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Meccanica Punto materiale. Gravitazione. Corpo rigido Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1119 Maurizio Zani Meccanica dei sistemi Cinematica dei sistemi Dinamica dei sistemi Dinamica relativa dei sistemi Relazioni integrali Urti Meccanica Metrologia Cinematica del punto Dinamica del punto Esempi di forze Meccanica relativa Meccanica relativistica Relazioni integrali Meccanica dei sistemi Gravitazione Meccanica del corpo rigido Maurizio Zani Cinematica dei sistemi come studiare "complessivamente" un sistema di punti materiali, anziché studiare "singolarmente" ogni punto materiale del sistema? 1 N <N> Maurizio Zani Cinematica dei sistemi: centro di massa y x r2 r1 m1 m2 i i i i C i m r m r r = = m m å å å centro di massa i i m = må massa del sistema i i C i i C i i C m x x = m m y y = m m z z = m ìïïïïïïïïïïïíïïïïïïïïïïïî å å å punto geometrico, non materiale, ma che "pesa" le masse Maurizio Zani Cinematica dei sistemi: centro di massa i i 1 1 2 2 C 1 2 i m x m x + m x x = = m + m m å å stesse masse (m1 = m2) 2 1 1 2 2 1 2 C 1 2 m x + m x x + x x = = m + m 1 1 2 2 1 1 C 1 1 2 1 m x + m x m x x = = x m + m m » masse molto diverse (m1 >> m2) d d C x m x = m ò ò nel discreto nel continuo Maurizio Zani Cinematica dei sistemi: centro di massa i i i i C i m r m r r = = m m å å å d d d d d d i i i i i i i i C C i i i r m m r m v m v r t v = = = = = t t m m m m å å å å å å å d d d d d d i i i i i i i i C C i i i v m m v m a m a v t a = = = = = t t m m m m å å å å å å å definizione proprietà proprietà definizione Maurizio Zani Dinamica dei sistemi: quantità di moto i i i Q = Q = m v å å i i C m v v = m å quantità di moto del sistema i i i C Q = Q = m v = mv å å I teorema del centro di massa ai fini della quantità di moto, tutto va come se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa Maurizio Zani m4 Dinamica dei sistemi: quantità di moto ( ) ( ) int ext i i i F = F + F ( ) ( ) 0 int int i F = F = å ( ) ( ) ext ext i F = F = ... å risultante con punti ∈ al sistema (frecce colorate) con punti ∉ al sistema (frecce nere) m1 m3 ( ) ( ) d d int ext i i i i Q F = F + F = t m2 sistema teorema dell'impulso Maurizio Zani Dinamica dei sistemi: quantità di moto i F = Få forza totale sul sistema ai fini della dinamica, tutto va come se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa ( ) ( ) ( ) int ext ext i i i F = F = F + F = F å å å II teorema del centro di massa ( ) ( ) d d d d d d d d d d ext i C i i C C Q v Q F = F = F = = Q = = mv = m = ma t t t t t å å å I equazione cardinale ( ) d d ext Q F = t ( ) ext C F = ma Maurizio Zani Dinamica dei sistemi: momento angolare ( ) O O i i i L = L = r Q ´ å å momento angolare del sistema y x m O F r Q O L = r Q ´ Maurizio Zani m4 Dinamica dei sistemi: momento angolare ( ) ( ) int ext O i O i O i M = M + M ( ) ( ) 0 int int O O i M = M = å ( ) ( ) ext ext O O i M = M = ... å risultante con punti ∈ al sistema (frecce colorate) con punti ∉ al sistema (frecce nere) m1 m3 ( ) ( ) d d int ext O i O i O i O i L M = M + M = t m2 sistema y x O Maurizio Zani Dinamica dei sistemi: momento angolare O O i M = Må momento totale sul sistema ( ) ( ) ( ) int ext ext O O i O i O i O M = M = M + M = M å å å ( ) d d d d d d ext O i O O O O i O i L L M = M = M = = L = t t t å å å II equazione cardinale ( ) d d ext O O L M = t Maurizio Zani Dinamica dei sistemi: equazioni cardinali I equazione cardinale ( ) d d ext Q F = t II equazione cardinale ( ) d d ext O O L M = t identifica il moto traslatorio del sistema identifica il moto rotatorio del sistema ( ) d d ext O' O' O' L M = + v Q t ´ es. urti es. gravitazione ma... ... se O' fisso ... se O'≡C 0 O' v = C C v // Q = mv in realtà Maurizio Zani Relazioni integrali: impulso d i i I = I = F t é ù ê ú ê ú ë û å å ò impulso del sistema ( ) ( ) ( ) int ext ext i i i F = F = F + F = F å å å ( ) d d d d Δ ext i i i I = I = F t = F t = F t = Q = Q é ù é ù ê ú ê ú ë û ê ú ë û å å å ò ò ò ò teorema dell'impulso Δ I = Q Maurizio Zani teorema dell'energia cinetica Relazioni integrali: energia cinetica 2 1 2 i i i K = K = m v å å energia cinetica del sistema ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ int ext int ext int ext i i i i i W = W = W + W = W + W = W + W = K å å å å non è nullo! Δ W = K Maurizio Zani Principi di conservazione sistema isolato ( ) d 0 d ext Q F = = t costante Q = ( ) d 0 d ext O O L M = = t costante O L = ( ) 0 ext U = ( ) costante int E = K + U = sistema a massa costante non soggetto a forze esterne spazio omogeneo spazio isotropo tempo omogeneo Maurizio Zani Urti ( ) d d ext Q F = t ( ) 0 ext F = costante Q = Δ I = Q F t Δt urto interazione relativamente intensa e relativamente breve Maurizio Zani F t Δt Fm Urti ( ) d d ext Q F = t ( ) 0 ext F ¹ Δ I = Q ma non impulsive ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d d d d d int ext int ext int 1 1 1 1 1 1 1 1 int ext int ext int 2 2 2 2 2 2 2 2 I = I + I = F t = F t + F t F t = Q I = I + I = F t = F t + F t F t = Q ìïï » ïïïïíïïïï » ïïî ò ò ò ò ò ò ò ò ( ) ( ) int int 2 1 F = -F Δ 0 I = Q = Maurizio Zani Urti ( ) ( ) int ext E = K + U + U si conserva (forze elementari sono conservative) cambia sì/no (allora K cambia sì/no) si conserva (è posizionale) urto anelastico urto elastico Maurizio Zani Urti elastici 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 m v + m v = m v ' + m v ' m v + m v = m v ' + m v ' ìïïïïïï íïïïïïïïî m1 m2 v1 v2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 m - m m v ' = v + v m + m m + m m m - m v ' = v + v m + m m + m ìïïïïïïïíïïïïïïïî Maurizio Zani 1 2 2 1 v ' = v v ' = v ìïïíïïî Urti elastici 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 m - m m v ' = v + v m + m m + m m m - m v ' = v + v m + m m + m ìïïïïïïïíïïïïïïïî stesse masse (m1 = m2) masse diverse (m2 > m1) e v2 = 0 - se inoltre v2 = 0 0 1 2 1 v ' = v ' = v ìïïíïïî 0 0 1 2 v ' < v ' > ìïïíïïî masse molto diverse (m2 >> m1) e v2 = 0 - 0 1 1 2 v ' = v v ' = ìïïíïïî Maurizio Zani Urti anelastici m1 m2 v1 v2 ( ) ( ) int ext E = K + U + U urto esogeno ( ) int U K ß urto endogeno ( ) int U K ß 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 m v + m v = m v ' + m v ' m v + m v = m v ' + m v ' ìïïïïïï íïïïïïïïî
