DIMENSI TIGA.pdf

Loading ...
Global Do...
News & Politics
Http://bimbinganbelajar.net
Dimensi Tiga
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a . Melalui diagonal DF dan titik tengah 
rusuk AE dibuat bidang datar. Tentukan luas bagian bidang di dalam kubus  !
Jawab :
                               H                              G
                                    E                          F
                                                                             Q
                                  P                                                    
                                               D                           C      
                                                                         a
                                  A                              B 
                                                 a     
6
3
.
2
.
.
.
2
2
1
2
1
2
1
a
a
a
DF
PQ
LPQDF
=
=
=
2. Kubus ABCD.EFGH berusuk a cm. Titik P, Q dan R adalah titik-titik tengah dari AD, 
AB dan BF. Berupa apakah penampang bidang PQR !
Jawab :
                                   H                T              G               Garis bantu
                                                                             S
                                        E                          F
                                                 U
                                                                        R  
                                                   D                           C      
                                              P
                                      A                              B
                                                       Q
                                                                                    Sumbu afinitas
Jadi berupa segienam beraturan PQR.STU
1
Http://bimbinganbelajar.net
3. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik P tengah-tengah EH. Tentukan jarak 
titik P ke garis BG !
Jawab :
       H                              G                              20                  G          
                 P                                                        P          
            E                          F                                                                  
x
−
2
4
       
                                                                                                          
                                                                                    6                   P’
                                                                                                       
                       D                           C                                                x           
                                                                                           
          A                              B                                                      B
P’ adalah proyeksi titik P pada garis BG.
(
)
(
)
(
)
2
3
'
18
)
2
3
(
36
36
)
'
(
2
3
6
)
2
4
(
20
'
'
6
2
2
4
2
4
20
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⇒
=
−
=
−
=
=
⇔
−
=
−
−
=
=
+
=
=
=
+
=
PP
x
PP
x
x
x
PP
PP
BP
BG
PG
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk-rusuknya 10 cm. Tentukan jarak titik F ke 
garis AC !
Jawab :
       H                              G
            E                          F                                                         F
                                                                                                            
2
10
                                                                            
2
10
                       D                           C                                                          C
                                                                                    
2
5
          F’
          A                              B                          A
6
5
)
2
5
(
)
2
10
(
'
2
2
=
−
=
FF
2
Http://bimbinganbelajar.net
5. Panjang setiap rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 , sedangkan titik Q  pada AD dan AQ 
= 1. Tentukan jarak A ke bidang QBF  !
Jawab :
       H                              G
            E                          F
                                                                           Q    x  
                                                                                       A’
                                                                            1                     2 – x 
                       D                           C                                                   
                                                                            A                                     B
          A                              B                                                   3                   
3
1
1
'
)
2
(
3
1
)
'
(
)
'
(
2
3
1
2
1
4
1
2
2
1
2
2
2
2
=
−
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
=
+
=
x
AA
x
x
x
AA
AA
BQ
Cara lain :
3
'
'
.
2
1
.
3
'
.
.
'
.
.
2
1
2
1
2
1
=
⇔
=
=
=
=
∆
AA
AA
AA
BQ
AQ
AB
AA
BQ
AQ
AB
L QAB
6. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak antara titik C dengan bidang BDG yang 
panjang rusuknya 6 cm !
Jawab :
                                                                                        
       H                              G                                              G                           
            E                          F
                                                                                                      6
                                                                                 C’
                       D                           C      
                               T                                                             
          A                              B                               T        
2
3
       C   
3
2
6
3
6
.
2
3
.
'
'
.
.
6
3
18
36
=
=
=
⇔
=
=
+
=
GT
CG
CT
CC
CC
GT
CG
CT
GT
3
Http://bimbinganbelajar.net
7. Jika BE dan AH masing-masing diagonal bidang sisi ABFE dan ADHE pada kubus 
ABCD.EFGH, maka tentukan besar sudut antara BE dan AH !
Jawab :
       H                              G
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
          A                              B
BG sejajar AH.
(
)
(
)

60
,
,
=
∠
=
∠
BG
BE
AH
BE
8. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AF dan BH  !
Jawab :            
                       
