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Meccanica Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119 Maurizio Zani Cinematica del punto Cinematica scalare Cinematica vettoriale Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido Maurizio Zani Cinematica scalare: sistema di riferimento Meccanica (fisica del moto) • cinematica: come descriverlo • dinamica: capirne le cause • statica: come impedirlo punto materiale: sistema semplice da studiare • non è un punto geometrico • ne trascuriamo il moto proprio • osservato da distante rispetto alle sue dimensioni sistema di riferimento: scegliere origine e verso • spazio intrinseco: cinematica scalare estrinseco: cinematica vettoriale • tempo Maurizio Zani s0 Cinematica scalare: posizione O s origine verso tempo posizione t0 s0 t1 s1 t2 s2 t3 s3 t4 s4 s t s0 s3 s1 s2 s4 t1 t2 t3 t4 posizione, o ascissa curvilinea traiettoria legge oraria ( ) s t s4 s1 s2 s3 [ ] m s = Maurizio Zani Cinematica scalare: posizione moto traiettoria: aspetto geometrico, "dove" legge oraria: aspetto cinematico, "come" ( ) s t O s quiete ( ) costante s t = esempi • moto rettilineo uniforme • moto circolare uniforme • moto circolare armonico • moto ellittico Maurizio Zani O θ P C θ s R Cinematica scalare: posizione origine verso posizione lineare traiettoria legge oraria ( ) ( ) s t θ t = R [ ] rad θ = centro θ t 2π raggio ( ) θ t posizione angolare Maurizio Zani Cinematica scalare: spostamento spostamento lineare [ ] m s = 2 1 s = s - s O θ P C θ s R spostamento angolare [ ] rad θ = 2 1 θ = θ - θ O s s1 s2 s3 s4 s0 ( ) ( ) s t θ t = R traiettoria circolare traiettoria varia Maurizio Zani Cinematica scalare: spostamento spostamento lineare [ ] m s = 2 1 s = s - s spostamento complessivo i i s = s å spazio percorso i i L = så O s s1 s2 s3 s4 s0 ( ) ( ) ( ) 3 0 3 2 2 1 1 0 s = s - s = s - s + s - s + s - s Wayde van Niekerk Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità velocità media [ ] [ ] [ ] m s m s v = t = 2 1 m 2 1 s - s s v = = t t - t 2 1 s = s - s 0 2 1 t = t - t > verso positivo nel futuro 0: m v > 0 > 0: m v = 0 = 0: m v < 0 < O s s1 s2 s3 s4 s0 Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità s t t2 s1 t1 s2 α Δt Δs ( ) tan 2 1 m 2 1 s - s s v = = = k α t t - t fattore di scala s t s1 t1 α β A B mB mA v > v ( ) 0 d lim tan d t s s v = = = s = k α t t velocità istantanea velocità media s3 s4 O s s1 s2 s0 s t s1 t1 α Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità 3 3 = 1 = 1 3 0 i mi i i i s = s - s = s = v t å å 3 0 m 3 0 s - s s v = = t t - t vm1 vm2 vm3 vm t t1 t2 t3 0 mi i i s = s + v t å s3 O s s1 s2 s0 condizione iniziale Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità ( ) ( ) d d s t v t = t ( ) ( )d 0 t 0 t s t = s + v t t ò v t ( ) Δ d d 3 3 0 0 s t 3 0 s t s = s - s = s = v t t ò ò O s s1 s2 s3 s0 condizione iniziale istante indefinito Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità quiete ( ) 0 s t = s ( ) ( ) d 0 d s t v t = = t s t s0 moto uniforme ( ) 0 0 s t = s + v t ( ) ( ) tan 0 v t = v = k α s t s0 α Maurizio Zani Cinematica scalare: velocità velocità lineare O s s1 s2 O θ P C θ s R velocità angolare 2 1 m 2 1 s - s s v = = t t - t 2 1 m 2 1 θ - θ θ ω = = t t - t ( ) ( ) d d s t v t = t ( ) ( ) d d θ t ω t = t ( ) ( ) v t ω t = R Maurizio Zani Cinematica scalare: accelerazione accelerazione media [ ] [ ] [ ] 2 m s m v a = t = 2 1 m 2 1 v - v v a = = t t - t 2 1 v = v - v 0 2 1 t = t - t > 0: m a > 0 > 0: m a = 0 = 0: m a < 0 < O s s1 s2 s3 s4 s0 Maurizio Zani