26. Modul Matematika - DERET TAK HINGGA.pdf

About Global Documents

Global Documents provides you with documents from around the globe on a variety of topics for your enjoyment.
Global Documents utilizes edocr for all its document needs due to edocr's wonderful content features. Thousands of professionals and businesses around the globe publish marketing, sales, operations, customer service and financial documents making it easier for prospects and customers to find content.
DERET k k Maka Maka DERET ak konvergen lim Teknologi Telkom Bandung
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
DERET TAK HINGGA 
 
 
Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut : 
 
a
a
a
a
k
k
k
=
+
+ + +
=


1
2
1
...
...            ak disebut suku-suku deret. 
 
 
Jumlah Deret 
Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret 
ak
k=


1
. Maka  
S
a
S
a
a
S
a
a
a
a
n
n
k
k
n
1
1
2
1
2
1
2
1
=
=
+
=
+
+ +
=
=

....................
.....................
....................
...
 
Barisan { }
Sn n=

1
 disebut barisan jumlah parsial deret 
ak
k=


1
. 
 
Misal { }
Sn n=

1
 merupakan barisan jumlah parsial deret 
ak
k=


1
 dan barisan 
{ }
Sn n=

1
 konvergen ke S. Maka deret 
ak
k=


1
dikatakan deret konvergen ke S dan S 
disebut jumlah dari deret 
ak
k=


1
, dinotasikan dengan :  S
ak
k
=
=


1
. Sedangkan bila 
barisan { }
Sn n=

1
 divergen maka  deret
ak
k=


1
dikatakan deret  divergen dan tidak ada 
jumlah. 
 
 
 
 
 
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
Deret Geometri 
 
Bentuk deret geometri yaitu :
a r
a ar
ar
k
k
k


=

= +
+ +
+

1
1
1
...
...   dengan a  0 
dan r merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut : 
 
(
)
S
a a r
a r
r S
           a r
...
a r
a r
S
a
r
r
n
n
n
n
n
n
n
= +
+ +
=
+ +
+

=




...
..............................................................
1
1
1
1
 
 
Bila r =1 maka Sn tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka 
lim
n
n
r

=  , sehingga 
lim
n
n
S

=    atau barisan { }
Sn n=

1
 divergen. Oleh karena itu, deret
a rk
k

=


1
1
 
divergen.. Untuk | r | < 1 maka 
lim
n
n
r

= 0  sehingga 
lim
n
n
S
a
r

=

1
atau barisan 
{ }
Sn n=

1
 konvergen  ke 
(
)
a
r
a
1
0


 
. Jadi deret 
a rk
k

=


1
1
 konvergen ke 
(
)
a
r
a
1
0


 atau 
a rk
k

=


1
1
= 
(
)
a
r
a
1
0


. 
 
 
 
Deret Harmonis 
 
Bentuk deret harmonis yaitu : 
1
1
1
2
1
1 k
k
k
= + + + +
=


...
...  
Pandang jumlah parsial n suku pertama deret : 
 
 
S
n
n
n
n = + +
+



 +
+ + +



+ +
> + +
+



 +
+ + +



 + +
= + + + + +
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
1
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
1
8
1
8
1
1
1
2
1
2
1
2
1
...
...
....
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
Untuk n   maka ( 1+  +  +  + 1/n )  , sehingga lim
n
n
S

=  . Oleh karena 
itu, deret harmonis 
1
1 k
k=


 divergen. 
 
 
 
Tes Konvergensi 
 
Misal 
ak
k=


1
 merupakan deret positif  ( ak  0 ). Maka lim
k
k
a

= 0  bila deret 
ak
k=


1
 konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila 
lim
k
k
a

 0  maka deret
ak
k=


1
 
divergen. 
Untuk mengetahui lebih jauh tentang konvergensi suatu deret dilakukan tes 
konvergensi sebagai berikut : 
 
 
1. Tes Integral 
Misal 
ak
k=


1
 merupakan deret positif. Maka : 
(i) Deret konvergen bila a dk
k
1


 konvergen 
(ii) Deret divergen bila a dk
k
1


 divergen 
 
Contoh :  
Selidiki kekonvergenan deret 
k
ek
k
2
1
=


 
Jawab :  
a dk
k
a
dk
e
b
e
e
e
k
b
k
b
b
k
b
b
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2







=
=

=









 =
lim
lim
lim
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
Karena integral tak wajar di atas konvergen ke 
1
2e
 maka deret 
k
ek
k
2
1
=


 konvergen ke 
1
2e
 dan 
k
ek
k
2
1
=


=
1
2e
. 
 
 
2. Tes Deret-p 
Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis : 
1
1 k
p
k=


 dengan p > 0.  
Menggunakan tes integral didapatkan : 
1
1
1
1
1
1
1 k
dk
p
b
p
b
p
=












lim
 
Bila p > 1 maka 
lim
b
p
b

 =
1
0
1
, sehingga 
1
1
1
1 k
dk
p
p
=



 ( konvergen ). Oleh 
karena itu, deret
1
1 k
p
k=


 untuk p > 1 konvergen ke 
1
1
p 
. Untuk 0 < p < 1 maka 
lim
b
p
b

 = 
1
1
 sehingga 
1
1 k
dk
p


divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret 
harmonis.  Oleh karena itu, deret
1
1 k
p
k=


untuk 0 < p  1 divergen. 
 
