Doca - INCOVOIEREA BARELOR.pdf

Loading ...
Global Do...
News & Politics
Cezar Marcel DOCA
ÎNCOVOIEREA BARELOR
ESEU FALSIFICABIL
Editura Universităţii din Piteşti – 2007
ISBN: 978-973-690-683-1
CUVÂNT ÎNAINTE
Principiul falsificaţionismului – discutat formal pentru prima dată de Karl  
Popper în 1919-1920, reformulat apoi tot de către el în 1960 şi dezvoltat  
ulterior de Imre Lakatos –  afirmă că o lucrare, pentru a fi utilă sau chiar şi  
numai ştiinţifică, trebuie să fie falsificabilă, adică să poată fi verificată şi  
infirmată. Nu confirmarea acesteia este importantă ci infirmarea ei, adică  
falsificarea ipotezelor pe cale experimentală sau prin observaţii.
În  spiritul  raţionalismului  critic,  ipotezele  şi  teoriile  sunt  considerate  
adevărate doar până la prima lor infirmare.
Această carte  nu  se  substituie  vreunui  tratat,  manual  sau  curs  de  
specialitate: nici de rezistenţa materialelor, nici de analiză matematică, nici  
de programare.
Prezenta lucrarea este cu deosebire o culegere de formule şi algoritmi de  
calcul cu aplicabilitate imediată în studiul încovoierilor statice şi vibratorii  
ale barelor continue, omogene şi drepte.
Toate informaţiile cuprinse în eseul de faţă sunt oferite cititorului sub GNU  
Free Documentation Licence.
AUTORUL
Institutul de Cercetări Nucleare Piteşti
CUPRINS
INTRODUCERE
.
.
.
.
.
.
.  7
ÎNCOVOIEREA STATICĂ .
.
.
.
.
.  9
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
.
.
.
.25
EVALUĂRI NUMERICE
.
.
.
.
.
.51
VIBRAŢII DE ÎNVOVOIERE
.
.
.
.
.69
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ .
.
.85
CONCLUZII .
.
.
.
.
.
.
.101
BIBLIOGRAFIE
.
.
.
.
.
.
.103
ANEXE
.
.
.
.
.
.
.
.105
INTRODUCERE
INTRODUCERE
Sub titlul de mai sus ar trebui să fie enumerate cel puţin câteva idei iniţiale 
privind elaborarea, respectiv lecturarea celorlalte capitole.
Aşadar:
•
deşi nu este de specialitatea presupusă, autorul s-a aflat de mai multe 
ori în situaţia de a rezolva probleme de încovoiere statică şi în regim 
vibratoriu  pentru  diferite  configuraţii  de  bare  (tuburi,  grinzi  etc.) 
montate în instalaţii tehnologice;
•
paginile  ce  urmează  reprezintă,  în  ultimă  instanţă,  un  rezumat  al 
conspectului cuprinzând principalele ipoteze, ecuaţii,  soluţii exacte, 
formule  de  evaluare  şi  algoritmi  de  calcul,  utilizate  în  studiile 
teoretice (şi experimentale) în domeniu;
•
prin prezentul eseu se oferă cititorului avizat o relativ cuprinzătoare 
colecţie  de  informaţii,  abordabilă  măcar  şi  pentru  faptul  că  toate 
acestea  nu  mai  trebuie  să  fie  „redescoperite”  prin  diferite  lucrări 
dispersate.
- 5 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Literatura de specialitate  dedicată  Rezistenţei materialelor este infinit mai 
bogată  decât  ar  putea  autorul  să  parcurgă  şi  să  indice  ca  referinţe 
bibliografice.
Prezentul capitol cuprinde doar o sumară trecere în revistă a principalelor 
rezultate  teoretice  privitoare  la  încovoierea  statică  a  barelor  continue, 
omogene şi drepte, unele aspecte fiind reluate şi în completările din Anexele 
lucrării.
Ipotezele mecanicii corpurilor deformabile
Studiul  deformării corpurilor solide este fundament pe următoarele ipoteze 
de calcul:
•
Ipoteza corpurilor continue, omogene şi izotrope –  modelele 
teoretice se elaborează folosind: 1) funcţii continue şi 2) constante 
de material având aceleaşi valori în orice punct al corpului solid.
•
Ipoteza identităţii proprietăţilor mecanice ale elementului infinit mic 
cu cele ale corpului solid întreg – în fapt, nu se iau în considerare 
forţele intercristaline.
•
Ipoteza elasticităţii perfecte –  sub  anumite  valori  ale  eforturilor 
unitare, deformaţiile se anulează odată cu dispariţia sarcinilor care 
le-au generat.
- 6 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
•
Ipoteza proporţionalităţii dintre eforturi şi deformaţii –  corpul 
elastic  satisface  legea  lui  Hooke,  deformaţiile  supunându-se 
principiului suprapunerii efectelor.
•
Ipoteza micilor deformaţii,  cunoscută şi sub denumirea de  ipoteza 
menţinerii dimensiunilor iniţiale –  corpul  suferă:  1)  deformaţii 
absolute foarte  mici  în  raport  cu  dimensiunile  sale  geometrice, 
respectiv  2)  deformaţii specifice neglijabile  în  raport  cu  unitatea. 
Funcţie de complexitatea modelului teoretic, calculele se clasifică în: 
de ordinul I atunci când ecuaţiile de echilibru se scriu pentru starea 
nedeformată,  de ordinul II atunci  când  se  utilizează  o  schemă 
deformată dar se acceptă că deformaţiile sunt mici şi  de ordinul III 
atunci  când,  renunţându-se la  ipoteza micilor  deformaţii,  se  au în 
vedere deformaţiile mari.
• Principiul lui Saint-Vénant –  sisteme diferite  de forţe  echivalente 
static produc efecte apreciabil diferite doar în punctele de aplicaţie.
•
Ipoteza lui Bernoulli: secţiunile plane şi normale pe axa unei bare 
înainte de deformare rămân plane şi normale pe aceasta axă şi după 
deformare.
•
Ipoteza stării naturale a corpului sau  ipoteza absenţei tensiunilor 
iniţiale.
Eforturi şi solicitări
Corpul solid se poate deforma sub acţiunea unei  forţe (totale)  R sau / şi a 
unui moment / cuplul (total) M.
Mărimile  R şi  M se numesc  eforturi şi pun în evidenţă acţiunea reciprocă 
dintre două secţiuni ale corpului solid.
Putând avea direcţii oarecare în spaţiu, eforturile  R şi  M se descompun în: 
componente normale la planul secţiunii şi  componente conţinute în planul 
acestei secţiuni, cele două tipuri de proiecţii producând, individual, solicitări 
simple.
- 7 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
În cazul concret al unei bare  (continue, omogene şi drepte) forţa totală  R 
are:
•
o componentă  N,  normală la planul secţiunii,  numită  forţă axială 
(fiind aplicată pe axa barei) – produce fie solicitarea de întindere, fie 
solicitarea de compresiune;
•
o componentă T, numită  forţă tăietoare, conţinută în planul secţiunii 
(perpendicular  pe  axa  barei)  –  produce  solicitarea  de  tăiere / 
forfecare.
La rândul său, momentul / cuplul total M se descompune în:
• momentul de răsucire Mt,  al  cărui  vector  este  dirijat  pe axă,  deci 
perpendicular pe planul secţiunii – produce solicitarea de răsucire / 
torsiune;
• momentul încovoietor Mi, cu vectorul conţinut în planul secţiunii – 
produce solicitarea de încovoiere.
Acţiunea simultană a  două  sau  mai  multe  eforturi  poate  da  naştere  unei 
solicitări compuse.
Ecuaţiile fibrei  medii  deformate  pentru  o  bară  supusă  la  solicitarea 
simplă de încovoiere
Sub acţiunea (doar a) momentului încovoietor M(x) (s-a renunţat la indicele 
inferior i), axa unei bare orizontale, paralelă cu axa de coordonate x, devine 
o curbă plană continuă, denumită fibră medie deformată.
Dacă  du,  dv şi  dw reprezintă  deplasările  /  deformările  pe  cele  trei  axe 
carteziene x, y şi z, atunci, în planul (vertical) xOz, fibra deformată are raza 
de curbură:
(
)
(
)
(
)x
EI
x
M
x
=
ρ
1
unde prin E s-a indicat modulul de elasticitate al (materialului) barei, iar I(x) 
reprezintă momentul ei de inerţie. Produsul EI(x) se numeşte rigiditate.
- 8 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Convenindu-se  că  sensul  pozitiv  al  rotirii dθ  este  cel  orar  (deci  negativ 
trigonometric), atunci:
(
)
(
)
(
)
(
)x
EI
x
M
x
dx
x
d
−
=
ρ
−
=
θ
1
Deformându-se, bara suferă atât deplasări în lungul său – „translaţia” u, cât 
şi perpendiculare pe axă – săgeata w.
Neglijând deplasarea u în raport cu săgeata w, tangenta unghiului θ se poate 
scrie:
(
)
(
)
dx
x
dw
x
tg
=
θ
În cazul micilor deformaţii:
(
)
(
)
(
)x
x
sin
x
tg
θ
≈
θ
≈
θ
(
)
(
)
dx
x
dw
x =
θ
şi:
(
)
(
)
2
2
dx
x
w
d
dx
x
d
=
θ
rezultat care, introdus în (*) conduce la concluzia că fibrei medii deformate i 
se asociază ecuaţia diferenţială de ordinul II:
(
)
(
)
(
)
0
2
2
=
+
x
EI
x
M
dx
x
w
d
Pentru barele static determinate, adică atunci când momentul M(x) poate fi 
determinat,  în  mod  unic,  direct  din  condiţiile  de  echilibru,  ecuaţia 
diferenţială  (1)  se  integrează de  două  ori  şi  se  obţine  funcţia  ce  descrie 
deplasarea / săgeata perpendiculară pe axa barei:
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
ξ








ξ
ξ
ξ
−
⋅
+
=
ξ
x
d
d
EI
M
x
C
C
x
w
1
1
1
2
2
2
1
0
1
- 9 -
(*)
(1)
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Constantele de integrare C0 şi C1 se pot determina:
•
fie cunoscând săgeata w(x) şi rotirea θ(x) în acelaşi punct x = x*  , sau 
în două puncte diferite ale barei: x = x1 şi x = x2;
•
fie  cunoscând  săgeţile  w(x1)  ≠  w(x2)  în  două  puncte  oarecare  ale 
barei.
Formulele  de  calcul  (ecuaţiile)  ce  înglobează  valorile  w(x)  şi  θ(x) 
corespunzătoare  capetelor  barei,  ale  căror  abscise  se  obişnuieşte  a  se 
desemna prin: x = 0 şi x = L, reprezintă condiţiile la limită.
Egalitatea (1) mai este denumită şi ecuaţia diferenţială simplificată. Ecuaţia 
diferenţială exactă are expresia:
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
2
3
2
2
2
=
+












+
x
EI
x
M
dx
x
dw
dx
x
w
d
Totuşi, atât timp cât, în orice punct al barei, pătratul tangentei unghiului de 
rotire θ(x) are valori neglijabile în raport cu unitatea – cerinţă specifică, de 
altfel,  majorităţii  problemelor de rezistenţă din practica inginerească – în 
locul ecuaţiei exacte se poate folosi, cu rezultate de încredere, direct ecuaţia 
simplificată.
Pe de altă parte, dacă se ţine cont şi de efectele forţei tăietoare T(x) asupra 
deformării  fibrei  medii,  atunci  ecuaţia  diferenţială  de  ordinul  II 
(simplificată) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)x
'
GA
x
T
x
EI
x
M
dx
x
w
d
−
−
=
2
2
;
(
)µ
+
=
1
2
E
G
unde G este modulul de forfecare, μ este coeficientul lui Poisson, iar A’(x) 
este aria redusă a secţiunii transversale şi se calculează cu formula:
(
)
(
)
(
)
∫
=
A
dA
b
S
x
I
x
'A
2
2
2
- 10 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Mărimea  S din  ultima  formulă  reprezintă  momentul static faţă de axa 
neutră, corespunzător părţii din secţiunea transversală care tinde să lunece, 
iar b este o dimensiune geometrică a secţiunii.
De  exemplu, în  cazul  unei  secţiunii  dreptunghiulare  de  arie  A,  calculele 
conduc  la  rezultatul  A’ =  5A /  6,  iar  în  cazul  unei  secţiuni  transversale 
circulare de arie A se obţine A’ = 9A / 10.
Pentru  barele static nedeterminate momentul  de încovoiere  M(x)  nu mai 
poate fi exprimat din ecuaţiile de echilibru, de această dată trebuind să fie 
rezolvată ecuaţia diferenţială de ordinul IV a fibrei medii deformate:
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
=
−






x
q
dx
x
w
d
x
EI
dx
d
unde q(x) este sarcina distribuită pe lungimea barei.
Cunoscând  legile  I(x)  şi  q(x),  ecuaţia (2) se integrează de patru ori  şi  se 
obţine funcţia deplasării / săgeţii:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
∫
∫
ξ














