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Meccanica Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119 Maurizio Zani Meccanica relativa Cinematica relativa Dinamica relativa Statica relativa Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa Robin Williams in "L'attimo fuggente" x y ra P O sistema di riferimento mobile, grandezze relative sistema di riferimento fisso e inerziale, grandezze assolute Cambiamo prospettiva! lo stesso fenomeno (fisica) può avere descrizioni differenti (matematica), che possiamo mettere in relazione Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: posizione x y ra P O r a O' r = r - r legge di composizione delle posizioni a a x a y r = x u + y u O' O' x O' y r = x u + y u r r x r y r x' r y' r r = x u + y u = x' u + y' u = r' x y x’ y’ P O O' y'r x'r xr yr Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: posizione x y ra P O d d d d d d a O' r r r r = - t t t d d d d d d a a a x y a r x y = u + u = v t t t d d d d d d O' O' O' x y O' r x y = u + u = v t t t d d d d d d d d d d y' x' r r r x' y' r r u u r x' y' = u + u + x' + y' t t t t t æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ç ÷ ç è ø è ø a a x a y r = x u + y u O' O' x O' y r = x u + y u r r x' r y' r = x' u + y' u r a O' r = r - r Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: velocità x y ra P O d d d d d d a O' r r r r = - t t t d d d d d d d d d d y' x' r r r x' y' r r r r u u r x' y' = u + u + x' + y' = v + ω r t t t t t æ ö æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ´ ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ç ÷ ç è ø è ø r a O' r = r - r cost d d i' r r u = r = v t cost d d r r r r = r = ω r t ´ relazione di Poisson (completa) relazione di Poisson (iniziale) Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: velocità x y ra P O ( ) r a O' r v = v - v + ω r´ legge di composizione delle velocità velocità di trascinamento d d a a ax x ay y r v = = v u + v u t d d O' O' O'x x O'y y r v = = v u + v u t d d r r rx x' ry y' r v = = v' u + v' u t x y x’ y’ P O O' y'r x'r xr yr Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: velocità x y ra P O ( ) r a O' r v = v - v + ω r´ s.r. O' solo spostato r a v = v s.r. O' in moto solo traslatorio r a O' v = v - v s.r. O' in moto solo rotatorio & va = 0 r r v = -ω r´ Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: accelerazione x y ra P O ( ) d d d d d d d d a O' r r v v v = - + ω r t t t t é ù ê ú ´ ê ú ë û ( ) r a O' r v = v - v + ω r´ a ax x ay y v = v u + v u d d d d d d a a a x y a v v v = u + u = a t t t O' a ( ) ( ) ( ) d d d d d d r r r r r r r r r ω ω r = r + ω = α r + ω v + ω r = α r + ω v + ω ω r t t t ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ idem per d d r r r v = a + ω v t ´ r rx x' ry y' v = v' u + v' u d d r r r r = v + ω r t ´ Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: accelerazione x y ra P O ( ) 2 r a O' r r r a = a - a + α r + ω ω r - ω v é ù é ù ´ ´ ´ ´ ê ú ë û ë û legge di composizione delle acceleraz. accelerazione di trascinamento d d a a ax x ay y v a = = a u + a u t d d O' O' O'x x O'y y v a = = a u + a u t d d r r rx x' ry y' v a = = a' u + a' u t x y x’ y’ P O O' y'r x'r xr yr accelerazione di Coriolis Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: accelerazione x y ra P O s.r. O' solo spostato r a a = a s.r. O' in moto solo traslatorio r a O' a = a - a s.r. O' in moto solo rotatorio unif. & vr = 0 ( ) 0 a r = a - ω ω r ´ ´ ( ) 2 c r r a = - ω ω r = ω r ´ ´ ( ) 2 r a O' r r r a = a - a + α r + ω ω r - ω v é ù é ù ´ ´ ´ ´ ê ú ë û ë û accelerazione centrifuga Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Cinematica relativa: accelerazione x y ra P O ( ) 2 r a O' r r r a t C a = a - a + α r + ω ω r - ω v = a - a - a é ù é ù ´ ´ ´ ´ ê ú ë û ë û ( ) r a O' r a t v = v - v + ω r = v - v ´ r a O' r = r - r accelerazione di trascinamento accelerazione di Coriolis velocità di trascinamento cambiamo prospettiva! Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Dinamica relativa: forze apparenti x y ra P O r a t C a = a - a - a app a t C r F + F ma - ma - ma a = = m m app t C F = F + F forze apparenti ( ) t O' r r a = a + α r + ω ω r ´ ´ ´ 2 C r a = ω v´ a F a = m risultante delle forze (reali) Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Dinamica relativa: sistemi inerziali x y ra P O r a O' r = r - r s.r. O' solo spostato r a O' r = r - r s.r. O' in solo moto traslatorio uniforme ( ) r a O' r v = v - v + ω r´ ( ) 2 r a O' r r r a = a - a + α r + ω ω r - ω v é ù é ù ´ ´ ´ ´ ê ú ë û ë û r a v = v r a a = a r a O' r = r - r r a O' v = v - v r a a = a app F = 0 app F = 0 Maurizio Zani x’ y’ rO’ rr O' Dinamica relativa: sistemi non inerziali x y ra P O r a O' r = r - r ( ) r a O' r v = v - v + ω r´ ( ) 2 r a O' r r r a = a - a + α r + ω ω r - ω v é ù é ù ´ ´ ´ ´ ê ú ë û ë û s.r. O' in solo moto traslatorio accelerato r a O' r = r - r s.r. O' in solo moto rotatorio unif. & vr = 0 r a O' v = v - v r a O' a = a - a r a O' r = r - r 0 a = v - ω r´ ( ) 0 a r = a - ω ω r ´ ´ app O' F = -ma ( ) app r F = -mω ω r ´ ´ forza centrifuga