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Meccanica Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119 Maurizio Zani Esempi di forze Forza d'inerzia Peso Appoggio Forza d'attrito Tensione Forza elastica Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido Maurizio Zani Esempi di forze definito quale sia il sistema in studio, ogni elemento (vincolo) dell'ambiente viene rappresentato con l'interazione (reazione vincolare) che tale elemento rivolge al sistema oggetto forza diagramma di corpo libero come si risolve un problema di dinamica? Maurizio Zani Peso accelerazione di gravità 2 9.80665 m / s g = a = g F = ma = mg P = mg Galileo: l'acc. di caduta non dipende dalla massa Aristotele: l'acc. di caduta è proporzionale alla massa P P Maurizio Zani Peso https://www.youtube.com/watch?v=Oo8TaPVsn9Y https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs 1971 David Scott - astronauta, Apollo 15 2014 Brian Cox - giornalista, BBC 1590 Galileo Galilei - scienziato, Pisa Maurizio Zani Appoggio R P m piano orizzontale piano inclinato appoggio (reazione) • forza a contatto • vincolo monolatero • direzione: ortogonale al piano • verso: "uscente" dal piano • modulo... da determinarsi appoggio appoggio (vincolo) • indeformabile/rigido • "fortissimo" R P m α Maurizio Zani Appoggio R P m piano inclinato F = ma x x y y F = ma F = ma ìïïíïïî uy ux ( ) ( ) sin cos 0 x y P α = ma = ma R - P α = ma = ìïï íïïïî α ( ) ( ) sin cos a = g α R = mg α ìïïïïíïïïïî ( ) 2 sin 1 2 a = g α v = at x = at ìïïïïïï íïïïïïïïî dinamica cinematica α Maurizio Zani Forza d'attrito attrito • forza a contatto • vincolo bilatero • direzione: parallela al piano • verso: contrario al moto • modulo... da determinarsi piano • da liscio a scabro statico (per mettere in moto) dinamico (per mantenere il moto) radente (moto traslatorio: strisciamento) volvente (moto rotatorio: rotolamento) viscoso (moto di un solido in un fluido) Maurizio Zani Forza d'attrito: attrito radente appoggio Fatt Fext Fs max Fd statica dinamica attrito • non dipende dall'area della superficie • è proporzionale alla forza d'appoggio R R P m Fext Fatt s s max s d d F F = μ R F = μ R ì £ ïïíïïî coefficiente d'attrito statico/dinamico s d μ μ ³ attrito Maurizio Zani Forza d'attrito: attrito radente R P m Fatt piano inclinato uy ux α F = ma x x y y F = ma F = ma ìïïíïïî ( ) ( ) sin cos 0 att x y P α - F = ma = ma R - P α = ma = ìïï íïïïî α inclinazione massima per cui non si muove? ( ) ( ) sin cos att s P α = F μ R R = P α ìï £ ï íïïïî ( ) tan s α μ £ legge di Coulomb-Morin Maurizio Zani Forza d'attrito: attrito viscoso att F = β v = γ η v ⋅ ⋅ ⋅ bassa velocità (regime laminare) geometria (corpo) 2 att F = C S ρ v ⋅ ⋅ ⋅ alta velocità (regime turbolento) 6π att F = R η v ⋅ ⋅ geometria (corpo) densità (fluido) per una sfera, legge di Stokes raggio coefficiente d'attrito viscoso velocità (corpo) viscosità (fluido) Maurizio Zani Tensione tensione • forza a contatto • vincolo monolatero • direzione: parallela al filo • verso: "entrante" nel filo • modulo... da determinarsi tensione T P m filo • inestensibile/rigido • "fortissimo" Maurizio Zani r θ T P R Tensione pendolo conico F = ma r r y y F = ma F = ma ìïïíïïî ( ) ( ) 2 sin cos 0 r y v T θ = ma = ma = m R P - T θ = ma = ìïïïïíïïïïî ( ) ( ) ( ) sin sin tan T θ R v = = gr θ θ m uy ur θ inizialmente in moto con velocità v tangenziale e se inizialmente fosse stato fermo? ( ) cos P T = θ pendolo semplice ( ) sin R = r θ Maurizio Zani Forza elastica x0 F S Δx F σ = S Δ 0 0 0 x - x x ε = = x x [ ] [ ] [ ] 2 N m F σ = = S [ ] [ ] [ ] Δ m 1 m 0 x ε = = = x sforzo deformazione relativa trazione σ ε σr σs regione plastica regione elastica (lineare e reversibile) rottura snervamento σ = Eε legge di Hooke modulo di elasticità/Young Maurizio Zani Forza elastica Δ 0 F x = E S x Δ Δ 0 S F = E x = k x x æ ö÷ ç ÷ ⋅ ç ÷ ç ÷ çè ø costante elastica σ = Eε modulo di elasticità/Young x trazione ( ) x 0 x F = -k x u = -k x - x u forza elastica lunghezza a riposo forza di richiamo Maurizio Zani Forza elastica oggetto meccanica: costante elastica Δ 0 F = k x E S x = materiale geometria elettricità: capacità elettrica 0 d q = C V ε = S conduttori: resistenza elettrica magnetismo: induttanza termodinamica: resistenza termica S V = R = I ρ L ( ) 2 0 L B = L = μ I N S 1 th d T = R = Q A k rapporto causa-effetto Maurizio Zani Forza elastica: moto armonico libero ( ) F = ma = mx t ( ) ( ) 0 k x t + x t = m ( ) ( ) sin 0 0 x t = A ω t + φ 2π 0 k ω = = T m pulsazione propria x t T x ( ) tan 0 0 0 0 x φ = ω v 2 2 0 0 0 v A = x + ω æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ( ) el F = -kx t F Maurizio Zani Forza elastica: moto armonico smorzato ( ) ( ) ( ) 0 β k x t + x t + x t = m m ( ) vis F = -βx t ( ) F = ma = mx t moto armonico sotto-smorzato ( ) el F = -kx t ( ) ? x t = moto armonico sovra-smorzato moto armonico smorzato critico c 0 ω > ω c 0 ω < ω c 0 ω = ω 1 2 c c β ω = = m τ pulsazione critica x Maurizio Zani x t Forza elastica: moto armonico sotto-smorzato 2 2 c 0 0 ω = ω - ω < ω ( ) ( ) e sin c t - τ x t = A ωt + φ ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t ( ) ( ) ( ) 0 β k x t + x t + x t = m m ( ) F = ma = mx t x c 0 ω > ω c 0 ω < ω c 0 ω = ω Maurizio Zani x t Forza elastica: moto armonico sovra-smorzato 2 2 c c 1,2 0 λ = -ω ± ω - ω ( ) e e 1 2 λ t λ t x t = A + B ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t ( ) ( ) ( ) 0 β k x t + x t + x t = m m ( ) F = ma = mx t x c 0 ω > ω c 0 ω < ω c 0 ω = ω Maurizio Zani x t A/B > 0 A/B < 0 Forza elastica: moto armonico smorzato critico c 1 c τ = ω ( ) ( )e c t - τ x t = A + Bt è il moto smorzato più veloce ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t ( ) ( ) ( ) 0 β k x t + x t + x t = m m ( ) F = ma = mx t x c 0 ω > ω c 0 ω < ω c 0 ω = ω Maurizio Zani Forza elastica: moto armonico forzato ( ) ( ) ( ) ( ) F t β k x t + x t + x t = m m m ( ) ext F = F t ( ) F = ma = mx t ( ) ( ) sin + smorz. f x t = A ω t - φ ( ) ( ) sin 0 f F t = F ω t ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t ( ) ? x t = x Maurizio Zani Forza elastica: moto armonico forzato ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 0 0 f c f F A = m ω - ω + ω ω ( ) F = ma = mx t ( ) sin ext 0 f F = F ω t ( ) ( ) sin f x t = A ω t - φ ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t A ωf ω0 β risonanza ( ) ( ) ( ) ( ) F t β k x t + x t + x t = m m m x Maurizio Zani Forza elastica: moto armonico forzato β ω0 φ ωf π π/2 ( ) F = ma = mx t ( ) sin ext 0 f F = F ω t ( ) 2 2 2 tan c f 0 f ω ω φ = ω - ω ( ) el F = -kx t ( ) vis F = -βx t ( ) ( ) sin f x t = A ω t - φ ( ) ( ) ( ) ( ) F t β k x t + x t + x t = m m m x
