Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL GARIS


Misal kurva C dari titik A sampai titik B di ℜ3 ditentukan oleh persamaan
parameter x = x(s), y = y(s) dan z = z(s) dengan s merupakan panjang busur dari C yang
diukur dari sebuah titik ( x,y,z ) pada C. Maka didapatkan (
)
(
)
(
)
(
)
ds
dx
dy
dz
2
2
2
2
=
+
+
.
Bila r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik ( x,y,z ) maka
d
ds
r
merupakan
vektor satuan# yang menyinggung kurva C. Hal ini ditunjukkan berikut :

(
)
(
)
(
)
(
)
d
ds
dx
ds
dy
ds
dz
ds
dx
dy
dz
ds
r
i
j
k
=
+
+
=
+
+
=
2
2
2
2
1

Bila gaya yang bekerja di titik ( x,y,z ) dinyatakan dengan medan vektor ,
F ( x,y,z ) = f ( x,y,z ) i + g ( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k dengan medan skalar f , g dan h
kontinu, maka besarnya kerja atau usaha, W yang dilakukan oleh F untuk
menggerakkan partikel dari titik A ke titik B sepanjang kurva C dicari sebagai berikut.
Misal
d
ds
r
T
=
. Maka besar usaha, ∆W yang dilakukan oleh F untuk
menggerakkan partikel dari titik P ( x,y,z ) sejauh ∆s sepanjang kurva C adalah :

∆
∆
W = •
F T
s
Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik A
sampai titik B sepanjang kurva C diberikan :
W =
•
=
•
=
•
∫
∫
∫
F T
F
r
F
r
ds
d
ds
ds
d
C
C
C

Bentuk
integral
di
atas
dinamakan integral garis dari medan
vektor F atas kurva C.

Dari r = x i + y j + z k
didapatkan dr = dx i + dy j + dz k .
Maka besar usaha, W yang dilakukan
oleh gaya F sepanjang C adalah :




(
)
W =
•
=
+
+
∫
∫
F r
d
f x y z dx g x y z dy h x y z dz
C
C
( ,
, )
( ,
, )
( ,
, )



Bila kurva C yang dinyatakan dengan persamaan parameter ( t ), x = x (t), y = y
(t) dan z = z (t) dengan a ≤ t ≤ b maka besar usaha :


# vektor satuan adalah vektor yang mempunyai norm atau panjang satu







Z
























P(x,y,z)







F

C


T



r


B

A






O


Y
X

Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

(
)
(
)
(
)
(
)
W =
+
+
=
+
+




∫
∫
C
a
b
f x y z dx g x y z dy h x y z dz
f x t y t z t
dx
dt
g x t y t z t
dy
dt
h x t y t z t
dz
dt
dt
( ,
, )
( ,
, )
( ,
, )
( ), ( ), ( )
( ), ( ), ( )
( ), ( ), ( )



Untuk medan vektor di ℜ2 , F ( x,y ) = f ( x,y ) i + g ( x,y ) j , maka besar usaha
yang dilakukan gaya F ( x,y ) sepanjang kurva C yang dinyatakan oleh persamaan :
x = x(t) dan y = y(t) dengan a ≤ t ≤ b dituliskan :

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
W
f x y dx g x y dy
f x t y t
dx
dt
g x t y t
dy
dt
dt
C
a
b
=
+
=
+




∫
∫
,
,
( ), ( )
( ), ( )



Bila kurva C dinyatakan dalam bentuk y = v(x) dengan a ≤ x ≤ b maka x dapat
dipandang sebagai parameter, menggantikan parameter t. Sehinggga kurva C diberikan
dengan persamaan :


x = x , y = v(x) ; a ≤ x ≤ b

Besar usaha, W yang dilakukan oleh gaya F sepanjang kurva C adalah :


(
)
(
)
(
)
W
f x v x
g x v x v x dx
a
b
=
+
∫
, ( )
, ( )
'( )


Contoh 2
Tentukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor ( gaya ) , F ( x,y ) = ( x + 2y ) i +
( x - y ) j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva / lintasan C yang diberikan
dengan persamaan : x = 2 cos t , y = 4 sin t dengan 0
4
≤ ≤
t
π
.

Jawab :
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
W
F dr
x
y dx
x
y dy
t
t
t
t
t
t dt
C
C
=
•
=
+
+
−
=
+
−
+
−
= −
∫
∫
∫
2
2
8
2
2
4
4
1
0
4
cos
sin
(
)sin
cos
sin
cos
π
π






Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Contoh 3
Hitung integral garis :
(
)
yzdx xz dy xy dz
C
−
+
∫
bila C merupakan kurva yang dinyatakan
dengan persamaan : x
e y
e
z
e
t
t
t
t
=
=
=
≤ ≤
−
,
;
3
0
1
dan
.

