Loading ...
Global Do...
News & Politics
8
0
Try Now
Log In
Pricing
Ch 04 Ve teurs du plan 1 Qu'est- e qu'un ve teur ? Dé nition : Un ve teur est un objet mathématique ara térisé par : sa dire tion son sens sur ette dire tion sa longueur, appelée aussi norme, donnée par un nombre positif. Notation : les ve teurs seront souvent notés par les lettres u, v, w... surmontées d'une è he : par exemple on parlera du ve teur −→u . Attention : on ne peut pas "montrer" un ve teur du plan : la è he que l'on dessine n'est pas le ve teur, elle en est un représentant. On peut en dessiner autant que l'on veut, pla és n'importe où dans le plan, pour représenter le ve teur −→u −→ u −→ u −→ u −→ u Illustration : les deux è hes i-dessous représentent un ve teur −→u : la se onde è he est le représentant de −→u d'origine A et d'extrémité B ; on notera −→u = −→ AB. La dire tion de −→u est elle de la droite (AB), son sens est de A vers B, sa norme est égale à la distan e AB. On notera d'ailleurs ainsi la norme de −→u : ‖−→u ‖ = ∥∥ ∥ −→ AB ∥ ∥ ∥ = AB −→ u A B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −→ u 2nde Cours ve teurs Page 1 2 Quand peut-on dire que deux ve teurs sont égaux ? La dé nition qui suit oule de sour e : Dé nition : Deux ve teurs seront dits égaux si et seulement si ils ont même dire tion, même sens et même norme. Par exemple : −→ u −→ v −→ w −→ x - Les ve teurs −→u et −→x ne sont pas égaux, ar ils n'ont pas la même dire - tion. - Les ve teurs −→u et −→v ne sont pas égaux, ar ils n'ont pas la même norme. - Les ve teurs −→u et −→w ne sont pas égaux, ar ils n'ont pas le même sens. En pratique on utilise souvent le théorème suivant pour démontrer que des ve teurs sont égaux : Théorème : Soient −→u et −→v deux ve teurs, de représentants respe tifs −→ AB et −−→ CD. On a : −→ AB = −−→ CD ⇔ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Illustration : A B C D .................................................................. −→ v −→ u Remarque : Cette propriété est une équivalen e ; elle peut se dé omposer en deux propriétés distin tes : - Si −→ AB=−−→ CD alors ABDC est un parallélogramme. - Si ABDC est un parallélogramme alors −→ AB=−−→ CD Le théorème suivant dé oule dire tement du pré édent, en y adjoignant la propriété des dia- gonales du parallélogramme : Théorème : −→ AB = −−→ CD ⇔ [AD] et [BC] ont le même milieu 2nde Cours ve teurs Page 2 3 Comment additionner (ou soustraire) deux ve teurs Dé nition : Soient −→u et −→v deux ve teurs ; on dé nit le ve teur −→w somme des ve teurs −→u et −→v de la façon suivante : Soit A un point du plan ; on tra e le représentant de −→u d'origine A : il a pour extrémité B. Puis on tra e le représentant de −→v d'origine B : il a pour extrémité C. Alors −→ AC est un représentant du ve teur −→w , somme des ve teurs −→u et −→v . On notera −→w = −→u + −→v Illustration : −→ u −→ u −→ v A B −→ u −→ u −→ v −→ v A B C A B −→ u −→ u −→ v −→ v C ................. ...................... −→ w = −→ u + −→ v Relation de Chasles : D'après e qui vient d'être vu, on a toujours la relation suivante, appelée relation de Chasles : Pour tous points A, B, C du plan, −→ AB + −−→ BC = −→ AC Exemples : si A, E, G, M , N et P sont des points du plan, −−→ MN + −−→ NP = −−→ MP −−→ EG + −→ GA = −→ EA Règle