                                        H                          G     
                                              Q 
                  E                            F    
                                                                       a     
                              P        D                            C    
                                                           a
                   A            a            B
PQ sejajar AF
(
)
(
)

90
0
2
.
3
.
2
.
.
2
)
(
)
(
)
(
cos
5
)
(
3
2
,
,
2
1
2
1
2
4
5
2
4
2
2
4
3
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=
⇒
=
−
+
=
−
+
=
=
+
=
=
=
=
=
=
∠
=
∠
x
a
a
a
a
a
PR
BR
BP
PR
BR
x
a
a
a
BP
a
BH
BR
a
PQ
PR
x
PQ
BH
AF
BH
4
Http://bimbinganbelajar.net
9. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan sudut antara garis AH dan bidang BFHD  !
Jawab :       
       H                              G
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
                                A’
          A                              B
(
)
(
)

30
2
1
2
2
'
sin
'
,
,
2
1
=
⇒
=
=
=
=
∠
=
∠
α
α
α
a
a
AH
AA
H
A
AH
BFHD
AH
10. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan tangen sudut antara CG dan bidang BDG !
Jawab :            
       H                              G
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
                              T
          A                              B
(
)
(
)
2
2
tan
,
,
2
1
2
1
=
=
=
=
∠
=
∠
a
a
CG
CT
GT
CG
BDG
CG
θ
θ
11. Pada kubus ABCD.EFGH. P adalah titik tengah FG dan Q adalah titik tengah EH. Jika 
θ  adalah sudut antara bidang ABGH dan ABPQ, maka tentukan tan θ  !
Jawab :            
       H                              G
                Q                             P
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
          A                              B
5
Http://bimbinganbelajar.net
(
)
(
)
3
1
tan
10
3
10
3
2
.
5
.
2
2
.
.
2
)
(
)
(
)
(
cos
2
,
5
,
,
2
2
2
2
4
1
2
2
4
5
2
2
2
2
=
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
⇒
=
=
∠
=
∠
⇒



⊥
⊥
θ
θ
θ
a
a
a
a
a
a
BG
PB
PG
BG
PB
a
BG
BP
a
AB
GB
PB
ABGH
ABPQ
AB
GB
AB
PB
a
a
12. Pada bangun D.ABC diketahui bahwa bidang ABC sama sisi. DC tegak lurus ABC. 
Panjang DC = 1 dan sudut DBC = 

30 . Bila θ  menyatakan sudut antara bidang DAB 
dengan CAB maka tentukan tan θ  !
Jawab :            
                   D
                                               A         
                                     θ       T
            C
                                  

30       
                                            B   
(
)
(
)
3
2
1
tan
2
3
3
3
3
3
1
2
2
1
30
sin
2
3
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
=
=
=
=
−
=
=
=
=
−
=
=
⇔
=
CT
CD
CT
BA
BT
BC
BD
BD
θ

13. Pada kubus ABCD.EFGH, titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah 
diagonal BH. Tentukan perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus 
ABCD.EFGH !
Jawab :            
                     H                              G
            E                          F
24
:
1
:
.
.
=
EFGH
ABCD
BCS
P
V
V
                              P  
                                       S                    
                       D                           C      
          A                              B
6
Http://bimbinganbelajar.net
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. T adalah suatu titik pada perpanjangan 
AE sehingga TE = ½ a. Jika bidang TBD memotong bidang atas EFGH sepanjang PQ, 
maka tentukan panjang PQ !
Jawab :            
           T
       H                              G
            E P     Q                F
                                                    
                       D                           C      
          A                              B
2
2
3
1
2
3
2
1
a
PQ
a
PQ
a
a
BD
PQ
EA
TE
=
⇔
=
⇒
=
15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Tentukan panjang proyeksi DE pada 
bidang BDHF !
Jawab :            
       H                              G
                               E’
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
          A                              B
Proyeksi DE pada BDHF adalah DE’.
6
4
)
2
4
(
8
'
2
2
=
+
=
DE
 cm.
7
Http://bimbinganbelajar.net
16. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P adalah titik tengah rusuk AE. Tentukan bentuk 
irisan bidang yang melalui titik-titik P, D dan F dengan kubus !
Jawab :            
                               H                              G
                                    E                          F                                     Sumbu afinitas      
                                   P                      
                                               D                           C      
                                  A                              B
Jadi berupa belah ketupat.
17. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan panjang proyeksi AH pada bidang BDHF  !
Jawab :            
       H                              G
            E                          F
                                                    