ξ














ξ
ξ
ξ
ξ
−
ξ
ξ
ξ
+
ξ
ξ
+
ξ
+
⋅
+
=
ξ
ξ
ξ
x
o
d
d
EI
d
q
d
q
I
C
I
C
x
C
C
x
w
1
1
1
2
2
1
3
3
3
1
3
3
2
2
2
3
2
2
1
1
2
2
Constantele de integrare  C0,  C1,  C2 şi  C3 se determină şi de această dată 
impunând soluţiei să respecte, de exemplu, condiţiile de rezemare a barei, 
acestea din urmă fiind exprimate prin ecuaţii de caracterizare a deplasărilor 
(săgeţi şi rotiri) şi eforturilor (momente şi forţe tăietoare).
Funcţia  
(
)
(
)
2
2
dx
x
w
d
x
EI
−
 are  dimensiunea  unui  moment,  iar  funcţia 
(
)
(
)
3
3
dx
x
w
d
x
EI
−
 are dimensiunea unei forţe.
- 11 -
(2)
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Rezemarea la capete
Generalizând imaginea comună a unui corp solid sprijinindu-se (în câmp 
gravitaţional) pe un al doilea, prin  rezemare s-ar putea desemna starea de 
echilibru mecanic într-un anumit punct (reazem), caracterizată prin valori 
cunoscute pentru:  săgeţi,  unghiuri  de  rotaţie,  momente  încovoietoare sau 
forţe tăietoare.
Astfel,  capătul  liber  al  unei  bare  montată  în  consolă  este  un  reazem 
caracterizat prin moment încovoietor şi forţă tăietoare nule.
Renunţând la montajul în consolă, capătul neîncastrat al barei din exemplul 
anterior  s-ar  putea  „rezema”,  eventual,  pe  o  forţă  externă,  concentrată, 
acţionând de jos în sus.
Levitaţia magnetică (la capetele unei bare) reprezintă un caz de „sprijinire” 
fără contact mecanic; şi exemplele ar putea continua.
Ecuaţiile  de  caracterizare  a  reazemelor  se  numesc  condiţii omogene, 
respectiv condiţii neomogene, după cum valorile indicate pentru: deplasare, 
rotire,  moment  încovoietor,  sau  forţă  de  forfecare  sunt nule,  respectiv 
diferite de zero.
Condiţiile ce se referă la modul de sprijinire în abscisele x* = 0, respectiv x* 
=  L caracterizează  reazemele de capăt.  Reazemele  ale  căror  abscise 
îndeplinesc condiţia 0 < x* < L se numesc intermediare.
Judecate după rolul lor de cauză sau efect, condiţiile neomogene invocând 
valorile exacte:
(
)
(
)
*
x
x
*
T
dx
x
w
d
x
EI
*
=
⋅
−
=
3
3
(
)
(
)
*
x
x
*
M
dx
x
w
d
x
EI
*
=
⋅
−
=
2
2
- 12 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
(
)
*
x
x
*
dx
x
dw
θ
=
=
(
)
*
*
w
x
w
=
reprezintă fie situaţii cărora trebuie să le facă faţă bara studiată, fie restricţii, 
eventual soluţii prescrise / aşteptate, în comportarea acesteia (pentru abscisa 
x*).
Stărilor de rezemare elastică le sunt caracteristice legi ce se stabilesc între 
eforturi şi deplasări, anume:
•
forţă tăietoare şi săgeată:
(
)
)
x
(
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
*
x
x
*
*
=
−
=
3
3
şi
• moment încovoietor şi rotire: 
(
)
*
*
x
x
x
x
*
dx
)
x
(
dw
c
dx
)
x
(
w
d
x
EI
=
=
−
=
−
2
2
mărimile k şi c fiind constante (elastice) de material.
Valorile limită k = 0 şi k → ∞, respectiv c = 0 şi c → ∞, generează, într-o 
interpretare intuitivă, condiţiile omogene:
(
)
0
3
3
=
−
= *x
x
*
dx
)
x
(
w
d
x
EI
şi
0
=
)
x
(
w
*
respectiv:
(
)
0
2
2
=
−
= *x
x
*
dx
)
x
(
w
d
x
EI
şi
0
=
= *x
x
dx
)
x
(
dw
ale  căror  combinaţii  intervin  în  definirea  /  caracterizarea  următoarelor 
reazeme de capăt:
- 13 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
•
capăt liber: moment şi forţă nule







=
=
=
=
0
0
3
3
2
2
*
*
x
x
x
x
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
•
reazem alunecător: rotire şi forţă nule







=
=
=
=
0
0
3
3
*
*
x
x
x
x
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
dw
•
reazem simplu rigid: săgeată şi moment nule





=
=
=
0
0
2
2
*x
x
*
dx
)
x
(
w
d
)
x
(
w
•
încastrare rigidă: săgeată şi rotire nule





=
=
=
0
0
*x
x
*
dx
)
x
(
dw
)
x
(
w
Valori finite nenule ale constantelor elastice k şi c se întâlnesc în ecuaţiile de 
caracterizare a reazemelor de capăt:
•
reazem elastic:
(
)







=
−
=
=
=
)
x
(
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
dx
)
x
(
w
d
*
x
x
*
x
x
*
*
3
3
2
2
0
•
încastrarea elastică:
(
)





−
=
−
=
=
=
*
*
x
x
x
x
*
*
dx
)
x
(
dw
c
dx
)
x
(
w
d
x
EI
)
x
(
w
2
2
0
- 14 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
•
rezemare generală:
(
)
(
)







=
−
−
=
−
=
=
=
)
x
(
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
dx
)
x
(
dw
c
dx
)
x
(
w
d
x
EI
*
x
x
*
x
x
x
x
*
*
*
*
3
3
2
2
Revenind  la condiţiile  (ecuaţiile)  neomogene,  este  evident  faptul  că  în 
capătul neîncastrat al unei barei pot acţiona oricând, din exterior, un moment 
(încovoietor) M*  şi / sau o forţă (tăietoare) concentrată F* .
Spre  exemplificare,  reazemul  elastic  (de  capăt)  supus  acţiunii  externe 
concomitente a unui moment  M* şi a unei forţe  F* va fi caracterizat prin 
sistemul de ecuaţii:
(
)
(
)
(
)







±
=
−
±
=
−
=
=
*
*
x
x
*
*
x
x
*
F
x
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
M
dx
)
x
(
w
d
x
EI
*
*
3
3
2
2
Din (3) se pot particulariza cinci situaţii caracterizate prin ecuaţii (condiţii) 
neomogene  şi  anume  cele  în  care  am avea  numai  acţiunea  momentului 
exterior  M*  (F* = 0), sau numai pe cea a forţei concentrate  F*  (M* = 0), 
ambele fiind aplicate, eventual, direct în capăt liber (k = 0).
Deşi  nu  epuizează  toate  cazurile  posibile,  exemplele  de  mai  sus  permit 
desprinderea următoarelor concluzii imediate: 
•
un  reazem  de  capăt  este  caracterizat  de  (cel  puţin)  două  ecuaţii 
omogene şi / sau neomogene,
dar
•
nu orice combinaţie de (câte două) ecuaţii  omogene /  neomogene 
amintite mai sus defineşte un reazem fizic.
- 15 -
(3)
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Reazeme intermediare – încovoierea barei cu mai multe deschideri
Prin deschidere se înţelege segmentul de bară cuprins între două reazeme 
consecutive.
Din  motive  ţinând  exclusiv  de  generalitatea  algoritmului  de  calcul,  vom 
include aici şi tipurile aparte de „reazeme” definite: în punctele de acţiune a 
forţelor concentrate şi / sau a momentelor de încovoiere externe, respectiv la 
limita de variaţie bruscă a proprietăţilor elastice şi / sau geometrice, sau a 
valorilor sarcinii distribuite. 
Două  bare  se  pot  „sprijini  reciproc”  şi  prin  mijlocirea  unei  articulaţii 
intermediare (moment încovoietor nul).
O bară  cu  NR reazeme  (două  reazeme  de  capăt  şi  NR–2  reazeme 
intermediare) are NR–1 deschideri.
Problema încovoierii  barei  cu  mai  multe  deschideri  se  poate  rezolva,  de 
exemplu, parcurgând următorul algoritm:
• Se identifică cele  NR reazeme dispuse pe lungimea barei, împreună 
cu ecuaţiile lor de caracterizare.
• Se  stabilesc  funcţiile  M(x), I(x), q(x)  etc.  specifice  celor  NR–1 
deschideri.
• Fiecărei deschideri i (i = 1 ... NR–1), i se ataşează ecuaţia diferenţială 
de  ordinul  IV a  fibrei  medii  deformate,  corespunzătoare  situaţiei 
prezente între reazemele adiacente.
• Se integrează ecuaţiile pe fiecare deschidere în parte şi se obţine un 
număr de N – 1 soluţii pentru deplasări / săgeţi, cuprinzând 4(NR–1) 
constante de integrare necunoscute: Ci0, Ci1, Ci2 şi Ci3.
• Constantele  de integrare  Ci0,  Ci1,  Ci2 şi  Ci3 se  obţin  ca soluţii  ale 
sistemului (compatibil determinat) format din cele 4(NR–1) ecuaţii 
(liniare) de caracterizare a reazemelor.
- 16 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Ţinând  cont  de soluţiile  wi(x)  şi  wi+1(x)  specifice  celor  două  deschideri 
adiacente, i şi i + 1, pentru cazurile mai des întâlnite de reazem intermediar 
poziţionat în abscisa xi avem ecuaţiile de caracterizare:
•
reazem simplu rigid:










=
=
=
=
=
+
=
=
+
=
+
i
i
i
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
dw
dx
)
x
(
dw
)
x
(
w
)
x
(
w
2
1
2
2
2
1
1
0
0
•
reazem simplu elastic:
(
)
(
)














=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
)
x
(
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
)
x
(
kw
dx
)
x
(
w
d
x
EI
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
dw
dx
)
x
(
dw
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
i
i
1
3
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
•
articulaţie intermediară:













=
=
=
=
=
+
=
=
+
=
+
i
i
i
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
dx
)
x
(
w
d
)
x
(
w
)
x
(
w
3
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
0
0
Lista  reazemelor  intermediare  poate  fi  completată  cu  situaţiile  în  care 
intervin, din exterior, momente şi / sau forţe concentrate, contribuţia acestor 
eforturi  la  fenomenul  încovoierii  fiind  surprinsă  atât  prin  saltul funcţiei 
- 17 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
corespunzătoare (derivatele de ordinul doi şi / sau trei), cât şi prin ecuaţii de 
continuitate.
Cele  două legităţi  amintite  în  rândurile  de mai  sus se aplică,  evident,  în 
abscisa respectivului „reazem” intermediar.
Un exemplu (edificator) pur teoretic ar fi cazul acţiunilor concomitente ale 
momentului şi forţei exterioare într-un reazem (intermediar) elastic:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)












±
+
−
=
−
±
−
=
−
=
=
+
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
i
i
i
x
x
i
i
x
x
i
i
*
x
x
i
i
x
x
i
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
F
x
kw
dx
x
w
d
x
EI
dx
x
w
d
x
EI
M
dx
x
w
d
x
EI
dx
x
w
d
x
EI
dx
x
dw
dx
x
dw
x
w
x
w
i
i
i
i
i
i
1
3
1
3
3
3
2
1
2
2
2
1
1
Dintre diferitele cazuri particulare ce se pot deduce plecând de la acest ultim 
sistem  de  ecuaţii  amintind  condiţia  k =  0  caracteristică  situaţiei  când 
eforturile  M* şi  F* acţionează într-un punct (intermediar) liber; altfel spus, 
bara studiată nu prezintă, în abscisa xi, alte restricţii mecanice.
Evitând complicarea expunerii prin descrieri intuitive, subliniem faptul că 
variaţiilor bruşte ale rigidităţii şi / sau ale sarcinii distribuite, în abscisa xi a 
unui punct liber (= fără alte restricţii mecanice) de pe lungimea barei, li se 
asociază condiţiile de continuitate:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)












−
=
−
−
=
−
=
=
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
=
+
i
i
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
dw
dx
x
dw
x
w
x
w
3
1
3
1
1
3
3
2
1
2
1
1
2
2
1
1
- 18 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
Dacă în abscisa xi acţionează şi un reazem elastic, atunci vom avea sistemul 
de ecuaţii:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)














=
−
=
−
−
=
−
=
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
=
+
=
1
1
3
1
3
1
1
1
3
3
2
1
2
1
1
2
2
1
x
kw
dx
x
w
d
x
I
E
x
kw
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
w
d
x
I
E
dx
x
dw
dx
x
dw
i
x
x
i
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
i
x
x
i
i
i
i
i
i
i
ce poate fi completat (şi complicat), în continuare, cu aportul unor eventuale 
eforturi externe M* şi / sau F* concentrate în xi.
Încovoierea barei aflată pe pat elastic
Un  caz  aparte  de  rezemare  a  unei  bare  este  aşa-numitul  pat elastic, 
caracterizat  prin  constanta  elastică  pe  unitatea  de  lungime  kp,  situaţie 
modelată prin ecuaţia diferenţială de ordinul IV a fibrei medii deformate:
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
=
−
+






x
q
x
w
k
dx
x
w
d
x
EI
dx
d
p
Încovoierea barei solicitată axial
Dacă asupra unei bare solicitată la încovoiere acţionează, suplimentar, şi o 
forţă  N axială,  atunci  ecuaţia  diferenţială  de  ordinul  IV  a  fibrei  medii 
deformate devine:
- 19 -
ÎNCOVOIEREA STATICĂ
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
2
=
−
±






x
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
x
EI
dx
d
unde  ±N se  înlocuieşte  cu  +N în  cazul  comprimării  şi  cu  –N în  cazul 
întinderii, valoarea N fiind considerată întotdeauna pozitivă.
Trebuie reţinut faptul că în cazul acţiunii forţelor axiale, condiţiile de capăt 
referitoare la forţa tăietoare capătă forma:
(
)
(
)
(
)
*
x
x
x
T
dx
x
dw
N
dx
x
w
d
EI
*
=
−
=

