHVFULELUTXpHVXQYDORUp y/o una regin crtica respecto pp. 375-377, 379, a una prueba de hiptesis. 392-394 'HWHUPLQDU\FRQRFHUHOIRUPDWRDGHFXDGRSDUDHQXQFLDUXQDGHFLVLyQHQXQDSUXHED SS de hiptesis. &RPSUHQGHU\SRGHUHQXQFLDUODFRQFOXVLyQSDUDXQDSUXHEDGHKLSyWHVLV SS (M Repaso de captulo www.fullengineeringbook.net 404 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 8.167 Una muestra de 64 mediciones se toma de una pobla- cin continua y se encuentra que la media muestral es 32.0. Se sabe que la desviacin estndar de la poblacin es 2.4. Se har una estimacin de intervalo de la media con un nivel de FRQDQ]DGH(QXQFLDRFDOFXODORVLJXLHQWH a. x b. c. n d. 1 e. z(/2) f. x g. E (error mximo de estimacin) K /tPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU L /tPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU 8.1686XSyQTXHDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DVHOHDVLJQDXQ QLYHOGHFRQDQ]DGH = 95%. Cmo se usa 95% para FRQVWUXLUHO LQWHUYDORGHFRQDQ]D"6L cambi a 90%, TXpHIHFWRWHQGUtDHVWRVREUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D" 8.169 El miembro voluntario de ambulancia promedio tiene DxRVGHHGDG\DxRVGHVHUYLFLRGHDFXHUGRFRQHODU tculo del Democrat & Chronicle, "Trabajadores de ambulan- cia sin paga podran obtener 'pensin'" (23 de enero de 2005). El estadstico citado se basa en el Escuadrn de Voluntarios de $PEXODQFLDGH3HQHOGGHPLHPEURV6LHOHVFXDGUyQVH considera representativo de todos los escuadrones de volunta- rios de ambulancias en toda la parte norte del estado de Nueva <RUNGHWHUPLQDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHGDG media de todos los miembros voluntarios de ambulancia en la SDUWHQRUWHGH1XHYD<RUN6XSyQTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDU SREODFLRQDOHVDxRV 8.170 La desviacin estndar de una poblacin con distribu- cin normal es igual a 10. Se selecciona un tamao de muestra de 25 y se encuentra que su media es 95. D (QFXHQWUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. E &XiOVHUtDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDXQD muestra de tamao 100? F &XiOVHUtDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDXQD muestra de tamao 25 con una desviacin estndar de 5 (en lugar de 10)? 8.171 Los pesos de cajas completas de cierto tipo de cereal tienen distribucin normal, con una desviacin estndar de R]8QDPXHVWUDGHFDMDVVHOHFFLRQDGDVDOD]DUSURGXMR XQSHVRPHGLRGHR] D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOSHVR medio verdadero de una caja de este cereal. E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOSHVR medio verdadero de una caja de este cereal. F 4XpHIHFWRWLHQHVREUHHODQFKRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ- ]DHODXPHQWDUHOQLYHOGHFRQDQ]D" 8.172 Se cree que los tiempos de espera (en horas) en un po- pular restaurante tienen una distribucin aproximadamente normal, con una varianza de 2.25 durante periodos ocupados. a. Una muestra de 20 clientes revel un tiempo de espera PHGLRGHKRUDV&RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D de 95% para la media poblacional. b. Supn que la media de 1.52 horas result de una muestra GHFOLHQWHV(QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH c. Qu efecto tiene un tamao de muestra ms grande so- EUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D" 8.1738QDPXHVWUDDOHDWRULDGHODVFDOLFDFLRQHVGHVR- OLFLWDQWHVGHSXHVWRVGHRFLQDHQXQDJUDQFRPSDxtDDVHJX- UDGRUDPRVWUyXQD FDOLFDFLyQPHGLDGH(O SUHSDUDGRU GHO H[DPHQ PDQWXYR TXH ORV VROLFLWDQWHV FDOLFDGRV GHEHQ promediar 75.0. D 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODFD- OLFDFLyQPHGLDGHWRGRVORVVROLFLWDQWHVHQODFRPSDxtD aseguradora. Supn que la desviacin estndar de las FDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQHV b. La compaa aseguradora puede concluir que consigue VROLFLWDQWHVFDOLFDGRVVHJ~QPLGHHVWHH[DPHQ" 8.174 El tiempo que tarda en jugarse un partido de bisbol HQ ODV JUDQGHV OLJDV HV GH LQWHUpV SDUDPXFKRV DFLRQDGRV 3DUD HVWLPDU HOWLHPSR GH MXHJRPHGLR VH LGHQWLFy XQD PXHVWUDDOHDWRULDGHMXHJRVGHODOLJDQDFLRQDO\VHREWXYR el "tiempo de juego" para cada uno (en minutos). La media muestral resultante fue de 2 horas y 49.1 minutos y la historia del bisbol indica que la variable del tiempo de juego tiene una desviacin estndar de 21 minutos. Construye el intervalo de FRQDQ]DGHSDUDHOWLHPSRPHGLRSDUDWRGRVORVMXHJRV de la liga nacional. Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 405 8.175 [EX08-175] Un gran pedido de corchos est a punto GHHPEDUFDUVH/DLQVSHFFLyQGHFRQWUROGHFDOLGDGQDOLQ- FOX\HXQDHVWLPDFLyQGHODRYDOLGDGPHGLDRYDOL]DFLyQIXHUD de redondez) de los corchos. El dimetro de cada corcho se mide en varios lugares y la diferencia entre los dimetros mximo y mnimo es la medida de ovalidad para cada corcho. Despus de aos de medir corchos, el fabricante est seguro de que la ovalidad tiene una distribucin amontonada con una desviacin estndar de 0.10 mm. Una muestra aleatoria de 36 corchos se toma del lote y se determina la ovalidad para cada uno. 0.32 0.27 0.24 0.31 0.20 0.38 0.32 0.11 0.25 0.22 0.35 0.20 0.28 0.17 0.36 0.28 0.38 0.17 0.34 0.06 0.43 0.13 0.39 0.15 0.18 0.13 0.25 0.20 0.16 0.26 0.47 0.21 0.19 0.34 0.24 0.20 D /DHVSHFLFDFLyQIXHUDGHUHGRQGH]HVPHQRUTXH PP3DUHFHTXHHVWHSHGLGRVDWLVIDFHODHVSHFLFDFLyQ sobre una base de corcho individual? Explica. E /DKRMDGHFHUWLFDFLyQTXHDFRPSDxDDOHPEDUTXHLQ- FOX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODRYDOLGDG PHGLD&RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D F ([SOLFDTXpGLFHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DTXHHQFRQWUDVWH en el inciso b acerca de este embarque de corchos. 8.176 Usa una computadora y genera 50 muestras aleatorias, cada una de tamao n = 25, a partir de una distribucin de probabilidad normal, con = 130 y = 10. D &DOFXODHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHFRQEDVHHQ cada media muestral. E 4XpSURSRUFLyQGHHVWRVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DFRQWLH- ne = 130? c. Explica qu representa la proporcin que encontraste en el inciso b. 8.177 Una compaa farmacutica quiere estimar el tiempo de respuesta medio para que un complemento reduzca la pre- sin sangunea. Cun grande debe ser la muestra tomada para estimar el tiempo de respuesta medio hasta dentro 1 semana a GHFRQDQ]D6XSyQ = 3.7 semanas. 8.178 Un fabricante de automviles quiere estimar el millaje de gasolina medio de su nuevo modelo compacto. Cuntas carreras de muestra deben realizarse para garantizar que la es- WLPDFLyQHVSUHFLVDKDVWDGHQWURGHPSJDGHFRQDQ- za? supn = 1.5.) 8.179 El gerente de un criadero de peces quiere estimar la longitud media de su trucha de 3 aos criada en la incubadora. 4XLHUHKDFHUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSUHFLVRKDVWD dentro de de una desviacin estndar. Cun grande debe ser la muestra? 8.180 Ests interesado en estimar la vida media de un nuevo producto. Cun grande debe ser la muestra para estimar la media hasta dentro de de desviacin estndar, con 90% de FRQDQ]D" 8.181 Supn que se realiza una prueba de hiptesis con el mtodo de valor p \ VH DVLJQD XQ QLYHO GH VLJQLFDQFLD GH = 0.01. a. Cmo se usa el 0.01 para completar la prueba de hip- tesis? b. Si cambia a 0.05, qu efecto tendra esto sobre el pro- cedimiento de prueba? 8.182 Supn que una prueba de hiptesis se realiza con el en- IRTXHFOiVLFR\VHDVLJQDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH = 0.01. a. Cmo se usa el 0.01 para completar la prueba de hip- tesis? b. Si cambia a 0.05, qu efecto tendra esto sobre el pro- cedimiento de prueba? 8.183 La media esperada de una poblacin continua es 100 y su desviacin estndar es 12. Una muestra de 50 medi- ciones proporciona una media muestral de 96. Con un nivel GHVLJQLFDQFLDGHVHUHDOL]DXQDSUXHEDSDUDGHFLGLU entre "la media poblacional es 100" y "la media poblacional es diferente de 100". Enuncia o encuentra cada uno de los siguientes: a. H o b. H a c. d. (con base en H o ) e. x f. g. x h. z+, valor z para x i. valor p j. Decisin k. Bosqueja la curva normal estndar y ubica z+ y el valor p. 8.184 La media esperada de una poblacin continua es 200 \VXGHVYLDFLyQHVWiQGDUHV8QDPXHVWUDGHPHGLFLR- nes proporciona una media muestral de 205. Con un nivel GHVLJQLFDQFLDGHVHUHDOL]DXQDSUXHEDSDUDGHFLGLU [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP1 3 1 10 Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 406 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica entre "la media poblacional es 200" y "la media poblacional es diferente de 200". Enuncia o encuentra cada uno de los siguientes: a. H o b. H a c. d. z (/2) e. (con base en H o ) f. x g. h. x i. z+, valor z para x j. Decisin k. Bosqueja la curva normal estndar y ubica /2, z (/2), la regin crtica y z+. 8.185 Un sistema de podadora y riego de jardn se disea SDUD WHQHU XQ LQLFLR GHPRUDGR HVWR HV H[LVWH XQD GHPRUD desde el momento en que se enciende hasta que comienza el agua. Los tiempos de demora forman una distribucin nor- PDO FRQPHGLD GH VHJXQGRV \ GHVYLDFLyQ HVWiQGDU GH segundos. Muchos clientes se han quejado de que el tiempo GHGHPRUDHVFRQVLGHUDEOHPHQWHPD\RUTXHORDUPDGR(O ingeniero del sistema selecciona una muestra aleatoria de 15 sistemas instalados y obtiene un tiempo de demora de cada sistema. La media muestral es 50.1 segundos. Con = 0.02, H[LVWHHYLGHQFLDVLJQLFDWLYDSDUDGHPRVWUDUTXHORVFOLHQWHV pueden tener razn de que el tiempo de demora medio es ms de 45 segundos? a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 8.186 La librera de la universidad dice a los potenciales estu- diantes que el costo promedio de sus libros de texto es de $90 por libro, con una desviacin estndar de $15. Los estudiantes de ciencias e ingeniera piensan que el costo promedio de sus libros es mayor que el promedio para todos los estudiantes. 3DUDSRQHUDSUXHEDODDUPDFLyQGHODOLEUHUtDFRQWUDVXDO- ternativa, los estudiantes de ingeniera recolectan una muestra aleatoria de tamao 45. a. Si usan = 0.05, cul es el valor crtico del estadstico de prueba? b. Los datos muestrales de los estudiantes de ingeniera se resumen con n = 45 y x eVWDHVVXFLHQWH evidencia para apoyar su argumentacin? 8.187 Un proceso de fabricacin produce cojinetes de bola con dimetros que tienen una distribucin normal y una des- viacin estndar de = 0.04 cm. Los cojinetes de bola que tienen dimetros que son muy pequeos o muy grandes son indeseables. Para poner a prueba la hiptesis nula de que = 0.50 cm, se selecciona al azar una muestra de 25 y se encuentra que la media muestral es 0.51. a. Disea hiptesis nula y alternativa tales que el rechazo de la hiptesis nula implicar que los cojinetes de bola son indeseables. b. Con la regla de decisin establecida en el inciso a, cul es el valor p para los resultados muestrales? c. Si la regla de decisin del inciso a se usa con = 0.02, cul es el valor crtico para el estadstico de prueba? 8.188 Despus de realizar un gran nmero de ensayos durante un largo periodo, un fabricante de cuerdas descu- bre que su cuerda tiene una resistencia media a la rotura de 300 lb y una desviacin estndar de 24 lb. Supn que estos valores son y . Se cree que, al usar un proceso reciente- mente desarrollo de gran velocidad, la resistencia media a la rotura disminuye. a. Disea hiptesis nulas y alternativas tales que el rechazo de la hiptesis nula implicar que la resistencia media a la rotura disminuye. b. Con la regla de decisin establecida en el inciso a, cul es el valor p asociado con el rechazo de la hiptesis nula cuando 45 pruebas resultan en una media muestral de 295? c. Si la regla de decisin en el inciso a se usa con = 0.01, cul es el valor crtico para el estadstico de prueba y qu valor de x le corresponde, si se usa una muestra de tama- o 45? 8.189 Una abeja obrera deja el panal regularmente y viaja a RUHV\RWUDVIXHQWHVGHSROHQ\QpFWDUDQWHVGHUHJUHVDUDOSD- nal a entregar su carga. El proceso se repite varias veces cada GtDFRQ ODQDOLGDGGHDOLPHQWDUD ODVDEHMDVPiV MyYHQHV\ apoyar la produccin de miel y cera del panal. La abeja obre- ra puede transportar un promedio de 0.0113 gramos de po- len y nctar por viaje, con una desviacin estndar de 0.0063 gramos. Fuzzy Drone (zngano velludo) entra al negocio de la miel y cera de abeja con una nueva cepa de abejas italia- nas que supuestamente son capaces de transportar cargas ms grandes de polen y nctar que las abejas melferas comunes. Despus de instalar tres panales, Fuzzy asla 200 abejas antes y despus de su viaje de regreso y cuidadosamente pesa las cargas. El peso medio muestral del polen y el nctar fue de 0.0124 gramos. Las abejas de Fuzzy pueden transportar una carga de polen y nctar ms grande que el resto de la poblacin www.fullengineeringbook.net 407 de abejas? Completa la prueba de hiptesis adecuada en el ni- YHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 8.190 En un gran supermercado, el tiempo de espera del cliente para salir tiene una distribucin aproximadamente nor- mal, con una desviacin estndar de 2.5 minutos. Una muestra de 24 tiempos de espera de cliente produjo una media de 10.6 PLQXWRV eVWD HV HYLGHQFLD VXFLHQWH SDUD UHFKD]DU OD DU- macin del supermercado de que el tiempo de salida de sus clientes promedia no ms de 9 minutos? Completa esta prueba GHKLSyWHVLVFRQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 8.191(QXQDHPSUHVDPX\JUDQGHVHPXHVWUHyDORVRFL- QLVWDVSDUDYHUVLORVVDODULRVGLHUHQHQWUHGHSDUWDPHQWRVSDUD trabajadores en categoras similares. En una muestra de 50 de los trabajadores contables de la empresa, el salario anual SURPHGLRIXHGHGyODUHV/DRFLQDGHSHUVRQDOGHOD compaa insiste en que el salario promedio pagado a todos los RFLQLVWDVGHODHPSUHVDHVGHGyODUHV\TXHODGHVYLD- FLyQHVWiQGDUHVGHGyODUHV(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.05, puedes concluir que los trabajadores contables reciben, HQSURPHGLRXQVDODULRGLIHUHQWHGHOGHORVRFLQLVWDV" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 8.192 Jack Williams es vicepresidente de marketing para una de las compaas de gas natural ms grandes de la nacin. Du- rante los pasados 4 aos ha observado dos factores principales TXHHURVLRQDQORVEHQHFLRV\YHQWDVGHODFRPSDxtD3ULPH- ro, el precio promedio del petrleo crudo virtualmente se ha GHVLQDGR\PXFKRV GH VXV FOLHQWHV HQ OD LQGXVWULD TXHPDQ crudo pesado en lugar de gas natural para encender sus hornos, sin importar las emisiones de chimenea agregadas. Segundo, tanto los clientes residenciales como los comerciales todava persiguen tcnicas de conservacin de energa (por ejemplo, agregar aislamiento adicional, instalar termostatos accionados por reloj y sellar los huecos alrededor de puertas y ventanas SDUDHOLPLQDULQOWUDFLyQGHDLUHIUtR(QDxRVDQWHULRUHVORV clientes residenciales compraron un promedio de 129.2 mcf de gas natural de la compaa de Jack ( PFIFRQEDVH en registros de facturacin internos de la compaa, pero los DPELHQWDOLVWDVDUPDQTXHODFRQVHUYDFLyQUHFRUWDHOFRQVXPR de combustible hasta en 3% al ao. Jack te comisiona para rea- OL]DUXQDYHULFDFLyQUiSLGDSDUDYHUVLVHKDUHDOL]DGRDOJ~Q cambio en el uso anual antes de su prxima reunin con los funcionarios de la corporacin. Una muestra de 300 clientes seleccionados al azar de los registros de facturacin revela un promedio de 127.1 mcf durante los pasados 12 meses. Existe XQGHFOLYHVLJQLFDWLYRHQHOFRQVXPR" a. Completa la prueba de hiptesis apropiada en el nivel GHVLJQLFDQFLDFRQHOHQIRTXHGHYDORUp, de modo que puedas aconsejar adecuadamente a Jack antes de su reunin. b. Dado que eres el asistente de Jack, por qu es mejor que uses el enfoque de valor p? 8.193 Con un tiempo de conduccin promedio nacional de aproximadamente 24.3 minutos, los estadounidenses ahora pasan ms de 100 horas al ao en transporte hacia el trabajo, GHDFXHUGRFRQOD$PHULFDQ&RPPXQLW\6XUYH\GHOD2FL- na de Censos de Estados Unidos. S, eso es ms que el tiempo SURPHGLRGHVHPDQDVGHYDFDFLRQHVKRUDVTXHWRPDQ muchos trabajadores durante un ao. Fuente: http://usgovinfo.about.com/ Se encuest una muestra aleatoria de 150 trabajadores en una gran industria cercana acerca de sus tiempos de traslado. Si se sabe que la desviacin estndar es de 10.7 minutos, la media PXHVWUDOUHVXOWDQWHGHPLQXWRVHVVLJQLFDWLYDPHQWHLQIH- rior que el promedio nacional? Usa = 0.01. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 8.194 Un fabricante de neumticos para automviles cree que desarroll un nuevo compuesto de caucho que tiene cualidades superiores antidesgaste. Produjo un lote de prueba de neum- ticos fabricados con este nuevo compuesto y los puso en una prueba de camino. Los valores de datos registrados fueron la cantidad de desgaste de la banda de rodadura por 10 000 mi- llas. En el pasado, la cantidad media de desgaste de la banda de rodadura por 10 000 millas, para neumticos de esta calidad, fue de 0.0625 pulgadas. La hiptesis nula a probar aqu es: "la cantidad media de desgaste de los neumticos fabricados con el nuevo compues- to es la misma cantidad media de desgaste con el compuesto antiguo, 0.0625 pulgadas por 10 000 millas", H o : = 0.0625. Podran usarse tres posibles hiptesis alternativas: 1) H a : < 0.0625, 2) H a : H a : > 0.0625. FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 408 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHFDGDXQDGHHVDVWUHVDOWHUQDWLYDV b. Cul de las posibles hiptesis alternativas debe usar el fabricante si espera concluir que "usar el nuevo compues- to s produce desgaste superior"? 8.195 De una poblacin con media desconocida y des- viacin estndar = 5.0, se selecciona una muestra de n = 100 y se encuentra la media muestral 40.6. Compara los conceptos de estimacin y prueba de hiptesis al completar lo siguiente: D 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : usando el mtodo de valor p y = 0.05. c. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : usando el mtodo clsico y = 0.05. d. En un bosquejo de la curva normal estndar, ubica el LQWHUYDORTXHUHSUHVHQWDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHOLQFL- VRDz+, valor p y GHOLQFLVRE\z+ y regiones crticas del inciso c. Describe la relacin entre estos tres procedi- mientos separados. 8.196 De una poblacin con media desconocida y des- viacin estndar = 5.0, se selecciona una muestra de n = 100 y se encuentra la media muestral 41.5. Compara los conceptos de estimacin y prueba de hiptesis al completar lo siguiente: D 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : usando el mtodo de valor p y = 0.05. c. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : usando el mtodo clsico y = 0.05. d. En un bosquejo de la curva normal estndar, ubica el in- WHUYDORTXHUHSUHVHQWDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHOLQFLVR Dz+, valor p y GHOLQFLVRE\z+ y regiones crticas del inciso c. Describe la relacin entre estos tres procedi- mientos separados. 8.197 De una poblacin con media desconocida y des- viacin estndar = 5.0, se selecciona una muestra de n = 100 y se encuentra la media muestral 40.9. Compara los conceptos de estimacin y prueba de hiptesis al completar lo siguiente: D 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. b. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : > 40 usando el mtodo de valor p y = 0.05. c. Completa la prueba de hiptesis que involucra H a : > 40 usando el mtodo clsico y = 0.05. d. En un bosquejo de la curva normal estndar, ubica el in- WHUYDORTXHUHSUHVHQWDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHOLQFLVR Dz+, valor p y GHOLQFLVRE\z+ y regiones crticas del inciso c. Describe la relacin entre estos tres procedi- mientos separados. 8.198 Un fabricante de mostaza estilo delicatessen, de moli- do tradicional, usa una mquina de alta velocidad para llenar frascos. La cantidad de mostaza descargada en los frascos for- ma una distribucin normal con una media de 290 gramos y una desviacin estndar de 4 gramos. Cada hora se toma una muestra al azar de 12 frascos de la produccin de esa hora. 6LODPHGLDPXHVWUDOHVWiHQWUH\VHDFHSWDOD SURGXFFLyQGHHVDKRUDGHRWURPRGRVHUHFKD]D\ODPiTXLQD se vuelve a calibrar antes de continuar. a. Cul es la probabilidad del error de tipo I al rechazar la produccin de la hora previa cuando el peso medio de frasco es 290 gramos? b. Cul es la probabilidad del error de tipo II al aceptar la produccin de la hora previa cuando el peso medio de IUDVFRHVHQUHDOLGDGJUDPRV" 8.199 Todos los medicamentos deben ser aprobados por la Food and Drug Administration (FDA) de Estados Unidos an- tes de poder comercializarse por una compaa farmacutica. La FDA debe sopesar el error de comercializar un medicamen- to no efectivo, con los riesgos usuales de efectos colaterales, contra las consecuencias de no permitir la venta de un medica- mento efectivo. Supn que, con el tratamiento mdico usual, la tasa de mortalidad (r) de cierta enfermedad se sabe es A. Un fabricante enva para su aprobacin un medicamento que se supone trata esta enfermedad. La FDA establece la hiptesis para poner a prueba la tasa de mortalidad para el medicamento como 1) H o : r = A, H a : r < A, = 0.005 o 2) H o : r = A, H a : r > A, = 0.005. a. Si A = 0.95, cul prueba consideras debe usar la FDA? Explica. b. Si A = 0.05, cul prueba consideras debe usar la FDA? Explica. 8.200(OIDEULFDQWHGHPHGLFDPHQWRVGHOHMHUFLFLRWLHQH un punto de vista diferente sobre la materia. Quiere comercia- lizar el nuevo medicamento tan pronto como sea posible, de modo que pueda vencer a sus competidores en el mercado y ganar mucho dinero. Su posicin es: "comercializar el medi- www.fullengineeringbook.net 409 camento a menos que el medicamento sea totalmente inefec- tivo". a. Cmo la compaa establecera la hiptesis alternativa si fuera a realizar la prueba: H o : r < A, H a : rA o H o : r > A? Explica. b. La tasa de mortalidad (A = 0.95 o A = 0.05) del trata- miento existente afecta la alternativa? Explica. 8.201 [EX08-201] Esta salida de computadora presenta una PXHVWUDVLPXODGDGHWDPDxRJHQHUDGDDOD]DUGHXQDSREOD- cin normal con \ = 4. Luego se usaron los coman- dos de computadora para completar una prueba de hiptesis para FRQWUDXQDDOWHUQDWLYDGHGRVFRODV a. Enuncia la hiptesis alternativa, la decisin y la conclu- sin que result. E 9HULFDORVYDORUHVUHSRUWDGRVSDUDHOHUURUHVWiQGDUGHOD media, z+ y el valor p. 18.7734 21.4352 15.5438 20.2764 23.2434 15.7222 13.9368 14.4112 15.7403 19.0970 19.0032 20.0688 12.2466 10.4158 8.9755 18.0094 20.0112 23.2721 16.6458 24.6146 17.8078 16.5922 16.1385 12.3115 12.5674 18.9141 22.9315 13.3658 TEST OF MU = 18.000 VS MU not = 18.000 THE ASSUMED STANDARD DEVIATION = 4.00 N MEAN STDEV SE MEAN Z P VALUE 28 17.217 4.053 0.756 1.04 0.30 8.202 Usa una computadora y genera 50 muestras aleatorias, cada una de tamao n GHXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOL- dad normal con \ = 4. a. Calcula el correspondiente z+ para cada media muestral. b. En cuanto al mtodo del valor p, encuentra la proporcin de 50 valores z+ que son "ms extremos" que z = 1.04 TXHRFXUULHURQHQHOHMHUFLFLRH a : ). Explica qu representa esta proporcin. c. En cuanto al mtodo clsico, encuentra los valores crticos para una prueba de dos colas usando encuentra la proporcin de 50 valores z+ que estn en la regin crtica. Explica qu representa esta propor- cin. 8.203 Usa una computadora y genera 50 muestras aleatorias, cada una de tamao n GHXQDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOL- dad normal, con = 19 y = 4. a. Calcula el correspondiente z+ para cada media mues- tral que resultara cuando se pone a prueba la hiptesis nula b. En cuanto al mtodo del valor p, encuentra la proporcin de 50 valores z+ que son "ms extremos" que z TXHRFXUULHURQHQHOHMHUFLFLRH a : ). Explica qu representa esta proporcin. c. En cuanto al enfoque clsico, encuentra los valores crticos para una prueba de dos colas usando encuentra la proporcin de 50 valores z+ que estn en la regin crtica. Explica qu representa esta propor- cin. Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negritas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 8.1 Beta es la probabilidad de un error tipo I. 8.2 1 VHFRQRFHFRPRHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHXQD prueba de hiptesis. 8.3 El error estndar de la media es la desviacin estndar de la muestra seleccionada. 8.4 El error mximo de estimacin est controlado por tres factores: QLYHOGHFRQDQ]D, tamao de muestra y desviacin estndar. 8.5 Alfa es la medida del rea bajo la curva del valor es- tndar que yace en la UHJLyQGHUHFKD]R para H o . 8.6 El riesgo de cometer un error tipo I est directamente controlado en una prueba de hiptesis al establecer un nivel para . 8.7 Fracasar para rechazar la hiptesis nula cuando es fal- sa es una decisin correcta. 8.8 Si la regin no crtica en una prueba de hiptesis se hace ms ancha (si supones que y nSHUPDQHFHQ- jos), se vuelve ms grande. 8.9 Rechazar una hiptesis nula que es falsa es un error de tipo II. Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 410 Captulo 8 Introduccin a la inferencia estadstica 8.10 Para concluir que la media es mayor (o menor) que un YDORUDUPDGRHOYDORUGHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDGHEH estar en la regin de aceptacin. PARTE II: Aplicacin de los conceptos Responde todas las preguntas y muestra todas las frmulas, sustituciones y trabajo. 8.11 8QFOLHQWHLQVDWLVIHFKRGHODRFLQDSRVWDOHVWiIUXV- trado con el tiempo de espera para comprar estampi- llas. Al momento de registrar su queja, se le indica: "el tiempo de espera promedio en el pasado fue de aproxi- madamente 4 minutos, con una desviacin estndar de 2 minutos". El cliente recolecta una muestra de n = 45 clientes y descubre que el tiempo de espera media es GHPLQXWRV(QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 95% para el tiempo de espera medio. 8.12 Enuncia las hiptesis nula (H o ) y alternativa (H a ) que XVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDFDGDXQDGHHVWDVDUPD- ciones: a. El peso medio de los jugadores profesionales de ftbol es ms de 245 lb. b. La cantidad mensual media de lluvia en Monroe County es menos que 4.5 pulgadas. c. El peso medio de los bates de bisbol usados por los jugadores de las grandes ligas no es igual a 35 oz. 8.13 'HWHUPLQD HO QLYHO GH VLJQLFDQFLD HVWDGtVWLFR GH prueba, regin crtica y valor(es) crtico(s) que usaras para completar cada prueba de hiptesis con = 0.05: a. H o : = 43 b. H o : FH o : = 95 H o : < 43 H o : ! H o : (dado = 6) (dado = 0.13) (dado = 12) 8.14 Encuentra cada valor: a. z(0.05) b. z(0.01) c. z(0.12) 8.15 En el pasado, las toronjas cosechadas en un huerto particular tenan un dimetro medio de 5.50 pulgadas y una desviacin estndar de 0.6 pulgadas. El dueo cree que la cosecha de este ao es ms grande que en el pasado. Recolect una muestra aleatoria de 100 toron- jas y descubri un dimetro medio muestral de 5.65 pulgadas. a. Encuentra el valor del estadstico de prueba, z+, que corresponde a x = 5.65. b. Calcula el valor p para la hiptesis del dueo. 8.16 8QIDEULFDQWHDUPDTXHVXVOiPSDUDVWLHQHQXQDYLGD media de 1 520 horas, con una desviacin estndar de KRUDV6HVHOHFFLRQDXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHGH tales lmparas para ponerlas a prueba. Si la muestra SURGXFHXQYDORUPHGLRGHKRUDVH[LVWHVX- FLHQWHHYLGHQFLDSDUDDUPDUTXHODYLGDPHGLDHVPH- QRUTXHODVDUPDFLRQHVGHOIDEULFDQWH"8VD = 0.01. PARTE III: Comprender los conceptos 8.17 Las tiendas de conveniencia Sugar Creek comisio- naron a una compaa estadstica para encuestar a VXV FOLHQWHV FRQ ODQDOLGDGGH HVWLPDU OD FDQWLGDG media gastada por cliente. A partir de registros pre- vios, se cree que la desviacin estndar es = $5. En su propuesta a Sugar Creek, la compaa estadstica DUPDTXHSODQHDDSR\DUODHVWLPDFLyQSDUDODFDQWL- dad media gastada en una muestra de tamao 100 y XVDUHOQLYHOGHFRQDQ]D(OSUHVLGHQWHGH6X- gar Creek sugiere que el tamao de la muestra debe aumentarse a 400. Si nada ms cambia, qu efecto tendr este aumento en el tamao muestral sobre los siguientes? a. La estimacin puntual para la media. b. El error mximo de estimacin. F (OLQWHUYDORGHFRQDQ]D (O &(2 TXLHUH TXH HO QLYHO GH FRQDQ]D DXPHQWH D 99%. Si nada ms cambia, qu efecto tendr este cam- ELRHQHOQLYHOGHFRQDQ]DVREUHORVVLJXLHQWHV" a. La estimacin puntual para la media. b. El error mximo de estimacin. F (OLQWHUYDORGHFRQDQ]D 8.18 El nivel de ruido en un hospital puede ser un factor FUXFLDO TXH LQX\D HQ OD YHORFLGDG GH UHFXSHUDFLyQ de los pacientes. Supn, por cuestiones de la discu- sin, que una comisin de investigacin recomienda un nivel de ruido medio mximo de 30 decibeles (db), con una desviacin estndar de 10 db. El personal de un hospital tiene la intencin de muestrear uno de sus pabellones para determinar si el nivel de ruido es VLJQLFDWLYDPHQWHVXSHULRUDOQLYHOUHFRPHQGDGR6H completar la siguiente prueba de hiptesis: H o : IUHQWHDH a : > 30, = 0.05 D ,GHQWLFD OD LQWHUSUHWDFLyQ FRUUHFWDSDUD FDGDKL- SyWHVLVUHVSHFWRDODUHFRPHQGDFLyQ\MXVWLFDWX eleccin. H o 1LYHOGHUXLGRQRHVVLJQLFDWLYDPHQWHVX- perior que el nivel recomendado, o 2) el nivel GHUXLGRHVVLJQLFDWLYDPHQWHVXSHULRUDOQLYHO recomendado. www.fullengineeringbook.net 411 H a (OQLYHOGH UXLGRQRHV VLJQLFDWLYDPHQWH superior al nivel recomendado o 2) el nivel de UXLGR HV VLJQLFDWLYDPHQWH VXSHULRU DO QLYHO recomendado. b. Cul enunciado describe mejor el error tipo I? i) La decisin alcanzada fue que el nivel de ruido est dentro del nivel recomendado cuando, de hecho, realmente est adentro. ii) La decisin alcanzada fue que el nivel de ruido est dentro del nivel recomendado cuando, de hecho, realmente lo supera. iii) La decisin alcanzada fue que el nivel de ruido super el nivel recomendado cuando, de he- cho, en realidad est adentro. iv) La decisin alcanzada fue que el nivel de ruido est dentro del nivel recomendado cuando, de hecho, en realidad lo supera. c. Cul enunciado del inciso b describe mejor el error tipo II? d. Si FDPELDUDGHD LGHQWLFD\MXVWL- ca el efecto (aumento, disminucin o permanece igual) sobre P(error tipo I) y sobre P(error tipo II). 8.19 En ocasiones, la hiptesis alternativa se llama hipte- sis de investigacin. La conclusin es un enunciado escrito acerca de la hiptesis alternativa. Explica por qu son compatibles estos dos enunciados. Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 412 Captulo 00 Captulo ttulo 9 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) La distribucin t de Student se usa en inferencias en torno a la media cuando se desconoce la poblacin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito La proporcin muestral p' tiene una distribucin aproximadamente normal bajo ciertas condiciones 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar La distribucin ji cuadrada se emplea para poner a prueba la varianza o la desviacin estndar Inferencias que involucran una poblacin De piso a puerta Piensa en cunto tardas para estar listo en la maana; esto es: desde el momento en que tus pies tocan el piso, hasta que sales por la puerta, despus de baarte, acicalarte, desayunar y vestirte por completo. Algunos dirn que estn listos en tan poco como 5 minutos, pero, cuando se cronometra, es difcil hacer todo en menos de 15 minutos, e incluso en ese caso, slo si tu rutina est muy bien orquestada. He aqu una rutina matutina: levantarse a las 6:55, en la regadera hacia las 7:05, salir de la regadera a las 7:15, maquillarse y vestirse hacia las 7:30, empacar la mochila y tomar el desayuno a las 7:45, salir de casa a las 7:46 y en clase hacia las 8:00. Esto es un total de 51 minutos "de piso a puerta". Si te dieran la tarea de estimar el tiempo "de piso a puerta" para la mujer universitaria tpica, qu informacin necesitaras y cmo la usaras para determinar la estimacin? Las inferencias en torno a la media poblacional se basan en la media muestral x y en la informa- cin obtenida de la distribucin muestral de medias muestrales. Recuerda que la distribucin muestral de medias muestrales tiene una media y un error estndar de n para todas las muestras de tamao n y tiene distribucin normal cuando la poblacin muestreada tiene una distribucin normal o aproxima- damente normal cuando el tamao muestralHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH(VWRVLJQLFDTXHHOestadstico de prueba z+ = x tiene una distribucin normal estndar. Sin embargo, cuando se desconoce , el error estndar n tambin se desconoce. Por tanto, se usar la desviacin estndar muestral s como la estimacin puntual para . Como resultado, se usar un error estndar estimado de la media, s/ n y el estadstico de prueba se convertir en x . 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) Cortesa del autor Cortesa del autor n n www.fullengineeringbook.net 413 Cuando se usa una conocida para realizar una inferencia acerca de la media , una muestra proporciona un valor para usar en las frmulas; dicho valor es x. Cuando tambin se usa la desviacin estndar muestral s, la muestra proporciona dos valores: la media muestral x y el error estndar estimado s/ n . Como resultado, el estadstico z se sustituir con un estadstico que explica el uso de un error estndar estimado. Este nuevo estadstico se conoce como estadstico t de Student. En 1908, W.S. Gosset, un empleado de cervecera irlands, public un ensayo acerca de esta distribucin t bajo el seudnimo "Student". Para deducir la distribucin t, Gosset supuso que las muestras se tomaron de poblaciones normales. Aunque esto puede parecer restrictivo, se obtienen resultados satisfactorios cuando se seleccionan muestras grandes de muchas poblaciones no normales. /DJXUDSUHVHQWDXQDRUJDQL]DFLyQHVTXHPiWLFDSDUDODVLQIHUHQFLDVHQWRUQRDOD media poblacin que se estudian en el captulo 8 y en esta seccin del captulo 9. Existen dos situaciones: se conoce , o se desconoce . Como se dijo anteriormente, casi nunca es una cantidad conocida en problemas del mundo real; por tanto, el error estndar casi siempre se estimar mediante s/ n. El uso de un error estndar estimado de la media requie- re el uso de la distribucin t. Casi todas las inferencias del mundo real acerca de la media poblacional se realizarn con el estadstico t de Student. FIGURA 9.1 Uso el estadstico z o el estadstico t ? 1. Es n grande? Muestras tan pequeas como n = 15 o 20 pueden considerarse sufi cientemente grandes para que se sostenga el teorema del lmite central si los datos muestrales son unimodales, casi simtricos, de cola corta y sin valores extremos. Las muestras que no son simtricas requieren tamaos muestrales ms grandes, con 50 sufi cien- tes, excepto para muestras extremadamente sesgadas. Consulta la discusin de la pgina 347. 2. Requiere el uso de una tcnica no paramtrica; consulta el captulo 14. Inicio Inferencias concernientes a la media La pregunta clave Se conoce ? La poblacin muestreada tiene distribu- cin normal? Una situacin virtualmente no existente Usa normal estndar z. Usa las frmulas (8.1) y (8.4) del captulo 8. Usa x y . Es n grande?1 Es n grande?1 La poblacin muestreada tiene distribucin normal? Casi todos los problemas del mundo real Usa t de Student, gl = n 1. Usa las frmulas (9.1) y (9.2) de la seccin 9.1. Usa x y s . S No No No2 No2 No S S S S n n Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 414 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin SABAS QUE...? William Gosset ("Student") William Gosset estudi matemticas y qumica en la Universidad de Oxford y al graduarse ocup una plaza en la Cervecera Guinness, en Dubln, donde descubri una masa de datos re- colectados relacionados con el proceso cervece- ro. En 1905, se reuni con Karl Pearson para discutir sus problemas estadsticos y un ao despus, con la aproba- cin de Guinness, fue a trabajar al Laboratorio Biomtrico de Pearson. Al regresar a Guin- ness, se puso a cargo de su Cervecera Expe- rimental. Durante esos aos escribi muchos ensayos, que Guinness estuvo de acuerdo en publicar, siempre que usara un seudnimo y no incluyera datos de la compaa; por ende us el seudnimo "Student". PTI Explica el Applet Skillbuilder "Properties of t-distribution (Propie- dades de la distribu- cin t ) disponible en cengagebrain.com FIGURA 9.2 Distribuciones t de Student *No todas las propiedades se mantienen para gl = 1 y gl = 2. Dado que no encontrars una situacin donde gl = 1 o 2, estos casos especiales no se discuten ms. La distribucin tWLHQHODVVLJXLHQWHVSURSLHGDGHVFRQVXOWDWDPELpQODJXUD Propiedades de la distribucin t (gl > 2)* 1. t se distribuye con una media de cero. 2. t se distribuye simtricamente en torno a su media. 3. t se distribuye de modo que forma una familia de distribuciones, una distribu- cin separada para cada nmero diferente de grados de libertad (gl * 1). 4. La distribucin t se aproxima a la distribucin normal estndar conforme aumenta el nmero de grados de libertad. 5. t se distribuye con una varianza mayor que 1, pero, conforme los grados de libertad aumentan, la varianza tiende a 1. 6. t se distribuye de modo que es menos picuda en la media y ms gruesa en las colas que la distribucin normal. Grados de libertad, gl Un parmetro que identifica cada diferente distribucin de la distribucin t de Student. Para los mtodos presentados en este captulo, el valor de gl ser el tamao muestral menos 1: gl = n 1. El nmero de grados de libertad asociados con s2 es el divisor (nXVDGRSDUDFDOFX- lar la varianza muestral s2 [frmula 2.5, p. 75]: esto es, gl = n 1. La varianza muestral es la media de las desviaciones al cuadrado. El nmero de grados de libertad es el "nmero de desviaciones no relacionadas" disponibles para usar en la estimacin de m2. Recuerda que la suma de las desviaciones, (x x), debe ser cero. A partir de una muestra de tamao n, slo las primeras n 1 de tales desviaciones tienen libertad de valor. Esto es: el ltimo, o n-simo, valor de (x x) debe hacer la suma de las n desviaciones totales exactamente cero. Como resultado, se dice que la varianza promedia n 1 valores de desviacin al cuadrado no relacionados y a este nmero, n 1, se le nombr "grados de libertad". Aunque hay una distribucin t separada por cada grado de libertad, gl = 1, gl = 2, ..., gl = 20, ..., gl = 40, etc., slo ciertos valores crticos de t clave se necesitarn para el trabajo. En consecuencia, la tabla para la distribucin tGH6WXGHQWWDEODGHODSpQGLFH%HVXQD tabla de valores crticos en lugar de una tabla completa, como la tabla 3 lo es para la distri- bucin normal estndar para z. Conforme observas la tabla 6, notars que el lado izquierdo GHODWDEODVHLGHQWLFDPHGLDQWHGIJOJUDGRVGHOLEHUWDG(VWDFROXPQDGHODL]TXLHUGD comienza en 3 en la parte superior y menciona valores gl consecutivos hasta 30, despus salta a 35, ..., a "gl > 100" en la parte inferior. Como se dijo anteriormente, conforme los grados de libertad aumentan, la distribucin t se aproxima a las caractersticas de la distri- Distribucin normal t de Student, gl = 10 t de Student, gl = 3 www.fullengineeringbook.net 415 0 t t (df, 0.95) or t (df, 0.05) t (df, 0.05) 0.05 0.90 0.05 0.05 0.95 0.05 bucin z normal estndar. Una vez que el gl es "mayor que 100", los valores crticos de la distribucin t son los mismos que los correspondientes valores crticos de la distribucin normal estndar como se proporciona en la tabla 4A del apndice B. Uso de la tabla de distribucin t (tabla 6, apndice B) Los valores crticos de la distribucin t de Student que se usarn tanto para construir un LQWHUYDORGHFRQDQ]DFRPRSDUD ODSUXHEDGHKLSyWHVLV VHREWHQGUiQGH OD WDEODGHO apndice B. Para encontrar en valor de tQHFHVLWDUiVFRQRFHUGRVYDORUHVGHLGHQWLFDFLyQ JOHOQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDGTXHLGHQWLFDQODGLVWULEXFLyQGHLQWHUpV\, el rea bajo la curva a la derecha del valor crtico a la derecha. Una notacin muy parecida a la usada con zVHXWLOL]DUiSDUDLGHQWLFDUXQYDORUFUtWLFRt(gl, , lee "t de gl, ", es el sm- bolo para el valor de t con gl grados de libertad y una rea de en la cola derecha, como VHPXHVWUDHQODJXUD Para los valores de t a la izquierda de la media, puedes usar una de dos notaciones. El valor tTXHVHPXHVWUDHQODJXUDSRGUtDOODPDUVHt JO, porque el rea a la derecha GHpOHVRSRGUtDLGHQWLFDUVHFRPRt JO, porque la distribucin t es simtrica en torno a su media, cero. FIGURA 9.3 Distribucin t que muestra t (gl,) FIGURA 9.4 Valor t del lado izquierdo E J E M P L O 9 . 1 t A LA DERECHA DE LA MEDIA Encuentra el valor de t (10,0.05) (observa el diagrama). Solucin Existen 10 grados de libertad y 0.05 es el rea a la derecha del valor crtico. En la tabla 6 del apndice B se observa la fila gl = 10 y la columna marcada "rea en una cola", = 0.05. En su interseccin, puedes ver que t (10, 0.05) = 1.81. .. Parte de la tabla 6 rea en una cola gl . . . 0.05 . . . 10 1.81 t (10, 0.05) = 1.81 gl t t t gl gl Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) t 0 t(df, ) gl t t 0.05 t (10, 0.05) 0 t t t 0.05 t (10, 0.05) 0 1.81 www.fullengineeringbook.net 416 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Observa otro ejemplo que conecta la distribucin t con percentiles. E J E M P L O 9 . 2 E J E M P L O 9 . 3 t A LA IZQUIERDA DE LA MEDIA Encuentra el valor de t (15, 0.95). Solucin Hay 15 grados de libertad. En la tabla 6 busca la columna marcada = 0.05 (una cola) y su interseccin con la fila gl = 15. La tabla proporciona t (15, 0.95) = 1.75; por tanto, t (15, 0.95) = t (15, 0.05) = 1.75. El valor es negativo porque est a la izquierda de la media, cero; observa la figura. VALORES t QUE ACOTAN UN PORCENTAJE MEDIO Encuentra los valores de la distribucin t que acotan el 0.90 medio del rea bajo la curva para la distribucin con gl = 17. Solucin El 0.90 medio deja 0.05 para el rea de cada cola. El valor de t que acota la cola derecha es t (17, 0.05) = 1.74, como se encontr en la tabla 6. El valor que acota la cola izquierda es 1.74, porque la distribucin t es simtrica en torno a su media, cero. Si el gl necesario no se menciona en la columna izquierda de la tabla 6, entonces usa el siguiente valor ms pequeo que se menciona. Por ejemplo, t se estima usando t = 1.67. La mayora de los paquetes de software para computadora o calculadoras estadsticas calcularn el rea relacionada con un valor tHVSHFtFR/DJXUDDODL]TXLHUGDPXHVWUD la relacin entre la probabilidad acumulada y un valor tHVSHFtFRSDUDXQDGLVWULEXFLyQt con gl grados de libertad. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com es simtrica a probabilidad acumulada t t (15, 0.95) 0 0.95 t t (15, 0.05) 0 0.05 1.75 1.75 t t 0 t (17, 0.05) 1.74 t 0.05 t (17, 0.05) 1.74 0.05 0.90 t t www.fullengineeringbook.net 417 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Probabilidad acumulada para un valor especfico de t: Elige: Calc > Probability Distribution > t Selecciona: Cumulative Probability Parmetro de no centralidad: 0.0 Escribe: Grados de libertad: df Selecciona: Input constant* Escribe: t-value (ex. 1.74) > OK *Selecciona la columna Input si varios valores t se almacenan en C1. Usa C2 para almacenamiento opcional. Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. Probabilidad en una o dos colas para un valor dado de t: Si usaras varios valores t (no negativos), ingresa los valores en la columna A y activa B1; despus contina con: Elige: Insert function fx > Statistical > TDIST > OK Escribe: X: individual t-value o (A1:A5 o selecciona celdas "t-value")* Grados libertad: df Colas: 1 o 2 (distribuciones de una o dos colas) > OK Arrastra*: Esquina inferior derecha de la celda B1 hacia abajo para obtener otras probabilidades *Para encontrar la probabilidad dentro de las dos colas o la probabilidad acumulada para una cola, resta la probabilidad calculada de 1. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R O B A B I L I D A D A S O C I A D A C O N U N V A L O R E S P E C F I C O D E t Probabilidad acumulada para un valor especfico de t: Elige: 2nd > DISTR > 5:tcdf( Escribe: 1EE99, t-value, df) Para encontrar la probabilidad entre dos valores t, escribe los dos valores en lugar de 1EE99 y valor t. Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. Procedimiento de intervalo de confianza Ahora ests listo para hacer inferencias acerca de la media poblacional usando la desvia- cin estndar muestral. Como se mencion anteriormente, el uso de la distribucin t tiene una condicin. La suposicin para inferencias acerca de la media cuando se desconoce La poblacin muestreada tiene distribucin normal. (OSURFHGLPLHQWRSDUDKDFHULQWHUYDORVGHFRQDQ]DFRQODGHVYLDFLyQHVWiQGDUPXHVWUDO es muy similar al utilizado cuando se conoce FRQVXOWDODVSS/DGLIHUHQFLDHV el uso de la t de Student en lugar de la z normal estndar y el uso de s, la desviacin estn- dar muestral, como estimacin de (OWHRUHPDGHOOtPLWHFHQWUDO7/&LPSOLFDTXHHVWD tcnica tambin se puede aplicar a poblaciones no normales cuando el tamao de la muestra HVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 418 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Intervalo de confianza para media x t (gl, /2) s a x + t (gl, /2) s , con gl = n 1 (OHMHPSORLOXVWUDUiODIRUPDFLyQGHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DXWLOL]DQGRODGLVWUL- bucin t. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com E J E M P L O 9 . 4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA CON DESCONOCIDA Se toma una muestra aleatoria de 20 pesos de bebs nacidos en Northside Hospital. Para la muestra se encontraron una media de 6.87 lb y una desvia- cin estndar de 1.76 lb. Estima, con 95% de confianza, el peso medio de todos los bebs nacidos en este hospital. Con base en informacin pasada, se supone que los pesos de los recin nacidos tienen distribucin normal. Solucin Paso 1 La preparacin: Describe el parmetro poblacional de inters. , el peso medio de los recin nacidos en Northside Hospital. Paso 2 Criterios del intervalo de confianza: a. Verifica las suposiciones. Informacin pasada indica que la poblacin muestreada es normal. b. Identifica la distribucin de probabilidad y la frmula a usar. Se desconoce el valor de la desviacin estndar poblacional, . Se usar la distribucin t de Student con la frmula (9.1). c. Establece el nivel de confianza: 1 = 0.95. Paso 3 La evidencia muestral: Recolecta la informacin muestral: n = 20, x = 6.87 y s = 1.76. Paso 4 El intervalo de confianza: a. Determina los coeficientes de confianza. Dado que 1 = 0.95, = 0.05 y por tanto /2 = 0.025. Adems, puesto que n = 20, gl = 19. En la interseccin de la fila gl = 19 y la columna de una cola = 0.025 de la tabla 6, se encuentra t (gl, /2) = t (19, 0.025) = 2.09. Consulta la figura. La informacin acerca del coeficiente de confianza y el uso de la tabla 6 est en las pginas 415-416. b. Encuentra el error mximo de estimacin. E = t(df, /2) s : E = t (19, 0.025) s = 20.9 1.76 = (2.09)(0.394) = 0.82 c. Encuentra los lmites de confianza inferior y superior. PTI El procedimiento en cinco pasos para el intervalo de confianza se proporcion en la pgina 348. PTI Recuerda que los intervalos de confianza son situaciones de dos colas. PTI gl se usa para en- contrar el coeficiente de confianza en la tabla 6; n se usa en la frmula. (9.1) n n 20 n n 0 2.09 t 0.025 0.95 0.025 1 2 2 t www.fullengineeringbook.net 419 La solucin MINITAB al ejemplo 9.4 se parece a esto: One-Sample T: C1 Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI C1 20 6.870 1.760 0.394 (6.047, 7.693) TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t Escribe: Muestras en columnas: C1 Selecciona: Options Escribe: Nivel de confianza: 1 (ej. 95.0) Selecciona: Alternativa: not equal > OK > OK Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > t-Estimate: Mean > OK Escribe: Rango entrada: (A1:A20 o selecciona celdas) Escribe: Alfa: (ej. 0.05) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : I N T E R V A L O D E C O N F I A N Z A 1 P A R A M E D I A C O N D E S C O N O C I D A Escribe los datos en L1; despus contina con lo siguiente y escribe los valores adecuados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > 8:TInterval x E a x + E 6.87 0.82 a 6.87 + 0.82 6.05 a 7.69 Paso 5 Los resultados: Establece el intervalo de confi anza. 6.05 a 7.69 es el intervalo de confi anza de 95% para . Esto es: con 95% de confi anza se estima que el peso medio de los bebs nacidos en el North- side Hospital est entre 6.05 y 7.69 lb. Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 420 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Procedimiento de prueba de hiptesis El estadstico t se usa para completar una prueba de hiptesis acerca de la media poblacio- nal en forma muy parecida a como se us z en el captulo 8. En situaciones de prueba de KLSyWHVLVXVDODIyUPXODSDUDFDOFXODUHOYDORUGHOestadstico de prueba t+: Estadstico de prueba para media t + = x con gl = n 1 La t calculada es el nmero de errores estndar estimados que x est de la media hipottica &RPRFRQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DHO7/&LQGLFDTXHODGLVWULEXFLyQt tambin puede aplicarse a poblaciones no normales cuando el tamao de la muestra es VXFLHQWHPHQWHJUDQGH E J E M P L O 9 . 5 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA CON DESCONOCIDA Ahora regresa a la hiptesis del ejemplo 8.13 (p. 372), donde la Agencia de Proteccin Ambiental (EPA) quiere demostrar que el nivel medio de monxido de carbono es mayor a 4.9 partes por milln. Una muestra aleatoria de 22 lecturas (resultados muestrales: x = 5.1 y s = 1.17) presentan suficiente evi- dencia para apoyar la afirmacin de la EPA? Usa = 0.05. Estudios previos indican que tales lecturas tienen una distribucin aproximadamente normal. Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. , el nivel medio de monxido de carbono en el aire en el centro de Rochester. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: = 4.9 ()) (no mayor que) Ha: > 4.9 (mayor que) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Las suposiciones se satisfacen porque la poblacin muestreada es aproximadamente normal y el tamao de la muestra es suficientemen- te grande para aplicar el TLC (consulta la p. 413). b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Se desconoce ; por tanto, se usar la distribucin t con gl = n 1 = 21 y el estadstico de prueba es t+, frmula (9.2). c. Determina el nivel de significancia: = 0.05. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 22. x = 5.1 y s = 1.17. PTI El procedimiento en cinco pasos para prue- ba de hiptesis con valor p se proporcion en la pgina 371. PTI Los procedimientos para escribir Ho y Ha se estudiaron en las pgi- nas 371-373. (9.2) s/ n www.fullengineeringbook.net 421 Cmo calcular el valor p cuando se usa la distribucin t Mtodo 1. Usa la tabla 6 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p. Al inspec- FLRQDUODODJO GHODWDEODSXHGHVGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHQWURGHOFXDO\DFHHO valor p. Ubica t+DORODUJRGHODODHWLTXHWDGDJO 6Lt+ no se menciona, localiza los dos valores de tabla entre los que caiga y lee las cotas para el valor p de la parte superior de la tabla. En este caso, t+ = 0.80 est entre 0.686 y 1.32; por tanto, P est entre 0.10 y 0.25. Usa el encabezado de una cola, pues H a es de una cola en esta ilustracin. (Usa el encabezado de dos colas cuando H a WHQJDGRVFRODV b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.2): t+ = x : t+ = 5.1 4.9 = 0.20 = 0.8018 = 0.80 s/ n 1.17/ 22 0.2494 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Usa la cola derecha porque H a expresa preocu- pacin por los valores relacionados con "mayor que". P = P(t+ ! FRQ JO FRPR VH PXHVWUDHQODJXUD Para encontrar el valor p, usa uno de tres mtodos: 1. Usa la tabla 6 del apndice B para colocar co- tas sobre el valor p: 0.10 < P < 0.25. 2. Usa la tabla 7 del apndice B para leer el va- lor directamente: P = 0.216. 3. Usa una computadora o calculadora para cal- cular el valor p: P = 0.2163. 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWHHMHPSOR b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor p no es menor que HOQLYHOGHVLJQL- cancia. Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica es la cola derecha, porque H a expresa preocupacin por los valores relacio- nados con "mayor que". El valor crtico se en- FXHQWUDHQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \OD columna 0.05 de una cola de la tabla 6: t = 1.72. En las pginas 415-417 se proporcionan ins- WUXFFLRQHVHVSHFtFDV b. Determina si el estadstico de prueba est o no en la regin crtica. t+ no est en la regin crtica, como se muestra en azul oscuroHQODJXUDDQWHULRU Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Fracaso para rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. En el nivel de significancia 0.05, la EPA no tiene suficiente evidencia para demostrar que el nivel medio de monxido de carbono es mayor que 4.9. Valor p o Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) 0 0.80 t 0.80 0 1.72 0.05 t "mayor que" www.fullengineeringbook.net 422 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 1.32 0.25 0.10 0 0.686 . . . . . . . . . t 0 1.32 t 0 * t 0 0.686 21 0.686 1.32 0.25 0.10 P 0.80 0.80 0.80 0.10 0.25 0.10 < P < 0.25 t /DHQWUDGDHQODWDEODPDQLHVWDTXHP(t! FRPRVHPXHVWUDHQ D]XORVFXURHQODJXUD/DHQWUDGDGHODWDEODPDQLHVWDTXHP(t! FRPR se muestra en azul claro. Puedes ver que el valor p PTXHVHPXHVWUDHQD]XOPHGLRHVWi entre 0.10 y 0.25. Por tanto, 0.10 < P < 0.25 y se dice que 0.10 y 0.25 son las "cotas" para el valor p. Mtodo 2. Usa la tabla 7 del apndice B para leer el valor p o "colocar cotas" sobre el valor p. La tabla 7 est diseada para producir valores p dados valores t+ y gl o producir cotas sobre P que sean ms estrechas que los producidos por la tabla 6. En el ejemplo anterior, t+ \JO 5HVXOWDTXHHVWRVVRQHQFDEH]DGRVGHOD y columna, de modo que el valor p puede leerse directamente de la tabla. Ubica el valor p HQODLQWHUVHFFLyQGHODODt+= 0.80 y la columna gl = 21. El valor p para t+= 0.80 con gl = 21 es 0.216. Para ilustrar cmo colocar cotas sobre el valor p cuando t+ y gl no son los valores de encabezado, considera la situacin donde t+ = 2.43 con gl = 16. El t+ = 2.43 est entre las ODVt = 2.4 y t = 2.5, mientras que gl = 16 est entre las columnas gl = 15 y gl = 18. Estas GRVODV\GRVFROXPQDVLQWHUVHFDQXQWRWDOGHFXDWURYHFHVDVDEHUHQ\HQOD ODt+ \HQ\HQODODt+ = 2.5. El valor p que buscas est acotado por HOPiVSHTXHxR\HOPiVJUDQGHGHHVWRVFXDWURYDORUHVDVDEHULQIHULRUGHUHFKD \VXSHULRUL]TXLHUGD3RUWDQWRODVFRWDVSDUDHOYDORUp son 0.011 < P < 0.015. Mtodo 3. Si haces la prueba de hiptesis con la ayuda de una computadora o calcu- ladora, muy probablemente calcular el valor p por ti o puedes usar los comandos de dis- tribucin de probabilidad acumulada que se describen en la pgina 417. Observa una situacin de prueba de hiptesis de dos colas. Cmo encontrar P = P (t + > 0.80, con gl = 21) Porcin de la tabla 6 PTI Necesitars usar solamente uno de los tres mtodos. El mtodo estar determinado por tu profesor: tabla de preferencia, calculado- ra o computadora. Son equivalentes. Valor p Valor p gl rea de una cola Parte de la tabla 7 t+ gl . . . 21 10 0.216 Parte de la tabla 7 t+ gl . . . 15 16 18 2.4 0.015 0.014 2.43 P 2.5 0.012 0.011 ... ... P = P (t + < 0.80, con gl = 21) = 0.216 P = P (t + > 2.43, con gl = 16) 0.011 < P < 0.015 www.fullengineeringbook.net 423 E J E M P L O 9 . 6 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA CON DESCONOCIDA En un popular test de autoimagen que resulta en calificaciones con distribucin normal, la calificacin media para receptores de asistencia pblica se espera que sea 65. A una muestra aleatoria de 28 receptores de asistencia pblica en el condado Emerson se les aplica el test. Logran una calificacin media de 62.1 y sus calificaciones tienen una desviacin estndar de 5.83. Los receptores de asistencia pblica del condado Emerson califican diferente, en promedio, de lo que se espera en el nivel de significancia 0.02? Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. , la calificacin media del test de autoimagen para todos los recepto- res de asistencia pblica en el condado Emerson. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: = 65 (media es 65) Ha: & 65 (media no es 65) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Se espera que el test produzca calificaciones con distribucin normal; por tanto, la suposicin se satisface; es desconocida. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el test estadstico a usar. La distribucin t con gl = n 1 = 27 y el test estadstico es t +, frmula (9.2). c. Determina el nivel de significancia: = 0.02 (dado en el enunciado del problema). Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 28, x = 62.1 y s = 5.83. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.2): t + = x : t + = 62.1 65.0 = 2.9 = 2.632 = 2.63 s/ n 5.83/ 28 1.1018 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Usa ambas colas porque H a expresa preocupa- cin por valores relacionados con "diferente de". P = P(tP(t! P(t!FRQ JO FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD o Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica es ambas colas, porque H a ex- presa preocupacin por valores relacionados con "diferente de". El valor crtico se encuentra en la Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 424 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Cmo calcular el valor p cuando se usa la distribucin t Mtodo 1.8VDODWDEODHQFXHQWUDHQWUHGRVHQWUDGDVHQODODJO \OHHODV cotas para P del encabezado de dos colas en la parte superior de la tabla: 0.01 < P < 0.02 Mtodo 2. Por lo general, las cotas que se encuentran con la tabla 7 sern ms estrechas que las cotas que se encuentran con la tabla 6. La siguiente tabla te muestra cmo leer las cotas de la tabla 7; encuentra t+ HQWUHGRVODV\JO HQWUHGRVFROXPQDV\ORFD- OL]DODVFXDWURLQWHUVHFFLRQHVGHGLFKDVFROXPQDV\ODV(OYDORUGHP se acota mediante la superior izquierda y la inferior derecha de dichas entradas de tabla. Mtodo 3. Si haces la prueba de hiptesis con la ayuda de una computadora o calcula- dora, muy probablemente ella calcular el valor pSRUWLQRORGXSOLTXHV2SXHGHVXVDU los comandos de distribucin de probabilidad acumulada descritos en la pgina 417. Para encontrar el valor p, usa uno de tres mtodos: 1. Usa la tabla 6 del apndice B para colocar co- tas sobre el valor p: 0.01 < P < 0.02. 2. Usa la tabla 7 del apndice B para colocar co- tas sobre el valor p: 0.012 < P < 0.016. 3. Usa una computadora o calculadora para cal- cular el valor p: P = 0.0140. b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD . LQWHUVHFFLyQGHODOD\ODFROXPQDGHXQD cola de la tabla 6: t b. Determina si el estadstico de prueba est o no en la regin crtica. t+ est en la regin crtica, como se muestra en azul oscuroHQODJXUDSUHFHGHQWH Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. En el nivel de significancia 0.02, se tiene suficiente evidencia para con- cluir que los receptores de asistencia del condado Emerson califican significativamente diferente, en promedio, del 65 esperado. el otro Porcin de la tabla 7 Grados de libertad t+ 25 27 29 2.6 0.008 0.007 2.63 1/2 P 2.7 0.006 0.006 ... ... P = 2P(t + > 2.63, con gl = 27) 0.006 < 1/2P < 0.008 0.012 < P < 0.016 1 2 0 2.63 2.63 P t 1 2 1 2 P 0 2.47 2.47 0.01 2.63 0.01 t www.fullengineeringbook.net 425 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > 1-Sample t Escribe: Muestras en columnas: C1 Selecciona: Perform hypothesis test Escribe: Media hipotetizada: Selecciona: Options Selecciona: Alternative: less than o not equal o greater than > OK > OK Escribe los datos en la columna A; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > t-Test: Mean > OK Escribe: Rango entrada: (A1:A20 o selecciona celdas) Media hipotetizada: Alfa: (ej. 0.05) > OK Proporciona valores p y valores crticos para pruebas de una y dos colas. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A M E D I A C U A N D O S E D E S C O N O C E Escribe los datos en L1; despus contina con lo siguiente y escribe los valores apropiados y resal- ta Calculate: Elige: STAT > TESTS > 2:T-Test E J E M P L O A P L I C A D O 9 . 7 PTI Compara los resul- tados MINITAB con la solucin que encontras- te en el ejemplo 9.6. He aqu la solucin MINITAB al ejemplo 9.6: One-Sample T: C1 Test of mu = 65 vs not = 65 Variable N Mean StDev SE Mean T P C1 28 62.1 5.83 1.102 2.63 0.0140 EVALUACIN DE CONOCIMIENTO DE LGEBRA En el caso que se analiza en la pgina siguiente se presentan el valor F y el valor de probabilidad calculado para cinco pruebas de hiptesis diferentes. La expresin t (44) = 1.92 signifi ca t + = 1.92 con gl = 44 y es signifi cativo con valor p < 0.05. Puede comprobar los valores p? Explique. Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 426 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin E J E R C I C I O S S E C C I N 9 . 1 9.1 [EX09-001] A cada una de 81 estudiantes universitarias estadounidenses, que formaron parte de una muestra aleato- ria, se le entreg un cronmetro y se le pidi cronometrarse personalmente mientras se preparaban para asistir a clases el siguiente martes en la maana. Las instrucciones fueron iniciar el cronmetro tan pronto como tocaban el piso al levantarse y apagarlo cuando pasaran a travs de la puerta de su vivienda en su camino a clases. x = tiempo "piso a puerta" redondeado al minuto ms cercano. 3 4 12 9 12 23 25 25 26 14 17 14 13 17 18 30 28 37 19 18 20 22 38 38 42 38 41 26 23 29 32 23 25 31 29 35 33 37 33 41 42 42 40 46 46 46 46 45 43 44 46 50 48 51 54 55 53 56 53 62 60 59 62 62 60 58 58 16 63 73 71 70 73 78 91 89 98 83 79 75 76 a. Cul es la poblacin de inters? b. Dibuja un histograma de la variable "piso a puerta" usando mltiplos de 10 para puntos medios de clase. Describe la distribucin. Parece ser aproximadamente normal? Explica. c. Vuelve a dibujar el histograma usando mltiplos de 5 para puntos medios de clase. Describe los patrones visi- bles que muestre este segundo histograma y que no fue- ron visibles en el primero. Explica qu causa este extrao patrn. d. Diras que el histograma sugiere que la variable, canti- dad de tiempo, tiene una distribucin aproximadamente normal? Qu evidencia puedes encontrar para apoyar tu respuesta? 9.2 Considera los datos muestrales del ejercicio 9.1. a. Encuentra la media y la desviacin estndar para el tiem- po "piso a puerta". b. Cmo estimaras la media del tiempo "piso a puerta" para todas las estudiantes universitarias? 9.3 Elabora una lista de cuatro nmeros que totalicen "cero". Cuntos nmeros pudiste elegir sin restriccin? Explica cmo esto demuestra los grados de libertad. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPEstudio de caso Examen de lgebra Se aplic un examen general de lgebra a un grupo de nivel secundaria (n = 46, 16 mujeres, 30 hombres), los resultados del examen fueron: 1. Los alumnos no manejan adecuadamente las leyes de los exponen- tes t (44) = 1.81, p < .10. 2. Los alumnos manejan adecuadamente las reglas de los signos, t (44) = 1.92, p < .05. 3. Los alumnos saben resolver adecuadamente una ecuacin lineal, t (44) = 2.0, p < 0,06. 4. Los alumnos saben resolver adecuadamente una ecuacin de se- gundo grado, t (44) = 3.41, p < .001. 5. Los alumnos saben traducir adecuadamente del lenguaje verbal al simblico, t (44) = 3.71, p < .001. www.fullengineeringbook.net 427 9.4 Explica la relacin entre los valores crticos que encon- WUDVWHHQODODLQIHULRUGHODWDEOD\ORVYDORUHVFUtWLFRVGHz dados en la tabla 4A. 9.5 Encuentra: a. t b. t c. t d. t 9.6 Encuentra estos valores crticos con la tabla 6 del apn- dice B: a. t b. t c. t d. t 9.7 Encuentra: a. t b. t c. t d. t 9.8 Encuentra estos valores crticos con la tabla 6 del apn- dice B: a. t E t c. t G t 9.9 Con la notacin del ejercicio 9.8, menciona y encuentra los siguientes valores crticos de t: 9.10 Con la notacin del ejercicio 9.8, menciona y encuentra los siguientes valores crticos de t: 9.11 Encuentra los valores de t que acotan el 0.95 medio de la distribucin para gl = 12. 9.12 Encuentra los valores de t que acotan el 0.80 medio de la distribucin para gl = 26. 9.13 a. Encuentra el primer percentil de la distribucin t de Student con 24 grados de libertad. b. Encuentra el percentil 95 de la distribucin t de Student con 24 grados de libertad. c. Encuentra el primer cuartil de la distribucin t de Student con 24 grados de libertad. 9.14 Encuentra el porcentaje de la distribucin t de Student que se encuentra entre los siguientes valores: a. gl = 12 y rangos t de 1.36 a 2.68 b. gl = 15 y rangos t de 1.75 a 2.95 9.15 Noventa por ciento de la distribucin t de Student se en- cuentra entre t = 1.89 y t = 1.89, para cuntos grados de libertad? 9.16 Noventa por ciento de la distribucin t de Student se encuentra a la derecha de t = 1.37, para cuntos grados de libertad? 9.17 Usa una computadora o calculadora para encontrar el rea a la derecha de t = 2.12, con gl = 18. Dibuja un bosquejo que muestre la pregunta con la respuesta. 9.18 Usa una computadora o calculadora para encontrar el rea a la derecha de t = 1.12, con gl = 15. Dibuja un bosquejo que muestre la pregunta con la respuesta. 9.19 a. Enuncia dos formas en las que se parecen la dis- tribucin normal estndar y la distribucin t de Student. b. Enuncia dos formas en las que son diferentes. 9.20 La varianza para cada distribucin t de Student es igual DJOJO(QFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDXQDGLVWUL- bucin t de Student con cada uno de los siguientes grados de libertad: a. 10 b. 20 c. 30 En resumen: G ([SOLFDFyPRHVWRYHULFDODSURSLHGDGGHODVGLVWULEX- ciones t mencionados en la pgina 414. 9.21 &RQVWUX\H XQD HVWLPDFLyQ GHO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D de 95% para la media con la informacin muestral n = 24, x = 16.7 y s = 2.6. 9.22 &RQVWUX\H XQD HVWLPDFLyQ GHO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D de 90% para la media con la informacin muestral n = 53, x = 87.2 y s = 11.9. 9.23 /D 1DWLRQDO +LJKZD\ 7UDIF 6DIHW\ $GPLQLVWUDWLRQ descubri que el tiempo de respuesta, SME, promedio esta- GRXQLGHQVHGHVGHODQRWLFDFLyQDORV60(KDVWDHODUULERD la escena del choque en reas urbanas, era de 6.85 minutos. Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) = 0.05 n = 20 a. t = 0.05 n = 4 b. t t = 0.01 n = 19 c. t = 0.10 n = 18 d. t n = 12 = 0.02 a. t n = 8 = 0.10 b. t t n = 6 = 0.05 c. t n = 12 = 0.02 d. t t www.fullengineeringbook.net 428 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Una muestra aleatoria de 20 accidentes mortales reportados HQ'DNRWDGHO6XUWXYRXQDPHGLDGHQRWLFDFLyQDWLHPSRGH arribo de 5.25 minutos, con una desviacin estndar de 2.78 PLQXWRV(QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD YHUGDGHUDPHGLDQRWLFDFLyQWLHPSRGHDUULERHQ'DNRWDGHO Sur, si se considera que los tiempos de respuesta son casi si- mtricos. 9.24 Con base en una encuesta de 1 000 adultos realizada por *UHHQHOG2QOLQH\ UHSRUWDGDHQPD\RGHHQHOUSA Today Sanpshot, los adultos de 24 aos de edad y menos gas- tan un promedio semanal de 35 dlares en comida rpida. Si 200 de los 1 000 adultos entrevistados que estuvieron en la categora de 24 aos de edad y menos proporcionaron una desviacin estndar de 14.50 dlares, construye un intervalo GHFRQDQ]DGHSDUDHOJDVWRSURPHGLRVHPDQDOHQFR- mida rpida para adultos de 24 aos de edad y menos. Supn que los gastos semanales en comida rpida tienen distribucin normal. 9.25 El destornillador cuadrado Robertson se invent en 1908, pero gan popularidad con los madereros estadouni- denses y artesanos domsticos slo durante los ltimos 10 aos. Las ventajas de los destornilladores cuadrados sobre los convencionales de hecho es notable: la mayora son no- tablemente ms resistentes, tienen mayor poder de sujecin y reducida resistencia al atornillar y "zafarse". Los resul- tados de las pruebas de resistencia publicados en el cat- logo 2005 de McFeely revelaron que los tornillos de acero y cabeza plana del nm. 8 para el destornillador cuadrado Robertson fallan slo despus de que se aplica un promedio de 46 pulgada-libras de momento de torsin, una resistencia casi 50% mayor que la de los tornillos de madera de cabeza Phillips o ranurados. Fuente: McFeely's Square Drive Screws, 2005 Supn que un laboratorio de pruebas independiente seleccio- na al azar 22 tornillos de acero y cabeza plana para destorni- llador cuadrado de una caja de 1 000 tornillos y obtiene una media del momento de torsin de falla de 45.2 pulgada-libras y una desviacin estndar de 5.1 pulgada-libras. Estima, con FRQDQ]DGHODPHGLDGHOPRPHQWRGHWRUVLyQGHIDOOD de los tornillos de madera nm. 8 con base en el estudio del ODERUDWRULRLQGHSHQGLHQWH(VSHFLFDHOSDUiPHWURSREODFLR- nal de inters, los criterios, la evidencia muestral y los lmites del intervalo. 9.26 Mientras escriba un artculo acerca de los altos costos de la educacin universitaria, un reportero tom una muestra aleatoria del costo de los libros de texto nuevos para un semes- tre. La variable aleatoria x es el costo de un libro. Sus datos muestrales pueden resumirse mediante n = 41, x = 3582.17 y (x x2 = 9960.336. a. Encuentra la media muestral, x. b. Encuentra la desviacin estndar muestral, s. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHVWLPDU la verdadera media del costo de libro de texto para el semestre con base en esta muestra. 9.27 [EX09-027] Las tasas de pulso para 13 mujeres adultas fueron los siguientes: 83 58 70 56 76 64 80 76 70 97 68 78 108 9HULFDORVUHVXOWDGRVTXHVHPXHVWUDQHQOD~OWLPDOtQHDGHOD salida MINITAB: MTV > TINTERVAL 90 PERCENT CONFIDENCE INTERVAL FOR DATA IN C1 N MEAN STDEV SE MEAN 90% CI C1 13 75.69 14.54 4.03 (68.50, 82.88) 9.28 Con la salida de computadora del ejercicio 9.27, determi- na el valor para cada uno de los siguientes: a. Estimacin puntual E &RHFLHQWHGHFRQDQ]D c. Error estndar de la media d. Error mximo de estimacin, E H /tPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU I /tPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU 9.29 [EX02-177] 6HDUPDTXHODDGLFLyQGHXQQXHYRDFHOH- rador disminuye el tiempo de secado de la pintura ltex en ms de 4%. Se realizan varias muestras de prueba con las siguien- tes reducciones porcentuales en tiempo de secado. 5.2 6.4 3.8 6.3 4.1 2.8 3.2 4.7 Supn que la reduccin porcentual en el tiempo de secado tie- ne una distribucin normal. D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODYHUGD- dera media de reduccin en el tiempo de secado con base en esta muestra. (La media muestral y la desviacin estn- GDUVHHQFRQWUDURQDOUHVSRQGHUHOHMHUFLFLRS b. La estimacin del intervalo a la que llegaste en el inciso a resulta en la misma conclusin que expresaste al responder el inciso c del ejercicio 2.177 para estos mismos datos? 9.30 Usa una computadora o calculadora para construir un LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHFRQORVGDWRVPXHVWUDOHV 6 7 12 9 10 8 5 9 7 9 6 5 9.31 [EX09-031] Los recesos para almorzar con frecuencia se consideran muy cortos y los empleados frecuentemente de- sarrollan un hbito para "alargarlos". El gerente de Giant Mart LGHQWLFyDOD]DUDHPSOHDGRV\REVHUYyODVGXUDFLRQHVGH VXVUHFHVRVSDUDDOPRU]DUHQPLQXWRVSDUDXQGtDVHOHFFLRQD- do al azar durante la semana: 30 24 38 35 27 35 23 28 28 22 26 34 29 25 28 34 24 26 28 32 29 40 www.fullengineeringbook.net 429 a. Muestra evidencia de que las suposiciones de normalidad se satisfacen. E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDGXUD- cin media de recesos para almorzar" en Giant Mart. 9.32 [EX09-032] Muchos estudios realizados indican que es necesario ejercitarse para reducir varios riesgos a la salud, como presin arterial alta, cardiopatas y colesterol alto. Pero saberlo y hacerlo no son la misma cosa. Las personas en las profesiones de salud incluso deben estar ms conscientes de la necesidad de ejercitarse. Los siguientes datos provienen de un estudio que encuest a tcnicos cardiovasculares (individuos que realizan diversos procedimientos de diagnstico cardio- YDVFXODUDFHUFDGHVXSURSLRHMHUFLFLRItVLFRVHPDQDOPHGLGR en minutos. 60 40 50 30 60 50 90 30 60 60 60 80 90 90 60 30 20 120 60 50 20 60 30 120 50 30 90 20 30 40 50 40 30 40 20 30 60 50 60 80 a. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. b. Estima la cantidad media de tiempo de ejercicio semanal para todos los tcnicos cardiovasculares usando una HVWLPDFLyQSXQWXDO\XQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 9.33 [EX09-033] La informacin de ahorro de combustible en la pegatina de la ventanilla de una SUV nueva indica que VXQXHYRSURSLHWDULRSXHGHHVSHUDUPSJPLOODVSRUJDOyQ en ciudad y 20 mpg en autopista y 18 mpg globales. Para uno de tales vehculos se conservan registros precisos de gasolina y se recolecta una muestra al azar del millaje por tanque de gasolina: 17.6 17.7 18.1 22.0 17.0 19.4 18.9 17.4 21.0 19.2 18.3 19.1 20.7 16.7 19.4 18.2 18.4 17.1 17.4 15.8 17.9 18.0 16.3 17.5 17.3 20.4 19.1 21.0 18.1 19.0 19.6 18.9 16.8 18.2 17.6 19.1 18.0 16.8 20.9 17.9 17.7 20.3 18.6 19.0 16.5 19.4 18.6 18.6 17.3 18.7 a. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. E &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD estimacin del millaje medio por galn. F 4XpVXJLHUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DDFHUFDGHODV expectativas de ahorro de combustible de la SUV, segn se expresa en la pegatina de la ventanilla? 9.34 [EX09-034]-DPHV6KRUWXQRSWRPHWULVWD HVFRFpVFRQVWUX\yORVUHHFWRUHVGHPD\RUFDOLGDGGHVXpSR- FD)XHFRQHVWRVUHHFWRUHVTXH6KRUWREWXYRODVVLJXLHQWHV PHGLFLRQHVGHOSDUDODMHGHO6ROHQVHJXQGRVGHJUDGRFRQ base en el trnsito de Venus de 1761. El paralaje del Sol es el iQJXORDVXEWHQGLGRSRUOD7LHUUDYLVWRGHVGHODVXSHUFLHGHO 6RO&RQVXOWDHOVLJXLHQWHGLDJUDPD 8.50 8.50 7.33 8.64 9.27 9.06 9.25 9.09 8.50 8.06 8.43 8.44 8.14 7.68 10.34 8.07 8.36 9.71 8.65 8.35 8.71 8.31 8.36 8.58 7.80 7.71 8.30 9.71 8.50 8.28 9.87 8.86 5.76 8.44 8.23 8.50 8.80 8.40 8.82 9.02 10.57 9.11 8.66 8.34 8.60 7.99 8.58 8.34 9.64 8.34 8.55 9.54 9.07 a. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. E &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHVWL- macin del paralaje medio del Sol. c. Si el verdadero valor es 8.798 segundos de grado, qu VXJLHUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DDFHUFDGHODVPHGLFLRQHV de Short? 9.35 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a , que usaras para poner a prueba cada una de las siguientes DUPDFLRQHV a. El peso medio de las abejas es de al menos 11 gramos. b. La edad media de los pacientes en el Memorial Hospital es de no ms de 54 aos. c. La cantidad media de sal en las barras de granola es dife- rente de 75 mg. 9.36 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a , que usaras para poner a prueba cada una de las siguientes DUPDFLRQHV D 8QDJUDQMDDYtFRODHQ%HVW%URLOHUVDUPDTXHVXVSROORV tienen un peso medio de 56 oz. b. La edad media de los jets comerciales estadounidenses es de menos de 18 aos. c. La media del saldo insoluto mensual en las cuentas de tarjeta de crdito es de ms de 400 dlares. 9.37 Calcula el valor de t+ para la prueba de hiptesis: H o : = 32, H a : > 32, n = 16, x = 32.93, s = 3.1. 9.38 Calcula el valor de t+ para la siguiente prueba de hipte- sis: H o : = 73, H a : n = 12, x = 71.46, s = 4.1. 9.39 Determina el valor p para las siguientes pruebas de hip- tesis que involucran la distribucin t de Student con 10 grados de libertad. Fuente: Los datos e informacin descriptiva se basan en material tomado de Stephen M. Stigler (1977). Do robust estimators work with real data? Annals of Statistics, 5, 1055-1098. Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 430 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin a. H o : = 15.5, H a : < 15.5, t+ = 2.01 b. H o : = 15.5, H a : > 15.5, t+ = 2.01 c. H o : = 15.5, H a : t+ = 2.01 d. H o : = 15.5, H a : t+ = 2.01 9.40 Determina la regin crtica y los valores crticos que usa- ras en el enfoque clsico a la prueba de las siguientes hipte- sis nulas: a. H o : = 10, H a : = 0.05, n b. H o : = 37.2, H a : > 37.2 ( = 0.01, n c. H o : = 20.5, H a : < 20.5 ( = 0.05, n d. H o : = 32.0, H a : > 32.0 ( = 0.01, n 9.41 a. Encuentra el valor de P y enuncia la decisin para la prueba de hiptesis en el ejercicio 9.37, con = 0.05. b. Encuentra la regin crtica y el valor crtico y enun- cia la decisin para la prueba de hiptesis en el ejercicio 9.37, con = 0.05. 9.42 a. Usa la tabla 6 o la tabla 7 del apndice B para en- contrar el valor de P para la prueba de hiptesis del ejercicio 9.38; enuncia la decisin usando = 0.05. b. Encuentra la regin crtica y el valor crtico para la prueba de hiptesis del ejercicio 9.38; enun- cia la decisin con = 0.05. 9.43 Usa una computadora o calculadora para encontrar el va- lor p para la siguiente prueba de hiptesis: H o : = 32, H a : > 32, n = 16, x = 32.93, s = 3.1. 9.44 Usa una computadora o calculadora para encontrar el va- lor p para la siguiente prueba de hiptesis: H o : = 73, H a : 73, n = 12, x = 71.46, s = 4.1. 9.45 Usa los enfoques del valor p y clsico para poner a prue- ba la hiptesis y llegar a una decisin para cada una de las siguientes situaciones. Usa = 0.05. a. H o : = 128, H a : n = 15, t+ = 1.60 b. H o : = 18, H a : > 18, n = 25, t+ = 2.16 c. H o : = 38, H a : < 38, n = 45, t+ = 1.73 d. Compara los resultados de las dos tcnicas para cada caso. 9.46&RQUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGRS D 9HULFDTXHt HVVLJQLFDWLYRHQHOQLYHO E 9HULFDTXHt HVVLJQLFDWLYRHQHOQLYHO c. Explica por qu t p < 0.10, tiene sentido slo si la prueba de hiptesis tiene dos colas. d. Si la prueba es de una cola, qu nivel reportaras? 9.47 Un grupo de estudiantes sostiene que, cada da, el es- tudiante promedio debe viajar al menos 25 minutos en un VHQWLGR SDUD OOHJDU D OD XQLYHUVLGDG /D RFLQD GH DGPL- siones de la universidad obtuvo una muestra aleatoria de 31 tiempos de viaje en un sentido para los estudiantes. La muestra tiene una media de 19.4 minutos y una desviacin HVWiQGDU GH PLQXWRV /D RFLQD GH DGPLVLRQHV WLHQH VXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHORVHVWX- diantes? Usa = 0.01. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.48 Las casas en una ciudad universitaria cercana tienen un valor medio de 88 950 dlares. Se supone que las casas en la vecindad de la universidad tienen un valor medio ms alto. Para poner a prueba esta teora, se elige una muestra al azar de 12 casas del rea universitaria. Su valuacin media es 92 460 dlares y la desviacin estndar es 5 200 dlares. Completa una prueba de hiptesis usando = 0.05. Supn que los pre- cios tienen distribucin normal. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.49 De acuerdo con el artculo "A dnde va la basura", del Reader's Digest de agosto de 2009, el estadounidense prome- dio tira 4.6 libras de basura cada da. Una pequea ciudad en Vermont inici una campaa Verde y pidi a los residentes trabajar para reciclar ms y reducir su generacin de basura diaria. Para estimar la cantidad promedio de basura desecha- da por las personas en su ciudad, se seleccionaron al azar 18 casas y a todas se les pidi pesar cuidadosamente su basura el mismo da. La cantidad promedio de la muestra fue de 3.89 libras, con una desviacin estndar de 1.322 libras. Existe VXFLHQWHHYLGHQFLDGHTXHODFLXGDGGH9HUPRQWDKRUDWLHQH SURPHGLRVGLDULRVVLJQLFDWLYDPHQWHPiVEDMRVGHFDQWLGDGHV de basura que el hogar estadounidense promedio? Usa un ni- YHOGHFRQDQ]DGH\VXSyQTXHORVSHVRVWLHQHQGLVWUL- bucin normal. 9.50 Despierto toda la noche? Las ansias de cafena pue- den causar problemas de salud a largo plazo. Las tareas, el trabajo y estudio pueden ser causas para que los adoles- centes consuman demasiado caf en sus vidas cotidianas. /RVRFLDOHVGHVDOXGDGYLHUWHQTXHDOWDVGRVLVGHFDIHtQD no son buenas para nadie, pero el beber caf sigue siendo cada vez ms popular. No obstante, no es el caf el que es de preocupacin; es la cantidad de cafena. Un consu- mo moderado de cafena no es para preocuparse, dicen los expertos de salud. No hay riesgos para la salud al beber tres tazas de 8 oz de caf regular, que es aproximadamente 250 mg de cafena cada da, de acuerdo con el Henry Ford Health Sytem. Fuente: New Expressions, http://www.newexpression.org/ www.fullengineeringbook.net 431 Una muestra aleatoria nacional de estudiantes universitarios revel que 24 estudiantes consumieron un total de 5 428 mg de cafena cada da, con una desviacin estndar de 48 mg. Si supones que la cantidad de cafena consumida por persona GLDULDPHQWH WLHQHXQDGLVWULEXFLyQQRUPDO H[LVWH VXFLHQWH evidencia para concluir que la cantidad media de cafena con- sumida diariamente por los estudiantes universitarios es menor a 250 mg, con = 0.05? a. Completa la prueba con el enfoque de valor p. Incluye t+, valor p y tu conclusin. b. Completa la prueba con el enfoque clsico. Incluye los valores crticos, t+ y tu conclusin. 9.51 [EX09-051] Para poner a prueba la hiptesis nula "el peso medio de los machos adultos es igual a 160 lb" contra la alternativa, "el peso medio de los machos adultos supera las 160 lb", se obtuvieron los pesos de 16 machos: 173 178 145 146 157 175 173 137 152 171 163 170 135 159 199 131 6XSyQQRUPDOLGDG\YHULFD ORV UHVXOWDGRVTXH VHPXHVWUDQ en el siguiente anlisis MINITAB al calcular los valores t mismo. TEST OF MU = 160.00 VS MU > 160.00 N MEAN STDEV SE MEAN T P C1 16 160.25 18.49 4.62 0.05 0.48 9.52 Con la salida de comptadora del ejercicio 9.51, determi- na los valores de los siguientes trminos: a. Valor hipottico de media poblacional b. Media muestral c. Desviacin estndar poblacional d. Desviacin estndar muestral e. Estadstico de prueba 9.53 [EX09-053] Usa una computadora o calculadora para completar la prueba de hiptesis H o : = 52, H a : < 52 = 0.01, con los siguientes datos: 45 47 46 58 59 49 46 54 53 52 47 41 9.54 [EX09-054] El nmero recomendado de horas de sue- o por noche es de 8 horas, pero todo mundo "sabe" que el estudiante universitario promedio duerme menos de 7 horas. A continuacin se presenta una lista con el nmero de horas dormidas la noche anterior por 10 estudiantes universitarios seleccionados al azar: 5.2 6.8 6.2 5.5 7.8 5.8 7.1 8.1 6.9 5.6 Usa una computadora o calculadora para completar la prueba de hiptesis: H o : = 7, H a : < 7 = 0.05. 9.556HDUPDTXHORVHVWXGLDQWHVGHFLHUWDXQLYHUVLGDGFD- OLFDUiQXQSURPHGLRGHHQXQH[DPHQGDGR/DDUPD- FLyQHVUD]RQDEOHVLXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHFDOLFDFLRQHVGH examen de esta universidad produce 33, 42, 38, 37, 30, 42? Completa una prueba de hiptesis con = 0.05. Supn que los resultados del examen tienen distribucin normal. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.56 [EX02-178] Se supone que la gasolina bombeada de una tubera del proveedor tiene un octanaje de 87.5. En 13 das consecutivos, se toma una muestra y se analiza, con los siguientes resultados: 88.6 86.4 87.2 88.4 87.2 87.6 86.8 86.1 87.4 87.3 86.4 86.6 87.1 a. Si el octanaje tiene una distribucin normal, existe su- FLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHHVWDVOHFWXUDVGH octanaje se tomaron de gasolina con un octanaje medio VLJQLFDWLYDPHQWHPHQRUTXHHQHOQLYHO"/D media muestral y la desviacin estndar se encontraron al UHVSRQGHUHOHMHUFLFLRS b. La decisin estadstica a la que llegaste en el inciso a re- sult en la misma conclusin que expresaste al responder el inciso c del ejercicio 2.178 para estos mismos datos? 9.57 [EX09-032] De acuerdo con los enunciados del Centro Nacional de Informacin de Salud de la Mujer y los Centros para el Control y la Prevencin de Enfermedades, las personas deben ejercitarse al menos 60 minutos a la semana para redu- cir varios riesgos a la salud. a. Con base en los datos del ejercicio 9.32, determina si los tcnicos se ejercitan al menos 60 minutos a la semana. 8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH b. La decisin estadstica a la que llegaste en el inciso a result en la misma conclusin que expresaste al res- ponder el inciso b del ejercicio 9.32 para estos mismos datos? 9.58 [EX09-001] Considere el escenario "de piso a puerta" de la pgina 412, donde una muestra aleatoria de 81 estudian- tes universitarias estadounidenses a quienes se les dio un cro- nmetro y se les pidi cronometrarse personalmente mientras se preparaban para asistir a clases el siguiente martes en la maana. Las instrucciones fueron iniciar el cronmetro tan pronto como sus pies tocaran el piso mientras se levantaban y apa- garlo cuando pasaran por la puerta de su vivienda en camino a clases. Usa los datos muestrales mencionados y los resultados TXHHQFRQWUDVWHHQORVHMHUFLFLRV\S a. Qu evidencia tienes de que la suposicin de normalidad es razonable? Explica. b. Estima el tiempo medio "de piso a puerta" para todas las estudiantes universitarias estadounidenses, con una esti- PDFLyQSXQWXDO\XQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH c. Se supone que el tiempo estimado de 51 minutos para una rutina matutina tpica, como se destaca en el escenario Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 432 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin "de piso a puerta" de la pgina 412, es una media razona- ble para todas las estudiantes universitarias estadouniden- ses. Con base en los datos de este estudio, determina si ODVHVWXGLDQWHVVRQVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHVGHOSRVL- EOHPHQWHHVWXGLDQWHWtSLFR8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD de 0.05. d. La decisin estadstica alcanzada en el inciso c pudo haber resultado de tu respuesta al inciso b? Cmo? e. Qu estadstico muestral tiene un efecto inusualmente grande sobre estos resultados? Explica. 9.59 [EX09-059] Se sabe que la densidad de la Tierra en relacin con la densidad del agua es de 5.517 g/cm3. Henry &DYHQGLVKTXtPLFR\ItVLFRLQJOpVIXHHOSULPHU FLHQWtFRHQPHGLUFRQSUHFLVLyQODGHQVLGDGGHOD7LHUUD$ continuacin se presentan 29 mediciones tomadas por Caven- dish en 1798 con una balanza de torsin. 5.50 5.61 4.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29 5.58 5.65 5.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.39 5.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85 a. Qu evidencia tienes de que la suposicin de normalidad es razonable? Explica. E /DPHGLDGHORVGDWRVGH&DYHQGLVKHVVLJQLFDWLYD- mente menor que el estndar reconocido hoy da? Usa un QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH 9.60 [EX09-060] Usa una computadora o calculadora para completar los clculos y la prueba de hiptesis para este ejer- cicio. Delco Products, una divisin de General Motors, produ- ce conmutadores diseados para tener 18.810 mm de longitud global. (Un conmutador es un dispositivo usado en el sistema HOpFWULFRGHXQDXWRPyYLO/RVVLJXLHQWHVGDWRVVRQODVORQJL- tudes de una muestra de 35 conmutadores tomados mientras se monitoreaba el proceso de fabricacin: 18.802 18.810 18.780 18.757 18.824 18.827 18.825 18.809 18.794 18.787 18.844 18.824 18.829 18.817 18.785 18.747 18.802 18.826 18.810 18.802 18.780 18.830 18.874 18.836 18.758 18.813 18.844 18.861 18.824 18.835 18.794 18.853 18.823 18.863 18.808 +D\VXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHTXH estas partes satisfacen el requisito de diseo "longitud media HVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD = 0.01? 9.61 El acetaminofn es un ingrediente activo que se encuen- tra en ms de 600 medicinas de anaquel y de prescripcin, como analgsicos, jarabes para la tos y antigripales. Es seguro y efectivo cuando se usa correctamente, pero tomar demasiado puede conducir a dao heptico. Fuente: http://www.keepkidshealthy.com/ Un investigador cree que la cantidad media de acetami- nofn por tableta en una marca particular de antigripales es diferente de los 600 mg declarados por el fabricante. Una muestra aleatoria de 30 tabletas tuvo un contenido medio de acetaminofn de 596.3 mg, con una desviacin estndar de 4.7 mg. a. La suposicin de normalidad es razonable? Explica. E &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHVWL- macin del contenido medio de acetaminofn. F 4XpVXJLHUHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRHQHO inciso b acerca del contenido medio de acetaminofn de una pldora? Crees que haya 600 mg por tableta? Ex- plica. 9.62 [EX09-062] Un fabricante de vinos coloca un gran pedido de corchos del nmero 9 descritos en el ejemplo DSOLFDGRS\HVWiSUHRFXSDGRSRUHOQ~PHURGH corchos que pueden tener dimetros ms pequeos. Durante el proceso de encorchado, los corchos se comprimen hasta 16 o 17 mm de dimetro para su insercin en botellas con una abertura de 18 mm. Entonces el corcho se expande para formar el sello. El fabricante de vinos quiere que los cor- chos estn tan apretados como sea posible y por tanto est preocupado de que alguno pueda tener menor tamao. El dimetro de cada corcho se mide en varios lugares y por cada corcho se reporta un dimetro promedio. El fabricante de corchos asegura al fabricante de vinos que cada corcho WLHQHXQGLiPHWURSURPHGLRGHQWURGH ODV HVSHFLFDFLRQHV y que todos los dimetros promedio tienen una distribucin normal con una media de 24.0 mm. a. Por qu tiene sentido que al dimetro del corcho se le asigne el promedio de varias mediciones de dimetro diferentes? Del lote a embarcar se toma una muestra aleatoria de 18 FRUFKRV\VHREWLHQHQORVGLiPHWURVHQPLOtPHWURV 23.93 23.91 23.82 24.02 23.93 24.17 23.93 23-84 24.13 24.01 23.83 23.74 23.73 24.10 23.86 23.90 24.32 23.83 E /DHVSHFLFDFLyQGHGLiPHWURSURPHGLRHVPP mm/0.4 mm". Parece que este pedido cumple con la HVSHFLFDFLyQVREUHXQDEDVHGHFRUFKRLQGLYLGXDO"([- plica. F /DPXHVWUDGHOLQFLVRDPXHVWUDVXFLHQWHVUD]RQHVSDUD GXGDUGHODYHUDFLGDGGHODDUPDFLyQGHTXHHOGLiPHWUR SURPHGLRPHGLRHVPPDOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.02? Una muestra diferente de 18 corchos se elige al azar y se obtie- QHQORVGLiPHWURVHQPLOtPHWURV 23.90 23.98 24.28 24.22 24.07 23.87 24.05 24.06 23.82 24.03 23.87 24.08 23.98 24.21 24.08 24.06 23.87 23.95 Fuente: Los datos e informacin descriptiva se basan en material tomado de Do robust estimators work with real data? de Stephen M. Stigler. Annals of Statistics, 5 (1977), 1055-1098. Fuente: Con permiso de Delco Products Division, GMC www.fullengineeringbook.net 433 G /DPXHVWUDDQWHULRUSUHVHQWDVXFLHQWHVUD]RQHVSDUD GXGDUGHODYHUDFLGDGGHODDUPDFLyQGHTXHHOGLiPHWUR SURPHGLRPHGLRHVPPDOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.02? e. Qu efecto tienen las dos medias muestrales diferentes sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos c y d? Explica. f. Qu efecto tienen las dos desviaciones estndar muestra- les diferentes sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos c y d? Explica. 9.63 [EX09-063] La longitud no es muy importante al eva- luar la calidad de los corchos, porque tiene poco que ver con la efectividad de un corcho para preservar el vino. Los fabri- cantes de vinos tienen muchas longitudes de dnde elegir y or- GHQDQODORQJLWXGGHFRUFKRTXHSUHHUHQORVFRUFKRVODUJRV tienden a hacer un "pop" ms sonoro cuando se descorcha la ERWHOOD6LQHPEDUJRODORQJLWXGVHPRQLWRUHDPX\GHFHUFD SRUTXHHVXQDFXDOLGDGHVSHFtFDGHOFRUFKR/DVORQJLWXGHV de los corchos naturales del nmero 9 (24 mm de dimetro SRU PPGH ORQJLWXG WLHQHQ XQD GLVWULEXFLyQ QRUPDO 6H miden 12 corchos seleccionados al azar hasta la centsima de milmetro ms cercana. 44.95 44.95 44.80 44.93 45.22 44.82 45.12 44.62 45.17 44.60 44.60 44.75 D /DPXHVWUDDQWHULRURIUHFHVXFLHQWHVUD]RQHVSDUDPRV- trar que la longitud media es diferente de 45.0 mm, en el QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH" Una muestra aleatoria diferente, de 18 corchos, se toma del mismo lote. 45.17 45.02 45.30 45.14 45.35 45.50 45.26 44.88 44.71 44.07 45.10 45.01 44.83 45.13 44.69 44.89 45.15 45.13 E /DPXHVWUDDQWHULRURIUHFHVXFLHQWHVUD]RQHVSDUDPRV- trar que la longitud media es diferente de 45.0 mm, en el QLYHOGHVLJQLFDQFLD" c. Qu efecto tienen las dos diferentes medias muestrales sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos a y b? Explica. d. Qu efecto tienen los dos diferentes tamaos de muestra sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos a y b? Explica. e. Qu efecto tienen las dos diferentes desviaciones estn- dar muestrales sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos a y b? Explica. 9.64 Cun importante es la suposicin "la poblacin mues- treada tiene distribucin normal" para el uso de la distribu- cin t de Student? Con una computadora, simula dibujar 100 muestras de tamao 10 de cada uno de los tres diferentes tipos de distribuciones poblacionales, a saber: normal, uni- forme y exponencial. Primero genera 1 000 valores de datos de la poblacin y construye un histograma para ver a qu se parece la poblacin. Despus genera 100 muestras de tamao GHODPLVPDSREODFLyQFDGDODUHSUHVHQWDXQDPXHVWUD Calcula la media y la desviacin estndar para cada una de las 100 muestras. Calcula t+ para cada una de las 100 mues- tras. Construye histogramas de las 100 medias muestrales y los 100 valores t+. (Puedes encontrar detalles adicionales en el Manual de soluciones del estudiante Para las muestras de la poblacin normal: a. La distribucin x parece ser normal? Encuentra porcen- tajes para los intervalos y compralos con la distribucin normal. b. La distribucin de t+ parece tener una distribucin t con gl = 9? Encuentra porcentajes para los intervalos y com- pralos con la distribucin t. Para las muestras de la poblacin rectangular o uniforme: c. La distribucin x parece ser normal? Encuentra porcen- tajes para los intervalos y compralos con la distribucin normal. d. La distribucin de t+ parece tener una distribucin t con gl = 9? Encuentra porcentajes para los intervalos y com- pralos con la distribucin t. 3DUDODVPXHVWUDVGHODSREODFLyQVHVJDGDH[SRQHQFLDO e. La distribucin x parece ser normal? Encuentra porcen- tajes para los intervalos y compralos con la distribucin normal. f. La distribucin de t+ parece tener una distribucin t con gl = 9? Encuentra porcentajes para los intervalos y com- pralos con la distribucin t. En resumen: g. En cada una de las tres situaciones anteriores, la distribu- cin muestral para x parece ser ligeramente diferente de la distribucin de t+. Explica por qu. h. La condicin de normalidad parece ser necesaria con ODQDOLGDGGHTXHHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDFDOFXODGRt+ tenga una distribucin t de Student? Explica. Seccin 9.1 Inferencias en torno a la media ( desconocida) www.fullengineeringbook.net 434 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Acaso la inferencia ms comn involucra el parmetro binomial p, la "probabili- dad de xito". S, todo mundo usa esta inferencia, incluso si es slo casualmente. En miles de situaciones uno est preocupado de que algo o "pase" o "no pase". Slo hay dos posibles resultados de preocupacin y sa es una propiedad fundamental de un experimento binomial. El otro ingrediente necesario es mltiples ensayos indepen- dientes. Al preguntar a cinco personas si estn "a favor" o "en contra" de algn tema puede crear cinco ensayos independientes; si a 200 personas les planteas la misma pregunta, pueden involucrarse 200 ensayos independientes; si 30 artculos se ins- peccionan para ver si cada uno "muestra una propiedad particular" o "no", habr 30 ensayos repetidos; estas son las hechuras de una inferencia binomial. El parmetro binomial pVHGHQHFRPRODSUREDELOLGDGGHp[LWRHQXQVRORHQVD\RHQ un experimento binomial. Probabilidad binomial muestral p' = x donde la variable aleatoria x representa el nmero de xitos que ocurren en una muestra que consiste de n ensayos. Recuerda que la media y la desviacin estndar de la variable aleatoria binomial x se HQFXHQWUDQFRQODIyUPXOD = np\ODIyUPXOD = npq, donde q = 1 p. La distribucin de x se considera como aproximadamente normal si n es mayor que 20 y si np y nq son ambas mayores que 5. Esta regla emprica comnmente aceptada te permite usar la distribucin normal estndar para estimar probabilidades para la variable aleatoria binomial, x, el nmero de xitos en n ensayos y para hacer inferencias concernientes al parmetro binomial p, la probabilidad de xito en un ensayo individual. 3RUORJHQHUDOHVPiVIiFLO\PiVVLJQLFDWLYRWUDEDMDUFRQODGLVWULEXFLyQGHp' (la SUREDELOLGDGGHRFXUUHQFLDREVHUYDGDTXHFRQxHOQ~PHURGHRFXUUHQFLDV(QFRQVH FXHQFLD ODVIyUPXODV\VHFRQYHUWLUiQGHXQLGDGHVGHx HQWHUDVDXQLGDGHV de proporcionesSRUFHQWDMHVH[SUHVDGRVFRPRGHFLPDOHVDOGLYLGLUFDGDIyUPXODSRUn, como se muestra en la tabla 9.1. 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito PTI En las pginas 246- 249 puedes encontrar detalles completos acer- ca de la experimenta- cin binomial. TABLA 9.1 Frmulas (9.4) y (9.5) (9.3) n Variable Media Desviacin estndar para cambiar x a p', divide entre n www.fullengineeringbook.net 435 PTI La desviacin estn- dar de una distribucin muestral se llama "error estndar". Recuerda que p' = p y que el estadstico muestral p' es un estimador no sesgado para p. Por tanto, la informacin acerca de la distribucin muestral de p' se resume del siguiente modo: Si una muestra aleatoria de tamao n se selecciona de una gran poblacin con p = P(xito), entonces la distribucin muestral de p' tiene: 1. Una media p' igual a p 2. Un error estndar p' igual a pq 3. Una distribucin normal aproximada si n es suficientemente grande En la prctica, el uso de estos lineamientos garantizar normalidad: 1. El tamao de la muestra es mayor que 20. 2. Los productos np y nq son ambos mayores que 5. 3. La muestra consiste de menos de 10% de la poblacin. Ahora ests listo para hacer inferencias acerca del parmetro poblacional p. El uso de la distribucin z involucra una suposicin. Las suposiciones para inferencias acerca del parmetro binomial p Las ob- servaciones aleatorias n que forman la muestra, se seleccionan de manera independiente de una poblacin que no cambia durante el muestreo. Procedimiento de intervalo de confianza Las inferencias concernientes al parmetro binomial poblacional p, Pp[LWRVHKDFHQFRQ procedimientos que se asemejan muy de cerca a los procedimientos de inferencia usados para la media poblacional . Cuando estimas la proporcin poblacional p, basars tus estimaciones en el estimador no sesgado p'. La estimacin puntual, el estadstico muestral p'VHFRQYLHUWHHQHOFHQWURGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D\HOHUURUPi[LPRGHHVWLPDFLyQHV un mltiplo del error estndar. El QLYHOGHFRQDQ]DGHWHUPLQDHOFRHFLHQWHGHFRQDQ- za, el nmero de mltiplos del error estndar. Intervalo de confianza para una proporcin p' z(/2) p'q' a p' + z(/2) p'q' donde p' = x y q' = 1 p' Observa que el error estndar, pq, se sustituy con p'q'. Dado que se estima p, no conoces su valor y por tanto debes usar la mejor sustitucin disponible. Dicha sustitucin es p', el valor observado o la estimacin puntual para p. Esta sustitucin provocar poco FDPELRHQHOHUURUHVWiQGDURHODQFKRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DVLHPSUHTXHnVHDVX- cientemente grande. (OHMHPSORLOXVWUDUiODIRUPDFLyQGHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDHOSDUiPHWUR binomial, p. n (9.6) n n n n n Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito www.fullengineeringbook.net 436 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin E J E M P L O 9 . 8 INTERVALO DE CONFIANZA PARA p En una discusin acerca de los automviles que conducen los compaeros estudiantes, se hicieron varias declaraciones acerca de los tipos, edades, ca- ractersticas, colores, etc. Dana decidi que l quera estimar la proporcin de automviles convertibles que conducen los estudiantes, de modo que identific al azar 200 automviles en el estacionamiento de estudiantes y descubri 17 convertibles. Encuentra el intervalo de confianza de 90% para la proporcin de automviles convertibles conducidos por estudiantes. Solucin Paso 1 La preparacin: Describe el parmetro poblacional de inters. p, la proporcin (porcentaje) de automviles convertibles de estudiantes. Paso 2 Los criterios del intervalo de confianza: a. Verifica las suposiciones. La muestra se seleccion al azar y la respuesta de cada estudiante es independiente de la de los otros encuestados. b. Identifica la distribucin de probabilidad y la prueba a usar. La distribucin normal estndar se usar con la frmula (9.6) como el estadstico de prueba. Se espera que p' sea aproximadamente normal porque: 1) n = 200 es mayor que 20, y 2) tanto np [aproximado mediante np' = 200(17/200) = 17] como nq [aproximado mediante np' = 200(183/200) = 183] son mayores que 5. c. Determina el nivel de confianza: 1 = 0.90. Paso 3 La evidencia muestral: Recolecta la informacin muestral. n = 200 automviles identificados y x = 17 fueron convertibles: p' = x = 17 = 0.085 n 200 Paso 4 El intervalo de confianza: a. Determina el coeficiente de confianza. ste es el valor z [z(/2), "z de la mitad de alfa"] que identifica el nme- ro de errores estndar necesarios para lograr el nivel de confianza y se encuentra con la tabla 4 del apndice B; z(/2) = z(0.05) = 1.65 (observa el diagrama). b. Encuentra el error mximo de estimacin. Usa la parte de error mximo de la frmula (9.6): E = z(/2) p'q' = 1.65 (0.085)(0.915) n 200 = (1.65) 0.000389 = (1.65)(0.020) = 0.033 c. Encuentra los lmites de confianza inferior y superior. p' E a p' + E 0.085 0.033 a 0.085 + 0.033 0.052 a 0.118 PTI En la pgina 348 se proporciona el pro- cedimiento en cinco pasos para el intervalo de confianza. PTI En las pginas 348-350 se propor- cionan instrucciones especficas. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com z z(0.05) 0.05 0.05 0.90 1 2 2 1.65 www.fullengineeringbook.net 437 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Elige: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion Selecciona: Summarized Data Escribe: Nmero eventos: x Nmero ensayos: n Selecciona: Options Escribe: Nivel confianza: 1 (ej. 95.0) Selecciona: Alternativa: not equal Use test and interval based on normal distribution. > OK > OK Escribe los datos en la columna A con 0 para fallas (o no) y 1 para xitos (o s); despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Estimate: Proportion > OK Escribe: Rango entrada: (A2:A20 o selecciona celdas) Cdigo para xito: 1 Alfa: (ej. 0.05) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : I N T E R V A L O D E C O N F I A N Z A 1 P A R A U N A P R O P O R C I N p Elige: STAT > TESTS > A:1-PropZint Escribe los valores apropia- dos y resalta Calculate. E J E M P L O A P L I C A D O 9 . 9 PTI Explora el Applet Skillbuilder "z+ & Confi dence Level" en cengagebrain.com. Paso 5 Los resultados: Enuncia el intervalo de confi anza. 0.052 a 0.118 es el intervalo de confi anza 90% para p = P(conduce con- vertible). Esto es: la verdadera proporcin de estudiantes que conducen converti- bles est entre 0.052 y 0.118, con 90% de confi anza. MITO Y REALIDAD AL REPORTAR ERROR MUESTRAL Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito Casi en cualquier ocasin cuando se libera una nueva encuesta, alguien en los medios preguntar: cul es el margen de error para esta encuesta? Cuando los medios publican oracio- nes como "el margen de error es ms o menos tres puntos porcentuales", su- gieren fuertemente que los resultados www.fullengineeringbook.net 438 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Determinacin del tamao de la muestra $OXVDU ODSDUWHGHHUURUPi[LPRGHODIyUPXODGHLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVSRVLEOH determinar el tamao de la muestraTXHGHEHWRPDUVHFRQODQDOLGDGGHHVWLPDUp con una precisin deseada. He aqu la frmula para el error mximo de estimacin para una proporcin: E = z( pq Para determinar el tamao de la muestra a partir de esta frmula, debes decidir acerca de ODFDOLGDGTXHTXLHUHVSDUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DQDO(VWDFDOLGDGVHPLGHHQGRVIRU PDVHOQLYHOGHFRQDQ]D\ODSUHFLVLyQHVWUHFKH]GHOLQWHUYDOR(OQLYHOGHFRQDQ]DTXH HVWDEOH]FDVDVXYH]GHWHUPLQDUiHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(. La precisin deseada determinar el error mximo de estimacin, E. (Recuerda que estimas p, la probabilidad binomial; por tanto, ESRUORJHQHUDOVHH[SUHVDUiHQFHQWpVLPDV son precisos hasta dentro del porcen- taje establecido. Quieren advertir a las personas acerca del error de muestreo. Pero pueden hacerlo mejor si suponen que todas las encuestas y todos los sondeos de opinin son estimaciones que pueden estar equivocadas. En el mundo real, "error de mues- treo aleatorio" o la probabilidad de que una muestra de probabilidad pura producir rplicas dentro de cierta banda de porcentajes slo debido al tamao muestral, es uno de nuestros ltimos problemas de medicin. 3RU HVWD UD]yQ QRVRWURV +DUULV incluimos una fuerte advertencia en todas las encuestas que publicamos. Por lo general, es del modo siguien- te: en teora, con una muestra de este tamao, uno puede decir con 95% de certeza que los resultados tienen una precisin estadstica de ms o me- nos, puntos porcentuales de lo que seran si toda la poblacin adulta se hubiera encuestado con completa precisin. Desafortunadamente, xis- ten muchas otras posibles fuentes de error en todos los sondeos o encues- tas que probablemente son ms serias que los clculos tericos del error de muestreo. Ellos incluyen rechazo a VHUHQWUHYLVWDGRQRUHVSXHVWDSODQ teamiento de la pregunta y orden de las preguntas, sesgo del entrevistador, ponderacin mediante datos de con- WUROGHPRJUiFR\WDPL]DGR(VGLIt FLORLPSRVLEOHFXDQWLFDUORVHUURUHV que pueden resultar de estos factores. Si los reporteros son los menos interesados en todo esto, pueden pre- guntar: "si existen tantas fuentes de error en las encuestas, por qu de- bemos molestarnos en leer o reportar cualquier resultado de las encues- tas?". A lo que yo normalmente repli- co de dos formas: 1. Las encuestas bien diseadas y realizadas funcionan. Su registro global es muy bueno. La mayora de los investigadores sociales y de marketing, estaran muy felices con los errores de prediccin pro- medio de las encuestas. Sin embar- JRH[LVWHQVXFLHQWHVGHVDVWUHVHQ la historia de las predicciones elec- torales como para que los lectores tengan precauciones acerca de la interpretacin de los resultados. <HVWRHVPiVHIHFWLYR3DUDIUD seo las famosas puntualizaciones de Winston Churchill acerca de la democracia y digo: "las encuestas son la peor forma de medir la opi- nin pblica y el comportamiento pblico o de predecir elecciones... excepto por todas las dems". Fuente: The Polling Report, 4 de mayo de 1998, de Humprey Taylor, Chairman, Louis Harris & Assoc., Inc. http://www.pollingreport.com/sampling.htm. (9.7) n www.fullengineeringbook.net 439 3DUDIDFLOLWDUVXXVRSXHGHVUHVROYHUODIyUPXODSDUDn del modo siguiente: Tamao de la muestra para intervalo de confianza 1 para p n = [z(/2)] 2 U p* U q* donde p* y q* son valores provisionales de p y q usados para planificacin $OLQVSHFFLRQDUODIyUPXODSXHGHVREVHUYDUTXHWUHVFRPSRQHQWHVGHWHUPLQDQHO tamao de la muestra: (OQLYHOGHFRQDQ]D>TXHGHWHUPLQDHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Dz(] 2. El valor provisional de p (p* determina el valor de q 3. El error mximo, E Un aumento o disminucin en uno de estos tres componentes afecta el tamao de la PXHVWUD6LHOQLYHOGHFRQDQ]DDXPHQWDRGLVPLQX\HPLHQWUDVORVRWURVFRPSRQHQWHVVH PDQWLHQHQFRQVWDQWHVHQWRQFHVHOWDPDxRGHODPXHVWUDDXPHQWDUiRGLVPLQXLUiUHVSHF- tivamente. Si el producto de p* y q* aumenta o disminuye (con los otros componentes que VHPDQWLHQHQFRQVWDQWHVHQWRQFHVHOWDPDxRGHODPXHVWUDDXPHQWDRGLVPLQX\HUHVSHF- tivamente. (El producto p* q* es ms grande cuando p* = 0.5 y disminuye conforme el valor de p VHDOHMDPiVGH8QDXPHQWRRGLVPLQXFLyQHQHOHUURUPi[LPRGHVHDGR tendr el efecto opuesto sobre el tamao de la muestra, dado que E aparece en el denomi- nador de la frmula. Si no estn disponibles valores provisionales para p y q, entonces usa p* = 0.5 y q* = 0.5. Usar p* = 0.5 es seguro porque proporciona el tamao de muestras ms grande de cualquier posible valor de p. Usar p* = 0.5 funciona razonablemente bien FXDQGRHOYHUGDGHURYDORUHVWiFHUFDGHSRUGHFLUHQWUH\VLQHPEDUJR conforme p se acerca cada vez ms o a 0 o a 1, ocurrir una sobrestimacin considerable en el tamao muestral. E J E M P L O 9 . 1 0 TAMAO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR p (SIN INFORMACIN PREVIA) Determina el tamao de la muestra que se requiere para estimar la verdadera proporcin de estudiantes de universidad comunitaria que tienen ojos azules, si quieres que tu estimacin est dentro de 0.02 con 90% de confianza. PTI Recuerda que q = 1 p. (9.8) Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com E2 Solucin Paso 1 El nivel de confianza es 1 = 0.90; por tanto, el coeficiente de confianza es z(/2) = z(0.05) = 1.65, de la tabla 4 del apndice B; consulta el diagrama. Paso 2 El error mximo deseado es E = 0.02. Paso 3 No se proporciona estimacin para p, as que usa p* = 0.5 y q* = 1 p* = 0.5 Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito 0 z z (0.05) 1.65 0.05 0.05 0.90 1 2 2 www.fullengineeringbook.net 440 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Observa la diferencia en los tamaos de muestra requeridos en los ejemplos 9.10 y 9.11. La nica diferencia matemtica entre los problemas es el valor usado para p*. En el ejemplo 9.10 usaste p* = 0.5 y en el ejemplo 9.11 usaste p* = 0.05. Recuerda que el uso del valor provisional p* = 0.5 proporciona el tamao de muestra mximo. Como puedes ver, ser una ventaja tener cierto indicio del valor esperado para p, especialmente conforme p se aleja cada vez ms de 0.5. Procedimiento de prueba de hiptesis Cuando el parmetro binomial p se pone a prueba usando un procedimiento de prueba de hiptesis, se usar un estadstico de prueba que represente la diferencia entre la proporcin observada y la proporcin hipottica, dividida entre el error estndar. Este estadstico de prueba se supone que tiene distribucin normal cuando la hiptesis nula es verdadera, cuando las suposiciones para la prueba se satisfacen y cuando nHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH (n > 20, np > 5 y nq! E J E M P L O 9 . 1 1 TAMAO DE MUESTRA PARA ESTIMAR p (INFORMACIN PREVIA) Un fabricante de automviles compra tuercas de un proveedor que afirma que las tuercas son aproximadamente 5% defectuosas. Determina el tamao de muestra que se requerir para estimar la verdadera proporcin de tuercas defectuosas si quieres que tu estimacin est dentro de 0.02 con 90% de confianza. Solucin Paso 1 El nivel de confianza es 1 = 0.90; el coeficiente de confianza es z(/2) = z(0.05) = 1.65. Paso 2 El error mximo deseado es E = 0.02. Paso 3 Existe una estimacin para p (la afirmacin del proveedor es "5% defectuoso"), de modo que usa p* = 0.05 y q* = 1 p* = 0.95. Paso 4 Usa la frmula (9.8) para encontrar n: PTI S: los clculos del tamao de la muestra siempre se redondean al siguiente entero ms grande! Paso 4 Usa la frmula (9.8) para encontrar n: PTI Cuando encuen- tres el tamao de la muestra n, siempre redondea al siguiente entero ms grande, sin importar cun pequeo sea el decimal. n = [z(/2) 2 U p* U q*: n = (1.65) 2 U 0.5 U 0.5 = 0.680625 = 1 701.56 = 1 702 E2 (0.02)2 0.0004 n = [z(/2)] 2 U p* U q*: n = (1.65) 2 U 0.05 U 0.95 = 0.12931875 = 323.3 = 324 E2 (0.02)2 0.0004 www.fullengineeringbook.net 441 Estadstico de prueba para una proporcin z+ = p' p con p' = x pq n E J E M P L O 9 . 1 2 PTI p' es de la muestra, p es de Ho y q = 1 p PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA PROPORCIN p Muchas personas duermen hasta tarde los fines de semana para compensar las "noches cortas" durante la semana laboral. El Consejo para Mejor Sueo reporta que 61% de las personas tienen ms de 7 horas de sueo por noche los fines de semana. Una muestra aleatoria de 350 adultos descubri que 235 tuvieron ms de 7 horas de sueo cada noche el pasado fin de semana. En el nivel de significancia 0.05, esta evidencia muestra que ms de 61% duerme 7 horas o ms por noche los fines de semana? Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. p, la proporcin de adultos que tienen ms de 7 horas de sueo por noche los fines de semana. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: p = (7 + horas de sueo) = 0.61 ()) (no ms de 61%) Ha: p > 0.61 (ms de 61%) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. La muestra aleatoria de 350 adultos se encuest de manera indepen- diente. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Se usar la z normal estndar con la frmula (9.9). Dado que n = 350 es mayor que 20 y tanto np = (350)(0.61) = 213.5; y nq = (350) (0.39) = 136.5 son mayores que 5, se espera que p' tenga una distribucin aproximadamente normal. c. Determina el nivel de significancia: = 0.05. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 350 y x = 235: p' = x = 235 = 0.671 n 350 b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.9): z+ = p' p : z+ = 0.671 0.61 = 0.061 = 0.061 = 2.34 pq (0.61)(0.39) 0.0006797 0.0261 Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com n n 350 Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito (9.9) www.fullengineeringbook.net 442 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Mtodo 3. Si haces la prueba de hiptesis con la ayuda de una computadora o calcu- ladora, muy probablemente calcular el valor p por ti o puedes usar los comandos de distribucin de probabilidad acumulada descritos en la pgina 285. E J E M P L O 9 . 1 3 Paso 4 La distribucin de probabilidad: PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA PROPORCIN p Mientras hablaba acerca de los automviles que conducen tus compaeros estudiantes (consulta el ejemplo 9.8, p. 436), Tom afirm que 15% de los es- tudiantes conducen convertibles. Jody encuentra esto difcil de creer y quiere verificar la validez de la afirmacin de Tom usando la muestra aleatoria de Dana. En un nivel de significancia de 0.10, existe suficiente evidencia para rechazar la afirmacin de Tom, si existen 17 convertibles en su muestra de 200 automviles? o Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Usa la cola derecha porque H a expresa preocu- pacin por valores relacionados con "ms que". P = valor p = P(z!FRPRVHPXHVWUDHQOD JXUD Para encontrar el valor p, usa uno de tres mto- dos: 1. Usa la tabla 3 del apndice B para calcular el valor p: P = 1.0000 0.9904 = 0.0096. 2. Usa la tabla 5 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p: 0.0094 < P < 0.0107. 3 Usa una computadora o calculadora para cal- cular el valor p: P = 0.0096. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDHOPpWR- do 3 ms adelante. b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor p es menor que . Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica es la cola derecha porque H a expresa preocupacin por valores relacionados con "ms que". El valor crtico se obtiene de la tabla 4A: z = 1.65. En las pginas 392-394 se proporcionan instruc- FLRQHVHVSHFtFDVSDUDHQFRQWUDUYDORUHVFUtWLFRV b. Determina si el estadstico de prueba est o no est en la regin crtica. z+ est en la regin crtica, como se muestra en azul oscuroHQODJXUDDQWHULRU Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. Existe suficiente razn para concluir que la proporcin de adultos en la poblacin muestreada que tiene ms de 7 horas de sueo nocturno los fines de semana es significativamente mayor que 61% en el nivel de significancia 0.05. 0 z 2.34 Valor p 0 z 1.65 0.05 2.34 ms que www.fullengineeringbook.net 443 Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. p = P(estudiante conduce convertible) b. Enuncia la hiptesis nula (H O ) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: p = 0.15 (15% s conduce convertible) Ha: p & 0.15 (el porcentaje es diferente de 15%) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. Las muestras se seleccionaron al azar y la respuesta de cada sujeto fue independiente de otras respuestas. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Se usarn la z normal estndar y la frmula (9.9). Dado que n = 200 es mayor que 20 y tanto np como nq son mayores que 5, se espera que p' tenga una distribucin aproximadamente normal. c. Determina el nivel de significancia: = 0.10. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 200 y x = 17. p' = x = 17 = 0.085 n 200 b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.9): z+ = p' p : z+ = 0.085 0.150 pq (0.15)(0.85) = 0.065 = 0.065 = 2.57 0.00064 0.02525 Paso 4 La distribucin de probabilidad: n 200 o Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Usa ambas colas porque H a expresa preocupa- cin por valores relacionados con "diferente de". P = valor p = P(zP(z! P(zFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Para encontrar el valor p, usa uno de tres mto- dos: 1. Usa la tabla 3 del apndice B para calcular el valor p: P = 2 0.0051 = 0.0102. Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica tiene dos colas porque H a ex- presa preocupacin por valores relacionados con "diferente de". El valor crtico se obtiene de la tabla 4B: z = 1.65. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSiJL- nas 395-396. el otro Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito 0 2.57 2.57 z P P 1 2 1 2 0 1.65 z 1.65 2.57 0.05 0.05 diferente diferente no diferente www.fullengineeringbook.net 444 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin TI-83/84 Plus MINITAB Excel Elige: Stat > Basic Statistics > 1 Proportion Selecciona: Summarized Data Escribe: Nmero eventos: x Nmero ensayos: n Selecciona: Perform hypothesis test Escribe: Proporcin hipottica: p Selecciona: Options Selecciona: Alternative: less than o not equal o greater than Use test and interval based on normal distribution > OK > OK Escribe los datos en la columna A y usa 0 para fallas (o no) y 1 para xitos (o s); despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Test: Proportion > OK Escribe: Rango entrada: (A2:A20 o selecciona celdas) Cdigo para xito: 1 Proporcin hipottica: p Alfa: (ej. 0.05) > OK Proporciona valores p y valores crticos para pruebas de una y dos colas. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A U N A P R O P O R C I N p Elige: STAT > TESTS > 5:1-PropZtest Escribe los valores apropiados y resalta Calculate. 2. Usa la tabla 5 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p: 0.0094 < P < 0.0108. 3. Usa una computadora o calculadora para calcular el valor p: P = 0.0102. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSi ginas 376-377. b. Determina si el valor p es o no es menor que . El valor p es menor que . b. Determina si el estadstico de prueba est o no est en la regin crtica. z+ est en la regin crtica, como se muestra en D]XORVFXURHQODJXUDDQWHULRU Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. Existe sufi ciente evidencia para rechazar la afi rmacin de Tom y con- cluir que el porcentaje de estudiantes que conducen convertibles es diferente de 15% en el nivel de signifi cancia 0.10. www.fullengineeringbook.net 445 0 z 0 z( /2) z( /2) z( /2) z( /2) 0 z 0 p z( /2) z( /2) z( /2) Relacin entre intervalos de confi anza y pruebas de hiptesis ([LVWHXQD UHODFLyQHQWUH LQWHUYDORVGHFRQDQ]D\SUXHEDVGHKLSyWHVLVGHGRVFRODV FXDQGRHOQLYHOGHFRQDQ]D\HOQLYHOGHVLJQLFDQFLDVXPDQ/RVFRHFLHQWHVGH FRQDQ]D\ORVYDORUHVFUtWLFRVVRQLJXDOHVORTXHVLJQLFDTXHHODQFKRGHOLQWHUYDOR GHFRQDQ]D\HODQFKRGHODUHJLyQQRFUtWLFDVRQLJXDOHV/DHVWLPDFLyQSXQWXDOHVHO FHQWURGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D\ODPHGLDKLSRWpWLFRHVHOFHQWURGHODUHJLyQQRFUtWLFD Por tanto, si el valor hipottica de pHVWiFRQWHQLGRHQHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHQWRQFHV HOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDHVWDUiHQODUHJLyQQRFUtWLFDFRQVXOWDODJXUD FIGURA 9.5 El intervalo de confi anza contiene p FIGURA 9.6 El intervalo de confi anza no contiene p Ms an, si la probabilidad hipottica pQRFDHGHQWURGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHQWRQ FHVHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDHVWDUiHQODUHJLyQFUtWLFDFRQVXOWDODJXUD no crtica Esta comparacin debe usarse solamente cuando la prueba de hiptesis tenga dos colas y cuando el mismo valor de se use en ambos procedimientos. p (escala z para prueba de hiptesis tiene centro en p) PTI Explora el Applet Skillbuilder "z+ & Con- fi dence level", disponi- ble en cengagebrain. com Se quiere estimar el resultado de una votacin electoral con una encuesta. Para ello se realiza un muestreo aleatorio simple con n = 1 000 personas y se obtie- nen 35% que votarn a favor y 65% que votarn en contra, se supone que no hay abstenciones. Con un nivel de signifi cancia de 5%, calcule un intervalo de confi anza para el verdadero resultado de las elecciones. Solucin El parmetro a estimar en un intervalo de confi anza con =0.05 es p, y tenemos sobre una muestra de tamao n =1 000, la siguiente estimacin pun- tual de p: p' = 35 = 0.35 q' = 0.65 intervalo de confi anza p' (escala z para intervalo de confi anza tiene centro en p') (escala z para prueba de hiptesis tiene centro en p) regin crtica regin crtica intervalo de confi anza (escala z para intervalo de confi anza tiene centro en p') regin crtica regin crtica no crtica Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito E J E M P L O A P L I C A D O 9 . 1 4 100 www.fullengineeringbook.net 446 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin E J E R C I C I O S S E C C I N 9 . 2 9.65 De los 150 elementos en una muestra aleatoria, 45 se FODVLFDQFRPRp[LWRV a. Explica por qu a x y n se les asignan los valores 45 y 150, respectivamente. b. Determina el valor de p'. Explica cmo se encontr p' \HOVLJQLFDGRGHp'. Para cada una de las siguientes situaciones, encuentra p'. c. x = 24 y n = 250 d. x = 640 y n = 2050 e. 892 de 1 280 respondi "s" 9.66 a. Cul es la relacin entre p = Pp[LWR\q = PIDOOD" Explica. b. Explica por qu la relacin entre p y q puede expre- sarse mediante la frmula q = 1 p. c. Si p = 0.6, cul es el valor de q? d. Si el valor de q' = 0.273, cul es el valor de p'? 