Jawab :
(
)
yzdx
xzdy
xy dz
e dt
e
C
t
−
+
= −
= −
∫
∫ 3
1
3
0
1
3


Contoh 4
Tentukan besar usaha yang dilakukan oleh gaya F ( x,y ) = y i + x
2
j untuk memindahkan
partikel sepanjang kurva y = x
2
dari titik ( -2,4 ) ke titik ( 2,4 ).

Jawab :
(
)
(
)
W
ydx x dy
x
x dx
C
=
+
=
+
=
−
∫
∫
2
2
3
2
2
2
16
3



Teorema Green


Suatu kurva C dari titik A ( x1,y1 ) sampai titik B ( x2,y2 ) dinyatakan dengan
persamaan x = x(t) dan y = y(t) ; a ≤ t ≤ b dikatakan kurva tutup bila ujung-ujungnya
saling berimpit, yaitu A = B atau x1(a) = x2(b) dan y1(a) = y2(b). Kurva tutup C
dikatakan kurva tutup sederhana bila kurva tidak berpotongan kecuali pada ujung-
ujungnya.

Misal diberikan medan vektor di ℜ2, F ( x,y ) = f ( x,y ) i + g ( x,y ) j dengan
medan skalar f ( x,y ) dan g ( x,y ) kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama
kontinu pada R ( Daerah R merupakan daerah yang dibatasi atau dilingkupi oleh kurva
tutup sederhana C ). Maka integral garis dari medan vektor F atas kurva tutup sederhana
C dengan arah positif ( arah positif dari lintasan tutup sederhana dapat diketahui bila
kita berjalan mengikuti larah lintasan tersebut daerah R selalu terletak di sebelah kiri kita
) dapat diselesaikan menggunakan integral rangkap dua berikut :


(
)
f x y dx g x y dy
g
x
f
y
dA
C
R
( , )
( , )
+
=
−






∫
∫∫
∂
∂
∂
∂


Bentuk di atas dinamakan Teorema Green ( di Bidang ).



Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Contoh 5
Hitung integral garis
(
)
xy dx x y dy
C
2
2
−
∫
, kurva C merupakan segmen garis dari titik
(0,0) ke ( 2,0 ) dan berakhir di ( 2,3 ).

Jawab :

C C C C
= 1
2
3
U U

dengan :
C1 segmen garis dari ( 0,0 ) ke ( 2,0 )
C2 segmen garis dari ( 2,0 ) ke ( 2,3 )
C3 segmen garis dari ( 2,3 ) ke ( 0,0 )
Oleh
karena
itu, Bilamana
integral
garis
diselesaikan
secara
langsung
didapatkan
perhitungan berikut :

(
)
(
)
(
)
(
)
xy dx
x y dy
xy dx x y dy
xy dx
x y dy
xy dx
x y dy
C
C
C
C
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
−
=
−
+
−
+
−
∫
∫
∫
∫
Sedangkan bila digunakan teorema Green maka didapatkan :
(
)
f x y
xy
f
y
xy
g x y
x y
g
x
xy
R
x y
x
y
x
( , )
;
( , )
,
,
=
→
=
=
→
= −
=
≤ ≤
≤ ≤






2
2
2
2
0
2 0
3
2
∂
∂
∂
∂

(
)
xy dx
x y dy
xy dA
xy dy dx
C
R
x
2
2
0
2
0
3 2
4
4
18
−
=
−
=
−
= −
∫
∫∫
∫
∫
/


Dari bentuk teorema green di bidang, misal f ( x,y ) = -y dan g ( x,y ) = x. Maka :
(
)
( )
(
)
−
+
=
−
−






=
∫
∫∫
∫∫
y dx x dy
x
x
y
y
dA
dA
C
R
R
∂
∂
∂
∂
2
. Hal ini dapat disimpulkan bahwa
luas daerah yang dilingkupi lintasan tutup sederhana C yaitu daerah R mempunyai luas :


(
)
Luas R =
−
+
∫
1
2
y dx
x dy
C


Contoh 6
Hitung luas Ellips yang dinyatakan dengan : x = a cos t , y = b sin t

Jawab :

Y
















C2







C3





R











C1 X
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
(
)
(
)(
)
(
)(
)
[
]
Luas =
−
+
=
−
−
=
∫
∫
1
2
1
2
0
2
y dx
x dy
a
t b
t
b
t
a
t dt
ab
C
cos
cos
sin
sin
π
π



Kebebasan Lintasan


Secara umum, integral garis dari medan vektor F sangat bergantung dari bentuk
kurva C yang diberikan walaupun ujung-ujung dari kurva sama. Berikut akan dibahas
syarat perlu dan cukup agar integral garis dari suatu medan vektor F atas kurva C bernilai
sama walaupun bentuk kurva berbeda asal ujung-ujungnya tetap. Hal ini, kita katakan
integral garis bebas kurva / lintasan / tapak.