 
3. Tes Perbandingan 
 
Misal 
ak
k=


1
dan 
bk
k=


1
merupakan deret positif dan berlaku a
b
k
k
k


,
.  
Maka: 
(i) Bila deret
bk
k=


1
 konvergen maka deret
ak
k=


1
 konvergen 
(ii) Bila deret
bk
k=


1
 divergen maka deret
ak
k=


1
 divergen 
 
Contoh :  
Tentukan konvergensi deret berikut 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
a.  
1
1
2 k
k

=


 
b.  
k
k
k
3
1
1
+
=


 
Jawab : 
a.  Pandang : 
1
1
1
k
k
<

 dan karena deret harmonis 
1
1 k
k=


 divergen maka deret 
1
1
2 k
k

=


 juga divergen. 
b.  Pandang : 
k
k
k
3
2
1
1
+
<
 dan karena deret-p 
1
2
1 k
k=


 konvergen maka deret 
k
k
k
3
1
1
+
=


 juga konvergen. 
 
 
4. Tes Ratio 
 
Misal 
ak
k=


1
 deret positif dan lim
k
k
k
a
a
r

+ =
1
. Maka : 
(i) Bila r < 1 maka deret 
ak
k=


1
konvergen 
(ii) Bila r > 1 maka deret 
ak
k=


1
divergen 
(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ). 
 
Contoh :  
Selidiki kekonvergenan deret  
1
1 k
k
!
=


 
 
Jawab :   
Misal a
k
k =
1
!
. Maka lim
lim
k
k
k
k
a
a
k

+

=
+
=
1
1
1
0 . Jadi deret 
1
1 k
k
!
=


 konvergen 
 
 
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
5. Tes Akar 
 
Misal 
ak
k=


1
 deret positif dan lim
k
k
k a
a

=
. Maka : 
(i) Bila a < 1 maka deret 
ak
k=


1
konvergen 
(ii) Bila a > 1 atau a =  maka deret 
ak
k=


1
divergen 
(iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ). 
 
Contoh :  
Tentukan kekonvergenan deret 
3
2
2
1
1
k
k
k
k
+





=


 
Jawab :  
Misal 
a
k
k
k
k
=
+





3
2
2
1
. 
Maka 
lim
lim
k
k
k
k
a
k
k


=
+

=
3
2
2
1
3
2
. 
Jadi 
deret 
3
2
2
1
1
k
k
k
k
+





=


konvergen. 
 
 
6. Tes Limit Perbandingan 
 
Misal 
ak
k=


1
dan 
bk
k=


1
merupakan deret positif dan 
lim
k
k
k
a
b
l

=
. Maka kedua 
deret konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l <  dan l  0.  
 
 
Contoh :  
Tentukan konvergensi deret 
1
1
2
2 k
k

=


 
Jawab :  
Pandang deret-p , 
1
2
2 k
k=


 konvergen. Misal a
k
b
k
k
k
=
=

1
1
1
2
2
dan
. Maka 
lim
lim
k
k
k
k
a
b
k
k


=

=
2
2
1
1. Jadi deret 
1
1
2
2 k
k

=


 konvergen. 
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
Soal Latihan  
 
 ( Nomor 1 sd 23 ) Tentukan  konvergensi deret berikut 
1.  
1
3
5
1
k
k
+
=


 
2.  
1
5 2
1 k
k
k

=


 
3.  
2
1
3
2
1
k
k
k
k

+
=


 
4.  
5
2
1
sin
!
k
k
k=


 
5.  
2
4
1 k
k
k
+
=


 
6.  
3
1
4
1 k
k

=


 
7.  
9
1
1
k
k
+
=


 
8.  
k
k
k
k
+

=


1
2
1
 
9.  
1
8
1
k
k
+
=


 
10. 
k
k
k
2
2
1 +
=


sin
 
11. 
4
2
6
8
8
2
7
1
k
k
k
k
k

+
+ 
=


 
12. 
5
3
1
1
k
k
+
=


 
13. 
(
)
(
)(
)(
)
k k
k
k
k
k
+
+
+
+
=


3
1
2
5
1
 
14. 
1
8
3
2
3
1
k
k
k

=


 
15. 
(
)
1
2
3 17
1
k
k
+
=


 
16. 
1
2
1
3
1 k
k
k
+
+
=


 
17. 
1
9
2
1
k
k

=


 
18. 
k
k
k
3
1
1
+
=


 
19. 
(
)
1
3
2 5
1
+
=


k
k
/
 
20. 
ln k
k
k=


1
 
21. 
4
2 3
1 +
=


k
k
k
 
22. 
(
)
1
1
1
k k
k
+
=


 
23. 
5
3
1
k
k
k
k
+
+
=


!