Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
KOORDINAT TABUNG DAN KOORDINAT BOLA
Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas
bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu,
dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat
bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola
dijelaskan dari gambar berikut.
Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z )
maka diperoleh hubungan berikut :
x
2
+ y
2
= r
2
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ )
maka didapatkan hubungan berikut :
ρ
ρ φ
θ
ρ φ
θ
ρ
φ
2
2
2
2
=
+
+
=
=
=
x
y
z
x
y
z
sin cos
sin sin
cos
Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat
tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi.
Z
z
(r,θ,z)
y
O
Y
θ
r
x
X
Koordinat Tabung
Z
z
(ρ,θ,φ)
φ ρ
O
y
Y
θ
r
x
X
Koordinat Bola
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Koordinat Tabung
(
)
J r
z
x
r
x
x
z
y
r
y
z
z
z
r
z
z
z
r
r
r
,
,
cos
sin
sin
cos
θ
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂
∂
∂
∂
∂θ
∂
∂
θ
θ
θ
θ
=
=
−
=
0
0
0
0
1
(
)
f x y z dV
f r
r
z r dz dr d
G
v r
v r
r
r
( ,
, )
cos , sin ,
( , )
( , )
( )
( )
∫∫∫
∫
∫
∫
=
1
2
1
2
1
2
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Koordinat Bola
(
)
J
x
x
x
y
y
z
z
z
z
ρ θ φ
∂
∂ρ
∂
∂θ
∂
∂φ
∂
∂ρ
∂
∂θ
∂
∂φ
∂
∂ρ
∂
∂θ
∂
∂φ
φ
θ
ρ φ θ ρ
φ
θ
φ θ ρ φ
θ ρ
φ
θ
φ
ρ
φ
ρ
φ
,
,
sin cos
sin
sin
cos
cos
sin sin
sin cos
cos
sin
cos
sin
sin
=
=
−
−
=
0
2
(
)
f x y z dV
F
d d