                       D                           C      
                                  A’
          A                              B
Proyeksi AH pada BDHF adalah A’H
6
4
)
2
4
(
8
'
2
2
=
+
=
H
A
18. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. 
Tentukan jarak antara titik K ke garis HC !
Jawab :            
       H                              G           H
            E                          F                                        
x
−
2
12
    
                                                                                           K’  
                                                                                               x
                       D                           C                                            C
          A             K               B                           K
8
Http://bimbinganbelajar.net
                        
(
)
(
)
2
9
)
2
3
(
180
'
2
3
)
2
12
(
324
180
'
'
324
180
12
180
6
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
=
+
=
=
+
=
KK
x
x
x
KK
KK
KH
KC
19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a. Tentukan jarak titik A ke diagonal BH !
Jawab : 
       H                              G                            H
            E                          F
                                                                                              
x
a
−
3
                                                                       
2
a
                                                                                                 A’
                       D                           C       
                                                                                                      x   
          A                              B                           A             a              B   
6
3
)
3
(
'
3
)
3
(
)
2
(
)
'
(
)
'
(
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
a
AA
a
x
x
a
a
x
a
AA
AA
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
20. Pada limas T.ABC diketahui AT, AB dan AC saling tegak lurus. Panjang AT = AB = AC = 
5 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang TBC !
Jawab :              T                                                               T         
                                                                                                   x       
                                                                                                      
                                                                                                            A’          
                                                                                                                  
x
−
6
2
5
 
                                                                C
                         A                                                              A                               D    
                                                          D
                                                   B                                           
     
9
Http://bimbinganbelajar.net
3
)
6
(
25
'
6
)
6
(
)
2
(
5
)
'
(
)
'
(
6
)
2
(
5
2
)
2
(
5
3
5
2
3
5
3
5
2
2
5
2
2
5
2
2
2
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
=
+
=
=
−
=
AA
x
x
x
AA
AA
TD
AD
  
21. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm dan panjang rusuk 
tegaknya 
2
12
cm. Tentukan jarak A ke TC !
Jawab :                        T                                                                    
                                                                                                        T    
                                                                                                                   A’           
                                                                                                                           
                         D                              C                                                                  C        
               A                              B                            A    
                     
6
6
)
2
6
(
)
2
12
(
'
2
2
=
−
=
AA
22. Prisma segi-4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik 
potong diagonal AC dan BD adalah T. Tentukan jarak titik D ke TH !
Jawab : 
       H                           G                         H
            E                          F
                                                                                            x
                                                                                8     
                                                    
                                                                                                    D’
                      D                             C                                                
x
−
82
                                                                                D                       T   
                                 T                                                        
2
3
          A                              B    
41
)
82
(
8
'
82
)
82
(
)
2
3
(
8
82
18
64
41
24
2
41
32
2
41
32
2
2
2
2
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
+
=
DD
x
x
x
HT
10
Http://bimbinganbelajar.net
23. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak titik H ke DF !
Jawab : 
       H                              G                      H                             F
            E                          F                                                            
x
−
3
6
                                                                                                H’    
                                                                                           x
                                                    
                       D                           C                        D
          A                              B
6
2
)
3
2
(
36
'
3
2
)
3
6
(
72
36
2
2
2
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
HH
x
x
x
24. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm.  Jika S merupakan proyeksi titik C 
pada bidang AFH, maka tentukan jarak titik A ke titik S !
Jawab : 
      H                              G                            
                               P                                                               P
            E                          F
                                                                                       S’
                                                    
                       D                           C      
                                                                               
          A                              B                             A                                                 C
6
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
2
2
(
3
1
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
a
AS
AS
a
a
AS
a
a
a
a
CP
AP
=
⇒
−
−
=
−
=
+
=
=
   
25. Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan jarak  titik C ke bidang AFH !
Jawab : 
                                                                           P
       H                              G
                                P                                                  x
            E                          F                                       C’
                                                                   
x
−
54
                                                                                                                       
                       D                           C                    A                                          C
          A                              B
11
Http://bimbinganbelajar.net
3
4
6
54
'
6
)
54
(
)
2
6
(
54
54
)
2
3
(
6
2
2
2
2
2
2
=
−
=
=
⇒
−
−
=
−
=
+
=
=
CC
x
x
x
CP
AP
26. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB 
= AC, TA = 
3
5
 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka tentukan sudut antara 
TBC dan bidang alas !
Jawab : 
                     T                                                               T         
                                                                                                          
                                                                                                      
                                                                                    
3
5
                             
                                                                C                                              θ
                         A                                                              A                               D    
                                                          D                                             5
                                                   B                                           
     

60
3
5
3
5
tan
5
25
50
50
100
2
10
2
2
2
2
=
⇒
=
=
=
−
=
=
⇔
=
=
=
+
θ
θ
AD
AB
AB
maka
AC
AB
Karena
AC
AB
27. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang 
BEG adalah α  maka tentukan 
α
sin
 !
Jawab : 
       H                              G                      P        
2
2
      F     
                                P
            E                          F
                                                                                                        4
                                                    
                       D                           C                                            α
                                                                                              
          A                              B                                                           B      
12
Http://bimbinganbelajar.net
3
3
1
6
2
2
2
sin
6
2
8
16
=
=
=
+
=
α
BP
28. Pada kubus ABCD.EFGH, α  adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Tentukan 
nilai 
α
sin
 !
Jawab : 
       H                              G                                                 F      
            E                          F
                                                                                      
2
3
a
            a
                                                                                         
                       D       P                  C                                 α
         A                               B                                      P       
2
2
a
    B
6
sin
3
1
2
3
=
=
a
a
α
29. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, tentukan 
besar sudut antara TA dan bidang ABCD !
Jawab :                        T                                                                               
                                                                                                                  T  
                                                 a
                        D                                   C      
                                   P                                                       α                                     
                                                       a                             A           2
2
a
         P
           A                 a               B     

45
2
cos
2
1
2
2
=
⇒
=
=
α
α
a
a
13
Http://bimbinganbelajar.net
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4  Titik T pada perpanjangan CG, sehingga 
CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α  maka tentukan tan α  !
Jawab :                                        T                                                               T       
                                                                                                                  α
       H                              G                                                               8
            E                          F
                                                    
                       D                           C                                   P                            C            
                             P                                                                         
2
2
          A                              B
2
4
1
8
2
2
tan
=
=
α
31. Pada kubus ABCD.EFGH, α  adalah sudut antara bidang ADHE dan ACH. Tentukan 
nilai 
α
cos
 !
Jawab : 
       H                              G                   P
            E                          F                                   α       
                                                                      2
2
a
                       
2
3
a
         
                P                                                   
                                                    
                       D                           C                    D                 a                  C  
          A                              B
3
3
1
cos
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
=
=
=
+




=
a
a
a
a
CP
a
α
14
Http://bimbinganbelajar.net
32. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan 
AB. Sudut antara TP dengan bidang alas adalah α . Tentukan nilai 
α
tan
 !
Jawab : 
                                     T                                                   T
                         4                                                  
3
2
                      4
                                  B               4    
                          P                                                           α
                 A                                                        P                   
3
2
                 C      
                              
                                    4                       C           
2
2
1
8
tan
3
1
3
2
.
3
2
.
2
4
)
3
2
(
)
3
2
(
cos
3
2
2
4
2
2
2
2
2
=
=
⇒
=
−
+
=
=
−
=
=
α
α
PT
CP
33. Bidang empat A.BCD dengan AD siku-siku dengan alas dan segitiga BCD siku-siku di D. 
Sudut antara bidang BCD dan BCA adalah α . Tentukan nilai tan α  !
Jawab :            A
                                                                                  A          
                                                          C
                     4                                E                          4
                                2                                           
                                                                                                          α
                     D                2                  B                     D              2            E
                                                                                              