du parallélogramme : ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) ⇔ −→ AB + −→ AC = −−→ AD Illustration : A C ................................. ....................................D −→ v −→ u B −→ w = −→ u + −→ v Remarque : Ce i nous donne une autre méthode de onstru tion du ve teur somme −→w = −→u + −→v ; pour ela, soit A un point du plan ; on tra e le représentant de −→u d'origine A : il a pour extrémité B. Puis on tra e le représentant de −→v d'origine A : il a pour extrémité C. En n on tra e le point D tel que ABDC forme un parallélogramme. Alors −−→ AD est un représentant du ve teur −→w , somme des ve teurs −→u et −→v . 2nde Cours ve teurs Page 3 Il existe un ve teur diérent des autres, dont tous les représentants ont l'origine et l'extrémité onfondues : par exemple −→ AA, ou −→ FF ... Or la relation de Chasles nous permet d'é rire que, par exemple, −→ EF + −→ FF = −→ EF . L'addition de e ve teur ne modi e don pas le ve teur de départ. Par analogie ave le al ul sur les nombres, on appelle e ve teur le ve teur nul, et on le note −→0 . On a ainsi −→0 = −→ AA = −−→ BB = −−→ MM = ... quels que soient les points A, B, M du plan. Le ve teur nul −→0 est le seul ve teur qui a une norme nulle ; ses dire tions et sens ne sont pas dé nis. En n, toujours d'après la relation de Chasles, on peut é rire −→ AB + −→ BA = −→ AA = −→ 0 pour tous points A et B du plan. Là en ore par analogie ave le al ul numérique, il est légitime de dire que le ve teur −→ BA est le ve teur opposé au ve teur −→ AB. Si on a −→u = −→ AB, alors on note −→ BA = − −→ AB = −−→u . Dé nition : Si −→u est un ve teur non nul, alors l'opposé du ve teur −→u , noté −−→u , est le ve teur qui a la même dire tion que −→u , la même norme que −→u , mais le sens opposé à −→u . Illustration : .................................................................. −−→u −→ u Nous pouvons maintenant, toujours et en ore par analogie ave le al ul numérique (où vous avez appris que soustraire un nombre revient à ajouter son opposé) : Dé nition : Soient −→u et −→v deux ve teurs ; on dé nit le ve teur −→w diéren e des ve teurs −→u et −→v omme somme du ve teur −→u et de l'opposé du ve teur −→v : −→w = −→u − −→v = −→u + (−−→v ) −→ u −→ v −→ u A B −→ u −→ v −→ u −−→v A B C −→ u −→ v −→ u −→ w = −→ u − −→v ................. ...................... A B C −−→v 2nde Cours ve teurs Page 4 Propriétés de l'addition des ve teurs : Pour tous ve teurs −→u , −→v on a −→u + −→v = −→v + −→u . Autrement dit, dans une somme de ve teurs, on peut permuter les deux ve teurs. Pour tous ve teurs −→u , −→v , −→w on a (−→u + −→v ) + −→w = −→u + (−→v + −→w ). Autrement dit, pour additionner trois ve teurs, on peut ommen er par additionner les deux ve teurs que l'on veut avant d'ajouter le troisième. 4 Comment multiplier un ve teur par un réel Introdu tion : Construisez le représentant du ve teur −→v = −→u +−→u d'origine A, puis le représentant du ve teur −→w = −→u + −→u + −→u d'origine B. Construisez le représentant du ve teur −→v = (−−→u ) + (−−→u ) d'origine A, puis le re- présentant du ve teur −→w = (−−→u ) + (−−→u ) + (−−→u ) d'origine B. −→ u B A −→ u B A Par analogie ave l'addition des nombres, on notera −→v = 2−→u et −→w = 3−→u . Le ve teur −→v = 2−→u a la même dire tion que −→u , il a le