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Elettromagnetismo Elettricità. Corrente. Magnetismo Maurizio Zani Maurizio Zani Sommario Elettromagnetismo Elettrostatica Materiali conduttori Condensatori Materiali dielettrici Corrente elettrica Resistori Circuiti elettrici continui Magnetostatica Induzione elettromagnetica Induttori Materiali magnetici Circuiti elettrici variabili Elettromagnetismo http://www.mauriziozani.it/wp/?p=1128 Maurizio Zani Elettrostatica Elettromagnetismo Elettrostatica Materiali conduttori Condensatori Materiali dielettrici Corrente elettrica Resistori Circuiti elettrici continui Magnetostatica Induzione elettromagnetica Induttori Materiali magnetici Circuiti elettrici variabili Elettromagnetismo Elettrizzazione Forza elettrica Campo elettrico Teorema di Gauss Campo conservativo Dipolo elettrico Formulazione differenziale Maurizio Zani Elettrizzazione: strofinio il materiale si elettrizza? • no: materiale conduttore • sì: materiale isolante come la plastica (-): elettrizzazione resinosa come il vetro (+): elettrizzazione vetrosa tipo diverso: attrazione stesso tipo: repulsione carica Maurizio Zani Elettrizzazione: strofinio elettronegatività plastica (-) vetro (+) Si C 1.90 2.20 H 2.55 Maurizio Zani Elettrizzazione: contatto + + + + + materiali conduttori/isolanti attrazione repulsione contatto l'interazione cambia segno Maurizio Zani Elettrizzazione: induzione elettrostatica + - - + + + - elettrizzazione localizzata e temporanea materiali conduttori prossimità e taglio prossimità (senza contatto) elettrizzazione opposta e permanente - - + + + - + Maurizio Zani Elettrizzazione: polarizzazione materiali isolanti + elettrizzazione localizzata e temporanea prossimità e taglio prossimità (senza contatto) nessuna elettrizzazione - - + + + - + Maurizio Zani Forza elettrica: carica elettrica [ ] [ ][ ] As C q = I t = = protone • mp = 1.672622ꞏ10-27 kg; qp = 1.602176ꞏ10-19 C elettrone • me = 9.109382ꞏ10-31 kg; qe = -1.602176ꞏ10-19 C neutrone • mn = 1.674927ꞏ10-27 kg; qn = 0 C carica elettrica q coulomb Maurizio Zani Forza elettrica: struttura della materia Modello di Thomson (1902) • atomo come sfera carica positivamente (e senza massa) • elettroni cariche negative al suo interno (con massa) Modello di Lorentz (1905) • nucleo carico positivamente • elettroni come sfera carica negativamente Modello di Rutherford (1911) • nucleo carico positivamente • elettroni cariche negative che orbitano Modello di Bohr (1913) • nucleo carico positivamente • elettroni cariche negative su orbite stazionarie Maurizio Zani Forza elettrica: struttura della materia Atomo • atomo: r = 10-10 m • nucleo: r = 10-15 m • elettrone: r = 10-18 m • atomo => 107 m (pianeta Terra) • nucleo => 102 m (campo da calcio) • elettrone => 10-1 m (pallone da calcio) 17 10 ⋅ Maurizio Zani Forza elettrica: forza di Coulomb bilancia di torsione F F θ q -q q 1 2 e e r 2 q q F = k u r forza elettrica (di Coulomb) forza fondamentale 9 2 2 1 = 8.9874 10 Nm / C 4π e 0 k = ε ⋅ -12 2 2 8.85418781762 10 C / Nm 0 ε = ⋅ costante elettrica permittività elettrica Maurizio Zani Forza elettrica: forza di Coulomb 1 2 e e r 2 q q F = k u r forza elettrica (di Coulomb) interazione tra due cariche q = 1 C; r = 1 m 9 9 10 N e F = ⋅ 450 Shuttle! 