t1 v t v1 α β A B t1 v t v1 α α t2 t1 Δt Δv v t v1 v2 Cinematica scalare: accelerazione ( ) tan 2 1 m 2 1 v - v v a = = = k α t t - t fattore di scala mB mA a > a ( ) 0 2 2 d lim d d d d d d d tan t v v a = = = v = t t s s = = = s = t t t = k α accelerazione istantanea accelerazione media s3 s4 O s s1 s2 s0 Maurizio Zani am2 am1 am3 am t t1 t2 t3 Cinematica scalare: accelerazione 3 3 = 1 = 1 3 0 i mi i i i v = v - v = v = a t å å 3 0 m 3 0 v - v v a = = t t - t 0 mi i i v = v + a t å s3 O s s1 s2 s0 condizione iniziale Maurizio Zani a t Cinematica scalare: accelerazione ( ) ( ) d d v t a t = t ( ) ( )d 0 t 0 t v t = v + a t t ò ( ) Δ d d 3 3 0 0 v t 3 0 v t v = v - v = v = a t t ò ò O s s1 s2 s3 s0 condizione iniziale istante indefinito Maurizio Zani Cinematica scalare: accelerazione quiete ( ) 0 s t = s ( ) ( ) d 0 d s t v t = = t moto uniformemente accelerato ( ) 2 1 2 0 0 0 s t = s + v t + a t ( ) 0 0 v t = v + a t v t v0 α ( ) ( ) d 0 d v t a t = = t ( ) ( ) tan 0 1 a t = a = k α ( ) tan 0 2 v = k β s t s0 β Maurizio Zani Cinematica scalare: accelerazione accelerazione lineare O s s1 s2 O θ P C θ s R accelerazione angolare 2 1 m 2 1 v - v v a = = t t - t 2 1 m 2 1 ω - ω ω α = = t t - t ( ) ( ) d d v t a t = t ( ) ( ) d d ω t α t = t ( ) ( ) a t α t = R Maurizio Zani Cinematica scalare: accelerazione ( ) ( )d 0 t 0 t v t = v + a t t ò condizione iniziale ( ) ( ) ( ) 2 2 d d d d v t s t a t = = t t ( ) a t ( ) ( )d 0 t 0 t s t = s + v t t ò ( ) ( ) d d s t v t = t ( ) s t derivointegro( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 d d d d d d a t v t s t j t = = = t t t matematica, non fisica grandezze lineari Maurizio Zani Cinematica scalare: accelerazione ( ) ( )d 0 t 0 t ω t = ω + α t t ò condizione iniziale ( ) ( ) ( ) 2 2 d d d d ω t θ t α t = = t t ( ) α t ( ) ( )d 0 t 0 t θ t = θ + ω t t ò ( ) ( ) d d θ t ω t = t ( ) θ t derivointegrograndezze angolari Maurizio Zani ( ) ( ) 2 1 d 2 0 t 0 0 0 t s t = s + v t t = s + v t - gt ⋅ ò Cinematica scalare: moto del grave ( ) a t = -g ( ) ( )d 0 t 0 0 t v t = v + a t t = v - gt ò accelerazione di gravità 2 9.80665 m / s g = s punto materiale sistema di riferimento 2 condizioni iniziali & O Maurizio Zani Cinematica scalare: moto armonico ( ) ( ) sin 0 0 s t = A ω t + φ ⋅ ampiezza dell’onda pulsazione fase iniziale frequenza periodo 2π 2π ω = = f T 2π t = T φ φ A s t T -A A s φ 2π φ0 Maurizio Zani ω0 s A Cinematica scalare: moto armonico ( ) ( ) sin 0 0 s t = A ω t + φ ⋅ φ ( ) 0 0 φ t = ω t + φ ⋅ moto circolare uniforme moto armonico C φ https://www.youtube.com/watch?v=7DOzXyzuVMg 0ω pulsazione velocità angolare Maurizio Zani ( ) ( ) ( ) 2 d sin d 0 0 0 v t a t = = -Aω ω t + φ t ( ) tan 0 0 0 0 s φ = ω v 2 2 0 0 0 v A = s + ω æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ( ) ( ) ( ) d cos d 0 0 0 s t v t = = Aω ω t + φ t ( ) ( ) sin 0 0 s t = A ω t + φ Cinematica scalare: moto armonico ( ) ( ) 0 sin 0 s = A φ ( ) ( ) 0 cos 0 0 v = Aω φ condizioni iniziali parametri del moto Maurizio Zani A s(t) t t t v(t) a(t) T -A ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d sin d sin π 0 0 0 0 0 0 v t a t = = -Aω ω t + φ = t = Aω ω t + φ + ( ) ( ) ( ) ( ) d cos d π sin 2 0 0 0 0 0 0 s t v t = = Aω ω t + φ = t = Aω ω t + φ + ( ) ( ) sin 0 0 s t = A ω t + φ Cinematica scalare: moto armonico v(t) e s(t) in quadratura di fase a(t) e s(t) in opposizione di fase π/2 π Maurizio Zani ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 d sin d 0 0 0 0 s t a t = = -Aω ω t + φ = -ω s t t ( ) tan 0 0 0 0 s φ = ω v 2 2 0 0 0 v A = s + ω æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ( ) ( ) sin 0 0 s t = A ω t + φ Cinematica scalare: moto armonico ( ) ( ) 2 2 2 d 0 d 0 s t + ω s t = t ( ) ? s t = equazione differenziale II ordine soluzione? 