9.67 a. Parece razonable que la media de la distribucin muestral de valores observados de p' deba ser p, la verdadera proporcin? Explica. b. Explica por qu p' es un estimador no sesgado para la poblacin p. 9.68'HPXHVWUDTXHVHVLPSOLFDD 9.69 Encuentra HOiUHDGHXQDFROD\HOFRHFLHQWHGHFRQ- DQ]DGHz que se usa con cada uno de los siguientes niveles GHFRQDQ]D a. 1 = 0.90 b. 1 = 0.95 c. 1 = 0.99 9.70 Encuentra HOiUHDGHXQDFROD\HOFRHFLHQWHGHFRQ- DQ]DGHz que se usa con cada uno de los siguientes niveles GHFRQDQ]D a. 1 = 0.80 b. 1 = 0.98 c. 1 = 0.75 9.71 Consulta de nuevo el ejemplo 9.8, pgina 436. Se toma otra muestra para estimar la proporcin de convertibles. Los resultados son n = 400 y x = 92. Encuentra: a. la estimacin para el error estndar. E HOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 9.72 "T dices tomate, los amantes de las hamburguesas di- cen catsup!". De acuerdo con una reciente encuesta aleatoria de 1 027 estadounidenses por parte de los restaurantes T.G.I. )ULGD\VDSUR[LPDGDPHQWHODPLWDGGLMRTXHODFDWVXS es su condimento para hamburguesas preferido. La encuesta cit un margen de error de ms o menos 3.1%. Fuente: Harris Interactive/Yankelovich Partners for T.G.I. Fridays restaurants, http:// www.knoxville3.com/ a. Describe cmo esta encuesta de 1 027 estadounidenses encaja en las propiedades de un experimento binomial. (VSHFtFDPHQWHLGHQWLFDn, un ensayo, xito, p y x. Calculamos z = z 0.5 = z 0.025, usando la funcin 2 2 DISTR.NORM.ESTAND.INV (0.025) de Excel se encuentra que z0.025 = 1.96, entonces E =1.96 (0.35)(0.65) = 0.0296 1 000 Por tanto, con esa muestra se tiene que el mximo error de estimado es 0.0296. Los lmites inferior y superior del intervalo de confianza son (p' E, p' + E) (0.35 0.0296, 0.35 + 0.0296) (0.3204, 0.3796) pq n npq n www.fullengineeringbook.net 447 b. Cul es la estimacin puntual para la proporcin de to- GRVORVHVWDGRXQLGHQVHVTXHSUHHUHQFDWVXSHQVXKDP- burguesa? Es un parmetro o un estadstico? F &DOFXODHOHUURUPi[LPRGHHVWLPDFLyQGHFRQDQ]DGH 95% para un experimento binomial de 1 027 ensayos que resulte en una proporcin observada de 0.47. d. Cmo el error mximo, que encontraste en el inciso c, se relaciona con el margen de error de 3.1% citado en el reporte de la encuesta? H (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD verdadera proporcin p, con base en un experimento binomial de 1 027 ensayos que resulten una proporcin observada de 0.47. 9.73 Aunque la mayora de las personas est consciente de los sntomas menores de deshidratacin, como piel seca y dolores de cabeza, muchos tienen menos conocimiento de las causas de la deshidratacin. De acuerdo con un sondeo realizado por el Cen- tro de Informacin en Nutricin, los resultados de una muestra aleatoria de 3 003 adultos estadounidenses mostr que 20% no saba que la cafena deshidrata. La encuesta mencion un mar- gen de error de ms o menos 1.8%. Fuente: Yankelovich Partners para el Nutrition Information Center del New York Hospital-Cornell Medical Center y la International Bottled Water Association a. Describe cmo esta encuesta de 3 003 adultos estadouni- denses encaja en las propiedades de una experimento ELQRPLDO(VSHFtFDPHQWHLGHQWLFDn, un ensayo, xito, p y x. b. Cul es la estimacin puntual para la proporcin de to- dos los estadounidenses que no saben que la cafena des- hidrata? Es un parmetro o un estadstico? F &DOFXODHOHUURUPi[LPRGHHVWLPDFLyQGHFRQDQ]DGH 95% para un experimento binomial de 3 003 ensayos que resulte en una proporcin observada de 0.20. d. Cmo el error mximo, que encontraste en el inciso c, se relaciona con el margen de error de 1.8% citado en el reporte de la encuesta? H (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD verdadera proporcin p, con base en un experimento binomial de 3 003 ensayos que resulten una proporcin observada de 0.20. 9.74 Un banco selecciona al azar 250 clientes con cuentas de cheques y descubre que 110 de ellos tambin tienen cuentas de ahorros en el mismo banco. Construye un intervalo de con- DQ]DGHSDUD ODYHUGDGHUDSURSRUFLyQGHFOLHQWHVFRQ cuenta de cheques que tambin tengan cuentas de ahorros. 9.75 En una muestra de 60 estudiantes seleccionados al azar, slo 22 favorecieron el importe presupuestado para los depor- tes intramuros e interescolares del prximo ao. Construye un LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODSURSRUFLyQGHWRGRVORV estudiantes que apoyan la cantidad presupuestada propuesta. 9.76/D1DWLRQDO+LJKZD\7UDIF6DIHW\$GPLQLVWUDWLRQ descubri que, entre los choques con tiempos registrados, ORVWLHPSRVGHQRWLFDFLyQD60(VXSHUDQORVPLQXWRV en 19.4% de los choques mortales rurales. Una muestra aleatoria de 500 choques mortales reportados en Kentucky PRVWUyTXHGH ORV WLHPSRVGHQRWLFDFLyQ VXSHUD- URQORVPLQXWRV&RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 95% para la verdadera proporcin de choques fatales en .HQWXFN\FX\RWLHPSRGHQRWLFDFLyQWUDQVFXUULGRVXSHUy los 10 minutos. 9.77 En una encuesta realizada por Harris Interactive de 1 179 jvenes videojugadores estadounidenses, 8.5% mos- traron signos conductuales que pueden indicar adiccin. &RQ XQ LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH SDUD OD YHUGDGHUD proporcin binomial basada sobre esta muestra aleatoria de 1 179 ensayos binomiales y una proporcin observada de 0.085, estima la proporcin de jvenes videojugadores que es posible tengan una adiccin. Fuente: USA Today, 21 de abril de 2009, "Chicos muestran sntomas de adiccin". 9.786yORXQDSRUFLyQDOPHVGHFROLRUR UHSROORVYHUGHV o ms de dos porciones de zanahorias a la semana, pueden reducir el riesgo de glaucoma en ms de 60%, de acuerdo con un estudio de la UCLA de 1 000 mujeres. Con un intervalo de FRQDQ]DGHSDUDODYHUGDGHUDSURSRUFLyQELQRPLDOED- sada sobre esta muestra aleatoria de 1 000 ensayos binomiales y una proporcin observada de 0.60, estima la proporcin de reduccin del riesgo de glaucoma en mujeres que comen las SRUFLRQHVUHFRPHQGDGDVGHFROLRUUHSROORVYHUGHVR]DQD- horias. Fuente: Reader's Digest, febrero de 2009, "Sabrosos guardianes de la vista". 9.79 Las reacciones adversas a las medicinas de prescripcin legal estn entre las principales causas de muertes relaciona- das con medicamentos en Estados Unidos. Supn que inves- tigas las muertes relacionadas con medicamentos en tu ciudad y descubres que 223 de 250 incidencias fueron causadas por medicamentos prescritos legalmente y el resto fueron resultado del uso de medicamentos ilcitos. Despus usas MINITAB para IRUPDUHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODSURSRUFLyQGH muertes relacionadas con medicamentos que fueron causadas SRUPHGLFLQDVSUHVFULWDVOHJDOPHQWH9HULFDORVVLJXLHQWHVUH- sultados MINITAB. CI for One Proportion Sample X N Sample p 98% CI 1 223 250 0.892000 (0.846333, 0.937667 9.80 Con el resultado MINITAB y la informacin del ejerci- cio 9.79, determina los valores de los siguientes trminos: a. Estimacin puntual E &RHFLHQWHGHFRQDQ]D FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito www.fullengineeringbook.net 448 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin c. Error estndar de la media d. Error mximo de estimacin, E H /tPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU I /tPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU 9.81 Una encuesta telefnica nacional de 1 000 personas por parte de Cambridge Consumer Credit Index, descubri que la PD\RUtDGHORVHVWDGRXQLGHQVHVQRVRQIiFLOPHQWHLQXHQFLDGRV por el atractivo de los puntos de recompensa o rebajas cuan- do deciden usar una tarjeta de crdito o pagar con efectivo o cheque. La encuesta descubri que 2 de cada 3 consumidores incluso no tienen tarjetas de crdito que ofrezcan puntos de re- compensa o rebajas. Explica por qu t estaras reticente a usar HVWD LQIRUPDFLyQSDUDFRQVWUXLUXQ LQWHUYDORGHFRQDQ]DTXH estime la verdadera proporcin de consumidores que no tienen tarjetas de crdito que ofrezcan puntos de recompensa o rebajas. 9.82&RQVWUX\H LQWHUYDORVGH FRQDQ]DGHSDUD HO SD rmetro binomial p para cada uno de los siguientes pares de valores. Escribe tus respuestas en el cuadro. Proporcin observada Tamao Lmite Lmite p' = x/n muestral inferior superior a. p' = 0.3 n = 30 b. p' = 0.7 n = 30 c. p' = 0.5 n = 10 d. p' = 0.5 n = 100 e. p' = 0.5 n = 1000 f. Explica la relacin entre las respuestas a los incisos a y b. g. Explica la relacin entre las respuestas a los incisos c-e. 9.83 A continuacin se describen los resultados de tres en- cuestas nacionales. Cada una de las encuestas se basa en aproximadamente 1 005 adultos seleccionados al azar. a. Calcula el error mximo de estimacin de 95% de con- DQ]DSDUDODYHUGDGHUDSURSRUFLyQELQRPLDOEDVDGDHQ experimentos binomiales con el mismo tamao muestral y proporcin observada, como se menciona primero en cada artculo. b. Explica qu caus la variacin de los errores mximos. c. El margen de error reportado por lo general es el valor del error mximo redondeado al siguiente porcentaje en- WHURPiVJUDQGH7XVUHVXOWDGRVHQHOLQFLVRDYHULFDQ esto? d. Explica por qu la prctica de redondeo se considera "conservadora". e. Qu valor de p debe usarse para calcular el error estn- dar si se desea el margen de error ms conservador? 9.84 a. Si x xitos resultan de un experimento binomial con n = 1 000 y p = Pp[LWR\HOLQWHUYDORGH GHFRQDQ]DSDUDODYHUGDGHUDSUREDELOLGDG de xito est determinada, cul es el mximo valor posible para el "error mximo de estima- cin"? b. Compara el valor numrico del "error mximo de estimacin" que encontraste en el inciso a, con el "margen de error" discutido en el ejemplo aplicado 9.9. c. Bajo qu condiciones son iguales? No iguales? d. Explica cmo los resultados de las encuestas nacionales, como las de Harris y Gallup, se rela- FLRQDQVLPLOLWXGHV\GLIHUHQFLDVFRQODWpFQLFD GHLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVWXGLDGDHQHVWDVHF cin. e. El error de muestreo terico con un nivel de FRQDQ]DSXHGHFDOFXODUVHSHURODVHQFXHVWDV usualmente slo reportan un "margen de error" VLQSUREDELOLGDGQLYHOGHFRQDQ]D3RUTXpHV esto? 9.85 Karl Pearson una vez lanz una moneda 24 000 veces y registr 12 012 caras. a. Calcula la estimacin puntual para p = PFDUDFRQEDVH en los resultados de Pearson. b. Determina el error estndar de proporcin. F 'HWHUPLQDODHVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 95% para p = PFDUD d. Al Sr. Pearson debi tomarle varias horas lanzar una mo- neda 24 000 veces. T puedes simular 24 000 lanzamien- tos de moneda usando los comandos de computadora y calculadora que siguen. (Nota: un experimento Bernoulli USA Today Sanpshot/Rent.com, 18 de agosto de 2009; N = 1 000 adultos de 18 aos y ms; MdE 3. (MdE es PDUJHQGHHUURU "Qu consideran ms los arrendatarios cuando buscan un departamento?:" lavadora/secadora: 39%, acondicio- nador de aire: 30%, centro de ejercicios: 10%, alberca: 10%. USA Today/Harris Interactive Poll, 10-15 de febrero de 2009; N = 1 010 adultos; MdE 3. "Estadounidenses que dicen que las personas de Wall Street son 'tan honestas y morales como las dems per- sonas'": desacuerdo: 70%, acuerdo: 26%, no seguro/no contest: 4%. Encuesta de la American Association of Retired Persons Bulletin/AARP, 22 de julio al 2 de agosto de 2009; N = 1 006 adultos de 50 aos y ms; MdE 3. La encuesta del Boletn de la Asociacin Estadouni- dense de Personas Jubiladas report que 16% de los adultos de 50 aos y ms, dice que probablemente regresar a la escuela. www.fullengineeringbook.net 449 es como un "solo" ensayo de experimento binomial. Esto es: un lanzamiento de moneda es un experimento Bernou- lli con p = 0.5; y 24 000 lanzamientos de una moneda o es un experimento binomial con n = 24 000 o es 24 000 experimentos Bernoulli. Cdigo: 0 = cruz, 1 = cara. La suma de los 1 ser el nmero de caras en los 24 000 lan- ]DPLHQWRV MINITAB Elige Calc > Randon Data > Bernoulli y escribe 24 000 para ge- nerate, C1 para Store in columns(s) y 0.5 para Probability of suc- cesss. Suma los datos y divide por 24 000. Excel Elige Data > Data Analysis > Random Number Generation > Ber- noulli y escribe 1 para Number of Variables, 24 000 para Number of Randon Numbers y 0.5 para p Value. Suma los datos y divide entre 24 000. TI-83/84 Plus Elige MATH > PRB > 5:randInt, despus escribe 0, 1, nmero de ensayos. El nmero mximo de elementos (ensayos) en una lista es 999 (proceso lento para n grande). Suma los datos y divide entre n. e. Cmo tus resultados simulados se comparan con los de Pearson? I 8VDORVFRPDQGRVLQFLVRG\JHQHUDRWURFRQMXQWRGH 24 000 lanzamientos de moneda. Compara estos resul- tados con los obtenidos por Pearson. Adems, compara mutuamente las dos muestras simuladas. Explica qu puedes concluir a partir de estos resultados. 9.86 Cuando se rueda un solo dado, la probabilidad de un uno es 1/6, o 0.167. Simula 3 000 rodaduras de un dado. (Nota: un experimento de Bernoulli es como un "solo" ensayo de experimento binomial. Esto es: una rodadura de un dado es un experimento de Bernoulli con p = 1/6 y 3 000 rodaduras de un dado o es un experimento binomial con n = 3 000 o es 3 000 experimentos Bernoulli. Cdigo: 0 = 2, 3, 4, 5 o 6 y 1 = 1. La suma de los 1 ser el nmero de unos en los 3 000 ODQ]DPLHQWRV a. Usa los comandos dados en el ejercicio 9.85 y una calcu- ladora o computadora para simular la rodadura de un solo dado 3 000 veces. Con los resultados de la simulacin: b. Suma los datos y divide por 3 000. Explica qu representa este valor. c. Determina el error estndar de proporcin. G 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD p = PXQR e. Cmo se comparan los resultados de la simulacin con tus expectativas? Explica. 9.87 La "regla emprica" enunciada en la pgina 434 indi- c que uno esperara que la distribucin muestral de p' fuera aproximadamente normal cuando "n > 20 y tanto np como nq son mayores que 5". Qu sucede cuando dichos lineamientos no se siguen? a. Usa el siguiente conjunto de comandos de computadora o calculadora para ver qu sucede. Intenta n = 15 y p = 0.1 (K1 = n y K2 = p/DVGLVWULEXFLRQHVSDUHFHQQRUPDOHV" Explica qu causa las "brechas". Por qu los histogra- mas se parecen? Intenta algunas combinaciones diferentes den.\p. MINITAB Elige Calc > Random Data > Binomial para simular 1 000 ensayos para una n de 15 y una p de 0.5. Divide cada valor generado por n y forma una columna de p muestrales. Calcula un valor z para cada p muestral con z = (p' p)/ p(1 p)/n. Construye un histo- grama para las p muestrales y otro histograma para las z. Excel Elige Data > Data Analysis > Randon Number Generation > Bino- mial para simular 1 000 ensayos para una n de 15 y una p de 0.5. Divide cada valor generado por n y forma una columna de p' muestrales. Calcula un valor z para cada p muestral con z = (p p)/ p(1 p)/n. Construye un histograma para las p muestrales y otro histograma para las z. TI-83/84 Plus Elige MATH > PRB > 7:randBin, despus escribe n, p, nmero de ensayos. El nmero mximo de elementos (ensayos) en una lista es 999 (proceso lento para grandes n). Divide cada valor generado por n y forma una lista de p muestrales. Calcula un valor z para cada p muestral con z = (p' p)/ p(1 p)/n. Construye un histo- grama para las p muestrales y otro histograma para las z. b. Intenta n = 15 y p = 0.01. c. Intenta n = 50 y p = 0.03. d. Intenta n = 20 y p = 0.2. e. Intenta n = 20 y p = 0.8. f. Qu sucede cuando la regla emprica no se sigue? Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito www.fullengineeringbook.net 450 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 9.88 Ha fracasado la ley que ordena el uso de casco para los ciclistas? Yankelovich Partners realiz una encuesta de ciclistas en Estados Unidos. Slo 60% de la muestra de repre- sentacin nacional de 1 020 ciclistas report usar casco para ciclistas. Fuente: http://www.cpsc.gov/ D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODYHUGD- dera proporcin p para un experimento binomial de 1 020 ensayos que result en una proporcin observada de 0.60. Usa esto para estimar el porcentaje de ciclistas que repor- ta usar casco. b. Con base en los resultados de la encuesta, diras que existe cumplimiento de la ley que ordena usar casco para los ciclistas? Explica. Supn que quieres realizar una encuesta en tu ciudad para de- terminar qu porcentaje de ciclistas usan casco. Usa la cifra nacional de 60% para tu estimacin inicial de p. c. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D d. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D e. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D f. Qu efecto tiene cambiar el error mximo sobre el tamao de la muestra? Explica. J 4XpHIHFWRWLHQHFDPELDUQLYHOGHFRQDQ]DVREUH el tamao muestral? Explica. 9.89 Encuentra el tamao de la muestra n necesario para una estimacin de intervalo de 95% en el ejemplo 9.10. 9.90 Encuentra nSDUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD p con E = 0.02, con una estimacin de p = 0.25. 9.91 De acuerdo con una encuesta Harris de mayo de 2009, 72% de quienes conducen y poseen telfonos celulares dice que lo usa para hablar mientras conduce. T quieres realizar una encuesta en tu ciudad para determinar qu porcentaje de los conductores con telfonos celulares los usan para hablar mientras conducen. Usa la cifra nacional de 72% para tu esti- macin inicial de p. a. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D b. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D c. Encuentra el tamao muestral si quieres que tu estimacin HVWpGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D d. Qu efecto tiene el cambiar el error mximo sobre el tamao de la muestra? Explica. H 4XpHIHFWRWLHQHHOFDPELDUHOQLYHOGHFRQDQ]DVREUH el tamao muestral? Explica. 9.92 El cncer pulmonar es la principal causa de muertes por cncer tanto en hombres como en mujeres en Estados Unidos. De acuerdo con estadsticas de 2005 de los Centros para el Control y la Prevencin de Enfermedades, el cncer pulmonar representa ms muertes que el cncer de mama, el cncer de prstata y el cncer de colon combinados. De manera global, slo aproximadamente 16% de todas las personas que desarro- llan cncer pulmonar sobreviven 5 aos. Fuente: http://www.cdc.gov/ Supn que quieres ver si esta tasa de supervivencia todava es verdadera. Cun grande necesitaras tomar una muestra para estimar la verdadera proporcin de supervivencia de 5 aos despus del diagnstico hasta dentro de 1% con 95% de con- DQ]D"8VDHOFRPRHOYDORULQLFLDOGHp 9.93 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDHVWDVDUPDFLRQHV a. Ms de 60% de todos los estudiantes de tu universidad traba- jan en empleos de tiempo parcial durante el ao acadmico. b. No ms de un tercio de los fumadores de cigarrillos estn interesados en dejarlo. c. Una mayora de los electores votar por el presupuesto escolar este ao. d. Al menos tres cuartos de los rboles en el condado fueron severamente daados por la tormenta. e. Los resultados muestran que la moneda no se lanz de manera justa. 9.94 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDHVWDVDUPDFLRQHV a. La probabilidad de que tu equipo gane hoy en la noche es menor a 0.50. b. Al menos 50% de todos los padres creen en dar nalgadas a sus hijos cuando es apropiado. c. Cuando mucho, 80% de los invitados asistir a la boda. d. Los nmeros de un solo dgito generados por la compu- tadora no parecen ser igualmente probables respecto a ser impares o pares. e. A menos de la mitad de los clientes les gusta la nueva pizza. 9.95 Calcula el estadstico de prueba z+ usado para poner a prueba lo siguiente: a. H o : p = 0.70 frente a H a : p > 0.70, con la muestra n = 300 y x = 224 b. H o : p = 0.50 frente a H a : p < 0.50, con la muestra n = 450 y x = 207 www.fullengineeringbook.net 451 c. H o : p = 0.35 frente a H a : pFRQODPXHVWUDn = 280 y x = 94 d. H o : p = 0.90 frente a H a : p > 0.90, con la muestra n = 550 y x = 508 9.96 Encuentra el valor P para cada una de las pruebas de hiptesis del ejercicio 9.95; establece la decisin con = 0.05. 9.97 Determina el valor p para cada una de las siguientes si- tuaciones de prueba de hiptesis. a. H o : p = 0.5, H a : pz+ = 1.48 b. H o : p = 0.7, H a : pz+ = 2.26 c. H o : p = 0.4, H a : p > 0.4, z+ = 0.98 d. H o : p = 0.2, H a : p < 0.2, z+ = 1.59 9.98 Encuentra la regin crtica y los valores crticos para cada una de las pruebas de hiptesis del ejercicio 9.95; esta- blece la decisin con = 0.05. 9.99 Determina los criterios de prueba que usaras para poner a prueba las siguientes hiptesis cuando se usa z como el esta- dstico de prueba y utilizas el mtodo clsico. a. H o : p = 0.5 y H a : p > 0.5, con = 0.05 b. H o : p = 0.5 y H a : pFRQ = 0.05 c. H o : p = 0.4 y H a : p < 0.4, con = 0.10 d. H o : p = 0.7 y H a : p > 0.7, con = 0.01 9.100 La variable aleatoria binomial, x, puede usarse como el estadstico de prueba cuando se prueban hiptesis acerca del parmetro binomial, p, cuando n es pequeo (por decir, 15 o PHQRV8VDODWDEODGHODSpQGLFH%\GHWHUPLQDHOYDORUp para cada una de las siguientes situaciones. a. H o : p = 0.5, H a : pGRQGHn = 15 y x = 12 b. H o : p = 0.8, H a : pGRQGHn = 12 y x = 4 c. H o : p = 0.3, H a : p > 0.3, donde n = 14 y x = 7 d. H o : p = 0.9, H a : p < 0.9, donde n = 13 y x = 9 9.101 La variable aleatoria binomial, x, puede usarse como el estadstico de prueba cuando se ponen a pruebas hiptesis acerca del parmetro binomial, p. Cuando n es pequeo (por GHFLURPHQRVODWDEODGHODSpQGLFH%SURSRUFLRQDODV probabilidades para cada valor de x por separado, lo que en consecuencia hace innecesario estimar probabilidades de la variable aleatoria binomial discreta con la variable normal es- tndar continua z. Usa la tabla 2 para determinar el valor de para cada uno de los siguientes: a. H o : p = 0.5 y H a : p > 0.5, donde n = 15 y la regin crtica es x = 12, 13, 14, 15 b. H o : p = 0.3 y H a : p < 0.3, donde n = 12 y la regin crtica es x = 0,1 c. H o : p = 0.6 y H a : pGRQGHn = 10 y la regin crtica es x = 0, 1, 2, 3, 9, 10 d. H o : p = 0.05 y H a : p > 0.05, donde n = 14 y la regin crti- ca es x = 4, 5, 6, 7, . . . , 14 9.102 Usa la tabla 2 del apndice B para determinar la regin crtica usada para poner a prueba cada una de las siguientes hiptesis. (Nota: dado que x es discreta, elige regiones crticas que no superen el valor de GDGR a. H o : p = 0.5 y H a : p > 0.5, donde n = 15 y = 0.05 b. H o : p = 0.5 y H a : pGRQGHn = 14 y = 0.05 c. H o : p = 0.4 y H a : p < 0.4, donde n = 10 y = 0.10 d. H o : p = 0.7 y H a : p > 0.7, donde n = 13 y = 0.01 9.103 Pondrs a prueba la hiptesis p = 0.7 y decides rechazar esta hiptesis si, despus de 15 ensayos, observas 14 o ms xitos. a. Si la hiptesis nula es verdadera y observas 13 xitos, FXiOGHORVVLJXLHQWHVKDUiV"&RUUHFWDPHQWHIDOODUHQ rechazar H o &RUUHFWDPHQWHUHFKD]DUH o &RPHWHU XQHUURUGHWLSR,&RPHWHUXQHUURUGHWLSR,, E (QFXHQWUDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHWXSUXHED c. Si la verdadera probabilidad de xito es 1/2 y observas p[LWRVFXiOGHORVVLJXLHQWHVKDUiV"&RUUHFWD- mente fallar en rechazar H o &RUUHFWDPHQWHUHFKD]DU H o &RPHWHUXQHUURUGHWLSR,&RPHWHUXQHUURU de tipo II. d. Calcula el valor p para tu prueba de hiptesis despus de observar 13 xitos. 9.104 Pondrs a prueba la hiptesis p = 0.4 y rechazars esta hiptesis si z+ es menor que 2.05. a. Si la hiptesis nula es verdadera y observas que z+ es LJXDODFXiOGHORVVLJXLHQWHVKDUiV"&RUUHFWD- mente fallar en rechazar H o &RUUHFWDPHQWHUHFKD]DU H o &RPHWHUXQHUURUGHWLSR,&RPHWHUXQHUURUGH tipo II. E &XiOHVHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUDHVWDSUXHED" c. Cul es el valor p para z+ = 2.12? 9.1058QD FRPSDxtD DVHJXUDGRUD DUPDTXHGH VXV reclamaciones se resuelven dentro de 30 das. Un grupo de consumidores selecciona una muestra al azar de 75 de las UHFODPDFLRQHVGHODFRPSDxtDSDUDSRQHUDSUXHEDHVWDDU- macin. Si el grupo de consumidores descubre que 55 de Seccin 9.2 Inferencias en torno a la probabilidad binomial de xito www.fullengineeringbook.net 452 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin ODVUHFODPDFLRQHVVHUHVXHOYHGHQWURGHGtDVWLHQHVX- ciente razn para apoyar la argumentacin de que menos de 90% de las reclamaciones se resuelven dentro de 30 das? Usa = 0.05. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.106 El cuerpo estudiantil de tiempo completo de una uni- versidad est compuesto de 50% de hombres y 50% de mu- jeres. Una muestra aleatoria de estudiantes (30 hombres, 20 PXMHUHV GH XQ FXUVR GH TXtPLFD EiVLFDPXHVWUD VXFLHQWH evidencia para rechazar la hiptesis de que la proporcin de estudiantes hombres y mujeres que toman este curso es la misma que la de todo el cuerpo estudiantil? Usa = 0.05. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.1078QDSROtWLFDDUPDTXHUHFLELUiGHOYRWRHQXQD eleccin venidera. Los resultados de una muestra aleatoria di- seada adecuadamente de 100 electores mostr que 50 de los PXHVWUHDGRVYRWDUiSRUHOOD(VSUREDEOHTXHVXDUPDFLyQ VHDFRUUHFWDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.108 La popularidad de las motos acuticas (PWC, tambin FRQRFLGDVFRPRMHWVNLVVLJXHDODDO]DDSHVDUGHODSDUHQWH peligro asociado con su uso. De hecho, una muestra de 54 accidentes con moto acutica, reportados a la Comisin de Juegos y Parques en el estado de Nebraska, revel que 85% de los mismos involucr PWC aun cuando slo 8% de los botes motorizados registrados en el estado son PWC. Fuente: Nebraskaland, "Officer's Notebook: The Personal Problem" Supn que la proporcin nacional promedio de accidentes con motos acuticas que involucran PWC fue de 78%. La tasa de accidentes con motos acuticas para PWC en el estado de Nebraska super la de la nacin como un todo? Usa un nivel GHVLJQLFDQFLDGH a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.109 El 21 de abril de 2009, el artculo del USA Today titu- lado "En el camino, haz lo que digo, no lo que hago", report que 58% de los adultos estadounidenses aceleran para pasar la luz amarilla. Supn que en tu ciudad realizas una encuesta de 150 adultos seleccionados al azar y descubres que 71 de los 150 admite acelerar para pasar la luz amarilla. Tu ciudad tiene una tasa menor de quienes aceleran para pasar la luz amarilla que la nacin como un todo? Usa un nivel de signi- FDQFLDGH 9.110 Una encuesta reciente realizada por Lieberman Re- search Worldwide y Charles Schwab report que el "alto costo de la vida" era la principal preocupacin que ms sorprende a los adultos jvenes cuando comienzan a vivir por su cuenta. Veintisis por ciento report el "alto costo de la vida" como su principal preocupacin. Para desacreditar esta informacin, una persona toma su propia muestra aleatoria de 500 adultos jvenes que comienzan a vivir por su cuenta con la inten- cin de demostrar que el verdadero porcentaje para esta gran preocupacin en realidad es mayor. a. Encuentra el valor p si 148 de los adultos jvenes encues- tados colocan el "alto costo de la vida" como su principal preocupacin. b. Explica por qu es importante establecer el nivel de signi- FDQFLDDQWHVGHFRQRFHUORVUHVXOWDGRVPXHVWUDOHV 9.111 Septiembre es el mes para renovar la credencial de la biblioteca. De acuerdo con una encuesta nacional Harris duran- te agosto de 2008, 68% de los adultos estadounidenses tienen una credencial de biblioteca. Supn que realizas una encuesta GHDGXOWRVHOHJLGRVDOD]DUFRQODQDOLGDGGHSRQHUD prueba H o : p = 0.68 frente a H a : p < 0.68, donde p representa la proporcin de adultos que actualmente tienen una credencial de biblioteca; 651 de los 1 000 muestreados tiene credencial de biblioteca. Usa = 0.01. a. Calcula el valor del estadstico de prueba. b. Resuelve con el mtodo de valor p. c. Resuelve con el mtodo clsico. 9.112 Demuestra que la prueba de hiptesis completada como HMHPSORHUDLQQHFHVDULDSRUTXHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D ya se haba completado en el ejemplo 9.8. 9.113 La siguiente salida de computadora se us para com- pletar una prueba de hiptesis. Test for One Proportion Test of p = 0.225 vs p > 0.225 95% Lower Sample X N Sample p Bound Z-Value P-Value 1 61 200 0.305000 0.251451 2.71 0.003 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Si la prueba se completa con = 0.05, a qu decisin y conclusin se llega? F 9HULFDODp muestral". 9.114 Con la salida de computadora y la informacin del ejer- cicio 9.113, determina el valor de lo siguiente: a. Valor hipottico de proporcin poblacional b. Proporcin muestral c. Estadstico de prueba 9.115 Reliable Equipment desarroll una mquina, The Flip- perHOODQ]DGRUTXHODQ]DUiXQDPRQHGDFRQUHVXOWDGRVSUH- GHFLEOHV$UPDQTXHXQDPRQHGD ODQ]DGDSRU7KH)OLSSHU www.fullengineeringbook.net 453 Con frecuencia surgen problemas que requieren realizar inferencias acerca de la variabi- lidad. Por ejemplo, una compaa embotelladora de gaseosas tiene una mquina que llena botellas de 16 oz. La compaa necesita controlar la desviacin estndar (o varianza 2 en la cantidad de gaseosas, x, que se pone en cada botella. La cantidad media colocada en cada botella es importante, pero una cantidad media correcta no garantiza que la mquina llenadora funcione correctamente. Si la varianza es muy grande, muchas botellas se des- bordarn y muchas no estarn llenas. Por tanto, la compaa embotelladora quiere mante- QHUODGHVYLDFLyQHVWiQGDURODYDULDQ]DWDQSHTXHxDFRPRVHDSRVLEOH Cuando se estudian las inferencias en torno a la dispersin de datos, por lo general se habla de varianza en lugar de desviacin estndar, porque las tcnicas (las frmulas XVDGDVHPSOHDQ ODYDULDQ]DPXHVWUDOHQ OXJDUGH ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU6LQHPEDUJR recuerda que la desviacin estndar es la raz cuadrada positiva de la varianza; por tanto, hablar de varianza de una poblacin es comparable a hablar de la desviacin estndar. Las inferencias en torno a la varianza de una poblacin con distribucin normal usan las distribuciones ji cuadrada, 2 HV OD OHWUDJULHJDPLQ~VFXOD ML/DVGLVWULEXFLRQHVML 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar lanzar caras al menos 88% de las veces. Qu conclusin resultara en una prueba de hiptesis, con = 0.05, cuando se lanzan 200 monedas y se logran los siguientes resultados? a. 181 caras b. 172 caras c. 168 caras d. 153 caras 9.116 Consulta el ejemplo aplicado 9.14. a. Enuncia la hiptesis de los estadsticos polacos. b. Su hiptesis es la nula o la alternativa? Explica. c. Enuncia la hiptesis nula. Enuncia la hiptesis alternativa. G ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHSRUFLHQWRHQFXDOTXLHUODGR de 50 por ciento". e. Qu trmino estadstico representa la frase "se esperara slo en aproximadamente 7 de cada 100 experimentos con una moneda justa"? Exprsalo con smbolos. f. Si la hiptesis nula se pone a prueba con = 0.05, a qu conclusin y decisin se llega con los resultados obteni- dos por los estudiantes? g. Cuando New Scientist realiz su propio experimento, qu valor obtuvo para la probabilidad observada de caras? h. New Scientist tiene evidencia de que la moneda tiene truco? Explica. i. Deberas estar molesto por el hecho de que los resulta- dos obtenidos por los estudiantes de Gliszczynski y los resultados de New Scientist son muy diferentes, pero conducen a la misma conclusin? Explica. Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 454 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 0 5 10 15 20 25 df = 1 df = 4 df = 10 df = 20 2 2 2 (df, ) 0 cuadrada, como la distribucin t de Student, son una familia de distribuciones de probabili- GDGFDGDXQDGHODVFXDOHVVHLGHQWLFDFRQHOparmetro nmero de grados de libertad. Para usar la distribucin ji cuadrada, debes estar al tanto de sus propiedades (consulta WDPELpQODJXUD Propiedades de la distribucin ji cuadrada 1. 2 es no negativa en valor; es cero o con valor positivo. 2. 2 no es simtrica; est sesgada a la derecha. 3. 2 est distribuida de modo que forma una familia de distribuciones, una distribucin separada para cada diferente nmero de grados de libertad. FIGURA 9.7 Varias distribuciones ji cuadrada FIGURA 9.8 Ubicacin de media, mediana y moda para distribucin 2 FIGURA 9.9 Distribucin ji cuadrada que muestra 2(gl, ) Nota: cuando gl = 2, el valor medio de la distribucin ji cuadrada es gl. La media se ubica DODGHUHFKDGHODPRGDHOYDORUGRQGHODFXUYDDOFDQ]DVXSXQWRPiVDOWR\MXVWRDOD GHUHFKDGHODPHGLDQDHOYDORUTXHGLYLGHODGLVWULEXFLyQHQFDGDODGR$OXELFDU cero en la extrema izquierda y el valor de gl en tu bosquejo de la distribucin 2, estable- cers una escala aproximada de modo que otros valores puedan ubicarse en sus posiciones UHVSHFWLYDV&RQVXOWDODJXUD Para valores de 2 a la izquierda de la mediana, el rea a la derecha ser mayor que 0.50. Los valores crticos para ji cuadrada se obtienen de la tabla 8 del apndice B. Cada YDORUFUtWLFRVHLGHQWLFDPHGLDQWHGRVSLH]DVGHLQIRUPDFLyQJO\iUHDEDMRODFXUYDDOD derecha del valor crtico a buscar. Por tanto, 2(gl, OpDVHMLFXDGUDGDGHJODOIDHVHO VtPERORXVDGRSDUDLGHQWLFDUHOYDORUFUtWLFRGHMLFXDGUDGDFRQJOJUDGRVGHOLEHUWDG\FRQ rea DODGHUHFKDFRPRVHPXHVWUDHQODJXUD'DGRTXHODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGD no es simtrica, los valores crticos asociados con las colas derecha e izquierda estn dadas por separado en la tabla 8. gl = media E J E M P L O 9 . 1 5 2 ASOCIADAS CON LA COLA DERECHA Encuentra 2(20, 0.05). Solucin Consulta la figura. Usa la tabla 8 del apndice B para encontrar el valor de 2(20, 0.05) en la interseccin de la fila gl = 20 y la columna para una rea de 0.05 a la derecha, como se muestra en la parte de la tabla que sigue: gl gl gl gl gl Moda Mediana 0 2 www.fullengineeringbook.net 455 2 0 E J E M P L O 9 . 1 6 MINITAB Escribe los datos en C1; despus contina con: Elige: Calc > Probability Distributions > Chi-Square Selecciona: Cumulative Probability Parmetro de no centralidad: 0.0 Escribe: Grados de libertad: df Selecciona: Input constant* Escribe: 2-value (ex. 47.25) > OK *Selecciona Input column si en C1 se almacenan varios valores 2. Usa C2 para almacenamiento opcional. Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R O B A B I L I D A D E S A C U M U L A D A S P A R A 2 La mayora de los paquetes de software de compu- tadora o calculadoras estadsticas calcularn el rea rela- cionada con un valor 2HVSHFtFR/DJXUDDODGHUHFKD muestra la relacin entre la probabilidad acumulada y un valor 2HVSHFtFRSDUDXQDGLVWULEXFLyQ2 con gl grados de libertad. 2 ASOCIADA CON LA COLA IZQUIERDA Encuentra 2(14, 0.90). Solucin Consulta la figura que sigue. Usa la tabla 8 en el apndice B para encontrar el valor de 2(14, 0.90) en la interseccin de la fila gl = 14 y la columna para un rea de 0.90 a la derecha, como se muestra en la parte de la tabla que sigue: PTI Explica el Applet Skillbuilder "Chi-Square Probabilities", disponible en cengagebrain.com probabilidad acumulada Parte de la tabla 8 rea a la derecha gl . . . 0.05 . . . 20 31.4 Parte de la tabla 8 rea a la derecha gl . . . 0.90 . . . 14 7.79 ... ... ... 2 (20, 0.05) = 31.4 2 (14, 0.90) = 7.79 Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar 2 2 (20,0.05) 0 0.05 31.4 2 2 (14,0.90) 0 0.90 7.79 www.fullengineeringbook.net 456 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin TI-83/84 Plus Excel Si vas a usar varios valores 2, escribe los valores en la columna A y activa B1; despus contina con: Elige: Insert function fx > Statistical > CHIDIST > OK Escribe: X: individual x2-value o (A1:A5 o selecciona las celdas "2-value" Grados_lib: df > OK Arrastra*: Esquina inferior derecha de la celda B1 hacia abajo para obtener otras probabilidades Elige: 2nd > DISTR > 7: 2 cdf( Escribe: 0, 2-value, df) Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. Ahora ests listo para usar ji cuadrada para hacer inferencias acerca de la varianza o desviacin estndar poblacional. Las suposiciones para inferencias acerca de la varianza 2 o desviacin estn- dar La poblacin muestreada tiene distribucin normal. Los procedimientos tSDUDLQIHUHQFLDVHQWRUQRDODPHGLDFRQVXOWDODVHFFLyQVH basaron en la suposicin de normalidad, pero los procedimientos t por lo general son tiles DXQFXDQGRODSREODFLyQPXHVWUHDGDQRVHDQRUPDOHVSHFtFDPHQWHSDUDPXHVWUDVPiV grandes. Sin embargo, lo mismo no es cierto acerca de los procedimientos de injerencia para la desviacin estndar. Los procedimientos estadsticos para la desviacin estndar VRQPX\VHQVLEOHVDODVGLVWULEXFLRQHVQRQRUPDOHVVHVJRHQSDUWLFXODU\HVWRGLFXOWDOD GHWHUPLQDFLyQGHVLXQUHVXOWDGRDSDUHQWHPHQWHVLJQLFDWLYRHVUHVXOWDGRGHODHYLGHQFLD muestral o una violacin de las suposiciones. Por tanto, el nico procedimiento de inferen- cia a presentar aqu es la prueba de hiptesis para la desviacin estndar de una poblacin normal. El estadstico de prueba que se usar en las pruebas de hiptesis acerca de varianza o desviacin estndar poblacionales se obtiene al usar la siguiente frmula: Estadstico de prueba para varianza y desviacin estndar 2+ = (n 1)s 2 , con gl = n 1 Cuando de una poblacin con varianza conocida 2 se extraen muestras aleatorias, la cantidad (ns 2 posee una distribucin de probabilidad que se conoce como distribucin ji cuadrada con n 1 grados de libertad. Procedimiento de prueba de hiptesis Ahora regresa al ejemplo acerca de la compaa embotelladora que quiere detectar cundo se sale de control la variabilidad en la cantidad de gaseosa que se coloca en cada botella. Una varianza de 0.0004 se considera aceptable y la compaa quiere ajustar la mquina llenadora de botellas cuando la varianza, 2, se vuelve mayor que este valor. La decisin se har usando el procedimiento de prueba de hiptesis. (9.10) 2 2 www.fullengineeringbook.net 457 27 0 47.25 2 E J E M P L O 9 . 1 7 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA VARIANZA, 2 La compaa embotelladora de gaseosas quiere controlar la variabilidad en la cantidad de llenado al no permitir que la varianza supere 0.0004. Una muestra de tamao 28, con una varianza de 0.0007, indica que el proceso de embotellado est fuera de control (respecto a la varianza) en el nivel de significancia 0.05? Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. 2, la varianza en la cantidad de llenado de una gaseosa durante un proceso de embotellamiento. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: 2 = 0.0004 ()) (varianza no es mayor que 0.0004) Ha: 2 > 0.0004 (varianza es mayor que 0.0004) Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. La cantidad de llenado que se pone en una botella por lo general tiene distribucin normal. Al verificar la distribucin de la muestra, podras verificar esto. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Se usarn la distribucin ji cuadrada y la frmula (9.10), con gl = n 1 = 28 1 = 27. c. Determina el nivel de significancia: = 0.05. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 28 y s2 = 0.0007. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.10): 2+ = (n 1)s 2 : 2+ = (28 1)(0.0007) = (27)(0.0007) = 47.25 2 0.0004 0.0004 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com o Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prueba. Usa la cola derecha, porque H a expresa preocu- pacin por valores relacionados con "mayor que". P = P(2+!FRQJO FRPRVH PXHVWUDHQODJXUD Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica es la cola derecha, porque H a expresa preocupacin para valores relacionados con "mayor que". El valor crtico se obtiene a partir de prob. acum. valor p Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar 27 0 2 40.147.25 mayor que www.fullengineeringbook.net 458 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Cmo calcular el valor p cuando se usa la distribucin 2 Mtodo 1. Usa la tabla 8 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p. Al inspeccio- QDUODODJO GHODWDEODSXHGHVGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHQWURGHOFXDO\DFHHOYDORU p. Ubica 2+DORODUJRGHODODHWLTXHWDGDJO 6LQRVHPHQFLRQD2+, ubica los dos valores ntre los que cae 2+ y despus lee las cotas para el valr p de la parte superior de la tabla. En este caso, 2+ = 47.25 est entre 47.0 y 49.6; por tanto, P est entre 0.005 y 0.01. Mtodo 2. Usa una computadora o calculadora. Usa los comandos de distribucin de probabilidad 2 de las pginas 455-456 para encontrar el valor p asociado con 2+ = 47.25. E J E M P L O 9 . 1 8 Para encontrar el valor p, usa uno de dos m- todos: 1. Usa la tabla 8 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p: 0.005 < P < 0.01. 2. Usa una computadora o calculadora para calcular el valor p: P = 0.0093. Despus de este ejemplo vienen instrucciones HVSHFtFDV b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD PRUEBA DE HIPTESIS DE VALOR p DE UNA COLA PARA VARIANZA, 2 Encuentra el valor p para esta prueba de hiptesis: Ho: 2 = 12 Ha: 2 < 12 con gl = 15 y 2+ = 7.88 /DWDEODHQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO y la columna = 0.05: 2 = 40.1. 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV YpDVH OD SiJLQD 455 b. Determina si el estadstico de prueba est o no en la regin crtica. 2+ est en la regin crtica, como se muestra en azul oscuroHQODJXUDDQWHULRU Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. En el nivel de significancia 0.05, se concluye que el proceso de embo- tellado est fuera de control respecto a la varianza. Parte de la tabla 8 rea a la derecha gl . . . 0.01 P 0.005 27 47.0 47.25 49.6 ... Cmo encontrar P = P(2+ > 47.25, con gl = 27) 0.005 < P < 0.01 www.fullengineeringbook.net 459 E J E M P L O 9 . 1 9 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA DESVIACIN ESTNDAR, Un fabricante afirma que un qumico fotogrfico tiene una vida en anaquel que cuenta con distribucin normal en torno a una media de 180 das, con una desviacin estndar de no ms de 10 das. Como usuario de este qumico, Fast Photo est preocupado de que la desviacin estndar pueda ser diferente de 10 das; de otro modo, comprar una cantidad ms grande mientras el qumico es parte de una promocin especial. Se seleccionan y prueban 12 muestras aleatorias, con una desviacin estndar resultante de 14 das. En el nivel de significancia 0.05, esta muestra presenta suficiente evidencia para mostrar que la desviacin estndar es diferente de 10 das? Solucin Paso 1 La preparacin: a. Describe el parmetro poblacional de inters. , la desviacin estndar para la vida en anaquel del qumico. b. Enuncia la hiptesis nula (Ho) y la hiptesis alternativa (Ha). Ho: = 10 (desviacin estndar es 10 das) Ha: & 10 (desviacin estndar es diferente de 10 das) Solucin Dado que la preocupacin es por valores "ms pequeos" (la hiptesis alternativa es "menor que"), el valor p es el rea a la izquierda de 2+ = 7.88, como se muestra en la figura: P = P(2+ < 7.88 con gl = 15) Para encontrar el valor p, usa uno de dos mtodos: Valor p Mtodo 1. Usa la tabla 8 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p. Inspecciona la fila gl = 15 para encontrar 2+ = 7.88. El valor 2+ est entre entradas, de modo que el intervalo que acota P se lee del encabezado rea a la izquierda en la parte superior de la tabla. Mtodo 2. Usa una computadora o calculadora. Usa los comandos de distribucin de probabilidad 2 de las pginas 455-456 para encontrar el valor p asociado con 2+ = 7.88. Parte de la tabla 8 rea a la derecha gl . . . 0.05 P 0.10 15 7.26 7.88 8.55 ... Cmo encontrar P = P(2+ > 7.88, con gl = 15) 0.05 < P < 0.10 Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar 15 7.88 0 2 prob. acum. www.fullengineeringbook.net 460 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Paso 2 Criterios de la prueba de hiptesis: a. Verifica las suposiciones. El fabricante afirma que la vida en anaquel tiene distribucin normal; esto podra verificarse al comprobar la distribucin de la muestra. b. Identifica la distribucin de probabilidad y el estadstico de prueba a usar. Se usarn la distribucin ji cuadrada y la frmula (9.10), con gl = n 1 = 12 1 = 11. c. Determina el nivel de significancia: = 0.05. Paso 3 La evidencia muestral: a. Recolecta la informacin muestral: n = 12 y s = 14. b. Calcula el valor del estadstico de prueba. Usa la frmula (9.10): 2 += (n 1)s 2 : 2+ = (12 1)(14) 2 = 2 156 = 21.56 2 (10)2 100 Paso 4 La distribucin de probabilidad: o Uso del procedimiento de valor p: a. Calcula el valor p para el estadstico de prue- ba. Dado que la preocupacin es por valores "dife- rentes de" 10, el valor p es el rea de ambas co- las. El rea en cada cola representar 1/2P. Dado que 2+= 21.56 est en la cola derecha, el rea de la cola derecha es 1/2P: 1/2P = P(2 > 21.56 FRQJO FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Para encontrar 1/2P, usa uno de dos mtodos: 1. Usa la tabla 8 del apndice B para colocar cotas sobre 1/2P: 0.025 < 1/2P < 0.05. Dupli- car ambas cotas para encontrar las cotas para P: 2 (0.025 < 1/2PVHFRQYLHUWHHQ 0.05 < P < 0.10. 2. Usa una computadora o calculadora para en- contrar 1/2P = 0.0280; por tanto P = 0.0560. b. Determina si el valor p es o no menor que . El valor no pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQL- cancia, Uso del procedimiento clsico: a. Determina la regin crtica y el (los) valor(es) crtico(s). La regin crtica se divide en dos partes iguales porque H a expresa preocupacin por valores re- lacionados con "diferente de". Los valores crti- cos se obtienen de la tabla 8 en las interseccio- QHVGHODODJO FRQODVFROXPQDV\ 0.025 para el rea a la derecha: 2= 3.82 y 2 = 21.9. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJL- na 455. b. Determina si el estadstico de prueba calculado est o no en la regin crtica. 2+QRHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDREVHUYDODJXUD anterior. el otro 11 21.56 0 2 P P 1 2 1 2 prob. acum. 11 0 3.82 21.9 21.56 2 www.fullengineeringbook.net 461 Cmo calcular el valor p cuando se usa la distribucin 2 Mtodo 1. Usa la tabla 8 del apndice B para colocar cotas sobre el valor p. Inspec- FLRQDODODJO SDUDXELFDU2+ = 21.56. Observa que 21.56 est entre dos entradas de la tabla. Las cotas para 1/2P se leen del encabezado rea a la derecha en la parte superior de la tabla. Duplicar ambas cotas para encontrar las cotas para P: 2 (0.025 < 1/2PVH convierte en 0.05 < P < 0.10. Mtodo 2. Usa una computadora o calculadora. Usa los comandos de distribucin de probabilidad 2 de las pginas 455-456 para encontrar el valor p asociado con 2+ = 21.56. Recuerda duplicar la probabilidad. Nota: cuando los datos muestrales estn sesgados, un solo valor extremo puede afectar enormemente la desviacin estndar. Es muy importante, en especial cuando usas mues- tras pequeas, que la poblacin muestreada sea normal; de otro modo, dichos procedi- PLHQWRVQRVRQFRQDEOHV MOSAICO DE PISO CERMICO Los mosaicos de piso cermico vienen en todos los colores, acabados y tex- turas. Una razn para hacer la superfi cie texturizada es crear una aparien- cia de piedra natural. Por naturaleza, las capas dentro de la piedra varan enormemente. Los mosaicos cermicos deben tener sufi ciente variacin para que parezcan piedra real, aunque no tanta como para crear un problema de seguridad. Esta variacin puede medirse como altura superfi cial, x, la distancia entre la superfi cie y el plano de los puntos "ms altos" de la superfi cie. Observa la siguiente fi gura. Paso 5 Los resultados: a. Enuncia la decisin en torno a Ho: Fallar para rechazar Ho. b. Enuncia la conclusin en torno a Ha. No hay sufi ciente evidencia para concluir que, en el nivel de signifi - cancia 0.05, la vida en anaquel de este qumico tenga una desviacin estndar diferente de 10 das. Por tanto, Fast Photo debe comprar el qumico en concordancia. Plano de punto ms alto de superfi cie Altura de la superfi cie, x Superfi cie texturizada Parte de la tabla 8 rea a la derecha gl . . . 0.05 1/2P 0.25 11 19.7 21.56 21.9 ... Cmo encontrar P = 2 U P (2+ > 21.56, con gl = 11) 0.025 < 1/2P < 0.05 0.05 < P < 0.10 Mosaico de piso cermico texturizado y Cortesa del autor su superfi cie superior dispareja, como lo muestra la cantidad variable de luz que se ve por abajo de la regla. Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar E J E M P L O A P L I C A D O 9 . 2 0 x x Mosaico de piso cermico www.fullengineeringbook.net 462 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin E J E R C I C I O S S E C C I N 9 . 3 9.117 a. Calcula la desviacin estndar para cada conjunto. A: 5, 6, 7, 7, 8, 10 B: 5, 6, 7, 7, 8, 15 b. Qu efecto tiene sobre la desviacin estndar cambiar el valor ms grande, de 10 a 15? c. Por qu crees que 15 debe llamarse valor extremo? 9.118 La varianza de los tamaos de zapato para todos los fabricantes es 0.1024. Cul es la desviacin estndar? 9.119 Encuentra: a. 2 E 2 c. 2 G 2 9.120 Encuentra los valores crticos con la tabla 8 del apn- dice B. a. 2 E 2 c. 2 G 2 e. 2 I 2 g. 2 K 2 9.121 Con la notacin del ejercicio 9.120, menciona y en- cuentra los valores crticos de 2. 9.122 Con la notacin del ejercicio 9.120, menciona y en- cuentra los valores crticos de 2. La especificacin del fabricante pide que la altura superficial media sea no mayor a 0.025 de pulgada. El proceso de fabricacin est bajo control cuando la desviacin estndar no es mayor que 0.01 pulgada. Se midieron 26 puntos ubicados al azar y resultaron los datos siguientes: Altura superficial, x 0.000 0.017 0.007 0.011 0.027 0.041 0.010 0.033 0.023 0.008 0.004 0.026 0.025 0.025 0.028 0.017 0.025 0.042 0.015 0.020 0.012 0.024 0.019 0.028 0.022 0.006 [EX09-145] 2 = 0.05 n = 20 a. 2 = 0.01 n = 5 b. 2 = 0.025 n = 18 c. 2 = 0.05 n = 61 d. 2 2 = 0.10 n = 22 e. 2 2 = 0.05 n = 7 f. 2 n = 14 = 0.005 a. 2 n = 28 = 0.25 b. 2 n = 8 = 0.01 c. 2 n = 16 = 0.025 d. 2 2 n = 18 = 0.02 e. 2 2 n = 15 = 0.10 f. www.fullengineeringbook.net 463 9.123 a. Qu valor de ji cuadrada para 5 grados de liber- tad subdivide el rea bajo la curva de distribu- cin tal que 5% est a la derecha y 95% est a la izquierda? b. Cul es el valor del percentil 95 para la distribu- cin ji cuadrada con 5 grados de libertad? c. Cul es el valor del percentil 90 para la distribu- cin ji cuadrada con 5 grados de libertad? 9.124 a. El 90% central de la distribucin ji cuadrada con 11 grados de libertad, entre qu valores se en- cuentra? b. El 95% central de la distribucin ji cuadrada con 11 grados de libertad, entre qu valores se en- cuentra? c. El 99% central de la distribucin ji cuadrada con 11 grados de libertad, entre qu valores se en- cuentra? 9.125 Para una distribucin ji cuadrada que tenga 12 grados de libertad, encuentra el rea bajo la curva para valores ji cua- drada que varan de 3.57 a 21.0. 9.126 Para una distribucin ji cuadrada que tiene 35 grados de libertad, encuentra el rea bajo la curva entre 2 y 2 9.127 Usa una computadora o calculadora para encontrar el iUHDDD OD L]TXLHUGD\ED ODGHUHFKDGH2+ = 20.2 con gl = 15. 9.128 Usa una computadora o calculadora para encontrar el iUHDDDODL]TXLHUGD\EDODGHUHFKDGH2+ = 14.7, con gl = 24. 9.129 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDHVWDVDUPDFLRQHV a. La desviacin estndar aument desde su valor previo de 24. b. La desviacin estndar no es ms grande que 0.5 oz. c. La desviacin estndar no es igual a 10. d. La varianza no es menor que 18. e. La varianza es diferente del valor de 0.025, el valor que VHVROLFLWDHQODVHVSHFLFDFLRQHV 9.130 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDHVWDVDUPDFLRQHV a. La varianza disminuy desde 34.5. b. La desviacin estndar del tamao de zapato es ms que 0.32. c. La desviacin estndar es al menos 5.5. d. la varianza es cuando mucho 35. e. La varianza se encogi desde el valor de 0.34 desde que las lneas de ensamblaje fueron rediseadas. 9.131 Encuentra el estadstico de prueba para la prueba de hiptesis: a. H o : 2 = 532 frente a H a : 2 > 532, con la informacin muestral n = 18 y s2 = 785 b. H o : 2 = 52 frente a H a : 2FRQODLQIRUPDFLyQ muestral n = 41 y s2 = 78.2 9.132 Calcula el valor para el estadstico de prueba 2+, para cada una de estas situaciones: a. H o : 2 = 20, n = 15, s2 = 17.8 b. H o : 2 = 30, n = 18, s = 5.7 c. H o : = 42, n = 25, s = 37.8 d. H o : = 12, n = 37, s2 = 163 9.133 Calcula el valor p para cada una de las siguientes prue- bas de hiptesis. a. H a : 2n = 15, 2+ = 27.8 b. H a : 2 > 30, n = 18, 2+ = 33.4 c. H a : 2JO 2+ = 37.9 d. H a : 2 < 12, gl = 40, 2+ = 26.3 9.134 Determina la regin crtica y el valor crtico que usaras para poner a prueba lo siguiente, con el mtodo clsico: a. H o : = 0.5 y H a : > 5, con n = 18 y = 0.05 b. H o : 2 = 8.5 y H a : 2 < 8.5, con n = 15 y = 0.01 c. H o : = 20.3 y H a : FRQn = 10 y = 0.10 d. H o : = 0.05 y H a : FRQn = 8 y = 0.02 e. H o : = 0.5 y H a : < 0.5, con n = 12 y = 0.10 9.135 Completa la prueba de hiptesis del ejercicio 9.131a con lo siguiente: a. El mtodo de valor p y = 0.01. b. El mtodo clsico y = 0.01. 9.136 Completa la prueba de hiptesis del ejercicio 9.131b con lo siguiente: a. El mtodo de valor p y = 0.05. b. El mtodo clsico y = 0.05. 9.137 En el pasado, la desviacin estndar de los pesos de ciertos paquetes de 32.0 oz llenados mediante una mquina fue de 0.25 oz. Una muestra aleatoria de 20 paquetes mostr una desviacin estndar de 0.35 oz. El aparente aumento Seccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 464 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin HQYDULDELOLGDGHVVLJQLFDWLYRHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.10? Supn que el peso de los paquetes tiene distribucin normal. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.138 En la vida de una batera se espera variacin, pero de- masiada variacin sera de preocupacin para el consumidor, quien nunca sabra si la batera que compr puede tener una vida muy corta. Una muestra aleatoria de 30 bateras AA de una marca particular produjo una desviacin estndar de 350 KRUDV6LXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHKRUDVGtDVVH FRQVLGHUDDFHSWDEOHHVWDPXHVWUDSURSRUFLRQDVXFLHQWHHYL- dencia de que esta marca de batera tiene mayor variacin que ORDFHSWDEOHHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD"VXSyQTXHOD vida de la batera tiene distribucin normal. 9.139 Una muestra aleatoria de 51 observaciones se selec- ciona de una poblacin con distribucin normal. La media muestral fue x = 98.2 y la varianza muestral fue s2 = 37.5. (VWDPXHVWUDRIUHFHVXFLHQWHVUD]RQHVSDUDFRQFOXLUTXHOD desviacin estndar poblacional no es igual a 8 en el nivel de VLJQLFDQFLD" a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.140 Un granjero comercial cosecha todo su campo de un cultivo de vegetales al mismo tiempo. Por tanto, le gustara plantar una variedad de frijoles verdes que maduren todos al mismo tiempo (pequea desviacin estndar entre tiempos de PDGXUDFLyQGHSODQWDVLQGLYLGXDOHV8QDFRPSDxtDGHVHPL- llas desarrolla una nueva cepa hbrida de frijoles verdes que se cree son mejores para el granjero comercial. El tiempo de maduracin de la variedad estndar tiene un promedio de 50 das y una desviacin estndar de 2.1 das. Una muestra alea- toria de 30 plantas del nuevo hbrido mostr una desviacin estndar de 1.65 das. Esta muestra presenta una reduccin VLJQLFDWLYDGHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUHQHOQLYHOGHVLJQL- cancia 0.05? Supn que el tiempo de maduracin tiene distri- bucin normal. a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.141 Los valores de los bienes races agrcolas en Estados 8QLGRV UXUDO XFW~DQ VXVWDQFLDOPHQWH GH HVWDGR D HVWDGR \ de condado a condado, lo que por tanto hace difcil que los compradores adquieran tierra o los propietarios conozcan con precisin lo que vale realmente la propiedad. Por ejemplo, el valor promedio de un rancho en Missouri fue de 548 dlares por acre, mientras que el mismo promedio en los tres estados FHUFDQRV.DQVDV1HEUDVND\2NODKRPDIXHGHPiVGH dlares menos. Fuente: Regional Economic Digest, "Survey of Agricultural Credit Conditions" Esta discrepancia podra ser causada por una variabilidad exagerada en el valor de los acres de rancho en el estado de Missouri. Supn que la regin combinada de cuatro estados produce una desviacin estndar de 85 dlares por acre. Su- pn que se toma una muestra de 31 propietarios en Missouri quienes recientemente vendieron su propiedad y resulta una desviacin estndar muestral de 125 dlares por acre. La va- riabilidad en el valor de ranchos en Missouri, en el nivel de VLJQLFDQFLDHVPD\RUTXHODYDULDELOLGDGSDUDODUHJLyQ como un todo? Con la siguiente salida MINITAB, completa la prueba de hiptesis. Null hypothesis Sigma = 85 Alternative hypohesis Sigma > 85 N StDev Variance Chi-Square DF P-Value 31 125 15625 64.88 30 0.000 9.142 Con la salida de computadora del ejercicio 9.141, de- termina los valores de los siguientes trminos: a. Valor hipottico de la desviacin estndar poblacional b. Desviacin estndar muestral F *UDGRVGHOLEHUWDGFyPRVHFDOFXODQ" d. Relacin entre varianza y desviacin estndar muestrales e. Estadstico de prueba 9.143 [EX09-143] Acaso incluso ms importante que cunto SHVDQHVTXHORVGLVFRVHQODKDOWHUROLDWHQJDQHOPLVPRSHVR Cuando uno de cada peso cuelga en lados opuestos de la barra, necesitan equilibrarse. Una muestra aleatoria de 24 pesas de OEXVDGDVSDUDKDOWHUROLDVHVHOHFFLRQDDOD]DU\VHGHWHU- PLQDQVXVSHVRVHQOLEUDV 25.3 22.1 25.7 24.2 25.7 23.9 23.1 21.9 24.7 26.3 26.5 22.2 25.9 23.5 25.8 27.1 25.4 22.0 25.2 21.1 27.9 22.9 27.3 25.7 Ha habido quejas acerca de la excesiva variabilidad en los SHVRVGHHVWRVGLVFRVGHOE/DPXHVWUDRIUHFHVXFLHQWH evidencia para concluir que la variabilidad en las pesas es mayor que la desviacin estndar aceptable de 1 lb? Usa = 0.01. a. Qu papel tiene la suposicin de normalidad en esta solucin? Explica. b. Qu evidencia tienes de que la suposicin de normalidad es razonable? Explica. c. Resuelve con el mtodo de valor p. d. Resuelve con el mtodo clsico. 9.144 [EX09-144]8QIDEULFDQWHGHDXWRPyYLOHVDUPDTXH las millas por galn de cierto modelo tienen una media igual a 40.5 millas, con una desviacin estndar igual a 3.5 millas. Usa los siguientes datos, obtenidos de una muestra aleatoria de 15 de estos automviles, para poner a prueba la hiptesis de www.fullengineeringbook.net 465 TXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGLHUHGH8VD = 0.05. Supn normalidad. 37.0 38.0 42.5 45.0 34.0 32.0 36.0 35.5 38.0 42.5 40.0 42.5 35.0 30.0 37.5 a. Resuelve con el mtodo de valor p. b. Resuelve con el mtodo clsico. 9.145 [EX09-145] Consulta el ejemplo aplicado 9.20, "Mo- saico de piso cermico", de la pgina 461. Primero necesitas completar la investigacin preliminar de las 26 alturas de su- SHUFLHVHOHFFLRQDGDVDOD]DU D 3UHVHQWD\GHVFULEHODPXHVWUDGHDOWXUDVVXSHUFLDOHVFRQ un histograma, la media y la desviacin estndar. E &RPSUXHEDODVDOWXUDVVXSHUFLDOHVSDUDXQDGLVWULEX- cin normal. Indica cul cree que sea el caso con base en los resultados que encontraste en el inciso a. Ms an, encuentra evidencia estadstica adicional. Enuncia con mucha precisin tu conclusin en cuanto a la normalidad para la distribucin de esta variable. Prueba estadstica del proceso de fabricacin: c. Existe evidencia estadstica de que el proceso usado para IDEULFDUGLFKRVPRVDLFRVKD\DSURGXFLGRXQDVXSHUFLH WH[WXUL]DGDTXHWHQJDXQDDOWXUDVXSHUFLDOPHGLDQRPD- yor que 0.025 pulgadas? Establece el valor p. G &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQ- cia 0.01; asegrate de enunciar tu decisin y conclusin. 9.146 [EX09-145] Consulta el ejemplo aplicado 9.20, "Mosaico de piso cermico" y el ejercicio 9.145 para conti- nuar la investigacin del proceso de fabricacin de mosaicos de piso. a. Cules son las suposiciones para una prueba ji cuadrada de la desviacin estndar? Alguna de las respuestas en el ejercicio 9.145 ayuda a resolver los requisitos de suposi- cin? b. Existe evidencia estadstica de que el proceso usado para IDEULFDUHVWRVPRVDLFRVKD\DSURGXFLGRXQDVXSHUFLH texturizada que tenga una desviacin estndar de altura VXSHUFLDOQRPD\RUTXHSXOJDGDV"(VWDEOHFHHO valor p. F &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLVHQHOQLYHOGHVLJQL- cancia 0.01; asegrate de enunciar tu decisin y conclu- sin. d. A qu conclusiones puedes llegar acerca del proceso de fabricacin? 9.147 [EX09-147] El peso seco de un corcho es otra cualidad que no afecta la capacidad del corcho para sellar una botella, pero es una variable que se monitorea de manera regular. Los pesos de los corchos naturales del nm. 9 (24 mm de dimetro SRUPPGHODUJRWLHQHQXQDGLVWULEXFLyQQRUPDO'LH]FRU- chos seleccionados al azar se pesan a la centsima de gramo ms cercana. Peso seco (en gramos) 3.26 3.58 3.07 3.09 3.16 3.02 3.64 3.61 3.02 2.79 D /DPXHVWUDDQWHULRUSUHVHQWDVXFLHQWHVUD]RQHVSDUD demostrar que la desviacin estndar de los pesos secos HVGLIHUHQWHGHJUDPRVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.02? Una muestra aleatoria diferente de 20 se toma del mismo lote. Peso seco (en gramos) 3.53 3.77 3.49 3.24 3.00 3.41 3.33 3.51 3.02 3.46 2.80 3.58 3.05 3.51 3.61 2.90 3.69 3.62 3.26 3.58 E (OHMHPSORDQWHULRUSUHVHQWDVXFLHQWHVUD]RQHVSDUD demostrar que la desviacin estndar de los pesos secos HVGLIHUHQWHGHJUDPRVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 0.02? c. Qu efecto tuvieron las dos diferentes desviaciones es- tndar muestrales sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos a y b? Qu efecto tuvieron sobre el valor p o el valor crtico? Explica. d. Qu efecto tuvieron los dos diferentes tamaos de mues- tra sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos a y b? Qu efecto tienen sobre el valor p o el valor crti- co? Explica. 9.148 Usa una computadora o calculadora para encontrar el valor p para la siguiente prueba de hiptesis: H o : 2 = 7 frente a H a : 2 VL2+ = 6.87 como muestra de n = 15. 9.149 Usa una computadora o calculadora para encontrar el valor p para la siguiente prueba de hiptesis: H o : = 12.4 fren- te a H a : > 12.4 si 2+ = 36.59 como muestra de n = 24. 9.150 La distribucin ji cuadrada se describi en la pgina 454 como una familia de distribuciones. Investiga estas distri- buciones y observa algunas de sus propiedades. a. Usa los comandos MINITAB que siguen y genera varias muestras grandes de datos aleatorios de diversas distribu- ciones ji cuadradas. Usa valores gl de 1, 2, 3, 5, 10, 20 y \RWURVVLGHVHDV Elige: Calc > Random Data > ChiSquare Escribe: Nmero de filas de datos a generar: 1000 Almacenar en columna(s): C1 Grados de libertad: df Usa Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics para calcular la media y la mediana de los datos en C1. Usa Graph > Histogram para construir un histograma de los datos en C1. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 9.3 Inferencias en torno a la varianza y la desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 466 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin b. Cul parece ser la relacin entre la media de la muestra y el nmero de grados de libertad? c. Cmo parecen relacionarse los valores de la media, me- diana y moda? Tus resultados concuerdan con la infor- macin de la pgina 454? d. Haz que la computadora genere muestras para dos gra- dos de libertad adicionales gl = 120 y 150. Describe cmo parecen cambiar estas distribuciones conforme gl aumenta. 9.151 Cun importante es la suposicin "la poblacin muestreada tiene distribucin normal" para el uso de las distribuciones ji cuadrada? Usa una computadora y los dos conjuntos de comandos MINITAB que se encuentran en el Manual de Soluciones del Estudiante para simular la extrac- cin de 200 muestras de tamao 10 de cada uno de dos di- ferentes tipos de distribuciones poblacionales. Los primeros comandos generarn 2 000 valores de datos y construirn un histograma, de modo que puedas apreciar cmo se ve la poblacin. Los siguientes comandos generarn 200 mues- WUDVGHWDPDxRDSDUWLUGHODPLVPDSREODFLyQFDGDOD representa una muestra. Los siguientes comandos calcularn la desviacin estndar y 2+ para cada una de las 200 mues- tras. Los ltimos comandos construirn histogramas de las 200 desviaciones estndar muestrales y los 200 valores 2+. (Detalles adicionales pueden encontrarse en el Manual de Soluciones del Estudiante3DUD ODVPXHVWUDVGH ODSREOD- cin normal: a. La distribucin muestral de desviaciones muestrales estndar parece ser normal? Describe la distribucin. b. La distribucin 2 parece tener una distribucin ji cua- drada con gl = 9? Encuentra porcentajes para los inter- valos (menos que 2, menos que 4, ..., ms que 15, ms TXHHWF\FRPSiUDORVFRQORVSRUFHQWDMHVHVSHUDGRV como estimacin con la tabla 8 del apndice B. Para las muestras de la poblacin sesgada: c. La distribucin muestral de desviaciones estndar mues- trales parece ser normal? Describe la distribucin. d. La distribucin ji cuadrada parece tener una distribucin ji cuadrada con gl = 9? Encuentra porcentajes para los in- tervalos (menor que 2, menor que 4, ..., ms que 15, ms TXHHWF\FRPSiUDORVFRQORVSRUFHQWDMHVHVSHUDGRV como estimacin con la tabla 8. En resumen: e. La condicin de normalidad parece ser necesaria con la QDOLGDGGHTXHHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDFDOFXODGR2+ tenga una distribucin 2? Explica. En retrospectiva Repaso del captulo Cortesa del autor(VWXGLDVWHLQIHUHQFLDVWDQWRGHLQWHUYDORVGHFRQDQ]DFRPR de pruebas de hiptesis, para los tres parmetros poblacio- nales bsicos (media , proporcin p y desviacin estndar GHXQD VRODSREODFLyQ/DPD\RUtDGH ODV LQIHUHQFLDVHQ torno a una sola poblacin se preocupan por uno de estos tres SDUiPHWURV/DJXUDSSUHVHQWDXQDRUJDQL]DFLyQ visual de las tcnicas presentadas en los captulos 8 y 9, junto con las preguntas clave que debes plantear conforme decidas cul estadstico de prueba y frmula usar. En este captulo tambin usaste el error mximo de estima- FLyQIyUPXODSDUDGHWHUPLQDUHOWDPDxRGHODPXHVWUD requerido para hacer estimaciones acerca de la proporcin po- www.fullengineeringbook.net 467 blacional con la precisin deseada. En el ejemplo aplicado 9.9 se describe el margen de error reportado por los medios y se estudia su relacin con el error mximo de estimacin, como se presenta en este captulo. Al combinar la estimacin pun- tual reportada y el tamao de la muestra, puedes determinar el correspondiente error mximo de estimacin de la proporcin binomial. La mayora de las encuestas y sondeos usan el nivel GHFRQDQ]DGH\GHVSXpVXVDQHOHUURUPi[LPRFRPR una estimacin para el margen de error y no reportan un nivel GHFRQDQ]DFRPRH[SOLFy+XPSKUH\7D\ORU En el siguiente captulo analizaremos las inferencias de dos poblaciones de las que se componen sus respectivas me- dias, proporciones y desviaciones estndar. FIGURA 9.10 Eleccin de la tcnica de inferencia correcta No** signifi ca que se usa una tcnica no paramtrica (no se requiere distribucin normal); consulta el captulo 14. Inicio La inferencia se preocupa por la media ? Se conoce ? La poblacin muestreada tiene distribucin normal? Usa z normal estndar. Usa frmulas (8.1) y (8.4) en el captulo 8. Usa x y . n es grande? n es grande? n n La poblacin muestreada tiene distribucin normal? Usa t de Student, gl = n 1. Usa frmulas (9.1) y (9.2) en las seccin 9.1. Usa x y . La inferencia se preocupa por la proporcin p? La inferencia se preocupa por la varianza 2 o la desviacin estndar ? Es n > 20 y np > 5 y nq > 5? Usa z normal estndar. Usa frmulas (9.3), (9.6) y (9.9) en la seccin 9.2. Usa p', pq, o p'q' . La poblacin muestreada tiene distribucin normal? Usa 2, gl = n 1. Usa frmula (9.10) en la seccin 9.3. Usa 2. n n S S S S S S S S No S Repaso del captulo www.fullengineeringbook.net 468 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com Vocabulario y conceptos clave FRQRFLGDS GHVFRQRFLGDS FRQFOXVLyQSS GHFLVLyQSS HUURUHVWiQGDUS error mximo de estimacin SS estadstico de prueba (pp. 420, 421, 423, estadstico tGH6WXGHQWS HVWLPDGRUQRVHVJDGRS H[SHULPHQWRELQRPLDOS JUDGRVGHOLEHUWDGSS LQIHUHQFLDSS LQWHUYDORGHFRQDQ]DSS MLFXDGUDGDS QLYHOGHFRQDQ]DS QLYHOGHVLJQLFDQFLDSS normal estndar, zS SDUiPHWURSS probabilidad binomial observada, p'S SURSRUFLyQSREODFLRQDOS SURSRUFLRQHVS SUXHEDGHKLSyWHVLVSS UHJLyQFUtWLFDSS UHJODHPStULFDS VXSRVLFLRQHVSS WDPDxRGHODPXHVWUDSS YDORUFDOFXODGRSS YDORUFUtWLFRSS valor pSS YDULDEOHDOHDWRULDS Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUTXHs, la desviacin estndar muestral, es una estimacin puntual de , pp. 412-413 la desviacin estndar poblacional. &RPSUHQGHUTXHHQODPD\RUtDGHORVFDVRVGHODYLGDUHDO es desconocida pp. 412-413 y se usa s como su mejor estimacin. &RPSUHQGHUTXHFXDQGRVHGHVFRQRFH, el estadstico z se sustituye con el pp. 412-413 estadstico t de Student. &RPSUHQGHUODVSURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQt, cmo se trata de una serie de pp. 413-414, GLVWULEXFLRQHVFRQEDVHHQHOWDPDxRPXHVWUDOFRQJUDGRVGHOLEHUWDGFRPRHOtQGLFH (- y cmo tiende a la distribucin normal estndar conforme aumenta el tamao muestral. Ej. 9.4, 9.19 &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDLQIHUHQFLDVHQWRUQRDODPHGLD cuando p. 417, Ej. 9.33a se desconoce es que la poblacin muestreada tiene distribucin normal. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODPHGLDSREODFLRQDO S(- , usando la distribucin t. Ej. 9.24, 9.31, 9.153 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODPHGLD SS poblacional, , usando la distribucin t con el mtodo de valor p y/o. EJ. 9.5, 9.6, el mtodo clsico Ej. 9.47, 9.160 (QWHQGHUODVSURSLHGDGHVIXQGDPHQWDOHVGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDO SS y el parmetro binomial, p. Ej. 9.65, 9.66 &RPSUHQGHUTXHp', la proporcin muestral, es un estimador no sesgado pp. 434-435 de la proporcin poblacional, p. Ej. 9.67 &RPSUHQGHUTXHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGHp' tiene una distribucin pp. 434-435, aproximadamente normal si nHVVXFLHQWHPHQWHJUDQGH\SRUWDQWROD (M distribucin normal estndar puede usarse para inferencias. &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDLQIHUHQFLDVHQWRUQRDOSDUiPHWURELQRPLDOp, p. 435 es que las n observaciones aleatorias que forman la muestra se seleccionan independientemente de una poblacin que no cambia durante el muestreo. www.fullengineeringbook.net 469 [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODSURSRUFLyQ (-(M poblacional, p, usando la distribucin z. 9.75, 9.167 &DOFXODU\GHVFULELUHOWDPDxRPXHVWUDOUHTXHULGRSDUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]D SS(- de p, la proporcin poblacional. 9.11, Ej. 9.88 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODSURSRUFLyQ (- poblacional, p, usando la distribucin z con el mtodo de valor p y/o el Ej. 9.105, 9.108 mtodo clsico. (QWHQGHUODVSURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGD\FyPRVHWUDWDGHXQD SS serie de distribuciones con base en el tamao muestral (con grados de libertad FRPRHOtQGLFH &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDLQIHUHQFLDVHQWRUQRDODYDULDQ]D 2, o p. 456, Ex. 9.151 desviacin estndar, , es que la poblacin muestreada tiene distribucin normal. 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODYDULDQ]DSREODFLRQDO (- , o desviacin estndar, , usando la distribucin 2 con el mtodo de valor p Ej. 9.137, 9.183 y el mtodo clsico. Ejercicios del captulo 9.152 Uno apresura al departamento de emergencia local con la esperanza de atencin urgente inmediata, slo para descubrir que debe esperar por lo que parece son horas. El administrador del gran departamento de emergencias cree que sus nuevos pro- cedimientos han reducido sustancialmente el tiempo de espera para el paciente de atencin urgente promedio. l inicia un es- WXGLRSDUDHYDOXDUHOWLHPSRGHHVSHUD6HYHULFDQORVUHJLVWURV de 18 pacientes seleccionados al azar atendidos desde que los nuevos procedimientos se pusieron en operacin y se observ el tiempo entre ingresar al departamento de emergencias y el ser atendido por personal de cuidado urgente. El tiempo de es- pera medio fue de 17.82 minutos, con una desviacin estndar de 5.68 minutos. Estima el tiempo de espera medio con un in- WHUYDORGHFRQDQ]DGH6XSyQTXHORVWLHPSRVGHHVSHUD tienen distribucin normal. 9.153 Una compaa de gas natural considera un contrato SDUDFRPSUDUQHXPiWLFRVSDUDVXRWLOODGHFDPLRQHVGHVHU- vicio. La decisin se basar en el millaje esperado. Para una muestra de 100 neumticos puestos a prueba, el millaje medio fue de 36 000 y la desviacin estndar fue de 2 000 millas. Estima el millaje medio que debe esperar la compaa de estos QHXPiWLFRVFRQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 9.154 Uno de los objetivos de un gran estudio mdico fue esti- mar la tarifa mdica media para remover cataratas. Para 25 ca- sos seleccionados al azar, la tarifa media fue de 3 550 dlares, con una desviacin estndar de 275 dlares. Establece un inter- YDORGHFRQDQ]DGHVREUH, la tarifa media para todos los mdicos. Supn que las tarifas tienen distribucin normal. 9.155 Se seleccionan al azar naranjas de un gran embarque que acaba de llegar. La muestra se toma para estimar el tamao FLUFXQIHUHQFLDHQSXOJDGDVGHODVQDUDQMDV/RVGDWRVPXHV- trales se resumen del modo siguiente: n = 100, x = 878.2 y (x x2 = 49.91. a. Determina la media y la desviacin estndar muestrales. b. Cul es la estimacin puntual para , la circunferencia media de todas las naranjas en el embarque? F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 9.156 [EX09-156] En la fabricacin de lentes de contacto se usan moldes, de modo que el material de los lentes para pre- paracin y curado ser consistente y cumplir los criterios di- mensionales designados. Se fabrican los moldes y una dimen- sin crtica se mide para 15 moldes seleccionados al azar. (Los GDWRVWLHQHQGREOHFRGLFDFLyQSDUDDVHJXUDUODSURSLHGDG 140 130 15 180 95 135 220 105 195 110 150 150 130 120 120 Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb. a. Construye un histograma y encuentra la media y la des- viacin estndar. b. Demuestra cmo este conjunto de datos satisface las su- posiciones para inferencia. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. G ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D 9.157 8QD FRPSDxtD DUPD TXH VX EDWHUtD GXUD QR PH- QRV GH KRUDV HQ XVR FRQWLQXR HQ XQ MXJXHWH HVSHFtFR Una muestra aleatoria simple de bateras produce una vida media muestral de 41.89 horas, con una desviacin estndar de 4.75 horas. Una computadora calcula un estadstico de prueba de t = 1.09 y un valor p de 0.139. Si la prueba usa gl = 71, cul es la mejor estimacin del tamao muestral? Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 470 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin 9.158 [EX09-158] Obtener educacin universitaria hoy da es casi tan importante como respirar, y es costoso! No slo la matrcula, la habitacin, la comida; los libros de texto tam- bin son costosos. Es muy importante para los estudiantes y sus padres, tener una estimacin precisa del costo total de los libros de texto. Se recolect el costo total de los libros re- queridos para nueve clases de primero o segundo aos en 10 universidades pblicas de Nueva York seleccionadas al azar: 582.19 806.40 913.44 915.75 932.35 957.45 960.92 996.24 1 070.44 1 223.44 a. Construye un histograma y encuentra la media y la des- viacin estndar. b. Demuestra cmo este conjunto de datos satisface las su- posiciones de inferencia. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD, el costo total medio de los libros requeridos. G ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D 9.159 [EX09-159] Se recolect el costo total de los libros requeridos para nueve clases de primero o segundo aos en 10 universidades privadas de Nueva York seleccionadas al azar: 639.00 865.75 868.20 874.25 887.06 890.50 970.13 1 013.22 1 026.00 1 048.96 a. Construye un histograma y encuentra la media y la des- viacin estndar. b. Demuestra cmo este conjunto de datos satisface las su- posiciones de inferencia. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD, el costo total medio de los libros requeridos. G ,QWHUSUHWDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D e. Existe una diferencia en el costo total medio de los nue- ve libros requeridos entre las universidades pblicas y en las universidades privadas del ejercicio 9.158? Explica. I ([SOLFDSRUTXpHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODVXQL- versidades pblicas es mucho ms amplio que el corres- pondiente intervalo para las universidades privadas. S exacto y detallado. 9.1608QIDEULFDQWHGHWHOHYLVRUHVDUPDTXHORVJDVWRVGH mantenimiento para su producto promediarn no ms de 110 dlares durante el primer ao despus del vencimiento de la garanta. Un grupo de consumidores te pide apoyar o desa- FUHGLWDUODDUPDFLyQ/RVUHVXOWDGRVGHXQDPXHVWUDDOHD- toria de 50 propietarios de tales televisores demostr que el gasto medio fue de 131.60 dlares y la desviacin estndar IXHGyODUHV(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHEHV FRQFOXLUTXHODDUPDFLyQGHOIDEULFDQWHHVYHUGDGHUDRQR es probable que sea verdadera? 9.161 Los estudiantes universitarios tiran un promedio de 640 libras de basura cada ao, 30% de ella el mes antes de la graduacin, de acuerdo con el artculo del Reader's Digest, "Campus desechados". Para estimar la cantidad de basura desechada por los estudiantes en la Universidad Es- tatal, 18 estudiantes al azar se seleccionaron y monitorearon cuidadosamente durante un ao. Las cantidades de basura desechadas tienen una media de 559.9 lbs y una desviacin HVWiQGDU GH OEV /D8QLYHUVLGDG (VWDWDO WLHQH VX- ciente evidencia de que la cantidad media de basura de sus HVWXGLDQWHVHVVLJQLFDWLYDPHQWHPHQRUTXHODFDQWLGDGPH- dia de todas las universidades? Supn normalidad y usa un QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH 9.162 [EX09-162] Las lecturas de contaminacin del agua en State Park Beach parecen ser menores que las del ao an- terior. Una muestra de 12 lecturas (medidas en coliform/100 P/VHVHOHFFLRQyDOD]DUGHORVUHJLVWURVGHODVOHFWXUDVGLDULDV de este ao: 3.5 3.9 2.8 3.1 3.1 3.4 4.8 3.2 2.5 3.5 4.4 3.1 (VWDPXHVWUDEULQGDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUTXHOD PHGLDGHODVOHFWXUDVGHFRQWDPLQDFLyQGHHVWHDxRHVVLJQL- cativamente menor que la media del ao pasado de 3.8 en el nivel 0.05? Supn que todas esas lecturas tienen una distribu- cin normal. 9.163 [EX09-163] Se ha sugerido que los nios varones con anormalidades tienden a nacer de padres ms viejos que el promedio. Se obtuvieron historias de caso de 20 varones con anormalidades y las edades de las 20 madres fueron las siguientes: 31 21 29 28 34 45 21 41 27 31 43 21 39 38 32 28 37 28 16 39 La edad media a la que las madres en la poblacin general dan a luz es de 28.0 aos. a. Calcula la media y la desviacin muestral estndar. E /DPXHVWUDEULQGDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDDSR\DUOD DUPDFLyQGHTXHORVQLxRVYDURQHVFRQDQRUPDOLGDGHV tienen madres ms viejas que el promedio? Usa = 0.05. Supn que las edades tienen una distribucin normal. www.fullengineeringbook.net 471 9.164 [EX09-164] Veinticuatro condados productores de DYHQDVHLGHQWLFDURQDOD]DUHQHOHVWDGRGH0LQQHVRWDFRQ HOSURSyVLWRGHSRQHUDSUXHEDODDUPDFLyQODWDVDPHGLDGH produccin de avena es mayor que 60 fanegas por acre". Para FDGDFRQGDGRLGHQWLFDGRVHREWXYRODWDVDGHSURGXFFLyQGH avena, en fanegas por acre cosechado. Se mencionan los datos resultantes: Produccin 56 31 80 53 39 59 63 67 56 66 81 61 63 48 53 46 73 85 77 78 72 63 71 77 Fuente: http://www.nass.usda.gov/ a. Se satisfacen las suposiciones de prueba? Explica. b. Completa la prueba con = 0.05. 9.165 [EX09-165] A continuacin se presentan 100 medicio- QHVGHODYHORFLGDGGHODOX]HQHODLUHNPVUHJLVWUDGDVSRU Albert Michelson, fsico estadounidense, desde junio 5 hasta julio 2 de 1879. A las mediciones se les rest 299 000 y des- pus se ajustaron para correcciones usadas por Michelson. De esta forma, el verdadero valor constante para la velocidad de la luz en el aire se convierte en 734.5 km/s. Las mediciones de Michelson apoyan el verdadero valor que trataba de medir? 8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH 850 740 900 1070 930 850 950 980 980 880 1 000 980 930 650 760 810 1 000 1 000 960 960 960 940 960 940 880 800 850 880 900 840 830 790 810 880 880 830 800 790 760 800 880 880 880 860 720 720 620 860 970 950 880 910 850 870 840 840 850 840 840 840 890 810 810 820 800 770 760 740 750 760 910 920 890 860 880 720 840 850 850 780 890 840 780 810 760 810 790 810 820 850 870 870 810 740 810 940 950 800 810 870 Fuente: http://lib.stat.cmu.edu/ Nota: El "verdadero" valor actualmente aceptado es 299 792.5 NPVVLQDMXVWHV 9.166 Incluso con la conciencia elevada de la calidad de la carne, 82% de los estadounidenses indic que su reciente com- portamiento de comer hamburguesas ha permanecido igual, de acuerdo con una reciente encuesta aleatoria de los restaurantes T.G.I. Friday's de 1 027 estadounidenses. De hecho, la mitad de los estadounidenses come al menos una hamburguesa de carne a la semana. Esto es un mnimo de 52 hamburguesas cada ao. Fuente: Harris Interactive/Yankelovich Partners para T.G.I. Fridays restaurants, http://www.knoxville3.com/ a. Cul es la estimacin puntual para la proporcin de todos los estadounidenses que comen al menos una hamburguesa de carne a la semana? E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODYHUGD- dera proporcin p en la situacin binomial donde n = 1 027 y la proporcin observada es un medio. c. Usa los resultados del inciso b para estimar el porcentaje de todos los estadounidenses que comen al menos una hamburguesa de carne a la semana. 9.167 El departamento de investigacin de marketing de una compaa de caf instantneo realiz una encuesta de hombres casados para determinar la proporcin de hombres casados que SUHHUHQVXPDUFD'HORVKRPEUHVHQODPXHVWUDDOHDWR- ULD SUHHUHQ ODPDUFD GH OD FRPSDxtD8VD XQ LQWHUYDOR GHFRQDQ]DGHSDUDHVWLPDUODSURSRUFLyQGHWRGRVORV KRPEUHVFDVDGRVTXHSUHHUHQODPDUFDGHFDIpLQVWDQWiQHRGH esta compaa. Interpreta tu respuesta. 9.168 Una compaa realiza una campaa de publicidad que involucrar el apoyo de connotados atletas. Para que la campa- a tenga xito, el atleta debe ser tanto enormemente respetado como fcilmente reconocible. A una muestra aleatoria de 100 clientes potenciales se les mostraron fotografas de varios atle- tas. Si el cliente reconoce a un atleta, entonces al cliente se le SUHJXQWDVLUHVSHWDDODWOHWD(QHOFDVRGHXQDJROVWDGHVWD- cada, 16 de los 100 encuestados reconocieron su fotografa e LQGLFDURQTXHWDPELpQODUHVSHWDEDQ(QHOQLYHOGHFRQDQ]D de 95%, cul es la verdadera proporcin con la que esta gol- VWDHVWDQWRUHFRQRFLGDFRPRUHVSHWDGD" 9.169 Un vendedor local de automviles publicita que 90% de los clientes cuyos automviles se atendieron en el departamento de servicio estn complacidos con los resultados. Como inves- WLJDGRU WRPDVFRQFDXWHODHVWDDUPDFLyQSRUTXHHVWiVFRQV- ciente que muchas personas son reticentes para expresar insatis- faccin. Se plantea un experimento de investigacin en el que quienes estn en la muestra recibieron servicio de este vendedor dentro de las 2 semanas pasadas. Durante la entrevista, se con- dujo a los individuos a creer que el entrevistador era nuevo en la ciudad y que consideraba llevar su automvil al departamento de servicio de este vendedor. De los 60 muestreados, 14 dijeron que estaban insatisfechos y no recomendaran el departamento. a. Estima la proporcin de clientes insatisfechos usando un LQWHUYDORGHFRQDQ]DGH b. Dada tu respuesta al inciso a, qu puedes concluir acerca GHODDUPDFLyQGHOYHQGHGRU" 9.170 De acuerdo con un estudio nacional del Departamento de Educacin de Estados Unidos, que se mencion en "De- rrotar a los bullies sin pelear", un artculo del Democrat & Ejercicios del captulo FRQWLQ~DHQODSiJLQD www.fullengineeringbook.net 472 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Chronicle del 22 de septiembre de 2009, 79% de los nios entre las edades de 12 y 18 fueron molestados al menos una vez en los pasados seis meses. T quieres realizar un estudio para estimar el porcentaje en tu comunidad de los nios entre las edades de 12 y 18 que fueron molestados en los pasados seis meses. Supn que la proporcin poblacional es de 79%, como se reporta por el Departamento de Educacin de Estados Unidos. Qu tamao muestral debes usar si quieres estimar que est dentro de: D FRQGHFRQDQ]D" E FRQGHFRQDQ]D" F FRQGHFRQDQ]D" 9.171 El 30 de mayo de 2008, el artculo en lnea "Vivir con tus padres despus de la graduacin?", cit una encuesta de 2007 realizada por Monster-TRAK.com. La encuesta descu- bri que 48% de los estudiantes universitarios plane vivir en casa despus de la graduacin. Cun grande necesitara ser el tamao de la muestra para estimar la verdadera proporcin de estudiantes que planea vivir en casa despus de la graduacin, KDVWDGHQWURGHFRQGHFRQDQ]D" Fuente: http://www.nomoreramenonline.com/ 9.172(OSUHVLGHQWHGHOFRQVHMRGHDGPLQLVWUDFLyQ&(2GH una pequea empresa quiere contratar a tu compaa consul- tora para realizar una muestra aleatoria simple de sus clientes. Quiere determinar la proporcin de sus clientes que considera a su compaa la principal fuente de sus productos. Pide que el margen de error en la proporcin no sea ms de 3% con 95% GHFRQDQ]D(VWXGLRVDQWHULRUHVLQGLFDURQTXHODSURSRUFLyQ aproximada es 37%. a. Cul es el tamao mnimo de la muestra que recomenda- ras para satisfacer el requerimiento de tu cliente si usas los resultados anteriores? b. Cul es el tamao mnimo de la muestra que recomenda- ras para satisfacer el requerimiento de tu cliente, si igno- ras los resultados anteriores? c. Es necesaria la proporcin de valor aproximada para realizar la encuesta? Explica. 9.173 Para obtener el tamao muestral para estimar una pro- porcin, se usa la frmula n = [z(@2pq/E 2 . Si no est dis- ponible una estimacin razonable de p, se sugiere que se use p = 0.5 porque esto dar el mximo valor para n. Calcula el valor de pq = p(1 pSDUDp = 0.1, 0.2, 0.3, . . . , 0.8, 0.9 con ODQDOLGDGGHREWHQHUDOJXQDLGHDDFHUFDGHOFRPSRUWDPLHQWR de la cantidad pq. 9.174 Se considera que una mquina opera en forma acep- table si produce 0.5% o menos partes defectuosas. No se desempea en una forma aceptable si ms de 0.5% de su produccin es defectuosa. La hiptesis H o : p = 0.005 se pone a prueba contra la hiptesis H a : p > 0.005 al tomar una muestra aleatoria de 50 partes producidas por la mquina. La hiptesis nula se rechaza si se encuentran dos o ms par- tes defectuosas en la muestra. Encuentra la probabilidad del error tipo I. 9.175 T ests interesado en comparar la hiptesis nula p = 0.8 contra la hiptesis alternativa p < 0.8. En 100 ensa- yos observas 73 xitos. Calcula el valor p asociado con este resultado. 9.176 La Kaiser Family Foundation realiz en 2003 una en- cuesta nacional de 17 685 adultos mayores. El propsito de la encuesta era capturar informacin detallada acerca del uso de medicamentos de prescripcin, cobertura y experiencias de los adultos mayores. Fuente: http://www.kff.org/ a. Si sta fuese una muestra aleatoria que cumpliera todos los requerimientos para una inferencia acerca de p, cul sera el error estndar? b. Cul sera el error mximo de estimacin para un inter- YDORGHFRQDQ]DGH" c. Una muestra de ese tamao vale la pena? Proporciona razones para apoyar tu respuesta. 9.177 Pizza Shack ha experimentado con diferentes recetas para su masa de pizza, pues piensa que puede sustituir su ac- tual receta. Planean muestrear pizza hecha con la nueva masa. Antes de muestrear, se necesita una estrategia de modo que, despus de tener los resultados de la degustacin, Pizza Shack sabr cmo interpretar las preferencias de sus clientes. La de- cisin no se tomar a la ligera, pues hay mucho que ganar o perder dependiendo de si la decisin es o no es popular. Se planea una prueba de hiptesis de una cola de p = P(preferir QXHYDPDVD a. Si se usa H a : p!H[SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVFXDWUR posibles resultados y sus acciones resultantes. b. Si se usa H a : pH[SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVFXDWUR posibles resultados y sus acciones resultantes. c. Cul hiptesis alternativa recomiendas usar, p > 0.5 o p < 0.5? Explica. 9.178 El Pizza Shack del ejercicio 9.177 complet su muestreo y los resultados estn listos! El martes por la tarde, www.fullengineeringbook.net 473 PXHVWUHDURQ FOLHQWHV \ SUHULHURQ OD QXHYDPDVD GH pizza. El viernes en la noche, muestrearon a 200 clientes y SUHULHURQODQXHYDPDVDGHSL]]D$\XGDDOJHUHQWHD LQWHUSUHWDUHOVLJQLFDGRGHHVWRVUHVXOWDGRV8VDXQDSUXH- ba de una cola con H a : p > 0.50 y = 0.02. Usa z como el estadstico de prueba: D ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUXQDSUHIHUHQFLD VLJQLFDWLYDSRUODQXHYDPDVDFRQEDVHHQORVFOLHQWHV del martes? E ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUXQDSUHIHUHQFLD VLJQLFDWLYDSRUODQXHYDPDVDFRQEDVHHQORVFOLHQWHV del viernes? F 'DGRTXHHOSRUFHQWDMHGHFOLHQWHVTXHSUHHUHQODQXH- va masa fue el mismo, p' = 0.60 en ambos muestreos, explica por qu las respuestas en los incisos a y b no son iguales. 9.179 El dueo de Pizza Shack de los ejercicios 9.177 y 9.178 no entiende el uso de la distribucin normal y de z en HOHMHUFLFLR$\XGDDOJHUHQWHDLQWHUSUHWDUHOVLJQL- cado de los resultados al resolver nuevamente ambas prue- bas de hiptesis con x Q~PHURGHFOLHQWHVTXHSUHHUHQOD nueva masa como el estadstico de prueba y su distribucin de probabilidad binomial. Usa una prueba de una cola con H a : p > 0.50 y = 0.02. Los resultados fueron los siguientes: el martes por la tar- GHPXHVWUHDURQDFOLHQWHV\SUHULHURQODQXHYDPDVDGH pizza; el viernes en la noche, muestrearon a 200 clientes y des- FXEULHURQTXHSUHULHURQODQXHYDPDVDVGHSL]]D D ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUXQDSUHIHUHQFLD VLJQLFDWLYDSRUODQXHYDPDVDFRQEDVHHQORVFOLHQWHV del martes? E ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUXQDSUHIHUHQFLD VLJQLFDWLYDSRUODQXHYDPDVDFRQEDVHHQORVFOLHQWHV del viernes? c. Explica la relacin entre las soluciones obtenidas en el ejercicio 9.178 y aqu. 9.180 Un instructor pide a cada uno de los 54 miembros de su clase escribir "al azar" uno de los nmeros 1, 2, 3, ..., 13, 14, 15. Dado que el profesor cree que a los estudiantes les gusta el juego, considera 7 y 11 como nmeros de suerte. Cuenta el nmero de estudiantes, x, que seleccionaron 7 u 11. Cun grande debe ser x antes de que la hiptesis de aleatoriedad pueda rechazarse en el nivel 0.05? 9.181 Los peridicos y revistas de hoy con frecuencia re- portan los hallazgos de las encuestas acerca de varios as- pectos de la vida. El Pew Internet & American Life Project GHHQHURDOGHIHEUHURGHGHVFXEULyTXH de los usuarios de telfonos celulares, con edades de 18 a 27 aos, usaron los mensajes de texto dentro del mes pasado". Otra informacin obtenida del proyecto incluye "encuesta telefnica aleatoria de 1 460 usuarios de telfonos celulares" y "tiene un margen de error de muestreo de ms o menos 3 puntos porcentuales". Relaciona esta informacin con las inferencias estadsticas que estudiaste en este captulo. a. El porcentaje de personas es un parmetro poblacional y, si lo es, cmo se relaciona con cualquiera de los parme- tros que estudiaste? b. Con base en la informacin dada, encuentra el intervalo GHFRQDQ]DGHSDUDODYHUGDGHUDSURSRUFLyQGH usuarios de telfonos celulares que usaron mensajes de texto. c. Explica cmo los trminos "estimacin puntual", "ni- YHOGHFRQDQ]DHUURUPi[LPRGHHVWLPDFLyQH LQWHUYDORGHFRQDQ]DVHUHODFLRQDQFRQORVYDORUHV reportados en el artculo y con tus respuestas en el in- ciso b. 9.182 Para poner a prueba la hiptesis de que la desviacin estndar sobre un examen estndar es 12, se puso a prueba una muestra de 40 exmenes de estudiantes seleccionados al azar. Se descubri que la varianza muestral es 155. Esta PXHVWUD SURSRUFLRQD VXFLHQWH HYLGHQFLD SDUD GHPRVWUDU TXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGLHUHGHHQHOQLYHOGHVLJQL- FDQFLD" 9.183%ULJKW/LWHDUPDTXHVXVOiPSDUDVGHZDWWVHQ- cienden con una vida que tiene una distribucin aproxima- damente normal, con una desviacin estndar de 81 horas. Una muestra de 101 lmparas tiene una varianza de 8 075. eVWDHVVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGH Bright-Lite en favor de la alternativa "la desviacin estndar HVPD\RUTXHKRUDVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" 9.184 Un proceso de produccin se considera fuera de con- trol si las partes producidas tienen una longitud media dife- rente de 27.5 mm o una desviacin estndar que es mayor que 0.5 mm. Una muestra de 30 partes produce una media muestral de 27.63 mm y una desviacin estndar de 0.87 mm. Si supones que la longitud de la parte es una variable que tiene una distribucin normal, esta muestra indica que el FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 474 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin proceso debe ajustarse para corregir la desviacin estndar del producto? usa = 0.05. 9.185 Julia Jackson opera una franquicia de restaurante que se especializa en conos de helado suave y sundaes. Re- FLHQWHPHQWHUHFLELyXQDFDUWDGHODVRFLQDVFHQWUDOHVDGYLU- tiendo que su tienda est en peligro de perder la franquicia porque las ventas promedio por consumidor cayeron "sus- tancialmente por abajo del promedio para el resto de la cor- poracin". El enunciado puede ser verdadero, pero Julia est FRQYHQFLGDGHTXHWDODUPDFLyQHVFRPSOHWDPHQWHLQYiOLGD SDUDMXVWLFDUODDPHQD]DGHFLHUUH/DYDULDFLyQHQYHQWDV en su restaurante est destinada a ser ms grande que en la mayora, principalmente porque ella atiende a ms nios, ancianos y adultos solteros en lugar de a familias numerosas que dejan mucho dinero en los otros restaurantes. Por tan- to, su venta promedio es probable que sea menor y muestra mayor variabilidad. Para probar este punto, Julia obtiene los registros de ventas de toda la compaa y descubre que la desviacin estndar fue de 2.45 dlares por venta. Entonces realiza un estudio de las ltimas 71 ventas en su tienda y descubre una desviacin estndar de 2.95 dlares por venta. La variabilidad en las ventas en la franquicia de Julia, en HOQLYHOGHVLJQLFDQFLDHVPD\RUTXHODYDULDELOLGDG para la compaa? 9.186 Todos los tomates que cierto supermercado compra a ORVDJULFXOWRUHVGHEHQVDWLVIDFHUODVHVSHFLFDFLRQHVGHODWLHQ- da de un dimetro medio de 6.0 cm y una desviacin estndar de no ms de 0.2 cm. El comprador del supermercado visi- ta a un nuevo proveedor potencial y selecciona una muestra aleatoria de 36 tomates del invernadero del agricultor. Mide el dimetro de cada tomate y descubre que la media es de 5.94 y la desviacin estndar es 0.24. Los tomates cumplen con las HVSHFLFDFLRQHVGHOVXSHUPHUFDGR" a. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. E /DHYLGHQFLDPXHVWUDOHVVXFLHQWHSDUDFRQFOXLUTXHORV WRPDWHVQRFXPSOHQFRQODVHVSHFLFDFLRQHVHQFXDQWRDO dimetro medio? Usa = 0.05. F /DHYLGHQFLDPXHVWUDOHVVXFLHQWHSDUDFRQFOXLUTXHORV WRPDWHVQRFXPSOHQFRQODVHVSHFLFDFLRQHVHQFXDQWRD la desviacin estndar? Usa = 0.05. d. Escribe un breve reporte para el comprador que destaque los hallazgos y recomendaciones acerca de si usar o no a este productor de tomates como proveedor de tomates para su venta en el supermercado. 9.187 La longitud uniforme de los clavos es muy impor- tante para un carpintero: la longitud de los clavos a usar se relaciona con los materiales a sujetar, lo que por tanto una pequea desviacin estndar se convierte en una im- portante propiedad de los clavos. Una muestra de 35 clavos de 2 pulgadas seleccionados al azar se toma de una gran cantidad del reciente turno de produccin de Nails, Inc. Las mediciones de longitud resultantes tienen una longitud me- dia de 2.025 pulgadas y una desviacin estndar de 0.048 pulgadas. a. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. E /DHYLGHQFLDPXHVWUDOHVVXFLHQWHSDUDUHFKD]DUODLGHD de que los clavos tienen una longitud media de 2 pulga- das? Usa = 0.05. F ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDHQHOQLYHOSDUDGHPRV- trar que la longitud de los clavos de este turno de produc- cin tiene una desviacin estndar mayor que las 0.040 pulgadas publicitadas? d. Escribe un breve reporte que destaque los hallazgos y recomendaciones acerca de si el carpintero debe o no usar los clavos para una aplicacin que requiere clavos de 2 pulgadas. 9.188 [EX09-188] Es importante que la fuerza requerida para extraer el corcho de una botella de vino no tenga una gran desviacin estndar. Aos de produccin y pruebas indican que los corchos del nm. 9 tienen una fuerza de extraccin que tiene distribucin normal, con una desviacin estndar de 36 Newtons. Se considera que cambios recientes en el proceso de fabricacin redujeron la desviacin estndar. a. Cul sera el problema si la desviacin estndar fuese relativamente grande? Cul sera la ventaja de una des- viacin estndar ms pequea? Una muestra de 20 botellas seleccionadas al azar se usa para poner a prueba. Fuerza de extraccin en Newtons 296 338 341 261 250 347 336 297 279 297 259 334 281 284 279 266 300 305 310 253 E /DPXHVWUDDQWHULRUHVVXFLHQWHSDUDGHPRVWUDUTXHOD desviacin estndar de la fuerza de extraccin es menor TXH1HZWRQVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" Durante una prueba diferente, una muestra de ocho bote- llas se selecciona al azar y se pone a prueba. www.fullengineeringbook.net 475 Fuerza de extraccin en Newtons 331.9 312.0 289.4 303.6 346.9 308.1 346.9 276.0 F /DPXHVWUDDQWHULRUHVVXFLHQWHSDUDGHPRVWUDUTXHOD desviacin estndar de la fuerza de extraccin es menor TXH1HZWRQVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" d. Qu efecto tuvieron los dos diferentes tamaos muestra- les sobre el estadstico de prueba calculado en los incisos b y c? Qu efecto tuvieron sobre el valor p o el valor crtico? Explica. e. Qu efecto tuvieron las dos diferentes desviaciones es- tndar muestrales sobre las respuestas a los incisos b y c? Qu efecto tuvieron sobre el valor p o el valor crtico? Explica. 9.189 [EX09-189] Una caja de Corn Flakes que tiene en la etiqueta "PESO NETO 14 OZ." Debe tener 14 oz o ms de cereal en su interior. Se seleccionaron al azar veinte de estas FDMDV\VHGHWHUPLQyHOSHVRGHORVFRQWHQLGRVHQRQ]DV 14.52 14.47 14.80 14.60 14.45 14.25 14.15 14.12 14.36 14.39 14.50 14.29 14.28 14.60 13.85 14.18 14.39 14.45 14.69 14.38 a. Dibuja un histograma del peso del cereal por caja. b. Encuentra los estadsticos muestrales media y desviacin estndar. c. Qu porcentaje de la muestra est por abajo del peso de 14.0 oz? El gerente de la planta estudia el proceso de llenado y necesita estimar el peso medio de todas las cajas a llenar. d. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. H (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOSHVR medio. f. Se considera que el proceso de llenado debe operar con una desviacin estndar de llenado de no ms de 0.2 oz. Pon a prueba esta hiptesis en el nivel 0.01. 9.190 [EX09-190] El gerente del ejercicio 9.189 cree que la mquina de llenado de cereal utilizada para los Corn Flakes necesita sustituirse y que la nueva que l considera pagar por la actualizacin dentro de corto plazo, principalmente debido a menos variabilidad en la cantidad de llenado. La nueva m- quina se pone en operacin y se realiza una prueba. Veinte de dichas cajas se seleccionan al azar de la operacin y se pesan ORVFRQWHQLGRVHQRQ]DV 14.17 14.25 14.17 14.16 14.18 14.09 14.19 14.17 14.16 14.06 14.11 14.15 14.12 14.19 14.14 14.19 14.13 14.12 14.16 14.15 a. Dibuja un histograma del peso del cereal por caja. b. Encuentra los estadsticos muestrales media y desviacin estndar. c. Qu porcentaje de la muestra de la nueva mquina est por abajo del peso de 14.0 oz? El gerente necesita estimar el peso medio y pone a prueba la desviacin estndar de todas las cajas a llenar. d. Determina si una suposicin de normalidad es razonable. Explica. H (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOSHVR medio. I 6HDUPDTXHHOSURFHVRGHOOHQDGRSDUDODQXHYDPiTXL- na debe operar con una desviacin estndar de llenado de menos de 0.1 oz. Pon a prueba esta hiptesis en el nivel 0.01. 9.191 Las cajas de Corn Flakes de los ejercicios 9.189 y 9.190 que tienen ms de 14.2 oz de cereal se consideran "muy llenas". Dado que los pesos parecen tener una distri- bucin normal para ambas mquinas de llenado, usa la dis- tribucin normal y encuentra la siguiente informacin para el gerente. a. Qu proporcin de las cajas llenadas con la mquina actual llenan las cajas con demasiado cereal? b. Qu proporcin de las cajas llenadas con la nueva m- quina llenan las cajas con demasiado cereal? c. Por cada 1 000 cajas de cereal llenadas con la mquina actual, cuntas cajas pueden llenarse con la nueva m- quina usando la misma cantidad total de cereal? d. Resume lo que consideras que debe ser el discurso a la compaa del gerente para conseguir la nueva mquina de llenado. Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 476 Captulo 9 Inferencias que involucran una poblacin Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negritas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 9.1 Las distribuciones t de Student tienen una distribucin aproximadamente normal pero estn ms dispersas que la distribucin normal estndar. 9.2 La distribucin ji cuadrada se usa para inferencias acerca de la media cuando se desconoce . 9.3 La distribucin t de Student se usa para todas las infe- rencias acerca de la varianza de una poblacin. 9.4 Si el estadstico de prueba cae en la regin crtica, la hiptesis nula se prueba verdadera. 9.5 Cuando el estadstico de prueba es t y el nmero de grados de libertad se vuelve muy grande, el valor crti- co de t est muy cerca del de la z normal estndar. 9.6 Cuando se hacen inferencias acerca de una media cuando no se conoce el valor , el valor z es el esta- dstico de prueba a usar. 9.7 La distribucin ji cuadrada es una distribucin sesgada cuyo valor medio es 2 para gl > 2. 9.8 Con frecuencia, la preocupacin de poner a prueba la YDULDQ]DRGHVYLDFLyQHVWiQGDUHVPDQWHQHUVXWDPD- o bajo control o relativamente pequeo. Por tanto, muchas de las pruebas de hiptesis con ji cuadrada son de una cola. 9.9 npq es el error estndar de la proporcin. 9.10 La distribucin muestral de p' tiene una distribucin aproximadamente como una distribucin t de Student. PARTE II: Aplicacin de los conceptos Responde todas las preguntas y muestra todas las frmulas, sustituciones y trabajo. 9.11 Encuentra cada valor: a. z b. t c. 2 9.12 Una muestra aleatoria de 25 valores de datos se se- lecciona de una poblacin con distribucin normal con el propsito de estimar la media poblacional, . Los estadsticos muestrales son n = 25, x = 28.6 y s = 3.50. a. Encuentra la estimacin puntual para . b. Encuentra el error mximo de estimacin para la HVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH F(QFXHQWUDHOOtPLWHGHFRQDQ]DLQIHULRU/&,\HO OtPLWHGHFRQDQ]DVXSHULRU/&6SDUDODHVWLPD- FLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 9.13 Recientemente se les aplic un examen estandarizado nacional para poner a prueba sus habilidades de compo- sicin a miles de estudiantes de una escuela elemental del rea. Si de una muestra aleatoria de 100 estudiantes 64 aprobaron el examen, construye la estimacin del LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODYHUGDGHUDSUR- porcin de todos los estudiantes del rea que aprobaron el examen. 9.14 Enuncia las hiptesis nula (H o \DOWHUQDWLYDH a TXH usaras para poner a prueba cada una de las siguientes DUPDFLRQHV a. El peso medio de los jugadores profesionales de bsquetbol es de no ms de 225 lb. b. Aproximadamente 40% de los estudiantes diurnos tienen su propio carro. c. La desviacin estndar para las cantidades men- suales de lluvia en el condado Monroe es menor a 3.7 pulgadas. 9.15 'HWHUPLQD HO QLYHO GH VLJQLFDQFLD HVWDGtVWLFR GH prueba, regin crtica y valores crticos que usaras para completar cada prueba de hiptesis usando el en- foque clsico con = 0.05. a. H o : = 43 frente a H a : < 43, = 6 b. H o : = 95 frente a H a : desconocida, n = 22 c. H o : p = 0.80 frente a H a : p > 0.80 d. H o : = 12 frente a H a : n = 28 9.16 (O IDEULFDQWH GH DXWRPyYLOHV GHO$OHUR DUPD TXH el Alero tpico promediar 32 mpg de gasolina. Un grupo de consumidores independiente est un poco HVFpSWLFRGHHVWDDUPDFLyQ\SLHQVDTXHHOPLOODMH PHGLRGHJDV HVPHQRU TXH ORV DUPDGRV8QD muestra de 24 Aleros seleccionados al azar produce los siguientes estadsticos muestrales: media 30.15 y GHVYLDFLyQHVWiQGDU(QHOQLYHOGHVLJQLFDQ- FLDHOJUXSRGHFRQVXPLGRUHVWLHQHVXFLHQWH HYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHOIDEULFDQWH" 9.17 Se supone que una mquina de caf sirve 6 onzas l- quidas en una taza de papel. En realidad, la cantidad servida vara de taza a taza. Sin embargo, si la mquina opera de manera adecuada, la desviacin estndar de las cantidades despachadas debe ser 0.1 oz o menos. Una muestra aleatoria de 15 tazas produce una desvia- www.fullengineeringbook.net 477 FLyQHVWiQGDUGHR](VWR UHSUHVHQWDVXFLHQWH HYLGHQFLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUDFRQ- cluir que la mquina no opera de manera adecuada? 9.18 Un cliente insatisfecho est frustrado con el tiempo de HVSHUDHQODRFLQDSRVWDOFXDQGRFRPSUDHVWDPSLOODV Al registrar su queja, se le dice: "usted espera ms de 1 minuto por servicio no ms de la mitad de las ve- ces cuando compra slo estampillas". Al no conside- rar que ste sea el caso, el cliente recolecta algunos datos de personas que acaban de comprar solamente estampillas. Los estadsticos muestrales son n = 60 y x = n HVSHUDPiVGHPLQXWR (QHOQLYHOGHVLJ- QLFDQFLDHOFOLHQWHLQVDWLVIHFKRWLHQHVXFLHQ- WHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHODRFLQD postal? PARTE III: Comprender los conceptos 9.19 El estudiante B dice que el rango de un conjunto de da- tos puede usarse para obtener una estimacin cruda de la desviacin estndar de una poblacin. El estudiante A no est seguro. Cmo el estudiante B explicara correctamente cmo y bajo qu circunstancias su ar- gumento es verdadero? 9.20 Por lo general, cul consideran los investigadores que sea verdadera: la hiptesis nula o la hiptesis alternati- va? Explica. 9.21 Cuando rechazas una hiptesis nula, el estudiante A dice que expresas incredulidad en el valor del parme- WURFRPRVHDUPDHQODKLSyWHVLVQXOD(OHVWXGLDQWH B dice que, en vez de ello, expresas la creencia de que el estadstico muestral proviene de una poblacin dis- WLQWDGHODUHODFLRQDGDFRQHOSDUiPHWURDUPDGRHQOD hiptesis nula. Quin tiene la razn? Explica. 9.22 "La distribucin t de Student debe usarse cuando se hacen inferencias acerca de la media poblacional, , cuando no se conoce la desviacin estndar poblacio- nal, ", es un enunciado verdadero. El estudiante A DUPDTXHHOYDORUz en ocasiones juega un papel cuan- do se usa la distribucin t. Explica las condiciones que existen y el papel jugado por z que hacen correcto el enunciado del estudiante A. 9.23 El estudiante A dice que el porcentaje de las medias muestrales que caen afuera de los valores crticos de la distribucin muestral determinada por una hiptesis nula verdadera es el valor p para la prueba. El estu- diante B dice que el porcentaje que describe el estu- GLDQWH$HVHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD4XLpQWLHQHOD razn? Explica. 9.24 La estudiante A realiza un estudio en el que quiere co- rrer un riesgo de 1% de cometer un error tipo I. Ella UHFKD]DODKLSyWHVLVQXOD\DUPDTXHVXHVWDGtVWLFRHV VLJQLFDWLYRHQHOQLYHOGHFRQDQ]DGH(OHVWX- GLDQWH%DUJXPHQWDTXHODDUPDFLyQGHODHVWXGLDQWH A no se plantea de manera adecuada. Quin tiene la razn? Explica. 9.25 (OHVWXGLDQWH$DUPDTXHFXDQGRHPSOHDVXQLQWHU- YDOR GH FRQDQ]D GH SDUD GHWHUPLQDU XQD HVWL- macin, no ests seguro de si tu inferencia es o no co- rrecta (es decir: si el parmetro est contenido dentro GHOLQWHUYDOR(OHVWXGLDQWH%DUPDTXHVtVDEHVW~ demuestras que el parmetro no puede ser menor que el lmite inferior o mayor que el lmite superior del intervalo. Quin tiene la razn? Explica. 9.26 El estudiante A dice que la mejor forma de mejorar XQDHVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVDXPHQWDU HOQLYHOGHFRQDQ]D(OHVWXGLDQWH%DUJXPHQWDTXH XVDUXQQLYHOGHFRQDQ]DDOWR UHDOPHQWHQRPHMRUD la estimacin del intervalo resultante. Quin tiene la razn? Explica. Exmen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 478 Captulo 00 Captulo ttulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Batalla de los sexos: Tiempo de traslado JpQHURHVHOPHMRUHOPiVUiSLGRRHOFRQGXFWRUPiVFRQDEOHODVEDWDOODVSRGUtDQVHUEDVWDQWHFRPSHWLWL YDV8QDYH]TXHHOSROYRVHDVLHQWDXQRWDPELpQSRGUtDSUHJXQWDUTXLpQFRQGXFHODPD\RUGLVWDQFLDSDUD OOHJDUDODXQLYHUVLGDG"(OWLHPSRGHWUDVODGRSXHGHPHGLUVHHQGLVWDQFLDPLOODVRHQWLHPSRPLQXWRV\ H[LVWHQPXFKRVIDFWRUHVTXHWLHQHQXQSDSHOSDUDORVHVWXGLDQWHVTXHVHWUDVODGDQ9LYHQHQFDVD"7UDED MDQHQXQHPSOHRGHWLHPSRSDUFLDORGHWLHPSRFRPSOHWR"7LHQHQREOLJDFLRQHVIDPLOLDUHV" /RVHVWXGLDQWHVYDURQHV\ODVHVWXGLDQWHVPXMHUHVVRQGRVSREODFLRQHV(QHVWHFDStWXORHVWXGLDUiVORV FHVLWDVGRVPXHVWUDVXQDGHFDGDSREODFLyQ3XHGHVXVDUGRVWLSRVEiVLFRVGHPXHVWUDVLQGHSHQGLHQWHV\GH " " '@ \ " \ ^ /RVVLJXLHQWHVHMHPSORVGHEHQFODULFDUHVWDVLGHDV 10.1 Muestras dependientes e independientes 2010/Jupiterimages CorporationImagen copyright Sergey Peterman, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com www.fullengineeringbook.net 479 La inferencia concierne a las medias? Qu tipo de muestras? Seccin 10.1 S Dependiente Independiente La inferencia concierne a las proporciones? S La inferencia concierne a varianzas o desviaciones estndar? S No No Usa la distribucin t de Student Seccin 10.2 Usa la distribucin t de Student Seccin 10.3 Usa z normal estndar Seccin 10.4 Usa distribucin F estndar Seccin 10.5 Inicio E J E M P L O 1 0 . 1 MUESTRAS DEPENDIENTES FRENTE A INDEPENDIENTES Se realizar una prueba para ver si los participantes en una clase de acondi- cionamiento fsico realmente mejora su nivel de condicin fsica. Se anticipa que aproximadamente 500 personas se inscribirn en este curso. La instructo- ra decide que a 50 de los participantes le aplicar un conjunto de pruebas antes de comenzar el curso (una preprueba) y despus aplicar otro conjunto de pruebas a 50 participantes al final del curso (una posprueba). Se propo- nen dos procedimientos de muestreo: Plan A: Seleccionar al azar 50 participantes de la lista de quienes se ins criban y aplicarles la preprueba. Al final del curso, hacer una seleccin al azar de tamao 50 y aplicarles la posprueba. Plan B: Seleccin al azar de 52232230000 participantes y aplicarles la preprueba; aplicar al mismo conjunto de 50 la posprueba cuando completen el curso. El plan A ilustra muestreo independiente; las fuentes (los participantes de la clase) usadas para cada muestra (preprueba y posprueba) se selecciona- ron por separado. El plan B ilustra muestreo dependiente; las fuentes usadas para ambas muestras (preprueba y posprueba) son las mismas. FIGURA 10.1 "Mapa" hacia dos inferencias poblacionales Seccin 10.1 Muestras dependientes e independientes www.fullengineeringbook.net 480 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones E J E M P L O A P L I C A D O 1 0 . 3 E J E M P L O 1 0 . 2 MUESTRAS DEPENDIENTES FRENTE A INDEPENDIENTES Una prueba se disea para comparar la calidad de desgaste de dos marcas de neumticos de automvil. Los automviles se seleccionarn y equiparn con los nuevos neumticos y despus se conducirn bajo condiciones "nor- males" durante 1 mes. Despus se tomar una medicin para decidir cunto desgaste tuvo lugar. Se proponen dos planes: Plan C: Una muestra de automviles se seleccionar al azar, equipar con la marca de neumticos A y conducir durante 1 mes. Otra muestra de automviles se seleccionar, equipar con neumticos marca B y conducir durante 1 mes. Plan D: Una muestra de automviles se seleccionar al azar, equipar con un neumtico de la marca A y un neumtico de la marca B (los otros dos neumticos no son parte de la prueba) y con- ducirn durante 1 mes. Sospechas que muchos otros factores deben tomarse en cuenta cuando se ponen a prueba neumticos de automvil: edad, peso y condicin me- cnica del automvil; hbitos de manejo de los conductores; ubicacin del neumtico en el automvil y dnde y cunto se conduce el automvil. Sin embargo, en este momento slo se trata de ilustrar las muestras dependientes e independientes. El plan C es independiente (fuentes no relacionadas) y el plan D es dependiente (fuentes comunes). EVALUACIN DE CONOCIMIENTOS DE ALGEBRA Supongamos que, al iniciar el semestre, seleccionamos al azar 20 alumnos inscritos en el curso de lgebra y se les aplica un examen diagnstico. Al finalizar el curso de lgebra seleccionamos al azar otros 20 alumnos y se les hace un examen final del curso. Estas dos muestras se consideran muestras independientes, si el examen final se aplicase a los mismos 20 alumnos que hicieron el examen diagnstico, las muestras seran dependientes. /DVPXHVWUDV LQGHSHQGLHQWHV \ GHSHQGLHQWHV WLHQHQ FDGD XQD VXV YHQWDMDV ' ~ 8VXDOPHQWHFXDQGRVHXVDQSUHSUXHED\SRVSUXHEDSDUWLFLSDQORVPLVPRVVXMHWRVHQ ~ www.fullengineeringbook.net 481 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 0 . 1 10.1 [EX10-001] DOHDWRULDVGHYDURQHVXQLYHUVLWDULRV\PXMHUHVXQLYHUVL @ Tiempo (hombre) 15 12 30 15 10 23 20 13 25 20 15 20 23 15 20 15 18 15 20 20 8 10 15 18 20 15 25 20 10 25 18 18 20 27 25 20 7 Tiempo (mujer) 32 15 20 35 45 20 10 5 35 25 14 25 28 35 30 24 28 15 30 30 30 40 25 20 18 20 15 30 24 30 25 20 10 60 20 25 27 25 40 22 25 25 D &XiOHVVRQODVSREODFLRQHVGHLQWHUpV" E 'HVFULEHHVWDGtVWLFDPHQWHODGLVWULEXFLyQGHORVGDWRV WLHPSRGHWUDVODGRGHKRPEUHV\PXMHUHVFRQDOPHQRV ODPHGLDODGHVYLDFLyQHVWiQGDU\XQKLVWRJUDPD F /RVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVUHSUHVHQWDQPXHVWUDVGHSHQ "~ G 6LORVGRVWDPDxRVPXHVWUDOHVVRQGLVWLQWRVHVWRGLFWD H 6LORVGRVWDPDxRVPXHVWUDOHVVRQLJXDOHVHVWRGLFWD 10.2 " GHWUDVODGRPDVFXOLQR\IHPHQLQRDODXQLYHUVLGDG " GHWUDVODGRPDVFXOLQR\IHPHQLQRDODXQLYHUVLGDG F $QWLFLSDVDOJXQDVYHQWDMDVSRUXVDUXQSODQVREUH G &XiOGHORVGRVSODQHVGHORVLQFLVRVD\ESUHIH ULUtDVXVDU"([SOLFDWXVUD]RQHVGHSRUTXp 10.3 "~ " @ @ @ 10.4D 'HVFULEHFyPRSRGUtDVVHOHFFLRQDUGRVPXHVWUDV PXMHUHV\KRPEUHV E 'HVFULEHFyPRSRGUtDVVHOHFFLRQDUGRVPXHVWUDV UDWR\FXDQGRLQJUHVDURQDODXQLYHUVLGDG 10.5 SDUDUHDOL]DUXQSUR\HFWRSDUDVXFODVHGHHVWDGtVWLFD(OSUR \HFWRLQYROXFUyTXHORVHVWXGLDQWHVGHVHJXQGRDxRWRPDUDQ ~ ~ ORVHVWXGLDQWHVGHHVWDGtVWLFDXVDURQHVWRVGDWRVSDUDGHWHUPL QDUVLKDEtDGLIHUHQFLDHQWUHGHVHPSHxRGHKRPEUHV\PXMHUHV /RVFRQMXQWRVGHGDWRVUHVXOWDQWHVUHSUHVHQWDQPXHVWUDVGH 10.6 ` ^ " VHVHOHFFLRQDURQDOD]DUiUEROHVGHORVSODQWDGRV6H PLGLHURQ\UHJLVWUDURQODVDOWXUDVGHHVWRViUEROHV8QDxR GHVSXpV VH VHOHFFLRQy DO D]DU \PLGLy RWUR FRQMXQWRGH iUEROHV/RVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVDOWXUDVDOWXUDV 10.7 9HLQWHSHUVRQDVIXHURQVHOHFFLRQDGDVSDUDSDUWLFLSDUHQ XQ H[SHULPHQWR GH SVLFRORJtD (OORV UHVSRQGLHURQ XQ EUHYH ^ WHPD SDUWLFXODU \ GHVSXpV YLHURQ XQD SHOtFXOD GH PLQX WRV$OGtDVLJXLHQWHDODVPLVPDVSHUVRQDVVHOHVSUHJXQWy ` YHVWLJDGRUWHQGUiGRVFRQMXQWRVGHFDOLFDFLRQHV(VWDVGRV 10.8 " QHODGLHWDVREUHHOQLYHOGHiFLGR~ULFR(OHVWXGLRLQFOX\H UDWDVEODQFDV'LH]UDWDVVHVHOHFFLRQDQDOD]DU\VHOHVGDXQD GLHWDGHFRPLGDFKDWDUUDODVRWUDVUDWDVUHFLEHQXQDGLHWD DOWDHQEUD\EDMDHQJUDVD/RVQLYHOHVGHiFLGR~ULFRGHORV GRV JUXSRV VH GHWHUPLQDURQ /RV FRQMXQWRV GH GDWRV UHVXO 10.9 'RVWLSRVGLIHUHQWHVGHGLVFRVFHQWUtIXJRVVHXVDQSDUD PHGLUHO WDPDxRGHSDUWtFXODHQSLQWXUD OiWH[6HVHOHFFLRQD DOD]DUXQJDOyQGHSLQWXUD\VHWRPDQHVSHFtPHQHVSDUD SRQHUDSUXHEDFDGDXQDGHODVFHQWUtIXJDV+DEUiGRVFRQMXQ @ ODSUXHED/RVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVUHSUHVHQWDQPXHVWUDV 10.10 8QDFRPSDxtDDVHJXUDGRUDHVWiSUHRFXSDGDGHTXHHO ^" " HOWDOOHU%3ODQHDHQYLDUDXWRPyYLOHVDFDGDWDOOHU\REWHQHU D &yPRSXHGHODFRPSDxtDKDFHUHVWR\REWHQHUPXHVWUDV E &yPRSXHGHODFRPSDxtDKDFHUHVWR\REWHQHUPXHVWUDV LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 10.1 Muestras dependientes e independientes www.fullengineeringbook.net 482 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 10.11 ' " HVWXGLRHQFXHVWDUiDKRPEUHV\PXMHUHV$OFRP ' " ' " D &yPRSXHGHQUHFROHFWDUVHORVGDWRVVLVHREWHQGUiQ E &yPRSXHGHQUHFROHFWDUVHORVGDWRVVLVHREWHQGUiQ 10.12 ^ ^ ^ HVWXGLDQWHVVHMX]JDUiQDQWHVGHWRPDUFXDOTXLHUOHFFLyQ\ @ ~ " ' D &yPRSXHGHQUHFROHFWDUVHORVGDWRVVLVHREWHQGUiQ E &yPRSXHGHQUHFROHFWDUVHORVGDWRVVLVHREWHQGUiQ Diferencia apareada d = x1 x2 (10.1) ^ ^ @ ". Los datos pueden ser DSDUHDGRVFRPRUHVXOWDGRGHREWHQHUVHGHHVWXGLRVDQWHV\GHVSXpVFRPR HQHOHMHPSORDSOLFDGRDSDUWLUGHXQDIXHQWHFRP~QFRPRFRQODVFDQWLGDGHVGH GHVJDVWHGHQHXPiWLFRSDUDFDGDPDUFDHQHOSODQ'GHOHMHPSORRDOUHODFLRQDUGRV @ @ ~ 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias usando dos muestras dependientes @ GHOHMHPSORHVXQH[FHOHQWHHMHPSORGHWDOHVIDFWRUHVDGLFLRQDOHV/DFDSDFLGDGGH GHVJDVWHGHORVQHXPiWLFRVHVHQRUPHPHQWHDIHFWDGDSRUP~OWLSOHVIDFWRUHVHO WDPDxR SHVRHGDG\FRQGLFLyQGHOYHKtFXORORVKiELWRVGHPDQHMRGHOFRQGXFWRUHOQ~PHURGH PLOODVFRQGXFLGDVODFRQGLFLyQ\WLSRVGHFDPLQRVSRUGRQGHVHFRQGXFHODFDOLGDGGHO \ QHXPiWLFRGHFDGDPDUFDHQHOPLVPRYHKtFXOR'DGRTXHXQQHXPiWLFRGHFDGDPDUFDVH SRQGUiDSUXHEDEDMRODVPLVPDVFRQGLFLRQHVFRQHOPLVPRYHKtFXORHOPLVPRFRQGXFWRU ' Procedimientos y suposiciones para inferencias que involucran datos apareados \ @ GRVSRUGRVFRPSDxtDVFRQHOSODQ'GHVFULWRHQHOHMHPSOR7RGRVORVIDFWRUHVDQWHV ^ www.fullengineeringbook.net 483 L]TXLHUGRRGHUHFKRHQIUHQWHRDWUiVVHGHWHUPLQyFRQODD\XGDGHXQDWDEODGHQ~PHURV ~ " TABLA 10.1 Cantidad de desgaste de neumtico [TA10-01] 1 2 3 4 5 6 Automvil 125 64 94 38 90 106 133 65 103 37 102 115 Marca A Marca B 'DGRTXHORVDXWRPyYLOHVFRQGXFWRUHV\FRQGLFLRQHVIXHURQODVPLVPDVSDUDFDGDQHXPi @ @ 1 2 3 4 5 6 9 2 1 9 1 8 1 d B A Automvil "@ GRVPHGLDV\VHXVDQGLIHUHQFLDVDSDUHDGDVODLQIHUHQFLDGHKHFKRVHUiHQWRUQRDODPHGLD ^ &RQODQDOLGDGGHKDFHULQIHUHQFLDVHQWRUQRDODPHGLDGHWRGDVODVSRVLEOHVGLIHUHQ m Cuando de poblaciones normales se seleccionan al azar observaciones apareadas, la diferencia apareada, d = x1 x2, tendr una distribucin aproximadamente normal en torno a una media md, con una desviacin estndar de sd. Suposicin para inferencias en torno a la media de diferencias apareadas md Los datos apareados se seleccionan al azar de poblaciones con distribu- ciones normales. Intervalo de confianza para diferencia de medias (muestras dependientes) sd 2n , donde gl n 1 (gl, a/2) # sd 1n a d t (gl, a/2) # d t (10.2) ^ " SDUDXQDPHGLDDVDEHUVHTXLHUH m @ @ ^ @^ s m SDUHVGHGDWRVGHSHQGLHQWHV\OD OLEHUWDGJOEDMRODVLJXLHQWHVXSRVLFLyQ Procedimiento de intervalo de confianza LQWHUYDORGHFRQDQ]Da m FRQHVWDIyUPXOD Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias PTI La frmula (10.2) es una adaptacin de la frmula (9.1). www.fullengineeringbook.net 484 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones HVODPHGLDGHODVGLIHUHQFLDVPXHVWUDOHV d d n !" \ HVODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODVGLIHUHQFLDVPXHVWUDOHV sd d2 ( d)2 n n 1 !" PTI Las frmulas (10.3) y (10.4) son adaptaciones de las frmulas (2.1) y (2.9). E J E M P L O 1 0 . 4 CMO CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA md Construye el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de medias en los datos apareados acerca del desgaste de neumticos, segn se reporta en la tabla 10.1. La informacin muestral es n = 6 piezas de datos aparea- dos, d = 6.3 y sd = 5.1. Supn que las cantidades de desgaste tienen una distribucin aproximadamente normal para ambas marcas de neumticos. Solucin Paso 1 Parmetro de inters: md, la diferencia de medias en las cantidades de desgaste entre las dos marcas de neumticos. Paso 2 a. Suposiciones: ambas poblaciones muestreadas son aproximada- mente normales. b. Distribucin de probabilidad: se usarn la distribucin t con gl = 6 1 = 5 y la frmula (10.2). c. Nivel de confianza: 1 a = 0.95 Paso 3 Informacin muestral: n = 6, d = 6.3 y sd = 5.1 La media: d gd n : d 38 6 6.333 6.3 La desviacin estndar: sd G gd2 (gd )2 n n 1 : sd G 372 (38)2 6 6 1 226.27 5.13 5.1 Paso 4 a. Coeficiente de confianza: sta es una situacin de dos colas con a/2 = 0.025 en una cola. De la tabla 6 del apndice B, t (gl, a/2) = t (5,0.025) = 2.57. b. Error mximo de estimacin: Con la parte de error mximo de la frmula (10.2), se tiene E t # sd 1n : E 2.57 # 5.1 16 (2.57)(2.082) 5.351 5.4 (gl, a/2) 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVDFHUFDGHORVFRHFLHQWHVGHFRQDQ]D\ODWDEODFRQVXOWD ODVSiJLQDV www.fullengineeringbook.net 485 Nota: (VWHLQWHUYDORGHFRQDQ]DHVPX\DPSOLRHQSDUWHGHELGRDOSHTXHxRWDPDxR PXHVWUDO5HFXHUGDGHOWHRUHPDGHOOtPLWHFHQWUDOTXHFRQIRUPHDXPHQWDHOWDPDxRGH ODPXHVWUDGLVPLQX\HHOHUURUHVWiQGDUHVWLPDGRPHGLDQWH v c. Lmites de confianza inferior/superior: 6.3 5.4 0.9 a 6.3 5.4 11.7 6.3 5.4 d E Paso 5 a. Intervalo de confianza: 0.9 a 11.7 es el intervalo de confianza de 95% para md. b. Esto es: con 95% de confianza, es posible decir que la diferencia de medias en las cantidades de desgaste est entre 0.9 y 11.7 milsimas de pulgada. O, en otras palabras, la media poblacio- nal del desgaste de neumticos para la marca B est entre 0.9 y 11.7 milsimas de pulgada mayor que la media poblacional de desgaste de neumtico para la marca A. MINITAB Excel Escribe los datos apareados en C1 y C2; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > Paired t Selecciona: Samples in columns Escribe: First sample: C1* Second sample: C2 Elige: Options Escribe: Confidence level: 1 a (ej. 0.95 o 95.0) Selecciona: Alternative: not equal > OK > OK * t apareada evala la primera muestra menos la segunda muestra. Escribe los datos apareados en las columnas A y B; activa C1 o C2 (dependiendo de si se usan o no los encabezados de columna); despus contina con: Escribe: = A2 B2* (si se usan encabezados de columna) Arrastra: Esquina inferior derecha de C2 hacia abajo para obtener otras diferencias Selecciona: Add-Ins > Data Analysis Plus > t-Estimate: Mean Escribe: Rango entrada: (C2:C20 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) > OK * Escribe la expresin en el orden que se necesita: A2 B2 o B2 A2. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : I N T E R V A L O D E C O N F I A N Z A 1 a P A R A M E D I A md C O N D E S V I A C I N E S T N D A R D E S C O N O C I D A P A R A D O S C O N J U N T O S D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias www.fullengineeringbook.net 486 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones /DVROXFLyQDOHMHPSORVHSDUHFHDHVWRFXDQGRVHUHVXHOYHHQ0,1,7$% 3DLUHG7IRU%UDQG%%UDQG$ 1 0HDQ 6W'HY 6(0HDQ %UDQG% %UDQG$ 'LIIHUHQFH &,IRUPHDQGLIIHUHQFH Procedimiento de prueba de hiptesis # WDGtVWLFRGHSUXHEDXVDGRVHUiODGLIHUHQFLDHQWUHODPHGLDPXHVWUDO \HOYDORUKLSRWpWLFR m @ $ HVWLPDGR(VWHHVWDGtVWLFRVHVXSRQHTXHWLHQHXQD ^FXDQGRODKLSyWHVLVQXODHVYHUGDGHUD\ODVVXSRVLFLRQHVSDUDODSUXHEDVH @ & wVHFDOFXODGHOPRGRVLJXLHQWH TI-83/84 Plus Escribe los datos apareados en L1 y L2; despus contina con lo siguiente, escribe los valores apro- piados y resalta Calculate: Resalta: L3 Escribe: L3 = L1 L2* Elige: STAT > TESTS > 8: TInterval *Escribe la expresin en el orden que se necesita: L1 L2 o L2 L1. PTI La frmula (10.5) es una adaptacin de la frmula (9.2). Estadstico de prueba para diferencia de medias (muestras dependientes) t d md sd/1n , donde gl n 1 (10.5) Nota: ~m SXHGHVHUFXDOTXLHUYDORUHVSHFLFDGR(O YDORUHVSHFLFDGRPiVFRP~QHVFHURVLQHPEDUJRODGLIHUHQFLDSXHGHVHUGLVWLQWDGHFHUR E J E M P L O 1 0 . 5 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA md En un estudio acerca de presin arterial alta y los medicamentos que se usan para controlarla, el efecto de los bloqueadores del canal de calcio sobre el pulso fue una de muchas preocupaciones especficas. Veintisis pacientes se eligieron al azar de una gran base de potenciales sujetos y se registr su frecuencia de pulso. A cada paciente se le administr un bloqueador de ca- nal de calcio durante un periodo fijo y despus nuevamente se determin la frecuencia de pulso de cada paciente. Los dos conjuntos de datos resultantes parecan tener distribuciones aproximadamente normales y los estadsticos fueron d = 1.07 y sd = 1.74 (d = antes despus). La informacin de la muestra proporciona suficiente evidencia para demostrar que la frecuencia del pulso es menor despus de tomar el medicamento? Usa a = 0.05. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 487 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: md, la diferencia de medias (reduccin) en frecuencia de pulso antes a despus de usar el bloqueador de canal de calcio durante el periodo de la prueba. b. Enunciado de hiptesis: Ho: md = 0 (#) (no reduce frecuencia de pulso) Recuerda: d = antes despus Ho: md > 0 (s reduce frecuencia de pulso) Paso 2 a. Suposiciones: dado que los datos en ambos conjuntos son aproxi- madamente normales, parece razonable suponer que las dos po- blaciones tienen distribuciones aproximadamente normales. b. Estadstico de prueba: la distribucin t con gl = n 1 = 25 y el estadstico de prueba es t w de la frmula (10.5). c. Nivel de significancia: a = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: n = 26, d = 1.07 y sd = 1.74 b. Calcula el estadstico de prueba: t d md sd/1n : t 1.07 0.0 1.74/126 1.07 0.34 3.14 Paso 4 La distribucin de probabilidad: PTI "Frecuencia ms baja" significa que "despus" es menos que "antes" y "antes despus" es positivo. '* " FXSDFLyQSRUYDORUHVUHODFLRQDGRVFRQPD\RUTXH ;!FRQJO FRPRVHPXHVWUDHQOD JXUD valor p 0 3.14 t @ WLHQHVWUHVRSFLRQHV 8VDODWDEODDSpQGLFH%;> 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDOHHUHOYDORUGLUHFWD PHQWH;@ @ ;@ (QODVSiJLQDVKD\LQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV @ HVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDa J$ * /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXH ^ @ PD\RUTXH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGHODWDEOD K 0 1.71 t no reduce frecuencia de pulso s reduce pulso 3.14 (QODVSiJLQDVVHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHV SHFtFDV wHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD O Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, puede concluirse que la frecuencia de pulso promedio es menor despus de la administracin del bloqueador de canal de calcio. Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias www.fullengineeringbook.net 488 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones VLJQLFDQFLDHVWDGtVWLFDQRVLHPSUHWLHQHHOPLVPRVLJQLFDGRFXDQGRVHFRQVLGH ^ ^ ORVUHVXOWDGRVPRVWUDURQXQDVLJQLFDQFLDHVWDGtVWLFDFRQXQYDORUGHHVWRHV SRVLELOLGDGHVHQ6LQHPEDUJRXQDSUHJXQWDPiVSUiFWLFDSXHGHVHUODUHGXFFLyQ " @ (QUHDOLGDGWRGRHOFRQLFWRHVPXFKRPiVDPSOLRTXHVyORHVWHWHPDGHODIUHFXHQFLD TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos apareados en C1 y C2; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > Paired t Selecciona: Samples in columns Escribe: Primera muestra: C1* Segunda muestra: C2 Selecciona: Options Escribe: Test mean: 0.0 o md Selecciona: Alternative: less than o not equal o greater than > OK > OK *t apareada evala la primera muestra menos la segunda muestra. Escribe los datos apareados en las columnas A y B; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis > t-Test: Paired Two Sample for Means Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) (restas: Var1 Var2) Diferencia medias hipottica: md (por lo general 0) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: a (ej. 0.05) Selecciona: Output Range Escribe: (C1 o selecciona celdas) > OK Usa Home > Cells > Format > Autofit Column Width para hacer ms legible la salida. La salida muestra valores p y valores crticos para pruebas de una y dos colas. La prueba de hiptesis tambin puede hacerse al restar primero las dos columnas y despus usar los comandos de inferencia en torno a una media (sigma desconocida) de la pgina 425 sobre las diferencias. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A L A M E D I A md C O N D E S V I A C I N E S T N D A R D E S C O N O C I D A P A R A D O S C O N J U N T O S D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S Escribe los datos apareados en L1 y L2; despus con- tina con lo siguiente, escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Resalta: L3 Escribe: L3 = L1 L2* Elige: STAT > TESTS > 2: T-Test . . . *Escribe la expresin en el orden en que se necesita: L1 L2 o L2 L1. www.fullengineeringbook.net 489 /DVROXFLyQDOHMHPSORVHSDUHFHDHVWRFXDQGRVHUHVXHOYHHQ0,1,7$% Paired T for Before After N Mean StDev SE Mean Difference 26 1.07 1.74 0.34 T-Test of mean : P-Value 0.002 T-Value 3.14 difference 0 (vs 0) E J E M P L O 1 0 . 6 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA md Supn que los datos muestrales de la tabla 10.1 (p. 483) se recolectaron con la esperanza de demostrar que las dos marcas de neumticos no se des- gastan de igual manera. Los datos proporcionan suficiente evidencia para concluir que las dos marcas muestran desgaste desigual, en el nivel de signi- ficancia 0.05? Supn que las cantidades de desgaste tienen una distribucin aproximadamente igual para ambas marcas de neumticos. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: md, la diferencia de medias en las cantida- des de desgaste entre las dos marcas. b. Enunciado de hiptesis: . Ha: md 0 (diferencia) Ho: md 0 (no diferencia) Recuerda: d B A Paso 2 a. Suposiciones: la suposicin de normalidad se incluye en el enun- ciado de este problema. b. Estadstico de prueba: la distribucin t con gl = n 1 = 6 1 = 5 y t (d md)/(sd/1n) c. Nivel de significancia: a = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: n = 6, d = 6.3 y sd = 5.1 b. Calcula el estadstico de prueba: t d md sd/1n : t 6.3 5.1/16 6.3 2.08 3.03 0.0 Paso 4 La distribucin de probabilidad: '* " ^ @ 2 P(t 3.03), como se muestra en la figura. P valor p P(t 3.03) P(t 3.03) 3.03 0 3.03 t P 1 2 P 1 2 @ WLHQHVWUHVRSFLRQHV 8VDODWDEODDSpQGLFH%>;> J$ * /DUHJLyQFUtWLFDHVGHGRVFRODVSRUTXH ^ @ UHQWHGH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGHODWDEOD K 2.57 0 2.57 t diferente igual diferente 3.03 Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias O www.fullengineeringbook.net 490 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDVVREUHHO @ W>;> @ ; 3 \ &RQVXOWDODSiJLQDSDUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV @ " a 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtILFDV FRQVXOWD ODV SiJLQDV wHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: existe una significativa diferencia de medias en las cantidades de desgaste en el nivel de significancia 0.05. E J E M P L O A P L I C A D O 1 0 . 7 PRUEBA DE PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO DE ASFALTO Esta aplicacin es un extracto de un reporte de investigacin del Departa- mento de Transportes de Florida. ABSTRACT. El mtodo estndar de quartering plant que produce mezcla de asfalto para obtener muestras para grave- dad especfica mxima, gradacin y con- tenido de aglutinante de asfalto lo han usado con gran xito durante muchos aos el Departamento de Transportes de Florida (FDOT), contratistas y labo- ratorios de prueba independientes. Este reporte examina un mtodo alternativo para obtener muestras que son un poco ms sencillas y consumen menos tiempo que el mtodo quartering tradicional. Este mtodo, de aqu en adelante refe- rido como mtodo "scooping", involucra algunos de los mismos procedimientos y tcnicas que se usan con el mtodo quar- tering. La principal diferencia es que las muestras se sacan con pala de la pila de mezcla de asfalto hasta que se obtiene el peso de muestra deseado en lugar de dividir en cuartos la pila hasta que se obtiene el peso de muestra deseado. Para este estudio se muestrearon 12 di- ferentes mezclas y se compararon las si- guientes propiedades de la muestra para los dos diferentes mtodos de muestreo: densidad volumtrica, gravedad espe- cfica mxima, % de evitacin de aire, contenido de aglutinante del asfalto y gradacin. El anlisis de los datos indica que los dos mtodos de muestreo ofre- cen resultados estadsticamente equiva- lentes para las propiedades de mezcla antes mencionadas. En este reporte se incluye una nueva versin de FM 1-T 168, "Muestreo de mezclas de pavimen- to bituminoso", que abarca este nuevo mtodo para muestreo de mezclas de asfalto. ANLISIS DE DATOS. Terica- mente, si los dos mtodos de muestreo fuesen idnticos, entonces la diferencia promedio entre los valores obtenidos para cualquier propiedad de asfalto (por ejemplo, contenido de aglutinante del asfalto) para una mezcla particular sera cero. Un anlisis de diferencia apareada se realiz para cada propiedad medida. Un anlisis de diferencia apareada es una prueba t realizada sobre las diferencias entre cada mtodo de muestreo. COMPARACIN DE LOS MTODOS DE SCOOPING Y QUARTERING PARA OBTENER MUESTRAS DE MEZCLA DE ASFALTO ^ _`{|}~|~| _# J;_ 6WDWH0DWHULDOV2IFH www.fullengineeringbook.net 491 TABLA 14 Resumen de anlisis de diferencia apareada Valor absoluto Propiedad de mezcla de asfalto t calculada t crtica t calc.< t crt.? S 6 0 3 . 2 2 4 4 . 1 )x a m N ( b m G S 1 0 2 . 2 2 0 8 . 0 m m G S 6 0 3 . 2 9 1 7 . 1 A % % AC (ignicin) 0.534 2.201 S Tamao colador 1/2 0.672 2.228 S 3/8 0.783 2.228 S Igual 8 2 2 . 2 4 2 2 . 2 Nm. 4 Nm. 8 Nm. 16 Nm. 30 Nm. 50 Nm. 100 Nm. 200 S 8 2 2 . 2 9 1 8 . 1 S 8 2 2 . 2 7 4 0 . 1 S 8 2 2 . 2 4 1 8 . 0 S 8 2 2 . 2 3 5 7 . 0 S 8 2 2 . 2 7 8 3 . 0 S 8 2 2 . 2 5 0 3 . 0 Se us un intervalo de confianza de 95%, es decir a = 0.05, para calcular el valor crtico t de dos lados. La hiptesis nula es que la diferencia promedio es cero. Si la t calculada es menor que la t cr- tica, entonces la hiptesis nula no puede rechazarse. En los resmenes de prueba t, los valores importantes son la "t calcu- lada" y los valores "t crticos". Por simpli- cidad, todos estos valores "t" se resumen en la tabla 14. El examen de los resultados estadsticos indica que, para todas las propie- dades medidas, excepto por el % que pasa por el colador nm. 4, no puede rechazar- se la hiptesis nula. Esto indica que los dos mtodos son estadsticamente equi- valentes. La excepcin es para el % que pasa por el colador nm. 4. Los valores de t calculada y t crtica fueron casi idn- ticos (2.224 frente a 2.228). LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPCONCLUSIN. Con base en el anlisis estadstico de los datos, los dos mtodos de muestreo son equivalentes respecto a Gmb, Gmm, contenido de aglutinante de asfalto y gradacin. Dado que el mtodo scooping es ms sencillo y ms rpido, se recomienda que el mto- do Florida revisado para muestreo (FM 1-T 168) se acepte e implemente en todo el estado. E J E R C I C I O S S E C C I N 1 0 . 2 10.13 'DGRHVWHFRQMXQWRGHGDWRVDSDUHDGRV Pares 1 2 3 4 5 Muestra A 3 6 1 4 7 Muestra B 2 5 1 2 8 (QFXHQWUD @^ 10.14 'HVFULEHHOSDSHOTXHWLHQHHVWH Q~PHURFXDQGRVHIRUPDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODGL 10.15 D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDm \ 6XSyQTXHORVGDWRV ' ^ @ @ " WUDVWHHQHOHMHPSORS 10.16 [EX10-016] " FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias www.fullengineeringbook.net 492 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones ' OHFFLRQDQDOD]DU\VHOHVDSOLFDXQSRVH[DPHQDFRQWLQXDFLyQ VHSUHVHQWDQVXVFDOLFDFLRQHV Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 93 86 72 54 92 65 80 81 62 73 Despus 98 92 80 62 91 78 89 78 71 80 6HXVy0,1,7$%SDUDHQFRQWUDUHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH SDUDHOPHMRUDPLHQWRPHGLRHQPHPRULDTXHUHVXOWDGHWR PDUHOFXUVRGHPHPRULDPHGLGRSRUODGLIHUHQFLDHQODVFDOLFD GHVSXpVDQWHV9HULFDORVUHVXOWDGRV " @ \ ^ Confidence Intervals Variable N Mean StDev SE Mean 95% C.I. C3 10 6.10 4.79 1.52 (2.67, 9.53) 10.17 [EX10-017] ' @ ' ' " @ ^ ^ ^\ GHFROHVWHURODQWHVGHODFODVH\PHVHVGHVSXpVGHODFODVH Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Preclase 295 279 250 235 255 290 310 260 275 240 Postclase 265 266 245 240 230 230 235 250 250 215 \ \ ^ SDUDHQFRQWUDUHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODFDQ ^ ~ WRPDUFODVHGHHGXFDFLyQHQQXWULFLyQ9HULTXHORVUHVXOWDGRV " @ \ ^ Estimacin t : Media 3 .6 2 Media Desviacin estndar 24.4997 4 2 0 4 2 9 3 7 7 . 8 LCI 8 9 5 7 0 6 2 8 . 3 4 LCS d pre post 10.18 [EX10-018] HQFRQWUDU HO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH SDUD HVWLPDUm FRQEDVHHQHVWRVGDWRVDSDUHDGRV\VXSRVLFLyQGHQRUPDOLGDG Antes 75 68 40 30 43 65 Despus 70 69 32 30 39 63 10.19 [EX10-019] ^` ^ ^\ ' /DVJDQDQFLDVHQOLEUDVGHVSXpVGHGtDVVHPXHVWUDQHQOD Camada 1 2 3 4 5 6 7 8 Racin A 65 37 40 47 49 65 53 59 Racin B 58 39 31 45 47 55 59 51 \ " WHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHVWLPDFLyQGHODVGLIHUHQFLDV m ^^ 10.20 [EX10-020]'RVKRPEUHV$\%TXHSRUORJHQHUDO ' @ " " ^ GDPHQWHLJXDOHV\SRUWDQWRGHFLGHQHOVLJXLHQWHSURFHGLPLHQ WR&DGDPDxDQDGXUDQWHVHPDQDV$FRQGXFLUiDO WUDEDMR HQXQDUXWD\%XVDUiODRWUDUXWD/DSULPHUDPDxDQD$ODQ]D XQDPRQHGD6LVDOHFDUDpOXVDUiODUXWD,VLVDOHFUX]XVDUiOD UXWD,,/DVHJXQGDPDxDQD%ODQ]DUiODPRQHGDFDUDUXWD, FUX]UXWD,,/RVWLHPSRVUHJLVWUDGRVDOPLQXWRPiVFHUFDQR \ ^" WUDVODGRVRQQRUPDOHV\HVWLPDODGLIHUHQFLDGHPHGLDVSREOD FLRQDOHVFRQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH Da Ruta L M a Mi J V L M a Mi J V I 29 26 25 25 25 24 26 26 30 31 II 25 26 25 25 24 23 27 25 29 30 10.21 [EX10-021] " SUDUVX+RQGD&LYLFGHDxRVGHDQWLJHGDGSXHGHSUHJXQWDUVH SRUTXpHOVHJXURGHDXWRPyYLOFXHVWDWDQWR"([LVWHQPXFKDV ' ^ FyGLJRVSRVWDOHVGHQWURGHXQUDGLRGHPLOODVGHOVROWHUR GHDxRVHQFXHVWLyQ/RVGDWRVVRQSDUDXQDSyOL]DFX\DV FDUDFWHUtVWLFDV VRQ GHGXFLEOH OHVLyQ FRUSRUDOSURSLHGDG\FRQGXFWRUQR DVHJXUDGRVHJXURLQVXFLHQWH D $SULPHUDYLVWDSDUHFHKDEHUXQSDWUyQSDUDODUHODFLyQ HQWUHODVSULPDVGHOVHJXURSDUDKRPEUHV\PXMHUHV" 'HVFUtEHOR E 'HVFULEHJUiFDPHQWHFDGDFRQMXQWRGHGDWRVKRPEUHV PXMHUHV\GLIHUHQFLDFRQXQKLVWRJUDPD\DOJXQDRWUD JUiFD F (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDFDGD FRQMXQWRGHGDWRVKRPEUHVPXMHUHV\GLIHUHQFLD G 6HVDWLVIDFHQODVVXSRVLFLRQHVSDUDXQDPHGLDGHXQ LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHGLIHUHQFLDDSDUHDGD"([SOLFD Tabla para el ejercicio 10.21 Hombre ($) 1 215.30 1 015.30 760.30 606.30 996.30 812.30 956.30 771.30 1 254.30 1 045.30 1 548.30 1 278.30 1 110.30 916.30 1 760.30 1 444.30 2 086.60 1 804.60 1 337.30 1 095.30 856.30 671.30 1 037.30 812.30 1 298.30 1 132.30 1 182.30 940.30 1 179.30 987.30 1 304.30 1 095.30 Mujer ($) Hombre ($) Mujer ($) www.fullengineeringbook.net 493 H &RQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHHVWLPDODPHGLDGH YDORGHFRQDQ]D I 7XVUHVSXHVWDVDODVSUHJXQWDVDQWHULRUHVVXJLHUHQDOJXQD @ DXWRPyYLOSDUDFRQGXFWRUHVKRPEUHV\PXMHUHVGHDxRV 10.22 [EX10-022] ` @ ^ @ @ ' \ ^ ^ FRGLFDURQSRUUD]RQHVGHSURSLHGDG 4 5 10 11 3 7 3 4 0 12 9 4 17 5 7 1 18 17 2 4 5 1 7 3 2 Parece haber una diferencia sistemtica entre los dos instru- mentos? D 'HVFULEHORVGDWRVXVDQGRXQKLVWRJUDPD\DOJXQDRWUD JUiFD E (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU F 6HVDWLVIDFHQODVVXSRVLFLRQHVUHTXHULGDVSDUDKDFHU G &RQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHHVWLPDODPHGLD H ([LVWHDOJXQDHYLGHQFLDGHXQDGLIHUHQFLD"([SOLFD 10.23 ^ \ODKLSyWHVLVDOWHUQDWLYD TXHXVDUtDV SDUD SRQHU D SUXHED ODV VLJXLHQWHV DUPD FLRQHV FDOLFDFLRQHVSUHH[DPHQ\SRVH[DPHQ ~ ^ ^ TXHODPHGLDGHODGLIHUHQFLDHQFDOLFDFLRQHVGHGHVHP F (QSURPHGLRQRKD\GLIHUHQFLDHQWUHODVOHFWXUDVGHGRV G /DPHGLDGHODVGLIHUHQFLDVHQWUHFDOLFDFLRQHVSUHDXWR HVWLPD\SRVWDXWRHVWLPDPXHVWUDPHMRUtDGHVSXpV @ ' @ 10.24 ^ \ODKLSyWHVLVDOWHUQDWLYD TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDILUPD FLRQHV D /DPHGLDGHODVGLIHUHQFLDVHQWUHODVFDOLFDFLRQHV SRVH[DPHQ\SUHH[DPHQHVPD\RUTXH ~ ' ~ HQXQQXHYRSODQGHGLHWDQRHVPHQRUDOE @^ GRVDVHVRUHVGHODFLXGDGIXHGHQRPiVGH 10.25 @ ^ a. y , con y b. y , con y c. y , con y d. y , con y t 3.57 n 10 Ha: md 0.75 Ho: md 0.75 t 2.63 n 29 Ha: md 0 Ho: md 0 t 1.86 n 20 Ha: md 0 Ho: md 0 t 1.86 n 20 Ha: md 0 Ho: md 0 10.26 'HWHUPLQD ORV FULWHULRVGHSUXHEDTXHXVDUtDV FRQ HO ~ ^ FRPRHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED a. y , con y b. y , con y c. y , con y d. y , con y a 0.01 n 18 Ha: md 0.75 Ho: md 0.75 a 0.10 n 12 Ha: md 0 Ho: md 0 a 0.05 n 25 Ha: md 0 Ho: md 0 a 0.05 n 15 Ha: md 0 Ho: md 0 10.27 ^" ^ ^ " # $GHVHSWLHPEUHGH6XSyQTXHXQJUXSRGH KRJDUHVDQRWyVXJDVWRGRPpVWLFRHQPDU]R\GHVSXpVDQRWyVX ~ ~ ^ FRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH(VWDPXHVWUD GHKRJDUHVSUHVHQWD VXFLHQWHHYLGHQFLDGHFUHFLHQWHDKRUUR GRPpVWLFR"8VDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD\VXSyQQRUPD 10.28 @ WRGRV UHODWLYDPHQWH FRQ ODPLVPDH[SHULHQFLD\YHORFLGDGVH @@ @ @ ORTXHUHVXOWyHQGLIHUHQFLDPHGLDGHVHJXQGRVFRQXQD GHVYLDFLyQHVWiQGDULJXDODVHJXQGRV(VWDPXHVWUDSUR SRUFLRQDVXFLHQWHVUD]RQHVGHTXHODQDYDMDGHHVSHFLDOLGDG HVEHQpFDSDUDORJUDUWLHPSRVPiVUiSLGRV"8VDa \ ^ 10.29 /RVHIHFWRVFRUURVLYRVGHYDULRVVXHORVVREUHWXEHUtDGH DFHURUHFXELHUWD\QRUHFXELHUWDVHSXVLHURQDSUXHEDXVDQGR FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 10.2 Inferencias concernientes a la diferencia de medias www.fullengineeringbook.net 494 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones \ GRQGH ^ ^ FDQWLGDGGHFRUURVLyQHQODSRUFLyQQRUHFXELHUWD(VWDPXHV WUDDOHDWRULDRIUHFHVXFLHQWHVUD]RQHVSDUDFRQFOXLUTXHHOUH FXEULPLHQWRHVEHQpFR"8VDa \VXSyQQRUPDOLGDG @ ~ @ @ ~ 10.30 Un ttulo ayuda a un lector a comprender un escrito? A 26 participantes se les entreg un artculo para leer sin ttulo. (QWRQFHVVHFDOLFDURQDHOORVPLVPRVDFHUFDGHVXFRPSUHQ- sin de la informacin en una escala de 1 a 10, donde 10 era comprensin completa. 'HVSXpVDORVPLVPRVSDUWLFLSDQ WHVVH OHVGLRQXHYDPHQWHHODUWtFXORHVWDYH]FRQXQWtWXOR DGHFXDGR\ VH OHVSLGLy FDOLFDU VX FRPSUHQVLyQ/RVGDWRV \ GRQGH FDOLFDFLyQFRQWtWXORFDOLFDFLyQVLQ WtWXOR3RUORJHQHUDOODFRPSUHQVLyQIXHPD\RUHQODVHJXQGD OHFWXUDTXHHQ ODSULPHUDHQXQSURPHGLRGHVREUHHVWD HVFDOD(VWDPXHVWUDSURSRUFLRQDVXFLHQWHHYLGHQFLDGHTXH XQWtWXORKDFHXQDGLIHUHQFLDUHVSHFWRDODFRPSUHQVLyQ"8VD a 10.31 ^ ^ @m !FRQEDVHHQORVGDWRVDSDUHDGRVTXHVLJXHQ\ a 6XSyQQRUPDOLGDG A 700 830 860 1080 930 B 720 820 890 1100 960 @ ~ @ @ ~ 10.32 ^ ^ @m FRQEDVHHQORVGDWRVDSDUHDGRVTXHVLJXHQ\ % 'a\ ^ Ms viejo 199 162 174 159 173 Ms joven 194 162 167 156 176 @ ~ @ @ ~ 10.33 [EX10-033] '~ HGXFDWLYRVHUtDHIHFWLYRSDUDDXPHQWDUVXFRQRFLPLHQWRGHOD GLDEHWHV6HOHVDSOLFyXQH[DPHQDQWHV\GHVSXpVGHOSURJUD @ GLDEHWHV/DVFDOLFDFLRQHVHQHOH[DPHQIXHURQODVVLJXLHQWHV Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 75 62 67 70 55 59 60 64 72 59 Despus 77 65 68 72 62 61 60 67 75 68 /DVLJXLHQWHVDOLGD0,1,7$%SXHGHXVDUVHSDUDGHWHUPLQDUVL ODVFDOLFDFLRQHVPHMRUDURQFRPRUHVXOWDGRGHOSURJUDPD9H ULFDORVYDORUHVTXHVHPXHVWUDQHQODVDOLGD>GLIHUHQFLDGHPH GLDV0($1GHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODGLIHUHQFLD67'(9 HUURUHVWiQGDUGH ODGLIHUHQFLD 6(0($1 w 79DOXH\ @ @ Paired T for After Before N Mean StDev SE Mean After 10 67.50 5.80 1.83 Before 10 64.30 6.50 2.06 Difference 10 3.200 2.741 0.867 ; P-Value 0.002 T-Value 3.69 T-Test of mean difference 0 (vs > 0) 10.34 [EX10-034] ' @ ' " @ ^ ^ WRPDURQDQWHVGHODFODVH\WUHVPHVHVGHVSXpVGHODFODVH Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Preclase 295 279 250 235 255 290 310 260 275 240 Posclase 265 266 245 240 230 230 235 250 250 215 \ ^ " ^ @ " @ a (OUHFKD]RGHODKLSyWHVLV QXODLQGLFDUtDTXHHOQLYHOGHFROHVWHUROSURPHGLRSREODFLyQ ~ " @ \ ^ t-Test: Dos muestras parecidas para la media Pre-test Post-test Media 268.9 242.6 Varianza 618.7666667 256.4888889 Observaciones 10 10 0 Hipottica de la diferencia de medias 9 gl t Estadstica 3.394655392 una cola 0.003970146 t Crtica para una cola 1.833113856 P(T t) 10.35 ^ ^ @m HQORVGDWRVDSDUHDGRVTXHVLJXHQ\* a \ ^ M 58 78 45 38 49 62 N 62 86 42 39 47 68 10.36 [EX10-036] ' @ '" ]DMHDSOLFDURQHQFXHVWDVSUHDXWRHVWLPD\SRVWDXWRHVWLPD8QD ' " GHDSUHQGL]DMHWLHQHXQWHPD\HOSHUVRQDOGRFHQWHLQYROXFUDGR " @ @ ^ " @ DSUHQGL]DMHUHVXOWDQPD\RUDXWRHVWLPDSURPHGLRVGHFDOLFD FLyQPiVDOWRV*3$\PHMRUDHQODVDWLVIDFFLyQHQORVFXUVRV DVtFRPRPHMRUHVWDVDVGHUHWHQFLyQ/DVFDOLFDFLRQHVHQODV HQFXHVWDVVRQODVVLJXLHQWHV www.fullengineeringbook.net 495 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Estudiante 18 14 11 23 19 21 21 21 11 22 Precalificacin 17 17 10 25 20 10 24 22 10 24 Postcalificacin (VWD PXHVWUD GH HVWXGLDQWHV DSRUWD VXFLHQWH HYLGHQFLD GH TXHODVFDOLFDFLRQHVGHDXWRHVWLPDIXHURQPD\RUHVGHVSXpV de la participacin en una comunidad de aprendizaje? Las ca- OLFDFLRQHVPiVEDMDVLQGLFDQPD\RUDXWRHVWLPD8VDHOQLYHO GHVLJQLFDQFLD\VXSyQQRUPDOLGDGGHODVFDOLFDFLRQHV 10.37 [EX10-037] @ " ' ~ ^ SRQHUDSUXHED\FRPSDUDFLyQ'LH]HVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV '" @ @ ' WLPD\SRVWDXWRHVWLPD/DVFDOLFDFLRQHVHQODVHQFXHVWDVSDUD HOJUXSRGHFRQWUROIXHURQODVVLJXLHQWHV 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 23 12 20 26 20 15 10 22 12 19 21 9 10 23 20 19 10 21 19 Estudiante Precalificacin Postcalificacin (VWD PXHVWUD GH HVWXGLDQWHV DSRUWD VXFLHQWH HYLGHQFLD GH TXHODVFDOLFDFLRQHVGHDXWRHVWLPDIXHURQVXSHULRUHVGHVSXpV de la participacin en una comunidad de aprendizaje? Las ca- OLFDFLRQHVPiVEDMDVLQGLFDQPD\RUDXWRHVWLPD8VDHOQLYHO GHVLJQLFDQFLD\VXSyQQRUPDOLGDGGHODVFDOLFDFLRQHV 10.38 [EX10-038] GHDFRQGLFLRQDPLHQWRItVLFRVREUHODKDELOLGDGItVLFDGHXQR VHUHJLVWUyHOQ~PHURGHDEGRPLQDOHVTXHXQDSHUVRQDSRGtD ~ ' SDUWLFLSDQWHVVHOHFFLRQDGRVDOD]DUFDOLFDURQFRPRVHPXHV WUDHQODVLJXLHQWHWDEOD3XHGHVFRQFOXLUTXHWXYROXJDUXQD FDQWLGDGVLJQLFDWLYDGHPHMRUD"8VDa \VXSyQQRU Antes 29 22 25 29 26 24 31 46 34 28 Despus 30 26 25 35 33 36 32 54 50 43 @ ~ @ @ ~ 10.39 (QUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGR D 4XpKLSyWHVLVQXODVHSRQHDSUXHEDHQFDGDXQDGHHVDV E 3RUTXpORVYDORUHVFDOFXODGD\ FUtWLFDVRQYDORUHV F 3RUTXpHVFRUUHFWRUHSRUWDUVXVYDORUHVDEVROXWRVSDUD @ HQODWDEOD" G $TXpGHFLVLyQVHOOHJDSDUDFDGDXQDGHHVWDVSUXHEDV ^ H $TXpFRQFOXVLyQVHOOHJDFRPRUHVXOWDGRGHHVWDVSUXHEDV" I 4XpDFFLyQVHUHFRPLHQGDSDUDHOHVWDGRGH)ORULGD ^ 10.40 [EX10-040] 8QSUR\HFWRGH LQYHVWLJDFLyQVH OOHYDD FDERSDUDHYDOXDUGRVIURQWRIRFyPHWURV&DGDXQRGHORV OHQWHVGHSRWHQFLDVYDULDEOHVVHOH\HURQXQDYH]HQFDGDIURQWR ^ ~ ^ ^ ^ \ ^" ^ 0.013 0.009 0.000 0.015 0.011 0.008 Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb 0.009 0.005 0.012 0.003 0.010 0.017 0.020 0.006 0.022 0.016 0.006 0.015 0.005 0.016 VREUHHVWDVGLIHUHQFLDVDSDUHDGDV\ a PHGLDVSREODFLRQDOHVHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWH E &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIH ^ "~ \ ' a FXiOVHUtDHOUHVXOWDGR"3URSRU m m "). Las inferencias acerca de m m @+ + @+ + ^ ODVFDUDFWHUtVWLFDVGHVFULWDVHQHOVLJXLHQWHHQXQFLDGR 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias usando dos muestras independientes Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 496 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones @ EODFLyQLQYROXFUDGDVHDQRUPDO\ODVYDULDQ]DVSREODFLRQDOHVs \s @' ^ @'s \s ^ @' \ ; VHHQFRQWUDUiDOXVDUODVLJXLHQWHIyUPXOD error estndar estimado B s1 2 n1 s2 2 n2 (10.7) m m Si muestras independientes de tamaos n1 y n2 se extraen al azar de gran- des poblaciones con medias m1 y m2 y varianzas s 2 1 y s 2 2, respectivamente, entonces la distribucin muestral de x1 x 2, la diferencia entre las medias muestrales, tiene 1. media mx1 x2 m1 m2 y 2. error estndar . sx1 x2 B s1 2 n1 s2 2 n2 (10.6) Si ambas poblaciones tienen distribuciones normales, entonces la distribucin muestral de x1 x 2 tambin tendr una distribucin normal. Suposiciones para inferencias acerca de la diferencia entre dos medias, m1 m2 Las muestras se seleccionan al azar de poblaciones con distribucin normal y las muestras se seleccionan en forma independiente. NO SE HACEN SUPOSICIONES ACERCA DE LAS VARIANZAS POBLACIONALES. PTI Por qu x1 x 2 es un estimador no sesga- do de m1 m2? SABAS QUE...? La "distribucin t " Como jefe cervecero en Guinness Brewing Compa ny, William Gosset se enfrent con muchos pequeos conjun- tos de datos; pequeos por necesidad, porque un perio- do de 24 horas con frecuen- cia resultaba en un solo valor de datos. Por tanto, desarro- ll la prueba t para manejar esas muestras pequeas para control de calidad en cerve- cera. En su ensayo El error probable de una media, em- pez a encontrar la distribu- cin de la cantidad de error en la media muestral, (x m), divida entre s, donde s era de una muestra de cualquier tamao conocido. Entonces encontr el error probable de una media, x, para cual- quier tamao de muestra al usar la distribucin de (x m)/ (s/1n ). La distribucin t de Student no gan popularidad inmediatamente y en 1922, incluso 14 aos despus de su publicacin, Gosset escri- bi a Fisher: "le envo una copia de las tablas de Stu- dent, pues usted es el nico (contina) " ^ FRPRHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED/DVLQIHUHQFLDVVHGLYLGHQHQGRV \ ^\VHFDOFXODUiHOQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDG &DVR 6HXVDUiODGLVWULEXFLyQ\VHDSUR[LPDUiHOQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDG < ODGRUDHVWDGtVWLFD\HOVRIWZDUHHVWDGtVWLFRRSURJUDPDFDOFXOHHOQ~PHURGHJUDGRVGH @ ^ FRPRGHVXVWDPDxRVUHODWLYRV\WDQWRGHODVYDULDQ]DVPXHVWUDOHVFRPRGHVXVWDPDxRV @ @ \OD (OFDVRRFXUULUiFXDQGRFRPSOHWHVODLQIHUHQFLD $ FDOFXODGRUD\VXSDTXHWHGHVRIWZDUHHVWDGtVWLFR ^ > ^ YHUGDGHURQLYHOGHFRQDQ]DSDUDXQDHVWLPDFLyQGHLQWHUYDORVHUiOLJHUDPHQWHPD\RUTXH HOQLYHOGHFRQDQ]DUHSRUWDGRRHOYHUGDGHURYDORU\HOYHUGDGHURQLYHOGHVLJQLFDQFLD ^ " HVWRVYDORUHV UHSRUWDGRV\ ORVYDORUHVYHUGDGHURV VHUiPX\SHTXHxD DPHQRV TXH ORV www.fullengineeringbook.net 497 WDPDxRVPXHVWUDOHVVHDQPX\SHTXHxRV\GHVLJXDOHVRODVYDULDQ]DVPXHVWUDOHVVHDQPX\ @' @ @ SDUDLGHQWLFDUODGLVWULEXFLyQLPSOLFDGDHVWXGLDUHPRVSULPHURHOFDVR Nota: HVPD\RUTXH") es equivalente a " "). Cuando se discute la diferencia entre \VHDFRVWXPEUDH[SUHVDUODGLIHUHQFLDFRPRPD\RU PHQRUGHPRGRTXHODGLIHUHQFLDUHVXOWDQWHVHDSRVLWLYD FRPRPHQRUPD\RUUHVXOWDHQODGLIHUHQFLDHVQHJDWLYD\SRUORJHQHUDOHV " FRPRPD\RUPHQRU Procedimiento de intervalo de confianza \ ^ a hombre que probablemente las use alguna vez!". En la ac- tualidad, la distribucin t de Student se usa ampliamente y se respeta en la investiga- cin estadstica. PTI Diras que la dife- rencia entre 5 y 8 es 3? Cmo expresaras la diferencia? Explica. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias (muestras independientes) # B s12 n1 s22 n2 (gl, a/2) # B s12 n1 s22 n2 a (x1 x2) t (gl, a/2) (x1 x2) t (10.8) donde gl es calculado o es el menor de gl1 o gl2 (consulta la p. 496) E J E M P L O 1 0 . 8 CMO CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS Las estaturas (en pulgadas) de 20 mujeres seleccionadas al azar y 30 hom- bres seleccionados al azar, se obtuvieron de manera independiente del cuer- po estudiantil de cierta universidad, con la finalidad de estimar la diferencia en sus estaturas medias. La informacin muestral se proporciona en la tabla 10.2. Supn que las estaturas tienen una distribucin aproximadamente nor- mal para ambas poblaciones. TABLA 10.2 Informacin muestral acerca de estaturas de estudiantes Muestra Nmero Media Desviacin estndar Mujeres (f ) 20 63.8 2.18 Hombres (m) 30 69.8 1.92 Encuentra el intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las es- taturas medias, mm mf . Solucin Paso 1 Parmetro de inters: mm mf , la diferencia entre la estatura media de los estudiantes hombres y la estatura media de las estudiantes. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 498 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Paso 2 a. Suposiciones: ambas poblaciones tienen distribuciones aproxima- damente normales y las muestras se seleccionan al azar y de ma- nera independiente. b. Distribucin de probabilidad: la distribucin t con gl = 19, el menor de nm 1 = 30 1 = 29 o nf 1 = 20 1 = 19 y la frmula (10.8). c. Nivel de confianza: 1 a = 0.95. Paso 3 Informacin muestral: consulta la tabla 10.2. Paso 4 a. Coeficiente de confianza: tienes una situacin de dos colas, con a/2 = 0.025 en una cola y gl = 19. De la tabla 6 del apndice B, t (gl, a/2) = t (19, 0.025) = 2.09. Consulta la figura. Consulta en las pginas 415-416 las instrucciones para usar la tabla 6. b. Error mximo de estimacin: usa la parte de error mximo de la frmula (10.8) y obtn: E t (2.09)(0.60) 1.25 # B s12 n1 s22 n2 : E 2.09 # B 1.922 30 2.182 20 (gl, a/2) c. Lmites de confianza inferior y superior: 6.00 1.25 4.75 a 6.00 1.25 7.25 6.00 1.25 1 x1 x22 E Paso 5 a. Intervalo de confianza. 4.75 a 7.25 es el intervalo de confianza de 95% para mm mf . b. Esto es: con 95% de confianza, es posible decir que la diferen- cia entre las estaturas medias de los estudiantes hombres y mu- jeres est entre 4.75 y 7.25 pulgadas; esto es: la estatura media de los estudiantes hombres es entre 4.75 y 7.25 pulgadas mayor que la estatura media de las estudiantes. 0 2.09 t 0.025 0.025 0.95 2.09 Procedimiento de prueba de hiptesis # HOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDXVDGRVHUiODGLIHUHQFLDHQWUHODGLIHUHQFLDREVHUYD GDGHODVPHGLDVPXHVWUDOHV\ODGLIHUHQFLDKLSRWpWLFDGHODVPHGLDVSREODFLRQDOHVGLYLGLGD HQWUHHOHUURUHVWiQGDUHVWLPDGR6HVXSRQHTXHHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDWLHQHDSUR[LPDGD ^FXDQGRODKLSyWHVLVQXODHVYHUGDGHUD\VHVDWLVIDFHODVXSRVLFLyQ @ & VHHQFXHQWUDFRQODIyUPXOD Estadstico de prueba para la diferencia entre dos medias (muestras independientes) t (x1 x2) (m1 m2) B s12 n1 s22 n2 (10.9) donde gl es calculado o es el menor de gl1 o gl2 (consulta la p. 496) www.fullengineeringbook.net 499 Nota: ~ m m FXDOTXLHUYDORUHVSHFLFDGR(OYDORUHVSHFLFDGRPiVFRP~QHVFHURVLQHPEDUJROD E J E M P L O 1 0 . 9 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS Supn que ests interesado en comparar el xito acadmico de los estudian- tes universitarios que pertenecen a organizaciones fraternas, con el xito acadmico de quienes no pertenecen a organizaciones fraternas. La razn para la comparacin es la preocupacin reciente de que los miembros de fraternidad, en promedio, tienen un nivel acadmico ms bajo que el que logran los estudiantes de no fraternidad. (Se usa GPA acumulado para medir el xito acadmico.) De cada poblacin se toman muestras aleatorias de tamao 40. Los resultados muestrales se presentan en la tabla 10.3. TABLA 10.3 Informacin muestral acerca de xito acadmico Muestra Nmero Media Desviacin estndar Miembros fraternidad (f ) 40 2.03 0.68 No miembros (n) 40 2.21 0.59 Completa una prueba de hiptesis con a = 0.05. Supn que los GPA de ambos grupos tienen distribuciones aproximadamente normales. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: mn mf es la diferencia entre las GPA me- dias para los miembros no de fraternidad y los miembros de fraternidad. b. Enunciado de hiptesis: Ha: mn mf 0 (promedios fraternidad son menores) Ho: mn mf 0 ( ) (promedios fraternidad no son menores) Paso 2 a. Suposiciones: ambas poblaciones son aproximadamente norma- les y se seleccionan muestras aleatorias. Dado que las dos po- blaciones estn separadas, las muestras son independientes. b. Estadstico de prueba: la distribucin t con gl = el menor de gln o glf ; dado que ambas n son 40, gl = 40 1 = 39; y t se calcula con la frmula (10.9). c. Nivel de significancia: a = 0.05. Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 10.3. b. Calcula el estadstico de prueba: 0.18 0.00870 0.01156 0.18 0.1423 1.26 t (x1 x2) (m1 m2) B s12 n1 s22 n2 : t (2.21 2.03) (0.00) B 0.592 40 0.682 40 PTI Recuerda: "mayor menor" resulta en una diferencia positiva. PTI Cuando gl no est en la tabla, usa el siguiente valor ms pequeo de gl. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 500 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones @ SDUDHOHMHPSORXVDXQRGHWUHVPpWRGRV *@ Z[ " \[(QFXHQWUDHQWUHGRVHQWUDGDVHQODODJO XVD JO \OHHODVFRWDVSDUD;GHOHQFDEH]DGRXQDFRODHQODSDUWHVXSHULRUGHODWDEOD >;> *@ ][ " ^ w HQWUHGRVODV\JO HQWUHGRVFR OXPQDVOHHODVFRWDVSDUD w !JO >;>\ *@ _[6LKDFHVODSUXHEDGHKLSyWHVLVFRQODD\XGDGHXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXOD GRUDPX\SUREDEOHPHQWHHOODFDOFXODUiHOYDORUSRUWLFRQVXOWDODSRSXHGHVXVDU ORVFRPDQGRVGHGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGDFXPXODGDGHVFULWRVHQHOFDStWXORS E J E M P L O 1 0 . 1 0 HIPTESIS DE DOS COLAS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS Muchos estudiantes se quejan de que la mquina expendedora de refrescos en la sala para estudiantes (A) despacha una cantidad diferente de bebida que la mquina en la sala de profesores (B). Para poner a prueba esta creen- cia, un estudiante selecciona al azar varias partes de cada mquina y las mide cuidadosamente, con los resultados que se muestran en la tabla 10.4. '* " ^ SRUYDORUHVUHODFLRQDGRVFRQPD\RUTXH; !FRQJO FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD 0 1.26 t probabilidad acumulada valor p @ XVDXQRGHWUHVPpWRGRV ~ @ >;> 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDOHHUHOYDORUGLUHFWD PHQWH>;>\ @ ;@KW 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a J$ * /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXH VDSUHRFXSDFLyQSRUYDORUHVUHODFLRQDGRVFRQPD\RU TXH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH OD WDEOD W\ 1.26 0 t 1.69 fraternidad no menor fraternidad menor &RQVXOWDODVSiJLQDVSDUDLQIRUPDFLyQDFHUFDGH YDORUHVFUtWLFRV wQRHVWiHQ ODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD O Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: falla para rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, la afirmacin de que los miembros de fraternidad tienen un nivel inferior a los no miembros no se apoya con los datos muestrales. www.fullengineeringbook.net 501 TABLA 10.4 Informacin muestral de mquinas expendedoras Mquina Nmero Media Desviacin estndar A 10 5.38 1.59 B 12 5.92 0.83 Esta evidencia apoya la hiptesis de que la cantidad media despachada por la mquina A es diferente de la cantidad media despachada por la mquina B? Supn que las cantidades despachadas por ambas mquinas tienen distribucin normal y completa la prueba con a = 0.10. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: mB mA, la diferencia entre la cantidad media despachada por la mquina B y la cantidad media des- pachada por la mquina A. b. Enunciado de hiptesis: (A despacha una misma cantidad promedio que B) (A despacha una cantidad promedio diferente que B) Ha: mB mA 0 Ho: mB mA 0 Paso 2 a. Suposiciones: se supone que ambas poblaciones son aproxima- damente normales y las muestras se seleccionaron al azar y de manera independiente. b. Estadstico de prueba: la distribucin t con gl = el menor de nA 1 = 10 1 = 9 o nB 1 = 12 1 = 11, gl = 9, y t calculado con la frmula (10.9) c. Nivel de significancia: a = 0.10 Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 10.4. b. Estadstico de prueba calculado: 0.54 20.0574 0.2528 0.54 0.557 0.97 t (xB xA) (mB mA) B sB2 nB sA2 nA : t (5.92 5.38) (0.00) B 0.832 12 1.592 10 Paso 4 Distribucin de probabilidad: '* " ^ @ " ;@ 3 JO FRPRHQODJXUD 0 0.97 t P 1 2 P 1 2 J$ * /D UHJLyQFUtWLFDHVGHGRVFRODVSRUTXH ^ @ TXH(OYDORUFUtWLFRDODGHUHFKDVHREWLHQHGHODWD EOD &RQVXOWDODJXUD 0 1.83 1.83 t diferente igual diferente 0.97 O PTI "mayor menor" resulta en una diferen- cia positiva. Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 502 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones @ SDUDHOHMHPSORXVDXQRGHWUHVPpWRGRV *@ Z[ " \(QFXHQWUDHQWUHGRVHQWUDGDVHQODODJO \OHHODV ;GHOHQFDEH]DGRGRVFRODVHQODSDUWHVXSHULRUGHODWDEOD>;> *@ ][ " ^ HQWUHGRVODV\JO HQWUHGRVFR OXPQDVOHHODVFRWDVSDUDJO ;SRUWDQWR>; >\ *@ _[ 6LKDFHVODSUXHEDGHKLSyWHVLVFRQODD\XGDGHXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXOD GRUDPX\SUREDEOHPHQWHHOODFDOFXODUiHOYDORU " SRSXHGHVXVDUORVFRPDQGRVGHGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGDFXPXODGDGHVFULWRV HQHOFDStWXORS /DPD\RUtDGHORVSDTXHWHVHVWDGtVWLFRVSDUDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDFRPSOHWDUiQ @ WLHQHVWUHVRSFLRQHV 8VDODWDEODDSpQGLFH%>;> 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDVVREUHHO @ >;>\ @ ; 3 K ,QVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtILFDVFRQVXOWDODVSiJLQDV QRHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD Paso 5 a. Decisin: fallar para rechazar Ho. b. Conclusin: la evidencia no es suficiente para demostrar que la mquina A despacha una cantidad promedio diferente de bebi- da que la mquina B, en el nivel de significancia 0.10. Por tanto, por falta de evidencia, se proceder como si las dos mquinas despacharan, en promedio, la misma cantidad. MINITAB El comando 2-Sample t (prueba e intervalo de confianza) de MINITAB realiza al mismo tiempo tanto el intervalo de confianza como la prueba de hiptesis. Escribe los dos conjuntos independientes de datos en C1 y C2; despus contina con: Elige: Stat > Basic Statistics > 2-Sample t Selecciona: Samples in different columns* Escribe: Primero: C1 Segundo: C2 Selecciona: Assume equal variances (si se conoce) Selecciona: Options Escribe: Confidence level: 1 a (ej. 0.95 o 95.0) Test mean: 0.0 Elige: Alternativa: less than o not equal o greater than > OK > OK *Observa los otros posibles formatos de datos. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A L A D I F E R E N C I A E N T R E D O S M E D I A S P O B L A C I O N A L E S C O N D E S V I A C I N E S T N D A R D E S C O N O C I D A , D A D O S D O S C O N J U N T O S I N D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S www.fullengineeringbook.net 503 (OHMHPSORVHUHVROYLyFRQ0,1,7$%&RQ*3$DFXPXODGDVSDUDQRPLHP EURVHQ&\SURPHGLRVSDUDPLHPEURVGHIUDWHUQLGDGHQ&ORVFRPDQGRVDQWHULRUHV " ^ ^ @ ;\ORVYDORUHVJO([SOLFD Excel TI-83/84 Plus Escribe los dos conjuntos independientes de datos en las columnas A y B; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) Diferencia media hipottica: mA mB (por lo general 0) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: a (ej. 0.05) Selecciona: Output Range Escribe: (C1 o selecciona celdas) > OK Usa Home > Cells > Format > AutoFit Column Width para hacer ms legible la salida. La salida muestra valores p y valores crticos para pruebas de una y dos colas. Escribe los dos conjuntos independientes de datos en L1 y L2.* Para construir un intervalo de confianza 1 a para la diferencia de medias, contina con lo siguiente, escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > 0:2-SampTInt . . . Para completar una prueba de hiptesis para la diferencia de medias, contina con lo siguiente, escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > 4:2-SampTTest . . . *Escribe los datos en el orden que se necesita; el programa resta como L1 L2. Resalta No for Pooled si no hay suposiciones acerca de la igualdad de las varianzas. Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean 1 40 2.210 0.590 0.093 2 40 2.030 0.680 0.11 95% CI for difference: T-Test diff. 0 (vs> ): T 1.26 P 0.105 DF 76 ( 0.10, 0.46) Difference mu(1) mu(2) Est. diff.: 0.180 Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 504 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones E J E M P L O A P L I C A D O 1 0 . 1 1 PULIDO DE UN MICROCHIP Ral desarrolla una nueva tcnica para pulir la superficie reflejante de un microchip de silicio. Este microchip se usar con un lser como parte de su proyecto de investigacin. La rugosidad de la superficie se mide mediante la distancia, x, entre la superficie y el plano de los puntos "ms altos" sobre la superficie y se mide en nanmetros (nm). Consulta la siguiente figura. (Un nan- metro es una milmillonsima de metro.) x Superficie no pulida Plano de puntos ms altos Superficie a medir Los valores ms grandes de esta distancia, altura superficial, x, junto con una gran desviacin estndar, indican una superficie ms rugosa. Por lo general, x vara en valor de 4 a 20 nanmetros. Para poner esto en perspectiva, el ojo hu- mano no puede ver 20 nanmetros. El conjunto de datos A es un conjunto de mediciones tomadas en ubicaciones aleatorias sobre la superficie no pulida. Conjunto de datos A (no pulido): altura superficial, x (nm) [EX10-077] 8.651 11.849 7.708 8.184 7.978 4.339 9.194 9.182 5.202 6.309 10.588 8.106 9.877 7.038 9.748 12.049 8.497 7.953 5.641 4.073 7.437 14.824 11.943 8.353 14.730 9.933 7.101 18.570 4.684 8.546 5.216 8.271 10.327 9.748 12.452 La meta de Ral es hacer la superficie ms lisa y demostrar estadsticamente que su nueva tcnica de hecho hace la superficie significativamente ms lisa. sta no es tarea sencilla, pues el microchip mide menos de 0.25 pulgadas cuadradas y es ms delgado que un cabello humano. Superficie pulida ms lisa Plano de puntos ms altos Superficie a medir El conjunto de datos B es un conjunto de mediciones tomadas en ubicaciones aleatorias sobre la superficie pulida despus de aplicar el nuevo proceso. Conjunto de datos B (pulido): altura superficial, x (nm)[EX10-077] 2.077 3.096 2.110 2.264 2.039 2.437 2.181 2.510 2.354 1.732 2.120 2.545 2.054 1.562 2.231 1.480 1.775 2.230 1.465 1.548 1.979 1.993 2.263 1.913 2.177 2.201 2.861 3.241 2.183 1.639 2.342 1.428 Parece que Ral logr su meta? Investiga esta pregunta en los ejercicios 10.77 y 10.78. Imagen copyright Joris van den Heuvel, 2012. Usada bajo licencia de Shutterstock.com SABAS QUE...? Un nanmetro es una unidad mtrica que se usa para medir cosas que son muy pequeas, como tomos y molculas, las piezas ms pequeas de todo lo que te rodea. Es una unidad de medida como pulgadas, pies y millas, slo que un poco ms pequea. 1 metro es aproximadamente 39 pulgadas 1 milmetro es 0.001 metros o 103 m 1 micrmetro es 0.000001 metro o 106 m 1 nanmetro es 0.000000001 metros o 109 m 1 ngstrom es 0.0000000001 metros o 1010 m www.fullengineeringbook.net 505 LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPE J E R C I C I O S S E C C I N 1 0 . 3 10.41 ORVLJXLHQWH Muestra 1: , Muestra 2: , s2 2 150 n2 18 s1 2 190 n1 12 ^ 10.42 ORVLJXLHQWH Muestra A: , Muestra B: , sB 11.3 nB 21 sA 8.5 nA 24 ^ 10.43 \VHREWLHQHQSDUDKDFHULQIHUHQFLDVDFHUFDGHODGLIHUHQFLD HQWUHGRVPHGLDV&XiOHVHOQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDG" 10.44 (QFXHQWUDHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]Da" UtDVSDUDHQFRQWUDUHOHUURUPi[LPRSDUDFDGDXQDGH ODVVL m m a. , , b. , , c. , , n2 45 n1 19 1 a 0.99 n2 32 n1 43 1 a 0.98 n2 15 n1 25 1 a 0.95 10.45 (QFXHQWUDHOFRHFLHQWHGHFRQDQ]DGHSDUDODGL ^ \ ^ Muestra Nmero Media Desv. est. 1 20 35 22 2 15 30 16 10.46 \ ' " PXHUWHHQHOTXHGRQDQWHVGHyUJDQRVLQGLYLGXRVTXHUPD ^ ^ ' ` { (VFDODGH$QVLHGDGDQWHOD0XHUWH'$6SRUVXVVLJODVHQ LQJOpVGH7HPSOHUVHDSOLFDDDPERVJUXSRV(QHVWDHVFDODODV FDOLFDFLRQHVDOWDVLQGLFDQDOWDDQVLHGDGHQFXDQWRDODPXHUWH n Media Desv. est. Donadores de rganos 25 5.36 2.91 No donadores de rganos 69 7.62 3.45 &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD m m PTI Los resultados obtenidos pueden ser notablemente diferentes, dependiendo del uso del gl calculado o uso del gl para una muestra ms pequea. 10.47 (O DUWtFXOR3UHFLRV GH UHQWD GH DXWRPyYLOHV SXHGHQ " # $GHPDU]RGHUH ^" ^@ PXFKDVYHFHVGXUDQWHXQGtD/DWDVDSURPHGLRQDFLRQDOSDUD HO WULPHVWUHHQHURPDU]RGHIXHGHGyODUHVDXQ TXHHQDOJXQDVFLXGDGHVODVUHQWDVGHDXWRPyYLOHVSRGtDFRVWDU PiVGHGyODUHVDOGtD8QHVWXGLRVLPLODUGHGRVJUDQGHV FLXGDGHVGHVFXEULyORVVLJXLHQWHVUHVXOWDGRV Ciudad n Tasa diaria promedio Desviacin estndar Boston 10 95.94 7.50 Ciudad de Nueva York 16 127.75 15.83 (VWDEOHFHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHVREUHODGLIHUHQFLD FRVWDHVWHGH%RVWRQ\1XHYD<RUN6XSyQQRUPDOLGDGSDUDODV SREODFLRQHVPXHVWUHDGDV\TXHODVPXHVWUDVVHVHOHFFLRQDURQ ' 10.48 ' " " # $\ WXODGR4XLpQWLHQHPiV]DSDWRV"GHMXOLRGH8Q @ ^ JXLHQWHVUHVXOWDGRV n Media Desv. est. Hombres 21 8.48 4.43 Mujeres 30 26.63 21.83 D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIH ' WRVSDUDKRPEUHV\PXMHUHV E (OLQWHUYDORGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRHQHOLQFLVRD " # $ \ F /DDUPDFLyQHQSURPHGLRPiVHVXQLODWHUDODOPH QRVPiVRHVELODWHUDOTXHVLJQLFDQRPHQRVGHR QRPiVGH"([SOLFDFyPRLQWHUSUHWDUtDVODDUPDFLyQ 10.49 [EX10-049] ^ ^ \PXMHUHV 6H XVy0,1,7$%SDUD FRQVWUXLU XQ LQWHUYDOR GH FRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLDHQWUHODVPHGLDVFRQEDVH Hombres 76 76 74 70 80 68 90 70 90 72 76 80 68 72 96 80 Mujeres 76 70 82 90 68 60 62 68 80 74 60 62 72 Two-sample T for Males vs Females N Mean StDev SE Mean Males 16 77.37 8.35 2.1 Females 13 71.08 9.22 2.6 99% C.I. for mu males mu females: ( , 15.5) 2.9 FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 506 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 9HULFDORVUHVXOWDGRVODVGRVPHGLDVPXHVWUDOHV\GHVYLDFLR QHVHVWiQGDU\ODVFRWDVGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DDOFDOFXODU @ \ ^ ^ 10.50 [EX10-050] La longitud de una barra de acero es afec- tada por la tcnica de tratamiento trmico usada? sta fue la pregunta a probar cuando se recolectaron los siguientes datos. Tratamiento trmico Longitudes (a la pulgada ms cercana) 1 156 159 151 153 157 159 155 155 151 152 158 154 156 156 157 155 156 159 153 157 157 159 158 155 159 152 150 154 156 156 157 160 2 154 156 150 151 156 155 153 154 149 150 150 151 154 155 155 154 154 156 150 151 156 154 153 154 149 150 150 151 154 148 155 158 D (QFXHQWUDODVPHGLDV\GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUSDUDORVGRV @ JUiFDFRPRQXPpULFDTXHDSR\HODVXSRVLFLyQGHQRU F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDm m 10.51 [EX10-051] $SUR[LPDGDPHQWHGHORVJLUDVROHV FXOWLYDGRVHQ(VWDGRV8QLGRVFUHFHQHQORVHVWDGRVGH'DNRWD GHO1RUWH'DNRWDGHO6XU\0LQQHVRWD3DUDFRPSDUDUWDVDVGH SURGXFFLyQHQWUH'DNRWDGHO1RUWH\GHO6XUFRQGDGRVSUR GXFWRUHVGHJLUDVROHVVHVHOHFFLRQDURQDOD]DUGH'DNRWDGHO 1RUWH\FRQGDGRVSURGXFWRUHVGHJLUDVROHVVHVHOHFFLRQDURQ DOD]DUGH'DNRWDGHO6XU6XVSURGXFFLRQHVHQOLEUDVSRU DFUHVHUHJLVWUDURQDFRQWLQXDFLyQ Dakota del Norte 1 296 1 475 1 573 1 517 1 242 1 385 1 128 1 524 1 644 1 377 1 270 Dakota del Sur 1 551 890 1 710 1960 1 988 1 861 1 870 1 110 1 674 1100 1381 2 167 1130 1 280 Fuente: http://www.nass.usda.gov/ (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD ^ GRVSURGXFWRUHVGH'DNRWDGHO1RUWH\ODSURGXFFLyQPHGLDGH JLUDVROHVSDUDWRGRVORVFRQGDGRVSURGXFWRUHVGH'DNRWDGHO \\ ^ ^ 10.52 [EX10-052] @ ^ 0XHVWUDVGHHVWXGLDQWHVKRPEUHV\HVWXGLDQWHVPXMHUHV VHVHOHFFLRQDQODD]DUGHOFXHUSRHVWXGLDQWLOGHHVWHDxR\VH UHJLVWUDQODVVLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHV Hombres 72 68 75 82 81 60 75 85 80 70 71 84 68 85 82 80 54 81 86 79 99 90 68 82 60 63 67 72 77 51 61 71 81 74 79 76 Mujeres 81 76 94 89 83 78 85 91 83 83 84 80 84 88 77 74 63 69 80 82 89 69 74 97 73 79 55 76 78 81 @ PHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU E &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODFDOL FDFLyQPHGLDSDUDWRGRVORVHVWXGLDQWHVKRPEUHV+D]OR F /RVUHVXOWDGRVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVREPXHVWUDQ TXHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVSDUDKRPEUHV\PXMHUHV SXHGHQVHUODVPLVPDV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD7HQ G &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGL IHUHQFLDHQWUHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVSDUDHVWXGLDQWHV KRPEUHV\PXMHUHV H /RVUHVXOWDGRVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRGPXHVWUDQ TXHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVSDUDHVWXGLDQWHVKRPEUHV\ "~ 10.53 (QXQFLDODVKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDTXHXVDUtDVSDUD SRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDUPDFLRQHV HQGRVGLIHUHQWHVJUDQGHVFRPSDxtDV E /DPHGLDGHODSREODFLyQHVPD\RUTXHODPHGLDGHOD SREODFLyQ ^ HQ'DNRWDGHO1RUWHHVPHQRUTXHODSURGXFFLyQPHGLD SRUFRQGDGRHQ'DNRWDGHO6XU G 1RKD\GLIHUHQFLDHQHOQ~PHURPHGLRGHKRUDVHPSOHDGDV @ KRPEUHV\PXMHUHV 10.54 (QXQFLDODVKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDTXHXVDUtDVSDUD SRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDUPDFLRQHV GHPiVGHOE E /DPHGLDGHODSREODFLyQ$HVPHQRVTXHPiVTXHOD ^ @ GH\DUGDVFXDGUDGDVPD\RUTXHHOWDPDxRGHSDWLR @ 10.55 ^ VLJXLHQWHVFDVRV www.fullengineeringbook.net 507 a. , , y b. , , y c. , , y n2 21 n1 16 s2 6.4 s1 2.8 n2 10 n1 8 s2 2 0.087 s1 2 0.054 n2 21 n1 16 s2 2 15 s1 2 12 10.56 @ PHGLDVFRQEDVHHQXQDVXSRVLFLyQGHQRUPDOLGDG\HVWDLQIRU PDFLyQDFHUFDGHGRVPXHVWUDV Muestra Nmero Media Desv. Est. 1 18 38.2 14.2 2 25 43.1 10.6 10.57 @ PHGLDVFRQEDVHHQXQDVXSRVLFLyQGHQRUPDOLGDG\HVWDLQIRU PDFLyQDFHUFDGHGRVPXHVWUDV Muestra Nmero Media Desv. Est. 1 21 1.66 0.29 2 9 1.43 0.18 10.58 @ ^ @' a. , n1 6, , b. , n1 16, , c. , n1 26, , d. , n1 26, , t 1.8 n2 35 Ha: m1 m2 5 t 1.8 n2 16 Ha: m1 m2 0 t 2.8 n2 9 Ha: m1 m2 0 t 1.3 n2 10 Ha: m1 m2 0 10.59 'HWHUPLQDORVYDORUHVFUtWLFRVTXHXVDUtDVSDUDODVVL ^ ~ @' a. , , , b. , , , c. , , , d. , , , a 0.05 n2 15 n1 14 Ha: m1 m2 10 a 0.10 n2 11 n1 8 Ha: m1 m2 0 a 0.01 n2 27 n1 36 Ha: m1 m2 0 a 0.05 n2 16 n1 26 Ha: m1 m2 0 10.60 ^ " @ m m FRQJO \ @ E (QFXHQWUDORVYDORUHVFUtWLFRVGDGRa 10.61 \ ^" SS&RQJO RJO UHVXOWDQGLIHUHQWHVUHVSXHV WDV([SOLFDFyPRVHDSOLFDDTXtODSDODEUD> > S 10.62 7HQHUXQQRPEUHODUJRPiVFRPSOHMRHVPiVGLJQLFDQ WHSDUDXQDFKLFD"/RVQRPEUHVGHODVPXMHUHVVRQPiVODUJRV " $OH[DQGUD0DGHOHLQH \6DYDQQDK FLHUWDPHQWH SDUHFH TXHVt3DUDSRQHUDSUXHEDHVWDKLSyWHVLVVH WRPDQPXHVWUDV DOHDWRULDVGHQLxRV\QLxDVGHVpSWLPRJUDGR6HD+ ~ Nombres de nios Nombres de nias s 1.456 x 6.133 n 30 s 1.870 x 5.767 n 30 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVDSR\DQHODUJX " " 10.63 @ ^" " ' TXHSXHGHUXELDV\FDVWDxDVHQVXEDFKLOOHUDWR&DOFXOD ORVVLJXLHQWHVHVWDGtVWLFRVJOREDOHV Rubias Castaas sC 6.640 xC 87.600 nC 40 sR 6.134 xR 88.375 nR 40 $OYHUORVUHVXOWDGRVGHODPXHVWUD/DXUHQWLHQHDSR\RSDUD VXDUPDFLyQGHTXHODVFDVWDxDV VRQPiV LQWHOLJHQWHVTXH ODV UXELDV"([SOLFD 4Xp SRGUtDGHFLU/DXUHQDFHUFDGH OD LQWHOLJHQFLDGHUXELDV\FDVWDxDV" 10.64 8QRSRGUtDUD]RQDUTXHORVHVWXGLDQWHVGHEDFKLOOHUDWR ltimo ao tendran ms problemas de dinero que los de pri- mer ao. Los de ltimo ao prevn gastos para la universidad, as como VXYLDMH\HVWDGHJUDGXDFLyQ'HPRGRTXHHVWR VLJQLFDTXHWUDEDMDQPiVTXHVXVFRPSDxHURVGHSULPHUDxR" &KULVWLQHXQDHVWXGLDQWHGH~OWLPRDxRHQ+)/+LJK6FKRRO ' PDQDGHHVWXGLDQWHVTXHWUDEDMDQ ltimo ao Primer ao sp 9.69 xp 18.405 np 20 su 10.48 xu 16.4 nu 17 \ " ^ PDOHVWRVGDWRVVXJLHUHQTXHKD\XQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYD " ORVHVWXGLDQWHVGHSULPHU\ltimo aos en HFL? Usa a 10.65 ^ ^ @ | } ^ " ^" ^ ^ HIHFWLYDSDUDPHMRUDUODVSUHSDUDFLRQHVSUHYLDVDFODVH\SDUD PHMRUDUODDVLVWHQFLDDFODVHFDOLFDFLRQHVGHH[DPHQ\HYD " GHQFRQWDELOLGDGVFDO \ ^" ' GRXQDJXtDGHHVWXGLRHOHFWUyQLFD(6*FRPRXQWXWRUSDUD ^ "^ @ JUDPDGHFyPSXWR(6*TXHJHQHUy\FDOLFySUHJXQWDVUi SLGDV\H[iPHQHVGHSUiFWLFDGHFDStWXORSUHVHQWyUHYLVLRQHV GHFDStWXORVGHOOLEURGHWH[WR\UDVWUHyHODYDQFH/RVHVWX GLDQWHVSRGUtDQXVDUODFRPSXWDGRUDSDUDFRQVWUXLUDSOLFDU \FDOLFDUVXVSURSLRVH[iPHQHVVLPXODGRV\PDWHULDOHVGH FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 508 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones \H[iPHQHVIRUPDOHVHQFODVHFRPSXHVWRVFRQGLIHUHQWHVSUH ^ FXUVRXVDHOPLVPROLEURGHWH[WR\HQWUHJDODVPLVPDVWDUHDV "^ \ DPEDVVHFFLRQHVVHDSOLFDURQH[iPHQHVLGpQWLFRV\VHWDEXOD URQODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVGHWRGRVORVH[iPHQHV\WDUHVDO QDOGHODxR Seccin n Calificacin media Desv. est. ESG (1) 38 79.6 6.9 No ESG (2) 36 72.8 7.6 (VWRVUHVXOWDGRVPXHVWUDQTXHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVGHORV exmenes y tareas para los estudiantes que toman principios GHFRQWDELOLGDGFRQXQD(6*SDUDDX[LOLDUVHVRQVLJQLFDWL- YDPHQWHPD\RUHVTXHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVGHTXLHQHVQR XVDQXQD(6*"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH @ ~ @ @ ~ 10.66 "En un mes tpico, el hombre gasta $178 y las mu- jeres gastan $96 en actividades de ocio", de acuerdo con los resultados de una encuesta de International Communications ReseDUFK,&5SDUD$PHULFDQ([SUHVVVHJ~QUHSRUWDHO" # $ {TXHVHHQFRQWUyHQLQWHUQHWHOGHMXQLR GH \ ^" ^ GHHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVKRPEUHV\PXMHUHV$FDGDHV ^ @ WXYLHURQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHSDUDORVKRPEUHV\ XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHSDUDODVPXMHUHV D 6LDPEDVPXHVWUDVWXYLHURQWDPDxRFXiOHVHOHUURU \ @ ODGLIHUHQFLDHQFRQWUDGDHQODHQFXHVWD,&5HVVLJQL @ a VLVHXVDQODVPXHVWUDVHQHOLQFLVRD" 10.67 0XFKRVTXHVRVVHSURGXFHQFRQIRUPDGHUXHGD\GH ^ " PHGLGDSRUSHVRYDUtDGHUXHGDDUXHGD+HLGL&HPEHUWTXLHUH GHWHUPLQDUVLH[LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQHOQLYHOGH HQWUHHOSHVRSRUUXHGDGHTXHVRJRXGD\EULH(OODPXHV WUHDDOD]DUUXHGDVGHJRXGD\GHVFXEUHTXHODPHGLDHVGH OLEUDVFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHOLEUDV\GHV SXpVPXHVWUHDUXHGDVGHEULH\GHVFXEUHTXHODPHGLDHVGH OLEUDVFRQXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHOLEUDV(QHO QLYHOGH VLJQLFDQFLD H[LVWH VXFLHQWH HYLGHQFLDSDUD DSR\DUHODUJXPHQWRGH+HLGHGHTXHKD\XQDGLIHUHQFLDVLJQL FDWLYDHQORVSHVRVPHGLRVGHORVGRVWLSRVGHTXHVR" 10.68 \ 6WUHHWHQ3URYRWLHQHXQSUHFLRGHYHQWDPHGLRGH\ XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH\XQDPXHVWUDDOHDWRULDGH \ @ GH \ XQD GHVYLDFLyQ HVWiQGDU GH SXHGHV FRQFOXLUTXHH[LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQWUHORVSUH @ @ @ "6XSyQQRUPDOLGDG @ ~ @ @ ~ 10.69 [EX10-069] 6H XVy 0,1,7$% SDUD FRPSOHWDU XQD Muestra 1 33.7 21.6 32.1 38.2 33.2 35.9 34.1 39.8 23.5 21.2 23.3 18.9 30.3 Muestra 2 28.0 59.9 22.3 43.3 43.6 24.1 6.9 14.1 30.2 3.1 13.9 19.7 16.6 13.8 62.1 28.1 Two-sample T for sample 1 vs sample 2 N Mean StDev SE Mean sample1 13 29.68 7.07 2.0 sample2 16 26.9 17.4 4.4 T-Test mu sample2 (vs not ): T 0.59 P 0.56 DF 20 sample1 mu D 6LVXSRQHVQRUPDOLGDGYHULFDORVUHVXOWDGRVGRVPHGLDV \GHVYLDFLRQHVHVWiQGDUPXHVWUDOHV\HO @ E 8VDODWDEODGHODSpQGLFH%SDUDYHULFDUHOYDORU @ " @ 10.70 [EX10-070] " @ @ " @ KHFKRGHDFXHUGRFRQHO&ROOHJH%RDUG>KWWSZZZFROOHJH ERDUGFRP@ HO FRVWRSURPHGLR PDWUtFXODPHQ VXDOLGDGHVKDELWDFLyQ\FRPLGDSDUDXQDXQLYHUVLGDGS~EOLFD IXHGHGyODUHVIUHQWHDGyODUHVGHXQDXQLYHUVL GDGSULYDGD(VWDGLIHUHQFLDVHPDQWLHQHFXDQGRVHWUDWDGHO " \ Pblica Privada 64.69 71.00 89.60 96.19 101.49 96.47 101.75 97.14 103.59 98.56 106.38 98.94 106.77 107.79 110.69 112.58 118.94 114.00 135.94 116.55 &RQODVDOLGD([FHOGHODVLJXLHQWHSiJLQD\a GHWHU " FODVHHVGLIHUHQWHHQWUHODVXQLYHUVLGDGHVS~EOLFDV\SULYDGDV @ ~ @ @ ~ www.fullengineeringbook.net 509 Prueba t : dos muestras suponiendo varianzas distintas Pblica Privada 2 2 9 .0 0 1 4 8 9 . 3 0 1 1 1 5 5 9 9 2 . 3 7 1 2 2 8 9 4 2 6 . 0 4 3 10 10 0 Media Varianza Observaciones Diferencia media hipottica gl Estadstico t P(T t ) dos colas t crtico dos colas 6 1 1 1 5 5 2 1 7 2 4 . 0 0.674980208 2.119904821 10.71 [EX10-071] /DVPXMHUHVVRQPiVVHULDVHQFXDQWRDO JROITXHORVKRPEUHV"6LHVDVtHOSUHFLRGHXQ> XQKRPEUHVHUtDHOPLVPRTXHHOSUHFLRGHXQ> \ " >SDUDPXMHUHVVHUtDQPiV EDUDWRV0XHVWUDV DOHDWRULDV GH > ZHEGHJROLQNFRP/RVSUHFLRVIXHURQ Hombres 149.99 299.99 49.99 499.99 167.97 299.99 399.99 199.99 99.99 149.99 Mujeres 199.99 79.99 499.99 199.97 299.99 99.99 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLD SDUDDSR\DUHODUJXPHQWRGHTXHORV> " > \ ^ > 10.72 [EX10-072] 9HLQWHUDWRQHVGHODERUDWRULRVHGLYLGLHURQ ^ DFXHUGRFRQXQDGLHWDSUHVFULWD$OQDOGHVHPDQDVVHUHJLV WUyHOSHVRJDQDGRSRUFDGDDQLPDO/RVGDWRVHQODVLJXLHQWH WDEODMXVWLFDQODFRQFOXVLyQGHTXHHOSHVRPHGLRJDQDGRFRQ ODGLHWD%IXHPD\RUTXHHOSHVRPHGLRJDQDGRFRQODGLHWD$ HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDa "6XSyQQRUPDOLGDG Dieta A 5 14 7 9 11 7 13 14 12 8 Dieta B 5 21 16 23 4 16 13 19 9 21 @ ~ @ @ ~ 10.73 [EX10-073] 0XFKDVSHUVRQDVTXHHVWiQLQYROXFUDGDV FRQOD0DMRU/HDJXH%DVHEDOOFUHHQTXHORVMXHJRVGHEpLVERO GHORV<DQNHHVWLHQGHQDGXUDUPiVWLHPSRTXHORVMXHJRVUHD OL]DGRVSRURWURVHTXLSRV&RQODQDOLGDGGHSRQHUDSUXHED HVWD KLSyWHVLV VH HOLJLy DO D]DU RWUR HTXLSR GH OD0/% ORV \\ @ QXWRVSDUDMXHJRVGHORV&DUGHQDOHVVHOHFFLRQDGRVDOD]DU \MXHJRVGHORV<DQNHHVVHOHFFLRQDGRVDOD]DU Yankees Cardenales 155 208 205 135 190 161 193 170 232 150 208 187 174 200 188 143 229 154 158 193 202 128 189 212 232 211 Fuente: MLB.com (VWDV PXHVWUDV SURSRUFLRQDQ HYLGHQFLD VLJQLFDWLYD SDUD concluir que el tiempo medio de los juegos de bisbol de los <DQNHHVHVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHHOWLHPSRPHGLRGH los juegos de los Cardenales? Usa a 10.74 [EX10-074] 3HQHOG\3HULQWRQVRQGRVVXEXUELRV RULHQWDOHVDG\DFHQWHVGH5RFKHVWHU1XHYD<RUN$PERVVLHP GHYLGDYLYLHQGD\HGXFDFLyQ$XQTXHPXFKRVQXHYRVGHVD UUROORV LQPRELOLDULRV WLHQHQ OXJDUHQ3HQHOG3HULQWRQRIUHFH @ ~\ " QHFLR3DUDSRQHUDSUXHEDHVWDKLSyWHVLVVHWRPDQPXHVWUDV DOHDWRULDV GH WUDQVDFFLRQHVGHELHQHV UDtFHV HQ FDGD VXEXUELR GXUDQWHODVHPDQDGHOGHRFWXEUHGH/RVGDWRVDSR\DQ ^ a Penfield Perinton 195 700 154 900 137 500 429 000 117 000 272 000 115 000 160 609 176 000 265 000 149 013 144 000 130 000 152 000 266 490 390 000 152 000 130 300 262 765 149 900 10.75 EUHV\PXMHUHVXQLYHUVLWDULRVGDGRVHQHOHMHUFLFLRGHOD SiJLQD D 6HVDWLVIDFHQODVVXSRVLFLRQHVGHQRUPDOLGDGSDUDFDGD ^ " ORVWLHPSRVGHWUDVODGRPHGLRVSDUDKRPEUHV\PXMHUHV HVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD F 6LODGLIHUHQFLDHVVLJQLFDWLYDHQHOLQFLVRTXpIDFWR UHVSRGUtDQFRQWULEXLUDODGLIHUHQFLD" 10.76 [EX10-076] @ ^ JUXSRVGLIHUHQWHV\VHPLGLHURQXQDYH]FRQGRVLQVWUX \ ^ ^ FRGLFDURQSRUUD]RQHVGHSURSLHGDG Grupo 1 4 5 10 11 3 7 3 4 0 12 9 4 17 Grupo 2 2 7 5 1 1 1 0 1 8 6 0 4 22 19 4 17 19 33 5 12 13 17 18 1 7 5 2 16 6 4 2 5 1 10 6 7 3 2 KLVWRJUDPD\FRPSDUDWLYDPHQWHXVDXQDJUiFDODGRDODGR FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 10.3 Inferencias concernientes a la diferencia entre medias www.fullengineeringbook.net 510 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones E (QFXHQWUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUSDUDFDGD F 6HVDWLVIDFHQODVVXSRVLFLRQHV"([SOLFD ^ " a H ([LVWHDOJXQDHYLGHQFLDGHXQDGLIHUHQFLDHQWUHORVGRV 10.77 [EX10-077] &RQVLGHUDORVGDWRVGHDOWXUDVXSHUFLDO SDUDODVVXSHUFLHVUHHMDQWHVQRSXOLGD\SXOLGDGH5D~OGH GHODSiJLQD D 3UHVHQWD\GHVFULEHFDGDFRQMXQWRGHGDWRVQRSXOLGR\ SXOLGRXVDQGRXQKLVWRJUDPDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQ ^ QRUPDO(QXQFLDFXiOFRQVLGHUDVTXHHVHOFDVRFRQEDVH HQORVUHVXOWDGRVHQFRQWUDGRVHQHOLQFLVRD$GHPiV HQFXHQWUDHYLGHQFLDHVWDGtVWLFDDGLFLRQDO(QXQFLD ^ 10.78 [EX10-077] FLDOSDUDODVVXSHUFLHVUHHMDQWHVQRSXOLGD\SXOLGDGH GRGHODSiJLQDHLQLFLDOPHQWHLQYHVWLJDGRVHQHO D /RVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVQRSXOLGRV\SXOLGRVUHSUH E 3URGXFHDOPHQRVWUHVHVWDGtVWLFRVJUiFRVTXHGHPXHV WUHQTXHHOQXHYRSURFHVRGHSXOLGRGHKHFKRVtSURGXFH XQDVXSHUFLHUHHMDQWHPiVOLVD([SOLFDFyPRFDGD JUiFDGHPXHVWUDTXHVHORJUyODPHWD F ([LVWHHYLGHQFLDHVWDGtVWLFDGHTXHHOSURFHVRSURGXMR XQDVXSHUFLHTXHHVVLJQLFDWLYDPHQWHPiVOLVD"(QXQ @ ^ @ FDQFLDDVHJ~UDWHGHHQXQFLDUWXGHFLVLyQ\ ^ 10.79 @ " ^ + + 8VD GRV SREODFLRQHV QRUPDOHV WHyULFDV \ ' ^ VHOHFFLRQDDOD]DUXQDPXHVWUDPX\JUDQGHGHFDGD XQD*HQHUDYDORUHVGHGDWRVFDOFXODODPHGLD \ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUFRQVWUX\HXQKLVWRJUDPDFRQ OtPLWHVGHFODVHTXHVHDQP~OWLSOHVGHXQPHGLRGHXQD @^ ^ \ ' SREODFLyQFyPRHVSHUDVTXHVHDODGLVWULEXFLyQGH + + ^ ' FLyQ\HQFXHQWUDODPHGLDGHFDGDPXHVWUD(QFXHQWUD @ @ + + FLyQPXHVWUDOHPStULFDGH+ + ^ HPStULFDIRUPDKLVWRJUDPDPHGLD\HUURUHVWiQGDU 8VDOtPLWHVGHFODVHTXHVHDQP~OWLSORVGHOHUURUHVWiQ ^ ^" YHULFDHOHQXQFLDGRDFHUFDGHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDO + +KHFKDHQODSiJLQD I 5HSLWHHOH[SHULPHQWRDOJXQDVYHFHV\FRPSDUDORV PTI Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin adicional acerca de los cmandos. 10.80 '^ @ ^ " @' VHU GLVWLQWDV9DORUHV H[WUHPDGDPHQWH GLIHUHQWHV FDXVDQ XQD ^ ^ \ \ DPERV WDPDxRV GHPXHVWUD GH &RPSUXHED ODV WUHV SURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOQRUPDOLGDGVXYDORU PHGLR\VXHUURUHVWiQGDU'HVFULEHFRQGHWDOOHORTXHGHVFX EULVWH&UHHVTXHGHEHVHVWDUSUHRFXSDGRSRUODHOHFFLyQGH 10.81 7DPDxRVPXHVWUDOHVGHVHTXLOLEUDGRVVRQXQIDFWRUHQOD ^ ^ \\WDPDxRVPXHVWUDOHVGH\&RPSUXHEDODVWUHV SURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOQRUPDOLGDGVXYDORU PHGLR\VXHUURUHVWiQGDU'HVFULEHFRQGHWDOOHTXpGHVFXEULV WH&UHHVTXHGHEHVHVWDUSUHRFXSDGRFXDQGRXVHV WDPDxRV " 10.82 ^ " ^ QRUPDO4XpVXFHGHFXDQGRQRWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO" ^" QRVHDQQRUPDOHV\FRQPXHVWUDVGHWDPDxR/DGLVWULEX www.fullengineeringbook.net 511 ~ /RVWDPDxRVPXHVWUDOHVVRQDPERVPD\RUHVTXH /RVSURGXFWRV \VRQWRGRVPD\RUHVTXH /DVPXHVWUDVFRQVLVWHQHQPHQRVGHGHVXVUHVSHFWLYDVSREODFLRQHV Nota: \VRQGHVFRQRFLGDVSRUWDQWRORVSURGXFWRVPHQFLRQDGRVHQHOOLQHDPLHQWR 9 9 9\9 VHDSR\DUn en las siguientes suposiciones. ^ @ GLVWULEXFLyQFRQIRUPDGH-\VXPHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU @ FRQPHGLDVGH\([S\([S&RPSUXHED ODV WUHV SURSLHGDGHVGH OD GLVWULEXFLyQPXHVWUDO QRUPDOLGDGVX YDORUPHGLR\VXHUURUHVWiQGDU'HVFULEHFRQGHWDOOH ORTXH GHVFXEULVWH&UHHVTXHGHEHVSUHRFXSDUWHFXDQGRPXHVWUHDV Si muestras independientes de tamaos n1 y n2 se extraen al azar de pobla- ciones grandes con p1 = P1(xito) y p2 = P2(xito), respectivamente, entonces la distribucin muestral de p91 p92 tiene estas propiedades: 1. media mp1 p2 p1 p2 2. error estndar sp1 p2 p1q1 n1 p2q2 n2 (10.10) 3. una distribucin aproximadamente normal si n1 y n2 son suficientemente grandes &RQIUHFXHQFLDXQRHVWiLQWHUHVDGRHQUHDOL]DUFRPSDUDFLRQHVHVWDGtVWLFDVHQWUHODV SODQWHDQWDOHVFRPSDUDFLRQHVODSURSRUFLyQGHSURSLHWDULRVGHFDVDVTXHIDYRUHFHQFLHUWD ^ " " @ 8QSRUFHQWDMHPiVJUDQGHGHODFODVHGHHVWHVHPHVWUHTXHGHODFODVHGHOVHPHVWUHDQWH ULRUDSUXHEDHVWDGtVWLFD"/DSUREDELOLGDGGHTXHXQFDQGLGDWRGHPyFUDWDJDQHHQ1XHYD <RUNHVPD\RUTXHODSUREDELOLGDGGHTXHXQFDQGLGDWRUHSXEOLFDQRJDQHHQ7H[DV"/DV RSLQLRQHVGHORVHVWXGLDQWHVDFHUFDGHOQXHYRFyGLJRGHFRQGXFWDGLHUHQGHODVGHOSHUVR Nota: ~ @ 9 + + ~ @ HQVD\RV 99 HVODSUREDELOLGDGGHp[LWRHQXQHQVD\RLQGLYLGXDOHQXQH[SHULPHQWRGHSUREDELOL HQVD\RVLQGHSHQGLHQWHVUHSHWLGRV ^ @9 9 @9 9SHUWHQHFHDXQDGLVWULEXFLyQPXHVWUDOFRQODVFDUDFWHUtVWLFDV 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones usando dos muestras independientes PTI Las 3 palabras "p" (proporcin, porcenta- je, probabilidad ) son todas parmetros bino- miales p, P(xito). PTI Los experimentos binomiales se definen con ms detalle en la pgina 246. Seccin 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones www.fullengineeringbook.net 512 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Procedimiento de intervalo de confianza & _ 9 9 ^ 99 FRQYLHUWHHQHOFHQWURGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D\ORVOtPLWHVGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D VHHQFXHQWUDQFRQODVLJXLHQWHIyUPXOD Suposiciones para inferencias acerca de la diferencia entre dos proporciones p1 p2 Las n1 observaciones aleatorias y las n2 observaciones aleatorias que forman las dos muestras se seleccionan de manera independiente de dos poblaciones que no cambian durante el muestreo. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones z z p1q1 n1 p2q2 n2 # (a/2) p1 p2 p1q1 n1 p2q2 n2 a # (a/2) p1 p2 (10.11) E J E M P L O 1 0 . 1 2 CMO CONSTRUIR UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES Al estudiar su plan de campaa, el Sr. Morris quiere estimar la diferencia entre las visiones de hombres y mujeres en cuanto a su atraccin como can- didato. Pide a su jefe de campaa que tome dos muestras aleatorias indepen- dientes y encuentre el intervalo de confianza de 99% entre las proporciones de votantes mujeres y hombres que planean votar por l. De cada poblacin se toma una muestra de 1 000 votantes, con 388 hombres y 459 mujeres que favorecen al Sr. Morris. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: pw pm, la diferencia entre la proporcin de electores mujeres y la proporcin de hombres electores que planean votar por el Sr. Morris. Paso 2 a. Suposiciones: las muestras son aleatorias y seleccionadas de ma- nera independiente. b. Distribucin de probabilidad: la distribucin normal estndar. Las poblaciones son grandes (todos los votantes); los tamaos muestrales son ms grandes que 20; y los valores estimados para nmpm, nmqm, nw pw y nw qw , son todos ms grandes que 5. Por tanto, la distribucin muestral de p9w p9m debe tener una distribucin aproximadamente normal. El intervalo se calcular con la frmu- la (10.11). c. Nivel de confianza: 1 a = 0.99 PTI Se acostumbra colocar primero el valor ms grande; de esta forma, la estimacin puntual para la diferen- cia es un valor positivo. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 513 Paso 3 Informacin muestral: Se tiene pw xw nw 459 1 000 0.459 qw 1 0.459 0.541 pm xm nm 388 1 000 0.388 qm 1 0.388 0.612 xw 459. nw 1 000 y xm 388, nm 1 000, Paso 4 a. Coeficiente de confianza: sta es una situacin de dos colas, con a/2 en cada cola. De la tabla 4B, z(a/2) = z(0.005) = 2.58. Las instrucciones para usar la tabla 4B estn en la pgina 350. b. Error mximo de estimacin: con la parte de error mximo de la frmula (10.11), se tiene E z 2.58 0.000248 0.000237 (2.58)(0.022) 0.057 E 2.58 # D (0.459)(0.541) 1 000 (0.388)(0.612) 1 000 # D pwqw nw pmqm nm (a/2) c. Lmites de confianza inferior/superior: 0.071 0.057 0.014 a 0.071 0.057 0.128 0.071 0.057 (pw pm) E Paso 5 a. Intervalo de confianza: 0.014 a 0.128 es el intervalo de confian- za de 99% para pw pm. Con 99% de confianza, puede decirse que existe una diferencia de 1.4% a 12.8% en la atraccin del votante por el Sr. Morris. b. Esto es: una proporcin ms grande de mujeres que de hombres favorece al Sr. Morris y la diferencia en las proporciones est entre 1.4% y 12.8%. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : I N T E R V A L O S D E C O N F I A N Z A P A R A L A D I F E R E N C I A E N T R E D O S P R O P O R C I O N E S D A D O S D O S C O N J U N T O S I N D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S MINITAB Elige: Selecciona: Summarized data: Primero: Escribe: x (eventos) n (ensayos) Segundo: x (eventos) n (ensayos) Selecciona: Options Nivel de confianza: (ej. 0.95 o 95.0) Alternative: Escribe: Selecciona: not equal > OK > OK 1 A Stat > Basic Statistics > 2 Proportions Seccin 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones 0.005 0.005 0.99 0 2.58 z 2.58 www.fullengineeringbook.net 514 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones /RVLQWHUYDORVGHFRQDQ]D\ODVSUXHEDVGHKLSyWHVLVHQRFDVLRQHVSXHGHQLQWHUFDP ELDUVHHVWRHVXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSXHGHXVDUVHHQOXJDUGHXQDSUXHEDGHKLSyWHVLV &RPRPXHVWUDHOHMHPSORSLGHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]D$KRUDVXSn que el Sr. Morris pregunta: existe una diferencia en mi atractivo de @ KRPEUHVHQRSRVLFLyQDODVPXMHUHVYRWDQWHV"3DUDUHVSRQGHUHVWDSUHJXQWDQRQHFHVLWDUtDV ^ a 1RKD\GLIHUHQFLDVLJQLFDUtDXQDGLIHUHQFLDGHFHURTXHQRVHLQFOX\HHQHOLQWHUYDORGH DHOLQWHUYDORGHWHUPLQDGRHQHOHMHPSOR3RUWDQWRVHUHFKD]DUtDXQD KLSyWHVLVQXODGHQRKD\GLIHUHQFLDORTXHSRUWDQWRDSR\DODFRQFOXVLyQGHTXHH[LVWH XQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQHODWUDFWLYRGHYRWDFLyQHQWUHORVGRVJUXSRV Procedimiento de prueba de hiptesis # !# " & @@ $ VHHQFXHQWUDFRQODVLJXLHQWHIyUPXOD TI-83/84 Plus Excel Escribe los datos para la primera muestra en la columna A con 0 para fracasos (o no) y 1 para xitos (o s); despus repite el mismo procedimiento para la segunda muestra en la columna B; despus contina con: Elige Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Estimate: Two Proportions Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) Cdigo para xitos: 1 Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) > OK Elige: STAT > TESTS > B:2-PropZInt Escribe los valores apropiados y resalta Calculate. Estadstico de prueba para la diferencia entre dos proporciones: proporcin poblacional conocida z p1 p2 pq 1 n1 1 n2 (10.12) Notas: ^ /DVGLIHUHQFLDVGLVWLQWDVGHFHURHQWUHSURSRUFLRQHVQRVHGLVFXWHQHQHVWDVHFFLyQ www.fullengineeringbook.net 515 (OQXPHUDGRUGHODIyUPXODSRGUtDHVFULELUVHFRPR9 9 " ^ @ ^ @ 9 9 'DGRTXHODKLSyWHVLVQXODHV 99 p1q1 n1 p2q2 n2 pq 1 n1 1 n2 \ &XDQGRODKLSyWHVLVQXODDUPD \QRHVSHFLFDHOYDORUGH ^ 9 ~ @ HOQ~PHURWRWDOGHREVHUYDFLRQHVFRQODVGRVPXHVWUDVFRPELQDGDVVHHQFXHQWUDXVDQ GRODVLJXLHQWHIyUPXOD pp x1 x2 n1 n2 !" \9 qp 1 pp !" ^ 9 ODIyUPXODVHFRQYLHUWHHQODIyUPX OD Estadstico de prueba para la diferencia entre dos proporciones: proporcin poblacional desconocida z p1 p2 (pp )(qp ) 1 n1 1 n2 (10.15) E J E M P L O 1 0 . 1 3 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES Un vendedor para un nuevo fabricante de telfonos celulares afirma no slo que le cuestan menos al minorista, sino tambin que el porcentaje de telfo- nos celulares defectuosos encontrados entre sus productos no ser mayor que el porcentaje de los defectuosos que se encuentran en la lnea de un compe- tidor. Para probar su afirmacin, un minorista toma muestras aleatorias del producto de cada fabricante. Los resmenes muestrales se proporcionan en la tabla 10.5. Puedes rechazar la afirmacin del vendedor en el nivel de significancia 0.05? TABLA 10.5 Informacin muestral de telfonos celulares Producto Nmero defectuosos Nmero comprobados Del vendedor 0 5 1 0 5 1 5 1 6 Del competidor 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones www.fullengineeringbook.net 516 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: ps pc, la diferencia entre la proporcin de defectuosos en el producto del vendedor y la proporcin de defectuosos en el producto del competidor. b. Enunciado de hiptesis: la preocupacin del minorista es que el producto menos costoso del vendedor pueda ser de una calidad inferior, lo que significa una mayor proporcin de defectuosos. Si usas la diferencia "proporcin ms grande sospechosa pro- porcin ms pequea", entonces la hiptesis alternativa es "la diferencia es positiva (mayor que cero)". Ho : ps pc = 0 (#) (tasa defectuosa del vendedor no es mayor que la del competidor) Ha : ps pc > 0 (tasa defectuosa del vendedor es mayor que la del competidor) Paso 2 a. Suposiciones: las muestras aleatorias se seleccionaron de los pro- ductos de dos diferentes fabricantes. b. Estadstico de prueba a usar: la distribucin normal estndar. Las poblaciones son muy grandes (todos los telfonos celulares producidos); las muestras son mayores que 20 y los productos estimados ns p9s, nsq9s, nc p9c y nc q9c son mayores que 5. Por tanto, la distribucin muestral debe tener una distribucin aproximada- mente normal. z se calcular con la frmula (10.15). c. Nivel de significancia: a = 0.05. Paso 3 a. Informacin muestral: pp x1 x2 n1 n2 15 6 150 150 21 300 0.07 qp 1 pp 1 0.07 0.93 pc xc nc 6 150 0.04 ps xs ns 15 150 0.10 b. Estadstico de prueba calculado: 0.06 0.000868 0.06 0.02946 2.04 z ps pc B (pp )(qp ) c 1 ns 1 nc d : z 0.10 0.04 B (0.07)(0.93) c 1 150 1 150 d Paso 4 Distribucin de probabilidad: '* " SDFLyQSRUYDORUHV UHODFLRQDGRV FRQPD\RUTXH ;@ .FRPRVHPXHVWUDHQOD JXUD @ WLHQHVWUHVRSFLRQHV ~ @ ;K J$ * /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHODGHUHFKDSRUTXH ^ @ PD\RUTXH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH OD WDEOD $W 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSiJLQDV HVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD O www.fullengineeringbook.net 517 0 2.04 z valor p Valor tabla 3 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDVVREUHHO @ ,;, 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUD;@K 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD @ " a 0 z 1.65 no mayor que mayor que 2.04 Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, existe suficiente evi- dencia para rechazar la afirmacin del vendedor; la proporcin de los telfonos celulares de su compaa que son defectuosos es mayor que la proporcin de los telfonos celulares de su compe- tidor que son defectuosos. MINITAB Excel Elige: Stat > Basic Statistics > 2 Proportions Selecciona: Summarized data: Escribe: Primero: x (eventos) n (ensayos) Segundo: x (eventos) n (ensayos) Selecciona: Options Escribe: Test difference: 0.0 Selecciona: Alternative: less than o not equal o greater than Selecciona: Use pooled estimate of p for test > OK > OK Escribe los datos para la primera muestra en la columna A y usa 0 para fracasos (o no) y 1 para xitos (o s); despus repite el mismo procedimiento para la segunda muestra en la columna B; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Z-Test: Two Proportions Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) Cdigo para xitos: 1 Diferencia hipottica: 0 Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A L A D I F E R E N C I A E N T R E D O S P R O P O R C I O N E S , p 1 p 2 , P A R A D O S C O N J U N T O S I N D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S Seccin 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones www.fullengineeringbook.net 518 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones TI-83/84 Plus Elige: STAT > TESTS > 6:2-PropZTest . . . Escribe los valores apropiados y resalta Calculate: E J E M P L O A P L I C A D O 1 0 . 1 4 RIONES DE CADVER SON BUENOS PARA TRASPLANTES En un descubrimiento que podra fa- cilitar la severa escasez de donadores de rganos, investigadores suizos descubrie- ron que los riones trasplantados de ca- dveres siguen funcionando tanto tiem- po como los de un paciente cuyo corazn sigue latiendo. La mayora de los rganos trasplantados se toman de pacientes con muerte cerebral cuyos corazones no se han detenido porque los mdicos creen desde hace mucho que si esperan hasta que el corazn se detenga, los rganos se daarn por falta de oxgeno. Pero en el primer estudio a largo plazo que compara los dos enfoques, mdicos del Hospital Universitario de Zurich siguieron a casi 250 pacientes de trasplante durante 15 aos y descubrie- ron tasas de supervivencia casi idnticas. A los 10 aos, 79% de los pacientes cuyo rin provino de un donador sin latido cardiaco estaban vivos, como lo estaba 77% de los pacientes cuyo rgano pro- vino de un donador con muerte cerebral cuyo corazn lata. El estudio, publicado en el New England Journal of Medicine, podra resultar especialmente influyente debido a que fue una comparacin cara a cara de los dos enfoques y fue el primero en seguir pacientes durante muchos aos. Los mdicos creen que resultados similares pueden encontrarse para tras- plantes de hgado, pncreas y pulmo- nes. Al usar rganos de donadores con "muerte cardiaca", el nmero de riones disponibles podra aumentar hasta en 30%, lo que significa unos 1 000 o ms donadores estadounidenses adicionales al ao, estiman los expertos. ` *5HLPSUHVRFRQSHUPLVRGH7KH$VVRFLDWHG3UHVV E J E R C I C I O S S E C C I N 1 0 . 4 10.83 6yOR GH ODV SHUVRQDV HQWUHYLVWDGDV SXGLHURQ @ @ +9\9 10.84 \ 9 \9 @ \ E (VWDVLWXDFLyQVDWLVIDUtDORVOLQHDPLHQWRVSDUDDSUR[LPD 10.85 ^ FLDHQWUHGRVSURSRUFLRQHVSDUDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVFDVRV a. , , y b. , , y p2 0.65 n2 38 p1 0.6 n1 33 p2 0.8 n2 50 p1 0.8 n1 40 10.86 ^ @ ORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLDHQWUHGRVSURSRUFLR QHVSDUDORVVLJXLHQWHVFDVRV www.fullengineeringbook.net 519 a. , , y b. , , y p2 0.42 n2 38 p1 0.33 n1 36 p2 0.75 n2 44 p1 0.7 n1 40 10.87 8QDUWtFXORGH } ^ @ ^ @ ^ HQIHUPHUDVHMHFXWLYDVOODPDGR:KDUWRQ)HOORZV3URJUDP'H :KDUWRQ)HOORZVH[SHULPHQWDURQXQFDPELRGHSRVL FLyQGHQR:KDUWRQ)HOORZVH[SHULPHQWDURQXQFDPELR GHSRVLFLyQ6HXVy0,1,7$%SDUDFRQVWUXLUXQLQWHUYDORGH FRQDQ]DGHSDUD ODGLIHUHQFLD HQSURSRUFLRQHVSREOD FLRQDOHV9HULFD ORV UHVXOWDGRV TXH VLJXHQ DO FDOFXODUODV W~ Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p 1 87 341 0.255132 2 9 40 0.225000 Estimate for difference: 0.0301320 99% CI for difference: ( 0.150483, 0.210747) Difference p (1) p (2) 10.88 (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD Muestra n x A 125 45 B 150 48 10.89 \ SURGXFLGDV SRU GRVPiTXLQDV \ VH UHFROHFWDQ ORV VLJXLHQWHV GDWRV 0iTXLQD Q~PHURGHSDUWHVGHIHFWXRVDV 0iTXLQD Q~PHURGHSDUWHVGHIHFWXRVDV 'HWHUPLQDXQLQWHUYDORGHGHFRQDQ]DSDUD 10.90 (QXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHLQGLYLGXRVFRQFDEHOOR FDVWDxRLQGLFDURQTXHVHWHxtDQHOFDEHOOR(QRWUDPXHVWUD DOHDWRULDGHLQGLYLGXRVUXELRVLQGLFDURQTXHVHWHxtDQ HOFDEHOOR8VDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHVWLPDU ODGLIHUHQFLDHQODVSURSRUFLRQHVSREODFLRQDOHVGHFDVWDxRV\ " 10.91 /D$VRFLDFLyQGH-DEyQ\'HWHUJHQWHHPLWLyVXTXLQWD HQFXHVWDDQXDO5HSRUWHGH0DQRV/LPSLDVSDUD'HODV SODQWHDGDVDDGXOWRVHVWDGRXQLGHQVHV VHGHVFXEULyTXH GH PXMHUHV ODYDURQ VXVPDQRVPiV GH YHFHV DO GtD PLHQWUDVTXHGHKRPEUHVKL]RORPLVPR(QFXHQWUD HOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLDHQSURSRU FLRQHVGHPXMHUHV\KRPEUHVTXHODYDQVXVPDQRVPiVGH YHFHVDOGtD 10.92 (QXQDHQFXHVWDGHSHUVRQDVGHODFLXGDG$ SUHHUHQHOMDEyQ1HZ6SULQJDWRGDVODVRWUDVPDUFDVGHMDEyQ GHVRGRUDQWH(QODFLXGDG%GHSHUVRQDVSUHHUHQHO MDEyQ1HZ6SULQJ(QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH FLXGDGHVTXHSUHHUHQMDEyQ1HZ6SULQJ 10.93 ^ \ODKLSyWHVLVDOWHUQDWLYD TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDUPDFLRQHV D 1RKD\GLIHUHQFLDHQWUHODVSURSRUFLRQHVGHKRPEUHV \PXMHUHVTXHYRWDUiQSRUTXLHQRFXSHHOFDUJRHQOD ^ ^ E (OSRUFHQWDMHGHQLxRVTXHIDOWDQDFODVHHVPD\RU " " @ " FHQDXWRPyYLOHVYLHMRVHVPD\RUTXHHOSRUFHQWDMHGH @ " ^@ @ 10.94 " 9 9 " , p1q1 n1 p2q2 n2 pq 1 n1 1 n2 10.95 @ 9 \9 SDUDHVWDVPXHVWUDV Muestra x n E 15 250 R 25 275 10.96 @ TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXH EDODGLIHUHQFLDHQWUHODVSURSRUFLRQHVGDGRORVLJXLHQWH Muestra n x G 380 323 H 420 332 10.97 @ ^ @ } , FRQORVGDWRVGHOHMHUFLFLR 10.98 @ TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHED ^ FRPRHOHVWDGtVWLFRGH a. frente a , con b. frente a , con c. frente a , con d. frente a , con z 3.04 Ha: pm pf 0 Ho: pm pf 0 z 0.85 Ha: p1 p2 0 Ho: p1 p2 0 z 1.33 Ha: pA pB Ho: pA pB z 2.47 Ha: p1 p2 Ho: p1 p2 10.99 'HWHUPLQDODUHJLyQFUtWLFD\ORVYDORUHVFUtWLFRVTXHXVD UtDVSDUDSRQHUDSUXHEDSURFHGLPLHQWRFOiVLFRODVVLJXLHQWHV ^ FRPRHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED a. frente a Ha: , con b. frente a Ha: , con c. frente a Ha: , con d. frente a Ha: , con a 0.01 pm pf 0 Ho: pm pf 0 a 0.04 p1 p2 0 Ho: p1 p2 0 a 0.05 pA pB Ho: pA pB a 0.05 p1 p2 Ho: p1 p2 Seccin 10.4 Inferencias concernientes a la diferencia entre proporciones www.fullengineeringbook.net 520 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 10.100 /RVXVXDULRVGH3&FRQIUHFXHQFLDVRQYtFWLPDVGH SUREOHPDVGHKDUGZDUH8QHVWXGLRUHYHOyTXHORVSUREOHPDV GHKDUGZDUHUHSRUWDGRVDORVIDEULFDQWHVSRGUtDQQRFRUUHJLUVH " " @ @ @ ~ @ SRUHMHUFHUHVIXHU]RVLQFHURSDUDD\XGDUDUHVROYHUORVSUREOH PDVFRQHOKDUGZDUH Fuente: PC World, "Which PC Makers Can You Trust?" \ ^" ' @ FRPR D GXHxRV GH 3& HQ HO WUDEDMR'H GXHxRV GH 3& ~ " @ " ^ " H[SHULPHQWDURQGLFXOWDGHVUHSRUWDURQTXHHOSUREOHPDQR VHUHVROYLy/RVGXHxRVGH3&HQFDVDH[SHULPHQWDQPD\RU ^ " @ D\XGDGHOIDEULFDQWH"8VDHOQLYHOGHVLJQLILFDQFLD\ ODVLJXLHQWHVDOLGD0,1,7$%SDUDUHVSRQGHUODSUHJXQWD @ ~ @ @ ~ Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p 1 98 220 0.445455 2 52 180 0.288889 Estimate for difference: 0.156566 : P-Value 0.001 z 3.22 Test for difference 0 (vs 0) Difference p (1) p (2) 10.101 ' FLyQTXHWUDWDQFRQODLPDJHQGHXQDFDQGLGDWRSROtWLFR8QD ~ GRVSDUDYHUVLYRWDUtDQSRUHOFDQGLGDWR/RVUHVXOWDGRVIXH URQORVVLJXLHQWHV Expuesto a imagen conservadora Expuesto a imagen moderada 100 100 0.40 0.50 Nmero en muestra Proporcin para el candidato ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDPRVWUDUXQDGLIHUHQFLDHQOD efectividad de las dos campaas de imagen, en el nivel de sig- QLFDQFLD" @ " @ @ " 10.102 " WUDEDMDQ XQD GH ODV SUHJXQWDV IXH DOJXQD YH] UHFKD]yXQ WUDEDMRSURPRFLyQRWUDQVIHUHQFLDSRUTXHHOORVLJQLFDUtDPH QRVWLHPSRFRQVXIDPLOLD"$XQWRWDOGHKRPEUHV\ PXMHUHVVHOHVSODQWHyODSUHJXQWD6tIXHODUHVSXHVWDGDGD SRUGHORVKRPEUHV\GHODVPXMHUHV&RQEDVHHQ HVWDHQFXHVWDSXHGHVFRQFOXLUTXHH[LVWHXQDGLIHUHQFLDHQOD SURSRUFLyQGHKRPEUHV\PXMHUHVTXHUHVSRQGLHURQ6tHQHO QLYHOGHVLJQLFDQFLD" 10.103 '^ WDV SUHVHQWDGDV D SHUVRQDV GH D DxRV GH HGDG IXH VL XVDEDQFDVFR ODPD\RUSDUWHGHO WLHPSRPLHQWUDVSDVHDEDQ ^ WHQtDQRQRWHQtDQXQKLMRHQFDVD2FKHQWD\VLHWHSRUFLHQWR GHOJUXSRHWiUHRTXHWHQtDXQKLMRHQFDVDUHSRUWyTXHXVDEDQ FDVFRODPD\RUSDUWHGHOWLHPSRPLHQWUDVTXHGHTXLHQHV QR WHQtDQKLMRHQFDVDUHSRUWDURQXVDUFDVFR ODPD\RUSDUWH GHO WLHPSR 6L HO WDPDxR GH ODPXHVWUD HV SDUD DPERV JUXSRVGHODHGDGODSURSRUFLyQGHXVRGHFDVFRHVVLJQL FDWLYDPHQWHPD\RUFXDQGRKD\XQKLMRHQFDVDHQHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD" 10.104 8QDHQFXHVWDGH+DUULV,QWHUDFWLYHGHVFXEULyTXH ^ " GHORVUHSXEOLFDQRVVLJXHQHOGHSRUWH6LORVUHVXOWDGRVGH ODHQFXHVWDVHEDVDURQHQPXHVWUDVGHGHPyFUDWDV\ UHSXEOLFDQRVGHWHUPLQDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDVLVH @ " 10.105 (O&RPLWp GH XQDRUJDQL]DFLyQSURIHVLRQDOGH PXMHUHVHPSUHVDULDVGHVWDFDGDV\OtGHUHVFRUSRUDWLYRVUHSRUWy OR VLJXLHQWHGH ODVPXMHUHV HVWXGLDQWHVGHPDHVWUtDHQ ^ FXWLYRVGHPDVLDGRGLQHUR\GHORVKRPEUHVTXHHVWXGLDQ PDHVWUtDHVWiQGHDFXHUGR D 3DUHFHKDEHUXQDGLIHUHQFLDHQODSURSRUFLyQGHPXMHUHV \KRPEUHVTXHGLFHQDORVHMHFXWLYRVVHOHVSDJDGHPD VLDGRGLQHUR"([SOLFDHOVLJQLFDGRGHWXUHVSXHVWD \ GHWDPDxRFDGDXQDODGLIHUHQFLDHVHVWDGtVWLFDPHQWH VLJQLFDWLYDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD"-XVWLFDWX \ GHWDPDxRFDGDXQDODGLIHUHQFLDHVHVWDGtVWLFD PHQWHVLJQLFDWLYDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" -XVWLFDWXUHVSXHVWD G ([SOLFDFyPRWXVUHVSXHVWDVDORVLQFLVRVE\FDIHFWDWXV 10.106 7DQWR SDGUHV FRPR HVWXGLDQWHV WLHQHQPXFKDV SUH @ @ ^"elegir la mejor espe- www.fullengineeringbook.net 521 cialidad/carrera" como una gran preocupacin, mientras que GHORVHVWXGLDQWHVODUHSRUWyFRPRVXPD\RUSUHRFXSDFLyQ Fuente: http://www.collegepartnership.com/ 6LHOHVWXGLRVHUHDOL]yFRQXQDPXHVWUDGHHVWXGLDQ WHV\VXVSDGUHVSRQDSUXHED ODKLSyWHVLVGHTXHHOHJLU OD PHMRUHVSHFLDOLGDGFDUUHUDIXHXQDSUHRFXSDFLyQPX\JUDQGH SDUDORVSDGUHVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 10.107 8QD HQFXHVWD GH+DUULV ,QWHUDFWLYH SDUD.RUEHO HQ GHVFXEULyTXHGHORVKRPEUHV\GHODVPXMHUHV " " PDWULPRQLRDORVKRPEUHV8QDGLIHUHQFLDGHSXHGHRQR VHUHVWDGtVWLFDPHQWHVLJQLFDWLYD4XpWDPDxRGHPXHVWUDVH UHTXLHUHSDUDKDFHUVLJQLFDWLYDHVWDGLIHUHQFLD" Fuente: USA Today Snapshot descubierta en internet, 25 de junio de 2005. D 6LODVHVWDGtVWLFDVPXHVWUDOHVDQWHULRUHVUHVXOWDURQGH XQDPXHVWUDGHKRPEUHV\XQDPXHVWUDGH PXMHUHVODGLIHUHQFLDVHUtDVLJQLFDWLYDFRQa " E 6LODVPXHVWUDVKXELHUDQVLGRFDGDXQDGHODGLIH UHQFLDVHUtDVLJQLFDWLYDXVDQGRa "([SOLFD F 'HWHUPLQDHOWDPDxRGHODPXHVWUDTXHWHQGUtDODGLIHUHQ 10.108 @ RFXSDFLyQFXDQGRVHSRQHQDSUXHED\VHH[SHULPHQWDQQXH YRVPHGLFDPHQWRV(VWXGLRVFOtQLFRVFRQWURODGRVFRQSODFHER VHUHDOL]DURQHQSDFLHQWHVGHDxRVGHHGDG\PD\RUHVTXH UHFLELHURQGRVLVXQDYH]DOGtDGH$OOHJUDXQPHGLFDPHQWR EOLFDURQHQODHGLFLyQGHDEULOGHGHO ` Allegra (dosis una vez al da) Placebo (dosis una vez al da) Efectos colaterales Nmero reporta dolores cabeza 30 22 n 293 n 283 'HWHUPLQDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDVLH[LVWHXQDGL ^ " ' 10.109 &XDUHQWD \ XQ SHTXHxRV ORWHV GH SURGXFWR H[SH ULPHQWDO VH IDEULFDQ \ SRQHQ D SUXHED SRU OD RFXUUHQFLD GH " " ' \ ~ SURFHVDPLHQWRSDUWLFXODU\ORWHVVHIDEULFDQFRQXQVHJXQGR ~ SDUDODSUHVHQFLDGHHVWHLQGLFLR(QODSUiFWLFD ^ ~ " @ GLH]ORWHVVHFRUULyDQWHVGHOPpWRGR Mtodos n Nmero de rechazos Mtodo 1 320 4 Mtodo 2 992 26 Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb 'HWHUPLQDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDVLH[LVWHDOJXQD ^ ' ~ HMHUFLFLRGHODS 10.110 " ^ 9 9 HV QRUPDO LQFOX\HQ YDULDV FRQGLFLRQHV @ @ \VDWLVIDFHQWRGRVHVRV D 9HULFDTXH\VDWLVIDFHQWRGRVORV E 8VDXQDFRPSXWDGRUDSDUDJHQHUDUDOD]DUPXHVWUDV SURSRUFLyQREVHUYDGDSDUDFDGDPXHVWUD\HOYDORUGHODV GLIHUHQFLDVHQWUHGRVSURSRUFLRQHV ^ @ JUiFDVFRPRHVWDGtVWLFRVQXPpULFRV G /DGLVWULEXFLyQPXHVWUDOHPStULFDSDUHFHWHQHUXQDGLV ^ &XDQGRVHFRPSDUDQGRVSREODFLRQHVQDWXUDOPHQWHVHFRPSDUDQVXVGRVFDUDFWHUtVWLFDVGH GLVWULEXFLyQPiVIXQGDPHQWDOHVVXFHQWUR\VXGLVSHUVLyQDOFRPSDUDUVXVPHGLDV\ @ @ ^ ^ 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas usando dos muestras independientes Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas PTI Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin adicional acerca de los comandos. www.fullengineeringbook.net 522 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones " ^ ^ ^ @ ^ \ FLRQHVPXHVWUDOHVTXHWUDWDQFRQGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUPXHVWDUOHVRYDULDQ]DVVRQPX\ PLHQWRGHLQIHUHQFLDDSUHVHQWDUDTXtVHUi OD # _ $ ! " /DFRPSDxtDHPERWHOODGRUDGHUHIUHVFRVTXHVHHVWXGLyHQODVHFFLyQSS WUDWDGHGHFLGLUVLLQVWDODUXQDPiTXLQDHPERWHOODGRUDPRGHUQDGHJUDQYHORFLGDG 3RUVXSXHVWRH[LVWHQSUHRFXSDFLRQHVSDUDWRPDUHVWDGHFLVLyQ\XQDGHHOODVHVTXHHO @ @ OOHQRTXHVHFRORFDHQFDGDERWHOODWDODXPHQWRQRVHUtDDFHSWDEOH$QWHHVWDSUHRFXSD FLyQHOIDEULFDQWHGHOQXHYRVLVWHPDUHVSRQGLyTXHODYDULDQ]DHQUHOOHQRVQRVHUiPD\RU @"" @ @ ODPLVPDFDQWLGDGGHWLHPSRTXHHOVLVWHPDDQWHULRUOOHQDXQDERWHOODpVWDHVODUD]yQ SRUODTXHVHFRQVLGHUDHOFDPELR6HSUHSDUDXQDSUXHEDSDUDH[DPLQDUHVWDGtVWLFDPHQWH ODSUHRFXSDFLyQGHODFRPSDxtDHPERWHOODGRUDODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODQXHYDPi TXLQDHVPD\RUTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODDQWHULRUFRQWUDODDUPDFLyQGHOID EULFDQWHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODQXHYDQRHVPD\RUTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGH E J E M P L O 1 0 . 1 5 CMO ESCRIBIR HIPTESIS PARA LA IGUALDAD DE VARIANZAS Enuncia las hiptesis nula y alternativa a usar en la comparacin de las va- rianzas de las dos mquinas embotelladoras de refrescos. Solucin Existen muchas formas equivalentes de expresar las hiptesis nula y alterna- tiva, pero, dado que el procedimiento de prueba usa la razn de varianzas, la convencin recomendada es expresar las hiptesis nula y alternativa como razones de las varianzas poblacionales. Ms an, se recomienda que la varianza "mayor" o "que se espera sea mayor" sea el numerador. La preocupacin de la compaa de refrescos es que la nueva mquina moder- na (m) resulte en una desviacin estndar ms grande en las cantidades de relleno que su mquina actual (p); sm . sP o de manera equivalente sm 2 . sP 2, que se convierte en sm 2 sp 2 . 1. Se quiere poner a prueba la afirmacin del fabricante (la hiptesis nula) contra la preocupacin de la compaa (la hip- tesis alternativa). Ha: sm 2 sp 2 1 (m es ms variable) Ho: sm 2 sp 2 1 (m no es ms variable) www.fullengineeringbook.net 523 '^ @' ^ ^^GH6WXGHQW\ ^x ^ VHLGHQWLFDPHGLDQWHGRVQ~PHURVGHJUDGRVGHOLEHUWDGXQRSDUDFDGDXQDGHODVGRV @ ` ^ ^ Propiedades de la distribucin F 1. F es no negativa; es cero o positiva. 2. F no es simtrica; es sesgada a la derecha. 3. F es distribuida, de modo que forma una familia de distribuciones; existe una distribucin separada para cada par de nmeros de grados de libertad. ^ \JO ^ ^\FDGDGLVWULEXFLyQ WULEXFLyQTXHVHPXHVWUDHQODJXUD /RVYDORUHVFUtWLFRVGHODGLVWULEXFLyQVHLGHQWLFDQFRQWUHVYDORUHV ORVJUDGRVGHOLEHUWDGDVRFLDGRVFRQODPXHVWUDFX\DYDULDQ]DHVWiHQHOQXPH ORVJUDGRVGHOLEHUWDGDVRFLDGRVFRQODPXHVWUDFX\DYDULDQ]DHVWiHQHOGHQRPL aHOiUHDEDMRODFXUYDGHGLVWULEXFLyQDODGHUHFKDGHOYDORUFUtWLFRDEXVFDU 3RUWDQWRHOQRPEUHVLPEyOLFRSDUDXQYDORUFUtWLFRGH a HQODJXUD 3XHVWRTXHVHUHTXLHUHQWUHVYDORUHVSDUDLGHQWLFDUXQVRORYDORUFUtWLFRGH " ' " @ a DSpQGLFH%PXHVWUDORVYDORUHVFUtWLFRVSDUD a a ODWDEOD% RIUHFHORVYDORUHVFUtWLFRVFXDQGRa ODWDEOD&SURSRUFLRQDORVYDORUHVFXDQGR a PTI Explora el Applet Skillbuilder "Properties of F-distribution" (propiedades de la distribucin F) en cengagebrain.com 0 F 0 F F(gln, gld, ) FIGURA 10.2 Distribucin F FIGURA 10.3 Un valor crtico de F E J E M P L O 1 0 . 1 6 CMO ENCONTRAR VALORES F CRTICOS Encuentra F(5, 8, 0.05), el valor F crtico para muestras de tamao 6 y tamao 9, con 5% del rea en la cola derecha. Solucin Con la tabla 9A (a = 0.05), encuentra la interseccin de la columna gl = 5 (para el numerador) y la fila gl = 8 (para el denominador) y lee el valor: F(5, 8, 0.05) = 3.69. Consulta la siguiente tabla parcial. Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas www.fullengineeringbook.net 524 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Observa que F(5, 8, 0.05) es 4.82. Los grados de libertad asociados con el numerador y el denominador se deben mantener en el orden correcto; 3.69 es diferente de 4.82. Comprueba algunos otros pares para verificar que intercambiar el nmero de grados de libertad resultar en diferentes valores F. Parte de la tabla 9A (a = 0.05) gl para numerador 5 8 gl para 5 4.82 F (8, 5, 0.05) = 4.82 denomi- nador 8 3.69 F (5, 8, 0.05) = 3.69 TI-83/84 Plus MINITAB Excel Elige: Calc > Probability Distributions > F Selecciona: Cumulative Probability Noncentrality parameter: 0.0 Escribe: Grados de libertad numerador: dfn Grados de libertad denominador: dfd Selecciona: Input constant* Escribe: F-value (ex.1.74) > OK *Selecciona la columna Input si varios valores F se almacenan en C1. Usa C2 para almacenamiento opcional. Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. Si se usarn varios valores F, escribe los valores en la columna A y activa B1; despus con- tina con: Elige: Insert function fx > Statistical > FDIST > OK Escribe: X: individual F-value o (A1:A5 o selecciona celdas "F-value")* Grados_lib 1: dfn Grados_lib 2: dfd > OK *Arrastra. Esquina inferior derecha de la celda B1 hacia abajo para obtener otras probabilidades Para encontrar la probabilidad de la cola izquierda (la probabilidad acumulada hasta el valor F), resta la probabilidad calculada de 1. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R O B A B I L I D A D A C U M U L A D A A S O C I A D A C O N U N V A L O R E S P E C F I C O D E F Elige: 2nd > DISTR > 9:Fcdf( Escribe: 0, F-value, dfn, dfd) Nota: para encontrar la probabilidad entre dos valores F, escribe los dos valores en lugar de 0 y el valor F. Si necesitas el rea en la cola derecha, resta la probabilidad calculada de 1. www.fullengineeringbook.net 525 /DVYDULDQ]DVPXHVWUDOHVVHDVLJQDQDOQXPHUDGRU\GHQRPLQDGRUHQHORUGHQHVWDEOHFLGR SRUODVKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDSDUDSUXHEDVGHXQDFROD/DUD]yQFDOFXODGD ^ QXPHUDGRU\JO ODVVXSRVLFLRQHVVHVDWLVIDFHQ\ODKLSyWHVLVQXODHVYHUGDGHUD ^ '^ @' Suposiciones para inferencias en torno a la razn de dos varianzas: Las mues- tras se seleccionan al azar a partir de poblaciones con distribucin normal y las dos muestras se seleccionan en forma independiente. Estadstico de prueba para igualdad de varianzas F sn2 sd2 , con gln nn 1 y gld nd 1 (10.16) ^ ^ E J E M P L O 1 0 . 1 7 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA LA IGUALDAD DE VARIANZAS Recuerda que la compaa embotelladora de refrescos quiere tomar una decisin acerca de la igualdad de las varianzas de cantidades de relleno entre su mquina actual y una mquina moderna de alta velocidad. La informacin muestral en la tabla 10.6 presenta suficiente evidencia para rechazar la hiptesis nula (la afirmacin del fabricante) de que la mquina embotelladora moderna de gran velocidad llena las botellas con no mayor varianza que la mquina actual de la compaa? Supn que las cantidades de relleno tienen distribucin normal para ambas mquinas y completa la prueba usando a = 0.01. TABLA 10.6 Informacin muestral sobre varianzas de rellenos Muestra n s2 Mquina actual (p) Moderna mquina gran velocidad (m) 8 0 0 0 . 0 2 2 25 0.0018 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: sm 2 sp 2, la razn de las varianzas en las canti- dades de relleno colocadas en botellas para la mquina moderna frente a la mquina actual de la compaa. b. Enunciado de hiptesis: las hiptesis se establecieron en el ejem- plo 10.15 (p. 522): Ha: sm 2 sp 2 1 (m es ms variable) Ho: sm 2 sp 2 1 ( ) (m no es ms variable) Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas www.fullengineeringbook.net 526 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Nota: cuando la varianza "que se espera sea mayor" est en el numerador para una prueba de una cola, la hiptesis alternativa afirma: "la razn de las varianzas es mayor que 1". Paso 2 a. Suposiciones: las poblaciones muestreadas tienen distribucin normal (dado en el enunciado del problema) y las muestras se seleccionan de manera independiente (extradas de dos pobla- ciones separadas). b. Estadstico de prueba: la distribucin f con la razn de las varian- zas muestrales y la frmula (10.16) c. Nivel de significancia: a = 0.01 Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 10.6. b. Estadstico de prueba calculado: al usar la frmula (10.16) se obtiene F sm2 sp2 : F 0.0018 0.0008 2.25 El nmero de grados de libertad para el numerador es gln = 24 (o 25 1 ) porque la muestra de la mquina moderna de alta velocidad se asocia con el numerador, como se especifica me- diante la hiptesis nula. Adems, gld = 21 porque la muestra asociada con el denominador tiene tamao 22. Paso 4 Distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: falla para rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.01, las muestras no pre- sentan suficiente evidencia para indicar un aumento en varianza con la mquina nueva. '* " ^ @ " ;. FRQJO \JO FRPRVHPXHVWUDHQOD JXUD 0 2.25 F valor p @ WLHQHVGRVRSFLRQHV 8VDODVWDEODV$\%DSpQGLFH%SDUDFRORFDUFR @ ,;, 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDHQFRQWUDUHO @ ;@ 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ QRHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a J$ * /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXH ^ @ " \JO (OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH ODWDEOD& 0 2.80 F no ms variable ms variable 2.25 3DUDLQVWUXFFLRQHVDGLFLRQDOHVFRQVXOWDODSiJLQD QRHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ HQODJXUD O www.fullengineeringbook.net 527 J *@ Z[ " @ > WDEODV$%\&GHODSpQGLFH%SDUDHVWLPDUTXHHOYDORUHVPX\OLPLWDGR6LQHP @ $OLQVSHFFLRQDUODVWDEODV$\ " \ HVWiHQWUHORV YDORUHV\SRUWDQWRHOYDORUHVWiHQWUH\>;> VXOWDODJXUDDOPDUJHQ *@ ][6LKDFHVODSUXHEDGHKLSyWHVLVFRQD\XGDGHXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGR " @ GLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGDFXPXODGDGHVFULWRVHQODSiJLQD Valores F crticos para pruebas de una y dos colas /DVWDEODVGHYDORUHVFUtWLFRVSDUDODGLVWULEXFLyQVyORSURSRUFLRQDQORVYDORUHVFUtWLFRV GHODGHUHFKD(VWRQRVHUiSUREOHPDSRUTXHHOYDORUFUtWLFRGHOODGRGHUHFKRHVHO~QLFR YDORUFUtWLFRTXHQHFHVLWDUiV3XHGHVDMXVWDUHORUGHQQXPHUDGRUGHQRPLQDGRUGHPRGR TXHWRGDODDFWLYLGDGHVWpHQODFRODGHUHFKDH[LVWHQGRVFDVRVSUXHEDVGHXQDFROD\ [2UGHQDODVKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDGHPRGRTXHODDOWHUQDWLYD VLHPSUHVHDPD\RUTXH(OYDORUVHFDOFXODXVDQGRHOPLVPRRUGHQHVSHFLFDGR HQODKLSyWHVLVQXODFRPRHQHOHMHPSORFRQVXOWDWDPELpQHOHMHPSOR [ @ YDULDQ]DPiVJUDQGHSDUDHOQXPHUDGRUHVWRKDUiPiVJUDQGHTXH\ORFRORFDUi HQODFRODGHUHFKDGHODGLVWULEXFLyQ3RUWDQWRVyORQHFHVLWDUiVHOYDORUFUtWLFRSDUDOD 7RGDVODVSUXHEDVGHKLSyWHVLVDFHUFDGHGRVYDULDQ]DVSXHGHQIRUPXODUVH\FRPSOHWDU VHHQXQDIRUPDHQTXHWDQWRHOYDORUFUtWLFRGH @ ODFRODGHUHFKDGHODGLVWULEXFLyQ'DGRTXHODVWDEODV$%\&VyORFRQWLHQHQYDORUHV FUtWLFRVSDUD ODFRODGHUHFKDHVWRVHUiFRQYHQLHQWH\QXQFDQHFHVLWDUiVYDORUHVFUtWLFRV ^ 0.025 0 F (24, 21, 0.025) F 0 2.25 F valor p 0 0.05 F F (24, 21, 0.05) PTI a todava debe dividirse entre las dos colas para una Ha de dos colas. E J E M P L O 1 0 . 1 8 FORMATO PARA ESCRIBIR HIPTESIS PARA LA IGUALDAD DE VARIANZAS Reorganiza la hiptesis alternativa de modo que la regin crtica estar en la cola derecha: Ha: s12 s22 o s1 2 s2 2 1 (poblacin 1 es menos variable) Solucin Invierte la direccin de la desigualdad e invierte los papeles del numerador y el denominador. Ha: s22 s12 o s2 2 s1 2 1 (poblacin 2 es ms variable) El estadstico de prueba calculado F ser s22 s12 . Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas www.fullengineeringbook.net 528 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones E J E M P L O 1 0 . 1 9 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA LA IGUALDAD DE VARIANZAS Encuentra F y los valores crticos para la siguiente prueba de hiptesis, de modo que slo se necesite el valor crtico derecho. Usa a = 0.05 y la infor- macin muestral n1 = 10, n2 = 8, s1 = 5.4 y s2 = 3.8. Ha: s22 s1 2 o s2 2 s1 2 1 Ho: s22 s12 o s2 2 s1 2 1 Solucin Cuando la hiptesis alternativa tiene dos colas (&), el F calculado puede ser F o s22 s12 F s12 s22 . La eleccin es tuya; slo necesitas asegurarte de que gln y gld se mantengan en el orden correcto. La eleccin se hace al observar la informacin muestral y usar la muestra con la desviacin estndar o varianza ms grande como el numerador. Por tanto, en esta ilustracin, F s12 s22 5.42 3.82 29.16 14.44 2.02 Los valores crticos para esta prueba son cola izquierda, F(9, 7, 0.975) y cola derecha, F(9, 7, 0.025), como se muestra en la figura. Dado que se eligi la muestra con la desviacin estndar (o varianza) ms grande para el numerador, el valor de F ser mayor que 1 y estar en la cola derecha; por tanto, slo se necesita el valor crtico de la cola derecha. (Todos los valores crticos para colas izquierdas sern valores entre 0 y 1.) 0 F F(9, 7, 0.025) F(9, 7, 0.975) 4.82 0.025 2.02 MINITAB Elige: Stat > Basic Statistics > 2 Variances* Selecciona: Data: Samples in one column: Escribe: Muestras: C1 Subndices: C2 O Selecciona: Datos: Muestras en diferentes columnas: Escribe: Primera: C1 Segunda: C2 O Selecciona: Datos: Desviaciones estndar muestrales o Varianzas muestrales Escribe: Tamao muestra y des est o varianza para cada muestra Selecciona: Options Selecciona: Razn hipottica: StDev 1/StDev 2 o Variance 1/Variance 2 Selecciona: Alternativa: less than or not equal to or greater than > OK > OK *El procedimiento 2 Varianzas evala la primera muestra dividida entre la segunda muestra. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S P A R A L A R A Z N E N T R E D O S V A R I A N Z A S P O B L A C I O N A L E S , s 1 2 /s 2 2 P A R A D O S C O N J U N T O S I N D E P E N D I E N T E S D E D AT O S M U E S T R A L E S www.fullengineeringbook.net 529 Excel TI-83/84 Plus Escribe los datos para el numerador (dispersin ms grande) en la columna A y los datos para el denominador (dispersin ms pequea) en la columna B; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > F-Test: Two-Sample for Variances Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: a (ej. 0.05) Selecciona: Output Range Escribe: (C1 o selecciona celdas) > OK Usa Home > Cells > Format > Autofit Column Width para hacer ms legible la salida. La salida muestra el valor p y los valores crticos para una prueba de una cola. Escribe los datos para el numerador (dispersin ms gran- de) en L1 y los datos para el denominador (dispersin ms pequea) en L2; despus contina con lo siguiente y escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > D:2-SampFTest . . . E J E M P L O A P L I C A D O 1 0 . 2 0 EVALUACIN DE CONOCIMIENTOS DE DOS GRUPOS Las siguientes son las calificaciones obtenidas en un examen de 2 muestras, grupo A y B de 10 alumnos de primer ao que cursan el mismo curso de lgebra con dos profesores diferentes: Suponiendo que estos datos se pueden considerar como muestras aleato- rias independientes tomadas de dos poblaciones normales, prueba la hip- tesis de que la varianza de las calificaciones del grupo A es diferente de la varianza de las calificaciones del grupo B con a = 0.05. Se supone que las muestras son aleatorias independientes y extradas de poblaciones normalmente distribuidas. H0: s 2 2 = s 2 1 o s22 s22 = 1 H0: s 2 2 & s 2 1 o s22 s22 & 1 Como a = 0.05, los valores crticos: DISTR.F.INV(0.975,9,9)=0.248385855, DISTR.F.INV(0.025,8,8)= 4.02599416 Prueba F para varianzas de dos muestras. Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas A B 88 73 68 77 77 67 82 74 63 74 80 64 72 71 71 71 70 72 A B Media 74.3 71.3 Varianza 54.9 13.7888889 Observaciones 10 10 Grados de libertad 9 9 F 3.98146656 P(F<=f) una cola 0.02586672 Valor crtico para F (una cola) 3.1788931 Las varianzas de las calificaciones de ambos grupos no son significativa- mente diferentes. www.fullengineeringbook.net 530 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones E J E R C I C I O S S E C C I N 1 0 . 5 10.111 ^ \ODKLSyWHVLVDOWHUQDWL @ TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDUPD FLRQHV D /DVYDULDQ]DVGHODVSREODFLRQHV$\%QRVRQLJXDOHV E /DGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSREODFLyQ,HVPiVJUDQGH TXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSREODFLyQ,, F /DUD]yQGHODVYDULDQ]DVSDUDODVSREODFLRQHV$\%HV @ ^ " @ ^ 10.112 ^ \ODKLSyWHVLVDOWHUQDWL @ TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDODVVLJXLHQWHVDUPD FLRQHV @^ ^ " ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSREODFLyQ< '^ @' ^ ODSREODFLyQ%HVPD\RUTXH F /DGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODSREODFLyQ4 PXFKRODGHODSREODFLyQ4 G /DYDULDELOLGDGGHQWURGHODSREODFLyQ,HVPiVTXHOD YDULDELOLGDGGHQWURGHODSREODFLyQ,, 10.113 "~ s . s "@ sm 2 sp 2 1 10.114 \ GHOHMHPSORSHTXLYD ~ @ 10.115 ^ a YDORUHVFUtWLFRVTXHVHPXHVWUDQHQODVVLJXLHQWHVJXUDV 0 F n1 = 10 n2 = 12 = 0.025 0 F n1 = 25 n2 = 20 = 0.01 0 F n1 = 9 n2 = 16 = 0.01 0 F n1 = 16 n2 = 10 = 0.05 10.116 @ \ 10.117 (QFXHQWUDORVVLJXLHQWHVYDORUHVFUtWLFRVSDUD WLUGHODVWDEODV$%\&HQHODSpQGLFH% a. F(24, 12, 0.05) e. F(15, 18, 0.025) b. F(30, 40, 0.01) f. F(15, 9, 0.025) c. F(12, 10, 0.05) g. F(40, 30, 0.05) d. F(5, 20, 0.01) h. F(8, 40, 0.01) 10.118 @ TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHED ^ FRPRHOHVWDGtVWLFR GHSUXHED a. frente a , con , y b. frente a , con , y c. frente a , con , y d. frente a , con , y F 2.47 n2 16 n1 10 Ha: s1 s2 Ho: s1 s2 F 4.78 n2 61 n1 41 Ha: s1 2 s2 2 1 Ho: s1 2 s2 2 1 F 2.31 n2 21 n1 25 Ha: s1 2 s2 2 Ho: s1 2 s2 2 F 2.47 n2 16 n1 10 Ha: s1 s2 Ho: s1 s2 10.119 (QFXHQWUDHOYDORUFUtWLFRSDUDODSUXHEDGHKLSyWHVLV , con a 0.05. n2 10 y n1 7, Ha: s1 s2 10.120 'HWHUPLQDODUHJLyQFUtWLFD\HOYDORUFUtWLFRTXHXVDUtDV ^ ~ VHXVDFRPRHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED a. frente a , con , y a 0.05 n2 16 n1 10 Ha: s1 2 s2 2 Ho: s1 2 s2 2 www.fullengineeringbook.net 531 b. frente a , con y c. frente a , con y d. frente a , con y 10.121 Calcula F dado 10.122 Calcula F dado y y 10.123 Cul sera el valor de F en el ejemplo 10.19 si usaras ? Por qu es menor que 1? F s2 2 s1 2 s2 2 2.6. s1 2 3.2 s2 2.6. s1 3.2 a 0.01 n2 16 n1 25, Ha: s1 s2 Ho: s1 s2 a 0.01 n2 10 n1 10, Ha: s1 2 s2 2 1 Ho: s1 2 s2 2 1 a 0.05 n2 31 n1 25, Ha: s1 2 s2 2 1 Ho: s1 2 s2 2 1 10.124 /DVORQJLWXGHVGHORVQRPEUHVGHQLxRVWLHQHQPiV @^" QRPEUHVDFWXDOHVFRPR1DWKDQLHO\&KULVWRSKHUIUHQWH D,DQ\-DFNFLHUWDPHQWHSDUHFHTXHORVQRPEUHVGHORV ^ GHQLxDV\QLxRVGHVpSWLPRJUDGR Nombres de nios Nombres de nias s 1.456 n 30 s 1.870 n 30 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVDSR\DQ ODDUJX ^ " @^" 10.125 'HXQDFODVHGHLQJOpV\GHXQDFODVHGHTXtPLFDHQ @ DOHDWRULDVLQGHSHQGLHQWHVGHWDPDxR$ORVHVWXGLDQWHVGH DPEDVFODVHVVHOHVSLGLyGLEXMDUXQDOtQHDGHSXOJDGDVFRQ ODPD\RUH[DFWLWXGVLQDOJ~QGLVSRVLWLYRGHPHGLFLyQUHJOD HWF5HVXOWDURQORVVLJXLHQWHVGDWRV Ingls Qumica s 0.522 x 2.750 n 25 s 0.617 x 2.660 n 25 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDHQ WUHODVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDUSDUDODVPHGLFLRQHVGHOtQHDVGH SXOJDGDVGHODVFODVHVGHLQJOpV\TXtPLFD" 10.126 }$ ^ VHYHULGDGGHODVOHVLRQHVHQWUHQLxRVMyYHQHV\PD\RUHV8QD PHGLGDUHSRUWDGDIXHOD&DOLFDFLyQGH6HYHULGDGGHOD/HVLyQ ,66SRUVXVVLJODVHQLQJOpV/DGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODV ,66SDUDQLxRVGHDxRVRPiVMyYHQHVIXH\ODGHVYLD FLyQHVWiQGDUSDUDQLxRVPD\RUHVDDxRVIXH6XSRQJD TXHODV,66WLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDOSDUDDPERVJUXSRVGH HGDG(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHVXFLHQWHUD]yQ SDUDFRQFOXLUTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODV,66SDUDQLxRV PiVMyYHQHVHVPD\RUTXHODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODV,66 SDUDQLxRVPD\RUHV" 10.127 8QDSDVWHOHUtDFRQVLGHUDFRPSUDUXQRGHGRVKRUQRV GHJDV/DSDVWHOHUtDUHTXLHUHTXHODWHPSHUDWXUDSHUPDQH]FD ^ ' @' @' DQWHVGHTXHHOWHUPRVWDWRUHLQLFLHODDPDSDUDHOKRUQR0R QDUFKIXHSDUDPHGLFLRQHV/DYDULDQ]DSDUDHOKRUQR .UDIWIXHSDUDPHGLFLRQHV(VWDLQIRUPDFLyQSURSRU FLRQDVXFLHQWHUD]yQSDUDFRQFOXLUTXHH[LVWHXQDGLIHUHQFLD @' \ ^" QHVWLHQHQGLVWULEXFLyQQRUPDO\XVDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD GH 10.128 [EX10-128] ' VLKD\RQRKD\LJXDOYDULDELOLGDGHQOHFWXUDVGHSUHVLyQDUWH ULDOVLVWyOLFDHQKRPEUHV\PXMHUHV0XHVWUDVDOHDWRULDVGH KRPEUHV\PXMHUHVVHXVDURQSDUDSRQHUDSUXHEDODDUPD ^ " @' \ XVy0,1,7$%SDUDFDOFXODUODVGHVYLDFLRQHVHVWiQGDU\HO @ \ ^ Hombres 120 120 118 112 120 114 130 114 124 125 130 100 120 108 112 122 Mujeres 122 102 118 126 108 130 104 116 102 122 120 118 130 Standard deviation of Standard deviation of F-Test (normal distribution) Test Statistic: 1.581 P-Value: 0.398 Women 9.9176 Men 7.8864 9HULFDHVWRVUHVXOWDGRVDOFDOFXODUORVYDORUHVSHUVRQDOPHQWH 10.129 &XDQGRXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVWLHQHGRVFRODV\VH @ TXpSDVRDGLFLRQDOGHEHV 10.130 (QUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGRS D 4XpKLSyWHVLVQXOD\DOWHUQDWLYDSRQHQDSUXHED HOJXSR$\HOJUXSR%" E 4XpVLJQLFD"? 10.131 [EX10-131] ' ^ ODVEUDVXVDGDVDOWHMHUVXVSUHQGDV/DVVLJXLHQWHVPXHVWUDV ^ EUDVGHDOJRGyQGHGRVSURYHHGRUHV Proveedor A 78 82 85 83 77 84 90 82 93 82 80 82 77 80 80 Proveedor B 76 79 83 78 72 73 69 80 74 77 78 78 73 76 78 79 @ @ @ ' >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas www.fullengineeringbook.net 532 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 10.132 [EX10-132] 0XFKRVFRQGDGRVHQ0LQQHVRWD\:LV FRQVLQ VH VHOHFFLRQDURQ DO D]DU \ VH UHFROHFWy LQIRUPDFLyQ DFHUFDGHODSURGXFFLyQGHPDt]GXOFHHQ5HVXOWDURQODV VLJXLHQWHVWDVDVGHSURGXFFLyQHQWRQHODGDVGHPDt]GXOFHSRU Produccin, MN 7.38 6.27 6.26 6.02 7.38 6.32 6.74 5.13 6.54 5.71 Produccin, WI 7.0 6.9 7.7 8.0 6.5 5.8 6.8 7.5 Fuente: http://www.usda.gov/ D ([LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDHQODYDULDELOLGDGGHODVSURGXF @^ ^a E /DWDVDGHSURGXFFLyQPHGLDHQ:LVFRQVLQHVVLJQL FDWLYDPHQWHPD\RUTXHODWDVDGHSURGXFFLyQPHGLDHQ 0LQQHVRWD"8VDa 10.133 [EX10-133] @ GRV0XFKRVWDPELpQJDQDQLQFOXVRPiVGLQHURDWUDYpVGH SDWURFLQLRV9DULRV MXJDGRUHV GH OD 1%$ $VRFLDFLyQ1D FLRQDOGH%iVTXHWERO\GH OD0/%/LJD0D\RUGH%pLV EROSXHGHQYHUVHHQPXFKRVSDWURFLQLRVGHDOWRSHUO'RV GHSRUWHVHVHOHFFLRQDURQ\SURGXMHURQODVVLJXLHQWHVFDQWL ^ NBA MLB 16.0 15.0 21.7 12.0 9.5 0.5 15.5 0.8 6.0 8.0 2.5 0.3 3.5 0.5 0.5 0.3 2.5 5.0 16.0 15.5 D (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHDOJXQDGLIHUHQFLD @ MXJDGRUHVGHOD1%$\OD0/%"6XSyQQRUPDOLGDGGHORV E (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDHOLPSRUWHSRUSDWURFL QLRPHGLRSDUDORVMXJDGRUHVGHOD1%$HVVLJQLFDWLYD MXJDGRUHVGHOD0/%" 10.134 [EX10-134] DOHDWRULDVGHKRPEUHVXQLYHUVLWDULRV\PXMHUHVXQLYHUVL @ Tiempo H 15 12 30 15 10 23 20 13 25 20 15 20 23 15 20 15 18 15 20 20 8 10 15 18 20 15 25 20 10 25 18 18 20 27 25 20 7 Tiempo M 32 15 20 35 45 20 10 5 35 25 14 25 28 35 30 24 28 15 30 30 30 40 25 20 18 20 15 30 24 30 25 20 10 60 20 25 27 25 40 22 25 25 D /DVGLVWULEXFLRQHVGHWLHPSRGHWUDVODGRSDUDKRPEUHV \PXMHUHVSDUHFHQVHUVLPLODUHVHQGLVWULEXFLyQ"&HQWUR" 'LVSHUVLyQ"'LVFXWHWXVUHVSXHVWDV E &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\HQFXHQWUDODPHGLD\ODGHV @^ F (VSRVLEOHTXHDPEDVPXHVWUDVVHH[WUDLJDQGHSREODFLR QHVQRUPDOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD G (OWLHPSRGHWUDVODGRPHGLRSDUDPXMHUHVHVHVWDGtV WLFDPHQWHPD\RUTXHHOWLHPSRGHWUDVODGRPHGLRSDUD a H ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHODV @ GtVWLFDPHQWHGLIHUHQWHV"8VDa 10.135 [EX10-135] @ ^ GHOHQWHVGHFRQWDFWRHVPHMRUDUHOQLYHO\ODYDULDFLyQGHDTXH OODVFDUDFWHUtVWLFDVTXHDIHFWDQHOSRGHUGHOOHQWH\ODDJXGH]D YLVXDO8QDGHWDOHVFDUDFWHUtVWLFDVLQYROXFUDODVKHUUDPLHQWDV ^ GHVDUUROORVHH[DPLQDURQSRUODFDUDFWHUtVWLFDFUtWLFD$6HID GLVHxDGDVSDUDDIHFWDUODFDUDFWHUtVWLFDHQFXHVWLyQ'HVSXpVVH @ ^ TXHHOORWH\SRUWDQWRGHOORWHVHWRPDURQPiVPXHVWUDV D &DOFXODODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODFDUDFWHUtV WLFDFUtWLFD$SDUDORVORWHV\ E ([LVWHHYLGHQFLDGHXQDGLIHUHQFLDHQODYDULDELOLGDGGH ODFDUDFWHUtVWLFDFUtWLFD$HQWUHORVORWHV\"8VDXQ YDORUDOIDGHSDUDWRPDUXQDGHWHUPLQDFLyQ F ([LVWHHYLGHQFLDGHXQDGLIHUHQFLDHQORVQLYHOHVPHGLRV GHODFDUDFWHUtVWLFDFUtWLFD$HQWUHORVORWHV\"8VDXQ YDORUDOIDGHSDUDWRPDUXQDGHWHUPLQDFLyQ Muestra lote 1 Caracterstica crtica A Muestra lote 2 Caracterstica crtica A Muestra lote 2 Caracterstica crtica A 1 0.017 1 0.026 14 0.041 2 0.021 2 0.027 15 0.021 3 0.006 3 0.024 16 0.022 4 0.009 4 0.023 17 0.027 5 0.018 5 0.034 18 0.032 6 0.021 6 0.035 19 0.023 7 0.013 7 0.035 20 0.023 8 0.017 8 0.033 21 0.024 9 0.034 22 0.017 10 0.033 23 0.023 11 0.032 24 0.019 12 0.038 25 0.027 13 0.041 10.136 [EX10-136] WDVORVQHVGHVHPDQDGHDFXHUGRFRQXQDHQFXHVWDGH DGXOWRVSDUD OD1DWLRQDO6OHHS)RXQGDWLRQ\ UHSRUWDGDHQHO " # $ {GXUDQWHDEULOGH www.fullengineeringbook.net 533 Horas de sueo Das laborales Fines de semana 0 1 .0 6 1 . 0 Menos de 6 5 1 . 0 4 2 . 0 9 . 6 6 4 2 . 0 1 3 . 0 9 . 7 7 9 4 . 0 6 2 . 0 ms o 8 PXHVWUDVHOHVSUHJXQWyFXiQWDVKRUDVDOFXDUWRGHKRUDPiV ^ JXQWyFXiQWDVKRUDVGHVXHxRDOFXDUWRGHKRUDPiVFHUFDQR GXUPLyODQRFKHGHOViEDGRHOSDVDGRQGHVHPDQD" Fin de semana Das laborales 5.00 7.75 7.25 9.00 7.25 8.75 7.50 9.25 7.25 8.75 6.25 5.25 9.25 9.25 7.00 7.75 6.75 7.50 8.50 8.75 6.50 9.25 7.00 7.75 8.00 8.75 9.50 8.00 9.25 9.25 6.00 8.75 7.75 8.75 7.50 D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\HQFXHQWUDODPHGLD\ODGHV @^ E /DVGLVWULEXFLRQHVGHKRUDVGHVXHxRORVGtDVODERUDOHV \ODVKRUDVGHVXHxRORVQHVGHVHPDQDUHVXOWDQWHV GHODHQFXHVWDSDUHFHQVHUVLPLODUHVHQIRUPD"&HQWUR" 'LVSHUVLyQ"'LVFXWHWXVUHVSXHVWDV F (VSRVLEOHTXHDPEDVPXHVWUDVVHH[WUDLJDQGHSREODFLR QHVQRUPDOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD G (OQ~PHURPHGLRGHKRUDVGRUPLGDVHOQGHVHPDQDHV HVWDGtVWLFDPHQWHPD\RUTXHHOQ~PHURPHGLRGHKRUDV GRUPLGDVORVGtDVODERUDOHV"8VDa H ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHODVGHV YLDFLRQHVHVWiQGDUGHHVWDVGRVPXHVWUDVVRQHVWDGtVWLFD a ^ 10.137 [EX10-137] &XiQWRGHEHJDVWDUDOJXLHQSDUDUHJD ODUWH DOJR HO'tDGH VDQ9DOHQWtQ"/RV UHVXOWDGRVGHVFXELHU WRVSRUXQDHQFXHVWD*UHHQHOG2QOLQHGHHQFXHVWDGRVVH PXHVWUDQHQODVLJXLHQWHJUiFD 0XHVWUDVDOHDWRULDVVHVHOHFFLRQDURQHQODSDUWHFHQWUDOGHOHV WDGRGH1XHYD<RUNFRQORVVLJXLHQWHVUHVXOWDGRV Hombres 103 100 100 67 77 63 55 43 139 2 51 5 100 52 139 86 23 56 40 84 15 32 157 35 4 24 102 52 43 75 128 206 16 13 98 36 5 77 97 25 62 91 170 108 112 198 161 54 40 111 107 241 89 37 10 175 10 84 102 17 32 25 1 38 126 121 30 147 135 45 230 29 88 Mujeres D &RQVWUX\HXQKLVWRJUDPD\HQFXHQWUDODPHGLD\ODGHV @^ FHQWUDOGHOHVWDGRGH1XHYD<RUN E /DVIRUPDVGHODVFDQWLGDGHVJDVWDGDVVXJHULGDVSRU ORVKRPEUHV\ODVPXMHUHVHQODSDUWHFHQWUDOGHOHVWDGR GH1XHYD<RUNSDUHFHQVHUVLPLODUHVHQIRUPD"&HQWUR" 'LVSHUVLyQ"'LVFXWHWXVUHVSXHVWDV F (VSRVLEOHTXHDPEDVPXHVWUDVVHH[WUDLJDQGHSREODFLR QHVQRUPDOHV"-XVWLFDWXUHVSXHVWD G (OLPSRUWHPHGLRHQXQFLDGRSRUODVPXMHUHVHVHVWDGtV WLFDPHQWHPD\RUTXHHOLPSRUWHPHGLRHQXQFLDGRSRUORV a H ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDGHPRVWUDUTXHODVGHV YLDFLRQHVHVWiQGDUGHHVWDVGRVPXHVWUDVVRQHVWDGtVWLFD a ^ 10.138 ^ ^ " @' YHFHVPD\RUHVTXHODRWUD ^ ^ " @' PiVTXHYHFHVPD\RUTXHODRWUD Nada $1$19 $20$49 $50$99 $100$249 $250 18% 3% 21% 22% 26% 32% 16% 26% 3% 7% 4% 3% Hombres Mujeres 0% 50% Cunto debe gastar alguien para regalarte algo el Da de san Valentn? Fuente: Datos tomados de Darryl Haralson y Karl Gelles, USA TODAY; encuesta Greenfield Online de 653 encuestados. Margen de error 3 puntos porcentuales. Seccin 10.5 Inferencias concernientes a la razn de varianzas www.fullengineeringbook.net 534 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 10.139 @ ^ ^ D /DVVXSRVLFLRQHVVXE\DFHQWHVVRQODVSREODFLRQHVWLHQHQ GLVWULEXFLyQQRUPDO\FXDQGRVHUHDOL]DXQDSUXHED ^ @ " @ LJXDOHV*HQHUDPXHVWUDVPX\JUDQGHVGHGRVSREODFLRQHV WHyULFDV\(QFXHQWUDHYLGHQFLD JUiFD\QXPpULFDGHTXHODVSREODFLRQHVVDWLVIDFHQODV \ ' GHDPEDVSREODFLRQHV\HQFXHQWUDODGHVYLDFLyQHVWiQ F &RQODSULPHUDPXHVWUDH[WUDtGDGHFDGDSREODFLyQ FRPRXQSDUFDOFXODHOHVWDGtVWLFR ^ @ FRQHVWDGtVWLFRVWDQWRJUiFRVFRPR ~ ^ \FRP ^ @ /RVGRV JUiFRVFRQFXHUGDQ"([SOLFD PTI Consulta el Manual de soluciones del estudiante para informacin adicional acerca de los comandos. 10.140 ^ ^" HVPX\ \2EVHUYDTXHHO @^ ^ FLyQ\REVHUYDUiVUHVXOWDGRVPX\GLIHUHQWHV Repaso del captulo En retrospectiva (QHVWHFDStWXORFRPHQ]DVWHODVFRPSDUDFLRQHVGHGRVSREOD FLRQHV DO GLVWLQJXLU HQWUHPXHVWUDV LQGHSHQGLHQWHV \ GHSHQ GLHQWHVTXHVRQSURFHGLPLHQWRVGHPXHVWUHRHVWDGtVWLFDPHQWH LPSRUWDQWHV\~WLOHV'HVSXpVSURFHGLVWHFRQHOH[DPHQGHODV ^ FLRQHV\YDULDQ]DVSDUDGRVSREODFLRQHV \ \ FRPSDUDQPHGLDV\VHFRPSDUDQSURSRUFLRQHV(QHVWHFDSt WXORDSUHQGLVWHFyPRFRPSDUDUHVWDGtVWLFDPHQWHGRVSREODFLR YDULDQ]DV3RUFRQYHQLHQFLDODWDEODLGHQWLFDODVIyUPX (QORVFDStWXORV\DSUHQGLVWHFyPRXVDUORVLQWHUYD ORVGHFRQDQ]D\ODVSUXHEDVGHKLSyWHVLVSDUDUHVSRQGHUSUH JXQWDVDFHUFDGHPHGLDVSURSRUFLRQHV\GHVYLDFLRQHVHVWiQGDU SDUDXQDRGRVSREODFLRQHV$SDUWLUGHDTXtSXHGHVDPSOLDUODV ~ FLRQHVDVtFRPRLQIHUHQFLDVGHGLIHUHQWHVWLSRV 2010/Jupiterimages CorporationTABLA 10.7 Frmulas a usar para inferencias que involucran dos poblaciones Frmula a usar Prueba de hiptesis Intervalo de confianza Estadstico de prueba Situaciones Diferencia entre dos medias Muestras dependientes t Frmula (10.2) (p. 483) Frmula (10.5) (p. 486) Muestras independientes t Frmula (10.8) (p. 497) Frmula (10.9) (p. 498) Diferencia entre dos proporciones z Frmula (10.11) (p. 512) Frmula (10.15) (p. 515) Diferencia entre dos varianzas F Frmula (10.16) (p. 525) www.fullengineeringbook.net 535 J SDUDHVWH OLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQKH UUDPLHQWDV LQWHUDFWLYDV GH DSUHQGL]DMH HVWXGLR \ SUHSDUDFLyQ GHH[iPHQHVLQFOXLGDVSUHJXQWDVUiSLGDV\WDUMHWDVGHHVWXGLR SDUDHOYRFDEXODULR\ORVFRQFHSWRVFODYHTXHDSDUHFHQDFRQ ^ ~ @ ^ FRQFDSDFLGDGHVGHVXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGH ORVFDStWXORVHO LFRQR&RXUVH0DWH \HMHPSORVTXHWLHQHQVXVFRUUHVSRQGLHQWHVUHFXUVRVLQWHUDFWL @ \ " D SDVRFyPR UHVROYHU SUREOHPDV HMHUFLFLRV \ HMHPSORV SDUD D\XGDUWH D FRPSUHQGHUPHMRU ORVFRQFHSWRV _&\ VRIWZDUHSDUDGHVFDUJDUTXHLQFOX\H} ; VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDV| ; UHJtVWUDWHHQ__ Vocabulario y conceptos clave GLIHUHQFLDGHPHGLDVSS GLIHUHQFLDDSDUHDGDS ^S ^SS HUURUHVWiQGDUSS HVWDGtVWLFRGHSUXHEDSS HVWDGtVWLFRPXHVWUDOQRVHVJDGR S HVWDGtVWLFRS HVWDGtVWLFRGHSUXHEDSS HVWDGtVWLFRS H[SHULPHQWRELQRPLDOS IXHQWHGHGDWRVS LQWHUYDORGHFRQDQ]DSS S PHGLDVGHSHQGLHQWHVS PHGLDVLQGHSHQGLHQWHVS PXHVWUDVGHSHQGLHQWHVSS PXHVWUDVLQGHSHQGLHQWHVSS ELQRPLDOS SRUFHQWDMHS SUREDELOLGDGS @ S SURSRUFLyQS SUXHEDGHKLSyWHVLVSS VXSRVLFLRQHVSS @ SS Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUODGLIHUHQFLDHQWUHPXHVWUDVGHSHQGLHQWHVHLQGHSHQGLHQWHV &RPSUHQGHUTXHODGLIHUHQFLDGHPHGLDVPHGLDGHODVGLIHUHQFLDVDSDUHDGDVGHEH ' &DOFXODU\RFRPSUHQGHUFyPRFDOFXODUODGLIHUHQFLDGHPHGLDV\ODGHVYLDFLyQ &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODGLIHUHQFLDGH 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODGLIHUHQFLDGH m ~ @ \RHOPpWRGRFOiVLFR &RPSUHQGHUTXHODGLIHUHQFLDHQWUHGRVPHGLDVGHEHXVDUVHSDUDDQDOL]DUPXHVWUDV &RPSUHQGHUFyPRGHWHUPLQDUORVJUDGRVGHOLEHUWDGGHODGLVWULEXFLyQ &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODGLIHUHQFLDHQWUH 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODGLIHUHQFLDHQWUHGRV m m ~ @ \RHOPpWRGRFOiVLFR &RPSUHQGHUTXHODGLVWULEXFLyQ ' " ' &DOFXODUSURSRUFLRQHVPXHVWUDOHVFRQEDVHHQHOWDPDxRGHPXHVWUD\Q~PHUR ~ &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODGLIHUHQFLDHQWUH (-(M SS S(M (-(M (-(M SS S(M (-(M (M SS (-(M Resultados del aprendizaje www.fullengineeringbook.net 536 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODGLIHUHQFLDHQWUH ~ @ \RHO ~ &RPSUHQGHUODVSURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQ\FyPRHVXQDVHULHGHGLVWUL GRVGHOLEHUWDGFRPRHOtQGLFH &RPSUHQGHUTXHODVXSRVLFLyQSDUDLQIHUHQFLDVDFHUFDGHODUD]yQGHGRVYD ULDQ]DVHVTXHODVSREODFLRQHVPXHVWUHDGDVWHQJDQGLVWULEXFLyQQRUPDO\TXH 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODUD]yQGHGRV @' s1 2 s2 2 ^ " @ \RHOHQIRTXHFOiVLFR SS(- S (-(M Ejercicios del captulo 10.141 6HLGHQWLFDQGLDPDQWHV\FDGDXQRVHHYDO~DSDUD VXYDORUGHYHQWDDOS~EOLFRPHGLDQWHGRVYDOXDGRUHVFDOL FDGRV FRQ OLFHQFLD /RV GRV FRQMXQWRV GH GDWRV UHVXOWDQWHV 10.142 8QTXtPLFRSUXHEDXQPpWRGRDQDOtWLFRSURSXHVWR\ " ~ ^ DFHSWDGR7RPDXQHVSpFLPHQGHFRQFHQWUDFLyQGHVFRQRFLGD \GHWHUPLQDVXFRQFHQWUDFLyQYHFHVXVDQGRHOPpWRGRSUR ~ ~ FLyQGHVFRQRFLGD\GHWHUPLQDVXFRQFHQWUDFLyQYHFHVXVDQ GRHOPpWRGRDFWXDO(VWDVGRVPXHVWUDVUHSUHVHQWDQPXHVWUDV 10.143 [EX10-143]&RQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH HVWLPDODGLIHUHQFLDPHGLDHQ&,HQWUHORVPLHPEURVPiVYLHMRV \PiVMyYHQHVKHUPDQRV\KHUPDQDVGHXQDIDPLOLDFRQEDVH HQODVLJXLHQWHPXHVWUDDOHDWRULDGH&,6XSyQQRUPDOLGDG Ms viejos 145 133 116 128 85 100 105 150 97 110 120 130 Ms jvenes131 119 103 93 108 100 111 130 135 113 108 125 10.144 [EX10-144] ^ ^ FDSDUDSDFLHQWHVVHGHWHUPLQDURQXVDQGRGRVWpFQLFDVHO PpWRGRHVWiQGDUXVDGRSRUHOSHUVRQDOPpGLFR\XQPpWRGR " @ ^ UHVXOWDGRVIXHURQORVVLJXLHQWHV Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 72 80 88 80 80 75 92 77 80 65 69 96 77 75 60 70 76 87 77 81 75 90 75 82 64 72 95 80 70 61 Mtodo estndar Mtodo digital \ " ^ ^ WHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLDGH ~ 10.145 [EX10-145] 4XLHUHVFRQRFHUFXiOGHGRVWLSRVGH OWURVGHEHVXVDU8QDSUXHEDVHGLVHxDHQODTXHODIXHU]D GHXQDVHxDOSRGUtDYDULDUGHFHURDOSXQWRGRQGHHORSHUD @ ' MDVVRQPHMRU$RSHUDGRUHVVHOHVSLGHKDFHUXQDOHFWXUD SDUDFDGDOWUR Operador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Filtro1 96 83 97 93 99 95 97 91 100 92 Filtro2 92 84 92 90 93 91 92 90 93 90 Operador 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Filtro1 88 89 85 94 90 92 91 78 77 93 Filtro2 88 89 86 91 89 90 90 80 80 90 \ " ^ XVDQGRXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH 10.146 [EX10-146] $OQDOGHVXSULPHUGtDHQHOFDPSRGH @ WHQFLDGHWLURFRQULH/RVPLVPRVFRPSLWHQQXHYDPHQWH DOQDOGHXQDVHPDQDFRPSOHWDGHHQWUHQDPLHQWR\SUiFWLFD \ Recluta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 72 29 62 60 68 59 61 73 38 48 75 43 63 63 61 72 73 82 47 43 Primer da Una semana despus Tiempo de competencia Este conjunto de 10 pares de datos muestra que existi una FDQWLGDGVLJQLFDWLYDGHPHMRUDPLHQWRHQ ODVKDELOLGDGHVGH disparo de los reclutas durante la semana? Usa a \VX ^ 10.147 [EX10-147] ^ @ LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 537 ^ ^ ^ \ ^" ^ ^ Antes 93 106 87 92 102 95 88 110 Despus 92 102 89 92 101 96 88 105 D &XiOHVODHVWLPDFLyQSXQWXDOSDUDODUHGXFFLyQPHGLDHQ ^ ~ E 3XHGHVFRQFOXLUTXHODGLHWDOLEUHHQVDOSURGXMRXQDUH GXFFLyQPHGLDVLJQLFDWLYDHQSUHVLyQDUWHULDOGLDVWyOLFD" 8VDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 10.148 [EX10-148] ^ GLDWDUiSLGDPHQWHHQWUHJDQVXFRQWHQLGRPHGLFDPHQWRVR\OD Pi[LPDFRQFHQWUDFLyQVHDOFDQ]DHQSRFR WLHPSR ORVPHGL ^ ' ^ XQHVWXGLRFRGHtQDGH OLEHUDFLyQ LQPHGLDWD LUFVHFRPSDUy FRQFRGHtQDGHOLEHUDFLyQSURORQJDGDVUFXVDQGRSDFLHQWHV ' ^ XQRGHORVGRVWLSRVGHFRGHtQD\WUDWyGXUDQWHGtDVGHVSXpV GHXQSHULRGRGHREVHUYDFLyQGHGtDVDFDGDSDFLHQWHVHOH GLRRWURWLSRGHFRGHtQD3RUWDQWRFDGDSDFLHQWHUHFLELyDPERV ` @ ?P/KUHVODVLJXLHQWH Paciente 1 2 3 4 5 6 7 Airc 1 091.3 1 064.5 1 281.1 1 921.4 1 649.9 1 423.6 1 308.4 Asrc 1 308.5 1 494.2 1 382.2 1 978.3 2 004.6 * 1 211.1 Paciente 8 9 10 11 12 13 Airc 1 192.3 766.2 978.6 1 618.9 582.9 972.1 Asrc 1 002.4 866.6 1 345.8 979.2 576.3 999.1 Fuente: http://exploringdata.cqu.edu.au/ "~~ E 4XpDMXVWHVHQHFHVLWDGDGRTXHQRKD\$VUFSDUDHO ([LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODFDQWLGDGWRWDOGH medicamento disponible durante la vida del tratamiento? F &RPSUXHEDODVVXSRVLFLRQHVGHODSUXHED\GHVFULEHWXV ' G 3RQDSUXHEDODDUPDFLyQFRQa 10.149 " VHDSOLFyDHVWXGLDQWHVKRPEUHV\HVWXGLDQWHVPXMHUHV /RVUHVXOWDGRVIXHURQORVVLJXLHQWH Hombres: Mujeres: s 13.6 x 75.7, s 13.2 x 70.5, &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD HQWUHODVFDOLFDFLRQHVGHDQVLHGDGPHGLDV 10.150 FLRQDGRVDOD]DUGHGRVXQLGDGHV/DVFDOLFDFLRQHVTXHORJUDQ VHUHVXPHQGHOPRGRVLJXLHQWH Unidad 1: Unidad 2: s2 5.5 x2 70.5, n2 60, s1 6.1 x1 73.2, n1 70, &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD @ 10.151 ^ @ n Sx Sx2 Diseo 1 36 278.4 2 163.76 Diseo 2 42 310.8 2 332.26 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD 10.152 [EX10-152] ^ ^ @ @ WDFLyQHQEDFKLOOHUDWRHORWURJUXSRQRORWXYR/RVUHVXOWDGRV GHOH[DPHQVRQORVVLJXLHQWHV6LVXSRQHVTXHODVFDOLFDFLRQHV GHOH[DPHQVRQQRUPDOHVFRQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH SDUDODGLIHUHQFLDHQWUHODVGRVPHGLDVSREODFLRQDOHV Grupo 1 (tuvo curso en bachillerato) 17 18 27 19 24 36 27 26 35 22 18 29 29 26 33 Grupo 2 (no tuvo curso en bachillerato) 19 25 28 27 21 24 18 14 28 21 22 20 21 14 29 28 25 17 20 28 31 27 10.153 [EX10-153] ~ FDORUODWHQWHGHODIXVLyQGHKLHOR7DQWRHOPpWRGR$PpWRGR ~ ~ ~ ' ' URQFRQORVHVSHFtPHQHVHQIULDGRVDC. Los datos de la siguiente tabla representan el cambio en calor total de 0.72C a agua a 0C en caloras por gramo de masa. Mtodo A 79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 80.02 Mtodo B 80.02 79.94 79.98 79.97 79.97 80.03 79.95 79.97 6LVXSRQHVQRUPDOLGDGFRQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH SDUDODGLIHUHQFLDHQWUHODVPHGLDV 10.154 [EX10-154] ' SUREDEOHPHQWHHVHOTXtPLFRRUJiQLFRSXURPiVDEXQGDQWHHQ HOPXQGR\HOPiVDPSOLDPHQWHFRQRFLGRSRUORVQRTXtPLFRV <DVHDGHFDxDGHD]~FDUSRUSHVRRGHUHPRODFKDD]XFD UHUDSRUSHVR\\DVHDEUXWDRUHQDGDHOD]~FDUFRP~Q WRGDYtDHVVDFDURVD4XLQFHFRQGDGRVSURGXFWRUHVGHUHPROD FKDD]XFDUHUDHQ(VWDGRV8QLGRVVHVHOHFFLRQDURQDOD]DU\VH FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 538 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones UHJLVWUDURQVXVSRUFHQWDMHVGHVDFDURVD'HLJXDOPRGRFRQ ' OHFFLRQDURQDOD]DU\VHUHJLVWUDURQVXVSRUFHQWDMHVGHVDFDURVD Sacarosa Rem. 17.30 16.46 16.20 17.53 17.00 18.53 16.77 16.11 15.30 17.90 15.98 17.30 17.94 17.30 16.60 Sacarosa Caa 14.1 13.5 15.2 15.0 13.6 13.6 11.7 14.3 13.8 13.8 14.8 13.7 Fuente: http://www.usda.gov/ (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD SURGXFWRUHVGHUHPRODFKDD]XFDUHUDHQ(VWDGRV8QLGRV\WRGRV ' 10.155 { { " EROFROHJLDOTXHHQWUHQD\FRPSLWHHQFDVDVREUHSDVWRDUWLFLDO *HRUJHHVWiSUHRFXSDGRGHTXHHOWLHPSRGHVSULQWGH\DUGDV UHJLVWUDGR SRU VXV MXJDGRUHV \ RWURV DXPHQWD VXVWDQFLDOPHQWH FXDQGRFRUUHQHQSDVWRQDWXUDOHQRSRVLFLyQDOSDVWRDUWLFLDO6L HVDVtKD\SRFDFRPSDUDFLyQHQWUHODYHORFLGDGGHVXVMXJDGRUHV \ODGHVXVRSRQHQWHVVLHPSUHTXHVXHTXLSRMXHJXHHQSDVWR " PRGRTXHVRQGHDDWRGRVORVTXHLQLFLDUiQHOSUy[LPRMXHJR\ REWLHQHVXVPHMRUHVWLHPSRVGHVSULQWGH\DUGDV'HVSXpVORV @ MXJDGRUHV/RVUHVXOWDGRVVHPXHVWUDQHQODVLJXLHQWHWDEOD Grupo jugador n Media (sec) Desv. Est. 22 4.85 0.31 22 4.96 0.42 Pasto artificial Pasto natural Los jugadores del { \ QLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUDDFRQVHMDUDO { @ ~ @ @ ~ 10.156 GDPHQWDOHVDFHUFDGHOVtQGURPHGHLQPXQRGHFLHQFLDDGTXL ULGD6,'$VHDGPLQLVWUyDGRVJUXSRVXQRTXHFRQVLVWtDHQ JUDGXDGRVXQLYHUVLWDULRV\HORWURTXHFRQVLVWtDHQJUDGXDGRV ^ UHVXOWDGRVGHOH[DPHQ Graduados universitarios: Graduados bachillerato: s 9.4 x 50.4, n 75, s 6.2 x 77.5, n 75, Estos datos muestran que los graduados universitarios, en SURPHGLRFDOLFDQVLJQLFDWLYDPHQWHPiVDOWRHQHO a 10.157 $OUHGHGRUGHPLOORQHVGHHVWDGRXQLGHQVHVYLVLWDQ TXLURSUiFWLFRVDQXDOPHQWH\HOQ~PHURGHSUDFWLFDQWHVHQ(V WDGRV8QLGRVHVGHFDVLHOGREOHTXHHOQ~PHURGHKDFH ~ ` ` 1HZ(QJODQG-RXUQDORI0HGLFLQH " " PDQLSXODFLyQHVSLQDOTXLURSUiFWLFD&60FRQODWHUDSLDItVLFD ~ DxRVGHWUDWDPLHQWRVHGHVFXEULyTXHOD&60QRHUDHIHFWLYD @ \ ^" ' @ VHOHDSOLFD&60\DORWURWHUDSLDItVLFD'XUDQWHHOSHULRGR GHDxRVHPLGHHOQ~PHURGHGtDVGHDXVHQFLDODERUDOFRPR UHVXOWDGRGHGRORUGHHVSDOGDEDMD Grupo n Media Desv. est. CSM (1) 32 10.6 4.8 Terapia (2) 28 12.5 6.3 Estos resultados muestran que el nmero medio de das de ausentismo laboral para las personas que sufren de dolor agu- GRGHHVSDOGDHVVLJQLFDWLYDPHQWHPHQRUSDUDTXLHQHVUHFL- bieron CSM que para quienes experimentaron terapia fsica? 