30. Modul Matematika - INTEGRAL FUNGSI RASIONAL.pdf

About Global Documents

Global Documents provides you with documents from around the globe on a variety of topics for your enjoyment.

Global Documents utilizes edocr for all its document needs due to edocr's wonderful content features. Thousands of professionals and businesses around the globe publish marketing, sales, operations, customer service and financial documents making it easier for prospects and customers to find content.

x x x b dan faktor Danang Mursita Sekolah dari faktor faktor Dasar Danang Mursita Matematika Dasar Danang Mursita Sekolah Tinggi Sekolah Tinggi Teknologi Teknologi Telkom Bandung Tinggi Teknologi Telkom x x dx

Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
 
 
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 
 
 
Pecahan parsial 
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu : 
( )
( )
( )
f x
P x
Q x
=
 ,  P(x) dan Q(x)  suku 
banyak atau dapat dituliskan menjadi : 
( )
f x
a x
a x
a
b x
b x
b
n
n
n
m
m
m
=
+
+ +
+
+
+


0
1
1
0
1
1
...
...
 
 
 
Jika  pangkat P(x)  >  pangkat  Q(x)  atau  n > m,  maka dilakukan pembagian 
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk :  
(
)
( )
( )
f x dx
R x
h x
g x
dx
=
+








( )
 
dengan 
 
R(x) 
merupakan 
hasil 
bagi 
P(x) 
oleh 
Q(x) 
dan  
( )
( )
h x
g x
adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x). 
 
Jika  pangkat  P(x)   <  pangkat  Q(x)  atau  n <  m,  maka  penyelesaian integral 
tersebut bergantung pada faktor-faktor dari  Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien 
real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian 
sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real. 
 
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) )  yaitu : 
1.  Faktor linear dan tidak berulang. 
2.  Faktor linear dan berulang. 
3.  Faktor kuadratik dan  tidak berulang. 
4.  Faktor kuadratik dan  berulang. 
 
 
KASUS  1  :  Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang 
 
Misal 
( )
(
) (
)
(
)
Q x
a x
b
a x
b
a x
b
n
n
=
+
+
+
1
1
2
2
...
. 
Maka 
( )
( )
P x
Q x
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
n
n
n

+
+
+
+ +
+
1
1
1
2
2
2
...
 
dengan A A
An
1
2
,
, ... ,
   konstanta  yang akan dicari.  
 
Contoh  
1
4
9
2
x
dx


 
(
)
(
)
1
4
9
2
3
2
3
2
x
A
x
B
x


+
+

 
(
)
(
)
 
 +
+
1
2
3
2
3
A
x
B x
 
(
)
(
)
 
+
+ 
+
1
2
2
3
3
A
B x
A
B  
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
 
 
2
2
0
3
3
1
1
6
1
6
A
B
dan
A
B
sehingga diperoleh A
dan B
+
=

+
=
= 
=
 
(
)
(
)
1
4
9
1
6
2
3
1
6
2
3
2
x
dx
x
dx
x
dx

=

+
+




 
 
 
KASUS  2  :  Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang 
 
Misal 
( )
(
)
Q x
a x
b
i
i
p
=
+
 dengan p  B+. 
 
Maka 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P x
Q x
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
i
i
p
i
i
p
p
i
i
p
i
i

+
+
+
+
+
+
+
+


1
2
1
1
2
...
 
 
dengan A A
A
A
p
p
1
2
1
,
, ... ,
,

   konstanta  yang akan dicari.  
 
Contoh  
(
) (
)
1
2
1
2
x
x
dx
+


 
 
 
 
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
2
1
2
2
x
x
A
x
B
x
C
x
+


+
+
+
+

 
 
(
)
(
) (
)
(
)
 
 +
+

+
+
1
1
2
1
2
2
A x
B x
x
C x
 
diperoleh A
B
dan C
= 
= 
=
1
3
1
9
1
9
,
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
3
2
1
9
2
1
9
1
2
2
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
+

=

+
+

+
+





 
 
 
KASUS  3  : Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat tidak Berulang  
 
Misal 
( )
(
) (
)
(
)
Q x
a x
b x
c
a x
b x
c
a x
b x
c
n
n
n
=
+
+
+
+
+
+
1
2
1
1
2
2
2
2
2
...
 
 
Maka 
(
)
(
)
P x
Q x
A x B
a x
b x
c
A x B
a x
b x
c
A x B
a x
b x
c
n
n
n
n
n

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
...
 
 
dengan A A
A dan B B
B
n
n
1
2
1
2
,
, ... ,
,
,
, ... ,
   konstanta  yang akan dicari.  
 