2
2
2
4
tan
2
2
4
2
2
=
=
=
−
=
=
α
DE
BC
15
Http://bimbinganbelajar.net
34. Pada limas tegak T.ABCD alasnya berbentuk persegi panjang. Sudut antara bidang TAD 
dan TBC adalah α . Tentukan nilai tan α  !
Jawab :                     T                                                          T
                                                                                                   α      
                                                      13
                                                                                  
17
3
                    
17
3
                          D                                    C    
            P                                       Q 8
                                                                               P              6              Q
        A               6                 B      
15
8
tan
17
15
17
3
.
17
3
.
2
6
)
17
3
(
)
17
3
(
cos
17
3
4
13
2
2
2
2
2
=
⇒
=
−
+
=
=
−
=
=
α
α
TQ
TP
35. Pada limas beraturan T.ABCD dengan rusuk tegak 
5
2
cm dan rusuk alas 4 cm, tentukan 
tangen sudut antara bidang TBC dengan bidang ABCD !
Jawab :                      
                                           T   
                                                                                       T
                                                       
5
2
                                                           
                                                                                                                4
                             D                                   C                                              
                                                                2                                               α
                                        P                  Q                                     
                                                                                              Q            2             P
                A               4                 B    
3
2
3
2
tan
3
2
4
16
4
2
)
5
2
(
2
2
=
=
=
−
=
=
−
=
α
TQ
TP
16
Http://bimbinganbelajar.net
36. ABCD adalah empat persegi panjang pada bidang horizontal dan ADEF empat persegi 
panjang pula pada bidang vertikal. Panjang AF = 3 m, BC = 4 m dan CE = 7 m. Jika α  
dan β  berturut-turut sudut antara BE dengan bidang ABCD dan bidang ADEF, maka 
tentukan 
β
α tan
.
tan
 !
Jawab :                      E
                                 β              7            
              F
                                 D                                 C
              3
                                                              4      
                                               α
                  A                               B
35
3
5
10
2
.
14
2
3
tan
.
tan
5
4
3
14
2
40
16
10
2
3
7
2
2
2
2
=
=
=
+
=
=
+
=
=
−
=
=
β
α
AE
BD
AB
CD
37. Dari limas beraturan T.PQRS diketahui TP=TQ=TR=TS=2  dan PQ=QR=RS=SP=2. Jika 
α  adalah sudut antara bidang TPQ dan TRS, maka tentukan nilai 
α
cos
 !
Jawab :                      T                                                         T   
                                                                                            α
                     2                                                          3                3   
                     Q                                 R         
                 A                                B 2                   A                                B
                                                                                               2
         P                                    S
                            2
3
1
3
.
3
.
2
2
)
3
(
)
3
(
cos
3
1
2
2
2
2
2
2
=
−
+
=
=
−
=
=
α
TB
TA
17
Http://bimbinganbelajar.net
38. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan segitiga sama sisi, TA tegak lurus 
pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 

30 . Jika α  
adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tentukan nilai 
α
tan
 !
Jawab :             
          T                
                             1
                                                                 C
                                                α
                             A                            D
                                    

30
                                              B
3
2
1
tan
2
3
)
(
)
3
(
3
30
tan
1
2
3
2
2
3
2
=
=
=
=
−
=
=
=
=
=
AD
TA
AD
BC
AC
AB
α

39. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. 
Tentukan nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC !
Jawab :                      T
                         9
                                                   C   
                              6
                 A            α
                       3   D
                                        B
12
138
sin
12
6
27
.
72
.
2
81
27
72
cos
27
3
6
72
3
9
2
2
2
2
=
⇒
=
−
+
=
=
−
=
=
−
=
α
α
CD
TD
18
Http://bimbinganbelajar.net
40. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak 11  cm dan panjang 
rusuk alas 
2
2
 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah α , maka tentukan nilai 
α
cos
 !
Jawab :                                T
                                                                                          T
                                                               11                                        α
                                                                
                                                                                                  3                     3
                                 D                                        C              
                           P                                         Q                 P                                       Q      
                                                                                                           
2
2
                      A                                      B
9
5
3
.
3
.
2
8
9
9
cos
3
)
2
(
)
11
(
2
2
=
−
+
=
=
−
=
=
α
TQ
TP
19