2 p e g r m m F = -γ u r confronto con la forza gravitazionale 39 10 p e e e g p e q q F k = F γ m m » • età dell'universo 13 M anni = 4*1017 s • dimensione dell'universo 92 M anni luce = 8.7*1026 m Maurizio Zani Campo elettrico 1 4π 1 2 e r 2 0 q q F = u ε r 2 1 1 4π 4π 1 2 2 e r 1 r 1 2 2 0 0 q q q F = u = q u = q E ε ε r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø 2 1 4π r 0 q E = u ε r campo elettrico 1 i 1 i 1 i 1 F = F = q E = q E = q E å å å effetto causa oggetto [ ] [ ] [ ] N C F E = = q vale la sovrapposizione degli effetti i E = Eå d E = E ò Maurizio Zani Campo elettrico x θ dE dy x r y y θ ( ) ( ) 2 1 d d d cos cos 4π x 0 q E = E θ = θ = ε r ( ) 2 d d d cos x q = λ y = λ θ θ ( ) tan y = x θ ( ) 2 d d cos x y = θ θ ( ) cos x r = θ ( ) 1 cos d 4π 0 λ = θ θ ε x ( ) ( ) +π /2 +π /2 -π /2 -π /2 1 1 1 d cos d sin 4π 4π 2π x 0 0 0 λ λ λ E = E = θ θ = θ = ε x ε x ε x é ù ê ú ë û ò ò filo rettilineo infinito unif. carico Maurizio Zani Campo elettrico anello unif. carico x R θ dE ds x θ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 d d d cos cos 4π 1 d 4π x 0 0 q E = E θ = θ = ε x + R q x = ε x + R x + R ( )3/2 2 2 1 d 4π x 0 x q E = E = ε x + R ò x E R / √2 Maurizio Zani Campo elettrico disco unif. carico x dE x R r 2 π q = σ r d 2π d q = σ r r ( ) ( ) 3/2 3/2 2 2 2 2 1 d 1 d d 4π 2 0 0 x q xσr E = = r ε ε x + R x + R ( )3/2 2 2 0 2 2 d d 2 1 2 R x 0 0 xσ r E = E = r = ε x + r σ x = - ε x + R æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ çè ø ó ô õ ò 2 π q σ = R : 2 0 σ x R E ε » 2 1 : 4π 0 q x R E ε x » Maurizio Zani -q Campo elettrico: linee di flusso 2 1 4π r 0 q E = u ε r d E = E ò +q Linee di flusso • linee orientate, tangenti (direzione) e concordi (verso) al campo • si addensano dove il campo è più intenso • non si incrociano mai • partono (sorgente) e terminano (pozzo) sulle cariche o all’infinito Maurizio Zani +q +q Campo elettrico: linee di flusso 2 1 4π r 0 q E = u ε r d E = E ò Maurizio Zani Teorema di Gauss: flusso S θ E ( ) Φ E = E S ⋅ flusso campo omogeneo: ( ) [ ][ ] 2 N Φ m C E = E S = é ù ê ú ë û ( ) ( ) Φ dΦ d E = E = E S ⋅ ò ò campo/superficie variabile: dS E E E • flusso additivo tra campi ( ) ( ) ( ) ( ) Φ d d d Φ Φ 1 2 1 2 1 2 E = E + E S = E S + E S = E + E ⋅ ⋅ ⋅ ò ò ò • flusso additivo in superfici ( ) ( ) ( ) Φ d d d Φ Φ 3 1 2 1 2 S S S E = E S = E S + E S = E + E ⋅ ⋅ ⋅ ò ò ò Maurizio Zani Teorema di Gauss: superficie sferica q E R 2 1 4π r 0 q E = u ε r ( ) Φ d d d E = E S = E S = E S = E S ⋅ ò ò ò 2 4π S = R ( ) Φ d 0 q E = E S = ε ⋅ ò teorema di Gauss ( ) Φ d 4π e E = E S = k q ⋅ ⋅ ò ( ) Φ d 4π G = G S = - γ m ⋅ ⋅ ò Maurizio Zani Teorema di Gauss: superficie