6XSyQQRUPDOLGDG\XVDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH @ ~ @ @ ~ 10.158 ~ DOFDQFHGHOSULPHUWLSR\GHOVHJXQGRWLSRVHGLVSDUDQD \ SLHV\XQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHSLHV\HOVHJXQGRWLSR WLHQHXQHUURUGHEODQFRPHGLRGHSLHV\XQDGHVYLDFLyQ HVWiQGDUGHSLHVHVWRLQGLFDTXHHOVHJXQGRWLSRGHFRKHWH " a \VXSyQGLVWUL ^ 10.159 [EX10-159] ^ ^ ~ FXiQGLItFLOHVUHSDUDUODV/DVVLJXLHQWHVPHGLFLRQHVVRQSDUD ^ ^ SHFtFRGHVSXpVGHYDULDVRSHUDFLRQHVGHXVR/DSULPHUDOD PHQFLRQDHOQ~PHURGHSDUWHODVHJXQGDODPHQFLRQDODVPH ^ ^ HQVDPEOHVKHFKRVFRQHOPDWHULDO$\ODWHUFHUDODPHQFLRQD ^ ^ \ ^" ^ ^ Momento de torsin de remocin (NM, Newton-metros) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Nmero de parte Material A 16 14 13 17 18 15 17 16 14 16 15 17 14 16 15 Material B 11 14 13 13 10 15 14 12 11 14 13 12 11 13 12 Fuente: Datos del problema proporcionados por AC Rochester Division, General Motors, Rochester, NY www.fullengineeringbook.net 539 D (QFXHQWUDODPHGLDYDULDQ]D\GHVYLDFLyQHVWiQGDUPXHV E (QFXHQWUDODPHGLDYDULDQ]D\GHVYLDFLyQHVWiQGDUPXHV F (QHOQLYHOHVWRVGDWRVGHPXHVWUDQXQDGLIHUHQFLD VLJQLFDWLYDHQHOPRPHQWRGHWRUVLyQPHGLRUHTXHULGR @ 10.160 [EX10-160] ^ @^ ^ ^ " DUPyPHMRUDU ODPHPRULD /RV HVWXGLDQWHV VH DVLJQDURQ DO D]DUDGRVJUXSRVJUXSR$HOJUXSRGHSUXHED\HOJUXSR% ^ " ^ ~ @ " WDEOD (VWRVGDWRV DSR\DQ ODKLSyWHVLV DOWHUQDWLYDGHTXH OD FDSDFLWDFLyQHVSHFLDOHVHIHFWLYDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a\ ^ Grupo estudiantes A Grupo estudiantes B Tiempo de prueba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 22 20 21 23 18 17 20 23 22 20 23 17 21 19 20 20 28 29 26 23 31 25 22 26 26 23 25 26 18 21 17 18 20 Antes Despus 10.161 [EX10-161] @ ^ (VWHH[DPHQWLHQHXQDKLVWRULDGHSURGXFLUFDOLFDFLRQHVFRQ XQDPHGLDGH/DVPXHVWUDVGHHVWXGLDQWHVKRPEUHV\ ' GLDQWLOGHHVWHDxR\VHUHJLVWUDURQODVVLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHV Hombres 72 68 75 82 81 60 75 85 80 70 71 84 68 85 82 80 54 81 86 79 99 90 68 82 60 63 67 72 77 51 61 71 81 74 79 76 Mujeres 81 76 94 89 83 78 85 91 83 83 84 80 84 88 77 74 63 69 80 82 89 69 74 97 73 79 55 76 78 81 @ PHGLD\GHVYLDFLyQHVWiQGDU E 3RQDSUXHEDODVKLSyWHVLVODFDOLFDFLyQPHGLDSDUD WRGRVORVKRPEUHVHV\ODFDOLFDFLyQPHGLD a F /RVUHVXOWDGRVDQWHULRUHVGHPXHVWUDQTXHODVFDOLFDFLR QHVPHGLDVSDUDKRPEUHV\PXMHUHVVRQLJXDOHV"-XVWLFD WXUHVSXHVWD7HQFXLGDGR ^ "no hay diferencia entre las FDOLFDFLRQHVPHGLDVSDUDHVWXGLDQWHVKRPEUHV\ mujeres", con a H /RVUHVXOWDGRVTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRGPXHVWUDQ TXHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVSDUDKRPEUHV\PXMHUHVVRQ "~ " 10.162 \ ' FLyQGHGHPyFUDWDVDVtFRPRGHUHSXEOLFDQRVTXHDSR\DQXQD SROtWLFDGXUDHQ6XGDPpULFD/RVUHVXOWDGRVGHODHQFXHVWD IXHURQORVVLJXLHQWHV 'HPyFUDWDV Q~PHURGHDSR\R 5HSXEOLFDQRV Q~PHURGHDSR\R &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLD HQWUHODVSURSRUFLRQHVGHDSR\R 10.163 8QJUXSRGHFRQVXPLGRUHVFRPSDUyODDELOLGDGGH ^" " @ ~ ^ Fabricante Tamao de muestra Proporcin necesitan servicio 5 1 . 0 5 7 1 9 0 . 0 5 7 2 (QFXHQWUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 10.164 "Es un empate", de acuerdo con dos investigadores DXVWUDOLDQRV+DFLDORVDxRVGHHGDGKDVWDGHWRGRV los hombres y hasta 34% de todas las mujeres tienen algunas canas, pero esta diferencia es tan pequea que se considera in- VLJQLFDQWH+LORVGHSODWDHQWUHHORURTXLpQORVGHVFXEULUi primero, un hombre o una mujer?" $ D 6LKRPEUHV\PXMHUHVVHLQYROXFUDQHQHVWD LQYHVWLJDFLyQFRQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH SDUDHVWLPDUODYHUGDGHUDGLIHUHQFLD E (OLQWHUYDORGHFRQDQ]DTXHHQFRQWUDVWHHQHOLQFLVRD LQGLFDTXHODGLIHUHQFLDHVVLJQLFDWLYD"([SOLFD 10.165 'HDFXHUGRFRQ9HQXVFRQWUD0DUWHHQHOQ~PHUR GHPD\RMXQLRGHGH{ # $KRPEUHV\PXMHUHV " %RRPHUV:HOOQHVV/LIHVW\OHGHKRPEUHV\PXMHUHVFRQHGDGHV GHDGHVFXEULyTXHGHODVPXMHUHVFRQVLGHUDEDQ FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 540 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones ^ ~ ELHQHVWDUJOREDO/DPLVPDHQFXHVWDGHVFXEULyTXHGHORV " ~ WH5HVSRQGHORVLJXLHQWH\RIUHFHGHWDOOHVSDUDDSR\DUFDGD D 6LHVWRVHVWDGtVWLFRVSURYLHQHQGHPXHVWUDVGHKRPEUHV \PXMHUHVODGLIHUHQFLDHVVLJQLFDWLYD" E 6LHVWRVHVWDGtVWLFRVSURYLHQHQGHPXHVWUDVGHKRPEUHV \PXMHUHVODGLIHUHQFLDHVVLJQLFDWLYD" F 6LHVWRVHVWDGtVWLFRVSURYLHQHQGHPXHVWUDVGHKRPEUHV \PXMHUHVODGLIHUHQFLDHVVLJQLFDWLYD" G 4XpHIHFWRVWLHQHHODXPHQWRHQWDPDxRPXHVWUDOVREUH 10.166 1HZ(QJODQG-RXUQDORI0HGLFLQH ^" ORVGLHVWURVPXULHURQHQSURPHGLRDORVDxRVGHHGDG\ORV ' ` ^ TXH GH ORV ]XUGRVPXULy GH OHVLRQHV UHODFLRQDGDV FRQ DFFLGHQWHVH[FOXLGRVYHKtFXORVIUHQWHDSDUDORVGLHVWURV \GHORV]XUGRVPXULyPLHQWUDVFRQGXFtDYHKtFXORVIUHQWH DOGHORVGLHVWURV 6XSyQTXHH[DPLQDVFHUWLFDGRVGHGHIXQFLyQVHOHF FLRQDGRVDOD]DUGHORVFXDOHVIXHURQ]XUGRV\IXHURQ GLHVWURV6LGHVFXEUHVTXHGHORV]XUGRV\GHORVGLHVWURV PXULHURQPLHQWUDV FRQGXFtDQXQYHKtFXOR WHQGUtDV HYLGHQ " ^ ' " DOYRODQWHHVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXH ODSURSRUFLyQGH GLHVWURVTXHPXULHURQPLHQWUDVFRQGXFtDQ"&DOFXODHOYDORU HLQWHUSUHWDVXVLJQLFDGR 10.167 4XLpQJDQDORVFDVRVGHEDWLEOHVVLHPSUHTXHVHKDFH XQFDPELRHQODVOH\HVVFDOHVHOFRQWULEX\HQWHRODVDXWRULGD GHVVFDOHV"/DWHQGHQFLDPiVUHFLHQWHLQGLFDTXHHOSHVRGHOD SUXHEDHQWRGRVORVFDVRVMXGLFLDOHVFDPELyGHOFRQWULEX\HQWHD ODDXWRULGDGVFDOFX\RVH[SHUWRVVFDOHVSUHGLFHQTXHSRGUtDQ @ UHV DERJDGRV\RWURVSURIHVLRQDOHVVFDOHV HQFXHVWDGRVSRU 5,$*URXSXQHGLWRUGHLQIRUPDFLyQVFDOHVSHUDQXQ DXPHQWRDOPHQRVOLJHURHQORVWULXQIRVGHFRQWULEX\HQWHV Fuente: Fortune, "Tax Reform?" 6XSyQTXHDODVPXHVWUDVGHFRQWDGRUHV\DERJDGRVVH OHVSUHJXQWDHVSHUDTXHORVFRQWULEX\HQWHVJDQHQPiVFDVRV @ ORVHQWUHYLVWDGRVFRQWDGRUHVUHSOLFDURQVt\DERJD GRVGLMHURQVt/RVGRVJUXSRVGHH[SHUWRVGLHUHQHQVXV RSLQLRQHV"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHSDUDUHVSRQ @ ~ @ @ ~ 10.168 ` " SRUFHQWDMH GH HVWXGLDQWHV GHPiV GHFLHQWH GHVHPSHxR TXH " ^ " WHHVPD\RUTXHODSURSRUFLyQGHHVWXGLDQWHVPiVGHFLHQWHV TXHUHVSRQGHUiQFRUUHFWDPHQWH(QHO~OWLPRH[DPHQGH ORVHVWXGLDQWHVFRQODVPHMRUHVFDOLFDFLRQHV\GHORV HVWXGLDQWHVFRQODVFDOLFDFLRQHVPiVEDMDVUHVSRQGLHURQ FLHUWDSUHJXQWDFRUUHFWDPHQWH/RVHVWXGLDQWHVFRQODVFDOL FDFLRQHVPiVDOWDVVHGHVHPSHxDQVLJQLFDWLYDPHQWHPHMRUD a @ ~ @ @ ~ 10.169 SDUDU ODVGLIHUHQFLDVHQWUHKRPEUHV\PXMHUHV UHVSHFWRD ORV " " GHKRPEUHV\PXMHUHVVHSXVLHURQDSUXHEDSDUDGHWHU " " " @ YLDFLyQHVWiQGDUGHPLQXWRV\HOWLHPSRUHTXHULGRSRUODV PXMHUHVWXYRXQDGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHPLQXWRV(VWRV " @ " " a \VXSyQTXHORVWLHPSRVWLHQHQ ^ @ ~ @ @ ~ 10.170 @ PRGHORV GH PiTXLQDV GHVSDFKDGRUDV 7DQWR OD PiTXLQD GH +DUYDUG&RPSDQ\FRPR ODPiTXLQD)L]]LWSXHGHQDMXVWDUVH ' \ @^ ' ' ^ '' TXLQD+DUYDUGPRVWUyXQDYDULDQ]DGHPLHQWUDVTXH WD]DVGHVSDFKDGDVGH ODPiTXLQD)L]]LWPRVWUyXQDYDULDQ]D GH(OUHSUHVHQWDQWHGH+DUYDUG&RPSDQ\VRVWLHQHTXH VXPiTXLQDQRWLHQHPiVYDULDELOLGDGTXHODPiTXLQD)L]]LW \ ^" ^ www.fullengineeringbook.net 541 (QHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD ODPXHVWUD UHFKD]D OD DUPDFLyQGHOUHSUHVHQWDQWH" @ ~ @ @ ~ 10.171 0LQG\)HUQiQGH]HVWiDFDUJRGHODSURGXFFLyQHQOD SODQWDGHHQVDPEODGRGHOQXHYRYHKtFXORGHSRUWLYRXWLOLWDULR 689TXHUHFLpQDEULyHQVXFLXGDGOWLPDPHQWHKDHVWDGR " ^ FRLQFLGHQFRQODVWXHUFDVUHVSHFWLYDV\QRFLHUUDQORVXFLHQWH ^@ " " " @ PiWLFDV\TXHHOSDUiPHWURGHOPRPHQWRGHWRUVLyQWDPELpQ " @ ' VL OD IDOOD VH HQFXHQWUD HQ ODV WXHUFDVR ORV WRUQLOORV0LQG\ " DSUXHEDXQDPXHVWUDDOHDWRULDGHWXHUFDV\WRUQLOORVSDUD @ @' ~ " @' FDVPXHVWUHDGDVIXH\TXHODYDULDQ]DGHURVFDSDUD ORV WRUQLOORVPXHVWUHDGRV IXH 4Xp SXHGH FRQFOXLU 0LQG\DFHUFDGH OD LJXDOGDGGH ODVYDULDQ]DVHQHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD" @ ~ @ @ ~ 10.172 [EX10-172] /RVHVWXGLDQWHVTXHVH UHJLVWUDQSDUD " " GtD"0XHVWUDVDOHDWRULDVGHGRVFODVHVHOHPHQWDOHVGHHVWDGtV FDWLYDHQODYDULDELOLGDG\PHGLDVGHFDOLFDFLRQHVSDUDXQ Calificaciones temprano en la maana 78 92 86 78 89 100 97 53 86 58 78 100 92 83 Calificaciones tarde en el da 89 100 92 78 100 67 58 100 78 100 89 83 D 6HVDWLVIDFHQODVVXSRVLFLRQHVGHQRUPDOLGDG"([SOLFD E ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGH LJXDOHVYDULDQ]DVGHFDOLFDFLRQHVSDUDHVDVGRVFODVHV" a F ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGH TXHQRKD\GLIHUHQFLDHQWUHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDV a PTI Cuando usas la prueba t de dos muestras de MINITAB o de TI, tienes la opcin de seleccionar "suponer varianzas iguales" de acuerdo con el resultado en el inciso b. 10.173 [EX10-173] 8QSUR\HFWRGHLQYHVWLJDFLyQVHUHDOL ' @ ' @ " GRV GLVHxRV GLVWLQWRV HO GLVHxR H[LVWHQWH \ XQRPHMRUDGR /DH[SHFWDWLYDIXHTXHHOQXHYRGLVHxRGHHTXLSRUHTXHULUtD '" " DSUXHEDXQLGDGHV\VH UHJLVWUD OD IXHU]DUHTXHULGD8Q QLYHOGHIXHU]DLQIHULRU\YDULDELOLGDGUHGXFLGDVRQFRQVLGH Control o existente Prueba o nuevo diseo 7 7 4 2 0 0 .0 2 6 5 3 0 0 . 0 5 2 7 2 0 0 . 0 6 1 2 5 0 0 . 0 *** Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com @ @' \PHGLDVGHGRVPXHVWUDVLQGHSHQGLHQWHV'HVFULEHWXV ' F 6HUiQDGHFXDGDVODVSUXHEDVGHXQDRGRVFRODVSDUD SRQHUDFRQUPDFLyQODVH[SHFWDWLYDVGHOQXHYRGLVHxR" 3RUTXp" G ([LVWHHYLGHQFLDVLJQLFDWLYDSDUDGHPRVWUDUTXHHOQXHYR @ ' " a H ([LVWHHYLGHQFLDVLJQLFDWLYDSDUDGHPRVWUDUTXHHO @ ' a I (OQXHYRGLVHxRFXPSOHFRQODVH[SHFWDWLYDV" Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 542 Captulo 10 Inferencias que involucran dos poblaciones Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV @ @ 6LHOHQXQFLDGRQRVLHPSUHHVYHUGDGHURVXVWLWX\HODVSDODEUDV " @ 10.1 10.2 ! " @ WLFDEOHV R HQJDxRVDV SRUTXH FDGD SDU HVWi VXMHWR D 10.3 ' '^ @' 10.4 10.5 ` s ^ $ 10.6 FDOLFDFLyQQRUPDO HVWiQGDU 10.7 ^ ^ 10.8 (OQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDGSDUDHOYDORUFUtWLFR 10.9 (QXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODGLIHUHQFLDGHPH @ 10.10 SDUDFXDOTXLHUHVWDGtVWL " YDORUDOTXHVHOOHJDDOFRPELQDUORVGRVHVWDGtVWLFRV " ^ ;^* 5HVSRQGH WRGDV ODV SUHJXQWDV\PXHVWUD WRGDV ODV IyUPXODV VXVWLWXFLRQHV\WUDEDMR 10.11 ^ \DOWHUQDWLYD " XVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDFDGDXQDGHHVWDVDILU PDFLRQHV D 1RKD\GLIHUHQFLD VLJQLFDWLYDHQ ORVSURPHGLRV ~ ODVGRVOLJDVPD\RUHV @^ VXDOHVGHOOXYLDHQHOFRQGDGR0RQURHHVPHQRV " @^ F ([LVWH XQD GLIHUHQFLD VLJQLFDWLYD HQWUH ORV SRU FHQWDMHV GH HVWXGLDQWHV XQLYHUVLWDULRV KRPEUHV \ " ^@ 10.12 'HWHUPLQDHOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDUHJLyQFUtWLFD\YDORU FUtWLFRTXHXVDUtDVSDUDFRPSOHWDUFDGDSUXHEDGHKL ^ a . d . a . e . b c. (n1 8, n2 10) Ha: m1 m2 17 Ho: m1 m2 17 (nm 16, np 25) (n 28) Ha: sm 2 sp 2 Ha: md 12 Ho: sm 2 sp 2 Ho: md 12 (n1 38, n2 50) Ha: m1 m2 37 Ha: p1 p2 0 Ho: m1 m2 37 Ho: p1 p2 0 10.13 (QFXHQWUDFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHV a. z(0.02) e. z(0.04) b. t(15, 0.025) f. t(38, 0.05) c. F(24, 12, 0.05) g. t(23, 0.99) d. F(12, 24, 0.05) h. z(0.90) 10.14 [PT10-14] 9HLQWHHVWXGLDQWHVGHSULPHUDxRGHXQLYHU @ ' GHXQJUXSRVHDVLJQDURQDXQDVHFFLyQGHHVWDGtVWLFD " ^ ^ ^ " SURIHVRUGDEDFODVHV$OQDOGHOVHPHVWUHDWRGRVVHOHV DSOLFyHOPLVPRH[DPHQQDO+HDTXtORVUHVXOWDGRV Programado 76 60 85 58 91 44 82 64 79 88 Clases 81 62 87 70 86 77 90 63 85 83 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHHVWRVGDWRVRIUH FHQ VXFLHQWH HYLGHQFLD SDUD FRQFOXLU TXH HQ SUR GHVHPSHxDURQVLJQLFDWLYDPHQWHPHMRUHQHOH[DPHQ QDO"6XSyQQRUPDOLGDG 10.15 [PT10-15] GHIXPDU\VHPDQDVGHVSXpVGHGHMDUGHIXPDUVRQ ORVVLJXLHQWHV 1 2 3 4 5 6 7 8 Antes 148 176 153 116 129 128 120 132 Despus 154 179 151 121 130 136 125 128 www.fullengineeringbook.net 543 (QHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD HVWDPXHVWUDSUH VHQWDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDMXVWLFDUODFRQFOXVLyQ " \ ^ 10.16 \QLxDVGHHGDGHVFRODUQLxRV\QLxDVDG LQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODGLIHUHQFLDHQWUH ODVSURSRUFLRQHVGHQLxRV\QLxDVTXHFRPHWLHURQHVWD ;^*J 10.17 ^ FHGHOSULPHUWLSR\GHOVHJXQGRWLSRVHGLVSDUDURQ \ + " ^ HOEODQFR(VWRVGRVFRQMXQWRVGHGDWRVGLVWDQFLDV \GLVWDQFLDVUHSUHVHQWDQPXHVWUDVGHSHQGLHQWHVR 10.18 6XSyQ TXH HVWXGLDQWHV HQ WX XQLYHUVLGDG WRPDQ HVWDGtVWLFDHOHPHQWDOHVWHVHPHVWUH'HVFULEHFyPRSR GUtDVREWHQHUGRVPXHVWUDVGHSHQGLHQWHVGHWDPDxR ~ GHTXHORVHVWXGLDQWHVFRPSOHWDQHOFXUVR(VSHFLFD 10.19 @ "~ DFHUFDGHODGLIHUHQFLDHQWUHPHGLDVLQGHSHQGLHQWHV\ GHSHQGLHQWHV ORV UHVXOWDGRVVRQFDVL LJXDOHV VLQ LP ~ ' " PiVFXLGDGRVDPHQWH$\XGDDOHVWXGLDQWH$DGHVFX " 10.20 \ ^" m m \WRGDVODVGLIHUHQFLDVDSDUHDGDVPXHVWUDOHVVRQQH JDWLYDV(VWRVLJQLFDTXHH[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLD SDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXOD"&yPRSXHGHQRVHU VLJQLFDWLYD"([SOLFD 10.21 (O IDOWDU D FODVH HVPX\SHUWXUEDGRU SDUD HO VLVWHPD HGXFDWLYR8QJUXSRGHSURIHVRUHV\FRQVHMHURVGHED FKLOOHUDWRGHVDUUROODURQXQSURJUDPDGHJUXSRGHDSR\R TXHHVSHUDQD\XGDUiDPHMRUDU ODVLWXDFLyQGHIDOWDUD \ WLFDGDV\DODPLWDGGHHOORVORVDVLJQDURQDOD]DUDO SURJUDPDGHJUXSRGHDSR\R$OQDOGHODxRHVFRODU ORVHVWXGLDQWHVVHFDOLFDURQUHVSHFWRDVXVIDOWDV LQMXVWLFDGDV&XDQGRVHUHFROHFWHQODVFDOLFDFLRQHV " @ "~ 10.22 4XLHUHVHVWLPDU\FRPSDUDUODSURSRUFLyQGHIDPLOLDV FDWyOLFDV FX\RV KLMRV DVLVWHQ D XQD HVFXHOD SULYDGD FRQODSURSRUFLyQGHIDPLOLDVQRFDWyOLFDVFX\RVKLMRV DVLVWHQDHVFXHODVSULYDGDV&yPRKDUtDVSDUDHVWLPDU ODVGRVSURSRUFLRQHV\ODGLIHUHQFLDHQWUHHOODV" Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 544 Captulo 00 Captulo ttulo 11 11.1 El estadstico ji cuadrada Se usa para poner a prueba hiptesis concernientes a datos enumerados 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales 'LHUHGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDOHQTXHcada ensayo tiene muchos resultados 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia 5HSUHVHQWDFLRQHVWDEXODUHVGHFRQWHRVGHIUHFXHQFLD SDUDGDWRVHQXQDFODVLFDFLyQGHGRVYtDV Aplicaciones de ji cuadrada Cmo enfriar un sabor muy picante Si te gustan las comidas picantes, probablemente tienes una salsa picante favorita y una forma preferida de "enfriar" tu boca despus de comer un bocadillo picante que hace estallar tu cabeza. Algunos de los mtodos ms comunes usados por las personas son: beber agua, leche, refresco o cerveza, o comer SDQXRWURDOLPHQWR,QFOXVRH[LVWHQSHUVRQDVTXHSUHHUHQQRHQIULDUVXERFDHQWDOHVRFDVLRQHV\SRU tanto no hacen nada. 11.1 El estadstico ji cuadrada 2010 Jupiterimages Corporation/Getty Images 2010 Masterfi le/Radius Images/Jupiterimages Corporation iStockphoto.com/Irina Tischenko James Schwabel/AlamySeis formas ms comunes en que los adultos estadounidenses dicen que enfran sus bocas despus de comer salsa picante: Fuente: Datos de Anne R. Carey y Susy Parker, 1995 USA Today Apagar el fuego Agua Pan Leche Cerveza Refresco Nada 43% 19% 15% 7% 7% 6% www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 545 Recientemente, a una muestra de 200 adultos que profesan amor por la comida picante se le pidi nombrar su forma favorita de enfriar su boca despus de ingerir comida con salsa picante. La tabla resume las respuestas. [EX11-01] Mtodo Agua Pan Leche Cerveza Refresco Nada Otro Nmero 73 29 35 19 20 13 11 Los datos de conteo como estos con frecuencia se conocen como datos enumerativos. Existen muchos problemas para los cuales se categorizan los datos enumerativos y ORVUHVXOWDGRVVHPXHVWUDQPHGLDQWHFRQWHRV3RUHMHPSORXQFRQMXQWRGHFDOLFDFLRQHV GHH[DPHQQDOSXHGHQPRVWUDUVHFRPRXQDGLVWULEXFLyQGHIUHFXHQFLD(VWRVQ~PHURVGH IUHFXHQFLDVRQFRQWHRVHOQ~PHURGHGDWRVTXHFDHHQFDGDFHOGD8QDHQFXHVWDSUHJXQWD a los votantes si estn registrados como republicanos, demcratas u otro y si apoyan o QRDXQFDQGLGDWRSDUWLFXODU3RUORJHQHUDOORVUHVXOWDGRVVHPXHVWUDQHQXQJUiFRTXH PXHVWUDHOQ~PHURGHYRWDQWHVHQFDGDSRVLEOHFDWHJRUtD1XPHURVDVLOXVWUDFLRQHVGHHVWD IRUPDGHSUHVHQWDUGDWRVVHKDQSURSRUFLRQDGRDORODUJRGHORVFDStWXORVDQWHULRUHV Preparacin de los datos 6XSyQTXHVHWLHQHXQQ~PHURGHceldas en las que se ordenan n observaciones. (El tr- mino FHOGD es sinnimo del trmino FODVH; los trminos FODVH y IUHFXHQFLDVHGHQLHURQ\ XVDURQSRUSULPHUDYH]HQFDStWXORVDQWHULRUHV$QWHVGHFRQWLQXDUSXHGHVHUEHQpFDXQD breve revisin de las secciones 2.1, 2.2 y 3.1.) Las frecuencias observadas en cada celda se denotan mediante O 1 , O 2 , O 3 , . . . , O k (consulta la tabla 11.1). Observa que la suma de todas las frecuencias observadas es O 1 + O 2 + . . . + O k = n donde n es el tamao de la muestra. Lo que se quiere hacer es comparar las frecuencias observadas con algunas frecuencias esperadas o tericas, denotadas con E 1 , E 2 , E 3 , . . . , E k FRQVXOWDODWDEODSDUDFDGDXQDGHGLFKDVFHOGDV1XHYDPHQWHODVXPDGHWDOHV frecuencias esperadas debe ser exactamente n: E 1 + E 2 + . . . + E k = n SABAS QUE...? Karl Pearson Conocido como uno de los padres de la estads- tica moderna, Karl Pear- son invent la ji cuadra- da (denotada por 2) en 1900. Es el proce- dimiento de inferencia ms antiguo todava en uso en su forma original y con frecuencia utiliza- do en aplicaciones eco- nmicas y empresariales de hoy. Estadstico de prueba para ji cuadrada Entonces se decidir si las frecuencias observadas parecen concordar o no con las frecuen- cias esperadas. Esto se har usando una prueba de hiptesis con ji cuadrada, 2 ( es la OHWUDJULHJDPLQ~VFXODML Bosquejo del procedimiento de prueba k categoras 1a 2a 3a . . . k-sima Total Frecuencias observadas O1 O2 O3 . . . Ok n Frecuencias esperadas E1 E2 E3 . . . Ek n TABLA 11.1 Frecuencias observadas 2+ = (O E)2 (11.1) todas las celdas E Seccin 11.1 El estadsico ji cuadrada www.fullengineeringbook.net 546 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada (VWHYDORUFDOFXODGRSDUDMLFXDGUDGDHVODVXPDGHYDULRVQ~PHURVQRQHJDWLYRVXQR GHFDGDFHOGDRFDWHJRUtD(OQXPHUDGRUGHFDGDWpUPLQRHQODIyUPXODSDUD2+ es el cuadrado de la diferencia entre los valores de las frecuencias observada y esperada. Mientras ms cercanos estn estos valores, menor ser el valor de (O E)2 mientras ms alejados, mayor ser el valor de (O E)2. El denominador para cada celda pone el tamao del numerador en perspectiva; esto es: una diferencia (O E) de 10 que resulte de frecuencias de 110 (O) y 100 (E) es muy diferente de una diferencia de 10 que resulte de 15 (O) y 5 (E). Estas ideas sugieren que pequeos valores de ji cuadrada indican concordancia entre los dos conjuntos de frecuencias, mientras que valores ms grandes indican desacuerdo. 3RU WDQWR VHDFRVWXPEUDTXHHVWDVSUXHEDV VHDQGHXQDFRODFRQ OD UHJLyQFUtWLFDD OD derecha. En muestreo repetido, el valor calculado de 2+ en la frmula (11.1) tendr una distribucin muestral que puede aproximarse mediante la distribucin de probabilidad ji cuadrada cuando n es grande. Esta aproximacin generalmente se considera adecuada cuando todas las frecuencias esperadas son iguales a o mayores que 5. Recuerde que las distribuciones ji cuadradas, como las distribuciones t de Student, son una familia de dis- WULEXFLRQHVGHSUREDELOLGDGHVFDGDXQDLGHQWLFDGDFRQHOQ~PHURGHSDUiPHWURGHgra- dos de libertadJO(OYDORUDGHFXDGRGHJOVHGHVFULELUiFRQFDGDSUXHEDHVSHFtFD&RQ ODQDOLGDGGHXVDUODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGDGHEHHVWDUDOWDQWRGHVXVSURSLHGDGHVTXH VHPHQFLRQDURQHQODVHFFLyQGHODSiJLQD&RQVXOWDWDPELpQODJXUD/RV YDORUHVFUtWLFRVSDUDMLFXDGUDGDVHREWLHQHQGHODWDEODGHODSpQGLFH%(QODVHFFLyQ VHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSS Suposicin para usar ji cuadrada para hacer inferencias con base en datos enumerativos La informacin muestral se obtiene usando una muestra alea- toria extrada de una poblacin en la que cada individuo se clasifica de acuerdo con la variable categrica involucrada en la prueba. 8QDYDULDEOHFDWHJyULFDHVXQDYDULDEOHTXHFODVLFDRFDWHJRUL]DDFDGDLQGLYLGXR en exactamente una de varias celdas o clases; dichas celdas o clases son todas inclusivas y mutuamente excluyentes. La cara hacia arriba de un dado que se rueda es una variable FDWHJyULFDODOLVWDGHUHVXOWDGRV^`HVXQFRQMXQWRGHFDWHJRUtDVWRGDVLQFOX- sivas y mutuamente excluyentes. (QHVWHFDStWXORVHSHUPLWHFLHUWDFDQWLGDGGHOLEHUDOL]DFLyQUHVSHFWRDODKLSyWHVLV QXOD\VXSUXHED(QFDStWXORVSUHYLRVODKLSyWHVLVQXODVLHPSUHIXHXQHQXQFLDGRDFHUFD de un parmetro poblacional (, o p). Sin embargo, existen otros tipos de hiptesis que pueden ponerse a prueba, como "este dado es justo" o "la estatura y el peso de los LQGLYLGXRVVRQLQGHSHQGLHQWHV2EVHUYDTXHWDOHVKLSyWHVLVQRVRQDUPDFLRQHVDFHUFD GHXQSDUiPHWURDXQTXHHQRFDVLRQHVSRGUtDQHQXQFLDUVHFRQYDORUHVGHSDUiPHWURVHV- SHFtFRV 6XSyQTXHVHDUPDHVWHGDGRHVMXVWRp = PFXDOTXLHUQ~PHUR \TXLHUHVSR- QHUDSUXHEDODDUPDFLyQ4XpKDUtDV"7XUHVSXHVWDIXHDOJRFRPRURGDUHVWHGDGR PXFKDV YHFHV \ UHJLVWUDU ORV UHVXOWDGRV" 6XSyQ TXH GHFLGHV URGDU HO GDGR YHFHV 6LHOGDGRHVMXVWRTXpHVSHUDVTXHVXFHGD"&DGDQ~PHURGHEHDSDUHFHU aproximadamente del tiempo (esto es: 10 veces). Si sucede que aproximadamente 10 GHFDGDQ~PHURDSDUHFHFLHUWDPHQWHDFHSWDUiVODDUPDFLyQGHHTXLGDGp = para cada YDORU6LVXFHGHTXHHOGDGRSDUHFHIDYRUHFHUDOJXQRVQ~PHURVSDUWLFXODUHVUHFKD]DUiV ODDUPDFLyQ(OHVWDGtVWLFRGHSUXHEDFDOFXODGR2+ tendr un valor grande en este caso, como se ver pronto.) 1 6 1 6 1 6 www.fullengineeringbook.net 547 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 1 . 1 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales [EX00-000] LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPEl anterior problema del dado es una buena ilustracin de un experimento multinomial. &RQVLGHUDQXHYDPHQWHHVWHSUREOHPD6XSyQTXHTXLHUHVSRQHUDSUXHEDHVWHGDGRHQ \GHFLGLUVLIDOODUHQUHFKD]DURUHFKD]DUODDUPDFLyQHVWHGDGRHVMXVWR/D SUREDELOLGDGGHFDGDQ~PHURHV(OGDGRVHUXHGDGHVGHXQDWD]DKDFLDXQDVXSHUFLH plana lisa 60 veces, con las siguientes frecuencias observadas: Nmero 1 2 3 4 5 6 Frecuencia observada 7 12 10 12 8 11 La hiptesis nula de que el dado es justo se supone es verdadera. Esto permite calcular las frecuencias esperadas. Si el dado es justo, ciertamente esperas 10 ocurrencias de cada Q~PHUR Ahora calcula un valor observado de 2. Dichos clculos se muestran en la tabla 11.2. El valor calculado es 2+ = 2.2. 11.1 [EX11-001] &RQUHIHUHQFLDDODPXHVWUDGHDGXOWRV HQFXHVWDGRVHQHO&yPRHQIULDUXQVDERUPX\SLFDQWHGHOD seccin 11.1 (p. 544): D 4XpLQIRUPDFLyQVHUHFROHFWyGHFDGDDGXOWRHQ ODPXHVWUD" E 'HQHODSREODFLyQ\ODYDULDEOHLQYROXFUDGDHQOD muestra. F &RQORVGDWRVPXHVWUDOHVFDOFXODSRUFHQWDMHVSDUDORV diferentes mtodos de enfriarse la boca. 11.2&RQUHIHUHQFLDDODPXHVWUDGHDGXOWRVHQFXHVWDGRV HQHO&yPRHQIULDUXQVDERUPX\SLFDQWHGHODVHFFLyQ \ODJUiFDTXHORDFRPSDxD$SDJDUHOIXHJR D &yPRORVSRUFHQWDMHVPXHVWUDOHVFDOFXODGRVHQHOLQFLVR c del ejercicio 11.1 se comparan con los porcentajes en la JUiFD$SDJDUHOIXHJR" E &RQVWUX\HXQDJUiFDGHEDUUDVYHUWLFDOHVGHORV adultos usando frecuencias relativas para la escala verti- FDO7UDWDHOIDOWDQWHHQ$SDJDUHOIXHJRFRPROD FDWHJRUtD2WUR F 6REUHSyQODJUiFDGHEDUUDVGH$SDJDUHOIXHJRVREUH ODJUiFDGHEDUUDVGHOLQFLVRE G 'LUtDVTXHODGLVWULEXFLyQGHODPXHVWUDSDUHFHVLPLODU a" o "muy diferente de" la distribucin que se muestra en ODJUiFD$SDJDUHOIXHJR"([SOLFDWXUHVSXHVWD 11.3&RQODWDEODGHODSpQGLFH%HQFXHQWUDORVLJXLHQWH a. 2(10, 001) b. 2(12, 0.025) c. 2(10, 0.95) d. 2(22, 0.995) 11.4 (QFXHQWUD HVWRV YDORUHV FUtWLFRV XVDQGR OD WDEOD GHO DSpQGLFH% a. 2 b. 2(16, 0.025) c. 2(40, 0.10) d. 2(45, 0.01) 11.5&RQODQRWDFLyQTXHYLVWHHQHOHMHUFLFLRPHQFLRQD \HQFXHQWUDORVYDORUHVFUtWLFRVGH2. 11.6 &RQODQRWDFLyQTXHYLVWHHQHOHMHUFLFLRPHQFLRQD \HQFXHQWUDORVYDORUHVFUtWLFRVGH2. 1 6 Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales = 0.01 n = 15 a. = 0.05 n = 26 b. = 0.05 n = 8 a. = 0.01 n = 19 b. = 0.05 n = 28 c. = 0.01 n = 10 d. www.fullengineeringbook.net 548 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada Nota: (O E) debe ser igual a cero porque O = E = n. Puedes usar este hecho como comprobacin, como se muestra en la tabla 11.2. Ahora usar el familiar formato de prueba de hiptesis. PASO 1 a. Parmetro de inters: la probabilidad con la que cada lado queda hacia arriba. P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6) b. Enunciado de hiptesis: H o : El dado es justo (cada p = ). H a : El dado no es justo (al menos una p es diferente de las otras). PASO 2 a. Suposiciones: los datos se recolectaron en forma aleatoria y cada resultado HVXQRGHORVVHLVQ~PHURV b. Estadstico de prueba: la distribucin ji cuadrada y la frmula (11.1), con gl = k 1 = 6 1 = 5 En un experimento multinomial, gl = k 1, donde kHVHOQ~PHURGHFHOGDV F1LYHOGHVLJQLFDQFLD = 0.05 PASO 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 11.2. b. Estadstico de prueba calculado: con la frmula (11.1), se tiene 2+ = (O E)2: 2+ = 2.2 (los clculos se muestran en la tabla 11.2) PASO 4 La distribucin de probabilidad: Nmero Observado (O) Esperado (E) O E (O E)2 (O E)2 1 7 10 3 9 0.9 2 12 10 2 4 0.4 3 10 10 0 0 0.0 4 12 10 2 4 0.4 5 8 10 2 4 0.4 6 11 10 1 1 0.1 Total 60 60 0 ck 2.2 TABLA 11.2 Clculos para 2 1 6 todas las celdas E Valor p: a. 8VDODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYDORUHVPiVJUDQGHV de ji cuadrada no concuerdan con la hiptesis nula: P = P(2+ > 2.2 |JO FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 8VD OD WDEOD DSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDVVREUH el valor p: 0.75 < P < 0.90. 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDHQFRQWUDUHO valor p: P = 0.821. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD b. El valor pQRHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD. Clsico: a. /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYD- lores "ms grandes" de ji cuadrada no concuerdan FRQODKLSyWHVLVQXOD(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH OD WDEODHQ OD LQWHUVHFFLyQGH ODODJO \ OD columna = 0.05. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSiJLQDV 454-455. b. 2+QRHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ azul ocuroHQODJXUD o E 0 2.2 5 2 p -value valor p 0 5 2 = 0.05 11.1 2.2 a 2(5, 0.05) = 11.1 www.fullengineeringbook.net 549 PTI Los comandos de computadora y calcula- dora para encontrar la probabilidad asociada con un valor ji cuadra- da especfico pueden encontrarse en el cap- tulo 9 (pp. 455-456). PASO 5 a. Decisin: fallar en rechazar H o . b. Conclusin:HQHOQLYHOGHFRQDQ]DODVIUHFXHQFLDVREVHUYDGDVQRVRQ VLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHVGHORVHVSHUDGRVGHXQGDGRMXVWR $QWHVGHREVHUYDURWURVHMHPSORVGHEHVGHQLUHOWpUPLQRH[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO y establecer los lineamientos para completar la prueba ji cuadrada para l. Experimento multinomial Un experimento multinomial tiene las siguientes ca- ractersticas: 1. Consiste en n ensayos independientes idnticos. 2. El resultado de cada ensayo encaja exactamente en una de k posibles celdas. 3. Existe una probabilidad asociada con cada celda particular y dichas pro- babilidades individuales permanecen constantes durante el experimento. (Debe ser el caso que p1 + p2 + . . . + pk = 1.) 4. El experimento resultar en un conjunto de k frecuencias observadas, O1, O2, . . ., Ok donde cada Oi es el nmero de veces que un resultado de en- sayo cae en dicha celda particular. (Debe ser el caso que O1 + O2 + . . . + Ok = n.) (O HMHPSOR GHO GDGR VDWLVIDFH OD GHQLFLyQ GH XQ H[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO SRUTXH WLHQHODVFXDWURFDUDFWHUtVWLFDVGHVFULWDVHQODGHQLFLyQ 1. El dado se rueda n (60) veces en forma idntica y dichos ensayos fueron indepen- dientes unos de otros. (El resultado de cada ensayo no fue afectado por los resulta- dos de otros ensayos.) &DGDYH]TXHHOGDGRVHUXHGDUHVXOWDXQRGHVHLVQ~PHURV\FDGDQ~PHURVHDVRFLy con una celda. 3. La probabilidad asociada con cada celda fue y esto fue constante de ensayo a en- sayo. (Seis valores de suman 1.0.) &XDQGRHOH[SHULPHQWRVHFRPSOHWDVHWLHQHXQDOLVWDGHVHLVIUHFXHQFLDV \TXHVXPDQORTXHLQGLFDTXHFDGDXQRGHORVUHVXOWDGRVVHWRPyHQ cuenta. El procedimiento de prueba para experimentos multinomiales es muy similar al proce- GLPLHQWRGHSUXHEDGHVFULWRHQFDStWXORVDQWHULRUHV(OPD\RUFDPELRYLHQHFRQHOHQXQ- ciado de la hiptesis nula. Puede ser un enunciado verbal, como en el ejemplo del dado: HVWHGDGRHVMXVWR&RQIUHFXHQFLDODDOWHUQDWLYDDODKLSyWHVLVQXODQRVHHQXQFLD6LQ embargo, en este libro se mostrar la hiptesis alternativa, porque ayuda en la organizacin \FRPSUHQVLyQGHOSUREOHPD1RREVWDQWHQRVHXVDUiSDUDGHWHUPLQDUODXELFDFLyQGHOD UHJLyQFUtWLFDFRPRIXHHOFDVRHQFDStWXORVDQWHULRUHV3DUDH[SHULPHQWRVPXOWLQRPLDOHV VLHPSUHVHXVDUiXQDUHJLyQFUtWLFDGHXQDFROD\VHUiODFRODGHUHFKDGHODGLVWULEXFLyQ2 porque desviaciones ms grandes (positiva o negativa) de los valores esperados conduce a un aumento en el valor 2+ calculado. (OYDORUFUtWLFRVHGHWHUPLQDUiSRUHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDDVLJQDGR\HOQ~PHUR GHJUDGRVGHOLEHUWDG(OQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDGJOVHUiPHQRVTXHHOQ~PHURGH celdas (k) en el que se dividen los datos: Grados de libertad para experimentos multinomiales &DGDIUHFXHQFLDHVSHUDGDE i VHGHWHUPLQDUiDOPXOWLSOLFDUHOQ~PHURWRWDOGHHQVD\RVn por la probabilidad correspondiente (p i ) para dicha celda; esto es, (11.2) gl = k 1 Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales 1 6 1 6 www.fullengineeringbook.net 550 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada Valor esperado para experimentos multinomiales 8QOLQHDPLHQWRGHEHVDWLVIDFHUVHSDUDJDUDQWL]DUXQDEXHQDDSUR[LPDFLyQDODGLVWUL- bucin ji cuadrada: cada frecuencia esperada debe ser al menos 5 (es decir: cada E i A veces es posible combinar celdas "ms pequeas" para satisfacer este lineamiento. Si este lineamiento no puede satisfacerse, entonces deben usarse medidas correctivas para garantizar una buena aproximacin. Dichas medidas correctivas no se cubren en este libro, pero se estudian en muchas otras fuentes. E J E M P L O 1 1 . 1 UNA PRUEBA DE HIPTESIS MULTINOMIAL CON IGUALES FRECUENCIAS ESPERADAS Los estudiantes universitarios por lo general insisten en la libertad de eleccin cuando registran sus cursos. Este semestre hubo siete secciones de un curso par- ticular de matemticas. Las secciones se programaron para reunirse en varios momentos con diferentes profesores. La tabla 11.3 muestra el nmero de estu- diantes que seleccionaron cada una de las siete secciones. Los datos indican que los estudiantes tienen una preferencia por ciertas secciones, o indican que cada seccin fue igualmente probable de ser elegida? Solucin Si en la seleccin de secciones no se mostraron preferencias, entonces se esperara que los 119 estudiantes estuvieran igualmente distribuidos entre las siete clases: esperaras que 17 estudiantes se registraran en cada seccin. La prueba de hiptesis se completa en el nivel de significancia de 5%. Paso 1 a. Parmetro de inters: preferencia por cada seccin, la probabili- dad de que una seccin particular se seleccione en el momento de registrarse. b. Enunciado de hiptesis: Ho: No se muestra preferencia (igualmente distribuidos). Ha: S se muestra preferencia (no igualmente distribuidos). Paso 2 a. Suposiciones: los 119 estudiantes representan una muestra aleato- ria de la poblacin de todos los estudiantes que se registran para este curso particular. Dado que no se introducen nuevas regulacio- nes en la seleccin de los cursos y el registro parece proceder en su patrn usual, no hay razn para creer que esto es distinto de una muestra aleatoria. (11.3) Ei = n U pi TABLA 11.3 Datos de inscripciones en seccin Seccin 1 2 3 4 5 6 7 Total Nmero de estudiantes 18 12 25 23 8 19 14 119 www.fullengineeringbook.net 551 Las conclusiones deben enunciarse cuidadosamente para evitar sugerir conclusiones que no puedan apoyar los datos. 1RWRGRVORVH[SHULPHQWRVPXOWLQRPLDOHVUHVXOWDQHQLJXDOHVIUHFXHQFLDVHVSHUDGDV como vers en el ejemplo 11.2. b. Estadstico de prueba: La distribucin ji cuadrada y la frmula (11.1), con gl = 6 c. Nivel de significancia: = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 11.3 (p. 550). b. Calcula el estadstico de prueba: con la frmula (11.1), se tiene 2+ = (O E)2 : 2+ = (18 17) 2 + (12 17) 2 + (25 17) 2 E 17 17 17 + (23 17) 2 + (8 17) 2 + (19 17) 2 + (14 17) 2 17 17 17 17 = (1) 2 + (5)2 + (8)2 + (6)2 + (9)2 + (2)2 + (3)2 17 = 1 + 25 + 64 + 36 + 81 + 4 + 9 = 220 = 12.9411 17 17 = 12.94 Paso 4 La distribucin de probabilidad: todas las celdas Valor p: a. 8VD OD FROD GHUHFKD SRUTXH ORV YDORUHVPiV grandes" de ji cuadrada no concuerdan con la hi- ptesis nula: P = P(2+ > 12.94 | gl = 6), como se muestra en la JXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDSRQHUFRWDVVR- bre el valor p: 0.025 < P < 0.05. 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDHQFRQ- trar el valor p: P = 0.044. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD b. El valor pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD. Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, s parece mostrarse una preferencia. A partir de la informacin dada, no es posible determinar cul es la preferencia. Podra ser una preferencia por el profesor, preferencia por el horario o un conflicto de programacin. o Clsico: a. /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXHORV valores "ms grandes" de ji cuadrada no con- FXHUGDQFRQODKLSyWHVLVQXOD(OYDORUFUtWLFRVH REWLHQHGHODWDEODHQODLQWHUVHFFLyQGHODOD gl = 6 y la columna = 0.05: 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODVSiJLQDV 454-455. b. 2+HVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUD en azul oscuroHQODJXUD valor p Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales 0 6 12.94 2 0 6 12.6 2 12.94 2 (6, 0.05) = 12.6 = 0.05 www.fullengineeringbook.net 552 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada E J E M P L O 1 1 . 2 UNA PRUEBA DE HIPTESIS MULTINOMIAL CON FRECUENCIAS ESPERADAS DESIGUALES La teora mendeliana de la herencia afirma que las frecuencias de guisan- tes redondo y amarillo, arrugado y amarillo, redondo y verde y arrugado y verde ocurrirn en la razn 9:3:3:1 cuando se cruzan dos variedades especficas de guisantes. Al poner a prueba esta hiptesis, Mendel obtuvo frecuencias de 315, 101, 108 y 32, respectivamente. Estos datos mues- trales brindan suficiente evidencia para rechazar la hiptesis en el nivel de significancia 0.05? Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: las proporciones: P(redondo y amarillo), P(arrugado y amarillo), P(redondo y verde), P(arrugado y verde) b. Enunciado de hiptesis: Ho: 9:3:3:1 es la razn de herencia. Ha: 9:3:3:1 no es la razn de herencia. Paso 2 a. Suposiciones: se supondr que los resultados de Mendel forman una muestra aleatoria. b. Estadstico de prueba: la distribucin ji cuadrada y la frmula (11.1), con gl = 3 c. Nivel de significancia: = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: las frecuencias observadas fueron: 315, 101, 108 y 32. b. Estadstico de prueba calculado: la razn 9:3:3:1 indica proba- bilidades de 9, 3 , 3 y 1 . 16 16 16 16 Por tanto, las frecuencias esperadas son 9n, 3n, 3n y 1n . Se tiene 16 16 16 16 n = Oi = 315 + 101 + 108 + 32 = 556 Los clculos para obtener 2+ se muestran en la tabla 11.4. Paso 4 La distribucin de probabilidad: Valor p: a. 8VDODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYDORUHVPiVJUDQGHV de ji cuadrada no concuerdan con la hiptesis nula: TABLA 11.4 Clculos necesarios para calcular 2+ todas las celdas O E O E (O E)2 315 312.75 2.25 0.0162 101 104.25 3.25 0.1013 108 104.25 3.75 0.1349 32 34.75 2.75 0.2176 556 556.00 0 ck 0.4700 2+ = (0 E) 2 = 0.47 E o Clsico: a. /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYDORUHV "ms grandes" de ji cuadrada no concuerdan con la 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP E www.fullengineeringbook.net 553 TI-84 Plus* MINITAB Excel Escribe las frecuencias observadas en C1. Si realizas una prueba con frecuencias esperadas desiguales, escribe las proporciones especficas en C2. Despus contina con: Elige: Stat > Tables > Chi-Square Goodness-of-Fit Test (One Variable) . . . Escribe: Conteos observados: C1 Selecciona: Equal Proportions > OK o Specific Proportions Escribe: C2 > OK Escribe las frecuencias observadas en la columna A y las correspondientes frecuencias observa- das en la columna B. (Puedes usar Excel para convertir probabilidades en frecuencias espera- das.) Despus contina con: Elige: Insert function, fx > Statistical > CHITEST > OK Escribe: Rango real: (A1:A6 o selecciona celdas) Rango esperado: (B1:B6 o selecciona celdas) > OK El resultado de Excel slo proporciona el valor p para la prueba. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E B O N D A D D E A J U S T E Escribe las frecuencias observadas en L1 y las frecuencias esperadas en L2; despus contina con: Elige: STAT > TESTS > D:x2 GOF-Test . . . Escribe: Observada: L1 Esperada: L2 gl: k 1 P = P(2+ > 0.47 | gl = 3) como se muestra en ODJXUD3DUD HQFRQWUDU HOYDORUp, tienes dos opciones: 8VDOD WDEODDSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDV sobre el valor p: 0.90 < P < 0.95. 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDHQFRQ- trar el valor p: P = 0.925. 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV FRQVXOWD OD SiJLQD b. El valor pQRHVPHQRUTXHHOQLYHOGH VLJQL- cancia, . KLSyWHVLVQXOD(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGHODWD- EODHQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \ODFROXP- na = 0.05: 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV FRQVXOWD ODV SiJLQDV 454-455. b. 2+HVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ azul oscuroHQODJXUD Paso 5 a. Decisin: fallar para rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, no hay suficiente evi- dencia para rechazar la hiptesis de Mendel. valor p Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales 0 3 0.47 0.47 0 7.81 3 = 0.05 2 (3, 0.05) = 7.81 www.fullengineeringbook.net 554 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada E J E M P L O A P L I C A D O 1 1 . 3 E J E M P L O A P L I C A D O 1 1 . 4 DAS DE NACIMIENTO La Ofi cina del Censo recolecta datos para mu- chas variables. La informacin proporcionada con la grfi ca acompaante se basa en el cen- so estadounidense y encaja en el formato de un experimento multinomial. Verifi ca que estos datos califi can como un experimento multinomial (con- sulta el ejercicio 11.7). DESCARGAS QU? La grfi ca "Adolescentes y descargas" muestra los resulta- dos de la encuesta a personas de 8 a 18 aos de edad acerca de lo que descargan con sus telfonos celulares. Esta informacin no califi ca como un experimento multinomial. Cul propiedad se viola? (Consulta el ejercicio 11.8.) Resalta: Calculate > ENTER *La prueba de bondad de ajuste slo est disponible en la TI-84 Plus. Tonos 91% Juegos 53% Salvapantallas 44% MP3 10% Video 2% Adolescentes y descargas Para 33% de los estadounidenses con edades de 8 a 18 y que poseen telfonos celulares, las caractersticas especiales son puntos favorables. Para descargas adicionales, eligen: Fuente: Datos de Justin Dickerson y Adrienne Lewis. 2005 USA Today Das ms populares para bebs Fuente: Census Bureau por Anne R. Carey y Ron Coddington, USA TODAY El da ms popular de la semana para que los bebs estadounidenses entren al mundo es el martes, con casi 13 000 nacimientos en promedio. El da ms tranquilo: domingo. www.fullengineeringbook.net 555 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 1 . 2 11.79HULFDTXHHOHMHPSORDSOLFDGR'tDVGHQDFLPLHQ- WRSHVXQH[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO6pHVSHFtFR D &XiOHVXQHQVD\R" E &XiOHVODYDULDEOH" F &XiOHVVRQORVSRVLEOHVQLYHOHVGHORVUHVXOWDGRVGHFDGD HQVD\R" 11.83RUTXp OD LQIRUPDFLyQTXHVHPXHVWUDHQHOHMHPSOR DSOLFDGR'HVFDUJDVTXp"GHODSiJLQDQRHVODGH XQH[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO"6pHVSHFtFR 11.9 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRV D /RVFLQFRQ~PHURV\VRQLJXDOPHQWHSURED- bles de extraer. E /DSUHJXQWDGHRSFLyQP~OWLSOHWLHQHXQDKLVWRULDGHHVWX- diantes que seleccionan respuestas en la razn de 2:3:2:1. F /DHQFXHVWDPRVWUDUiXQDGLVWULEXFLyQGH\ SDUDODVSRVLEOHVFODVLFDFLRQHVGHH[FHOHQWHELHQDGH- cuado y pobre en esa materia. 11.10 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRV a. Las cuatro opciones son todas igualmente probables. E /DHQFXHVWDPRVWUyODVGLVWULEXFLRQHVGHSDUWLGRSROtWLFR GH\SDUDUHSXEOLFDQRVGHPyFUDWDVHLQGH- pendientes, respectivamente. c. Las respuestas favorables respecto a la sustentabilidad y los cuatro intervalos de generacin designados estuvieron HQODUD]yQGH 11.11 Determina el valor p para las siguientes pruebas de hi- ptesis que involucran la distribucin 2. a. H o : P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0.25 con 2+ = 12.25 b. H o : P(I) = 0.25, P(II) = 0.40, P(III) = 0.35 con 2+ 11.12'HWHUPLQDHOYDORUFUtWLFR\ODUHJLyQFUtWLFDTXHXVDUtDV en el mtodo clsico para poner a prueba la hiptesis nula para cada uno de los siguientes experimentos multinomiales. a. H o : P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0.25 con = 0.05 b. H o : P(I) = 0.25, P(II) = 0.40, P(III) = 0.35 con = 0.01 11.13 Explica cmo 9:3:3:1 se convierte en , , y en el ejemplo 11.2 de las pginas 552-553. 11.14([SOLFDFyPRVHREWXYLHURQ\HQOD SULPHUDODGHODWDEODGHODSiJLQD 11.158QIDEULFDQWHGHSXOLGRUGHSLVRVUHDOL]yXQH[SHULPHQ- to de preferencia del consumidor para determinar cul de los cinco diferentes pulidores de pisos era el ms atractivo en apa- ULHQFLD8QDPXHVWUDGHFRQVXPLGRUHVYLRFLQFRSDUFKHV GHVXHORTXHKDEtDQUHFLELGRXQRGHORVFLQFRSXOLGRUHV&DGD FRQVXPLGRULQGLFyHOSDUFKHTXHSUHIHUtD/DLOXPLQDFLyQ\HO fondo eran aproximadamente iguales para todos los parches. Los resultados fueron los siguientes: Pulidor A B C D E Total Frecuencia 27 17 15 22 19 100 Resuelve lo siguiente usando el mtodo de valor p y el mtodo clsico: a. Enuncia la hiptesis para "no preferencia" en terminolo- JtDHVWDGtVWLFD E 4XpHVWDGtVWLFRGHSUXHEDXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHED HVWDKLSyWHVLVQXOD" F &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLVFRQ = 0.10. 11.16 Los dulces Skittles Original Fruit de una mordida son dulces multicolores en una bolsa y puedes "saborear el arco iris" con sus cinco colores y sabores: verde-lima, morado-uva, amarillo-limn, anaranjado-naranja, rojo-fresa. A diferencia de algunos de los otros dulces multicolores disponibles, Skittles DUPDTXHVXVFLQFRFRORUHVVRQLJXDOPHQWHSUREDEOHV&RQOD LQWHQFLyQGHUHFKD]DUHVWDDUPDFLyQFRPSUDVXQDEROVDGH oz de Skittles y cuentas los colores: Rojo Anaranjado Amarillo Verde Morado 18 21 23 17 27 (VWDPXHVWUDFRQWUDGLFHODDUPDFLyQGH6NLWWOHVHQHOQLYHO " a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.178QDLQVWDQWiQHDGHO86$7RGD\ del 16 de octubre de WLWXODGD/DVFRQYHUVDFLRQHVS~EOLFDVSRUWHOpIRQRFH- OXODUVRQJURVHUDV"UHSRUWyORVVLJXLHQWHVUHVXOWDGRVGHXQD HQFXHVWDGH)R[795DVPXVVHQ5HSRUWV FRQWLQ~DHQODSiJLQD 9 16 3 16 3 16 1 16 Respuesta encuesta Porcentaje S 51 No 37 No seguro 12 Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales www.fullengineeringbook.net 556 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada &RPRPLHPEURGHO&RPLWpGH&LYLOLGDGGHWXHVFXHODGHFLGHV realizar una encuesta de estudiantes respecto a este tema. La siguiente tabla muestra las respuestas de 300 estudiantes: /DGLVWULEXFLyQGHUHVSXHVWDVGHORVHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV GLHUH VLJQLFDWLYDPHQWH GH ORV UHVXOWDGRV SXEOLFDGRV GH OD HQFXHVWD"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH 11.18 La atencin a la salud nacional actualmente es un gran SUREOHPDSDUD ORV HVWDGRXQLGHQVHV(O DUWtFXORGHOUSA To- GD\ del 21 de octubre de 2009, "Encuesta: Estadounidenses nerviosos por cambios a la atencin a la salud", report los VLJXLHQWHVSRUFHQWDMHVUHVSHFWRD5HTXLVLWRVGHODVFRPSDxtDV aseguradoras que usted debe cumplir para obtener la cobertura de ciertos tratamientos" si se aprueba una iniciativa de ley de atencin a la salud: 8QPHV GHVSXpV GXUDQWH RFWXEUH VH UHDOL]y RWUD HQ- cuesta de 1 521 adultos. Estos puntos de vista se categorizan en la siguiente tabla. (QHO QLYHO GH VLJQLFDQFLD ODGLVWULEXFLyQGHSXQWRV GHYLVWD FDPELD VLJQLFDWLYDPHQWHGH VHSWLHPEUHGHD RFWXEUHGH" 11.19&LHUWRWLSRGHVHPLOODGHRUSURGXFLUiRUHVPDJHQWD FKDUWUHXVH\RFUHHQODUD]yQXQDRUSRUVHPLOOD8Q total de 100 semillas se plantan y todas germinan, lo que pro- duce los siguientes resultados. Resuelve lo siguiente usando el mtodo de valor p y el mtodo clsico: D 6LODKLSyWHVLVQXODHVYHUGDGHUDFXiOHVHOQ~- PHURHVSHUDGRGHRUHVPDJHQWD" E &XiQWRVJUDGRVGHOLEHUWDGVHDVRFLDQFRQMLFXDGUDGD" F &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLVXVDQGR = 0.10. 11.20 El comportamiento forrajero de aves se estudiar en XQERVTXHDGPLQLVWUDGRTXHFRQWLHQHDEHWR'RXJODVGH YROXPHQGHGRVHOSLQRSRQGHURVD\JUDQDEHWR 6HREVHUYDURQWUHSDWURQFRVSHFKRURMRFRQHQDEHWRV Douglas, 92 en pinos ponderosa y 41 en gran abeto. La hip- tesis nula a poner a prueba es: las aves forrajean al azar sin importar la especie de rbol. a. Enuncia la hiptesis alternativa. E 'HWHUPLQDORVYDORUHVHVSHUDGRVSDUDHOQ~PHURGHDYHV que forrajean cada especie de rbol. F &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLVXVDQGR = 0.05 y enun- cia cuidadosamente la conclusin. 11.218QJUDQ VXSHUPHUFDGRFRPHUFLDOL]DFXDWURFDOLGDGHV de carne molida. Se cree que los clientes compran estas cua- tro variedades con probabilidades de 0.10, 0.30, 0.35 y 0.25, UHVSHFWLYDPHQWHGHODYDULHGDGPHQRVDODPiVFRVWRVD8QD muestra de 500 compras result en ventas de 46, 162, 191 y GHODVFDOLGDGHVUHVSHFWLYDV(VWDPXHVWUDFRQWUDGLFHODV SURSRUFLRQHVHVSHUDGDV"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.22 [EX11-22]8QRGHORVSULQFLSDOHVEHQHFLRVGHOFRUUHR electrnico es que posibilita la comunicacin rpida sin tener XQDVHxDORFXSDGDRQRUHVSXHVWDGRVGHODVSULQFLSDOHVFUt- WLFDVGHODVOODPDGDVWHOHIyQLFDV3HURHOFRUUHRHOHFWUyQLFR triunfa para ayudar a las personas a resolver los problemas que WLHQHQDOWUDWDUGHFRUUHUVRIWZDUHGHFRPSXWDGRUD"8QHVWXGLR recab las opiniones de consumidores que trataron de usar el correo electrnico para obtener ayuda al publicar un mensaje HQOtQHDDORVIDEULFDQWHVGHVXV3&RUHSUHVHQWDQWHVDXWRUL]D- dos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Resultado de consulta en lnea Porcentaje Nunca obtuvo respuesta 14 Obtuvo respuesta, pero no ayud 30 Respuesta ayud, pero no resolvi problema 34 Respuesta resolvi problema 22 &RPRJHUHQWHGHPDUNHWLQJGHXQJUDQIDEULFDQWHGH3&GHFL- des realizar una encuesta de tus clientes para comparar tus re- gistros de correo electrnico contra los resultados publicados. Para garantizar una comparacin justa, eliges usar el mismo cuestionario y examinas las devoluciones de 500 clientes que trataron de usar el correo electrnico para conseguir ayuda de tu equipo de apoyo tcnico. Los resultados son los siguientes: Resultado de consulta en lnea Nmero respuestas Nunca obtuvo respuesta 35 Obtuvo respuesta, pero no ayud 102 Respuesta ayud, pero no resolvi problema 125 Respuesta resolvi problema 238 Total 500 EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPRespuesta sondeo Nmero S 126 No 118 No seguro 56 Punto de vista Sep. 11-13 Porcentaje Ser mejor 22% No cambia 35% Ser peor 38% No sabe 5% Punto de vista Oct. 16-19 Nmero Ser mejor 380 No cambia 380 Ser peor 700 No sabe 61 Magenta Chartreuse Ocre 52 36 12 Fuente: PC World, "PC Worlds Reliability and Service Survey" www.fullengineeringbook.net 557 /D GLVWULEXFLyQ GH UHVSXHVWDV GLHUH GH OD GLVWULEXFLyQ RE- WHQLGDGHODHQFXHVWDSXEOLFDGD"3RQDSUXHEDHQHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.23 [EX11-23] 1XUVLQJ0DJD]LQH report los resultados GHXQDHQFXHVWDGHPiVGHHQIHUPHUDVDWUDYpVGHOSDtV en cuanto a la satisfaccin y la conservacin laboral. Enfer- meras de hospitales imn (hospitales que atraen y conservan enfermeras exitosamente) describen la situacin de dotacin de personal en sus unidades de la siguiente manera: Situacin dotacin personal Porcentaje 1. Desesperadamente falta ayuda, atencin a pacientes sufri 12 2. Falta, pero atencin a pacientes no sufri 32 3. Adecuada 38 4. Ms que adecuada 12 5 Excelente 6 8QDHQFXHVWDGHHQIHUPHUDVGHKRVSLWDOHVQRLPiQGLRODV siguientes respuestas a la situacin de dotacin de personal. Situacin dotacin personal 1 2 3 4 5 Nmero 165 140 125 50 20 /RV GDWRV LQGLFDQ TXH ODV HQIHUPHUDV GH ORV KRVSLWDOHV QR LPiQ WLHQHQ XQD GLIHUHQWH GLVWULEXFLyQ GH RSLQLRQHV"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.24 [EX11-24]8QSURJUDPDSDUDJHQHUDUQ~PHURVDOHD- torios en una computadora se pondr a prueba. Se instruye al SURJUDPDDJHQHUDUHQWHURVGHXQVRORGtJLWRHQWUH\ Las frecuencias de los enteros observados son las siguientes: Entero 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia 11 8 7 7 10 10 8 11 14 14 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHVXFLHQWHUD]yQSDUD FUHHUTXHORVHQWHURVQRVHJHQHUDQGHPDQHUDXQLIRUPH" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.25 [EX11-25] 6DOLUGHGHXGDVSDVRDSDVRXQDUWtFXOR del 86$7RGD\ del 29 de abril de 2005, report resultados de una encuesta de 260 miembros de la Financial Planning Asso- FLDWLRQ/RVSODQLFDGRUHVQDQFLHURVUHSRUWDURQFDGDXQROR TXHFRQVLGHUDEDQHUDHOSDVRPiVYDOLRVRTXHODJHQWHSRGtD GDUSDUDPHMRUDUVXYLGDQDQFLHUD 8QDHQFXHVWDGHSODQLFDGRUHVQDQFLHURVGHXQiUHDPH- tropolitana en la parte norte del estado dieron las siguientes respuestas a la pregunta "el paso ms valioso". Respuesta a pregunta 1 2 3 4 5 6 7 Nmero 10 13 13 8 9 3 4 /RVGDWRVLQGLFDQTXHORVSODQLFDGRUHVQDQFLHURVGHOiUHD metropolitana en la parte norte del estado tienen una diferente GLVWULEXFLyQGHRSLQLRQHV"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.26 [EX11-26] El censo estadounidense descubri que los EHEpVOOHJDQDOPXQGRHQORVGtDVGHODVHPDQDHQODVSURSRU- ciones que siguen. Da de la semana P(da) Da de la semana P(da) Domingo 0.098 Jueves 0.160 Lunes 0.149 Viernes 0.159 Martes 0.166 Sbado 0.111 Mircoles 0.157 8QDPXHVWUDDOHDWRULD VHOHFFLRQDGDGH ORV UHJLVWURVGHQDFL- miento para una gran rea metropolitana resultaron en los si- guientes datos: Da D L Ma Mi J V S Observado 10 6 9 13 9 17 11 D (VWRVGDWRVSURSRUFLRQDQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DU ODDUPDFLyQORVQDFLPLHQWRVRFXUUHQHQHVWDiUHDPHWURSR- OLWDQDHQODVPLVPDVSURSRUFLRQHVGLDULDVVHJ~QUHSRUWyOD 2FLQDGH&HQVRVGH(VWDGRV8QLGRV"8VD = 0.05. E (VWRVGDWRVSURSRUFLRQDQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUH- FKD]DUODDUPDFLyQORVQDFLPLHQWRVRFXUUHQHQHVWDiUHD PHWURSROLWDQDWRGRVORVGtDVFRQODPLVPDSUREDELOLGDG" 8VD = 0.05. F &RPSDUDORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVHQORVLQFLVRVD\E Enuncia tus conclusiones. 11.27 En referencia a la muestra de 200 adultos encuestados HQHO&yPRHQIULDUXQVDERUPX\SLFDQWHGHODVHFFLyQ \ODJUiFDTXHORDFRPSDxD$SDJDUHOIXHJR /DPXHVWUDGHDGXOWRVPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQTXH HVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHGHODGLVWULEXFLyQTXHVHSUH- VHQWDHQODJUiFD$SDJDUHOIXHJRS"8VD = 0.05. 11.283DUDGHPRVWUDUH[SORUDUHOHIHFWRTXHWLHQHHOWDPDxR muestral creciente sobre el valor ji cuadrada calculado, consi- dera los dulces Skittles del ejercicio 11.16 y muestrea algunas bolsas ms grandes. Paso ms valioso Porcentaje 1. Establecer metas 30 2. Pagar primero a s mismo 21 3. Crear y apegarse a un presupuesto 17 4. Ahorrar regularmente 12 5. Pagar deuda de tarjeta de crdito 7 6. Invertir lo mximo en 401(k) 5 7. Otro 8 Fuente: U.S. Census Bureau FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 11.2 Inferencias concernientes a experimentos multinomiales www.fullengineeringbook.net 558 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada 8QDtabla de contingenciaHVXQDUUHJORGHGDWRVHQXQDFODVLFDFLyQGHGRVYtDV/RV datos se ordenan en celdas y se reporta el conteo de cada celda. La tabla de contingencia LQYROXFUDGRVIDFWRUHVRYDULDEOHV\XQDSUHJXQWDFRP~QFRQFHUQLHQWHDWDOHVWDEODVHV si los datos indican que las dos variables son independientes o dependientes (consulta las SS Dos pruebas diferentes usan el formato de tabla de contingencia. La primera que se estudiar es la SUXHEDGHLQGHSHQGHQFLD. 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia a. Supn que compras una bolsa de 16 oz de Skittles, cuen- tas los colores y observas exactamente la misma propor- cin de colores que encontraste en el ejercicio 11.16: Rojo Anaranjado Amarillo Verde Morado 72 84 92 68 108 &DOFXOD HO YDORU GH ML FXDGUDGD SDUD HVWRV GDWRV &yPR VH relaciona el nuevo valor ji cuadrada con el encontrado en el HMHUFLFLR"4XpHIHFWRWLHQHHVWHQXHYRYDORUVREUHORV UHVXOWDGRVGHODSUXHED"([SOLFD E 3DUDFRQWLQXDUHVWDGHPRVWUDFLyQH[SORUDFLyQVXSyQ TXHFRPSUDVXQDEROVDGHR]FXHQWDVORVFRORUHV\ observas exactamente la misma proporcin de colores que encontraste en el ejercicio 11.16 y el inciso a de este ejercicio. Rojo Anaranjado Amarillo Verde Morado 216 252 276 204 324 &DOFXOD HO YDORU GH ML FXDGUDGD SDUD HVWRV GDWRV &yPR VH relaciona el nuevo valor ji cuadrada con el encontrado en el HMHUFLFLR"([SOLFD F 4XpHIHFWRWLHQHHOWDPDxRGHODPXHVWUDVREUHHOYDORUML cuadrada calculado cuando la proporcin de frecuencias observadas permanece igual conforme aumenta el tamao GHODPXHVWUD" d. Explica en qu forma esto indica que, si se toma una PXHVWUDVXFLHQWHPHQWHJUDQGHODSUXHEDGHKLSyWHVLV eventualmente resultar en un rechazo. 11.29 [EX11-29] 'H DFXHUGR FRQ 7KH+DUULV 3ROO OD SUR- SRUFLyQGHWRGRVORVDGXOWRVTXHYLYHQHQKRJDUHVFRQULHV HVFRSHWDVRSLVWRODVQRKDFDPELDGRVLJ- QLFDWLYDPHQWH6LQHPEDUJRKR\PiVSHUVRQDVYLYHQHQKR- JDUHVVLQDUPDV/RVDGXOWRVHQFXHVWDGRVGLHURQ los siguientes resultados. Todos los Todos los poseedores adultos (%) de armas (%) Tiene rifle, escopeta y pistola (3 de 3) 16 41 Tiene 2 de 3 (rifle, escopeta o pistola) 11 27 Tiene 1 de 3 (rifle, escopeta o pistola) 11 29 No respondi/no est seguro 1 3 Total 39% 100% En una encuesta de 2 000 adultos en Memphis que dijeron SRVHHU DUPDV GLMHURQ TXH SRVHtDQ ORV WUHV WLSRV GLMHURQTXHSRVHtDQGHWLSRVGLMHURQTXHSRVHtDQ GH WLSRV\GHFOLQDURQHVSHFLFDUTXpWLSRVGHDUPDV SRVHtDQ a. Pon a prueba la hiptesis nula de que la distribucin del Q~PHURGHWLSRVHQSRVHVLyQHVODPLVPDHQ0HPSKLV GHORTXHUHSRUWDQDFLRQDOPHQWH7KH+DUULV3ROO8VDXQ QLYHOGHVLJQLFDQFLDLJXDOD E 4XpFDXVyTXHHOYDORUFDOFXODGRGH2+ sea tan gran- GH"3DUHFHFRUUHFWRTXHXQDFHOGDGHEDWHQHUWRGRHVWH HIHFWRVREUHORVUHVXOWDGRV"&yPRSRGUtDFRPSOHWDUVH esta prueba de manera diferente (esperanzadoramente, FRQPiVVLJQLFDGRGHPRGRTXHORVUHVXOWDGRVSXHGDQ QRVHUDIHFWDGRVFRPRORIXHURQHQHOLQFLVRD"6pHVSH- FtFR 11.30 3RU TXp OD SUXHED ML FXDGUDGD JHQHUDOPHQWH HV XQD SUXHEDGHXQDFRODFRQODUHJLyQFUtWLFDHQODFRODGHUHFKD" D 4XpWLSRGHYDORUUHVXOWDUtDVLODVIUHFXHQFLDVREVHUYD- das y las frecuencias esperadas estuvieran muy cercanas HQYDORU"([SOLFDFyPRLQWHUSUHWDUtDVHVWDVLWXDFLyQ b. Supn que tienes que rodar un dado 60 veces como un experimento para poner a prueba la equidad del dado, FRPRVHHVWXGLyHQHOHMHPSORGHODVSiJLQDV SHURHQYH]GHURGDUHOGDGRW~OHSDJDVDWXKHUPDQR menor 1 dlar para rodarlo 60 veces y llevar un conteo GHORVQ~PHURVeOHVWiGHDFXHUGRHQUHDOL]DUHVWDSURH- za para ti y corre a su habitacin con el dado y regresa en SRFRVPLQXWRVFRQVXVIUHFXHQFLDVUHVXOWDQWHV7HH[LJH su dlar. Desde luego, le pagas antes de entregar sus resultados, que fueron los siguientes: 10, 10, 10, 10, 10 y 10. Los resultados observados fueron exactamente los TXHKDEtDVHVSHUDGRFLHUWR"([SOLFDWXVUHDFFLRQHV 4XpYDORUGH2+UHVXOWDUi"4XpFUHHVTXHRFXUULy" 4XpGHPDQGDVGHWXKHUPDQRPHQRU\SRUTXp"4Xp posible papel puede tener la cola izquierda en la prueba GHKLSyWHVLV" F 3RUTXpXVXDOPHQWHODFRODL]TXLHUGDQRHVGHSUHRFXSD- FLyQ" www.fullengineeringbook.net 559 E J E M P L O 1 1 . 5 Prueba de independencia Para ilustrar una prueba de independencia, considera una muestra aleatoria que muestre el gnero de estudiantes universitarios de humanidades y su rea acadmica favorita. PRUEBA DE HIPTESIS PARA INDEPENDENCIA Cada persona en un grupo de 300 estudiantes se identific como hombre o mujer y despus se le pregunt si prefera tomar cursos de humanidades en el rea de ciencias matemticas, ciencias sociales o ciencias humanas. La tabla 11.5 es una tabla de contingencia que muestra las frecuencias encontradas para tales categoras. Esta muestra presenta suficiente evidencia para recha- zar la hiptesis nula "la preferencia por ciencias matemticas, ciencias sociales o ciencias humanas es independiente del gnero de un estudiante universita- rio"? Completa la prueba de hiptesis usando el nivel de significancia 0.05. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: determinar la independencia de las varia- bles "gnero" y "rea favorita" requiere discutir la probabilidad de los diversos casos y el efecto que tienen las respuestas en torno a una variable sobre la probabilidad de las respuestas en torno a la otra variable. La independencia, como se defini en el captulo 4, requiere P(MS | M) = P(MS | F) = P(MS); esto es: el gnero no tiene efecto sobre la probabilidad de la eleccin de una persona de un rea. b. Enunciado de hiptesis: Ho: la preferencia por ciencias matemticas, ciencias sociales o ciencias humanas es independiente del gnero de un estu- diante universitario. Ha: la preferencia por una rea no es independiente del gnero del estudiante. Paso 2 a. Suposiciones: la informacin muestral se obtiene con una muestra aleatoria extrada de una poblacin, donde cada individuo des- pus se clasifica de acuerdo con el gnero y rea favorita. b. Estadstico de prueba. En el caso de tablas de contingencia, el nmero de grados de libertad es exactamente el mismo que el nmero de celdas en la tabla que pueden llenarse libremente cuando te dan los totales marginales. Los totales en este ejemplo se muestran en la siguiente tabla: 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP TABLA 11.5 Resultados muestrales para gnero y preferencia de materia rea favorita Gnero Ciencias matemticas (MS) Ciencias sociales (SS) Ciencias humanas (H) Total Hombre (M) 37 41 44 122 Mujer (F) 35 72 71 178 Total 72 113 115 300 Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia 122 178 72 113 115 300 www.fullengineeringbook.net 560 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada Dados estos totales, puedes llenar slo dos celdas antes de determinar to- das las dems. (Desde despus, los totales deben permanecer iguales.) Por ejemplo, una vez eliges dos valores arbitrarios (por decir, 50 y 60) para las primeras dos celdas de la primera fila, los otros cuatro valores de celda son fijos (consulta la siguiente tabla): 50 60 C 122 D E F 178 72 113 115 300 Los valores tienen que ser C = 12, D = 22, E = 53 y F = 103. De otro modo, los totales no sern correctos. Por tanto, para este problema existen dos elec- ciones libres. Cada eleccin libre corresponde a un grado de libertad. En consecuencia, el nmero de grados de libertad para el ejemplo es 2 (gl = 2). Se usar la distribucin ji cuadrada junto con la frmula (11.1), con gl = 2. c. Nivel de significancia: = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 11.5. b. Estadstico de prueba calculado: Antes de poder calcular el valor de ji cuadrada, necesitas determinar los valores esperados, E, para cada celda. Para hacer esto debes recordar la hiptesis nula, que afirma que estos factores son independientes. Por tanto, esperaras que los valores se distribuyan en proporcin a los totales margina- les. Existen 122 hombres; esperaras que ellos se distribuyan entre MS, SS y H de manera proporcional a los totales 72, 113 y 115. Por tanto, los conteos de celda esperados para hombres son 72 U 122 113 U 122 115 U 122 300 300 300 De igual modo, esperaras para las mujeres 72 U 178 113 U 178 115 U 178 300 300 300 Por tanto, los valores esperados son como se muestran en la tabla 11.6. Siempre compara los totales marginales para los valores esperados contra los totales marginales para los valores observados. Nota: puedes pensar en el clculo de los valores esperados en una segunda forma. Recuerda que supones que la hiptesis nula es verdadera hasta que haya evidencia para rechazarla. Al hacer esta suposicin en el ejemplo, en efecto se dice que el evento de que un estudiante elegido al azar sea hombre y el evento de que un estudiante elegido al azar prefiera cursos de ciencias matemticas son independientes. La estimacin puntual para la probabilidad de que un estudiante sea hombre es , y la estimacin puntual para la pro- babilidad de que el estudiante prefiera cursos de ciencias matemticas es . Por tanto, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de TABLA 11.6 Valores esperados MS SS H Total Hombres 29.28 45.95 46.77 122.00 Mujeres 42.72 67.05 68.23 178.00 Total 72.00 113.00 115.00 300.00 122 300 72 300 www.fullengineeringbook.net 561 las probabilidades. [Consulta la frmula (4.7), p. 2.11.] Por tanto, ) es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea hombre y prefiera ciencias matemticas. El nmero de estudiantes de 300 que se espe- ra sean hombres y prefieran ciencias matemticas se encuentra al multiplicar la probabilidad (o proporcin) por el nmero total de estudiantes (300). Por tanto, el nmero esperado de hombres que prefieren ciencias matemticas es ( ( ( 300 = ( (72) = 29.28. Los otros valores esperados pueden determi- narse de la misma manera. Usualmente, la tabla de contingencia se escribe de modo que contiene toda esta informacin (consulta la tabla 11.7). La ji cuadrada calculada es 2+ = (O E)2: 2+ = (37 29.28) 2 + (41 45.95) 2 + (44 46.77) 2 E 29.28 45.95 46.77 + (35 42.72) 2 + (72 67.05) 2 + (71 68.23) 2 42.72 67.05 68.23 = 2.035 + 0.533 + 0.164 + 1.395 + 0.365 + 0.112 = 4.604 Paso 4 La distribucin de probabilidad: TABLA 11.7 Tabla de contingencia que presenta resultados muestrales y valores esperados rea favorita Gnero MS SS H Total Hombre 37 (29.28) 41 (45.95) 44 (46.77) 122 Mujer 35 (42.72) 72 (67.05) 71 (68.23) 178 Total 72 113 115 300 todas las celdas o Valor p: D 8VDDOFRODGHUHFKDSRUTXHORVYDORUHVPiVJUDQ- des" de ji cuadrada no concuerdan con la hiptesis nula: P = P(2+ > 4.604 | gl = 2), como se muestra en la JXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDSRQHUFRWDVVREUH el valor p: 0.10 < P < 0.25. 8VDXQDFRPSXWDGRUDRFDOFXODGRUDSDUDHQFRQWUDU el valor p: P = 0.1001. 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD b. El valor p no es menor que . Clsico: D /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYD- lores "ms grandes" de ji cuadrada no concuerdan FRQODKLSyWHVLVQXOD(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH ODWDEODHQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \OD columna = 0.05: 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV FRQVXOWD ODV SiJLQDV 454-455. b. 2+QRHVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUD en azul oscuroHQODJXUD valor p Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia 122 300 122 300 72 300 122 300 72 300 5.99 4.604 0 2 2 = 0.05 2 (2, 0.05) = 5.99 0 2 4.604 2 www.fullengineeringbook.net 562 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada En general, la tabla de contingencia r c (rHVHOQ~PHURGHODV; cHVHOQ~PHURGH columnasVHXVDSDUDSRQHUDSUXHEDODLQGHSHQGHQFLDGHOIDFWRUOD\HOIDFWRUFROXPQD (OQ~PHURGHgrados de libertad se determina con Grados de libertad para tablas de contingencia gl = (r 1) U(c 1) donde r y c son ambos mayores que 1. (VWHYDORUSDUDJOGHEHFRQFRUGDUFRQHOQ~PHURGHFHOGDVFRQWDGDVGHDFXHUGRFRQOD descripcin general de las pginas 559-560.) Las frecuencias esperadas para una tabla de contingencia r c se encuentran PHGLDQWHODVIyUPXODVGDGDVHQFDGDFHOGDHQODWDEODGRQGHn = gran total. En general, la frecuencia esperada en la interseccin de la ipVLPDOD\ODj-sima columna est dada por Frecuencias esperadas para tablas de contingencia Eij = total fila total columna = Ri Ci gran total n Paso 5 a. Decisin: fallar para rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, la evidencia no per- mite rechazar la independencia entre el gnero de un estudiante y el rea acadmica preferida del estudiante. 1XHYDPHQWHGHEHVREVHUYDUHOOLQHDPLHQWRDQWHULRUPHQWHPHQFLRQDGRFDGDE i,j debe ser al menos 5. Nota:ODQRWDFLyQXVDGDHQODWDEOD\ODIyUPXODSXHGHQRVHUIDPLOLDUSDUDWL Por conveniencia al referirse a celdas o entradas en una tabla, se usa E i,j para denotar la TABLA 11.8 Frecuencias esperadas para una tabla de contingencia r c Columna Fila 1 2 . . . j-sima columna . . . c Total 1 R1 C1 R1 C2 . . . R1 Ci . . . R1 CC R1 2 R2 C1 R2 i-sima fila Ri C1 Ri Ci . . . Ri r Rr C1 Total C1 C2 . . . Ci . . . . . . n n n n n n n n n . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .(11.4) (11.5) www.fullengineeringbook.net 563 entrada en la ipVLPDOD\ODjpVLPDFROXPQD(VWRHVODSULPHUDOHWUDHQHOVXEtQGLFH FRUUHVSRQGHDOQ~PHURGHOD\ODVHJXQGDOHWUDFRUUHVSRQGHDOQ~PHURGHFROXPQD3RU tanto, E 1,2 HVODHQWUDGDHQODSULPHUDODVHJXQGDFROXPQD\E 2,1 es la entrada en la segun- GDODSULPHUDFROXPQD(QODWDEODSE 1,2 es 45.95 y E 2,1 HV/DQRWDFLyQ XVDGDHQODWDEODVHLQWHUSUHWDHQIRUPDVLPLODUHVWRHVR 1 corresponde al total de la OD\C 1 corresponde al total de la columna 1. Prueba de homogeneidad El segundo tipo de problema de tabla de contingencia se llama SUXHEDGHKRPRJHQHLGDG. Esta prueba se usa cuando una de las dos variables est controlada por el experimentador, GHPRGRTXHORVWRWDOHVGHODRFROXPQDHVWiQSUHGHWHUPLQDGRV Por ejemplo, supn que quieres encuestar votantes registrados acerca de una legisla- cin propuesta por el gobernador. En la encuesta, 200 residentes urbanos, 200 suburbanos y 100 rurales se seleccionan al azar y se les pregunta si favorecen o se oponen a la propues- ta del gobernador. Esto es: una simple muestra aleatoria se toma para cada uno de estos tres grupos. Se encuesta a un total de 500 votantes. Pero observa que se predetermin (antes de WRPDUODPXHVWUDFXiQWRVGHEHQFDHUGHQWURGHFDGDFDWHJRUtDGHODFRPRVHPXHVWUDHQ ODWDEOD\FDGDFDWHJRUtDVHPXHVWUHDSRUVHSDUDGR SABAS QUE...? Venus o Marte? a. Exactamente 94 232 ms nios que nias nacieron en Estados Unidos durante 2004. b. Desde 1940, un pro- medio de 91 685 ms bebs varones que mu- jeres nacen cada ao, un total de 5 776 130 durante ese periodo de 70 aos. c. En 2003, haba un to- tal de 144 513 361 mujeres de todas las edades, comparado con 138 396 524 hombres. Cmo puede ser esto? E J E M P L O 1 1 . 6 En una prueba de esta naturaleza, en realidad se pone a prueba la hiptesis: la dis- WULEXFLyQGHSURSRUFLRQHVGHQWURGHODVODVHVODPLVPDSDUDWRGDVODVODV(VWRHVOD GLVWULEXFLyQGHSURSRUFLRQHVHQODODHVODPLVPDTXHHQODODHVODPLVPDTXHHQ ODODHWF/DDOWHUQDWLYDHVODGLVWULEXFLyQGHSURSRUFLRQHVGHQWURGHODVODVQRHVOD PLVPDSDUDWRGDVODVODV(VWHWLSRGHHMHPSORSXHGHFRQVLGHUDUVHFRPRXQDFRPSDUDFLyQ de varios experimentos multinomiales. Ms all de esta diferencia conceptual, la prueba real por independencia y homogenei- dad con tablas de contingencia es la misma. Ahora demuestra esta prueba de hiptesis al completar la ilustracin de sondeo. PRUEBA DE HIPTESIS PARA HOMOGENEIDAD A cada persona en una muestra aleatoria de 500 votantes registrados (200 residentes urbanos, 200 suburbanos y 100 rurales) se le pregunt su opinin acerca de la legislacin propuesta por el gobernador. La evidencia muestral que se presenta en la tabla 11.10 apoya la hiptesis "los votantes dentro de los diferentes grupos de residencia tienen diferentes opiniones acerca de la propuesta del gobernador"? Usa = 0.05. Propuesta del gobernador Residencia Favor Opone Total Urbana 200 Suburbana 200 Rural 100 Total 500 TABLA 11.9 Encuesta de votantes registrados con totales de fila predeterminados Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia www.fullengineeringbook.net 564 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: la proporcin de votantes que favorecen o se oponen (es decir: la proporcin de votantes urbanos que favo- recen, la proporcin de votantes suburbanos que favorecen, la proporcin de votantes rurales que favorecen y la proporcin de los tres grupos, por separado, que se oponen). b. Enunciado de hiptesis: Ho: la proporcin de votantes que favorecen la legislacin pro- puesta es la misma en los tres grupos de residencia. Ha: la proporcin de votantes que favorecen la legislacin pro- puesta no es la misma en los tres grupos. (Esto es: en al menos un grupo, la proporcin es diferente de los otros.) Paso 2 a. Suposiciones: la informacin muestral se obtiene usando tres mues- tras aleatorias extradas de tres poblaciones separadas en las que cada individuo se clasifica de acuerdo con su opinin. b. Estadstico de prueba: la distribucin ji cuadrada y la frmula (11.1), con gl = (r 1)(c 1) = (3 1)(2 1) = 2. c. Nivel de significancia: = 0.05. Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 11.10. b. Estadstico de prueba calculado: los valores esperados se encuen- tran al usar la frmula (11.5) (p. 562) y se proporcionan en la tabla 11.11. Nota: cada valor esperado se usa dos veces en el clculo de 2+; por tanto, es buena idea mantener lugares decimales adicionales mientras se realizan los clculos. Propuesta del gobernador Residencia Favor Opone Total Urbana 143 57 200 Suburbana 98 102 200 Rural 13 87 100 Total 254 246 500 TABLA 11.10 Resultados muestrales para residencia y opinin Propuesta del gobernador Residencia Favor Opone Total Urbana 143 (101.6) 57 (98.4) 200 Suburbana 98 (101.6) 102 (98.4) 200 Rural 13 (50.8) 87 (49.2) 100 Total 254 246 500 TABLA 11.11 Resultados muestrales y valores esperados www.fullengineeringbook.net 565 MINITAB Escribe cada columna de frecuencias observadas de la tabla de contingencia en C1, C2, ...; despus contina con: Elige: Stat > Tables > Chi-Square Test (Two-Way Table in Worksheet) Escribe: Columnas que contiene la tabla: C1 C2 > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E H I P T E S I S D E I N D E P E N D E N C I A U H O M O G E N E I D A D La ji cuadrada calculada es 2+ = (O E)2 : 2+ = (143 101.6) 2 + (57 98.4) 2 + (98 101.6) 2 E 101.6 98.4 101.6 + (102 98.4) 2 + (13 50.8) 2 + (87 49.2) 2 98.4 50.8 49.2 = 16.87 + 17.42 + 0.13 + 0.13 + 28.13 + 29.04 = 91.72 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Valor p: D 8VD OD FROD GHUHFKD SRUTXH ORV YDORUHVPiV grandes" de ji cuadrada no concuerdan con la hiptesis nula: P = P(2+ > 91.72 | gl = 2), como se muestra en ODJXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 8VDODWDEODDSpQGLFH%SDUDSRQHUFRWDVVR- bre el valor p: P < 0.005. 8VD XQD FRPSXWDGRUD R FDOFXODGRUD SDUD HQ- contrar el valor p: P = 0.000+. 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV FRQVXOWD OD SiJLQD b. El valor p es menor que . todas las celdas o Clsico: D /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDSRUTXHORVYD- lores "ms grandes" de ji cuadrada no concuerdan FRQODKLSyWHVLVQXOD(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGH ODWDEODHQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \OD columna = 0.05: 3DUD LQVWUXFFLRQHV HVSHFtFDV FRQVXOWD ODV SiJLQDV 454-455. b. 2+HVWiHQODUHJLyQFUtWLFDFRPRVHPXHVWUDHQ azul oscuroHQODJXUD Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: los tres grupos de votantes no tienen todos las mis- mas proporciones que favorecen la legislacin propuesta. valor p Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia 0 91.72 2 5.99 91.72 0 2 2 = 0.05 2 (2, 0.05) = 5.99 R www.fullengineeringbook.net 566 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada TI-83/84 Plus Excel Impresin de la SOLUCIN MINITAB POR COMPUTADORA para el ejemplo 11.6: Chi-square Test: C1, C2 Los conteos esperados se imprimen abajo de los conteos observados Las aportaciones ji cuadrada se imprimen abajo de los conteos esperados C1 C2 Total 1 143 57 200 101.60 98.40 16.870 17.418 2 98 102 200 101.60 98.40 0.128 0.132 3 13 87 100 50.80 49.20 28.127 29.041 Total 254 246 500 Chi-Sq = 91.715, DF = 2, P-Value = 0.000 Escribe cada columna de frecuencias observadas de la tabla de contingencia en las columnas A, B, ...; despus contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Contingency Table > OK Escribe: Rango entrada: (A1:B4 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: (ej. 0.05) Escribe las frecuencias observadas de la tabla de contingencia r c en una matriz A r c. Establece una matriz B como una matriz vaca r c para las frecuencias esperadas. Elige: MATRX > EDIT > 1:[A] Escribe: r > ENTER > c > ENTER Cada frecuencia observada con un ENTER despus Despus contina con: Elige: MATRX > EDIT > 2[B] Escribe: r > ENTER > c > ENTER Elige: STAT > TESTS > C: 2Test. . . Escribe: Observado: [A] o donde se ubique la tabla de contingencia Esperado: [B] lugar para frecuencias esperadas Resalta: Calculate > ENTER E J E M P L O A P L I C A D O 1 1 . 7 REGLA DE PAPAS HORNEADAS PARA LOS DEL OESTE El grfi co "Regla de papas horneadas para los del oeste" repor- ta el porcentaje de estadounidenses que prefi eren comer papas horneadas por regin as como para todo el pas. Si se proporcio- nara el nmero real de personas en cada categora, tendras una tabla de contingencia y podras completar una prueba de hiptesis acerca de la homogeneidad de las cuatro regiones. (Consulta los ejercicios 11.46 y 11.55.) Regla de papas horneadas para los del oeste Fuente: Datos tomados de Anne R. Carey y Sam Ward. 1998 USA Today. Los estadounidenses comen papas un promedio de tres veces a la semana y 47% las prefi eren "horneadas" sobre el pur de papas (23%) o papas a la francesa (16%). Quienes las prefi eren horneadas por regin: Centro-norte 46% Oeste 55% Noreste 41% Sur 47% www.fullengineeringbook.net 567 11.31 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a TXHXVDUtDVSDUDSRQHUDSUXHEDORVVLJXLHQWHVHQXQFLDGRV a. Los votantes expresaron preferencias que no fueron LQGHSHQGLHQWHVGHVXVDOLDFLRQHVSDUWLGLVWDV b. La distribucin de opiniones es la misma para las tres comunidades. F /DSURSRUFLyQGHUHVSXHVWDVVtIXHODPLVPDSDUD WRGDVODVFDWHJRUtDVHQFXHVWDGDV 11.32 La "prueba de independencia" y la "prueba de homo- geneidad" se completan en forma idntica, usando la tabla de contingencia para mostrar y organizar los clculos. Explica FyPRGLHUHQHVWDVGRVSUXHEDVGHKLSyWHVLV 11.33 Encuentra el valor esperado para la celda que se muestra. ... 50 40 200 11.34,GHQWLFDHVWRVYDORUHVGHODWDEOD a. C 2 b. R 1 c. n d. E 2,3 11.356HXVy0,1,7$%SDUDFRPSOHWDUXQDSUXHEDMLFXDGUD- GDGHLQGHSHQGHQFLDHQWUHHOQ~PHURGHPXHUWHVGHPDQDWtHV relacionadas con botes y dos condados de Florida. Muertes Muertes relacionadas no relacionadas Muertes Condado con botes con botes totales Condado Lee 23 25 48 Condado Collier 8 23 31 Prueba Ji cuadrada: Muertes relacionadas con botes, muertes no relacionadas con botes Los conteos esperados se imprimen abajo de los conteos observados Las aportaciones ji cuadrada se imprimen abajo de los conteos esperados Muertes Muertes no relacionadas relacionadas con botes con botes Total 1 23 25 48 18.84 29.16 0.921 0.595 2 8 23 31 12.16 18.84 1.426 0.921 Total 31 48 79 Chi-Sq = 3.862, DF = 1, P-Value = 0.049 D 9HULFDORVUHVXOWDGRVORVYDORUHVHVSHUDGRV\OD2+ FDOFXODGDDOFDOFXODUORVYDORUHVW~PLVPR E 8VDODWDEODSDUDYHULFDUHOYDORUp con base en los gl calculados. F /DSURSRUFLyQGHPXHUWHVUHODFLRQDGDVFRQERWHVHV LQGHSHQGLHQWHGHOFRQGDGR"8VD = 0.05. 11.36 Los resultados del uso del cinturn de seguridad de la (QFXHVWDGH&RPSRUWDPLHQWRGH5LHVJR-XYHQLOVHSXEOL- caron en una Snapshot del 86$7RGD\ el 13 de enero de 2005. La siguiente tabla destaca los resultados de los estudiantes de EDFKLOOHUDWRHQWUHYLVWDGRVHQHOHVWDGRGH1HEUDVND$HOORVVH les pregunt si rara vez o nunca usaban cinturones de seguri- dad cuando viajaban en el automvil de alguien ms. Mujeres Hombres Rara vez o nunca usa cinturn de seguridad 208 324 Usa cinturn de seguridad 1 217 1 184 &RQ HVWDPXHVWUDSUHVHQWDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD rechazar la hiptesis de que el gnero es independiente del uso GHOFLQWXUyQGHVHJXULGDG" a. Resuelve usando el enfoque de valor p. b. Resuelve usando el enfoque clsico. 11.37(O'HSDUWDPHQWR(VWDWDOGH&RQVHUYDFLyQXVyFiPD- ras de vigilancia para estudiar la reaccin de los ciervos cola EODQFDDQWHHOWUiFRPLHQWUDVXVDEDQXQSDVRDGHVQLYHOVLO- YHVWUHSDUDFUX]DUXQDJUDQDXWRSLVWD&XDQGRXQDXWRPyYLOR camin pasaba mientras el ciervo estaba en el paso a desnivel, UHJLVWUDEDFRQWLQ~D FXDQGR HO FLHUYR VHJXtD HQ OD GLUHF FLyQRULJLQDORGDYXHOWDFXDQGRHOFLHUYRLQYHUWtDVXGLUHFFLyQ = 0.01. /DGLUHFFLyQGHOFLHUYRFRODEODQFDHVLQGHSHQGLHQWHGHOWLSR GHYHKtFXORTXHSDVDSRUHOSDVRDGHVQLYHO"5HVSRQGHFRQ usando = 0.01. 11.38 8QD HQFXHVWD GH YLDMHURV VHOHFFLRQDGRV DO D]DU TXH visitaron los sanitarios de la estacin de servicio de un gran distribuidor petrolero estadounidense mostr los siguientes resultados: Calidad de instalaciones sanitarias Gnero de Sobre el Abajo del informante promedio Promedio promedio Totales Mujer 7 24 28 59 Hombre 8 26 7 41 Total 15 50 35 100 &RQ ODPXHVWUDSUHVHQWDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD rechazar la hiptesis "la calidad de respuestas es independien- WHGHOJpQHURGHOLQIRUPDQWH" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.39(O VtQGURPHGH7RXUHWWH HV XQ WUDVWRUQRQHXUROyJLFR KHUHGLWDULR GH LQLFLR HQ OD LQIDQFLD TXH LQYROXFUDP~OWLSOHV WLFVPRWRUHV\DOPHQRVXQ WLFYRFDO8QHVWXGLRHVWDGRXQL- E J E R C I C I O S S E C C I N 1 1 . 3 ...Fuente: http://www.cdc.gov/ Contina Da vuelta Automvil 315 73 Camin 84 97 FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia www.fullengineeringbook.net 568 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada dense que se public el 5 de junio de 2009 en el 0RUELGLW\ DQG0RUWDOLW\:HHNO\5HSRUWGHO&'&LQGLFyTXHHOVtQGURPH RFXUUHHQGHFDGDQLxRVHQHGDGHVFRODU8QPD\RU DQiOLVLVGHVFRPSXVRORVGDWRVHQFDWHJRUtDVGHHWQLFLGDGUD]D FRQVXOWDHOVLJXLHQWHFXDGUR(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD HVWDPXHVWUD LQGLFDTXH WHQHU7RXUHWWH HV LQGHSHQGLHQWHGH HWQLFLGDG\UD]D" Hispano Blanco no hispano Negro no hispano Tiene Tourette 26 164 18 No tiene Tourette 7 321 43 602 6 427 11.40(OVtQGURPHGH7RXUHWWHHVXQWUDVWRUQRQHXUROyJLFR KHUHGLWDULRGHLQLFLRHQODLQIDQFLDTXHLQYROXFUDP~OWLSOHV WLFVPRWRUHV\DOPHQRVXQWLFYRFDO8QHVWXGLRHVWDGRXQL- dense que se public el 5 de junio de 2009 en el 0RUEL- GLW\ DQG0RUWDOLW\:HHNO\ 5HSRUW GHO &'& LQGLFy TXH HO VtQGURPHRFXUUHHQGHFDGDQLxRVHQHGDGHVFRODU 8QPD\RUDQiOLVLVGLYLGLyORVGDWRVHQFDWHJRUtDVGHLQJUH- so domstico respecto al nivel de pobreza federal; consulta HOVLJXLHQWHFXDGUR(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDHVWD PXHVWUD LQGLFDTXH WHQHU7RXUHWWHHV LQGHSHQGLHQWHGHO LQ- JUHVRGRPpVWLFR" Abajo de 200% 200-400% Arriba de 400% Tiene Tourette 65 80 80 No tiene Tourette 17 581 21 795 24 432 11.418QDHQFXHVWDGHHPSOHDGRVHQXQDFRPSDxtDDVHJX- UDGRUD VH SUHRFXSD SRU ODV UHODFLRQHV REUHURSDWURQDOHV8Q enunciado para evaluacin fue: "no estoy seguro de lo que es- pera mi supervisor". Los resultados de la encuesta se presenta- ron en la siguiente tabla de contingencia. No estoy seguro de lo que espera mi supervisor Aos de empleo Verdadero No verdadero Totales Menos de 1 ao 18 13 31 1 a 3 aos 20 8 28 3 a 10 aos 28 9 37 10 aos o ms 26 8 34 Total 92 38 130 3XHGHVUHFKD]DUODKLSyWHVLVGHTXHODVUHVSXHVWDVDOHQXQ- ciado y los aos de empleo son independientes" en el nivel de VLJQLFDQFLD" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.42 [EX11-42] La siguiente tabla es de la publicacin 9LWDO DQG+HDOWK6WDWLVWLFV GH ORV&HQWURVSDUD HO&RQWURO \ 3UHYHQFLyQGH(QIHUPHGDGHV&HQWUR1DFLRQDOGH(VWDGtVWLFDV de Salud. Los individuos en la siguiente tabla tienen irritacin ocular, irritacin nasal o irritacin de garganta. Slo tienen una de las tres. Edad (aos) Tipo de irritacin 18-29 30-44 45-64 65 y ms Ocular 440 567 349 59 Nasal 924 1311 794 102 Garganta 253 311 157 19 ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGHTXH el tipo de irritacin ocular, nasal o de garganta es independien- WHGHOJUXSRHWiUHRHQXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDLJXDOD" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.43 [EX11-43] Se toma una muestra aleatoria de 500 hom- EUHVFDVDGRVODFODVLFDFLyQGHFDGDSHUVRQDVHFUX]yFRQHO tamao de la comunidad en la que reside en la actualidad y con el tamao de la comunidad en la que se cri. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Tamao de comunidad de residencia Tamao de comunidad Menor que 10 000 a 50 000 de crianza 10 000 49 999 o ms Total Menor que 10 000 24 45 45 114 10 000 a 49 999 18 64 70 152 50 000 o ms 21 54 159 234 Total 63 163 274 500 (VWDPXHVWUDFRQWUDGLFHODDUPDFLyQGHLQGHSHQGHQFLDHQHO QLYHOGHVLJQLFDQFLD" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.44 Se hipotetiza que los animales enfermos que reciben cierto medicamento (el grupo tratado) sobrevivirn a una tasa ms favorable que aquellos que no reciben el medicamento (el grupo de control). Los siguientes son los resultados registrados de la prueba. a. Explica por qu la hiptesis enunciada en el ejercicio no puede ser la hiptesis nula. b. Explica por qu la hiptesis nula se enuncia de manera correcta como "la supervivencia es independiente del tratamiento medicamentoso". F &RPSOHWDODSUXHEDGHKLSyWHVLV\HQFXHQWUDHOYDORUp. d. Si la prueba se completa usando = 0.02, enuncia la de- cisin a la que debes llegar. e. Si la prueba se completa usando = 0.02, enuncia la con- FOXVLyQ\VXVLJQLFDGR [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP Sobrevivi No sobrevivi Tratado 46 18 Control 38 35 www.fullengineeringbook.net 569 11.45 La gerente de un proceso de ensamblado quiere deter- PLQDUVLHOQ~PHURGHDUWtFXORVIDEULFDGRVGHSHQGHRQRGHO GtDGHODVHPDQDTXHVHSURGXMRHODUWtFXOR(OODUHFROHFWDOD siguiente informacin. Da de la semana L Ma Mi J V No defectuoso 85 90 95 95 90 Defectuoso 15 10 5 5 10 ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGHTXH HOQ~PHURGHDUWtFXORVGHIHFWXRVRVHVLQGHSHQGLHQWHGHOGtDGH ODVHPDQDFXDQGRVHSURGXMHURQ"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.46(QUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGRS D ([SUHVDHOSRUFHQWDMHGHHVWDGRXQLGHQVHVTXHSUHHUHQ horneadas" a "otra" por regin como una tabla de contin- gencia 2 4. E ([SOLFDSRUTXpODVLJXLHQWHSUHJXQWDSRGUtDSRQHUVHD SUXHEDXVDQGRHOHVWDGtVWLFRMLFXDGUDGDODSUHIHUHQFLD por horneada es la misma en las cuatro regiones de Esta- GRV8QLGRV" c. Explica por qu sta es una prueba de homogeneidad. 11.47 (O EORJJLQJ HV XQ WHPD FDQGHQWH HQ HVWRV GtDV 8Q "blog" es una bitcora en internet. Los blogs se crean para usos personales o profesionales. De acuerdo con el sitio web Xtrem 5HFUXLWLQJKWWSZZZ[WUHPHUHFUXLWLQJRUJQDFHXQQXHYR EORJFDGDVHJXQGRV\PX\SRFDVSHUVRQDVOHHQGLFKRVEORJV /D VLJXLHQWH WDEODPXHVWUD HO Q~PHURGH OHFWRUHVGHQXHYRV EORJVSDUDFDGDXQRGHORVPHVHVFLWDGRV/DGLVWULEXFLyQGH creadores y lectores de blogs son iguales para los meses cita- GRV"8VD = 0.05. Creadores de blogs Lectores de blogs Marzo 2003 74 205 Febrero 2004 93 316 Noviembre 2004 130 205 11.48 El Snapshot del 86$7RGD\ del 12 de noviembre de 5DELDHQJDWRVDODDO]DUHSRUWyTXHFDVLDQL- PDOHVVHUHSRUWDURQFRQUDELDHQ&RQLQIRUPDFLyQGHO -RXUQDORI WKH$PHULFDQ9HWHULQDU\0HGLFDO$VVRFLDWLRQ, se registraron los siguientes casos de rabia para gatos y perros. (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDODGLVWULEXFLyQGHFDVRVGH UDELDSDUDSHUURV\JDWRVHVODPLVPDSDUDORVDxRVFLWDGRV" 11.49 El director atltico de un gran bachillerato quiere com- parar las proporciones de diferentes tipos de lesiones de tobi- llo que ocurren en sus jugadores de bsquetbol y voleibol. La LQVSHFFLyQGHORVUHJLVWURVGHO~OWLPRDxRUHYHOyHOVLJXLHQWH Q~PHURGHOHVLRQHVGHWRELOORSDUDFDGDGHSRUWH ([LVWHHYLGHQFLDGHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQWUHORVGRV GHSRUWHV"8VD = 0.05. 11.50 Los estudiantes usan muchos tipos de criterios cuando seleccionan cursos. "El profesor no es exigente" con frecuen- FLDHVXQFULWHULR7UHVSURIHVRUHVVHSURJUDPDQSDUDLPSDUWLU HVWDGtVWLFD HO SUy[LPR VHPHVWUH$ FRQWLQXDFLyQ VH SUHVHQWD XQDPXHVWUDGHGLVWULEXFLRQHVGHFDOLFDFLRQHVDQWHULRUHVSDUD estos tres profesores. (Q HO QLYHO GH VLJQLFDQFLD H[LVWH VXFLHQWH HYLGHQ FLD SDUD FRQFOXLUOD GLVWULEXFLyQ GH FDOLFDFLRQHV QR HV OD PLVPDSDUDORVWUHVSURIHVRUHV" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. F &XiOSURIHVRUHVHOPHQRVH[LJHQWH"([SOLFD\FLWD HYLGHQFLDGHDSR\RHVSHFtFD 11.51(OPLHGRD ODRVFXULGDGHVXQDHPRFLyQFRP~Q/RV siguientes datos se obtuvieron al preguntar a 200 individuos HQFDGDJUXSRHWiUHRVLWHQtDQVHULRWHPRUDODRVFXULGDG(Q VHWLHQHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSy- tesis de que "la misma proporcin de cada grupo etreo tiene VHULRWHPRUDODRVFXULGDG" Grupo etreo Elemental Secundaria Bachillerato Universidad Adulto Nm. que 83 72 49 36 114 temen a la oscuridad a. La tabla anterior es una tabla de contingencia incompleta, aun cuando a primera vista pueda parecer ser multino- mial. Explica por qu. (6XJHUHQFLD: la tabla de contingen- cia debe representar 1 000 personas.) b. Resuelve usando el mtodo de valor p. c. Resuelve usando el mtodo clsico. Perros Gatos 2007 93 274 2008 75 294 Fuente: USA TODAY, "Warning Your clever Little blog could get you fired", 15 de junio de 2005 Bsquetbol Voleibol Esguince 28 19 Fractura 11 7 Ligamentos rotos 6 8 Otras lesiones 10 13 Profesor Calificaciones #1 #2 #3 A 12 11 27 B 16 29 25 C 35 30 15 Otro 27 40 23 Seccin 11.3 Inferencias concernientes a tablas de contingencia www.fullengineeringbook.net 570 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada 11.52 De acuerdo con un reporte de la Administracin de Ser- vicios de Salud Mental y Abuso de Sustancias, los trabajadores en el servicio de alimentos tienen la tasa ms alta para fumar FLJDUULOORVGHORVWUDEDMDGRUHVGHVHUYLFLRGHDOLPHQWRV UHSRUWyIXPDUFLJDUULOORVHOPHVDQWHULRU$OJXQDVSURIHVLR- QHVVHSUHVWDQSDUDIXPDUFLJDUULOORVPiVTXHRWUDV"6LD personas en cada una de las siguientes ocupaciones se les pre- JXQWDDFHUFDGHIXPDUHQHOPHVDQWHULRUORVGDWRVDSR\DQ que algunas profesiones correspondan a tasas ms altas de ta- EDTXLVPR"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH 11.53 [EX11-53]7RGRVORVQXHYRVPHGLFDPHQWRVSDVDQDWUD- vs de un estudio mdico antes de aprobarse por la Administra- FLyQGH$OLPHQWRV\0HGLFDPHQWRV)'$HVWDGRXQLGHQVH8Q HVWXGLRPpGLFRSRUORJHQHUDOLQFOX\HHQVD\RVFOtQLFRVPHGLDQWH el cual los participantes se seleccionan al azar para recibir dife- UHQWHVGRVLVDVtFRPRXQSODFHERSHURQRHVWiQDOWDQWRGHHQ qu grupo estn. Para controlar tantos factores como sea posi- ble, es mejor asignar los participantes al azar aunque de manera KRPRJpQHDDWUDYpVGHORVWUDWDPLHQWRV&RQVLGHUDHOVLJXLHQWH arreglo de homogeneidad respecto al gnero y dosis. Gnero Dosis 10 mg Dosis 20 mg Placebo Mujer 54 56 60 Hombre 32 37 26 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDODGLVWULEXFLyQGHOPHGLFD- PHQWRHVODPLVPDSDUDDPERVJpQHURV" Si consideras el mismo estudio, la homogeneidad de las HGDGHVWDPELpQVHUtDXQDFDUDFWHUtVWLFDLPSRUWDQWH(QHOQLYHO GH VLJQLFDQFLD OD GLVWULEXFLyQ GHOPHGLFDPHQWR TXH VLJXHHVODPLVPDSDUDWRGRVORVJUXSRVHWiUHRV" Edad Dosis 10 mg Dosis 20 mg Placebo 40-49 18 20 19 50-59 48 41 57 60-69 20 22 10 11.54 [EX11-54] /DV SHUVRQDVPiV MyYHQHV SXHGHQ RE- WHQHUDUPDVLOHJDOHV"'HDFXHUGRFRQHODUWtFXORGHOGH octubre de 2009 del 'HPRFUDW &KURQLFOH de Rochester, 1<(ODUPDXVDGDSDUDGLVSDUDUD'L3RQ]LRTXHFLWyDXQ DGROHVFHQWHGHDxRVTXHGLVSDUyDXQRFLDOGHSROLFtD SDUHFHTXHHOQ~PHURGHSHUVRQDVHQJUXSRVGHHGDGPiVMy- venes que se descubren con armas ilegales sigue en ascenso. (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSDUHFHTXHODGLVWULEXFLyQ de edades que poseen armas ilegales es la misma para los DxRVFLWDGRV" Ao 21 y menos 22-30 31-50 50+ 2005 103 93 111 33 2006 119 136 96 31 2007 155 140 130 76 2008 159 160 104 60 11.55(OHMHPSORDSOLFDGRSUHSRUWDSRUFHQWDMHV que describen las preferencias de las personas respecto a cmo VHSUHSDUDQODVSDSDV&UHHVTXHH[LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQL- FDWLYDHQWUHODVFXDWURUHJLRQHVGH(VWDGRV8QLGRVUHVSHFWRDO SRUFHQWDMHTXHSUHHUHKRUQHDGDV"2EVHUYDTXHHODUWtFXORQR menciona el tamao de la muestra. a. Supn que los porcentajes reportados se basaron en cua- tro muestras de tamao 100 de cada regin y calcula 2+ y su valor p. b. Repite el inciso a usando tamaos de muestra de 200 y 300. F /RVFXDWURSRUFHQWDMHVUHSRUWDGRVHQODJUiFDGHTXLpQ SUHHUHSDSDVKRUQHDGDVHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWH" Describe con detalles las circunstancias por las cuales son VLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHV Ocupacin Construccin Produccin Ingeniera Poltica Educacin Nm. que fuma 43 37 17 17 12 Tabla para el ejercicio 11.52 En retrospectiva Repaso del captulo (QHVWHFDStWXORODSUHRFXSDFLyQIXHURQODVSUXHEDVGHKLSy- tesis que usan ji cuadrada, con las probabilidades de celdas asociadas con el experimento multinomial y con la tabla de contingencia simple. En cada caso las suposiciones bsicas VRQTXHVHKDKHFKRXQJUDQQ~PHURGHREVHUYDFLRQHV\TXH HOHVWDGtVWLFRGHSUXHEDUHVXOWDQWH , tiene una distri- bucin aproximada a ji cuadrada. En general, si n es grande \ HOPtQLPR SHUPLVLEOH GHO WDPDxR GH FHOGD HVSHUDGD HV entonces esta suposicin se satisface. (O E)2 E James Schwabel/Alamy www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 571 celda (p. 545) columna (p. 562) datos enumerativos (p. 545) HVWDGtVWLFRGHSUXHEDS H[SHULPHQWRPXOWLQRPLDOSS ODVS frecuencia esperada (pp. 545, 562) frecuencia observada (p. 545) grados de libertad (pp. 546, 562) homogeneidad (p. 563) independencia (p. 559) ji cuadrada (p. 545) prueba de hiptesis (pp. 545, 559, 563) suposiciones (p. 546) WDEODGHFRQWLQJHQFLDSS tabla de contingencia r c (pp. 562, 566) totales marginales (p. 559) La tabla de contingencia puede usarse para poner a prueba independencia y homogeneidad. La prueba de homogeneidad y la prueba de independencia parecen muy similares y, de he- cho, se realizan exactamente de la misma forma. Sin embar- go, los conceptos a poner a prueba (mismas distribuciones e independencia, respectivamente) son muy diferentes. Las dos pruebas se distinguen fcilmente porque la prueba de homo- geneidad tiene totales marginales predeterminados en una di- reccin en la tabla. Esto es: antes de recolectar los datos, el experimentador determina cuntos sujetos observar en cada FDWHJRUtD(O ~QLFR Q~PHUR SUHGHWHUPLQDGR HQ OD SUXHED GH independencia es el gran total. $OJXQDV SDODEUDV GH SUHFDXFLyQ HO Q~PHUR FRUUHFWR GH grados de libertad es crucial si los resultados de la prueba van DVHUVLJQLFDWLYRV/RVJUDGRVGHOLEHUWDGGHWHUPLQDQHQSDU- WHODUHJLyQFUtWLFD\VXWDPDxRHVLPSRUWDQWH&RPRHQRWUDV pruebas de hiptesis, la falla para rechazar H o QR VLJQLFD aceptacin inmediata de la hiptesis nula. Vocabulario y conceptos clave El sitio Statistics CourseMate SDUDHVWHOLEUROOHYDDODYLGDORVWHPDVGHOFDStWXORFRQKH- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de ORVFDStWXORVHOLFRQR&RXUVH0DWHVHxDODORVFRQFHSWRV y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una VXLWHGHPDFURVHVWDGtVWLFRVSDUD([FHO\SURJUDPDVTI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUTXHORVGDWRVHQXPHUDWLYRVVRQGDWRVTXHSXHGHQFRQWDUVH SS \FRORFDUVHHQFDWHJRUtDV &RPSUHQGHUTXHODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGDVHXVDUiSDUDSUREDUODVKLSyWHVLV SS que involucran datos enumerativos. &RPSUHQGHUODVSURSLHGDGHVGHODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGD\FyPRODVVHULHVGH SS GLVWULEXFLRQHVVHEDVDQHQWDPDxRPXHVWUDOFRQJUDGRVGHOLEHUWDGFRPRHOtQGLFH (M &RPSUHQGHUORVHOHPHQWRVFODYHGHXQH[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO\SRGHUGHQLU SS n, k, O i y P i . &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUYDORUHVHVSHUDGRVXVDQGRE = np (-(M &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUXQHVWDGtVWLFRMLFXDGUDGD2 = (- &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUORVJUDGRVGHOLEHUWDGSDUDXQH[SHULPHQWR multinomial (gl = k (- 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDXQH[SHULPHQWR (M multinomial usando la distribucin ji cuadrada con el enfoque de valor p \RHOPpWRGRFOiVLFR &RPSUHQGHU\FRQRFHUODGHQLFLyQGHLQGHSHQGHQFLDGHGRVHYHQWRV SS &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUYDORUHVHVSHUDGRVXVDQGRE ij = R i U R j . pp. 560, 562-563, Ej. 11.33 todas las celdas (O E)2 E n Resultados del aprendizaje www.fullengineeringbook.net 572 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP &RQRFHU\SRGHUFDOFXODUORVJUDGRVGHOLEHUWDGSDUDXQDSUXHEDGH S independencia u homogeneidad [gl = (r 1)(c 1)]. 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDXQDSUXHEDGH (- LQGHSHQGHQFLDXKRPRJHQHLGDGXVDQGRODGLVWULEXFLyQMLFXDGUDGDFRQHOPpWRGR (M de valor p\RHOPpWRGRFOiVLFR &RPSUHQGHUODVGLIHUHQFLDV\VLPLOLWXGHVHQWUHSUXHEDVGHLQGHSHQGHQFLD SS y pruebas de homogeneidad. Ejercicios del captulo 11.56 (O GHSDUWDPHQWR GH SVLFRORJtD HQ FLHUWD XQLYHUVLGDG DUPDTXHODVFDOLFDFLRQHVHQVXFXUVRLQWURGXFWRULRVHGLV- WULEX\HQGHOPRGRVLJXLHQWH$%& '\)(QXQVRQGHRGHHVWXGLDQWHVVHOHFFLRQDGRVDO azar, que completaron este curso, se descubri que 16 recibie- URQ$%&'\)(VWDPXHVWUDFRQWUDGLFHOD DUPDFLyQGHOGHSDUWDPHQWRHQHOQLYHO" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.57&XDQGRVHFUX]DQGRVFHSDVGHURVDVVHHVSHUDTXHHO KtEULGRDSDUH]FDHQWUHVFODVHVJHQpWLFDVHQODUD]yQ6L ORVUHVXOWDGRVGHXQH[SHULPHQWRSURGXFHQKtEULGRVGHOSUL- PHUWLSRGHOVHJXQGRWLSR\GHOWHUFHUWLSRVHWLHQH VXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODUD]yQJHQpWLFDKLSRWpWLFD HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.588QDPXHVWUDGHLQGLYLGXRVVHSRQHQDSUXHEDSRU su tipo de sangre y los resultados se usan para poner a prueba la distribucin hipottica de tipos de sangre: Tipo de sangre A B O AB Porcentaje 0.41 0.09 0.46 0.04 Los resultados observados fueron los siguientes: Tipo de sangre A B O AB Nmero 75 20 95 10 (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDH[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLD SDUDGHPRVWUDUTXHODGLVWULEXFLyQHVWDEOHFLGDHVLQFRUUHFWD" 11.59 [EX11-59] &RPRVHUHSRUWyHQHO86$7RGD\, aproxi- PDGDPHQWHPLOORQHVGHIDPLOLDVHQYLDURQHVWXGLDQWHVDOD universidad este ao y ms de la mitad viven lejos de casa. 'yQGHYLYHQORVHVWXGLDQWHV" Casa de padres o tutores 46% Alojamiento en el campus 26% Renta fuera del campus 18% Vivienda propia fuera del campus 9% Otros arreglos 2% Nota: Supera 100% debido a error de redondeo. 8QDPXHVWUDGHHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRVUHVXOWyHQOD siguiente informacin: /DGLVWULEXFLyQGHHVWDPXHVWUDHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQ- WHGHODGLVWULEXFLyQUHSRUWDGDHQHOSHULyGLFR"8VD = 0.05. (Para ajustar el error de redondeo, resta 2 de cada frecuencia esperada.) a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.60 [EX11-60] A travs de los aos, los actores afroame- ULFDQRVHQODVJUDQGHVSURGXFFLRQHVFLQHPDWRJUiFDVKDQWH- nido ms probabilidad que los actores blancos de representar papeles principales en las comedias. La tabla muestra el por- FHQWDMHGHWRGRVORVSDSHOHVSRUWLSRGHSHOtFXOD /DVLJXLHQWHWDEODSUHVHQWDXQDPXHVWUDGHODVSHOtFXODVPiV UHFLHQWHVFRQHOQ~PHURGHSDSHOHVSULQFLSDOHV LQWHUSUHWDGRV SRUDIURDPHULFDQRVSRUFDGDWLSRGHSHOtFXOD (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDODGLVWULEXFLyQGHSDSHOHVGH DIURDPHULFDQRVGLHUHGHODGLVWULEXFLyQJOREDOGHSDSHOHVHQ ODVJUDQGHVSURGXFFLRQHVFLQHPDWRJUiFDV" a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. Casa de padres o tutores 484 Alojamiento en el campus 230 Renta fuera del campus 168 Vivienda propia fuera del campus 96 Otros arreglos 22 Tipo de pelcula Porcentaje de papeles Accin y aventura 13.2 Comedia 31.9 Drama 23.0 Horror y suspenso 12.5 Comedia romntica 8.2 Otra 11.2 Tipo de pelcula Nmero de papeles Accin y aventura 9 Comedia 40 Drama 17 Horror y suspenso 11 Comedia romntica 5 Otra 7 www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 573 11.61 [EX11-61]/DPD\RUtDGHORVJROVWDVSUREDEOHPHQWH VRQIHOLFHVGHMXJDUKR\RVVLHPSUHTXHWLHQHQRSRUWXQLGDG GHKDFHUOR%HQ:LQWHUXQMXJDGRUSURIHVLRQDOMXJyKR \RVHQXQGtDHQXQPDUDWyQGHJROIGHFDULGDGHQ6WHYHQV 3HQQV\OYDQLD8QDHQFXHVWDQDFLRQDOUHDOL]DGDSRUODUHYLVWD *ROI a travs de internet revel la siguiente distribucin de fre- FXHQFLDVGHOPD\RUQ~PHURGHKR\RVMDPiVMXJDGRSRUTXLH QHVUHVSRQGLHURQHQXQGtD Mayor nmero Mayor nmero de hoyos de hoyos jugado en 1 da Porcentaje jugado en 1 da Porcentaje 18 5 37 a 45 20 19 a 27 12 46 a 54 18 28 a 36 28 55 o ms 17 6XSyQTXHXQRGHORVFDPSRVGHJROIS~EOLFRVORFDOHVSLGLyD JROVWDVTXHUHVSRQGLHUDQODPLVPDSUHJXQWD/DVLJXLHQ te tabla resume sus respuestas: Mayor nmero Mayor nmero de hoyos de hoyos jugado en 1 da Nmero jugado en 1 da Nmero 18 12 37 a 45 44 19 a 27 35 46 a 54 35 28 a 36 60 55 o ms 14 /D GLVWULEXFLyQ GHPD\RU Q~PHUR GH KR\RV MXJDGR SRU ORV JROVWDVPDUDWRQLVWDVHQWXFDPSRS~EOLFRGLHUHGHODGLVWUL bucin recopilada por la revista *ROI que us respuestas recaba- GDVHQLQWHUQHW"3RQDSUXHEDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.62 [EX11-62] El censo estadounidense descubri que los bebs llegan al mundo durante los diversos meses en las si- guientes proporciones. Mes P(mes) Mes P(mes) Mes P(mes) Enero 0.082 Mayo 0.084 Septiembre 0.087 Febrero 0.076 Junio 0.081 Octubre 0.086 Marzo 0.082 Julio 0.089 Noviembre 0.080 Abril 0.081 Agosto 0.089 Diciembre 0.083 8QD PXHVWUD DOHDWRULD VHOHFFLRQDGD GH ORV UHJLVWURV GH QD cimiento para una gran rea metropolitana result en los si- guientes datos: Mes En Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Observado 14 12 12 10 16 9 16 11 17 7 17 9 D (VWRVGDWRVRIUHFHQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUOD DUPDFLyQORVQDFLPLHQWRVRFXUUHQHQHVWDiUHDPHWURSROL tana en las mismas proporciones mensuales" que las repor- WDGDVSRUODRFLQDFHQVDOHVWDGRXQLGHQVH"8VD = 0.05. E (VWRVGDWRVRIUHFHQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUOD DUPDFLyQORVQDFLPLHQWRVRFXUUHQHQHVWDiUHDPHWUR SROLWDQDHQWRGRVORVPHVHVFRQODPLVPDSUREDELOLGDG" 8VD = 0.05. F &RPSDUDORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVHQORVLQFLVRVD\E Enuncia tus conclusiones. 11.63 [EX11-63] Los pesos ([) de 300 adultos varones se de- terminaron y usaron para poner a prueba la hiptesis de que los pesos tienen distribucin normal, con una media de 160 lb y una desviacin estndar de 15 lb. Los datos se agruparon en las siguientes clases. Frecuencia Frecuencia Peso (x) observada Peso (x) observada x < 130 7 160 ) < 175 102 130 ) < 145 38 175 ) < 190 40 145 ) < 160 100 190 y ms 13 &RQODVWDEODVQRUPDOHVORVSRUFHQWDMHVSDUDHVWDVFODVHVVRQ \UHVSHFWL YDPHQWH/RVGDWRVREVHUYDGRVPXHVWUDQUD]yQVLJQLFDWLYD para desacreditar la hiptesis de que los pesos tienen distribu- cin normal, con una media de 160 lb y una desviacin estn- GDUGHOE"8VD = 0.05. D 9HULFDORVSRUFHQWDMHVSDUDODVFODVHV b. Resuelve usando el mtodo de valor p. c. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.647LHQHVDOJXQDFRPLGDVHQFLOODIDYRULWD"&yPROD REWLHQHV"(O6QDSVKRWGHO86$7RGD\ menciona tres mtodos usados por los estadounidenses y el porcentaje que usa cada PpWRGR$FXiOFDWHJRUtDSHUWHQHFHV"$XQDPXHVWUDDOHDWRULD de 120 estadounidenses que viven en la costa este se le pregun- WyFyPRREWLHQHVXFRPLGDVHQFLOOD" Fuente: Golf, "18 Is Not Enough" Fuente: U.S. Census Bureau FRQWLQ~DHQODS Fuente: Opinion Research Corp. para Lactaid por Justin Dickerson y Suzy Parker, USA Today La mayora de los estadounidenses (95%) tienen una "comida sencilla" favorita. Porcentaje de quienes: No saben La compran Piden a alguien ms prepararla La preparan Sobornando nuestras chuletas Ejercicis del captulo zkruger. Usada bajo licencia de Shutterstock.com www.fullengineeringbook.net 574 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada Piden a alguien Comida ms que sencilla La compran La preparan la prepare No sabe Costa este 57 44 12 7 &RQORVSRUFHQWDMHVGDGRVHQODJUiFDFRPRHOHVWiQGDUQD- FLRQDOODHYLGHQFLDLQGLFDTXHODVUHVSXHVWDVGHODFRVWDHVWH VRQGLIHUHQWHVGHODVGHODQDFLyQFRPRXQWRGR"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.65 [EX11-65] La siguiente tabla proporciona los conteos GHFRORUSDUDXQDPXHVWUDGHEROVDVWDPDxRGHJUD- mos) de M&M. Caso Rojo Verde Azul Nar. Am. Caf 1 15 9 3 3 9 19 2 9 17 19 3 3 8 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com $QWHVGHO9RWRGH&RORU*OREDO*&9SRUVXVVLJODVHQLQJOpV de 2002, el porcentaje meta para cada color en la mezcla de VHLVFRORUHVHUDHOVLJXLHQWHFDIpURMR\DPDULOOR D]XOYHUGH\DQDUDQMDGR D (OFDVRPXHVWUDTXHODEROVDWLHQHXQDGLVWULEXFLyQ VLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHGHFRORUHVTXHODGLVWULEX FLyQPHWD"8VD = 0.05. E &RPELQDORVFDVRV\(OWRWDOGHODVEROVDV\ PXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWH GHFRORUHVTXHODGLVWULEXFLyQPHWD" F &RPELQDORVUHVXOWDGRVGHODVEROVDV(OWRWDOGHODV EROVDVPXHVWUDXQDGLVWULEXFLyQVLJQLFDWLYDPHQWH GLIHUHQWHGHFRORUHVTXHODGLVWULEXFLyQPHWD" d. Discute los hallazgos de los incisos a-c. 11.66 Adultos de 21 aos de edad y ms son voluntarios de una a nueve horas cada semana en un centro para ciudadanos adultos mayores discapacitados. El programa recluta adultos estudiantes de universidad comunitaria, estudiantes de univer- sidades de cuatro aos y no estudiantes. La tabla siguiente pre- VHQWDXQDPXHVWUDGHORVYROXQWDULRVVXQ~PHURGHKRUDVSRU semana y el tipo de voluntario. Estudiantes Universidad Univ. Com. 4 aos No estudiantes 1-3 horas 109 115 117 4-6 horas 82 123 138 7-9 horas 34 28 47 (OWLSRGHYROXQWDULR\HOQ~PHURGHKRUDVGHYROXQWDULDGR VRQLQGHSHQGLHQWHVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" PTI En el ejercicio 11.67 no uses valores redondeados. 11.67 [EX11-67]8QIDEULFDQWHGH]DSDWRVSDUDPXMHUTXLHUH comparar la distribucin de los defectos encontrados en los zapatos producidos por los tres turnos de trabajadores en su SODQWD8QDPXHVWUDGH]DSDWRVFRQGHIHFWRVVHFODVLFDSRU tipo de defecto y turno de produccin. Tipo de defecto Turno A B C D 6 a.m. 17 23 43 17 2 p.m. 27 37 33 9 10 p.m. 31 19 53 18 a. Si las proporciones de los cuatro defectos fueran iguales SDUDORVWUHVWXUQRVLPSOLFDUtDTXHORVGHIHFWRVVRQLQGH- SHQGLHQWHVGHOWXUQR"([SOLFDSRUTXpVtRSRUTXpQR E 4XpLPSOLFDUtDVLODVSURSRUFLRQHVYDULDUDQGHWXUQRD WXUQR"([SOLFD F /RVGDWRVDQWHULRUHVPXHVWUDQTXHODVSURSRUFLRQHV YDUtDQVLJQLFDWLYDPHQWHGHWXUQRDWXUQRHQHOQLYHOGH VLJQLFDQFLD8VD "([SOLFD\HQXQFLDFRQPXFKR cuidado tu decisin, conclusin y evidencia. 11.68 [EX11-68] /DVLJXLHQWHWDEODPXHVWUDHOQ~PHURGHFUt- menes reportados cometidos el ao pasado en la parte interna GHXQDJUDQFLXGDG/RVFUtPHQHVVHFODVLFDURQGHDFXHUGR con el tipo de crimen y el distrito de la ciudad interior donde RFXUULHURQ(VWRVGDWRVPXHVWUDQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUH- chazar la hiptesis de que el tipo de crimen y el distrito donde RFXUULyVRQLQGHSHQGLHQWHV"8VD = 0.01. Crimen Distrito Robo Asalto Allanamiento Latrocinio Robo de vehculo 1 54 331 227 1090 41 2 42 274 220 488 71 3 50 306 206 422 83 4 48 184 148 480 42 5 31 102 94 596 56 6 10 53 92 236 45 a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.69 [EX11-69] &RQEDVHHQORVUHVXOWDGRVGHXQDHQFXHVWD LQGLYLGXRV IXHURQ FODVLFDGRV FRPRSROtWLFDPHQWH FRQ- servadores, moderados o liberales. Adems, cada persona fue FODVLFDGDSRUHGDGFRPRVHPXHVWUDHQODVLJXLHQWHWDEOD Grupo de edad 20-35 36-50 Mayor que 50 Totales Conservador 20 40 20 80 Moderado 80 85 45 210 Liberal 40 25 45 110 Total 140 150 110 400 Fuente: http://www.math.uah.edu/, Christine Nickel y Jason York, ST 687 project www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 575 ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGHTXHOD SUHIHUHQFLDSROtWLFDHVLQGHSHQGLHQWHGHODHGDG"8VD = 0.01. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.70 [EX11-70](OGHPD\RGHHO&HQWUR1DFLRQDO SDUDOD3UHYHQFLyQGH(QIHUPHGDGHV&UyQLFDV\OD3URPRFLyQGH OD6DOXGORV&HQWURVSDUDHO&RQWURO\3UHYHQFLyQGH(QIHUPHGD- GHVUHSRUWDURQORVUHVXOWDGRVGHOD(QFXHVWDGH&RPSRUWDPLHQ WRGH5LHVJR-XYHQLO(VWDGRV8QLGRV(OUHSRUWHGLYLGHOD PXHVWUDGHDGROHVFHQWHVHVWDGRXQLGHQVHVHQQLYHOHVGH grado, como se aprecia en la siguiente tabla. Los estudiantes ad- PLWLHURQSRUWDUXQDUPDGHQWURGHORVGtDVSUHYLRVDODHQFXHV- WD\KDEHUSDUWLFLSDGRHQSHOHDVItVLFDVGXUDQWHHODxRSDVDGR/D siguiente tabla resume dos porciones de los resultados. Al menos una vez Nunca Total Porta un arma Grados 9 y 10 1 436 7 008 8 444 Grados 11 y 12 1 140 5 600 6 740 Total 2 576 12 608 15 184 En pelea fsica Grados 9 y 10 3 057 5 387 8 444 Grados 11 y 12 1 942 4 798 6 740 Total 4 999 10 185 15 184 /DHYLGHQFLDPXHVWUDOHQVHxDTXHORVHVWXGLDQWHVGHORVJUD- dos 9 y 10 y los grados 11 y 12 tienen diferentes tendencias SDUDSRUWDUDUPDVHQODHVFXHOD"3DUDLQYROXFUDUVHHQXQDSH- OHDItVLFD"8VDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDHQFDGDFDVR a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.71 [EX11-71] &RQEDVHHQGDWRVGHODRFLQDFHQVDOHVWD- GRXQLGHQVHOD$VRFLDFLyQ1DFLRQDOGH&RQVWUXFWRUHVGH&DVDV predijo un aumento en las tasas de propiedad para la dcada SDVDGD3DUWHGHODSUHGLFFLyQDQXQFLyHOtQGLFHGHODFRQVWUXF- cin domstica privada por regin. La siguiente tabla muestra lo que predijeron. ndice de construccin domstica privada Regin 1996-2000 2001-2005 2006-2010 Noreste 145 161 170 Sur 710 687 688 Medio oeste 331 314 313 Oeste 382 385 373 /RV GDWRV SUHVHQWDQ VXFLHQWH HYLGHQFLD SDUD UHFKD]DU OD KLSyWHVLV GH TXH OD GLVWULEXFLyQ GH tQGLFHV GH FRQVWUXFFLyQ domstica privada a travs de las regiones fue la misma para WRGRVORVDxRV"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.72 [EX11-72] Se fabricaron 41 pequeos lotes de produc- to experimental y se pusieron a prueba por la ocurrencia de un indicio particular que se atribuye en naturaleza, aunque causa rechazo de la parte. Se fabricaron 10 lotes usando un mtodo de procesamiento particular y 31 lotes se fabricaron con un VHJXQGRPpWRGRGHSURFHVDPLHQWR&DGDORWHIXHLJXDOPHQWH muestreado (n = 32) para la presencia de este indicio. En la prctica, las condiciones de procesamiento ptimo mostraron poca o ninguna ocurrencia del indicio. El mtodo 1, que invo- lucra los 10 lotes, se corri antes que el mtodo 2. D 'HWHUPLQDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDVLH[LVWHDO- guna diferencia en la proporcin de producto rechazado entre los dos mtodos. E &RPSDUDWXVKDOOD]JRVGHOLQFLVRDFRQWXVKDOOD]JRVHQHO ejercicio 10.109 (p. 521). Incluye todas las partes de las pruebas de hiptesis en tu comparacin. F 'LUtDVTXHHVWRVGRVSURFHGLPLHQWRVGHSUXHEDVRQ HTXLYDOHQWHV"2IUHFHHYLGHQFLDHVSHFtFDSDUDDSR\DU tu respuesta. 11.73&XDWURPDUFDVGHURVHWDVGHPDt]VHSXVLHURQDSUXHED para su capacidad de "reventar". Se reventaron 100 granos de FDGDPDUFD\VHUHJLVWUyHOQ~PHURGHJUDQRVTXHQRUHYHQWy HQFDGDSUXHEDFRQVXOWDODVLJXLHQWHWDEOD3XHGHVUHFKD]DU la hiptesis nula de que las cuatro marcas reventaron igual- PHQWH"3RQDSUXHEDHQ = 0.05. Marca A B C D Nm. no revent 14 8 11 15 a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.74 [EX11-74]8QSURPHGLRGHGRVMXJDGRUHVSRUHTXLSRV de bsquetbol varonil y femenil de bachillerato se lesionan du- rante una temporada. La tabla siguiente muestra la distribucin de lesiones para una muestra aleatoria de 1 000 mujeres y 1 000 hombres tomados de los registros de la temporada de todas las lesiones reportadas. Lesin Mujeres Hombres Tobillo/pie 360 383 Cadera/muslo/pierna 166 147 Rodilla 130 103 Antebrazo/mueca/mano 112 115 Cara/crneo 88 122 Todas las dems 144 130 Fuente: Datos tomados de http://www.cdc.gov/ Mtodos n Nmero de rechazos Mtodo 1 320 4 Mtodo 2 992 26 Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb FRQWLQ~DHQODSiJLQD Ejercicis del captulo www.fullengineeringbook.net 576 Captulo 11 Aplicaciones de ji cuadrada (VWDLQIRUPDFLyQPXHVWUDOSUHVHQWDVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD concluir que la distribucin de lesiones es diferente para muje- UHVTXHSDUDKRPEUHV"8VD = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.75 [EX11-75](QWXOLFHQFLDGHFRQGXFLUHVSHFLFDVTXH HUHVGRQDGRUGHyUJDQRV"7RGRVKDQHVFXFKDGRHVWDSUHJXQ- WD\ODUHVSXHVWDGHEHSURQXQFLDUVHGHDFXHUGRFRQHODUWtFXOR GHOGHPDU]RGH7UDVSODQWHVGHyUJDQRVDOFDQ]DQ QXHYDPDUFDGHFDVLHQ/RVUHVXOWDGRVH[DFWRV de los tipos de donaciones de rganos son los siguientes. De un donador muerto De un donador vivo 2003 18 650 6 812 2004 20 018 6 966 D 4XpSRUFHQWDMHGHGRQDGRUHVGHyUJDQRVHUDQPXHUWRV SDUDFDGDDxR"7~YHVHVWRVSRUFHQWDMHVFRPRVLJQLFD- WLYDPHQWHGLIHUHQWHV"([SOLFD E (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDODVWDVDVGHGRQDGRUHV PXHUWRVDGRQDGRUHVYLYRVFDPELyVLJQLFDWLYDPHQWH HQWUH\" F &RPSDUDODGHFLVLyQDOFDQ]DGDHQHOLQFLVREFRQWX respuesta en el inciso a. Describe cualquier diferencia y explica qu las caus. 11.76 [EX11-76] El registro laboral del ao pasado por au- VHQWLVPRHQFDGDXQDGHFXDWURFDWHJRUtDVSDUDHPSOHDGRV VHOHFFLRQDGRVDOD]DUVHUHFRSLOyHQODVLJXLHQWHWDEOD(VWRV GDWRVSURSRUFLRQDQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSy- tesis de que la tasa de ausentismo es la misma para todas las FDWHJRUtDVGHHPSOHDGRV"8VD \GtDVODERUDOHV para el ao. Hombre Hombre Mujer Mujer casado soltero casada soltera Nmero empleados 40 14 16 30 Das ausente 180 110 75 135 a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 11.776LW~IXHUDVDURGDUXQGDGRYHFHVFXiQGLIHUHQWHV GHSRGUtDQVHUODVIUHFXHQFLDVREVHUYDGDVSDUDFDGDFDUD DQWHVGHTXHORVUHVXOWDGRVVHYROYLHUDQVLJQLFDWLYDPHQWHGL- IHUHQWHVGHLJXDOPHQWHSUREDEOHVHQHOQLYHO" 11.78&RQVLGHUDHOVLJXLHQWHFRQMXQWRGHGDWRV Respuesta S No Total Grupo 1 75 25 100 Grupo 2 70 30 100 Total 145 55 200 D &DOFXODHOYDORUGHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED]+TXHXVDUtDV para poner a demostracin la hiptesis nula de que p 1 = p 2 , donde p 1 y p 2 VRQODVSURSRUFLRQHVGHUHVSXHVWDVVt en los grupos respectivos. E &DOFXODHOYDORUGHOHVWDGtVWLFRGHSUXHED2+TXHXVDUtDV para poner a prueba la hiptesis de que "la respuesta es independiente del grupo". c. Demuestra que 2+= (]+)2. 11.79 Escribe un prrafo (50+ palabras) que describa las cir- FXQVWDQFLDVTXHUHTXHULUtDQHOXVRGHOPpWRGRMLFXDGUDGDPXO- WLQRPLDO,QFOX\HVXSRVLFLRQHVTXHVHKDUtDQFXDQGRXVHVHVWH mtodo. 11.80 Escribe un prrafo (50+ palabras) que describa las cir- FXQVWDQFLDVTXHUHTXHULUtDQHOXVRGHOPpWRGRMLFXDGUDGDWDEOD GHFRQWLQJHQFLDLQGHSHQGHQFLD ,QFOX\H ODVVXSRVLFLRQHVTXH VHKDUtDQFXDQGRXVHVHVWHPpWRGR 11.81 Escribe un prrafo (50+ palabras) que describa las cir- FXQVWDQFLDVTXHUHTXHULUtDQHOXVRGHOPpWRGRMLFXDGUDGDWDEOD GHFRQWLQJHQFLDKRPRJHQHLGDG,QFOX\HODVVXSRVLFLRQHVTXH VHKDUtDQFXDQGRXVHVHVWHPpWRGR 11.82 Escribe un prrafo (50+ palabras) que describa las si- militudes y diferencias entre las pruebas ji cuadrada multino- mial y de homogeneidad. 11.83 Escribe un prrafo (50+ palabras) que describa las si- militudes y diferencias entre las pruebas ji cuadrada de inde- pendencia y de homogeneidad. Examen de prctica del captulo Fuente: http://www.seniorjournal.com/ 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negritas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 11.1 (OQ~PHURGHJUDGRVGHOLEHUWDGSDUDXQDSUXHEDGHXQ experimento multinomial es igual a Q~PHURGHFHOGDV en los datos experimentales. 11.2 La frecuencia esperada en una prueba ji cuadrada se encuentra al multiplicar la probabilidad hipottica de XQDFHOGDSRUHOQ~PHURWRWDOGHREVHUYDFLRQHVHQOD muestra. www.fullengineeringbook.net Captulo 00 Captulo ttulo 577 11.3 La frecuencia observada de una celda no debe permi- tirse ser menor que 5 cuando se realiza una prueba ji cuadrada. 11.4 En un experimento multinomial se tienen (r 1)(c 1) grados de libertad (rHVHOQ~PHURGHODV\c es el Q~PHURGHFROXPQDV 11.5 8Q H[SHULPHQWRPXOWLQRPLDO FRQVLVWH HQn ensayos independientes idnticos. 11.6 8Qexperimento multinomial ordena los datos en una FODVLFDFLyQGHGRVYtDVWDOTXHORVWRWDOHVHQXQDGL- reccin estn predeterminados. 11.7 Los cuadros tanto para el experimento multinomial como para la tabla de contingencia deben establecerse de tal forma que cada pieza de datos caer exactamen- WHHQXQDGHODVFDWHJRUtDV 11.8 (OHVWDGtVWLFRGHSUXHED tiene una distribucin que es aproximadamente normal. 11.9 Los datos usados en una prueba multinomial ji cuadra- da siempre son enumerativos. 11.10 La hiptesis nula a poner a prueba por una prueba de homogeneidad es que la distribucin de proporciones es la misma para cada una de las subpoblaciones. PARTE II: Aplicacin de los conceptos Responde todas las preguntas. Muestra las frmulas, las susti- tuciones y el trabajo. 11.11(QXQFLD ODV KLSyWHVLV QXOD \ DOWHUQDWLYD TXH XVDUtDV SDUDSRQHUDSUXHEDFDGDXQDGHHVWDVDUPDFLRQHV D /RV QXPHUDOHV GH XQ VROR GtJLWR JHQHUDGRV SRU FLHUWR JHQHUDGRU GH Q~PHURV DOHDWRULRV QR VRQ igualmente probables. E /RVUHVXOWDGRVGHOD~OWLPDHOHFFLyQHQWXFLXGDG sugieren que los votos emitidos no fueron indepen- dientes del partido registrado del votante. F /DVGLVWULEXFLRQHVGHWLSRVGHFUtPHQHVFRPHWLGRV contra la sociedad son las mismas en las cuatro ciu- dades estadounidenses ms grandes. 11.12 Encuentra cada valor: a. 2 b. 2 11.13$FRQVXPLGRUHVVHOHVSLGLyLGHQWLFDUFXiOGHWUHV GLIHUHQWHVDUWtFXORVHQFRQWUDURQFRPRHOPiVDWUDFWLYR /DWDEODPXHVWUDHOQ~PHURTXHSUHULyFDGDDUWtFXOR Artculo 1 2 3 Nmero 85 103 112 (VWRVGDWRVSUHVHQWDQVXFLHQWHHYLGHQFLDHQHOQLYHO GHVLJQLFDQFLDSDUDLQGLFDUTXHORVWUHVDUWtFXORV QRIXHURQLJXDOPHQWHSUHIHULGRV" 11.14 Para estudiar el efecto del tipo de suelo en la cantidad GHFUHFLPLHQWRDOFDQ]DGRSRUXQDQXHYDSODQWDKtEUL- da, se plantaron muestras en tres diferentes tipos de suelo y sus subsecuentes cantidades de crecimiento se FODVLFDURQHQWUHVFDWHJRUtDV Tipo de suelo Arcilla Arena Marga Crecimiento Pobre 16 8 14 Promedio 31 16 21 Bueno 18 36 25 Total 65 60 60 /DFDOLGDGGHFUHFLPLHQWRSDUHFHGLVWULEXLUVHGHPD- nera diferente para los tipos de suelo probados en el QLYHO" a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Encuentra el valor esperado para la celda que con- tiene 36. F &DOFXODHOYDORUGHMLFXDGUDGDSDUDHVWRVGDWRV d. Encuentra el valor p. H (QFXHQWUDORVFULWHULRVGHSUXHED>QLYHOGHVLJQL- FDQFLDHVWDGtVWLFRGHSUXHEDVXGLVWULEXFLyQUHJLyQ FUtWLFD\YDORUHVFUtWLFRV@ f. Enuncia la decisin y la conclusin para esta prue- ba de hiptesis. PARTE III: Comprender los conceptos 11.15 Explica cmo un experimento multinomial y un expe- rimento binomial son similares y tambin cmo son diferentes. 11.16 Explica la distincin entre una prueba de independen- cia y una prueba de homogeneidad. 11.17 El estudiante A dice que las pruebas de independen- FLD\KRPRJHQHLGDGVRQLJXDOHVHOHVWXGLDQWH%GLFH que no son del todo parecidas porque son pruebas de diferentes conceptos. Ambos estudiantes estn parcial- mente correctos y parcialmente equivocados. Explica. 11.187~LQWHUSUHWDVORVUHVXOWDGRVGHXQDHQFXHVWDGHRSL- nin acerca del papel del reciclado en tu ciudad. A una muestra aleatoria de 400 personas se les pidi respon- der totalmente a favor, ligeramente a favor, neutro, li- geramente en contra o totalmente en contra a cada una GHYDULDVSUHJXQWDV+D\FXDWURSUHJXQWDVFODYHTXHWH preocupan y planeas analizar sus resultados. D &yPRFDOFXODVODVSUREDELOLGDGHVHVSHUDGDVSDUD FDGDUHVSXHVWD" E &yPRGHFLGLUtDVVLODVFXDWURSUHJXQWDVVHUHVSRQ- GLHURQLJXDO" (O E)2 E Examen de prctic del captulo www.fullengineeringbook.net 578 Captulo 00 Captulo ttulo 12 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza ANOVA se usa para poner a prueba una hiptesis en torno a varias medias poblacionales 12.2 La lgica detrs de ANOVA Se comparan la variacin intermuestral y la variacin intramuestral 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor Consideraciones de la notacin y un modelo matemtico que explican la composicin de cada pieza de datos Anlisis de varianza El ajetreo matutino En un pas tan grande y diverso como Estados Unidos, ser promedio todava deja mucho espa- cio para ser diferente. He aqu un vistazo al inicio en la vida diaria para el estadounidense promedio que se traslada. Cmo lo medirs? Son las 6 a.m. Suena la alarma. Tienes que asearte y vestirte, desayunar y, si eres padre, ayudar a los nios a estar listos para ir a la escuela, ms cualesquier otros detalles multitarea necesarios para hacerte cargo de ellos. Ahora son las 7:30 a.m. y es tiempo de iniciar el traslado de 25 minutos hacia el trabajo y llegar justo a tiempo para iniciar tu da a las 8:00 a.m. He aqu un vistazo a los tiempos de traslado promedio en un sentido en algunas de las principales ciudades estadounidenses. Parece haber diferencias entre los tiempos de traslado medios en un sentido para estas seis ciudades? Anteriormente se pusieron a prueba hiptesis acerca de dos medias. En este captulo la preocupacin es con la puesta a prueba de hiptesis acerca de varias medias. La tcnica de anlisis de varianza (ANO- Imagen copyright Natalia Bratslavsky, 2009. Usada bajo licencia de Shutterstock.com 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza TABLA 12.1 Ciudad Promedio Lmite clase inferior Lmite clase superior Atlanta, GA 26.5 24.2 28.8 Boston, MA 28.2 26.9 29.5 Dallas, Tx 25.3 24.0 26.6 Filadelfia, PA 30.3 29.3 31.3 Seattle, WA 23.8 22.6 25.0 San Luis, MO 23.3 21.8 24.8 www.fullengineeringbook.net 579 VA), que ests a punto de explorar, se usar para poner a prueba una hiptesis nula acerca de varias medias, por ejemplo, H o : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 Al usar la tcnica anterior para hiptesis en torno a dos medias, podras poner a prueba va- rias hiptesis si cada una enunciara una comparacin de dos medias. Por ejemplo, podras poner a prueba H 1 : 1 = 2 H 2 : 1 = 3 H 3 : 1 = 4 H 4 : 1 = 5 H 5 : 2 = 3 H 6 : 2 = 4 H 7 : 2 = 5 H 8 : 3 = 4 H 9 : 3 = 5 H 10 : 4 = 5 Para poner a prueba la hiptesis nula, H o , de que las cinco medias son iguales, tendras que poner a prueba cada una de estas 10 hiptesis usando la tcnica anterior. El rechazo de alguna de las 10 hiptesis en torno a dos medias causara el rechazo de la hiptesis nula de que las cinco medias son iguales. Si se fallara en rechazar las 10 hiptesis, se fallara en rechazar la hiptesis nula principal. Al poner a prueba de esta forma, la ta- sa global de error tipo I se volvera mucho ms grande que el valor de asociado con una sola prueba. Por tanto, las tcnicas ANOVA permiten poner a prueba la hiptesis nula (todas las medias son iguales) contra la hiptesis alternativa (al menos un valor de PHGLDHVGLIHUHQWHFRQXQYDORUHVSHFtFRGH. En este captulo se introduce ANOVA. Los experimentos ANOVA pueden ser muy complejos, dependiendo de la situacin. La discusin se restringir al diseo experimental ms bsico: la ANOVA de un solo factor. El estudio de la tcnica de anlisis de varianza comienza con la observacin de un ejemplo. E J E M P L O 1 2 . 1 PRUEBA DE HIPTESIS PARA VARIAS MEDIAS Se considera que la temperatura a la que se mantiene una planta de fabri- cacin afecta la tasa de produccin en la planta. Los datos de la tabla 12.2 son el nmero, x, de unidades producidas en 1 hora para periodos de 1 hora seleccionados al azar cuando el proceso de produccin en la planta operaba en cada uno de tres niveles de temperatura. Los valores de datos de muestreos repetidos se llaman rplicas. Cuatro rplicas o valores de datos, se obtuvieron para dos de las temperaturas y cinco se obtuvieron para la tercera temperatu- ra. Estos datos sugieren que la temperatura tiene un efecto significativo sobre el nivel de produccin en = 0.05? El nivel de produccin se mide mediante el valor medio; xi indica la media de la produccin observada en el nivel i, donde i = 1, 2 y 3 corresponden a temperaturas de 68, 72 y 76F, respectivamente. Existe cierta cantidad de TABLA 12.2 Resultados muestrales de temperatura y produccin Niveles de temperatura Muestra de 68F (i = 1) Muestra de 72F (i = 2) Muestra de 76F (i = 3) 10 7 2 12 6 3 10 7 5 9 8 4 7 Totales de C1 = 41 C2 = 35 C3 = 15 columna x1 = 10.25 x2 = 7.0 x3 = 3.75 Seccin 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza www.fullengineeringbook.net 580 Captulo 12 Anlisis de varianza variacin entre estas medias. Dado que las medias muestrales no son necesa- riamente las mismas cuando se toman muestras repetidas de una poblacin, puede esperarse algo de variacin, incluso si las tres medias poblacionales son iguales. A continuacin se seguir la pregunta: esta variacin entre las x se debe al azar o se debe al efecto que la temperatura tiene sobre la tasa de produccin? Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: la "media" en cada nivel del factor de prue- ba es de inters: la tasa de produccin media a 68F, 68; la tasa de produccin media a 72F, 72, y la tasa de produccin media a 76F, 76. El factor a poner a prueba, temperatura de la planta, tiene tres niveles: 68, 72 y 76F. b. Enunciado de hiptesis: Ho: 68 = 72 = 76 Esto es, la verdadera media de produccin es la misma en cada nivel de temperatura puesto a prueba. En otras palabras, la tempe- ratura no tiene un efecto significativo sobre la tasa de produccin. La alternativa a la hiptesis nula es Ha: No todas las medias de nivel de temperatura son iguales. Por tanto, se querr rechazar la hiptesis nula si los datos mues- tran que una o ms de las medias son significativamente diferentes de las otras. Paso 2 a. Suposiciones: los datos se recolectaron al azar y son independien- tes de los dems. Los efectos debidos al azar y los factores no puestos a prueba se suponen tienen distribucin normal. (Consulta las pp. 588-589 para mayor discusin.) b. Estadstico de prueba: se tomar la decisin de rechazar Ho o fallar para rechazar Ho al usar la distribucin F y un estadstico de prueba F. c. Nivel de significancia: = 0.05 (dado en el enunciado del pro- blema). Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 12.2. b. Calcula el estadstico de prueba: Recuerda del captulo 10 que el valor calculado de F es la razn de dos varianzas. El procedimiento de anlisis de varianza separar la variacin en- tre todo el conjunto de datos en dos categoras. Para lograr esta separacin, primero trabaja con el numerador de la fraccin usada para definir varianza muestral, frmula (2.5) (p. 76): s2 = (x x) 2 n 1 El numerador de esta fraccin se llama suma de cuadrados: Total de la suma de cuadrados suma de cuadrados = (x x)2 (12.1) www.fullengineeringbook.net 581 Se calcula el total de suma de cuadrados, SS(total), para el conjunto de datos total al usar una frmula que sea equivalente a la frmula (12.1), pero no requiere el uso de x. Esta frmula equivalente es Atajo para el total de la suma de cuadrados SS(total) = (x)2 (x) 2 n Ahora puedes encontrar SS(total) para el ejemplo con la frmula (12.2). Primero, (x2) = 102 + 122 + 102 + 92 + 72 + 62 + 72 + 82 + 72 + 32 + 32 + 52 + 42 = 731 x = 10 + 12 + 10 + 9 + 7 + 6 + 7 + 8 + 7 + 3 + 3 + 5 + 4 = 91 Despus, con la frmula (12.2), se tiene SS(total) = (x2) (x)2 : SS(total) = 731 (91) 2 = 731 637 = 94 n 13 A continuacin, 94, SS(total), debe separarse en dos partes: la suma de cua- drados debida a niveles de temperatura, SS(temperatura) y la suma de cuadra- dos debida a error experimental de rplica, SS(error). Esta divisin usualmente se conoce como particionar, pues SS(temperatura) + SS(error) = SS(total) esto es: en el ejemplo, SS(temperatura) + SS(error) = 94. La suma de cuadrados, SS(factor) [SS(temperatura) para el ejemplo], que mide la variacin entre los niveles de factor (temperaturas) se encuentra con la frmula (12.3): Suma de cuadrados debido a factor SS(factor) = C 2 + C 2 + C 2 + . . . (x) 2 k1 k2 k3 n donde Ci representa el total de columna, ki representa el nmero de rpli- cas en cada nivel del factor y n representa el tamao total de la muestra (n = ki). Nota: los datos se ordenaron de modo que cada columna representa un dife- rente nivel del factor a poner a prueba. Ahora puedes encontrar SS(temperatura) para el ejemplo, con la frmula (12.3): SS(factor) = C 2 + C 2 + C 2 + . . . (x) 2 : k1 k2 k3 n SS temperatura = 41 2 + 35 2 + 15 2 (91) 2 4 5 4 13 = (420.25 + 245.00 + 56.25) 637.0 = 721.5 637.0 = 84.5 La suma de cuadrados, SS(error), que mide la variacin dentro de las filas se encuentra con la frmula (12.4): Suma de cuadrados debida a error SS(error) = (x2) C 2 + C 2 + C 2 + . . . k1 k2 k3 (12.2) (12.3) (12.4) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Seccin 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza www.fullengineeringbook.net 582 Captulo 12 Anlisis de varianza Ahora puedes encontrar SS(error) para el ejemplo. Primero, (x2) = 731 (encontrada anteriormente) C 2 + C 2 + C 2 + . . . = 721.5 (encontrada anteriormente) k1 k2 k3 Despus, con la frmula (12.4), se tiene SS(error) = (x2) C 2 + C 2 + C 2 + . . . = 731.0 721.5 = 9.5 k1 k2 k3 Nota: SS(total) = SS(factor) + SS(error). La inspeccin de las frmulas (12.2), (12.3) y (12.4) verificar esto. Por conveniencia se usar una tabla ANOVA para registrar las sumas de cuadrados y organizar el resto de los clculos. En la tabla 12.3 se muestra el formato de una tabla ANOVA. Ya calculaste las tres sumas de cuadrados para el ejemplo. Los grados de libertad, gl, asociados con cada una de las tres fuentes se determinan del modo siguiente: 1. gl(factor) es 1 menos que el nmero de niveles (columnas) para los que se pone a prueba el factor: Grados de libertad para factor gl(factor) = c 1 donde c es el nmero de niveles para los cuales se pone a prueba el factor (nmero de columnas en la tabla de datos) 2. gl(total) es 1 menos que el nmero total de datos: Grados de libertad para total gl(total) = n 1 donde n es el nmero de datos en la muestra total (es decir: n = k1 + k2 + k3 + . . ., donde ki es el nmero de rplicas en cada nivel puesto a prueba) 3. gl(error) es la suma de los grados de libertad para todos los niveles puestos a prueba (columnas en la tabla de datos). Cada columna tiene ki 1 grados de libertad; por tanto, 1 1 2 2 3 3 TABLA 12.3 Formato para tabla ANOVA Fuente gl SS MS Factor 84.5 Error 9.5 Total 94.0 (12.5) (12.6) www.fullengineeringbook.net 583 gl(error) = (k1 1) + (k2 1) + (k3 1) + . . . o Grados de libertad para error gl(error) = n c Los grados de libertad para la ilustracin son gl(temperatura) = c 1 = 3 1 = 2 gl(total) = n 1 = 13 1 = 12 gl(error) = n c = 13 3 = 10 Las sumas de cuadrados y los grados de libertad deben coincidir; esto es: SS(factor) + SS(error) = SS(total) y gl(factor) + gl(error) = gl(total) La media cuadrtica para el factor que se pone a prueba, MS(factor) y para el error, MS(error), se obtienen al dividir el valor de suma de cuadrados entre el correspondiente nmero de grados de libertad: Media cuadrtica para factor MS(factor) = SS(factor) gl(factor) Media cuadrtica para error MS(error) = SS(error) gl(error) Las medias cuadrticas para el ejemplo son MS(temperatura) = SS(temperatura) = 84.5 = 42.25 gl(temperatura) 2 MS(error) = SS(error) = 9.5 = 0.95 gl(error) 10 La tabla ANOVA completa aparece en la tabla 12.4. Ahora la prueba de hiptesis se completa con las dos medias cuadrticas como las medidas de varianza. El valor calculado del estadstico de prueba, F+, se encuentra al dividir el MS(factor) entre el MS(error): Estadstico de prueba para ANOVA F+ = MS(factor) MS(error) (12.7) (12.8) (12.10) (12.11) (12.12) (12.9) TABLA 12.4 Tabla ANOVA para el ejemplo 12.1 Fuente gl SS MS Temperatura 2 84.5 42.25 Error 10 9.5 0.95 Total 12 94.0 Seccin 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza www.fullengineeringbook.net 584 Captulo 12 Anlisis de varianza En esta seccin viste cmo la tcnica ANOVA separ la varianza entre los datos muestrales en dos medidas de varianza: 1) MS(factor), la medida de varianza entre los niveles a ponerse a prueba y 2) MS(error), la medida de varianza dentro de los niveles a ponerse a prueba. entonces dichas medidas de varianza pueden compararse. Para el HMHPSORODYDULDQ]DHQWUHQLYHOHVTXHVHGHVFXEULyHVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHOD varianza dentro de los niveles (error experimental). Esto conduce a la conclusin de que ODWHPSHUDWXUDVtWXYRXQHIHFWRVLJQLFDWLYRVREUHODYDULDEOHx, el nmero de unidades de produccin completadas por hora. En la siguiente seccin se demostrar la lgica de la tcnica del anlisis de varianza. El valor calculado de F para el ejemplo se encuentra con la frmula (12.12): F+ = MS(factor) : F+ = MS(temperatura) = 42.25 = 44.47 MS(error) MS(error) 0.95 Nota: dado que el valor calculado de F, F+, se encuentra al dividir MS(temperatura) entre MS(error), el nmero de grados de libertad para el nume- rador es gl(temperatura) = 2 y el nmero de grados de libertad para el denomi- nador es gl(error) = 10. Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: al menos una de las temperaturas ambiente tiene un efecto significativo sobre la tasa de produccin. Las diferencias que se encontraron en las tasas medias de produccin en los niveles de temperatura puestos a prueba son significativas. La media en 68F ciertamente es diferente de la media en 75F porque las medias muestrales para estos niveles son la ms grande y la ms pequea, res- pectivamente. Si cualquier otro par de medias es significativamente diferente no puede determinarse slo a partir del procedimiento ANOVA. Valor p: a. Usa la cola derecha porque los valores ms gran- des de F+ indican "no todos iguales" como se ex- presa mediante H a , P = P(F+ > 44.47 | gl n = 2, gl d FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 1. Usa la tabla 9C (apndice B) para poner cotas so- bre el valor p: P < 0.01. 2. Usa una computadora o calculadora para encon- trar el valor p: P = 00001. Para instrucciones adicionales, consulta la pgina 527. b. El valor pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD (0.05). Clsico: a. La regin crtica es la cola derecha porque los valores ms grandes de F+ indican "no todos iguales" como se expresa mediante H a , gl n = 2 y gl d = 10. El valor crtico se obtiene de la tabla 9A: Para instrucciones adicionales, consulta las pginas 523-524. b. F+ est en la regin crtica, como se muestra en azul oscuroHQODJXUD o valor p 0 44.47 F 44.47 0 F 4.10 = 0.05 F (2, 10, 0.05) = 4.10 www.fullengineeringbook.net 585 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 2 . 1 12.1 Qu informacin dada en "El ajetreo matutino" de la pgina 578 puede convencerte de que el tiempo de traslado SURPHGLRHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHHQHVWDVVHLVFLXGD- des? Incluye en tu explicacin cules ciudades pueden ser sig- QLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHVGHRWUDVFLXGDGHVFXiOHVFLXGDGHV SXHGHQQRVHUVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHVGHRWUDV\TXpLQ- formacin te llev a dichas conclusiones. 12.2 [EX12-02] Para comparar los tiempos de traslado en va- rias ubicaciones, se obtuvieron muestras aleatorias de las seis ciudades presentadas en "El ajetreo matutino". Las muestras fueron de trabajadores que se trasladan al trabajo durante la hora pico de las 8:00 a.m. Viaje en un sentido al trabajo en minutos Atlanta Boston Dallas Filadelfia Seattle San Luis 29 18 42 29 30 15 21 37 25 20 23 24 20 37 36 33 31 42 15 25 32 37 39 23 37 32 20 42 14 33 26 34 26 18 48 35 D &RQVWUX\HXQDUHSUHVHQWDFLyQJUiFDGHORVGDWRVXVDQGR seis diagramas de puntos lado a lado. b. Estima visualmente el tiempo de traslado medio para cada ciudad e identifcala con una X. c. Parece que diferentes ciudades tienen diferentes efectos sobre la cantidad de tiempo promedio empleada por los trabajadores para trasladarse al trabajo durante la hora pico de las 8:00 a.m? Explica. d. Visualmente parece que diferentes ciudades tienen otros efectos sobre la variacin en la cantidad de tiempo em- pleada por los trabajadores que se trasladan al trabajo durante la hora pico de las 8:00 a.m? Explica. 12.3 En referencia a los datos en 12.2, existe una diferencia VLJQLFDWLYDHQORVVHLVWLHPSRVPHGLRVGHWUDVODGRHQXQVHQ- WLGR"([SOLFDFyPRSRGUtDVGHPRVWUDUXQDGLIHUHQFLDVLJQL- cativa entre las medias para las seis ciudades. 12.4 a. Calcula el tiempo de traslado medio para cada ciu- dad que se muestra en el ejercicio 12.2. b. Parece haber una diferencia entre los tiempos medios de traslado en un sentido para estas seis ciudades? c. Calcula la desviacin estndar para el tiempo de traslado para cada ciudad. d. Parece haber una diferencia entre las desviaciones estndar entre los tiempos de traslado en un sentido para estas seis ciudades? 12.5 En referencia a los datos en 12.2: D &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHO tiempo de traslado medio para Atlanta y Boston. E &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DTXHHQFRQ- traste en el inciso a, parece que el tiempo de tras- lado medio es el mismo o diferente para estas dos ciudades? Explica. F &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHO tiempo de traslado medio para Dallas. G &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRV anteriormente, parece que el tiempo de traslado medio es el mismo o diferente para Boston y Dallas? Explica. H &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRV anteriormente, parece que el tiempo de traslado medio es el mismo o diferente para el conjunto de tres ciudades Atlanta, Boston y Dallas? Explica. I &yPRVHFRPSDUDQWXVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DFRQ los intervalos dados para Atlanta, Boston y Dallas en "El ajetreo matutino" de la pgina 578? 12.6 En referencia a los datos en 12.2: D &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHO WLHPSRGHWUDVODGRPHGLRSDUD)LODGHOD\6DQ/XLV E &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DTXHHQFRQ- traste en el inciso a, parece que el tiempo de tras- lado medio es el mismo o diferente para estas dos ciudades? Explica. F &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHO tiempo de traslado medio para Seattle. G &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRV anteriormente, parece que el tiempo de traslado PHGLRHVHOPLVPRRGLIHUHQWHSDUD)LODGHOD\ Seattle? Explica. H &RQEDVHHQORVLQWHUYDORVGHFRQDQ]DHQFRQWUDGRV anteriormente, parece que el tiempo de traslado medio es el mismo o diferente para el conjunto de WUHVFLXGDGHV)LODGHOD6DQ/XLV\6HDWWOH"([SOLFD I &yPRVHFRPSDUDQWXVLQWHUYDORVGHFRQDQ]D FRQORVLQWHUYDORVGDGRVSDUD)LODGHOD6DQ/XLV\ Seattle en "El ajetreo matutino" de la pgina 578? (contina en la pgina 586) [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPSeccin 12.1 Introduccin a la tcnica de anlisis de varianza www.fullengineeringbook.net 586 Captulo 12 Anlisis de varianza Muchos experimentos se realizan para determinar el efecto que diferentes niveles de algn factor de prueba tiene sobre una variable de respuesta. El factor de prueba puede ser temperatura (como en el ejemplo 12.1), el fabricante de un producto, el da de la semana o cualquier nmero de otras cosas. En este captulo se investiga el anlisis de varianza de un solo factor. Bsicamente, el diseo para la ANOVA de un solo factor es obtener muestras aleatorias independientes en cada uno de los varios niveles del factor a poner a prueba. Despus se toma una decisin estadstica concerniente al efecto que los niveles de los factores de prueba tienen sobre la variable de respuesta (observada). Los ejemplos 12.2 y 12.3 demuestran la lgica de la tcnica del anlisis de varianza. Brevemente, el razonamiento detrs de la tcnica procede como esto: para comparar las medias de los niveles del factor de prueba, una medida de la variacin entre los niveles (entre las columnas sobre la tabla de datos), el MS(factor), se comparar con una medida de la variacin dentro de los niveles (dentro de las columnas sobre la tabla de datos), el MS(error)6L06IDFWRUHVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXH06HUURUVHFRQFOXLUiTXHODV medias para los niveles de factor a poner a prueba no son todos iguales. Esto implica que HOIDFWRUDSRQHUDSUXHEDWLHQHXQHIHFWRVLJQLFDWLYRVREUHODYDULDEOHGHUHVSXHVWD6LQ HPEDUJRVL06IDFWRUQRHVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXH06HUURUQRSRGUiVUHFKD]DU la hiptesis nula de que todas las medias son iguales. 12.7 Dibuja un diagrama de puntos de los datos en la tabla 12.2 (p. 579). Representa los datos usando los enteros 1, 2 y 3 e indica el nivel de factor de prueba de donde son los datos. Ves una "diferencia" entre los niveles? 12.8 Cada departamento en una gran planta industrial se cali- FDVHPDQDOPHQWH(QXQFLDODVKLSyWHVLVXVDGDVSDUDSRQHUD SUXHEDTXHODVFDOLFDFLRQHVVHPDQDOHVPHGLDVVRQODVPLV- mas en tres departamentos". 12.9 Observa la siguiente tabla ANOVA. a. Encuentra los cuatro valores faltantes. b. Encuentra el valor calculado para F, F+. 12.10 Un experimento de anlisis de varianza con nivel A que FRQWLHQHYDORUHVGHGDWRVQLYHOBYDORUHVGHGDWRVQL- vel CYDORUHVQLYHODYDORUHVQLYHOEYDORUHV\ nivel F, 10 valores, se analiz usando MINITAB. One-way ANOVA: Level A, Level B, Level C, Level D, Level E, Level F Source DF SS MS F P Factor 5 6355 1271 3.15 0.014 Error 57 22964 403 Total 62 29319 D 9HULFDORVWUHVQLYHOHVSDUDJOTXHVHPXHVWUDQHQOD LPSUHVLyQ9HULFDWDPELpQODUHODFLyQHQWUHORVWUHVQ~- meros. E 9HULFDORVGRVYDORUHV06UHSRUWDGRVHQODLPSUHVLyQ F 9HULFDHOYDORUF. G 9HULFDHOYDORUp. 12.2 La lgica detrs de ANOVA E J E M P L O 1 2 . 2 CMO VISUALIZAR LA DIFERENCIA ENTRE VARIAS MEDIAS Los datos de la tabla 12.5 ofrecen suficiente evidencia para concluir que existe una diferencia en las tres medias poblacionales F, G, y H? Solucin La figura 12.1 muestra la relacin relativa entre las tres muestras. Un vistazo rpido a la figura sugiere que las tres medias muestrales son diferentes unas Fuente gl SS MS Factor 3 Error 40.4 Total 20 164.2 www.fullengineeringbook.net 587 E J E M P L O 1 2 . 3 Observa otro ejemplo. CMO VISUALIZAR LA IGUALDAD DE VARIAS MEDIAS Los datos en la tabla 12.6 ofrecen suficiente evidencia para concluir que existe una diferencia en las tres medias poblacionales J, K y L? Solucin La figura 12.2 (p. 588) ensea la relacin relativa entre las tres muestras. Un vistazo rpido a la figura no sugiere que las tres medias muestrales sean TABLA 12.5 Resultados muestrales TABLA 12.6 Resultados muestrales FIGURA 12.1 Datos de la tabla 12.5 de otras, lo que implica que las poblaciones muestreadas tienen diferentes va- lores de media. Estas tres muestras demuestran relativamente poca variacin intramuestra, aunque existe una cantidad relativamente grande de variacin in- termuestras. Niveles de factor Muestra del nivel F Muestra del nivel G Muestra del nivel H 3 5 8 2 6 7 3 5 7 4 5 8 CF = 12 CG = 21 CH = 30 xF = 3.00 xG = 5.25 xH = 7.50 Niveles de factor Muestra del nivel J Muestra del nivel K Muestra del nivel L 3 5 6 8 4 2 6 3 7 4 7 5 CJ = 21 CK = 19 CL = 20 xJ = 5.25 xK = 4.75 xL = 5.00 Seccin 12.2 La lgica detrs de ANOVA 2 3 3 xF = 3.0 4 2 3 4 5 6 7 8 F 5 6 5 5 G 7 7 8 8 H x xG = 5.25 xH = 7.5 www.fullengineeringbook.net 588 Captulo 12 Anlisis de varianza Para completar una prueba de hiptesis para anlisis de varianza, debes estar de acuer- do en algunas reglas bsicas o suposiciones. En este captulo se usarn las siguientes tres suposiciones bsicas: 1. La meta es investigar el efecto que varios niveles del factor a ponerse a prueba tie- nen sobre la variable de respuesta. Por lo general, se quiere encontrar el nivel que produce los valores ms ventajosos de la variable de respuesta. Esto, por supuesto, VLJQLFDTXHSUREDEOHPHQWHVHTXHUUiUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXODHQIDYRUGHODKLSy tesis alternativa. Entonces un estudio de seguimiento podra determinar el "mejor" nivel del factor. E J E M P L O A P L I C A D O 1 2 . 4 COSTO DE ESTACIONAMIENTO: NO CALDERILLA Esta grfi ca reporta que, en 2009, el costo de esta- cionamiento diario promedio para la nacin fue 15 dlares. Sin embargo, la ciudad de Nueva York y otras estuvieron muy por arriba de dicho promedio. Parece que la variable "ciudad" tuvo un efecto so- bre el costo promedio del estacionamiento diario? (Consulta el ejercicio 12.13.) diferentes unas de otras. Existe poca variacin intermuestras para estas tres muestras (es decir: las medias muestrales estn relativamente cercanas en va- lor), mientras que la variacin intramuestra es relativamente grande (es decir: los valores de datos dentro de cada muestra cubren un rango relativamente amplio de valores). FIGURA 12.2 Datos de la tabla 12.6 Fuente: Colliers International, by Jae Yang and Suzy Parker, USA Today Ciudades con estacionamiento ms costoso Tasa de estacionamiento diario promedio (dlares): Nueva York (centro de la ciudad) Nueva York (cerca centro de la ciudad) Promedio nacional 3 xK = 4.75 4 6 8 3 4 5 7 2 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 J K L x xL = 5.00 xJ = 5.25 www.fullengineeringbook.net 589 2. Debes suponer que los efectos debidos al cambio y debidos a factores no puestos a prueba tienen distribucin normal y que la varianza causada por dichos efectos es constante a lo largo del experimento. 3. Debes suponer independencia entre todas las observaciones del experimento. (Re- FXHUGD TXH LQGHSHQGHQFLD VLJQLFD TXH ORV UHVXOWDGRV GH XQ DQiOLVLV GHO H[SHUL mento no afectan los resultados de cualquier otra observacin.) Por lo general, las pruebas se realizarn en orden aleatorio para garantizar independencia. Esta tcnica tambin ayuda a evitar contaminacin de datos. E J E M P L O A P L I C A D O 1 2 . 5 ABRIL NO ES EL MES MS HMEDO PARA TODOS La cantidad promedio de lluvia vara por mes y por ubicacin. Esta grfi ca reporta la cantidad promedio de lluvia para abril y para el mes ms hmedo del ao para cada una de seis ciudades estadounidenses. Pa- rece que la ciudad y el mes tienen un efecto sobre la lluvia mensual promedio? (Consulta el ejercicio 12.14.) E J E R C I C I O S S E C C I N 1 2 . 2 12.11 Los datos que se muestran en el diagrama de puntos tienen una ma- yor cantidad de variabili- dad dentro de los niveles A, B, C y D o entre los cuatro niveles? Explica. 12.12 Los datos que se muestran en el diagrama de puntos tienen una ma- yor cantidad de variabili- dad dentro de los niveles A, B, C y D o entre los cuatro niveles? Explica. 12.13 En referencia al ejemplo aplicado 12.4 de la pgina 588: a. La categora, ciudad, parece tener un efecto sobre la tasa de estacionamiento diario promedio? Explica. b. Explica cmo las ciudades podran usarse como catego- ras para organizar datos para ANOVA de un factor. Qu se usara como los niveles? Qu se usara como los datos (rplicas)? Cmo los datos se relacionaran con los valo- UHV\GDGRVHQODJUiFD"&yPRORVGDWRV VHUHODFLRQDUtDQFRQHOYDORUGDGRHQODJUiFD" (Julio) Fuente: Datos tomados de Sam Ward 2000 USA Today Lluvias de abril roban truenos de los meses ms hmedos Promedios de precipitacin para ciudades seleccionadas (en pulgadas): Lluvia promedio abril Mes ms hmedo promedio (Noviembre) (Febrero) (Junio) (Junio) (Noviembre) Seccin 12.2 La lgica detrs de ANOVA www.fullengineeringbook.net 590 Captulo 12 Anlisis de varianza $QWHVGH FRQWLQXDU FRQHO HVWXGLRGH$129$ LGHQWLFD ODQRWDFLyQ HQSDUWLFXODU ORV VXEtQGLFHVTXHVHXVDQFRQVXOWDODWDEOD2EVHUYDTXHFDGDYDORUGHGDWRVHVGHFLU x 2,3 WLHQHGRVVXEtQGLFHVHOSULPHUVXEtQGLFHLQGLFDHOQ~PHURGHFROXPQDQLYHOIDFWRUGH SUXHED\HOVHJXQGRVXEtQGLFHLGHQWLFDHOQ~PHURGHUpSOLFDOD/RVWRWDOHVGHFROXP- na, C i , se mencionan a lo largo del fondo de la tabla. El gran total, T, es igual a la suma de todas las x\VHHQFXHQWUDDOVXPDUORVWRWDOHVGHFROXPQD/RVWRWDOHVGHODSXHGHQXVDUVH como una comprobacin cruzada, pero no tienen otro propsito. Un modelo matemtico (ecuacin) se usa con frecuencia para expresar una situacin particular. En el captulo 3 se us un modelo matemtico para ayudar a explicar la rela- cin entre los valores de datos bivariados. La ecuacin y = b o + b 1 x sirvi como el modelo cuando se consider que exista una relacin en lnea recta. Las funciones de probabili- dad estudiadas en el captulo 5 tambin son ejemplos de modelos matemticos. Para la ANOVA de un solo factor, el modelo matemtico, frmula (12.13), es una expresin de la composicin de cada valor de datos, x c, k , ingresado en la tabla de datos: Modelo matemtico para ANOVA de un solo factor xc,k = + Fc + k(c) Cada trmino de este modelo se interpreta del modo siguiente: x c, k es el valor de la variable en la k-sima rplica del nivel c. es el valor medio para todos los datos sin importar el factor de prueba. F c es el efecto que el factor a ponerse a prueba tiene sobre la variable de respuesta en cada diferente nivel c. SABAS QUE...? Sir Ronald A. Fisher En 1919, Ronald A. Fis- her fue contratado por la Estacin Experimental Rothamsted, en Hertford- shire, Inglaterra, para hacer trabajo estadstico con sus experimentos de cra de plantas. Fue ah que realiz trabajo pio- nero en las aplicaciones de los procedimientos estadsticos al diseo de experimentos cientficos: dej de plantar campos enteros con un solo trata- miento y comenz a divi- dir los campos en lotes, que despus fueron divi- didos en filas, etc., para permitir que muchos tra- tamientos ocurrieran en un campo. Fue durante esta poca que Fisher introdujo el principio de aleatoriedad y origin el concepto del anlisis de varianza. En 1925, 12.14 La cantidad de lluvia mensual vara de mes a mes y de ciudad a ciudad. El ejemplo aplicado 12.5 de la pgina 589 sugiere que la lluvia mensual promedio es afectada tanto por el mes como por la ubicacin. a. Qu variable se us para recolectar los datos usados para encontrar los promedios mensuales que se muestran en el ejemplo aplicado 12.5? b. Explica qu datos se necesitaran y cmo se ordenaran para analizar el efecto de ubicacin (representado por ciu- dades) sobre la cantidad de lluvia durante el mes de abril. 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor TABLA 12.7 Notacin usada en ANOVA Niveles de factor Muestra del Muestra del Muestra del Muestra del Rplicas nivel 1 nivel 2 nivel 3 . . . nivel C k = 1 x1, 1 x2, 1 x3, 1 xc, 1 k = 2 x1, 2 x2, 2 x3, 2 xc, 2 k = 3 x1, 3 x2, 3 x3, 3 xc, 3 Totales de columna C1 C2 C3 . . . Cc o T T = gran total = suma de todas las x = x = Ci . . .(12.13) (contina) www.fullengineeringbook.net 591 PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA IGUALDAD DE VARIAS MEDIAS Un club de tiro realiz un experimento con un grupo seleccionado al azar de tiradores novatos. El propsito del experimento fue determinar si la precisin en el tiro es afectada por el mtodo de mira utilizado: slo el ojo derecho abierto, slo el ojo izquierdo abierto o ambos ojos abiertos. Se seleccionaron 15 tiradores novatos y se dividieron en tres grupos. Cada grupo experiment el mismo entrenamiento y procedimientos de prctica, con una excepcin: el mtodo de mira usado. Despus de completar el entrenamiento, a cada tira- dor se le dio el mismo nmero de rondas y se le pidi disparar a un blanco. Sus puntajes se mencionan en la tabla 12.8. En el nivel de significancia 0.05, existe suficiente evidencia para recha- zar la afirmacin de que los tres mtodos de mira son igualmente efectivos? Solucin En este experimento el factor es mtodo de mira y los niveles son los tres dife- rentes mtodos de mira (ojo derecho, ojo izquierdo y ambos ojos abiertos). Las rplicas son los puntajes recibidos por los tiradores en cada grupo. La hipte- sis nula a probar es "los tres mtodos de mira son igualmente efectivos o los puntajes medios logrados usando cada uno de los tres mtodos son iguales". Paso 1 a. Parmetro de inters: la "media" en cada nivel del factor de prue- ba es de inters: el puntaje medio usando el ojo derecho, R, el puntaje medio usando el ojo izquierdo, L y el puntaje medio usando ambos ojos, B. El factor a poner a prueba, "mtodo de mira", tiene tres niveles: derecho, izquierdo y ambos. b. Enunciado de hiptesis: Ho: R = L = B Ha: las medias no son todas iguales (es decir: al menos una media es diferente). Paso 2 a. Suposiciones: los tiradores se asignaron al azar al mtodo y sus puntajes son independientes unos de otros. Los efectos debidos al azar y los factores no puestos a prueba se suponen que tienen distribucin normal. b. Estadstico de prueba: Se usarn la distribucin F y la frmula (12.12) con gl(numerador) = gl(mtodo) = 2 y gl(denominador) = gl(error) = 12. c. Nivel de significancia: = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: consulta la tabla 12.8. b. Estadstico de prueba calculado: el estadstico de prueba es F+: se usa la tabla 12.9 para encontrar los totales de columna. k(c) ( es la letra griega minscula psilon) es el error experimental que ocurre entre las k rplicas en cada una de las c columnas. Observa otra prueba de hiptesis usando un anlisis de varianza. Fischer escribi Mtodos estadsticos para la in- vestigacin, que perma- neci en prensa durante ms de 50 aos. 7XWRULDOHQYLGHRGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP TABLA 12.8 Resultados mues- trales sobre tiro al blanco [TA12-8] Mtodo de mira Ojo Ojo Ambos derecho izquierdo ojos 12 10 16 10 17 14 18 16 16 12 13 11 14 20 21 Seccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor E J E M P L O 1 2 . 6 (continuacin) www.fullengineeringbook.net 592 Captulo 12 Anlisis de varianza Primero, es necesario calcular las sumas x y x2: x = 12 + 10 + 18 + 12 + 14 + 10 + 17 + . . . + 21 = 220 (o 66 + 56 + 98 = 220 ck ) x2 = 122 + 102 + 182 + 122 + 142 + 102 + . . . + 212 = 3392 Con la frmula (12.2), se encuentra SS(total) = (x2) (x2): SS(total) = 3392 (220) 2 n 15 = 3392 3226.67 = 165.33 Con la frmula (12.3), se encuentra SS(mtodo) = C 2 + C 2 + C 2 + . . . (x) 2 : k1 k2 k3 n SS(mtodo) = 66 2 + 56 2 + 98 2 (220) 2 5 4 6 15 = (871.2 + 784 + 1600.67) 3226.67 = 3255.87 3226.67 = 29.20 Para encontrar SS(error), primero necesitas: (x2) = 3392 (encontrado anteriormente) C2 + C 2 + C 2 + . . . = 3255.87 (encontrado anteriormente) k1 k2 k3 Despus, con la frmula (12.4), se tiene SS(error) = (x2) C2 + C 2 + C 2 + . . . : k1 k2 k3 SS(error) = 3392 3255.87 = 136.13 Usa la frmula (12.8) para comprobar la suma de cuadrados: SS(mtodo) + SS(error) = SS(total): 29.20 + 136.13 = 165.33 Los grados de libertad se encuentran con las frmulas (12.5), (12.6) y (12.7): TABLA 12.9 Niveles de factor: mtodo de mira Niveles de factor: mtodo de mira Rplicas Ojo derecho Ojo izquierdo Ambos ojos k = 1 12 10 16 k = 2 10 17 14 k = 3 18 16 16 k = 4 12 13 11 k = 5 14 20 k = 6 21 Totales CR = 66 CL = 56 CB = 98 1 2 3 1 1 2 2 3 3 www.fullengineeringbook.net 593 gl(mtodo) = c 1 = 3 1 = 2 gl(total) = n 1 = 15 1 = 14 gl(error) = n c = 15 3 = 12 Con las frmulas (12.10) y (12.11), se encuentra MS(mtodo) = SS(mtodo) : MS(mtodo) = 29.20 = 14.60 gl(error) 2 MS(error) = SS(error) : MS(error) = 136.13 = 11.34 gl(error) 12 Los resultados de estos clculos se registran en la tabla ANOVA en la tabla 12.10. El valor calculado del estadstico de prueba se encuentra entonces con la frmula (12.12): F+ = MS(factor): F+ = MS(mtodo) = 14.60 = 1.287 MS(error) MS(error) 11.34 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Valor p: a. Usa la cola derecha: P = P(F+ > 1.287, con gl n = 2 y gl d FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD Para encontrar el valor p, tienes dos opciones: 1. Usa la tabla 9A (apndice B) para poner cotas so- bre el valor p: P > 0.05. 2. Usa una computadora o calculadora para encon- trar el valor p: P = 0.321. Para instrucciones adicionales, consulta la pgina 527. b. El valor pQRHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQ- cia, (0.05). Clsico: a. /DUHJLyQFUtWLFDHVODFRODGHUHFKDHOYDORUFUt- tico se obtiene de la tabla 9A: Para instrucciones adicionales, consulta las pginas 523-524. b. F+ no est en la regin crtica, como se mues- tra en azul ocsuroHQODJXUD o TABLA 12.10 Tabla ANOVA para el ejemplo 12.6 Fuente gl SS MS Mtodo 2 29.20 14.60 Error 12 136.13 11.34 Total 14 165.33 Paso 5 a. Decisin: fallar para rechazar Ho. b. Conclusin: los datos no muestran evidencia para rechazar la hip- tesis nula de que los tres mtodos son igualmente efectivos. valor p Seccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor 0 1.287 F 1.287 0 F 3.89 = 0.05 F (2, 12, 0.05) = 3.89 www.fullengineeringbook.net 594 Captulo 12 Anlisis de varianza Nota: los diagramas de puntos lado a lado son muy tiles para visualizar la variacin in- tramuestra, la variacin intermuestra y la relacin entre ellas. En el captulo 2, pp. 41-42, 126, puedes encontrar los comandos para diagramas de puntos lado a lado. Impresin de la solucin MINITAB por computadora para el ejemplo 12.6: TI-83/84 Plus MINITAB Excel Escribe los datos para cada nivel en las columnas C1, C2, ...; despus contina con: Elige: Stat > ANOVA > One-Way (Unstacked) Escribe: Respuestas: C1 C2 . . .* > OK O Escribe todos los datos en C1 con los correspondientes niveles de factores en C2; despus con- tina con: Elige: Stat > ANOVA > One-Way Escribe: Respuesta: C1 Factor: C2* > OK *Opcional para cualquier mtodo: Elige: Graphs . . . Selecciona: Individual value plot y/o Boxplots of data > OK > OK Escribe los datos para cada nivel en las columnas A, B, ...; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > Anova: Single Factor Escribe: Rango entrada: (A1:C4 o selecciona celdas) Selecciona: Agrupado por: Columns Labels in First Row (si es necesario) Escribe: Alfa: Selecciona: Output Range: Escribe: (D1 o selecciona celdas) Para hacer la salida ms legible, contina con: Home > Cells > Format > Autofit Column Width I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : A N L I S I S D E V A R I A N Z A D E U N S O L O F A C T O R Escribe los datos para cada nivel en las listas L1, L2, ...; despus contina con: Elige: STAT > TESTS > F: ANOVA( Escribe: L1, L2, . . .) Informacin dada a la computadora Row Right eye Left eye Both eyes 1 1 2 1 0 1 6 2 1 0 1 7 1 4 3 1 8 1 6 1 6 4 1 2 1 3 1 1 5 1 6 4 2 2 0 1 www.fullengineeringbook.net 595 El valor p calculado Recuerda la hiptesis nula: "no hay diferencia entre los niveles del factor a poner a prueba". Una decisin "falla para rechazar H o " debe interpretarse como la conclusin de que no hay evidencia de una diferencia debida a los niveles del factor puesto a prueba, mientras que el rechazo de H o implica que existe una diferencia entre los niveles. Esto es: al menos un nivel es diferente de los otros. Si existe una diferencia, la siguiente tarea es ubicar el nivel o niveles que son diferentes. Ubicar esta diferencia puede ser el principal objetivo del anlisis. Para encontrar la diferencia, el nico mtodo que es adecuado en esta etapa es inspeccionar los datos. Puede ser obvio cul nivel caus el rechazo de H o . en el ejemplo 12.1 parece bastante obvio que al menos uno de los niveles [nivel 1 (68 F) o nivel 3 (76 F), porque tienen las medias muestrales ms grande y ms pequea] es diferente de los otros dos. Si los valores ms altos son ms deseables para encontrar el "mejor" nivel a usar, elegiras dicho nivel correspondiente del factor. Hasta el momento se estudi el anlisis de varianza para datos que tratan con un factor. No es raro que los problemas tengan varios factores de inters. Las tcnicas ANOVA pre- sentadas en este captulo pueden desarrollarse an ms y aplicarse a casos ms complejos. E J E R C I C I O S S E C C I N 1 2 . 3 12.15 Considera la siguiente tabla para ANOVA de un solo factor. Encuentra lo siguiente: a. x 1,2 b. x 2,1 c. C 1 d. x e. (Ci)2 Nivel de factor Rplicas 1 2 3 1 3 2 7 2 0 5 4 3 1 4 5 12.16 La siguiente tabla de datos se usar para ANOVA de un solo factor. Encuentra cada uno de los siguientes: a. x 3, 2 b. x 4, 3 c. C 3 d. x e. (Ci)2 Nivel de factor Rplicas 1 2 3 4 1 13 12 16 14 2 17 8 18 11 3 9 15 10 19 12.17 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a , que usaras para poner a prueba los siguientes enunciados: a. El valor medio de x es el mismo en los cinco niveles del experimento. E /DVFDOLFDFLRQHVVRQLJXDOHVHQODVFXDWURXELFDFLRQHV (contina en la pgina 596) La tabla ANOVA compara con la tabla 12.10 El valor calculado de F, F+ Estadsticos muestrales para cada nivel de factor Seccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor ANALYSIS OF VARIANCE SOURCE FACTOR ERROR TOTAL LEVEL 1 2 3 N 5 4 6 MEAN 13.200 14.000 16.333 ST. DEV. 3.033 3.162 3.724 DF 2 12 14 SS 29.2 136.1 165.3 MS F 1.29 P 0.312 14.6 11.3 Right eye Left eye Both eyes 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 www.fullengineeringbook.net 596 Captulo 12 Anlisis de varianza c. Los cuatro niveles del factor de prueba no afectan signi- FDWLYDPHQWHORVGDWRV d. Los tres diferentes mtodos de tratamiento afectan la variable. 12.18 Encuentra el valor p para cada una de las siguientes situaciones: a. F+ = 3.852, gl(factor) = 3, gl(error) = 12 b. F+ = 4.152, gl(factor) = 5, gl(error) = 18 c. F+ = 4.572, gl(factor) = 5, gl(error) = 22 12.19 Para los siguientes experimentos ANOVA, determina la regin crtica y el valor crtico que se usan en el enfoque clsico para poner a prueba la hiptesis nula. a. H o : 1 = 2 = 3 = 4 , con n = 18 y = 0.05 b. H o : 1 = 2 = 3 = 4 = 5 , con n = 15 y = 0.01 c. H o : 1 = 2 = 3 , con n = 25 y = 0.05 12.20 Por qu gl(factor), el nmero de grados de libertad asociados con el factor, siempre aparece primero en la nota- cin de valor crtico F[gl(factor), gl(error), ]? 12.21 Supn que una prueba F (como se describi en este captulo usando el mtodo de valor p) tiene un valor p de 0.04. a. Cul es la interpretacin de valor p = 0.04? b. Cul es la interpretacin de la situacin si anteriormente GHFLGLVWHXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD" c. Cul es la interpretacin de la situacin si anteriormente GHFLGLVWHXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD" 12.22 Supn que una prueba F (como se describi en este ca- ptulo usando el mtodo clsico) tiene un valor crtico de 2.2, FRPRVHPXHVWUDHQHVWDJXUD a. Cul es la interpretacin de un valor calculado de F mayor que 2.2? b. Cul es la interpretacin de un valor calculado de F menor que 2.2? c. Cul es la interpretacin si la F calculada fuese 0.1? 0.01? 12.23 a. Enuncia la hiptesis nula, en forma general, para la ANOVA de un solo factor. b. Enuncia la hiptesis alternativa, en forma general, para la ANOVA de un solo factor. c. Qu debe suceder para "rechazar H o "? Responde tanto para el mtodo de valor p como para el mto- do clsico. d. Cmo se interpretara una decisin de "rechazar H o "? e. Qu debe suceder para "fallar en rechazar H o "? Responde tanto para el mtodo de valor p como para el mtodo clsico. f. Cmo se interpretara una decisin de "fallar en rechazar H o "? 12.24 Los siguientes dos extractos se tomaron de "Documen- tacin del anlisis estructurado para revisar investigacin con EDVHFLHQWtFD(VWUDWHJLDV\SURJUDPDVHGXFDWLYRVUHYLVDGR por NCTM el 28 de agosto de 2004. , 8QHIHFWRSULQFLSDOHVWDGtVWLFDPHQWHVLJQLFDWLYRVH obtuvo slo por grupo, F(1, 31) = 6.23, p = 0.02, lo que favorece la condicin de esquema. ,,1RVHHQFRQWUDURQGLIHUHQFLDVVLJQLFDWLYDVHQWUHODVGRV condiciones en el momento de la prueba, F(1, 31) = 1.8, p = 0.19. D 9HULFDHOYDORUp enunciado en I y explica por qu con- FOX\HURQXQHIHFWRVLJQLFDWLYR>Nota: usa la distribucin F(1,31), con F+ = 6.23.] E 9HULFDHOYDORUp enunciado en II y explica por qu FRQFOX\HURQQRHIHFWRVLJQLFDWLYR 12.25 Un artculo titulado "La efectividad de la biorreali- mentacin y el entrenamiento en relajacin en casa sobre la reduccin de la hipertensin borderline" (Health Education) compar diferentes mtodos de reducir la presin arterial. La biorrealimentacin (n = 13 sujetos), biorealimentacin/relaja- cin (n = 15) y relajacin (n = 14) fueron los tres mtodos comparados. No hubo diferencias entre los tres grupos en lecturas de preprueba de presin arterial diastlica o sistlica. +XERXQDVLJQLFDWLYDGLIHUHQFLDSRVSUXHEDHQWUHJUXSRVHQ la medicin sistlica, F(2, 39) = 4.14, p < 0.025, y la medicin diastlica, F(2, 39) = 5.56, p < 0.008. D 9HULFDTXHJOPpWRGR \JOHUURU E 8VDODVWDEODV$%\&GHODSpQGLFH%SDUDYHULFDU que, para sistlica, p < 0.025 y para diastlica, p < 0.008. 12.26 Un artculo report acerca de un estudio que examinaba el alfabetismo cultural de estudiantes de primer ao universita- rio de desarrollo, no desarrollo e ingls como segunda lengua (ESL). F[gl(factor), gl(error), ] = 2.2 0 F F www.fullengineeringbook.net 597 Analysis of Variance by Group for Total Score Source df SS MS F P Group 2 4062.06 2031.03 14.49 0.0001 Error 117 16394.53 140.12 Total 119 20456.59 Analysis of Variance by Group for Foreign Language Preparation Source df SS MS F P Group 2 0.95 0.475 1.93 0.1493 Error 117 28.75 0.246 Total 119 29.70 D &XiQWDVFDOLFDFLRQHVGHHVWXGLDQWHVKXERHQODV muestras? b. En cuntos grupos se dividieron los estudiantes? c. Dados los valores SS\JOYHULFDHO06HOYDORUF calculado y el valor p para cada tabla. d. Los estadsticos en la primera tabla muestran que las FDOLFDFLRQHVWRWDOHVIXHURQGLIHUHQWHVSDUDORVJUXSRV involucrados? Explica. e. Los estadsticos en la segunda tabla muestran que las FDOLFDFLRQHVGHSUHSDUDFLyQHQOHQJXDH[WUDQMHUDIXHURQ diferentes para los grupos involucrados? Explica. 12.27 Dos nuevos medicamentos se pondrn a prueba por su efecto sobre el nmero de das que un paciente debe perma- necer hospitalizado despus de ciruga. Un grupo de control recibe un placebo y dos grupos de tratamiento reciben cada uno por separado uno de los dos nuevos medicamentos, am- bos desarrollados para promover la recuperacin. La hiptesis nula es que no hay diferencia entre las medias. A continuacin se muestran los resultados de un anlisis de varianza usado para analizar los datos. One-way ANOVA: Days versus Group Source DF SS MS F P Group 2 11.00 5.50 2.11 0.159 Error 14 36.53 2.61 Total 16 47.53 a. Cuntos pacientes hubo? E &yPRYHULFDODLPSUHVLyQTXHKXERXQJUXSRGHFRQ- trol y dos grupos de prueba? c. Con los valores SSYHULFDORVGRVYDORUHVFXDGUiWLFRV medios. G &RQORVYDORUHV06YHULFDHOYDORUF. H 9HULFDHOYDORUp. f. Enuncia la decisin y la conclusin alcanzados como resultado de este anlisis. 12.28 [EX12-28] Una agencia de empleo quiere ver cul de tres tipos de anuncios publicitarios en la seccin de "se bus- ca ayuda" de los peridicos locales es el ms efectivo. Tres tipos de anuncios (gran encabezado, directo y fuente grande) se alternaron al azar durante un periodo de semanas y cada semana se registr el nmero de personas que respondi a los anuncios. Estos datos apoyan la hiptesis nula de que no hay diferencia en la efectividad de los anuncios publicitarios, medidos por el nmero medio de respuestas, en el nivel de VLJQLFDQFLD" Tipo de publicidad Gran Fuente encabezado Directo grande Nmero de respuestas (rplicas) 23 19 28 42 31 33 36 18 46 48 24 29 33 26 34 26 34 a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.29 [EX12-29] Un nuevo operador fue asignado recien- temente a un grupo de trabajadores que realizan un trabajo determinado. De los registros de la cantidad de unidades de trabajo realizado por cada trabajador cada da el mes pasado, una muestra de 5 fue seleccionada aleatoriamente de la po- blacin de cada uno de los dos trabajadores con experiencia \HOQXHYRWUDEDMDGRU(QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHOD HYLGHQFLDHVPRWLYRVXFLHQWHSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGH que no hay diferencia en la cantidad de trabajo realizado por los tres trabajadores? Trabajadores Nuevo A B Unidades de trabajo (repeticiones) 8 11 10 10 12 13 9 10 9 11 12 12 8 13 13 a. Resuelva usando el mtodo del valor p. b. Resuelva usando el mtodo clsico. 12.30 [EX12-30] Se obtienen muestras aleatorias de camio- netas pickup 2009 con motores de 4, 6 y 8 cilindros. Cada camioneta pickup se pone a prueba por millas por galn en conduccin en la ciudad. ([LVWH HYLGHQFLD VLJQLFDWLYD SDUD UHFKD]DU OD KLSyWHVLV GH que el mpg para las camionetas pickup es el mismo para los tres tamaos de motor? Usa = 0.05. [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP 4 cil. 6 cil. 8 cil. 21 19 19 18 18 19 19 20 15 17 21 20 18 20 19 18 19 21 19 19 18 18 20 19 20 20 19 16 Seccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor www.fullengineeringbook.net 598 Captulo 12 Anlisis de varianza 12.31 [EX12-31] Se obtienen muestras aleatorias de camio- netas pickup 2009 con motores de 4, 5, 6 y 8 cilindros. Cada camioneta pickup se pone a prueba por millas por galn en conduccin en carretera. ([LVWH HYLGHQFLD VLJQLFDWLYD SDUD UHFKD]DU OD KLSyWHVLV GH que el mpg para las camionetas pickup no es el mismo para los cuatro tamaos de motor? Usa = 0.01. 12.32 [EX12-32] Algunos entusiastas del deporte argumen- tan que los jugadores de las grandes ligas de bisbol en los equipos de la Divisin Central tienen una ventaja injusta so- bre los jugadores de la costa en las divisiones Oeste y Este. Esto es porque el impacto debido a las diferencias en horario probablemente es mayor cuando se juega en gira (es decir, juegos lejos de casa). Los jugadores de los equipos en las cos- tas ganan (cuando van al oeste) o pierden (cuando van al este) hasta tres horas, mientras que los jugadores de la Divisin Central rara vez ganan o pierden ms de una hora. Los si- guientes datos muestran los porcentajes de ganados/perdidos por divisiones por juegos jugados en gira por las tres divi- siones de los equipos de las grandes ligas de bisbol en la temporada 2009: Completa una tabla ANOVA para porcentajes ganados/perdi- dos por los equipos que representan cada divisin. Pon a prue- ba la hiptesis nula de que, cuando los equipos juegan en gira, el porcentaje medio ganados/perdidos es el mismo para cada XQDGHODVWUHVGLYLVLRQHV8VDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.33 [EX12-33] Las ciudades a travs de Estados Unidos tienen restaurantes que ofrecen temas asociados con pases ex- tranjeros. La comida y la bebida de estilo alemn se han vuelto populares desde que muchas comunidades comenzaron a al- bergar Oktoberfests, pero los restaurantes de autntica comida DOHPDQDRIUHFHQODFRPLGDWRGRHODxR/DVVLJXLHQWHVFDOL- caciones, con base en tres juicios categricos de calidad de comida, decoracin y servicio, se ensamblaron de diferentes UHVWDXUDQWHVDOHPDQHVXELFDGRVHQYDULDVFLXGDGHV/DVFDOL- caciones se hicieron sobre la misma escala de 0 a 30 (siendo la ms alta la mejor). Categora calificacin Categora calificacin restaurante restaurante Calidad comida Dcor Servicio Calidad comida Dcor Servicio 19 19 18 21 16 18 17 15 14 19 15 18 19 17 16 ([LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODVFDOLFDFLRQHVGD- das a los restaurantes alemanes en cada categora? Construye una tabla ANOVA de un solo factor y pon a prueba la diferen- FLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.34 [EX12-34] El mayor nivel de educacin logrado LQX\HHQHOQ~PHURGHKRUDVGH79TXHODJHQWHPLUDSRU GtD"'HFDGDQLYHOGHHGXFDFLyQ VH LGHQWLFDURQPXHVWUDV aleatorias y se sonde las horas de televisin que cada per- sona ve por da. Menos que bachillerato Bachillerato Asociado Bachiller Graduado 2.1 3.7 3.9 4.6 1.9 6.3 4.4 3.0 4.1 2.5 4.5 4.4 2.0 0.1 0.7 5.9 3.3 2.2 4.9 1.7 3.5 3.3 0.6 4.5 1.2 4.0 3.3 0.6 4.0 3.5 1.7 4.4 2.7 6.3 2.5 5.2 4.9 3.0 5.0 3.3 4.5 2.4 3.8 0.5 2.2 2.7 4.1 3.0 4.4 2.3 2.3 2.4 0.6 D /RVGDWRVPXHVWUDOHVSUHVHQWDQHYLGHQFLDVLJQLFDWLYD SDUDFRQFOXLUTXHHQHOQLYHOGHHGXFDFLyQVtLQX\HOD cantidad de televisin observada? Usa = 0.01. b. Ofrece explicaciones de por qu pueden existir discrepan- cias entre las categoras. 12.35 [EX12-35] Un estudio fue realizado para valorar la efectividad de tratamiento de vrtigo (enfermedad de movi- PLHQWR FRQ XQ VLVWHPD WHUDSpXWLFR WUDQVGpUPLFR 776 XQ 4 cil. (H) 5 cil. (H) 6 cil. (H) 8 cil. (H) 24 21 19 20 23 21 19 19 22 23 19 19 24 21 18 20 24 18 21 16 23 22 20 18 23 23 19 15 24 18 20 21 24 20 19 23 20 19 Fuente: http://www.mlb.com/ Liga Mayor de Bisbol Este Central Oeste 56.8 46.9 59.3 48.1 42.7 48.1 39.5 44.4 45.7 38.3 37.0 43.2 30.9 39.5 55.6 59.3 55.6 50.6 54.3 45.7 44.4 56.8 49.4 40.7 35.8 46.9 42.0 32.1 37.0 27.5 Fuente: Newsweek, "Meal Ticket Oktoberfest" www.fullengineeringbook.net 599 Fuente: http://www.nba.com/ Fuente: http://www.usda.gov/ Guardias Delanteros Centros 78 81 84 74 84 90 78 80 83 74 84 83 77 82 85 73 81 83 72 82 87 80 80 84 80 Seccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor parche que se usa sobre la piel). Tambin se usaron otros dos tratamientos, ambos orales (una pldora que contiene un me- dicamento y un placebo). La edad y el gnero de los pacientes para cada tratamiento se mencionan a continuacin. TTS Antivert Placebo 47-f 53-m 51-f 43-f 67-f 38-m 41-f 58-f 53-f 56-f 52-m 59-m 63-m 62-f 27-m 48-m 47-m 33-f 59-f 34-f 29-f 52-f 35-f 32-f 62-f 47-f 31-f 19-f 37-f 26-f 24-m 35-f 25-f 31-f 40-f 37-m 43-m 34-f 52-f 48-f 31-f 49-f 20-m 63-m 55-f 53-m 45-f 49-m 55-f 46-f 32-f 63-m 41-f 38-f 51-f 54-m 49-m 21-f ([LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQWUHODHGDGPHGLDGHORV tres grupos de prueba? Usa = 0.05. Usa una computadora o calculadora para completar este ejercicio. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.36 [EX12-36] La NBA es un juego de grandes hombres. La estatura promedio para la liga es de aproximadamente 6 pies 7 pulgadas, segn reporta el sitio web de la NBA para la temporada 2007-2008. Por lo general, los guardias promedian 6 pies 4 pulgadas, los delanteros promedian 6 pies 9 pulgadas y los centros promedian 7 pies. Una muestra aleatoria de jugadores de la NBA 2008 se seleccion y se registr la estatura de cada jugador a la pulga- da ms cercana. a. Esperas encontrar que las estaturas medias de las tres posiciones son diferentes unas de otras? Esperas encon- trar ms variacin entre las posiciones o dentro de las posiciones? Explica. E &RQVWUX\HXQDJUiFDODGRDODGRGLDJUDPDGHSXQWRV diagrama de cajas, otra) de tu eleccin. F /DJUiFDHQHOLQFLVREPXHVWUDXQDFDQWLGDGUHODWL- vamente grande de variabilidad entre las posiciones? Explica, con detalle, qu puedes determinar a partir de la JUiFD G ([LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODVHVWDWXUDVGH jugadores de la NBA por posicin? Usa = 0.05. H /RVUHVXOWDGRVHQFRQWUDGRVHQHOLQFLVRGFRQUPDQWX respuesta al inciso c? Explica. f. Los resultados son lo que anticipaste seran? Explica por qu s o por qu no. 12.37 [EX12-02] Para comparar los tiempos de traslado en varias ubicaciones, se obtuvieron muestras independientes aleatorias en cada una de seis diferentes ciudades estadouni- denses, como se muestra en "El ajetreo matutino" de la sec- cin 12.1. Con los datos de tiempo de traslado ubicados en el ejercicio 12.2 de la pgina 586: a. Construye un diagrama de cajas que muestre las seis ciudades lado a lado. E 7XJUiFDPXHVWUDHYLGHQFLDYLVXDOTXHVXJLHUDTXH la ciudad tiene un efecto sobre el tiempo de traslado PDWXWLQRSURPHGLR"-XVWLFDWXUHVSXHVWD F &RQODWpFQLFD$129$HVWRVGDWRVPXHVWUDQVXFLHQWH HYLGHQFLDSDUDDUPDUTXHODFLXGDGWLHQHXQHIHFWRVREUH el tiempo de traslado matutino promedio? Usa = 0.05. d. La respuesta estadstica encontrada en el inciso c con- FXHUGDFRQWXSUHVHQWDFLyQJUiFDGHOLQFLVRD\WXUHV- puesta al inciso b? Explica por qu tus respuestas concuerdan o no concuerdan y cita informacin esta- dstica aprendida en este captulo. e. La muestra indica que la ciudad tiene un efecto sobre la cantidad de tiempo empleada para trasladarse al tra- bajo? La muestra indica que la ciudad tiene un efecto sobre la cantidad de tiempo promedio empleada para trasladarse al trabajo? Estas preguntas son diferentes? Explica. 12.38 [EX12-38] Del sitio USAD-NASS se seleccionaron al azar 39 condados del rea de seis estados del medio-oeste su- perior de Estados Unidos y se obtuvieron los siguientes datos acerca de produccin de avena por acre. Condado IA MN ND NE SD WI 1 76.2 53.0 71.4 60.0 76.5 52.0 2 65.3 70.0 64.3 37.0 50.0 53.0 3 86.0 71.0 66.7 53.0 42.0 72.0 4 73.6 54.0 61.4 50.0 62.5 81.0 5 61.3 64.0 66.0 56.0 55.7 57.0 6 74.3 40.0 58.0 59.1 64.0 7 58.3 59.3 8 56.0 9 61.4 D (VWRVGDWRVPXHVWUDQXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODV tasas de produccin medias para los seis estados? Usa = 0.05. (contina en la pgina 600) www.fullengineeringbook.net 600 Captulo 12 Anlisis de varianza E 'LEXMDXQDJUiFDTXHGHPXHVWUHORVUHVXOWDGRVHQFRQ trados en el inciso a. F ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVUHVXOWDGRVLQFOXLGDXQD H[SOLFDFLyQGHFyPRODJUiFDUHWUDWDORVUHVXOWDGRV 12.39 [EX12-39] Sea x = "edad ideal" de una persona en aos. muestras independientes y aleatorias se obtienen de adultos estadounidenses en cada uno de seis diferentes gru- pos etreos. 1824 2529 3039 4049 5064 65+ 21 28 30 38 45 54 24 29 35 40 51 48 28 31 37 45 39 59 30 25 32 39 45 60 32 27 39 35 42 65 28 35 37 60 32 40 D &RQVWUX\HJUiFDVGHFDMDVODGRDODGRTXHPXHVWUHQOD "edad ideal" para cada uno de los seis grupos etreos. 4XpVXJLHUHHVWDJUiFD" E &RQXQD$129$GHXQVRORIDFWRUSRQDSUXHEDODDU- macin de que la "edad ideal" no es la misma para todos ORVJUXSRVHWiUHRV8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH c. Qu conclusiones puedes extraer de los resultados de la prueba de hiptesis? G ([SOLFDFyPRODVJUiFDVGHFDMDVH[WUDtGDVHQHOLQFLVRD demuestran los resultados encontrados en el inciso b. 12.40 [EX12-40] Stacey es una estudiante en una universidad comunitaria. Ella imagina, al estar en una universidad comuni- taria, que la mayora de los estudiantes probablemente trabajan adems de estudiar. Al tener clases en la maana, Stacey con- sidera que tanto el gnero como el tipo de curso pueden tener un efecto sobre el tipo de estudiante y las horas que puede tra- bajar. Los siguientes datos se recopilaron al azar de tres cursos de Stacey durante el semestre del otoo de 2009. Hombre Mujer Geografa 40 40 38 25 47 30 Contabilidad 25 42 30 35 30 28 Msica 26 16 30 15 33 18 D (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVRIUHFHQUD]yQ VXFLHQWHSDUDDSR\DUTXHHOWLSRGHFXUVRWLHQHXQHIHFWR sobre el nmero de horas que trabaja un estudiante? E (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVRIUHFHQUD]yQ VXFLHQWHSDUDDSR\DUTXHHOJpQHURWLHQHXQHIHFWRVREUH el nmero de horas que trabaja un estudiante? 12.41 [EX12-41] El artculo del Boston Globe del 14 de mar- zo de 2009, "Gangas en el men... y una parte de nerviosismo", report preocupaciones de que la Semana del Restaurante no tendra buena asistencia debido a la economa. Los restau- rantes locales ingeniaron promociones especiales para atraer clientes pasados y nuevos. Con esto en mente, una camarera se pregunt si los precios "reducidos" tambin "reduciran" los porcentajes de propina, en especial sobre las promociones de costo ms bajo y los turnos de media semana. Para poner a prueba su hiptesis, recolect los siguientes datos: Porcentaje propina Cantidad factura Martes Jueves Sbado $0-$29 21 15 12 19 17 18 15 18 19 19 14 13 $30-$59 17 1 10 18 16 16 14 17 22 18 12 17 $60-$89 20 21 31 14 19 25 15 16 24 24 15 30 D (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVRIUHFHQUD]yQ VXFLHQWHSDUDDSR\DUTXHHOGtDGHODVHPDQDWLHQHXQ efecto sobre el porcentaje de propina recibida? E (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDORVGDWRVRIUHFHQUD]yQ VXFLHQWHSDUDDSR\DUTXHODFDQWLGDGGHODIDFWXUDWLHQH un efecto sobre el porcentaje de propina recibida? 12.42 [EX12-42] Una planta empacadora local implementa varias lneas de produccin con base en el producto a empa- car. Cada lnea es para diferente producto, algunos ms com- plicados que otros. Con varias lneas en operacin diaria, se present la preocupacin sobre las tasas de produccin debido a la variacin en las tasas. La administracin decidi mante- ner registros para ver si ciertos das de la semana producen mejores tasas de produccin que otros. Los resultados son los siguientes: Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes 128 114 115 113 81 118 109 77 101 98 87 114 117 115 80 88 62 110 78 75 95 71 78 72 75 92 69 77 76 90 92 102 113 112 104 103 106 92 133 114 132 127 93 79 81 a. Con una ANOVA de un solo factor, pon a prueba la DUPDFLyQGHTXHODWDVDGHSURGXFFLyQPHGLDQRHV la misma para los cinco das de la semana. Usa un QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH www.fullengineeringbook.net 601 E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODFRQFOXVLyQHQHOLQFLVRD/D conclusin dice cules das son diferentes? Cules das tienen las medias ms grandes? c. Construye un diagrama de caja lado a lado de los datos. Explica cmo el diagrama de cajas mltiple, acoplado FRQODSUXHEDGHKLSyWHVLVHQHOLQFLVRDD\XGDDLGHQWL- car la diferencia entre das. d. Cmo puede usar esta informacin la compaa empa- cadora? e. Podra haber otros factores que afecten los problemas de la tasa de produccin de la compaa? Si es as, menciona algunos. 12.43 [EX12-43] Albert Michelson, el primer ciudadano estadounidense en recibir el Premio Nobel de Fsica, realiz muchos experimentos para determinar la velocidad de la luz en el aire. A continuacin se presenta un extracto de cinco ensayos de 20 mediciones cada uno tomados por Michelson del 5 de junio al 2 de julio de 1879. A las mediciones se les rest 299 000. Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Ensayo 5 850 960 880 890 890 740 940 880 810 840 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com a. Construye un diagrama de cajas que muestre los cico HQVD\RVODGRDODGR4XpVXJLHUHHVWDJUiFD" E &RQXQD$129$GHXQVRORIDFWRUSRQDSUXHEDODDU- macin de que no todos los resultados de ensayo fueron LJXDOHV8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH c. Qu conclusiones puedes extraer de los resultados de la prueba de hiptesis? 12.44 [EX12-44] El Sr. B, gerente en un gran almacn, in- vestiga varias variables mientras mide el nivel de su negocio. Su tienda est abierta todos los das durante el ao, excepto el da de ao nuevo, Navidad y los domingos. A partir de sus UHJLVWURVTXHDEDUFDQYDULRVDxRVDQWHULRUHVHO6U%LGHQWLFy al azar 62 das y recopil los datos para el total diario de tres variables: nmero de clientes que pagan, nmero de artculos comprados y costo total de los artculos comprados. Da Mes Clientes Artculos Ventas 2 1 425 1 311 $12 707.00 1 1 412 1 123 $11 467.50 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com Los datos son valores reales; el nombre de la tienda se retir por razones de privacidad. Cdigo de da: 1 = L, 2 = Ma, 3 = Mi, 4 = J, 5 = V, 6 = S Cdigo de mes: 1 = enero, 2 = febrero, 3 = marzo, ..., 12 = diciembre El nmero medio de clientes por da es afectado por el mes? O, de manera equivalente: "el nmero medio de clientes por da es el mismo para todos los meses" frente a "hay al menos un mes cuando el nmero medio de clientes por da es signi- FDWLYDPHQWH GLIHUHQWH GH ORV RWURV/D VLJXLHQWH VDOLGD GH computadora result del anlisis de los datos. One-way ANOVA: Customers versus Month Source DF SS MS F P Month 11 5224286 474935 5.03 0.000 Error 50 4724554 94491 Total 61 9948840 Inspecciona el diagrama de puntos anterior para el nmero de clientes por da para los 12 meses y la salida ANOVA para el nmero de clientes frente a meses. Busca evidencia que con- duzca a la conclusin "no todos los meses tienen el mismo nmero de clientes por da". D 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFDHQFRQWUDGD\GLVFXWHFyPR muestra que no todos los meses son iguales. Cul mes o meses parecen ser diferentes de los otros? b. Describe la evidencia numrica encontrada y discute cmo muestra que no todos los meses son iguales. c. Puedes decir cules meses son diferentes, con base en la evidencia numrica? Explica. d. Parece haber algn apoyo para la idea de que el periodo GHVGHHO'tDGH$FFLyQGH*UDFLDVKDVWDODVHVWDVGHDxR nuevo es la poca de ventas ms importantes del ao? Explica. e. Usa tu calculadora o computadora para realizar la $129$PRVWUDGD\YHULFDUORVUHVXOWDGRV 12.45 [EX12-44] El Sr. B, gerente de la tienda del ejercicio 12.44, vio que el nmero medio de clientes por da vara por mes y ahora se pregunta si el mes tiene un efecto similar sobre el nmero de artculos comprados. a. Crees que "mes" tenga un efecto sobre el nmero medio de artculos comprados por da? De manera equivalente, crees que el nmero medio de artculos comprados por da es el mismo para todos los meses? Si no, cules me- ses crees que son diferentes? Explica. (contina en la pgina 602) Fuente: http//lib.stat.cmu.edu/ Diagrama de puntos de clientes frente a mes Clientes MesSeccin 12.3 Aplicaciones de la ANOVA de un solo factor www.fullengineeringbook.net 602 Captulo 12 Anlisis de varianza b. Construye un diagrama de puntos para el nmero de artculos comprados por da por cada mes diferente. c. El diagrama de puntos del inciso b apoya tus conjeturas del inciso a? Explica. d. Usa la tcnica ANOVA para responder la pregunta: el mes afecta el nmero medio de artculos comprados por da? Usa = 0.05. e. Explica cualquier diferencia y similitud entre tu respuesta al inciso a y la respuesta que encontraste en d. 12.46 [EX12-44] El Sr. B, el gerente de la tienda del ejercicio 12.44, vio que el nmero medio de clientes por da y el nmero medio de artculos comprados (ejercicio 12.45) son afectados por el mes y ahora se pregunta si el mes tiene un efecto similar sobre el costo total de artculos comprados. a. Crees que "mes" tenga un efecto sobre el costo total medio de artculos comprados por da? De manera equi- valente: crees que el costo total medio de artculos com- prados por da es el mismo para todos los meses? Si no, cules meses crees que sean diferentes? Explica. b. Construye un diagrama de puntos para el costo total de artculos comprados por da por cada mes diferente. c. El diagrama de puntos del inciso b apoya tus conjeturas del inciso a? Explica. d. Usa la tcnica ANOVA para responder la pregunta: el mes afecta el costo total medio de artculos comprados por da? Usa = 0.05. e. Explica cualquier diferencia o similitud entre tu respuesta al inciso a y la respuesta que encontraste en el inciso d. f. Explica cualquier diferencia y similitud entre las respues- tas encontradas para los ejercicios 12.44, 12.45 y 12.46. Las similitudes parecen razonables? Qu implica esto acerca de dichas variables? En retrospectiva Repaso del captulo En este captulo se present una introduccin a las tcni- cas estadsticas conocidas como anlisis de varianza. Las tcnicas estudiadas aqu se restringieron a la prueba de una hiptesis que lidia con cuestiones acerca de las medias de varias poblaciones. Se restringi a poblaciones normales y poblaciones con varianzas homogneas (iguales). La prueba de mltiples medias se realiza al particionar la suma de cua- drados en dos segmentos: 1) la suma de cuadrados debido a variacin entre los niveles del factor a poner a prueba y 2) la suma de cuadrados debido a variacin entre las rplicas dentro de cada nivel. Despus la hiptesis nula acerca de las medias se pone a prueba usando las mediciones de varianza adecuadas. Observa que el desarrollo se restringi a experimentos de un factor. Esta tcnica de un factor representa solamente un comienzo al estudio de las tcnicas del anlisis de varianza. Imagen copyright Natalia Bratslavsky, 2009. Usada bajo licencia de Shutterstock.comEl sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso D SDVR FyPR UHVROYHU SUREOHPDV FRQMXQWRV GH GDWRV SDUD HMHUFLFLRV\ HMHPSORVApplets Skillbuilder para ayudarte a FRPSUHQGHUPHMRUORVFRQFHSWRVmanuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 PlusUHJtVWUDWHHQwww.cengagebrain.com www.fullengineeringbook.net 603 12.47 [EX12-47] Muestras de mantequilla de cacahuate pro- ducidas por tres diferentes fabricantes se pusieron a prueba por contenido de sal (en miligramos), con los siguientes resultados: Marca 1 2.5 8.3 3.1 4.7 7.5 6.3 Marca 2 4.5 3.8 5.6 7.2 3.2 2.7 Marca 3 5.3 3.5 2.4 6.8 4.2 3.0 ([LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODFDQWLGDGPHGLDGHVDO en estas muestras? Usa = 0.05. a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Determina los criterios de prueba: suposiciones, nivel de VLJQLFDQFLDHVWDGtVWLFRGHSUXHED c. Con la informacin en la impresin de computadora que se presenta a continuacin, enuncia la decisin y la conclusin a la prueba de hiptesis. d. Qu te dice el valor p? Explica. Sugerencia: cada nivel de datos se ingresa en una columna separada. Analysis of Variance Source DF SS MS F P Factor 2 4.68 2.34 0.64 0.541 Error 15 54.88 3.66 Total 17 59.56 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev -------+--------+-------+-------+ Brand1 6 5.400 2.359 (----------*----------) Brand2 6 4.500 1.669 (----------*----------) Brand3 6 4.200 1.621 (----------*----------) -------+--------+-------+-------+ Pooled StDev 1.913 3.6 4.8 6.0 7.2 12.48 [EX12-48] Un nuevo limpiador para todo uso se pon- dr a prueba de mercadeo al colocar publicidad en tres dife- rentes ubicaciones dentro de varios supermercados. A conti- nuacin se reporta el nmero de botellas vendidas de cada ubicacin dentro de cada uno de los supermercados: I 40 35 44 38 Ubicaciones II 32 38 30 35 III 45 48 50 52 (contina en la pgina 604) Vocabulario y conceptos clave [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPaleatoriedad (p. 589) anlisis de varianza (ANOVA) (p. 578) media cuadrtica, MS(factor), MS(error) (p. 583) error experimental (p. 581) estadstico de prueba, F+ (p. 583) particionar (p. 581) grados de libertad (p. 582) modelo matemtico (p. 590) niveles del factor puesto a prueba (pp. 586, 595) rplica (pp. 579, 581, 582) suma de cuadrados (p. 580) suposiciones (p. 588) total de suma de cuadrados, SS(total) (p. 581) variable de respuesta (pp. 586, 588, 590) variacin dentro de un nivel, MS(error) (pp. 583, 586) variacin entre niveles, MS(factor) (pp. 583, 586) variacin intermuestra (pp. 588, 594) variacin intramuestras (p. 588) varianza (p. 580) Resultados del aprendizaje &RPSUHQGHUTXHODVWpFQLFDVGHODQiOLVLVGHYDULDQ]D$129$VHXVDQ SS para poner a prueba diferencias entre ms de dos medias. &RPSUHQGHUTXH$129$XVDYDULDQ]DVSDUDFRPSOHWDUODSXHVWDDSUXHED (- de varias medias. &RPSUHQGHUTXHODGLVWULEXFLyQF se usa para poner a prueba la razn de la variacin entre las medias a poner a prueba, con la variacin dentro de las muestras a poner a prueba. EJ. 12.1, Ej. 12.22 &RPSUHQGHUTXHVLODYDULDFLyQHQWUHODVPHGLDVHVVLJQLFDWLYDPHQWHPiVTXH (- la variacin dentro de las muestras, entonces las medias se consideran desiguales. Ej. 12.11, 12.12 &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODVGLIHUHQFLDV (- entre varias medias, usando la distribucin F con el enfoque de valor p y/o Ej. 12.29, 12.33 el mtodo clsico. Ejercicios del captulo Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 604 Captulo 12 Anlisis de varianza a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa para poner a prueba que "la ubicacin de la publicidad no tiene efecto sobre el nmero de botellas vendidas". b. Con = 0.01, determina los criterios de prueba: suposi- FLRQHVQLYHOGHVLJQLFDQFLDHVWDGtVWLFRGHSUXHED c. Con la informacin en la impresin de computadora que sigue, enuncia la decisin y la conclusin a la prueba de hiptesis. d. Qu te dice el valor p? Explica. Sugerencia: cada nivel de datos se ingresa en una columna separada. Analysis of Variance Source DF SS MS F P Factor 2 460.7 230.3 19.51 0.001 Error 9 106.2 11.8 Total 11 566.9 Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev +-------+-------+------+---- Location 4 39.250 3.775 (---*---) Location 4 33.750 3.500 (---*---) Location 4 48.750 2.986 (---*---) +-------+-------+------+---- Pooled StDev = 3.436 30.0 36.0 42.0 48.0 12.495HDOPHQWH LPSRUWDQDQFLHUDPHQWHGyQGHKDFHV WXV compras? Los precios en una tienda son consistentemente ms altos o ms bajos que los de otra? "Compra de vveres", un artculo en el Democrat & Chronicle, present una com- paracin de productos comprados en cuatro supermercados locales. Los datos se analizaron usando tcnicas ANOVA y los resultados fueron los siguientes. One-way ANOVA: Martins, Tops, Wal-Mart, Wegmans Source DF SS MS F P Factor 3 0.50 0.17 0.03 0.993 Error 56 330.74 5.91 Total 59 331.24 S = 2.430 R-Sq = 0.15% R-Sq(adj) 0.00% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev +-------+-------+------+---- Martins 15 2.542 2.241 (-------------*----------) Tops 15 2.596 2.294 (-------------*---------) Wal-Mart 15 2.473 2.173 (-------------*---------) Wegmans 15 2.723 2.935 (-------------*-------) +-------+-------+------+---- 1.40 2.10 2.80 3.50 Pooled StDev = 2.430 a. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. b. Con base en la informacin del impreso de computadora que se presenta, enuncia la decisin y la conclusin a la prueba de hiptesis. c. Con los estadsticos dados para cada tienda, parece ha- ber una diferencia entre el costo medio de los vveres para estos cuatro supermercados? d. Con los estadsticos dados para cada tienda, parece ha- ber una diferencia entre las desviaciones estndar para estos cuatro supermercados? e. Cmo tus respuestas a los incisos c y d apoyan tu res- puesta al inciso b? Explica. 12.50 Un experimento se disea para comparar las duraciones de tiempo que cuatro diferentes medicamentos proporcionan alivio al dolor tras ciruga. Los resultados (en horas) son los siguientes. Medicamento Medicamento A B C D A B C D 8 6 8 4 2 4 10 6 6 10 4 12 4 4 10 2 ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXODGH TXHQRKD\GLIHUHQFLDVVLJQLFDWLYDVHQODVGXUDFLRQHVGHDOL- vio al dolor proporcionadas por los cuatro medicamentos en = 0.05? a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.51 [EX12-51] Se supone que ciertas mquinas despacha- doras de refresco de una compaa proveedora despachan 6 oz de bebida. Varias mquinas se muestrean y las cantidades re- sultantes de bebida despachada (en onzas) se registran, como se muestra en la siguiente tabla. Mquinas A B C D E 3.8 6.8 4.4 6.5 6.2 4.2 7.1 4.1 6.4 4.5 4.1 6.7 3.9 6.2 5.3 4.4 4.5 5.8 (VWDHYLGHQFLDPXHVWUDOSURSRUFLRQDVXFLHQWHUD]yQSDUDUH- chazar la hiptesis nula de que las cinco mquinas despachan la misma cantidad promedio de bebida? Usa = 0.01. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.52 [EX12-52] Para comparar la efectividad de tres dife- rentes mtodos de enseanza de lectura, 26 nios de igual ap- titud lectora se dividieron en tres grupos. Cada grupo recibi instruccin durante un periodo determinado, usando uno de los tres mtodos. Despus de completar el periodo de educa- www.fullengineeringbook.net 605 cin, todos los estudiantes se pusieron a prueba. Los resulta- dos de la prueba se presentan en la siguiente tabla. Mtodo I Mtodo II Mtodo III Calificaciones prueba 45 45 44 (rplicas) 51 44 50 48 46 45 50 44 55 46 41 51 48 43 51 45 46 45 48 49 47 47 44 /DHYLGHQFLDHVVXFLHQWHSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVGHTXH los tres mtodos de instruccin son igualmente efectivos? Usa = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.53 [EX12-53] La distancia requerida para detener un vehculo en pavimento hmedo se midi para comparar la potencia de frenado de cuatro importantes marcas de neum- ticos. Un neumtico de cada marca se puso a prueba en el mismo vehculo sobre un pavimento hmedo controlado. A continuacin se presentan las distancias resultantes. Marca A Marca B Marca C Marca D Distancia (rplicas) 37 37 33 41 34 40 34 41 38 37 38 40 36 42 35 39 40 38 42 41 32 34 43 En H[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDFRQFOXLUTXHKD\ una diferencia en la distancia de frenado media? a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.54 [EX12-54] La siguiente tabla proporciona el nmero de arrestos realizados el ltimo ao por violaciones de las le- yes de narcticos en 24 comunidades. Los datos dados son tasas de arresto por 10 000 habitantes. Ciudades (ms Ciudades (abajo Comunidades Comunidades de 250 000) de 250 000) suburbanas rurales 45 23 25 8 34 18 17 16 41 27 19 14 42 21 28 17 37 26 31 10 28 34 37 23 En H[LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDUHFKD]DUODKLSy- tesis de que las tasas medias de arrestos son las mismas en los cuatro tamaos de comunidades? a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.55 [EX12-55] Siete bolas de golf de cada uno de seis fa- bricantes se seleccionaron al azar y se pusieron a prueba para durabilidad. Cada bola se golpe 300 veces o hasta que ocu- rriera falla, lo que sucediera primero. A B C D E F 300 190 228 276 162 264 300 164 300 296 175 168 300 238 268 62 157 254 260 200 280 300 262 216 300 221 300 230 200 257 261 132 300 175 256 183 300 156 300 211 92 93 (VWRVGDWRVPXHVWUDOHVRIUHFHQVXFLHQWH UD]yQSDUD UHFKD- zar la hiptesis nula de que las seis diferentes marcas puestas a estudio soportan la prueba de durabilidad igualmente bien? Usa = 0.05. a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.56 [EX12-56] Los suburbios, cada uno con sus propios atributos, se ubican alrededor de cada rea metropolitana. Siempre existe el "rico" (el ms costoso), el menos costoso, etc. A continuacin se presentan los importes en dlares del pago de impuestos por casas transferidos a los condados de cinco suburbios. Suburbio A Suburbio B Suburbio C Suburbio D Suburbio E 105 101 95 74 79 114 88 107 135 89 85 105 101 165 140 177 100 92 114 114 104 161 91 80 80 135 113 89 115 86 94 94 102 D /RVGDWRVPXHVWUDOHVRIUHFHQVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUD concluir que los suburbios representados s tienen un HIHFWRVLJQLFDWLYRVREUHHOLPSXHVWRWUDQVIHULGRGHVXV casas? Usa = 0.01. E &RQVWUX\HXQDJUiFDTXHGHPXHVWUDODFRQFOXVLyQDOFDQ- zada en el inciso a. 12.57 [EX12-57] Cada ao surge la pregunta, cuando co- mienzan los playoffs de la Liga Nacional de Ftbol: los equipos de cul divisin son los ms fuertes: este, norte, sur u oeste? Dos formas de medir la fuerza de los equipos de ftbol que juegan son el nmero de puntos anotados y el nmero de SXQWRVTXHDQRWDQVXVRSRQHQWHV/RVUHVXOWDGRVQDOHVSDUD (contina en la pgina 606) Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 606 Captulo 12 Anlisis de varianza los 16 juegos efectuados en la temporada 2009 se muestran en la siguiente tabla: Liga Nacional de Ftbol Este Norte Sur Oeste Pts F Pts A Pts F Pts A Pts F Pts A Pts F Pts A 427 285 305 291 416 307 454 320 348 236 391 261 388 333 326 324 360 390 368 324 354 402 197 379 258 326 245 375 290 380 294 424 361 250 470 312 510 341 375 325 429 337 461 297 363 325 330 281 402 427 327 375 315 308 280 390 266 336 262 494 244 400 175 436 Completa una tabla ANOVA para a) puntos anotados y b) pun- tos anotados por equipos contrarios. En cada caso, pon a prueba la hiptesis nula de que el nmero medio de puntos anotados es el mismo para cada una de las cuatro divisiones. Usa el nivel GHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.58 [EX12-58] La cerveza es la bebida alcohlica preferida de los estadounidenses. Se estima que 90 millones de estado- XQLGHQVHVEHEHQFHUYH]D\TXHKDVWDGHWRGRHODOFRKRO lo consumen personas menores de edad, con una gran porcin de cerveza. Muchos ciudadanos enfticamente han promovido aumentos en los impuestos sobre el consumo de alcohol por el EHQHFLRH[SUHVDGRGHVDOXG\VHJXULGDGS~EOLFD/DVLJXLHQWH tabla menciona las tasas de impuestos sobre la cerveza por ga- ln y la dcada cuando se establecieron dichas tasas. Antes de 1960 1960 1970 1980 1990 2000 $0.02 $0.15 $0.06 $0.12 $0.16 $0.23 $0.08 $0.48 $0.09 $0.27 $0.20 $0.13 $0.32 $0.20 $0.11 $0.53 $0.30 $1.07 $0.18 $0.08 $0.08 $0.14 $0.14 $0.16 $0.08 $0.16 $0.12 $0.31 $0.53 $0.19 $0.41 $0.16 $0.77 $0.19 $0.18 $0.41 $0.66 $0.35 $0.26 $0.43 $0.26 $0.18 $0.92 $0.15 $0.48 $0.40 $0.19 $0.27 $0.20 $0.09 $0.10 a. La dcada cuando la tasa de impuesto sobre la cerveza VHHVWDEOHFLyWLHQHXQHIHFWRVLJQLFDWLYRVREUHODWDVD" Usa = 0.05. E 8VDDOPHQRVXQDJUiFDSDUDD\XGDUWHDH[SOLFDUWXFRQ- clusin. 12.59 [EX12-59] El New York Times del 1 de diciembre de 2009, en su artculo "En noviembre, las ventas de automviles muestran signos de estabilidad", report que los vehculos nue- vos se vendieron a una tasa anualizada con ajuste estacional de 11 millones en noviembre. Esta tasa fue mucho mayor que la tasa baja de 9 millones calculada anteriormente en 2009. Las estaciones del ao son uno de muchos factores que afectan di- chos nmeros. Considera las siguientes cifras de ingresos por ventas mensuales de vendedores seleccionados al azar a travs del estado de Nueva York. Ingresos por venta mensuales de automviles por estacin Primavera Verano Otoo Invierno 2 600 11 400 9 000 8 000 1 300 14 100 10 400 8 200 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com /DPXHVWUDRIUHFHVXFLHQWHHYLGHQFLDGHTXHODVHVWDFLRQHV WLHQHQXQHIHFWRVLJQLFDWLYRVREUHORVLQJUHVRVSRUYHQWDVGH DXWRPyYLOHV"8VDHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD a. Resuelve usando el mtodo de valor p. b. Resuelve usando el mtodo clsico. 12.60 Un estudio publicado en el Journal of Research and Development in Education evala la efectividad de la capaci- tacin en habilidades sociales y tutoras de diferentes edades para mejorar las habilidades acadmicas y los comportamien- tos de comunicacin social entre chicos con problemas de aprendizaje. Veinte chicos se dividieron en tres grupos y sus FDOLFDFLRQHV HQ OD3UXHEDGH2UWRJUDItD(VFULWD 7:6SRU sus siglas en ingls) pueden resumirse de la siguiente manera. Grupo n Media TWS Desv. est. Componentes capacitacin habilidades sociales y tutora 7 21.43 9.48 Slo capacitacin habilidades sociales 7 20.00 8.91 Ningn componente 6 20.83 9.06 Calcula las entradas de la tabla ANOVA usando estos resul- tados. 12.61 [EX12-61] Un profesor del taller de materiales comen- ta a sus alumnos que las placas de policarbonato proporcionan una combinacin nica de caractersticas excepcionales: soli- GH] WUDQVSDUHQFLDHVEHOWH]H[LELOLGDG UHVLVWHQFLDDOFDORU duracin y seguridad, que se pueden termo-formar o forjar y que en algunos casos se pueden trabajar en fro. La solidez del policarbonato permite el uso de todas las tcnicas de corte y perforacin y se pueden instalar con pernos y tornillos. Como Fuente: www.cbssports.com Fuente: http://cspinet.org www.fullengineeringbook.net 607 muestra excelentes caractersticas mecnicas, el policarbona- to se puede utilizar en placas muy delgadas. El profesor les indica a los alumnos como trabajar para formar lminas muy delgadas de policarbonato. Supongamos que se formaron 5 equipos de alumnos y que cada equipo fabrico 22 lminas. Formndose as 5 lotes de 22 lminas, se evalu cada lote, al compararlo contra la lmina nominal del profesor, y los datos VHFRGLFDURQGHGRVIRUPDV A B C D E 0.02 0.043 0.002 0.002 0.018 0.016 0.051 0.024 0.024 0.032 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D /RVGDWRVPXHVWUDQXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQOD comparacin con la media nominal de los cinco lotes? 8WLOLFHXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGH E 7UDFHXQDJUiFDTXHPXHVWUHORVUHVXOWDGRVHQFRQWUDGRV en el inciso a. F ([SOLTXHHOVLJQLFDGRGHORVUHVXOWDGRVLQFOX\HQGR 12.62 [EX12-62] La direccin de una escuela preparatoria ha realizado durante dos aos consecutivos, encuestas tri- mestrales acerca de las horas por semana que en promedio dedican los alumnos para estudiar y realizar sus tareas en casa, estos datos se presentan en la tabla que se muestra a continuacin: Ao Trimestres I II III IV 2010 34.4 34.4 34.3 34.4 2011 34.4 34.4 34.3 34.4 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D &RQXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHODHYLGHQFLDHV VXFLHQWHSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHTXHQRKD\GLIH- rencia en las medias de horas semanales dedicadas en casa SRUPHV"3UHVHQWDHYLGHQFLDJUiFDSDUDDSR\DUYLVXDO- mente tu conclusin. E &RQXQQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHODHYLGHQFLDHV VXFLHQWHSDUDUHFKD]DUODDUPDFLyQGHTXHQRKD\GLIH- rencia en las medias de horas semanales trabajadas en casa FDGDDxR"3UHVHQWDHYLGHQFLDJUiFDSDUDDSR\DUYLVXDO- mente tu conclusin. 12.63 [EX12-63] Ronald Fisher, un estadista ingls (1890- 1962), recopil mediciones para una muestra de 150 lirios. De preocupacin fueron las siguientes variables: especie, ancho GHSpWDOR3: ORQJLWXGGHSpWDORDQFKRGHVpSDOR6:\ longitud de spalo (todo en mm). (Los spalos son las hojas PiVH[WHUQDVTXHHQFDSVXODQODRUDQWHVGHDEULUVH/DPHWD del experimento de Fisher fue producir una funcin simple que SRGUtDXVDUVHSDUDFODVLFDUFRUUHFWDPHQWHODVRUHV$FRQWL- nuacin se presenta una muestra de sus datos. D ([LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQHODQFKRGHSpWDOR PHGLRSDUDODVWUHVHVSHFLHV"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQ- cia de 0.05. E ([LVWHXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQHODQFKRGHVpSDOR PHGLRSDUDODVWUHVHVSHFLHV"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQ- cia de 0.05. c. Cmo podra Fisher usar estos resultados para ayudarle a FODVLFDUORVOLULRVHQODHVSHFLHFRUUHFWD" 12.64 [EX12-64] Las cigarras son insectos voladores herb- voros. Una especie particular, la cigarra de 13 aos (Magici- cada), pasa cinco etapas juveniles en madrigueras subterr- neas. Durante los 13 aos en el subsuelo, las cigarras crecen desde aproximadamente el tamao de una pequea hormiga hasta casi el tamao de una cigarra adulto. Cada 13 aos, esta especie sale de sus madrigueras como adultos. Los pesos cor- SRUDOHVDGXOWRV%:HQJUDPRV\ORQJLWXGHVGHFXHUSR%/ en milmetros se proporcionan para tres diferentes especies de estas cigarras de 13 aos en la siguiente tabla. D ([LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQORVSHVRVFRU- porales de las cigarras adultos respecto a las especies? Construye una tabla ANOVA de un solo factor y pon a SUXHEDSDUDODGLIHUHQFLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD E ([LVWHDOJXQDGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQODVORQJLWXGHV corporales de las cigarras adultos respecto a las especies? Construye una tabla ANOVA de un solo factor y pon a SUXHEDSDUDODGLIHUHQFLDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 12.65 [EX12-44] El Sr. B, gerente de la tienda del ejercicio 12.44, vio el efecto que el mes tiene sobre el nmero medio de clientes por da y ahora se pregunta por el efecto que tiene el da de la semana sobre el nmero medio de clientes por da. El nmero medio de clientes por da es afectado por el da de la semana? O, de manera equivalente: "el nmero medio de clientes por da es el mismo para todos los das de la semana" frente a "existe al menos un da de la semana cuando el nmero medio de FOLHQWHVSRUGtDHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHGHOGHORVRWURV/D Fuente: Courtesy of Bauch & Lomb Tipo PW SW 0 2 35 2 18 32 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com BW BL Especie 0.15 22 tredecula 0.29 26 tredecim ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com Ejercicios del captulo (contina en la pgina 608) www.fullengineeringbook.net 608 Captulo 12 Anlisis de varianza siguiente salida de computadora result del anlisis de los datos. (Cdigo de da: 1 = lunes, 2 = martes, ..., 6 = sbado.) Inspecciona el diagrama de puntos precedente por el nmero de clientes por da para los seis das de la semana y la salida ANOVA por el nmero de clientes frente al da de la semana. Busca evidencia que conduzca a la conclusin "no todos los das tienen el mismo nmero medio de clientes por da". D 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFDHQFRQWUDGD\GLVFXWHFyPR muestra que no todos los das de la semana son iguales. Cul da o das parecen ser diferentes de los otros? E 'HVFULEHHOVLJQLFDGR\ODIXHQWHGHORVSXQWRVXEL cados a la derecha y sepralos del resto de los datos. (Sugerencia: observa los datos.) c. Describe la evidencia numrica encontrada y discute cmo muestra que no todos los das son iguales. d. Puedes decir cules das son diferentes, con base en la evidencia numrica? Explica. e. Usa tu calculadora o computadora para realizar la $129$TXHVHPXHVWUD\YHULFDORVUHVXOWDGRV 12.66 [EX12-44] El Sr. B, gerente de la tienda del ejercicio 12.65, vio el efecto que tiene el da de la semana sobre el n- mero medio de clientes por da y ahora se pregunta si el da tie- ne un efecto similar sobre el nmero de artculos comprados. a. Crees que "da de la semana" tiene un efecto sobre el nmero medio de artculos comprados por da? De mane- ra equivalente: crees que el nmero medio de artculos comprados por da es el mismo por todos los das? Si no, cules das crees sern diferentes? Explica. b. Construye un diagrama de puntos para el nmero de artculos comprados por da por cada diferente da de la semana. c. El diagrama de puntos del inciso b apoya tus conjeturas del inciso a? Explica. d. Usa la tcnica ANOVA para responder la pregunta: el da afecta el nmero medio de artculos comprados por da? Usa = 0.05. e. Explica cualquier diferencia y similitud entre tu respuesta al inciso a y la respuesta encontrada en el inciso d. 12.67 [EX12-44] El Sr. B, gerente de la tienda del ejercicio 12.65, vio el efecto que tiene el da de la semana sobre el n- mero medio de clientes por da y ahora se pregunta si el da tiene un efecto similar sobre el costo total de artculos com- prados. a. Crees que "da de la semana" tiene un efecto sobre el costo total de los artculos comprados por da? De manera equivalente: crees que el costo total medio de los artcu- los comprados por da es el mismo por todos los das? Si no, cules das crees que sern diferentes? Explica. b. Construye un diagrama de puntos para el costo total de los artculos comprados por da por cada diferente da de la semana. c. El diagrama de puntos del inciso b apoya tus conjeturas del inciso a? Explica. d. Usa la tcnica ANOVA para responder la pregunta: el da de la semana afecta el costo total de los artculos comprados por da? Usa = 0.05. e. Explica cualquier diferencia y similitud entre tu respuesta al inciso a y la respuesta encontrada en el inciso d. f. Explica cualquier diferencia y similitud entre las respues- tas encontradas para los ejercicios 12.65, 12.66 y 12.67. Las similitudes parecen razonables? Qu implica esto acerca de dichas variables? 12.68 Para los siguientes datos, encuentra SS(error) y de- muestra que SS(error) = (k 1 1)s2 + (k 2 1)s2 + (k 3 1)s2 donde s2 es la varianza para el i-simo nivel de factor. One-way ANOVA: Customers versus Day Source DF SS MS F P Day 5 1604566 320913 2.15 0.072 Error 56 8344274 149005 Total 61 948840 1 i 2 3 Nivel de factor 1 2 3 8 6 10 4 6 12 2 4 14 Grfica de puntos de clientes frente a da Clientes Da www.fullengineeringbook.net 609 12.69 Para los siguientes datos, demuestra que SS(factor) = k 1 (x 1 x)2 + k 2 (x 2 x)2 + k 3 (x 3 x)2 donde x 1 , x 2 , x 3 son las medias para los tres niveles de factor y x es la media global. 12.70 Un artculo en el Journal of Pharmaceutical Sciences discute el cambio de protena plasmtica que enlaza el diaze- pam en varias concentraciones de imipramina. Supn que los resultados reportados fueron los siguientes: Diazepam con Imipramina Diazepam solo (1.25 mg/ml) 1.25 2.50 5.00 97.99 97.68 96.29 93.92 Los valores dados representan enlace de protena plasmtica y n = 8 para cada uno de los cuatro grupos. Encuentra la suma de cuadrados entre los cuatro grupos. Examen de prctica del captulo 3DUWH,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negritas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 12.1 Particionar la suma de cuadrados para el total es sepa- rar el valor numrico de SS(total) en dos valores tales que la suma de estos dos valores es igual a SS(total). 12.2 Una suma de cuadrados en realidad es una medida de varianza. 12.3 El error experimental es el nombre dado a la varia- bilidad que tiene lugar entre los niveles del factor de prueba. 12.4 El error experimental es el nombre dado a la varia- bilidad que tiene lugar entre las rplicas de un experi- mento conforme se repite bajo condiciones constantes. 12.5 La falla para rechazar H o es la decisin deseada cuando las medias para los niveles del factor a poner a prueba son todas diferentes. 12.6 El modelo matemtico para un problema particular es un enunciado en ecuacin que muestra la constitu- cin anticipada de una pieza individual de datos. 12.7 Los grados de libertad para el factor son iguales al nmero de factores puestos a prueba. 12.8 /DPHGLGDGHXQQLYHOHVSHFtFRGHXQIDFWRUDSRQHU a prueba en una ANOVA es la varianza de dicho ni- vel de factor. 12.9 No es necesario suponer que las observaciones son independientes para hacer anlisis de varianza. 12.10 El rechazo de H o indica TXH LGHQWLFDVWH HO ORV nivel(es) del factor que es (son) diferente(s) de los otros. Parte II: Aplicacin de los conceptos 12.11 Determina la verdad (V/F) de cada enunciado respecto a la tcnica de anlisis de varianza de un solo factor. ___a. Las medias cuadrticas son medidas de varianza. ___b. "No hay diferencia entre los valores medios de la variable aleatoria en los varios niveles del factor de prueba" es una posible interpretacin de la hiptesis nula. ___c. "El factor a poner a prueba no tiene efecto sobre la variable aleatoria x" es una posible interpretacin de la hiptesis alternativa. ___d. "No hay varianza entre los valores medios de x para cada uno de los diferentes niveles de factor" es una posible interpretacin de la hiptesis nula. ___e. La "particin" de la varianza ocurre cuando SS(total) se separa en SS(factor) y SS(error). ___f. La hiptesis nula se rechazar y se concluir que el factor tiene un efecto sobre la variable cuando la can- WLGDGGHYDULDQ]DDVLJQDGDDOIDFWRUHVVLJQLFDWLYD- mente mayor que la varianza asignada a error. BBBJ &RQ OD QDOLGDG GH DSOLFDU OD SUXHEDF, el tamao muestral de cada nivel de factor debe ser el mismo. BBBK &RQODQDOLGDGGHDSOLFDUODSUXHEDF, la desviacin estndar muestral de cada nivel de factor debe ser la misma. ___i. Si 20 se resta de cada valor de datos, entonces el valor calculado del estadstico F+ tambin se reduce en 20. Nivel de factor 1 2 3 6 13 9 8 12 11 10 14 7 Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 610 Captulo 12 Anlisis de varianza Cuando el valor calculado de F, F+, es mayor que el valor de tabla para F, ___j. La decisin fallar para rechazar H o . ___k. La conclusin ser que el factor a poner a prueba s tiene un efecto sobre la variable. Muestras independientes se recolectan para poner a prueba el efecto que un factor tiene sobre una variable. Los datos se re- sumen en esta tabla ANOVA: ([LVWH VXFLHQWH HYLGHQFLD SDUD UHFKD]DU OD KLSyWHVLV QXOD de que todos los niveles del factor de prueba tienen el mismo efecto sobre la variable? ___l. La hiptesis nula podra ser A = B = C = D . ___m. El valor calculado de F es 1.125. ___n. El valor crtico de F para = 0.05 es 6.06. ___o. La hiptesis nula puede rechazarse en = 0.05. 12.12 Considera esta tabla: Encuentra los valores: a. A b. B c. C d. D e. E PARTE III: Comprender los conceptos 12.13 En 50 palabras o menos, explica qu es un experimen- to ANOVA de un solo factor. 12.14 Una agencia ambiental estatal puso a prueba tres dife- rentes aspiradores-neutralizadores (scrubbers) utiliza- dos para reducir la contaminacin del aire resultante en la generacin de electricidad. La principal preocu- pacin fue la emisin de partculas en suspensin. Con cada aspirador-neutralizador se corrieron varios ensayos. Para cada ensayo se registr la cantidad de emisin de partculas. [PT12-14] Cantidades de emisin Scrubber I 11 10 12 9 13 12 Scrubber II 12 10 12 8 9 Scrubber III 9 11 10 7 8 a. Enuncia el modelo matemtico para este experimento. b. Enuncia las hiptesis nula y alternativa. c. Calcula y forma la tabla ANOVA. d. Completa la prueba de H o usando un nivel de VLJQLFDQFLD(QXQFLD ODGHFLVLyQ\ ODFRQ- clusin claramente. H &RQVWUX\H XQD JUiFD TXH UHSUHVHQWH ORV GD- tos que son tiles para presentar los resultados de la prueba de hiptesis. SS gl Factor 810 2 Error 720 8 Total 1530 10 SS gl MS F+ Factor A 4 18 E Error B 18 D Total 144 C www.fullengineeringbook.net 611 www.fullengineeringbook.net 612 Captulo 00 Captulo ttulo 13 13.1 Anlisis de correlacin lineal Anlisis de una relacin lineal ,QIHUHQFLDVHQWRUQRDOFRHFLHQWH de correlacin lineal Cmo interpretarHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ 13.3 Anlisis de regresin lineal &yPRDQDOL]DUdos variables relacionadas 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la lnea de regresin &yPRGHWHUPLQDUODutilidad de la ecuacin para la recta de mejor ajuste ,QWHUYDORVGHFRQDQ]DSDUD regresin (VWLPDFLyQDORODUJRGHXQDrecta de mejor ajuste 13.6 Comprender la relacin entre correlacin y regresin Las diferenciasHQWUHFRUUHODFLyQ\UHJUHVLyQ Anlisis de correlacin y de regresin lineales Compatibilidad de altura Hablando en trminos generales, en una pareja el hombre es de 2 a 6 pulgadas ms alto que su compaera. No es claro y puede estar a debate la medida en la que tales preferencias son innatas o posiblemente funcin de la discriminacin de estatura en una sociedad particular. Ciertamente, parece que hay mucho por hacer en los peridicos y revistas acerca de parejas de celebridades con una notable diferencia en estatura, especialmente donde un hombre es ms bajo que su esposa. 13.1 Anlisis de correlacin lineal Imagen copyright Kzenon, 2009. Usada bajo licencia de Shutterstock.com Estatura esposa, pulgadas Estaturas de parejas casadas Estatura marido, pulgadas72 70 68 66 64 62 60 58 56 54 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 www.fullengineeringbook.net 613 Con base en el diagrama de dispersin "Estaturas de parejas casadas", parece haber una relacin lineal entre las estaturas de maridos y esposas. Conforme aumenta la estatura de la HVSRVDSRUORJHQHUDOORKDFHDVtODHVWDWXUDGHOPDULGR(QHOFDStWXORHOFRHFLHQWHGH correlacin lineal se present como una cantidad que mide la fuerza de una relacin lineal (dependencia). Ahora echa un segundo vistazo a este concepto y observa cmo funcio- na UHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO,QWXLWLYDPHQWHVHTXLHUHSHQVDUHQFyPRPHGLU la dependencia lineal matemtica de una variable sobre otra. Conforme x aumenta, \ tiende a aumentar o disminuir? Cun fuerte (consistente) es esta tendencia? En el texto usars GRVPHGLGDVGHGHSHQGHQFLDFRYDULDQ]D\HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUDPHGLU la relacin entre dos variables. La discusin comenzar con el examen de un conjunto de datos bivariados\VHLGHQWLFDUiQDOJXQRVKHFKRVUHODFLRQDGRVFRQIRUPHWHSUHSDUDVSDUD GHQLUODFRYDULDQ]D PTI Las ideas bsicas de anlisis de regresin y de correlacin lineal se introdujeron en el cap- tulo 3. (Si estos concep- tos no estn frescos en tu mente, revisa ahora el captulo 3.) El captu- lo 3 slo fue un primer vistazo de los aspectos grfico (el diagrama de dispersin) y estadstico descriptivo bsicos del anlisis de correlacin lineal y de regresin. Aqu, se da un vistazo ms detallado al an- lisis de correlacin y regresin lineales. E J E M P L O 1 3 . 1 COMPRENSIN Y CLCULO DE LA COVARIANZA La figura 13.1 presenta una muestra de seis datos bivariados (pares ordenados): (2, 1), (3, 5), (6, 3), (8, 2) (11, 6), (12, 1). La media de los seis valores x (2, 3, 6, 8, 11, 12) es x = 7. La media de seis valores y (1, 5, 3, 2, 6, 1 es y = 3. El punto (x, y), que es (7, 3), se ubica como se muestra en la grfica de los puntos muestrales de la figura 13.2. El punto (x, y) se llama centroi- de de los datos. Una recta vertical y una horizontal dibujadas a travs del centroide dividen la grfica en cuatro secciones, como se muestra en la figura 13.2. Cada punto (x, y) se encuentra a cierta distancia de cada una de estas dos rectas: (x x ) es la distancia horizontal desde (x, y ) hacia la recta ver- tical que pasa a travs del centroide, y (y y ) es la distancia vertical desde (x, y) hacia la recta horizontal que pasa a travs del centroide. Puede medirse la distancia horizontal y vertical de cada punto de datos desde el centroide, como se muestra en la figura 13.3. Las distancias pueden ser positivas, negati- FIGURA 13.1 Grfica de datos bivariados Seccin 13.1 Anlisis de correlacin lineal 1 5 10 15 3 5 (2, 1) (3, 5) (6, 3) (8, 2) (11, 6) (12, 1) x y www.fullengineeringbook.net 614 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales Una medida de dependencia lineal es la covarianza. La FRYDULDQ]DGHx y yVHGHQH como la suma de los productos de las distancias de todos los valores de x y \ desde el centroide, [(x x)(\ \)] dividido entre n 1: Covarianza de x y y covar(x, y) = (xi x )(yi y ) n 1 En la tabla 13.1 se proporcionan los clculos para la covarianza de los datos en el ejemplo 13.1. La covarianza, que se escribe covar ([\), de los datos es = 0.6. vas o cero, dependiendo de la posicin del punto (x, y) en relacin con (x, y). [La figura 13.3 presenta (x x ) y (y y ) representados mediante llaves, con signos positivo o negativo.] FIGURA 13.2 El punto (7, 3) es el centroide FIGURA 13.3 Medicin de la distancia de cada punto de datos desde el centroide (13.1) TABLA 13.1 Clculos para encontrar covar(x, y) para los datos del ejemplo 13.1 n i = 1 Puntos x x y y (x x)(y y) (2, 1) 5 2 10 (3, 5) 4 2 8 (6, 3) 1 0 0 (8, 2) 1 1 1 (11, 6) 4 3 12 (12, 1) 5 2 10 Total 0 0 3 ck ck 3 5 1 5 10 15 3 5 x y (2, 1) (3, 5) (6, 3) (8, 2) (11, 6) (12, 1) 7 (7, 3) x y 1 5 10 15 3 5 x y (2, 1) (3, 5) C (6, 3) (8, 2) (11, 6) (12, 1) 7 (7, 3) x y E () (+) () (+) (+) () (+) () () (+) () D F A B x x www.fullengineeringbook.net 615 Notas: 1. (x x) = 0 y (\ \) = 0. Esto siempre suceder. Por qu? (Consulta las pp. 75-76.) 2. Aun cuando la varianza de un solo conjunto de datos siempre es positiva, la covarianza de datos bivariados puede ser negativa. /DFRYDULDQ]DHVSRVLWLYDVLODJUiFDHVWiGRPLQDGDSRUSXQWRVHQODVSDUWHVVXSHULRU derecha e inferior izquierda del centroide. Los productos (x x) y (\ \) son positivos en estas dos secciones. Si la mayora de los puntos est en la parte superior izquierda y en la LQIHULRUGHUHFKDGHOFHQWURLGHHQWRQFHVODVXPDGHORVSURGXFWRVHVQHJDWLYD/DJXUD muestra datos que representan a) una dependencia positiva, b) una dependencia negativa y cSRFDRQLQJXQDGHSHQGHQFLD/DVFRYDULDQ]DVSDUDHVWDVWUHVVLWXDFLRQHVGHQLWLYDPHQWH seran positivas en la parte a, negativas en b y cerca de cero en c. (El signo de la covarianza siempre es la misma que el signo de la pendiente de la lnea de regresin.) La mayor desventaja de la covarianza como media de dependencia lineal es que no tiene una unidad de medida estandarizada. Una razn para esto es que la dispersin de los datos es un fuerte factor en el tamao de la covarianza. Por ejemplo, si cada punto de datos del ejemplo 13.1 se multiplica por 10, se tiene (20, 10), (30, 50), (60, 30), (80, 20), (110, 60) y (120, 10). La relacin de los puntos con los dems cambia solamente en que estn mucho ms dispersos. Sin embargo, la covarianza para este nuevo conjunto de datos es 60. (VWRVLJQLFDTXHODGHSHQGHQFLDHQWUHODVYDULDEOHVx y \ es ms fuerte que en el caso original? No, no lo es; la relacin es la misma, aun cuando cada valor de datos se multi- plic por 10. ste es el problema con la covarianza como medida. Debes encontrar alguna forma para eliminar el efecto de la dispersin de los datos cuando se mide la dependencia. Si estandarizas x y \ al dividir la distancia de cada uno desde la media respectiva por la respectiva desviacin estndar: x' = x x y \' = \ \ s x s\ y despus calculas la covarianza de x' y \', tendrs una covarianza que no es afectada por ODGLVSHUVLyQGHORVGDWRV(VWRHVH[DFWDPHQWHORTXHVHORJUDFRQHOFRHFLHQWHGHFRUUHOD- FLyQOLQHDO(OFRHFLHQWHGLYLGHODFRYDULDQ]DGHx y \ por una medida de la dispersin de x y por una medida de la dispersin de \ (las desviaciones estndar de x y de \ se usan como PHGLGDVGHGLVSHUVLyQ3RUWDQWRSRUGHQLFLyQHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO es: Coeficiente de correlacin lineal r = covar (x', y') = covar (x, y) sx U sy PTI Este clculo se asigna en el ejercicio 13.13 (p. 618). SABAS QUE...? El coeficiente de correlacin El nombre completo del coeficiente de correla- cin enga a muchos que creyeron que fue Karl Pearson quien desarroll esta medida estadstica. Aunque Pearson desarro- ll un tratamiento riguro- so de la matemtica de la Correlacin Momen- to Producto de Pearson (CMPP), fue la imagina- cin de sir Francis Galton la que originalmente con- cibi nociones modernas de correlacin y regre- sin. La fascinacin de Galton con la gentica y la herencia ofrecieron la inspiracin inicial que condujo a la regresin y el CMPP. FIGURA 13.4 Datos y covarianza (13.2) Seccin 13.1 Anlisis de correlacin lineal x y x y x y (x, y) (x, y) (x, y) a b c www.fullengineeringbook.net 616 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLREDVHVGHGDWRV\$SSOHWV6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHVDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP(O FRHFLHQWH GH FRUUHODFLyQ OLQHDO HVWDQGDUL]D ODPHGLGD GH GHSHQGHQFLD \ SHUPLWH OD comparacin de las fortalezas relativas de dependencia de diferentes conjuntos de datos. [La frmula (13.2) para correlacin lineal tambin se conoce usualmente como momento producto de Pearson, r.] Puedes encontrar el valor de UHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUDORVGDWRVHQHO ejemplo 13.1 al calcular las dos desviaciones estndar y despus dividir: s x \s\ U = covar(x, \) : U = 0.6 = 0.07 s x U s\ (QFRQWUDUHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQFRQODIyUPXODSXHGHVHUXQSURFHVRDULW mtico muy tedioso. Sin embargo, puedes escribir la frmula en una forma ms utilizable, como se hizo en el captulo 3: Atajo para coefi ciente de correlacin lineal r = covar (x, y) = n 1 = SS(xy) sx U sy sx U sy SS(x) U SS(y) La frmula (13.3) evita los clculos separados de x, \, s x y s\, as como los clculos de las desviaciones de las medias. Por tanto, la frmula (13.3) es mucho ms sencilla de usar y, ms importante, es ms precisa cuando se involucran decimales, pues minimiza el error de redondeo. PTI Consulta el captulo 3 (pp. 137-138) para una ilustracin del uso de esta frmula. PTI Los comandos de computadora y calcula- dora para encontrar el coefi ciente de correla- cin se presentaron en el captulo 3 (p. 139). (13.3) E J E R C I C I O S S E C C I N 1 3 . 1 13.1 Considera el diagrama de dispersin "Estaturas de pare- jas casadas" que se present en el "Compatibilidad de altura" en la pgina 612. a. Cul es la variable independiente para este conjunto de datos? Cmo aparece en el diagrama de dispersin? b. Cul es la variable dependiente para este conjunto de datos? Cmo aparece en el diagrama de dispersin? c. Parece haber una relacin entre estaturas de marido y es- posa? Cmo aparece esto en el diagrama de dispersin? 13.2 [EX13-02] Considera el diagrama de dispersin "Estatu- ras de parejas casadas" que se present en "Compatibilidad de altura" de la pgina 612: a. Cmo pueden ubicarse sobre el diagrama de dispersin dado, marido y esposa de la misma estatura? Cuntos hay? (Determina esta respuesta en dos formas: 1) cuenta los puntos sobre el diagrama de dispersin; 2) cuenta los pares ordenados en el conjunto de datos. Explica la dis- crepancia.) b. Cmo pueden localizarse en el diagrama de dispersin los maridos que son ms altos que sus esposas? Cuntos hay? c. Cmo pueden localizarse en el diagrama de dispersin los maridos que son ms bajos que sus esposas? Cuntos hay? d. Contaste a las 87 parejas mencionadas en los datos? 9HULFD e. Cmo aparece en el diagrama de dispersin la diferencia ms grande en estaturas? 13.3 Considera un conjunto de datos bivariados pareados. a. Explica por qu (x x) = 0 y (\ \) = 0. b. Describe el efecto que las rectas x = x y \ = \ tienen sobre ODJUiFDGHHVWRVSXQWRV c. Describe la relacin de los pares ordenados que causa- rn que (x x) U (\ \) sea 1) positivo, 2) negativo y 3) cercana a cero. 13.4 Ejercicio Applet Skill- builder5HODFLRQDFRHFLHQWHV de correlacin con sus diagra- mas de dispersin. Despus de varias rondas de prcticas con "New Plots", explica tu mtodo de relacin. [(x x )(y y )] www.fullengineeringbook.net 617 13.5 [EX13-05] Los siguientes valores de datos son de una PXHVWUDDOHDWRULDGHHVWXGLDQWHVXQLYHUVLWDULRV ORVGDWRV PXHVWUDQHOJpQHURGHOHVWXGLDQWHVXVFDOLFDFLRQHVFRPEL- nadas en el American College Test (ACT) y los promedios de FDOLFDFLyQ *3$GHVSXpVGHVXSULPHUSHULRGRHQ ODXQL- versidad. Mujer Mujer Mujer Hombre ACT GPA ACT GPA ACT GPA ACT GPA 23 1.833 33 3.333 15 3.000 13 3.053 28 4.000 17 2.835 22 3.600 16 2.600 22 3.057 26 3.249 20 2.665 27 2.000 20 4.000 25 2.290 17 2.934 19 2.500 23 3.550 20 2.178 21 3.422 22 4.000 19 2.583 23 2.835 18 3.002 33 2.833 20 3.165 19 2.364 17 3.000 17 3.438 29 3.398 21 3.000 25 4.000 26 2.418 27 3.868 22 3.934 25 3.472 18 2.918 29 3.533 25 3.550 17 2.360 16 3.313 a. Construye un diagrama de dispersin de los datos con FDOLFDFLRQHV$&7HQHOHMHKRUL]RQWDO\*3$HQHOHMH YHUWLFDODVHJ~UDWHGHLGHQWLFDUDORVHVWXGLDQWHVKRPEUHV y mujeres. b. Los patrones para hombres y mujeres parecen ser iguales RVRQGLIHUHQWHV",GHQWLFDVLPLOLWXGHV\GLIHUHQFLDVHVSH- FtFRV F 6XSyQTXHXQHVWXGLDQWHWLHQHXQDFDOLFDFLyQ$&7GH &XiOSUHGLFHVTXHVHUiHO*3$GHOHVWXGLDQWHDOQDO del primer periodo en la universidad? G 3DUHFHKDEHUDOJXQDUHODFLyQHQWUHFDOLFDFLRQHV$&7\ HO*3$GHOSULPHUSHULRGR" 13.6 [EX13-06] Las fotografas areas son una de muchas tcnicas usadas para monitorear poblaciones salvajes. Cono- cer el nmero de animales y sus ubicaciones relativas a las reas habitadas por poblaciones humanas es muy til. Tambin es importante monitorear las caractersticas fsicas de los ani- males. Es posible usar la longitud de un oso, como se estima desde una fotografa area, para estimar la edad y/o el peso del oso? (Sera mucho ms seguro que pedirle que se ponga de pie sobre un conjunto de bsculas! ) Los datos que siguen son para edad (en meses), gnero (1 = macho, 2 = hembra), longitud (en pulgadas) y peso (en libras). Edad Gnero Longitud Peso 19 1 45.0 65 29 2 62.0 121 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D ,QYHVWLJDODUHODFLyQHQWUHODORQJLWXG\ODHGDGGHORV osos. Asegrate de incluir la variable gnero. b. Parece haber un patrn predecible para la relacin entre longitud y edad? Cmo el gnero del oso afecta la rela- cin? Explica. Describe el patrn. F ,QYHVWLJDODUHODFLyQHQWUHODORQJLWXG\HOSHVRGHORV osos. Asegrate de incluir la variable gnero. d. Parece haber un patrn predecible para la relacin entre longitud y peso? Cmo el gnero del oso afecta la rela- cin? Explica. Describe el patrn. e. Si el gnero de un oso ms pequeo o ms joven no pue- de determinarse, cmo afectar esto la estimacin para edad o peso? Explica. 13.7 [EX13-07] a. Construye un diagrama de dispersin de los siguientes datos bivariados. Punto A B C D E F G H I J x 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 y 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 b. Calcula la covarianza. c. Calcula s x y s\. d. Calcula U con la frmula (13.2). e. Calcula U con la frmula (13.3). 13.8 [EX13-08] a. Dibuja un diagrama de dispersin de los siguientes datos bivariados. Punto A B C D E F G H I J x 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 y 6 6 7 4 5 2 3 0 1 1 b. Calcula la covarianza. c. Calcula s x y s\. d. Calcula U con la frmula (13.2). e. Calcula U con la frmula (13.3). 13.9 [EX13-09] Una computadora se us para completar los clculos preliminares; forma la tabla de extensiones; calcula las sumas x, \, x2, [\, \2, y encuentra SS(x), SS(\) y SS([\SDUDHOVLJXLHQWHFRQMXQWRGHGDWRVELYDULDGRV9HULFD los resultados al calcular los valores t mismo. x 45 52 49 60 67 61 y 22 26 21 28 33 32 MINITAB output: Row X Y XSQ XY YSQ 1 45 22 2 025 990 484 2 52 26 2 704 1 352 676 3 49 21 2 401 1 029 441 4 60 28 3 600 1 680 784 5 67 33 4 489 2 211 1 089 6 61 32 3 721 1 952 1 024 Row sum X sum Y sum XSQ sum XY sum YSQ 1 334 162 18940 9 214 4 498 SS(X) 347.333 SS(Y) 124.000 SS(XY) 196.000 Fuente: http://www.act.org/ Fuente: MINITABs Bears.mtw Seccin 13.1 Anlisis de correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 618 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 13.10 [EX13-10] Usa una computadora para formar la tabla de extensiones; calcula las sumas x, \, x2, [\, \2, y en- cuentra SS(x), SS(\) y SS([\) para el siguiente conjunto de datos bivariados. x 11.4 9.4 6.5 7.3 7.9 9.0 9.3 10.6 y 8.1 8.2 5.8 6.4 5.9 6.5 7.1 7.8 13.11 [EX13-11] Los fanticos del ftbol de la NFL con fre- cuencia observan el total de puntos anotados por un equipo (Pts F) y el total de puntos en contra (Pts A) como una forma de comprar la fuerza relativa de los equipos. A continuacin se presentan los totales de temporada para los 32 equipos de OD1)/HQ Pts F Pts A Pts F Pts A Pts F Pts A Pts F Pts A 472 285 305 291 416 307 454 320 348 236 391 261 388 333 326 324 360 390 368 324 354 402 197 379 258 326 245 375 290 380 294 424 361 250 470 312 510 341 375 325 429 337 461 297 363 325 330 281 402 427 327 375 315 308 280 390 266 336 262 494 244 400 175 436 D &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOPRPHQWR producto de Pearson, U) para los puntos anotados y los puntos en contra. b. Qu conclusin puedes extraer de la respuesta en el inciso a? c. Construye el diagrama de dispersin y comenta acerca de cmo apoya, o est en desacuerdo con, tus comentarios en el inciso b. PTI Consulta la pgina 139 para informacin acerca del uso de MINITAB, Excel o TI-83/84 Plus para encontrar el coefi- ciente de correlacin. 13.12 [EX13-12] Conocer el peso de un caballo (medido en libras) es informacin importante para el dueo de un caballo. La cantidad de alimento y la dosis de medicamento dependen del peso del caballo. La mayora de los dueos no tienen los re- FXUVRVSDUDWHQHUXQDEiVFXODVXFLHQWHPHQWHJUDQGHSDUDSHVDU un caballo, de modo que se usan otras mediciones para estimar el peso. La alzada (medida en palmas) y la cincha y la longitud (medidas en pulgadas) son mediciones comunes para un caba- OOR8QDPXHVWUDGHPHGLFLRQHVGHOVHPHQWDO6XIIRON3XQFKVH WRPDURQGHOVLWLRZHEKWWSZZZVXIIRONSXQFKFRP Fila Altura Cintura Longitud Peso 1 16.0 93 72 1825 2 15.3 78 69 1272 3 16.0 84 70 1515 4 17.0 96 80 2100 5 16.2 86 70 1569 6 16.0 88 72 1690 7 16.0 83 72 1500 D &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOPRPHQWR producto de Pearson, r) entre: 1) altura y peso, 2) cintura y peso y 3) longitud y peso. b. Qu conclusiones puedes extraer de tus respuestas en el inciso a? c. Construye un diagrama de dispersin para cada par de variables mencionadas en el inciso a. d. Los diagramas de dispersin apoyan tu respuesta al inciso b? e. Con base en esta evidencia, qu medicin consideras es la ms potencial como pronosticadora del peso? Explica tu eleccin. 13.13 a. Calcula la covarianza del conjunto de datos (20, 10), (30, 50), (60, 30), (80, 20), (110, 60) y (120, 10). b. Calcula la desviacin estndar de los seis valores x y la desviacin estndar de los seis valores \. c. Calcula UHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUD los datos en el inciso a. d. Compara estos resultados con los encontrados en el texto para el ejemplo 13.1 (pp. 613-616). 13.14 Una frmula que en ocasiones se da para calcular el FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHV U = n([\) (x)(\) n(x2) n(x)2 n(\2) n(\)2 Usa esta expresin as como la frmula U = SS([\) SS(x) U SS(\) para calcular U para los datos en la siguiente tabla. x 2 4 3 4 0 y 6 7 5 6 3 Fuente: www.cbssports.com www.fullengineeringbook.net 619 En la seccin 13.1 aprendiste que la covarianza es una medida de dependencia lineal. Observaste tambin el hecho de que su valor es afectado por la dispersin de los datos; por tanto, se estandariza la covarianza al dividirla por las desviaciones estndar tanto de x como de \. Esta forma estandarizada se conoce como UHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO La estandarizacin permite comparar diferentes conjuntos de datos, lo que por tanto permi- te a U jugar un papel muy parecido al que tienen ] o W con x. El valor U calculado se convierte en U+, el estadstico de prueba para inferencias en torno a HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ poblacional. ( es la letra griega minscula rho.) Suposiciones para inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal El conjunto de pares ordenados (x, y ) forma una muestra aleatoria y los valores y en cada x tienen una distribucin normal. Las inferencias usan la distribu- cin t con n 2 grados de libertad. Precaucin Las inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal son acerca del patrn de comportamiento de las dos variables involucradas y la utilidad de una variable para predecir la otra. La significancia del coeficiente de correlacin lineal no significa que se haya establecido una relacin causa y efecto. Causa y efecto es un asunto aparte. (Consulta la discusin de la causacin en las pp. 140-141.) Procedimiento de intervalo de confianza Como con otros parmetros, puede usarse un LQWHUYDORGHFRQDQ]D para estimar el valor de HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGHODSREODFLyQ3RUORJHQHUDOHVWRVHORJUDDO usar una tabla que muestre FLQWXURQHVGHFRQDQ]D. La tabla 10 del apndice B ofrece FLQWXURQHVGHFRQDQ]DSDUDLQWHUYDORVGHFRQDQ]DGH(VWDWDEODHVXQSRFRFRQIXVD para leer y utiliza n, el tamao muestral, de modo que debes tener cuidado adicional cuan- do la uses. El siguiente ejemplo demuestra el procedimiento para estimar . 13.2 Inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal E J E M P L O 1 3 . 2 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA EL COEFICIENTE DE CORRELACIN POBLACIONAL Una muestra aleatoria de 15 pares ordenados de datos tiene un valor r calcu- lado de 0.35. Encuentra el intervalo de confianza de 95% para , el coeficien- te de correlacin lineal poblacional. Solucin Paso 1 Parmetro de inters: el coeficiente de correlacin lineal para la po- blacin, . Seccin 13.2 Inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 620 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y en cada x tienen una distribucin normal. b. Frmula: el coeficiente de correlacin lineal calculado, r. c. Nivel de significancia: 1 = 0.95 Paso 3 Informacin muestral: n = 15 y r = 0.35 Paso 4 Intervalo de confianza: el intervalo de confianza se lee de la tabla 10 del apndice B. Encuentra r = 0.35 en la parte inferior de la tabla 10. (Consulta la flecha de la figura 13.5.) Visualiza una recta vertical trazada a travs de dicho punto. Encuentra los dos puntos donde los cinturones marcados por el tamao de muestra correcto cruza la recta vertical. El tamao de muestra es 15. Estos dos puntos se encierran en crculos en la figura 13.5. Ahora observa horizon- talmente desde los dos puntos en crculos hacia la escala vertical a la izquierda y lee el intervalo de confianza. Los valores son 0.20 y 0.72. Paso 5 Intervalo de confianza: el intervalo de confianza de 95% de , el coeficiente poblacional de correlacin lineal, es 0.20 a 0.72. FIGURA 13.5 Uso de la tabla 10 del apndice B, cinturones de confianza para el coeficiente de correlacin Escala de r (correlacin muestral) Escala de r (coeficiente de correlacin poblacional)Lee Lee Entra en r = 0.35 0.2 +0.72 7 8 10 12 2025 50 10 0 20 0 40 0 40 0 20 0 10 0 50 2520 1210 8 7 6 5 4 3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 0 +1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0 +0.2 +0.4 +0.6 +0.8 +1.0 3 4 5 6 15 15 www.fullengineeringbook.net 621 Procedimiento de prueba de hiptesis 'HVSXpVGHFDOFXODUHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSDUDORVGDWRVPXHVWUDOHVU, parece necesario plantear esta pregunta: el valor de U indica que existe una dependencia lineal entre las dos variables en la poblacin de la que se extrajo la muestra?, para responder esta pregunta puedes realizar una prueba de hiptesis. La hiptesis nula es: las dos va- riables estn linealmente no relacionadas ( = 0), donde HVHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ lineal para la poblacin. La hiptesis alternativa puede ser de una o dos colas. Ms fre- cuentemente es de dos colas, 6LQHPEDUJRFXDQGRVHVRVSHFKDTXHVyORKD\XQD correlacin positiva o slo una negativa, debes usar una prueba de una cola. La hiptesis alternativa de una prueba de una cola es > 0 o < 0. El rea que representa el valor p o la regin crtica para la prueba est a la derecha cuando se espera una correlacin positiva y a la izquierda cuando se espera una correlacin negativa. El estadstico de prueba usado para poner a prueba la hiptesis nula es el valor calculado de U a partir de los datos muestrales. Las cotas de probabilidad para el valor p o valores crticos para UVHHQFXHQWUDQHQODWDEODGHODSpQGLFH%S(OQ~PHUR de grados de libertad para el estadstico U es 2 menos que el tamao muestral, gl = n 2. 'HWDOOHVHVSHFtFRVSDUDXVDUODWDEODVLJXHQDOHMHPSOR (OUHFKD]RGHODKLSyWHVLVQXODVLJQLFDTXHKD\HYLGHQFLDGHXQDUHODFLyQOLQHDOHQWUH las dos variables en la poblacin. La falla para rechazar la hiptesis nula se interpreta como que no se ha demostrado una relacin lineal entre las dos variables en la poblacin. Ahora observa un ejemplo de una prueba de hiptesis. E J E M P L O 1 3 . 3 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS En un estudio de 15 pares ordenados seleccionados al azar, r = 0.548. Este coeficiente de correlacin lineal es significativamente diferente de cero en el nivel de significancia 0.02? Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: el coeficiente de correlacin lineal para la poblacin, . b. Enunciado de hiptesis: Ho: = 0 Ho: & 0 Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y en cada x tienen una distribucin normal. b. Estadstico de prueba: r+, frmula (13.3), con gl = n 2 = 15 2 = 13 c. Nivel de significancia: = 0.02 (dado en el enunciado del pro- blema). Paso 3 a. Informacin muestral: n = 15 y r = 0.548. b. Valor del estadstico de prueba: el coeficiente de correlacin lineal muestral calculado es el estadstico de prueba: r+ = 0.548. Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com Seccin 13.2 Inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 622 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 0 0.548 0.548 r Paso 4 La distribucin de probabilidad: Cmo calcular el valor p 8VDODWDEODGHODSpQGLFH%SDUDFRORFDUFRWDVVREUHHOYDORUS. Al inspeccionar la ODJO GHODWDEODSXHGHVGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHQWURGHOFXDOFDHHOYDORUp. Ubica U+DORODUJRGHODODPDUFDGDJO 6LU+ no se menciona, ubica los dos valores de tabla que caigan en medio y lee las cotas para el valor p de la parte superior de la tabla. En este caso, U+ HVWiHQWUH\SRUWDQWRP est entre 0.02 y 0.05. La tabla 11 slo muestra valores de dos colas. Cuando la hiptesis alternativa tiene dos colas, las cotas para el valor p se leen directamente de la tabla. Nota: cuando H a es de una cola, divide los encabezados de columna por 2 para colocar cotas sobre el valor p. 8VDODWDEODGHODSpQGLFH%SDUDHQFRQWUDUORVYDORUHVFUtWLFRV El valor crtico est HQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \ODFROXPQDGHGRVFRODV = 0.02. La tabla 11 slo muestra valores de dos colas. Dado que la hiptesis alternativa es de dos colas, los valores crticos se leen directamente de la tabla. Paso 5 a. Decisin: fallar para rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.02, se fall para demos- trar que x y y estn correlacionados. Valor p: a. Usa ambas colas porque H a expresa preocupacin por valores relacionados con "diferente de". P = P(UP(U! 2 U P(U!FRQJO FRPRVHPXHVWUDHQOD JXUD Usa la tabla 11 (apndice B) para colocar cotas sobre el valor p: 0.02 < P < 0.05. 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWDLOXVWUDFLyQ b. El valor pQRHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQ- cia, . Clsico: a. La regin crtica es ambas colas porque H a ex- presa preocupacin por valores relacionados con "diferente de". El valor crtico se encuentra HQODLQWHUVHFFLyQGHODODJO \ODFROXPQD de dos colas 0.02 de la tabla 11: 0.592. 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWDLOXVWUDFLyQ b. U+ no est en la regin crtica, como se muestra en D]XORVFXURHQODJXUD o 1/2 valor p 1/2 valor p ... Parte de la tabla 11 Cantidad de en dos colas gl . . . 0.05 P 0.02 . . . 13 0.514 0.548 0.592 0.02 < P < 0.05 0 0.592 r 0.592 0.01 0.01 0.548 R www.fullengineeringbook.net 623 CORRELACIN DE TIEMPO DE COAGULACIN ACTIVADO Y TIEMPO DE TROMBOPLASTINA PARCIAL ACTIVADO PARA CONCENTRACIN DE HEPARINA PLASMTICA USO DE CORRELACIN EN UN ESTUDIO MDICO Objetivo del estudio. Determinar la corre- lacin entre el tiempo de coagulacin acti- vado (ACT) o el tiempo de tromboplastina parcial activado (aPTT) y la concentracin de heparina plasmtica. Diseo. Estudio prospectivo en dos fases. Pacientes. Treinta pacientes que reci- ben heparina intravenosa en infusin con- tinua. ,QWHUYHQFLRQHV 0HGLFLyQ GH $&7 aPTT y concentraciones de heparina plas- mtica. La heparina se ha administrado duran- te ms de 50 aos como un anticoagulante y se sabe que tiene un estrecho rango tera- putico. La subdosis de heparina se asocia con tromboembolia recurrente, mientras que la dosis excesiva puede aumentar el riesgo de complicaciones hemorrgicas. Muchas pruebas de tiempo de coagula- cin estn disponibles para monitorear la heparina, incluidos tiempo de coagulacin sangunea total, tiempo de tromboplastina parcial activado (aPTT) y tiempo de coa- gulacin activado (ACT). El estudio se realiz en dos fases. En la fase 1 (fase intrapersona), se evaluaron extracciones sanguneas secuenciales de cinco pacientes. La meta era determinar VL KDEtD XQD UHODFLyQ VLJQLFDWLYD HQWUH concentraciones de heparina plasmtica y pruebas de tiempo de coagulacin dentro de un individuo. En la fase 2 (fase inter- persona), extracciones de sangre aleatorias individuales de 25 pacientes adicionales se evaluaron con la misma tcnica de re- coleccin y anlisis que en la fase 1. Las extracciones de sangre se realizaron dentro GHKRUDVGHVSXpVGHOLQLFLRGHODWHUDSLD con heparina. La meta de la fase 2 era de- terminar la relacin cuantitativa entre ACT y aPTT y concentracin de heparina plas- mtica entre individuos. Para ambas fases, las correlaciones entre los resultados de ACT o aPTT y las concentraciones de heparina plasmtica se realizaron usando la prueba de correla- cin de momento R de Pearson. Fase 1: los FRHFLHQWHVGHFRUUHODFLyQ OLQHDO U) para ORVFLQFRSDFLHQWHVIXHURQp = 0.02), p p (p \ p = 0.10). Fase 2: el FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSDUDHVWRVGDWRV fue 0.58 (lineal, p = 0.008). La frmula de ODUHFWDGHUHJUHVLyQOLQHDOHV (concentracin de heparina plasmtica), que, para un rango de heparina terapu- tica de 0.3-0.7 U/ml (por antifactor Xa), HV LJXDO DXQ UDQJR$&7GH VH gundos. Las rectas de regresin lineal para aPTT frente a concentracin de heparina SODVPiWLFD VHPXHVWUDQHQ ODJXUD(O FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSDUDHVWRVGDWRV IXH OLQHDOp = 0.0001). La frmula GH OD UHFWDGH UHJUHVLyQ OLQHDO IXH FRQFHQWUDFLyQ KHSDULQD SODVPiWL ca), que, para el mismo rango de heparina teraputica, es igual a un rango aPTT de VHJXQGRV Nota: cuando H a es de una cola, divide los encabezados de columna por 2. Seccin 13.2 Inferencias en torno al coefi ciente de correlacin lineal ... Parte de la tabla 11 Cantidad de a en dos colas gl . . . 0.02 . . . 13 0.592 Valores crticos = 0.592 E J E M P L O A P L I C A D O 1 3 . 4 www.fullengineeringbook.net 624 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales FIGURA 7 aPTT lineal frente a concentracin de heparina plasmtica para la fase 2 (correlacin y regresin interpersona). Las rectas rayadas verticales indican el rango teraputico para concentracin de heparina plasmtica por antifactor Xa. Los resultados del anlisis de decisin indican que un rango teraputico de prueba de tiempo de coagulacin (no derivado de concentracin de heparina) con frecuencia resulta en decisiones incorrectas de ges- tin de paciente. El ACT basado en un ran- go teraputico estndar puede resultar en decisiones de ajuste de dosis que pueden DXPHQWDUHOULHVJRGHVDQJUDGRHQGH los pacientes). El aPTT basado en un ran- go teraputico estndar puede resultar en decisiones de ajuste de dosis que pueden DXPHQWDUHOULHVJRGHWURPERVLVHQ de los pacientes). Un estudio ms grande en 200 pacientes est en marcha para con- UPDU HVWRV UHVXOWDGRVXVDQGR UDQJRV WH raputicos derivados de concentracin de heparina para aPTT y ACT. Concentracin heparina plasmtica (unidades/ml) Fuente: John M. Koerber, B.S. Maureen A. Smythe, Pharm. D. Robert L. Begle, M.D. Joan C. Mattson, M.D. Beverly P. Kershaw, M.S. y Susan J. Westley, M.T. (ASCP). 3KDU PDFRWKHUDS\ Pharmacotherapy Publications, http://www.medscape. FRPYLHZDUWLFOHB5HLPSUHVRFRQSHUPLVR E J E R C I C I O S S E C C I N 1 3 . 2 13.15&RQJUiFDVSDUDLOXVWUDUH[SOLFDHOVLJQLFDGRGHXQ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQFRQORVVLJXLHQWHVYDORUHV D E F G H 13.16&RQODJXUDGHODSiJLQDHQFXHQWUDHOLQWHU YDORGHFXDQGRXQDPXHVWUDGHn = 25 resulta en U = 0.35. 13.17D &RQODJXUDGHODSiJLQDHQFXHQWUDHO LQWHUYDORGHFXDQGRXQDPXHVWUDGHn = 100 resulta en U = 0.35. b. Compara tu respuesta del inciso a con el intervalo GHFRQDQ]DIRUPDGRHQHOHMHUFLFLR'HVFUL be qu ocurri cuando aumentaste el tamao de la muestra. 13.18 Usa la tabla 10 del apndice B para determinar un in- WHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYHUGDGHURFRHFLHQWHGH correlacin lineal poblacional basado en los siguientes estads- ticos muestrales: a. n = 8, U = 0.20 b. n = 100, U c. n = 25, U G n = 15, U = 0.23 aPTT (segundos)0.0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 n = 30 r = 0.89, p = 0.0001 y = 14.4 + 135.4[Heparina] www.fullengineeringbook.net 625 13.19 Usa la tabla 10 del apndice B para determinar un inter- YDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYHUGDGHURFRHFLHQWHGHFR- rrelacin lineal basado en los siguientes estadsticos muestrales: a. n = 50, U = 0.60 b. n = 12, U c. n = 6, U G n = 200, U = 0.56 13.20 [EX13-20](OSURGXFWRLQWHUQREUXWR3,%GHXQSDtV indica su nivel de tecnologa? El :RUOG)DFWERRNGHOD&,$ [http://www.cia.gov/] ofrece estadsticas de todos los pases del mundo. La siguiente informacin 2008 se obtuvo para una muestra aleatoria de cinco pases: PIB 2008 % Poblacin que Pas (en millones) usa internet 2008 Alemania 2925 75 Espaa 1402 62 Francia 2133 67 Italia 1827 43 Portugal 237.3 8 Encuentra U\HVWDEOHFHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 13.21 [EX13-21] El mtodo examinar-reexaminar es una for- PDGHHVWDEOHFHUODDELOLGDGGHXQH[DPHQ(OH[DPHQVHDG- ministra y despus, en una fecha posterior, el mismo examen VHYXHOYHDGPLQLVWUDUDORVPLVPRVLQGLYLGXRV(OFRHFLHQWH GHFRUUHODFLyQVHFDOFXODHQWUHORVGRVFRQMXQWRVGHFDOLFDFLR- QHV/DVVLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHVGHOH[DPHQVHREWXYLHURQHQ una situacin examen-reexamen. Primera calificacin 75 87 60 75 98 80 68 84 47 72 Segunda calificacin 72 90 52 75 94 78 72 80 53 70 Encuentra U\HVWDEOHFHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. 13.22 [EX13-22] Acaso el tamao del cerebro de un animal determina la inteligencia para dicha especie. O acaso el peso del cerebro lo hace. O acaso el tamao corporal o el peso tie- nen un papel. El siguiente cuadro compara los tamaos y pesos de cerebro y cuerpo de varios animales. Longitud Peso Longitud Peso Especie cerebro (cm) cerebro (g) cuerpo (cm) cuerpo (g) Humano 15 1 400 100 62 000 Babuino 8 140 75 30 000 Mono 5 100 30 7 000 Camello 15 680 200 529 000 Delfn Perdido 1 700 305 160 000 Canguro 5 56 150 35 000 Gato 5 30 60 3 300 Mapache 5.5 39 80 4 290 Conejo 5 12 30 2 500 Ardilla 3 6 20 900 Rana 2 0.1 10 18 &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ~VDOR\WDPELpQODWDEOD GHODSpQGLFH%SDUDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]D GHVREUH para cada uno de los siguientes casos: a. Longitud cerebro y peso cerebro b. Longitud cerebro y peso cuerpo c. Peso cerebro y peso cuerpo 13.23 [EX13-23] California se destaca por sus vinos Char- donnay secos. En la tabla se mencionan cinco variedades, FRQVXFDOLFDFLyQ:LQH6SHFWDWRU\SUHFLRSRUERWHOOD:LQH 6SHFWDWRUFDOLFDORVYLQRVVREUHXQDHVFDODGHSXQWRV\ todos los vinos se someten a degustacin ciega. Nombre Calificacin Precio Ridge Chardonnay Monte Bello 2006 95 $57.99 Rodney Strong Chardonnay Reserve 2006 94 $33.99 Chalone Chardonnay 2007 92 $22.99 Lincourt Chardonnay Santa Rita Hills 2007 91 $19.99 Rombauer Vineyards Chardonnay Cameros 2007 91 $17.00 a. Calcular U. E (VWDEOHFHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHGH. F 'HVFULEHHOVLJQLFDGRGHODUHVSXHVWDDOLQFLVRE G ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODUHVSXHVWDGHDQFKRGHO intervalo en el inciso b. 13.24 [EX13-24] Un estudio muestra que la tasa de morta- lidad en caminos rurales es mayor que en otros caminos en Estados Unidos. La siguiente tabla es un extracto tomado de "Tasas de mortalidad superiores en caminos rurales" del USA 7RGD\, que proporciona las tasas de mortalidad para cada esta- do en caminos rurales no interestatales por cada 100 millones de millas de viaje y las tasas para todos los otros caminos en el estado. Estado Caminos rurales Todos los dems AL 2.45 1.21 AK 1.76 2.00 ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com D &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ~VDOR\WDPELpQOD WDEODSDUDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH SDUD. b. Qu otros factores podran tener un efecto sobre esta relacin? Explica. 