3
3
Forţa de comprimare poate determina apariţia stării de flambaj.
- 20 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
Combinând  situaţiile  prezentate  în  capitolul  anterior  se  obţine  ecuaţia 
diferenţială  de  ordinul  IV a  fibrei  medii  deformate  pentru  o  bară  care, 
sprijinindu-se pe pat elastic, este solicitată atât la încovoiere cât şi axial:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
2
=
−
+
±






x
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
x
EI
dx
d
p
Prezentând  un  recunoscut  nivel  de  generalitate,  ecuaţia  (4)  permite 
individualizarea  unui  număr  relativ  generos  de  exemple  de  încovoiere  a 
barelor omogene şi drepte, şi anume: 
•
cu sau fără pat elastic (2 tipuri),
•
cu sau fără forţă axială (3 tipuri),
•
cu moment de inerţie constant sau variabil (2 tipuri),
•
cu  sarcină  distribuită  constantă  sau  variabilă  (3  tipuri  dacă  se 
contorizează şi cazul sarcinii distribuite nule).
Ar rezulta cel puţin 2 × 3 × 2 × 3 = 36 de probleme (teoretice) de solicitare 
la încovoiere, după cum urmează:
- 21 -
(4)
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
Bară fără pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie constant şi 
sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N = 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
0
0
4
4
0
=
− q
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia:
(
)
4
0
0
3
3
2
2
1
0
24
x
EI
q
x
C
x
C
x
C
C
x
w
+
+
+
+
=
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
3
3
2
2
1
0
x
C
x
C
x
C
C
x
w
+
+
+
=
Bară fără pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie constant şi 
sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N = 0
I(x) = I0
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
) 0
4
4
0
=
−
x
q
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
- 22 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
∫ ∫ ∫ ∫
ξ








ξ








ξ








ξ
ζ
+
+
+
+
=
ξ
ξ
ξ
x
d
d
d
d
EI
q
x
C
x
C
x
C
C
x
w
1
1
1
2
1
3
1
4
0
4
3
3
2
2
1
0
1
2
3
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
5
0
1
4
0
0
3
3
2
2
1
0
120
24
x
EI
q
x
EI
q
x
C
x
C
x
C
C
x
w
+
+
+
+
+
=
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
5
0
1
3
3
2
2
1
0
120
x
EI
q
x
C
x
C
x
C
C
x
w
+
+
+
+
=
Bară fără pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie variabil şi 
sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N = 0
I(x)
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
⋅
+
⋅
+
q
dx
x
w
d
dx
x
I
d
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
ξ








ξ




ξ
ξ
+
ξ
ξ
+
ξ
+
+
=
ξ
x
d
d
EI
q
I
C
I
C
x
C
C
x
w
1
1
1
2
2
2
2
0
2
2
3
2
2
1
0
1
2
În cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
- 23 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
avem:
(
)
(
)
(
)
[
]
x
e
EI
EI
x
C
C
C
q
x
x
x
C
C
x
w
α
α
α
α
+
+
−
+
α
+
α
−
+
+
=
1
4
1
3
2
3
0
2
2
1
0
2
2
2
4
6
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
x
e
x
C
C
C
x
C
C
x
w
α
α
α
+
+
−
+
+
=
3
3
2
3
1
0
2
Bară fără pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie variabil şi 
sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N = 0
I(x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
⋅
+
⋅
+
x
q
dx
x
w
d
dx
x
I
d
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫ ∫
∫
∫
ξ














ξ














ξ
ξ
ξ
ξ
−
ξ
ξ
ξ
+
ξ
ξ
+
ξ
+
+
=
ξ
ξ
ξ
x
d
d
EI
d
q
d
q
I
C
I
C
x
C
C
x
w
1
1
1
2
2
1
3
3
3
1
3
3
2
2
2
3
2
2
1
0
1
2
2
În cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
avem:
- 24 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
[
(
)
(
)
1
2
1
3
1
3
3
2
1
3
1
3
3
1
1
2
3
2
1
0
2
2
1
2
ξ




ξ




ξ
ξ
ξ
ξ
+
ξ
ξ
ξ
−
+




+
ξ
+
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
ξ
ξ
αξ
d
d
d
EI
p
d
EI
p
C
C
e
x
C
C
x
w
x
Particularizând, în continuare, cu:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
(
)
{
(
)
(
)
[
]
}
1
5
3
1
3
2
3
1
2
0
2
3
1
2
1
0
1
0
1
1
0
6
6
3
2
2
6
18
24
EI
e
EI
x
C
C
x
q
x
q
C
EI
x
q
x
q
x
q
q
q
x
C
C
x
w
x
α
α
+
+
+
+
+
α
+
+
−
α
+
+
−
+
+
=
α
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
{
(
)
[
]
}
1
5
1
2
3
2
3
1
3
3
2
2
1
0
6
2
6
6
18
24
EI
e
EI
x
C
C
C
q
x
x
x
x
C
C
x
w
x
α
α
+
+
−
+
+
α
+
α
−
α
+
−
+
+
=
α
Bară fără pat elastic, forţă axială de compresie, cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N > 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
0
0
2
2
4
4
0
=
−
+
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia generală:
- 25 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
[
]
x
sin
C
x
cos
C
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
+
⋅
κ
κ
−
+
+
=
3
2
2
2
0
1
0
1
2
unde:
0
EI
N
=
κ
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
(
)
[
]
x
sin
C
x
cos
C
x
C
C
x
w
⋅
κ
+
⋅
κ
κ
−
+
=
3
2
2
1
0
1
Bară fără pat elastic, forţă axială de compresie, cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N > 0
I(x) = I0
 q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
) 0
2
2
4
4
0
=
−
+
x
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
[
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
3
3
2
1
3
3
3
2
1
1
2
3
2
2
1
0
2
2
1
ξ




ξ




ξ
ξ
⋅
κ
ξ
ξ
⋅
κ
⋅
κ
+
+
ξ
ξ
⋅
κ
ξ
ξ
⋅
κ
⋅
κ
−




−
ξ
⋅
κ
+
ξ
⋅
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
ξ
ξ
d
d
d
cos
q
N
sin
d
sin
q
N
cos
sin
C
cos
C
x
C
C
x
w
x
unde:
- 26 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
0
EI
N
=
κ
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
(
)
(
)
[
]
x
sin
C
x
cos
C
x
N
q
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
+
⋅
κ
κ
−
+
+
+
=
3
2
2
3
1
2
0
1
0
1
6
2
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
(
)
[
]
x
sin
C
x
cos
C
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
+
⋅
κ
κ
−
+
+
=
3
2
2
3
1
1
0
1
6
Bară fără pat elastic, forţă axială de compresie, cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N > 0
I(x)
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
+
⋅
+
⋅
+
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
Totuşi, în cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
avem soluţia asigurată de algoritmul:
- 27 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
1
2
1
3
2
0
2
0
1
3
2
0
2
0
1
0
1
1
3
2
0
2
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ




α
κ




α
κ
−
−




ξ




α
κ




α
κ
α
π
+








+




α
κ
+




α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
Y
e
J
d
e
J
e
Y
EI
e
q
C
e
Y
e
C
e
J
e
x
C
C
x
w
x
unde:
1
EI
N
=
κ
Prin J0(z) şi Y0(z) s-au desemnat funcţiile Bessel de primul şi al doilea ordin.
Amintim faptul  că  funcţiile  Bessel  Jn(z)  şi  Yn(z)  sunt  soluţii  ale  ecuaţiei 
diferenţiale:
(
)
0
2
2
2
=
−
+
+
y
n
z
'
zy
'
'
y
z
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
∫ ∫
ξ








ξ












α
κ
+




α
κ
+
+
=
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
x
d
d
C
e
Y
e
C
e
J
e
x
C
C
x
w
1
1
2
1
3
2
0
2
2
0
1
0
1
2
2
2
2
2
2
2
Bară fără pat elastic, forţă axială de compresie, cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N > 0
I(x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
- 28 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
+
⋅
+
⋅
+
x
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
căreia autorul nu a putut să-i găsească o soluţia generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
Totuşi, în cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
avem soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
2
0
3
2
0
1
3
2
0
3
2
0
1
1
1
3
2
0
2
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ




α
κ
ξ




α
κ
−
−




ξ




α
κ
ξ




α
κ
α
π
+








+




α
κ
+




α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
Y
q
e
J
d
e
J
q
e
Y
EI
e
C
e
Y
e
C
e
J
e
x
C
C
x
w
x
unde:
1
EI
N
=
κ
Particularizând, în continuare, cu:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
- 29 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
2
0
3
1
0
2
0
1
3
2
0
3
1
0
2
0
1
1
1
3
2
0
2
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ




α
κ
ξ
+




α
κ
−
−




ξ




α
κ
ξ
+




α
κ
α
π
+








+




α
κ
+




α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
Y
q
q
e
J
d
e
J
q
q
e
Y
EI
e
C
e
Y
e
C
e
J
e
x
C
C
x
w
x
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
1
2
1
3
2
0
3
2
0
1
3
2
0
3
2
0
1
1
1
1
3
2
0
2
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ




α
κ
ξ




α
κ
−
−




ξ




α
κ
ξ




α
κ
α
π
+








+




α
κ
+




α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
Y
e
J
d
e
J
e
Y
EI
e
q
C
e
Y
e
C
e
J
e
x
C
C
x
w
x
Bară fără pat elastic, forţă axială de întindere, cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N < 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
0
0
2
2
4
4
0
=
−
−
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia generală:
- 30 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
x
x
e
C
e
C
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
−
⋅
κ +
κ
+
−
+
=
3
2
2
2
0
1
0
1
2
unde:
0
EI
N
=
κ
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
x
x
e
C
e
C
x
C
C
x
w
⋅
κ
−
⋅
κ +
κ
+
+
=
3
2
2
1
0
1
Evident, soluţiile anterioare pot fi rescrise înlocuind funcţiile exponenţiale 
exp(κx) şi exp(-κx) prin intermediul funcţiilor hiperbolice: sh(κx) şi ch(κx)
Bară fără pat elastic, forţă axială de întindere, cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N < 0
I(x) = I0
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
) 0
2
2
4
4
0
=
−
−
x
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
[
(
)
(
)
1
2
1
3
3
1
3
3
1
1
3
2
1
0
2
3
2
2
3
2
1
2
2
2
ξ




ξ












ξ
ξ
−
ξ
ξ
κ
+




+
+
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
ξ
⋅κ
ξ
⋅
κ
−
ξ
ξ
⋅κ
−
ξ
⋅κ
ξ
ξ
⋅κ
−
ξ
⋅κ
d
d
d
e
q
e
d
e
q
e
N
e
C
e
C
x
C
C
x
w
x
unde:
- 31 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
0
EI
N
=
κ
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
(
)
x
x
e
C
e
C
x
N
q
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
−
⋅
κ +
κ
+
−
−
+
=
3
2
2
3
1
2
0
1
0
1
6
2
Daca q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
x
x
e
C
e
C
x
N
q
x
C
C
x
w
⋅
κ
−
⋅
κ +
κ
+
−
+
=
3
2
2
3
1
1
0
1
6
Evident, soluţiile anterioare pot fi rescrise înlocuind funcţiile exponenţiale 
exp(κx) şi exp(-κx) prin intermediul funcţiilor hiperbolice: sh(κx) şi ch(κx)
Bară fără pat elastic, forţă axială de întindere, cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N < 0
I(x)
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
⋅
+
⋅
+
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
căreia autorul nu a putut să-i găsească o soluţia generală.
Totuşi, în cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
avem soluţia asigurată de algoritmul:
- 32 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
1
2
1
3
2
0
2
0
1
3
2
0
2
0
1
0
1
1
2
0
3
2
0
2
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ




α
κ




α
κ
−




−
ξ




α
κ




α
κ
α
−








−




α
κ
+




α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
K
e
I
d
e
I
e
K
EI
e
q
e
K
e
C
e
I
e
C
x
C
C
x
w
x
unde:
1
EI
N
=
κ
Prin I0 şi K0 s-au desemnat funcţiile Bessel de ordin întâi.
Reamintim faptul că funcţiile Bessel  In(z) şi  Kn(z) sunt soluţii ale ecuaţiei 
diferenţiale:
(
)
0
2
2
2
=
+
−
+
y
n
z
'
zy
"
y
z
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
∫ ∫
ξ








ξ












α
κ
+




α
κ
+
+
=
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
x
d
d
e
K
e
C
e
I
e
C
x
C
C
x
w
1
1
1
2
2
0
3
2
0
2
1
0
1
2
2
2
2
2
2
2
Bară fără pat elastic, forţă axială de întindere, cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp = 0
N < 0
I(x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
- 33 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
⋅
+
⋅
+
x
q
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
căreia autorul nu a putut să-i găsească o soluţia generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
Totuşi, în cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
avem soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
0
3
0
1
3
0
3
0
1
1
1
3
0
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ






α
κ
ξ






α
κ
−




−
ξ






α
κ
ξ






α
κ
α
+







+






α
κ
+






α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
I
q
e
K
d
e
K
q
e
I
EI
e
C
e
K
e
C
e
I
e
x
C
C
x
w
x
unde:
1
EI
N
=
κ
Particularizând, în continuare, cu:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
- 34 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
0
3
1
0
0
1
3
0
3
1
0
0
1
1
1
3
0
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ






α
κ
ξ
+






α
κ
−




−
ξ






α
κ
ξ
+






α
κ
α
+







+






α
κ
+






α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
I
q
q
e
K
d
e
K
q
q
e
I
EI
e
C
e
K
e
C
e
I
e
x
C
C
x
w
x
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
1
2
1
3
0
3
0
1
3
0
3
0
1
1
1
1
3
0
2
0
1
0
2
3
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ξ




ξ








ξ






α
κ
ξ






α
κ
−




−
ξ






α
κ
ξ






α
κ
α
+







+






α
κ
+






α
κ
+
+
=
∫
∫
∫ ∫
ξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
ξ
αξ
αξ
αξ
αξ
d
d
d
e
I
e
K
d
e
K
e
I
EI
e
q
C
e
K
e
C
e
I
e
x
C
C
x
w
x
Bară pe pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie constant şi 
sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N = 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
0
0
4
4
0
=
−
−
q
x
w
k
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia generală:
(
)
(
)
(
)
p
x
x
k
q
e
C
e
C
x
cos
C
x
sin
C
x
w
0
3
2
1
0
−
+
+
⋅
κ
+
⋅
κ
=
⋅
κ
−
⋅κ
- 35 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
unde:
4
0
EI
k p
=
κ
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
(
)
x
x
e
C
e
C
x
cos
C
x
sin
C
x
w
⋅
κ
−
⋅
κ +
+
⋅
κ
+
⋅
κ
=
3
2
1
0
Evident, soluţiile anterioare pot fi rescrise înlocuind funcţiile exponenţiale 
exp(κx) şi exp(-κx) prin intermediul funcţiilor hiperbolice: sh(κx) şi ch(κx)
Bară pe pat elastic, fără forţă axială, cu moment de inerţie constant şi 
sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N = 0
I(x) = I0
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
) 0
2
2
0
=
−
−
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)



ξ
ξ
⋅
κ
ξ
⋅
κ
−
ξ
ξ
⋅
κ
ξ
⋅
κ
+
+



ξ
ξ
−
ξ
ξ
κ
+
+
+
+
⋅
κ
+
⋅
κ
=
∫
∫
∫
∫
ξ
⋅κ
⋅
κ
−
ξ
⋅
κ
−
⋅κ
⋅
κ
−
⋅κ
x
x
x
x
x
x
p
x
x
d
cos
q
x
sin
d
sin
q
x
cos
d
q
e
e
d
q
e
e
k
e
C
e
C
x
cos
C
x
sin
C
x
w
1
1
1
1
3
2
1
0
2
2
2
unde:
- 36 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
4
0
EI
k p
=
κ
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
(
)
(
)
x
k
q
k
q
e
C
e
C
x
cos
C
x
sin
C
x
w
p
p
x
x
1
0
3
2
1
0
−
−
+
+
⋅
κ
+
⋅
κ
=
⋅
κ
−
⋅
κ
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
(
)
(
)
x
k
q
e
C
e
C
x
cos
C
x
sin
C
x
w
p
x
x
1
3
2
1
0
−
+
+
⋅
κ
+
⋅
κ
=
⋅
κ
−
⋅
κ
Evident, soluţiile anterioare pot fi rescrise înlocuind funcţiile exponenţiale 
exp(κx) şi exp(-κx) prin intermediul funcţiilor hiperbolice: sh(κx) şi ch(κx)
Bară pe pat elastic, fără forţă axială,  cu moment de inerţie variabil şi 
sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N = 0
I(x)
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
⋅
+
⋅
+
q
x
w
k
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a putut să-i găsească o soluţia generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
Totuşi, în cazul particular:
(
)
x
e
I
x
I
⋅
α
−
= 1
şi
0
0 =
q
- 37 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
avem soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
{ } {
}
{ } { }
{
}
{
} {
}
{
}
{ } { }
{
}
{
} { }
{
}
{ } { }
{
}
{
} { }
{
}








α
⋅
+








α
−
⋅








α
⋅
+








α
⋅
=
⋅
α
⋅
α
⋅
α
⋅
α
⋅
α
1
4
3
1
4
2
1
4
1
1
4
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
2
2
1
EI
k
e
,
,
,
,
,
,
,
G
C
EI
k
e
,
,
,
,
,
,
G
C
EI
k
e
,
,
,
,
,
,
G
C
EI
k
e
,
,
,
,
pFq
C
k
e
x
w
p
x
p
x
p
x
p
x
p
x
unde pFq este funcţia hipergeometrică generalizată:
{
} {
}
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∞
=
⋅
=
0
1
1
1
1
1
k
k
p
k
k
p
k
p
p
b
...
b
a
...
a
!
k
z
,
b
,...,
b
,
a
,...,
a
pFq
iar G este funcţia Meijer, definită, pentru un umăr real oarecare, r:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
−
+
+
−
−
Γ
−
−
Γ
+
Γ
+
Γ
+
Γ
+
Γ
−
−
Γ
−
−
Γ
π
=








ds
z
rs
b
...
rs
b
rs
a
...
rs
a
rs
b
...
rs
b
rs
a
...
rs
a
i
r
b
,...,
b
a
,...,
a
z
G
s
q
m
p
n
m
n
q
p
mn
pq
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
Reamintim că funcţia Γ(z) este definită:
(
)
∫
∞
−
−
=
Γ
0
1
dt
e
t
z
t
z
şi,  pentru  valori  n întregi,  poate  fi  privită  ca  o  generalizare  a  funcţiei 
factorial pentru argumentul z complex:
(
)
(
)
(
)z
!
n
n
Γ
−
=
Γ
1
Bară pe pat elastic, fără forţă axială,  cu moment de inerţie variabil şi 
sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N = 0
I (x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
- 38 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
⋅
+
⋅
+
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat. A se vedea şi cazul analizat anterior.
Bară pe pat elastic,  forţă axială de compresie,  cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N > 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
0
0
2
2
4
4
0
=
−
−
+
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia generală:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
k
q
x
w




+
+
−
−




+
+
−




+
−
−
−




+
−
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
0
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
w




+
+
−
−




+
+
−




+
−
−
−




+
−
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
- 39 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
Bară pe pat elastic,  forţă axială de compresie,  cu moment de inerţie 
constant şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N > 0
I(x) = I0
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
4
4
0
=
−
−
+
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)




ξ
ξ
−
ξ
ξ








+
+
β
+
+




ξ
ξ
−
ξ
ξ








+
−
α
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∫
∫
∫
∫
ξ
⋅β
⋅β
−
ξ
⋅β
−
⋅β
ξ
⋅
α
⋅
α
−
ξ
⋅
α
−
⋅α
⋅β
−
⋅β
⋅
α
−
⋅
α
x
x
x
x
p
p
x
x
x
x
p
p
x
x
x
x
d
q
e
e
d
q
e
e
k
EI
N
N
k
d
q
e
e
d
q
e
e
k
EI
N
N
k
e
C
e
C
e
C
e
C
x
w
1
1
0
2
1
1
0
2
3
2
1
0
4
1
4
4
1
4
unde:
(
)
p
k
EI
N
N
EI
0
2
0
4
2
1
+
+
−
=
α
şi
(
)
p
k
EI
N
N
EI
0
2
0
4
2
1
+
−
−
=
β
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
- 40 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
k
q
k
q
x
w




+
+
−
−




+
+
−




+
−
−
−




+
−
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
1
0
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
k
q
x
w




+
+
−
−




+
+
−




+
−
−
−




+
−
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
1
Bară pe pat elastic,  forţă axială de compresie,  cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N > 0
I(x)
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
+
⋅
+
⋅
+
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
- 41 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
Bară pe pat elastic,  forţă axială de compresie,  cu moment de inerţie 
variabil şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N > 0
I(x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
+
⋅
+
⋅
+
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
Bară  pe  pat  elastic,  forţă  axială  de  întindere,  cu  moment  de  inerţie 
constant şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N < 0
I(x) = I0
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
0
0
2
2
4
4
0
=
−
−
−
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia generală:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
k
q
x
w




+
+
−




+
+




+
−
−




+
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
0
Dacă q0 = 0, atunci:
- 42 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
w




+
+
−




+
+




+
−
−




+
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
Bară  pe  pat  elastic,  forţă  axială  de  întindere,  cu  moment  de  inerţie 
constant şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N < 0
I(x) = I0
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
4
4
0
=
−
−
−
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
EI
p
şi are soluţia asigurată de algoritmul:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)




ξ
ξ
−
ξ
ξ








+
−
β
+
+




ξ
ξ
−
ξ
ξ








+
−
α
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
∫
∫
∫
∫
ξ
⋅β
⋅
β
−
ξ
⋅β
−
⋅β
ξ
⋅
α
⋅
α
−
ξ
⋅
α
−
⋅α
⋅β
−
⋅β
⋅
α
−
⋅
α
x
x
x
x
p
p
x
x
x
x
p
p
x
x
x
x
d
q
e
e
d
q
e
e
k
EI
N
N
k
d
q
e
e
d
q
e
e
k
EI
N
N
k
e
C
e
C
e
C
e
C
x
w
1
1
0
2
1
1
0
2
3
2
1
0
4
1
4
4
1
4
unde:
(
)
p
k
EI
N
N
EI
0
2
0
4
2
1
+
−
=
α
şi
(
)
p
k
EI
N
N
EI
0
2
0
4
2
1
+
+
=
β
- 43 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
În cazul particular:
(
)
x
q
q
x
q
1
0 +
=
avem:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
k
q
k
q
x
w




+
+
−




+
+




+
−
−




+
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
1
0
Dacă q0 = 0, atunci:
(
)
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
x
k
EI
N
N
EI
p
p
p
p
p
e
C
e
C
e
C
e
C
x
k
q
x
w




+
+
−




+
+




+
−
−




+
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
−
=
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
4
2
1
3
4
2
1
2
4
2
1
1
4
2
1
0
1
Bară  pe  pat  elastic,  forţă  axială  de  întindere,  cu  moment  de  inerţie 
variabil şi sarcină distribuită constantă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N < 0
I(x);
q(x) = q0
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
0
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
−
⋅
+
⋅
+
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
- 44 -
ECUAŢII, ALGORITMI ŞI SOLUŢII
Bară  pe  pat  elastic,  forţă  axială  de  întindere,  cu  moment  de  inerţie 
variabil şi sarcină distribuită variabilă
Fiind date condiţiile:
kp > 0
N < 0
I(x)
q(x)
ecuaţia (4) devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
=
−
−
−
⋅
+
⋅
+
x
q
x
w
k
dx
x
w
d
N
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
dx
x
dI
E
dx
x
w
d
x
EI
p
căreia autorul nu a reuşit să-i găsească o soluţie generală sau un algoritm de 
calcul asociat.
- 45 -
EVALUĂRI NUMERICE
EVALUĂRI NUMERICE
Aşa cum s-a văzut în capitolul anterior, din cele 36 de situaţii teoretice de 
solicitare a unei  bare omogene şi  drepte,  s-a reuşit  indicarea unei  soluţii 
generale, sau a uneia particulare, sau numai a unui algoritm de rezolvare 
pentru 31 de ecuaţii.
Pentru fiecare exemplu în parte, cele patru constante de integrare: C0, C1, C2 
şi  C3 urmează să fie determinate funcţie condiţiile de sprijinire la capetele 
barei, şi / sau în reazeme intermediare.
Rezultă  că obţinerea,  în  final,  a  unor  formule analitice complete  rămâne 
dezideratul oricărui cercetător în domeniu. Măcar şi pentru frumuseţea lor 
intrinsecă.
General  vorbind,  în  cazul  încovoierii  unei  bare  cu  N reazeme,  evaluarea 
celor  4(N –  1)  constante de  integrare:  Ci0,  Ci1,  Ci2 şi  Ci3 (discutate  şi  în 
capitolul  precedent)  reclamă,  cu  deosebire  pentru  valori  mari  ale  lui  N, 
folosirea tehnicii de calcul electronic şi a unor produse software adecvate.
Mai mult, dacă programele de calcul utilizate au fost gândite şi dezvoltate să 
răspundă  unor  cerinţe  aplicative  imediate,  rezultatele obţinute  vor  fi,  cu 
siguranţă, mai ales sub formă numerică şi / sau grafică.
Metoda parametrilor în origine
Totuşi,  atunci când bara studiată nu are reazeme intermediare „consacrate” 
(reazem simplu rigid, reazem simplu elastic, sau articulaţie intermediară), 
dar este supusă acţiunii unor eforturi externe concentrate şi / sau prezintă 
- 46 -
EVALUĂRI NUMERICE
variaţii bruşte ale sarcinii distribuite, fibra deformată poate fi descrisă şi cu 
ajutorul formulei analitice:
(
)
∑
∑
∑








