Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
INTEGRAL GARIS
Misal kurva C dari titik A sampai titik B di ℜ3 ditentukan oleh persamaan
parameter x = x(s), y = y(s) dan z = z(s) dengan s merupakan panjang busur dari C yang
diukur dari sebuah titik ( x,y,z ) pada C. Maka didapatkan (
)
(
)
(
)
(
)
ds
dx
dy
dz
2
2
2
2
=
+
+
.
Bila r = x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik ( x,y,z ) maka
d
ds
r
merupakan
vektor satuan# yang menyinggung kurva C. Hal ini ditunjukkan berikut :
(
)
(
)
(
)
(
)
d
ds
dx
ds
dy
ds
dz
ds
dx
dy
dz
ds
r
i
j
k
=
+
+
=
+
+
=
2
2
2
2
1
Bila gaya yang bekerja di titik ( x,y,z ) dinyatakan dengan medan vektor ,
F ( x,y,z ) = f ( x,y,z ) i + g ( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k dengan medan skalar f , g dan h
kontinu, maka besarnya kerja atau usaha, W yang dilakukan oleh F untuk
menggerakkan partikel dari titik A ke titik B sepanjang kurva C dicari sebagai berikut.
Misal
d
ds
r
T
=
. Maka besar usaha, ∆W yang dilakukan oleh F untuk
menggerakkan partikel dari titik P ( x,y,z ) sejauh ∆s sepanjang kurva C adalah :
∆
∆
W = •
F T
s
Oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik A
sampai titik B sepanjang kurva C diberikan :
W =
•
=
•
=
•
∫
∫
∫
F T
F
r
F
r
ds
d
ds
ds
d
C
C
C
Bentuk
integral
di
atas
dinamakan integral garis dari medan
vektor F atas kurva C.
Dari r = x i + y j + z k
didapatkan dr = dx i + dy j + dz k .
Maka besar usaha, W yang dilakukan
oleh gaya F sepanjang C adalah :
(
)
W =
•
=
+
+
∫
∫
F r
d
f x y z dx g x y z dy h x y z dz
C
C
( ,
, )
( ,
, )
( ,
, )
Bila kurva C yang dinyatakan dengan persamaan parameter ( t ), x = x (t), y = y
(t) dan z = z (t) dengan a ≤ t ≤ b maka besar usaha :
# vektor satuan adalah vektor yang mempunyai norm atau panjang satu
Z
P(x,y,z)
F
C
T
r
B