 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
 
 
Contoh  
(
)(
)
6
3
1
4
1
1
2
2
x
x
x
x
dx

+
+
+

  
(
)(
)
(
)
(
)
6
3
1
4
1
1
4
1
1
2
2
2
x
x
x
x
A
x
B x C
x

+
+
+

+
+
+
+
 
 
(
)
(
)(
)


+ 
+
+
+
+
6
3
1
1
4
1
2
2
x
x
A x
Bx C
x
 
 
diperoleh A
B
dan C
=
=
= 
2
1
1
,
 
(
)(
)
(
)
(
)
6
3
1
4
1
1
2
4
1
1
1
2
2
2
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx

+
+
+
=
+
+

+



 
 
 
KASUS  4  :  Penyebut terdiri dari faktor-faktor kuadrat berulang . 
 
Misal 
( )
(
)
Q x
a x
b x
c
i
i
i
p
=
+
+
2
. Maka : 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P x
Q x
A x B
a x
b x c
A x B
a x
b x c
A
x B
a x
b x c
A x B
a x
b x c
i
i
i
p
i
i
i
p
p
p
i
i
i
p
p
i
i
i

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+



1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
...
dengan A A
A
A dan B B
B
B
p
p
p
p
1
2
1
1
2
1
,
, ... ,
,
,
, ... ,
,


   konstanta  yang akan dicari.  
 
Contoh 
  
(
) (
)
6
15
22
3
2
2
2
2
x
x
x
x
dx

+
+
+

 
 
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
6
15
22
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
A
x
B x C
x
Dx E
x

+
+
+

+
+
+
+
+
+
+
 
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)


+

+
+
+
+
+
+
+
+
6
15
22
2
3
2
3
2
2
2
2
x
x
A x
Bx C x
x
Dx E
x
 
diperoleh A
B
C
D
dan E
=
= 
=
= 
=
1
1
3
5
0
,
,
,
 
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
6
15
22
3
2
1
3
3
2
5
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx

+
+
+
=
+


+

+




 
 
 
Integral Fungsi Rasional yang memuat sinus dan cosinus  
 
Bila integran merupakan fungsi rasional yang memuat suku-suku dari sin dan 
cos maka akan lebih mudah bila dikerjakan menggunakan substitusi, yaitu u = tan ( x/2) 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
 
 
,  -  < x <  . Integran ditransformasikan ke dalam fungsi rasional dari u dan ini 
dikerjakan sebagaimana metode pecahan parsial di atas. 
Keseluruhan dari bentuk yang akan disubstitusikan ke dalam integran dapat 
diperlihatkan seperti di bawah ini. 
Dari : u = tan ( x/2 ). Maka : 
 
cos
sec
tan
x
x
x
u
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2



 =




=
+




=
+
 
 
sin
tan
cos
x
x
x
u
u
2
2
2
1
2



 =







 =
+
 
Jadi : sin
& cos
x
u
u
x
u
u
=
+
=

+
2
1
1
1
2
2
2   dan 
 
x
u
dx
u
du
2
2
1
1
2
=

=
+

tan
 
 
Contoh 
(
)
dx
x
u
u
u
du
u
du
u
C
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
+
=
+
+
+






=
+
=

+
+



sin
 
=

+




+
2
1
2
tan
x
C  
 
Soal Latihan 
 
( Nomor 1 sd 13 ) Selesaikan integral berikut : 
1. 
2
2
2
x
x
dx
+

 
 
 
 
 
2. 
5
3
9
2
x
x
dx
+


 
3.  
(
)
x
x
dx
+


1
3
2
 
 
 
 
 
4.  
5
7
4
4
2
x
x
x
dx
+
+
+

 
5.  
x
x
x
x
dx
2
4
3
19
10
2
5
+
+
+

 
 
 
 
6.  
(
)(
)
2
3
36
2
1
9
2
2
x
x
x
x
dx



+

 
 
Matematika Dasar 
Danang Mursita 
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 
 
 
7.  
(
)(
)
20
11
3
2
4
5
2
x
x
x
x
dx

+

+

  
 
8.  
2
5
16
8
16
3
2
5
3
x
x
x
x
x
x
dx
+
+
+
+

 
 
9.  
1
2 +

sin x
dx  
 
10. 
dx
x
x
x
+
+

sin
cos
 
11. 
cos
cos
x
x
dx
2 

 
12. 
dx
x
x
4
3
sin
cos


 
13.
dx
x
x
sin
tan
+