−
−
−
⋅
+
−
⋅
+
+
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
θ
+
=
k
k
k
k
j
i
j
i
i
i
!
d
x
!
c
x
EI
q
!
b
x
EI
F
!
a
x
EI
M
!
x
EI
T
!
x
EI
M
x
w
x
w
4
4
3
2
3
2
4
4
3
2
3
0
2
0
0
0
unde:
•
rigiditatea EI este constantă pe toată lungimea barei;
•
parametrii  w0, θ0,  M0 şi  T0 reprezintă  valorile cunoscute ale săgeţii, 
rotirii,  momentului  încovoietor  şi  forţei  de  forfecare  în  capătul 
(barei) de abscisă x = 0;
•
prin definiţie, parantezele 
ξ
−
x
 sunt întotdeauna nule dacă x < ξ, 
ele evaluându-se cu formula de calcul:
2
ξ
−
+
ξ
−
=
ξ
−
x
x
x
•
valorile  ai şi  bj sunt abscisele punctelor de aplicaţie ale eforturilor 
externe Mi şi Fj, în timp ce dubletul de ordonate (ck, dk) desemnează 
segmentul de bară pe care acţionează sarcina distribuită qk constantă.
Evaluări numerice
În vederea evaluării  numerice a constantelor de integrare  C (necunoscute), 
se rezolvă sistemul de ecuaţii liniare:
{
}
{ }b
C
a
=
⋅
matricea ||a||  şi  vectorul  {b}  construindu-se  cu  ajutorul  parametrilor 
cunoscuţi: E = modul de elasticitate, I = moment de inerţie, N = forţă axială, 
- 47 -
EVALUĂRI NUMERICE
q =  sarcină  distribuită,  Nr =  număr  reazeme,  tr =  tip  reazem,  ke = 
constantă reazem elastic, ce = constantă încastrare elastică.
Un posibil algoritm ar fi cel implementat în corpul următoarei proceduri de 
calcul, scrisă în limbaj de programare Borland Pascal (Delphi):
procedure matrici;
var i,j,k:integer;
begin
 kb:=sqrt(abs(N)/E/I);
 for i:=1 to 4*(nr-1) do for j:=1 to 4*(nr-1) do a[i,j]:=0;
 for i:=1 to 4*(nr-1) do b[i]:=0;
 j:=0;
 k:=0;
 if N<0 then
  for i:=1 to Nr do
  begin
   if i>1 then k:=1;
   case tr[i] of
    0:begin {capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=0;
      end;
    1:begin {simplu rigid}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=q/N;
      end;
    2:begin {simplu elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
- 48 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
                       +ke[i]*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
                       +ke[i]*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
      end;
    3:begin {incastrare rigida}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*x[i]*x[i]/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;
      end;
    4:begin {incastrare elastica}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
                       -ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
                       -ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
      end;
    5:begin {rezemare generala}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
                      -ce[i]*kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
                      -ce[i]*kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*E*I*cosh(kb*x[i])
                       +ke[i]*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sinh(kb*x[i])
        +ke[i]*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
- 49 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
      end;
    6:begin {forta in capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=-q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;
      end;
    7:begin {forta in resort elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=-q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sinh(kb*x[i])
                       +power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cosh(kb*x[i])
                       +power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;
       b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I
                   -q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;
      end;
    8:begin {simplu rigid intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+5]:=sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=1;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
- 50 -
EVALUĂRI NUMERICE
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=-power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=-power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
    9:begin {simplu elastic intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=E*I*power(kb,3)*cosh(kb*x[i])
                       +ke[i]*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=E*I*power(kb,3)*sinh(kb*x[i])
                       +ke[i]*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+5]:=E*I*power(kb,3)*cosh(kb*x[i])
                       +ke[i]*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=E*I*power(kb,3)*sinh(kb*x[i])
                       +ke[i]*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=-power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=-power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
   10:begin {forta concentrata intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sinh(kb*x[i]);
- 51 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+1,j+2]:=cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       a[j+2*k+1,j+5]:=-sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+6]:=-cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
       a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
       b[j+2*k+1]:=0;
       a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=-kb*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+2,j+8]:=0;
       b[j+2*k+2]:=0;
       a[j+2*k+3,j+1]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=0;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=-power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=-0;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*cosh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*sinh(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
       j:=4*(i-1);
      end;
   end;
  end;
 if N=0 then
  for i:=1 to Nr do
  begin
   if i>1 then k:=1;
   case tr[i] of
    0:begin {capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+2]:=1;
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
- 52 -
EVALUĂRI NUMERICE
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=1;
       a[j+2*k+2,j+2]:=0;
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/E/I;
      end;
    1:begin {simplu rigid}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=x[i]*x[i]/2;
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+2]:=1;
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
      end;
    2:begin {simplu elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+2]:=1;
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;
       a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-q*x[i]-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I;
      end;
    3:begin {incastrare rigida}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],3)/6/E/I;
      end;
    4:begin {inacstrare elastica}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
- 53 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+2,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I
                   -q*power(x[i],2)/2;
      end;
    5:begin {rezemare generala}
       a[j+2*k+1,j+1]:=E*I*x[i]-ce[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+2]:=E*I-ce[i]*x[i];
       a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*power(x[i],3)/6/E/I
                   -q*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]*power(x[i],3)/6+E*I;
       a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=q*x[i]-q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/I;
      end;
    6:begin {forta in capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=1;
       a[j+2*k+1,j+2]:=0;
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=-fc[i]/E/I-q*x[i]/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+2]:=1;
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
      end;
    7:begin {forta in resort elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+2]:=1;
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/E/I;
       a[j+2*k+2,j+1]:=1+ke[i]*power(x[i],3)/6/E/I;
       a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I;
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;
       b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I 
                   -q*ke[i]*power(x[i],4)/24/E/E/I/I
                   -q*x[i]/E/I;
      end;
    8:begin {simplu rigid intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
- 54 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
       a[j+2*k+2,j+5]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+2,j+6]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=1;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],4)/24/E/I;
       a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+4,j+2]:=1;
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];
       a[j+2*k+4,j+6]:=-1;
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
    9:begin {simplu elastic intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];
       a[j+2*k+2,j+5]:=E*I+ke[i]*power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+2,j+6]:=ke[i]*power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],4)/24/E/I-q*x[i];
       a[j+2*k+3,j+1]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+3,j+2]:=x[i];
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+3,j+6]:=-x[i];
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=x[i];
- 55 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+4,j+2]:=1;
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=-x[i];
       a[j+2*k+4,j+6]:=-1;
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
   10:begin {forta concentrata intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       a[j+2*k+1,j+5]:=-power(x[i],3)/6;
       a[j+2*k+1,j+6]:=-power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
       a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
       b[j+2*k+1]:=0;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+2]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       a[j+2*k+2,j+5]:=-power(x[i],2)/2;
       a[j+2*k+2,j+6]:=-x[i];
       a[j+2*k+2,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+2,j+8]:=0;
       b[j+2*k+2]:=0;
       a[j+2*k+3,j+1]:=x[i];
       a[j+2*k+3,j+2]:=1;
       a[j+2*k+3,j+3]:=0;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-x[i];
       a[j+2*k+3,j+6]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+7]:=0;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=1;
       a[j+2*k+4,j+2]:=0;
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=-1;
       a[j+2*k+4,j+6]:=0;
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
       j:=4*(i-1);
      end;
- 56 -
EVALUĂRI NUMERICE
   end;
  end;
 if N>0 then
  for i:=1 to Nr do
  begin
   if i>1 then k:=1;
   case t[i] of
    0:begin {capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=0;
      end;
    1:begin {simplu rigid}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=q/N;
      end;
    2:begin {simplu elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
                       +ke[i]*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
                       +ke[i]*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
      end;
    3:begin {incastrare rigida}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
- 57 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-q*x[i]/N;
      end;
    4:begin {inacstrare elastica}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
                       -ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
                       +ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
      end;
    5:begin {rezemare generala}
       a[j+2*k+1,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
                       -ce[i]*kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
                       +ce[i]*kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=-ce[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q*ce[i]*x[i]/N-E*I*q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*E*I*cos(kb*x[i])
                       +ke[i]*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*E*I*sin(kb*x[i])
                       +ke[i]*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*x[i]*x[i]/2/N;
      end;
    6:begin {forta in capat liber}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=0;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       b[j+2*k+2]:=-fc[i]/E/I;
- 58 -
EVALUĂRI NUMERICE
      end;
    7:begin {forta in resort elastic}
       a[j+2*k+1,j+1]:=power(kb,2)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=power(kb,2)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=0;
       a[j+2*k+1,j+4]:=0;
       b[j+2*k+1]:=q/N;
       a[j+2*k+2,j+1]:=ke[i]/E/I*sin(kb*x[i])
                       -power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=ke[i]/E/I*cos(kb*x[i])
                       +power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=ke[i]*x[i]/E/I;
       a[j+2*k+2,j+4]:=ke[i]/E/I;
       b[j+2*k+2]:=fc[i]/E/I
                   -q*ke[i]*power(x[i],2)/2/E/I/N;
      end;
    8:begin {simplu rigid intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       b[j+2*k+1]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+5]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+7]:=x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=1;
       b[j+2*k+2]:=-q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
    9:begin {simplu elastic intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])
- 59 -
EVALUĂRI NUMERICE
                       +ke[i]*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])
                       +ke[i]*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=ke[i];
       b[j+2*k+1]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+2,j+5]:=-E*I*power(kb,3)*cos(kb*x[i])
                       +ke[i]*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=E*I*power(kb,3)*sin(kb*x[i])
                       +ke[i]*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+7]:=ke[i]*x[i];
       a[j+2*k+2,j+8]:=ke[i];
       b[j+2*k+2]:=-ke[i]*q*power(x[i],2)/2/N;
       a[j+2*k+3,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=1;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=0;
       j:=4*(i-1);
      end;
   10:begin {forta concentrata intermediar}
       a[j+2*k+1,j+1]:=sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+2]:=cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+3]:=x[i];
       a[j+2*k+1,j+4]:=1;
       a[j+2*k+1,j+5]:=-sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+6]:=-cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+1,j+7]:=-x[i];
       a[j+2*k+1,j+8]:=-1;
       b[j+2*k+1]:=0;
       a[j+2*k+2,j+1]:=kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+2]:=-kb*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+3]:=1;
       a[j+2*k+2,j+4]:=0;
       a[j+2*k+2,j+5]:=-kb*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+2,j+6]:=kb*sin(kb*x[i]);
- 60 -
EVALUĂRI NUMERICE
       a[j+2*k+2,j+7]:=-1;
       a[j+2*k+2,j+8]:=0;
       b[j+2*k+2]:=0;
       a[j+2*k+3,j+1]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+2]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+3]:=0;
       a[j+2*k+3,j+4]:=0;
       a[j+2*k+3,j+5]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+6]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+3,j+7]:=0;
       a[j+2*k+3,j+8]:=0;
       b[j+2*k+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+1]:=-power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+2]:=power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+3]:=0;
       a[j+2*k+4,j+4]:=0;
       a[j+2*k+4,j+5]:=power(kb,3)*cos(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+6]:=-power(kb,3)*sin(kb*x[i]);
       a[j+2*k+4,j+7]:=0;
       a[j+2*k+4,j+8]:=0;
       b[j+2*k+4]:=-fc[i]/E/I;
       j:=4*(i-1);
      end;
   end;
  end;
end;
Evident,  această procedură poate fi completată oricând cu instrucţiuni de 
atribuire specifice şi altor tipuri de rezeme discutate în capitolul precedent.
Valoarea determinantului asociat matricei ||a|| se poate calcula, de exemplu, 
folosind metoda lui Gauss, implementată în corpul funcţiei mai jos listate:
function gauss(n:integer):extended;
label 1,2;
var i,j,k:integer;
    p,g:extended;
begin
 p:=1;
 for i:=1 to n-1 do
 begin
  if a[i,i]=0 then
  begin
- 61 -
EVALUĂRI NUMERICE
   for j:=i+1 to n do
   begin
    if a[j,i]<>0 then
    begin
     for k:=1 to n do
     begin
      g:=a[i,k];
      a[i,k]:=a[j,k];
      a[j,k]:=g;
     end;
     p:=-p;
     goto 1;
    end;
   end;
   g:=0;
   goto 2;
  end;
1:
  for j:=i+1 to n do
  begin
   if a[j,i]<>0 then
    for k:=1 to n do a[j,k]:=a[j,k]-a[j,i]*a[i,k]/a[i,i]
  end;
 end;
 g:=1;
 for i:=1 to n do g:=g*a[i,i];
 g:=g*p;
2:
 gauss:=g;
end;
- 62 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
Dacă eforturile externe ce acţionează asupra unei bare se modifică în timp, 
atunci şi deformaţiile suferite de aceasta vor depinde de o a doua variabilă 
independentă,  t,  exprimând  faptul  că  deplasările  du,  dv şi  dw nu  rămân 
constante.
În aceste condiţii, pentru aceeaşi ipoteză du = 0, ecuaţia (4), de exemplu, se 
va rescrie sub forma ecuaţiei de mişcare:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
2
2
2
=
−
+
∂
∂
±






∂
∂
∂
∂
t
,
x
q
t
,
x
w
k
x
t
,
x
w
t
N
x
t
,
x
w
x
EI
x
p
ce s-ar  mai  putea  completa  cu  forţele  de  frecare:  externă,  
(
)
t
t
,
x
w
cv
∂
∂
 şi 
internă,  
(
)
(
)
t
x
t
,
x
w
x
I
∂
∂
∂
µ
4
5
,  ambele  presupuse  a  fi  de  natură  vâscoasă  şi 
caracterizate prin coeficienţii asociaţi cv, respectiv μ.
Sarcina distribuită  q(x,t) va cuprinde, de această dată, atât forţele externe 
excitatoare p(x,t) cât şi forţa de inerţie 
(
)
2
2
t
t
,
x
w
A
∂
∂
ρ
−
; prin ρ s-a desemnat 
densitatea barei iar A este aria secţiunii sale transversale.
În cazul ideal al  unei bare de rigiditate  EI constantă, fără frecări  interne 
(adică μ = 0) şi în lipsa unor forţe de frecare externe (cv = 0, în vid), ecuaţia 
de mişcare se simplifică şi devine:
(
)
(
)
(
)
EI
t
,
x
p
t
t
,
x
w
EI
A
x
t
,
x
w
=
∂
∂
⋅
ρ
+
∂
∂
2
2
4
4
- 63 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
iar funcţia w(x,t) trebuie să satisfacă, pe lângă condiţiile la limită cu care ne-
am obişnuit deja, şi condiţiile iniţiale, precizate pentru t = 0:
(
)
(
)
(
)
(
)




