Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
TURUNAN FUNGSI
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).
Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat
dinyatakan dengan :
m
y b
x a
f x
f a
x a
PQ =
−
−
=
−
−
( )
( )
Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis
singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :
m
f x
f a
x a
x a
=
−
−
→
lim
( )
( )
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:
f
a
f x
f a
x a
x a
' ( )
lim
( )
( )
=
−
−
→
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
f
a
f a h
f a
h
h
'( )
lim
(
)
( )
=
+
−
→0
Notasi lain : f
a
df a
dx
dy a
dx
y a
' ( )
( )
( )
' ( )
=
=
=
Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V a
f a
( )
'( )
=
dan percepatan , A(x) , A a
dV a
dx
( )
( )
=
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak
berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f
f x
x
( )
lim
( )
0
0
0
=
=
→
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
f
f
h
f
h
h
h
h
h
' ( )
lim
(
)
( )
lim
| |
0
0
0
0
0
=
+
−
=
→
→
Karena − =
≠
=
→
→
−
+
1
1
0
0
lim
| |
lim
| |
h
h
h
h
h
h
maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Untuk menentukan turunan suatu fungsi diberikan rumus sebagai berikut :
1.
(
)
d x
dx
r x
r R
r
r
=
∈
−1
;
2.
(
)
(
)
(
)
d f x
g x
dx
d f x
dx
d g x
dx
( )
( )
(