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Elettromagnetismo Elettricità. Corrente. Magnetismo Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Elettromagnetismo Elettrostatica Materiali conduttori Condensatori Materiali dielettrici Corrente elettrica Resistori Circuiti elettrici continui Magnetostatica Induzione elettromagnetica Induttori Materiali magnetici Circuiti elettrici variabili Elettromagnetismo http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1128 Maurizio Zani Magnetostatica Elettromagnetismo Elettrostatica Materiali conduttori Condensatori Materiali dielettrici Corrente elettrica Resistori Circuiti elettrici continui Magnetostatica Induzione elettromagnetica Induttori Materiali magnetici Circuiti elettrici variabili Elettromagnetismo Magnetizzazione Forza magnetica Campo magnetico Teorema di Gauss Teorema di Ampère Dipolo magnetico Formulazione differenziale Maurizio Zani magnete permanente • polo (p) due tipi (S e N), vale algebra • interazione tipo diverso: attrazione stesso tipo: repulsione Magnetizzazione il materiale si magnetizza? • no: materiale "amagnetico" come rame e alluminio • sì: materiale magnetico come il ferro + - Maurizio Zani Magnetizzazione materiali magnetici + magnetizzazione localizzata e temporanea prossimità e taglio prossimità (senza contatto) nessuna magnetizzazione - - + + + - + Maurizio Zani Magnetizzazione magneti permanenti magnetizzazione permanente taglio magnetizzazione permanente in ogni frazione - - + + + - - - - + + + + + + - - - Maurizio Zani Magnetizzazione: forza magnetica bilancia di torsione F F θ p -p p 2 1 2 m m r p p F = k u r forza magnetica (di Lorentz) forza fondamentale -7 2 10 N / A 4π 0 m μ k = = -7 2 4π 10 N / A 0 μ = ⋅ costante magnetica permeabilità magnetica Maurizio Zani Magnetizzazione: forza magnetica velocità della luce 2 1 2 m m r p p F = k u r forza magnetica (di Lorentz) 2 1 2 e e r q q F = k u r forza elettrica (di Coulomb) 1 e m 0 0 k = = c k ε μ 4π 0 m μ k = 1 4 e 0 k = ε 299 792 458 m / s c = Maurizio Zani Magnetizzazione: campo magnetico 4π 0 1 2 m r 2 μ p p F = u r 2 2 4π 4π 0 0 1 2 2 m r 1 r 1 2 μ μ p p p F = u = p u = p B r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 2 4π 0 2 r μ p B = u r campo magnetico 1 i 1 1 i 1 F = F = p B = p B = p B å å å effetto causa oggetto [ ] [ ] [ ] N T Am F B = = = p vale la sovrapposizione degli effetti i B = Bå d B = B ò tesla Maurizio Zani Magnetizzazione: campo magnetico S N B Linee di flusso • linee orientate, tangenti (direzione) e concordi (verso) al campo • si addensano dove il campo è più intenso • non si incrociano mai • partono (sorgente) e terminano (pozzo) sui poli o all’infinito orientazione della limatura di ferro I B magnete corrente Maurizio Zani Forza magnetica m F = qv B ´ [ ] [ ] [ ][ ] N N T m Am C s F B = = = = q v tesla d Δ 0 m W = F r = K = ⋅ ò la forza magnetica non compie lavoro 2 1 costante 2 K = mv = forza magnetica (di Lorentz) Maurizio Zani Forza magnetica: effetto Hall ΔV I B E + – d h m e F = F V qvB = qE = q h ΔV = vBh Δ I V = vBh = B dnq J = nqv = I hd ⋅ ΔV B = I dnq resistenza Hall il segno dipende dal segno dei portatori Maurizio Zani Forza magnetica: II legge elementare di Laplace d d d d d d d d d s q F = q v B = q B = s B = I s B t t ´ ´ ´ ´ d d F = F = I s B ´ ò ò campo uniforme ( ) d d F = I s B = I s B = I s B ´ ´ ´ ò ò II legge elementare di Laplace s I circuito chiuso ( ) d d 0 F = I s B = I s B = ´ ´ ò ò Maurizio Zani Campo magnetico 2 4π 0 t r μ u u B = qv r ´ [ ] T B = tesla non vale il III principio della dinamica campo magnetico ut q x y P ur q1 q2 v1 v2 x y x F1 ꞏ F2 m F = qv B ´ Maurizio Zani Campo magnetico: I legge elementare di Laplace 2 2 d d d d 4 4 d 0 t r 0 t r μ u ×u μ u ×u s B = q v = q = t r r I legge elementare di Laplace I 2 d d 4 0 t r μ u ×u B = B = I s r ó õ ò 2 2 d d d 4 d 4 0 t r 0 t r μ u ×u μ u ×u q = s = I s t r r Maurizio Zani I θ dy x r P α θ x y Campo magnetico: I legge elementare di Laplace ( ) 2 sin d d 4 0 α μ B = I y = r ( ) tan y = x θ ( ) 2 d d cos x y = θ θ ( ) cos x r = θ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos d cos cos d 4 4 cos 0 0 θ μ μ x I = I θ θ = θ θ x θ x ( ) ( ) +π /2 +π /2 -π /2 -π /2 d cos d sin 4 4 2 0 0 0 μ μ μ I I I B = B = θ θ = θ = x x x é ù ê ú ë û ò ò filo rettilineo infinito ( ) ( ) π sin sin cos 2 α = + θ = θ æ ö÷ ç ÷ ç ÷ çè ø legge di Biot-Savart Maurizio Zani Campo magnetico: forza tra correnti 2π 0 1 1 μ B = I d I1 I2 d I1 I2 2π 2π 0 0 2 2 1 2 1 1 2 μ μ F = I LB = I L I = L I I d d 2π 0 2 1 2 μ F = I I L d vale il III principio della dinamica B1 F2 F2 Maurizio Zani Teorema di Gauss ( ) Φ d 0 B = B S = ⋅ ò teorema di Gauss le linee del campo sono chiuse non vi sono poli magnetici isolati A B ( ) Φ d d A B B = B S = B S ⋅ ⋅ ò ò ( ) [ ][ ] 2 Φ Tm Wb B = B S = = é ù ê ú ë û weber Maurizio Zani Teorema di Ampère: linea circolare B I I r ( ) Λ d d d B = B r = B r = B r = BL ⋅ ò ò ò ( ) Λ d 0 B = B r = μ I ⋅ ò teorema di Ampère 2π 0 θ μ I B = u r 2π L = r Maurizio Zani B θ I r dr α Teorema di Ampère: linea generica ( ) ( ) Λ d d cos B = B r = B r θ ⋅ ò ò ( ) d cos d d r θ = r' = α r 2π 0 θ μ I B = u r ( ) Λ dΛ d 2π 0 μ I B = = α ò ò corrente interna d 2π α = ò corrente esterna d 0 α = ò B θ r dr α I Maurizio Zani Teorema di Ampère Teorema di Ampère "La circuitazione del campo magnetico creato da più correnti dipende unicamente dalla corrente concatenata dalla linea scelta, e ne risulta proporzionale secondo un fattore μ0" ( ) Λ d 0 c B = B r = μ I ⋅ ò sempre valido, non sempre utile Maurizio Zani Teorema di Ampère filo rettilineo infinito ( ) Λ d d d 2π B = B r = B r = B r = B r ⋅ ò ò ò ( ) Λ d 0 c B = B r = μ I ⋅ ò Ampère circuitaz. per simmetria, il campo magnetico è • ortogonale rispetto al filo • invariante per traslazione lungo il filo • invariante per rotazione attorno al filo simmetria "cilindrica" 2 0 μ I B = r 0 c 0 = μ I = μ I r I legge di Biot-Savart Maurizio Zani Teorema di Ampère cilindro rettilineo infinito per simmetria, il campo magnetico è • ortogonale rispetto al filo • invariante per traslazione lungo il filo • invariante per rotazione attorno al filo simmetria "cilindrica" ( ) Λ d 2π 0 c B = B r = B r = μ I ⋅ ò 2 0 c μ I r > R: I = I B = r 2 2 2 I π π 2π 0 c μ I r < R: I = JS = r B = r R R B iperbole retta R r R r I Maurizio Zani Teorema di Ampère solenoide toroidale per simmetria, il campo magnetico è • invariante per rotazione simmetria rotazionale ( ) Λ d 2π 0 c B = B r = B r = μ I ⋅ ò 0 0 c r R: I = NI - NI = B = 0 0 c r R: I = B = 2π 0 c 0 μ NI r R: I = NI B = = μ nI r » densità di spire R r I I 2π N n = r Maurizio Zani θ r Dipolo magnetico: interazioni create p -p d y x r+ r- P y θ x Br r Bθ B m ( ) ( ) 3 3 2 cos 4π sin 4π 0 r 0 θ m θ μ B = r m θ μ B = r ìïïïïï íïïïïïïî m = pd momento di dipolo magnetico [ ] [ ][ ] 2 Am m = p d = Maurizio Zani Dipolo magnetico: interazioni subite M = d F = d pB = pd B = m B ´ ´ ´ ´ U = -m B ⋅ ( ) ( ) grad grad F = - U = m B ⋅ p -p m F F B θ Maurizio Zani x R θ dB I x θ Dipolo magnetico: spira circolare ( ) 2 2 2 2 d d d cos cos 4 d 4 0 x 0 μ I s B = B θ = θ = r μ I s R = r x + R ( ) 2 3/2 2 2 d 2 0 x μ IR B = B = x + R ò 2 2 3 3 3 2 2 : 2 4 4 0 0 0 μ μ μ IR IπR m x R B = = x x x ⋅ » 2 m = IS = IπR momento di dipolo magnetico 2 d d 4 0 t r μ u ×u B = I s r m = IS Maurizio Zani Dipolo magnetico: spira rettangolare I 4 2 3 1 α B d F = I s B = I s B ´ ´ ò π sin 2 1 3 1 F = F = Id B - α æ ö÷ ç ÷ ç ÷ çè ø F3 F1 F2 F4 2 4 2 F = F = Id B 0 tot F = ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin sin 1 2 1 2 M = d F α = d Id B α = IS B α = mB α ⋅ M = m B ´ 1 2 S = d d Maurizio Zani Dipolo magnetico: teorema di equivalenza Teorema di equivalenza di Ampère "Il campo magnetico creato e le interazioni subite da un magnete e da una spira (in approx. di dipolo) sono equivalenti" S N B magnete corrente B I Maurizio Zani Formulazione differenziale: condizioni al contorno 2 1 dS ( ) dΦ d d ⋅ 2 2 2 n2 B = B S = B S ( ) dΦ d d d ⋅ ⋅ 1 1 1 1 2 n1 B = B S = -B S = -B S ( ) dΦ 0 lat B » ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ dΦ d Δ d 1 2 lat n2 n1 n B = B + B + B = B - B S = B S ( ) dΦ 0 B = Δ n B = 0 Maurizio Zani 2 1 dr Formulazione differenziale: condizioni al contorno ( ) dΛ d d ⋅ 2 2 2 t2 B = B r = B r ( ) dΛ d d d ⋅ ⋅ 1 1 1 1 2 t1 B = B r = -B r = -B r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ dΛ d Δ d 1 2 n t2 t1 t B = B + B + B = B - B r = B r ( ) dΛ d d 0 0 b B = μ I = μ K r Δ t 0 b B = μ K ( ) dΛ 0 n B » Maurizio Zani Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΦ d d d d ⋅ '' '' '' '' x x x B = B S = B S = B y z ( ) dΦ d d d d ⋅ ' ' ' ' x x x x B = B S = -B S = -B y z ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ d d d d d d d d d d d æ ö ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷÷ çè ø ¶ ¶ '' ' '' ' x x x x x x x x B B B = B + B = B y z - B y z = B y z = x y z = V x x dx y z x dy dx dz dz dy ( ) dΦ d ¶ ¶ y y B B = V y ( ) dΦ d ¶ ¶ z z B B = V z Maurizio Zani Formulazione differenziale: leggi di Maxwell dx y z x dy dx dz dz dy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ dΦ + + d div d æ ö ¶ ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ¶ ¶ ¶ è ø y x z x y z B B B B = B + B + B = V = B V x y z ( ) dΦ 0 B = ( ) div 0 B = Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΛ d d ⋅ ' ' ' x x B = B r = B x ( ) dΛ d d ⋅ '' '' '' x x B = B r = -B x ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ d d d d d d æ ö ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ¶ è ø ' '' ' '' x x x x x x x B B = B + B = B x - B x = - B x = - y x y ( ) dΛ d d d d ¶ ¶ y y y B B = B y = x y x ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ d d æ ö ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ¶ ¶ è ø y x y x B B B = B + B = - x y x y Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΛ d d d æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø y y x x z B B B B B = - x y = - S x y x y piano xy: ( ) dΛ d d d æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø y y z z x B B B B B = - y z = - S y z y z piano yz: ( ) dΛ d d d æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø ¶ ¶ ¶ ¶ x x z z y B B B B B = - z x = - S z x z x piano zx: Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) ( ) dΛ d d d rot d æ ö æ ö ¶ ¶ æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç ⋅ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø y y x x z z x y z B B B B B B B = - S + - S + - S = B S y z z x x y ( ) dΛ d d 0 0 B = μ I = μ J S ⋅ ( ) rot 0 B = μ J
