Extremums et sens de variation
Activité :
Une entreprise fabrique chaque jour x kilogrammes d'un produit ( 0x16 ). Le coût de
fabrication, en euros, est exprimé par la fonction f , définie sur [0; 16 ] par
f x =x3−25,5 x2180 x50 .
La courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère à un repère est donnée ci-contre.
1. Avec l'aide du graphique, déterminer les coûts de fabrication minimum et maximum.
2. Calculer f ' x et montrer que f ' x peut s'écrire f ' x =3 x−5 x−12 .
En déduire les valeurs de x pour lesquelles f ' x =0 .
3. Etudier le signe de f ' x et préciser les valeurs de x pour lesquelles f ' x change de
signe.
4. Déterminer graphiquement :
a) le maximum de f sur [2 ;6 ] et la valeur de x pour laquelle il est atteint, puis un autre
intervalle sur lequel f garde ce même maximum ;
b) le minimum de f sur [10 ;14 ] et la valeur de x pour laquelle il est atteint, puis un autre
intervalle sur lequel f garde ce même minimum.
Exercice 1 :
Soit f la fonction définie sur [0; 2 ] par f x =2 x2−5x3 .
1. Déterminer la dérivée f ' de la fonction f .
2. Chercher le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de f .
3. En déduire lex extremums de la fonction f sur [0; 2 ] .
Exercice 2 :
Même exercice pour f définie sur [−5 ;−1 ] par : f x = 2x² .
Exercice 3 :
Une entreprise fabrique et vend un produit.
On note x la quantité produite en tonnes, avec x un réel compris entre 0 et 50.
Le coût de production de x tonnes, exprimé en milliers d'euros, est donné par :
C x =0,7 x2−9 x200 .
L'entreprise vend une tonne de produits 24 000 euros.
A) Etude la fonction C
1. a. Calculer C ' x et étudier son signe sur l'intervalle [0;50].
b. En déduire les variations de C sur l'intervalle [0; 50 ] .
2. Représenter graphiquement cette fonction C dans un repère (on prendra 1 cm pour 4 tonnes
en abscisse et 1 cm pour 100 milliers d'euros en ordonnée).
B) Etude du bénéfice
On note respectivement R x et B x l