EXERCICES MPSI
13. INTEGRALES MULTIPLES R. FERRÉOL 09/10
1. : Calculer :
(a) I1 =
∫ ∫
0x,y1
x2ydxdy
(b) I2 =
∫ ∫
0x,y1
x3ex
2ydxdy
[
Rep :
e
2
− 1
]
(c) I3 =
∫ ∫
x2yx
(x+ y) dxdy
[Rep : 3/20]
(d) I4 =
∫ ∫
x+y1
x,y0
ln (1 + x+ y) dxdy
[Rep: 1/4]
(e) I5 =
∫ ∫
√
x+
√
y1
√
1−x+
√
1−y1
(x+ y) dxdy
[Rep : 2/3]
(f) I6 =
∫ ∫
x2+y21
y0
y
√
x2 + y2dxdy
[
premier calcul en cartésiennes puis passer en polaires ; Rep :
1
2
]
(g) I7 =
∫ ∫
x2+y2x
(
x2 + y2 + 1
)
dxdy
[
passer en polaires ; Rep :
11π
32
]
(h) I8 =
∫ ∫
x2
a2
+
y2
b2
1
x,y0
xy dxdy
[
Rep :
a2b2
8
]
.
2. : Partie symétrique et partie antisymétrique d’une fonction de deux variable.
(a) Soit f ∈ C
(
[a, b]2,R
)
; montrer qu’il existe un unique couple de fonctions (g, h) ∈
(
C
(
[a, b]2,R
))2
tel que f = g+h,
avec g symétrique et h antisymétrique (g (x, y) = g (y, x) et h (x, y) = −h (y, x)).
(b) Montrer que
∫ ∫
ax,yb
f (x, y) dxdy =
∫ ∫
ax,yb
g (x, y) dxdy.
3. : Déterminer le centre d’inertie G d’un secteur de disque homogène d’angle au sommet α de rayon R et de centre O.
Montrer que lorsque α→ 0, OG→ 2
3
R ; pourquoi ceci était-il prévisible ?
4. * : Aire enfermée par une courbe fermée.
On considère une courbe décrite par M(t) = (f(t), g(t)), telle que M(0) = M(T ) ; on souhaite déterminer l’aire S du
domaine D limité par la courbe.
On suppose que l’application
{
[0, T ]× [0, 1] −→ D
(t, u)
−→ (uf(t), ug(t)) est bijective.
(a) Montrer par un changement de variable que S =
1
2
T∫
0
|f(t)g′ (t)− g(t)f ′ (t)| dt.
(b) Appliquer à l’aire de l’astroïde
{
x = a cos3 t
y = a sin3 t
.
[
Rep :
3πa2
8
]
(c) En déduire que en coordonnées polaires, S =
1
2
2π∫
0
ρ2dθ.
1
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13. INTEGRALES MULTIPLES R. FERRÉOL 09/10
(d) Appliquer à l’aire de la lemniscate de Bernoulli : ρ2 = 2a2 cos 2θ
[
Rep : 2a2
]
.
5. : Deuxième théorème de Guldin :
Soit ∆ un domaine quarrable d’aire S que l’on fait tourner autour d’un axe (Oz) ; le domaine ∆ se trouve entièrement
dans l’un des demi-plans déterminés par l’axe. Le centre d’inertie G de ∆ est à la distance d de (Oz