Misal D merupakan daerah pada bidang XOY dan F( x,y ) = f( x,y ) i + g( x,y ) j
dengan medan skalar f ( x,y ) dan g ( x,y ) kontinu pada D. Maka integral garis :

(
)
f x y dx g x y dy
C
( , )
( , )
+
∫

bebas lintasan di D bila terdapat fungsi P ( x,y ) ( disebut fungsi potensial ) sehingga
berlaku:


∂
∂
∂
∂
P x y
x
f x y
P x y
y
g x y
( , )
( , )
( , )
( , )
=
=
dan


Syarat di atas dapat juga dituliskan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlaku :


∂
∂
∂
∂
f x y
y
g x y
x
( , )
( , )
=


Dari deferensial total fungsi P ( x,y ), dP x y
P x y
x
dx
P x y
y
dy
( , )
( , )
( , )
=
+
∂
∂
∂
∂
. Maka
didapatkan : dP( x,y ) = f ( x,y ) dx + g ( x,y ) dy. Bila kurva C mempunyai arah dari titik
( x1, y1 ) ke titik ( x2, y2 ) maka :

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f x y dx g x y dy
f x y dx g x y dy
d P x y
P x y
P x y
C
x y
x y
x y
x y
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
,
,
,
,
,
,
+
=
+
=
=
−
∫
∫
∫
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1


Medan vektor F sehingga integral garis dari F atas lintasan C bebas lintasan
dinamakan Konservatif. Untuk medan vektor di ℜ2 , F( x,y ) = f( x,y ) i + g( x,y ) j
konservatif bila dan hanya bila
∂
∂
∂
∂
f x y
y
g x y
x
( , )
( , )
=
. Sedangkan untuk medan vektor di
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
ℜ3, F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k konservatif bila dan hanya bila
rot F = curl F = ∇ x F = 0 atau
∂
∂
∂
∂
g x y x
z
h x y z
y
( ,
, )
( ,
, )
=
,
∂
∂
∂
∂
f x y x
z
h x y z
x
( ,
, )
( ,
, )
=
dan
∂
∂
∂
∂
g x y x
x
f x y z
y
( ,
, )
( ,
, )
=
.

Bila C merupakan kurva tutup dan medan vektor F ( di ℜ2 atau ℜ2 ) konservatif
maka
(
)
f x y dx
g x y dy
C
( , )
( , )
+
∫
= 0
atau
(
)
f x y z dx g x y z dy h x y z dz
C
( ,
, )
( ,
, )
( ,
, )
+
+
=
∫
0 .
Permasalahan yang dihadapi disini
adalah bagaimana menentukan
fungsi
Potensial P bila F konservatif. Misal F( x,y ) = f( x,y ) i + g( x,y ) j konservatif. Maka
untuk
menentukan
fungsi

P(x,y
)
sehingga
berlaku
∂
∂
∂
∂
P x y
x
f x y
P x y
y
g x y
( , )
( , )
( , )
( , )
=
=
dan
dilakukan berikut.
Dari
∂
∂
P x y
x
f x y
( , )
( , )
=
,
misal
P x y
f x y dx
f x y
k y
( , )
( , )
( , )
( )
=
=
+
∫
1
.
Maka
∂
∂
∂
∂
P x y
y
f x y
y
k y
g x y
( , )
( , )
' ( )
( , )
=
+
=
1
. Sehingga diperoleh bentuk k (y) berikut :
k y
g x y
f x y
y
dy
( )
( , )
( , )
=
−






∫
∂
∂
1
. Dengan cara sama dapat ditentukan fungsi potensial, P
dari medan vektor, F konservatif di ℜ3.


Contoh 7
Selidiki apakah medan vektor F konservatif. Bila ya, tentukan P ( fungsi potensial )
a. F ( x,y ) = 3 y i + 3 x j
b. (
)
(
)
(
)
F
i
j
k
x y z
e
y
yz
xz
e
y
xy
x
x
,
,
cos
sin
=
+
+
−
+


Jawab :
a. f ( x,y ) = 3 y dan g ( x,y ) = 3x.
Karena
∂
∂
∂
∂
f
y
g
x
=
= 3 maka F konservatif.
Misal P ( x,y ) fungsi potensial. Maka :
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