=
∂
∂
=
=
x
g
t
t
,
x
w
x
f
,
x
w
t 0
0
Moduri proprii de vibraţii
Din motive ce ţin exclusiv de păstrarea formalismului consacrat al lucrărilor 
de specialitate, în cele ce urmează ne vom referi la deformări / deplasări / 
încovoieri dv(x,t) ce au loc pe direcţia y.
Conform definiţiilor, modurile proprii (sau naturale) de vibraţii ale unei bare 
ideale sunt caracterizate prin soluţiile ecuaţiei de mişcare în vid, obţinute în 
lipsa forţelor excitatoare, adică:
(
)
(
)
0
2
2
4
4
=
∂
∂
⋅
ρ
+
∂
∂
t
t
,
x
v
EI
A
x
t
,
x
v
Utilizând metoda separării variabilelor, pentru ecuaţia (5) se caută o soluţie 
de forma:
(
)
(
)
( )
t
T
x
Y
t
,
x
v
⋅
=
şi avem:
(
)
(
)
(
)
(
) 0
2
2
4
4
=
⋅
ρ
+
x
Y
dt
t
,
x
T
d
EI
A
t
T
dx
t,
x
Y
d
rezultat ce presupune rezolvarea simultană a egalităţilor independente:
(
)
(
)
(
)
(
)
4
2
2
4
4
1
1
α
=
⋅
⋅
ρ
−
=
⋅
dt
t
T
d
t
T
EI
A
dx
x
Y
d
x
Y
Concret, plecând de la ecuaţia:
- 64 -
(5)
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
4
2
2
1
α
=
⋅
⋅
ρ
−
dt
t
T
d
t
T
EI
A
rescrisă:
(
)
(
) 0
4
2
2
=
ρ
α
+
x
T
A
EI
dt
t
T
d
se caută soluţia generală:
(
)
t
re
t
T
⋅
=
care conduce la:
0
4
2
=




ρ
α
+
⋅t
re
A
EI
r
de unde rezultă
0
4
2
=
ρ
α
+
A
EI
r
Cu ajutorul soluţiilor imaginare:
A
EI
i
r ,
ρ
α
±
=
2
2
1
;
1
−
=
i
funcţia T(t) devine:
(
)
t
i
t
i
e
T
e
T
t
T
ω
−
ω +
=
2
1
sau,  exprimând  exponenţialele  exp(iωt)  şi  exp(-iωt)  prin  intermediul 
funcţiilor trigonometrice sin(ωt) şi cos(ωt):
(
)
(
)ϕ
+
ω
=
t
sin
T
t
T
0
ceea ce înseamnă că bara studiată execută  oscilaţii armonice  cu  pulsaţia 
proprie:
- 65 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
A
EI
ρ
α
=
ω
2
0
În mod similar, plecând de la ecuaţia:
(
)
(
) 0
4
4
4
=
α
−
x
Y
dx
x
Y
d
avem, consecutiv:
(
)
x
re
x
Y
⋅
=
(
)
0
4
4
=
α
−
⋅x
re
r
0
4
4
=
α
−
r
α
−
=
1r
;
α
=
2r
;
α
−
=
i
r2
;
α
= i
r2
astfel încât funcţia proprie Y(x) capătă forma:
(
)
x
i
x
i
x
x
De
Ce
Be
Ae
x
Y
α
−
α
α
−
α
+
+
+
=
Exprimând,  acum,  exponenţialele  exp(iωt)  şi  exp(-iωt)  prin  intermediul 
funcţiilor trigonometrice sin(ωt) şi cos(ωt), respectiv exponenţialele exp(ωt) 
şi  exp(-ωt)  prin  intermediul  funcţiilor  hiperbolice  sh(ωt)  şi  ch(ωt),  se 
regăseşte expresia consacrată:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)x
ch
C
x
sh
C
x
cos
C
x
sin
C
x
Y
α
+
α
+
α
+
α
=
4
3
2
1
Funcţia proprie împreună cu  pulsaţia proprie definesc ceea ce se numeşte 
un mod propriu şi fac obiectul studiilor de analiză modală.
Necunoscutele  reprezentând  constantele  de  integrare  C1,  C2,  C3 şi  C4, 
respectiv parametrul modal α se determină, şi de această dată, din condiţiile 
la limită, iar T0 şi φ din condiţiile iniţiale.
De exemplu, dacă bara de lungime L este încastrată rigid la ambele capete şi 
nu are alte reazeme intermediare, atunci din condiţiile la limită se obţine 
sistemul compatibil nedeterminat de patru ecuaţii liniare:
- 66 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)







=
α
+
α
+
α
−
α
=
α
+
α
+
α
+
α
=
+
=
+
0
0
0
0
4
3
2
1
4
3
2
1
3
1
4
2
L
sh
C
L
ch
C
L
sin
C
L
cos
C
L
ch
C
L
sh
C
L
cos
C
L
sin
C
C
C
C
C
ce  va  admite  soluţii  nebanale  dacă  şi  numai  dacă  determinantul  său  se 
anulează, adică:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
1
0
1
1
0
1
0
=
α
α
α
−
α
α
α
α
α
L
sh
L
ch
L
sin
L
cos
L
ch
L
sh
L
cos
L
sin
Ultima  egalitate  reprezintă  ecuaţia pulsaţiilor proprii şi,  adusă  la  forma 
simplificată:
(
)
(
) 1
=
α
α
L
cos
L
ch
are soluţiile:
L
,7300
4
1 =
α
;
L
,8532
7
2 =
α
 ;
π
+
=
α
L
n
n
2
1
2
(n > 2)
cărora le corespund frecvenţele proprii:
A
EI
L
,
,
ρ






π
=
ν
2
1
0
7300
4
2
1
;
A
EI
L
,
,
ρ






π
=
ν
2
2
0
8532
7
2
1
A
EI
L
n
n
,
ρ






π
+
π
=
ν
2
0
2
1
2
2
1
(n > 2)
Se observă că există un număr infinit de moduri de vibraţie, desemnate prin 
valorile naturale ale indicelui n.
Alegând  acum valorile  C1n drept  variabile  independente,  atunci  pentru 
celelalte necunoscute C2n, C3n şi C4n se obţin soluţiile:
- 67 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
(
)
(
)L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
C
C
n
n
n
n
n
n
α
+
α
α
−
α
=
1
2
n
n
C
C
1
3
−
=
(
)
(
)
(
)
(
)L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
C
C
n
n
n
n
n
n
α
+
α
α
−
α
−
=
1
4
şi forma fibrei deformate în modul  n de vibraţie va fi descrisă de funcţia 
proprie:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)


α
α
+
α
α
−
α
−
α
−



−
α
α
+
α
α
−
α
+
α
=
x
ch
L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
x
sh
x
cos
L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
x
sin
C
x
Y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
Evident, pentru oscilaţiile armonice vom avea:
(
)
(
)
n
n
,
n
t
sin
T
t
T
ϕ
+
ω
=
0
0
; 
n
,
n
,
0
0
2πν
=
ω
şi modul n de vibraţie va fi caracterizat, în final, prin:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
,
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
sin
x
ch
L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
x
sh
x
cos
L
sh
L
sin
L
ch
L
cos
x
sin
A
t,
x
v
ϕ
+
ω



α
α
+
α
α
−
α
−
α
−



−
α
α
+
α
α
−
α
+
α
=
0
cu constantele An şi φn determinate din condiţiile iniţiale (t = 0).
În  mod  similar  se  poate  demonstra că  dacă  aceeaşi  bară  s-ar  sprijini  la 
capete pe reazeme simplu rigide, atunci modurile sale proprii de vibraţii ar fi 
caracterizate cu ajutorul relaţiilor:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
,
n
n
n
n
n
n
t
sin
x
sh
L
sh
L
sin
x
sin
A
t
,
x
v
ϕ
+
ω






α
α
α
+
α
=
0
- 68 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
n
,
n
,
0
0
2πν
=
ω
;
A
EI
L
n
n
,
ρ





 π
π
=
ν
2
0
2
1
Comparând cele două exemple de încovoiere la vibraţii se poate remarca 
existenţa unei dependenţe directe, explicite, atât a formei fibrei deformate 
cât şi a frecvenţelor proprii de natura reazemelor (de capăt).
Vibraţiile unei bare reale în mediu fluid vâscos
Aşa cum am subliniat deja, modurile proprii caracterizează situaţia ideală a 
vibraţiilor  libere (fără  forţă  excitatoare)  în  vid,  ale  unei  bare fără  frecări 
interne.
În vederea studierii vibraţiilor libere într-un mediu fluid oarecare (vâscos) 
va trebui să se ţină seama, pe lângă forţa de frecare externă, şi de faptul că, 
oscilând, bara va trebui să deplaseze (să disloce) o masă adiţională de fluid, 
ma (pe unitatea de lungime).
Dacă se  iau  în  calcul  şi  forţele  de frecare  internă  şi  externă  amintite  la 
începutul acestui capitol, ecuaţia de mişcare capătă expresia:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
2
4
5
4
4
=
∂
∂
+
ρ
+
∂
∂
+
∂
∂
±
∂
∂
∂
µ
+
∂
∂
t
t
,
x
v
m
A
t
t
,
x
v
c
x
t
,
x
v
N
t
x
t
,
x
v
I
x
t
,
x
v
EI
a
v
a cărei rezolvare permite obţinerea formulei de calcul pentru  coeficientul 
total de amortizare, n:
(
)
a
v
m
A
c
I
n
+
ρ
+
µ
α
=
2
4
respectiv obţinerea formulei de calcul pentru pulsaţiile libere în fluid:






α
±
+
ρ
ρ
ω
=






α
±
+
ρ
α
=
ω
EI
N
m
A
A
EI
N
m
A
EI
a
a
2
0
2
2
1
1
Prezenţei forţelor de frecare determină executarea de către bara studiată a 
unei mişcări periodice amortizate, caracterizată prin raportul de amortizare:
- 69 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)






α
±
+
ρ
α
+
µ
α
=
ω
=
ζ
EI
N
m
A
EI
c
I
n
a
v
2
2
4
1
2
şi, în cazul amortizării subcritice (ζ 2 < 1), prin pseudopulsaţia:
2
2
2
1
1 ζ
−
ω
=
−
ω
=
ω
n
;
Cu ajutorul acestor mărimi, soluţia ecuaţiei de mişcare se va scrie:
(
)
(
)
(
)ϕ
+
ω
⋅
α
=
ζω
−
t
sin
T
e
x
Y
t
,
x
v
t
1
0
unde funcţia fibrei deformate Y(αx) se determină din condiţiile de rezemare, 
iar constantele de integrare To şi φ din condiţiile iniţiale (t = 0). Avem, prin 
urmare, o oscilaţie liberă amortizată.
Masa adiţională
Prin masă adiţională (sau masă hidrodinamică) se înţelege, în general, masa 
de fluid deplasată de bară atunci când aceasta din urmă execută o mişcare 
vibratorie de încovoiere.
Definiţia  de mai  sus se  poate folosi  ca atare numai atunci  când avem  o 
singură bară imersată într-un volum infinit de fluid.
În cazul unui număr oarecare de bare (paralele) imersate într-un fluid (apă) 
cu volum limitat, masa adiţională este afectată atât de mişcarea celorlalte 
bare precum şi de poziţia acestora faţă de frontiera fluidului.
Determinări minuţioase ale masei adiţionale  ma pentru o bară cilindrică de 
masă mc se pot face măsurând frecvenţele de rezonanţă în aer  faer şi în apă 
fapă, prin prelucrarea cărora obţine formula de calcul:








