Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Pecahan parsial
Integran berbentuk fungsi rasional yaitu :
( )
( )
( )
f x
P x
Q x
=
, P(x) dan Q(x) suku
banyak atau dapat dituliskan menjadi :
( )
f x
a x
a x
a
b x
b x
b
n
n
n
m
m
m
=
+
+ +
+
+
+
0
1
1
0
1
1
...
...
Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) atau n > m, maka dilakukan pembagian
terlebih dahulu sehingga didapatkan bentuk :
(
)
( )
( )
f x dx
R x
h x
g x
dx
=
+
( )
dengan
R(x)
merupakan
hasil
bagi
P(x)
oleh
Q(x)
dan
( )
( )
h x
g x
adalah sisa pembagian dengan pangkat h(x) < pangkat g(x).
Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) atau n < m, maka penyelesaian integral
tersebut bergantung pada faktor-faktor dari Q(x). Setiap suku banyak dengan kefisien
real dapat dinyatakan sebagai perkalian dari faktor-faktor linear dan kuadrat sedemikian
sehingga tiap-tiap faktor mempunyai koefisien real.
Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu :
1. Faktor linear dan tidak berulang.
2. Faktor linear dan berulang.
3. Faktor kuadratik dan tidak berulang.
4. Faktor kuadratik dan berulang.
KASUS 1 : Penyebut terdiri dari faktor -faktor Linier tidak Berulang
Misal
( )
(
) (
)
(
)
Q x
a x
b
a x
b
a x
b
n
n
=
+
+
+
1
1
2
2
...
.
Maka
( )
( )
P x
Q x
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
n
n
n
+
+
+
+ +
+
1
1
1
2
2
2
...
dengan A A
An
1
2
,
, ... ,
konstanta yang akan dicari.
Contoh
1
4
9
2
x
dx
(
)
(
)
1
4
9
2
3
2
3
2
x
A
x
B
x
+
+
(
)
(
)
+
+
1
2
3
2
3
A
x
B x
(
)
(
)
+
+
+
1
2
2
3
3
A
B x
A
B
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
2
2
0
3
3
1
1
6
1
6
A
B
dan
A
B
sehingga diperoleh A
dan B
+
=
+
=
=
=
(
)
(
)
1
4
9
1
6
2
3
1
6
2
3
2
x
dx
x
dx
x
dx
=
+
+
KASUS 2 : Penyebut terdiri dari faktor-faktor linier Berulang
Misal
( )
(
)
Q x
a x
b
i
i
p
=
+
dengan p B+.
Maka
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
P x
Q x
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
A
a x
b
i
i
p
i
i