2 condizioni iniziali pulsazione propria Maurizio Zani O Cinematica vettoriale: posizione y x θ0 r0 P y0 x0 0 0 x 0 y r = x u + y u ( ) ( ) cos sin 0 0 0 0 0 0 x = r θ y = r θ ìïï íïïïî ( ) 2 2 tan 0 0 0 0 0 0 r = x + y y θ = x ìïïïïíïïïïî coordinate cartesiane coordinate polari origine m r = é ù ë û asse cartesiano (≠ traiettoria) ascissa ordinata modulo angolo/fase vettore verso versore Maurizio Zani Cinematica vettoriale: posizione x t t1 t2 x1 x2 y t t1 t2 y1 y2 ( ) ( ) ( ) x y r t = x t u + y t u ( ) ( ) ( ) x y r s = x s u + y s u ( ) s t traiettoria legge oraria legge del moto (≠ legge oraria) y x 1r 2 r Maurizio Zani Cinematica vettoriale: spostamento Δ 2 1 r = r - r Δ m r = é ù ë û s r ³ ( ) ( ) Δ Δ Δ 2 1 2 1 x 2 1 y x y r = r - r = x - x u + y - y u = x u + y u ⋅ ⋅ y x 1r 2 r Δr Δs Δ 2 1 s = s - s Δx Δy Δ 0 Δ d lim 1 Δ d s r r = = s s s2 s1 Maurizio Zani y x 1r 2 r m v Cinematica vettoriale: velocità Δr Δ Δ 2 1 m 2 1 r - r r v = = t t - t [ ] m s m r v = = t é ù ë û é ù ë û 0 d lim d t r r v = = t t Δ Δ 2 1 m 2 1 s - s s v = = t t - t non è un vettore applicato è un vettore applicato [ ] [ ] [ ] m s m s v = = t y x r v d d d d d d t r r s v = = = u v t s t d d s v = t versore tangente Maurizio Zani ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d x y x x y y t r t x t y t v t = = u + u = v t u + v t u = v t u t t t y x r v Cinematica vettoriale: velocità ( ) ( ) ( ) x y r t = x t u + y t u d d s v = t 2 2 x y v = v + v il moto complessivo è una composizione vettoriale di moti scalari ; x y u u versori fissi t u versore mobile vx vy Maurizio Zani Cinematica vettoriale: velocità 3 3 = 1 = 1 3 0 i mi i i i r = r - r = r = v t å å Δ Δ 3 0 m 3 0 r - r r v = = t t - t 0 mi i i r = r + v t å condizione iniziale y x 0r 2 r 1r 3r Δ 1r Δ 2 r Δ 3r Δ 1r Δ 2 r Δ 3r Δr Maurizio Zani Cinematica vettoriale: velocità ( ) ( ) d d r t v t = t ( ) ( )d 0 t 0 t r t = r + v t t ò ( ) Δ d d 3 3 0 0 r t 3 0 r t r = r - r = r = v t t ò ò condizione iniziale istante indefinito y x 0r 3r Δr Δr ( ) ( )d 0 t 0 x t x t = x + v t t ò ( ) ( )d 0 t 0 y t y t = y + v t t ò Maurizio Zani Cinematica vettoriale: velocità d d θ ω = t v = ω × r scalare vettoriale ω θ P v R C ( ) sin v = ωr φ = ωR v ω r P O φ v = ωR direzione: ortogonale al piano di rotazione verso: regola della mano destra modulo: tasso di rotazione ω Maurizio Zani Cinematica vettoriale: velocità relazione di Poisson d d θ ω = t cost d d r = r = ω × r t ( ) ( ) d d r t v t = t v = ω × r scalare vettoriale ω θ P v R C ( ) sin v = ωr φ = ωR v ω r P O φ v = ωR Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione Δ Δ 2 1 m 2 1 v - v v a = = t t - t [ ] 2 Δ m Δ s m v a = = t é ù ë û é ù ë û Δ 0 Δ d lim Δ d t v v a = = t t Δ Δ 2 1 m 2 1 v - v v a = = t t - t [ ] [ ] [ ] 2 m s m v a = = t y x 1 v 2 v Δv y x a v Maurizio Zani ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d y x x y x x y y t t n n v t v t v t a t = = u + u = a t u + a t u = a t u t + a t u t t t t Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) ( ) x x y y v t = v t u + v t u ; x y u u versori fissi ; t n u u versori mobili il moto complessivo è una composizione vettoriale di moti scalari y x a v ax ay Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione y x a an at rappresentazione cartesiana rappresentazione