(
)
P x y
f x y dx
y dx
xy C y
P x y
y
g x y
x C y
x
C y
C
P x y
xy C
,
( , )
( )
( , )
( , )
'( )
( )
( , )
=
=
=
+
=
⇒
+
= ⇒
=
=
+
∫
∫ 3
3
3
3
3
∂
∂
Jadi


b. f x y z
e
y
yz
f
y
e
y
z
f
z
y
x
x
( ,
, )
cos
sin
=
+ ⇒
= −
+
=
∂
∂
∂
∂
dan

g x y z
xz
e
y
g
x
z e
y
g
z
x
x
x
( ,
, )
sin
sin
=
−
⇒
= −
=
∂
∂
∂
∂
dan

h x y z
xy
h
x
y
h
y
x
( ,
, ) =
⇒
=
=
∂
∂
∂
∂
dan


Jadi F konservatif. Misal P ( x,y,z ) fungsi potensial. Maka

(
)
P x y z
e
y
yz dx
e
y
xyz C y z
P
y
g x y z
e
y xz
C
y
e
y
xz
C y z
L z
P
z
h x y z
xy L z
xy
L z
C
P x y z
e
y
xyz C
x
x
x
x
x
( ,
, )
cos
sin
( , )
( ,
, )
sin
sin
( , )
( )
( ,
, )
' ( )
( )
( ,
, )
sin
=
+
=
+
+
=
⇒ −
+ +
= −
+ ⇒
=
=
⇒ +
= ⇒
=
=
+
+
∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Jadi



Soal latihan

( Nomor 1 sd 3 ) Hitung integral
(
)
(
)
[
]
x
y dx
y
x dy
C
2
2
−
+
−
∫
dengan lintasan C
menghubungkan titik (0,1) ke titik ( 1,2 ) berbentuk :

1. Garis lurus.
2. Garis lurus dari ( 0,1 ) ke ( 1,1 ) kemudian dari ( 1,1 ) ke ( 1,2 ).
3. Parabola x = t dan y = t
2
+ 1.

( Nomor 4 sd 6 ) Diketahui
(
)
(
)
(
)
F
i
j
k
( ,
, )
x y z
x
yz
y
xz
xyz
=
−
+
+
+ −
3
6
2
3
1 4
2
2
. Hitung
F
r
•
∫
d
C
dari titik ( 0,0,0 ) sampai titik ( 1,1,1 ) melalui lintasan C

4. x = t, y = t
2
, z = t
3
.
5. Garis lurus.
6. Garis lurus dari ( 0,0,0 ) sampai ( 0,0,1 ) kemudian menuju ( 0,1,1 ) seterusnya menuju
( 1,1,1 ).

Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
( Nomor 7 sd 8 ) Hitung integral
(
)
(
)
[
]
2
2
2
xy x
dx
x
y
dy
C
−
+
+
∫
.Lintasan C berupa
lengkung tertutup merupakan batas dari daerah yang dibatasi oleh y = x
2
dan y
2
= x.

7. Perhitungan langsung.
8. Gunakan teorema Green.

( Nomor 9 sd 14 ) Hitung integral garis berikut :

9. (
)
3
2
xy dx
xy dy
C
+
∫
; C merupakan segiempat dibatasi oleh y = 1, y = 2, x = -2 , x = 4.
10.
(
)
[
]
x
y dx x dy
C
2
2
−
+
∫
; C ≡ x2 + y2 = 9
11.
(
)
x
y dx
y
x dy
C
cos
sin
−
∫
; C kubus dengan titik sudut ( 0,0 ), ( 0, ½ π ), ( ½ π ,½
π ) dan ( ½ π , 0 ).
12.
(
)
[
]
x
y dx x dy
C
2 −
+
∫
; C ≡ x2 + y2 = 4
13.
(
)
(
)
[
]
e
y
dx
e
x
dy
x
y
C
+
+
+
∫
2
2
; C ≡ y = x2 dan y = x
14.
(
)
(
)
[
]
e
y
dx
y x
dy
x
C
−
+
+
∫
3
3
cos
; C ≡ x2 + y2 = 1

( Nomor 15 sd 19 ) Hitung integral berikut dengan mencari potensialnya terlebih dahulu.
15.
[
]
e
y dx e
y dy
x
x
sin
cos
(
( , / )
+
∫
0,0)
1
2
π

16.
[
]
2
2
0,0)
3
xe dx
x e dy
y
y
+
∫
(
( ,2)

17.
(
)
(
)
[
]
6
2
9
4
1
3
2
2 2
0,0,0
111
xy
z
dx
x y dy
xz
dz
+
+
+
+
∫
(
( , , )

18.
(
)
(
)
(
)
[
]
yz
dx
xz
dy
xy
dz
+
+
+
+
+
∫
1
1
1
0,1
111
(
,0)
( , , )

19.
(
)
(
)
(
)
[
]
y
z dx
x
z dy
x y dz
+
+ +
+ +
−
∫
(
(
,0, )
0,0,0)
1 π