generica θ E dΩ dS q r dΩ E2 q E1 ( ) ( ) Φ d d cos E = E S = E S θ ⋅ ò ò ( ) 2 d cos d d S θ = S' = Ω r 2 1 4π r 0 q E = u ε r ( ) Φ dΦ d 4π 0 q E = = Ω ε ò ò carica interna d 4π Ω = ò carica esterna dΦ 0 = ò d d 1 2 Ω = Ω dΦ dΦ 1 2 = - Maurizio Zani Teorema di Gauss Teorema di Gauss "Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa dipende unicamente dalla carica netta contenuta nella superficie, e ne risulta proporzionale secondo un fattore 1/ε0" ( ) Φ d int 0 q E = E S = ε ⋅ ò sempre valido, non sempre utile Maurizio Zani Teorema di Gauss filo rettilineo infinito unif. carico h r ( ) lato basi Φ d d d E = E S = E S + E S = ⋅ ⋅ ⋅ ò ò ò ( ) Φ d int 0 q E = E S = ε ⋅ ò Gauss flusso per simmetria, il campo elettrico è • radiale rispetto al filo • invariante per traslazione lungo il filo • invariante per rotazione attorno al filo simmetrica cilindrica lato lato d d 2π = E S = E S = E r h = ò ò 1 2π 0 λ E = ε r int 0 0 q λh = = ε ε Maurizio Zani R h r Teorema di Gauss cilindro rettilineo infinito unif. carico per simmetria, il campo elettrico è • radiale rispetto al filo • invariante per traslazione lungo il filo • invariante per rotazione attorno al filo simmetrica cilindrica ( ) Φ d 2π int 0 q E = E S = E r h = ε ⋅ ò 2 2 1 π 2 int 0 ρR r > R: q = ρV = ρ R h E = ε r 2 π 2 int 0 ρ r < R: q = ρV = ρ r h E = r ε E iperbole retta R r Maurizio Zani Teorema di Gauss sfera unif. carica per simmetria, il campo elettrico è • radiale rispetto al centro • invariante per rotazione della sfera simmetrica sferica ( ) 2 Φ d 4π int 0 q E = E S = E r = ε ⋅ ò 2 1 q 4π int 0 q r > R: q = E = ε r 3 3 3 3 3 1 4 π r 3 4 4π π 3 int 0 q q q r < R: q = ρV = r = r E = ε R R R E r retta 1/r 2 R r R q Maurizio Zani Campo conservativo: energia potenziale 2 1 4π 1 2 e r 0 q q F = u ε r d d d r θ r = r u + r θ u ( ) B B 2 2 A A 1 1 d d d d 4π 4π B A r 1 2 1 2 e r r θ 0 0 r q q q q W = F r = u r u + r θ u = r ε ε r r ⋅ ⋅ ó õ ò ò 1 4π 1 2 e 0 q q U = ε r B B 2 A A 1 1 d d d 4π 4π B A r 1 2 1 2 e e 0 0 r q q q q W = r = - = - U = - U ε ε r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ó õ ò ò energia potenziale della forza elettrica forza elettrica Maurizio Zani Campo conservativo: energia potenziale ( ) d 0 r 0 r U r = U - F r ⋅ ò ? F = đ d d d d d x y z W = F r = F x + F y + F z = - U ⋅ d d d d U U U U = x + y + z x y z ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ x U F = - x ¶ ¶ y U F = - y ¶ ¶ z U F = - z ¶ ¶ ( ) grad F = - U gradiente U x x0 F F Maurizio Zani Campo conservativo: energia potenziale (1) (2) A B y x B B A A (1) (2) d d W = F r = F r ⋅ ⋅ ò ò B A B B A B A A (1) (2) (1) (2) d d d d d 0 W = F r = F r + F r = F r - F r = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ò ò ò ò ò ( ) Λ d d 0 F = F r = q E r = ⋅ ⋅ ò ò circuitazione F = qE Maurizio Zani Campo conservativo II legge di Maxwell "La circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa è nulla" ( ) Λ d 0 E = E r = ⋅ ò Maurizio Zani Campo