13.25 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternati- va, H a , que usaras para poner a prueba los siguientes enun- ciados: D (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOHVSRVLWLYR b. No hay correlacin lineal. c. Hay evidencia de correlacin negativa. d. Hay una relacin lineal positiva. 13.26 a. Enuncia la hiptesis nula estndar, H o , para poner DSUXHEDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO. b. Qu indica una decisin de "fallar para rechazar H o " en una prueba de hiptesis para ? c. Qu indica una decisin de "rechazar H o " en una prueba de hiptesis para ? [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFuente: http://www.serendip.brynmawr.edu/ Fuente: USA Today Seccin 13.2 Inferencias en torno al coeficiente de correlacin lineal www.fullengineeringbook.net 626 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 13.27 Coloca cotas sobre el valor p resultante de una muestra con n = 18 y U HQODVVLJXLHQWHVFLUFXQVWDQFLDV a. H a es de dos colas. b. H a es de una cola. 13.28 Determina las cotas sobre el valor p que usaras para poner a prueba cada una de las siguientes hiptesis nulas usan- do el enfoque de valor p: a. H o : = 0 frente a H a : FRQn = 32 y U b. H o : = 0 frente a H a : > 0 con n \U = 0.75 c. H o : = 0 frente a H a : < 0 con n = 15 y U = 0.83 13.29 Determina los valores crticos de U para = 0.05 y n = 20 en las siguientes circunstancias: a. H a es de dos colas. b. H a es de una cola. 13.30 Determina los valores crticos que usaras para poner a prueba cada una de las siguientes hiptesis nulas usando el enfoque clsico: a. H o : = 0 frente a H a : FRQn = 18 y = 0.05 b. H o : = 0 frente a H a : > 0 con n = 32 y = 0.01 c. H o : = 0 frente a H a : < 0 con n = 16 y = 0.05 13.31(QUHIHUHQFLDDOHMHPSORDSOLFDGR D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ para estos datos fue 0.58 (lineal, p = 0.008)" como se report para la fase 2. b. Con la tabla 11, qu cotas colocaras sobre el valor p? Cmo se comparan estas cotas con el valor p en el inciso a? c. Cul es el valor crtico para una prueba de dos colas de p = 0.00 en el nivel = 0.01? G (VVLJQLFDWLYRU = 0.58? 13.32D 6LXQDPXHVWUDGHWDPDxRWLHQHXQFRHFLHQWHGH FRUUHODFLyQOLQHDOGHH[LVWHUD]yQVLJQLFDWLYD SDUDFRQFOXLUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO de la poblacin es positivo? Usa = 0.01. E 6LXQDPXHVWUDGHWDPDxRWLHQHXQFRHFLHQWH GHFRUUHODFLyQGHH[LVWHUD]yQVLJQLFDWLYD SDUDFRQFOXLUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ lineal de la poblacin es positivo? Usa = 0.01. c. Describe las similitudes y diferencias entre los incisos a y b. 13.338QDPXHVWUDGHGDWRVELYDULDGRVWLHQHXQFRHFLHQWH de correlacin lineal de U (VWRSURSRUFLRQDVXFLHQWH evidencia para rechazar la hiptesis nula de que = 0 en favor de una alternativa de dos lados? Usa = 0.10. 13.346LXQDPXHVWUDGHWDPDxRWLHQHXQFRHFLHQWHGHFR- UUHODFLyQOLQHDOGHH[LVWHUD]yQVLJQLFDWLYDSDUDFRQ- FOXLUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGHODSREODFLyQHV negativo? Usa = 0.01. 13.35 Un valor de U HVVLJQLFDWLYRDOWUDWDUGHGH- mostrar que es mayor que cero para un tamao de muestra HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" 13.36 Cuando se trata de restaurantes de alta cocina japonesa que ofrecen sushi, la calidad y presentacin de la comida sin duda son indicadores del costo. Y qu hay de la decoracin del restaurante? Los resultados de la encuesta Zagat, publi- cados en 1HZVZHHNSURGXMHURQXQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ GHHQWUHFDOLFDFLyQGHGHFRUDFLyQGHOUHVWDXUDQWH\HO costo promedio de la comida. Si estos resultados se basaron en FLQFRUHVWDXUDQWHVSXHGHVFRQFOXLUTXHODUHODFLyQHVVLJQL- FDWLYDHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" 13.37 [EX13-37] La poblacin (en millones) y la tasa de cr- menes violentos (por 1 000) se registraron para 10 reas me- tropolitanas. Los datos se muestran en la siguiente tabla. Poblacin 10.0 1.3 2.1 7.0 4.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.4 Tasa de crmenes 12.0 9.5 9.2 8.4 8.2 7.3 7.1 7.0 6.9 6.9 Estos datos proporcionan evidencia para rechazar la hiptesis nula de que = 0 en favor de HQ = 0.05? 13.38 [EX13-38] Uno pensara que jugar en las Olimpiadas y despus en la temporada regular y la postemporada de la NBA cansaran a cualquier jugador. Los promedios de anotaciones de estos nueve olmpicos de 2008, que jugaron en la postem- porada, dan esa impresin? Temporada regular, PPJ Postemporada Jugador, equipo 2008-2009 2008-2009, PPJ Kobe Bryant, Lakers 30.0 30.2 Le Bron James, Cavaliers 28.7 35.3 Dwayne Wade, Heat 26.9 29.1 Dwight Howard, Magic 16.8 20.3 Chis Paul, Hornets 19.8 16.6 Carlos Boozer, Jazz 19.3 20.6 Jason Kidd, Mavericks 8.3 11.4 Caramelo Anthony, Nuggets 30.0 27.2 Deron Williams, Jazz 19.5 20.2 a. Estos datos ofrecen evidencia para rechazar la hiptesis nula de que = 0 en favor de > 0 en = 0.01? E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODDSDUHQWHFRUUHODFLyQSRVLWLYD 13.39 [EX13-39] Dos indicadores del nivel de actividad HFRQyPLFDHQXQiUHDJHRJUiFDGDGDVRQVXPHGLDQDGHLQ- greso domstico y su porcentaje de poblacin en pobreza. La siguiente tabla menciona los datos para siete estados para el ao 2008: www.fullengineeringbook.net 627 Recuerda que la recta de mejor ajuste resulta de un anlisis de dos (o ms) variables cuantitativas relacionadas. (El trabajo se restringir a dos variables.) Cuando dos va- riables se estudian en conjunto, con frecuencia a uno le gustara controlar una variable mediante el control de la otra. O acaso uno quiera predecir el valor de una variable con base en el conocimiento acerca de la otra variable. En ambos casos se quiere encontrar la lnea de mejor ajuste, siempre que exista una, que predecir mejor el valor de la variable dependiente, o de salida, de un valor de la variable independiente, o de entrada. Recuerda que la variable que se conoce o se puede controlar se llama variable LQGHSHQGLHQWH o de entrada; la variable que resulta de usar la ecuacin de la recta de mejor ajuste se llama variable GHSHQGLHQWH, predicha o de salida. En el captulo 3 se desarroll el mtodo de mnimos cuadrados. A partir de este con- cepto, se obtuvieron las frmulas (3.7) y (3.6) y se usaron para calcular b0 (la ordenada al origen) y b1 (la pendiente de la recta de mejor ajuste): b 0 = \ (b 1 U x) n b 1 = SS([\) SS(x) Estado Mediana ingreso domstico Porcentaje en pobreza Colorado $57 184 11.2 Kansas $50 174 11.3 Missouri $46 847 13.5 Nebraska $49 731 10.8 Nuevo Mxico $43 719 17.0 Oklahoma $42 836 15.7 Wyoming $54 735 9.5 D &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHQWUHODVGRV variables. E 3RQDSUXHEDSDUDXQDFRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQHO QLYHOGHVLJQLFDQFLD\H[WUDHWXFRQFOXVLyQ 13.40 [EX13-02] Considera al diagrama de dispersin "Esta- turas de parejas casadas" que se present en "Compatibilidad de altura" de la pgina 613: a. Calcula U. E (VWDEOHFHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD. F 3RQDSUXHEDXQDFRUUHODFLyQSRVLWLYDVLJQLFDWLYDHQHO QLYHOGHVLJQLFDQFLD G ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHORVUHVXOWDGRVHQFRQWUDGRV en los incisos b y c. 13.41 [EX13-41] Los cultivadores de remolacha azucarera estn interesados en obtener mayores producciones y mayores porcentajes de sacarosa de sus cosechas. Pero deben hacerlo juntos? Los datos que siguen son de la cosecha de remola- cha azucarera de Montana; los valores mencionados son por condado, produccin en toneladas por acre y sacarosa como porcentaje de sacarosa. Condado Produccin Sacarosa Condado Produccin Sacarosa Noreste Sur-central Dawson 20.9 18.94 Yellowstone 25.9 16.71 Richland 24.5 19.67 Otro 27.4 16.35 Roosevelt 21.0 19.25 Sureste Surcentral Custer 21.8 18.96 Big Horn 29.7 16.41 Prairie 22.2 19.58 Carbon 22.7 16.56 Rosebud 31.3 17.10 Treasure 29.4 17.07 a. Qu relacin, si alguna esperas encontrar, hay entre la produccin por acre y el porcentaje de sacarosa para remolachas azucareras? b. Dibuja el diagrama de dispersin para produccin en toneladas por acre (x) y porcentaje de sacarosa (\) para los datos de Montana. Describe la relacin que ves en el diagrama de dispersin. Es lo que anticipabas? F (QFXHQWUDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO G (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDHOFRHFLHQWHGHFRUUH- ODFLyQOLQHDOHVVLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHGHFHUR" e. Uno de los pares ordenados parece estar fuera del patrn creado por los otros 10 pares ordenados. Qu efecto crees que tendra la remocin de este par de los valores de datos sobre: 1) la apariencia del diagrama de dispersin, HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\ODUHVSXHVWDDO inciso d? f. Remueve el condado Carbon de los datos y responde los incisos b-d. Compara los resultados con tus respuestas al inciso e. 13.3 Anlisis de regresin lineal Fuente: http://www.census.gov/ Fuente: http://www.nass.usda.gov/ (3.7) (3.6) Seccin 13.3 Anlisis de regresin lineal www.fullengineeringbook.net 628 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 'HVSXpVHVRVGRVFRHFLHQWHVVHXVDQSDUDHVFULELUODHFXDFLyQGHODUHFWDGHPHMRUDMXVWH en la forma y = b 0 b 1 x Cuando la recta de mejor ajuste se traza, hace algo ms que slo mostrar una represen- tacin visual de la lnea. Tambin dice dos cosas: 1) si realmente existe o no una relacin lineal entre las dos variables y 2) la relacin cuantitativa (ecuacin) entre las dos variables. Cuando no hay relacin entre las variables, resultar una recta horizontal de mejor ajuste. Una recta horizontal tiene una pendiente de cero, lo que implica que el valor de la variable de entrada no tiene efecto sobre la variable de salida. (Esta idea se ampliar ms tarde en este captulo.) El resultado del anlisis de regresin es la ecuacin matemtica de la recta de mejor ajuste. Como se mencion anteriormente, en este libro el trabajo se restringir al caso lineal simple; esto es: una variable de entrada y una variable de salida donde la recta de mejor ajuste es recta. Sin embargo, debes estar al tanto de que no todas las relaciones son de esta naturaleza. Si el diagrama de dispersin sugiere algo distinto de una lnea recta, la relacin puede ser regresin curvilnea. En casos de este tipo debes introducir trminos de potencias superiores, x2, x3, etc., u otras funciones, ex, log x, etc., o debes introducir otras variables de entrada. Acaso dos o tres variables de entrada mejoraran la utilidad de la ecuacin de regresin. Estas posibilidades son ejemplos de regresin curvilnea y regresin mltiple. El modelo lineal usado para explicar el comportamiento de los datos bivariados linea- les en la poblacin es: Modelo lineal y = 0 + 1x + Esta ecuacin representa la relacin lineal entre las dos variables en una poblacin. 0 es la ordenada al origen y 1 es la pendiente. (letra griega minscula psilon) es el error experimental aleatorio en el valor observado de \ en un valor dado de x. La recta de regresin de los datos muestrales proporcionan b 0 , que es la estimacin de 0 y b 1 , la estimacin de 1 . El error se aproxima mediante e = \ \, la diferencia entre el valor observado de \ y el valor predicho de \, \, en un valor dado de x: Estimacin del error experimental e = y y La variable aleatoria e (tambin conocida como el "residual") es positiva cuando el valor observado de \ es mayor que el valor predicho, \; e es negativa cuando \ es menor que \. La suma de los errores (residuales) para todos los valores de \ para un valor dado de x es exactamente cero. (sta es parte de los criterios de mnimos cuadrados.) Por tanto, el valor medio del error experimental es cero; su varianza es 2. La siguiente meta es estimar esta YDULDQ]DGHOHUURUH[SHULPHQWDO. Antes de estimar la varianza de , trata de entender exactamente qu representa el error: es la cantidad de error en el valor observado de \. Esto es: la diferencia entre el valor ob- servado de \ y el valor medio de \ en dicho valor particular de x. Puesto que no se conoce el valor medio de \, se usar la ecuacin de regresin y se le estimar con \, el valor predicho de y en este mismo valor de x. Por tanto, la mejor estimacin que se tiene para es e = \ \, FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD $SSOHW6NLOOEXLOGHUGLVSRQLEOHLQJUHVD\DSUHQGHPiVHQFHQJDJHEUDLQFRP (13.4) (13.5) www.fullengineeringbook.net 629 Nota: e es el error observado en la medicin de \HQXQYDORUHVSHFtFRGHx. Si tuvieras que observar varios valores de \ en un valor dado de xSRGUtDVJUDFDUXQD distribucin de valores \ en torno a la recta de mejor ajuste (en torno a \, en particular). La JXUDSUHVHQWDXQDPXHVWUDGHYDORUHVELYDULDGRVTXHFRPSDUWHQXQYDORUx comn. /DJXUDSUHVHQWDODGLVWULEXFLyQWHyULFDGHWRGRVORVSRVLEOHVYDORUHV\ en un valor dado x. Una distribucin similar ocurre en cada diferente valor de x. La media de las \ observadas en un valor dado de x vara, pero puede estimarse por \. Recta de mejor ajuste FIGURA 13.6 El error, e, es y y FIGURA 13.7 Muestra de valores y en una x dada FIGURA 13.8 Distribucin terica de valores y para una x dada FIGURA 13.9 La desviacin estndar de la distribucin de valores y es la misma para todas las x Antes de poder hacer algunas inferencias acerca de una recta de regresin, debes su- poner que la distribucin de las \ es aproximadamente normal y que las varianzas de la distribucin de \ en todos los valores de x son iguales; esto es: que la desviacin estndar de la distribucin de \ en torno a \ es la misma para todos los valores de x, como se muestra HQODJXUD 5HYLVD ODGHQLFLyQGH ODYDULDQ]DPXHVWUDO DQWHVGHREVHUYDU ODYDULDQ]DGHe. La varianza muestral, s2VHGHQHFRPRODVXPDGHORVFXDGUDGRVGHFDGDGHVYLDFLyQ dividida entre el nmero de grados de libertad, n 1, asociados con una muestra de tamao n. La varianza de \ involucra una complicacin adicional: existe una media diferente para \ en cada valor de x2EVHUYDODVPXFKDVGLVWULEXFLRQHVHQODJXUD6LQHPEDUJR cada una de dichas "medias" en realidad es el valor predicho, \, que corresponde a la x que MDODGLVWULEXFLyQ'HPRGRTXHODYDULDQ]DGHOHUURUHVWLPDGRe est dada por la frmula: Varianza del error estimado, e s2 = (y y) 2 donde n 2 es el nmero de grados de libertad. Frecuencia PTI La varianza de y en torno a la recta de mejor ajuste es la mis- ma que la varianza del error estimado e. (13.6) n 2 (x x)2 n 1 Valor observado, y (x, y) Recta de mejor ajuste y = b0 + b1x Recta de mejor ajuste Lnea de mejor ajuste Seccin 13.3 Anlisis de regresin lineal e Valor predicho de y, y (x, y) x y e x y x y y x1 x x2 x3 www.fullengineeringbook.net 630 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales La frmula (13.6) puede reescribirse al sustituir b 0 b 1 x para \. Dado que \ = b 0 b 1 x, se tiene s2 = (\ b 0 b 1 x)2 n 2 Con algo de lgebra y cierta paciencia, esta frmula puede reescribirse una vez ms en una forma ms laborable. La forma que se usar es Varianza del error estimado e s2 = (y 2) (b0)(y) (b1)(xy) Para facilitar la discusin, se acuerda llamar al numerador de las frmulas (13.6), (13.7) y (13.8) la suma de cuadrados para error (SSE). Desviacin estndar del error estimado, e (error estndar de la estimacin) s e = s2 Ahora observa cmo puedes usar toda esta informacin. E J E M P L O 1 3 . 5 DETERMINACIN DE LA VARIANZA DE y EN TORNO A LA RECTA DE REGRESIN Supn que te mudas a una nueva ciudad y encuentras empleo. Desde luego, estars preocupado por los problemas que enfrentars al trasladarte hacia y desde el trabajo. Por ejemplo, te gustara saber cunto tardars en conducir al trabajo cada maana. Usa "distancia al trabajo en un sentido" como una medida de donde vives. T vives a x millas de distancia del trabajo y quieres saber cunto tardars en trasladarte cada da. Tu nuevo patrn, al prever esta pregunta, ya recolect una muestra aleatoria de datos a usar para responder tu pregunta. A 15 de tus nuevos compaeros de trabajo se les pidi dar sus tiempos de viaje en un sentido y las distancias hasta el trabajo. Los datos resul- tantes se muestran en la tabla 13.2. (Por conveniencia, los datos se ordenaron de modo que los valores x estn en orden numrico.) Encuentra la recta de mejor ajuste y la varianza de y en torno a la recta de mejor ajuste, s2. Solucin Las extensiones y sumas necesarias para este problema se muestran en la tabla 13.2. Ahora puedes calcular la recta de mejor ajuste con las frmulas (2.8), (3.4), (3.6) y (3.7). A partir de la frmula (2.8): SS(x) = x2 (x) 2 : SS(x) = 2 616 (184) 2 = 358.9333 n 15 (13.7) (13.9) (13.8) e e n 2 e TABLA 13.2 Datos acerca de distancias y tiempos de traslado [TA13-2] e Comp. Trabajo Millas (x) Minutos (y) x2 xy y2 Comp. Trabajo Millas (x) Minutos (y ) x2 xy y2 1 3 7 9 21 49 9 13 26 169 338 676 2 5 20 25 100 400 10 15 25 225 375 625 3 7 20 49 140 400 11 15 35 225 525 1 225 4 8 15 64 120 225 12 16 32 256 512 1 024 5 10 25 100 250 625 13 18 44 324 792 1 936 6 11 17 121 187 289 14 19 37 361 703 1 369 7 12 20 144 240 400 15 20 45 400 900 2 025 8 12 35 144 420 1 225 Total 184 403 2 616 5 623 12 493 www.fullengineeringbook.net 631 Nota: con frecuencia se necesitan lugares decimales adicionales para este tipo de clcu- lo. Observa que b 1 VHPXOWLSOLFySRU6LHQYH]GHHOORXVDVWHHVH producto habra cambiado el numerador en aproximadamente 18. Ello, a su vez, habra FDPELDGRODUHVSXHVWDQDOSRUFDVLXQHUURUGHUHGRQGHRDSUHFLDEOH En las secciones que siguen, la varianza de e se usar en gran medida como la varianza de xFRPRVHFDOFXOyHQHOFDStWXORVHXVyHQORVFDStWXORV\SDUDFRPSOHWDUODV inferencias estadsticas estudiadas ah. PTI Los comandos de computadora y calcula- dora para encontrar la recta de regresin para un conjunto de datos bivariados pueden en- contrarse en el captulo 3 (pp. 152-153). E J E M P L O A P L I C A D O 1 3 . 6 ACCIDENTES AUTOMOVILSTICOS Y PRIMAS DE SEGURO Este grfico reporta el efecto que cada accidente de trfico de responsabi- lidad personal tuvo sobre las primas anuales promedio de los seguros de automvil. Parece que la variable "nmero de accidentes responsabilidad de uno" tiene algn efecto sobre las primas anuales promedio? Cunto afecta? A partir de la frmula (3.4): SS(xy) = xy x U y : SS(xy) = 5 623 (184)(403) = 679.5333 Usa la frmula (3.6) para la pendiente: b1 = SS(xy) : b1 = 679.5333 = 1.893202 = 1.89 SS(x) 358.9333 Usa la frmula (3.7) para la ordenada al origen: b0 = y (b1 x) : b0 = 403 (1.893202)(184) = 3.643387 = 3.64 Por tanto, la ecuacin de la recta de mejor ajuste es y = 3.64 + 1.89x La varianza de y en torno a la recta de regresin se calcula con la frmula (13.8): s2 = (y 2) (b0)(y) (b1)(xy): s2 = (12 493) (3.643387)(403) (1.893202)(5623) = 379.2402 15 2 = 29.17 s = 29.17 = 5.40 s2 = 29.17 es la varianza de las 15 e y se = 5.40 es la desviacin estndar de las 15 e. En la figura 13.10, las 15 e se muestran como segmentos de recta vertical. PTI Usa lugares deci- males adicionales du- rante estos clculos. FIGURA 13.10 Los 15 errores aleatorios como segmentos de recta Tiempo en un sentido (minutos)e e e e n 2 Distancia (millas) Seccin 13.3 Anlisis de regresin lineal n n 15 15 13 10 20 30 50 40 5 10 15 20 www.fullengineeringbook.net 632 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales E J E R C I C I O S S E C C I N 1 3 . 3 13.42/DJUiFDHQHOHMHPSORDSOLFDGRUHSRUWDHOHIHF WRTXHFDGDDFFLGHQWHGHWUiFRHQHOTXHXQRHVUHVSRQVDEOH tiene sobre las primas anuales promedio de los seguros de au- tomviles. a. Parece que la variable "nmero de accidentes en los que uno es responsable" tiene un efecto recurrente sobre las primas anuales promedio? Estima el efecto anual. b. Cmo el efecto anual encontrado en el inciso a se rela- ciona con la potencial recta de mejor ajuste, prima anual RUGHQDGDDORULJHQSHQGLHQWHx ("nmero de acciden- tes en los que uno es responsable")? F /DJUiFDVyORUHSRUWDXQYDORUGHSULPDVSDUDFDGDQ~ mero de accidentes, pero cada dlar reportado resume el importe de muchas primas. Cmo esta situacin se relaciona con la suposicin subyacente de que existe una distribucin de valores ordenados (valores \) para cada valor de abscisa (valor x)? 13.43 [EX13-43] Diez vendedores son entrevistados y se re- gistran el nmero promedio de contactos de cliente por mes, x y el volumen de ventas, \ (en miles), para cada uno: x 12 14 16 20 23 46 50 48 50 55 y 15 25 30 30 30 80 90 95 110 130 &RQVXOWDODVLJXLHQWHVDOLGDGHFRPSXWDGRUD\YHULFDTXHOD ecuacin de la recta de mejor ajuste es \ x y que s e = 10.17 al calcular dichos valores t mismo. The regression equation is y = 13.4 + 2.30 x Predictor Coef Constant 13.414 x 2.3028 s = 10.17 13.44 El granizo, en todo Estados Unidos, causa alrededor de mil millones de dlares en daos en propiedad y cultivos cada DxR'HDFXHUGRFRQ5LHVJRVGHWRUPHQWDV*UDQL]RGHOVLWLR web del National Weather Service, la rapidez de la corriente ascendente de una tormenta es uno de los factores que afectan el tamao del granizo. En el artculo se proporcionan los si- guientes datos: x: rapidez de viento corriente ascendente (mph) 3.5 40 64 84 y: tamao granizo (pulgadas) 0.5 0.75 1.75 3.0 &RQVXOWDODVLJXLHQWHVDOLGDGHFRPSXWDGRUD\YHULFDTXHOD ecuacin de la recta de mejor ajuste es \ x y que s e = 0.1357 al calcular dichos valores t mismo. La grfi ca slo reporta un valor para las primas para cada nmero de accidentes, pero cada dlar reportado resume la cantidad de muchas primas. Cmo se relaciona esto con las suposi- ciones subyacentes para el anlisis de regresin? (Vase el ejercicio 13.42.) >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFuente: estudio 2008 de insurance.com Por Anne Carey y Keith Simmons, USA TODAY Cmo afectan los accidentes a las primas de autos Las primas anuales promedio de los seguros automovilsticos se elevan con cada accidente de trfi co en los que uno es responsable: Fuente: http: //www.srh. Prima www.fullengineeringbook.net 633 The regression equation is size = 1.279 + 0.0499 speed Predictor Coef SE Coef T P Constant 1.2789 0.2041 6.27 0.025 speed 0.049846 0.003453 14.44 0.005 s = 0.135718 R-Sq = 99.0% R-Sq(adj) = 98.6% 13.45 [EX13-45] La NBA (Asociacin Nacional de Bsquet- bol) calcula muchas estadsticas, tal como cualquier otro de- porte profesional. Los puntos promedio por juego, los rebotes promedio por juego, el nmero de aos jugados, nmero de ttulos, nmero de apariciones All-Star y nmero de premios al jugador ms valioso (MVP) son slo algunos ejemplos. Con la siguiente tabla, investiga la relacin entre el nmero promedio de puntos por juego y el nmero de apariciones All-Star para VHLVGHORVPHMRUHVJUDQGHVKRPEUHVGHOD1%$,QFOX\HXQ GLDJUDPDGHGLVSHUVLyQHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\OD UHFWDGHPHMRUDMXVWH\XQHQXQFLDGRDFHUFDGHVXVLJQLFDGR Jugador Puntos All-Star George Mikan 22.6 4 Bill Russell 15.1 12 Wilt Chamberlain 30.1 13 Kareem Abdul-Jabbar 24.6 19 Hakeem Olajuwon 21.8 12 Shaquille O'Neal 16.8 12 13.46 [EX13-46] Se seleccionan al azar 13 de los condados productores de maz dulce de Minnesota y se registra la siguiente informacin acerca de su cosecha: acres plantados (en cientos de acres) y produccin total en cientos de toneladas de maz dulce. Acres Acres plantados Produccin plantados Produccin Condado (100 acres) (100 ton) Condado (100 acres) (100 ton) Waseca 50 353 Kandiyohi 37 237 Freeborn 69 365 Olmsted 86 553 Martin 21 144 Goodhue 45 295 Dakota 34 187 Meeker 13 82 McLeod 20 122 Nicollet 26 178 Redwood 70 483 Sherburne 22 178 Dodge 35 245 D ,QYHVWLJDODUHODFLyQHQWUHHOQ~PHURGHDFUHVSODQWDGRV de maz dulce y las toneladas totales de maz dulce produ- FLGDV,QFOX\HXQGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQFRHFLHQWHGH correlacin lineal y recta de mejor ajuste y un enunciado DFHUFDGHVXVLJQLFDQFLD b. Si t aconsejaras a los productores de maz dulce de Min- nesota con base en la informacin anterior, cuntas tone- ladas de maz dulce, en promedio, podra esperar producir el agricultor por cada acre plantado? 13.47 [EX13-47] Con frecuencia, se considera a los diaman- tes como un artculo muy apreciado, con un valor personal muy por arriba de su valor monetario. El valor monetario de un dia- PDQWH VH GHWHUPLQDSRU VX FDOLGDG H[DFWD VHJ~QGHQHQ ODV cuatro C: corte, color, claridad y peso en quilates (carat). El precio (dlares) y el peso en quilates de un diamante son dos de VXVFDUDFWHUtVWLFDVPiVFRQRFLGDV&RQODQDOLGDGGHHQWHQGHU el papel que tiene el peso en quilates sobre la determinacin del precio de un diamante, el 7 de enero de 2010 se obtuvieron GHOD,QWHUQHWHOSHVRHQTXLODWHV\HOSUHFLRGHGLDPDQWHV aproximadamente redondos, todos de color D y claridad VS1. a. Dibuja un diagrama de dispersin de los datos: peso en quilates (x) y precio (\). b. Los datos sugieren una relacin lineal para el dominio DTXLODWHV"'LVFXWHWXVKDOOD]JRVHQHOLQFLVRD c. Los diamantes menores que 0.30 quilates y los diamantes PD\RUHVTXHTXLODWHVSXHGHQQRDMXVWDUHQHOSDWUyQ lineal demostrado por estos datos. Explica. d. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. e. De acuerdo con esta informacin, cul sera un precio tpico para un diamante de aproximadamente 0.75 quila- tes de esta calidad? f. En promedio, en cunto aumenta el precio por cada 0.01 quilates adicional en peso? Dentro de qu intervalo de valores x esperaras que esto fuera verdadero? g. Encuentra la varianza de \ en torno a la recta de regre- sin. Qu caractersticas en el diagrama de dispersin apoyan este gran valor? 13.48 [EX13-48] /DFDOLFDFLyQHQDSWLWXGSDUDFLHQFLDVGH la computacin, x\ ODFDOLFDFLyQGH ORJUR\ (medidas por XQDQDOJOREDOVHPLGLHURQSDUDHVWXGLDQWHVHQXQFXUVR introductorio de ciencias de la computacin. Los resultados fueron los siguientes. Encuentra la ecuacin de la recta de me- jor ajuste y s2. Fuente: http: //www.nass.usda.gov/ Tabla para el ejercicio 13.48 x 4 16 20 13 22 21 15 20 19 16 18 17 8 6 5 20 18 11 19 14 y 19 19 24 36 27 26 25 28 17 27 21 24 18 18 14 28 21 22 20 21 Fuente: http://www.overnightdiamonds.com/ Peso quilate Precio 0.56 2 055 0.90 5 433 0.50 1 735 0.53 1 962 0.92 5 554 0.51 1 900 0.41 1 264 0.40 1 242 0.80 4 182 0.57 2 085 0.71 3 117 0.40 1 176 0.30 855 0.40 1 153 0.62 2 384 0.54 1 746 0.30 894 0.50 1 871 0.54 1 746 0.70 3 074 e Seccin 13.3 Anlisis de regresin lineal www.fullengineeringbook.net 634 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales $KRUDTXHHQFRQWUDVWHODHFXDFLyQGHODUHFWDGHPHMRUDMXVWH\TXHYHULFDVWHHOPRGHOR lineal (por inspeccin del diagrama de dispersin), ests listo para determinar si es posi- ble usar la ecuacin para predecir \. Pondrs a prueba al hiptesis nula: la ecuacin de la recta de mejor ajuste no es de valor para predecir \ dada x. Esto es: la hiptesis nula a poner a prueba es 1 (la pendiente de la relacin en la poblacin) es cero. Si 1 = 0 entonces la ecuacin lineal no tendr uso real para predecir \. $QWHVGHREVHUYDUHO LQWHUYDORGHFRQDQ]DRODSUXHEDGHKLSyWHVLVHVWXGLDODdis- tribucin muestral de la pendiente. Si muestras aleatorias de tamao n se toman repeti- damente de una poblacin bivariada, entonces las pendientes calculadas, las b 1 , formarn una distribucin muestral que tiene distribucin normal con una media de 1 , el valor poblacional de la pendiente y con una varianza de 2 , donde 2 = 2 (13.10) (x x)2 siempre que no haya falta de ajuste. Un estimador adecuado de 2 se obtiene al sustituir 2 por s2, la estimacin de la varianza del error en torno a la recta de regresin: s2 = s2 (13.11) (x x)2 Esta frmula puede reescribirse en la siguiente forma ms manejable: Estimacin para varianza de pendiente s2 = s 2 13.49 [EX13-49] a. Con los 10 puntos que se muestran en la siguiente tabla, encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste, \ = b 0 b 1 x y grafcala sobre un diagrama de dispersin. Punto A B C D E F G H I J x 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 y 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 b. Encuentra la ordenada \ para los puntos sobre la recta de mejor ajuste cuyas abscisas sean x \ c. Encuentra el valor de e para cada uno de los puntos en los datos dados (e = \ \). d. Encuentra la varianza s2 de aquellos puntos en torno a la recta de mejor ajuste, con la frmula (13.6). e. Encuentra la varianza s2 con la frmula (13.8). (Las res- puestas a los incisos d y e deben ser iguales.) 13.50 [EX13-50] Los siguientes datos muestran el nmero de horas estudiadas para un examen, x\ODFDOLFDFLyQUHFLELGD en el examen, \ (\ se mide en decenas; esto es: \ VLJQLFD TXHODFDOLFDFLyQUHGRQGHDGDDORVSXQWRVPiVFHUFDQRV es 80). x 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 y 5 5 7 5 7 7 8 6 9 8 7 9 10 8 9 a. Dibuja un diagrama de dispersin de los datos. b. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste y graf- cala sobre el diagrama de dispersin. c. Encuentra las ordenadas \ que correspondan a x 5, 6, 7 y 8. d. Encuentra los cinco valores de e que se asocien con los puntos donde x = 3 y x = 6. e. Encuentra la varianza s2 de todos los puntos en torno a la recta de mejor ajuste. 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin e b1 b1 b1 b1 e e e b1 (13.12) x2 (x) 2 n e e www.fullengineeringbook.net 635 E J E M P L O 1 3 . 7 Nota: el "error estndarGHBBBHVODGHVYLDFLyQHVWiQGDUGHODGLVWULEXFLyQPXHVWUDOGH BBB3RUWDQWRHOHUURUHVWiQGDUGHUHJUHVLyQ (pendiente) es y se estima con s Estimacin para el error estndar de regresin (pendiente) s = s2 En el ejemplo de tiempos y distancias de traslado, la varianza y la desviacin estndar entre las b 1 se estim usando las frmulas (13.12) y (13.13): s2 = s 2 : s2 = = 0.081275 = 0.0813 s = s2 : s = 0.081275 = 0.285 Suposiciones para inferencias en torno a la regresin lineal. El conjunto de pares ordenados (x, y) forma una muestra aleatoria y los valores y en cada x tienen una distribucin normal. Dado que se desconoce la desviacin estn- dar poblacional y se sustituye con la desviacin estndar muestral, se usar la distribucin t con n 2 grados de libertad. Procedimiento de intervalo de confianza La pendiente 1 de la recta de regresin de la poblacin puede estimarse mediante un LQWHUYDORGHFRQDQ]D Intervalo de confianza para pendiente b1 t (n 2, /2) U s CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA 1, LA PENDIENTE POBLACIONAL DE LA LNEA DE MEJOR AJUSTE Encuentra el intervalo de confianza de 95% para la pendiente poblacional, 1, para el ejemplo 13.5 (p. 630). Solucin Paso 1 Parmetro de inters: la pendiente, 1, de la recta de mejor ajuste para la poblacin Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y (minutos) en cada x (millas) tienen una distribucin normal. b. Distribucin de probabilidad y frmula: la distribucin t de Student y la frmula (13.14). (13.13) (13.14) PTI Recuerda que se encontr SS(x) con la frmula (2.8). Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com b1 b1 b1 x2 (x) 2 n b1 b1 b1 b1 b1 e b1 b1 Seccin 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin www.fullengineeringbook.net 636 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales c. Nivel de confi anza: 1 = 0.95 Paso 3 Informacin muestral: n =15, b1 = 1.89 y s 2 = 0.0813 Paso 4 a. Coefi cientes de confi anza: de la tabla 6 del apndice B, se encuen- tra t (gl, /2) = t (13, 0.025) = 2.16. b. Error mximo de estimacin: usa la frmula (13.14) para encontrar E = t (n 2, /2) U s : E = (2.16) U 0.0813 = 0.6159 c. Lmites de confi anza inferior y superior: b1 E a b1 + E 1.89 0.62 a 1.89 + 0.62 Por tanto, 1.27 a 2.51 es el intervalo de confi anza de 95% para 1. Paso 5 Intervalo de confi anza: puedes decir que la pendiente de la recta de mejor ajuste de la poblacin de la que se extrajo la muestra est entre 1.27 y 2.51, con 95% de confi anza. Esto es: tienes una con- fi anza de 95% de que, en promedio, cada milla adicional tardar entre 1.27 minutos (1 min, 16 s) y 2.51 minutos (2 min, 31 s) de tiempo para realizar el traslado. N D I C E D E S E R I E D A D P R O M E D I O P O N D E R A D O REVALORACIN DEL USO DE PONDERACIONES DE SERIEDAD EN UN NDICE DE CRMENES Fuente: Reimpreso con permiso del -RXUQDORI&ULPLQDO-XVWLFH, Volumen 17, Thomas Epperlein y Barbara C. 1LHQVWHGW5HH[DPLQLQJWKH8VHRI6HULRXVQHVV:HLJKWVLQDQ,QGH[RI&ULPH3HUJDPRQ3UHVV,QF La regresin del ndice Arizona UCR sobre el ndice de seriedad pro- medio produce la relacin lineal que se PXHVWUDHQODJXUD7DPELpQVHPXHV WUD HO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH (3.001, 3.262), que se basa en un error estndar de 0.065 sobre la estimacin de la pendiente. La ecuacin de regresin para esta relacin es SW Al b1 b1 NDICE ARIZONA UCR E J E M P L O A P L I C A D O 1 3 . 8 000 000 500 000 500 000 500 000 500 000 500 13 00014 00015 00016 00017 00018 00019 00020 000 35 60 57 55 52 50 47 45 42 40 37 www.fullengineeringbook.net 637 Procedimiento de prueba de hiptesis Ahora ests listo para poner a prueba la hiptesis 1 = 0. Esto es: se quiere determinar si la ecuacin de la recta de mejor ajuste es de algn valor real para predecir \. Para esta prueba de hiptesis, la hiptesis nula siempre es H o : 1 = 0. Se pondr a prueba usando la distribucin W de Student con gl = n 2 y el estadstico de prueba W+ que se encontr con la frmula (13.15): Estadstico de prueba para pendiente t + = b1 1 E J E M P L O 1 3 . 9 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA LA PENDIENTE DE LA RECTA DE REGRESIN La pendiente de la recta de mejor ajuste es suficientemente significativa para demostrar que una distancia en un sentido es til para predecir el tiem- po de viaje en un sentido en el ejemplo 13.5? Usa = 0.05. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: 1, la pendiente de la recta de mejor ajuste para la poblacin b. Enunciado de hiptesis: Ha: 1 = 0 (Esto implica que x no es de utilidad para predecir y; esto es: y = y sera igualmente efectiva.) La hiptesis alternativa puede ser de una o de dos colas. Si se sospecha que la pendiente es positiva, como en el ejemplo 13.5, es adecuada una prueba de una cola. Ha: 1 > 0 (Se espera que el tiempo de viaje y aumente conforme aumenta la distancia x.) Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y (minutos) en cada x (millas) tienen una distribucin normal. b. Distribucin de probabilidad y estadstico de prueba: la distribu- cin t con gl = n 2 = 13 y el estadstico de prueba t + de la frmula (13.15) c. Nivel de significancia: = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: n =15, b1 = 1.89 y s 2 = 0.0813 b. Estadstico de prueba: con la frmula (13.15), se encuentra el valor observado de t: t + = b1 1 : t + = 1.89 0.0 = 6.629 = 6.63 b1 (13.15) s Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com b1 b1 s 0.0813 Seccin 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin www.fullengineeringbook.net 638 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales MINITAB La salida incluye la ecuacin para la recta de regresin, informacin para una prueba t con- cerniente a la pendiente de la recta de regresin, la desviacin estndar del error, r y/o r2 y un diagrama de dispersin que muestra la recta de regresin. La salida MINITAB tambin incluye los valores y predichos para valores x dados y residuales. Escribe los datos de la variable x en C1 y los correspondientes datos de la variable y en C2; despus contina con: Elige: Stat > Regression > Regression . . . Escribe: Respuesta (y): C2 Pronsticoes (x): C1 I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : A N L I S I S D E R E G R E S I N Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, se concluye que la pendiente de la recta de mejor ajuste en la poblacin es mayor que cero. La evidencia indica que existe una relacin lineal y que la distancia en un sentido (x) es til para predecir el tiempo de viaje al trabajo (y). Valor p: a. Usa la cola de la derecha porque H a expresa pre- ocupacin por valores relacionados con "positi- vo". P = P(W+ > 6.63 con gl = 13), como se muestra en ODJXUD Para encontrar el valor p, usa uno de tres mtodos: 1. Usa la tabla 6 (apndice B) para colocar cotas sobre el valor p: P < 0.005. 2. Usa la tabla 7 (apndice B) para colocar cotas sobre el valor p: P < 0.001. 3. Usa una computadora o calculadora para encon- trar el valor p: P < 0.0000082. 'HWDOOHV HVSHFtFRV VH HQFXHQWUDQ HQ ODV SiJLQDV b. El valor pHVPHQRUTXHHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD. Clsico: a. La regin crtica es la cola derecha porque H a expresa preocupacin por valores relacionados con "positivo". El valor crtico se encuentra en la tabla 6: (QODVSiJLQDVVHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLR- QHVHVSHFtFDV b. W+ est en la regin crtica, como se muestra en D]XORVFXURHQODJXUD o valor p 0 6.63 t 0 1.77 t 6.63 = 0.05 t (13, 0.05) = 1.77 t t www.fullengineeringbook.net 639 TI-83/84 Plus Excel La salida Excel tambin incluye valores y predichos para valores x dados, residuales y un inter- valo de confi anza 1 para la pendiente. Escribe los datos de la variable x en la columna A y los correspondientes datos de variable y en la columna B; despus contina con: Elige: Data > Data Analysis > Regression > OK Escribe: Rango entrada Y: (B1:B10 o selecciona celdas) Rango entrada X: (A1:A10 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Nivel de confi anza: Escribe: 95% (nivel deseado) Selecciona: Rango salida: Escribe: (C1 o selecciona celdas) Selecciona: Line Fit Plots > OK Para hacer la salida ms legible, contina con: Home > Cells > Format > Autofi t Column Width. Escribe los datos de la variable x en L1 y los corres- pondientes datos de la variable y en L2; despus con- tina con lo siguiente y escribe los valores apropiados y resalta Calculate: Elige: STAT > TESTS > E:LinRegTTest (Para escribir Y1, usa: VARS > YVARS > 1:Function . . . > 1:Y1.) Escribe lo siguiente para obtener un diagrama de dis- persin con recta de regresin: Elige: 2nd > STATPLOT > 1:Plot1 . . . On Elige: ZOOM > 9:ZoomStat > Trace Selecciona: Results Regression equation, table of coeffi cients, s, R-squared, . . . O Ade- ms, the full table of fi ts and residuals > OK Selecciona: Storage Residuals y Fits > OK > OK Elige: Graph > Scatterplot Selecciona: With Regression > OK Escribe: Y variables: C2 X variables: C1 Selecciona: Labels > Title/Footnotes Escribe: tu ttulo > OK > OK PTI En las pginas 129-130 pueden en- contrarse comandos adicionales para ajus- tar la ventana. Seccin 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin www.fullengineeringbook.net 640 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales +HDTXtODLPSUHVLyQ0,1,7$%FRQH[SOLFDFLRQHVSDUDODVSDUWHVGHOHMHPSOR Valores de \ para cada valor x dado usando \ x E J E R C I C I O S S E C C I N 1 3 . 4 13.51D /DHVFDODYHUWLFDOHQODJXUDGHOHMHPSORDSOLFD do 13.8 de la pgina 636 se dibuj en AW = 12 600 y la lnea de mejor ajuste parece intersecar la es- FDODYHUWLFDOHQDSUR[LPDGDPHQWH9HULFD las coordenadas de este punto de interseccin. b. El artculo tambin proporciona una estimacin de LQWHUYDORGH9HULFDHVWHLQWHUYDOR GHFRQODLQIRUPDFLyQGDGDHQHODUWtFXOR 13.52 Calcula el error estndar estimado de regresin, s b1 , SDUDODUHODFLyQFDOLFDFLyQDSWLWXGFLHQFLDVGHODFRPSXWDFLyQ FDOLFDFLyQORJURGHOHMHUFLFLRS x (miles) y (minutes)Ecuacin de la recta de mejor ajuste \ x, consulta las pp. 630-631 Valores calculados de b 0 y b 1 Valor calculado de s b1 s b1 = 0.285 compara con ( (0.0813) = 0.285) consulta la p. 635 W+ calculado y valor p para H o : 1 = 0 como se encontr en los SDVRV\GHODVSS Valor calculado de s e s e FRPSDUDFRQ s2 e FRPRVHHQFRQWUyHQ S Datos dados The regression equation is y, minutes 3.64 1.89 x, miles Predictor Constant x, miles Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x, miles 3.0 5.0 7.0 8.0 10.0 11.0 12.0 12.0 13.0 15.0 15.0 16.0 18.0 19.0 20.0 y, minute 7.00 20.00 20.00 15.00 25.00 17.00 20.00 35.00 26.00 25.00 35.00 32.00 44.00 37.00 45.00 Fit 9.32 13.11 16.90 18.79 22.58 24.47 26.36 26.36 28.26 32.04 32.04 33.93 37.72 39.61 41.51 Residual 2.32 6.89 3.10 3.79 2.42 7.47 6.36 8.64 2.26 7.04 2.96 1.93 6.28 2.61 3.49 s 5.401 R Sq 77.2% R Sq (adj) 75.5% Coef 3.643 1.8932 SECoeff 3.765 0.2851 T 0.97 6.64 P 0.351 0.000 5 5 45 25 35 15 10 15 20 www.fullengineeringbook.net 641 13.53 Calcula el error estndar estimado de regresin, s b1 , SDUDODUHODFLyQQ~PHURGHKRUDVHVWXGLDGDVFDOLFDFLyQHQHO H[DPHQGHOHMHUFLFLRS 13.54 Con el error estndar estimado de regresin, s b1 , en- contrado en el ejercicio 13.53 para la relacin nmero de KRUDVHVWXGLDGDVFDOLFDFLyQHQHOH[DPHQHQFXHQWUDHOLQ- WHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODSHQGLHQWHSREODFLRQDO 1 . La ecuacin para la recta de mejor ajuste fue \ 0.625x. 13.55 El tiempo empleado en ver televisin supera al tiem- po de lectura de las personas jvenes? Una encuesta aleatoria rpida de nias de sptimo grado proporcion los siguientes resultados. Tiempo televisin (minutos) Nmero libros ledos ao pasado 75 10 45 9 120 4 60 7 30 22 Sea Y el nmero de libros ledos el ao pasado y X el tiempo empleado en ver televisin cada noche de la semana. a. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. E (QFXHQWUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . F ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORHQHOLQFLVRE 13.56 [EX13.56]/DLQWHUHVWDWDOHVODPiVODUJDGHODVDX- topistas interestatales estadounidenses de este a oeste, con sus PLOODVTXH VHH[WLHQGHQGHVGH%RVWRQ0$HQ OD , en el extremo oriental, hasta Seattle, WA, en el Kingdome, en el extremo occidental. Pasa a travs de 13 estados del norte; el nmero de millas y el nmero de intersecciones en cada uno de dichos estados se menciona a continuacin. Estado WA ID MT WY SD MN WI IL IN OH PA NY MA Inter. 57 15 83 23 61 52 40 19 21 40 14 48 18 Millas 298 73 558 207 412 275 188 103 157 244 47 391 159 a. Construye un diagrama de dispersin. b. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste (con x = millas y \ = intersecciones). c. Con la ecuacin que encontraste en el inciso b, estima el nmero promedio de intercambios por milla a lo largo de OD, G (QFXHQWUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . H ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORHQHOLQFLVRG 13.57 [EX13-57] Un artculo titulado "Abordaje estadsti- FRSDUDODHVWLPDFLyQGHOFRHFLHQWHGHGLVWULEXFLyQGHHV- troncio" ((QYLURQPHQWDO6FLHQFH 7HFKQRORJ\) reporta un FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGHHQWUHHOFRHFLHQ- te de distribucin de estroncio (mL/g) y el aluminio total PPROJVXHORSDUDVXHORVUHFROHFWDGRVGHODVXSHUFLH a lo largo de Japn. Considera los siguientes datos para 10 de tales muestras. Muestra Coef. dist. Aluminio Muestra Coef. dist. Aluminio suelo estroncio total suelo estroncio total 1 100 200 6 500 400 2 120 225 7 450 375 3 300 325 8 445 385 4 250 310 9 310 350 5 400 350 10 200 290 Sea YHOFRHFLHQWHGHGLVWULEXFLyQGHHVWURQFLR\X el alumi- nio total. a. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. E (QFXHQWUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . F ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHOLQWHUYDORHQHOLQFLVRE 13.58 Enuncia la hiptesis nula, H o y la hiptesis alternativa, H a , que usaras para poner a prueba los siguientes enunciados: a. La pendiente para la recta de mejor ajuste es positiva. E /DSHQGLHQWHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQQRHVVLJQLFDWLYD F /DSHQGLHQWHQHJDWLYDSDUDODUHJUHVLyQHVVLJQLFDWLYD 13.59 Determina el valor p para cada una de las siguientes situaciones: a. H a : 1 > 0, con n = 18 y W+ b. H a : 1 FRQn = 15, b 1 = 0.16 y s b1 = 0.08 c. H a : 1 < 0, con n b 1 \s b1 = 0.82 13.60 Determina el valor crtico y las regiones que usaras para poner a prueba cada una de las siguientes hiptesis nulas usando el mtodo clsico: a. H o : 1 = 0 frente a H a : 1 FRQn = 18 y = 0.05. b. H o : 1 = 0 frente a H a : 1 > 0 con n = 28 y = 0.01. c. H o : 1 = 0 frente a H a : 1 < 0 con n = 16 y = 0.05. 13.61 [EX13-61] Un nmero de 3RSXODU0HFKDQLFV brinda HVSHFLFDFLRQHV\GLPHQVLRQHVSDUDYDULDVPRWRVGHDJXD/D siguiente tabla resume parte de esta informacin. Modelo Precio base Caballos fuerza Baja Blast $8 395 120 Bayliner Jazz $8 495 90 Boston Whaler Rage 15 $11 495 115 Dynasty Jet Storm $8 495 90 Four Winds Fling $9 568 115 Regal Rush $9 995 90 Sea-Doo Speedster $11 499 160 Sea Ray Sea Rayder $8 495 90 Seaswirl Squirt $8 495 115 Suga Sand Mirage $8 395 120 FRQWLQ~DHQODSiJLQD Fuente: Rand McNally y http: //www.ihoz.com/ Seccin 13.4 Inferencias concernientes a la pendiente de la recta de regresin [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP www.fullengineeringbook.net 642 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales Con la salida Excel en el fondo de esta pgina: a. Determina la ecuacin para la recta de mejor ajuste. E 9HULFDHOFiOFXORGHW+ (W estrella) para caballos de fuerza. c. Determina si los caballos de fuerza son un pronstico efectivo del precio base. G 9HULFDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . 13.62 [EX13-62] "Las hamburguesas de comida rpida si- guen siendo el alimento individual de mayor venta en los restaurantes de comida rpida en Estados Unidos", de acuer- do con el sitio web http://www.loseweightgroup.com/. A McDonald's, Burger King, etc., se les requiere proporcionar informacin nutrimental acerca de sus diversas hamburguesas. Las caloras debido a grasa determinan los mg de colesterol en una hamburguesa? Los siguientes datos se obtuvieron del sitio web. Comida rpida Caloras grasa Colesterol mg Big Mac 270 80 1/4 lb con queso 220 95 Hamburguesa doble con queso 210 80 Whopper con queso 420 150 Doble Whopper con queso 580 195 Clsica triple con todo 700 260 1/2 lb tocino cheddar doble mezcla 380 150 a. Determina la ecuacin para la recta de mejor ajuste. b. Determina si las caloras por grasa son un pronstico HIHFWLYRGHOFROHVWHUROHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . 13.63 [EX13-63] A cada estudiante en una muestra de 10 se le pregunt la distancia y el tiempo requerido para trasladarse a la escuela ayer. Los datos recolectados se muestran a conti- nuacin. Distancia 1 3 5 5 7 7 8 10 10 12 Tiempo 5 10 15 20 15 25 20 25 35 35 a. Dibuja un diagrama de dispersin de dichos datos. b. Encuentra la ecuacin que describe la recta de regresin para estos datos. c. El valor de b 1 PXHVWUDVXFLHQWHIXHU]DSDUDFRQFOXLU que 1 es mayor que cero en el nivel = 0.05? G (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODHVWL- macin de 1 . (Conserva estas respuestas para usarlas en el ejercicio 13.71 [p. 651].) 13.64 [EX13-64] La relacin entre el dimetro de un punto de soldadura, x y la resistencia al corte de la soldadura, \, es muy til. El dimetro del punto de soldadura puede medirse despus de completar la soldadura. La resistencia al corte de la soldadura puede medirse slo al aplicar fuerza a la soldadura hasta que se rompe. Por tanto, sera muy til poder predecir la resistencia al corte con base solamente en el dimetro. Los si- guientes datos se obtuvieron de varias soldaduras de muestra. x, Diam. Soldadura (0.001 pulgada) 190 215 200 230 209 250 215 265 215 250 y, Resistencia corte (lb) 680 1 025 800 1 100 780 1 030 885 1 175 975 1 300 Completa estas preguntas con la ayuda de una computadora. a. Dibuja un diagrama de dispersin. b. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. c. El valor de b 1 HVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHFHURHQHO nivel 0.05? G (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . 13.65 [EX13-02] Considera el diagrama de dispersin "Esta- turas de parejas casadas" que se present en el "Compatibili- dad de altura" de la pgina 612: a. Encuentra la ecuacin para la recta de mejor ajuste. b. El valor de b 1 HVVLJQLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHFHURHQHO nivel 0.05? F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD 1 . 13.66 [EX13-66] Las dioptras representan la cantidad de co- rreccin necesaria para proporcionar visin 20/20, o normal. Mientras mayor sea el grado de miopa o hipermetropa, ma- yor es la prescripcin correctiva en dioptras. Las mediciones HQGLRSWUtDVQHJDWLYDVVH UHHUHQDPLRStDPLHQWUDVTXH ODV PHGLFLRQHVHQGLRSWUtDVSRVLWLYDVVHUHHUHQDKLSHUPHWURStD Una muestra de 30 lentes de contacto en competencia se tom de un lote embarcado a una compaa para anlisis. La acep- tacin del lote depende de la relacin entre el poder del lente, que se mide en dioptras y cierto efecto ptico llamado C/O. /RVGDWRVPXHVWUDOHVJUXSRFRGLFDGRGHGRVIRUPDVVH presentan a continuacin. Fuente: http: //www.loseweightgroup.com/ Tabla para el ejercicio 13.61 Salida resumen Excel Coeficientes Error estndar t estrella Valor p 95% inferior 95% superior Ordenada 5936.793025 1929.63032 3.076647876 0.01519394 1487.05465 10386.5314 Caballos de fuerza 30.73218982 17.15820176 1.791107847 0.111051486 8.834719985 70.29909963 www.fullengineeringbook.net 643 Una vez obtenida la ecuacin de la recta de mejor ajuste y determinada como til, ests listo para usar la ecuacin para hacer estimaciones y predicciones. Puedes estimar la media de los valores \ poblacionales en un valor dado de x, escrito \|x0. Tambin puedes predecir el valor \ individual seleccionado al azar que ocurrir en un valor dado de x, escrito \ x0 . La mejor estimacin puntual o prediccin, para \|x0 y \x0 es \. ste es el valor \ obtenido cuando un valor x se sustituye en la ecuacin de la recta de mejor ajuste. Como otras esti- maciones puntuales, rara vez es correcto. El valor calculado de \ variar arriba y abajo de los valores reales para \|x0 y \x0. Antes de desarrollar estimaciones de intervalo de \|x0 y \x0, recuerda el desarrollo de LQWHUYDORVGHFRQDQ]DSDUDODPHGLDSREODFLRQDO en el captulo 8, cuando se conoca la YDULDQ]D\HQHOFDStWXORFXDQGRODYDULDQ]DVHHVWLPDED/DPHGLDPXHVWUDOx, fue la mejor estimacin puntual de . Se us el hecho de que x tiene distribucin normal, o aproximada- mente normal, con una desviacin estndar de para construir la frmula (8.1) para el inter- YDORGHFRQDQ]DSDUD. Cuando debas estimar XVDVWHODIyUPXODSDUDHOLQWHUYDOR GHFRQDQ]D El LQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUD y|x0 y el intervalo de prediccin para y x0 se constru- yen en forma similar, con \ en sustitucin de x como estimacin puntual. Si de la poblacin se seleccionan al azar varias muestras, construyes la recta de mejor ajuste para cada mues- tra, calculas \ para una xGDGDXVDQGRFDGDUHFWDGHUHJUHVLyQ\JUDFDVORVYDULRVYDORUHV \ (variaran porque cada muestra producira una recta de regresin ligeramente diferente), 13.5 Intervalos de confianza para regresin Datos para el ejercicio 13.66, grupo 1 Poder C/O 0.25 0.105 0.50 0.106 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com a. Dibuja un diagrama de dispersin de estos datos. El trmino x es poder del lente. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHQWUHODVGRV variables. F 3RQDSUXHEDSDUDXQDFRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQ HOQLYHOGHVLJQLFDQFLD d. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. e. Determina si existe una relacin lineal entre C/O y el poder del lente para el grupo 1, al poner a prueba la VLJQLFDQFLDGHORVUHVXOWDGRVSHQGLHQWHGHODUHFWDGH mejor ajuste) encontrada en el inciso d. Usa = 0.05. 13.67 [EX13-67] La compaa del ejercicio 13.66 tambin debe observar otros lentes competitivos. Obtiene otra muestra de 30 lentes de un lote embarcado para comparacin. Estos lentes se etiquetan como grupo 2. La aceptacin de este lote tambin depende de la relacin entre el poder del lente y el HIHFWRySWLFROODPDGR&2/RVGDWRVPXHVWUDOHVFRGLFDGRV de dos formas) se presentan a continuacin. Datos para el ejercicio 13.67, grupo 2 Poder C/O 5.5 0.20 5.5 0.25 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com a. Dibuja un diagrama de dispersin de estos datos. El trmino x es poder del lente. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHQWUHODVGRV variables. F 3RQDSUXHEDSDUDXQDFRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQ HOQLYHOGHVLJQLFDQFLD d. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. e. Determina si existe una relacin lineal entre C/O y el poder del lente para el grupo 2, al poner a prueba la signi- FDQFLDGHORVUHVXOWDGRVSHQGLHQWHGHODUHFWDGHPHMRU ajuste) encontrada en el inciso d. Usa = 0.05. 13.68 a. Compara y contrasta las dos muestras de lentes de ORVHMHUFLFLRV\,QFOX\HGHVFULSFLRQHV comparativas de los datos, los anlisis de correla- cin y los anlisis de regresin. E ,GHQWLFDXQDGLIHUHQFLDHVSHFtFDQRWDEOHHQWUH estas dos muestras. Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb Fuente: Cortesa de Bausch & Lomb n Seccin 13.5 Intervalos de confianza para regresin www.fullengineeringbook.net 644 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales encontraras que los valores \ forman una distribucin normal. Esto es: la distribucin muestral de y es normal, tal como la distribucin muestral de x es normal. Y qu hay de la desviacin estndar apropiada de \? La desviacin estndar en ambos casos (\|x0 y \x0) se calcula al multiplicar la raz cuadrada de la varianza del error por un factor de correccin adecuado. Recuerda que la varianza del error, s2, se calcula mediante la frmula (13.8). Antes de buscar los factores de correccin para los dos casos, observa por qu son necesarios. Recuerda que la recta de mejor ajuste pasa a travs del punto ([\), el centroi- GH(QODVHFFLyQVHIRUPyXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODSHQGLHQWH 1 (observa el HMHPSORDOXVDUODIyUPXOD6LGLEXMDVUHFWDVFRQSHQGLHQWHVLJXDOHVDORVH[- WUHPRVGHGLFKRLQWHUYDORGHFRQDQ]DDDWUDYpVGHOSXQWR[\) [que es (12.3, @HQHOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQYHUiVTXHHOYDORUSDUD\XFW~DFRQVLGHUDEOHPHQWH para diferentes valores de xJXUD3RUWDQWRGHEHVVRVSHFKDUXQDQHFHVLGDGSRUXQ LQWHUYDORGHFRQDQ]DPiVDQFKRGDGRTXHVHVHOHFFLRQDQYDORUHVGHx que estn ms lejos de x. En consecuencia, es necesario un factor de correccin para ajustar la distancia entre x 0 y x. Este factor tambin debe ajustar la variacin de los valores \ en torno a \. Primero, estima el valor medio de \ en un valor dado de x, \|x0. La frmula del inter- YDORGHFRQDQ]DHV \ W(n 2, /2) U s e U 1 (x 0 x)2 n (x x)2 Nota: el numerador del segundo trmino bajo el signo radical es el cuadrado de la distan- cia de x 0 desde x. El denominador est estrechamente relacionado con la varianza de x y tiene un "efecto estandarizador" sobre este trmino. /D IyUPXOD SXHGHPRGLFDUVH SDUDPD\RU IDFLOLGDG GH FiOFXOR+H DTXt OD nueva forma: Intervalo de confianza para y|x0 y t (n 2, /2) U se U 1 + (x0 x ) 2 &RPSDUDODIyUPXODFRQODIyUPXOD\ sustituye x y s e U 1 (x 0 x)2 n (x x)2 10 5 10 15 20 30 x y 50 20 40 (x, y) e (13.16) FIGURA 13.11 Rectas que representan el intervalo de confianza para la pendinte (13.17) (el error estndar de \) n SS(x) Distancia (millas) Tiempo en un sentido (minutos)Recta de mejor ajuste La pendiente es 1.27 La pendiente es 2.51 (x, ) www.fullengineeringbook.net 645 E J E M P L O 3 . 1 0 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA y|x0 Construye un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de viaje medio para los compaeros de trabajo que viajan 7 millas al trabajo (consulta el ejemplo 13.5). Solucin Paso 1 Parmetro de inters: y|x=7, el tiempo de viaje medio para compae- ros de trabajo que viajan 7 millas al trabajo. Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y (minutos) en cada x (millas) tienen una distribucin normal. b. Distribucin de probabilidad y frmula: la distribucin t de Student y la frmula (13.17) c. Nivel de confianza: 1 = 0.95 Paso 3 Informacin muestral: s2 = 29.17 (encontrada en el ejemplo 13.5) se = 29.17 = 5.40 y = 3.64 + 1.89x = 3.64 + 1.89(7) = 16.87 Paso 4 a. Coeficiente de confianza: t (13, 0.025) = 2.16 (de la tabla 6 del apndice B) b. Error mximo de estimacin: con la frmula (13.17), se tiene E = t(n 2, /2) U se 1 + (x0 x) 2 : E = (2.16)(5.40) 1 + (7 12.27) 2 n SS(x) 15 358.933 = (2.16)(5.40) 0.06667 + 0.07738 = (2.16)(5.40)(0.38) = 4.43 c. Lmites de confianza inferior y superior: y E a y + E 16.87 4.43 a 16.87 + 4.43 Por tanto, 12.44 a 21.30 es el intervalo de confianza de 95% para y|x=7. Esto es: con una confianza de 95%, el tiempo de viaje medio para quienes viajan esas 7 millas est entre 12.44 minutos (12 min, 26 s) y 21.30 minutos (21 min, 18 s). Este intervalo de confianza se muestra en la figura 13.12 mediante la recta vertical azul oscuro. El cinturn de confianza, que muestra las cotas superior e inferior de todos los intervalos en 95% de confianza, tambin se presenta en la desviacin estndar estimada de \ al considerar \|x0, sustituye , la desviacin estndar de x. Los grados de libertad ahora son n 2 en lugar de n 1 como antes. Estas ideas se exploran en el siguiente ejemplo. e Tutorial en video disponible; ingresa y aprende ms en cengagebrain.com s n Seccin 13.5 Intervalos de confianza para regresin www.fullengineeringbook.net 646 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 10 5 10 15 20 30 x y 50 20 40 x0 = 7 Con frecuencia se quiere predecir el valor de una \ individual. Por ejemplo, t vives a 7 millas de tu lugar de trabajo y ests interesado en una estimacin de cunto tardars en llegar al trabajo. Ests un poco menos interesado en el tiempo promedio para todos quienes viven a 7 millas de distancia. La frmula para el intervalo de prediccin del valor de una sola \ seleccionada al azar es Intervalo de prediccin para yx = x0 y t (n 2, /2) U se U1 + 1 + (x0 x) 2 E J E M P L O 1 3 . 1 1 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE PREDICCIN PARA yx = x0 Cul es el intervalo de prediccin de 95% para el tiempo que tardars para trasladarte al trabajo, si vives a 7 millas de distancia? azul oscuro. Observa que las rectas frontera para los valores x alejadas de x se acercan ms a las dos rectas que representan las ecuaciones con pendien- tes iguales a los valores extremos del intervalo de confianza de 95% para la pendiente (observa la figura 13.12). FIGURA 13.12 Cinturones de confianza para y|x0 (13.18) n SS(x) Distancia (millas) Tiempo en un sentido (minutos)La pendiente es 1.27 Recta de mejor ajuste La pendiente es 2.51 Cota superior para intervalo de confianza de 95% sobre y|x0 Cota inferior para intervalo de confianza de 95% sobre y|x0 www.fullengineeringbook.net 647 (OLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQVHPXHVWUDHQODJXUDFRPRHOVHJPHQWRGHUHFWDYHU- tical azul oscuro en x 0 2EVHUYDTXHHVPXFKRPiVODUJDTXHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]D para \ |x=7. Las rectas punteadas representan los cinturones de prediccin, las cotas superior e inferior de los intervalos de prediccin para valores \ individuales para todos los valores x dados. 3XHGHVMXVWLFDUHOKHFKRGHTXHHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQSDUDYDORUHVLQGLYLGXDOHV de \HVPiVDQFKRTXHHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDORVYDORUHVPHGLRV"3LHQVDHQYDOR- UHVLQGLYLGXDOHV\YDORUHVPHGLRV\HVWXGLDODJXUD Existen tres precauciones bsicas que debes considerar conforme trabajas con anlisis de regresin: 5HFXHUGDTXH ODHFXDFLyQGH UHJUHVLyQHV VLJQLFDWLYDVyORHQHOGRPLQLRGH OD variable x estudiada. La estimacin afuera de este dominio es extremadamente pe- ligrosa; requiere que conozcas o supongas que la relacin entre x y \ sigue siendo la misma afuera del dominio de los datos muestrales. Por ejemplo, Joe dice que l vive a 75 millas del trabajo y quiere saber cunto tardar en trasladarse. Cierta- Solucin Paso 1 Parmetro de inters: yx=7, el tiempo de viaje para un compaero de trabajo que viaja 7 millas al trabajo. Paso 2 a. Suposiciones: los pares ordenados forman una muestra aleatoria y se supondr que los valores y (minutos) en cada x (millas) tienen una distribucin normal. b. Probabilidad, distribucin y frmula: la distribucin t de Student y la frmula (13.18) c. Nivel de confianza: 1 = 0.95 Paso 3 a. Informacin muestral: se = 5.40 y yx=7 = 16.87 (del ejemplo 13.10) Paso a. Coeficiente de confianza: t (13, 0.025) = 2.16 (de la tabla 6 en el apndice B) b. Error mximo de estimacin: con la frmula (13.17), se tiene E = t (n 2, /2) U se U 1 + 1 + (x0 x) 2 : E = (2.16)(5.40) 1 + 1 + (7 12.27) 2 15 358.933 = (2.16)(5.40) 1 + 0.06667 + 0.07738 = (2.16)(5.40) 1.14405 = (2.16)(5.40)(1.0696) = 12.48 c. Lmites de confianza inferior y superior: y E a y + E 16.87 12.48 a 16.87 + 12.48 Por tanto, 4.39 a 29.35 es el intervalo de prediccin de 95% para yx=7. Esto es: con 95% de confianza, los tiempos de viaje individuales para quie- nes viajan 7 millas est entre 4.39 minutos (4 min, 23 s) y 29.35 minutos (29 min, 21 s). n SS(x) Seccin 13.5 Intervalos de confianza para regresin www.fullengineeringbook.net 648 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 10 5 10 15 20 30 x y 50 20 40 x0 = 7 10 5 10 15 20 30 x y 50 20 40 x0 = 7 mente puede usar x = 75 en todas las frmulas, pero no esperes que las respuestas WHQJDQODFRQDQ]DRYDOLGH]GHORVYDORUHVGHx entre 3 y 20, que estuvieron en la muestra. Las 75 millas pueden representar una distancia hasta el centro de una gran ciudad cercana. Crees que los tiempos estimados, que se basaron el distancias locales de 3 a 20 millas, seran buenos pronsticos en esta situacin? Adems, en x ODHFXDFLyQQRWLHQHVLJQLFDGRUHDO6LQHPEDUJRDXQTXHODSUR\HFFLRQHV afuera del intervalo pueden ser un poco peligrosas, pueden ser los mejores prons- ticos disponibles. 2. No quedes entrampado en la falacia comn de aplicar los resultados de regresin de manera inadecuada. Por ejemplo, esta falacia incluira aplicar los resultados del ejemplo 13.5 a otra compaa. Supn que la segunda compaa tiene una ubicacin urbana, mientras que la primera compaa tiene una ubicacin rural o viceversa. Crees que los resultados para una ubicacin rural seran vlidos para una ubicacin urbana? Bsicamente, los resultados de una muestra no deben usarse para hacer in- ferencias acerca de una poblacin distinta de aquella de la que se extrajo la muestra. 3. No saltes a la conclusin de que los resultados de la regresin prueban que x hace TXHFDPELH\. (Acaso sta es la falacia ms comn.) Las regresiones miden slo movimiento entre x y \QXQFDSUXHEDQFDXVDFLyQ&RQVXOWDODVSSSDUD una discusin de la causacin.) Un juicio de causacin se puede hacer solamente cuando se basa en teora o conocimiento de la relacin, separada de los resultados de UHJUHVLyQ/DGLFXOWDGPiVFRP~QHQHVWHDVSHFWRRFXUUHSRUORTXHVHOODPDHIHFWR GHYDULDEOHSHUGLGD o WHUFHUDYDULDEOH. Esto es: se observa una relacin entre x y \ porque una tercera variable, que no est en la regresin, afecta tanto a x como a \. Cota inferior para intervalo de confianza de 95% sobre y|x0 FIGURA 13.13 Cinturones de prediccin para yx0 FIGURA 13.14 Cinturones de confianza para el valor medio de y y cinturones de prediccin para y individuales Distancia (millas) Recta de mejor ajuste Cota superior para y individual Tiempo en un sentido (minutos)Cota inferior para intervalo de prediccin de 95% sobre y individual en cualquier x Distancia (millas) Tiempo en un sentido (minutos)Recta de mejor ajuste Cota superior para intervalo de prediccin de 95% sobre valores y individuales en x0 Cota inferior para intervalo de prediccin de 95% sobre valores y individuales en x0 Cota superior sobre y|x0 www.fullengineeringbook.net 649 MINITAB Escribe los datos de la variable x en C1 y los correspondientes datos de la variable y en C2; despus contina con: Elige: Stat > Regression > Regression . . . Escribe: Respuesta (y): C2 Pronsticoes (x): C1 Selecciona: Options Escribe: Intervalos de prediccin para nuevas observaciones: x-value o C1 (lista C1 de valores x) Confidence level: 1 (ex. 95.0) Selecciona: Confidence limits Prediction limits > OK > OK Elige: Stat > Regression > Fitted Line Plot Escribe: Respuesta (y): C2 Pronstico (x): C1 Selecciona: Tipo modelo de regresin: Linear Selecciona: Options Opciones presentacin: Confidence interval; Prediction interval; Escribe: Nivel confianza: 1 (ej. 95.0) > OK Selecciona: Storage Residuals Fits > OK > OK I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C L C U L O Y G R A F I C A C I N D E I N T E R V A L O S D E C O N F I A N Z A Y P R E D I C C I N +HDTXtODLPSUHVLyQ0,1,7$%SDUDODVSDUWHVGHORVHMHPSORV\ USO DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DE REGRESIN EN UN ESTUDIO AMBIENTAL Mucho tiempo, dinero y esfuerzo se emplean para estudiar los problemas am- bientales, de modo que puedan implementarse prcticas de gestin efectivas y adecuadas. A continuacin se presenta un extracto de un estudio en el sur de Florida en el que el anlisis de regresin lineal fue una importante herramienta. x (millas) y (minutos)Seccin 13.5 Intervalos de confianza para regresin E J E M P L O A P L I C A D O 1 3 . 1 2 Viajes hacia y desde el trabajo 0 0 5 5 10 20 30 40 50 10 15 20 y = 3.643 + 1.893x ^ Regression 95% CI 95% PI www.fullengineeringbook.net 650 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales METODOLOGA PARA ESTIMAR CARGAS DE NUTRIENTES DESCARGADAS DE LOS CANALES DE LA COSTA ESTE A LA BAHA VIZCANO, CONDADO MIAMI-DADE, FLORIDA Fuente:86*HRORJLFDO6XUYH\:DWHU5HVRXUFHV,QYHVWLJDWLRQV5HSRUWGH$&/LHW] Una gran preocupacin en muchas reas costeras a travs del pas es la salud ecolgica de las ba- has y estuarios. Un problema comn en muchas de estas reas es el enriquecimiento de nutrientes como resultado de actividades agrcolas y urba- nas. Los nutrientes son compuestos esenciales para el crecimiento y el mantenimiento de todos los organismos y especialmente para la producti- vidad de los ambientes acuticos. Los compues- tos nitrogenados y fosfricos son especialmente importantes para las praderas marinas, macroal- JDV \ WRSODQFWRQ 6LQ HPEDUJR ODV JUDQGHV cargas de nutrientes transportadas a las bahas y estuarios pueden resultar en condiciones propi- FLDVSDUD ODHXWURFDFLyQ\ ORVSUREOHPDVFRQ comitantes de las explosiones de algas y alta SURGXFWLYLGDGGHOWRSODQFWRQ$GLFLRQDOPHQWH la reducida penetracin de luz en la columna de DJXDGHELGRDHVWDOOLGRVGHWRSODQFWRQSXHGHQ afectar de manera adversa las praderas marinas, en las que muchos peces comerciales y deporti- vos se apoyan por su hbitat. El propsito de este reporte es presentar metodologa que pueda usarse para estimar car- gas de nutrientes descargadas de los canales de la costa este en la Baha Vizcano en el sureste de Florida. Muestras de agua se recolectaron de las exclusas de control en los sitios de canal de la costa este en el condado Miami-Dade, con el propsito de desarrollar modelos que pudieran usarse para estimar cargas de nitrgeno y fsforo. Se us una tcnica ordinaria de regresin de mnimos cuadrados para desarrollar ecuaciones predictivas con el propsito de estimar cargas totales de nitrgeno y fsforo descargadas de los canales de la costa este a la Baha Vizcano. Las ecuaciones predictivas pueden usarse para estimar el valor de una variable dependiente de observaciones en una variable relacionada o in- dependiente. En este estudio se usaron cargas como la variable dependiente o de respuesta y la descarga como la variable independiente o ex- plicativa. Todos los modelos de carga total de nitrgeno tienen valores p menores que 0.05, lo TXHLQGLFDTXHVRQHVWDGtVWLFDPHQWHVLJQLFDWL YRVHQXQQLYHODOIDGH(QODJXUDVH PXHVWUDQJUiFDVTXHSUHVHQWDQFDUJDGHQLWUy geno total como funcin de descarga en los sitios de canal de la costa este. [Aqu se muestran los VLWLRV6\6GHODJXUD@ Carga total nitrgeno, en toneladas diariasSitio S-25 Intervalos de confi anza de 95% de la recta de regresin Descarga al cuadrado, en pies cbicos por segundo Intervalos de confi anza de 95% de la recta de regresin Carga total de fsforo en toneladas diariasDescarga al cuadrado, en pies cbicos por segundo Sitio S-25 2 000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 000 6 000 8 000 200 100 300 400 500 0.01 0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 www.fullengineeringbook.net 651 [EX00-000]LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPE J E R C I C I O S S E C C I N 1 3 . 5 13.69 Un estudio en 3K\VLFDO7KHUDS\ reporta acerca de sie- te diferentes mtodos para determinar el tamao adecuado de muletas ms dos nuevas tcnicas usando regresin lineal. Una de las tcnicas de regresin usa la estatura reportada del paciente. El estudio incluy 107 individuos. La media de las HVWDWXUDVDXWRUUHSRUWDGDVIXHSXOJDGDV/DHFXDFLyQGH regresin determinada fue \ = 0.68xGRQGH\ = longitud muletas y x = estatura autorreportada. El MSE (s2) se report en 0.50. Adems, la desviacin estndar de las estaturas au- torreportadas fue 7.35 pulgadas. Usa esta informacin para GHWHUPLQDUXQDHVWLPDFLyQGHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH para la longitud media de muletas para individuos que dicen tener 70 pulgadas de alto. 13.70 [EX13-70] Las cigarras son insectos voladores herb- voros. Una especie particular, la cigarra de 13 aos (0DJLFLFD da), pasa cinco etapas juveniles en madrigueras subterrneas. Durante los 13 aos en el subsuelo, las cigarras crecen desde aproximadamente el tamao de una pequea hormiga hasta casi el tamao de una cigarra adulto. En la siguiente tabla se proporcionan los pesos corporales adultos (BW) en gramos y las longitudes de ala (WL) en milmetros para tres diferentes especies de estas cigarras de 13 aos. BW WL Especie BW WL Especie 0.15 28 tredecula 0.18 29 tredecula 0.29 32 tredecim 0.21 27 tredecassini 0.17 27 tredecim 0.15 30 tredecula 0.18 30 tredecula 0.17 27 tredecula 0.39 35 tredecim 0.13 27 tredecassini 0.26 31 tredecim 0.17 29 tredecassini 0.17 29 tredecassini 0.23 30 tredecassini 0.16 28 tredecassini 0.12 22 tredecim 0.14 25 tredecassini 0.26 30 tredecula 0.14 28 tredecassini 0.19 30 tredecula 0.28 25 tredecassini 0.20 30 tredecassini 0.12 28 tredecim 0.14 23 tredecula a. Dibuja un diagrama de dispersin con peso corporal como la variable independiente y longitud de ala como variable dependiente. Encuentra la ecuacin de la recta de mejor ajuste. b. El peso corporal es un pronstico efectivo de la longitud de ala para una cigarra de 13 aos? Usa un nivel de signi- FDQFLDGH F 3URSRUFLRQDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD longitud de ala media para todos los pesos corporales de cigarra de 0.20 gr. 13.71 Usa los datos y las respuestas encontradas en el ejerci- FLRSSDUDKDFHUODVVLJXLHQWHVHVWLPDFLRQHV a. Proporciona una estimacin puntual para el tiempo medio UHTXHULGRSDUDWUDVODGDUWHPLOODV E 3URSRUFLRQDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHO WLHPSRGHYLDMHPHGLRUHTXHULGRSDUDWUDVODGDUWHPLOODV F 3URSRUFLRQDXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDHO tiempo de viaje requerido para que una persona se trasla- GHODVPLOODV d. Responde los incisos a-c para x 13.72 Consulta el ejemplo aplicado 13.12 de las pginas /DVJUiFDVSDUD VLWLR6\ VLWLR6PXHVWUDQ LQWHUYDORVGHFRQDQ]DGHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQ4Xp caracterstica distintiva tendran los intervalos de prediccin GHUHVSHFWRDGLFKDVJUiFDV"([SOLFDODGLIHUHQFLDHQWUH LQWHUYDORVGHFRQDQ]DHLQWHUYDORVGHSUHGLFFLyQ 13.73 [EX13-73] Se realiza un experimento para estudiar el efecto de un nuevo medicamento para reducir el ritmo car- diaco en adultos. Los datos recolectados se presentan en la siguiente tabla. x, dosis medicamento en mg 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 y, reduccin ritmo cardiaco 10 7 15 12 15 14 20 20 18 21 D (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODUHGXF- cin media en ritmo cardiaco para una dosis de 2.00 mg. E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDODUH- duccin en ritmo cardiaco esperada para una individuo que recibe una dosis de 2.00 mg. 13.74 [EX13-74]/DUHODFLyQHQWUHODUHVLVWHQFLD\ODQX- UDGHEUDVGHDOJRGyQIXHHOWHPDGHXQHVWXGLRTXHSURGXMR los siguientes datos. a. Dibuja un diagrama de dispersin. E (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD ODPHGLFLyQPHGLDGHQXUDSDUDEUDVFRQXQD resistencia de 80. F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDXQD PHGLFLyQLQGLYLGXDOGHQXUDSDUDEUDVFRQXQDUHVLV tencia de 75. Tabla para el ejercicio 13.74 x, resistencia 76 69 71 76 83 72 78 74 80 82 90 81 78 80 81 78 y, finura 4.4 4.6 4.6 4.1 4.0 4.1 4.9 4.8 4.2 4.4 3.8 4.1 3.8 4.2 3.8 4.2 Seccin 13.5 Intervalos de confianza para regresin e www.fullengineeringbook.net 652 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 13.75([SOLFDSRUTXpXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUD el valor medio de \ en una x particular es mucho ms estrecha TXHXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDXQYDORU\LQGLYL- dual en el mismo valor de x. 13.76 [EX13-02] Usa los datos de "Estaturas de parejas casa- GDV\ODVUHVSXHVWDVHQFRQWUDGDVHQHOHMHUFLFLRS para hacer las siguientes estimaciones. a. Proporciona una estimacin puntual para la estatura me- GLDGHPDULGRSDUDXQDHVWDWXUDGHHVSRVDGHSXOJDGDV E 3URSRUFLRQDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD estatura media de marido para una estatura de esposa de SXOJDGDV F 3URSRUFLRQDXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDODHV- WDWXUDGHPDULGRHVSHUDGDSDUDXQDHVSRVDGHSXOJDGDV d. Responde los incisos a, b y c para x = 68. 13.77 [EX12-44] El Sr. B, gerente en una gran tienda, inves- tiga diferentes variables mientras mide el nivel de su empresa. Su tienda est abierta todos los das durante el ao, excepto el da de ao nuevo, Navidad y todos los domingos. A partir de sus registros, que abarcan varios aos anteriores, el Sr. B LGHQWLFyDOD]DUGtDV\UHFROHFWyGDWRVSDUDHOWRWDOGLDULR para tres variables: nmero de clientes que pagan, nmero de artculos comprados y costo total de artculos comprados. Da Mes Clientes Artculos Ventas 2 1 425 1311 $12 707.00 1 1 412 1123 $11 467.50 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com Datos son valores reales; el nombre de la tienda se ocult por razones de privacidad. Cdigo da: 1 = L, 2 = Ma, 3 = Mi, 4 = J, 5 = V, 6 = Sa Cdigo mes: 1 = En, 2 = Feb, 3 = Mar, ..., 12 = Dic ([LVWHHYLGHQFLDSDUDDUPDUXQDUHODFLyQOLQHDOHQWUHODVGRVYD- riables "nmero de clientes" y "nmero de artculos comprados"? La siguiente salida de computadora result del anlisis de los datos. Regression Analysis: Items versus Customers The regression equation is Items = 154 + 3.56 Customers Predictor Coef SE Coef T P Constant 153.6 108.2 1.42 0.161 Customers 3.5591 0.1284 27.71 0.000 S 405.075 R-Sq = 92.8% R-Sq(adj) = 92.6% ,QVSHFFLRQDHOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQDQWHULRU\ODVDOLGDGHO anlisis de regresin para el nmero de clientes frente al n- mero de artculos comprados. Busca evidencia que apoye o FRQWUDGLJD ODDUPDFLyQH[LVWHXQDUHODFLyQ OLQHDOHQWUH ODV dos variables". D 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFD\GLVFXWHFyPRPXHVWUDIDO- ta de linealidad para todo el rango de valores. Qu pares ordenados parecen ser diferentes de los otros? b. Describe cmo la evidencia numrica mostrada indica que el modelo lineal no encaja en estos datos. Explica. c. Parte de la evidencia parece indicar que el modelo lineal es el modelo correcto y parte de la evidencia indica lo opuesto. Qu meses ofrecen los puntos que estn separa- dos del resto del patrn? Qu ocurre en esos meses que pueden causar esto? 13.78 [EX13-78] El Sr. B, gerente de la tienda del ejercicio \GHORVHMHUFLFLRVGHVFXEULyTXHORVGD- tos de los meses de noviembre y diciembre son diferentes de los datos para los otros meses. Dado que los datos que estn separados del resto en el diagrama de dispersin del ejercicio 13.77 son de noviembre y diciembre, remueve los valores de noviembre y diciembre e investiga la relacin entre el nmero de clientes por da y el nmero de artculos comprados por da para los primeros 10 meses del ao. Enero a octubre Da E-O Mes E-O Clientes E-O Artculos E-O Ventas E-O 2 1 425 1311 12707.00 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com Cdigo da: 1 = L, 2 = Ma, 3 = Mi, 4 = J, 5 = V, 6 = Sa Cdigo mes: 1 = En, 2 = Feb, 3 = Mar, ..., 10 = Oct a. Usa tu calculadora o computadora para construir el dia- grama de dispersin para los datos de enero a octubre. E 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFDHQFRQWUDGD\GLVFXWHODOL- nealidad. Existen pares ordenados que parezcan ser dife- rentes de los otros? c. Cul es la relacin entre el nmero de clientes por da y el nmero de artculos comprados por da para los prime- ros 10 meses del ao? G /DSHQGLHQWHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQHVVLJQLFDWLYDHQ = 0.05? H 3URSRUFLRQDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDHO nmero de artculos que uno esperara que se compren si el nmero de clientes fuese 600. 13.79 [EX13-78] Ayuda al Sr. B, el gerente de la tienda de ORVHMHUFLFLRV\\GHORVHMHUFLFLRV al analizar la relacin entre los nmeros de artculos compra- dos diariamente y las ventas totales diarias en los datos de los primeros 10 meses del ao. www.fullengineeringbook.net 653 Ahora que diste un vistazo ms cercano a los anlisis de correlacin y regresin, es nece- sario decidir cundo usarlos. Ves alguna duplicacin de trabajo? (OSULQFLSDOXVRGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ OLQHDOHVWiHQ UHVSRQGHU ODSUHJXQWD estas dos variables estn linealmente relacionadas? Otras palabras pueden usarse para plantear esta pregunta bsica; por ejemplo: existe una correlacin lineal entre el consumo anual de bebidas alcohlicas y el salario pagado a los bomberos? (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ OLQHDOSXHGHXVDUVHSDUD LQGLFDU ODXWLOLGDGGHx como pronstico de \ en el caso donde el modelo lineal es adecuado. La prueba concerniente a la pendiente de la recta de regresin (H o : 1 = 0) pone a prueba este mismo concepto bsico. &XDOTXLHUDGHORVGRVHVVXFLHQWHSDUDGHWHUPLQDUODUHVSXHVWDDHVWDSUHJXQWD La eleccin del modelo matemtico se puede poner a prueba estadsticamente (llama- do prueba de "falta de ajuste"); sin embargo, este procedimiento est ms all del mbito de este texto. Uno realiza esta prueba de manera informal, o subjetivamente, cuando observa el diagrama de dispersin y usa la presencia de un patrn lineal como la razn para usar el modelo lineal. Los conceptos de correlacin lineal y regresin son muy diferentes, porque cada uno mide diferentes caractersticas. Sin embargo, todava es posible tener datos que produzcan XQFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOIXHUWH\WHQHUHOPRGHORHTXLYRFDGR3RUHMHPSORODOt- a. Construye el diagrama de dispersin para los datos de enero a octubre. E 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFDHQFRQWUDGD\GLVFXWHOD linealidad. Existen pares ordenados que parezcan ser diferentes de los otros? c. Cul es la relacin entre el nmero de artculos compra- dos por da y las ventas totales diarias para los primeros 10 meses del ao? G /DSHQGLHQWHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQHVVLJQLFDWLYDHQ = 0.05? H 3URSRUFLRQDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDODV ventas totales diarias que uno esperara si el nmero de artculos comprados por da fuese 3 000. 13.80 [EX13-80] Crees que tu estatura y tamao de zapatos estn relacionados? Probablemente s. Existe una relacin "r- pida" conocida que dice que tu estatura (en pulgadas) puede aproximarse al duplicar tu tamao de zapato y sumar 50 (\ = 2x3DUDSRQHUDSUXHEDHVWDUHODFLyQVHWRPyXQDPXHV- tra aleatoria de estaturas y tamaos de zapato de 30 estudiantes de universidad comunitaria. Estaturas Tamaos zapato 74 13.0 71 10.0 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com a. Construye un diagrama de dispersin de los datos con tamao de zapato como la variable independiente (x) y estatura como la variable dependiente (\). Comenta acer- ca de la relacin lineal visual. E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQU(VVLJQLFDWLYR HQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" c. Calcula la recta de mejor ajuste. d. Compara la pendiente y ordenada del inciso c con la pen- diente y ordenada de \ = 2x0HQFLRQDVLPLOLWXGHV\ diferencias. e. Estima la estatura de un estudiante con un tamao de zapato 10, primero con la recta de mejor ajuste encontra- da en el inciso c y despus con la relacin \ = 2x Compara tus resultados. I &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD estatura media de todos los estudiantes de universidad comunitaria con un tamao de zapato 10, con la ecuacin formada en el inciso c. Tu estimacin con \ = 2x para un tamao 10 se incluye en este intervalo? J &RQVWUX\HHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDODV estaturas individuales de todos los estudiantes de univer- sidad comunitaria con una tamao de zapato 10, con la ecuacin formada en el inciso c. h. Comenta acerca de los anchos de los dos intervalos for- mados en los incisos f y g. Explica. 13.6 Comprender la relacin entre correlacin y regresin Seccin 13.6 Comprender la relacin entre correlacin y regresin www.fullengineeringbook.net 654 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales nea recta puede usarse para aproximar casi cualquier lnea curva si el dominio se restringe ORVXFLHQWH(QWDOFDVRHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSXHGHYROYHUVHPX\DOWRSHUR ODFXUYDWRGDYtDQRVHUiXQDOtQHDUHFWD/DJXUDLOXVWUDXQLQWHUYDORGRQGHU podra VHUVLJQLFDWLYDSHURHOGLDJUDPDGHGLVSHUVLyQQRVXJLHUHXQDOtQHDUHFWD El anlisis de regresin debe usarse para responder preguntas acerca de la relacin entre dos variables. Preguntas como cul es la relacin? y cmo se relacionan dos varia- bles? requieren este anlisis de regresin. FIGURA 13.15 El valor de r es alto, pero la relacin no es lineal En retrospectiva Repaso del captulo En este captulo se realiz una inspeccin ms profunda de la relacin lineal entre dos variables. Aunque las situaciones de regresin curvilnea y mltiple slo se mencionaron de paso, se exploraron las tcnicas y conceptos bsicos. Slo tendras TXHPRGLFDUHOPRGHORPDWHPiWLFR\ODVIyUPXODVVLTXLHUHV lidiar con estas otras relaciones. Aunque no se enfatiz directamente, en este captulo se apli- caron muchos de los temas de captulos anteriores. Las ideas de LQWHUYDORGHFRQDQ]D\SUXHEDGHKLSyWHVLVVHDSOLFDURQDOSUR- blema de regresin. Se hizo referencia a la distribucin mues- tral de la pendiente muestral b 1 . Esto permiti hacer inferencias en torno a 1 , la pendiente de la poblacin de donde se extrajo la muestra. Se estim el valor medio de \HQXQYDORUMRGHx al combinar la varianza para la pendiente con la varianza de las \. Esto fue permisible porque son independientes. Recuerda que, en el captulo 10, se presentaron las frmulas para combinar las varianzas de muestras independientes. La idea aqu es en gran parte la misma. Finalmente, se agreg una medida de varianza para valores individuales de \ y se hicieron estimaciones para estos valores individuales de \HQYDORUHVMRVGHx. El ejemplo aplicado 13.8 presenta los resultados del anlisis de regresin sobre los datos recolectados para comparar dos n- dices de reporte de crmenes. (D otro vistazo al ejemplo aplica- do 13.8, p. 636.) El diagrama de dispersin muestra de manera muy convincente que los dos ndices de crmenes a comparar se relacionan mutuamente en un patrn muy fuerte y predecible. Por tanto, como se enuncia en el artculo original, "el ndice pon- derado no aport ms informacin" porque los dos ndices son bsicamente iguales. Por tanto, la introduccin del ndice ponde- rado parece innecesario porque el ndice Uniforme de Reportes GH&UtPHQHV8&5,HVXQHVWiQGDUUHFRQRFLGR $OQDOL]DUHVWHFDStWXORGHEHVHVWDUDOWDQWRGHORVFRQ- ceptos bsicos del anlisis de regresin y del anlisis de co- rrelacin. Ahora debes poder recolectar datos para, y hacer un anlisis completo sobre cualquier relacin lineal de dos variables. Imagen copyright Kzenon, 2009. Usa-da bajo licencia de Shutterstock.comx x www.fullengineeringbook.net 655 El sitio Statistics CourseMate para este libro lleva a la vida los temas del captulo, con he- rramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparacin de exmenes, incluidas preguntas rpidas y tarjetas de estudio para el vocabulario y los conceptos clave que aparecen a con- tinuacin. El sitio tambin ofrece una versin eBook del texto, con capacidades de subrayado y toma de notas. A lo largo de los captulos, el icono CourseMate seala los conceptos y ejemplos que tienen sus correspondientes recursos interacti- vos como video y tutoriales animados que demuestran, paso a paso, cmo resolver problemas; conjuntos de datos para ejercicios y ejemplos; Applets Skillbuilder para ayudarte a comprender mejor los conceptos; manuales de tecnologa y software para descargar que incluye Data Analysis Plus (una suite de macros estadsticos para Excel) y programas TI-83/84 Plus; regstrate en www.cengagebrain.com &RPSUHQGHUTXpVRQGDWRVELYDULDGRVYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH SS(M y variable dependiente. &RPSUHQGHUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOUPLGHODIXHU]D SS(M de la relacin lineal entre dos variables. &RPSUHQGHUTXHHOFHQWURLGHGHGDWRVELYDULDGRVHVx, \ SS &RPSUHQGHUTXHHOFHQWURLGHVHXVDHQHOFiOFXORGHOFRHFLHQWH SS(M de correlacin. &RPSUHQGHUTXHODFRYDULDQ]DHVXQDPHGLGDGHGHSHQGHQFLDOLQHDO S(M pero que es afectado por la dispersin de los datos. &RPSUHQGHUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQU, estandariza la covarianza p. 615, Ej. 13.7 de modo que puedan compararse las fuerzas relativas. &RPSUHQGHUTXHODVVXSRVLFLRQHVSDUDLQIHUHQFLDVHQWRUQRDOFRHFLHQWH SS de correlacin lineal son que los pares ordenados forman una muestra aleatoria y que los valores \ en cada x tienen una distribucin normal. Las inferencias utilizarn la distribucin W con (n 2) grados de libertad. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDHOFRHFLHQWH (-(M de correlacin poblacional, , con la tabla 10 del apndice B. 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDHOFRHFLHQWH (-(M de correlacin poblacional, , con la distribucin W con el mtodo del valor p y el mtodo clsico. &RPSUHQGHUTXHODVLJQLFDQFLDGHUQRLPSOLFDXQDUHODFLyQ SS causa y efecto. &RPSUHQGHUTXHODHVWLPDFLyQGHOHUURUH[SHULPHQWDOe, es la diferencia entre pp. 627-628 la \ observada \ la y predicha, (\ \), en un valor dado de x. &RPSUHQGHUTXHODYDULDQ]DHQWRUQRDODUHFWDGHPHMRUDMXVWHHVOR SS(- misma que la varianza del error, e (M Vocabulario y conceptos clave centroide (p. 613) FLQWXURQHVGHFRQDQ]DS FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOS correlacin lineal (p. 613) covarianza (p. 613) datos bivariados (pp. 613, 628) diagrama de dispersin (pp. 628, GLVWULEXFLyQPXHVWUDOSS HUURUHVWiQGDUSS error experimental ( o e) (p. 628) LQWHUYDORGHFRQDQ]DSS LQWHUYDORGHSUHGLFFLyQSS momento producto de Pearson, U (p. 616) ordenada (b 0 o 0 ) (p. 627) pendiente (b 1 o 1 ) (p. 627) pruebas de hiptesis (pp. 621, 637) recta de mejor ajuste (p. 627) recta de regresin (p. 628) regresin curvilnea (p. 628) regresin lineal (p. 628) regresin mltiple (p. 628) rho (S suma de cuadrados del error (SSE) (p. 630) VXSRVLFLRQHVSS valor predicho de \ (\) (p. 628) varianza (s2 o 2) (p. 628) Resultados del aprendizaje Resultados del aprendizaje www.fullengineeringbook.net 656 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales &RPSUHQGHUTXHODUHFWDGHPHMRUDMXVWHSDVDDWUDYpVGHOFHQWURLGH S &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODSHQGLHQWH (-(M poblacional de la recta de regresin, 1 usando la distribucin W. 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODSHQGLHQWH (-(M poblacional de la recta de regresin, 1 , usando la distribucin W con el mtodo de valor p y el mtodo clsico. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDHOYDORUPHGLR (-(M de \ para una x particular (\ |x0), usando la distribucin W. &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQSDUDXQYDORU (-(M individual de \ para una x particular, (\ x0 ), usando la distribucin W. &RPSUHQGHUODGLIHUHQFLDHQWUHXQLQWHUYDORGHFRQDQ]D\XQLQWHUYDOR S(M de prediccin para un valor \ en un valor x particular. >(;@LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPEjercicios del captulo 13.81 Responde lo siguiente como "a veces", "siempre" o "nunca". Explica cada respuesta "nunca" y "a veces". D (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQWLHQHHOPLVPRVLJQRTXHOD pendiente de la recta de mnimos cuadrados que ajusta los mismos datos. E 8QFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHLQGLFDXQDIXHUWH relacin causal entre las variables bajo consideracin. c. Un valor U mayor que cero indica que los pares ordenados con valores x altos tendr valores y bajos. d. La ordenada al origen y la pendiente para la recta de me- jor ajuste tiene el mismo signo. e. Si x y \VRQLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVHOFRHFLHQWHGH correlacin poblacional es igual a cero. 13.82 [EX13-82] Aproximadamente 11 028 atletas com- pitieron en los Juegos Olmpicos de Verano 2008, en Bei- jing, China, por medallas en ms de 300 eventos. Participa- URQDWOHWDVGHQDFLRQHV\WHUULWRULRV/DVLJXLHQWHWDEOD muestra la distribucin de medallas de oro, plata y bronce ganadas por atletas representantes de las 20 naciones que ganaron ms: NACIN ORO PLATA BRONCE Estados Unidos 36 38 36 China 51 21 28 Rusia 23 21 28 Gran Bretaa 19 13 15 Australia 14 15 17 Alemania 16 10 15 Francia 7 16 17 Corea del Sur 13 10 8 Italia 8 10 10 Ucrania 7 5 15 NACIN ORO PLATA BRONCE Japn 9 6 10 Cuba 2 11 11 Bielorrusia 4 5 10 Espaa 5 10 3 Canad 3 9 6 Holanda 7 5 4 Brasil 3 4 8 Kenia 5 5 4 Kazajstn 2 4 7 Jamaica 6 3 2 &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ~VDOR\ OD WDEODGHO DSpQGLFH%SDUDGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGH sobre para cada uno de los siguientes casos: a. Oro y plata b. Oro y bronce c. Plata y bronce 13.83 Un estudio en el -RXUQDORI5DQJH0DQDJHPHQW exa- mina las relaciones entre elementos en el centeno silvestre UXVR(OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHQWUHPDJQHVLR\FDOFLRVH UHSRUWyHQSDUDXQDPXHVWUDGHWDPDxR([LVWHXQD FRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQWUHPDJQHVLR\FDOFLRHQHOFHQWHQR silvestre ruso (esto es, > 0)? Usa = 0.05. 13.84 Un estudio concerniente a la concentracin plasmtica del medicamento ranitidina se report en el -RXUQDORI3KDU PDFHXWLFDO6FLHQFHV(OPHGLFDPHQWRVHDGPLQLVWUyFyGLJR, y la concentracin plasmtica de ranitidina se sigui durante 12 horas. El momento en el primer pico en la concentracin se llam T mx1 . El mismo experimento se repiti 1 semana GHVSXpVFyGLJR,,(QHOHVWXGLRSDUWLFLSDURQVXMHWRV(O FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQHQWUHT mx1 ,\T mx1 ,,VHUHSRUWy Fuente: http://en.wikipedia.org/ www.fullengineeringbook.net 657 en 0.818. Usa la tabla 11 del apndice B para determinar las cotas sobre el valor p para la prueba de hiptesis de H o : = 0 frente a H a : 13.85 El uso de estimulacin elctrica (ES) para aumentar la fuerza muscular se discuti en el -RXUQDORI2UWKRSHGLFDQG 6SRUWV3K\VLFDO7KHUDS\. En el experimento participaron 17 voluntarios sanos. La fuerza muscular, Y, se midi como un momento de torsin en pies-libras y ES, X, se midi en mA (microamperes). La ecuacin para la recta de mejor ajuste est dada como Y = 1.8X\HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGH Pearson fue 0.61. D (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQIXHVLJQLFDWLYDPHQWHGLIH- rente de cero? Usa = 0.05. b. Predice el momento de torsin para una corriente igual a 50 mA. 13.86 Un artculo en *HRORJ\ proporciona la siguiente ecua- cin que relaciona presin, P y contenido de aluminio total, AL, para 12 rines de hornblenda: P AL. Las cantidades que se muestran en parntesis son errores estndar para estimaciones de la ordenada al origen y la pendiente, respectivamente. Encuentra un intervalo de con- DQ]DGHSDUDODSHQGLHQWH 1 . 13.87 [EX13-87] Los siguientes datos resultaron de un expe- rimento realizado con el propsito de anlisis de regresin. La variable de entrada, x, se estableci en cinco diferentes niveles y en cada nivel se realizaron observaciones. x 0.5 1.0 2.0 3.0 4.0 y 3.8 3.2 2.9 2.4 2.3 3.5 3.4 2.6 2.5 2.2 3.8 3.3 2.7 2.7 2.3 3.6 3.2 2.3 a. Dibuja un diagrama de dispersin. b. Dibuja a ojo la recta de regresin. c. Coloca una estrella, +, en cada nivel aproximadamente donde se ubica la media de los valores y observados. Tu recta de regresin se parece a la recta de mejor ajuste para estos cinco valores medios? d. Calcula la ecuacin de la recta de regresin. e. Encuentra la desviacin estndar de y en torno a la recta de regresin. I &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYHU- dadero valor de 1 . J &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYDORU medio de \ en x = 3.0 y en x = 3.5. K &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDXQ valor individual de \ en x = 3.0 y en x = 3.5. 13.88 [EX13-88] El acuerdo de tabaco negociado por un HTXLSRGHRFKRDERJDGRVJHQHUDOHVHQQRPEUHGHHVWDGRV result en el pago de 206 mil millones de dlares de la indus- tria del tabaco para resarcir costos de Medicaid a los estados que incurrieron en tratamientos para fumadores enfermos. Los pagos se realizarn en incrementos anuales durante un lapso GHDxRVGHD/DVLJXLHQWHWDEODPXHVWUDXQH[- tracto de la poblacin (en millones de dlares) y las cantidades HQPLOHVGHPLOORQHVGHGyODUHVRWRUJDGRVDHVWDGRVHO Distrito de Columbia y Puerto Rico: Estado Acuerdo Poblacin AL 3.17 4.27 AK 0.67 0.61 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com a. Dibuja un diagrama de dispersin de estos datos, con acuerdo de tabaco como la variable dependiente, \ y la poblacin como la variable pronosticada, x. b. Calcula la ecuacin de regresin y dibuja la recta de re- gresin sobre el diagrama de dispersin. c. Si la poblacin de tu estado fuese igual a 11.5 millones GHSHUVRQDVGHODVREVHUYDFLRQHVTXHVHSUHVHQWDQHQ la tabla, cul estimaras que es el acuerdo de tabaco de tu estado? Haz tu estimacin con base en la ecuacin y despus dibuja una lnea sobre el diagrama de dispersin para ilustrarla. G &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQDOSDUDOD estimacin que obtuviste en el inciso c. 13.89 [EX13-89] 9HLQWL~Q RUHV PDGXUDV GH XQD HVSHFLH particular se disecan y se cuentan el nmero de estambres y de FDUSHORVSUHVHQWHVHQFDGDRU x, y, x, y, x, y estambres carpelos estambres carpelos estambres carpelos 52 20 65 30 45 27 68 31 43 19 72 21 70 28 37 25 59 35 38 20 36 22 60 27 61 19 74 29 73 33 51 29 38 28 76 35 56 30 35 25 68 34 D ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDDUPDUXQDUHODFLyQ lineal entre estas dos variables en = 0.05? b. Cul es la relacin entre el nmero de estambres y el Q~PHURGHFDUSHORVHQHVWDYDULHGDGGHRU" F /DSHQGLHQWHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQHVVLJQLFDWLYDHQ = 0.05? Fuentes: Oficina del Abogado General del Estado de Washington y Oficina del Censo, Departamento de Comercio de Estados Unidos. Ejercicios del captulo (contina en la pgina 658) www.fullengineeringbook.net 658 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales G 3URSRUFLRQDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDHO nmero de carpelos que uno esperara encontrar en una RUPDGXUDGHHVWDYDULHGDGVLHOQ~PHURGHHVWDPEUHV IXHVH 13.90 [EX13-90] (OVLJXLHQWHFRQMXQWRGHFDOLFDFLRQHV se seleccion al azar de la lista de clase de un profesor. Sea x HOSURPHGLRSUHQDO\\ODFDOLFDFLyQGHOH[DPHQQDO(O H[DPHQQDOWXYRXQPi[LPRGHSXQWRV Estudiante x y 1 75 64 2 86 65 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com a. Dibuja un diagrama de dispersin para estos datos. b. Dibuja la recta de regresin (a ojo) y estima su ecuacin. F (VWLPDHOYDORUGHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO d. Calcula la ecuacin de la recta de mejor ajuste. H 'LEXMDODUHFWDGHPHMRUDMXVWHHQWXJUiFD&yPRVH compara con tu estimacin? I &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO&yPRVH compara con tu estimacin? J 3RQDSUXHEDODVLJQLFDQFLDGHU en = 0.10. K (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYHUGD- dero valor de . i. Encuentra la desviacin estndar de los valores y en torno a la recta de regresin. M &DOFXODXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOYHUGD- dero valor de la pendiente 1 . N 3RQDSUXHEDODVLJQLFDQFLDGHODSHQGLHQWHHQ = 0.05. O (VWLPDODFDOLFDFLyQGHH[DPHQQDOPHGLDTXHREWHQ- GUiQWRGRVORVHVWXGLDQWHVFRQXQSURPHGLRSUHQDO LQWHUYDORGHFRQDQ]DGH P&RQHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSUHGLFHODFDOLFD- FLyQTXHUHFLELUi-RKQ+HQU\HQVXQDOVLVDEHVTXHVX SURPHGLRSUHQDOHV 13.91 [EX13-91] Se cree que la cantidad de fertilizante ni- trogenado utilizado por acre tiene un efecto directo sobre la cantidad de trigo producida. Los siguientes datos presentan la cantidad de fertilizante nitrogenado utilizado por parcela de control y la cantidad de trigo cosechada por parcela de control. x, libras de fertilizante y, 100 libras de trigo 30 5 30 9 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com D ([LVWHVXFLHQWHUD]yQSDUDFRQFOXLUTXHHOXVRGH ms fertilizante resulta en una produccin mayor? Usa = 0.05. E (VWLPDFRQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHODSUR- duccin media que podra esperarse si se usaran 50 lb de fertilizante por parcela. F (VWLPDFRQXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHODSUR- duccin media que podra esperarse si se usaran 75 lb de fertilizante por parcela. 13.92 [EX13-78] Ayuda al Sr. B, el gerente de la tienda de ORVHMHUFLFLRV\GHORVHMHUFLFLRVDO analizar la relacin entre el nmero de clientes por da y las ventas totales diarias para los datos de los primeros 10 meses del ao. a. Usa tu calculadora o computadora para construir el diagrama de dispersin para los datos de enero a octubre. E 'HVFULEHODHYLGHQFLDJUiFDHQFRQWUDGD\GLVFXWHODOL- nealidad. Existen pares ordenados que parezcan ser dife- rentes de los otros? c. Cul es la relacin entre el nmero de clientes por da y las ventas totales diarias para los primeros 10 meses del ao? G /DSHQGLHQWHGHODUHFWDGHUHJUHVLyQHVVLJQLFDWLYDHQ = 0.05? H 3URSRUFLRQDHOLQWHUYDORGHSUHGLFFLyQGHSDUDODV ventas totales diarias que uno esperara, si el nmero de clientes fuera 600. 13.93 Compara los resultados obtenidos en los ejercicios \ ([SOLFD ODV VLPLOLWXGHV \ GLIHUHQFLDV Por qu crees que el diagrama de dispersin para nmero de artculos comprados y ventas totales presenta menos variabi- www.fullengineeringbook.net 659 lidad en torno a la recta de mejor ajuste que los otros dos diagramas de dispersin? 13.94 [EX13-78],QYHVWLJDODUHODFLyQGHODVYDULDEOHVHVWX- GLDGDVHQORVHMHUFLFLRV\SDUD los datos de noviembre y diciembre. Noviembre y diciembre Da N y D Mes N y D Clientes N y D Artculos N y D Ventas N y D 6 11 1 049 3 799 40 362.70 ***Para el resto de los datos, ingresa a cengagebrain.com 13.95(OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQU, se relaciona con la pen- diente de mejor ajuste, b 1 , mediante la ecuacin U = b 1 SS(x) 9HULFDODHFXDFLyQXVDQGRORVVLJXLHQWHVGDWRV x 1 2 3 4 6 y 4 6 7 9 12 13.96 Se sabe que la siguiente ecuacin es verdadera para cualquier conjunto de datos: (\ \)2 = (\ \)2(\ \)2. 9HULFDHVWDHFXDFLyQFRQORVVLJXLHQWHVGDWRV x 0 1 2 y 1 3 2 13.97 Cuando x 0 = x es la frmula para el error estndar de \ x0 , cul esperas que sea s U ? Explica. 1 n Examen de prctica del captulo 3DUWH,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV Responde "verdadero" si el enunciado siempre es verdadero. Si el enunciado no siempre es verdadero, sustituye las palabras en negritas con las palabras que hagan al enunciado siempre verdadero. 13.1 El error debe tener distribucin normal si deben ha- cerse inferencias. 13.2 Tanto x como \ deben tener distribucin normal. 13.3 Una alta correlacin entre x y \ prueba que x causa \. 13.4 El valor de la variable de entrada debe seleccionarse al azar para lograr resultados vlidos. 13.5 La variable de salida debe tener distribucin normal en torno a la recta de regresin para cada valor de x. 13.6 La FRYDULDQ]D mide la fortaleza de la relacin lineal y es una medida estandarizada. 13.7 La suma de cuadrados para error es el nombre dado al numerador de la frmula usada para calcular la varianza de \ en torno a la recta de regresin. 13.8 El anlisis de correlacin trata de encontrar la ecua- cin de la lnea de mejor ajuste para dos variables. 13.9 Existen n 3 grados de libertad involucrados con las inferencias en torno a la recta de regresin. 13.10 \ sirve como la estimacin puntual tanto para \ |x0 como para \ x0 . PARTE II: Aplicacin de los conceptos Responde todas las preguntas y muestra frmulas y trabajo. Se cree que la cantidad de fertilizante nitrogenado usado por acre tiene un efecto directo sobre la cantidad de trigo produ- cido. Los siguientes datos presentan la cantidad de fertilizante nitrogenado usado por parcela de control y la cantidad de trigo cosechado por parcela de control. Todas las parcelas de control tuvieron el mismo tamao. [PT13-11] x, libras y, 100 libras x, libras y, 100 libras de fertilizante de trigo de fertilizante de trigo 30 9 70 19 30 11 70 22 30 14 70 31 50 12 90 29 50 14 90 33 50 23 90 35 13.11 Dibuja un diagrama de dispersin de los datos. Ase- grate de etiquetar completamente. 13.12 Completa una tabla de extensiones. 13.13 Calcula SS(x), SS([\) y SS(\). 13.14 &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOU. 13.15 'HWHUPLQD OD HVWLPDFLyQGHO LQWHUYDORGH FRQDQ]D GHSDUDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOSR- blacional. 13.16 Calcula la ecuacin de la recta de mejor ajuste. 13.17 Dibuja la recta de mejor ajuste sobre el diagrama de dispersin. 13.18 Calcula la desviacin estndar de los valores y en tor- no a la recta de mejor ajuste. 13.19 El valor de b 1 PXHVWUDIXHU]DVXFLHQWHPHQWHVLJQL- FDWLYDSDUDTXHFRQFOX\DVTXHODSHQGLHQWHHVPD\RU que cero en el nivel 0.05? 13.20 'HWHUPLQDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODSUR- duccin media cuando se usan 85 lb de fertilizante por parcela. Examen de prctica del captulo SS(\) www.fullengineeringbook.net 660 Captulo 13 Anlisis de correlacin y de regresin lineales 13.21 Dibuja una recta sobre el diagrama de dispersin que UHSUHVHQWDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHHQFRQWUD- do en la pregunta 13.20. PARTE III: Comprender los conceptos 13.22 "Existe una gran correlacin entre cun frecuente- PHQWHORVHVTXLDGRUHVFRPSUXHEDQVXVMDFLRQHV\OD incidencia de lesiones en la parte inferior de la pierna, GHDFXHUGRFRQLQYHVWLJDGRUHVHQHO5RFKHVWHU,QVWLWX- WHRI7HFKQRORJ\3DUDDVHJXUDUVHGHTXHODVMDFLRQHV se liberan de manera adecuada cuando comienzan a caer, deben hacerse revisar por un mecnico de es- ques cada 15 a 30 das de esqu o al menos al inicio de cada temporada de esqu" (Universidad de Cali- IRUQLD%HUNHOH\:HOOQHVV/HWWHUIHEUHURGH Explica cules dos variables se discuten en este enun- ciado e interpretar la "alta correlacin" mencionada. 13.23 6LXQPRPHQWRVHGHQHFRPRODGLVWDQFLDGHVGHOD PHGLDGHVFULEHSRUTXpHOPpWRGRXVDGRSDUDGHQLU HOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQVHFRQRFHFRPRXQPR- mento producto". 13.24 Si sabes que el valor de U est muy cerca de cero, qu valor anticiparas para b 1 ? Explica por qu. 13.25 Describe por qu el mtodo usado para encontrar la recta de mejor ajuste se conoce como "mtodo de m- nimos cuadrados". 13.26 Quieres estudiar la relacin entre la cantidad de azcar en un desayuno infantil y la hiperactividad del nio en ODHVFXHODGXUDQWHODVKRUDVSRVWHULRUHVDOGHVD\XQR Pides a 200 madres de nios de quinto ao que lleven un registro cuidadoso de lo que comen y beben sus hi- jos cada maana. El reporte de cada padre se analiza y se determina el consumo de azcar. Durante el mismo periodo, en la escuela se recolectan datos acerca de hiperactividad. Qu estadstico medir la fuerza y el tipo de relacin que existe entre la cantidad de azcar y la cantidad de hiperactividad? Explica por qu es adecuado el estadstico que seleccionaste y qu valor esperas que tenga este estadstico. 13.27 Ests interesado en estudiar la relacin entre la dura- cin de tiempo que una persona ha sido apoyada por la seguridad pblica y la autoestima. Crees que, mien- tras ms tiempo una persona es apoyada, ms baja es la autoestima. Qu datos necesitaras recolectar y qu estadsticos calcularas si quisieras predecir el nivel de autoestima de una persona despus de haber estado en seguridad pblica durante cierto periodo? Explica con detalle. www.fullengineeringbook.net 661 www.fullengineeringbook.net 662 Captulo 00 Captulo ttulo 14 & *@ > { _ > $ { # > { # $ J_ > Elementos de estadstica no paramtrica Cmo ven las cosas los adolescentes ^ @ ^@ " " ' ~ @ @ @ ^" @ @ " ' ^ ^@ " @ ^ @ " \ " ^ @ @ " " " ~ " ^ ^ ^ ~ ~ ^ ^ ~ VXMHWDVDUHVWULFFLRQHVPXFKRPHQRVFRQQDQWHVTXHVXVFRQWUDSDUWHVSDUDPpWULFDV$OJXQDVSRUHMHPSOR ^ " " ^ 14.1 Estadstica no paramtrica Imagen copyright MANDY GODBEHEAR, 2009. Usada bajo licencia de Shutterstock.com www.fullengineeringbook.net 663 Seccin 14.1 Estadstica no paramtrica ~ ~ ~ " ^ ~ ~ " ~ ~ ~ @ ~ ~ /RVPpWRGRVQRSDUDPpWULFRVSRUORJHQHUDOVyORVRQOLJHUDPHQWHPHQRVHFLHQWHV " ~ Comparacin de pruebas estadsticas ^ " ~" " ^@ ~ ~ ^ ~ ~ ~ ~ ^ ^ " EDVGHEHQHVWDULJXDOPHQWHFDOLFDGDVSDUDVXXVR(VWRHVFDGDSUXHEDWLHQHXQFRQMXQWR GHVXSRVLFLRQHVTXHGHEHQVDWLVIDFHUVHDQWHVGHSRGHUDSOLFDUOD$SDUWLUGHHVWHSXQWRGH SDUWLGDVHWUDWDUiGHGHQLUFRPRPHMRUDODSUXHEDTXHHVPiVFDSD]GHFRQWURODUORV " VHDUD]RQDEOHSDUDSRGHUWUDEDMDUFRQHOOD(OWDPDxRGHODPXHVWUDVLJQLFDFRVWRFRVWR Criterios de poder y eficiencia @ HUURUWLSR,VHFRQWURODGLUHFWDPHQWHFRQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDa " a b bODTXHGHEHFRQWURODUVH$ORVHVWDGtVWLFRV & VHGHQHFRPRb3RUWDQWRHOSRGHUGHXQDSUXHEDb " ^ ' \ a " " " " \ ^" @ " ab ~ WDPDxRPXHVWUDO TXH VDWLVIDUtD WXV UHWRV HVSHFtFRV/DSUXHEDTXH UHTXLHUD HO WDPDxR " @ ~ HFLHQFLD (FLHQFLD '^ ~ PpWULFDFXDQGRVHFRPSDUDQEDMRXQFRQMXQWRMRGHYDORUHVGHULHVJR3RUHMHPSOROD FDOLFDFLyQGHHFLHQFLDSDUDODSUXHEDGHOVLJQRHVDSUR[LPDGDPHQWH(VWRVLJQLFD TXHXQDPXHVWUDGHWDPDxRFRQXQDSUXHEDSDUDPpWULFDKDUiHOPLVPRWUDEDMRTXHXQD (OSRGHU\ODHFLHQFLDGHXQDSUXHEDQRSXHGHQXVDUVHVRODVSDUDGHWHUPLQDUODHOHF ^ @ ' TXHWHSURSRUFLRQDQ&XDQGRKD\TXHWRPDUXQDGHFLVLyQODGHFLVLyQQDOGHVFDQVDHQXQD QHJRFLDFLyQGHWUHVIDFWRUHVHOSRGHUGHODSUXHEDODHFLHQFLDGHODSUXHED\ORV www.fullengineeringbook.net 664 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica ^ ~ ~ _ ~ ~ @ DSOLFDUTXHVyORXVDVLJQRVPiV\PHQRV$TXtVHSUHVHQWDQWUHVDSOLFDFLRQHVGHODSUXHED GHOVLJQRXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDODPHGLDQDGHXQDSREODFLyQXQDSUXHED ^ @ ^ ^ ' EiVLFRVGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D\SUXHEDGHKLSyWHVLVTXHVHGHVFULELHURQHQFDStWXORV \ @ ~ ^ ^ 14.2 La prueba del signo TABLA 14.1 Comparacin de pruebas paramtricas y no paramtricas Situacin de prueba Prueba paramtrica Prueba no paramtrica Eficiencia de prueba no paramtrica Una media Dos medias independientes Dos medias dependientes Correlacin Aleatoriedad Prueba t (p. 412) Prueba t (p. 495) Prueba t (p. 482) De Pearson (p. 619) Prueba del signo (p. 664) Prueba U (p. 676) Prueba del signo (p. 667) Prueba de Spearman (p. 694) Prueba de rachas (p. 686) 0.63 0.95 0.63 0.91 No significativa; no hay prueba paramtrica para comparacin Procedimiento de intervalo de confianza de muestra sencilla /DSUXHEDGHOVLJQRSXHGHDSOLFDUVHSDUDREWHQHUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDOD WUDOHVHQRUGHQDVFHQGHQWHGHPHQRUDPD\RU/RVGDWRVVHLGHQWLFDQFRPR+ + + + @ ~ @ @ HQFRWDVGHO LQWHUYDORGHFRQDQ]Da @ FRQDQ]DHV+ ~ @ + ~ @ (QJHQHUDOORVGRVYDORUHVGHGDWRVTXHDFRWDQHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DRFXSDQODV @ LQWHUYDORGHFRQDQ]Da * (OVLJXLHQWHHMHPSORFODULFDUiHVWHSURFHGLPLHQWR Suposiciones para inferencias en torno a la mediana poblacional de una sola muestra usando la prueba del signo Las n observaciones aleatorias que for- man la muestra se seleccionan de manera independiente y la poblacin es continua en la vecindad de la mediana M. www.fullengineeringbook.net 665 E J E M P L O 1 4 . 1 E J E M P L O 1 4 . 2 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIANA POBLACIONAL Supn que tienes una muestra aleatoria de 12 lecturas de temperatura alta diarias en orden ascendente, [50, 62, 64, 76, 76, 77, 77, 77, 80, 86, 92, 94] y quieres formar un intervalo de confianza de 95% para la mediana poblacional. La tabla 12 muestra un valor crtico de 2 (k = 2) para n = 12 y a = 0.05 para una prueba de hiptesis de dos colas. Esto significa que se quitan los dos ltimos valores en cada extremo (50 y 62 a la izquierda; 92 y 94 a la derecha). El intervalo de confianza se acota de manera inclusiva por los restantes valores extremos, 64 y 86. Esto es: el intervalo de confianza de 95% es 64 a 86 y se expresa como 64o a 86o el intervalo de confianza de 95% para la mediana de la temperatura alta diaria. PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS Se selecciona una muestra aleatoria de 75 estudiantes y a cada uno se le pide medir cuidadosamente la cantidad de tiempo que tarda en trasladarse de la puerta de su casa al estacionamiento de la universidad. Los datos reco- lectados se usaron para poner a prueba la hiptesis "la mediana del tiempo requerido por los estudiantes para trasladarse es de 15 minutos", contra la alternativa de que la mediana es distinta de 15 minutos. Las 75 piezas de datos se resumen del modo siguiente: Abajo de15: 18 15:12 Arriba de15: 45 Usa la prueba del signo para poner a prueba la hiptesis nula contra la hiptesis alternativa. Solucin Los datos se convierten a signos + y de acuerdo con si cada valor de dato es mayor o menor que 15. Un signo ms se asignar a cada mayor que 15, un signo menos a cada menor que 15 y cero a los que sean iguales a 15. La prueba del signo slo usa los signos ms y menos; por tanto, los ceros se descartan y el tamao muestral til se convierte en 63. Esto es: n(+) = 45, n() = 18 y n = n(+) + n() = 45 + 18 = 63. Paso 1 a. Parmetro de inters: M, la mediana poblacional del tiempo para trasladarse Procedimiento de prueba de hiptesis de muestra sencilla ^ @ * @ Seccin 14.2 La prueba del signo www.fullengineeringbook.net 666 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica b. Enunciado de hiptesis: Ho: M = 15 Ho: M 15 Paso 2 a. Suposiciones: las 75 observaciones se seleccionaron al azar y la variable, tiempo de traslado, es continua. b. Estadstico de prueba: el estadstico de prueba que se usar es el nmero del signo menos frecuente: el menor de n(+) y n(), que es n() para este ejemplo. Se querr rechazar la hiptesis nula siempre que el nmero de signo menos frecuente sea extre- madamente pequeo. La tabla 12 del apndice B proporciona el nmero mximo permisible del signo menos frecuente, k, que permitir rechazar la hiptesis nula. Esto es: si el nmero del signo menos frecuente es menor que o igual al valor crtico en la tabla, se rechazar Ho. Si el valor observado del signo menos frecuente es mayor que el valor de tabla, se fallar en rechazar Ho. En la tabla, n es el nmero total de signos, no incluidos ceros. El estadstico de prueba = x = n(signo menos frecuente). c. Nivel de significancia: a = 0.05, para una prueba de dos colas. Paso 3 a. Informacin muestral: n = 63; [n() = 18, n(+) = 45] b. Estadstico de prueba: el valor observado del estadstico de prue- ba es x = n() = 18. Paso 4 La distribucin de probabilidad: '* " ^ @ @ '" ;3+# 18 1 2 valor p 19 0 Nmero de signo menos frecuente @ ~ @ ^ @ ;> @ ;@ ,QVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a J$ * ^ @ " ^ @ " @ ' ^ a \ODOD GHOD Rechazar Ho 24 0 Nmero de signo menos frecuente 23 18 Rechazar por falla Ho +w ^ JXUD O Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: la muestra presenta suficiente evidencia en el nivel 0.05 para concluir que la mediana del tiempo de traslado no es igual a 15 minutos. www.fullengineeringbook.net 667 J$ _ *@ Z[ " Z] @ > $OLQVSHF FLRQDUODOD GHODWDEODSXHGHVGHWHUPLQDUXQLQWHUYDORGHQWURGHOFXDOFDHHO @ @ +DORODUJRGHODOD \OHHODVFRWDVGHODSDUWHVXSHULRUGH ^ @ " ;> *@ ][\ ^ @ SRUWL$FRQWLQXDFLyQVHGHVFULEHQ LQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E L S I G N O P A R A U N A P R U E B A D E H I P T E S I S D E L A M E D I A N A P A R A U N A S O L A M U E S T R A MINITAB Excel TI-83/84 Plus Escribe el conjunto de datos en C1; luego contina con: Elige: Stat > Nonparametrics > 1-Sample Sign Escribe: Variables: C1 Selecciona: Test median:* Escribe: M (valor hipottico mediana) Selecciona: Alternativa: less than o not equal o greater than > OK *Tambin puede seleccionarse un intervalo de confianza. (Si no se proporcionan datos originales, slo el nmero de signos ms y menos, entonces escribe los valores de datos arriba y abajo de la mediana que calcular el nmero correcto de cada signo.) Los siguientes comandos Excel calcularn las diferencias entre los valores de datos y la mediana hipottica. Entonces los datos se ordenarn de modo que el nmero de signos + y puedan contarse con facilidad. Ingrese los datos en la columna A y seleccione la celda B1: despus contine con: Elige: Insert function fx > All > SIGN > OK Escribe: Nmero: A1 valor hipottico mediana > OK Arrastra: Esquina inferior derecha de la celda B1 hacia abajo para obtener otras diferencias Selecciona los datos en las columnas A y B; luego contina con: Elige: Data > Sort Selecciona: Ordena por: Column B Orden: Smallest to Largest > OK Escribe los datos en L1; luego contina con: Elige: PRGM > EXEC > SIGNTEST* Selecciona: PROCEDURE: 3: HYP TEST INPUT? 2:DATA: 1 LIST Escribe: DATA: L1 MED0: hypothesized median value Selecciona: ALT HYP? 1: > o 2: < o 3: *El programa SIGNTEST es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar de www. cengagebrain.com. Consulta la pgina 35 para instrucciones especficas. Procedimiento de prueba de hiptesis de dos muestras ~ ^ " " ^ ~ @ Seccin 14.2 La prueba del signo www.fullengineeringbook.net 668 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica @ ' ' @ Suposiciones para inferencias en torno a la mediana de diferencias aparea- das usando la prueba del signo Los datos emparejados se seleccionan de manera independiente y las variables son ordinales o numricas. E J E M P L O 1 4 . 3 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA PARA LA MEDIANA DE DIFERENCIAS APAREADAS Un nuevo plan para bajar de peso sin ejercicio ni hambre se desarroll y publicit. Para poner a prueba la afirmacin de que "perder peso en 2 semanas o . . .", un estadstico local obtuvo los pesos antes y despus de 18 personas que usaron este plan. La tabla 14.2 menciona las personas, sus pesos y un menos ( ) para quienes perdieron peso durante las 2 semanas, un 0 para aquellos cuyo peso permaneci igual y un ms ( + ) para quienes en realidad ganaron peso. La afirmacin a poner a prueba es que las personas pierden peso. La hiptesis nula que se pondr a prueba es "no hay prdida de peso (o la me- diana de la prdida de peso es cero)", lo que significa que slo un rechazo de la hiptesis nula permitir concluir en favor de la afirmacin publicitada. En realidad se pondr a prueba para ver si existen significativamente ms signos menos que signos ms. Si el plan para bajar de peso absolutamente no tiene valor, se esperara encontrar un igual nmero de signos ms y me- nos. Si funciona, debe haber significativamente ms signos menos que signos ms. Por tanto, la prueba que se realiza aqu ser una prueba de una cola. (Se quiere rechazar la hiptesis nula en favor de la afirmacin publicitada si existen "muchos" signos ms.) Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: M, la mediana de la prdida de peso b. Enunciado de hiptesis: Ho: M = 0 (no prdida de peso) Ha: M < 0 (prdida de peso) TABLA 14.2 Resultados muestrales acerca del plan para bajar de peso [TA14-02] Peso Signo de la diferencia, Peso Signo de la diferencia, Persona Persona Antes Despus Antes Despus Despus Antes Despus Antes Sra. Smith 146 142 Sr. Carroll 187 187 0 Sr. Brown 175 178 + Sra. Black 172 171 Sra. White 150 147 Sra. McDonald 138 135 Sr. Collins 190 187 Srita. Henry 150 151 + Sr. Gray 220 212 Srita. Greene 124 126 + Srita. Collins 157 160 + Sr. Tyler 210 208 Sra. Allen 136 135 Sra. Williams 148 148 0 Sra. Noss 146 138 Sra. Moore 141 138 Srita. Wagner 128 132 + Sra. Sweeney 164 159 @ www.fullengineeringbook.net 669 Paso 2 a. Suposiciones: las 18 observaciones se seleccionaron al azar y las variables, peso antes y peso despus, ambas son continuas. b. Estadstico de prueba: el nmero del signo menos frecuente: el estadstico de prueba = x = n(signo menos frecuente) c. Nivel de significancia: a = 0.05 para una prueba de una cola Paso 3 a. Informacin muestral: n = 16[n( + ) = 5, n( ) = 11] b. Estadstico de prueba: el valor observado del estadstico de prue- ba es x = n( + ) = 5. Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar por falla Ho. b. Conclusin: la evidencia observada no es suficiente para permitir rechazar la hiptesis nula de no prdida de peso en el nivel de significancia 0.05. '* ^ @ " @ '" ;+ # 1 2 valor p 6 0 Nmero de signo menos frecuente 1 2 3 4 5 @ ~ @ ^ a ~ " @ a ;< @ ;@ 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD @ " a J$ * ^ " ^ @ " " @ ' ^ aa HQFDGDFROD\ODOD 5 Rechazar Ho 0 Nmero de signo menos frecuente 1 2 3 4 Rechazar por falla Ho k = 4 5 + ^ JXUD I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E L S I G N O P A R A L A M E D I A N A D E D I F E R E N C I A S E M P A R E J A D A S MINITAB Escribe el conjunto de datos emparejados en C1 y C2; luego contina con: Elige: Calc > Calculator Escribe: Almacenar resultado en variable: C3 Expresin: C1-C2 (el orden que se necesite, con base en Ha) > OK Elige: Stat > Nonparametrics > 1-Sample Sign . . . Escribe: Variables: C3 Selecciona: Test median:* Escribe 0 (valor hipottico mediana) Selecciona: Alternativa: less than o not equal o greater than > OK *Como antes, el intervalo de confianza puede seleccionarse. Seccin 14.2 La prueba del signo O www.fullengineeringbook.net 670 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica Aproximacin normal ' ^ @ ^ QLYHOHVSDUWLFXODUHVGHVLJQLFDQFLDGHVHDGRVRVL Notas: + " " ^ ^ ^ + GHSUXHEDVDWLVIDFHODVSURSLHGDGHVGHXQH[SHULPHQWRELQRPLDOFRQVXOWDODS \RWLHQHGRVSRVLEOHVUHVXOWDGRVR'DGRTXHVHXVDODPHGLDQDODVSUREDELOLGDGHV m + mx n 2 m np n # 1 2 n 2 @^ s + sx 1 2 n s npq n # 1 2 # 1 2 1 2 n + @ " ^ @ \ " @ @ ^ ^ ODYDULDEOHGHPRGRTXHODDSUR[LPDFLyQVHDPiVSUHFLVD&RQVXOWDODVHFFLyQS DFHUFDGHODDSUR[LPDFLyQQRUPDO(VWHDMXVWHVHLOXVWUDHQODJXUD\VHOODPD @ " \ @ ~ TI-83/84 Plus Excel Escribe los datos apareados en las columnas A y B; luego contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Sign Test > OK Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) Escribe los datos apareados en L1 y L2; luego contina con: Resalta: L3 Escribe: L1-L2 (el orden que se necesite, con base en Ha) Elige: PRGM > EXEC > SIGNTEST* Selecciona: PROCEDURE: 3: HYP TEST INPUT? 2:DATA: 1 LIST Escribe: DATA: L3 MEDO: hypothesized median value Selecciona: ALT HYP? 1: > o 2: < o 3: *El programa SIGNTEST es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar de www.cengagebrain.com. Consulta la pgina 35 para instrucciones especficas. 4 x 4.5 5 5.5 6 P(x = 5) = P(4.5 < x < 5.5) Discreta Continua FIGURA 14.1 Correccin de continuidad www.fullengineeringbook.net 671 @ @ +9 @ +\+ " +9+ \+ " +9+ +9 3URFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D \@ ^ ^ GHSRVLFLyQSDUDXQLQWHUYDORGHFRQDQ]Da * ^ 1 2 (n) 1 2 1 2 # z(a/2) # n !" @ + | + LQWHUYDORGHFRQDQ]Da * I n 2 1 2 1 2 # z(a/2) y # 1n S n 2 1 2 1 2 # z(a/2) # 1n Nota: | ' TXHHOQLYHOGHFRQDQ]DHVDOPHQRVa E J E M P L O 1 4 . 4 CONSTRUCCIN DE UN INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA MEDIANA POBLACIONAL Estima la mediana poblacional de la temperatura alta diaria con un intervalo d e confianza de 95%, con base en la siguiente muestra aleatoria de 60 lecturas de temperatura alta diaria. (Nota: las temperaturas se ordenaron en orden ascendente.) 43(x1) 55(x2) 59 60 67 73 73 73 73 73 73 75 75 76 78 78 78 79 79 80 80 80 80 80 80 80 82 82 82 82 83 83 83 83 83 84 84 84 85 85 86 86 87 87 88 88 88 88 88 88 88 89 89 89 89 90 92 93 94 98(x60) Solucin Cuando se usa la frmula (14.1), los nmeros de posicin I y S son 30 8.09 30 (0.50 7.59) 1 2 (n) 1 2 1 2 # z(a/2) # 1n : 1 2 (60) 1 2 1 2 # 1.96 # 260 Es decir, I = 30 8.09 = 21.91, redondeado hacia abajo se convierte en 21 (21o valor de datos) S = 30 + 8.09 = 38.09, redondeado hacia arriba se convierte en 39 (39o valor de datos) Por tanto, 80 a 85, el intervalo de confianza de 95% para la mediana de la tempe- ratura alta diaria Seccin 14.2 La prueba del signo www.fullengineeringbook.net 672 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica ; # ^ ^ ^ z x n 2 1 2 # n !" &RQVXOWDODQRWDGHODSUHVSHFWRD+9 E J E M P L O 1 4 . 5 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA Usa la prueba del signo para poner a prueba la hiptesis de que la mediana del nmero de horas, M, laboradas por los estudiantes en cierta universidad es de al menos 15 horas por semana. Se tom una encuesta de 120 estu- diantes; se registra un signo ms si el nmero de horas que trabaj el estudiante la semana pasada fue igual a o mayor que 15 y un signo menos si el nmero de horas fue menor que 15. Los totales mostraron 80 signos menos y 40 signos ms. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: M, la mediana del nmero de horas labo- radas por los estudiantes b. Enunciado de hiptesis: Ha: M 15 (menos signos ms que signos menos) Ho: M 15( ) (al menos tantos signos ms como signos menos) Paso 2 a. Suposiciones: la muestra aleatoria de 120 adultos se tom de ma- nera independiente y la variable, horas laboradas, es continua. b. Distribucin de probabilidad y estadstico de prueba: la z normal estndar y la frmula (14.2) c. Nivel de significancia: a = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: n( + ) = 40 y n( ) = 80; por tanto, n = 120 y x es el nmero de signos ms; x = 40. b. Estadstico de prueba: con la frmula (14.2), se tiene 3.562 3.56 z 40.5 120 2 1 2 # 2120 40.5 60 1 2 # (10.95) 19.5 5.475 z x n 2 1 2 # 1n : www.fullengineeringbook.net 673 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 4 . 