−








ν
ν
=
1
2
a
ap
aer
c
a m
m

- 70 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
Plecând de la aceste rezultate şi ţinând cont de definiţia dată anterior,  se 
poate considera că masa de fluid deplasată este proporţională cu volumul 
cilindrului, adică :
4
2
d
c
m
f
m
a
π
ρ
=
unde  ρf este  densitatea  fluidului,  d diametrul  cilindrului  (barei)  şi  cm un 
factor, numit adesea şi coeficient de masă adiţională.
Coeficientul de masă adiţională ţine cont de condiţiile de frontieră. În cazul 
unui singur cilindru de diametru d, aflat în interiorul unui tub de diametru D, 
în  urma  rezolvării  ecuaţiilor  Navier-Stokes  pentru  mişcarea 
unidimensională (cei doi cilindri se consideră ca având lungimi infinite), se 
obţine:
2
2
2
2
d
D
d
D
cm
−
+
=
Rezolvând aceleaşi ecuaţii de mişcare Navier-Stokes dar de data aceasta în 
cazul mişcării bidimensionale a unui singur cilindru poziţionat concentric in 
interiorul unui tub încărcat cu fluid, avem:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
a
Y
a
aY
b
J
b
bJ
a
J
a
aJ
b
Y
b
bY
a
J
b
Y
b
bY
a
Y
b
J
b
bJ
cm
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
−
⋅
−
−
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
=
cu:
c
d
a
2
ω
=
;
c
D
b
2
ω
=
unde Jm şi Ym sunt funcţiile Bessel de ordinul I şi II, ω = 2πν pulsaţia barei 
cilindrice iar c este viteza sunetului în fluidul respectiv.
Formula  de  calcul  se  complică  semnificativ  dacă  cei  doi  cilindrii  sunt 
excentrici, şi încă şi mai mult dacă se iau în considerare lungimile lor finite.
- 71 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
Vibraţii întreţinute
Vibraţiile  libere  de  încovoiere  ale  unei  bare  drepte  pot  fi  declanşate,  de 
exemplu, printr-un şoc mecanic (exterior).
Aşa cum s-a  văzut  în  paragrafele  anterioare,  prezenţa  forţelor  de frecare 
internă  şi  externă  va  determin  executarea  de  către  bara  studiată  a  unor 
vibraţii  de încovoiere amortizate. Aceasta înseamnă că la un moment dat 
mişcarea va înceta.
Prioritare, însă, din punct de vedere al studiilor tehnologice, rămân situaţiile 
când aceste vibraţii de încovoiere sunt întreţinute prin acţiunea externă a 
aşa-numitelor  forţe excitatoare.  Două  tipuri  mai  des  întâlnite  de  forţe 
excitatoare ar fi cele armonice, respectiv cele aleatoare.
Forţă excitatoare armonică
Vom presupune că avem de-a face cu forţa excitatoare sinusoidală:
(
)
(
)
(
)
t
sin
x
p
t
,
x
p
Ω
=
0
0
ce ne permite să rescriem ecuaţia de mişcare sub forma:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
sin
EI
x
p
t
t
,
x
v
EI
m
A
t
t
,
x
v
EI
c
x
t
,
x
v
EI
N
t
x
t
,
x
v
E
x
t,
x
v
a
v
Ω
=
∂
∂
⋅
+
ρ
+
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
∂
µ
+
∂
∂
0
2
2
2
2
4
5
4
4
Soluţia  ecuaţiei  de mişcare fără  forţă  excitatoare reprezintă,  aşa cum s-a 
prezentat anterior, o mişcare liberă amortizată descrisă prin formula:
(
)
(
)
(
)ϕ
+
ω
⋅
α
=
ζω
−
t
sin
T
e
x
Y
t,
x
v
t
1
0
Conform teoriei  generale  a  sistemelor  oscilante  cu  amortizare  vâscoasă, 
pentru ecuaţia (6) se caută o soluţie particulară de forma:
- 72 -
(6)
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
(
)θ
−
Ω
=
t
sin
x
Y
t,
x
v
particular
particular
astfel încât soluţia generală a ecuaţiei de mişcare (6) va fi:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)θ
−
Ω
+
ϕ
+
ω
⋅
α
=
ζω
−
t
sin
x
Y
t
sin
T
e
x
Y
t,
x
v
particular
t
1
0
Se observă că, datorită amortizării, vibraţiile proprii se anulează exponenţial 
astfel încât, după trecerea fazei tranzitorii, se poate lua în considerare numai 
soluţia staţionară corespunzătoare vibraţiilor întreţinute.
Cu  alte  cuvinte,  sub  acţiunea  unei  forţe  excitatoare  periodice,  bara  va 
executa  vibraţii  de  încovoiere  având  pulsaţia  egală  cu  pulsaţia  forţei 
respective. În acelaşi timp funcţia Yparticular(x) trebuie să satisfacă atât ecuaţia 
de mişcare (6) cât şi condiţiile la limită în reazeme. Acestea vor fi implicit 
îndeplinite dacă Y,particular(x) se alege sub forma unei dezvoltări în serie după 
funcţiile proprii Y(x), adică:
(
)
(
)
∑
∞
=
=
1
k
k
k
particular
x
Y
C
x
Y
şi
(
)
(
)
(
)θ
−
Ω
= ∑
∞
=
t
sin
x
Y
C
t,
x
v
k
k
k
1
unde prin indicele k s-a identificat modul propriu de vibraţie de ordinul k.
Ţinând cont de faptul că:
(
)
(
)x
Y
dx
x
Y
d
k
k
k
4
4
4
α
=
;
(
)
(
)x
Y
dx
x
Y
d
k
k
k
2
2
2
α
=
după înlocuirea soluţiei (7) în ecuaţia de mişcare (6) obţinem:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
sin
EI
x
p
t
cos
x
Y
EI
c
E
t
sin
x
Y
EI
m
A
EI
N
C
z
k
k
v
k
k
k
a
k
k
k
Ω
=
θ
−
Ω
Ω




+
µ
α
+
+
θ
−
Ω






Ω
−
ρ
−
α
+
α
∑
∑
∞
=
∞
=
0
1
4
1
2
2
4
- 73 -
(7)
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
Dezvoltând  funcţiile  trigonometrice  şi  folosind  definiţiile  anterioare  ale 
mărimilor n, ω, şi ζ, ultima ecuaţie devine:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
sin
m
A
x
p
x
Y
t
cos
tg
t
sin
tg
cos
C
a
k
k
k
k
k
k
k
k
Ω
+
ρ
=



Ω




θ
−
Ω
−
ω
Ω
ζω
+



+
Ω




θ
Ω
−
ω
Ω
ζω
+
θ
Ω
−
ω
∑
∞
=
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
Această egalitate poate avea loc dacă şi numai dacă valoarea coeficientului 
funcţiei cos(Ωt) este nulă, adică:
(
)
2
2
2
Ω
−
ω
Ω
⋅
ζω
=
θ
k
k
k
tg
;
(
)
(
)
k
k
tg
cos
θ
+
=
θ
2
1
1
Simplificând prin sin(Ωt), se obţine:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
a
k
k
k
k
k
k
m
A
x
p
x
Y
tg
cos
C
+
ρ
=
θ
+
⋅
θ
Ω
−
ω
∑
∞
=
0
1
2
2
2
1
şi, după înlocuirea definiţiei funcţiei tg(θ) şi înmulţirea cu (ρA + ma):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)x
p
x
Y
C
m
A
k
k
k
k
k
a
0
1
2
2
2
2
=
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
∑
∞
=
În vederea determinării valorilor coeficienţilor Ck vom înmulţi ultima relaţie 
cu Ym(x) şi vom integra pe toată lungimea barei, L:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫∑
=
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
∞
=
L
m
L
k
m
k
k
k
k
a
dx
x
Y
x
p
dx
x
Y
x
Y
C
m
A
0
0
0
1
2
2
2
2
şi, folosind proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor proprii:
(
)
(
)






=
≠
=
∫
m
k
B
m
k
dx
x
Y
x
Y
k
L
m
k
0
0
rezultă, în final:
- 74 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
=
L
m
k
k
k
a
k
dx
x
Y
x
p
B
m
A
C
0
0
2
2
2
2
1
Pentru  o  forţă  perturbatoare  constantă  pe  toată  lungimea  elementului 
combustibil, p0(x)=p0, coeficienţii Ck devin:
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
=
L
m
k
k
k
a
k
dx
x
Y
B
m
A
p
C
0
2
2
2
0
2
iar dacă forţa perturbatoare P0 este concentrată în secţiunea x = x*, valoarea 
corespunzătoare  unităţii  de  lungime  p0(x) se  poate  exprima  cu  ajutorul 
funcţiei simbolice Dirac, δ(x):
(
)
(
)
*x
x
P
x
p
−
δ
=
0
0
astfel încât coeficienţii Ck devin:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
−
δ
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
=
L
m
*
k
k
k
a
k
dx
x
Y
x
x
B
m
A
P
C
0
2
2
2
0
2
adică:
(
)
(
)
(
)
(
)
k
k
k
a
*
m
k
B
m
A
x
Y
P
C
2
2
2
0
2 Ω
ζω
+
Ω
−
ω
+
ρ
=
Din formulele de mai sus rezultă că mărimile  Ck sunt funcţii  de pulsaţia 
excitatoare Ω, valorile lor maxime fiind atinse pentru:
2
2
1
ζ
−
ω
=
Ω
k
Evident,  în lipsa frecărilor interne şi externe (μ = 0 şi  cv = 0) vom avea 
rezultatul imediat Ω = ωk.
Prin urmare, când pulsaţia Ω a forţei perturbatoare este în aproprierea uneia 
din pulsaţiile  proprii  ωk vom avea de-a face cu fenomenul de rezonanţă, 
caracterizat  prin  creşterea  semnificativă  a  amplitudinilor  vibraţiilor.  Fapt 
pentru  care  fiecărui  coeficient  Ck în  parte  i  se  asociază  factorul de 
amplificare:
- 75 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
(
)
(
)
(
)
(
)
2
k
2
2
2
k
2
L
0
m
0
k
a
k
k
k
2
1
1
dx
x
Y
x
p
B
m
A
C
A




ω
Ω
ζ
+




ω
Ω
−
=
−
ρ
ω
=
∫
Forţă excitatoare aleatoare
Fără a intra în detalii privind calculele de analiză spectrală (metodă specifică 
utilizată în cazul semnalelor aleatoare), subliniem faptul că dacă prin F(Ω,t) 
se desemnează forţa excitatoare externă, atunci ecuaţia ce descrie evoluţia 
temporală a unui oscilator armonic cu amortizare vâscoasă (situaţie valabilă 
şi  cazului  vibraţiilor  de încovoiere ale  unei  bare  drepte  şi  omogene) are 
forma generală:
(
)
(
)
(
)
(
)
t
,
F
t
T
dt
t
dT
dt
t
T
d
k
k
Ω
=
ω
+
ζω
+
2
2
2
2
Aplicând acestei ecuaţii transformata Fourier se obţine funcţia de răspuns în 
frecvenţă a sistemului analizat:
(
)
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
=
Ω
k
k
j
j
H
2
1
2
2
(
)
(
)
(
) 2
2
2
2
2
1
Ω
ζω
+
Ω
−
ω
=
Ω
k
k
j
H
unde,  ca  şi  în  cazul  analizat  anterior,  prin  Ω se  înţelege  o  pulsaţie 
caracteristică a forţei excitatoare, iar pin ωk pulsaţia modului k de vibraţie.
Dacă sursa de excitaţii aleatoare are o structură de zgomot alb (frecvenţele 
perturbatoare  Ω se  găsesc  uniform distribuite  în  interiorul  unei  anumite 
benzi, limitată sa nu) şi dacă, în plus, S0 = constantă este densitatea spectrala 
a zgomotului alb, atunci bara (oscilatorul) va executa vibraţii de încovoiere 
aleatoare tot de tip zgomot alb, densitatea spectrală a răspunsului său fiind:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
0
0
2
0
4
Ω
ω
ζ
+
Ω
−
ω
=
Ω
=
⋅
Ω
⋅
Ω
=
Ω
k
k
*
S
S
j
H
S
j
H
j
H
S
- 76 -
VIBRAŢII DE ÎNCOVOIERE
Anulând derivata întâi a funcţiei S(Ω) în raport cu Ω avem:
(
)
(
)
(
)
[
]
0
4
4
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
=
Ω
ω
ζ
+
Ω
−
ω
Ω
Ω
−
ω
−
Ω
ω
ζ
−
=
Ω
Ω
k
k
k
k
S
d
dS
şi rezultă că funcţia S(Ω) prezintă maxime pentru pulsaţiile excitatoare:
2
2
1
ζ
−
ω
=
Ω
k
Prin urmare, densitatea de putere a răspunsului barei va prezenta maxime 
(fenomen  de  rezonanţă)  pentru  frecvenţe  excitatoare  Ω proporţionale  cu 
frecvenţele proprii ωk, valorile de extrem calculându-se cu formula:
(
)
2
2
2
0
1
4
ζ
−
ω
ζ
=
k
max
,
k
S
S
Alte elemente caracteristice răspunsului aleatoriu al barei, pe armonica  k, 
vor fi:
•
răspunsul mediu (în timp)
(
)
(
)x
Y
S
t
,
x
v
k
k
k
2
0
ω
=
•
răspunsul mediu pătratic (în timp)
(
)
(
)x
Y
S
t,
x
v
k
k
k
3
0
2
ω
=
•
funcţia de autocorelaţie
(
)
(
)
(
)