même sens que −→u , mais sa norme est deux fois plus grande. Par analogie ave l'addition des nombres, on notera −→v = −2−→u et −→w = −3−→u . Le ve teur −→v = −2−→u a la même dire tion que −→u , mais il a un sens opposé à elui −→u , et sa norme est deux fois plus grande. Dé nition : Soit −→u un ve teur non nul, et k un nombre réel non nul. Alors on dé nit le ve teur −→v = k−→u de la façon suivante : −→v a la même dire tion que −→u et Si k > 0 Si k < 0 alors −→v est de même sens que −→u , alors −→v est de sens opposé à −→u , et de norme égale à k fois elle de −→u . et de norme égale à −k fois elle de −→u . 2nde Cours ve teurs Page 5 Par exemple : Le ve teur −→v = 5 2 −→u a la même dire tion que −→u , le même sens que −→u et une norme égale à 7 2 fois elle de −→u : Le ve teur −→v = −2 3 −→u a la même dire tion que −→u , le sens opposé à elui de −→u et une norme égale à 2 3 fois elle de −→u : −→ u A A −→ u Quelques propriétés... Pour tout nombre réel k et pour tout ve teur −→u , on a : k −→ 0 = −→ 0 et 0−→u = −→ 0 . Distributivité : Pour tous réels k, k′, et pour tous ve teurs −→u , −→u′ , on a k(−→u + −→ u′ ) = k−→u + k −→ u′ et k−→u + k′−→u = (k + k′)−→u . Par exemple : 2−→u + 5−→u = (2 + 5)−→u = 7−→u 2(−→u + −→v ) = 2−→u + 2−→v 2(3−→u − 2−→v ) − (6−→u + −→v ) = 6−→u − 4−→v − 6−→u − −→v = 0−→u − 5−→v = −5−→v 5 Colinéarité de deux ve teurs - appli ations Dé nition : Deux ve teurs −→u et −→v seront dits olinéaires s'ils ont la même dire tion. En parti ulier, si −→ AB et −−→ CD sont des représentants de deux ve teurs −→u et −→v olinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles (ou onfondues). La ré iproque est également vraie. Théorème : Soient −→u et −→v deux ve teurs non nuls. Alors on a l'équivalen e suivante : −→u et −→v sont olinéaires ⇔ il existe un nombre réel k tel que −→v = k−→u Remarque : le ve teur nul est olinéaire à tous les autres ve teurs du plan. 2nde Cours ve teurs Page 6 −→ w −→ v −→ u −→ x Exemples : Les ve teurs −→u et −→w ne sont pas olinéaires (ils n'ont pas la même dire tion). Les ve teurs −→u et −→v sont olinéaires et de même sens ; on a −→v = 1, 5−→u ou en ore −→u = 2 3 −→v . En eet, la norme de −→v est égale à 1,5 fois elle de −→u (ou en ore la norme de −→u est égale à 2 3 fois elle de −→v ). Les ve teurs −→u et −→x sont olinéaires de sens ontraires ; on a −→u = −2−→x , ou en ore −→x = −1 2 −→u Les ve teurs −→x et −→v sont olinéaires de sens ontraires ; on a −→x = −1 3 −→v , ou en ore −→v = −3−→x Appli ations de la olinéarité : parallélisme, alignement, milieu Propriété 1 : olinéarité et parallélisme Les droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ Les ve teurs −→ AB et −−→ CD sont olinéaires ⇔ Il existe un nombre k 6= 0 tel que −→ AB = k −−→ CD. Propriété 2 : olinéarité et alignement Les points A, B et C sont alignés ⇔ Les ve teurs −→ AB et −→ AC sont olinéaires ⇔ Il existe un nombre k 6= 0 tel que −→ AB = k −→ AC. Propriété 3 : olinéarité et milieu Le point I est le milieu du segment [AB] ⇔ −→AI = −→ IB ⇔ −→ AI = 1 2 −→ AB ⇔ −→ AB = 2 −→ AI. ...................... ...................... ............... A B C D ...................... ...................... ............... ...................... ...................... ...............B A C B I A 2nde Cours ve teurs Page 7