conservativo: potenziale elettrico 1 4π 1 2 e 0 q q U = ε r 1 1 4π 4π 1 2 2 e 1 1 2 0 0 q q q U = = q = q V ε r ε r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø 1 4π 0 q V = ε r potenziale elettrico 1 i 1 i 1 i 1 U = U = q V = q V = q V å å å effetto causa oggetto [ ] [ ] [ ] J V C U V = = = q vale la sovrapposizione degli effetti volt i V = Vå d V = V ò Maurizio Zani Campo conservativo: potenziale elettrico ( ) grad F = - U ( ) grad E = - V x U F = - x ¶ ¶ y U F = - y ¶ ¶ z U F = - z ¶ ¶ x V E = - x ¶ ¶ y V E = - y ¶ ¶ z V E = - z ¶ ¶ F = qE [ ] [ ] [ ] N V C m F E = = = q U = qV Maurizio Zani ( ) 1 d 4π r 0 r q r > R: V r = V - E r = ε r ¥ ¥ ò Campo conservativo: potenziale elettrico sfera unif. carica 2 1 4π 0 q r > R: E = ε r R q r V E = - r ¶ ¶ ( ) 2 2 1 d 3 8π r R 0 R q r r < R: V r = V - E r = - ε R R æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ò V r R parabola iperbole 3 1 r 4π 0 q r < R: E = ε R Maurizio Zani Campo conservativo: energia elettrica B A d int W = F r = - U ⋅ ò B B A A d d Δ ext ext int f i W = F r = -F r = -W = U = U - U ⋅ ⋅ ò ò ir = ¥ 0 i U = ext f W = U 1 4π 1 2 e 0 q q U = ε r Maurizio Zani Campo conservativo: energia elettrica q3 r23 r13 0 1 W = 1 Δ Δ 4π 1 2 2 2 2 1 2 0 12 q W = U = q V = q V = q ε r ( ) 1 Δ Δ 4π 1 2 3 3 3 3 1 2 3 0 13 23 q q W = U = q V = q V + V = q + ε r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø 1 4π 1 3 2 3 1 2 e 1 2 3 0 12 13 23 q q q q q q E = W = W + W + W = + + ε r r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø 1 2 n e ij i j E = U ¹ å 1 1 2 n e i i i= E = q V å 1 d 2 e E = V q ò energia elettrica q2 r12 q1 1 4π 1 2 e 0 q q U = ε r Maurizio Zani Campo conservativo: energia elettrica sfera unif. carica 1 4π 0 q r > R: V = ε r 2 2 1 3 8π 0 q r r < R: V = - ε R R æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø R q 2 2 2 2 0 1 1 1 3 d 3 4π d 2 2 8π 20π R e 0 0 q r q E = V q = - ρ r r = ε R ε R R æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø ó ôõ ò 2 d d 4π d q = ρ V = ρ r r r dr 3 4 π 3 q ρ = R 1 2 e E = Vq = e se tutta la carica andasse sulla superficie? 2 1 2 4π 8π 0 0 q q = q = ε R ε R Maurizio Zani θ r Dipolo elettrico: interazioni create q -q d y x r+ r- P 1 4π + 0 + q V = ε r 1 4π - 0 - -q V = ε r 1 1 4π 4π - + + - 0 + - 0 - + r - r q - q V = V + V = + = ε r r ε r r æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø approssimazione di dipolo r d ( ) 2 cos - + - + r - r d θ r r r ìï » ï íï » ïïî ( ) ( ) 2 2 cos cos 1 1 4π 4π 4π - + 0 - + 0 0 qd θ p θ r - r q V = = ε r r ε ε r r » p = qd momento di dipolo elettrico [ ] [ ][ ] Cm p = q d = Maurizio Zani θ r Dipolo elettrico: interazioni create q -q d y x r+ r- P ( ) 2 cos 1 4π 0 p θ V = ε r ( ) grad E = - V y θ x Er r Eθ E p ( ) ( ) 3 3 2 cos d 1 d 4π sin 1 d 1 d 4π r 0 θ 0 p θ V E = - = r ε r p θ V E = - = r θ ε r ìïïïïïïíïïïïïïî 3 1 2 0: 0 4π θ r 0 p θ = E = E = ε r 3 π 1 : 0 2 4π θ r 0 p θ = E = E = ε r Maurizio Zani Dipolo elettrico: interazioni