Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN HOMOGEN
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n R sehingga berlaku
(
)
F k x k y
k F x y
n
,
( , )
=
. n disebut order dari fungsi homogen F(x,y).
Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan peubah tak terpisah namun
koefisiennya merupakan fungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya
menggunakan metode substitusi sehingga didapatkan bentuk PD peubah terpisah.
Bentuk PD order satu dengan koefisien konstan dapat dituliskan sebagai :
M x y dy N x y dx
( , )
( , )
=
dengan M(x,y) dan N(x,y) merupakan fungsi homogen
dengan order sama atau
dy
dx
F x y
=
( , ) dengan F(x,y) merupakan fungsi homogen
order nol. Maka solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy = v dx +
x dv ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.
Contoh
Diketahui PD : (
)
x
y dy
xy dx
2
2
0
+
=
. Tentukan :
a. Solusi umum PD
b. Solusi khusus PD bila y(0) = 1
Jawab :
a. Substitusikan y = v x dan dy = v dx + x dv ke dalam PD, didapatkan :
(
)(
)
(
)(
)
(
)
x
v x
v dx
x dv
vx dx
v
v dx
x dv
v dx
dx
x
v
dv
v
x
v
v
C
Cxv
e
v
2
2 2
2
2
2
3
2
1
2
0
1
0
1
1
2
2
+
+
=
+
+
=
=
+
=
=
ln
ln
ln
atau
Solusi umum PD, C y e
x
y
=
2
2
2
b. Solusi khusus PD, y
e
x
y
=
2
2
2
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Soal latihan
( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum PD berikut.
1.
dy
dx
y
xy
x
=
+
2
2
2
2.
dy
dx
x
y
x
=
+
3.
dy
dx
x
y
x
y
=
+
3
4. 2 y dx - x dy = 0
5. (
)
x
x y
y
dx x dy
2
2
2
3
0
+
+
=
Dalam Matematika terapan, seringkali dijumpai permasalahan untuk mendapatkan
keluarga kurva yang tegak lurus terhadap suatu keluarga kurva yang diberikan.
Masalah ini disebut Trayektori Ortogonal. Pengertian dari ortogonal / tegak lurus
dari dua keluarga kurva adalah pada titik potongnya kedua garis singgung kurva
saling tegak lurus. Misal dib