2 14.1 "~ ~ ~ 14.2 [EX14-02] $FRQQDGRVVHOHFFLRQDGRVDOD]DUVHOHV ^ @^ 82 66 90 84 75 88 80 94 110 91 'HWHUPLQD OD HVWLPDFLyQ GHO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH @^ VHPDQDSRUORVFRQQDGRV 14.3 [EX14-03] @ ' 47 46 40 40 46 35 34 59 54 33 65 39 48 47 46 46 42 36 45 38 @ DQ]DGHSDUDODPHGLDQDGHODWHPSHUDWXUDDOWDGLDULDHQ @ 14.4 [EX14-04] 6H LGHQWLFDURQ DO D]DU FRQGDGRV GH ^ ^ 3 020 2 310 2 600 3 750 3 450 2 085 3 000 2 785 2 880 3 275 2 795 3 300 2 995 3 440 3 565 Fuente: http://www.nass.usda.gov/ @ ILDQ]D GH SDUD OD WDVD GH SURGXFFLyQPHGLDQD SDUD LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPPaso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel 0.05, existen significativamente ms signos menos que signos ms, lo que por tanto implica que la mediana es menor que las 15 horas afirmadas. '* '" " ^ @ " ; FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD 0 3.56 z Valor p @ ~ @ ; ~ @ ; @ ; 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD @ " a J$ * ^ '" " ^ @ TXH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGHODWDEOD$ 0 z 1.65 z (0.05) = 1.65 0.05 3.56 (QODSiJLQDVHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHVSHFt @ ^ D]XO HQODJXUD Seccin 14.2 La prueba del signo PTI Vanse las pginas 669 y 670 para coman- dos de computadora y calculadora. O www.fullengineeringbook.net 674 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica 14.5 [EX14-05] ' WHOLVWDHVGHFDPELRVGHFDOLFDFLRQHVHQOHFWXUDGHVH[WRDxR @ @ @ PLQXFLyQHQODFDOLFDFLyQORVYDORUHVSRVLWLYRVPXHVWUDQXQ @ 6 18 2 5 6 9 1 1 6 1 0 2 6 2 1 6 6 13 9 12 10 12 4 8 11 7 6 16 14 8 3 8 13 14 1 2 1 9 12 6 5 3 30 9 10 4 4 &RQVWUX\HXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDHOFDPELRHQ ODPHGLDQDGHODVFDOLFDFLRQHVGHOHFWXUD 14.6 [EX14-06] GLDULDSDUDXQDXWRFRPSDFWRVHUHFROHFWyFRQODQDOLGDGGH (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODPHGLD 14.7 ^ ^ @ " ^ @ " @ F /DPHGLDQDHQODWDVDGHLPSXHVWRVHV 14.8 ^ ^ @ " D /DVFDOLFDFLRQHVHQODHQFXHVWDSRVWDXWRHVWLPDIXHURQ PD\RUHVTXHODVFDOLFDFLRQHVHQODHQFXHVWDSUHDXWR E /DVSHUVRQDVSUHHUHQHOVDERUGHOSDQKHFKRFRQODQXHYD ~ 14.9 @ ^ " @ y .a y .b y .c x n( ) 10 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 38 x n( ) 30 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 78 x n( ) 3 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 18 y .d z 2.56 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5 con n 148 14.10 @ " ^ " y .a y .b y .c y . d a 0.05 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 148 a 0.05 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 38 a 0.05 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 78 a 0.05 Ho: P( ) 0.5 frente a Ha: P( ) 0.5, con n 18 14.11 @ ~ FRQOHXFHPLDPLHORLGHDJXGD$0/SRUVXVVLJODVHQLQJOpV " ~ ~ ~ ' ~ GHOXVRGHGRVGLIHUHQWHVJOREXOLQDVDQWLWLPRFLWR*$7SDUD @ ^ ~ *Y+'6XSyQTXHXQDPXHVWUDGHSDFLHQWHVFRQ$0/ ^ ^" GHORVSDFLHQWHVHUDQPD\RUHVTXH\IXHURQPiVMyYH " ^ " ^ @" a 14.12 [EX14-05] VHSURSRUFLRQD OD OLVWDGHFDPELRVHQ ODVFDOLFDFLRQHV @ YDORUHVQHJDWLYRVLQGLFDQXQDGLVPLQXFLyQHQODFDOLFDFLyQ @ @ @ ^ " ODVFDOLFDFLRQHVHQOHFWXUDGLVPLQX\HURQFRQUHVSHFWRDODxR @ a 14.13 " # $ { $GROHVFHQWHVPiVFXLGDGRVDVHQHO6ROGHORVDGROHV " GHODUDGLDFLyQVRODUIUHQWHDGHODVDGROHVFHQWHV6XSyQ " " ^ " ^ ^ @ ^ " FRPEDWLUHOSHOLJURGHODUDGLDFLyQVRODUGLHUHGHXQPHGLR Tabla para el ejercicio 14.6 39.93 41.00 42.99 38.99 42.93 35.00 40.95 29.99 49.93 50.95 34.95 28.99 43.93 43.00 41.99 42.99 36.93 34.95 35.99 31.99 45.93 46.50 34.90 29.80 32.93 29.70 32.99 27.94 53.93 46.00 35.94 34.99 29.93 28.70 34.99 31.48 37.93 37.90 37.92 35.99 www.fullengineeringbook.net 675 ^ " ' ~ ^ \ " WHFWRUD\TXHUHSUHVHQWDQRXVDURSDSURWHFWRUD6HWLHQH VXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDPRVWUDUTXHODSURSRUFLyQGHDGROHV " D 6HREWLHQHQVLJQRV\VLJQRV E 6HREWLHQHQVLJQRV\VLJQRV F 6HREWLHQHQVLJQRV\VLJQRV G 6HREWLHQHQVLJQRV\VLJQRV 14.14 [EX14-14] HFRQyPLFRGHODSURIHVLyQUHDOL]DGRSRUOD$VRFLDFLyQ(VWD @ ^ ^ ^ " FLyQSRQDSUXHEDODDUPDFLyQGHTXHODPHGLDQDGHOVDODULR TXHODPHGLDSDUDWRGRHOSDtVDOHVFULELUODKLSyWHVLV\YHUL @ a 9HULFDHOYDORU ~ Sign Test for Median: C1 Sign test of median 83282 versus 83282 N Below Equal Above P C1 20 16 0 4 0.0059 14.15 [EX14-15] ^ @ QDFLyQHQ\/DWDEODSURSRUFLRQDODVFDOL 7 0 0 2 3 0 0 2 9 9 9 1 Nacin Bulgaria Corea, Repblica de Chipre Estados Unidos Federacin Rusa Hong Kong Hungra Irn, Repblica Islmica de Japn Lituana Rumania Singapur 518 479 470 549 558 553 460 441 452 515 527 520 529 514 530 530 556 530 552 543 539 448 453 459 550 552 554 488 519 519 472 470 462 568 578 567 " HQWUHODVFDOLFDFLRQHVHQORVDxRV\SDUDFDGD a KXERXQDPHMRUtDVLJQLFDWLYDHQODVFDOL FDFLRQHVGHFLHQFLDVHQ\" 14.16 8QDUWtFXORWLWXODGR$QWLFRDJXODQWHVQDWXUDOHV\WUDV ~^ @ @ ^@ @ ~ ~^ SDUD SDFLHQWHV /DV GLIHUHQFLDV IXHURQ QR VLJQLFDWLYDV \ ^" @ @ ^ " ^ @ " HVFHUR8VDHOQLYHOGHFRQDQ]D&RPSOHWDODSUXHED\ ^ 14.17 ^ @ SUHULHURQHOQXHYR SUHULHURQHOFOiVLFR @ @ QLFDWLYDPHQWHPD\RUTXHXQPHGLR"8VDa 14.18 ^ ' '' GHFDUQHUHJXODU$FDGDXQRGHLQGLYLGXRVVHOHGDQGRV ' '' FRQXQDPDVDEODQFD$FDGDSHUVRQDVHOHSUHJXQWDGHVSXpV VLSUHHUHODPDVDGHWULJRHQWHURRODEODQFD/RVUHVXOWDGRV SUHULHURQWULJRHQWHURDEODQFD SUHULHURQEODQFDDWULJRHQWHUR @ ([LVWHVXFLHQWHHYLGHQFLDSDUDYHULFDUODKLSyWHVLVGHTXH ODPDVDGHWULJRHQWHURVHSUHHUHDODPDVDEODQFDHQHOQLYHO GHVLJQLFDQFLDa 14.19 'HDFXHUGRFRQXQDHQFXHVWDGHOD$VRFLDFLyQ2SWRPp WULFD(VWDGRXQLGHQVHGHORVDGXOWRVXVDEDQJDIDVFRPR @ \ ^" " ^ @ @ @ " ^ " \ TXHUHSUHVHQWDXVDJDIDV\TXHUHSUHVHQWDDOJ~QRWUR @ \ "~@ + Tabla para el ejercicio 14.14 54 500 63 000 83 600 67 000 49 700 60 800 47 700 82 200 86 800 73 900 57 700 58 200 62 200 82 000 78 500 70 000 96 100 89 700 57 200 55 400 FRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 14.2 La prueba del signo www.fullengineeringbook.net 676 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica @ @ QLFDQFLD" 14.20 @ " " { " # $ \ ^ " " ^ " @ " \ @ "~@ + @ QLYHOGHVLJQLFDQFLD" " @ ~ ^ HOH[SHULPHQWDGRUTXLHUHYHUVLODGLIHUHQFLDHQWUHODVGRVPXHVWUDVHVVXFLHQWHSDUDUH ' ^ " ~ Procedimiento de prueba de hiptesis 14.3 La prueba U de Mann-Whitney Suposiciones para inferencias en torno a dos poblaciones usando la prueba U de Mann-Whitney Las dos muestras aleatorias independientes son inde- pendientes dentro de cada muestra, as como entre muestras, y las variables aleatorias son ordinales o numricas. " ^ E J E M P L O 1 4 . 6 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS En una clase grande, cuando se aplica un examen de una hora, el profesor entrega dos exmenes "equivalentes". Es razonable preguntar: estos dos exmenes realmente son equivalentes? Los estudiantes en los asientos con nmero par reciben el examen A y los de los asientos con nmero impar reciben el examen B. Para poner a prueba esta hiptesis "equivalente", se toman dos muestras aleatorias. La tabla 14.3 menciona las calificaciones de examen de las dos muestras. TABLA 14.3 Datos de calificaciones de examen [TA14-03] Examen A 52 78 56 90 65 86 64 90 49 78 Examen B 72 62 91 88 90 74 98 80 81 71 Si supones que los asientos con nmero impar o par no tienen efecto, la muestra presenta suficiente evidencia para rechazar la hiptesis "los forma- tos de examen produjeron calificaciones que tuvieron distribuciones idnti- cas"? Pon a prueba con a = 0.05. @ www.fullengineeringbook.net 677 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: la distribucin de calificaciones para cada versin del examen b. Enunciado de hiptesis: Ho: el examen A y el examen B tienen calificaciones con distribu- ciones idnticas. Ha: las dos distribuciones no son iguales. Paso 2 a. Suposiciones: las dos muestras son independientes y la variable aleatoria, calificacin de examen, es numrica. b. Estadstico de prueba: el estadstico U de Mann-Whitney c. Nivel de significancia: a = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: los datos muestrales se proporcionan en la tabla 14.3. b. Estadstico de prueba. El tamao de las muestras individuales se llamarn na y nb; en realidad, no hace diferencia en qu forma se asignen. En el ejemplo ambos tienen el valor 10. Las dos muestras se combinan en una muestra (todos na + nb) y ordenados de menor a mayor: 49 52 56 62 64 65 71 72 74 78 78 80 81 86 88 90 90 90 91 98 Despus a cada uno se le asigna un nmero de rango. Al menor (49) se le asigna el rango 1, al siguiente menor (52) se le asigna rango 2, etc., hasta el mayor, al que se le asigna el rango na + nb (20). Los empates se manejan al asignar a cada uno las observaciones empatadas el rango medio de aquellas posiciones de rango que ocupan. Por ejemplo, en el ejemplo existen dos 78; estn en las posiciones 10 y 11. El rango medio para cada uno es entonces 10 11 2 10.5. En el caso de los tres 90 (los valores de datos 16, 17 y 18), a cada uno se le asigna 17, porque 16 17 18 3 17. Los rangos se muestran en la tabla 14.4. TABLA 14.4 Datos de calificacin de examen por rango Datos clasificados Rango Fuente Datos clasificados Rango Fuente Datos clasificados Rango Fuente 49 1 A 72 8 B 88 15 B 52 2 A 74 9 B 90 17 A 56 3 A 78 10.5 A 90 17 A 62 4 B 78 10.5 A 90 17 B 64 5 A 80 12 B 91 19 B 65 6 A 81 13 B 98 20 B 71 7 B 86 14 A La figura 14.2 de la pgina 678 muestra la relacin entre los dos con- juntos de datos, primero con los valores de datos y segundo al comparar los nmeros de rango para los datos. El clculo del estadstico de prueba U es un procedimiento de dos pasos. Primero determina la suma de los rangos para cada una de las dos muestras. Luego, con las dos sumas de rangos, calcula una calificacin U para cada muestra. La calificacin U menor es el estadstico de prueba. Seccin 14.3 La prueba U de Mann-Whitney www.fullengineeringbook.net 678 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica La suma de rangos Ra para la muestra A se calcula como Ra 1 2 3 5 6 10.5 10.5 14 17 17 86 La suma de rangos Rb para la muestra B es Rb 4 7 8 9 12 13 15 17 19 20 124 La calificacin U para cada muestra se obtiene al usar el siguiente par de frmulas: Estadstico de prueba U de Mann-Whitney Ua na # nb (nb)(nb 1) 2 Rb (14.3) Ub na # nb (na)(na 1) 2 Ra (14.3) U, el estadstico de prueba, es el menor de Ua y Ub. Para el ejemplo, se obtiene Ub (10)(10) (10)(10 1) 2 86 69 Ua (10)(10) (10)(10 1) 2 124 31 Por tanto, U = 31. 50 60 70 80 90 100 Valores de datos A B + + + + + + + + + + + + + + + + Nmeros de rango A B + + + + + + + + 3.5 7.0 10.5 14.0 17.5 21.0 FIGURA 14.2 Comparacin de los datos de dos muestras $QWHVGHUHDOL]DUODSUXHEDSDUDHVWHHMHPSORWUDWDGHHQWHQGHUDOJXQDVGHODVSRVLELOL " ^ " " " " \ ^ " @ " @ " VHJXQGDPXHVWUDFXDQGRVHRUGHQDQMXQWDV&LHUWDPHQWHHVWRVLJQLFDUtDTXHVHTXHUUtD www.fullengineeringbook.net 679 ' ^ ~ @ " \ ^ TXHORVYDORUHV$WLHQHQUDQJRVGHODO\TXHORVYDORUHV%WLHQHQUDQJRVGHO Ub (10)(10) (10)(10 1) 2 55 100 Ua (10)(10) (10)(10 1) 2 155 0 Ra 55 y Rb 155 " \ " ' ^ ' ^ \ ^ " FDOLFDFLyQHQFDGDFRQMXQWRHVLGpQWLFDDXQDHQODRWUD 54 54 62 62 71 71 72 72 . . . A B A B A B A B . . . 1.5 1.5 3.5 3.5 5.5 5.5 7.5 7.5 . . . $KRUDTXpRFXUULUtD" Ua Ub (10)(10) (10)(10 1) 2 105 50 Ra Rb 105 "\~ " ' ^ ' ^ Nota: "" " ? '^ ^ @ " " $KRUDUHJUHVDDODVROXFLyQGHOHMHPSOR Paso 4 La distribucin de probabilidad: '* " ^ @ @ \ '" ;3"# 1 2 valor p 32 31 0 U @ ~ @ ; @ ;@W 'HWDOOHVHVSHFtFRVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a J$ * ^ " ^ @ WDEOD$SDUDGRVFRODVa@ ^ \ODOD ^ "# Rechazar Ho 23 24 Rechazar por falla Ho 0 31 " ^ JXUD Paso 5 } * ' J *QR VH WLHQH VXFLHQWH HYLGHQFLDSDUD UHFKD]DU ODKLSyWHVLV "@ Seccin 14.3 La prueba U de Mann-Whitney O www.fullengineeringbook.net 680 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica J$ # *@ Z[ " Z_ @ > $O LQV SHFFLRQDUODVWDEODV$\%HQODLQWHUVHFFLyQGHODFROXPQD " @ " @ a *@ ][\ ^ ODGRUDJUDFDGRUDPX\SUREDEOHPHQWHFDOFXODUiHOYDORUSRUWL(QODVSiJLQDV VHGHVFULEHQLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV Aproximacin normal \ " ^ @ " ^ " mU na # nb 2 !" @^ sU na # nb # (na nb 1) 12 !W" ^ & z U mU sU !K" ^ " " ^ " E J E M P L O 1 4 . 7 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA Un entrenador de obediencia canina entrena a 27 perros para obedecer cierta orden. El entrenador usa dos diferentes tcnicas de entrenamiento: I) el mtodo de recompensa y aliento y II) el mtodo de no recompensa. La tabla 14.5 muestra los nmeros de sesiones de obediencia que fueron necesarias antes de que los perros cumplieran la orden. El entrenador tiene suficiente evidencia para afirmar que el mtodo de recompensa, en promedio, reque- rir menos sesiones de obediencia (a = 0.05)? TABLA 14.5 Datos acerca de entrenamiento canino [TA14-05] Mtodo I 29 27 32 25 27 28 23 31 37 28 22 24 28 31 34 Mtodo II 40 44 33 26 31 29 34 31 38 33 42 35 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: la distribucin de sesiones de obediencia necesarias para cada tcnica www.fullengineeringbook.net 681 b. Enunciado de hiptesis: Ho: las distribuciones de las sesiones de obediencia necesarias son las mismas para ambos mtodos. Ha: el mtodo de recompensa, en promedio, requiere menos sesiones. Paso 2 a. Suposiciones: las dos muestras son independientes y la variable aleatoria, tiempo de entrenamiento, es numrica. b. Estadstico de prueba: el estadstico U de Mann-Whitney c. Nivel de significancia: a = 0.05 Paso 3 a. Informacin muestral: los datos muestrales se mencionan en la tabla 14.5. b. Estadstico de prueba: los dos conjuntos de datos se clasifican en conjunto y los rangos se asignan como se muestra en la tabla 14.6. TABLA 14.6 Clasificaciones para mtodos de entrenamiento Nmero de sesiones Grupo Rango Nmero de sesiones Grupo Rango 22 I 1 31 II 15 14.5 23 I 2 31 II 16 14.5 24 I 3 32 I 17 25 I 4 33 II 18 18.5 26 II 5 33 II 19 18.5 27 I 6 6.5 34 I 20 20.5 27 I 7 6.5 34 II 21 20.5 28 I 8 9 35 II 22 28 I 9 9 37 I 23 28 I 10 9 38 II 24 29 I 11 11.5 40 II 25 29 II 12 11.5 42 II 26 31 I 13 14.5 44 II 27 31 I 14 14.5 Las sumas son: RII 5 11.5 14.5 # # # 26 27 227.0 RI 1 2 3 4 6.5 # # # 20.5 23 151.0 Las calificaciones U se encuentran con las frmulas (14.3) y (14.4): UII (15)(12) (15)(15 1) 2 151 180 120 151 149 UI (15)(12) (12)(12 1) 2 227 180 78 227 31 Por tanto, U = 31. Ahora usa las frmulas (14.5), (14.6) y (14.7) para determinar el estadstico z: (180)(28) 12 420 20.49 sU B na # nb # (na nb 1) 12 : sU B 12 # 15 # (12 15 1) 12 mU na # nb 2 : mU 12 # 15 2 90 Seccin 14.3 La prueba U de Mann-Whitney www.fullengineeringbook.net 682 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica z U mU sU : z 31 90 20.49 59 20.49 2.879 2.88 Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.05, los datos muestran suficiente evidencia para calcular que el mtodo de recompensa, en promedio, s requiere menos sesiones de entrenamiento. '* '" " ^ @ " ; FRPRVHPXHVWUDHQODJXUD 0 z 2.88 valor p @ ~ @ ;@ ~ @ \>;> @ ;@ 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD @ " a J$ * ^ '" " ^ @ TXH(OYDORUFUtWLFRVHREWLHQHGHODWDEOD$ 0 z 1.65 0.05 2.88 z (0.05) = 1.65 (QODSiJLQDVHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHVSHFt @ w ^ D]XO HQODJXUD MINITAB Escribe los dos conjuntos de datos independientes en C1 y C2; luego contina con: Elige: Stat > Nonparametrics > MannWhitney Escribe: Primera muestra: C1 Segunda muestra: C2 Nivel confianza: 1 a Selecciona: Alternativa: less than o not equal o greater than > OK Respecto al mtodo del valor p, el valor p est dado. Respecto al mtodo clsico, slo se propor- ciona la suma de los rangos para una de las muestras, W. Usa esto para encontrar U para esa muestra. La U para la otra muestra se encuentra al restar U del producto de n1 y n2. I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A U D E M A N N - W H I T N E Y P A R A L A D I F E R E N C I A E N T R E D O S D I S T R I B U C I O N E S I N D E P E N D I E N T E S O www.fullengineeringbook.net 683 Excel TI-83/84 Plus Escribe los dos conjuntos de datos independientes en la columna A y la columna B; luego con- tina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Wilcoxon Rank Sum Test* Escribe: Rango variable 1: (A1:A20 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B20 o selecciona celdas) *La prueba de suma de rangos de Wilcoxon es equivalente a la prueba Mann-Whitney. Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) La suma de los rangos est dada por ambas muestras y tambin el valor p. Escribe los dos conjuntos de datos independientes en L1 y L2; luego contina con: Elige: PRGM > EXEC > MANNWHIT Escribe: XLIST: L1 YLIST: L2 NULL HYPOTHESIS D0 = difference amount (ej. 0) Selecciona: ALT HYP? 1:U1-U2 > D0 o 2:U1-U2 < D0 o 3:U1-U2 D0 *El programa MANNWHIT es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar de www.cengagebrain.com. Consulta la pgina 35 para instrucciones especficas. E J E M P L O A P L I C A D O 1 4 . 8 NUTRIAS MARINAS Imagen de Kennan Ward/CORBIS Este reporte resume los cambios en la distribucin y abundancia de espe- cies bnticas seleccionadas dentro de las comunidades depredadoras de nutrias marinas a lo largo de la costa Olmpica del estado de Washington entre 1987 y 1999. Durante este periodo de 12 aos, la poblacin de nutrias de Washington ex- periment un dramtico aumento tanto en nmero como en rango y ahora ocu- pa hbitats que estaban libres de nutrias cuando se muestre por primera vez en 1987. Las presas invertebradas, como los erizos marinos de explotacin comercial, que eran abundantes justo afuera de las fronteras del rango de la nutria marina en 1987, ahora virtualmente estn ausen- tes a lo largo de toda la costa rocosa ex- terior. Las cubiertas inferiores de follajes de algas roja, coralina y caf tambin experimentan cambios conforme las nu- trias remueven grandes invertebrados que pacen de los hbitats recientemente ocupados. En 1995 se llev a cabo una prueba de comparacin en Chibahdehl Rocks, para comparar datos de tamao y abundancia de invertebrados recolec- tados usando ambos mtodos. Los re- sultados no mostraron diferencias signi- ficativas (pruebas t, p = 0.32 y 0.24 para abundancia y tamao, respectivamente). Hiptesis H1: conforme crezca la poblacin de nutrias marinas en el estado de Washing- ton, se extender hacia el norte y extrae- r y agotar los ricos recursos de presas que se encuentran ah. H2: si las nutrias marinas se mueven hacia hbitats del norte, ocurrirn cam- bios significativos en cubiertas de algas VALORACIN CUANTITATIVA DE COMUNIDADES DE DEPREDACIN BNTICAS DE NUTRIAS MARINAS DENTRO DEL SANTUARIO MARINO NACIONAL DE LA COSTA OLMPICA: NUEVO SONDEO 1999 DE LAS ESTACIONES DE MONITOREO 1995 Y 1985 Seccin 14.3 La prueba U de Mann-Whitney www.fullengineeringbook.net 684 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica bnticas con reduccin en la abundancia de erizos marinos y otros invertebrados que se alimentan de ellas. H3: las nutrias marinas sern ms lentas para colonizar reas con mayores velocidades de agua, lo que resultar en una mayor biomasa de presas en dichas reas. Resultados Para 1999, no haba diferencia sig- nificativa en abundancia de presas entre sitios. Las cubiertas de follaje de algas roja, coralina y caf se siguieron en tres sitios, Neah Bay, Anderson Pt. Y Cape Alava todos los aos. La nica diferencia significativa en cubierta de follaje roja entre 1995 y 1999 fue el declive en An- derson Pt. (prueba U de Mann-Whitney p < 0.0001). La cubierta coralina sigui cayendo dramtica y significativamente en Neah Bay (100%, 44%, 1%) (prueba U de Mann-Whitney p < 0.0001) y en Anderson Pt. (18%, 17%, 6%) (prueba U de Mann-Whitney p < 0.0001), mientras que fluctu ligera pero significativamen- te en Cape Alava (prueba U de Mann- Whitney p = 0.0006). Las algas cafs aumentaron continua y significativamen- te de 0 a 33% en Neah Bay desde 1987 (prueba U de Mann-Whitney p = 0.009), fluctu significativamente entre 4 y 34% en Anderson Point (prueba U de Mann- Whitney p < 0.0001) y no cambi signi- ficativamente en Cape Alava (prueba U de Mann-Whitney p = 0.20). Conclusiones. El nmero de nutrias aument dentro de su rango desde 1987 y su rango se extendi al norte como se predijo (H1). La abundancia y biomasa de presas declinaron por un orden de magnitud a niveles muy bajos en sitios recientemente ocupados por nutrias en cualquier lado de Cape Flattery hacia 1995, tambin como se predijo (H2). Ha- cia 1999, el alto nmero y biomasa de pre- sas que se encontraba en Cape Flattery y Tatoosh Island en 1995 tambin cay a niveles comparables con el otro sitio de monitoreo, lo que rechaza la hiptesis de gran refugio de presas actual (H3). La remocin de erizos por nutrias marinas probablemente fue el principal responsa- ble del aumento en cubierta de algas ms comestibles en los sitios recientemente ocupados de Neah Bay y Anderson Pt. El cambio ms dramtico en cubierta de algas ocurri en Neah Bay, el sitio que ex- periment el mayor declive en abundan- cia de erizos despus del movimiento de nutrias marinas hacia el rea. ` *@ \ @ %D\6HDVLGH&$KWWSVHDRRUFVXPEHGXSXEOLFDWLRQVSRVWHUV2&106SGI5HLPSUHVR E J E R C I C I O S S E C C I N 1 4 . 3 14.21 ~ ~ " ~ ~ " 14.22 YDORUHVGHGDWRV\SDUDORVUDQJRVGHODJXUDGHODSiJL QD9HVXQDUHODFLyQGLIHUHQWHHQWUHORVGRVFRQMXQWRVGH 14.23 ^ ^ @ " @ @ F /DGLVWULEXFLyQGHSUHVLyQDUWHULDOSDUDHOJUXSR$HV " 14.24 ^ ^ @ " D /RVHVWXGLDQWHVHQHOQXHYRSURJUDPDGHOHFWXUDFDOLFD ^" @ " " @ ' 14.25 @ " ^ " @ www.fullengineeringbook.net 685 a. . b. . con nA 8, nB 10 y U 13 H a: promedio(I) promedio(II); H o: promedio(I) promedio(II); con nA 18, nB 15 y U 95 H a: promedio(A) promedio(B); H o: promedio(A) promedio(B); " 14.26 @ " QH\GDGRVHQHOHMHPSORDSOLFDGRGHODSiJLQDVHLV " ~ ^ @ " VLJQLFDWLYRFD\yGUDPiWLFDPHQWHDXPHQWyFRQ< QRFDPELyVLJQLFDWLYDPHQWH 14.27 @ " ^ " @ ~ a. . con nA 18, nB 15 y a 0.05 H a: promedio(A) promedio(B); H o: promedio(A) promedio(B); ODFDOLFDFLyQSURPHGLRHVODPLVPDSDUDDPERV ODFDOLFDFLyQSURPHGLRGHOJUXSR,HVPHQRU " a 14.28 [EX14-28] Grupo 1 30 35 40 42 45 36 Grupo 2 25 32 27 39 30 @ " " " " " ^ " @" " a 14.29 [EX14-29] 3DUDKRPEUHV\PXMHUHVVHUHJLV Hombres Mujeres 61 73 58 64 70 64 72 60 65 80 55 72 56 56 74 65 83 58 70 56 76 64 80 68 78 108 76 70 97 ^ " GLVWULEXFLyQGHSXOVRVGLHUHSDUDKRPEUHV\PXMHUHV(QODVL JXLHQWHVDOLGDGH0,1,7$%VHLPSULPLHURQODVVXPDVGHUDQ @ GH9HULFD @ Mann-Whitney Confidence Interval and Test Males N 16 Median 64.50 Females N 13 Median 76.00 W 192.0 Test of ETA1 ETA2 vs ETA1 not ETA2 is significant at 0.0373 14.30 [EX14-30] | ' * " HQFRQWUyGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDUHVSHFWRDOFROHVWHUROWRWDO8Q " @ @ Nios adiposos 175 185 160 200 170 150 Nias adiposas 160 190 175 190 185 150 140 195 " ^ @ ^ " @ GLHUHQSDUDORVGRVJUXSRVFRQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD 14.31 " ^ ~ ' ZZZJODXFRPDMRXUQDOFRP LQYHVWLJy OD LQXHQFLD TXH WLH ^ \ @ GLIHUHQFLDVVLJQLFDWLYDVHQWUHORVGRVJUXSRVUHVSHFWRDOQ~ " ^ ^\ ^" " @ " " @ Ciruga combinada 3 1 4 0 1 2 Ciruga cataratas sola 3 1 0 1 2 " a 14.32 [EX14-32] 6HLGHQWLFDQDOD]DUFRQGDGRVGH&DUR " ^ Condado CN Produccin CN Condado TX Produccin TX Edgecomb 3 360 Donley 3 640 Hertford 3 560 Terry 3 335 Northhampton 3 700 Collingsworth 2 555 Greene 3 815 Cochran 3 120 Pitt 3 530 Frio 3 685 Bladen 4 265 Yoakum 3 530 Robeson 3 750 Bailey 3 120 Chowan 4 000 Wheeler 2 880 Halifax 3 310 Hall 3 700 Nash 3 435 Hockley 3 280 Andrews 3 665 Gaines 3 845 Dawson 3 565 Fuente: http://www.nass.usda.gov/ LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 14.3 La prueba U de Mann-Whitney www.fullengineeringbook.net 686 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica " ^ " ^ a 14.33 [EX14-33] GHODYDORUDFLyQGHOUHQGLPLHQWRHQWRGRHOHVWDGR$XQTXHORV " \HVFULWXUD/RVFDPELRVHQODVFDOLFDFLRQHVVHLQGLFDQFRQ SRVLWLYRSDUDPHMRUtDQHJDWLYRSDUDFDOLFDFLRQHVPiVEDMDV\ Escritura 2 0 3 30 10 25 7 17 2 6 15 6 13 10 24 6 29 27 16 1 4 13 8 5 3 14 7 16 10 42 4 8 38 24 Lectura 23 25 2 6 40 3 3 32 8 28 8 5 34 7 6 34 6 19 27 23 6 46 23 35 10 11 31 10 20 10 17 22 20 19 11 13 3 21 5 10 13 4 6 1 2 2 12 1 23 6 8 4 5 5 2 9 &RQODVLJXLHQWHVDOLGD([FHOSRQDSUXHEDODDUPDFLyQGH " a ~ "@ " Prueba de suma de rangos de Wilcoxon Suma de rangos Observaciones 5 .8 9 7 1 Escritura 5 4 5 4 5 . 6 9 2 2 Lectura z 4 9 0 0 . t a t S 0.0444 z Crtico dos colas 1.96 P (Z z) dos colas 2 14.34 \ @ ^ " ^" @ @ " @ ^ SRUFLJDUULOORVGHODPDUFD$\FLJDUULOORVGHODPDUFD% /DVXPDGHUDQJRVSDUDODPDUFD$HVLJXDOD\ODVXPD " ^ " GRVPDUFDVIUHQWHDODDOWHUQDWLYDGHTXHGLHUHHOFRQWHQLGR a 14.35 [EX14-35] @ ' @" " Sin sembrar 4.9 41.1 21.7 372.4 26.3 17.3 36.6 26.1 47.3 95.0 147.8 321.2 11.5 68.5 29.0 24.4 1202.6 87.0 28.6 830.1 81.2 4.9 163.0 345.5 244.3 Sembrada 129.6 334.1 274.7 198.6 430.0 274.7 31.4 115.3 1656.0 118.3 489.1 302.8 255.0 32.7 119.0 17.5 242.5 2745.6 7.7 40.6 978.0 200.7 703.4 92.4 1697.8 " QLFDWLYDPHQWHODFDQWLGDGSURPHGLRGHOOXYLD"8VDa 14.36 [EX14-36] \ @ @ @ @^ $ { @ ~ " " @ @ $ { ' @ @^" Hombres que miran deportes (hrs) 4 10 15 26 10 20 13 4 5 3 1 20 60 35 3 6 10 26 3 0 15 5 8 8 6 14 15 3 2 4 Mujeres que miran reality TV (hrs) 2.0 10.0 5.0 8.0 10.0 3.0 4.0 3.0 3.0 2.0 3.0 3.0 1.0 14.0 2.0 4.0 5.0 32.5 6.0 5.0 20.0 1.0 3.0 10.0 6.0 7.0 15.0 2.0 20.0 12.0 " @ @ " " @ $ { @ VLJQLFDQFLDGH E &RPHQWDDFHUFDGHOVLJQLFDGRGHODUHODFLyQGHa @ # # " ' @^ & % @ "~ ^ 14.4 La prueba de rachas www.fullengineeringbook.net 687 E J E M P L O 1 4 . 9 E J E M P L O 1 4 . 1 0 DETERMINACIN DEL NMERO DE RACHAS Para ilustrar la idea de rachas extrae una muestra de 10 nmeros de un solo dgito del directorio telefnico, en la que menciones el penltimo dgito de cada uno de los nmeros telefnicos seleccionados: Muestra: 2 3 1 1 4 2 6 6 6 7 Considera la propiedad "non" (o) o "par" (e). La muestra, como se extrajo, se convierte en e, o, o, o, e, e, e, e, o, que presenta cuatro rachas: e o o o e e e e e o Por tanto, V = 4. PRUEBA DE HIPTESIS PARA ALEATORIEDAD Considera la siguiente muestra y determina si los puntos de datos forman una secuencia aleatoria respecto a estar arriba o abajo del valor mediana. 2 5 3 8 4 2 9 3 2 3 7 1 7 3 3 6 3 4 1 9 5 2 5 5 2 4 3 4 0 4 Pon a prueba la hiptesis nula de que esta secuencia es aleatoria. Usa a = 0.05. Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: aleatoriedad de los valores arriba o abajo de la mediana @ ^ @ @ " " GRVSURSLHGDGHVDLGHQWLFDU Suposicin para inferencias en torno a aleatoriedad usando la prueba de rachas Cada valor de datos muestral puede clasificarse en una de dos categoras. ^ ' " " ~ ' ^ " " " ^ DVSHFWRGHDOHDWRULHGDGTXHDFDVRTXLHUDVFRPSUREDUHVHORUGHQDPLHQWRGHODVXFWXDFLR Seccin 14.4 La prueba de rachas www.fullengineeringbook.net 688 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica b. Enunciado de hiptesis: Ho: los nmeros en la muestra forman una secuencia aleatoria con respecto a las dos propiedades "arriba" y "abajo" del valor mediana. Ha: la secuencia no es aleatoria. Paso 2 a. Suposiciones: cada valor de datos muestral puede clasificarse como "arriba" o como "abajo" de la mediana. b. Estadstico de prueba: V, el nmero de rachas en los datos mues- trales. c. Nivel de significancia: a = 0.05. Paso 3 a. Informacin muestral: los datos muestrales se mencionan al co- mienzo del ejemplo. b. Estadstico de prueba: primero debes ordenar los datos y encon- trar la mediana. Los datos ordenados son 0 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 7 7 8 9 9 Dado que hay 30 valores de datos, la profundidad de la mediana est en la x 3 4 2 3.5. posicin d(x ) 15.5. Por tanto Al comparar cada nme- ro en la muestra original con el valor de la mediana, se obtiene la siguiente secuencia de a (arriba) y b (abajo): b a b a a b a b b b a b a b b a b a b a a b a a b a b a b a Se observa na = 15, nb = 15 y 24 rachas. De modo que V = 24. Si n1 y n2 son ambos menores que o iguales a 20 y se desea una prueba de dos colas en a = 0.05, entonces se usa la tabla 14 del apndice B para completar la prueba de hiptesis. Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar Ho. b. Conclusin: es posible rechazar la hiptesis de aleatoriedad en el nivel de significancia 0.05 y concluir que la secuencia no es aleatoria respecto a arriba y abajo de la mediana. '* " ^ @ @ ;3%$ 23 24 V, nmero de rachas 1 2 valor p @ ~ @ ;> @ ;@ ,QVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a J$ * " ^ @ a @ ^ \ODOD ^ %# % $ Rechazar Ho Rechazar Ho 10 11 21 22 Rechazar por falla Ho V, nmero de rachas 24 % ^ JXUD O www.fullengineeringbook.net 689 J$ # *@ Z[ " Z @ > $OLQVSHF ^ \ODOD " @ " @ @ % " @ *@ ][\ ^ ODGRUDJUDFDGRUDPX\SUREDEOHPHQWHHOODFDOFXODUiHOYDORUSRUWL(QODSiJLQDVH SURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV Aproximacin normal ^ " a @ % ^ m % @^ s % $FRQWLQXDFLyQVHSUHVHQWDQODVIyUPXODVSDUDODPHGLD\ODGHVYLDFLyQHVWiQGDU % (14.8) (14.9) (14.10) z V mV sV sV B (2n1 # n2) # (2n1 # n2 n1 n2) (n1 n2) 2(n1 n2 1) mV 2n1 # n2 n1 n2 1 E J E M P L O 1 4 . 1 1 PRUEBA DE HIPTESIS DE DOS COLAS PARA ALEATORIEDAD Pon a prueba la hiptesis nula de que la secuencia de datos muestrales en la tabla 14.7 es una secuencia aleatoria 0 respecto a que cada valor de datos sea impar o par. Usa a = 0.10. (Los datos estn en secuencia a travs de las filas.) TABLA 14.7 Datos muestrales para el ejemplo 14.11 [TA14-07] 1 2 3 0 2 4 3 4 8 1 2 1 2 4 3 9 6 2 4 1 5 6 3 3 2 2 1 2 4 2 3 6 3 5 1 7 3 3 0 1 4 4 1 2 7 2 1 7 5 3 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: aleatoriedad de nmeros nones y pares. b. Enunciado de hiptesis: Ho: la secuencia de nmeros nones y pares es aleatoria. Ha: la secuencia no es aleatoria. Paso 2 a. Suposiciones: cada valor de muestra puede clasificarse, como non o como par. Seccin 14.4 La prueba de rachas www.fullengineeringbook.net 690 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica b. Estadstico de prueba: V, el nmero de rachas en los datos mues- trales c. Nivel de significancia: a = 0.10 Paso 3 a. Informacin muestral: los datos se proporcionan al comienzo del ejemplo. b. Estadstico de prueba: los datos muestrales, cuando se convierten a "o" para non y "e" para par, se convierten en o e o e e e o e e o e o e e o o e e e o o e o o e e o e e e o e o o o o o o e o e e o e o e o o o o y revelan: no = 26, ne = 24 y 29 rachas, de modo que V = 29. Ahora usa las frmulas (14.8), (14.9) y (14.10) para determinar el estadstico z: : z V mv sv : z 29 25.96 3.49 3.04 3.49 0.87 B (1 248)(1 198) (50)2 # (49) 212.20493 3.49 sv B (2 # 26 # 24) # (2 # 26 # 24 26 24) (26 24)2(26 24 1) sv B (2n1 # n2) # (2n1 # n2 n1 n2) (n1 n2)2(n1 n2 1) mv 2n1 # n2 n1 n2 1: mv 2 # 26 # 24 26 24 1 24.96 1 25.96 Paso 4 La distribucin de probabilidad: '* \ ;3 0 0.87 valor p z 1 2 @ ~ @ ; ~ @ W>;>\ @ ;@ 3DUDLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVFRQVXOWDODSiJLQD @ " a J$ * \ @ REWLHQHQDSDUWLUGHODWDEOD$ WW 0.87 0 +1.65 z z = 1.65 0.05 0.05 (QODSiJLQDVHSURSRUFLRQDQLQVWUXFFLRQHVHVSHFt @ ^ D]XORVFXURHQODJXUD Paso 5 a. Decisin: rechazar por falla Ho. b. Conclusin: en el nivel de significancia 0.10, es posible rechazar la hiptesis de aleatoriedad y concluir que dichos datos son una secuencia aleatoria. O www.fullengineeringbook.net 691 I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : P R U E B A D E R A C H A S P A R A P O N E R A P R U E B A A L E AT O R I E D A D A R R I B A Y A B A J O D E L A M E D I A N A MINITAB Excel TI-83/84 Plus Escribe el conjunto de datos en C1; luego contina con: Elige: Stat > Nonparametrics > Runs Test Escribe: Variable: C1 Selecciona: Above and below mean > OK o Above and below: Escribe: Median value > OK Los siguientes comandos calculan diferencias entre los valores de datos y la mediana. Cuenta el nmero de rachas creadas por la secuencia de signos + y , para completar la prueba de rachas. Escribe los datos en la columna A; selecciona B1 y contina con: Escribe: = median(A1:A20 o selecciona celdas) > Enter Selecciona la celda C1, luego contina con: Escribe: = A1 'actual B1 median value' (ex. A1 5.5) > Enter Arrastra: Esquina inferior derecha de la celda C1 hacia abajo para obtener otras diferencias Escribe los datos en L1; luego contina con: Resalta: L2 Escribe: L1 median*(L1) (*2nd LIST > MATH > 4:median( ) Elige: PRGM > EXEC > RUNSTEST* Escribe: n1 = # de observaciones con caracterstica particular (ej. abajo mediana) n2 = # de observaciones con otra caracterstica (ej. arriba mediana) V = # of runs *El programa RUNSTEST es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar de www. cengagebrain.com. Consulta la pgina 35 para instrucciones especficas. E J E M P L O A P L I C A D O 1 4 . 1 2 REGLAS DE JUEGOS DE CASINO Muchos juegos de casino se apoyan en nmeros aleatorios generados elec- trnicamente para un juego "justo". He aqu una muestra de las reglas que gobiernan dichos juegos de casino. Estas condiciones se bosquejan en cumplimiento con la Ley de Casinos (Fi1999:355). El propsito de las condi- ciones es garantizar al jugador seguridad en relacin con los casinos y los fabrican- tes de juegos, principalmente en cuanto al engao mediante la manipulacin de los dispositivos de juego. Los dispositivos REQUISITOS EN RELACIN CON LOS DISPOSITIVOS ELECTRNICOS DE JUEGO EN CASINOS INTERNACIONALES Seccin 14.4 La prueba de rachas www.fullengineeringbook.net 692 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica electrnicos de juego utilizados en un ca- sino deben cumplir las especificaciones impuestas en esta regla. Las siguientes condiciones aplican a eventos aleatorios y pruebas aleatorias: a) Un evento aleatorio tiene un conjunto dado de posibles resul- tados que tienen una probabili- dad de ocurrencia dada. b) Dos eventos se llaman indepen- dientes si existen ambas de las siguientes condiciones: i) El resultado de un evento no tiene una influencia sobre el resultado del otro evento. ii) El resultado de un evento no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro evento. c) Un dispositivo electrnico de juego debe estar equipado con un generador de nmeros alea- torios para hacer el proceso de seleccin. Un proceso de selec- cin se considera aleatorio si se cumplen todas las especificacio- nes siguientes: i) El generador de nmeros aleatorios satisface no me- nos de un nivel de confianza de 99% usando pruebas ji cuadradas. ii) El generador de nmeros aleatorios no produce un es- tadstico respecto a produ- cir patrones de ocurrencias. Cada posicin de carrete se considera aleatoria si satis- face no menos del nivel de confianza de 99% respecto a la prueba de rachas o cual- quier patrn similar de esta- dstico de prueba. iii) El generador de nmeros aleatorios produce nme- ros que se eligen de manera independiente sin considera- cin a cualquier otro smbo- lo producido durante dicho juego. Esta prueba es la de correlacin. Cada par de ca- rretes se considera aleatorio si el par de carretes satisface no menos del nivel de con- fianza de 99% usando anli- sis de correlacin estndar. ` * " E J E R C I C I O S S E C C I N 1 4 . 4 14.37 ^ ^ @ " ~ " ^ 14.38 @ " ~ " % ^ 14.39 @ " " $ a a 14.40 " @ ' ~ '^ @ DADOS TRAGAMONEDAS 0 32 15 19 4 2122517346271336113 0 8 2 3 1 0 0 0 5 2 4 1 6 3 3 1201431922182972812 35 3 26 BLACKJACK RULETA www.fullengineeringbook.net 693 ~ ' 6HUHSRUWDURQORVVLJXLHQWHVGDWRV( 0 E 0 0 0 0 E E 0 0 0 E E 0 8VD ODSUXHEDGH UDFKDVHQXQQLYHOGH VLJQLFDQFLDGH SDUDSRQHUDSUXHEDODDUPDFLyQGHTXHORVUHVXOWDGRVUHSRU 14.41 ~ @ M M F M F F M M M M M M F M M F M M M M (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDa " 14.42 ^ "~ " w w w w h w h h h h w w w w w h h w w w h h h h w h h w a 14.43 $XQHVWXGLDQWHVHOHSLGLyUHDOL]DUXQH[SHULPHQWRTXH @ ' @ ~ ' ^ \ ' H T H T H T H T H H T T H H T T H T H T H T H T H 8VDODSUXHEDGHUDFKDVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHSDUD SRQHUDSUXHEDODDUPDFLyQGHOHVWXGLDQWHGHTXHORVUHVXOWD 14.44 [EX14-44] ^ " " Minutos 6 1 3 9 10 10 2 5 5 6 12 3 7 8 9 4 5 8 11 14 a HVWRVGDWRVPXHVWUDQVXFLHQWHIDOWDGHDOHDWR ULHGDGSDUDDSR\DUODDUPDFLyQ" 14.45 [EX14-45] @ WRQ WLHQHQXQSURPHGLRGH HVWXGLDQWHVSRU FRPSXWDGRUD " " ^ " 3.5 2.6 3.8 5.7 2.6 3.4 2.7 4.6 3.4 3.6 4.2 3.7 4.6 2.9 a 14.46 [EX14-46] (OGH MXQLRGHOD2FLQDGH(V ^ ^ @ @ @ " ^ \ ^ " ' " @ @ Minutos 50 45 59 50 16 51 34 89 43 63 47 42 46 23 27 39 43 43 12 28 ^ 14.47 [EX14-4] @ " Tiempo muerto 20 33 33 35 36 36 22 22 25 27 30 30 30 31 31 32 32 36 40 40 50 45 45 40 ^ DOWHUQDWLYDGHTXHH[LVWHXQDWHQGHQFLD$FRQWLQXDFLyQVHSUH VHQWDXQDQiOLVLV0,1,7$%GHOQ~PHURGHUDFKDVDUULED\ Prueba rachas: Tiempo muerto Prueba de rachas para tiempo muerto Rachas arriba y abajo K = 32.5 Nmero observado de rachas = 4 Nmero esperado de rachas = 13.0000 12 observaciones arriba K 12 abajo Prueba significativa en 0.0002 D &RQUPDORVYDORUHVUHSRUWDGRVSDUDODPHGLDQD\HOQ~ @ @ ' ^ G &RQVWUX\HXQDJUiFDTXHPXHVWUHORVGDWRVPXHVWUDOHV @ 14.48 'HDFXHUGRFRQXQDQRWDGHSUHQVDGHOGHDJRVWRGH \ ~ ^ @ " ^ LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPFRQWLQ~DHQODSiJLQD Seccin 14.4 La prueba de rachas www.fullengineeringbook.net 694 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica ^ " @ @" a 14.49 [EX14-49] " ^ @ n(ausencias) 5 16 6 9 18 11 16 21 14 17 12 14 10 6 8 12 13 4 5 5 6 1 7 18 26 6 @ a @ ~ ^ 14.50 [EX14-50] $ORVHVWXGLDQWHVHQXQDFODVHGHHVWDGtVWLFD ^ DOHDWRULRV$FDGDHVWXGLDQWHVHOHSLGLyHVFULELUXQVRORGtJLWR '" ODFODVHDYDQ]DQGRODSRUODKDVWDODSDUWHWUDVHUDGHUHFKD 7 4 3 6 9 5 4 4 4 3 6 3 3 7 7 7 6 3 6 7 6 9 6 7 3 7 7 3 4 6 @ a @ ~ ^ 14.51 ~ ^ ~ ^ ~ ^ ^ @ FRQDQ]DGHHQOXJDUGHQLYHOGHVLJQLFDQFLD ^ "~ 14.52 ' @ @ ' FLyQDOHDWRULD\PXHVWUHRDOHDWRULR$XQTXHVHKDFHQWRGRVORV ' ^ ' ' " " " " @ " ^ ' " ^ @ a ' @ @ a@ @ ^ ^ &KDUOHV6SHDUPDQGHVDUUROOyHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRDSULQFLSLRGH 6HWUDWDXQDDOWHUQDWLYDQRSDUDPpWULFDDOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOPRPHQWRSUR " ^ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDUPDQ ^ Coeficiente de correlacin por rangos de Spearman rs 1 6g (di)2 n(n2 1) (14.11) _ @ YDULDUiGHD\VHXVDUiHQJUDQIRUPDFRPRVHXVyHOFRHFLHQWHGHFRUUH ^ 14.5 Correlacin por rangos PTI El subndice s se usa en honor de Spearman, el originador. www.fullengineeringbook.net 695 (OFRHFLHQWHSRUUDQJRVGH6SHDUPDQVHGHQHFRQODIyUPXODFRQUDQJRVGH @ @ +$ ORVGDWRVVRQFXDQWLWDWLYRVFDGDYDULDEOHGHEHFODVLFDUVHSRUVHSDUDGRHQWRQFHVORVUDQ \ ^ "@ ^^ [ Suposiciones para inferencias en torno a la correlacin por rangos Los n pares ordenados de datos forman una muestra aleatoria y las variables son ordina- les o numricas. ^ " ^ FDFLRQHV/DKLSyWHVLVDOWHUQDWLYDSXHGHVHURGHGRVFRODVKD\FRUUHODFLyQRGHXQD ^ @ @ ^ SRQGLHQWHDODDOWHUQDWLYDHVSHFtFDTXHVHHVSHUD3RUHMHPSORVLVRVSHFKDVFRUUHODFLyQ @ ^ '" E J E M P L O 1 4 . 1 3 CLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIN POR RANGOS DE SPEARMAN Considera una situacin hipottica en la que cuatro jueces califican a cinco concursantes en un concurso. Identifica a los jueces como A, B, C y D y a los concursantes como a, b, c, d y e. La tabla 14.8 muestra las clasifica- ciones otorgadas. TABLA 14.8 Clasificaciones para cinco concursantes Juez Juez Concursante A B C D Concursante A B C D a 1 5 1 5 d 4 2 4 4 b 2 4 2 2 e 5 1 5 3 c 3 3 3 1 Cuando se comparan los jueces A y B, se ve que clasificaron a los con- cursantes en el orden exactamente opuesto: desacuerdo perfecto (consulta la tabla 14.9). A partir de trabajo previo con correlacin, se espera que el valor calculado para rs sea exactamente 1 para estos datos. Se tiene: TABLA 14.9 Clasificaciones de A y B Concursante A B di A B (di )2 Concursante A B di A B (di )2 a 1 5 16 d 4 2 2 4 b 2 4 4 e 5 1 4 16 0 4 k c 0 0 0 3 3 c 2 4 rs 1 6 (di)2 n(n2 1) : rs 1 (6)(40) 5(52 1) 1 240 120 1 2 1 Seccin 14.5 Correlacin por rangos www.fullengineeringbook.net 696 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica Cuando se comparan los jueces A y C, se ve que sus clasificaciones de los concursantes son idnticas (consulta la tabla 14.10). Podras esperar en- contrar un coeficiente de correlacin calculado de +1 para estos datos: TABLA 14.10 Clasificaciones de A y C Concursante di A C (di)2 Concursante A C A C di A C (di )2 a 1 1 0 0 d 4 4 0 0 b 2 2 0 0 e 5 5 0 0 0 k c 0 0 0 3 3 c rs 1 6 (di )2 n(n2 1) : rs 1 (6)(0) 5(52 1) 1 0 120 1 0 1 Al comparar las clasificaciones del juez A con las del juez B y luego con las del juez C, se ven los extremos: total acuerdo y total desacuerdo. Ahora compara las clasificaciones del juez A con las del juez D (consulta la tabla 14.11). Aqu no parece haber un acuerdo o un descuerdo real. Calcula rs: TABLA 14.11 Clasificaciones de A y D Concursante di A D (d i )2 Concursante A D A D di A D (d i )2 a 1 5 16 d 4 4 0 0 b 2 2 0 0 e 5 3 2 4 4 2 k c 0 4 2 1 3 c 4 rs 1 6 (di )2 n(n2 1) : rs 1 (6)(24) 5(52 1) 1 144 120 1 1.2 0.2 El resultado es bastante cercano a cero, que es lo que se sospechara, pues no hay acuerdo o desacuerdo real. SABAS QUE? Florence Nightingale Fue una estadstica auto- didacta respecto a una misin que caus temor en el parlamento ingls y los generales del ejr- cito britnico. Ella reco- lect datos acerca del tratamiento y atencin de los soldados duran- te la guerra de Crimea que demostr que la ma- yora de las muertes de soldados se debi a en- fermedades contradas en el campo de batalla. Su misin fue forzar a los britnicos a mante- ner hospitales de campo y proporcionar atencin de enfermera y mdica para los soldados en el campo. Suena como a que ella quera una uni- dad MASH. /DSUXHEDGHVLJQLFDQFLDUHVXOWDUiHQXQDIDOODSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXODFXDQGR ~ ' ^ HQFXHQWUHFHUFDGHRGH/RVYDORUHVFUtWLFRVHQODWDEODGHODSpQGLFH%VyORVRQ ORVYDORUHVFUtWLFRVSRVLWLYRV'DGRTXHODKLSyWHVLVQXODHVHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ r 5 ~ ^ @ DGHFXDGR(OVLJQRHVWiGHWHUPLQDGRSRUODDOWHUQDWLYDHVSHFtFDTXHVHWLHQHHQPHQWH &XDQGRVyORKD\SRFRVHPSDWHVHVSUiFWLFDFRP~QXVDUODIyUPXOD$XQFXDQGR @ @ " ^ " ^ ^ &XDQGR RFXUUHQ HPSDWHV HQ DOJ~Q FRQMXQWR GH SDUHV RUGHQDGRV GH FODVLFDFLRQHV @^ " ' " ODS www.fullengineeringbook.net 697 E J E M P L O 1 4 . 1 4 PRUEBA DE HIPTESIS DE UNA COLA Los estudiantes que terminan los exmenes ms rpido que el resto de la clase con frecuencia se consideran los ms inteligentes. La tabla 14.12 pre- senta las calificaciones y el orden de terminacin para 12 estudiantes en un examen reciente de 1 hora. En el nivel 0.01, estos datos apoyan la hiptesis alternativa de que los primeros estudiantes en completar un examen tienen mejores calificaciones? TABLA 14.12 Datos acerca de calificaciones de examen [TA14-12] Orden de terminacin Calificacin examen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 90 78 76 60 92 86 74 60 78 70 68 64 Solucin Paso 1 a. Parmetro de inters: el coeficiente de correlacin por rangos entre la calificacin y el orden de terminacin, rs b. Enunciado de hiptesis: Ho: orden de terminacin no tiene relacin con calificacin del examen. Ha: el primero en terminar tiende a tener calificaciones ms altas. Paso 2 a. Suposiciones: los 12 pares de datos ordenados forman una mues- tra aleatoria; el orden de terminacin es una variable ordinal y la calificacin del examen es numrica. b. Estadstico de prueba: el coeficiente de correlacin por rangos de Spearman, rs c. Nivel de significancia: a = 0.01 para una prueba de una cola. Paso 3 a. Informacin muestral: los datos se proporcionan en la tabla 14.12. b. Calcula el estadstico de prueba: ordena las calificaciones de ma- yor a menor y asigna a la calificacin ms alta el rango nmero 1, como se muestra. (El orden de terminacin ya tiene rango.) 92 90 86 78 78 76 74 70 68 64 60 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 .1 1 5 . 1 1 5 . 4 5 . 4 Las clasificaciones y clculos preliminares se muestran en la tabla 14.13. TABLA 14.13 Clasificaciones de calificaciones de examen y diferencias Orden de terminacin Rango calificacin examen Diferencia (di ) (d i )2 0 0 .1 2 1 5 2 . 6 5 . 5 . 4 2 0 0 . 9 6 3 5 2 . 6 5 5 . 5 . 1 1 4 0 0 . 6 1 4 1 5 0 0 . 9 3 3 6 0 0 . 0 0 7 7 5 2 . 2 1 5 . 5 . 1 1 8 5 2 . 0 2 5 . 4 5 . 4 9 0 0 . 4 2 8 0 1 0 0 . 4 2 9 1 1 0 0 . 4 2 0 1 2 1 0 ck 142.00 3 7 3 2 1 Seccin 14.5 Correlacin por rangos www.fullengineeringbook.net 698 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica J$ SRUUDQJRVGH6SHDUPDQ *@ Z[ " Z @ > FLyQGHODOD @ @ @ DORODUJRGHODOD ^ @ @ >;> *@ ][\ ^ JUDFDGRUDPX\SUREDEOHPHQWHHOODFDOFXODUiHOYDORUSRU WL$FRQWLQXDFLyQVHGHV FULEHQLQVWUXFFLRQHVHVSHFtFDV0,1,7$%\([FHOFDOFXODQXQYDORU @ Al usar la frmula (14.11), se obtiene rs 1 6 (di)2 n(n2 1) :rs 1 (6)(142.0) 12(122 1) 1 852 1 716 1 0.497 0.503 Por tanto, rs = 0.503. Paso 4 La distribucin de probabilidad: Paso 5 a. Decisin: rechazar por falla Ho. b. Conclusin: estos datos muestrales no ofrecen suficiente eviden- cia para concluir que los primeros estudiantes en terminar tienen mejores calificaciones, en el nivel de significancia 0.01. PTI Para comparacin, el ejercicio 14.67 (p. 703) te pide calcular rs con la frmula (3.2). '* " ^ @ @ @ ; $ 0 0.503 valor p +1.0 1.0 rs @ ~ @ ^ a " @ ' >;> @ ;@ ,QVWUXFFLRQHVHVSHFtFDVVLJXHQDHVWHHMHPSOR @ " a J$ * ^ " ^ @ @ " @ ^ a a HQFDGDFROD\ODOD WK 0 0.678 +1.0 1.0 0.01 0.503 rs ^ D]XORVFXURHQODJXUD O www.fullengineeringbook.net 699 I N S T R U C C I O N E S D E T E C N O L O G A : C O E F I C I E N T E D E C O R R E L A C I N P O R R A N G O S D E S P E A R M A N MINITAB Excel TI-83/84 Plus Escribe el conjunto de datos para la primera variable en C1 y los correspondientes valores de datos para la segunda variable en C2; luego contina con: Elige: Data > Rank . . . Escribe: Rango datos en: C1 Almacenar rangos en: C3 > OK Repite los comandos anteriores para los datos en C2 y almacena en C4. Elige: Stat > Basic Statistics > Correlation Escribe: Variables: C3 C4 > OK Escribe el conjunto de datos para la primera variable en la columna A y los correspondientes valores de datos para la segunda variable en la columna B; luego contina con: Elige: Add-Ins > Data Analysis Plus > Correlation (Spearman) Escribe: Rango variable 1: (A1:A10 o selecciona celdas) Rango variable 2: (B1:B10 o selecciona celdas) Selecciona: Labels (si es necesario) Escribe: Alfa: a (ej. 0.05) > OK Escribe el conjunto de datos para la primera variable en L1 y los correspondientes valores de datos para la segunda variable en L2; luego contina con: Elige: PRGM > EXEC > SPEARMAN* Escribe: XLIST: L1 : YLIST: L2 Selecciona: DATA? 1:UNRANKED ALT HYP? 1:RHO > 0 o 2:RHO < 0 o 3:RHO 0 *El programa SPEARMAN es uno de muchos programas que estn disponibles para descargar de www.cengagebrain.com. Consulta la pgina 35 para instrucciones especficas. E J E M P L O A P L I C A D O 1 4 . 1 5 PTI Tanto Excel como TI-83/84 Plus usan la aproximacin normal para completar la prue- ba de correlacin por rangos de Spearman. CORRELACIN DE CALIFICACIONES DE DIFERENTES MATERIAS La siguiente tabla muestra las calificaciones de 10 estudiantes en las materias de lgebra y estadstica. Calcula el valor p para la prueba de correlacin por rangos de Spearman. Bob Daemmrich/The Image WorksSeccin 14.5 Correlacin por rangos Estudiante lgebra Estadstica 1 10 8 2 9 6 3 8 10 4 7 9 5 7 8 6 6 7 7 6 6 8 4 9 9 2 8 10 4 6 www.fullengineeringbook.net 700 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica Estudiante lgebra Estadstica Rango lgebra Rango estadstica 1 10 8 1 5 2 9 6 2 9 3 8 10 3 1 4 7 9 4.5 2.5 5 7 8 4.5 5 6 6 7 6.5 7 7 6 6 6.5 9 8 4 9 8.5 2.5 9 2 8 10 5 10 4 6 8.5 9 Ordenamos por rangos Calculamos el coeficiente de Spearman Para demostrar la hiptesis con nivel de significancia de 0.05 Ho: rs = 0 Hiptesis nula, no existe correlacin de rangos en la poblacin, es decir, no hay correlacin entre las calificaciones de lgebra y las calificaciones de estadstica. H1: rs > 0 Hiptesis alternativa, la correlacin de rangos es positiva, es decir, las calificaciones de lgebra y las calificaciones de estadstica estn correlacionadas. a = 0.05 Nivel de significancia para probar estas hiptesis Encontramos el error estndar srs = 1 vn 1 = 0.333333333 Estandarizando el coeficiente de correlacin de rango = 0.1454545 0.3333333 z = rs 0 srs = 0.436363636 La regin crtica es de una cola ya que Ho se refiere a los valores positivos, puesto que la tabla es de dos colas el valor crtico se localiza en la interseccin de a = 0.1 (a = 0.05), n = 10, que es 0.564, y en este caso el coeficiente Spearman calculado es 0.1454545, que es mucho menor que el de la tabla, entonces no se rechaza la hiptesis nula, es decir no hay correlacin entre las calificaciones de lgebra y las calificaciones de estadstica. estudiante lgebra estadstica rango lgebra rango estadstica d1 2 1 10 8 1 5 4 2 9 9 2 9 7 3 8 10 3 1 2 4 7 9 4.5 2.5 2 5 7 8 4.5 5 0.5 6 6 7 6.5 7 0.5 7 6 6 6.5 9 2.5 8 4 9 8.5 2.5 6 9 2 8 10 5 5 10 4 6 8.5 9 0.5 S di2 i 0.14545 45 coef." Spearman www.fullengineeringbook.net 701 E J E R C I C I O S S E C C I N 1 4 . 5 14.53 ^ ^ @ " D 1RKD\UHODFLyQHQWUHODVGRVFODVLFDFLRQHV @ ^ @ @ @ 14.54 @ " ^ ^ \ ^ @ ^ @ ^ ^ ODYDULDEOH$QRWLHQHHIHFWRVREUHODYDULDEOH% ODYDULDEOH%GLVPLQX\HFRQIRUPHODYDULDEOH$ 14.55 " ^ ^ \ ^ @ ^ a ^ @ a ODYDULDEOH$QRWLHQHHIHFWRVREUHODYDULDEOH% ODYDULDEOH%GLVPLQX\HFRQIRUPHODYDULDEOH$ a 14.56 [EX14-56] " ' \ORVMHIHVPXHVWUDQGLIHUHQFLDVLJQLFDWLYDHQORTXHFDGD " a Componente de satisfaccin laboral Rangos trabajador Total aprecio del trabajo realizado Sentimiento de involucrarse en las cosas Ayuda solidaria en problemas personales Seguridad laboral Buenos salarios Trabajo interesante Promocin y crecimiento en la organizacin Lealtad personal hacia los empleados Buenas condiciones laborales Disciplinar con tacto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rangos jefe 8 10 9 2 1 5 3 6 4 7 Fuente: Philadelphia Inquirer 14.57 [EX14-57] FRQVXPLGRUXVXDOPHQWHRIUHFHQFDOLFDFLRQHVGHWRGRWLSRGH ^ VHSURSRUFLRQDXQDFDOLFDFLyQJOREDO FDOLFyORV ~ ^ ^ " ^ Rango de precio en calle Rango de precio en calle Calificacin global Calificacin global 1 3 6 2 2 4 7 8.5 3 6.5 8 6.5 4 8.5 9 10 5 5 10 1 Fuente: PC World D &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDU PDQSDUDODFDOLFDFLyQJOREDO\HOSUHFLRHQODFDOOHSDUD E 8QSUHFLRPiVDOWRSURGXFHXQDFDOLFDFLyQPiVDOWD" ^ " ^ HQWUHODVFDOLFDFLRQHVJOREDOHVGHORVPRQLWRUHV\VXV @ " ^ @ a 14.58 [EX14-58] ~ @ ^ " # $ WLWXODGR$WHQFLyQDODVDOXGHQHUJtDHQWUHHPSOHRVFDOLHQWHV Empleos universidad comunitaria % Crecimiento Mediana de ingreso 32.4 30.1 28 25.5 25.4 24.8 24.8 5 . 4 2 23.5 15.1 Asistente terapista fsico Higienista dental Tcnico ambiental Tcnico cardiovascular Asistente terapista ocupacional Terapistas de radiacin Ing. Tec. Ambiental Reporteros de juzgado Enfermeras registradas Especialistas en computadoras 0 1 6 5 4 41 360 62 800 38 090 42 300 42 060 66 170 40 560 57 280 68 570 D &ODVLFDHOFUHFLPLHQWRSRUFHQWXDO\ODPHGLDQDGHLQJUH E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDU PDQSDUDODVGRVFODVLFDFLRQHV F (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDGHGHWHUPLQDVLH[LVWH XQDUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQWUHHOFUHFLPLHQWRGHXQHP ^ LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRP Seccin 14.5 Correlacin por rangos www.fullengineeringbook.net 702 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica 14.59 [EX14-59] ^ ^ Edad, x 82 83 64 53 47 50 70 62 34 27 75 28 Concentracin 170 40 64 5 15 5 48 34 3 7 50 10 mineral, y &RQVXOWDODVLJXLHQWHVDOLGD0,1,7$%\YHULFDTXHHOFRH ^ \ Correlations: xRank, yRank Correlation of xRank and yRank 0.753, P-Value 0.005 14.60 [EX14-60] " 7DPELpQVHOHVDFRQVHMDQORVEHQHFLRVGHREWHQHUVXFLHQWH @ {< VRGLR\EUD Sopa Sodio Fibra Sopa Sodio Fibra A 480 12 G 420 2 B 830 0 H 290 4 C 510 1 I 450 10 D 460 5 J 430 6 E 490 3 K 390 9 F 580 7 Fuente: Nutrition Action Healthletter D &ODVLFDODVVRSDVHQRUGHQDVFHQGHQWHVREUHODEDVHGH VXFRQWHQLGRGHVRGLR\EUD0XHVWUDWXVUHVXOWDGRVHQ E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDU PDQSDUDORVGRVFRQMXQWRVGHFODVLFDFLRQHV " VRQPiVDOWRVHQEUD"3RQDSUXHEDODKLSyWHVLVQXODGH TXHQRKD\UHODFLyQHQWUHHOFRQWHQLGRGHEUD\GHVRGLR @" ^ a 14.61 [EX14-61] ' < " ^ UHSRUWyXQDFRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQWUHSURPHGLRGHSXQWRV GHFDOLFDFLyQGHSUHJUDGR*3$\*3$DODJUDGXDFLyQGHXQ " GPA pregrado 3.5 3.1 2.7 3.7 2.5 3.3 3.0 2.9 3.8 3.2 GPA al graduarse 3.4 3.2 3.0 3.6 3.1 3.4 3.0 3.4 3.7 3.8 &DOFXODHOFRHFLHQWHSRUUDQJRVGH6SHDUPDQ\SRQDSUXHED ^ ^ ^ @ XQQLYHOGHVLJQLFDQFLDLJXDOD 14.62 [EX14-62] @ ^ Clasificacin de rendimiento de llegadas en tiempo del principal aero- puerto para el ao hasta octubre de 2009 (porcentaje en tiempo) 1 de enero a 31 de octubre, 2008 1 de enero a 31 de octubre, 2009 Rango % % Rango 1 Salt Lake 84.43 1 Salt Lake 85.63 )C L S ( T U ,y ti C ) C L S ( T U ,y ti C 2 Phoenix, 81.40 2 Chicago, IL 5 1 . 4 8 )W D M ( )X H P ( Z A 3 Chicago, 81.33 3 Phoenix, 83.65 )X H P ( Z A ) W D M ( L I ***Para el resto de los datos, ingresa en cengagebrain.com Fuente: Oficina de Estadsticas de Transporte, datos de en tiempo para aerolneas. (QHOQLYHOGHVLJQLFDQFLDSRQDSUXHEDODDUPDFLyQGH " ^ 14.63 [EX14-63] @ " # $\^ @ ~ ^ @ ~ " @ DxR/DHQFXHVWDSLGLyDORVYLDMHURVFDOLFDUDODVDHUROtQHDV XVDQGRXQDHVFDODGHSXQWRV/DVFDOLFDFLRQHVGHDHUR @ Aerolnea Comodidad Servicio Web Midwest 23 22 18 Virgin America 23 24 23 JetBlue 23 22 22 Alaska 17 20 21 Hawaiian 16 19 19 Continental 15 17 22 Southwest 16 21 23 Frontier 16 18 16 AirTran 14 15 18 9 1 3 1 3 1 a tl e D American 12 13 20 United 12 12 19 US Airways 11 10 15 4 1 0 1 1 1 ti r i p S D &RQVWUX\HXQDQXHYDWDEODTXHFODVLTXHORVSRUFHQWDMHV @ ^ \ @ GHVLJQLFDQFLDGHGHWHUPLQDVLH[LVWHXQDUHODFLyQ @ ^ \ @ GHVLJQLFDQFLDGHGHWHUPLQDVLH[LVWHXQDUHODFLyQ ^ \ @ GHVLJQLFDQFLDGHGHWHUPLQDVLH[LVWHXQDUHODFLyQ @ www.fullengineeringbook.net 703 @ ' 14.64 [EX14-64] \ '^ FRPSUDGRUHVGHFDVDSRUSDUWHGHOD$VRFLDFLyQ1DFLRQDO " " PDQWHV FDOLFDURQ FXiOHV FDUDFWHUtVWLFDV HUDQ GHVHDEOHV \R Esencial Deseable Caracterstica 40 56 44 43 59 55 49 49 46 40 43 48 43 39 47 52 32 42 36 19 16 20 18 12 16 12 7 11 15 6 Cuarto de lavado Clset para ropa de cama Extractor de humo Comedor Alacena a la entrada rea de trabajo aislada Ducha privada Grifos con control de temperatura Tina de hidromasaje Adornos para bao Mosaicos cermicos en muros Aparadores slidos Estudio/biblioteca Chimenea para quemar madera Almacenamiento para uso especial Fuente: Asociacin Nacional de Constructores de Casas 1RHVGHVRUSUHQGHUTXHODVFDOLFDFLRQHVHQODFROXPQDGH " FDOLFDFLRQHVHQODFROXPQDHVHQFLDO1RKD\GXGDDFHUFD GHTXHKD\XQDGLIHUHQFLDHQODVFDOLFDFLRQHVVLQHPEDUJR " ^ " ^ a E 8VDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDUPDQ SDUDSRQHUDSUXHEDODKLSyWHVLVGHTXHODVFDOLFDFLRQHV a ^ 14.65 [EX14-65] " HVVXFLHQWHPHQWH EXHQR SDUD FDOLFDU FRPRFRPSHWHQ @ } FRPSDUyHOSRUFHQWDMHGHHVWXGLDQWHVTXHFDOLFDURQHQ ^ (GXFDWLYR1$(3SRUVXVVLJODVHQLQJOpV\HQYDORUDFLRQHV Valoracin estatal Valoracin NAEP Estado Valoracin estatal Valoracin NAEP Estado AR 41 13 NY 65 22 CT 30 32 NC 84 28 GA 62 18 ND 15 25 ID 16 21 RI 28 23 KS 39 30 SC 24 18 LA 12 14 TX 43 27 MA 40 33 VT 38 29 MI 75 29 WY 27 25 MO 37 23 Fuente: Education Week, http://www.edweek.com ^ FDGHEDUUDVSDUDYLVXDOL]DUFXDOTXLHUUHODFLyQHQWUHODV @ ^ ^ ^ @'" ^ @ ^ G 8VDHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDUPDQ ^ " ^ a 14.66 D ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHODVFDOLFDFLRQHVPHGLDVVRQ VLJQLFDWLYDPHQWHGLIHUHQWHV $TXpFD OLFDFLRQHVPHGLDVVHUHHUH"4XpPHWRGRORJtDSXGR XVDUVHSDUDHVWDEOHFHUHVWDVLJQLFDQFLD" E ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHHODQiOLVLVGHFRUUHODFLyQGH 3HDUVRQPXHVWUDTXHODVFDOLFDFLRQHV90,HQGRV HVWXGLRVHVWXYLHURQVLJQLFDWLYDPHQWHFRUUHODFLRQDGDV F ([SOLFDHOVLJQLFDGRGHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ \ ~ FDWLYR ^ ^ ^ \ 14.67 &RQODIyUPXODFDOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHOD ^ \ S5HFXHUGDTXHODIyUPXODHVHTXLYDOHQWHDOD IyUPXODGHGHQLFLyQ\TXHORVQ~PHURVGHUDQJRGHEHQ ^ " \ 14.68 @ " x 1 2 y 4 1 1 4 1 2 ^ E &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH \ ^ F &DOFXODHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGH3HDUVRQ ^ ^ Repaso del captulo www.fullengineeringbook.net 704 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica Vocabulario y conceptos clave DOHDWRULHGDGS DSUR[LPDFLyQQRUPDOSS FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH 6SHDUPDQS FRUUHFFLyQGHFRQWLQXLGDGS FRUUHODFLyQS GDWRVDSDUHDGRVS HFLHQFLDS SS *S PpWRGRVGHGLVWULEXFLyQOLEUHS PpWRGRVQRSDUDPpWULFRVS PpWRGRVSDUDPpWULFRVS PXHVWUDGHSHQGLHQWHSS PXHVWUDLQGHSHQGLHQWHS S SUXHEDGHUDFKDVS SUXHEDGHOVLJQRS SUXHEDSDUDPpWULFDS "GH0DQQ:KLWQH\S UDFKDS UDQJRS UDQJRVDSDUHDGRVS VXSRVLFLRQHVSS YDULDEOHDOHDWRULDELQRPLDOS Resultados del aprendizaje (QWHQGHUTXHORVPpWRGRVSDUDPpWULFRVVRQPpWRGRVHVWDGtVWLFRVTXHVXSRQHQTXH ^ " ^ (QWHQGHUTXHORVPpWRGRVQRSDUDPpWULFRVPpWRGRVGHGLVWULEXFLyQOLEUHQR ^ ^ (QWHQGHUTXHHOSRGHUGHXQDSUXHEDb ' ^ S S SS Repaso del captulo En retrospectiva ' ~\ GHOXVRGHORVPpWRGRVQRSDUDPpWULFRV\GHSUXHEDVGHVLJQL FDQFLDQRSDUDPpWULFDV HVSHFtFDV WDPELpQGHEHVGDUWH FXHQ " ~ ~ FDStWXORV DQWHULRUHV$KRUDYLVWHYDULDVSUXHEDVPXFKDVGH " @ GHWHUPLQDFLyQGHODSUXHEDHVSHFtFDDXWLOL]DU Imagen copyright MANDY GODBEHEAR, 2009. Usada bajo licen-cia de Shutterstock.com 6WDWLVWLFV &RXUVH0DWH @@ @ ' ^ @ @ " ^ ~ @ ^ FRQFDSDFLGDGHVGHVXEUD\DGR\WRPDGHQRWDV$ORODUJRGH " @ " ^ @ $SSOHWV 6NLOOEXLOGHU _& " } ; | ; __ www.fullengineeringbook.net 705 Ejercicios del captulo 14.69 [EX14-69] " ^ ~ \ \@ ^ QDUPiVDIRQGRODFDOLGDGGHODSUHFLSLWDFLyQHLGHQWLFDUODV ^ ~ @^ ^ " @ @ ~ ' TXtPLFDVPXHVWUHDGDVIXHKLGUyJHQR$FRQWLQXDFLyQVHSUH 7.3 3.3 4.3 4.8 4.5 5.1 5.0 6.7 3.5 6.1 5.1 8.3 4.1 9.7 5.4 3.8 5.8 6.1 5.4 8.8 5.2 7.2 4.9 2.0 3.6 6.3 7.8 5.5 11.1 9.4 5.1 15.2 5.0 9.9 3.8 5.4 7.8 9.4 4.5 10.6 3.6 2.7 10.5 12.4 3.1 2.8 8.7 4.3 8.3 5.9 4.6 6.1 Fuente: U.S. Geological Survey ^" @ HQFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDODPHGLD 14.70 [EX14-70] @ ^ ~ @ ^ ~ ^ /DFODVLFDFLyQGHSHVRSRU,0&HVODVLJXLHQWHEDMRGHSHVR @ ~ IMC 16 50 39 33 33 25 29 30 39 23 21 24 19 28 26 34 19 20 18 21 24 24 20 18 26 22 24 18 25 25 LGHQWLFDHOQRPEUHGHDUFKLYRGHXQDEDVHGHGDWRVHQOtQHDGHXQHMHUFLFLRGLVSRQLEOHDWUDYpVGHFHQJDJHEUDLQFRPEjercicios del captulo (QWHQGHUTXHODHFLHQFLDGHXQDSUXHEDQRSDUDPpWULFDWRPDHQFXHQWDHOSRGHU " (QWHQGHUTXHODSUXHEDGHOVLJQRHVODDOWHUQDWLYDQRSDUDPpWULFDDODSUXHED &DOFXODUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQLQWHUYDORGHFRQDQ]DSDUDXQDPHGLDQDSREOD 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDXQDVRODPHGLDQD ~ @ ~ 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODPHGLDGHGLIHUHQ ~ @ ~ &RPSUHQGHUTXHODSUXHED" @ ~ 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODGLIHUHQFLDHQWUHGRV " ~ @ ~ 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODGLIHUHQFLDHQWUHGRV ^ " ~ @ ~ 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODDOHDWRULHGDGGH " @ " 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODDOHDWRULHGDGGHGDWRV ^ ~ @ ~ (QWHQGHUTXHHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDUPDQHVODDOWHUQDWL YDQRSDUDPpWULFDDOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGH3HDUVRQ 5HDOL]DUGHVFULELUHLQWHUSUHWDUXQDSUXHEDGHKLSyWHVLVSDUDODVLJQLFDQFLDGH FRUUHODFLyQHQWUHGRVYDULDEOHVXVDQGRHOFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRV \ ~ @ ~ SS S(M S(M (-(M (M S(- SS (M www.fullengineeringbook.net 706 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica ~ @ ~ F (QFXHQWUDHOLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHSDUDOD 14.71 [EX14-71] ^ VLJXLHQWHVFDOLFDFLRQHVHQXQH[DPHQ 41 42 48 46 50 54 51 42 51 50 45 42 32 45 43 56 55 47 45 51 60 44 57 57 47 28 41 42 54 48 47 32 D (VWDPXHVWUDSUHVHQWDTXHODFDOLFDFLyQPHGLDQDSDUD HOH[DPHQGLHUHGH"8VDa E (VWDPXHVWUDSUHVHQWDTXHODFDOLFDFLyQPHGLDQDGHO " a 14.72 [EX14-72] " ^ Da Clase 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 a.m. 0 1 3 1 0 2 4 1 3 5 3 2 11 a.m. 1 0 1 0 1 2 3 0 1 3 2 1 ([LVWHVXFLHQWHUD]yQSDUDFRQFOXLUTXHH[LVWHQPiVDXVHQ a 14.73 [EX14-73] ' \ " VXSHUFLHGHODSLVWDWLHQHXQHIHFWRGLUHFWRVREUHODFDQWLGDGGH " " ^ GH\DUGDVHQFDGDXQDGHODVGRVSLVWDV/DSLVWD$ ' @ ~ VLJXLHQWHWDEOD3RQDSUXHEDODDUPDFLyQGHTXHODVXSHUFLHGH Corredor Pista 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 27.7 26.8 27.0 25.5 26.6 27.4 27.2 27.4 25.8 25.1 B 27.0 26.7 25.3 26.0 26.1 25.3 26.7 27.1 24.8 27.1 ^ @ a 14.74 ^ @ GDVDOD]DUWRGDVSUHULHURQODEDUUDGHGXOFH,eVWDHVHYL a " 14.75 @ $ $ XQDPHGLGDOODPDGDFRHFLHQWHGHUXJRVLGDGSDUDJUDQRVGH DUHQDGHFXDU]RWUDVO~FLGR\RSDFR6LW~PLGHVHOFRHFLHQWH "~@ " ' ^ a 14.76 [EX14-76] ' HQGRVJUXSRV LJXDOHV$OJUXSR VH OH LPSDUWLy XQ FXUVRGH DQDWRPtDXVDQGRXQHQIRTXHGHFODVHHVWiQGDU$OJUXSRVHOH ^ " FDFLRQHVQDOHVHQXQH[DPHQDPSOLDGRIXHURQODVVLJXLHQWHV Grupo 1 75 83 60 89 77 92 88 90 55 70 Grupo 2 77 92 90 85 72 59 65 92 90 79 ^ " ~ FRPSXWDGRUDSURGXFHPD\RU ORJUR PHGLGRSRU ODVFDOLFD FLRQHVGHOH[DPHQQDOHQFXUVRVGHDQDWRPtDTXHHOHQIRTXH a 14.77 [EX14-77] ~ ^ ^ @ {$ \ @ ^ @ \ ^" '' @ " ' ^ LQYHVWLJDFLyQGHGRVFRODVHQHOQLYHOGHVLJQLFDQFLD" Grupo normal 35.1 32.9 30.6 30.5 30.9 Grupo afecciones 28.5 29.5 30.7 27.5 28.0 14.78 [EX14-78] " ^ ^ Mtodo 1 17 15 14 18 16 15 17 18 15 14 14 16 15 Mtodo 2 14 14 13 13 15 12 16 14 16 13 14 13 12 15 17 13 ([LVWHVXFLHQWHUD]yQSDUDFRQFOXLUTXHHOPpWRGRUHTXLHUH " ~ @ VLJQLFDQFLD" 14.79 [EX14-79] " ~ ' " " www.fullengineeringbook.net 707 " $PHULFDQDGHTXHVHSUHVHQWDQHQODWDEODDOQDOGHOD @ ^ " @ \OD/LJD$PHULFDQDTXHPXHVWUHQOLJDUHSUHVHQWDGD $R1SRUXQUDQJRGHHTXLSRV " ^ " $PHULFDQDHVPD\RU\HOSURPHGLRGHFDUUHUDVSHU @ VLJQLFDQFLD 14.80 [EX14-80] " \ VHPXHVWUDQHQODVLJXLHQWHWDEOD(OIDEULFDQWH$DUPDORV " ' " DSR\HHVWDDUPDFLyQ A 14.0 12.5 11.5 12.2 12.4 12.3 11.8 11.9 13.7 13.2 B 12.0 12.5 11.6 13.3 13.0 13.0 12.1 12.8 12.2 12.6 ~ ~ " ^ ~ " SURGXFWRGH$HVVXSHULRU"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD ~ ~ ^ ~ " SURGXFWR$HVVXSHULRU"8VDXQQLYHOGHVLJQLFDQFLD H 4XpWHGLFHQDPEDVSUXHEDVDFHUFDGHODDUPDFLyQGH $GHXQSURGXFWRVXSHULRU" 14.81 " n n n d n n n n n d n n n n n n n d n d n n n n ' ^ a 14.82 [EX14-82] $XQSDFLHQWHVHOHGDQGRVGLIHUHQWHVWLSRV @" " FRQWLHQHKLHUUR$OSDFLHQWHVHOHLQVWUX\HDWRPDUODVStOGRUDV @ " ' " @ ~ ^ " @ /RVGDWRVHVWiQDOQDOGHODSiJLQD ([LVWHVXFLHQWHUD]yQSDUDUHFKD]DUODKLSyWHVLVQXODGH " @ @ VLJQLFDQFLD" 14.83 [EX14-83] ~ @ " @ Tabla para ejercicio 14.79 ERA Promedio bateo Equipo LN ERA Promedio bateo Equipo LA Baltimore Orioles 0.268 5.15 Arizona Diamondbacks 0.253 4.42 Boston Red Sox 0.270 4.35 Atlanta Braves 0.263 3.57 Chicago White Sox 0.258 4.14 Chicago Cubs 0.255 3.84 Cleveland Indians 0.264 5.06 Cincinnati Reds 0.247 4.18 Detroit Tigers 0.260 4.29 Colorado Rockies 0.261 4.22 Kansas City Royals 0.259 4.83 Florida Marlins 0.268 4.29 Los Angeles Angels 0.285 4.45 Houston Astros 0.260 4.54 Minnesota Twins 0.274 4.50 Los Angeles Dodgers 0.270 3.41 New York Yankees 0.283 4.26 Milwaukee Brewers 0.263 4.83 Oakland Athletics 0.262 4.26 New York Mets 0.270 4.45 Seattle Mariners 0.258 3.87 Philadelphia Phillies 0.258 4.16 Tampa Bay Rays 0.263 4.33 Pittsburgh Pirates 0.252 4.59 Texas Rangers 0.260 4.38 San Diego Padres 0.242 4.37 Toronto Blue Jays 0.266 4.47 San Francisco Giants 0.257 3.55 St. Louis Cardinals 0.263 3.66 Washington Nationals 0.258 5.00 Fuente: http://mlb.com/ Ejercicios del captulo www.fullengineeringbook.net 708 Captulo 14 Elementos de estadstica no paramtrica Compaa Crecimiento empleos Crecimiento empleos Compaa 23 13 17 23 9 3 15 11 1 122 26 54 34 10 31 48 26 22 24 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fuente: Fortune, "The 100 Best Companies to Work for in America" F /DVFRPSDxtDVFODVLFDGDVPiVDOWRWDPELpQWLHQHQ ^ 14.84 [EX14-84] @ ^ @^ @ ^@ FDVDGDVFODVLFDUXQD OLVWDGHSURJUDPDVUHSUHVHQWD OD FDOLFDFLyQPiVDOWDUHSUHVHQWDODPiVEDMD/RVUDQJRV Programa Rango 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Marido 12 2 6 10 3 11 7 1 9 5 8 4 Esposa 5 4 1 9 3 12 2 8 6 10 7 11 ([LVWH HYLGHQFLD VLJQLFDWLYDGH FRUUHODFLyQQHJDWLYD HQ HO QLYHOGHVLJQLFDQFLD" 14.85 [EX14-85] @ ' PXHVWUDQHQODVLJXLHQWHWDEOD/RVGDWRVSUHVHQWDQVXFLHQWH HYLGHQFLDSDUDMXVWLFDUHOHQXQFLDGRODWHPSHUDWXUDDOWDGH a 14.86 ~~ ^ \ ^ D $TXpVHDSOLFDHOWpUPLQRGHGLVWULEXFLyQOLEUH ^ ^ ~ " ^ Examen de prctica del captulo 3$57(,&RQRFLPLHQWRGHODVGHQLFLRQHV @ @ \ @ " @ 14.1 @ ~ 14.2 ' 14.3 _ 14.4 6LXQHPSDWHRFXUUHHQXQFRQMXQWRGHGDWRVFODVLFD " 14.5 ~ 14.6 @ \ Tabla para el ejercicio 14.82 Da 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Tipo I I N I I N N I N N N N N I I I N I I I I N I I N Tabla para el ejercicio 14.85 Lectura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 De ayer 40 58 46 33 40 51 55 81 85 83 89 64 73 63 46 58 28 69 De hoy 40 56 34 59 46 51 74 77 83 84 85 68 65 60 54 62 34 66 www.fullengineeringbook.net 709 14.7 # @ ~ 14.8 QLYHOGHFRQDQ]D ^ GtVWLFDVHPLGHFRQb 14.9 (OFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQSRUUDQJRVGH6SHDUPDQ @ FRHFLHQWHGHFRUUHOD 14.10 HFLHQFLD ~ " ^ ;^* 14.11 @ ~ ^[PT14-11] Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Antes 148 176 153 116 128 129 120 132 154 Despus 155 178 151 120 130 136 126 128 158 (QFXHQWUD OD HVWLPDFLyQ GHO LQWHUYDOR GH FRQDQ]D GH 14.12 ' VLODGLIHUHQFLDHQJDQDQFLDGHSHVRHVVLJQLFDWLYDHQ a[PT14-12] Dieta A 41 40 36 43 36 43 39 36 24 41 Dieta B 35 34 27 39 31 41 37 34 42 38 14.13 ^ @ @ @ $OPRPHQWRGH ODFRQWUDWDFLyQ ORVQXHYHVHFODVL ~ " @ [PT14-13] a b c d e f g h I Representante de ventas Potencial 2 5 6 1 4 3 9 8 7 Ventas totales 450 410 350 345 330 400 250 310 270 ([LVWHFRUUHODFLyQVLJQLFDWLYDHQHOQLYHO" 14.14 @ " WLUXQSDWUyQHQHORUGHQHQHOTXHOOHJDQDVXRFLQD ORVSUREOHPDVGHGLVFLSOLQDeOKDFHTXHVXVHFUHWDULD UHJLVWUH ORVQLYHOHVGHFDOLFDFLyQGH ORVHVWXGLDQWHV [PT14-14] 9 10 11 9 12 11 9 10 10 11 10 11 10 10 11 12 12 9 9 11 12 10 9 12 10 11 12 11 10 10 (QHOQLYHOH[LVWHHYLGHQFLDVLJQLFDWLYDGHDOHDWR ;^*J 14.15 ~@ ~ ~ ~ 14.16 ^ ^ ^ 14.17 "~ ^ 14.18 "~ ~ ~ 14.19 DUUHJORVGHDVLHQWRVSUHHUHQVXVFOLHQWHV(QXQDSUXH HVVLJQLFDWLYDPHQWHSUHIHULGRFXiOKLSyWHVLVQXOD a. b. c. d. p 0.5 p 0 M 0.5 M 0 ^ Examen de prctica del captulo www.fullengineeringbook.net 710 ` ^ ^ ^ } @ ; [ Apndice A: Conceptos introductorios y lecciones de repaso www.fullengineeringbook.net 711 Apndice B: Tablas TABLA 1 Nmeros aleatorios 10 09 73 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 76 80 95 90 91 17 39 29 27 49 45 37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02 00 82 29 16 65 08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 43 64 35 08 03 36 06 99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 67 43 97 04 43 62 76 59 12 80 79 99 70 80 15 73 61 47 64 03 23 66 53 98 95 11 68 77 12 17 17 68 33 66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85 11 19 92 91 70 31 06 01 08 05 45 57 18 24 06 35 30 34 26 14 86 79 90 74 39 23 40 30 97 32 85 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 66 57 48 18 73 05 38 52 47 18 62 38 85 79 63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 35 75 48 28 46 82 87 09 83 49 12 56 24 73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44 35 27 38 84 35 98 52 01 77 67 14 90 56 86 07 22 10 94 05 58 60 97 09 34 33 50 50 07 39 98 11 80 50 54 31 39 80 82 77 32 50 72 56 82 48 29 40 52 42 01 52 77 56 78 51 83 45 29 96 34 06 28 89 80 83 13 74 67 00 78 18 47 54 06 10 68 71 17 78 17 88 68 54 02 00 86 50 75 84 01 36 76 66 79 51 90 36 47 64 93 29 60 91 10 62 99 59 46 73 48 87 51 76 49 69 91 82 60 89 28 93 78 56 13 68 23 47 83 41 13 65 48 11 76 74 17 46 85 09 50 58 04 77 69 74 73 03 95 71 86 40 21 81 65 44 80 12 43 56 35 17 72 70 80 15 45 31 82 23 74 21 11 57 82 53 14 38 55 37 63 74 35 09 98 17 77 40 27 72 14 43 23 60 02 10 45 52 16 42 37 96 28 60 26 55 69 91 62 68 03 66 25 22 91 48 36 93 68 72 03 76 62 11 39 90 94 40 05 64 18 09 89 32 05 05 14 22 56 85 14 46 42 75 67 88 96 29 77 88 22 54 38 21 45 98 91 49 91 45 23 68 47 92 76 86 46 16 28 35 54 94 75 08 99 23 37 08 92 00 48 80 33 69 45 98 26 94 03 68 58 70 29 73 41 35 54 14 03 33 40 42 05 08 23 41 44 10 48 19 49 85 15 74 79 54 32 97 92 65 75 57 60 04 08 81 22 22 20 64 13 12 55 07 37 42 11 10 00 20 40 12 86 07 46 97 96 64 48 94 39 28 70 72 58 15 63 60 64 93 29 16 50 53 44 84 40 21 95 25 63 43 65 17 70 82 07 20 73 17 90 61 19 69 04 46 26 45 74 77 74 51 92 43 37 29 65 39 45 95 93 42 58 26 05 27 15 47 44 52 66 95 27 07 99 53 59 36 78 38 48 82 39 61 01 18 33 21 15 94 66 94 55 72 85 73 67 89 75 43 87 54 62 24 44 31 91 19 04 25 92 92 92 74 59 73 42 48 11 62 13 97 34 40 87 21 16 86 84 87 67 03 07 11 20 59 25 70 14 66 70 23 52 37 83 17 73 20 88 98 37 68 93 59 14 16 26 25 22 96 63 05 52 28 25 62 04 49 35 24 94 75 24 63 38 24 45 86 25 10 25 61 96 27 93 35 65 33 71 24 72 00 54 99 76 54 64 05 18 81 59 96 11 96 38 96 54 69 28 23 91 23 28 72 95 29 35 96 31 53 07 26 89 80 93 54 33 35 13 54 62 77 97 45 00 24 90 10 33 93 33 59 80 80 83 91 45 42 72 68 42 83 60 94 97 00 13 02 12 48 92 78 56 52 01 06 46 05 88 52 36 01 39 09 22 86 77 28 14 40 77 93 91 08 36 47 70 61 74 29 41 32 17 90 05 97 87 37 92 52 41 05 56 70 70 07 86 74 31 71 57 85 39 41 18 38 69 23 46 14 06 20 11 74 52 04 15 95 66 00 00 18 74 39 24 23 97 11 89 63 38 19 56 54 14 30 01 75 87 53 79 40 41 92 15 85 66 67 43 68 06 84 96 28 52 07 45 15 51 49 38 19 47 60 72 46 43 66 79 45 43 59 04 79 00 33 20 82 66 95 41 94 86 43 19 94 36 16 81 08 51 34 88 88 15 53 01 54 03 54 56 05 01 45 11 76 98 08 62 48 26 45 24 02 84 04 44 99 90 88 96 39 09 47 34 07 35 44 13 18 80 33 18 51 62 32 41 94 15 09 49 89 43 54 85 81 88 69 54 19 94 37 54 87 30 43 80 95 10 04 06 96 38 27 07 74 20 15 12 33 87 25 01 62 52 98 94 62 46 11 71 79 75 24 91 40 71 96 12 82 96 69 86 10 25 91 74 85 22 05 39 00 38 75 95 79 18 63 33 25 37 98 14 50 65 71 31 01 02 46 74 05 45 56 14 27 77 93 89 19 36 Detalles especficos acerca del uso de esta tabla pueden encontrarse en la pgina 20, en el apndice A en cengagebrain.com, o en el Manual de soluciones del estudiante. www.fullengineeringbook.net 712 Apndice B Tablas TABLA 1 (continuacin) Nmeros aleatorios 74 02 94 39 02 77 55 73 22 70 97 79 01 71 19 52 52 75 80 21 80 81 45 17 48 54 17 84 56 11 80 99 33 71 43 05 33 51 29 69 56 12 71 92 55 36 04 09 03 24 11 66 44 98 83 52 07 98 48 27 59 38 17 15 39 09 97 33 34 40 88 46 12 33 56 48 32 47 79 28 31 24 96 47 10 02 29 53 68 70 32 30 75 75 46 15 02 00 99 94 69 07 49 41 38 87 63 79 19 76 35 58 40 44 01 10 51 82 16 15 01 84 87 69 38 09 18 82 00 97 32 82 53 95 27 04 22 08 63 04 83 38 98 73 74 64 27 85 80 44 90 04 58 54 97 51 98 15 06 54 94 93 88 19 97 91 87 07 61 50 68 47 66 46 59 73 18 95 02 07 47 67 72 62 69 62 29 06 44 64 27 12 46 70 18 41 36 18 27 60 75 76 87 64 90 20 97 18 17 49 90 42 91 22 72 95 37 50 58 71 93 82 34 31 78 54 01 64 40 56 66 28 13 10 03 00 68 22 73 98 20 71 45 32 95 07 70 61 78 13 08 35 86 99 10 78 54 24 27 85 13 66 15 88 73 04 61 89 75 53 31 22 30 84 20 28 30 60 32 64 81 33 31 05 91 40 51 00 78 93 32 60 46 04 75 94 11 90 18 40 53 84 08 62 33 81 59 41 36 28 51 21 59 02 90 28 46 66 87 95 77 76 22 07 91 91 75 75 37 41 61 61 36 22 69 50 26 39 02 12 55 78 17 65 14 83 48 34 70 55 89 41 59 26 94 00 39 75 83 91 12 60 71 76 46 48 94 97 23 06 94 54 13 74 08 77 51 30 38 20 86 83 42 99 01 68 41 48 27 74 51 90 81 39 80 72 89 35 55 07 19 50 23 71 74 69 97 92 02 88 55 21 02 97 73 74 28 77 52 51 65 34 46 74 15 21 81 85 93 13 93 27 88 17 57 05 68 67 31 56 07 08 28 50 46 31 85 33 84 52 51 47 46 64 99 68 10 72 36 21 94 04 99 13 45 42 83 60 91 91 08 00 74 54 49 99 55 96 83 31 62 53 52 41 70 69 77 71 28 30 74 81 97 81 42 43 86 07 28 34 33 71 34 80 07 93 58 47 28 69 51 92 66 47 21 58 30 32 98 22 93 17 49 39 72 85 27 48 68 93 11 30 32 92 70 28 83 43 41 37 73 51 59 04 00 71 14 84 36 43 84 13 38 96 40 44 03 55 21 66 73 85 27 00 91 61 22 26 05 61 62 32 71 84 23 56 73 21 62 34 17 39 59 61 31 10 12 39 16 22 85 49 65 75 60 81 60 41 88 80 65 13 85 68 06 87 60 88 52 61 34 31 36 58 61 45 87 52 10 69 85 64 44 72 77 38 00 10 21 76 81 71 91 17 11 71 60 29 29 37 74 21 96 40 49 65 58 44 96 98 37 40 29 63 97 01 30 47 75 86 56 27 11 00 86 47 32 46 26 05 40 03 03 74 38 97 12 54 03 48 87 08 33 14 17 21 81 53 92 50 75 23 76 20 47 15 50 12 95 78 21 82 64 11 34 47 14 33 40 72 64 63 88 59 02 49 13 90 64 41 03 85 65 45 52 73 13 54 27 42 95 71 90 90 35 85 79 47 42 96 08 78 98 81 56 64 69 11 92 02 07 63 87 79 29 03 06 11 80 72 96 20 74 41 56 23 82 19 95 38 04 71 36 69 94 60 52 88 34 41 07 95 41 98 14 59 17 52 06 95 05 53 35 21 39 61 21 20 64 55 83 59 63 56 55 06 95 89 29 83 05 12 80 97 19 77 43 35 37 83 92 30 15 04 98 10 85 06 27 46 99 59 91 05 07 13 49 90 63 19 53 07 57 18 39 06 41 01 93 62 39 82 09 89 52 43 62 26 31 47 64 42 18 08 14 43 80 00 93 51 31 02 47 31 67 59 58 00 64 78 75 56 97 88 00 88 83 55 44 86 23 76 80 61 56 04 11 10 84 08 38 50 80 73 41 23 79 34 87 63 90 82 29 70 22 17 71 90 42 07 95 95 44 99 53 30 69 27 06 68 94 68 81 61 27 56 19 68 00 91 82 06 76 34 00 05 46 26 92 00 65 44 39 56 59 18 28 82 74 37 49 63 22 40 41 08 33 76 56 76 96 29 99 08 36 27 26 75 02 64 13 19 27 22 94 07 47 74 46 06 17 98 54 89 11 97 34 13 03 58 91 30 70 69 91 19 07 22 42 10 36 69 95 37 28 28 82 53 57 93 28 97 66 62 52 68 43 49 46 88 84 47 31 36 22 62 12 69 84 08 12 84 38 25 90 09 81 59 31 46 48 90 81 58 77 54 74 52 45 91 35 70 00 47 54 83 82 45 26 92 54 13 05 51 60 06 91 34 51 97 42 67 27 86 01 11 88 30 95 28 63 01 19 89 01 14 97 44 03 44 10 45 51 60 19 14 21 03 37 12 91 34 23 78 21 88 32 58 08 51 43 66 77 08 83 12 88 39 73 43 65 02 76 11 84 04 28 50 13 92 17 97 41 50 77 90 71 22 67 69 21 77 83 09 76 38 80 73 69 61 31 64 94 20 96 63 28 10 20 23 08 81 64 74 49 19 52 35 95 15 65 12 25 96 59 86 28 36 82 58 69 57 21 37 98 16 43 59 15 29 67 24 55 26 70 35 58 31 65 63 79 24 68 66 86 76 46 33 42 22 26 65 59 08 02 60 58 44 73 77 07 50 03 79 92 45 13 42 65 29 26 76 08 36 37 41 32 64 43 44 53 85 34 13 77 36 06 69 48 50 58 83 87 38 59 49 36 47 33 31 96 24 04 36 42 24 63 73 97 36 74 38 48 93 42 52 62 30 79 92 12 36 91 86 01 03 74 28 38 73 83 08 01 24 51 38 99 22 28 15 07 75 95 17 77 97 37 72 75 85 51 97 23 78 67 16 44 42 43 34 36 15 19 90 73 27 49 37 09 39 85 13 03 25 52 54 84 65 47 59 60 79 01 81 57 57 17 86 57 62 11 16 17 85 76 45 81 95 29 79 65 13 00 48 60 Tomado de tablas de la RAND Corporation. Reimpreso de Wilfred J. Dixon y Frank J. Massey, Jr., Introduction to Statistical Analysis, 3a. ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1969), pp. 446-447. Reimpreso con permiso de la RAND Corporation. www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 713 TABLA 2 Probabilidades binomiales P n x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 x 2 0 .980 .902 .810 .640 .490 .360 .250 .160 .090 .040 .010 .002 0 0 1 .020 .095 .180 .320 .420 .480 .500 .480 .420 .320 .180 .095 .020 1 2 0 .002 .010 .040 .090 .160 .250 .360 .490 .640 .810 .902 .980 2 3 0 .970 .857 .729 .512 .343 .216 .125 .064 .027 .008 .001 0 0 0 1 .029 .135 .243 .384 .441 .432 .375 .288 .189 .096 .027 .007 0 1 2 0 .007 .027 .096 .189 .288 .375 .432 .441 .384 .243 .135 .029 2 3 0 0 .001 .008 .027 .064 .125 .216 .343 .512 .729 .857 .970 3 4 0 .961 .815 .656 .410 .240 .130 .062 .026 .008 .002 0 0 0 0 1 .039 .171 .292 .410 .412 .346 .250 .154 .076 .026 .004 0 0 1 2 .001 .014 .049 .154 .265 .346 .375 .346 .265 .154 .049 .014 .001 2 3 0 0 .004 .026 .076 .154 .250 .346 .412 .410 .292 .171 .039 3 4 0 0 0 .002 .008 .026 .062 .130 .240 .410 .656 .815 .961 4 5 0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 0 0 0 0 0 1 .048 .204 .328 .410 .360 .259 .156 .077 .028 .006 0 0 0 1 2 .001 .021 .073 .205 .309 .346 .312 .230 .132 .051 .008 .001 0 2 3 0 .001 .008 .051 .132 .230 .312 .346 .309 .205 .073 .021 .001 3 4 0 0 0 .006 .028 .077 .156 .259 .360 .410 .328 .204 .048 4 5 0 0 0 0 .002 .010 .031 .078 .168 .328 .590 .774 .951 5 6 0 .941 .735 .531 .262 .118 .047 .016 .004 .001 0 0 0 0 0 1 .057 .232 .354 .393 .303 .187 .094 .037 .010 .002 0 0 0 1 2 .001 .031 .098 .246 .324 .311 .234 .138 .060 .015 .001 0 0 2 3 0 .002 .015 .082 .185 .276 .312 .276 .185 .082 .015 .002 0 3 4 0 0 .001 .015 .060 .138 .234 .311 .324 .246 .098 .031 .001 4 5 0 0 0 .002 .010 .037 .094 .187 .303 .393 .354 .232 .057 5 6 0 0 0 0 .001 .004 .016 .047 .118 .262 .531 .735 .941 6 7 0 .932 .698 .478 .210 .082 .028 .008 .002 0 0 0 0 0 0 1 .066 .257 .372 .367 .247 .131 .055 .017 .004 0 0 0 0 1 2 .002 .041 .124 .275 .318 .261 .164 .077 .025 .004 0 0 0 2 3 0 .004 .023 .115 .227 .290 .273 .194 .097 .029 .003 0 0 3 4 0 0 .003 .029 .097 .194 .273 .290 .227 .115 .023 .004 0 4 5 0 0 0 .004 .025 .077 .164 .261 .318 .275 .124 .041 .002 5 6 0 0 0 0 .004 .017 .055 .131 .247 .367 .372 .257 .066 6 7 0 0 0 0 0 .002 .008 .028 .082 .210 .478 .698 .932 7 8 0 .923 .663 .430 .168 .058 .017 .004 .001 0 0 0 0 0 0 1 .075 .279 .383 .336 .198 .090 .031 .008 .001 0 0 0 0 1 2 .003 .051 .149 .294 .296 .209 .109 .041 .010 .001 0 0 0 2 3 0 .005 .033 .147 .254 .279 .219 .124 .047 .009 0 0 0 3 4 0 0 .005 .046 .136 .232 .273 .232 .136 .046 .005 0 0 4 5 0 0 0 .009 .047 .124 .219 .279 .254 .147 .033 .005 0 5 6 0 0 0 .001 .010 .041 .109 .209 .296 .294 .149 .051 .003 6 7 0 0 0 0 .001 .008 .031 .090 .198 .336 .383 .279 .075 7 8 0 0 0 0 0 .001 .004 .017 .058 .168 .430 .663 .923 8 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla, consulta las pginas 250-251. La tabla 2 se gener usando Excel. S Anx B # px # qn xT www.fullengineeringbook.net 714 Apndice B Tablas TABLA 2 (continuacin) Probabilidades binomiales P n x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 x 9 0 .914 .630 .387 .134 .040 .010 .002 0 0 0 0 0 0 0 1 .083 .299 .387 .302 .156 .060 .018 .004 0 0 0 0 0 1 2 .003 .063 .172 .302 .267 .161 .070 .021 .004 0 0 0 0 2 3 0 .008 .045 .176 .267 .251 .164 .074 .021 .003 0 0 0 3 4 0 .001 .007 .066 .172 .251 .246 .167 .074 .017 .001 0 0 4 5 0 0 .001 .017 .074 .167 .246 .251 .172 .066 .007 .001 0 5 6 0 0 0 .003 .021 .074 .164 .251 .267 .176 .045 .008 0 6 7 0 0 0 0 .004 .021 .070 .161 .267 .302 .172 .063 .003 7 8 0 0 0 0 0 .004 .018 .060 .156 .302 .387 .299 .083 8 9 0 0 0 0 0 0 .002 .010 .040 .134 .387 .630 .914 9 10 0 .904 .599 .349 .107 .028 .006 .001 0 0 0 0 0 0 0 1 .091 .315 .387 .268 .121 .040 .010 .002 0 0 0 0 0 1 2 .004 .075 .194 .302 .233 .121 .044 .011 .001 0 0 0 0 2 3 0 .010 .057 .201 .267 .215 .117 .042 .009 .001 0 0 0 3 4 0 .001 .011 .088 .200 .251 .205 .111 .037 .006 0 0 0 4 5 0 0 .001 .026 .103 .201 .246 .201 .103 .026 .001 0 0 5 6 0 0 0 .006 .037 .111 .205 .251 .200 .088 .011 .001 0 6 7 0 0 0 .001 .009 .042 .117 .215 .267 .201 .057 .010 0 7 8 0 0 0 0 .001 .011 .044 .121 .233 .302 .194 .075 .004 8 9 0 0 0 0 0 .002 .010 .040 .121 .268 .387 .315 .091 9 10 0 0 0 0 0 0 .001 .006 .028 .107 .349 .599 .904 10 11 0 .895 .569 .314 .086 .020 .004 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .099 .329 .384 .236 .093 .027 .005 .001 0 0 0 0 0 1 2 .005 .087 .213 .295 .200 .089 .027 .005 .001 0 0 0 0 1 3 0 .014 .071 .221 .257 .177 .081 .023 .004 0 0 0 0 3 4 0 .001 .016 .111 .220 .236 .161 .070 .017 .002 0 0 0 4 5 0 0 .002 .039 .132 .221 .226 .147 .057 .010 0 0 0 5 6 0 0 0 .010 .057 .147 .226 .221 .132 .039 .002 0 0 6 7 0 0 0 .002 .017 .070 .161 .236 .220 .111 .016 .001 0 7 8 0 0 0 0 .004 .023 .081 .177 .257 .221 .071 .014 0 8 9 0 0 0 0 .001 .005 .027 .089 .200 .295 .213 .087 .005 9 10 0 0 0 0 0 .001 .005 .027 .093 .236 .384 .329 .099 10 11 0 0 0 0 0 0 0 .004 .020 .086 .314 .569 .895 11 12 0 .886 .540 .282 .069 .014 .002 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .107 .341 .377 .206 .071 .017 .003 0 0 0 0 0 0 1 2 .006 .099 .230 .283 .168 .064 .016 .002 0 0 0 0 0 2 3 0 .017 .085 .236 .240 .142 .054 .012 .001 0 0 0 0 3 4 0 .002 .021 .133 .231 .213 .121 .042 .008 .001 0 0 0 4 5 0 0 .004 .053 .158 .227 .193 .101 .029 .003 0 0 0 5 6 0 0 0 .016 .079 .177 .226 .177 .079 .016 0 0 0 6 7 0 0 0 .003 .029 .101 .193 .227 .158 .053 .004 0 0 7 8 0 0 0 .001 .008 .042 .121 .213 .231 .133 .021 .002 0 8 9 0 0 0 0 .001 .012 .054 .142 .240 .236 .085 .017 0 9 10 0 0 0 0 0 .002 .016 .064 .168 .283 .230 .099 .006 10 11 0 0 0 0 0 0 .003 .017 .071 .206 .377 .341 .107 11 12 0 0 0 0 0 0 0 .002 .014 .069 .282 .540 .886 12 La tabla 2 se gener usando Excel. S Anx B # px # qn xT www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 715 TABLA 2 (continuacin) Probabilidades binomiales P n x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 x 13 0 .878 .513 .254 .055 .010 .001 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .115 .351 .367 .179 .054 .011 .002 0 0 0 0 0 0 1 2 .007 .111 .245 .268 .139 .045 .010 .001 0 0 0 0 0 2 3 0 .021 .100 .246 .218 .111 .035 .006 .001 0 0 0 0 3 4 0 .003 .028 .154 .234 .184 .087 .024 .003 0 0 0 0 4 5 0 0 .006 .069 .180 .221 .157 .066 .014 .001 0 0 0 5 6 0 0 .001 .023 .103 .197 .209 .131 .044 .006 0 0 0 6 7 0 0 0 .006 .044 .131 .209 .197 .103 .023 .001 0 0 7 8 0 0 0 .001 .014 .066 .157 .221 .180 .069 .006 0 0 8 9 0 0 0 0 .003 .024 .087 .184 .234 .154 .028 .003 0 9 10 0 0 0 0 .001 .006 .035 .111 .218 .246 .100 .021 0 10 11 0 0 0 0 0 .001 .010 .045 .139 .268 .245 .111 .007 11 12 0 0 0 0 0 0 .002 .011 .054 .179 .367 .351 .115 12 13 0 0 0 0 0 0 0 .001 .010 .055 .254 .513 .878 13 14 0 .869 .488 .229 .044 .007 .001 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .123 .359 .356 .154 .041 .007 .001 0 0 0 0 0 0 1 2 .008 .123 .257 .250 .113 .032 .006 .001 0 0 0 0 0 2 3 0 .026 .114 .250 .194 .085 .022 .003 0 0 0 0 0 3 4 0 .004 .035 .172 .229 .155 .061 .014 .001 0 0 0 0 4 5 0 0 .008 .086 .196 .207 .122 .041 .007 0 0 0 0 5 6 0 0 .001 .032 .126 .207 .183 .092 .023 .002 0 0 0 6 7 0 0 0 .009 .062 .157 .209 .157 .062 .009 0 0 0 7 8 0 0 0 .002 .023 .092 .183 .207 .126 .032 .001 0 0 8 9 0 0 0 0 .007 .041 .122 .207 .196 .086 .008 0 0 9 10 0 0 0 0 .001 .014 .061 .155 .229 .172 .035 .004 0 10 11 0 0 0 0 0 .003 .022 .085 .194 .250 .114 .026 0 11 12 0 0 0 0 0 .001 .006 .032 .113 .250 .257 .123 .008 12 13 0 0 0 0 0 0 .001 .007 .041 .154 .356 .359 .123 13 14 0 0 0 0 0 0 0 .001 .007 .044 .229 .488 .869 14 15 0 .860 .463 .206 .035 .005 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .130 .366 .343 .132 .031 .005 0 0 0 0 0 0 0 1 2 .009 .135 .267 .231 .092 .022 .003 0 0 0 0 0 0 2 3 0 .031 .129 .250 .170 .063 .014 .002 0 0 0 0 0 3 4 0 .005 .043 .188 .219 .127 .042 .007 .001 0 0 0 0 4 5 0 .001 .010 .103 .206 .186 .092 .024 .003 0 0 0 0 5 6 0 0 .002 .043 .147 .207 .153 .061 .012 .001 0 0 0 6 7 0 0 0 .014 .081 .177 .196 .118 .035 .003 0 0 0 7 8 0 0 0 .003 .035 .118 .196 .177 .081 .014 0 0 0 8 9 0 0 0 .001 .012 .061 .153 .207 .147 .043 .002 0 0 9 10 0 0 0 0 .003 .024 .092 .186 .206 .103 .010 .001 0 10 11 0 0 0 0 .001 .007 .042 .127 .219 .188 .043 .005 0 11 12 0 0 0 0 0 .002 .014 .063 .170 .250 .129 .031 0 12 13 0 0 0 0 0 0 .003 .022 .092 .231 .267 .135 .009 13 14 0 0 0 0 0 0 0 .005 .031 .132 .343 .366 .130 14 15 0 0 0 0 0 0 0 0 .005 .035 .206 .463 .860 15 La tabla 2 se gener usando Excel. S Anx B # px # qn xT www.fullengineeringbook.net 716 Apndice B Tablas TABLA 3 reas acumuladas de la distribucin normal estndar Las entradas en esta tabla son las probabilidades acumuladas para la distribucin normal estndar z (esto es: la distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1). El rea sombreada bajo la curva de la distribucin normal estndar representa la probabilidad acumulada a la izquierda de un valor z en la cola izquierda. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0000003 0.000003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00011 0.00010 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008 0.0002 0.0002 0.0002 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 0.0082 0.0080 0.0078 0.0076 0.0073 0.0071 0.0070 0.0068 0.0066 0.0064 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 0.0359 0.0352 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 0.1151 0.1131 0.1112 0.1094 0.1075 0.1057 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 0.1587 0.1563 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2297 0.2266 0.2236 0.2207 0.2177 0.2148 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar probabilidades, consulta las pginas 272-274, 292-294; valores p, pginas 375-377. La tabla 3 se gener usando Minitab. 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 5.0 4.5 4.0 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 z Probabilidad acumulada www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 717 TABLA 3 (continuacin) reas acumuladas de la distribucin normal estndar Las entradas en esta tabla son las probabilidades acumuladas para la distribucin normal estndar z (esto es: la distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1). El rea sombreada bajo la curva de la distribucin normal estndar representa la probabilidad acumulada a la izquierda de un valor z en la cola izquierda. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5754 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7258 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.7549 0.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7996 0.8023 0.8051 0.8079 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9700 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 4.5 0.999997 5.0 0.9999997 La tabla 3 se gener usando Minitab. Probabilidad acumulada 0 z www.fullengineeringbook.net 718 Apndice B Tablas TABLA 4 Valores crticos de distribucin normal estndar A SITUACIONES DE UNA COLA Cantidad de A en una cola a 0.25 0.10 0.05 0.025 0.02 0.01 0.005 z(a) 0.67 1.28 1.65 1.96 2.05 2.33 2.58 B SITUACIONES DE DOS COLAS Cantidad de A en dos colas a 0.25 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 z(a/2) 1.15 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 0.75 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 rea en el "centro" Para detalles especficos acerca del uso de la tabla A para encontrar valores crticos, consulta la pgina 393. Para detalles especficos acerca del uso de la tabla B para encontrar coeficientes de confianza, consulta las pginas 348, 350, 356; para valores crticos, consulta las pginas 393, 395-396. TABLA 5 Valores p para distribucin normal estndar z valor p z valor p z valor p z valor p z valor p 0.00 0.5000 0.80 0.2119 1.60 0.0548 2.40 0.0082 3.20 0.0007 0.05 0.4801 0.85 0.1977 1.65 0.0495 2.45 0.0071 3.25 0.0006 0.10 0.4602 0.90 0.1841 1.70 0.0446 2.50 0.0062 3.30 0.0005 0.15 0.4404 0.95 0.1711 1.75 0.0401 2.55 0.0054 3.35 0.0004 0.20 0.4207 1.00 0.1587 1.80 0.0359 2.60 0.0047 3.40 0.0003 0.25 0.4013 1.05 0.1469 1.85 0.0322 2.65 0.0040 3.45 0.0003 0.30 0.3821 1.10 0.1357 1.90 0.0287 2.70 0.0035 3.50 0.0002 0.35 0.3632 1.15 0.1251 1.95 0.0256 2.75 0.0030 3.55 0.0002 0.40 0.3446 1.20 0.1151 2.00 0.0228 2.80 0.0026 3.60 0.0002 0.45 0.3264 1.25 0.1056 2.05 0.0202 2.85 0.0022 3.65 0.0001 0.50 0.3085 1.30 0.0968 2.10 0.0179 2.90 0.0019 3.70 0.0001 0.55 0.2912 1.35 0.0885 2.15 0.0158 2.95 0.0016 3.75 0.0001 0.60 0.2743 1.40 0.0808 2.20 0.0139 3.00 0.0013 3.80 0.0001 0.65 0.2578 1.45 0.0735 2.25 0.0122 3.05 0.0011 3.85 0.0001 0.70 0.2420 1.50 0.0668 2.30 0.0107 3.10 0.0010 3.90 0 0.75 0.2266 1.55 0.0606 2.35 0.0094 3.15 0.0008 3.95 0 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta las pginas 376-378. 1 a 0 z( ) = rea de una cola Ejemplo de una cola: z (A) z (0.05) 1.65 A 0.05 Ejemplo de dos colas: z (A/2) z (0.025) 1.96 A/2 0.025 A 0.05 o 1 A 0.95 0 = rea de dos colas /2 +z ( /2) z ( /2) /2 1 0 z = 2.30 valor p = P(z > 2.30) = 0.0107 @ @ " a @ '" @ @" a @ @ ^ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 719 TABLA 6 Valores crticos de la distribucin t de Student rea en una cola 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 rea en dos colas gl 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 3 0.765 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 4 0.741 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 5 0.727 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 6 0.718 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 7 0.711 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 8 0.706 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 9 0.703 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 10 0.700 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 11 0.697 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 12 0.695 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 13 0.694 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 14 0.692 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 15 0.691 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 16 0.690 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 17 0.689 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 18 0.688 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 19 0.688 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 20 0.687 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 21 0.686 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 22 0.686 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 23 0.685 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 24 0.685 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 25 0.684 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 26 0.684 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 27 0.684 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 28 0.683 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 29 0.683 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 30 0.683 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 35 0.682 1.31 1.69 2.03 2.44 2.72 40 0.681 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 50 0.679 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 70 0.678 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 100 0.677 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 0.675 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 gl 100 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar coeficientes de confianza, consulta las pginas 415-416, 418; valores p, pginas 421-422; valores crticos, pginas 415, 421. La tabla 6 se gener usando Minitab. 0 t(gl, ) = rea de una cola Ejemplo de una cola: gl = 9 y = 0.10 t (gl, ) = t (9, 0.10) = 1.38 0 t(gl, /2) + t (gl, /2) = rea de dos colas /2 /2 Ejemplo de dos colas: gl = 14, = 0.02, 1 = 0.98 t (gl, /2) = t (14, 0.01) = 2.62 @ ^ \ @ www.fullengineeringbook.net 720 Apndice B Tablas TABLA 7 Valores de probabilidad para distribucin t de Student Las entradas en esta tabla son los valores p relacionados con la cola derecha para el valor t calculado para la distribucin t de gl grados de libertad. Grados de libertad t 3 4 5 6 7 8 10 12 15 18 21 25 29 35 gl g 45 0.0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.1 0.463 0.463 0.462 0.462 0.462 0.461 0.461 0.461 0.461 0.461 0.461 0.461 0.461 0.460 0.460 0.2 0.427 0.426 0.425 0.424 0.424 0.423 0.423 0.422 0.422 0.422 0.422 0.422 0.421 0.421 0.421 0.3 0.392 0.390 0.388 0.387 0.386 0.386 0.385 0.385 0.384 0.384 0.384 0.383 0.383 0.383 0.383 0.4 0.358 0.355 0.353 0.352 0.351 0.350 0.349 0.348 0.347 0.347 0.347 0.346 0.346 0.346 0.346 0.5 0.326 0.322 0.319 0.317 0.316 0.315 0.314 0.313 0.312 0.312 0.311 0.311 0.310 0.310 0.310 0.6 0.295 0.290 0.287 0.285 0.284 0.283 0.281 0.280 0.279 0.278 0.277 0.277 0.277 0.276 0.276 0.7 0.267 0.261 0.258 0.255 0.253 0.252 0.250 0.249 0.247 0.246 0.246 0.245 0.245 0.244 0.244 0.8 0.241 0.234 0.230 0.227 0.225 0.223 0.221 0.220 0.218 0.217 0.216 0.216 0.215 0.215 0.214 0.9 0.217 0.210 0.205 0.201 0.199 0.197 0.195 0.193 0.191 0.190 0.189 0.188 0.188 0.187 0.186 1.0 0.196 0.187 0.182 0.178 0.175 0.173 0.170 0.169 0.167 0.165 0.164 0.163 0.163 0.162 0.161 1.1 0.176 0.167 0.161 0.157 0.154 0.152 0.149 0.146 0.144 0.143 0.142 0.141 0.140 0.139 0.139 1.2 0.158 0.148 0.142 0.138 0.135 0.132 0.129 0.127 0.124 0.123 0.122 0.121 0.120 0.119 0.118 1.3 0.142 0.132 0.125 0.121 0.117 0.115 0.111 0.109 0.107 0.105 0.104 0.103 0.102 0.101 0.100 1.4 0.128 0.117 0.110 0.106 0.102 0.100 0.096 0.093 0.091 0.089 0.088 0.087 0.086 0.085 0.084 1.5 0.115 0.104 0.097 0.092 0.089 0.086 0.082 0.080 0.077 0.075 0.074 0.073 0.072 0.071 0.070 1.6 0.104 0.092 0.085 0.080 0.077 0.074 0.070 0.068 0.065 0.064 0.062 0.061 0.060 0.059 0.058 1.7 0.094 0.082 0.075 0.070 0.066 0.064 0.060 0.057 0.055 0.053 0.052 0.051 0.050 0.049 0.048 1.8 0.085 0.073 0.066 0.061 0.057 0.055 0.051 0.049 0.046 0.044 0.043 0.042 0.041 0.040 0.039 1.9 0.077 0.065 0.058 0.053 0.050 0.047 0.043 0.041 0.038 0.037 0.036 0.035 0.034 0.033 0.032 2.0 0.070 0.058 0.051 0.046 0.043 0.040 0.037 0.034 0.032 0.030 0.029 0.028 0.027 0.027 0.026 2.1 0.063 0.052 0.045 0.040 0.037 0.034 0.031 0.029 0.027 0.025 0.024 0.023 0.022 0.022 0.021 2.2 0.058 0.046 0.040 0.035 0.032 0.029 0.026 0.024 0.022 0.021 0.020 0.019 0.018 0.017 0.016 2.3 0.052 0.041 0.035 0.031 0.027 0.025 0.022 0.020 0.018 0.017 0.016 0.015 0.014 0.014 0.013 2.4 0.048 0.037 0.031 0.027 0.024 0.022 0.019 0.017 0.015 0.014 0.013 0.012 0.012 0.011 0.010 2.5 0.044 0.033 0.027 0.023 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.011 0.010 0.010 0.009 0.009 0.008 2.6 0.040 0.030 0.024 0.020 0.018 0.016 0.013 0.012 0.010 0.009 0.008 0.008 0.007 0.007 0.006 2.7 0.037 0.027 0.021 0.018 0.015 0.014 0.011 0.010 0.008 0.007 0.007 0.006 0.006 0.005 0.005 2.8 0.034 0.024 0.019 0.016 0.013 0.012 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004 2.9 0.031 0.022 0.017 0.014 0.011 0.010 0.008 0.007 0.005 0.005 0.004 0.004 0.004 0.003 0.003 3.0 0.029 0.020 0.015 0.012 0.010 0.009 0.007 0.006 0.004 0.004 0.003 0.003 0.003 0.002 0.002 3.1 0.027 0.018 0.013 0.011 0.009 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 3.2 0.025 0.016 0.012 0.009 0.008 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 3.3 0.023 0.015 0.011 0.008 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 3.4 0.021 0.014 0.010 0.007 0.006 0.005 0.003 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 3.5 0.020 0.012 0.009 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 3.6 0.018 0.011 0.008 0.006 0.004 0.004 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0 0 3.7 0.017 0.010 0.007 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0 0 0 3.8 0.016 0.010 0.006 0.004 0.003 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0 0 0 0 3.9 0.015 0.009 0.006 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0 0 0 0 0 4.0 0.014 0.008 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 0 0 0 0 0 0 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta las pginas 421-422. 0 t valor p www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 721 TABLA 8 Valores crticos de la distribucin x2 (ji cuadrada) Las entradas en esta tabla son los valores crticos para la distribucin x2 para los cuales el rea bajo la curva est: a) en la cola derecha, o b) en la cola izquierda (el rea acumulada). Consulta las ilustraciones en la parte inferior de la pgina. a) rea a la derecha 0.995 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 Mediana b) rea a la izquierda (el rea acumulada) gl 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 1 0.0000393 0.000157 0.000982 0.00393 0.0158 0.102 0.455 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 0.211 0.575 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 3 0.0717 0.115 0.216 0.352 0.584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8 4 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9 5 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7 6 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5 7 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3 8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0 9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 11.4 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6 10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.5 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2 11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.7 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8 12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.34 14.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3 13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.34 16.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8 14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.2 13.34 17.1 21.1 23.7 26.1 29.1 31.3 15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.0 14.34 18.2 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8 16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.9 15.34 19.4 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3 17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.8 16.34 20.5 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7 18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 13.7 17.34 21.6 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2 19 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 14.6 18.34 22.7 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6 20 7.43 8.26 9.59 10.9 12.4 15.5 19.34 23.8 28.4 31.4 34.2 37.6 40.0 21 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 16.3 20.34 24.9 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4 22 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 17.2 21.34 26.0 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8 23 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 18.1 22.34 27.1 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2 24 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 19.0 23.34 28.2 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6 25 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 19.9 24.34 29.3 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9 26 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 20.8 25.34 30.4 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3 27 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 21.7 26.34 31.5 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6 28 12.5 13.6 15.3 16.9 18.9 22.7 27.34 32.6 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0 29 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 23.6 28.34 33.7 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3 30 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 24.5 29.34 34.8 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7 40 20.7 22.2 24.4 26.5 29.1 33.7 39.34 45.6 51.8 55.8 59.3 63.7 66.8 50 28.0 29.7 32.4 34.8 37.7 42.9 49.33 56.3 63.2 67.5 71.4 76.2 79.5 60 35.5 37.5 40.5 43.2 46.5 52.3 59.33 67.0 74.4 79.1 83.3 88.4 92.0 70 43.3 45.4 48.8 51.7 55.3 61.7 69.33 77.6 85.5 90.5 95.0 100.4 104.2 80 51.2 53.5 57.2 60.4 64.3 71.1 79.33 88.1 96.6 101.9 106.6 112.3 116.3 90 59.2 61.8 65.6 69.1 73.3 80.6 89.33 98.6 107.6 113.1 118.1 124.1 128.3 100 67.3 70.1 74.2 77.9 82.4 90.1 99.33 109.1 118.5 124.3 129.6 135.8 140.2 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta las pginas 458-461; valores crticos, pginas 454-455. La tabla 8 se gener usando Minitab. 2(gl, rea a la derecha) = 2(28, 0.90) = 18.9 0 0.90 0.10 2(28, 0.90) 2 Ejemplo cola izquierda: Encuentra con gl = 28; rea en cola izquierda = 0.10. 2(gl, rea a la derecha) = 2(23, 0.025) = 38.1 0 0.025 2(23, 0.025) 2 Ejemplo cola derecha: Encuentra con gl = 23; rea en cola derecha = 0.025 www.fullengineeringbook.net 722 Apndice B Tablas TABLA 9A Valores crticos de la distribucin F Grados de libertad para numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161. 200. 216. 225. 230. 234. 237. 239. 241. 242. 2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 10 000 3.84 3.00 2.61 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta la pgina 527; valores crticos, pginas 523-524. La tabla 9A se gener usando Minitab. (a 0.05) Grados de libertad para denominador1 0 = 0.05 F(gln, gld, 0.05) @ @ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 723 TABLA 9A (continuacin) Valores crticos de la distribucin F (a 5 0.05) Grados de libertad para numerador 12 15 20 24 30 40 60 120 10 000 1 244. 246. 248. 249. 250. 251. 252. 253. 254. 2 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 3 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53 4 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63 5 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37 6 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67 7 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23 8 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93 9 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71 10 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54 11 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.41 12 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30 13 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21 14 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13 15 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07 16 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01 17 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96 18 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92 19 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88 20 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84 21 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81 22 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78 23 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76 24 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73 25 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71 30 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62 40 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51 60 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39 120 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.26 10 000 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.40 1.32 1.22 1.03 La tabla 9A se gener usando Minitab. Grados de libertad para denominador www.fullengineeringbook.net 724 Apndice B Tablas TABLA 9B Valores crticos de la distribucin F Grados de libertad para numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 648. 800. 864. 900. 922. 937. 948. 957. 963. 969. 2 38.5 39.0 39.2 39.2 39.3 39.3 39.4 39.4 39.4 39.4 3 17.4 16.0 15.4 15.1 14.9 14.7 14.6 14.5 14.5 14.4 4 12.2 10.6 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.90 8.84 5 10.0 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 6.68 6.62 6 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 7 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 8 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 9 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 10 6.94 5.46 4.83 4.47 4.24 4.07 3.95 3.85 3.78 3.72 11 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 12 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 3.37 13 6.41 4.97 4.35 4.00 3.77 3.60 3.48 3.39 3.31 3.25 14 6.30 4.86 4.24 3.89 3.66 3.50 3.38 3.28 3.21 3.15 15 6.20 4.77 4.15 3.80 3.58 3.41 3.29 3.20 3.12 3.06 16 6.12 4.69 4.08 3.73 3.50 3.34 3.22 3.12 3.05 2.99 17 6.04 4.62 4.01 3.66 3.44 3.28 3.16 3.06 2.98 2.92 18 5.98 4.56 3.95 3.61 3.38 3.22 3.10 3.01 2.93 2.87 19 5.92 4.51 3.90 3.56 3.33 3.17 3.05 2.96 2.88 2.82 20 5.87 4.46 3.86 3.51 3.29 3.13 3.01 2.91 2.84 2.77 21 5.83 4.42 3.82 3.48 3.25 3.09 2.97 2.87 2.80 2.73 22 5.79 4.38 3.78 3.44 3.22 3.05 2.93 2.84 2.76 2.70 23 5.75 4.35 3.75 3.41 3.18 3.02 2.90 2.81 2.73 2.67 24 5.72 4.32 3.72 3.38 3.15 2.99 2.87 2.78 2.70 2.64 25 5.69 4.29 3.69 3.35 3.13 2.97 2.85 2.75 2.68 2.61 30 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 40 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 60 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 120 5.15 3.80 3.23 2.89 2.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 10 000 5.03 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta la pgina 527; valores crticos, pginas 523-524. La tabla 9B se gener usando Minitab. (a 0.025) 1 0 = 0.025 F(gln, gld, 0.025) Grados de libertad para denominador @ @ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 725 TABLA 9B (continuacin) Valores crticos de la distribucin F (a 5 0.025) Grados de libertad para numerador 12 15 20 24 30 40 60 120 10 000 1 977. 985. 993. 997. 1001. 1006. 1010. 1014. 1018. 2 39.4 39.4 39.4 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 3 14.3 14.3 14.2 14.1 14.1 14.0 14.0 13.9 13.9 4 8.75 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.36 8.31 8.26 5 6.52 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.12 6.07 6.02 6 5.37 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.96 4.90 4.85 7 4.67 4.57 4.47 4.42 4.36 4.31 4.25 4.20 4.14 8 4.20 4.10 4.00 3.95 3.89 3.84 3.78 3.73 3.67 9 3.87 3.77 3.67 3.61 3.56 3.51 3.45 3.39 3.33 10 3.62 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.20 3.14 3.08 11 3.43 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.00 2.94 2.88 12 3.28 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.85 2.79 2.73 13 3.15 3.05 2.95 2.89 2.84 2.78 2.72 2.66 2.60 14 3.05 2.95 2.84 2.79 2.73 2.67 2.61 2.55 2.49 15 2.96 2.86 2.76 2.70 2.64 2.59 2.52 2.46 2.40 16 2.89 2.79 2.68 2.63 2.57 2.51 2.45 2.38 2.32 17 2.82 2.72 2.62 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.25 18 2.77 2.67 2.56 2.50 2.44 2.38 2.32 2.26 2.19 19 2.72 2.62 2.51 2.45 2.39 2.33 2.27 2.20 2.13 20 2.68 2.57 2.46 2.41 2.35 2.29 2.22 2.16 2.09 21 2.64 2.53 2.42 2.37 2.31 2.25 2.18 2.11 2.04 22 2.60 2.50 2.39 2.33 2.27 2.21 2.14 2.08 2.00 23 2.57 2.47 2.36 2.30 2.24 2.18 2.11 2.04 1.97 24 2.54 2.44 2.33 2.27 2.21 2.15 2.08 2.01 1.94 25 2.51 2.41 2.30 2.24 2.18 2.12 2.05 1.98 1.91 30 2.41 2.31 2.20 2.14 2.07 2.01 1.94 1.87 1.79 40 2.29 2.18 2.07 2.01 1.94 1.88 1.80 1.72 1.64 60 2.17 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.67 1.58 1.48 120 2.05 1.95 1.82 1.76 1.69 1.61 1.53 1.43 1.31 10 000 1.95 1.83 1.71 1.64 1.57 1.49 1.39 1.27 1.04 La tabla 9B se gener usando Minitab. Grados de libertad para denominador www.fullengineeringbook.net 726 Apndice B Tablas TABLA 9C Valores crticos de la distribucin F Grados de libertad para numerador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4052. 5000. 5403. 5625. 5764. 5859. 5928. 5981. 6022. 6056. 2 98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 3 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.2 4 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.7 14.5 5 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.1 6 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 8 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 9 10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 10 10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.70 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.86 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 10 000 6.64 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta la pgina 527; valores crticos, pginas 523-524. La tabla 9C se gener usando Minitab. (a 0.01) Grados de libertad para denominadorF(gln, gld, 0.01) 1 0 = 0.01 @ @ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 727 TABLA 9C (continuacin) Valores crticos de la distribucin F (a 5 0.01) Grados de libertad para numerador 12 15 20 24 30 40 60 120 10 000 1 6106. 6157. 6209. 6235. 6261. 6287. 6313. 6339. 6366. 2 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 3 27.1 26.9 26.7 26.6 26.5 26.4 26.3 26.2 26.1 4 14.4 14.2 14.0 13.9 13.8 13.7 13.7 13.6 13.5 5 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02 6 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88 7 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65 8 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86 9 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31 10 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91 11 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60 12 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36 13 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17 14 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.01 15 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87 16 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75 17 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65 18 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57 19 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49 20 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42 21 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36 22 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31 23 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21 25 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17 30 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01 40 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80 60 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60 120 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38 10 000 2.19 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.48 1.33 1.05 La tabla 9C se gener usando Minitab. Grados de libertad para denominador www.fullengineeringbook.net 728 Apndice B Tablas TABLA 10 Cinturones de confianza para el coeficiente de correlacin /RVQ~PHURVVREUHODVFXUYDVVRQWDPDxRVPXHVWUDOHV (1 a) 0.95 0.2 34567 8 10 12 15 202550 10 0 20 0 40 0 40 0 20 0 10 0 50 25 20 15 12 10 7 6 5 4 3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 + 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 0 . 1 + 0 1.0 0.8 0.6 0.4 0 + 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.8 +1.0 Escala de r (correlacin muestral) Escala de p (coeficiente de correlacin poblacional)8 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar intervalos de confianza, consulta la pgina 620. www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 729 0 r 1 r /2 1 /2 = rea de dos colas TABLA 11 Valores crticos de r cuando a gl 0.10 0.05 0.02 0.01 1 0.988 0.997 1.000 1.000 2 0.900 0.950 0.980 0.990 3 0.805 0.878 0.934 0.959 4 0.729 0.811 0.882 0.917 5 0.669 0.754 0.833 0.875 6 0.621 0.707 0.789 0.834 7 0.582 0.666 0.750 0.798 8 0.549 0.632 0.715 0.765 9 0.521 0.602 0.685 0.735 10 0.497 0.576 0.658 0.708 11 0.476 0.553 0.634 0.684 12 0.458 0.532 0.612 0.661 13 0.441 0.514 0.592 0.641 14 0.426 0.497 0.574 0.623 15 0.412 0.482 0.558 0.606 16 0.400 0.468 0.543 0.590 17 0.389 0.456 0.529 0.575 18 0.378 0.444 0.516 0.561 19 0.369 0.433 0.503 0.549 20 0.360 0.423 0.492 0.537 25 0.323 0.381 0.445 0.487 30 0.296 0.349 0.409 0.449 35 0.275 0.325 0.381 0.418 40 0.257 0.304 0.358 0.393 45 0.243 0.288 0.338 0.372 50 0.231 0.273 0.322 0.354 60 0.211 0.250 0.295 0.325 70 0.195 0.232 0.274 0.302 80 0.183 0.217 0.256 0.283 90 0.173 0.205 0.242 0.267 100 0.164 0.195 0.230 0.254 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p y valores crticos, consulta las pginas 621-623. r 0 @ a ^ @ a" a ^ www.fullengineeringbook.net 730 Apndice B Tablas TABLA 12 Valores crticos de la prueba del signo a a n 0.01 0.05 0.10 0.25 n 0.01 0.05 0.10 0.25 0 2 9 1 8 1 5 1 1 5 1 1 2 9 1 8 1 6 1 2 5 2 1 2 0 2 8 1 6 1 3 5 0 3 2 2 0 2 9 1 7 1 4 5 0 4 2 2 0 2 9 1 7 1 5 5 0 0 5 6 0 0 1 56 17 20 21 23 7 0 0 1 57 18 20 21 23 8 0 0 1 1 58 18 21 22 24 9 0 1 1 2 59 19 21 22 24 10 0 1 1 2 60 19 21 23 25 11 0 1 2 3 61 20 22 23 25 12 1 2 2 3 62 20 22 24 25 13 1 2 3 3 63 20 23 24 26 14 1 2 3 4 64 21 23 24 26 15 2 3 3 4 65 21 24 25 27 16 2 3 4 5 66 22 24 25 27 17 2 4 4 5 67 22 25 26 28 18 3 4 5 6 68 22 25 26 28 19 3 4 5 6 69 23 25 27 29 20 3 5 5 6 70 23 26 27 29 21 4 5 6 7 71 24 26 28 30 22 4 5 6 7 72 24 27 28 30 23 4 6 7 8 73 25 27 28 31 24 5 6 7 8 74 25 28 29 31 25 5 7 7 9 75 25 28 29 32 26 6 7 8 9 76 26 28 30 32 27 6 7 8 10 77 26 29 30 32 28 6 8 9 10 78 27 29 31 33 29 7 8 9 10 79 27 30 31 33 30 7 9 10 11 80 28 30 32 34 31 7 9 10 11 81 28 31 32 34 32 8 9 10 12 82 28 31 33 35 33 8 10 11 12 83 29 32 33 35 34 9 10 11 13 84 29 32 33 36 35 9 11 12 13 85 30 32 34 36 36 9 11 12 14 86 30 33 34 37 37 10 12 13 14 87 31 33 35 37 38 10 12 13 14 88 31 34 35 38 39 11 12 13 15 89 31 34 36 38 40 11 13 14 15 90 32 35 36 39 41 11 13 14 16 91 32 35 37 39 42 12 14 15 16 92 33 36 37 39 43 12 14 15 17 93 33 36 38 40 44 13 15 16 17 94 34 37 38 40 45 13 15 16 18 95 34 37 38 41 46 13 15 16 18 96 34 37 39 41 47 14 16 17 19 97 35 38 39 42 48 14 16 17 19 98 35 38 40 42 49 15 17 18 19 99 36 39 40 43 50 15 17 18 20 100 36 39 41 44 Tomado de Wilfred J. Dixon y Frank J. Massey, Jr., Introduction to Statistical Analysis, 3a ed. (Nueva York: McGraw-Hill, 1969), p. 509. Reimpreso con permiso. Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla: intervalos de confianza, consulta las pginas 664-665; valores p, pginas 666-667; valores crticos, pgina 666. @ a @ a" @ a ^ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 731 TABLA 13 Valores crticos de U en la prueba de Mann-Whitney A. Las entradas son los valores crticos de U para una prueba de una cola en 0.025 o para una prueba de dos colas en 0.05. n1 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 3 4 0 1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 5 0 1 2 3 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 1 2 3 5 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 1 3 5 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 0 2 4 6 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 0 2 4 7 10 12 15 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 0 3 5 8 11 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113 119 20 2 8 13 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127 B. Las entradas son los valores crticos de U para una prueba de una cola en 0.05 o para una prueba de dos colas en 0.10. n1 n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 2 3 0 0 1 2 2 3 3 4 5 5 6 7 7 8 9 9 10 11 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 5 0 1 2 4 5 6 8 9 11 12 13 15 16 18 19 20 22 23 25 6 0 2 3 5 7 8 10 12 14 16 17 19 21 23 25 26 28 30 32 7 0 2 4 6 8 11 13 15 17 19 21 24 26 28 30 33 35 37 39 8 1 3 5 8 10 13 15 18 20 23 26 28 31 33 36 39 41 44 47 9 1 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 10 1 4 7 11 14 17 20 24 27 31 34 37 41 44 48 51 55 58 62 11 1 5 8 12 16 19 23 27 31 34 38 42 46 50 54 57 61 65 69 12 2 5 9 13 17 21 26 30 34 38 42 47 51 55 60 64 68 72 77 13 2 6 10 15 19 24 28 33 37 42 47 51 56 61 65 70 75 80 84 14 2 7 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 77 82 87 92 15 3 7 12 18 23 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 94 100 16 3 8 14 19 25 30 36 42 48 54 60 65 71 77 83 89 95 101 107 17 3 9 15 20 26 33 39 45 51 57 64 70 77 83 89 96 102 109 115 18 4 9 16 22 28 35 41 48 55 61 68 75 82 88 95 102 109 116 123 19 0 4 10 17 23 30 37 44 51 58 65 72 80 87 94 101 109 116 123 130 20 0 4 11 18 25 32 39 47 54 62 69 77 84 92 100 107 115 123 130 138 Reproducido del Bulletin of the Institute of Educational Research at Indiana University, vol 1, nm. 2; con el permiso del autor y el editor. Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta las pginas 679-680; valores crticos, pgina 679. www.fullengineeringbook.net 732 Apndice B Tablas El menor den1yn2TABLA 14 Valores crticos del nmero total de rachas (V ) El mayor de n1 y n2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 10 10 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 6 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 7 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 16 16 16 7 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 4 8 14 14 15 15 16 16 16 16 17 17 17 17 17 8 8 8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 9 15 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 18 9 8 8 8 8 7 7 7 7 6 6 0 1 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 9 9 9 9 8 8 8 7 7 7 1 1 17 18 19 19 19 20 20 20 21 21 0 1 0 1 9 9 9 8 8 8 7 2 1 19 19 20 20 21 21 21 22 22 0 1 0 1 0 1 0 1 9 9 9 8 3 1 20 20 21 21 22 22 23 23 14 9 9 10 10 10 11 11 21 22 22 23 23 23 24 15 10 10 11 11 11 12 22 23 23 24 24 25 16 11 11 11 12 12 23 24 25 25 25 17 11 12 12 13 25 25 26 26 18 12 13 13 26 26 27 19 13 13 27 27 20 14 28 Tomado de C. Eisenhart y F. Sweed, "Tables for testing randomness of grouping in a sequence of alternatives", Annals of Statistics, vol. 14 (1943): 66-87. Reimpreso con permiso. Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta las pginas 688-689; valores crticos, pgina 688. @ a 5 a 5^ @ @ ^'" ^ www.fullengineeringbook.net Apndice B Tablas 733 TABLA 15 Valores crticos de coeficiente de correlacin por rangos de Spearman n a 0.10 a 0.05 a 0.02 a 0.01 5 0.900 6 0.829 0.886 0.943 7 0.714 0.786 0.893 0.929 8 0.643 0.738 0.833 0.881 9 0.600 0.700 0.783 0.833 10 0.564 0.648 0.745 0.794 11 0.536 0.618 0.709 0.755 12 0.503 0.587 0.678 0.727 13 0.484 0.560 0.648 0.703 14 0.464 0.538 0.626 0.679 15 0.446 0.521 0.604 0.654 16 0.429 0.503 0.582 0.635 17 0.414 0.485 0.566 0.615 18 0.401 0.472 0.550 0.600 19 0.391 0.460 0.535 0.584 20 0.380 0.447 0.520 0.570 21 0.370 0.435 0.508 0.556 22 0.361 0.425 0.496 0.544 23 0.353 0.415 0.486 0.532 24 0.344 0.406 0.476 0.521 25 0.337 0.398 0.466 0.511 26 0.331 0.390 0.457 0.501 27 0.324 0.382 0.448 0.491 28 0.317 0.375 0.440 0.483 29 0.312 0.368 0.433 0.475 30 0.306 0.362 0.425 0.467 0 rs 1 rs 1 /2 /2 = rea de dos colas @ a @ a" @ a ^ Tomado de Non Parametrics Statistical Methods, Hollander & Wolfe, 2a. ed. Adaptado, en parte, de J. H. Zar Significance testing of the Spearman rank correlation coefficient, Journal of the American Statistical Association 67 (1972): 578-580. Reimpreso con permiso del Journal of the American Statistical Association. Copyright 1972 por la American Statistical Association. Todos los derechos reservados y, en parte, de A. Otten. Nota acerca del coeficiente de correlacin por rangos de Spearman, Journal of the American Statistical Association 68 (1973): 585. Reimpreso con permiso del Journal of the American Statistical Association. Copyright 1973 por la American Statistical Association. Todos los derechos reservados. Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar valores p, consulta la pgina 698; valores crticos, pgina 698. www.fullengineeringbook.net www.fullengineeringbook.net 735 Captulo 1 1.1 \^ " @ " 1.3 " " @ " " @ ^ ~ 1.7 @ 1.9 " " 1.11 "~@ " 1.13 1.15 ' 1.19 ^ ~ @ ^ 1.21 ~ 1.23 @ 1.25 ~ 1.27 @ @ 1.29 @ EQLWD @ 1.31 @ ^ ' ' 1.33 ~ ~ ~ ~ 1.35 ^ ~ ^ @ Respuestas a los ejercicios seleccionados www.fullengineeringbook.net 736 Respuestas a los ejercicios seleccionados 1.37 1.39 @ 1.41 1.43 @ 1.45 @ 1.47 @ 1.51 1.53 ~ 1.55 \ ~ 1.57 1.59 \^ ~ ^ " " " ^ ~ 1.61 D/DVOiPSDUDVXRUHVFHQWHVXVDQKDVWDPHQRV " @ SURPHGLRGHODVOiPSDUDVXRUHVFHQWHVFRPSDFWDV @ " " @ 1.63 GLEXMDJUiFDVLPSULPHFXDGURVFDOFXODHVWDGtVWLFRV 1.65 ~ @ @ 1.67 @ 1.69 ~ ~ @ ~ 1.71 @ @ \SRGUtDQFODVLFDUVH 1.73 @ ^ ^ " ^ Captulo 2 2.3 @ @ @ 2.5 Demasiado formal 15.0% El actual cdigo de vestimenta en mi compaa es . . . Adecuado, 58.0% Demasiado relajado, 27.0% 60 50 40 30 20 10 0 PorcentajeEl actual cdigo de vestimenta en mi compaa es . . . Demasiado relajado 27 Demasiado formal Respuesta 15 Adecuado 58 2.7 110 105 100 95 90 85 80 ConteoPuntos anotados por equipos ganadores Noche de apertura temporada 2008-2009 NBA Boston Chicago Equipo LA Lakers www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 737 b. c. grfica de barras en 'a' d. comienza la escala vertical en cero 2.9 a. b. 2.11 500 400 300 200 100 0 100 80 60 40 20 0 ConteoPorcentajeltimos 500 defectos de camiseta Tamao inadecuado Mala costura Falta botn Fallo tela Defecto Conteo Porcentaje % acum. 258 51.6 51.6 153 30.6 82.2 67 13.4 95.6 22 4.4 100.0 90 86 68 32 14 80 70 60 50 40 30 20 10 0 PorcentajeRegularmente se involucra en limpieza general? Encuesta de 507 hombres y 506 mujeres Mujer Gnero S No Hombre Mujer Hombre 80 70 60 50 40 30 20 10 0 PorcentajeRegularmente se involucra en limpieza general? Resultados de encuesta de 1 013 adultos estadounidenses S 77 23 Resultados No 110 100 90 80 70 60 50 ConteoPuntos anotados por equipos ganadores Noche de apertura temporada 2008-2009 NB Boston Chicago Equipo LA Lakers 2.13 a. b. es una coleccin de varias respuestas; es necesario descomponerla 2.15 a. 150 defectos b. 0.30 c. (56 45 23 12)/150 = 136/150 d. Manchado y raspadura, total 67.3% 2.17 a. b. dormir, ocio y deportes, actividades educativas, trabajo y actividades relacionadas 2.19 2.21 a. b. 72 pulgadas, 86 pulgadas c. 74 pulgadas, 5 jugadores d. columna ms alta Estaturas selecciones primera ronda NBA 2009 Estatura, pulgadas 6 8 4 8 2 8 2 7 78 76 74 80 puntos Puntos anotados por juego por equipo bsquetbol 30 40 50 60 70 80 100 80 60 40 20 0 100 80 60 40 20 0 ConteoPorcentajeMejor contratar a alguien para hacer la limpieza general incluso si ello significa dar: $100.00 29 29.0 29.0 Cena 26 26.0 55.0 Concierto 19 19.0 74.0 Otro 17 17.0 91.0 Viaje fin semana 9 9.0 100.0 Dar Porcentaje Porcentaje % acum. 100 80 60 40 20 0 25 20 15 10 5 0 HorasPorcentajeUso tiempo promedio da semana para estudiantes universitarios 8.3 34.6 34.6 3.9 16.2 50.8 3.2 13.3 64.2 3.0 12.5 76.7 2.3 9.6 86.3 1.5 6.2 92.5 1.0 4.2 96.7 0.8 3.3 100.0 Horas Porcentaje % acum. Categora Do rm ir Oc io y d ep ort es Ac tiv ida de s e du ca tiv as Ot ro Via jar Co me r y be be r As eo Tra ba jo y a cti vid ad es rel ac ion ad as www.fullengineeringbook.net 738 Respuestas a los ejercicios seleccionados 2.23 18.740 18.780 18.820 Longitud global de conmutadores 18.860 longitud 2.25 Puntos anotados por juego 6 6 6 4 5 4 2 1 1 1 8 0 6 1 4 1 3 4 5 6 7 2.27 Tarifa de entrega de Quik Delivery 0 9 8 8 9 1 1 5 8 8 5 8 6 6 8 7 7 8 0 3 1 0 0 5 5 9 6 8 6 0 4 0 2 4 6 7 0 1 8 8 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 2.29 @ ~ ' 2.31 x f 0 2 1 5 2 3 3 0 4 2 @ ^@ 2.33 DJUiFDGHEDUUDV FKLVWRJUDPD 2.35 4 3 2 1 0 FrecuenciaEquipo soccer olmpico femenil EUA 2008 64 65 66 67 68 69 70 Estatura, pulgadas 2.37 Nmero de habitaciones Histograma de nmero de habitaciones 0 2 4 6 8 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 Frecuencia` 2.39 30 20 10 0 FrecuenciaTorneo LPGA en Locust Hill CC 65 75 85 Tarjeta golf 2.41 40 30 20 10 0 FrecuenciaSalario anual ($1 000) 15 25 35 45 55 65 Salario 2.43 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 739 e. 2.45 a. frec: 1, 14, 22, 8, 5, 3, 2 b. 6 c. 27; 24; 30 d. 2.47 a. b. frec: 6, 10, 7, 6, 8, 11, 10, 6 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaEstudiantes 3er grado, prueba fuerza de acondicionamiento fsico 5 2 1 6 6 6 0 1 0 1 11 7 8 7 13 19 Fuerza de acondicionamiento fsico 20 10 0 FrecuenciaRapidez de 55 autos en calle de la ciudad 4 5 2 1 18 24 30 36 42 48 Velocidad 40 30 20 10 0 PorcentajeCalificaciones examen KSW 8 2 0 4 8 12 16 20 24 Calificaciones 0.0 5.0 10.0 Estudiantes 3er grado en escuela elemental Roth 15.0 20.0 25.0 Fuerza de acon- diciona- miento fsico c. frec: 3, 10, 4, 9, 7, 11, 11, 7, 2 d. frec: 3, 13, 13, 15, 17, 3 f. b y c, bimodal; d, sesgada izquierda; los diagra- mas de puntos muestran que la moda es 9; el histograma muestra dos clases modales en 4-7 y 16-22; la moda no est en ninguna clase modal 2.49 a. 1, 9, 10, 12, 4 b. 1 c. 