subite M = d F = d qE = qd E = p E ´ ´ ´ ´ ( ) ( ) Δ + - + - U = qV - qV = q V - V = q -E x = ( ) ( ) grad grad F = - U = p E ⋅ q -q p F F E θ ( ) ( ) ( ) cos cos = q -E d θ = -pE θ = -p E ⋅ Maurizio Zani Formulazione differenziale: condizioni al contorno 2 1 dS ( ) dΦ d d 2 2 2 n2 E = E S = E S ⋅ ( ) dΦ d d d 1 1 1 1 2 n1 E = E S = -E S = -E S ⋅ ⋅ ( ) dΦ 0 lat E » ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ dΦ d Δ d 1 2 lat n2 n1 n E = E + E + E = E - E S = E S ( ) d d dΦ 0 0 q σ S E = = ε ε Δ n 0 σ E = ε Maurizio Zani 2 1 dr Formulazione differenziale: condizioni al contorno ( ) dΛ d d 2 2 2 t2 E = E r = E r ⋅ ( ) dΛ d d d 1 1 1 1 2 t1 E = E r = -E r = -E r ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ dΛ d Δ d 1 2 n t2 t1 t E = E + E + E = E - E r = E r ( ) dΛ 0 E = Δ 0 t E = ( ) dΛ 0 n E » Maurizio Zani Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΦ d d d d '' '' '' '' x x x E = E S = E S = E y z ⋅ ( ) dΦ d d d d ' ' ' ' x x x E = E S = -E S = -E y z ⋅ ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ d d d d d d d d d d d '' ' '' ' x x x x x x x x E E E = E + E = E y z - E y z = E y z = x y z = V x x æ ö ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷÷ çè ø ¶ ¶ dx y z x dy dx dz dz dy ( ) dΦ d y y E E = V y ¶ ¶ ( ) dΦ d z z E E = V z ¶ ¶ Maurizio Zani Formulazione differenziale: leggi di Maxwell dx y z x dy dx dz dz dy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dΦ dΦ dΦ dΦ + + d div d y x z x y z E E E E = E + E + E = V = E V x y z æ ö ¶ ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ¶ ¶ ¶ è ø ( ) d d dΦ 0 0 q ρ V E = = ε ε ( ) div 0 ρ E = ε Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΛ d d ' ' ' x x E = E r = E x ⋅ ( ) dΛ d d '' '' '' x x E = E r = -E x ⋅ ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ d d d d d d ' '' ' '' x x x x x x x E E = E + E = E x - E x = - E x = - y x y æ ö ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ¶ è ø ( ) dΛ d d d d y y y E E = E y = x y x ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) dΛ dΛ dΛ d d y x y x E E E = E + E = - x y x y æ ö ¶ ¶ ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ¶ ¶ è ø Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) dΛ d d d y y x x z E E E E E = - x y = - S x y x y æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø piano xy: ( ) dΛ d d d y y z z x E E E E E = - y z = - S y z y z æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø piano yz: ( ) dΛ d d d x x z z y E E E E E = - z x = - S z x z x æ ö æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø è ø ¶ ¶ ¶ ¶ piano zx: Maurizio Zani dx y x dy Formulazione differenziale: leggi di Maxwell ( ) ( ) dΛ d d d rot d y y x x z z x y z E E E E E E E = - S + - S + - S = E S y z z x x y æ ö æ ö ¶ ¶ æ ö ¶ ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç ⋅ ÷ ç ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è ø ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø è ø ( ) dΛ 0 E = ( ) rot 0 E =