τ
ζ
−
ω
ζ
−
ζ
+
τ
ζ
−
ω
ζω
⋅
π
=
τ
τ
ζω
−
2
2
2
3
0
1
1
1
2
k
k
k
k
,
vv
sin
cos
e
S
R
k
unde,  evident,  prin  Yk(x) s-a  indicat  funcţia  fibrei  deformate  specifice 
armonicii de ordinul k.
- 77 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
Barele  (tuburile,  conductele  etc.)  aflate  sub  acţiunea  unui  fluid  curgând 
paralel  cu  acestea,  prin  exteriorul  lor  sau  prin  interiorul  acestora,  vor 
executa  vibraţii  de  încovoiere  întreţinute  de  forţe  putând  avea  caracter 
aleator  (datorat  turbulenţei  curgerii)  sau pulsatoriu  (datorat  pulsaţiilor  de 
presiune generate de pompele de circulaţie).
În  cazul  vibraţiilor  induse  de  curgerea  paralelă  a  unui  fluid  se  acceptă 
existenţa următoarelor forţe ce acţionează pe unitatea de lungime a barei 
studiate:
•
forţa de antrenare transversală, dependentă de gradientul vitezei de 
curgere a fluidului;
•
forţa de antrenare longitudinală, dependentă de modulul vitezei de 
curgere a fluidului;
•
forţele  de  presiune,  normale  pe  suprafaţa  laterală,  rezultate  din 
schimbarea fluxului momentan lateral al fluidului şi considerate a fi 
independente de mişcarea barei;
•
forţele  de  frecare  externă,  proporţionale  cu  viteza  de  vibraţie  şi 
opuse mişcării;
•
forţele de inerţie,  dependente de acceleraţia vibraţiilor şi de masa 
elementului vibrator;
•
forţele elastice, dependente de rigiditatea barei şi de derivata parţială 
de ordinul patru a deplasării;
•
forţele  de  frecare  internă,  dependente  de  momentul  de  inerţie  şi 
derivata parţială de ordinul doi a deplasării;
- 78 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
•
forţele axiale de compresie sau întindere, dependente de căderea de 
presiune pe lungimea elementului studiat şi  modul de rezemare la 
capete.
Energia  este  creată  de  forţele  de  antrenare  şi  disipată  de  celelalte  şase 
descrise mai sus. Prin urmare, primul pas în studierea răspunsului unei bare 
sub acţiunea acestor  forţe  constă  în  identificarea  surselor  de  excitare.  În 
această privinţă se acceptă că mecanismele care participă cel mai frecvent şi 
au un efect semnificativ în amplitudinea vibraţiilor sunt cele care generează 
răspunsul  aleator  al  sistemului  elastic,  ele  putând  fi  împărţite  în  patru 
categorii importante:
•
excitaţia turbulentă;
•
excitaţia fluido-elastică;
•
excitaţia prin frecvenţă discretă;
•
excitaţia datorată componentelor transversale ale curgerii paralele.
În  funcţie  de  condiţiile  reale  de  funcţionare,  sau  de  experimentare  pe 
standuri de încercări, unele dintre mecanismele de excitare prezentate mai 
sus  pot  fi  sursa  dominantă  de  energie.  De  cele  mai  multe  ori  însă  este 
dificilă identificarea excitaţiei predominante datorită interacţiunilor care pot 
avea loc între aceste mecanisme, descrise în cele ce urmează.
Excitaţia turbulentă
Fluctuaţiile de presiune în curgerea turbulentă paralelă pot cauza vibraţii de 
încovoiere ale barelor şi tuburilor. Fluctuaţiile apar în imediata vecinătate a 
pereţilor  rigizi  sau  sunt  "transportate"  spre  aceştia  de  către  perturbaţiile 
curentului de fluid.
De  obicei  se  acceptă  că  fluctuaţiile  de  presiune  care  cauzează  vibraţii 
mecanice sunt generate:
•
în straturile turbulente de la capete, formându-se la suprafaţa rigidă a 
barelor;
- 79 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
•
prin turbulenţa rezultată din curgerea separată datorită eventualelor 
neuniformităţi în canalul de.
Energiile asociate cu fluctuaţiile de presiune turbulente sunt distribuite, în 
general într-o bandă largă de frecvenţă şi mai puţin concentrate în jurul unei 
frecvenţe  discrete.  Mecanismul  excitaţiilor  turbulente  constă  în  solicitări 
aleatoare  dintre  care  bara  selectează  pentru  răspunsul  său  mai  ales  acea 
porţiune de energie care este "închisă" în jurul unei frecvenţe proprii.
Vibraţia  nu  trebuie  să  cauzeze  o  creştere  a  forţelor  turbulente  efective, 
acestea fiind independente de mişcarea vibratorie.
Excitaţia fluido-elastică
Vibraţiile fluido-elastice sunt caracterizate printr-o viteză critică de curgere 
până la care amplitudinile de oscilaţie sunt mici şi după care acestea cresc 
foarte repede.
Sunt posibile două mecanisme fluido-elastice:
•
un mecanism care depinde de poziţia sistemului vibrator (bară, tub 
etc.) şi care este independent de timp;
•
un mecanism care depinde în special de timp.
În primul caz se consideră că există în fiecare moment o situaţie de curgere 
staţionară. Forţele care acţionează aspra barei variază atunci când poziţia sa 
relativă faţă de fluid se schimbă. Datorită acestor schimbări, bara suportă 
forţe mari de dragare, ce vor induce, astfel, vibraţii.
Pentru  mecanismul  dependent  de  timp,  forţele  generate  nu  sunt  numai 
funcţii de poziţia relativă a sistemului elastic faţă de curgerea dată, ci depind 
mai ales de existenţa unei curgeri nestaţionare şi de interacţiunile temporare 
dintre bara vibratoare şi câmpul de curgere. Se presupune, de asemenea, că 
deplasarea  relativă  a  barei  faţă  de  fluid  poate  provoca  şi  vibraţii 
autoexcitate.
- 80 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
Excitaţia prin frecvenţe discrete
În  general,  fluctuaţiile  de  presiune  cauzate  de  separarea  curgerilor  prin 
valve, conducte şi pompe sunt strâns legate de neuniformităţile în pasajul de 
curgere şi sunt aleatoare, spectrul densităţii de putere al fluctuaţiilor fiind 
distribuit într-o bandă (mai largă sau mai îngustă de frecvenţe. Totuşi, există 
şi  cazuri  în  care  fluctuaţiile  de  presiune  pot  fi  periodice,  cum ar  fi,  de 
exemplu, cele induse de funcţionarea pompelor de circulaţie.
Dacă frecvenţa unei componente a fluctuaţiei este în imediata vecinătate a 
unei  frecvenţe  naturale  a  sistemului  elastic,  acesta  va  prezenta  (executa) 
vibraţii forţate de amplitudine mare (rezonanţă).
Nu toate frecvenţele discrete ale pulsaţiilor aleatoare de presiune generate în 
sistemul bară /fluid vor excita vibraţii de încovoiere. De exemplu, unda de 
frecvenţă discretă şi presiune aleatoare care se propagă în lungul unei bare 
poate cauza unde staţionare axiale în sistem, dar nu poate cauza, în câmpul 
de  curgere,  gradienţi  transversali  de presiune  cantitativ  apreciabili,  astfel 
încât forţele transversale, acţionând pe bara respectivă, tind să se anuleze. 
Aceste pulsaţii vor trece în lungul barei ca o undă unidimensională, viteza 
undei fiind egală cu viteza sunetului în fluid. În fiecare moment, presiunea 
este egal distribuită în jurul suprafeţei barei şi nu contribuie semnificativ la 
vibraţiile acesteia.
Excitaţia componentei transversale de curgere
Pentru barele aflate în curgere paralelă şi prezentând oscilaţii de amplitudini 
relativ  mici  se  acceptă  că  vibraţiile  sunt  excitate  în  primul  rând  de 
componenta transversală a curgerii şi de orice altă deviere de la curgerea 
staţionară.  Aceste  componente  pot  cauza  vibraţii  ale  barei,  la  fel  ca  şi 
excitaţiile  de  frecvenţe  discrete,  datorită  răspândirii  de vârtejuri  de  către 
bară.  Prin  urmare,  cele  două  mecanisme  se  pot  suprapune,  efectele  lor 
însumându-se, fără a se putea specifica existenţa predominantă a unuia sau 
altuia dintre ele.
- 81 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
Amortizarea vibraţiilor de încovoiere
Aşa  cum s-a  arătat  la  începutul  prezentului  capitol,  o  parte  din  energia 
cedată de toate tipurile de mecanisme de excitare existente la un moment dat 
în curgerea paralelă va fi disipată cu precădere prin amortizare.
Amortizarea totală a barei (tubului, conductei etc.) este egală cu suma dintre 
amortizarea  hidrodinamică  datorată  forţelor  de  frecare  externă,  şi 
amortizarea mecanică datorată forţelor de frecare internă.
Funcţie de situaţiile reale experimentale sau de funcţionare, unul sau celălalt 
dintre aceste două mecanisme poate fi predominant.
Amortizarea hidrodinamică
Când o bară vibrează într-un fluid, energia cinetică este comunicată fluidului 
şi creşte masa efectivă de oscilaţie a barei. Această creştere, numită  masă 
adiţională,  este dependentă de geometria barei.  În cazul unui fascicul de 
bare, masa adiţională este suma maselor adiţionale ale barelor componente.
Importanţa  practică  a  masei  adiţionale  este  aceea  că  ea  conduce  la 
micşorarea valorilor frecvenţelor naturale.
Amortizarea hidrodinamică poate fi descompusă în:
•
amortizarea rezultată din vibraţia barei în fluid staţionar;
•
amortizarea  rezultată  din  viteza  de  curgere  axială  a  fluidului  de 
răcire.
O  tratare  riguroasă  a  amortizării  hidrodinamice  impune  analiza 
interacţiunilor dintre condiţiile de frontieră, datorate construcţiei, şi cele de 
suprafaţă, cerute de curgerea axială.
La  viteze  de  curgere  mici,  primul  tip  de  condiţii  este  singura  sursă  de 
amortizare  hidrodinamică,  iar  la  viteze  de  curgere  mari,  condiţiile  de 
suprafaţă  cerute  de  curgerea  axială  devin  cauze  predominante  ale 
amortizării.
- 82 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
Evident, pentru viteze intermediare de curgere, ambele tipuri de condiţii vor 
contribui la amortizare, interacţiunea dintre ele fiind complexă.
Amortizarea mecanică
În  timpul  vibraţiilor,  energia  este  disipată  sub  o  formă  sau  alta  şi 
amplitudinea  nu  poate  fi  menţinută  constantă  fără  un  aport  continuu  de 
energie. O descriere a forţelor de amortizare mecanică asociate cu disiparea 
de  energie  este  dificilă,  acestea  putând  fi  funcţii  de  deplasare,  viteză, 
solicitări sau alţi factori.
În sfârşit, o altă formă de disipare mecanică a energiei mişcării vibratorii 
este cea cunoscută sub numele de amortizare internă, caracteristică oricărui 
sistem elastic.
Răspunsul barei elastice la vibraţii induse
S-a văzut că o bară introdusă într-un fluid aflat în curgere paralelă poate 
vibra datorită unei varietăţi  de cauze. Răspunsul  barei poate fi  static sau 
dinamic.
Răspunsul static presupune o deformare statică, indusă de următoarele forţe:
•
forţe de frânare;
•
forţe centrifuge;
•
forţe date de presiunea statică a fluidului;
•
instabilităţi statice.
Răspunsul dinamic presupune:
• vibraţii forţate;
• vibraţii autoexcitate şi
•
rezonanţa parametrică.
- 83 -
VIBRAŢII INDUSE DE CURGEREA PARALELĂ
Vibraţia forţată: la viteze de curgere subcritice, bara este supusă la excitaţii 
de  curgere.  Dacă  forţa  de  excitaţie  este  periodică,  cum ar  fi  revărsarea 
vârtejurilor,  respectiv,  periodicitatea  indusă  de  funcţionarea  pompelor  de 
circulaţie, pot apare oscilaţii cu amplitudini mari, strâns legate de fenomenul 
de rezonanţă. Dacă excitaţia este dată de fluctuaţii  de presiune aleatoare, 
oscilaţiile au, în general, amplitudini mici.
Vibraţii autoexcitate: sunt vibraţii cu amplitudine relativ mare, care au fost 
observate experimental, pentru viteze de curgere mari.
Rezonanţa parametrică: curgerea pulsatorie şi curgerea bifazică pot induce 
rezonanţe parametrice şi combinatorii.
Vibraţii de încovoiere în fluid staţionar
În cazul unei anumite structuri imersate într-un fluid, fluidul înconjurător 
trebuie să fie deplasat pentru a uşura mişcarea. Acest efect este luat în calcul 
prin  intermediul  conceptului  de  masă  adiţională.  În  mod  ideal,  masa 
adiţională poate fi  determinată din ecuaţia tridimensională Navier-Stokes, 
dar un astfel de calcul este dificil chiar şi în cazuri simple. Pentru vibraţii cu 
amplitudini  mici,  masa  adiţională  poate  fi  calculată  cu  ajutorul  teoriei 
potenţialului de curgere, teorie care are, totuşi, unele limite.
Pentru un fluid vâscos, forţa fluidului poate fi separată în două componente: 
una în fază cu acceleraţia (efectul de masă adiţională) şi alta opusă mişcării 
(efectul  de  amortizare).  În  cele  mai  practice  situaţii,  efectul  vâscozităţii 
fluidului  asupra  masei  adiţionale  este  mic.  Însă  vâscozitatea  fluidului 
contribuie semnificativ la procesul de frânare, mai ales în cazurile în care 
amortizarea  asociată  cu  vâscozitatea  fluidului  este  foarte  mare.  Atât 
mărimea  masei  adiţionale  cât  şi  amortizarea  depind  de  amplitudinea 
vibraţiilor.
Efectul compresibilităţii fluidului asupra mişcării structurii este similar cu 
cel  al  vâscozităţii  deoarece,  în  cazul  vibraţiei  unei  bare singulare într-un 
volum infinit  de  fluid,  masa  adiţională  depinde  de  lungimea  de  undă  a 
perturbaţiei ce se deplasează prin lichid. La fel, amortizarea radiativă poate 
deveni semnificativă. Cu alte cuvinte, compresibilitatea fluidului afectează 
- 84 -