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, d. 2.53 a. Frec. acumulada: 12, 49, 75, 94, 100 35 30 25 20 15 10 5 0 Reporte carbn, nuclear, elctrica y combustibles alternativos Ingreso promedio por kilowatt hora Ingreso Porcentaje9 4 5 6 7 8 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaEstudiantes 3er grado, prueba fuerza de acondicionamiento fsico 5 .7 2 5 .2 3 3 13 17 15 13 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 Fuerza de acondicionamiento fsico 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaEstudiantes 3er grado, prueba fuerza de acondicionamiento fsico 0 7 2 9 3 10 11 11 4 7 6 12 18 24 Fuerza de acondicionamiento fsico www.fullengineeringbook.net 740 Respuestas a los ejercicios seleccionados 16 20 24 28 32 25 20 15 10 5 0 PorcentajeTiempos traslado promedio EUA Encuesta de comunidad estadounidense 2007 Tiempo traslado c. d. $45 000 e. $45 000; son iguales, slo se pregunta de manera diferente 2.55 a. Frec. Rel. Acum.: 0.08, 0.24, 0.40, 0.80, 0.92, 0.98, 1.00 b. c. 7580% 2.57 a. Frec.: 2, 6, 2, 11, 13, 9, 4, 2, 2 b. Frec. Rel.: 0.039, 0.118, 0.039, 0.216, 0.255, 0.176, 0.078, 0.039, 0.039 c. d. Frec. Rel. Acum.: 0.039, 0.157, 0.196, 0.412, 0.667, 0.843, 0.921, 0.960, 0.999 1.0 0.5 0.0 Frec. Rel. Acum.Examen aptitud KSW 0 3 0 10 20 Calificaciones 1.0 0.5 0.0 Frec. Rel. Acum.Salario anual ($1 000) 5 6 5 1 25 35 45 55 Salario anual Datos Caractersticas crticas X lentes de contacto 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036 0.040 0.016 Caractersticas crticas X lentes de contacto Datos Frecuencia0.018 1 0 2 3 4 5 6 0.024 0.030 0.036 0.042 e. f. 25 minutos, aproximadamente 70% de los tiempos de traslado promedio son de menos de 25 minutos 2.59 Una variable cuantitativa resulta en nmeros para los cuales la aritmtica es significativa; para una varia- ble cualitativa, no. 2.61 $102.07 2.63 a. 157.5 b. 94.5 2.65 $635 2.67 3; 73 2.69 a. 36.7 b. 32.5 d. 29.7, 30 e. media 2.71 2 2.73 a. 8.2; 8.5; 9; 8.0 2.75 a. 6.0 b. 3.5; 6.5 c. 7 d. 5.5 2.77 a. 32.2 b. 5.5; 30 c. 34.5 d. 21 2.79 a. 100 80 60 40 20 0 15 20 25 30 35 Frecuencia relativa acumuladaTiempos traslado promedio EUA Tiempo traslado www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 741 0.0 5.0 10.0 Estudiantes 3er grado en escuela elemental Roth 15.0 20.0 25.0 Fuerza de acon- diciona- miento fsico b. 0.0286 c. 13, 0.027 d. 0.029 e. 0.023 f. bimodal 2.81 a. b. sesgado derecha d. 27.05, 25.5 e. mediana, media jalada por pocos valores altos 2.83 a. b. 9 c. d. parece bimodal; 47, 1619. f. No g. La moda es el nico valor de datos; clase modal, grupo de valores de datos 2.85 a. y b. Carreras casa Carreras gira 4.775 4.527 Media Mediana Mximo Mnimo Rango medio 4.735 4.625 5.99 5.14 3.57 4.00 4.78 4.57 c. los equipos anotan ms carreras en casa 10 5 0 FrecuenciaEstudiantes 3er grado, prueba fuerza de acondicionamiento fsico 1 4 7 10 13 16 19 22 25 Fuerza de acondicionamiento fsico Equipo soccer profesional Rochester Raging Rhinos 2010 Edad Frecuencia19 23 27 31 35 1 0 2 3 4 5 6 39 2.87 c. poca diferencia, ms conductores varones, ms conductores mujeres d. e. amontonada f. 0.990 2.89 a. dos diferentes variables b. $5 273.00 c. 12.85% d. Todo lo que se proporciona son valores mnimo y mximo, rango medio. 2.93 a. $4 982 b. 7.5% 2.95 (x ) x n x n ( x/n) x x 0 2.97 a. x/n 25/5; (x )2 46; 11.5 b. x2 171; 11.5 c. igual 2.99 a. 5 b. n 6, x 36, (x )2 16; 3.2 c. 1.8 2.101 a. x/n 104/15; (x )2 42.95; 3.1 b. x2 764; 3.1 c. 1.8 2.103 a. n 6, x 37 116, x2 229 710 344; 22 153.6 b. n 6, x 1 116, x2 318 344; 22 153.6 2.105 a. b. 30.05 c. 9 d. x2 18 209; 7.8 e. 2.8 g. Excepto por el valor x 30, la distribucin parece rectangular. 26 25 32 33 34 30 31 s 2.8 27 28 29 Reclutas polica capacidad ejercicio (minutos) rango 9 x x x # x x 5 6 4 3 2 1 0 FrecuenciaRazn de conductores hombres a conductores mujeres por estado 0.96 0.92 1.00 1.04 1.08 Razn H/M www.fullengineeringbook.net 742 Respuestas a los ejercicios seleccionados 2.107 a. b. sesgada derecha c. 0.2176 d. 0.20 e. 0.52 f. 0.1038 2.109 conjunto 1: 0, 54, 9 conjunto 2: 0, 668, 35 2.111 incorrecto; la desviacin estndar nunca es negativa; error en clculo o error tipogrfico 2.115 a. 44a posicin desde valor Bajo; 7a posicin desde valor Alto b. 10.5o; P20 64; 18o; P35 70 c. 10.5o desde H; P80 = 88.5; 3o desde H; P95 = 95 2.117 a. b. 2o desde L, 17o desde H c. 5o, $36 700 d. 14o, $45 800 2.119 a. 3.8; 5.6 b. 4.7 c. 3.5o, 3.5; 7o, 4.0; 18.5o, 6.9 2.121 100 90 80 70 60 50 40 XSalarios profesores escuela elemental Salario ($100) 0 5 5 0 0 3 450 400 350 500 14 8 10 12 6 2 4 0 FrecuenciaPorcentaje puentes EUA estructuralmente deficientes o funcionalmente obsoletos por estado 0.12 0.24 0.36 0.48 ED/FO* 2.123 a. b. c. resumen 5 nmeros: 8, 40, 57, 86, 100 d. 20, 100 e. Ligeramente sesgada izquierda 2.125 a. b. Stem-and-leaf of On-Time, % N 31 Leaf Unit 1.0 3 2 6 0144 67779 0011112333333444 668 1 1 2 3 7 12 (16) 3 5 5 6 6 7 7 8 8 Rendimiento llegada a tiempo principal aeropuerto A tiempo (%) 5 8 0 8 5 5 70 65 60 75 100 80 60 40 20 0 Tasa graduacin (%)Tasas graduacin para equipos de hombres 2009 Torneo bsquetbol divisin 1 NCAA * Stem-and-Leaf Display: Graduation Rate, % Stem-and-leaf of Graduation Rate, % N 63 Leaf Unit 1.0 8 07 09 0113466788 01225667 0033355677 00347779 017 002666999 122 0000000 1 3 5 15 23 (10) 30 22 19 10 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tasas graduacin equipos hombres 2009 Torneo bsquetbol divisin 1 NCAA Tasas graduacin (%) 4 8 4 1 56 42 28 98 70 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 743 c. 53.5, 76.2, 81.3, 83.9, 88.2 d. 70.7, 74.4 f. slo los ms bajos son pobres g. s, aquellos con los porcentajes ms bajos 2.127 simtrica 2.129 1.67, 0.75 2.131 a. 1.76 b. 0.54 c. 0.42 d. 1.63 2.133 a. 120 b. 144.0 c. 92.0 d. 161.0 2.135 b. 0.03, 0.14, 0.20, 0.30, 0.55 c. 0.22; 0.16 d. 0.75, 1.66, 1.42, 0.22, 3.20 2.137 1.625, 1.2; A 2.139 de 175 a 225 palabras, inclusive. 2.141 Casi todos los datos, 99.7%, yace dentro de 3 desviaciones estndar de la media 2.143 a. 2.5% b. 70.4 a 97.6 horas 2.145 a. 50% b. 0.16 c. 0.84 d. 0.815 2.147 a. al menos 75% b. al menos 89% Porcentajes estatales de puentes deficientes o funcionalmente obsoletos ED/FO* 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 * 90 80 70 60 50 % a tiempoDesempeo llegadas a tiempo principal aeropuerto * * 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaTasas desempleo estatal febrero 2009 8 4 Tasa desempleo 10 12 6 2.149 a. cuando mucho 11% b. cuando mucho 6.25% 2.151 a. al menos 75% b. aproximadamente 95% 2.153 a. c. 7.649, 1.969 d. 5.68 a 9.618, 3.711 a 11.587, 1.742 a 13.556; 66.7%, 98.0%, 100% 2.155 a. Estaturas mejores 100 jugadores ftbol bachillerato EUA 2009 Estatura 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaEstaturas mejores 100 jugadores ftbol bachillerato EUA 2009 70 74 Estatura 76 78 72 www.fullengineeringbook.net 744 Respuestas a los ejercicios seleccionados b. 74.09, 2.292 d. 71.798 a 76.382, 70%; 69.506 a 78.674, 97%; 67.214 a 80.966, 100% e. 70%, 97% y 100% estn de acuerdo f. 97% y 100% satisfacen el teorema 2.159 a. grfica de barras; la edad de una persona se usa para identificar el grupo etreo; la edad no se usa como variable b. Grupos ms pequeos. 18-19 son diferentes tipos de compradores que los de 35-39 aos de edad. 2.167 a. b. 12, 24, 30, 234 2.169 a. 2.171 a. Tomar el dinero 4.0% Caridad 4.0% Comprar cuatro boletos para final 4.0% Ir a Las Vegas 5.0% Ir en un crucero 8.0% Pagar deudas 59.0% Ahorrarlo 16.0% Ganar $1 milln en un pozo de baloncesto de Marzo Loco En qu gastaran primero el dinero los adultos Regla de 10 segundos, 4.0% Regla de 5 segundos, 8.0% Regla de 3 segundos, 10.0% Comes comida que cay al suelo? Reglas de segundos No es seguro, 78.0% 200 150 100 50 0 100 80 60 40 20 0 Nmero (x10 000)Causa de muerte Nmero (x10 000) Porcentaje % Acum. PorcentajeDiagrama de Pareto de causa de muerte CardiopataNeoplasma malignoIctusEnfermedad resp.crnicaDiabetesAccidentesAlzheimerNefritis/nefrosisSepticemiaInfluenza/neumona63.2 34.1 34.1 56.0 30.2 64.3 13.7 7.4 71.6 12.5 6.7 78.4 7.2 3.9 88.8 7.2 3.9 92.7 5.6 3.0 95.7 4.5 2.4 98.2 4.1 2.2 98.2 3.4 1.8 100.0 2.173 a. numrica b. atributo c. numrica d. atributo e. numrica 2.175 a, d, e, f y g aumentan; b y c no cambian 2.177 n 8, x 36.5, x2 179.11 a. 4.56 b. 1.34 c. muy cerca de 4% 2.179 n 118, x 2 364 a. 20.0 b. 59.5o , 17 c. 16 d. 30o, 15; 89o, 21 e. 12o, 14; 113o, 43 2.181 n 25, x 1 997, x2 163 205; 79.9; 12.4 2.183 a. P: industria aerolnea comercial estadounidense; V: 3 estn involucrados; n(reportes), n(pasajeros), n(reportes)/1 000 b. datos, valores de variable c. estadstico, promedio para un mes d. No 2.185 a. 13.15 b. 13.85 c. 15.0 d. 12.95 e. 5.7 f. 25.5o, 10.95; 75.5o, 14,9 g. 12.925 h. 35.5o, 12.05; 64.5o, 14.5 j. l. Longitud Longitudes de 100 truchas, Happy Acres Fisch Hatchery Frec. Rel. Acum.1.0 0.5 0.0 10 11 12 13 14 15 16 20 10 0 FrecuenciaLongitudes de 100 truchas, Happy Acres Fish Hatchery 10 15 10 6 3 4 4 2 9 12 11 23 1 11 13 14 15 Longitud 16 12 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 745 2.187 e. n 48, x 8 503.88; 177.2; 24.5o, 86.3; no moda; 539.425 f. g. NJ, RI, MA, CT, MD; WY, MT, ND, SD, NM 2.189 a. Peso b. 49.215, mediana 49.07, s 1.522, mn 46.22, mx 52.06 c. No f. 57.1, mediana 58, s 2.383, mn 50, mx 61 g. Una bolsa tiene "slo 50" M&M en ella 2.191 a. 0.8 o 0.9 b. 1.6 o 1.7 2.193 Valores z deben cambiar a percentiles; P97, P84, P84, P16, P50 2.195 x 8, x 31 825, x2 126 894 839 a. 3 978.1 b. 203.9 c. 3 570.3 a 4 385.9 2.197 a. Stem-and-leaf of Time (min) N 50 Leaf Unit 1.0 89 134 5777889 11122223 55555566888888 03333 566689 01223 2 5 12 20 (14) 16 11 5 1 2 2 3 3 4 4 5 x x Densidad Densidad de poblacin estatal por milla cuadrada, EUA Frecuencia0 5 10 15 20 0 240 480 720 960 Peso 30 bolsas de M&M's Frecuencia5 4 3 2 1 0 46.046.647.2 47.8 48.449.0 49.650.250.851.452.0 30 bolsas de M&M's Peso 46.2 47.2 48.2 49.2 50.2 51.2 52.2 b. n 50, x 1 810, x2 69 518; 36.2, 35, 35, 35, 35.5, 81.551, 9.03 c. 18, 31, 35, 43, 53 d. entre 18.14 y 54.26 minutos, 98% e. 40 minutos Captulo 3 3.1 a.S b. Un poco 3.3 a. Cuarto Todo Total En el avin de hotel lo dems marginal Cuarto Todo Total En el avin de hotel lo dems marginal Cuarto Todo Total En el avin de hotel lo dems marginal Negocio Descanso 35.5% 9.5% 5.0% 50% 25.0% 16.5% 8.5% 50% b. Negocio Descanso 71.0% 19.0% 10.0% 100% 50.0% 33.0% 17.0% 100% Negocios y el descanso son distribuciones separadas. c. Negocio Descanso 58.7% 36.5% 37.0% 50% 41.3% 63.5% 63.0% 50% Cada categora es una distribucin separada. 3.5 a. Adultos; Gnero; Edad les gustara conservar el resto de su vida b. c. No 3.7 a. 3 350 b. Dos variables, afiliacin poltica y red de televisin; ambas cualitativas c. 880 d. 46.9% e. 19.2% f. 5.9% 35 30 25 20 15 10 5 0 PorcentajeNo quiero crecer 14 510 1520 Edad Hombre Mujer Cdigo gnero 2630 3640 www.fullengineeringbook.net 746 Respuestas a los ejercicios seleccionados 3.9 Este: , ; Oeste: , 3.11 a. b. estaturas de madre ms dispersas c. d. Conforme aumenta la estatura de la madre, aumenta la estatura de la hija. 3.13 estatura, con frecuencia se predice el peso 3.15 a. b. Conforme aumentan las horas de estudio, aumentan las calificaciones de examen 3.17 a. edad, estatura b. c. El crecimiento es arriba o abajo de lo normal. 3.19 3 5 Horas estudiadas frente calificacin examen Calificacin examen1 0 y 7 2 4 Horas estudiadas 6 8 x 100 90 80 70 60 50 Edad = 3 aos, estatura = 87 cm 90 80 70 60 Horas estudiadas frente calificacin examen 1 2 Horas Calificacin3 4 5 66 65 64 63 62 Estaturas madre/hija 61 62 63 Madre Hija64 66 65 67 63.0 64.5 5 . 7 6 0 . 6 6 5 . 1 6 0 . 0 6 Hija Madre Este Oeste Tasas desempleo EUA junio 2009 6.3 7.2 8.1 Tasa 9.0 10.8 9.9 11.7 x 9.00 x 9.287 x 9.65 x 9.438 3.21 a. conforme aumenta la distancia, igual lo hace el tiempo de traslado b. c. s 3.23 a. relacin dbil b. c. no relacin 3.25 a. b. c. El tipo 0 muestra un patrn diferente de los tipos 1 y 2 40 30 20 Experimento de irises de Fisher Longitud ptalo 40 50 60 Longitud spalo Ancho spalo70 80 0 1 2 25 20 15 10 5 0 Experimento de irises de Fisher 10 20 30 Ancho ptalo40 50 60 0 1 2 30 25 20 15 10 5 Estudiantes que se trasladan a clase 0 5 10 Distancia Tiempo15 20 Estadios Grandes Ligas Bisbol Distancia CF (pies) Asientos400 35 000 40 000 45 000 50 000 55 000 410 420 430 440 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 747 d. 3.27 a. Se acerca ms a una lnea recta con una pendiente positiva; b. Se acerca ms a una lnea recta con una pendiente negativa 3.29 muy poca o ninguna correlacin lineal 3.31 a. ; ; b. 0.61 3.33 a. b. c. d. e. 0.95 3.35 a. Manates, botes de motor b. Nmero de registros, muertes manates c. Conforme uno aumenta, el otro tambin SS (xy ) 1 043.237 SS (y) 398.326 SS (x) 3 028.718 40 35 30 25 20 15 10 Suscripciones revistas Federacin Estadounidense de Profesores 20 40 30 50 60 Tasa usual Tu precio70 80 90 SS (xy ) 46 SS (y) 520 SS (x) 10.8 40 30 20 Experimento de irises de Fisher (Los 150) 40 50 60 Longitud spalo Ancho spalo70 80 0 1 2 25 20 15 10 5 0 Experimento de irises de Fisher (Los 150) 10 20 30 Longitud ptalo Ancho ptalo40 50 60 70 0 1 2 3.37 a. cerca de 2/3 de 0.70 b. ; ; ; 0.74 3.39 a. b. de 1/2 a 2/3 c. ; ; ; 0.66 3.41 positivo frente a negativo; cercano a lnea recta, etctera 3.43 a. 0.95 b. 1.00 d. CO2 duplicar 3.45 a. b. S c. ; ; ; d. fuerte correlacin positiva e. no relacin lineal ; poca o ninguna correlacin r 0.15 SS(x) 5 3 794.1; SS(y) 5 48 505.6; SS(xy) 5 2 044.4; 350 300 250 200 150 100 Bebidas deportivas Popular en Inglaterra 60 80 70 90 100 Costo/porcin Energa/porcin110 120 130 r 0.996 SS(xy) 12 264.84 SS(y) 48 505.6 SS(x) 3 125.511 350 300 250 200 150 100 Bebidas deportivas Popular en Inglaterra 20 40 30 50 60 Carbs/porcin Energa/porcin70 80 SS(xy) 62.0 SS(y) 72.10 SS(x) 122 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 Nmero de comerciales TV frente volmenes de ventas 5.0 10.0 7.5 12.5 15.0 Nm. de comerciales TV Unidades vendidas17.5 SS(xy) 31.0 SS(y) 35.333 SS(x) 49.6 www.fullengineeringbook.net 748 Respuestas a los ejercicios seleccionados 3.47 a. b. ni hacia arriba ni hacia abajo; patrn; (29.8, 2.78) de los Knicks est en una categora baja por s misma c. d. S 3.49 No, ambos aumentan durante los meses de clima ms clido 3.51 S 3.53 a. b. El nmero de nios que entr a cuidado sustituto aumenta conforme se aproxima a los aos de adolescencia. c. Parece haber poca o ninguna correlacin lineal. d. no e. entre las edades de 1 y 10, 11 y 15, 16 y 18 3.55 a. ; ; y 64.1 4.26x SS (xy ) 46 SS (x) 10.8 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 Nios que entraron a cuidado sustituto durante 2006 Departamento de Salud y Servicios Humanos, EUA 0 5 10 Edad Nmero15 20 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 Diagrama de dispersin Ej. 3.51 1 2 3 x y4 5 0.261 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 Asociacin Nacional de Bsquetbol Temporada 2008-2009 30 32 34 Minutos/juego Faltas personales/juego36 40 38 b. c. S, conforme aumentan las horas estudiadas, aumenta la calificacin del examen. 3.57 a. ; b. s 3.59 a. lineal b. c. 166.51 d. 264.61 3.61 a. costo cuando no se hacen llamadas de larga distancia b. $1.28 es el aumento para cada llamada adicional de larga distancia. 3.63 a. Para cada aumento en estatura de una pulgada, el peso aumenta en 4.71 libras b. La escala para el eje y comienza en y = 95 y la escala para el eje x comienza en x = 60. 3.65 6.81 o $68 100 3.67 a. $492 411 000 b. $990 241 000 c. $1 488 041 000 3.69 La escala vertical est en x = 58 y no es el eje y. 3.71 a. Los datos yaceran en una lnea recta con pendiente 1.618. b. Los datos estaran dispersos alrededor, mas en general seguiran una trayectoria recta con pendiente 1.618. y 9.55 3.924x SS (xy ) 12 264.84; SS (x) 3 125.511; 350 300 250 200 150 100 Bebidas deportivas Popular en Inglaterra 20 40 30 50 60 Carbs/porcin Energa/porcin70 80 y 47.9 y 28.1 90 85 80 75 70 65 60 Horas estudiadas frente a calificacin examen 1 3 2 4 5 Horas Calificacin www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 749 3.75 a. b. S, conforme aumentan los aos de escolaridad, tam- bin lo hace la mediana de las ganancias semanales. c. 0.997 d. s e. f. Por cada ao adicional de escolaridad, la mediana de los ingresos semanales aumenta $108.25. h. , 0 aos de escolaridad no est en el rango de datos 3.77 a. cantidades crecientes b. c. s d. (Millones de millones de galones) e. Un aumento de $1.33 millones de dlares por cada milln de galones adicionales de agua embotellada vendido 3.79 a. b. S, ambos aumentan linealmente. $ 43 1.33 y 42.8 1.33x 647.25 y 647.25 108.25x $1 300.00 $1 200.00 $1 100.00 $1 000.00 $900.00 $800.00 $700.00 $600.00 $500.00 $400.00 Diagrama de dispersin de mediana de ganancias semanales usuales frente a aos de escolaridad 9 12 15 Mediana ganancias semanales usuales14 11 10 13 16 17 18 13 000 12 000 11 000 10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 El negocio estadounidense de agua embotellada 5 000 7 000 Millones de galones Millones de dlares8 000 0 0 0 0 1 0 0 0 9 0 0 0 6 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 Tiendas 0 1 000 Pies cuadrados (1 000 pies cuadrados) Espacios estacionamiento1 500 0 0 5 2 0 0 0 2 0 0 5 3 000 c. d. Conforme aumenta el tamao de la tienda, tambin lo hace el nmero de espacios de estacionamiento. e. tipo de tienda (por ejemplo, gran tienda de muebles; gran rea, pero requiere menos estacionamiento) f. g. S, ambos aumentan. h. i. j. tipo de tienda y 23 53.13x y 801 5.28x 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 Tiendas 0 1 000 Pies cuadrados (1 000 pies cuadrados) Espacios estacionamiento1 500 0 0 5 2 0 0 0 2 0 0 5 3 000 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 Tiendas 100 Nmero tiendas Espacios estacionamiento150 0 5 2 0 0 2 0 5 300 16 000 14 000 12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 Tiendas 100 Numero tiendas Espacios estacionamiento150 0 5 2 0 0 2 0 5 300 www.fullengineeringbook.net 750 Respuestas a los ejercicios seleccionados k. l. S, ambos aumentan. m. n. 3.83 a. miedo: 138; no miedo: 362 b. Sec. Bach. Bach. Univ. Adulto Sec. Bach. Bach. Univ. Adulto Miedo 7.4% 5.6% 5.0% 5.4% 4.2% No miedo 12.6% 14.4% 15.0% 14.6% 15.8% d. Miedo 26.8% 20.3% 18.1% 19.6% 15.2% No miedo 17.4% 19.9% 20.7% 20.2% 21.8% e. 3.89 a. determina si linealmente relacionado; el resultado es r b. determina la ecuacin de la recta de mejor ajuste; el resultado es la ecuacin Adulto 0 50 100 Univ. Bach. Bach. Grupo etreo Miedo al dentista Porcentaje grupo etreoSec. y 23.50 0.09x 300 250 200 150 100 50 Tiendas 1 000 Pies cuadrados (1 000) Nmero tiendas1 500 500 2 000 2 500 0 3 000 300 250 200 150 100 50 Tiendas 1 000 Pies cuadrados (1 000) Nmero tiendas1 500 500 2 000 2 500 0 3 000 3.91 a. b. ; ; ; c. 3.95 a. b. ; 0.937 c. 3.97 a. b. fuerte linealmente, creciente c. ; ; d. 71F, 91F e. Rango de temperaturas de 70 a 90 F en las noches de verano. y 25.2 3.29x SS(xy) 133.508 SS(x) 40.5573 y 10.34 20.40x SS(xy) 263.1; SS(y) 6 112.9; SS(x) 12.9 y 2.0 0.0x r 0.00 SS(xy) 0.0 SS(y) 4.0 SS(x) 4.0 3 Diagrama de dispersin 2 1 1 2 3 yx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 2 Edad Leucisco nariz negra Longitud3 4 14 70 75 80 85 90 95 15 16 17 18 19 20 El sonido de los grillos chirriantes Chirridos/s Temp. (F) www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 751 3.99 a. b. s c. no d. no una lnea recta e. ; f. muy alargada 3.101 a. Los valores de la ciudad de Nueva York son aproximadamente 4 veces ms grandes. c. d. lineal para la mayor parte e. f. cada 10 millas, aproximadamente 3 estaciones g. h. lineal para la mayor parte i. y 59 3.63x y 4.2 0.335x r 0.914 SS (xy ) 58 002.2 SS (y) 409 446; SS (x) 9 826.96; 50 0 100 200 300 400 500 600 700 75 100 Longitud Cocodrilos en Florida central Peso125 150 160 140 120 100 80 60 40 20 0 Sistemas de Transporte Masivo de EUA 0 100 200 300 50 150 250 Va (millas) Estaciones1 200 1 000 800 600 400 200 0 Sistemas de Transporte Masivo EUA 0 100 200 300 50 150 250 Va (millas) Vehculosj. por cada milla de va, aproximadamente 3 o 4 vehculos k. l. lineal para la mayor parte m. n. Por cada estacin adicional, existe un aumento de 9 vehculos. o. 21 estaciones, 122 a 123 vehculos p. En varias millas, la ordenada al origen tendr varios grados de efecto sobre las respuestas finales. q. 38 estaciones, 304 vehculos 3.103 a. b. patrn lineal global, fuerte relacin positiva, con dos grupos separados c. s d. entre 70 y 90 minutos e. ; ; f. aproximadamente 78 minutos g. muy poco 3.105 ; ; ; 0.9298 Captulo 4 4.1 a. Ms: amarillo, azul y anaranjado; menos: caf, rojo y verde b. No exactamente, pero similar SS(xy ) 14.6 SS (y) 26.8 SS (x) 9.2 y 30.0 11.9x SS (xy ) 578.274 SS (x) 48.3959 y 21.6 9.15x 1 200 1 000 800 600 400 200 0 Sistemas de Transporte Masivo EUA 0 40 80 120 20 60 100 Estaciones Vehculos140 160 0 1 2 Fecha 100 90 80 70 60 50 40 "Viejo Fiel" del Parque Nacional Yellowstone 2.0 3.0 2.5 3.5 4.0 Duracin Interrupcin4.5 50 www.fullengineeringbook.net 752 Respuestas a los ejercicios seleccionados 4.3 5, 6, 6, 9, 8, 6 respectivamente 4.5 4.7 a. 15.4% b. 53.8% c. 46.2% 4.9 a. 0.150 b. 0.206 c. 0.326 d. 0.478 4.11 a. 0.10 b. 0.27 c. 0.49 d. 0.00 4.13 a. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b. 0.1 c. 5/10 = 0.5 4.15 a. 42, 35 b. 77 c. 35/77 d. 77/77 e. 0/77 4.19 ; ; ; ; ; ; ; 4.23 Todos son inadecuados 4.25 a. b. 0.55 c. 0.35 4.27 0.04; 4% 4.29 a. se espera que un 1 ocurra aproximadamente 1/6 del tiempo cuando ruedas un solo dado b. 50% de los lanzamientos se espera que sean caras; el otro 50%, cruces. Defectuoso Usado 1 0 . 0 6 5 . 0 0.39 0.04 Hombre Tipo 1 5 1 5 3 20 30 P(12) 1/36 P(11) 2/36 P(10) 3/36 P(9) 4/36 P(8) 5/36 P(7) 6/36 P(6) 5/36 P(5) 4/36 P (5) 0.225 4.31 a. b. {(H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6), (T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)} 4.35 1/5 4.37 4/5 4.39 a. 1/7 b. 6:1 4.41 a. 39:156 b. 39/195 = 0.20 c. 84:111 d. 84/195 = 0.43 e. clasificar, dos veces ms probable que 1er lugar 4.43 a. aprox. 1:73 b. aprox. 38:3 c. 0.0045 d. 0.048 4.45 a. 70 b. M = 2, D = 20, S = 20,W = 10 c. 0.14 d. 0.43 e. 0.00 f. 0.019 g. 0.17 h. 0.507 4.47 a. probabilidad b. estadstica 4.49 a. estadstica b. probabilidad c. estadstica d. probabilidad 4.51 a. 0.45 b. 0.40 c. 0.55 4.53 a. 0.34 b. 0.38 c. 0.64 d. 0.03 e. 0.92 f. 0.75 g. 0.98 4.55 a. 0.59 b. 0.41 c. 0.35 d. 0.27 e. 0.30 f. 0.60 g. 0.60 h. diferentes formas de plantear la misma pregunta H T 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 753 4.95 a. S b. No c. No d. S e. No f. S g. No 4.97 a. A y C y A y E son mutuamente excluyentes b. 12/36, 11/36, 10/36 4.99 a. s b. s c. no d. 0.516 e. 0.512 f. 0.558 g. 0.721 h. 0.233 i. 0.552 j. 0.014 4.101 0.54 4.103 a. independiente c. independiente e. no independiente b. no independiente b. independiente d. independiente f. no independiente 4.105 0.28 4.107 0.5 4.109 a. 0.12 b. 0.4 c. 0.3 4.111 a. 0.5 b. 0.667 c. No 4.113 a. independiente c. dependiente 4.115 a. 0.51 b. 0.15 c. 0.1326 4.117 a. 0.1225 b. 0.4225 c. 0.0150 4.119 0.4565 4.121 a. 0.36 b. 0.16 c. 0.48 4.123 a. 3/5 b. 0.16, 0.48, 0.36 4.127 a. no puede ocurrir al mismo tiempo b. ocurrencia de uno no tiene efecto sobre la probabilidad del otro c. Mutuamente excluyentes: ya sea que compartan o no elementos comunes; independencia: el efecto que un evento tiene sobre la probabilidad del otro evento 4.129 a. 0.25 b. 0.2 c. 0.6 d. 0.8 e. 0.7 f. No g. No 4.131 a. 0.0 b. 0.7 c. 0.6 d. 0.0 e. 0.5 f. No 4.57 a. Algunas categoras se contaran dos veces. b. 0.10 c. 0.77 d. 0.09 e. 0.36 4.59 a. 0.3 b. 0.22 4.61 0.37 4.63 0.8 4.65 0.2 4.67 0.81 4.69 4% 4.71 0.28 4.73 0.5 4.75 0.098 4.77 0.90 4.79 a. b. 2/5 o 1/5, depende de la primera extraccin c. 0.067 d. 0.067, misma probabilidad 4.81 0.62 4.83 0.133 4.85 a. 0.6 b. 0.7 c. 0.5 4.87 a. 0.4 b. 0.4 4.89 a. No mutuamente excluyentes b. No mutuamente excluyentes c. No mutuamente excluyentes d. Mutuamente excluyentes 4.91 no hay interseccin 4.93 a. 0.7 b. 0.6 c. 0.7 d. 0.0 R 2/6 1/5 4/5 2/5 3/5 2/4 1/3 4/6 1a extraccin 2a extraccin 3a extraccin RR = Gana $2 BBBB = Gana $5 4a extraccin B R B R B R B R B www.fullengineeringbook.net 754 Respuestas a los ejercicios seleccionados 4.169 a. 0.60 b. 0.648 c. 0.710 d. (a) 0.70 (b) 0.784 (c) 0.874 e. (a) 0.90 (b) 0.972 (c) 0.997 f. "mejor" equipo muy probablemente gane ms juegos, mayor diferencia entre equipos 4.171 a. 1/7 b. 1/7 Captulo 5 5.1 a. 22% b. 1 vehculo c. Nmero de vehculos por hogar d. S, los eventos (1, 2, 3, . . . , 8) no se traslapan 5.3 nmero de hermanos x 5 0, 1, 2, 3, . . . , n; duracin de conversacin x 5 0 a ? minutos 5.5 a. discreta, conteo; continua, mensurable b. conteo c. mensurable 5.7 a. nmero de nuevos empleos b. discreta, contable 5.9 distancia, x 5 0 a n, n 5 radio del blanco, continua 5.11 a. cantidad de tiempo empleada por semana en varias actividades b. continua, mensurable 5.13 x 0 1 P(x) 1/2 1/2 5.15 a. eventos nunca traslapan b. todos los resultados se cuentan 5.17 a. P(x) es una funcin de probabilidad x P(x) 1 0.12 2 0.18 3 0.28 4 0.42 b. x P(x) = (x2 + 5)/50, para x = 1, 2, 3, 4 Porcentaje0 10 20 30 40 1 2 3 4 4.133 a. 0.625 b. 0.25 c. No independiente 4.135 a. 0.41 b. 0.007 c. 0.02 d. Sin 4.137 0.300 4.139 a. b. 3/8 c. 7/8 4.141 7/8 4.143 a. 0.40 b. 0.49 c. 0.06 d. 0.82 e. 0.40 f. 0.45 4.145 a. Brasil, Espaa, India, etctera b. 'con base en pases incluidos' c. 44% d. 0.44 e. misma pregunta, respuesta en formato diferente 4.147 4.149 a. 0.30 b. 0.60 c. 0.10 d. 0.60 e. 0.333 f. 0.25 4.151 a. 0.3168 b. 0.4659 c. No d. No e. "candidato quiere empleo" y "RJB quiere candidato" podran no ocurrir ambos. 4.153 a. 0.429 b. 0.476 c. 0.905 4.155 a. 0.531 b. 0.262 c. 0.047 4.157 a. 0.508 b. 0.202 c. 0.334 d. 0.563 e. 0.194 f. 0.499 g. complementos 4.159 a. Falso b. Verdadero c. Falso d. Falso 4.161 8/30 4.163 a. 1/2, 1/4, 1/8 b. 9/16, 9/32, 9/64 4.165 0.592 4.167 a. 26/52 b. 26/52 c. 32/52 d. 20/52 P(A ) P(B ) P(A ) P(B ) P(A o B ) P(A ) P(B ) P(A y B ) RRV, RRR6 S 5VVV, VVR, VRV, VRR, RVV, RVR, P(satisfecho 0 mujer no calificada) 0.667 P(satisfecho 0 mujer calificada) 0.25 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 755 b. 4.5, 2.87 d. 100% 5.35 No, la variable aleatoria es una variable atributo, las variables aleatorias son numricas. 5.39 a. Cada pregunta es un ensayo separado b. pueden obtenerse cuatro diferentes formas de una respuesta correcta y tres equivocadas c. 1/3 es la probabilidad de xito, 4 es el nmero de ensayos independientes, nmero de preguntas 5.41 los artculos defectuosos deben ser bastante pequeos y ms fciles de contar 5.43 a. 24 b. 5 040 c. 1 d. 360 e. 10 f. 15 g. 0.0081 h. 35 i. 10 j. 1 k. 0.4096 l. 0.16807 5.45 calidad o regular), p 5 P(irregular), x 5 n(irregular); cualquier valor entero de 0 a 100. 5.47 a. los ensayos no son independientes b. ; as, no as; y ; , 0, 1, 2, 3 o 4 5.49 a. e. , para , 1, 2, 3 5.51 , 0.125, 0.375, 0.125 5.53 a. 0.3585 b. 0.0159 c. 0.9245 5.55 a. 0.4116 b. 0.384 c. 0.5625 d. 0.329218 e. 0.375 f. 0.0046296 P(x) 3 x (0.5) x(0.5) 3 x x 0 P(x) 3 x pxq3 x E p p q p p q q q Ensayo 1 Ensayo 1 Ensayo 3 b. c. F E F E F E F p q E F p2q pq2 p q E F p2q pq2 p q E F p3 p2q pq2 q3 x = 1 x = 0 x = 2 x = 1 x = 2 x = 1 x = 3 x = 2 x n(ases) q P(no as) 48/52 p P(as) 4/52 n 4 n 5 100 ensayos (camisetas), dos resultados (primera 5.19 x 0 1 2 3 P(x) 0.20 0.30 0.40 0.10 5.21 5.23 Nada de ningn significado 5.25 2.0, 1.4 5.27 a. x 1, 2, 3, 4, 5; P(x) 0.209, 0.213, 0.241, 0.194, 0.143 b. 2.849, 1.34 5.29 a. s b. c. 1.49, 0.70 d. nmero promedio de perros por hogar es 1.49 e. En realidad la media es mayor y la desviacin estndar ms grande. 5.31 a. 2.0, 1.4 b. 3 y 4 c. 0.9 5.33 a. 0.8 a 4.8 abarca los nmeros 1, 2, Nmero de perros mascota Nmero de perros mascota (en Estados Unidos) Porcentaje0 20 10 12 30 25 40 60 63 50 70 1 2 3+ [x2 # P(x)] m 2 o [x2 # P(x)] 5 [x # P(x)]62 [x2 # P(x)] 2m 2 m 2 [x2 # P(x)] 2m # [m ] m 2 # [1] [x2 # P(x)] 2m # [x # P(x)] m 2 # [ P(x)] [x2 # P(x) 2xm # P(x) m 2 # P(x)] [x2 2xm m 2) # P(x)] s2 [(x m )]2 # P(x)] 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 8 6 4 2 0 x PorcentajeDgitos aleatorios; P(x) = 0 .1, para x = 0, 1,...,9 Media Desviacin estndar www.fullengineeringbook.net 756 Respuestas a los ejercicios seleccionados 5.57 ; , ; los exponentes suman 5; x cualquier entero de cero a binomial 5.59 0.143 5.61 a. 0.088 b. 0.039 c. 0.00000154 5.63 0.0011 5.65 0.410 5.67 a. 0.590 b. 0.918 5.69 a. 0.006 b. 0.215 c. 0.618 d. 0.167 5.71 0.984 5.73 18, 2.7 5.75 a. , ; 0.55, 0.72 b. igual 5.77 a. 25.0, 3.5 b. 4.4, 1.98 c. 24.0, 4.7 d. 44.0, 2.3 5.79 b. 0.4338 c. 4.92, 1.7 d. 5.81 a. 0.240 b. 0.240 5.85 0.9666 5.87 a. 0.03132 b. 0.99962 5.89 , 5.91 , ; 0.03383 5.93 a. Porcentaje de minoras es "menor de lo que se esperara razonablemente". b. Porcentaje de minoras "no es menor de lo que se esperara razonablemente". 5.95 b. 0.886385 c. 0.99383 d. 0.12, 0.345 s 1.9 m 6 n 400 p 0.5 x, nmero que usa audfonos En una muestra aleatoria de 12 viajeros areos Probabilidad de nmero que se pone audfonos Probabilidad, en %0 250 200 150 100 50 0 2 4 Media = 4.92 66.62 8 10 [x2P(x)] 0.819 [xP (x)] 0.55 n 5; q 1/2 (p q 1) p 1/2 n 5 e. , 0.465; 0.88638 f. , 0.81; 0.88638 g. no concuerda con la regla emprica; s concuerda con Chebyshev 5.97 1. Cada P(x) es un valor entre cero y uno inclusive 2. suma de todos los P(x) es exactamente uno 5.99 a. funcin de probabilidad b. funcin de probabilidad c. NO es funcin de probabilidad d. NO es funcin de probabilidad 5.101 a. 0.1 b. 0.4 c. 0.6 5.103 a. 3.3 b. 1.187 5.105 No, variable es atributo 5.107 a. 0.930 b. 0.264 5.109 0.103 5.111 a. 0.999 b. 0.206 c. 0.279 5.113 P(defectuoso) cambia, ensayos no son independientes 5.115 a. 0.914 b. 0.625 c. Aun cuando P(defectuoso) cambia de ensayo a ensayo, si la poblacin es muy grande, las probabilidades sern muy similares. 5.117 a. 0.1116 b. 0.645 c. 0.006 5.119 68.8 5.121 ; l a i m o n i b .a b. nmero de semillas plantadas por fila c. B (4, 0.25) es un ajuste bastante bueno. 5.123 b. 0.001 c. 0.007 d. no Captulo 6 6.1 a. Es un cociente b. CI: 100, 16; SAT: 500, 100; Valor estndar: 0, 1 c. ; d. 2, 132, 700 e. igual 6.3 a. Proporcin b. Porcentaje c. Probabilidad z (SAT 500)/100 z (I.Q. 100)/16 p P(germinacin) n nmero de semillas/fila; 0.57 0.225 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 757 6.5 a. forma de campana, media de 0, desviacin estndar de 1 b. referencia usada para determinar las probabilidades para todas las otras distribuciones normales 6.7 a. 0.0968 b. 0.0052 c. 0.0007 d. 0.2611 6.9 a. 0.9821 b. 0.8849 c. 0.9994 d. 0.7612 6.11 a. 0.6808 b. 0.8437 c. 0.9996 6.13 a. 0.0007 b. 0.0329 c. 0.2266 6.15 0.4177 6.17 0.8571 6.19 a. 0.4394 b. 0.0606 c. 0.9394 d. 0.8788 6.21 a. 0.5000 b. 0.1469 c. 0.9893 d. 0.9452 e. 0.0548 6.23 a. 0.4906 b. 0.9725 c. 0.4483 d. 0.9306 6.25 a. 0.2704 b. 0.8528 c. 0.1056 d. 0.9599 6.27 0.2144 6.29 a. 0.2978 b. 0.0217 c. 0.0919 d. 0.3630 6.31 a. 1.14 b. 0.47 c. 1.66 d. 0.86 e. 1.74 f. 2.23 6.33 a. 1.65 b. 1.96 c. 2.33 6.35 1.28, 1.65, 2.33 6.37 6.39 a. 0.84 b. 1.04 c. y 6.41 a. 0.84 b. y 6.43 a. 0.7620 b. 0.0376 c. 0.2682 6.45 2.88 6.47 a. 0.5000 b. 0.3849 c. 0.6072 d. 0.2946 e. 0.9502 f. 0.0139 6.49 a. 0.3944 b. 0.8943 6.51 a. 0.6826 o 68.26% b. 0.9545 o 95.45% 1.15 1.15 0.67 0.67 0.84 c. 0.9973 o 99.73% d. ; ; 6.53 a. 0.0289 o 2.9% b. 0.0869 u 8.7% c. 0.9452 o 94.5% d. 0.3787 o 37.9% e. 0.0485 o 4.9% 6.55 a. b. 6.57 a. 0.4090 b. 0.3821 c. 0.0764 d. 25.42 6.59 a. 0.3557 b. 6.61 a. 89.6 b. 79.2 c. 57.3 6.63 20.26 6.65 7.664 6.67 a. 49.4, 50.5 mm b. 85.78% c. 35.66% d. 58.55% 6.69 d. 0.2329, 0.2316 Seccin 6.4 Ejercicios 6.75 a. z (0.03) b. z (0.14) c. z (0.75) d. z (0.22) e. z (0.87) f. z (0.98) 6.77 a. z (0.01) b. z (0.13) c. z (0.975) d. z (0.90) 6.81 a. 1.96 b. 1.65 c. 2.33 6.83 a. 1.65 b. 2.33 c. 1.96 d. e. 6.85 6.87 , 6.89 a. rea, 0.4602. b. valor z, 1.28. c. rea, 0.5199. d. valor z, 6.91 , ; No 6.93 binomial: 0.829; aprox. normal: 0.8133 6.95 0.1812; 0.183 6.97 0.6406; 0.655 6.99 , , ; 0.999997 s 2.21 m 245 x n(sobrevive) nq 98 np 2 1.65 2.58, 1.96, 1.65, 1.15 1.28 2.05 1.96 100(0.3557) 36 botellas 0.0668 6.7% 0.0869 8.7% 0.9973 99.7% 0.9545 95% 0.6828 68% www.fullengineeringbook.net 758 Respuestas a los ejercicios seleccionados 6.101 , a. 0.5438 b. 0.0002 6.103 , ; 0.6844 6.105 , a. 0.4200 b. 0.4182 c. 0.4187 6.107 , a. 0.0057 b. 0.00006 c. 0.7097 6.109 6.111 a. b. c. 6.113 a. 2.07 b. 1.53 6.115 a. 0.9973 b. 0.950 c. 0.09 6.117 a. 0.0091 b. 0.2694 c. 0.2949 d. 0.8577 e. 0.8888 f. 0.0401 6.119 ; a. 0.3015 b. 0.1841 c. 154.9 a 183.1 d. 134.4 a 203.6 6.121 10.033 6.123 a. 0.0143 b. 619.4 c. 107.2 d. 755.4 6.125 a. , ; ambos mayores que 5 b. 7.5, 2.29 6.127 b. 0.77023 c. 0.751779 6.129 a. b. 0.9856 c. 0.9873 6.131 0.0087 6.133 , a. 0.0418 b. 0.4247 c. 0.7128 6.135 , a. 0.0307 b. 0.0630 6.137 a. , 0.02089 c. 75.5% frente a 68%, 95.5% frente a 95% 99.1% frente a 99.7% d. Captulo 7 7.1 a. Histograma 0.8727 87.3% 0.00342 s 4.71 m 33.3 s 2.6 m 8 P(0) P(1) # # # P(75) nq 17.5 np 7.5 s 21 m 169 0.74 2.03 0.92 0.84 s 6.12 m 50 s 17.10 m 504 s 3.86 m 27.63 s 3.54 m 25.1 b. Amontonada de 0 a 60, sesgada derecha c. no exactamente, pero bastante cerca 7.3 a. No b. Variabilidad 7.5 a. distribucin formada por medias para todas las posibles muestras de un tamao fijo tomadas de una poblacin b. Es un elemento en la distribucin muestral 7.11 a. no todas se extraen de la misma poblacin, cada tipo de vehculo tiene un diferente tamao muestral b. monitoreo de trnsito de poblaciones de vehculos que cambian continuamente 7.17 b. muy cerca de d. aproximadamente normal e. toma muchas muestras (1 001) de tamao 4 de una poblacin aproximadamente normal; 1) media de las x barra m, 2) , 3) distribucin aproximadamente normal 7.19 a. 1.0 b. ; conforme n aumenta, el valor de esta fraccin se vuelve menor 7.21 a. 500 b. 5 c. aproximadamente normal 7.23 a. aproximadamente normal b. 4.58 horas c. 0.133 7.25 a. 86.5 libras/persona b. 2.392 c. aproximadamente normal 7.29 2.69 sx s/1n sx s/1n m 65.15 Edad Edad de ciudadanos EUA (n = 100) Frecuencia5 5 4 4 4 6 3 3 3 4 1 1 0 4 8 7 7 8 8 8 12 0 10 0 50 100 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 759 7.31 corresponde a probabilidad acumulada corresponde a probabilidad acumulada 0.0228; resta para encontrar rea en medio 7.33 a. aproximadamente normal b. 50 c. 1.667 d. 0.9973 e. 0.8849 f. 0.9282 7.35 a. aproximadamente normal, , . b. 0.4013 c. aproximadamente normal d. ; e. 0.1587 f. 0.0228 7.37 a. 0.3830 b. 0.9938 c. 0.3085 d. 0.0031 7.39 a. 0.2033 b. 0.0064 c. No, especficamente para a); rapidez del viento estar sesgada a la derecha, no normal d. Las probabilidades reales muy probablemente no son tan altas. 7.41 a. 0.9821 b. 0.00006 c. La distribucin normal debe permitir estimaciones razonables pues n 30. 7.43 38.73 pulgadas 7.45 a. computadora: 0.68269 Tabla 3: 0.6826 7.47 6.067, 3.64, 2.6, 1.82 7.49 a. Distribucin normal con una media $775 y una desviacin estndar $115. b. 0.5696 c. Distribucin aproximadamente normal con d. 0.6641 7.51 a. b. 7.53 a. 0.0060 b. 0.1635 c. distribucin sesgada 7.55 a. 0.1498 b. 0.0089 7.57 0.0228 7.59 0.0023 7.61 a. x peso total; aproximadamente 1.000 b. 0.9773 E 0.049 e 0.49 media $775 y error estndar $23 sx 1.0 mx 69 s 4 m 69 z 2.00 z 0.9773, 2.00 7.65 a. ; Captulo 8 8.1 a. profesionales de la salud de las mujeres b. , c. amontonada en torno al centro, aproximadamente simtrica d. aprox. 65 pulgadas; 62 a 69, las estaturas ms frecuentes en estos datos. e. Un intervalo ms estrecho sera muy deseable y/o tamao de muestra ms grande. 8.3 La estimacin puntual es un solo nmero; la esti- macin de intervalo es un intervalo de cierto ancho. 8.5 , , a. 18.1 dlares b. 8.5 c. 2.9 dlares 8.7 a. II tiene menor variabilidad b. II tiene un valor medio igual al parmetro c. Ninguno es una buena opcin, II es mejor 8.9 dificultad, fatiga del recolector; costo de muestreo; destruccin del producto 8.11 a. familias estadounidenses de parejas casadas; ingreso familiar b. media; $90 835 c. igual d. $101 e. 0.90 f. $90 734 a $90 936; un intervalo de valores que es 0.90 probablemente incluya el verdadero valor de media poblacional x2 5 015 x 271 n 15 s 3.5 x 64.8 s 6.48 m 60 72 68 64 60 56 12 10 8 6 4 2 0 Estaturas FrecuanciaEstaturas de mujeres en profesin de salud (n = 50) www.fullengineeringbook.net 760 Respuestas a los ejercicios seleccionados 8.13 3 8.15 a. b. c. d. 8.17 a. un intervalo de valores, 101 a 113, que es 0.95 probable incluya el verdadero nmero poblacional por 1 000 que muestre una prevalencia de dolor de cadera autorreportado entre los hombres b. 3.06 c. 3.57 8.19 a. Entre 3:09 p.m. y 3:29 p.m. b. s c. 90% ocurre dentro del intervalo predicho 8.21 La distribucin muestral de medias muestrales debe ser normal. 8.23 a. b. 8.25 a. 25.76 a 31.64 b. S, la poblacin es normal 8.27 a. 125.58 a 131.42 b. S, TLC 8.29 a. 128.5 b. c. 1.76845 d. 2.92 e. 125.58 f. 131.42 8.33 a. b. c. d. El nivel ms alto hace que sea ms ancho el intervalo. 8.35 a. 75.92 b. 0.368 c. 75.552 a 76.288 8.37 a. 14.01 a 14.59 b. 13.89 a 14.71 8.39 a. lectura de rapidez b. 176.99 a 191.01 c. 175.67 a 192.33 8.41 a. longitud media b. 75.92 c. 75.512 a 76.328 8.43 b. 450.6, 173.4 c. 107.86814506, 0.00001734 d. aproximadamente normal e. ambos aplican f. no g. Se usar desviacin estndar muestral. h. 401.5 a 499.7 o 107.86814015 a 107.86814997 8.45 a. $33 257.74 a $34 782.26 b. $13 525.28 a $14 564.72 c. bsicamente igual 41.2; 99% 31.4; 95% 15.9; 68% z (0.05) 1.65 z (0.005) 2.58 z (0.01) 2.33 1 2(0.0099) 0.9802 1 2(0.0250) 0.9500 1 2(0.0749) 0.8502 1 2(0.1003) 0.7994 8.47 49 8.49 27 8.51 25 8.55 H o: sistema es confiable H a: sistema no es confiable 8.57 a. H a: entrega especial postal tarda mucho tiempo b. H a: nuevo diseo es ms cmodo c. H a: fumar cigarrillos tiene un efecto d. H a: acondicionador de cabello es efectivo en "puntas quemadas" 8.59 A: la fiesta ser un fiasco; no ir B: la fiesta ser un xito; ir I: la fiesta ser un fiasco; ir II: la fiesta ser un xito; no ir 8.61 a. H a: la vctima no est viva b. A: viva, tratada como si estuviera viva I: viva, tratada como si estuviera muerta II: muerta, tratada como si viviera B: muerta, tratada como muerta c. I muy serio: la vctima puede morir dentro de poco sin atencin II no serio: la vctima recibe atencin que no es de valor 8.63 Te pierdes un gran momento. 8.69 a. Tipo I b. Tipo II c. Tipo I d. Tipo II 8.71 a. El comercial no es efectivo. b. El comercial es efectivo. 8.73 a. muy serio b. un poco serio c. no tan serio 8.75 a. a b. b 8.77 a es la probabilidad de rechazar una hiptesis nula verdadera; 1-b es probabilidad de rechazar una hiptesis nula falsa 8.79 a. "Ya ves: te lo dije" b. "Est bien, no es significativo; tratar nuevamente maana" 8.81 a. 0.1151 b. 0.2119 8.83 a. 29 corchos pasan la inspeccin de la Parte 1 b. Rechaza el lote, 3 corchos que no satisfacen la especificacin. 8.85 H o: la resistencia al corte media es al menos 925 lb H a: la resistencia al corte media es menos que 925 lb www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 761 8.87 a. Ha: b. Ha: c. Ha: d. Ha: e. Ha: 8.89 II; compra y usa remaches dbiles 8.91 I: rechaza Ho interpretado como 'cargo horario medio es menor que $60, cuando de hecho es al menos $60 II: fallar para rechazar Ho interpretado como 'cargo horario medio es al menos $60, cuando de hecho es menor que $60 8.93 a. 1.26 b. 1.35 c. 2.33 d. 8.95 a. Rechazar Ho, no rechazar Ho b. valor p es menor que o igual a a, rechazar Ho. El valor p es mayor que a, no rechazar Ho. 8.97 a. Rechazar Ho, b. No rechazar Ho, c. Rechazar Ho, d. Rechazar Ho, 8.99 a. No rechazar Ho b. Rechazar Ho 8.101 b. d. Rechazar Ho 8.105 0.2714 8.107 a. 0.0694 b. 0.1977 c. 0.2420 d. 0.0174 e. 0.3524 8.109 a. 1.57 b. c. , 8.111 6.67 8.113 a. Ha: b. No rechazar Ho c. 8.115 a. Ha: b. Rechazar Ho c. d. 514.488, 3518.3437 8.117 Ha: ; ; ; Rechazar Ho 8.119 Ha: ; ; ; Rechazar Ho 8.121 Ha: ; ; ; Rechazar Ho 8.123 a. precisin media de relojes de cuarzo b. Ha: c. supuesta normalidad, ; d. , e. ; f. ; Rechazar Ho P a P 0.0375 z* 1.78 x 22.7 n 36 s 9.1 n 36 m 20 P 0.0003 z* 3.46 m $123.89 P 0.0057 z* 2.53 m 12 P 0.00002 z* 4.08 m $49 246 1.4178 m 6.25 60.0138 m 525 2.87 2.87 2.13 0.0000 P a P a P a P a 0.74 m 15.00 m 260 m 230 000 m 335 m 1.25 8.125 a. Nmero medio de estudiantes por enfermera escolar en Nueva York b. Ho: , Ha: c. ; f. ; Reject Ho 8.127 a. 64.02 a 65.54 b. No 8.131 Ho: resistencia al corte media es al menos 925 lb. Ha: resistencia al corte media es menor que 925 lb. 8.133 a. Ha: b. Ha: c. Ha: 8.135 a. contenido de sal promedio decidido es ms que 350 mg cuando, de hecho, no lo es b. contenido de sal promedio decidido es menos que o igual a 350 mg cuando de hecho es mayor 8.137 I: mnimo medio decidido es mayor que $95, cuando de hecho no lo es II: mnimo medio decidido es cuando mucho $95, cuando de hecho es mayor 8.139 a. conjunto de todos los valores de estadstico de prueba que causarn el rechazo de Ho. b. valor crtico es el valor del estadstico de prueba que forma frontera entre la regin crtica y la regin no crtica, el valor crtico est en la regin crtica. 8.141 Si uno se reduce, el otro se vuelve ms grande. 8.143 8.145 a. , b. c. d. , 8.147 ; 8.149 a. 3.0 errores estndar b. la regin crtica es rechazar Ho 8.151 a. Rechazar Ho o No rechazar Ho b. el estadstico de prueba calculado cae en la regin crtica, rechazar Ho el estadstico de prueba calculado cae en la regin no crtica, No rechazar Ho 8.153 a. Ho Ha: b. ; rechazar Ho c. 0.5130 2.58 m 15.0 m 15.0 frente a z 2.33 x 21 004.133 x 247.1 z 2.58 z 2.58 z 1.65 z 2.33 z 1.65 z 1.65 z 2.33 m 230 000 m 335 m 1.25 P a P 0.0017 z* 2.93 m 750 m 750 www.fullengineeringbook.net 762 Respuestas a los ejercicios seleccionados 8.155 a. H o: Ha: b. No rechazar Ho c. 8.157 H a: ; se supone normalidad, ; ; ; no rechazar Ho 8.159 H a: ; se supone normalidad, ; ; ; Rechazar Ho 8.161 H a: ; normalidad indicada; ; ; Rechazar Ho 8.163 H a: ; se supone normalidad, ; ; ; no rechazar Ho 8.167 a. 32.0 b. 2.4 c. 64 d. 0.90 e. 1.65 f. 0.3 g. 0.495 h. 32.495 i. 31.505 8.169 43.3 a 46.7 8.171 a. 9.75 a 9.99 b. 9.71 a 10.03 c. ensancha el intervalo 8.173 a. 69.89 a 75.31 b. S 8.175 a. S, todas las mediciones son b. 0.221 a 0.287 8.177 92 8.179 60 8.181 a. "frontera" para decisin b. ninguna 8.183 a. H o: b. H a: c. 0.01 d. 100 e. 96 f. 12 g. 1.70 h. i. 0.0188 j. no rechazar Ho 8.185 H a: ; Rechazar Ho 8.187 a. H a: b. 0.2112 c. , 8.189 H a: ; Rechazar Ho 8.191 H a: ; ; no rechazar Ho 8.193 H a: Rechazar Ho z 2.33 P 0.0014; z * 2.98; m 24.3; z 1.96 z 1.96, P 0.1586; z * 1.41; m 15 650 z 2.33; P 0.0068; z * 2.47; m 0.0113 z 2.33 z 2.33 m 0.50 z 2.05; P 0.0068; z * 2.47; m 45 2.35 m 100 m 100 1.0 mm. z 1.65 z * 1.45 n 42 m 36.8 z 1.65 z * 2.73 m 170.1 z 1.28 z * 3.26 n 35 m 15 z (0.05) 1.65 z * 1.07 n 50 m 79.68 12.0136 m 72 m 72( ) frente a 8.195 a. 39.6 a 41.6 b. H a: ; ; ; no rechazar Ho c. H a: ; ; , ; No rechazar Ho 8.197 a. 39.9 a 41.9 b. H a: ; ; ; Rechazar Ho c. H a: ; ; ; Rechazar Ho 8.199 a. H a: , apoyarse en medicamento anterior b. H a: , apoyarse en medicamento nuevo 8.201 a. H a: ; no rechazar Ho; la media poblacional no es significativamente diferente de 18 b. 0.756; ; Captulo 9 9.1 a. Estudiantes universitarias estadounidenses b. s, amontonada c. amontonada pero mellada, tiempo de primera clase d. s, aproximadamente; p 5 0.193 para prueba de normalidad 9.5 a. 2.68 b. 2.07 c. 1.30 d. 3.36 9.7 a. b. c. d. computadora: ; Tabla 6: ; Interpolacin: 2.30 2.62 t 2.14 2.26 2.03 2.82 1.33 90 75 60 45 30 15 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Tiempo (min) FrecuenciaTiempo de piso a puerta Estudiantes universitarias estadounidenses 100 80 60 40 20 0 14 12 10 8 6 4 2 0 FrecuenciaTiempo de piso a puerta Estudiantes universitarias estadounidenses Tiempo (min) valor p 0.2984 z * 1.04 m 18 r A r A z 1.65 z * 1.80 m 40 P 0.0359 z * 1.80 m 40 z 1.96 z 1.96 z * 1.20 m 40 P 0.2302 z * 1.20 m 40 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 763 9.9 a. 1.73 b. c. d. 1.33 9.11 9.13 a. b. 1.71 c. 9.15 9.17 0.0241 9.19 a. Simtrica en torno a la media: media es 0 b. La desviacin estndar de t es mayor que 1; t tiene gl; la distribucin t es una familia de distribuciones; una distribucin z 9.21 15.60 a 17.8 9.23 3.67 a 6.83 minutos 9.25 42.94 a 47.46 9.29 3.44 a 5.68 9.31 b. 27.138 a 31.502 minutos 9.33 a. b. 18.07 a 18.83 9.35 a. frente a b. frente a c. frente a 9.37 1.20 9.39 .b .a .d .c 9.41 .a b. 1.75; no rechazar Ho 9.43 0.124 9.45 no rechazar Ho ; .a Rechazar ; .b Ho Rechazar ; .c Ho d. idntica 9.47 ; ; Rechazar 9.49 ; ; Rechazar Ho 9.53 No rechazar Ho 9.55 ; ; no rechazar Ho 9.57 ; ; no rechazar Ho 9.59 a. ; .b ; ; no rechazar Ho 9.61 a. S b. 593.93 a 598.67 c. la media es menor que 600 mg 9.63 ; .a ; no rechazar Ho ; .b ; no rechazar Ho 9.65 a. nmero de xitos, tamao muestral b. 0.30 c. 0.096 d. 0.312 e. 0.697 9.67 a. S b. la media de p es p 9.69 a. z(a/2) b. z(a/2) c. z(a/2) 9.71 a. 0.021 b. 0.189 a 0.271 9.73 a. (no sabe) b. 0.20, estadstica c. 0.0143 e. 0.186 a 0.214 9.75 0.206 a 0.528 9.77 0.064 a 0.106 9.83 a. 0.030, 0.028, 0.023 b. diferente producto de pq c. S e. 0.5 p P 2.58 1.96 1.65 t (17, 0.01) 2.57 Ha: m 45.0; t 0.24; P 0.500 t (11, 0.01) 2.72 Ha: m 45.0; t 1.95; 0.05 P 0.10 t 1.70 0.05 P 0.10 Ha: m 5.517; t 1.68 7 6 5 4 3 2 1 0 FrecuenciaHistograma de densidad, con curva normal 4.9 Densidad 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 0.05 P 0.10; t 1.69 Ha: m 60; t 1.60 t (5, 0.025) 2.57 Ha: m 35; t 1.02; 0.20 P 0.50 P 0.036; t 1.74 Ha: m 4.6; t 2.28 Ho P 0.005; t 2.46 Ha: m 25; t 3.25 0.025 P 0.05; t 1.68 0.01 P 0.025; t 1.71 0.10 P 0.20; t 2.14 no rechazar Ho ; 0.10 P 0.25 0.05 P 0.10 0.05 P 0.10 0.025 P 0.05 0.025 P 0.05 Ha: m 75 Ho: m 75 Ha: m 54 Ho: m 54( ) Ha: m 11 Ho: m 11( ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 FrecuenciaHistograma (con curva normal) de MPG 16 MPG 17 18 19 20 21 22 Media Desv. Est. N 18.45 1.344 50 gl 7 0.685 2.49 2.18 2.55 3.18 www.fullengineeringbook.net 764 Respuestas a los ejercicios seleccionados 9.85 a. 0.5005 b. 0.003227 c. 0.4942 a 0.5068 9.89 2 401 9.91 a. 1 373 b. 344 c. 2 737 d. Aumentar el error mximo reduce el tamao de la muestra e. Aumentar el nivel de confianza aumenta el tamao de la muestra 9.93 .b .a .d .c e. 9.95 a. 1.78 b. c. d. 1.88 9.97 a. 0.1388 b. 0.0238 c. 0.1635 d. 0.0559 9.99 , .b .a .d .c 9.101 a. 0.017 b. 0.085 c. 0.101 d. 0.004 9.103 a. Fallar correctamente para rechazar Ho b. 0.036 c. Cometer un error tipo II d. 0.128 9.105 ; ; Rechazar Ho 9.107 ; ; Rechazar Ho 9.109 ; ; Rechazar Ho 9.111 a. no rechazar Ho ; .c y b 9.113 b. Rechazar Ho c. 0.305 9.115 no rechazar Ho ; .a no rechazar Ho ; .b Rechazar Ho ; .c Rechazar Ho ; .d 9.117 a. A: 1.72; B: 3.58 b. Aumento c. muy diferente del resto de los datos, tiene un gran efecto sobre la desviacin estndar 9.119 a. 23.2 b. 23.3 c. 3.94 d. 8.64 9.121 a. 30.1 b. 13.3 c. 7.56 d. 43.2 e. 11.6 y 32.7 f. 1.24 y 14.4 9.123 a. (5, 0.05) b. (5, 0.05) c. (5, 0.10) 9.125 0.94 9.127 a. 0.8356 b. 0.1644 9.129 a. b. c. d. e. 9.131 a. 25.08 b. 60.15 9.133 a. b. 0.01 c. d. 9.135 a. ; no rechazar Ho b. ; no rechazar Ho 9.137 ; Rechazar Ho 9.139 ; Rechazar Ho 9.141 ; ; Rechazar Ho 9.143 b. c. y d. ; Rechazar Ho 9.145 a. amontonada, b. supn normal con base en prueba de normalidad o .c d. ; no rechazar Ho t 2.49 P 0.990 Ha: m 0.025; t 2.47; P 0.50 x 0.01981, s 0.01070 P 0.005; x2 41.6 Ha: s 1.0; x2 84.43 Pesos (lb) Porcentaje29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Media Desv. Est. N AD Valor p 24.64 1.916 24 0.478 0.215 Grfica de probabilidad de pesos (lb) Normal x2 43.8 Ha: s 85; x2 64.88; P 0.005 x2 32.4, x2 71.4; Ha: s 8; x2 29.3; 0.01 P 0.02 x2 27.2; Ha: s 0.25; x2 37.24; 0.005 P 0.01 x2 33.4 0.05 P 0.10 0.025 P 0.05 0.05 P 0.10 0.02 P 0.05 Ha: s 2 0.025 Ha: s 2 18 Ha: s 10 Ha: s 0.5 Ha: s 24 9.24 x2 11.1 x2 11.1 x2 z 5.00; P 0.0000003 z 1.74; P 0.0409 z 0.87; P 0.1922 z 1.09; P 0.8621 Ha: p 0.88; z 1.65 P 0.0244; z 2.33 1.97 z 1.65 Ha: p 0.58; z 2.66; P 0.0039 P 0.0207; z 1.65 Ha: p 0.60; z 2.04 P 0.000003; z 1.65 Ha: p 0.90; z 4.82 z 1.65 z 1.28 z 1.96 z 1.96 z 1.65 0.49 1.70 Ha: p 0.50 Ha: p 0.75 Ha: p 0.50 Ha: p 1/3 Ha: p 0.60 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 765 9.147 ; . a ; no rechazar Ho ; . b ; no rechazar Ho c. Desviaciones estndar muestrales ms grandes aumentan el valor ji cuadrada 9.149 0.0359 9.153 35 524 a 36 476 millas 9.155 a. 8.782, 0.710 b. 8.78 c. 8.64 a 8.92 pulgadas 9.157 72 9.159 a. c. a 9.161 ; ; Rechazar Ho 9.163 a. 31.45, 8.049 ; . b ; Rechazar Ho 9.165 ; ; Rechazar Ho 9.167 0.122 a 0.278 9.169 a. 0.126 a 0.340 b. sobrestimar porcentaje de clientes satisfechos 9.171 3 388 9.173 p 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 pq 0.09 0.16 0.21 0.24 0.25 0.24 0.21 0.16 0.09 9.175 0.0401 9.181 a. parmetro; binomial p, P(xito) b. 0.60 a 0.66 9.183 ; ; no rechazar Ho 9.185 ; ; Rechazar Ho 9.187 ; . b ; Rechazar Ho ; . c ; Rechazar Ho 9.189 a. . c . b d. 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 Grfica de probabilidad de peso (oz) Normal Porcentaje14.00 14.25 14.50 14.75 15.00 Media Desv. est. N AD Valor p 14.39 0.2173 20 0.187 0.891 Peso (onzas) 5% x 14.386, s 0.217 5 4 3 2 1 0 FrecuenciaPesos de cajas de Corn Flakes de 14 oz. 13.8 Peso (onzas) 14.0 14.2 14.4 14.6 14.8 0.01 P 0.25; x2 43.8 Ha: s 0.040; x2 48.96 P 0.010; t 2.04, t 2.04 Ha: m 2.0; t 3.08 0.005 P 0.01; x2 90.5 Ha: s $2.45; x2 101.5 0.05 P 0.10; x2 124.0 Ha: s 81; x2 123.1 P 0.00 ; t 2.65, t 2.65 Ha: m 734.5; t 14.92 20 10 0 FrecuenciaVelocidad de la luz en aire por Albert Michelson 600 Rapidez (km/s) 700 800 900 1 000 1 100 0.025 P 0.05; t 1.73 Ha: m 28.0; t 1.92 0.01 P 0.025; t 1.74 Ha: m 640; t 2.14 $992.99 $823.61 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 FrecuenciaHistograma (con curva normal) de $ libros texto 600 Libros texto ($) 700 800 900 1000 1 100 Media Desv. est. N 908.3 118.5 10 x $908.30, s $118.50 x2 2.09, x2 21.7 Ha: s 0.3275; x2 13.97; 0.20 P 0.50 x2 2.09, x2 21.7 Ha: s 0.3275; x2 7.15; 0.50 P 1.00 www.fullengineeringbook.net 766 Respuestas a los ejercicios seleccionados e. ; 14.285 a 14.487 ; .f ; no rechazar Ho 9.191 a. 0.8051 b. 0.1271 c. 1 016.46 cajas Captulo 10 10.1 a. tiempo de traslado de hombre a la universidad, tiempo de traslado de mujer a la universidad b. hombre: ; mujer: c. independiente, separada, muestras no rela- cionadas, no apareadas d. s, independiente; no puede estar apareada e. no: si est apareada, entonces es dependiente, si no est apareada entonces es independiente 10.5 Independiente, las muestras son conjuntos separados de estudiantes 10.7 Dependiente, cada persona ofrece un dato para cada muestra 10.9 Independiente, muestras separadas 10.13 a. b. 0.6 c. 1.14 10.15 a. 4.24 a 8.36; b. intervalo de confianza ms estrecho 10.19 , a 8.53 10.21 a. Los costos de seguros para hombres parecen ms altos que los costos de seguros para mujeres. mujeres; ; : hombres .c ; diferencia: d. distribuciones de costo de hombre y mujer, aproximadamente normal e. a f. s, todo el intervalo de confianza arriba de cero 10.23 a. b. c. d. 10.25 a. b. c. d. 10.27 ; ; Rechazar Ho 10.29 ; ; Rechazar Ho 10.31 ; ; Rechazar Ho 10.35 ; no rechazar Ho 10.37 ; ; no rechazar Ho 10.39 a. la diferencia promedio es cero b. valores usados para tomar la decisin c. prueba de dos colas; distribucin t es simtrica; ausencia de nmeros negativos hace menos confuso d. fallar para rechazar la hiptesis nula en 12 de ellas e. Los dos mtodos son equivalentes. f. mtodo revisado de Florida para muestreo se acepta e implementa 10.41 4.92 P 0.25; t(9, 0.05) 1.83 Ha: md 0 (mejora); t 0.56 t 1.30; P 0.13 t (4, 0.05) 2.13 t 2.45; 0.025 P 0.05 P 0.005; t(39, 0.01) 2.44 Ha: md 0 (benfica); t 3.067 P 0.005; t (14, 0.05) 1.76 Ha: md 0 (aumentado); t 4.42 P (t 3.57 | gl 9); P 0.005 P (t 2.63 | gl 28); 0.005 P 0.01 2P (t 1.86 gl 19); 0.05 P 0.10 P (t 1.86 | gl 19); 0.025 P 0.05 Ha: md 0; d poscalificacin precalificacin Ha: md 0; d lectura1 lectura2 Ha: md 0; d antes despus Ha: md 0; d postexamen preexamen $239.49 $192.31 x $215.90, s $44.30 x $1026.80, s $299.50 x $1 242.70, s $334.90 1.03 d 3.75, sd 5.726 d A B, n 8 d A B 1 64 56 48 40 32 24 16 8 20 15 10 5 0 Tiempo, M (min) FrecuenciaTiempos traslado para estudiantes universitarias mujeres 30 25 20 15 10 10 6 8 2 4 0 FrecuenciaTiempos traslado para estudiantes universitarios hombres Tiempo, H (min) x 25.64, s 9.95 x 17.97, s 5.42 P 0.2662; x2 36.2 Ha: s 0.2; x2 22.37 x 14.386, s 0.217 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 767 10.43 Caso I: entre 17 y 40; Caso II: 17 10.45 a 16.3 10.47 a 10.51 Dakota del Sur: Dakota del Norte: a 406.8 10.53 .b .a .d .c 10.55 a. 1.21 b. 0.1243 c. 1.56 10.57 2.64 10.59 a. b. c. 1.41 d. 10.63 No 10.65 ; ; Rechazar Ho 10.67 ; ; no rechazar Ho 10.69 b. c. 10.71 ; ; no rechazar Ho 10.73 ; ; Rechazar Ho 10.75 a. s, valores p de pruebas de normalidad ; .b ; Rechazar Ho c. vivir en casa o no, tener hijos, tener un empleo, mtodo de traslado 10.77 a. no pulido: b. Los histogramas se muestran amontonados, distribuciones ligeramente sesgadas; las pruebas de normalidad demuestran normalidad en ambas distribuciones. 10.83 75, 250, 0.30, 0.70 10.85 a. 0.085 b. 0.115 10.89 0.000 a 0.080 10.91 0.186 a 0.314 10.93 .b .a c. 10.95 0.076; 0.924 10.97 1.34; 0.0901 10.99 .b .a .d .c 10.101 ; y 10.103 ; ; Rechazar Ho 10.105 ; .b y y .c ; Rechazar Ho d. toma un tamao muestral razonablemente grande para mostrar significancia 10.107 ; .a y ; .b y c. 291 10.109 ; y 10.111 a. b. c. d. 10.113 Dividir desigualdad por 10.115 a. F (9, 11, 0.025) b. F (24, 19, 0.01) c. F(8, 15, 0.01) d. F (15, 9, 0.05) 10.117 a. 2.51 b. 2.20 c. 2.91 d. 4.10 e. 2.67 f. 3.77 g. 1.79 h. 2.99 10.119 3.37 10.121 1.51 10.123 0.495; menor varianza en numerador 10.125 ; ; no rechazar Ho 10.127 ; ; no rechazar Ho 10.129 Multiplcar por 2 10.131 10.133 a. ; ; Rechazar Ho F 4.76 F 5.72; 0.025 P 0.05 Ha: sNBA 2 sMLB 2 ; (4.43) 2/(3.50) 2 1.60 F 3.73 Ha: sk 2 sm 2 ; F 1.33; P 0.10 F 2.27 Ha: se sc; F 1.40; P 0.05 sp 2 Ha: sD 2 /sC 2 1 Ha: sA 2/sb 2 1 Ha: sI/sII 1 Ha: sA 2 sb 2 z 1.96; No rechazar Ho z 1.96 Ha: p2 p1 0; z 1.43; P 0.1528 z 1.96; Rechazar Ho z 1.96 z 2.57; P 0.0102 z 1.96; no rechazar Ho z 1.96 Ha: pM pW 0; z 1.82; P 0.0688 z 1.96 z 3.18; P 0.0014; z 1.96 z 1.96; no rechazar Ho z 1.96 P 0.5222; Ha: pw pm 0; z 0.64 P 0.00002; z 2.33 Ha: pc pnc 0; z 4.32 z 1.96; no rechazar Ho z 1.96 P 0.1556; Ha: pm pc 0; z 1.42 z 2.33 z 1.75 z 196, z 1.96 z 1.65 Ha: pc pnc 0 Ha: pb pa 0 Ha: pm pw 0 x 2.126, s 0.437 x 8.98, s 3.12, pulido P 0.01; t 2.03, t 2.03 Ha: mF mM 0; t 4.32 0.05 0.01 P 0.025; t 1.80 Ha: mY mC 0; t 2.57 P 0.25; t 2.02 Ha: mM mF 0; t 0.02 0.560 P 0.626 0.554 P 0.624 0.10 P 0.20; t 2.16, t 2.16 Ha: mG mB 0; t 1.44 P 0.005; t 2.44 Ha: m1 m2 0; t 4.02 2.16 2.47 2.13 Ha: mM mF 0 Ha: mS mN 0 Ha: m1 m2 0 Ha: m1 m2 0 116.8 x 1 403, s 159; n 11, x 1 548, s 401; n 14, $42.22 $21.40 6.3 www.fullengineeringbook.net 768 Respuestas a los ejercicios seleccionados b. ; ; Rechazar Ho 10.135 ; .a ; .b no rechazar Ho c. ; Rechazar Ho 10.137 a. d. ; no rechazar Ho ; .e ; no rechazar Ho f. la diferencia no fue significativa 10.141 dependiente; mismo conjunto de 18 diamantes se valora por dos valuadores 10.143 a 16.02 10.145 0.95 a 3.05 10.147 a. 1.0 ; .b ; no rechazar Ho 10.149 a 10.61 10.151 a 0.78 10.153 0.012 a 0.072 10.155 ; ; no rechazar Ho 10.157 ; ; no rechazar Ho 10.159 ; , ; Rechazar Ho 10.161 a. , b. ; , ; no rechazar Ho ; , ; no rechazar Ho c. ambos no significativamente diferentes de 17 d. ; ; Rechazar Ho e. y f. plantean diferentes preguntas 10.163 a 0.164 10.165 ; .a diferencia significativa para ; .b diferencia significativa para ; .c diferencia significativa para d. el error estndar se vuelve ms pequeo a 0.001 z 3.35; P 0.0008 a 0.01 z 2.90; P 0.0038 a 0.02 z 2.37; P 0.0178 0.044 t 2.05, t 2.05 t 2.19; 0.02 P 0.05 Ha: mF mM 0; t 2.05 t 2.05 F: Ha: m 77; t 1.76; 0.05 P 0.10 t 2.03 t 2.03 t 1.36; 0.10 P 0.20 M: Ha: m 77; 10 5 0 FrecuenciaExamen colocacin matemticas de Universidad 50 Calificacin 55 60 65 70 75 80 85 90 95100 Hombres Mujeres F: x 79.83, s 8.80 M: x 74.69, s 10.19, t 2.98 t 2.98 Ha: mA mB 0; t 5.84; P 0.01 t 2.47 Ha: m2 m1 0; t 1.30; 0.10 P 0.25 0.10 P 0.25; t 1.72 Ha: m2 m1 0; t 0.988 0.12 0.21 0.10 P 0.25; t 3.00 Ha: md 0 (antes despus); t 1.18 8.85 F 2.07 Ha: sw sm; F 1.75; P 0.10 t 1.70 t 1.36; 0.05 P 0.10 Ha: mw mm 0; 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 FrecuenciaCunto debe gastar alguien para regalarte algo el Da de san Valentn? Respuestas de mujeres 0 Cantidad ($) 60 120 180 240 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 FrecuenciaCunto debe gastar alguien para regalarte algo el Da de san Valentn? Respuestas de hombres 0 Cantidad ($) 50 100 150 200 Mujeres: xW $85.90, sw $63.50 Hombres: xm $68.14, sm $47.95 t 2.36, t 2.36 Ha: m2 m1 0; t 5.64; P 0.01; Ha: s1 2 s2 2; F 1.55; P 0.10; F 4.42 x2 0.02856, s2 0.00680 x1 0.01525, s1 0.00547 t 1.89 t 3.56; P 0.005 Ha: mNBA mMLB 0; www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 769 10.167 ; y 10.169 ; ; Rechazar Ho 10.171 ; ; no rechazar Ho 10.173 a. N Media Desv. Est. Cont 50 0.005459 0.000763 Prueba 50 0.003507 0.000683 b. Ambos aproximadamente normales c. Una cola: busca una reduccin ; .d ; No rechazar Ho ; .e ; Rechazar Ho f. la fuerza media se redujo, mas no la variabilidad Captulo 11 11.1 a. una forma preferida para "enfriar" la boca despus de comer salsa picante b. los adultos estadounidenses profesan amor por la comida picante condimentada; mtodo de "enfriamiento" c. 36.5%, 14.5%, 17.5%, 9.5%, 10%, 6.5%, 5.5% t 1.68, t 1.68 Ha: mc mt 0; t 13.48; P 0.000 F 1.69 Ha: sc 2 st 2; F 1.248; P 0.05 15 10 5 0 FrecuenciaPrueba o nuevo diseo 0.0020 Frecuencia 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 30 20 10 0 FrecuenciaControl o existente 0.002 Control 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 F 2.01 Ha: sn 2 ss 2; F 1.28; P 0.10 F 2.53 Ha: sm 2 sf 2; F 2.58; 0.025 P 0.05 z 2.58; no rechazar Ho z 2.58 Ha: pa p1 0; z 1.26; P 0.2076 11.5 a. (14, 0.01) b. (25, 0.025) , (25, 0.025) 11.7 a. Preguntar a una persona b. Da de nacimiento de la semana c. los 7 das de la semana 11.9 a. Ha: no igualmente probable b. Ha: al menos uno es diferente c. Ha: porcentajes diferentes de los especificado 11.11 a. ; b. 11.15 a. b. x 2 c. Ha: preferencias no iguales no rechazar; no rechazar a Ho 11.17 Ha: proporciones diferentes; ; ; x 2 9.21; Rechazar Ho 11.19 a. 60 b. 2 c. Ha: razn distinta de 6:3:1 ; ; ; no rechazar Ho Rechazar Ho 11.21 Ha: las proporciones son diferentes ; ; ; no rechazar Ho 11.23 Ha: Opiniones distribuidas de manera diferente ; ; ; Rechazar Ho 11.25 Ha: Opiniones distribuidas de manera diferente ; ; ; no rechazar Ho 11.27 Ha: proporciones diferentes ; ; ; Rechazar Ho 11.29 a. Ha: proporciones diferentes de la lista ; ; ; Rechazar Ho b. 4a. celda 11.31 a. Ha: La preferencia de los votantes y la afiliacin partidista no son independientes. b. Ha: La distribucin no es la misma para los tres c. Ha: La proporcin de s no es la misma en todas las categoras x 2 7.81 P 0.005 x 2 44.4928 x 2 12.6 P 0.0352 x 2 13.537 x 2 12.6 P 0.123 x2 10.05 x 2 9.49 P 0.005 x 2 213.49 x 2 7.81 P 0.062 x 2 7.35 x2 4.61 P 0.263 x2 2.67 P 0.005 x 2 16.317 ; ; x 2 7.78 P 0.355 x 2 4.40; P(E) 0.2 Ho: P(A) P(B) P(C) P(D) P(x 2 5.98|gl 2); 0.05 P 0.10 0.005 P 0.01 P(x2 12.25|gl 3) P(F) 0.41, P(P) 0.05 Ho: P(E) 0.16, P(G) 0.38, P (3) 2/8, P (4) 1/8 Ho: P(1) 2/8, P(2) 3/8, Ho: P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) 0.2 13.1 x 2 40.6 x 2 29.1 x 2 11.3 a. 23.2 b. 23.3 c. 3.94 d. 8.64 www.fullengineeringbook.net 770 Respuestas a los ejercicios seleccionados 10 11.37 Ha: La direccin no fue independiente del tipo de vehculo ; ; ; Rechazar Ho 11.39 Ha: Tener Tourette no es independiente de etnicidad y raza; no rechazar Ho ; ; ; 11.41 Ha: Respuesta no es independiente de aos ; ; ; no rechazar Ho 11.43 Ha: Tamao de comunidad de residencia no es independiente de tamao de comunidad de crianza ; ; ; rechazar Ho 11.45 H : nmero de defectos no es independiente del da ; ; ; no rechazar Ho 11.47 Ha: Creadores y lectores de blog no estn igualmente proporcionados ; ; ; 11.49 Ha: Distribuciones diferentes ; ;x2 7.81; 11.51 Ha: Miedo y no miedo no estn igualmente proporcionados ; ; ; rechazar Ho 11.53 Gnero: Ha: Mujeres y hombres no estn igualmente proporcionados para cada dosis ; ; ; no rechazar Ho no rechazar a Ho no rechazar Ho Dosis: Ha Los grupos etreos no estn igualmente proporcionados para cada dosis 11.55 a. ; b. , ; , c. S 11.57 Ha: proporciones diferentes de 1:3:4 ; ; ; rechazar Ho 11.59 Ha: porcentajes diferentes de lo mencionado ; ; ; no rechazar Ho 11.61 Ha: porcentajes diferentes de lo mencionado ; ; ; rechazar Ho 11.63 , , , , , Ha: Los pesos no son N(160, 15); ; ; ; no rechazar Ho 11.65 a. Ha: Las distribuciones son diferentes ; ; ; no rechazar Ho b. ; ; ; Rechazar Ho c. ; ; ; Rechazar Ho d. Ji cuadrada se vuelve ms sensible a variaciones conforme el tamao de la muestra se vuelve ms grande 11.67 a. s b. el turno tiene un efecto, los defectos dependen de los turnos c. Ha: las proporciones son diferentes de turno a turno; ; ,x2 16.8, no rechazar Ho Nota: usar un valor de p redondeado conducir a la decisin opuesta de la que produce el mtodo clsico 11.69 Ha: La preferencia poltica no es independiente de la edad; ; ; ; Rechazar Ho 11.71 Ha: Las distribuciones fueron diferentes: ; ; ; no rechazar Ho 11.73 Ho: La proporcin de rosetas de maz que revientan es la misma para todas las marcas; ; ; ; no rechazar Ho 11.75 a. 2003: 73.2%; 2004: 74.2% b. Ha: La razn de donadores de rganos no es la misma; ; ; ; Rechazar Ho c. Con tamaos muestrales muy grandes, las diferencias deben ser muy pequeas para ser consideradas como no existentes. Captulo 12 12.1 Respecto al promedio: 3 ms bajos-Dallas, Seattle, San Luis; 3 ms altos-Atlanta, Boston, Filadelfia. La diferencia ms grande entre San Luis y Filadelfia, ambas en promedio y lmites. x 2 3.84 P 0.015 x 2 5.955 x 2 7.81 P 0.417 x 2 2.839 x 2 12.6 P 0.793 x 2 3.123 x 2 13.3 P 0.005 x 2 23.339 P 0.0103 x 2 16.734 x 2 11.1 P 0.005 x 2 92.93 x 2 11.1 P 0.005 x 2 36.761 x 2 11.1 P 0.2877 x 2 6.1954 x 2 11.1 P 0.325 x 2 5.812 P(x 190) 0.0228 P(175 x 190) 0.1359 P(160 x 175) 0.3413 P(145 x 160) 0.3413 P(130 x 145) 0.1359 P(x 130) 0.0228 x 2 15.1 P 0.003 x 2 17.92 x 2 9.49 P 0.153 x 2 6.693 x2 5.99 P 0.006 x 2 10.33 P 0.007 x 2 12.127 P 0.044 x 2 8.083 P 0.257 x 2 4.043 ; ; no rechazar Ho x 2 13.3 P 0.114 x 2 7.449; x 2 9.21 P 0.613 x 2 0.978 x 2 13.3 P 0.005 x 2 80.959 P 0.444 x 2 2.678 x 2 5.99 P 0.138 x 2 3.954 x 2 9.49 P 0.074 x 2 8.548 x 2 13.3 P 0.005 x 2 35.741 x 2 6.25 P 0.335 x 2 3.390 x 2 5.99 P 0.488 x 2 1.434 x 2 6.63 P 0.000 x 2 71.249 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 771 12.3 Usa una prueba t de dos muestras para comparar los tiempos de traslado ms bajo y ms alto. 12.5 a. Atlanta: 16.52 a 32.81; Boston: 24.16 a 41.84 b. Las medias parecen diferentes, pero los intervalos se traslapan a la mitad. c. 23.85 a 37.87 d. Dallas muy cerca de Boston y tambin se traslapa Atlanta a la mitad e. Los tiempos de traslado medios son iguales f. Los intervalos de confianza calculados son todos ms anchos y los promedios calculados son todos ms altos que los dados en El Ajetreo Matutino. 12.7 12.9 a. ; ; b. 12.11 mayor variabilidad entre los cuatro niveles 12.13 a. S, las ciudades mencionadas son muy diferentes que el promedio nacional. b. Las ciudades son independientes y cada estable- cimiento de estacionamiento debe ser independiente dentro de la ciudad. Las muestras aleatorias de establecimientos de estacionamiento se selecciona- ron para cada ciudad y se calcularon los promedios. Cada uno sera parte del gran conjunto de todos los costos de establecimiento de estacionamiento que se us para calcular el promedio nacional de $15. 12.15 a. 0 b. 2 c. 4 d. 31 e. 393 12.17 ; .a Ha: no todas iguales ; .b Ha: no todas iguales ; .c Ha: no todas iguales d. ; Ha: no todas iguales 12.19 a. b. c. 12.21 a. depende de si es mayor o menor que a b. Rechazar Ho c. No rechazar Ho 12.23 a. El factor de prueba no tiene efecto b. El factor de prueba tiene un efecto c. ; F en la regin crtica d. efecto significativo e. ; F en regin no crtica f. Factor puesto a prueba no tiene efecto significativo. 12.27 a. 17 b. f. Muy probablemente fallar para rechazar Ho 12.29 Ha: media para trabajadores no es toda igual Fuente gl SS MS F* Trabajo 2 17.73 8.87 4.22 Error 12 25.20 2.10 Total 14 42.93 ; ; Rechazar Ho 12.31 Ha: medias no son iguales Fuente gl SS MS F* Factor 3 130.66 43.55 21.59 Error 34 68.60 2.02 Total 37 199.26 ; ; Rechazar Ho 12.33 Ha: calificaciones medias no iguales; Fuente gl SS MS F* Factor 2 19.60 9.80 3.68 Error 12 32.00 2.67 Total 14 51.60 o ; No rechazar Ho 12.35 Ha: edad media por grupos no es toda igual; Fuente gl SS MS F* Group 2 255 127 0.81 Error 55 8622 157 Total 57 8876 ; ; No rechazar Ho 12.37 a. b. No, cada diagrama de caja parece aproximada- mente igual que los otros San Luis Seattle Filadelfia Dallas Boston Atlanta 50 40 30 20 10 C8 MinutosAjetreo matutino en seis grandes ciudades EUA F 3.23 P 0.449 F 3.89 P 0.057 F 4.51 P 0.000 F 3.89 P 0.041 gl(Grupo) 2 P a P a F 3.44 F 5.99 F 3.34 Ho: m1 m2 m3 Ho: m1 m2 m3 m4 Ho: m1 m2 m3 m4 Ho: m1 m2 m3 m4 m5 41.2667/2.3765 17.36 MS(Error) 2.3765 MS(Factor) 41.2667 SS(Factor) 123.8; gl(error) 17; Unidades producidas por hora en cada nivel de temperatura x 3 12 7 8 9 10 1 1 1 1 11 6 2 2 2 2 2 5 4 3 3 3 3 www.fullengineeringbook.net 772 Respuestas a los ejercicios seleccionados c. Ha: Los tiempos de traslado medios para ciudades no son iguales Fuente gl SS MS F* Factor 5 372.5 74.5 0.96 Error 30 2 329.0 77.6 Total 35 2 701.6 ; ; No rechazar Ho Las medias no son significativamente diferentes d. S, estn de acuerdo; los centros y dispersiones para cada ciudad parecen las mismas grfica y estadsticamente. e. No; no; no, slo se pregunta en un formato diferente. 12.39 a. b. Ha: la "edad ideal" media no es la misma para todos los grupos etreos Fuente gl SS MS F* Factor 5 3 765.3 753.1 42.33 Error 30 533.7 17.8 Total 35 4 299.0 ; ; Rechazar Ho d. "Edades ideales" fueron diferentes pues las medias no se alinean horizontalmente 12.41 a. Ha: La propina porcentual media para das de la semana no son iguales Fuente gl SS MS F* Factor 2 132.1 66.0 2.46 Error 33 886.8 26.9 Total 35 1 018.9 ; ; No rechazar Ho b. Ha: Propina porcentual media para importes de factura no son iguales Fuente gL SS MS F* Factor 2 254.9 127.4 5.50 Error 33 764.0 23.2 Total 35 1 018.9 ; ; Rechazar Ho 12.43 a. El ensayo 1 parece tener ms variacin y una media ms alta. b. Ha: Los resultados de ensayo no fueron todos iguales Fuente gl SS MS F* Factor 4 94 514 23 629 4.29 Error 95 523 510 5 511 Total 99 618 024 ; ; Rechazar Ho 12.45 b. d. Ha: nmero medio de artculos comprados no es el mismo para meses Fuente gl SS MS F* Mes 11 84 869 019 7 715 365 7.56 Error 50 51 003 447 1 020 069 Total 61 135 872 465 ; ; Rechazar Ho 12.47 a. Ha: cantidad media de sal no es la misma b. muestras aleatoria/independiente/normal, 0.05, F c. no rechazar Ho, no diferencia significativa 12.49 a. Ha: cantidad media gastada no es la misma b. No rechazar Ho c. no d. no F 2.08 P 0.01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nmero medio de artculos comprados por da Artculos Mes0 0 2 7 0 0 9 5 400 6 300 4 500 3 600 2 700 1 800 F 2.49 P 0.003 Ensayo1Ensayo2Ensayo3Ensayo4Ensayo5600 700 800 900 1 000 1 100 Diagrama de cajas de Ensayo1 Ensayo5 (medias se indican con crculos slidos) * * * * * F 3.32 P 0.009 F 3.32 P 0.101 F 2.53 P 0.01 70 60 50 40 30 20 Datos"Edad ideal" por grupos etreos reales 1824 2529 4049 5064 65 3039 F 2.53 P 0.458 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 773 12.51 Ha: cantidades medias dispensadas no son iguales; Fuente gl SS MS F* Mquina 4 20.998 5.2495 31.6 Error 13 2.158 0.166 Total 17 23.156 ; ; Rechazar Ho 12.53 Ha: distancia media de frenado es afectada Fuente gl SS MS F* Marca 3 95.36 31.79 4.78 Error 19 126.47 6.66 Total 22 221.83 ; ; Rechazar Ho 12.55 Ha: marcas de bolas de golf no soportan pruebas de durabilidad igualmente bien Fuente gl SS MS F* Marca 5 75 047 15 009.4 5.30 Error 36 101 899 2 830.5 Total 41 176 946 ; ; Rechazar Ho 12.57 a. Ha: puntos medios anotados por divisin no son iguales Fuente gl SS MS F* Divisin 3 16 885 5 628 0.85 Error 28 184 551 6 591 Total 31 201 436 ; ; No rechazar Ho b. Ha: puntos medios anotados en contra por divisin no son iguales Fuente gl SS MS F* Divisin 3 5 718 1 906 0.53 Error 28 99 912 3 568 Total 31 105 630 ; ; No rechazar Ho 12.59 Ha: Ganancias estacionales medias no son iguales Fuente gl SS MS F* Estacin Error Total 145 652 222 862 272 222 1 007 924 444 3 68 71 48 550 741 12 680 474 3.83 ; ; Rechazar Ho 12.63 a. Ha: ancho de ptalo medio no es el mismo Fuente gl SS MS F* Especie 2 1 671.56 835.78 118.06 Error 27 191.14 7.08 Total 29 1 862.70 ; ; Rechazar Ho b. Ha: ancho de spalo medio no es el mismo Fuente gl SS MS F* Especie 2 197.1 98.6 7.78 Error 27 342.2 12.7 Total 29 539.4 ; ; Rechazar Ho c. El tipo 0 tiene el PW ms corto y el SW ms largo. El tipo 1 tiene el PW ms largo y el WS medio. El tipo 2 tiene el PW medio y el SW ms corto. 12.67 b. c. S d. Ha: costo total medio de artculos comprados por da no es el mismo Fuente gl SS MS F* Da 5 2 657 284 622 531 456 924 2.24 Error 56 13 311 874 185 237 712 039 Total 61 15 969 158 806 ; ; No rechazar Ho 12.69 42 F 2.45 P 0.063 1 2 3 4 5 6 Diagrama de puntos de costo total de artculos comprados frente a da de la semana Ventas Da0 0 0 0 8 0 0 0 0 1 60 000 70 000 50 000 40 000 30 000 20 000 F 3.37 P 0.002 F 3.37 P 0.01 F 2.76 P 0.014 F 2.95 P 0.663 F 2.95 P 0.476 F 2.48 P 0.001 F 3.13 P 0.012 F 5.21 P 0.01 12.61 a. Ha: comparacin nominal media no es la misma: Fuente df SS MS F* Factor 4 0.001830 0.000458 1.05 Error 105 0.045732 0.000436 Total 109 0.047563 ; ; no rechazar Ho F 3.65 P 0.385 Ho www.fullengineeringbook.net 774 Respuestas a los ejercicios seleccionados Captulo 13 13.1 a. Estatura de esposa; a lo largo del eje x b. Estatura de marido; a lo largo del eje y c. S; el patrn oval alargado de puntos sugiere una relacin lineal. 13.3 a. la suma de desviaciones en torno a la media fue cero b. divide los datos en 4 cuadrantes 13.5 a. b. un poco similar c. de 1.8 a 4.0 d. No, no ayuda 13.7 a. b. 4.44; , , , , ; c. 2.981, 1.581 d. 0.943 e. 0.943 13.11 a. b. relacin lineal ligeramente negativa c. tendencia ligeramente descendente, conforme puntos en contra aumenta, punto a favor disminuye 13.13 a. 60 b. 40.99, 20.98 c. 0.07 13.17 a. 0.17 a 0.52 b. El intervalo se vuelve ms estrecho. 13.19 a. 0.40 a 0.74 b. a c. 0.05 a 0.93 d. a 13.21 , ; 0.955; 0.78 a 0.98 13.23 a. b. 0.55 r 1.00 13.25 a. Ha: r 0 b. Ha: r 0 c. Ha: r 0 d. Ha: r 0 13.27 a. 0.05 P 0.10 b. 0.025 P 0.05 13.29 a. b. , es cola izquierda; 0.378, es cola derecha 13.31 b. P 0.01 c. , con tabla; 0.507, con interpolacin d. significativo en 13.33 ; ; , ; rechazar Ho 13.35 ; ; ; ; Rechazar Ho 13.37 ; ; ; , ; Rechazar Ho 13.39 a. b. , , , , ; Rechazar Ho r 0.754 r 0.754 P 0.013 r 0.861 Ha: r 0 r 0.861 r 0.632 r 0.632 P 0.006 r 0.798 Ha: r 0.0 r 0.211 0.025 P 0.05 r 0.24 Ha: r 0.0 r 0.378 r 0.378 r 0.43; 0.05 P 0.10 Ha: r 0.0 a 0.01 0.537 0.378 0.444 r 0.937 y2 55,826 xy 56 574, x2 57 496, y 736, x 746 0.45 0.65 0.15 0.78 500 550 450 400 350 300 250 200 500 450 400 350 300 250 200 Puntos a favor Puntos en contraEquipos ftbol NFL 2009 r 0.460 y2 145 xy 215 x2 330 y 35 x 50 X Y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 3 2 1 5 6 ACT Su primer semestre en Universidad Mujeres, ACT Hombres, ACT GPA10 20 30 2 3 4 ACT Su primer semestre en Universidad Mujeres, ACT Hombres, ACT GPA10 20 30 2 3 4 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 775 13.41 a. Mayor produccin usualmente no mejora la calidad deseada. b. La relacin en el diagrama de dispersin sugiere que la mayor produccin reduce el contenido de sacarosa de las remolachas azucareras. c. d. ; ; ; , ; Rechazar Ho f. Resumen de datos: ; ; ; , ; Rechazar Ho 13.45 ; All Star puntos 13.47 a. b. lineal c. no puede predecir con confianza fuera del rango d. e. $3 731.75 f. $75.09 g. 113 511.0434 13.49 a. , , , , ; b. 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5 c. , 0.5 alternativamente d. 0.3125 e. 0.3125 13.53 0.1564 13.55 a. b. a 13.57 a. b. 1.60 a 2.48 13.59 a. b. c. 13.61 a. c. ; no un predictor efectivo d. 30.732 (2.31)(17.158) P 0.111 y 5 936.79 30.732x 0.05 P 0.10 0.05 P 0.10 0.01 P 0.025 y 348 2.04x 0.090 0.390 libros 20.3 0.150 horas TV 0.5 X Y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 5 4 3 2 1 y 1.0 0.5x y2 145 xy 215 x2 330 y 35 x 50 y 1 900 7 509x 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 Peso quilates PrecioDiamantes 8.81 0.146 r 0.166 30.0 27.5 25.0 22.5 20.0 17.5 15.0 20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 7.5 5.0 Puntos All StarAsociacin Nacional de Bsquetbol Puntos promedio por juego frente apariciones All-Star r 0.632 r 0.632 P 0.004 r 0.813 Ha: r 0.0 r 0.813 n 11, Produccin Sacarosa32 30 28 26 24 22 20 20 19 18 17 16 Cultivo remolacha azucarera Montana sin carbono r 0.602 r 0.602 P 0.020 r 0.686 Ha: r 0.0 r 0.686 Produccin Sacarosa32 30 28 26 24 22 20 20 19 18 17 16 Cultivo remolacha azucarera Montana www.fullengineeringbook.net 776 Respuestas a los ejercicios seleccionados 13.63 a. b. , , , , ; c. ; o Rechazar Ho d. 1.48 a 3.84 13.65 a. b. ; ; ; ; Rechazar Ho c. 0.645 a 0.949 13.67 a. b. c. ; ; , ; Rechazar Ho d. e. ; ; ; ; Rechazar Ho 13.69 ; 52.3 a 52.5 13.71 a. 13.04 b. ; 9.81 a 16.27 c. ; 4.69 a 21.39 d. ; 23.41 a 29.31 ; 18.11 a 34.61 13.73 , , , , ; a. ; 15.4 a 19.1 b. ; 11.6 a 22.8 13.77 a. patrn global es alargado b. pendiente significativa c. noviembre y diciembre: temporada de fiestas 13.79 a. c. ; d. ; ; ; , t 2.01; Rechazar Ho e. ; $29 410.60 a $32 352.40 13.81 a. Siempre b. Nunca c. A veces d. A veces e. Siempre 13.83 ; ; ; ; Rechazar Ho 13.85 a. ; ; ; , ; Rechazar Ho b. 118.7 13.87 a y c. d. , , , , ; e. f. g. 2.43 a 2.67 2.19 a 2.49 h. 2.12 a 2.98 1.90 a 2.78 13.89 , , , , a. ; ; ; , ; Rechazar Ho b. c. ; ; 0.005 P 0.01; t 1.73; Rechazar Ho d. ; 18.53 a 38.47 28.50 9.97 t 2.61 Ha: b1 0 y 16.40 0.189x r 0.433 r 0.433 0.01 P 0.02 r 0.513 Ha: r 0.0 y2 15 861 xy 32 548 x2 70 033 y 567 x 1 177 0.496 a 0.334 se 0.196697 y 3.79 0.415x y2 159.49 xy 98.75 x2 104.75 y 52.7 x 37.5 X Y0 1 2 3 4 4 3.5 3 2.5 2.0 r 0.482 r 0.482 P 0.01 r 0.61 Ha: r 0.0 r 0.257 P 0.005 r 0.69 Ha: r 0.0 30 881.5 1 470.94 t 2.01 P 0.01 t 73.68 Ha: b1 0 y 184.50 10.3555x r 0.995 Artculos E-O Ventas E-O4 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 1 000 40 000 35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 S 711.132 R-Sq 99.1% R-Sq(adj) 99.1% Grfica lnea ajustada Ventas E-O = 184.5 + 10.36 artculos E-O 17.24 5.59 17.24 1.88 y 6.3758 5.4303x y2 2 504 xy 275 x2 31.5625 y 152 x 16.25 26.36 8.25 26.36 2.95 13.04 8.35 13.04 3.23 52.4 0.14 t 1.70 P 0.005 t 4.82 Ha: b1 0 y 0.0881 0.0221x r 0.381 r 0.381 P 0.01 Ha: r 0.0 0.674 Poder grupo 2 C/O grupo 20 1 2 3 4 5 6 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 Lentes contacto-Bausch & Lomb Poder frente a cierto efecto ptico t 1.67 P 0.000 t 10.41 Ha: b1 0 Altura esposo 17.2 0.797 Altura esposa t 1.86, t 6.55; P 0.005 Ha: b1 0 y 2.38 2.664x y2 5 075 xy 1 670 x2 566 y 205 x 68 Distancia Traslado a universidad Tiempo0 5 10 35 25 15 5 www.fullengineeringbook.net Respuestas a los ejercicios seleccionados 777 13.91 a. ; ; ; ; Rechazar Ho b. ; ; 14.38 a 20.08 c. ; 24.39 a 29.59 13.93 Las relaciones (costo frente a artculos, costo frente a ventas) no son tan fuertes: puede haber un cliente que no realice compras. 13.95 , , , , ; Captulo 14 14.1 a. slo involucra los conteos de signos ms y menos b. mediana, la mitad de los datos est arriba de la mediana y la mitad est abajo 14.3 39 a 47 14.5 a 1 14.7 a. Ha: Mediana 18 b. Ha: Mediana 32 c. Ha: Mediana 4.5 14.9 a. 0.01 b. 0.025 P 0.05 c. 0.005 d. 0.0104 14.11 Ha: Mediana 42 aos; o ; no rechazar Ho 14.13 Ha: P(+) 0.5 Si P a, rechazar Ho; si P a, no rechazar Ho a. , b. , c. , d. , 14.15 a. 26 5 2 9 31 10 12 b. Ha: M 0 (mejorada); ; o ; x 2; no rechazar Ho c. 11 6 2 0 16 Ha: M 0 (mejorada); ; o ; ; no rechazar Ho 14.17 Ha: preferencia por nuevo; ; ; or z 2.33; no rechazar Ho 14.19 ; 14.21 a. Diferencia entre dos medias independientes b. no se usa el tamao de los datos, slo su rango 14.23 a. Ho: iguales; Ha: son diferentes b. Ho: igual; Ha: no igual c. Ho: iguales; Ha: A es mayor que B 14.25 a. P 0.05 b. c. 14.27 a. U 88 b. 14.31 Ha: no igual; ; P 0.10 o U 3; no rechazar Ho 14.35 Ha: es mayor; ; ; ; ; Rechazar Ho 14.37 a. Ho: Orden aleatorio; Ha: No ocurre en orden aleatorio b. Ho: La secuencia est en orden aleatorio; Ha: No aleatorio c. Ho: El orden fue aleatorio; Ha: No aleatorio 14.39 a. o b. o 14.41 Ha: la secuencia no est en orden aleatorio; ; , ; no rechazar Ho 14.43 Ha: no en orden aleatorio; , ; Rechazar Ho 14.45 a. 3.55; b. Ha: no ocurre al azar; P 0.05, , ; no rechazar Ho 14.47 b. ; c. S, rechazar d. Tiempo muerto0 5 10 15 20 25 32.5 50 40 30 20 P 0.00016 z 3.76 V 13 V 3 V 7; V 7 V 19 V 8 P 0.05; V 21; V 12 V 4 P 0.05 V 9; z 1.96 z 1.96 V 22 V 9 z 1.65 P 0.0045 z 2.61 U 178 U 12.5 z 1.65 P 0.0089 P 0.05 x 718 Ha: P( ) 0.5 P 0.0409 z 1.74 p 0.5 x 2 P 0.125 P 0.887 x n( ) 4 7 11 8 5 4 26 9 d 2007 2003 P 0.125 P 0.387 x n( ) 5 15 2 9 19 39 d 2003 1999 P 0.25 x n( ) 33 0.10 P 0.25 x n( ) 30 0.01 P 0.05 x n( ) 27 P 0.01 x n( ) 20 x 39 0.05 P 0.10 x n( ) 40; 7 r 0.9973 b1 1.5811 y2 326 xy 145 x2 66 y 38 x 16 26.99 2.60 17.23 2.85 y 2.30 0.39x r 0.360 P 0.005 r 0.895 Ha: r 0.0 www.fullengineeringbook.net 778 Respuestas a los ejercicios seleccionados 14.49 a. Ha: no ocurre al azar; P 0.05; , ; no rechazar Ho b. ; ; , ; Rechazar Ho 14.53 a. Ho: no hay relacin; Ha: hay relacin b. Ho: no relacionado; Ha: relacionado c. Ho: no correlacin; Ha: correlacin positiva d. Ho: la edad no tiene efecto; Ha: la edad tiene un efecto decreciente 14.55 a. o rs 0.538 b. c. 14.57 a. 0.133 b. Ha: rs 0; ; P 0.10; rs 0.564; no rechazar Ho 14.59 , , 0.753 14.61 Ha: rs 0; ; 0.01 P 0.025; rs 0.564; Rechazar Ho 14.63 b. Ha: rs 0; ; ; , rs 0.538; no rechazar Ho c. Ha: rs 0; ; ; , rs 0.538; Rechazar Ho d. Ha: rs 0; ; ; , rs 0.538; Rechazar Ho 14.65 a. c. d. Ha: rs 0; ; P 0.10; , rs 0.488; no rechazar Ho 14.67 0.502 14.69 a. b. sesgado derecha c. 5.0 a 6.3 14.71 a. Ha: Mediana 50; ; ; x 9; no rechazar Ho b. Ha: Mediana 50; ; ; x 10; Rechazar Ho 14.73 Ha: B es ms rpida; no rechazar Ho 14.75 Rechazar para U 127 14.77 Ha: Existe una diferencia; U 2; Rechazar Ho 14.79 b. BA: Ha: LA son ms altos ; U 71; Rechazar Ho ERA: Ha: LN es ms bajo; P 0.05 o ; U 71; no rechazar Ho 14.81 Ha: Falta de aleatoriedad; P 0.05; , ; no rechazar Ho 14.83 a. b. Ha: Falta de aleatoriedad; P 0.05; , ; no rechazar Ho 14.85 Ha: rs 0; ; P 0.005; rs 0.401; Rechazar Ho rs 0.880 V 16 V 6 V 12; Mediana 22.5, Rachas arriba: 6, abajo: 6 V 10 V 4 V 9; P 0.0917 U 79.5; P 0.0179 P 0.025 o U 61; P 0.05; U 2; x 1; P 0.05; x n( ) 2; P 0.0494 x n( ) 10 P 0.0987 x n( ) 10 rs 0.488 rs 0.272 rs 0.538 P 0.016 rs 0.631 rs 0.538 P 0.046 rs 0.540 rs 0.538 P 0.000 rs 0.980 rs 0.736 d2 70.5 n 12 rs 0.133 rs 0.550 rs 0.324 rs 0.538 z 1.96 z 1.96 P 0.0456 z 2.00 V 20 V 8 V 9; Rango estatal Porcentaje estudiantes en o arriba nivel competencia Rango NAEP15 10 5 0 0 5 10 15 Estado Porcentaje estudiantes en o arriba nivel competencia Porcentaje en o arribaAKCTGAIDKSLAMAMIMONCNDNYRISCTXVTWY90 80 70 60 Estatal NAEP 50 40 30 20 10 0 www.fullengineeringbook.net 779 ^ ^ \ @ \ ^ Captulo 1, pgina 30 Parte I 1.1 @ 1.2 1.4 1.5 ^ 1.6 @ 1.7 @ 1.9 Parte II 1.11 1.12 Parte III 1.13 &RQVXOWDODVGHQLFLRQHVORVHMHPSORVYDULDUiQ1RWD HVHOFRQMXQWRGH72'2ORSRVLEOHPLHQWUDV " HVHOFRQMXQWRUHDOGHORVVXMHWRVHVWXGLDGRV 1.14 &RQVXOWDODVGHQLFLRQHVORVHMHPSORVYDULDUiQ1RWD > ~ " @ 1.15 &RQVXOWDODVGHQLFLRQHVORVHMHPSORVYDULDUiQ1RWD > @ " @ " ; @ " ^ 1.16 7RGRHOHPHQWRGHODSREODFLyQWLHQHXQDLJXDOSRVLEL Captulo 2, pgina 116 Parte I 2.1 2.2 ^ 2.3 2.5 2.6 " Parte II 2.11 a. 30 b. 46 c. 91 d. 15 e. 1 f. 61 g. 75 h. 76 i. 91 j. 106 o 114 2.12 @ c. 40 d. 120 e. 5 f. 2 g. 3 h. 3 2.13 a. 6.7 b. 7 c. 8 d. 6.5 e. 5 f. 6 g. 3.0 h. 1.7 i. 5 2.14 Parte III 2.15 2.16 20 30 40 50 60 70 80 moda mediana media rango medio Salario ($1 000) 6HxRU9DQ&RWWUDQJRPHGLRJHUHQWHHPSUHVDPH GLDVXSHUYLVRUPHGLDQDWUDEDMDGRUQXHYRPRGD ^ Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos www.fullengineeringbook.net 780 Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos 2.17 Hay ms de una posible respuesta para esto. a. 12, 12, 12 b. 15, 20, 25 c. 12, 15, 15, 18 d. 12, 15, 16, 25, 25 e. 12, 12, 15, 16, 17 f. 20, 25, 30, 32, 32, 80 2.18 A est en lo correcto; B est equivocado; la desviacin estndar no cambiar. 2.19 B est en lo correcto. Por ejemplo, si la desviacin estndar es $5, entonces la varianza (desviacin estndar)2 , es "25 dlares al cuadrado". Quin sabe qu son "dlares al cuadrado"? Captulo 3, pgina 169 Parte I 3.1 regresin 3.2 fuerza de la 3.3 1 o 1 3.5 positivo 3.7 positivo 3.8 1 y 1 3.9 valor de salida o predicho Parte II 3.11 a. b, d, a, c b. 12 c. 10 d. 175 e. N f. (125, 13) g. N h. P 3.12 Alguien cometi un error en aritmtica; r debe estar entre 1 y 1. 3.13 a. 12 b. 10 c. 8 d. 0.73 e. 0.67 f. 4.33 g. 4.33 0.67x Parte III 3.14 Los nios pequeos tienen pies pequeos y probablemente tienden a tener menos habilidad matemtica, mientras que los adultos tienen pies ms grandes y tenderan a tener ms habilidad. 3.15 El estudiante B est en lo correcto. 1.78 puede ocurrir slo como resultado de una aritmtica fallida. 3.16 Estas respuestas variarn pero de algn modo deben incluir las ideas bsicas: a. fuerte negativo b. fuerte positivo c. no correlacin d. no correlacin e. valor imposible, mala aritmtica 3.17 Hay ms de una posible respuesta para esto. a. (1, 1), (2, 1), (3, 1) b. (1, 1), (3, 3), (5, 5) c. (1, 5), (3, 3), (5, 1) d. (1, 1), (5, 1), (1, 5), (5, 5) Captulo 4, pgina 229 Parte I 4.1 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 Parte II 4.11 a. b. c. d. e. f. g. 0 h. i. j. k. l. 0 m. n. no (e) o. s (g) p. no (i) q. s (a, k) r. no (b, 1) s. s (a, m) 4.12 a. 0 b. 0.7 c. 0 d. no (c) 4.13 a. 0.7 b. 0.5 c. no, P(E y F) 0.2 d. s, P(E ) P(E | F) 4.14 0.51 Parte III 4.15. El estudiante B est en lo correcto. Mutuamente excluyente significa no interseccin, mientras que independencia significa que un evento no afecta la probabilidad del otro. 4.16 Estas respuestas variarn pero de algn modo deben incluir las ideas bsicas: a. no ocurrencia comn b. cualquier evento no tiene efecto sobre la probabilidad del otro c. la frecuencia relativa con la que ocurre el evento d. probabilidad de que un evento ocurrir aun cuando el evento condicional ocurri anteriormente Captulo 5, pgina 267 Parte I 5.1 continua 5.3 uno 1 2 2 4 5 8 1 8 6 8 6 8 2 8 6 8 2 8 4 8 4 8 y cualquier valor numrico entre 0 y 1, inclusive simple rara vez suma de 1.0 dependiente complementario mutuamente excluyentes o dependiente regla de multiplicacin www.fullengineeringbook.net Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos 781 5.5 exactamente dos binomial un xito que ocurre en un ensayo poblacin parmetros poblacionales 5.6 5.7 5.8 5.9 Parte II 5.11 a. Cada P(x) est entre 0 y 1 y la suma de todos los P(x) es exactamente 1. b. 0.2 c. 0 d. 0.8 e. 3.2 f. 1.25 5.12 a. 0.230 b. 0.085 c. 1.2 d. 1.04 Parte III 5.13 n ensayos repetidos independientes de dos resultados; los dos resultados son "xito" y "fracaso"; p 5 P(xito) y q 5 P(fracaso) y p q 1; x 5 n(xito) 5 0, 1, 2, . . . , n. 5.14 El estudiante B est en lo correcto. La media y la desviacin estndar muestrales son estadsticos que se encuentran usando las frmulas estudiadas en el captulo 2. Las distribuciones de probabilidad estudiadas en el captulo 5 son poblaciones tericas y sus medias y desviaciones estndar son parmetros. 5.15 El estudiante B est en lo correcto. No hay restricciones acerca de los valores de la variable x. Captulo 6, pgina 310 Parte I 6.1 su media 1 desviacin estndar derecha cero, 1 algunas (muchas) eventos mutuamente excluyentes normal 6.4 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 Parte II 6.11 a. 0.4922 b. 0.9162 c. 0.1020 d. 0.9082 6.12 a. 0.63 b. 0.95 c. 1.75 6.13 a. z (0.8100) b. z (0.2830) 6.14 0.7910 6.15 28.03 6.16 a. 0.0569 b. 0.9890 c. 537 d. 417 e. 605 Parte III 6.17 Esta respuesta variar pero de algn modo debe incluir las propiedades bsicas: forma de campana, media de 0, desviacin estndar de 1. 6.18 Esta respuesta variar pero de algn modo debe incluir las ideas bsicas: es un valor z, a representa el rea bajo la curva y a la derecha de z. 6.19 Todas las distribuciones normales tienen la misma forma y probabilidades en relacin con el valor z. Captulo 7, pgina 338 Parte I 7.1 no es algunas (muchas) poblacin dividido entre disminuye aproximadamente normal muestreo medias aleatoria 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 Parte II 7.11 a. 0.4364 b. 0.2643 7.12 a. 0.0918 b. 0.9525 7.13 0.6247 Parte III 7.14 En este caso, cada cabeza produce una pieza de datos, la longitud estimada de la lnea. El TLC asegura que el valor medio de una muestra es mucho menos variable que los valores individuales de la variable x. 7.15 Todas las muestras deben ser de un tamao fijo. 7.16 El estudiante A est en lo correcto. Una distribucin poblacional es una distribucin formada por todos los valores x que constituyen toda la poblacin. 7.17 El estudiante A est en lo correcto. El error estndar se encuentra al dividir la desviacin estndar por la raz cuadrada del tamao muestral. Captulo 8, pgina 409 Parte I 8.1 alfa 8.2 alfa 1n www.fullengineeringbook.net 782 Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos 8.3 distribucin muestral de la media error tipo II beta decisin correcta regin crtica (de rechazo) 8.7 8.8 8.9 8.10 Parte II 8.11 4.72 a 5.88 8.12 a. H o: m 245, H a: m 245 b. H o: m 4.5, H a: m 4.5 c. H o: m 35, H a: m 35 8.13 a. 0.05, z , z 1.65 b. 0.05, z , z 1.65 c. 0.05, z , z 1.96 o z 1.96 8.14 a. 1.65 b. 2.33 c. 1.18 8.15 a. z 2.50 b. 0.0062 8.16 H o: m 1 520 frente a H a: m 1 520, regin crtica z 2.33, z 1.61, no rechazar Ho Parte III 8.17 a. no efecto especfico b. lo reduce c. lo estrecha d. ningn efecto e. lo aumenta f. lo ensancha 8.18 a. H o (a), H a (b) b. 3 c. 2 d. P(error tipo I) es alfa, disminuye: P(error tipo II) aumenta 8.19 La hiptesis alternativa expresa la preocupacin; la conclusin responde a la preocupacin. Captulo 9, pgina 476 Parte I 9.2 t de Student ji cuadrada rechazar valor t 9.3 9.4 9.6 9.7 n 1 9.9 9.10 z (normal) Parte II 9.11 a. 2.05 b. 1.73 c. 14.6 9.12 a. 28.6 b. 1.44 c. 27.16 a 30.04 9.13 0.528 a 0.752 9.14 a. H o: m 255, H a: m 225 b. H o: p 0.40, H a: p 0.40 c. H o: s 3.7, H a: s 3.7 9.15 a. 0.05, z , z 1.65 b. 0.05, t, t 2.08 o t 2.08 c. 0.05, z , z 1.65 d. 0.05, x2, x2 14.6 o x2 43.2 9.16 H o: m 26 frente a H a: m 26, regin crtica, t 1.71, t 1.86, rechazar Ho 9.17 H o: s 0.1 frente a H a: s 0.1, regin crtica x2 21.1, x2 23.66, rechazar Ho 9.18 H o: p 0.50 frente a H a: p 0.50, regin crtica z 2.05, z 1.29, no rechazar Ho Parte III 9.19 Si la distribucin es normal, 6 desviaciones estndar es aproximadamente igual al rango. Hiptesis alternativa Ambas son correctas. Cuando el tamao de la muestra, n, es grande, el valor crtico de t se estima al usar el valor crtico de la distribucin normal estndar de z. Estudiante A El estudiante B est en lo correcto. Es significativo en el nivel de significancia 0.01. El estudiante A tiene razn. Depende de qu se entienda por mejorar el intervalo de confianza. Para la mayora de los propsitos, un tamao de muestra aumentado sera lo mejor. 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26 Captulo 10, pgina 542 Parte I 10.1 dos medias independientes distribucin F distribucin t de Student t de Student no simtrica (o sesgada) disminuye 10.3 10.4 10.5 10.7 10.9 Parte II 10.11 a. H o: mN mA 0, H a: mN mA 0 b. H o: so/sm 1.0, H a: so/sm 1.0 c. H o: pm pf 0, H a: pm pf 0 1pq /n www.fullengineeringbook.net Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos 783 10.12 a. z , z 1.96 o z 1.96 b. t, t 2.05, t 2.05 c. t, gl 7, t 1.89 d. t, gl 37, t 1.69 e. F, F 2.11 10.13 a. 2.05 b. 2.13 c. 2.51 d. 2.18 e. 1.75 f. 1.69 g. 2.50 h. 1.28 10.14 H o: mL mP 0 frente a H a: mL mP 0, regin crtica t 1.83, t 0.979, no rechazar Ho 10.15 H o: md 0 frente a H a: md 0, regin crtica t 1.89, t 1.88, no rechazar Ho 10.16 0.072 a 0.188 Parte III 10.17 independiente 10.18 Una posibilidad: poner a prueba a todos los estudiantes antes de iniciar el curso, luego seleccionar al azar 20 de los que terminan el curso y ponerlos a prueba ms adelante. Usa las calificaciones antes para estos 20 como la muestra antes. Para quienes inician, si las dos muestras indepen- dientes son de diferentes tamaos, las tcnicas para muestras dependientes podran no completarse. Ponen a prueba conceptos muy diferentes, la "media de las diferencias de datos emparejado" y la "diferencia entre dos valores medios". Slo es significativo si el valor t calculado est en la regin crtica. La variacin entre los datos y su tamao relativo tendr un papel. En realidad las 80 calificaciones son dos muestras independientes de tamao 40. Podra completarse una prueba para comparar las calificaciones medias de los dos grupos. Necesitaras tomar una muestra bastante grande tanto de familias catlicas como de familias no catlicas y necesitaras obtener el nmero de cada una cuyos hijos asisten a escuelas privadas. Entonces podras estimar la diferencia entre dos proporciones. 10.19 10.20 10.21 10.22 Captulo 11, pgina 576 Parte I 11.1 uno menos que esperado tabla de contingencia prueba de homogeneidad aproximada mediante ji cuadrada 11.3 11.4 11.6 11.8 Parte II 11.11 a. Ho: los dgitos generados ocurren con igual probabilidad. H a: los dgitos no ocurren con igual probabilidad. b. H o: los votos se emiten independientemente de la afiliacin partidista. H a: los votos no se emiten independientemente de la afiliacin partidista. c. H o: las distribuciones de crmenes son iguales para las cuatro ciudades. Ha: las distribuciones de crmenes no son iguales. 11.12 a. 4.40 b. 35.7 11.13 H o: H a: preferencias no iguales, x 2 3.78; 0.10 P 0.25 o regin crtica x2 5.99; no rechazar Ho 11.14 a. H o: la distribucin es la misma para todos los tipos de suelo. H a: las distribuciones no son iguales. b. 25.622 c. 13.746 d. 0.005 P 0.01 e. x2 9.49 f. Rechazar Ho: existe suficiente evidencia para demostrar que la distribucin del crecimiento es diferente para al menos uno de tres tipos de suelo. Parte III 11.15 Similar en que existen n ensayos independientes repe- tidos. Diferente en que la binomial tiene dos posibles resultados, mientras que la multinomial tiene varios. Cada posible resultado tiene una probabilidad y dichas probabilidades suman 1 para cada diferente experi- mento, tanto para binomial como para multinomial. La prueba de homogeneidad compara varias distri- buciones en una comparacin lado a lado, mientras que la prueba de independencia pone a prueba la independencia de los dos factores que crean las filas y columnas de la tabla de contingencia. El estudiante A tiene razn en que los clculos se completan de la misma forma. El estudiante B tiene razn en que la prueba de independencia comienza con una muestra grande y la homogeneidad tiene varias muestras. 11.16 11.17 11.18 a. Si se usa una prueba ji cuadrada, los resultados de las cuatro preguntas se combinaran para estimar la probabilidad esperada. b. Usa una prueba ji cuadrada para homogeneidad. P(1) P(2) P(3) 1 3 www.fullengineeringbook.net 784 Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos Captulo 12, pgina 609 Parte I 12.2 media cuadrtica SS(factor) o MS(factor) rechazar Ho el nmero de niveles de factor menos uno media es necesario no indica 12.3 12.5 12.7 12.8 12.9 12.10 Parte II 12.11 a. T b. T c. F d. T e. T f. T g. F h. F i. F j. F k. T l. F m. F n. F o. T 12.12 a. 72 b. 72 c. 22 d. 4 e. 4.5 Parte III 12.13 Esta respuesta variar pero de algn modo debe con- tener las ideas bsicas: es la comparacin de varios valores de media que resultan de poner a prueba alguna poblacin estadstica al medir una variable repetidamente en cada uno de los diferentes niveles para los que se pone a prueba el factor. 12.14 a. xr, k m F aspirador-neutralizador k(r) b. H o: la cantidad media de emisiones es la misma para los tres aspiradores-neutralizadores puestos a prueba. H a: las cantidades medias no son iguales. c. d. F(2, 13, 0.05) 3.81, F 2.47, no rechazar Ho. La diferencia en el valor medio para los aspira- dores-neutralizadores no es significativa. e. Captulo 13, pgina 659 Parte I 13.2 no necesita tener no prueba no necesita el coeficiente de correlacin lineal regresin 13.3 13.4 13.6 13.8 13.9 n 2 Parte II 13.11 13.12. x 720, y 252, x2 49 200, xy 17 240, y2 6228 13.13 SS(x) 6 000, SS( y) 936, SS(xy ) 2 120 13.14 0.895 13.15 0.65 a 0.97 13.16 0.20 0.353x 13.17 Observa la lnea roja de la figura en 13.11. 13.18 4.324 13.19 s; rechazar Ho H o: b1 0 frente a H a: b1 0, t 6.33, 13.20 25.63 a 33.98 13.21 Observa el segmento vertical azul en 13.11. Parte III 13.22 Variable 1. La frecuencia de esquiadores que comprueban sus fijaciones Variable 2. Incidencia de lesiones de parte inferior de la pierna. El enunciado implica que, conforme aumenta la frecuencia con la que se comprueban las fijaciones, disminuye la frecuencia de lesiones de parte inferior de la pierna; por tanto, la fuerte correlacin debe ser negativa para dichas variables. Un "momento" es la distancia desde la cual la media, el producto del momento horizontal y el momento vertical se suman para calcular el coeficiente de correlacin. 13.23 y 30 20 10 TrigoCantidad de trigo cosechado 30 40 50 60 70 80 90 Fertilizante Fuente gl SS MS 2 12.80 6.40 Aspirador- neutralizador Error 13 33.63 2.59 Total 15 46.44 7 9 11 13 I 7 9 11 13 II 7 9 11 13 III www.fullengineeringbook.net Respuestas a los exmenes de prctica de los captulos 785 13.24 Tambin un valor cercano a cero. Las frmulas usadas para calcular ambos valores tienen el mismo numerador, a saber, SS(xy). 13.25 La distancia vertical desde una recta potencial de mejor ajuste a los puntos de datos se mide con ( ). La recta de mejor ajuste se define como la recta que resulta en el menor total posible cuando se totalizan los valores al cuadrado de ( ), por tanto: "el mtodo de mnimos cuadrados". y y 13.26 La fuerza de la relacin lineal podra medirse con el coeficiente de correlacin. 13.27 Se necesitar una muestra aleatoria de la poblacin de inters. Los datos recolectados se necesitan para las variables duracin de tiempo en seguridad social y la medida del nivel actual de autoestima. Captulo 14, pgina 708 Parte I 14.2 prueba t prueba de rachas asignan rangos iguales prueba U de Mann-Whitney poder poder 14.3 14.4 14.7 14.8 14.10 Parte II 14.11 2 a 7 14.12 H o: no hay diferencia en ganancia de peso. H a: hay una diferencia en ganancia de peso, valor crtico: 23, U 32.5, no rechazar Ho. 14.13 H o: no hay correlacin H a: correlacionado, valor crtico: 0.683, rs 0.70, rechazar Ho. S, hay una correlacin significativa. 14.14 ( ) mayor nivel de calificacin que el problema ( ) menor nivel de calificacin que el problema anterior anterior H o: P( ) 0.5 H a: P( ) 0.5, valor crtico: 7, x 5 11, no rechazar Ha. Esta muestra no presenta un patrn significativo. Parte III 14.15 Los estadsticos no paramtricos no requieren suposiciones acerca de la distribucin de la variable. 14.16 La prueba del signo es un experimento binomial de n ensayos (las n observaciones de datos) con dos resultados para cada dato [(1) o (2)], y p P(1) 0.5. La variable x es el nmero del signo menos frecuente. 14.17 La mediana es el valor medio tal que 50% de la distribucin es mayor en valor y 50% es menor en valor. 14.18 El valor extremo en un conjunto de datos puede tener un efecto considerable sobre la media y la desviacin estndar en los mtodos paramtricos. Los mtodos no paramtricos por lo general usan nmeros de rango. El valor extremo con rangos es 1 o n y ninguno cambia si el valor es ms extremo. 14.19 d; p P( ) P(prefiere arreglo asientos A) 5 0.5, no preferencia y y www.fullengineeringbook.net www.fullengineeringbook.net 787 A ` ` ` ` \@ `\ ` ^ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\ @' @ GHQLFLyQ ` ^ ^ @ ^ ` @'` GHQLFLyQ ^ ^ @ `>@ @' ` ^ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ " ` `\>@ \@ ` ^@ B C &DOLFDFLyQHVWiQGDU &DOLFDFLRQHV6$7 @ &LQWXURQHVGHFRQDQ]D ^ &ODVLFDFLyQ >@ ^ >@ &RHFLHQWHELQRPLDO &RHFLHQWHGHFRQDQ]D &RHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ>@ @ &RHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO FLQWXURQHVGHFRQDQ]D\ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHUDQJRGH \ @ GHQLFLyQ @ ^ GHQLFLyQ ^ @ &RHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHUDQJRGH \ @ GHQLFLyQ @ &RHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO ^ FLQWXURQHVGHFRQDQ]D @' @ DQ]D ^ @ @ @ &RHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDOGH @ ' &RQDQ]DQLYHOGH FRHFLHQWHGHFRQDQ]DGHWHUPLQDGRSRU GHQLFLyQ ^ ^ @ @ @ ^ GHQLFLyQ ^ ^ ndice analtico www.fullengineeringbook.net 788 ndice analtico @ @ ^ @ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQGHUDQJRGH \ @ GHQLFLyQ @ @' ^ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\ GHQLFLyQ @ &ULWHULRVGHSRWHQFLD\HFLHQFLD GHQLFLyQ @ D ^ ^ @ ^ ^ GHQLFLyQ @ @ @ @ ' @ @ @ FRQJXUDFLyQ @ @ @ ^ SUHVHQWDFLyQJUiFD ^ @ @ ^ ^ ^ @^ @^ ^ GHQLFLyQ @ " @ ^ ^ ^ ^ ^ @~ @ ~ @ ^ GHQLFLyQ GHQLFLyQ ^ ^ ^ ^ GHQLFLyQ YHULFDFLyQGHPRGHOROLQHDOFRQ GHQLFLyQ GHQLFLyQ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ " @ @ DQ]D ^ ^ ^ ^ ^ >@ @ @ @ GHQLFLyQ @ @ @ ^ ^ GHQLFLyQ @ @ @ @ www.fullengineeringbook.net ndice analtico 789 @ @ \ GHQLFLyQ '" @ >@ GHQLFLyQ @ @ >@ @ GHQLFLyQ ^ @ @ ^ @ GHQLFLyQ @ @ @ GHQLFLyQ @ @ GHQLFLyQ @ @ >@ @ ^ GHQLFLyQ @ >@ ^ " @ ^ @ DQ]D ^ " @ @ DQ]D ^ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ '^ @' @ E ^ '^ @ @ (FLHQFLD `\ GHQLFLyQ " ^ ^ >@ @ @ ~ \ ^ GHQLFLyQ ~ @^ @' " @ GHQLFLyQ www.fullengineeringbook.net 790 ndice analtico ~ ^ @^ ^ ^ ^ ^ >@ @ GHQLFLyQ @ @^ ^ m @' " % FRQJXUDFLyQGHGDWRV ^ >@ \ @ ~ ^ @^ ^ ^ ^ ^ ~ >@ @ ^ ^ FULWHULRVGHSRWHQFLD\HFLHQFLD GHQLFLyQ ^ ^ @ GHQLFLyQ ^ @ GHQLFLyQ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ ' ^ " ^ @ GHQLFLyQ ^ ^ @ GHQLFLyQ ' @ 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GHQLFLyQ ^ ^ GHQLFLyQ @~ ^ GHQLFLyQ @~ >@ @ GHQLFLyQ @~ GHQLFLyQ ^ GHQLFLyQ ~ ~ ~ ~ ^ >@ ~ ~ ~ ~ ~ GHQLFLyQ \ >@ ^ @ \ >@ ^ @ GHQLFLyQ HVWUDWLFDGD @ HVWUDWLFDGDSURSRUFLRQDO @ >@ @ ^ GHQLFLyQ HVWUDWLFDGD @ GHQLFLyQ @^ HVWUDWLFDGDSURSRUFLRQDO SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ ^ VXFLHQWHPHQWHJUDQGH @ @' @ GHQLFLyQ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ " @ GHQLFLyQ GLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ @ FRQDQ]D www.fullengineeringbook.net ndice analtico 793 ^ '^ @' @ GHQLFLyQ ^ ~ ^ N ^ \ \ \ 1LYHOGHFRQDQ]D FRHFLHQWHGHFRQDQ]DGHWHUPLQDGRSRU GHQLFLyQ ^ 1LYHOGHVLJQLFDQFLDa 1LYHOGHVLJQLFDQFLDGHSUXHEDGHKLSy @ @^ ^ ^ 1~PHURGHLGHQWLFDFLyQ O @ GHQLFLyQ ~ P GHQLFLyQ ^ ^ ^ ^ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ @' GHQLFLyQ @ ~ ^>@ @ ^ " @ " @ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQ GHQLFLyQ QLWD LQQLWD ^ @''^ @ ^ GHQLFLyQ ^ ^ @^ ^ @ " @ ^ LQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ ^ ^ @ GHQLFLyQ ^ GHQLFLyQ @ @ @ @ ^ @ ^ ^ ^ @ ^ www.fullengineeringbook.net 794 ndice analtico GHLQWHUYDORGHFRQDQ]DGHXQDPXHVWUD ^ ^ ' SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ ^ ^ ^ ^ @ ^ ^ m ~ ~ @ @^ LQWHUYDORGHFRQDQ]DUHODFLRQDGRFRQ ' QLYHOGHVLJQLFDQFLDGH SDUDFRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO ^ @ ~ " @' ^ ^ @ GHQLFLyQ @ ^ @ GHQLFLyQ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ ^ @ " ^ @ GHQLFLyQ ^ @ ^ ~ ~ R GHQLFLyQ ^ >@ ^ ^ ^ GHQLFLyQ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ ^ ^>@ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ @ ^ LQWHUYDORVGHFRQDQ]DSDUD ^ ^ ~ ~ @ @ ~ ~ @ GHQLFLyQ S \>@ \ \ \ \~ \^ \ \ { " www.fullengineeringbook.net ndice analtico 795 \ \ \ T GHQLFLyQ 3 >@ @ ~ @ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D @ >@ U @' ^ " @ m SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ ' ^ ^ ~ ^ SURFHGLPLHQWRGHLQWHUYDORGHFRQDQ]D ^ @' @^ ^ V @ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\ ^ ^ ^ ^ " >@ $ FRHFLHQWHGHFRUUHODFLyQOLQHDO\ " % @ @ '" GHQLFLyQ ^ ^@ ^ GHQLFLyQ GHQLFLyQ @^ ^ @' >@ >@ @ >@ >@ @ @ GHQLFLyQ @ @ @ GHQLFLyQ @ @ GHQLFLyQ @ @ ^@ GHQLFLyQ GHQLFLyQ ^ @^ @' @ ^>@ @ @ GHQLFLyQ @ @ @ GHQLFLyQ @ @ >@ @ ^ ~>@ @ ^ @ @ ' GHQLFLyQ www.fullengineeringbook.net 796 ndice analtico ^ ^ @ @ GHQLFLyQ " @ ^ ^ ^ ^ '^ @ Z www.fullengineeringbook.net 797 Administracin de negocios, economa y finanzas ` `~ ` @ ` ` ^@ ` `" ` ` ^ &DOLFDFLRQHVGHVROLFLWDQWHVGHPHFDQyJUDIR &DPELRVHQOH\VFDO @ ~ " ^ @ " ~ @ ~ @ ^ ^ ^ ' @ @ @ (VSDFLRGHRFLQDGLVSRQLEOHSDUDDUUHQGD ~ ^ @ @ @ @ " ~ " ' ' ' ^ @ 3DVRPiVYDOLRVRSDUDPHMRUDUODYLGDQDQ ~ @ ^ @ ^ ~ @ @ ^ ~ ^ @ \ \ \ \ \ ^ \^ \^ \ \ @ @ ~ @ 7LHPSRGHHVSHUDHQRFLQDSRVWDO ^ ' " @ @ Agricultura @ @ ^ ' @ ' ' @ ndice de aplicaciones ** ;J* $ & $ www.fullengineeringbook.net 798 ndice de aplicaciones ^ (VSHFLFDFLRQHVGHMLWRPDWH ' ^ @ " ^ ' ^ \ @@ ^ ^ ' ^ ' ^ @ ^ ^ 7LSRGHVXHORTXHLQX\HHQHOFUHFLPLHQWR Ciencias biolgicas `" ' &ODVLFDFLyQGHRUHV &RORUHVSURGXFLGRVSRUVHPLOODVGHRUHV @ ~ ^ ' @ ' ~ ^ ' 1LYHOGHiFLGR~ULFRLQXLGRSRUGLHWD 1~PHURGHHVWDPEUHV\FDUSHORVSRURU @ @ ' ~ ^ @@ " Ciencias fsicas ^ @ &RHFLHQWHGHGLVWULEXFLyQGHHVWURQFLR\ ^ &RHFLHQWHGHUXJRVLGDGSDUDJUDQRVGH ' ^ ~ ^ @^ ~ ^ @^ ^ @ ' " @ ^ 0XHVWUHRVXSHUFLDOHQFRUULHQWHVGHJUDYD \ ^ ^ @ ^ \ @ ' @ Ciencias mdicas ` ` `@ ~ ` ` ^ ` `^ ^ ^ ^ ^ ' ' ^ ^ ^ @ ^ ' " ^ ^ ^ ^ ^ ~ (FDFLDGHDJHQWHDQWLVDUUR @ ~ @ @ ^ ^ ~ ' ^ www.fullengineeringbook.net ndice de aplicaciones 799 @ \` ^ ^" ^ ' ^ " '^ ~ ^ @^ @ @ ~ ~ @ ^ ^ ^ " '' @ ^ \ @ " \ ~ ' 6RGLRHQDOLPHQWRVDOWRVHQEUD @@ ^ @@ ^@ @ ^ " ' ^ @ @~ Demografa y caractersticas de poblacin ` ~ 'HQLFLyQGHHVWDGtVWLFD ^ ~ ^ ^ " ^ @ @ ^ ~ ` " ' ~ ~ ^@ @ @ Deportes ` ^ ` ` ~ ` ` `" ` " @ @ ` " @ @ ` @ ^ " `` &pVSHGDUWLFLDOIUHQWHDQDWXUDOHQFDPSRV &RPSHWHQFLDGHWLURFRQULH `\` > cratas y republicanos que siguen el ftbol: 1.104 ' ^ ^ " ~ ^ ~ ' ` ' " " ~ 3UHFLVLyQGHWLURFRQULH(M " ' ' " @ ' \ \ '^ www.fullengineeringbook.net 800 ndice de aplicaciones ^ " " `` ` @ Educacin y desarrollo infantil ` ` `' @ "Bondad" de las preguntas de examen: 10.168 &DOLFDFLyQPHGLDQWHPiTXLQD(3& &DOLFDFLRQHV&, &DOLFDFLRQHVGHFODVH &DOLFDFLRQHVGHHVWXGLDQWHVGHFXDUWRJUDGR ' &DOLFDFLRQHVGHH[DPHQ &DOLFDFLRQHVGHOHFWXUDGHVH[WRJUDGR &DOLFDFLRQHV6$7(3& ^ @ ' ^ ^ ^ ^ ^ ~ @ ~ ' ^ " " " @ @^ ~ ' ([DPHQGH&HUWLFDFLyQHQ6HUYLFLRV ~ ^@' ^ ^ ' ^ ^ ^ @ ^ @ ^ ' `@ 1LYHOHVGHFDOLFDFLyQGHHVWXGLDQWHVFRQ " @ @ @ ~ 5DSLGH]SDUDFRPSOHWDUH[iPHQHV\FDOLFD '^ \ \ ^ ^ ~ ^ @^ ^ ^ Fabricacin e industria ` " ^ ` " &DOLFDFLRQHVVHPDQDOHVGHGHSDUWDPHQWR ' @ " ^ " ' @ ^ ' ~ ~ (VSHFLFDFLRQHVGHIDEULFDFLyQ ^ ^ ^@ ^ ~ ^ www.fullengineeringbook.net ndice de aplicaciones 801 ^ ^ @ ^ ^ ^@^ ^ /RQJLWXGGHEDUUDGHDFHURLQXLGDSRU ~ " " @ " " ^@ ~ ' 2SHUDGRUHVTXHXVDQOWURV " ^ ' ^ ^ 5HVLVWHQFLDDODWHQVLyQGHEUDV 5HVLVWHQFLD\QH]DGHEUDVGHDOJRGyQ 5LHVGHIHFWXRVRVTXHGLVSDUDQDOOHUHV ^ " \ \^ \ ^ @ ~ @ ^ ^ " " \ ^ ' ' 9LGDHQDQDTXHOGHTXtPLFRIRWRJUiFR @ " Marketing y comportamiento del consumidor rboles de Navidad: 2.188 &DOLFDFLyQGHPDUFDGH79 ^ ^ ^ @ ~ ~ " ~ " ~ @ @ ' " ~ ^ '' ~ Psicologa, sociologa y temas sociales $FFLyQDUPDWLYD(M$ ` ` ~ `^ `^ @ @ ^ ~ @ \ @ Salud pblica y seguridad ` ` ` www.fullengineeringbook.net 802 ndice de aplicaciones ` ^ ~ &XHQWDVGHJDVWRH[LEOHSDUDDWHQFLyQDOD ^ ^@ ^ @ ([iPHQHVGHRFLDOGHSROLFtD(3& ^ \ " @ " ~ ~ @ \ \ ^ Sondeos y encuestas de opinin ` \~ ` ^ &DOLFDFLRQHVGHHQFXHVWDGHDXWRHVWLPD @@ ^ " @ @@ @ @ @ ^ ^ @ ^ " @ ' ' @ ~ \ @ ^ @ ^ @ Tiempo libre y cultura popular `^ ~ ` ` ` ' ` &DOLFDFLRQHV\SUHFLRVGH&DOLIRUQLD ^ ^ 'LVFRVGHKDOWHUROLD ^ @ ^ '' xito de pelcula: 3.40 +iELWRVGH79\FRQQDGRV @ @ -XHFHVTXHFDOLFDQFRQFXUVDQWHV(M @ ^ ' ^ @ " ~ @ ^ ^ ^ ~ ' www.fullengineeringbook.net ndice de aplicaciones 803 5HVXOWDGRVGHHVWD @% @ ' ~ @ @ ~ Transportes ` $FFLGHQWHVGHWUiFR ` ' ` ' ` ^@ ` ^@ ` ` ^@ ~ ` ^@ ^ @ ^@ ^ " ^@ &ODVLFDFLRQHVGHRFWDQDMH ^@ ' ^@ @ 'LVWDQFLDGHIUHQDGRHQVXSHUFLHVK~PHGDV @ @ @~ (VSHFLFDFLRQHV\GLPHQVLRQHVGHODQFKD " ~ ^ @ ^@ " @^ 0XHUWHVHQWUiFRGHGtDIHVWLYR @ @ " ' ^@ \^ \ \ ' ^@ ^ @ @ ^@ @ ^@ ~ ^@ @ @ @ ^@ 9LRODFLRQHVGHWUiFR Vida acadmica `@ ` ` ^@ ` ^@ ~ &DOLFDFLRQHVFXUVRSVLFRORJtD &DOLFDFLRQHVGHDXWRHVWLPDGHVSXpVGH @ &DOLFDFLRQHVGHH[DPHQ &HUWLFDGRGHVXVWHQWDELOLGDG ^ &RQLFWRVTXHHQIUHQWDQORVDGXOWRVMyYHQHV @ @ ^ " ^ ~ ~ " @@ ~ ^ " @@ ^ "@ xito acadmico de estudiantes que perte- necen a organizaciones fraternas: Ej 10.9 @ www.fullengineeringbook.net 804 ndice de aplicaciones ~ " ~ '^ ~ *pQHURFDOLFDFLRQHV$&7\*3$GHVSXpV ~ ^ ^ ~ ' @ @ @ \ ^ ^ www.fullengineeringbook.net TABLAS ndice de instrucciones para computadora y calculadora Tcnica estadstica MINITAB Excel TI-83/84 Plus Convenciones bsicas Grfica de pastel Diagrama de Pareto Diagrama de puntos Diagrama de tallo y hojas Diagramas de puntos mltiples Histograma Ojiva Media Mediana Desviacin estndar Estadsticos adicionales Percentiles Resumen de 5 nmeros Diagramas de cajas y bigotes Comandos adicionales Generar muestras aleatorias Seleccionar muestras aleatorias Prueba de normalidad Instrucciones adicionales, Ejercicio 2.205 Tablas cruzadas Diagramas de caja y diagramas de puntos lado a lado Diagrama de dispersin Coeficiente de correlacin Recta de mejor ajuste Dado simulado, Ejercicio 4.22 Generar datos aleatorios Instrucciones adicionales, Ejercicio 5.36 Probabilidades binomiales Probabilidad acumulada, binomial Instrucciones adicionales, Ejercicio 5.83 Ejercicio 5.84 Ejercicio 5.95 Generacin datos aleatorios a partir de distribucin normal Ordenada para curva de distribucin normal Probabilidad acumulada, distribucin normal Instrucciones adicionales, Ejercicio 6.70 Ejercicio 6.71 Ejercicio 6.73 Ejercicio 6.92 Ejercicio 6.124 Instrucciones adicionales, Ejercicio 7.13 Ejercicio 7.15 Ejercicio 7.27 Ejercicio 7.45 25 34 36 37 39 41 52 57 64 66 78 78 86 87 87 89 90 91 97 115 124 126 129 139 152 186 235 242 251 251 259 259 261 283 284 285 290 291 291 303 308 318 319 326 332 25 34 36 37 39 41 53 57 64 66 78 78 87 87 88 90 90 91 98 124 126 129 139 153 186 235 243 251 251 259 259 261 283 284 285 290 291 291 303 308 318 319 326 332 25 35 36 38 39 41 53 57 64 66 78 78 87 87 88 90 90 98 124 126 130 139 153 186 252 252 259 259 261 283 284 285 290 292 308 319 326 332 Tcnica estadstica MINITAB Excel TI-83/84 Plus Ejercicio 7.63 Ejercicio 7.64 Intervalo de confianza, media, sigma conocida Prueba de hiptesis, media, sigma conocida Probabilidad acumulada, distribucin t Intervalo de confianza, media, sigma desconocida Prueba de hiptesis, media, sigma desconocida Intervalo de confianza, proporcin Prueba de hiptesis, proporcin Instrucciones adicionales, Ejercicio 9.85 Ejercicio 9.87 Probabilidad acumulada, distribucin ji cuadrada Intervalo de confianza, dife- rencia de media Prueba de hiptesis, diferencia de media Prueba de hiptesis, diferencia de dos medias Intervalo de confianza, dife- rencia de dos proporciones Prueba de hiptesis, diferencia de dos proporciones Probabilidad acumulada, distribucin F Prueba de hiptesis, razn de dos varianzas Bondad de ajuste Prueba ji cuadrada Anlisis de varianza de un factor Anlisis de regresin (recta de mejor ajuste) Anlisis de regresin (confianza, banda de prediccin) Prueba de hiptesis, mediana, prueba de signo muestra 1 Prueba de hiptesis, diferencia de medianas, prueba de signos Prueba de hiptesis, Mann-Whitney Prueba de hiptesis, prueba de rachas Prueba de hiptesis, coeficiente de correlacin de Spearman 336 337 354 382 417 419 425 437 444 449 449 455 485 488 502 513 517 524 528 553 565 594 638 649 667 669 682 691 699 336 337 355 382 417 419 425 437 444 449 449 456 485 488 503 514 517 524 529 553 566 594 639 667 670 683 691 699 354 382 417 419 425 437 444 449 449 456 486 488 503 514 518 524 529 553 566 594 639 667 670 683 691 699 805 www.fullengineeringbook.net Media muestral: (2.1) Profundidad de media muestral: d( ) (n 1)/2 (2.2) Rango: H L (2.4) Varianza muestral: (2.5) o (2.9) Desviacin estndar muestral: (2.6) Teorema de Chebyshev: al menos 1 (1/k2) (p. 99) Suma de cuadrados de x: SS(x) x2 (( x)2/n) (2.8) Suma de cuadrados de y: SS(y) y2 (( y)2/n) (3.3) Suma de cuadrados de xy: SS(xy) xy (( x y)/n) (3.4) Coeficiente de correlacin de Pearson: (3.2) Ecuacin para recta de mejor ajuste: (p. 146) Pendiente para recta de mejor ajuste: b1 SS(xy)/SS(x) (3.6) Interseccin con y para la recta de mejor ajuste: b0 [ y (b1 x)]/n (3.7) Probabilidad emprica (observada): P (A) n(A)/n (4.1) Probabilidad terica para espacio muestral igualmente probable: P(A) n(A)/n(S) (4.2) Regla del complemento: P(no A) P( ) 1 P(A) (4.3) Regla general de la suma: P(A o B) P(A) P(B) P(A y B) (4.4) Regla general de la multiplicacin: P(A y B) P(A) P(B | A) (4.5) Regla especial de la suma para eventos mutuamente excluyentes: P(A o B o . . . o E) P(A) P(B) P(E) (4.6) Regla especial de la multiplicacin para eventos independientes: P(A y B y . . . y E) P(A) P(B) P(E) (4.7) Media de variable aleatoria discreta: m [xP(x)] (5.1) Varianza de variable aleatoria discreta: : s2 [x2P(x)] { [xP(x)]}2 (5.3a) Desviacin estndar de variable aleatoria discreta: : (5.4) Factorial: n! (n)(n 1)(n 2) 2 1 (p. 248) Coeficiente binomial: (5.6) Funcin de probabilidad binomial: (5.5) Media de variable aleatoria binomial: m np (5.7) Desviacin estndar, variable aleatoria binomial: (5.8) Valor estndar: z (x m)/s (6.3) Valor estndar para (7.2) Intervalo de confianza para media, m (s conocida): (a/2) (8.1) Tamao de muestra para estimacin de confianza 1 2 a para m: n [z(a/2) s/E]2 (8.3) Estadstico de prueba calculado para Ho: (8.4) Estimacin de intervalo de confianza para media, m (s desconocida): (9.1) Estadstico de prueba calculado para Ho: m m0 (s desconocida): (9.2) Estimacin de intervalo de confianza para proporcin, p: (a/2) (9.6) Estadstico de prueba calculado para Ho: p p0: (9.9) Estadstico de prueba calculado para Ho: o S S0: (9.10) Diferencia de medias entre dos muestras dependientes: Diferencia apareada: d x1 x2 (10.1) Intervalo de confianza para diferencia de media, md: con gl n 1 (10.2) Media muestral de diferencias apareadas: d/n (10.3) d # sd/1n (gl, a/2) d t x2 (n 1)s2/s0 2, gl n 1 S2 S0 2 z (p p0)/1(p0q0/n), p x/n # 1(pq)/n, p x/n p z t x m0 s/1n con gl n 1 # (s/1n) con gl n 1 (gl, a/2) x t m m0 (s conocida): z (x m0)/(s/1n) # (s/1n) x z z x m s/1n x: s 1npq P(x) n x # px # qn x, x 0, 1, 2, p , n n x n! x!(n x)! s 2s2 A bo b1x y r SS(xy)/1SS(x) # SS(y) s 2s2 s2 gx2 (gx)2 n n 1 s2 g(x x)2 n 1 x x gx n Tarjeta de frmulas 806 www.fullengineeringbook.net Desviacin estndar muestral de diferencias apareadas: (10.4) Estadstico de prueba calculado para Ho: md m0: (10.5) Diferencia entre medias de dos muestras independientes: Grados de libertad: gl menor de (n1 1) o ( n2 1) (p. 496) Estimacin de intervalo de confianza para m1 2 m2: (10.8) Estadstico de prueba calculado para Ho: m1 m2 (m1 m2)0: (10.9) Diferencia entre proporciones de dos muestras independientes: Intervalo de confianza para p1 p2: (a/2) (10.11) Probabilidad observada combinada: pp (x1 x2)/(n1 n2) (10.13) qp 1 pp (10.14) Estadstico de prueba calculado para Ho: p1 p2 0: (10.15) Razn de varianzas entre dos muestras independientes: Estadstico de prueba calculado para Ho: : (10.16) Estadstico de prueba calculado para datos enumerativos: x2 [(O E)2/E] (11.1) Experimento multinomial: Grados de libertad: gl k 1 (11.2) Frecuencia esperada: E n p (11.3) Prueba para independencia o prueba de homogeneidad: Grados de libertad: gl (r 1) (c 1) (11.4) Valor esperado: E (R C)/n (11.5) Modelo matemtico: xc, k m Fc (12.13) Total suma de cuadrados: (12.2) Suma de cuadrados debida a factor: (12.3) Suma de cuadrados debida a error: (12.4) Grados de libertad para total: gl(total) n 1 (12.6) Grados de libertad por factor: gl(factor) c 1 (12.5) Grados de libertad por error: gl(error) n c (12.7) Media cuadrtica del factor: MS(factor) SS(factor)/gl(factor) (12.10) Media cuadrtica del error: MS(error) SS(error)/gl(error) (12.11) Estadstico de prueba calculado para Ho: valor medio es el mismo en todos los niveles: F MS(factor)/MS(error) (12.12) Covarianza de x y y: covar(x, y) [(x )(y )]/(n 1) (13.1) Coeficiente de correlacin de Pearson: r covar(x, y)/(sx sy) (13.2) o (3.2) o (13.3) Error experimental: e y (13.5) Varianza estimada de error: (13.6) o (13.8) Desviacin estndar en torno a la recta de mejor ajuste: (13.9) Estimacin para varianza de pendiente: (13.12) Intervalo de confianza para b1: b1 t(gl, a/2) sb1 (13.14) Estadstico de prueba calculado para Ho: b1 0: t (b1 b1)/sb1 con gl n 2 (13.15) Intervalo de confianza para valor medio de y en x0: (13.17) Intervalo de prediccin para y en x0: (13.16) Prueba U de Mann-Whitney: Ua na nb [(nb) (nb 1)/2] Rb (14.3) Ub na nb [(na) (na 1)/2] Ra (14.4) Coeficiente de correlacin por rangos de Spearman: (14.11) rs 1 c 6gd2 n(n2 1) d y t(n 2, a/2) # se # C 1 1 n (x0 x)2 SS(x) y t(n 2, a/2) # se # B 1 n (x0 x)2 SS(x) sb1 2 se 2 SS(x) se 2 gx2 [(gx)2/n] se 2se 2 se 2 (gy2) (b0)(gy) (b1)(gxy) n 2 se 2 g(y y)2/(n 2) y r SS(xy)/1SS(x) # SS(y) y x SS(error) g(x2) [(C1 2/k1) (C2 2/k2) (C3 2/k3) p] C1 2 k1 C2 2 k2 C3 2 k3 p (gx)2 n SS(total) g(x 2) (gx)2 n ek(c) F s1 2/s2 2 S1 2/S2 2 1 z p1 p2 C (pp)(qp) c 1n1 1 n2 d # B p1 q1 n1 p2 q2 n2 (p1 p2 ) z t [(x1 x2) (m1 m2)0]/2(s1 2/n1) (s2 2/n2) 2(s1 2/n1) (s2 2/n2) (gl, a/2) (x1 x2) t t (d m0)/(sd/1n), gl n 1 sd S g d2 (gd)2 n n 1 # # 807 www.fullengineeringbook.net Valores crticos de la distribucin t de Student rea en una cola 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 rea en dos colas gl 0.50 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 3 0.765 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 4 0.741 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 5 0.727 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 6 0.718 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 7 0.711 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 8 0.706 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 9 0.703 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 10 0.700 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 11 0.697 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 12 0.695 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 13 0.694 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 14 0.692 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 15 0.691 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 16 0.690 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 17 0.689 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 18 0.688 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 19 0.688 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 20 0.687 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 21 0.686 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 22 0.686 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 23 0.685 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 24 0.685 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 25 0.684 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 26 0.684 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 27 0.684 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 28 0.683 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 29 0.683 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 30 0.683 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 35 0.682 1.31 1.69 2.03 2.44 2.72 40 0.681 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 50 0.679 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 70 0.678 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 100 0.677 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 0.675 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 gl 100 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar coeficientes de confianza consulta las pginas 415-416, 418; valores p, pginas 421-422; valores crticos, pginas 415, 421. La tabla 6 se gener usando Minitab. 0 t(gl, ) = rea de una cola Ejemplo de una cola: gl = 9 y = 0.10 t (gl, ) = t (9, 0.10) = 1.38 0 t(gl, /2) + t (gl, /2) = rea de dos colas /2 /2 Ejemplo de dos colas: gl = 14, = 0.02, 1 = 0.98 t (gl, /2) = t (14, 0.01) = 2.62 @ ^ \ @ 808 www.fullengineeringbook.net reas acumuladas de la distribucin normal estndar Las entradas en esta tabla son las probabilidades acumuladas para la distribucin normal estndar z (esto es: la distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1). El rea sombreada bajo la curva de la distribucin normal estndar representa la probabilidad acumulada a la izquierda de un valor z en la cola izquierda. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0000003 0.000003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00003 0.00002 0.00002 0.00002 0.00002 0.00005 0.00005 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00004 0.00003 0.00003 0.00007 0.00007 0.00007 0.00006 0.00006 0.00006 0.00006 0.00005 0.00005 0.00005 0.00011 0.00010 0.00010 0.00010 0.00009 0.00009 0.00008 0.00008 0.00008 0.00008 0.0002 0.0002 0.0002 0.00014 0.00014 0.00013 0.00013 0.00012 0.00012 0.00011 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0042 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 0.0082 0.0080 0.0078 0.0076 0.0073 0.0071 0.0070 0.0068 0.0066 0.0064 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0126 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 0.0359 0.0352 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 0.1151 0.1131 0.1112 0.1094 0.1075 0.1057 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 0.1587 0.1563 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2297 0.2266 0.2236 0.2207 0.2177 0.2148 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 Para detalles especficos acerca del uso de esta tabla para encontrar probabilidades consulta las pginas 272-274, 292-294; valores p, pginas 375-377. La tabla 3 se gener usando Minitab. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.5 5.0 0 z Probabilidad acumulada 809 www.fullengineeringbook.net reas acumuladas de la distribucin normal estndar (continuacin) Las entradas en esta tabla son las probabilidades acumuladas para la distribucin normal estndar z (esto es: la distribucin normal con media 0 y desviacin estndar 1). El rea sombreada bajo la curva de la distribucin normal estndar representa la probabilidad acumulada a la izquierda de un valor z en la cola izquierda. z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5754 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7258 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7518 0.7549 0.7 0.7580 0.7612 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7996 0.8023 0.8051 0.8079 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9430 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9485 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9700 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9865 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.99989 3.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.99992 3.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.99995 3.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.99997 4.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 4.5 0.999997 5.0 0.9999997 La tabla 3 se gener usando Minitab. Probabilidad acumulada 0 z 810 www.fullengineeringbook.net Notas www.fullengineeringbook.net Notas www.fullengineeringbook.net En sus propias aulas, a travs de sus populares textos, y en las conferencias que imparten, Robert Johnson y Patricia Kuby han inspirado a cientos de miles de estudiantes y sus instructores para ver la utilidad y la viabilidad de la estadstica. Ahora, en su undcima edicin, Estadstica elemental ha sido constantemente alabado por los usuarios y revisores por su exposicin clara y ejemplos rele- vantes, ejercicios y aplicaciones. El enfoque en la tecnologa para ayudar a los estudiantes a tener xito como MINITAB, Excel y TI-83/84 se ve reforzada por una gran cantidad de suplementos que ahorran tiempo y dan a los profesores y estudiantes una gua interactiva y de apoyo. Todo esto y ms ha establecido la reputacin de este texto de ser muy accesible para los estudiantes y simple y directo para los instructores que ensean con l. Caractersticas % nfasis en la interpretacin de la informacin estadstica y aplicaciones reales. A partir del captulo 1, cuando los estudiantes aprenden los principales trminos y procedimientos, en el captulo 4, "Probabilidad", donde el anlisis en lugar de la frmula se pone de relieve, y continuando a lo largo del texto, los autores enfatizan el papel de la interpretacin en el anlisis estadstico. Ejemplos y ejercicios de aplicacin real caracterizan la estadstica, y las vietas de apertura del captulo aumentan la relevancia del material para los estudiantes. Ejercicios de pensamiento crtico a lo largo de los captulos apoyan el enfoque prctico de este libro de probada eficacia. % Organizacin flexible e integrada, actualizada al da en las instrucciones de la tecnologa. El valor P y los enfoques clsicos de la prueba de hiptesis se introdujeron inicialmente por separado y se presentan a partir de entonces lado a lado, haciendo hincapi en la comparabilidad de ambos y permitiendo una amplia gama de mto dos de enseanza. Del mismo modo, la regresin y correlacin descriptiva estn cubier tos al inicio (captulo 3), y MINITAB, Excel y las instrucciones de la calculadora grfica TI-83/84 se encuentran en todo el texto en lugar de ser relegados al final de cada captulo de materiales o apndices. % Adems de los amplios ejercicios que aparecen en cada captulo, concluyen con un resu- men "En retrospectiva", un vocabulario y conceptos clave, una gua para los resultados de aprendizaje del captulo y una gran cantidad de ejercicios adicionales, as como un exa- men de prctica. Los resultados se correlacionan con secciones especficas y ejercicios, dando a los estudiantes otra forma de evaluar su dominio de cada tema. % Cobertura de los ejercicios y conceptos introductorios incluyendo la notacin de suma, el procedimiento de redondeo, diagramas de rbol y la notacin factorial (texto escrito por la co-autora Patricia Kuby) se proporciona en la parte final del libro, junto con una seccin de respuestas por separado para apoyar a los estudiantes.