intrinseca rappresentazione polare y x a aθ ar un ut ur uθ uy ux y x a ax ay Maurizio Zani y x a v ( ) ( ) () () ( ) ( ) cost cost d d d d d d d d d d d d t t t t t t u = v = vu vu v t u v a t = = v t u t = u + v = + t t t t t t é ù ê ú ë û Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) ( ) ( ) () () d d d d d d t r t r t s t v t = = = v t u t t s t ? moto rettilineo moto vario uniforme Maurizio Zani ( ) ( ) ( ) d d d d d d t t v t v a t = = v t u = u t t t é ù ê ú ë û Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) ( ) d d t r t v t = = v t u t moto rettilineo y x v r ( ) ( ) d d t t v a t = a t = u t Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin sin cos 0 x y r v = x v + y v = -R ωt Rω ωt + R ωt Rω ωt = é ù é ù ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ê ú ê ú ë û ë û moto circolare uniforme θ y x v r y x R θ ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos sin sin x = R θ = R ωt r y = R θ = R ωt ìïï íïïïî ( ) ( ) d sin d d cos d x y x v = = -Rω ωt t v y v = = Rω ωt t ìïïïïïíïïïïïî ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos x y v = v = v + v = -Rω ωt + Rω ωt = R ω = Rω é ù é ù ê ú ê ú ë û ë û Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) 2 2 2 2 cos sin x y a = -Rω ωt = -ω x a a = -Rω ωt = -ω y ìïïïíïïïî ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos sin sin x = R θ = R ωt r y = R θ = R ωt ìïï íïïïî ( ) ( ) d sin d d cos d x y x v = = -Rω ωt t v y v = = Rω ωt t ìïïïïïíïïïïïî 2 2 2 2 d d x y v v a = a = = a + a = ω R = = ωv t R ( ) ( ) 2 2 d cos d d sin d x x y y v a = = -Rω ωt t a v a = = -Rω ωt t ìïïïïïíïïïïïî 2 a = -ω r θ y x v r R θ y x moto circolare uniforme a ( ) ( ) 2 n n v a t = a t = u R Maurizio Zani θ Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) Δ 0 Δ 0 Δ 0 2 2 sin Δ d 2 lim lim lim Δ Δ Δ d d d 1 d d t t t θ v v θ θ a = = = v = v = t t t t θ s v = v = v v = s t ρ ρ moto vario uniforme Δ 2 sin 2 v θ = v æ ö÷ ç ÷ ç ÷÷ çè ø Δ 2 sin 2 θ v = v æ ö÷ ç ÷ ç ÷÷ çè ø y x 1 v 2 v 1 2 v = v = v 1 v 2 v Δv θ raggio di curvatura d d s ρ = θ Δs cerchio osculatore Δ Δ Δ Δ m v v a = = t t Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) 2 d d d d d 2 = 0 d d d d d v v v v v v = = v + v = v t t t t t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 v = v = v moto vario uniforme d d v = a v t ^ ( ) ( ) 2 n n v a t = a t = u ρ y x a v Maurizio Zani y x a v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cost cost d d d d d d d d d d d d t t t t t t u = v = vu vu v t u v a t = = v t u t = u + v = + = t t t t t t é ù ê ú ë û Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d t r t r t s t v t = = = u t v t t s t moto rettilineo moto vario uniforme ( ) ( ) ( ) ( ) 2 d d t t n n t n v v = a t u t + a t u t = u + u t ρ moto vario Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione 3 3 = 1 = 1 3 0 i mi i i i v = v - v = v = a t å å Δ Δ 3 0 m 3 0 v - v v a = = t t - t 0 mi i i v = v + a t å condizione iniziale Δ 1 v Δ 2 v Δ 3 v Δv 2 v 3 v y x 0 v 1 v Δv Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( ) d d v t a t = t ( ) ( )d 0 t 0 t v t = v + a t t ò ( ) Δ d d 3 3 0 0 v t 3 0 v t v = v - v = v = a t t ò ò condizione iniziale istante indefinito ( ) ( )d 0 0 t x x x t v t = v + a t t ò ( ) ( )d 0 0 t y y y t v t = v + a t t ò 3 v y x 0 v Δv Maurizio Zani Cinematica vettoriale: accelerazione ( ) ( )d 0 t 0 t v t = v + a t t ò condizione iniziale ( ) ( ) ( ) 2 2 d d d d v t r t a t = = t t ( ) a t ( ) ( )d 0 t 0 t r t = r + v t t ò ( ) ( ) d d r t v t = t ( ) r t derivointegro
